Apontamentos_MCEM

8/16/2019 Apontamentos_MCEM

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MÉTODOS COMPUTACIONAISEM

ENGENHARIA MECÂNICA

João Burguete Cardoso

Pedro Gonçalves Coelho

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA

DEPARTAMENTO DE ENG. MECÂNICA E INDUSTRIAL

FCT/UNL

2011/2012


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Apontamentos da disciplina MCEM

J. Cardoso/P. Coelho iii

ÍNDICE

1. CÁLCULO TENSORIAL............................................................................................ 1

2. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS............................... 112.1. O método dos elementos finitos .......................................................................... 122.2. Um pouco de história........................................................................................... 132.3. Princípios variacionais......................................................................................... 132.4. Princípio da energia potencial total estacionária ................................................. 142.5. Método de Rayleight-Ritz ................................................................................... 16

3. ELEMENTOS FINITOS EM VIGAS........................................................................ 193.1. Exemplo – Estrutura constituída por uma viga e uma barra ............................... 40

4. ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONAIS .......................................................... 474.1. Problemas de transmissão de calor...................................................................... 474.2. Resolução de outros problemas com a equação de Poisson ................................ 574.3. Exemplo – Transmissão de calor em regime estacionário .................................. 594.4. Exemplo – Torção de um veio de secção rectangular ......................................... 594.5. Problemas de elasticidade plana .......................................................................... 68

5. OPTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL.............................................................................. 875.1. Introdução............................................................................................................ 875.2. Um pouco de história........................................................................................... 895.3. Optimização de dimensões .................................................................................. 915.4. Optimização de forma ......................................................................................... 925.5. Optimização de topologia .................................................................................... 935.6. Formulação do problema de projecto óptimo...................................................... 975.7. Resolução gráfica de problemas de optimização................................................. 995.8. Conceitos fundamentais de projecto óptimo ..................................................... 103


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Apontamentos da disciplina MCEM

J. Cardoso/P. Coelho iv

5.9. Problemas de projecto óptimo não constrangido............................................... 1075.10. Problemas de projecto óptimo constrangido ................................................... 1095.11. Optimalidade global ........................................................................................ 1145.12. Condições de 2ª ordem para optimização constrangida .................................. 1175.13. Análise pós-óptimo.......................................................................................... 1195.14. Métodos de optimização baseados no gradiente.............................................. 1215.15. Métodos de optimização não baseados no gradiente....................................... 132

BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................... 153ANEXO 1 - Introdução ao MATLAB.......................................................................... 155


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Cálculo tensorial MCEM

J. Cardoso/P. Coelho 1

1. CÁLCULO TENSORIAL

As principais quantidades físicas usadas em mecânica dos meios contínuos e asequações que as relacionam podem ser apropriadamente descritas através detensores e

de cálculo tensorial. Tensores são entidades matemáticas abstractas criadas emálgebra para generalizar os conceitos devector e matriz.

Pela importância que ocálculo tensorial tem em toda a mecânica dos meios contínuosapresenta-se uma breve revisão das principais definições e operações sobrevectores,matrizes e outrostensores. Este capítulo segue principalmente a excelente obra de Mase(1992), que se sugere como consulta a quem queira aprofundar os conceitosapresentados.

Representação de tensores

a) Simbólica:v, Ab) Indicial:vi, Aij

c) Matricial: [v1 v2 v3],

333231

232221

131211

A A A

A A A

A A A

A ordem de um tensor é indicada pelo número de índices livres (representados por letrasque aparecem apenas uma vez num dado termo):

a) Ordem 0: escalar,α (exemplo: temperatura, velocidade)b) Ordem 1: vector,v , vi (exemplo: força, velocidade)c) Ordem 2: matriz,A , aij (exemplo: tensor das tensões, tensor das deformações)

No espaço tridimensional, os índices livres tomam sucessivamente valores: 1, 2 e 3. Seo número N é o número de índices livres num tensor, esse tensor tem 3 N componentesno espaço tridimensional.

