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BREVE INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y SUS APLICACIONES A LA ELECTRICIDAD1

ALEJANDRO DOMÍNGUEZ

COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN PROFESIONAL TÉCNICA (CONALEP), PLANTEL “EL SOL”

NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, MÉXICO

18 DE AGOSTO DE 1983

Recomendaciones y advertencias Los presentes apuntes corresponden a una unidad del programa de Matemáticas I (Álgebra), cuya

asignatura se imparte a los estudiantes de la carrera de Técnico Profesional en Electrónica Industrial.

Estos apuntes son un apoyo didáctico tanto para los profesores como para los estudiantes y no

pretenden ser un estudio especializado sobre números complejos y/o electricidad, ya que, como su

nombre lo indica, sólo son una breve introducción a dichos temas.

Se inicia con una breve reseña histórica, la cual sirve para introducir un nuevo concepto: números

imaginarios. Continua con la definición y propiedades algebraicas de los números complejos, los cuales, a

su vez, sirven para introducir la representación geométrica de los mismos. Por último, se describe la

aplicación de estos números al cálculo de impedancias equivalentes en una red eléctrica.

Introducción histórica Los números complejos aparecen por primera vez en la solución de ecuaciones de segundo y tercer

grado a fines del siglo XV y principios del XVI. En esos tiempos la solución de ecuaciones algebraicas era

uno de los problemas centrales del álgebra.

Pero no es sino hasta después de dos siglos que fueron aceptados como un recurso técnico. Ciertamente

que con las aportaciones de Argand, Gauss y Hamilton se descorre el velo de misterio que rodeaba a

estos números, pero sólo en el terreno formal; esto no significó, de ninguna manera, que los números

complejos fueran aceptados por completo entre los matemáticos, ni mucho menos que fueran

comprendidos del todo. Todavía en el siglo XIX muchos matemáticos seguían considerándolos como

“entes abominables”. Con este se quiere señalar que el concepto de número complejo fue difícil de

entender: es por ello que se tardó tanto tiempo en ser aceptados.

1 Este documento es una versión transcrita, mejorada y editada del original, el cual fue creado de forma manuscrita

debido a la nula accesibilidad del autor a las computadoras y a la no existencia de procesadores de texto apropiados que permitieran la edición de términos matemáticos.

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Los números imaginarios Existe una infinidad de formas de introducir los números imaginarios, los cuales están estrechamente

ligados con los números complejos, pero aquí se mencionará la que no causa tanta confusión

matemática: un número imaginario representa una idea matemática precisa, que se introdujo por la

fuerza en el álgebra de la misma manera que con los números negativos. De esta forma su

entendimiento y uso serán más claros si consideramos el desarrollo de sus progenitores: los números

negativos.

Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto nacieron éstas; o mejor dicho,

tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda ecuación de la forma:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0; 𝑎, 𝑏 > 0,

tiene una raíz negativa.

Los griegos, para quienes la geometría era un regocijo y el álgebra un mal necesario, descartaron a los

números negativos. Incapaces de adoptarlos a su geometría, imposibilitados para representarlos

gráficamente, los griegos no los consideraron de modo alguno. Pero el álgebra los necesitaba para

desarrollarse. Más sabios que los griegos, los chinos y los hindúes reconocieron a los números negativos

antes de la era cristiana.

Cardan, eminente matemático del siglo XVI, jugador y bribón de vez en cuando y a quien el álgebra debe

muchísimo, fue el primero que reconoció la verdadera importancia de las raíces (soluciones) negativas

en las ecuaciones. Pero su conciencia científica lo remordió hasta el punto tal que las llamó “ficticias”.

