Aplicaciones físicas de las integrales doblesConsideremos una lámina delgada L, que ocupa la región R del plano y cuyo espesor es despreciable. En dicha región de distribuye de manera continua una

masa con densidad superficial .

Masa de la lámina

Momentos estáticos respecto de los ejes

El momento estático respectivamente de un punto material de

una masa m, respecto al eje x y respectivamente al eje y, es el producto de la masa por su distancia al eje x y respectivamente al eje y. Luego los momentos estáticos de la lámina L estarán dados por:

Centro de masa o centro de gravedadSe define como el punto en que se habría de colocar el punto de apoyo para que el sistema alcanzase el equilibrio. Viene dado por

Centro geométrico

Las coordenadas del centroide de una región plana R de área

satisfacen las relaciones: o

también

Momentos de inercia de LEl momento de inercia de un punto material P de masa m, respecto a una recta

r, o un punto es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de P

a la recta o al punto.

Y el momento de inercia de un conjunto de puntos materiales respecto a ,

es la suma de los momentos de inercia de los diversos puntos del conjunto. Por tanto, los momentos de inercia vendrán dados por:

Respecto al eje x

Respecto al eje y

Respecto al origen (denominado también momento de inercia polar)

Respecto a un punto

2.2 INTEGRALES TRIPLES

Si es una función uniforme y continua definida sobre una región R

cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla, entonces la integral de f sobre R puede definirse de la siguiente manera.

Subdividimos una región rectangular que contenga a R en celdas rectangulares por planos paralelos a los planos coordenados. Las celdas que se encuentran dentro de R de 1 a n en cierto orden; una celda típica tendrán entonces

dimensiones por por y volumen . Escogemos un punto

en cada celda y formamos la suma:

Si f es continua y la superficie que limita a R está hecha de superficies suaves

unidas a lo largo de curvas continúas, entonces cuando , , tienden

a cero independientemente, las sumas Sn tenderán a un límite

Esta integral representa la medida del volumen de la región R, y no es más que una generalización del concepto de integral simple y doble.

Llamamos a este límite Integral Triple de f sobre R. El límite también existe para algunas funciones discontinuas.Entonces la integral triple viene definida por:

Propiedades de las integrales triplesComo en el caso de las integrales dobles, las triples cumplen también las propiedades de linealidad, aditividad respecto a la región de integración, leyes

de monotonía y el teorema de la media, cuyos enunciados son análogos a los correspondientes para las integrales dobles.

Cálculo de integrales triples en coordenadas cartesianas o rectangularesEn general, no se calcula una integral triple a partir de su definición como límite dirigido de unas sumas de Riemann. Aunque sí se utiliza la definición cuando es necesario recurrir a hallar valores aproximados, utilizando métodos numéricos.

Para calcular valores exactos, se aplica la versión tridimensional del teorema de Fubini visto para las integrales dobles que permitía resolverlas mediante reiteración de integrales simples. En el caso de integrales triples, se necesitarán tres integrales simples reiteradas.

Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R, pudiendo variarse el orden de integración seis (6) formas distintas.

Cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricasSon un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas cilíndricas:

Relación entre las coordenadas cartesianas y cilíndricas:

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (figura1)

donde:

: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la

longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY

: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la

proyección del radiovector sobre el plano XY.

: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el

punto P al plano XY. Los rangos de variación de las tres coordenadas son:

La coordenada acimutal se hace variar en ocasiones desde .

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de llega a

alcanzarse el valor cero, a partir de ahí, vuelve a aumentar, pero aumenta o

disminuye en π radianes.

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es:

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son evaluadas como integrales iteradas.

Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R.

Cálculo de triples en coordenadas esféricas.Las coordenadas polares esféricas son una generalización de las coordenadas polares en tres dimensiones.El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes (figura 3):

: es la distancia de P al origen

: es el ángulo que forma con el eje z positivo

: es el ángulo de las coordenadas cilíndricas

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su

margen es de , siendo el cero el plano XY.

También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en

sentido reloj o contrarreloj, y de o de

.

Las integrales triples en coordenadas esféricas son evaluadas como integrales iteradas.

Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R.Aplicaciones de la Integral triple

Masa de un sólido

Si es una función densidad continua de un sólido que corresponde a una

región sólida Q, la masa m del sólido viene dada por:

Momentos de primer orden Primer momento del sólido respecto al plano yz

Primer momento del sólido respecto al plano xz

Primer momento del sólido respecto al plano xy

Centro de masaSi la masa del sólido es m, las coordenadas del centro de masa de la región sólida Q son:

Momentos de inercia de una región sólida Momento de inercia con respecto al eje x

Momento de inercia con respecto al eje y

Momentos de inercia con respecto al eje z

Momentos de inercia con respecto al origen

Valores promedios