25/11/2014

Aplicaciones del CÁLCULO en la INGENIERÍA agroindustrial

Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo

Instituto de Ciencias Agropecuarias

Cálculo Integral

M. T. E. Delia Erika Islas Pérez

Rosales Lira Clara Estela

INTRODUCCIÓN

En el presente ensayo hablare sobre las aplicaciones que tiene el cálculo en mi

carrera ingeniería agroindustrial, con información recabada de algunas entrevistas

hechas a ingenieros agroindustriales o a ingenieros que imparten materias de

agroindustrial, que tan importante es el cálculo en las actividades que realizan y

específicamente en donde lo aplican. Sustentando cada actividad con lo aprendido

del curso y en algunos libros.

Con la finalidad de comprender como el conocimiento adquirido en cálculo se aplica

en las actividades que ya realizamos y en las que más adelante realizaremos siendo

profesionistas.

APLICACIONES DEL CÁLCULO EN MI CARRERA

La primera entrevista que realice fue a la doctora Rosa Hayde Alfaro Rodríguez

quien es ingeniera agroindustrial egresada del Instituto de Ciencias Agropecuarias

actualmente es profesor investigador de dicho instituto, donde su principal función es

el desarrollo y generación de conocimientos en diferentes áreas de la ingeniería. La

Dra. Hayde eligió esta carrera por el agrado de la parte agrónoma, los procesos

industriales y los productos que se elaboran, menciono que las ventajas son muy

amplias ya que se puede ingresar en varias industrias tanto alimentarias como no

alimentarias y la única desventaja que existe dentro de la carrea son barreras que

nosotros mismos nos ponemos al no creernos capaces de poder hacer cualquier

cosa.

La Dra. Hayde considera al cálculo importante en cualquier proceso y lo aplica en

conteos bacterianos, en el control de temperaturas en procesos de cocción y en

procesos y reacciones de temperaturas respecto al tiempo.

La función exponencial se presenta muy a menudo en los modelos matemáticos de

la naturaleza y la sociedad. A continuación se indica brevemente cómo funciona en el

crecimiento de la población. Considerando una población de bacterias en un medio

nutriente homogéneo. Suponiendo que al muestrear la población a ciertos intervalos

se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el

tiempo t es p(t), donde t se mide en horas, y la población inicial es p(0) = 1000,

entonces se tiene: p(1)=2p(0)=2x1000, p(2)=2p(1)=22 x1000 y p(3)=2p(2)=23 x1000,a

partir de este patrón en términos generales tenemos que p (t )=2t x1000=(1000 ) x2t. La

función general para crecimiento de bacterias es f ( t )=2t n0 .Esta función de población

es un múltiplo constante de la función exponencial y=2t de tal modo que se observa

un crecimiento rápido el cual se pude tabular y graficar (figura1) para observar con

mayor precisión el comportamiento de las bacterias. En condiciones ideales (espacio

ilimitado así como nutrición y libertad de enfermedades) este crecimiento exponencial

es típico de lo que ocurre en realidad en la naturaleza. (Stewart, 2008)

También por medio de la derivada ddx

(ax ) lna podemos saber el crecimiento de

bacterias en un tiempo t determinado a partir de la función exponencial de

crecimiento poblacional . (Leithold, 1998)

Para el control de temperaturas en procesos de cocción y en cualquier otro proceso

que se involucre la temperatura con respecto al tiempo, el cálculo se aplica por

medio de las funciones ya que una función f es una regla que asigna a cada

elemento x de un conjunto D le pertenece exactamente un elemento, llamado f (x),

de un conjunto E. El conjunto D se llama dominio de la función, variable

independiente. El número f (x) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es

el conjunto de todos los valores posibles de f(x), conforme x varía en todo el dominio,

variable dependiente. (Purcell, 2007)

Sabiendo lo anterior se puede formula la función dependiendo nuestras necesidades,

a lo que queremos llegar o saber por ejemplo si evaluamos la temperatura con

respecto al tiempo tendríamos que saber primero la temperatura inicial en un tiempo

cero y de ahí partir, tomando la función deseada tabulamos en diversos tiempos para

saber la temperatura en x tiempo. Otra manera es tomar la temperatura de lo que se

esté evaluando cada determinado tiempo y a partir de lo sucedido se saca la función,

la cual se puede representar gráficamente (Figura 2) para observar el

comportamiento en dicho tiempo, facilitando la ubicación de x temperatura en x

tiempo.