Um tensor designa-secartesiano quando é referido a um sistema de eixos rectilíneoscartesiano. A figura 1.1 representa o vectorv no sistema de coordenadas cartesianas0 x1 x2 x3 . Este vector pode ser decomposto nas suascomponentes v1, v2, v3 usando os trêsversores que constituem a base do sistema de eixos,ê1, ê2, ê3 .


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Os versores ê1, ê2, ê3 constituem uma base ortogonal (vectores mutuamenteperpendiculares) e ortonormal (base ortogonal com vectores de base unitários).Observa-se na figura que a orientação dos 3 eixos verifica a regra da mão direita, isto é,o produto externo deê1 por ê2 tem como resultado ê3.

Fig. 1.1 – Decomposição do vectorv usando o referencial cartesiano 0 x1 x2 x3

Pode exprimir-se a decomposição dev pela equação,

Convenção de soma

Quando um índice aparece repetido exactamente duas vezes em qualquer termo de umaexpressão, esse índice toma sucessivamente os valores 1, 2 e 3 sendo os termosresultantes somados e não se representando o símbolo de somatório.

vi êi =v1ê1 + v2ê2 + v3ê3 (i é o índice de soma pois aparece repetido duas vezes)

A letra usada no índice é irrelevante, isto é,vi êi é equivalente av j ê j ou vk êk quando seusa a convenção de soma. Mas note-se que nenhuma letra pode aparecer mais do queduas vezes no mesmo termo. Contudo em qualquer termo pode estar presente mais doque um par de índices de soma.

Operações sobre vectores

a) Adição:w = u + v ouwi êi = ui êi + vi êi = (ui + vi) êi b) Multiplicação de escalar por vector:λv = λviêi c) Produto interno:u⋅⋅⋅⋅v = v⋅⋅⋅⋅u = uv cosθ

Ondeθ é o ângulo entreu e v. O produto interno apresenta a propriedade comutativa epode ser apresentado em notação indicial usando o operador Delta de Kronecker.

∑=

=++=3

1332211 ˆˆˆ

iiivvvv êeeev

0 x2

x1

x3

v1

v3

v2

v ê1 ê2

ê3

jiij ≠= sesóese 0δ

jiij == sesóese 1δ =

100010001

ijδ A representaçãomatricial deδ ij é a

matriz identidade.

Delta de Kronecker,δ δδ δ ij


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Define-seêi ⋅ ê j = δ ij , logo iiij ji ji ji j jii vuvuvuvuvu ==⋅=⋅=⋅ δ )ˆˆ(ˆˆ eeeerr

.

d) Produto externo:u ∧∧∧∧ v = − v⋅⋅⋅⋅∧∧∧∧ u = (uv sinθ ) ê

Ondeê é o versor normal ao plano definido poru e v cujo sentido respeita a regra damão direita. O produto externo exprime-se em notação indicial através doSímbolo dePermutação.

Define-seêi ∧∧∧∧ ê j = êk , logo k jiijk ji ji j jii vuvuvuvu êeeee ε =∧=∧=∧ )ˆˆ(ˆˆrr

.

Convenção de diferenciação

Utiliza-se uma vírgula para indicar diferenciação parcial em ordem aos eixos doreferencial cartesiano, isto é:

A diferenciação de um tensor produz um tensor de ordem imediatamente superior.

O Operador Nabla,→∇ , é definido por:

Em representação matricial corresponde a um vector,

Pode ser usado na definição de várias quantidades importantes para a mecânica dosmeios contínuos.

