Aplicaciones de las ecuaciones lineales a la resolución de problemas verbales

Licdo. Jonathan Miguel Mendoza

Escuela de Matemáticas Elohim

Jonathan Miguel Mendoza

Aplicaciones De Las Ecuaciones

Lineales & Sistemas Lineales Razonamiento Lógico Algebraico

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Licenciado: Jonathan Miguel Mendoza Razonamiento Matemático

1

Aplicaciones de las Ecuaciones Lineales a la Resolución de

Problemas Verbales

Ejemplo 1: La suma de tres números impares consecutivos es 57, ¿cuáles son dichos

números?

Hacemos una tabla:

Números Variables

Primero x

Segundo x + 2

Tercero x + 4

Total 57

La condición es que la suma de los tres sea 57.

Ecuación: x + (x + 2) + (x + 4) = 57

Resolviendo la ecuación:

3x + 6 = 57

3x = 57 – 6

3x = 51

3x/3 = 51/3

x = 17

Los números impares buscados son:

17, 19 y 21.

17 + 19 + 21 = 57


2

Ejemplo 2: Divide el número 190 en dos partes tales que 2/3 de la menor sea igual a

3/5 de la mayor.

Números Variables

Parte menor x

Parte mayor 190 – x

Total 190

La Condición es que:

2/3 de la Parte menor = 3/5 de la Parte mayor

Ecuación: 𝟐

𝟑𝒙 =

𝟑

𝟓(𝟏𝟗𝟎 – 𝒙)


𝟐

𝟑𝒙 =

𝟑

𝟓(𝟏𝟗𝟎 – 𝒙)

Buscamos el M.C.M. de 3 y 5 que es 15, luego multiplicamos

miembro a miembro por 15.

𝟏𝟓(𝟐

𝟑𝒙) = 𝟏𝟓 [

𝟑

𝟓(𝟏𝟗𝟎 – 𝒙)]

10x = 9(190 – x)

10x = 1710 – 9x

10x + 9x = 1710

19x = 1710

𝟏𝟗𝒙

𝟏𝟗 =

𝟏𝟕𝟏𝟎

𝟏𝟗

x = 90

Respuesta:

Las dos partes en que podemos

dividir 190 son: la menor es 90 y la

mayor 100.

𝟐

𝟑(𝟗𝟎) =

𝟑

𝟓(𝟏𝟎𝟎)

𝟏𝟖𝟎

𝟑=

𝟑𝟎𝟎

𝟓→ 𝟔𝟎 = 𝟔𝟎 𝒗


3


Ejemplo 3: Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la

edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años?

Personajes Edades/ Asignación de

variables

Condición

David

𝟏

𝟑𝐱

Que la suma de las

tres edades sea igual a

48 años

Guiso 𝐱

Padre Andrés

4x

Total 48

Ecuación: x + 𝟏

𝟑𝐱 + 4x = 48

Resolviendo la Ecuación:

x + 𝟏

𝟑𝐱 + 4x = 48. El denominador único es 3, por lo que el M.C.M. es 3

Multiplico toda la ecuación por 3

3(x) + 𝟑 (𝟏

𝟑𝐱)+ 3(4x) = 3(48)

3x + x + 12x = 144

16x = 144

𝟏𝟔𝒙

𝟏𝟔 =

𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟔

x = 9

La edad de Guiso es 9 años, la edad

de su hermano David es:

1/3 (9) = 3 años y la de su padre

Andrés es 4(9) = 36 años.


4

Ejemplo 4: Un vendedor ambulante ofrece chocolates a RD$ 45 y RD$ 36. Si en un

día obtuvo RD$ 3,105 por la venta de 84 chocolates. ¿Cuántos de cada clase vendió?

Chocolates Precios

Unitario

P.U.

Cantidad

Vendidas

C.V.

Precio por

Cantidad =

P.T.

Tipo A

45

x

45(x)

Tipo B

36

84 – x

36(84 – x)

Total

84

3,105

Condición:

Cantidad Tipo A por P.U. + Cantidad Tipo B por P.U. = P.T.

Ecuación: 45(x) + 36(84 – x) = 3,105

45(x) + 36(84 – x) = 3,105 9x = 81

45x + 3024 – 36x = 3,105 9x/9 = 81/9

9x + 3,024 = 3,105 x = 9

9x = 3,105 – 3,024

Respuesta:

El Chocolatero vendió 9 chocolates Tipo A de RD$45 y 75

chocolates Tipo B de RD$36.

9 por RD$45 = RD$ 405

75 por RD$36 = RD$ 2,700

RD$ 3,105


5

Ejemplo 5: En un cine hay 500 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó $3

y cada niño pagó $2 por su entrada. La recaudación es de $ 1,300. ¿Cuántos adultos hay

en el cine?

Personas Cantidad de

personas

C.p.

Precio por persona

P.p.

Recaudación por

tipo

R.t.

Niños

x

2

2(x)

Adultos

500 – x

3

3(500 – x)

Total

500

1,300

Condición: C.p. por P.p. = R.t.