Rafael Bombelli, de Bologna, prosiguió la obra de Cardan donde éste la había dejado y llegó a hablar de

las raíces cuadradas de números negativos, pero no llegó, del todo, a comprender el concepto de

números imaginarios. En una obra publicada en 1572, Bombelli señaló que las cantidades imaginarias

eran indispensables para la solución de muchas ecuaciones algebraicas de la forma:

𝑥2 + 𝑎 = 0;𝑎 > 0,

y que no pueden ser resueltas sino con el auxilio de números imaginarios. Tratando de resolver una

ecuación tan sencilla como 𝑥2 + 1 = 0, se pueden distinguir dos alternativas: o la ecuación no tiene

sentido, o 𝑥 es la raíz cuadrada de −1, que también es absurdo. Pero los matemáticos se alimentan de

absurdos y Bombelli salió del paso aceptando la segunda alternativa, que generó la burla de muchos

maestros de la época.

Sin embargo, el gran Leibniz escribió:

“El espíritu divino encontró un escape sublime en ese prodigio del análisis, en ese

portento del mundo ideal, en ese anfibio entre el ser y el no ser, al cual llamamos la

raíz imaginaria de la unidad negativa”.

También Euler expresó que números como la raíz cuadrada de menos uno:

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“…no son ni nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o

imposibles”.

Euler estaba en lo cierto, pero omitió decir que los números imaginarios eran útiles e imprescindibles

para el desarrollo de las matemáticas y la tecnología. Así, se les asignó un lugar en el dominio de los

números con todos los derechos, privilegios e inmunidades pertenecientes a ellos.

Los números imaginarios surgieron de la extensión lógica de ciertos procesos. El proceso de extraer

raíces se denomina “evolución”. Es un nombre a propósito, porque los números imaginarios

evolucionaron, literalmente, por el proceso de extraer raíces. Si 4, 7, 11 tenían sentido, ¿por qué no

habrían de tenerlo −4, −7, −11? Si 𝑥2 − 1 = 0 tenía una solución, ¿por qué no habría de tenerla

𝑥2 + 1 = 0? El reconocimiento de los imaginarios era como el reconocimiento de la Rusia Soviética por

los Estados Unidos de Norteamérica la existencia era innegable, todo lo que se necesitaba era una

sanción formal y su aprobación.

El número imaginario más conocido es −1. Euler lo representó por el símbolo 𝑖 que aún se usa en la

literatura. Claramente, 𝑖 × 𝑖 = 𝑖2 = −1 2

= −1.

Las leyes formales de operación para 𝑖 son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de los Signos, se tiene:

𝑖 × +1 = 𝑖;

𝑖 × −1 = −𝑖;

−𝑖 × −1 = 𝑖;

𝑖 × 𝑖 = 𝑖2 = −1;

𝑖 × 𝑖 × 𝑖 = 𝑖2 × 𝑖 = −1 × 𝑖 = −𝑖;

𝑖 × 𝑖 × 𝑖 × 𝑖 = 𝑖2 × 𝑖2 = −1 × −1 = 1.

Con lo anterior se puede construir una tabla muy útil:

𝑖1 +𝑖 𝑖2 −1

𝑖3 −𝑖 𝑖4 +1

𝑖5 +𝑖 𝑖6 −1

𝑖7 −𝑖 𝑖8 +1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Esta tabla indica que las potencias impares de 𝑖 son iguales a +𝑖 o −𝑖 y que las potencias pares de 𝑖 son

iguales a −1 o +1.

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Los números complejos La extensión de los números imaginarios conduce a los números complejos, que son de la forma

𝑎 + 𝑏𝑖;𝑎, 𝑏 ∈ ℝ; siendo ℝ el conjunto de los números reales.

El conjunto de los números complejos está definido de una manera rigurosa como:

ℂ = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑖 = −1 .

De esta definición es fácil ver que el conjunto de los números reales está contenido dentro de los

números complejos; es decir ℝ ⊂ ℂ.

Con esta instrucción rigurosa de los números complejos es suficiente para explorar cómo funcionan; es

decir, explorar su aritmética.

Se iniciará con la pregunta siguiente ¿cuándo dos números complejos 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑐 + 𝑑𝑖 son iguales? Para

dar una respuesta adecuada a esta cuestión, notar que:

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⇒ 𝑎 − 𝑐 = 𝑑 − 𝑏 𝑖.