Gradiente de um campo escalar

312,231,123se 1 =+= ijk ijk ε

Símbolo de Permutação,ε εε ε ijk

213,321,132se 1 =−= ijk ijk ε

k ik j jiijk ==== ououse 0ε

1

2 3

+1 −1

ii x

,φ φ =

∂∂

ji j

i v xv

,=∂∂

k ijk

ij T xT

,=∂∂

jk ik j

i u x xu

,

2=

∂∂∂

iiie

xe

xe

xe

x ,332

21

1 ˆˆˆˆ =

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

r

∂∂

∂∂

∂∂=∇

321 x x xr

3

3

2

2

1

1

, ˆˆˆgrad e xe

xe

xi ∂∂+

∂∂+

∂∂==∇= φ φ φ φ φ φ

r

Em notação indicial representa-se por uma vírgula, seguido deum índice.


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Matricialmente, representa-se pelocampo vectorial

Gradiente de um campo vectorial

Matricialmente, representa-se pelocampo tensorial de 2ª ordem,

Divergência de um campo vectorial

A divergência de um campo vectorial é umcampo escalar .

Rotacional de um campo vectorial

Matricialmente representa-se pelo vector,

Representação matricial

A ou [ Aij] ou Aij ou [ ] nm ji A,

1, = m – é o nº total de linhasn – é o nº total de colunasi – nº da linha;i = 1,…,m j – nº da coluna; j = 1,…,n

Matriz quadrada temm= nMatriz rectangular temm≠ n

coluna

linha

triangularsuperior

triangularinferior diagonal

=333231

232221

131211

A A A A A A A A A

A

∂∂

∂∂

∂∂=

321 grad

x x xφ φ φ

φ

jivvv ,grad =∇= rrr

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

33

23

13

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

grad

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

vr

3

3

2

2

1

1,div x

v xv

xvvvv ii ∂

∂+∂∂+

∂∂==⋅∇= r

rr

jk ijk vvv ,rot ε =∧∇= rrr

321

321

321 ˆˆˆrot

vvv x x x

eeev

∂∂

∂∂

∂∂=

r

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂=

2

1

1

2

1

3

3

1

3

2

2

3rot xv

xv

xv

xv

xv

xvv

r

ou


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=→=

332313

322212

312111

T

333231

232221

131211

A A A

A A A

A A A

A A A

A A A

A A A

AA

[ ]T321

3

2

1

vvv

v

v

v

=→= Τvv

Produto vector-matriz

Av = Aijv jêii = 1⇒ A1 jv jê1 = ( A11v1 + A12v2 + A13v3)ê1i = 2⇒ A2 jv jê2 = ( A21v1 + A22v2 + A23v3)ê2i = 3⇒ A3 jv jê3 = ( A31v1 + A32v2 + A33v3)ê3

Em notação matricial:Av =

Para multiplicar uma matriz por um vector é necessário que o número de colunas damatriz seja igual ao número de linhas do vector. Obtém-se um vector cujo número decomponentes é igual ao número de linhas da matriz.

Multiplicação de matrizes

Uma matrizA só pode ser multiplicada por uma matrizB se o nº de colunas deA forigual ao nº de linhas deB. A matriz produtoAB tem tantas linhas quanto as deA etantas colunas quanto as deB.

Por exemplo, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] pmk iik pn k j jk nm

jiij pnk j jk

nm jiij C B A B A

,1,

,1,

,1,

,1,

,1, AB;B;A ===== ==== ou

∑=

==n

j jk ijik jk ijik B AC ou B AC

1

(i e k são índices livres e j é índice de soma logo, os j’s repetidos duas vezescontraem-se!)

• Cada componente deAB é o produto de uma linha deA por uma coluna deB.• Cada coluna deAB é o produto da matrizA por uma coluna deB.• Cada linha deAB é o produto de uma linha deA pela matrizB.