Ecuación: 2(x) + 3(500 – x) = 1,300

Resolviendo la ecuación: 2(x) + 3(500 – x) = 1,300

2x + 1,500 – 3x = 1,300

- x + 1500 = 1,300

-x = 1,300 – 1,500

-x = -200

x = 200

Respuesta:

En el cine hay 200 niños/as y 300 adultos.

Por lo que:

200 por US$2 = US$ 400

300 por US$3 = US$ 900

_________

US$ 1,300


6

Ejemplo 6) Tres Aparta-Hoteles de Santo Domingo, A, B y C, tienen hospedados

200 turistas, el aparta hotel A tiene 32 turista más que el B y el B 6 más que el C, hallar

la cantidad de turistas hospedados en cada aparta hotel.

Hoteles Cantidad de personas

hospedados C.p.

Condición

Hotel A

x

La suma de las cantidades de

turistas de cada hotel debe ser

doscientos.

Hotel B

x – 32

Hotel C

x – 38

Total

200

Condición: La suma de las cantidades de turistas de cada hotel

debe ser doscientos.

Ecuación: x + (x – 32) + (x – 38) = 200


x + (x – 32) + (x – 38) = 200

3x – 70 = 200

3x = 200 + 70

3x = 270

3x = 270

3 3

x = 90

Solución:

El hotel A tiene 90 huéspedes, el hotel

B tiene (90 – 32) = 58 huéspedes y el

hotel C tiene (58 – 6) = 52 huéspedes.


7

Ejemplo 7) Sofía dice, adivinen, de la ciudad de Santo Domingo salen todos los días

hacia otra ciudad 4 guaguas grandes y 5 pequeñas. Cada guagua grande tiene 12 asientos

más que cada pequeña, si el total de asientos es 336, cuántos asientos tiene cada guagua

grande?

Guaguas

Cantidad

Asientos

Total de asientos

disponibles

Grandes

4

x

4(x)

Pequeñas

5

x – 12

5(x – 12)

Total

9

2x – 12

336

Condición: Que la suma de la cantidad de guaguas de cada tipo

por el número de asientos de cada guagua sea igual a 336.

Ecuación: 4(x) + 5(x – 12) = 336

Resolviendo la ecuación: 4(x) + 5(x – 12) = 336

4(x) + 5(x – 12) = 336

4x + 5x – 60 = 336

9x – 60 = 336

9x = 336 + 60

9x = 396

9x = 396

9 9

x = 44

Solución:

Cada guagua grande tiene 44 asientos

y cada guagua pequeña tiene 32

asientos. En total son:

4 por 44 = 176

5 por 32 = 160

336


8

Ejemplo 8) Luis Miguel dice ¡Oh! esta adivinanza ustedes le darán respuesta

rápidamente, ya que es muy vieja: van un grupo de palomas volando y un gavilán le dijo;

adiós mis 100 palomas y las palomas contestaron, nosotras no somos 100, nosotras otras

tantas como nosotras, la mitad de nosotras, la cuarta parte de nosotras y con usted entonces

si somos100, cuántas palomas eran?

Cantidades

Asignación de variable

Valores determinados

Cantidad de palomas

x

36

Otras tantas como

nosotras

x

36

La mitad nosotras

𝟏

𝟐𝐱

18

La cuarta parte de

nosotras

𝟏

𝟒𝐱

9

usted

1

1

Total

100

Condición: Que la suma de la cantidad de palomas, con ella

misma, con su mitad, con su cuarta parte y el gavilán sea 100 en

total.

Ecuación: x + x + 𝟏

𝟐𝐱 +

𝟏

𝟒𝐱 + 1 = 100


9

Resolviendo:

x + x + 𝟏

𝟐𝐱 +

𝟏

𝟒𝐱 + 1 = 100

4(x) + 4(x) + 4(𝟏

𝟐𝐱) + 4(

𝟏

𝟒𝐱) + 4(1) = 4(100)

4x + 4x + 2x + x + 4 = 400

11x + 4 = 400

11x = 400 – 4

11x = 396

11x = 396

11 11

x = 36

Ejemplo 9) ¨Diofánto de Alejandría, Vida.

Dios le concedió ser un muchacho durante una sexta parte de su vida, y añadiendo a esto

una doceava parte, El pobló de vellos sus mejillas: le iluminó con la luz del matrimonio

después de una séptima parte, y cinco años después de su matrimonio le concedió un hijo.

Pero, ay infeliz niño nacido tarde: después de alcanzar la mitad de la medida de la vida de

su padre, el frío destino se lo llevó. Después de consolar sus penas con la ciencia de los

números durante cuatro años más, finalizo su vida. ¿Cuántos años vivió Diofánto?

Tramos de edad

Asignación de

variables

Cantidades

determinadas

Edad de Diofánto

x

84 años

La sexta parte de su vida 𝟏

𝟔𝐱

14 años

Una doceava parte

𝟏

𝟏𝟐𝐱

7 años

Solución:

En total son 36 palomas.