La única forma para que esta igualdad se cumpla es que:

𝑎 − 𝑐 = 0 y 𝑏 − 𝑑 = 0.

Ya que si no fuera así se tendría un número real es igual a un número imaginario, lo cual es imposible. De

esta forma, la igualdad entre números complejos se define como:

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⇔ 𝑎 = 𝑐, 𝑏 = 𝑑.

Para poder explicar con palabras este resultado, se introducirán dos conceptos útiles: el número

complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 se puede dividir en dos partes, la parte real de 𝑧, 𝑅𝑒 𝑧 = 𝑎, y la parte imaginaria

de z, 𝐼𝑚 𝑧 = 𝑏. En otras palabras, 𝑅𝑒 𝑧 es el número real que “no está acompañado de la 𝑖” e 𝐼𝑚 𝑧

es el número real que “está acompañado de la 𝑖”.

De acuerdo a estas definiciones, la respuesta a la pregunta de cuándo dos números complejos son

iguales es: dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes

imaginarias también son iguales.

Las definiciones de parte real y parte imaginaria de un número complejo son muy útiles para definir

otras operaciones entre estos números, tal como la suma (resta): la suma (resta) de dos números

complejos es igual a la suma (resta) de sus partes reales más 𝑖 veces la suma (resta) de sus partes

imaginarias. En símbolos:

𝑎 + 𝑏𝑖 ± 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 ± 𝑐 + 𝑐 ± 𝑑 𝑖 .

Por ejemplo, si 𝑧1 = 5 + 6𝑖 y 𝑧2 = 3 + 8𝑖, son dos números complejos, entonces:

𝑧1 + 𝑧2 = 5 + 6𝑖 + 3 + 81 = 5 + 3 + 6 + 8 𝑖 = 8 + 14𝑖.

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Si 𝑧1 = 2 − 3𝑖 y 𝑧2 = 1 − 4𝑖, entonces:

𝑧1 − 𝑧2 = 2 − 3𝑖 − 1 − 4𝑖 = 2 − 1 + −3 − −4 𝑖 = 1 + −3 + 4 𝑖 = −3 + 1 𝑖 = −3 + 𝑖.

La multiplicación de dos números complejos no se efectúa de la misma forma que la suma o la resta. La

multiplicación se efectúa de la misma forma en la cual se multiplican dos polinomios:

𝑧1𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 𝑐 + 𝑑𝑖 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2

= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖.

He aquí un ejemplo, si 𝑧1 = 1 + 8𝑖 y 𝑧2 = 3 + 2𝑖, entonces:

𝑧1𝑧2 = 1 + 8𝑖 3 + 2𝑖 = 1 3 + 2𝑖 + 8𝑖 3 + 2𝑖 = 3 + 2𝑖 + 24𝑖 + 16𝑖2 = −13 + 26𝑖.

Antes de indicar cómo se efectúa la división de dos números complejos, es conveniente definir una

operación que sólo es válida dentro de este conjunto de números. Esta operación se llama “complejo

conjugado”. Así, el complejo conjugado de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es el número complejo denotado como 𝑧 , es el

número complejo 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖. En otras palabras, el “efecto” de la barra del número complejo 𝑧 es

cambiarle el signo a la parte imaginaria de 𝑧. Por ejemplo:

𝑧 = 2 + 4𝑖 ⇒ 𝑧 = 2 − 4𝑖.

Con esta operación ya se puede definir la operación de división de dos números complejos. Para ello se

utilizará el hecho de que un número dividido entre sí mismo es igual a uno:

𝑧1

𝑧2=𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖=𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖× 1 =

𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖×𝑧2

𝑧2 =𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖×𝑐 − 𝑑𝑖

𝑐 − 𝑑𝑖= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 𝑖

𝑐2 + 𝑑2

=𝑎𝑐 − 𝑏𝑑

𝑐2 + 𝑑2+𝑏𝑐 − 𝑎𝑑

𝑐2 + 𝑑2𝑖.