Operações sobre matrizes e vectores

Matriz transposta: AijT = A ji

Vector transposto:

Produto interno

Vector representado comomatriz coluna, m× 1

++

++

++

=

333232131

323222121

313212111

3

2

1

333231

232221

131211

v Av Av A

v Av Av A

v Av Av A

v

v

v

A A A

A A A

A A A


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Se A = AT então a matrizA é simétricaSe A = −AT então a matriz éA é anti-simétricaA + B = B + A (a soma de matrizes é comutativa)

22

TT AAAAA −++= (decomposição em matriz simétrica e anti-simétrica)

A + (B + C) = (A + B) +C (a soma de matrizes é associativa)λ A = λ Aij (produto de matriz por um escalar)AB ≠ BA (multiplicação de matrizes em geral não é comutativa)(AB)C = A(BC) multiplicação de matrizes é associativaA(B + C) =AB + AC (propriedade distributiva)AA = A2AAA = A3AmAn = Am+n (propriedade de expoente)( ) ( )nn TT AA = Se BB = A ⇒ B = ( ) 21 / AA = ( ) TTT BABA +=+ ( ) TTT ABAB = A A −1 = A −1A = I (matriz inversa e matriz identidade)A −1 = AT entãoA é uma matriz ortogonal, isto é,ATA = I A −1 = AT = A entãoA é matriz simétrica e ortogonal( ) -1-1-1 ABAB = ( ) -1-1-1-1 ABCABC =

Uma matriz quadrada é invertível se e só se é não-singular. Só podem ser invertidasmatrizes quadradas.

Teoremas sobre determinantes

• Produto – SeA e B são matrizes quadradas: det (AB) = det(A) det(B)• Inversa – SeA é uma matriz não-singular, então det(A) ≠ 0 e det(A−1) = 1/det(A)• Transposta – SeA é quadrada det(AT) = det(A)• Cálculo do determinante de uma matriz de dimensão 3× 3:

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações linear pode ser representado em notação simbólica por Ku = f .O vector de incógnitas,u pode ser obtido multiplicando a inversa deK pelo vectorf ,isto é,u = K−1f .

( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211 A A A A A A A A A A A A A A A −+−−−=

( ) =+−===3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

Adet A A A A A

A A A A A

A A A A A

A A A

A A A

A A A

Aij


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x2

x1

x3

arccos(a13)

x’2

x’1 x’3

arccos(a12)

arccos(a11)

Em notação matricial, o sistema de equações será,

Na prática não é conveniente inverterK, o vectoru pode ser obtido usandométodosdirectos ou métodos iterativos. Um dos métodos directos mais conhecidos é ométodode eliminação de Gauss, que transforma a matriz originalK numa matriz triangularsuperior,

O método de Gauss elimina cada termoK ij situado abaixo da diagonal multiplicandotoda a linhai pelo quocienteK jj / K ij e em seguida subtraindo à linhai a linha j. Uma vezobtida a matriz triangular, o último valor deu, pode ser calculado,

E em seguida todos os restantes através de

Num sistema den equações an incógnitas podemos ter os seguintes casos de soluções:• Determinado (tem solução)• Impossível (não tem soluções)• Indeterminado (solução infinita)

Uma matrizK é não-singular quando, por eliminação de Gauss, se obtém uma matriztriangular superior com todos os elementos na diagonal diferentes de zero.

• MatrizK é não-singular então o sistema é determinado

• MatrizK é singular então o sistema é impossível ou indeterminado.Transformação de coordenadas

A transformação de coordenadas entre oreferencial 0 x1 x2 x3 e o referencial0 x’1 x’2 x’3 é definida pelamatriz detransformação A.

Os componentes deA são os cosenosdos ângulos entre os eixos dos doisreferenciais, aij = cos( xi’, x j) .

Fig. 1.2 – Transformação de coordenadas.

=−++

=−++

=

0...

...

0...

ou::

...

::

...