36 + 36 + ½(36) + ¼(36) + 1

= 36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100


10

Una séptima parte

𝟏

𝟕𝐱

12 años

Cinco años después de su

matrimonio

5 años

5 años

Mitad de la medida de la vida

de su padre

𝟏

𝟐𝐱

42 años

durante cuatro años más,

finalizo su vida

4 años

4 años

Condición: Que la suma de las partes o tramos de vida sea igual a

la edad que vivió Diofánto.

Ecuación: 𝟏

𝟔𝐱 +

𝟏

𝟏𝟐𝐱 +

𝟏

𝟕𝐱 + 5 +

𝟏

𝟐𝐱 + 4 = x


𝟏

𝟔𝐱 +

𝟏

𝟏𝟐𝐱 +

𝟏

𝟕𝐱 + 5 +

𝟏

𝟐𝐱 + 4 = x

𝟖𝟒 (𝟏

𝟔𝒙) + 𝟖𝟒(

𝟏

𝟏𝟐𝒙) + 𝟖𝟒(

𝟏

𝟕𝒙) + 𝟖𝟒(𝟓) + 𝟖𝟒(

𝟏

𝟐𝒙) + 𝟖𝟒(𝟒) = 𝟖𝟒(𝒙)

14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x

14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x

75x + 756 = 84x

75x – 84x = - 756

- 9x = - 756

- 9x = - 756

-9 -9

x = 84

Solución:

En total Diofánto vivió 84 años.

1/6(84) + 1/12(84) + 1/7(84) + 5 +

½(84) + 4 =

14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84 años


11

Ejemplo 10) Dos números están en la razón 7:9. Si cada número se aumenta 4

unidades, los dos nuevos números están en la razón 4:5. Hallar los números iniciales.

Números

Asignación de

variable

Aumentados

Razón entre

los números

Menor A

x

x + 4

𝟕

𝟗

Mayor B

𝟗

𝟕𝐱

𝟗

𝟕𝐱 + 𝟒

𝟒

𝟓

Condición: Que el cociente entre el número menor A y el número

mayor B después de aumentados 4 unidades sea igual a 4/5.

Ecuación: 𝐱 + 𝟒𝟗

𝟕𝐱+𝟒

=𝟒

𝟓


𝐱 + 𝟒

𝟗𝟕𝐱 + 𝟒

=𝟒

𝟓

5(x + 4) = 4(𝟗

𝟕𝐱 + 𝟒)

5x + 20 = 𝟑𝟔

𝟕𝐱 + 𝟏𝟔

7(5x + 20) = 36x + 7(16)

35x + 140 = 36x + 112

35x – 36x = 112 – 140


12

- x = - 28

x = 28

Solución:

Números Asignación de variable Aumentados Razón entre los

números

Menor A

x = 28

x + 4 = 32

𝟕

𝟗

Mayor B

𝟗

𝟕𝐱 =

𝟗

𝟕(𝟐𝟖)

= 36

𝟗

𝟕𝐱 + 𝟒

= 40

𝟒

𝟓

Ejemplo 11: En una granja hay 85 animales, entre los cuales hay chivos y gallinas, si

se cuentan las patas de los animales y no las cabezas, hay 270 patas. ¿Cuántos chivos y

cuantas gallinas hay en la granja?

Tabla 11.

Animales

Número de

patas

Cantidad

animales

Animales por

Patas =

T. P.

Chivos

4

x

4(x)

Gallinas

2

85 – x

2(85 – x)

Total

85

270

Condición:

Chivos por patas más Gallinas por patas = Total de patas


13

Ecuación: 4(x) + 2(85 – x) = 270

Resolviendo la ecuación: 4(x) + 2(85 – x) = 270

4(x) + 2(85 – x) = 270

4x + 170 – 2x = 270

2x + 170 = 270

2x = 270 – 170

2x = 100

2x = 100

2 2

x = 50

Ejemplo 12: Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de

20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta

ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número

igualaría al de los hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres,

mujeres y niños han ido de excursión.

1°) Hacemos: x representa el número de hombres, y representa el número de mujeres

y, z representa el número de niños.

2°) Juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños.

x + y + z = 20

3°) Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número

de niños. x + y = 3x o x + y – 3z = 0

4°) Si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. y +

1 = x ó x – y – 1 = 0

5°) Sistema que representa la situación:

Solución:

En total hay 50 chivos y

(85 – 50) = 35 gallinas.

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟐𝟎𝐱 + 𝐲 − 𝟑𝐳 = 𝟎𝐱 − 𝐲 − 𝟏 = 𝟎

Para determinar el número de Hombres, mujeres y niños, se

resuelve el Sistema por el método deseado.


14

Ejemplo 13: Las primera y segunda guerras mundiales fueron dos conflictos bélicos

ocurridos en el siglo XX; sabiendo que los números formados por los dos últimos dígitos

de los años en que ocurrieron dichas guerras suman 53 y el doble del primero más el

segundo es 67, determinar ambos números. Además diga en que año ocurrió cada guerra.

1°) Sea x el número formado por los dos últimos dígitos del año en que sucedió la

primera guerra mundial.

2°) Sea y el número formado por los dos últimos dígitos del años en que sucedió la

segunda guerra mundial.