Así, la división de dos números complejos es otro número complejo. Como ejemplo, si 𝑧1 = 3 + 2𝑖 y

𝑧2 = 5 − 6𝑖, entonces:

𝑧1

𝑧2=

3 + 2𝑖

5 − 6𝑖=

3 + 2𝑖

5 − 6𝑖× 1 =

3 + 2𝑖

5 − 6𝑖×𝑧2

𝑧2 =

3 + 2𝑖

5 − 6𝑖×

5 + 6𝑖

5 + 6𝑖= 15 − 12 + 10 + 18 𝑖

52 + −6 2

=3

25 + 36+

28

25 + 36𝑖 =

3

61+

28

61𝑖.

Representación geométrica Uno de los hechos determinantes no sólo para el desarrollo de los números complejos, sino también

para la aceptación y comprensión de los mismos, fue su representación geométrica. En las obras de

Gauss (1831) se encuentra la cita siguiente:

“En esta representación geométrica uno encuentra el significado intuitivo de los

números complejos completamente establecido y no se necesita más para admitir

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estas cantidades en el dominio de la aritmética […] La

interpretación geométrica para la verdadera metafísica es

los números imaginarios, bajo un nuevo enfoque”.

Sobre la base de que cada número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖 está

completamente determinado por dos números reales 𝑎, 𝑏, la

representación geométrica consiste en asociarle a cada número de

éstos el punto 𝑎, 𝑏 en el plano cartesiano:

De esta manera, a los puntos sobre el eje de las abscisas (eje 𝑥),

que se denominará “eje real”, corresponden a los números reales

ℝ, que son de la forma 𝑥 + 0𝑖; a los puntos sobre el eje de las

ordenadas (eje 𝑦𝑖), se de denominará “eje imaginario”,

corresponden a los números imaginarios ℑ, que son de la forma

0 + 𝑦𝑖. En particular, el punto 0,1 representa al número complejo

𝑖. Así, queda establecida una correspondencia biunívoca entre el

conjunto de los números complejos y el plano cartesiano.

De acuerdo con esta representación, el número complejo

𝑧 = 3 + 4𝑖 le corresponde el punto el plano cartesiano 3,4 .

Con esta representación de los números complejos, a la distancia

que existe del punto origen del plano cartesiano 0,0 = 0 + 0𝑖 al punto 𝑎, 𝑏 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑧 se le

denomina “magnitud de 𝑧” y se denota como 𝑧 . De acuerdo con el Teorema de Pitágoras esta

magnitud está definida por:

𝑧 = 𝑎2 + 𝑏22.

Por ejemplo, la magnitud de 𝑧 = 3 + 4𝑖 es 𝑧 = 32 + 422= 9 + 16

2= 25

2= 5.

Una propiedad importante de la magnitud de un número complejo es que igual a la raíz cuadrada del

producto del número complejo por su complejo conjugado. En efecto, si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces:

𝑧𝑧 2

= 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 + 𝑏𝑖 2

= 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 2

=

𝑎 𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 2

= 𝑎2 − 𝑎𝑏𝑖 + 𝑎𝑏𝑖 − 𝑏2𝑖22= 𝑎2 + 𝑏22

.

Esta forma de obtener la magnitud de un número complejo será de

gran utilidad en las aplicaciones se muestran más adelante.

Otro concepto que es de gran utilidad en las aplicaciones es el

denominado “argumento de un número complejo”, el cual está

definido como el ángulo que forma la línea que va del origen al

número complejo. De acuerdo con la trigonometría, si se denomina

a este ángulo como 𝜃, entonces se tiene que tan 𝜃 = 𝑏𝑎 ; de lo que

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resulta que el argumento de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, denotado como 𝑎𝑟𝑔 𝑧 , es igual a:

𝑎𝑟𝑔 𝑧 = 𝜃 = tan−1 𝑏

𝑎 .