Figura 1

La siguiente entrevistada fue la doctora Margarita Islas Pelcastre quien estudió la

licenciatura en química dentro de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo,

actualmente es profesor investigador del Instituto de Ciencias Agropecuarias donde

sus principales funciones son la docencia (agronomía, agroindustrial, alimentos y

forestal), la investigación y la extensión, enfocado a la difusión y vinculación de

conocimientos y cultura. La doctora menciono que la carrera de agroindustrial es la

que más le agrada porque es muy práctica, pertinente y resuelve una necesidad

primaria, ve como principal ventaja el autoempleo y como desventaja la falta de

oportunidades, en cuestiones de política nacional.

Para la Dra. Margarita el cálculo es importante porque se utiliza para observar el

comportamiento de los microorganismos (reacción enzimática). Para efectos de la

temperatura en función del tiempo, así como en la realización de diseños; otra

aplicación sería la de razón de cambio en el comportamiento de fenómenos físico

aplicados en materias como la termodinámica y para resolver problemas de

ingeniería.

Las reacciones enzimáticas se evalúan con la ecuación de Michaelis-Menten V0

frente a [S]0. Donde V= velocidad de reacción y [S]=concentración del sustrato.

(Figura 3)

Figura 2

La Vmax corresponde al valor máximo al que tiende la curva experimental, y la KM

corresponde a la concentración de sustrato a la cual la velocidad de la reacción es la

mitad de la Vmax. Para determinar gráficamente los valores de KM y Vmax es más

sencillo utilizar la representación doble recíproca (1/v0 frente a 1/ [S]0), ya que es

una línea recta. Esta representación doble recíproca recibe el nombre de

representación de Lineweaver-Burk. Donde La pendiente es KM/Vmax, la abscisa en

el origen (1/v0 = 0) es -1/KM y la ordenada en el origen (1/ [S]0 = 0) es 1/Vmax.

(Figura 4)

Se puede observar que la representación doble reciproca o representación de

Lineweaver-Burk es una línea recta que crece de manera proporcional tratándose de

una función f ya que es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D le

pertenece exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E. En este caso

f(x) es la velocidad de reacción y x la concentración del sustrato. (Purcell, 2007)

De esta forma, a partir de los datos experimentales se puede calcular gráficamente,

los valores de KM y Vmax de un enzima para diversos sustratos. La obtención de

Km y Vmax de una enzima, es importante no sólo porque son parámetros que la

identifican, sino también por motivos que, en ocasiones, pueden ser de vital

importancia.

Figura 3

Figura 4

Coincide con la Dra. Hayde en que el cálculo se aplica como función en problemas

de temperatura y tiempo.

La Dra. Margarita menciono que una aplicación distinta del cálculo en la ingeniería

agroindustrial es el diseño principalmente de embaces y maquinaria. En el diseño de

máquinas resulta útil concebir una función, si x está en el dominio de la función f,

entonces cuando x entra en la máquina, se acepta como una entrada y la máquina

produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función. De este modo, se

puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el rango

como el conjunto de todas las salidas posibles (Figura 5). (Stewart, 2008)

La ultima aplicación del cálculo en la ingeniería agroindustrial que dio la Dra.

Margarita es como razón de cambio en el comportamiento de fenómenos físicos

aplicado en materias como la termodinámica en realidad, los límites de la forma

limh→0

f (a+h )−f (a)h

surgen cuando se calcula una razón de cambio en cualquier ciencia

o ingeniería siendo esta la derivada de una función f ´ ( x )=limh→0

f (a+h )−f (a)h

.