3°) Sabiendo que los números formados por los dos últimos dígitos de los años en que

ocurrieron dichas guerras suman 53. x + y = 53

4°) El doble del primero más el segundo es 67. 2x + y = 67

5°) Sistema que representa la situación:

Este Sistema se resuelve por el método deseado

𝐱 + 𝐲 = 𝟓𝟕𝟐𝐱 + 𝐲 = 𝟔𝟕

RECORDAR:

Los Métodos para resolver un sistema de ecuaciones son:

Método de Reducción.

Método de Igualación.

Método de Sustitución.

Método de Kramer.


15

ACTIVIDADES.

Selecciona la letra que corresponde a la alternativa correcta o más

adecuada al planteamiento.


16

6) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá

sólo el doble. ¿Cuál es la ecuación que modela esta situación?

A) 4x – 8 = 2(x + 10)

B) 4x + 10 = 2(x + 16)

C) 4x + 6 = 3(x + 6) + 1

D) x + 10 = ¼ (x – 6) + 16

7) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da

55. ¿Cuál es la expresión que modela este planteo?

A) x5 + 6x = 55

B) 5x + x6 = 55

C) 5x – 6x = 55

D) 5x + 6x = 55

8) ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?

A) x – (p – 2) = 5

B) x + (p + 2) = 50

C) x – (p + 2) = 5

D) (p + 2) – x = 5


17

9) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál de

las siguientes expresiones representa esta situación?

A) 2(x + 12) = 3(x – 5)

B) 2x + 12 = 3x – 5

C) (x + 12)2 = (x – 5)3

D) 2x – 12 = 3x + 5

10) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuál la expresión que modela el

planteamiento?

A) x + (x + 1) + (x + 2) = 81

B) x + (x + 2) + (x + 4) = 81

C) (2x – 1) + (2x + 1) + (2x + 3) = 81

D) 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 81

11) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste

es 147. Hallar la expresión del planteo

A) 2x + 3(x + 1) + 2(x + 2) = 147

B) 2x + (3x + 1) + (2x + 1) = 147

C) 2(x + 1) + 3(x + 2) + 2(x + 3) = 147

D) 2x + 3(x + 1) + 2(x + 2) = 170

12) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Qué

expresión de las siguientes se adecúa más para resolver el problema?

A) 2(x + 1) – 2x = 103

B) (x + 1)2 – x2 = 103

C) (x + 2)2 – (x + 1)2 = 103

D) (x + 1)3 – x3 = 103


18

13) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da

55. ¿Cuál es el modelo matemático?

A) 5x = 6x – 55 C) 5x + 55 = 6x

B) 6x – 5x = 55 D) 5x + 6x = 55

14) En el triángulo ABC, los lados BCAB 3 y ACBC2

1 . Si su perímetro es 84 m. ¿Cuánto

mide cada lado? A) 3x + x + 2x = 84

B) 𝑥 +1

3𝑥 +

2

3𝑥 = 84

C) 3𝑥 + ½𝑥 +3

2𝑥 = 84

D) x + 3x + 3/2x = 84 15) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. ¿Cuál es la expresión mediante la cual se puede calcular la medida del lado del cuadrado? A) 4L = 8(2L) B) P = 4(2L) – 40 C) 4L + 40 = 4(2L) D) p + 40 = 4L + 80 16) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es 140 m. Determine la expresión algebraica mediante la cual podemos calcular el largo y en ancho. A) 2(5a - 3L) = 140

B) 𝑙 +3

5𝑙 = 140

C) 2L + 6L = 280

D) 2 (𝑙 +3

5𝑙) = 140

17) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado? A) 3(4L) = 4(L + 8)

B) 4(L – 8) = ¾(4(L - 8))

C) 4(3L) = 12(L + 8) D) 4(L – 8) = 3(4L)


19

18) Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. Determine la expresión mediante la cual podemos calcular cuántos años tiene cada uno actualmente.

A) ½ (x – 8) = x + 12

B) x + 12 = 2(x – 8)

C) ½ (x + 12) = x – 8

D) 2(x – 8) – 12 = x 19) Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de

la novia era 4

3 de la edad de la novia. ¿Qué expresión me permite determinar la edad

que tienen actualmente?

A) 52 – x = ¾ (x – 10)

B) 4/3(52 – x) = - 10 + x

C) x = ¾(62 – x)

D) 3(52 – x) = 4(62 – x) 20) La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones se puede determinar las edades tienen actualmente?

A) 𝑥 − 6

𝑥 −10=

2

3

B) 𝑥−10

𝑥−8=

2

3

C) 𝑥−10

𝑥−8=

3

4

D) 𝑥−10

𝑥−8=

4

3

21) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. ¿Qué ecuación podemos utilizar para calcular la edad de cada una? A) x + (3x – 5) = 23 B) x + 3x + (3x – 5) = 44 C) 3x + (3x – 5) = 23 D) 3x + (3x – 5) = 37


20

22) Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su hermano David. ¿Qué ecuación plantea el problema adecuadamente, si sus edades suman 48 años?