Por ejemplo, el argumento de 𝑧 = 3 + 4𝑖 es:

𝑎𝑟𝑔 𝑧 = tan−1 4

3 = 0.93𝑟𝑎𝑑 = 53.13°.

Notar que de acuerdo a los conceptos de magnitud y argumento, una forma de pasar del punto

1,0 = 1 + 0𝑖 = 1 [con magnitud 1 y argumento 0°] al punto −1,0 = −1 + 0𝑖 = −1 [con magnitud 1

y argumento 180°], sin cruzar por el punto 0,0 = 0 + 0𝑖 = 0, es recorrer el camino de todos los

puntos (números complejos) cuya magnitud sea 1; es decir, recorrer un semicírculo. Esto a su vez, indica

que los números complejos se podrían interpretar como un “puente”, “paso a desnivel” o “túnel” para

llegar de un número real a otro número real sin pasar por los números reales intermedios.

Aplicación de los números complejos a la electricidad Una aplicación de los números complejos es el cálculo de

impedancias equivalentes en redes eléctricas a corriente

alterna. Antes, es necesario introducir algunos conceptos de

circuitos eléctricos.

La “impedancia” eléctrica es la oposición al flujo de la

corriente eléctrica de cualquier circuito. Por lo general, en los

textos, la magnitud de la impedancia 𝑍 se denota como 𝑍 y

se suele definir como:

𝑍 = 𝑍𝑅2 + 𝑍𝐿 − 𝑍𝐶

22

;

donde 𝑍𝑅 = 𝑅 es la impedancia resistiva o la resistencia del cuerpo a que fluya la corriente, 𝑍𝐶 = 𝑖 𝐶𝜔

(con 𝜔 la frecuencia angular de la corriente alterna) es la impedancia capacitiva siendo 𝐶 la capacidad

que tiene el cuerpo para almacenar carga, y 𝑍𝐿 = 𝐿𝜔𝑖 es la impedancia inductiva siendo 𝐿 la magnitud

de la oposición que tiene el cuerpo a cambios en la corriente.

Debido a la Ley de Ohm (𝑉 = 𝑅𝐼), el voltaje y la corriente en un resistor tienen la misma frecuencia

angular; es decir están en fase. Este no es el caso del voltaje y la corriente a través de un capacitor que

retrasa a la frecuencia angular de la corriente alterna en −90° o −𝜋

2𝑟𝑎𝑑. En la corriente a través de un

inductor, la frecuencia angular sufre una variación de +90° o +𝜋

2𝑟𝑎𝑑; es decir, se adelanta 90° o 𝜋

2𝑟𝑎𝑑.

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La representación geométrica de la invariancia, retraso y adelanto de la frecuencia de la corriente con

respecto a la frecuencia del voltaje es como se muestra en la figura adjunta. Lo anterior indica que la

impedancia se puede representar como el número complejo:

𝑍 = 𝑍𝑅 + 𝑍𝐿 − 𝑍𝐶 = 𝑅 + 𝐿𝜔 −1

𝐶𝜔 𝑖; con

𝑍 = 𝑅2 + 𝐿𝜔 −1

𝐶𝜔

22

y 𝑎𝑟𝑔 𝑍 = tan−1 𝐿𝜔−

1

𝐶𝜔

𝑅 .

Por otro lado, las impedancias también obedecen a las mismas

reglas que para el cálculo de sus componentes individuales 𝑅, 𝐶 y

𝐿 en circuitos RLC en serie y en paralelo. Es decir, para un conjunto

de elementos 𝑍1 ,𝑍2 ,𝑍3 ,⋯ ,𝑍𝑛 que están en serie y en paralelo,

respectivamente, la impedancia equivalente 𝑍𝑒𝑞 es:

𝑍𝑒𝑞 = 𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3 + ⋯+ 𝑍𝑛 ;

1

𝑍𝑒𝑞=

1

𝑍1+

1

𝑍2+

1

𝑍3+ ⋯+

1

𝑍𝑛.