Suponiendo que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y

es una función de x y; y = f (x). Si x cambia de x1 a x2, por lo tanto el

cambio en x (incremento de x) es ∆ x=x2−x1 y el cambio correspondiente

en y es ∆ y=f (x2 )−f (x1). El cociente de diferencias Δ yΔ x

=f (x2 )−f (x1)x2−x1

se llama

razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo x1, x2 y se

puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ (Figura 6). La

velocidad, considera la relación de cambio promedio en intervalos cada

vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por lo tanto, al hacer

que ∆x tienda a 0. El límite de estas relaciones de cambio promedio se

Figura 5

llama razón (instantánea) de cambio de y con respecto a x en x = x1, lo

cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva y=f (x ) en

P(x1 , f (x1)). (Purcell, 2007)

La última entrevista fue a la doctora Norma Güemes Vera quien estudio

ingeniería agroindustrial en el Instituto de Ciencias Agropecuarias,

actualmente es profesor investigador de dicho instituto. Menciono que el

cálculo le sirve para medir la capacidad de fuerza que deben tener las

bandas que permiten mover el producto a través de los diferentes toneles

de fermentación, así como para interpretar y correlacionar los datos de

textura con los datos de sonido que tienen los alimentos al ser masticados.

Existe una conexión entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. El

teorema fundamental del cálculo relaciona la integral con la derivada.

Galileo descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae

libremente es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo.

(En este modelo de caída libre no se considera la resistencia del aire.) Si la

distancia recorrida después de t segundos se denota mediante s (t) y se

mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa con la ecuación

s (t )=4.9 t 2. La dificultad para hallar la velocidad después de x s es que trata

con un solo instante (t=x), de modo que no interviene un intervalo. Sin

embargo puede tener una aproximación de la cantidad deseada calculando

la velocidad promedio durante el breve intervalo de una décima de

Figura 6

segundo, desde t=x hasta t=x.1 Velocidad promedio=cambioen la posiciontiempo transcurrido

¿s ( x .1 )−s(x )

.1 De esta manera se van sacando velocidades promedio durante

periodos sucesivamente más pequeños paraqué conforme acorta el

periodo, la velocidad promedio se aproxime a x cifra, de esta manera

podemos ir determinando la velocidad en lapsos de tiempo o en un tiempo

específico. (Leithold, 1998) Estos cálculos son los mismos que se utilizan

para hallar tangentes.

La Dra. Norma aplica el cálculo por medio se software especializados que

permiten realizar análisis bajo parámetros que se requieran.

Un ejemplo que menciono es en la teoría factorial, la cual se utiliza para el

análisis de la rugosidad de un alimento, en este se aplica calculo

diferencial e integral.

Para evaluar la textura de un alimento se requieren diversas medidas, las

medidas fundamentales son las que valoran propiedades tales como

esfuerzo de ruptura, relación de Poisson, módulo de Young, módulo de

cizalla y otros. Medidas empíricas cubren una serie de ensayos empíricos

tales como penetración, cizalla, extrusión y otros. Medidas imitativas son

las logradas con instrumentos que imitan la acción de la boca al masticar.

El perfil de textura está basado en el ensayo fuerza vs tiempo, es decir

tenemos una función f(x) en la que a cada elemento x de un conjunto D le

pertenece exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E. A

partir de esta función se logran curvas que evalúan la textura de

alimentos, estas son arrojadas por medio de maquina Instron (Figura 7) o

un texturómetro (Figura 8).

Del análisis de las curvas de las figuras se logran siete parámetros

texturales, de los cuales cinco se obtienen de medidas y dos se logran por

medio de cálculo.

Fracturabilidad: es la fuerza en el primer quiebre significativo de la curva.

Dureza: es definida como la fuerza pico logrado durante el primer ciclo de

compresión.