A) 𝑥 +1

3𝑥 +

1

4𝑥 = 48

B) x + 4x + 3x = 48 C) 12x + 3x + x = 48 D) 2(x + 10) = 4(x – 6) + 16 23) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá sólo el doble. Escoge la ecuación que se puede utilizar para hallar la edad actual del padre e hijo. A) 2(x + 10) = 4(x – 6) + 16 B) 4x + 16 = 2(x + 16) C) 2x – 16 = 4(x – 16) D) 4x + 6 = 2(x + 16) – 10 24) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre? Escoja la ecuación que modela esta situación. A) 7(52 – x) = 16 – x

B) 1

7(52 – 𝑥) = 16 – 𝑥

C) 7(16 – x) = 52 – x

D) 52 – 𝑥 =1

7(16 – 𝑥)

25) Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones me permite determinar cuánto dinero tiene cada uno?

A) 2𝑥 – 49 =2

3𝑥 + 35

B) 2x – 49 = x + 14

C) 𝑥 + 14 =2

3𝑥 + 35

D) 2(x + 14) = 2x – 49


21

26) Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16,990. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Qué ecuación modela este problema? A) 24x + 25(2x + 8) + 32(3x + 20) = 16,990 B) 24G + 25(L + 8) + 32(C + 20) = 16,990 C) 24G + 25(3G + 8) + 32(2G + 20) = 16,990 D) 24G + 25(2G – 8) + 32(3G – 20) = 16,990 27) Tres Aparta-Hoteles de Santo Domingo, A, B y C, tienen hospedados 200 turistas, el aparta hotel A tiene 32 turista más que el B y el B 6 más que el C, ¿qué ecuación nos permite hallar la cantidad de turistas hospedados en cada aparta hotel? A) x + (x + 32) + (x + 26) = 200 B) x + (x + 32) + (x + 6) = 200 C) x + (x – 32) + (x – 26) = 200 D) (x + 26) + (x – 6) + x = 200 28) Sofía dice, adivinen, de la ciudad de Santo Domingo salen todos los días hacia otra ciudad 4 guaguas grandes y 5 pequeñas. Cada guagua grande tiene 12 asientos más que cada pequeña, si el total de asientos es 336, ¿cuántos asientos tiene cada guagua grande? A) 5x + 4(x – 12) = 336 B) 5(x – 12) + 4x = 336 C) 5(x – 12) + 4x = 336 – 5(x – 12) D) x = 336 – 5(x – 12) 29) Luis Miguel dice ¡Oh! esta adivinanza ustedes le darán respuesta rápidamente, ya que

es muy vieja: van un grupo de palomas volando y un gavilán le dijo; adiós mis 100 palomas

y las palomas contestaron: nosotras no somos 100; nosotras, otras tantas como nosotras,

la mitad de nosotras, la cuarta parte de nosotras y con usted señor Gavilán, entonces si

somos 100, ¿Qué expresión de igualdad nos permite determinar cuántas palomas eran?

A) x + x + 2x + 4x + 1 = 100

B) x + 2x + 4x + 1 = 100

C) x + x + ½ x + ¼x + 1 = 100

D) x + x + 2x + 4x + x = 100


22

30) Con $3,264 puedo comprar dos mecedoras y cuatro sillas, también puedo optar por

una mecedora y cinco sillas del mismo precio, ¿Cuál es el precio de una unidad de cada

artículo?

A) 2𝑥 + 4 (3264 – 𝑥

5) = 3264

B) 2x + 5(3264 – x) = 3264 C) 2x + 4(3264 – x) = 3264

D) 2𝑥 + 5 (3264 – 𝑥

4) = 3264

31) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. A) x + (x – 18) + (x + 20) = 88 B) x + (x + 2) + (x + 20) = 88 C) x + (x – 18) + (x – 20) = 88 D) x + (x + 18) + (x – 2) = 88 32) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5,050. Calcula los precios

respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

A) x + 3x + (x – 25) = 5,050 C) (x – 25) + x + 3x = 5,050

B) x + (x + 25) + 3(x + 25) = 5,050 D) x + (x + 25) + 3x = 5,050

Interpretación de planteamiento de situaciones verbales o problemas por medio de

sistemas de ecuaciones en dos y tres variables.

1) Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre

hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el

triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número

igualaría al de los hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres,

mujeres y niños han ido de excursión.

A) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟐𝟎𝐱 + 𝐲 − 𝟑𝐳 = 𝟎𝐱 − 𝐲 − 𝟏 = 𝟎

} C) {

𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟑𝟎𝐱 + 𝐲 − 𝟑𝐳 = 𝟐𝟎𝐱 − 𝐲 − 𝟏 = 𝟏𝟎

}

B) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟐𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟏 = 𝟎

} D) {

𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟐𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟎𝐱 − 𝐲 + 𝟏 = 𝟎

}


23

2) Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación

de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto

menos que en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la

puntuación obtenida en cada una de las preguntas.

A) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟖𝐱 + 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟎𝐱 − 𝐲 + 𝟏 = 𝟎

} C) {

𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟖𝐱 + 𝐲 = 𝐳 − 𝟏𝐱 − 𝐲 = 𝐳 + 𝟐

}

B) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟖𝐲 − 𝐱 = 𝟐𝐲 − 𝐳 = −𝟏

} D) {

𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟐𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟎𝐱 − 𝐲 + 𝟏 = 𝟎

}

3) La suma de dos números es 54 y el mayor es 10 munidades más que el menor, ¿Cuál

es el sistema que representan adecuadamente esta situación?

A) 𝑥 + 𝑦 = 54𝑥 − 𝑦 = 10

C) 𝑥 − 𝑦 = 54𝑥 − 𝑦 = 10

B) 𝑥 + 𝑦 = 54𝑦 − 𝑥 = 10

D) 𝑥 + 𝑦 = 54𝑥 = 𝑦 − 10

4) Las primera y segunda guerras mundiales fueron dos conflictos bélicos ocurridos en el

siglo XX; sabiendo que los números formados por los dos últimos dígitos de los años en

que ocurrieron dichas guerras es 53 y el doble del primero más el segundo es 67,

determinar ambos números. Además diga en que año ocurrió cada guerra.

A) 𝑥 + 𝑦 = 532𝑥 = 𝑦 − 67

C) 𝑥 + 𝑦 = 532𝑥 + 𝑦 = 67

B) 𝑥 + 𝑦 = 542𝑥 + 𝑦 = 67

D) 𝑥 + 𝑦 = 67𝑥 + 2𝑦 = 53


24

5) La diferencia de dos números es 14 y 1/3 de su suma es 13. ¿Cuál es el sistema de

ecuaciones correspondiente a este planteamiento?

A) {𝑥 − 𝑦 = 24

𝑥 =1

3(𝑦 − 10)

} C) {𝑥 + 𝑦 = 14

1

3(𝑥 + 𝑦) = 13

}

B) {𝑥 − 𝑦 = 14

1

3(𝑥 + 𝑦) = 13

} D) {𝑥 + 𝑦 = 14

1

3(𝑥 − 𝑦) = 13

}

6) Seis libras de café y cinco libras de azúcar costaron RD$590, y cinco libras de café y

cuatro libras de azúcar costaron RD$488, ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones

plantea mejor la situación?

A) 𝑥 + 𝑦 = 590𝑥 + 𝑦 = 488

C) 6𝑥 + 5𝑦 = 4885𝑥 + 4𝑦 = 590

B) 𝑥 + 𝑦 = 54𝑥 = 𝑦 − 10

D) 6𝑥 + 5𝑦 = 5905𝑥 + 4𝑦 = 488

7) Si se cuentan los chivos y los conejos que hay en una granja entonces harían 65

animales, si se cuentan sus patas habrían 260 patas, ¿Cuál es el sistema de ecuaciones

que nos permite conocer el número de chivos y conejos que hay en la granja?

A) 𝑥 + 𝑦 = 65

4𝑥 + 4𝑦 = 260 C)

𝑥 + 𝑦 = 60

4(𝑥 + 𝑦) = 260

B) 𝑥 + 𝑦 = 2604𝑥 + 4𝑦 = 65

D) 𝑥 + 𝑦 = 65𝑥 = 65 − 𝑦


25

8) La suma del quíntuple de un ángulo y su complemento es igual a 178°. ¿Con qué

sistema de ecuaciones se representa esta situación?

A) 𝑥 + 𝑦 = 180°5𝑥 + 𝑦 = 178°

C) 𝑥 + 𝑦 = 270°5𝑥 + 𝑦 = 178°

B) 𝑥 + 𝑦 = 90°𝑥 + 5𝑦 = 178°

D) 𝑥 + 𝑦 = 90°5𝑥 + 𝑦 = 178°

9) El largo de un rectángulo es tres veces su ancho, si lo números que representan sus

dimensiones suman 72, además, el perímetro del rectángulo es 144. ¿Cuál es el sistema

de ecuaciones que plantea mejor la situación?

A) 𝑥 + 𝑦 = 144

2(𝑥 + 𝑦) = 72 C)

𝑥 + 𝑦 = 722𝑥 + 3𝑦 = 144

B) −3𝑥 + 𝑦 = 72

2(𝑥 + 𝑦) = 144 D) {

2(𝑥 + 𝑦) = 72

2 (1

3𝑥 + 𝑦) = 144

}

10) Un veterinario desea controlar la dieta de un animal de modo que, mensualmente,

el animal consuma 60 libras de avena, 75 libras de maíz y 55 libras de soya, además de

heno, pastura y agua. Tiene tres alimentos disponibles, cada uno con avena, maíz y soya,

como muestra la tabla siguiente. Escoja el sistema de ecuaciones que plantea la solución

del problema.