Ejemplo 1. Por el circuito en serie mostrado en la figura adjunta circula

una corriente de 𝐼 = 2 sin 500𝑡 Amp. Obetner la magnitud de la

impedancia equivalente del circuito y el ángulo de desfasamiento entre

la corriente y el voltaje.

Solución. En este caso 𝜔 = 500. El número complejo que representa a

la impedancia equivalente es:

𝑍𝑒𝑞 = 10Ω + 20𝑚𝐻 × 500𝐻𝑧 𝑖 = 10Ω + 20 × 10−3𝐻 × 500𝐻𝑧 𝑖

= 10Ω + 10𝑖.Ω

De esta forma, la magnitud de la impedancia equivalente es:

𝑍𝑒𝑞 = 102 + 1022= 100 + 100

2= 200

2= 14.14Ω.

El ángulo de desfasamiento está dado por el argumento de la impedancia equivalente:

𝜃 = 𝑎𝑟𝑔 𝑍𝑒𝑞 = tan−1 10

10 = tan−1 1 =

𝜋

4𝑟𝑎𝑑.

Este resultado indica un adelanto en la corriente de 45° con respecto a la frecuencia de entrada.

Ejemplo 2. Del circuito en paralelo mostrado en la figura siguiente, obtener la impedancia total 𝑍 si

𝑅1 = 2 Ω,𝑅2 = 6Ω,𝑋𝐶 = 4Ω,𝑋𝐿 = 2Ω.

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Solución. En este caso:

𝑍1 = 𝑅1 − 𝑋𝐶𝑖 = 2 − 4𝑖;

𝑍2 = 𝑅2 − 𝑋𝐿𝑖 = 6 + 2𝑖.

Puesto que los circuitos están en paralelo, entonces:

1

𝑍=

1

𝑍1+

1

𝑍2

Esto implica que:

𝑍 =𝑍1𝑍2

𝑍1 + 𝑍2=

2 − 4𝑖 6 + 2𝑖

2 − 4𝑖 + 6 + 2𝑖 =

20 − 20𝑖

8 − 2𝑖=

10 − 10𝑖

4 − 𝑖×

4 + 𝑖

4 + 𝑖=

50 − 30𝑖

17= 2.9 − 1.8𝑖.

La magnitud y ángulo de desfasamiento de esta impedancia son:

𝑍 = 2.9 2 + 1.8 22= 8.41 + 3.24

2= 11.65

2= 3.41Ω;

𝜃 = 𝑎𝑟𝑔 𝑍 = tan−1 𝑍 = tan−1 −1.8

2.9 = tan−1 0.62 = 0.55𝑟𝑎𝑑.∎

Para finalizar, se enunciará la opinión que emitió alrededor de la cuarta década del siglo XX el eminente

científico John von Neumann acerca de los números complejos:

“Hace 150 años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada de la

que dependía el desarrollo de la industria, comercio y gobierno era el problema de

salvar vidas en el mar. Las estadísticas sobre esas pérdidas eran terribles. El dinero y

los esfuerzos empleados en resolver el problema eran también terríficos, los

matemáticos desarrollaban una herramienta que salvaría más vidas que las que

esperaba salvar el grupo de excéntricos inventores. Esa herramienta se llegó a

conocer como la teoría de Funciones de Variable Compleja. Entre las muchas

aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las más fructíferas es la

Teoría de la Comunicación por Radio.”

Bibliografía Aragón, Jorge (1978). Notas de clase: notas de números complejos. Comunicación Interna No. 12.

Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM, México

Kasner, Edward & James Newman (1972). Matemáticas e imaginación. CECSA, México.

Edminister, Joseph A (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios Scahum, McGraw-Hill, México.

Lorrain, Paul & Dale Corson (1979). Electromagnetism. W.H. Freeman and Company, USA.