Cohesividad: es definido como la razón del área positiva lograda durante

la segunda compresión y del área positiva de la primera compresión (A2

/A1).

Figura 7

Figura 8

Pegajosidad: es definida como el área negativa lograda durante la primera

compresión y representa el trabajo necesario para sacar el pistón de la

muestra.

Elasticidad: es definida como la altura que recupera el alimento durante el

tiempo que transcurre entre la primera y la segunda compresión.

Gomosidad: es definida como el producto de dureza por cohesividad.

Chiclosidad: es definida como el producto de gomosidad por elasticidad

(que es igual a dureza por cohesividad y por elasticidad). (Chile, 2009)

Cabe mencionar que para cada tipo de alimento son diversos los

parámetros ideales de textura, los software ya contienen dicha información

e incluso califican el alimento evaluado.

CONCLUSIÓN

Al realizar las entrevistas y saber las actividades que realizan

profesionistas con la carrera que estoy estudiando me doy cuenta que

existe una gama infinita de dichas actividades y al analizar algunas me

pude percatar que en ellas se aplica el cálculo, considero que en la gran

mayoría de actividades que realiza un ingeniero se debe involucrar el

cálculo muchas veces ya está incluido en formulas, reacciones e inclusive

en manejo, activación, diseño y resultados de una máquina.

Gracias a lo visto en el curso de cálculo integral fue fácil percatarme de

que en la mayoría de actividades se relacionan dos o más variables

tratándose de funciones las cuales se puede graficar para tener una mejor

interpretación así como saber datos específicos como tiempos,

temperaturas, distancias, velocidades, etc. Dando pie a razones de

cambio, al investigar estos temas me di cuenta que al aplicar matemáticas

más avanzadas se va sintetizando el uso del cálculo como lo hemos visto

pero considero importante saber de donde parten algunos principios.

Me pareció interesante el desmenuzar actividades sencillas y complejas,

poder comprender como se va involucrando y transformando el cálculo

para que estas actividades se completen.

BIBLIOGRAFÍAChile, B. D. (2009). Perfil de textura. Sistema de servicios de informacion y

bibliotecas, 3.

Leithold, L. (1998). El Cálculo. México D.F.: Oxford University Press.

Purcell, E. J. (2007). Cálculo. México: Pearson Educación.

Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. México D.F.: Cengage Learning Editores.

INFORMACIÓN DE ENTREVISTADOS

Dra. Rosa Hayde Alfaro Rodríguez

Doctorado: Doctorado en Ciencias en Alimentos. Unidad de Investigación y

Desarrollo de Alimentos, del Instituto Tecnológico de Veracruz,

Maestría: Maestro en Ciencias en Producción Animal con Área Mayor en

Ciencias de la Carne. Facultad de Zootecnia de la Universidad Autónoma

del Estado de Chihuahua.

Especialidad: Control de Calidad y Productividad. Universidad Autónoma de

Hidalgo

Licenciatura: Ingeniero Agroindustrial. Universidad Autónoma de Hidalgo

Dra. Margarita Islas Pelcastre

Doctorado:

Maestria: Ciencias de los alimentos. Universidad Autónoma del Estado de

Hidalgo

Licenciatura: Licenciada en química. Universidad Autónoma del Estado de

Hidalgo

Dra. Norma Güemes Vera

Doctorado: Doctor en Ciencias de los Alimentos en la ENCB-IPN. Fecha de

Titulación 16 de noviembre 2004.

Maestría: Maestría en Ciencias con Especialidad en Alimentos.

Departamento de Graduados e Investigación en Alimentos. Escuela

Nacional de Ciencias Biológicas. Periodo 1995-1998. Fecha de Titulación 13

de oct. 1998.

Educación superior: Ingeniería Agroindustrial. Instituto de Ciencias

Agropecuarias. Universidad Autónoma de Hidalgo. Rancho Universitario,

Tulancingo Hgo. Periodo. 1990-1994. Fecha de Titulación 4 de Diciembre

de 1994.