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APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A LA ELECTRICIDAD1

ALEJANDRO DOMÍNGUEZ

COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN PROFESIONAL TÉCNICA (CONALEP), PLANTEL “EL SOL”

NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, MÉXICO

AGOSTO DE 1984

Introducción Los presentes apuntes surgieron como una necesidad del curso de Matemáticas I (Álgebra) que se

imparte a los alumnos de la carrera de Técnico en Electrónica Industrial en el Colegio Nacional de

Educación Profesional Técnica. Estos apuntes tiene la finalidad de hacer ver a los alumnos la importancia

de aprender matemáticas para resolver problemas básicos en electricidad en los cuales se presentan

sistemas lineales de ecuaciones con dos y tres incógnitas.

Los apuntes parten de la suposición de que el alumno conoce la Ley de Ohm: “la diferencia de potencial

en un conductor metálico (conductor óhmico) es igual a la resistencia interna de éste por la

corriente que fluye en él; es decir, ”.

Como comentario final, es importante hacer notar que estos apuntes no pretenden suplantar a algún

libro de texto, sino que son un apoyo didáctico para el curso antes mencionado, así como un apoyo para

el libro de texto utilizado en él.

Las leyes de Kirchhoff En electricidad existen una serie de problemas prácticos que involucran dos o más cantidades

desconocidas que están relacionadas entre sí por ecuaciones de primer grado (lineales). Un ejemplo

típico de este tipo de problemas, en los cuales se requiere determinar el valor de dos o más cantidades

desconocidas, son los que aparecen al querer encontrar el valor o los valores de las corrientes y/o

voltajes que circulan en una malla (circuito) eléctrica cerrada. Las ecuaciones que hay que resolver

provienen de aplicar al circuito eléctrico las Leyes de Kirchhoff:

Primera Ley de Kirchhoff. La suma de las fuerzas electromotrices en una malla cerrada es igual a

la suma de las caídas de potencial alrededor de la misma. En otras palabras: la suma de los

voltajes alrededor de cualquier circuito cerrado es igual a cero.

1 Este documento es una versión transcrita, mejorada y editada del original, el cual fue creado de forma manuscrita

debido a la nula accesibilidad del autor a las computadoras y a la no existencia de procesadores de texto apropiados que permitieran la edición de términos matemáticos.

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Segunda Ley de Kirchhoff. La suma de las corrientes que fluyen hacia un nodo es igual a la suma

de las corrientes que salen de él. En otras palabras: La suma de las corrientes que entran y salen

de un nodo es igual a cero.

Ejemplo 1. Sistemas de dos ecuaciones lineales Se conecta una batería en serie con una resistencia desconocida y un resistor de . Un amperímetro en

el circuito muestra la lectura . Se repite el experimento sustituyendo el resistor de por uno de

. En este caso el amperímetro muestra una lectura de . ¿Cuál es el voltaje de la fuente y la

resistencia desconocida? (ver Figura 1 y 2, respectivamente)

Para resolver este problema se aplicará la Primera Ley de Kirchhoff. Si se recorre el circuito en el sentido

de las manecillas del reloj, para el primer y segundo casos se tiene las siguientes ecuaciones

respectivamente:

(2.5) (2.5)(4) 0

(1) (1)(10) 0

E R

E R

Efectuando las operaciones, estas ecuaciones se convierten en:

2.5 10

10

E R

E R

Existen varias formas o métodos para resolver este par de ecuaciones

simultáneas. Los más conocidos son: sustitución, igualación y adición. En

cualquier caso, los valores del y no dependen del método elegido; es

decir, el método elegido debe conducir a la misma respuesta arrojada

por los otros dos casos restantes: lo único que difiere es el “camino” a

recorrer para encontrar la respuesta. Para mostrar esto, se mostrará de

forma simultánea los tres métodos.

Método de sustitución Método de igualación Método de adición

De la primera ecuación, despejar

Sustituyendo este despeje de en la segunda ecuación, se tiene:

( ) Esto implica que:

Finalmente:

Sustituyendo este valor de en el despeje de :

( ) Así:

Despejando de la primera y segunda ecuaciones el valor de , se tiene

Igualando ambos valores de :

Sustituyendo este valor en la primera ecuación, se obtiene:

( ) Así:

Restando la segunda ecuación de la primera ecuación, se tiene:

2.5 10

10

E R

E R

Así:

Sustituyendo este valor en la primera ecuación, se obtiene:

( ) Así:

Figura 1. Circuitos eléctricos para el primer y segundo casos.