Tipos de Alimentos Avena Maíz Soya

1Lb de alimento A 1Lb de alimento B 1Lb de alimento C

6 onzas 6 onzas 4 onzas



A) {

𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟔𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟕𝟓𝐱 − 𝐲 + 𝟏 = 𝟓𝟓

} C) {

𝟔𝐱 + 𝟔𝐲 + 𝟒𝐳 = 𝟗𝟔𝟎𝟓𝐱 + 𝟔𝐲 + 𝟕𝐳 = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟓𝐱 + 𝟒𝐲 + 𝟓𝐳 = 𝟖𝟖𝟎

}

B) {

𝟔𝐱 + 𝟔𝐲 + 𝟒𝐳 = 𝟔𝟎𝟓𝐱 + 𝟔𝐲 + 𝟕𝐳 = 𝟕𝟓𝟓𝐱 + 𝟒𝐲 + 𝟓𝐳 = 𝟓𝟓

} D) {

𝟔𝐱 + 𝟔𝐲 + 𝟒𝐳 = 𝟔𝟎𝟎𝟓𝐱 + 𝟔𝐲 + 𝟕𝐳 = 𝟕𝟓𝟎𝟓𝐱 + 𝟒𝐲 + 𝟓𝐳 = 𝟓𝟓𝟎

}


26

11) Daniel tiene RD$ 5,750 en monedas de uno, cinco y diez. Si en total tiene 950

monedas. La cantidad de monedas de uno, más las de diez es igual a cinco más que el

doble de la cantidad de monedas de cinco. Escoja el sistema de ecuaciones que nos

ayuda a calcular el número de monedas de cada denominación.

A) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟔𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟕𝟓𝐱 + 𝐲 + 𝟓 = 𝟓𝟓

} C) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟗𝟓𝟎𝐱 + 𝐲 − 𝟐𝐳 = 𝟓

𝐱 + 𝟓𝐲 + 𝟏𝟎𝐳 = 𝟓, 𝟕𝟓𝟎}

B) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟓, 𝟕𝟓𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟕, 𝟓𝟎𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟓 = 𝟓, 𝟓𝟎𝟎

} D) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟗𝟓𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟓𝟎

𝐱 + 𝟓𝐲 + 𝟏𝟎𝐳 = 𝟓, 𝟕𝟓𝟎}

12) Si al triple de la edad de Miguel se le suma el doble de la edad de José da 42 años.

Pero, sabemos que seis veces la edad de Miguel más cinco veces la edad de José es

igual a 93 años. Escoge el sistema de ecuaciones que nos permite calcular las edades de

Miguel y José.

A) 𝑥 + 𝑦 = 176𝑥 + 5𝑦 = 93

C) 2𝑥 + 3𝑦 = 425𝑥 + 6𝑦 = 93

B) 3𝑥 + 2𝑦 = 426𝑥 + 5𝑦 = 93

D) 4𝑥 + 3𝑦 = 426𝑥 + 5𝑦 = 93

13) Encuentra dos números reales tales que su suma sea 17 y su diferencia 2.

A) 𝑥 + 𝑦 = 17𝑥 + 𝑦 = 2

C) 𝑥 + 𝑦 = 17𝑥 − 𝑦 = 2

B) 𝑥 + 𝑦 = 176𝑥 − 5𝑦 = 2

D) 𝑥 + 𝑦 = 17𝑥 − 2 = 𝑦


27

14) El largo de una piscina rectangular es 3 veces su ancho. Su perímetro es 32 m. ¿Cuál

de los sistemas representa la situación?

A) 𝑦 = 3𝑥

2(𝑥 + 𝑦) = 32 C)

𝑥 + 𝑦 = 17𝑥 + 𝑦 = 32

B) 𝑥 + 𝑦 = 16𝑥 + 𝑦 = 32

D) 𝑥 + 𝑦 = 16𝑥 − 𝑦 = −8

15) Divide el número 19 en dos partes tales que 2/3 de la menor sea igual a 3/5 de la

mayor. ¿Cuál de los sistemas representa la situación?

A) {𝑥 + 𝑦 = 19

𝑥 +10

9𝑦 = 32

} C) 𝑥 + 𝑦 = 19𝑥 − 𝑦 = 9

B) {𝑥 + 𝑦 = 192

3𝑥 −

3

5𝑦 = 0

} D) 𝑥 − 𝑦 = 16𝑥 + 𝑦 = 19

16) Un vendedor ambulante ofrece chocolates a $ 45 y $ 36. Si en un día obtuvo $ 3,105

por la venta de 84 chocolates. ¿Cuál de los sistemas representa la situación?

A) 𝑥 + 𝑦 = 84

45𝑥 + 36𝑦 = 3,105 C)

𝑥 + 𝑦 = 84𝑥 + 𝑦 = 3,105

B) 𝑥 + 𝑦 = 168

36𝑥 + 45𝑦 = 3,105 D)

𝑥 + 𝑦 = 19𝑥 − 𝑦 = 9


28

17) En una granja se cuentan los 84 animales que hay, entre chivos y gallinas, si se

cuentan sus patas el números correspondiente a estas es 244 patas. ¿Cuál de los

sistemas de ecuaciones dados a continuación representa la relación entre chivos y

gallinas?

A) 𝑥 + 𝑦 = 84

4𝑥 + 3𝑦 = 244 C)

𝑥 + 𝑦 = 844𝑥 − 2𝑦 = 244

B) 𝑥 + 𝑦 = 94

4𝑥 + 2𝑦 = 344 D)

𝑥 + 𝑦 = 844𝑥 + 2𝑦 = 244

18) Una ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y

naranjas a un precio de 100, 120 y 150 Ptas./kg., respectivamente. El importe total de la

compra fueron 1,160 ptas. El peso total de la misma 9 kg. Además, compró 1 kg. más de

naranjas que de manzanas. a) Plantear un sistema para determinar la cantidad

comprada de cada producto.

A) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟏𝟎𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟏𝟐𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟓 = 𝟏𝟓𝟎

} C) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟏𝟎𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟏𝟐𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟓 = 𝟏𝟓𝟎

}

B) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟔𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟕𝟓𝐱 + 𝐲 + 𝟓 = 𝟓𝟓

} D) {

𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟗𝐳 − 𝐲 = 𝟏

𝟏𝟎𝟎𝐱 + 𝟏𝟐𝟎𝐲 + 𝟏𝟓𝟎𝐳 = 𝟏, 𝟏𝟔𝟎}

19) Un hombre tiene en su bolsillo 39 monedas algunas son de 10 pesos otras de 5

pesos. Si en total tiene 280 pesos, ¿Qué sistema nos dice cuántas monedas tiene de 2

pesos y cuantas de 5 pesos?

A) 𝑥 + 𝑦 = 84

4𝑥 + 2𝑦 = 244 C)

𝑥 + 𝑦 = 3910𝑥 + 5𝑦 = 280

B) 𝑥 + 𝑦 = 39

4𝑥 + 2𝑦 = 280 D)

𝑥 + 𝑦 = 845𝑥 + 10𝑦 = 244


29

20) Un señor hace ejercicio diariamente cierto día corre 30 min. y nada 30 min.

recorriendo una distancia total de 8 km, al día siguiente corre 45 min. y nada 15 min. Para

un total de 10 km, suponiendo que su velocidad en cada deporte es la misma en ambos

días, ¿Con que sistema determinamos la velocidad a la que corre y con que velocidad

nada?

A) 30𝑥 + 30𝑦 = 845𝑥 + 15𝑦 = 10

C) 30𝑥 + 30𝑦 = 8,00045𝑥 + 15𝑦 = 10, 000

B)

1

2𝑥 +

1

2𝑦 = 8

3

4𝑥 +

1

4𝑦 = 10

D) 1,800𝑥 + 1,800𝑦 = 8,0002,700𝑥 + 900𝑦 = 10,000

Resolver los siguientes problemas aplicando ecuaciones lineales.

1) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la

mayor.

2) Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del

mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.

3) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso

y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?

4) La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el

menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.

5) Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda

por 27, la suma de los cocientes sea 12.

6) ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción y

simultáneamente restarse del numerador y del denominador de para que las fracciones

resultantes sean equivalentes?

7) Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en forma de ángulo recto.

Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los lados del ángulo

formado mide 12 cm.

8) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta:

“La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte estudia Física, la séptima


30

parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir

cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?

9) Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $ 119. ¿Cuánto

vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de papas?

10) La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25, niños.

La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. ¿Cuántos niños

asistieron a la función?

11) En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado

en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre

hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del

mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuántos

hombres y cuántas mujeres son”

12) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula los precios

respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

13) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió

a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas

ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más

para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y

para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el

canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?

14) Encuentra una fracción sabiendo que si se aumenta su numerador en 4 unidades y se

disminuye su denominador en 5, equivale a 1. Pero si se disminuye sólo el numerador en

7, será equivalente a 3.

15) Dos números están en la relación 3 es a 5. Si el segundo se aumenta en 3, mientras el

primero disminuye en 1, la relación es de 3 es a 4. Encuentra ambos números.

16) Las edades de Isabel y Manuel están en la relación 3 es a 4. En dos años más estarán

en la relación 4 es a 5. Determina las edades actuales.

17) La suma de dos números es 13, si el mayor se divide por el menor se obtiene por

cuociente 1 y por resto 2. Encuentra ambos números.

18) Un entomólogo tiene un muestrario de 39 bichos, entre insectos y arañas. ¿Cuántos

hay de cada especie si en total reúnen 274 patas?

19) Un tío le dice a su sobrino: “ yo tengo el triple de edad que tú tenías cuando yo tenía

la edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo ahora, la suma de las edades

será 70 años”. ¿Qué edad tiene cada uno ahora?


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20) La suma de las dos cifras de un número es 27 y el número que se obtiene al invertir

sus cifras le excede en 11 unidades. ¿Cuál es el número?

21) El perímetro de una sala rectangular es 14 m. Si el largo se disminuye en 4 m. y el

ancho se aumenta en 2 m., la sala se hace cuadrada. Hallar las dimensiones de la sala.

22) Si un número de dos cifras se disminuye en 13 y esta diferencia se divide por la suma

de sus cifras el cuociente es 6 y si el número disminuido en 21 se divide por la cifra de las

unidades es 1, el cuociente es 26. Hallar el número.

23) En un cine hay 1.300 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó $5 y cada niño

pagó $2 por su entrada. La recaudación es de $ 5.000. ¿Cuántos adultos hay en el cine?

Aplicaciones de las ecuaciones lineales a la resolución de problemas verbales

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