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Fundamentos de sistemas de tres ecuaciones lineales Un sistema de tres ecuaciones lineales es de la forma:

.

ax by cz d

ex fy gz h

kx ly mz n

En este sistema de ecuaciones, las incógnitas son ; mientras que son

constantes conocidas. Por supuesto, el problema consiste en encontrar el valor de las incógnitas tal que

en el sistema el lado izquierdo de las igualdades sea igual al lado derecho.

El método más utilizado, pero no el único, consiste en reducir el sistema de tres ecuaciones a uno de dos

ecuaciones. Esto se logra si se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las tres ecuaciones y se

sustituye en las dos ecuaciones restantes, obteniendo así un sistema de dos ecuaciones, para las cuales

existe por lo menos tres métodos para resolverlas, como se mostró en el ejemplo anterior.

Ejemplo 2. Sistemas de tres ecuaciones lineales Para el circuito serie-paralelo de la Figura 2, se desea encontrar las corrientes cuando se dan los

siguientes valores para los voltajes y resistencias,

respectivamente,

.

Aplicando la primera ley de Kirchhoff para los circuitos

formado por y , así como la segunda ley

de Kirchhoff para las corrientes , se obtiene el

siguiente sistema de tres ecuaciones lineales:

1 36 4 14I I (1)

2 35 4 12I I (2)

1 2 3I I I (3)

Sustituyendo la ecuación (3) en las ecuaciones (1) y (2), se obtiene:

1 1 2

2 1 2

6 4 14

5 4 12.

I I I

I I I

Llevando a cabo las operaciones correspondientes:

Figura 2. Circuito eléctrico serie-paralelo.

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1 2

1 2

5 2 7

2 3 6.

I I

I I

Para resolver este sistema, se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 5 para obtener:

1 2

1 2

10 4 14

10 15 30.

I I

I I

Restando la primera ecuación de la segunda se obtiene la ecuación:

211 16.I

Despejando :

Sustituyendo este valor en la ecuación (2) se puede obtener el valor de :

3 3 3 3

16 80 132 80 135 4 12 4 12 4 .

11 11 11 11I I I I A

Sustituyendo los valores de en la ecuación (3), se puede encontrar el valor de :

1 1 1

16 13 13 16 3.

11 11 11 11 11I I I A

Problemas para clase

Problema 1 Una batería cuyo voltaje se desconoce está conectada en serie con una resistencia no conocida y un

resistor de . Un amperímetro en l circuito da una lectura de . Cuando se remplaza el resistor de

por otro de , el amperímetro da la lectura de . ¿Cuáles son el voltaje de la batería y de resistencia

desconocida?

Problema 2 Una batería está conectada a una resistencia de . Cuando a este circuito se agrega en serie una

batería de y una resistencia de , la corriente permanece igual. ¿Cuál es el voltaje y corriente

iniciales?

Problema 3 La resistencia total de un circuito que contiene dos resistencias en paralelo y cambia de a

cuando se duplica. Obtener los valores de y .

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Problema 4 La resistencia de m de alambre de cobre del número 14 a °C es de , mientras que °C es de

. Se sabe que la resistencia es función lineal de la temperatura y está dada por ,

donde es la resistencia °C y es una constante. Obtener los valores de y .

Problema 5 Resolver el Ejemplo 2 con los datos siguientes: .

Problema 6 Resolver el Ejemplo 2 con los datos siguientes: .

Problema 7 Encontrar el valor de las corrientes en los resistores del circuito que se muestra en Figura 3.

Figura 3, Circuito para el Problema 7.

Problema 8 Encontrar el valor de las corrientes en los resistores del circuito que se muestra en Figura 4.

Figura 4. Circuito para el Problema 8.

Bibliografía Beiser, Arthur (1982). Matemáticas básicas para electricidad y electrónica. McGraw-Hill (Serie Schaum).

Domínguez Torres, José Alejandro (1983). Breve introducción a los números complejos y sus aplicaciones

a la electricidad. CONALEP Plantel El Sol. www.slideshare.net/Alexdfar/aplicaciones-de-los-

nmeros-complejos

Kramer, Arthur D (1983). Fundamentos de matemáticas: un enfoque para técnicos. McGraw-Hill.