11

1111111

1

111

nnnnn

nn

nnnnn

n

f K uK u

f K uK u

f

f

u

u

K K

K K

O

=

nnnn

n

n

f

f

f

u

u

u

K

K K

K K K

MM

L

MOMM

L

L

2

1

2

1

222

11111

00

0

nn

nn K

f u =

ii

n

i j

jiji

i K

uK f u

∑+=

−= 1


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Se a matrizA transforma 0 x1 x2 x3 em 0 x’1 x’2 x’3 então cada linhai de A contém oscosenos directores do eixo x’1 em relação ao referencial 0 x1 x2 x3 . Como a matriz detransformaçãoA tem a propriedade da ortogonalidade, i.e.,AAT = I, então atransformação inversa deA, entre 0 x’1 x’2 x’3 e 0 x1 x2 x3 é definida porAT . Pode dizer-seque cada coluna j de A contém oscosenos directores de x j em relação ao referencial

0 x’1 x’2 x’3.Leis de transformação de coordenadas para

a) Vectores:v j’ = a jivi ouv’ =Av = vATvk = a jk v j’ ouv = v’A = ATv’

b) Tensores de 2ª ordem:T ij = aqiamjT ’qm ouT = ATT’A ou [T ij ] = [aiq]T[T ’qm] [amj ]T ’ij = aiqa jmT qm ouT’ =ATAT ou [T ’ij ] = [aiq] [ T qm] [amj]T

Problema de valores e vectores própriosPode considerar-se que qualquer matriz quadrada e simétricaA de dimensãon é umoperador linear que transforma um vectorv num vectorr.

Fig. 1.3 – O problema de valores e vectores próprios.

Existirá algum vectorv tal queAv resulte num vectorr alinhado comv, como se indicana figura 1.3? Demonstra-se que existem pelo menosn direcções segundo as quaispodem ser dispostos os vectoresv para que esta condição se verifique. Os vectoresr sãonestes casos múltiplos escalares dos vectoresv que os originam, i.e.,r = λ v. Os valoresde λ e os correspondentes vectoresv designam-se respectivamentevalores próprios evectores própriosda matrizA.

Determinação de valores próprios e vectores próprios

Para uma matriz de dimensãon, o problema de valores e vectores próprios conduz àdeterminação den valores próprios, e para cada um deles, à determinação dovector próprio associado. Sabendo que para cada valor conhecido deλ o problema

0)( =− vIA λ se transforma num sistema de equações linear homogéneo, e que paraque exista uma solução não trivial deste é necessário que a matriz dos coeficientes tenhadeterminante nulo, podem obter-se osvalores próprios calculando osλ que anulam odeterminante 0=− IA λ . Paran = 3 obtém-se o sistema de equações,

0=− jijij v A λδ

vr = Av

v r = Av

0)(0 =−→=−→== vIAvAvvAvr λ λ λ


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0)( 313212111 =++− v Av Av A λ

0)( 323222121 =+−+ v Av Av A λ

0)( 333232131 =−++ v Av Av A λ

1=iivv

023 =−+− A A A III II I λ λ λ

A A I ii A traço==

[ ]) traço() (traço21)(

21 22 A A A A A A II jiij jjii A −=−=

A A A A III k jiijk A tedeterminan321 ==ε

Como apenas duas destas equações sãolinearmente independentes, a este sistemaacrescenta-se a equação que corresponde a considerar unitário cada vectorv,

O determinante 0=− IA λ pode ser expandido naequação característica da matrizA

As raízes da equação característica são osvalores próprios. Os coeficientes I A , II A , III A designam-se respectivamente primeiro, segundo e terceiroinvariantes.


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Introdução ao método dos elementos finitos MCEM


2. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOSELEMENTOS FINITOS

A criação de modelos de fenómenos físicos é uma das actividades importantes daengenharia. Praticamente todos os fenómenos da natureza podem ser descritos pelas leisda física e modelados através de equações algébricas, diferenciais ou integraisrelacionando as várias quantidades que os caracterizam.

As descrições analíticas dos fenómenos físicos designam-semodelos matemáticos. Ummodelo matemático pode ser definido como um conjunto de equações que exprimecaracterísticas essenciais do comportamento do sistema físico através de relações entreas variáveis e os parâmetros que descrevem o sistema. Os modelos matemáticos defenómenos físicos são muitas vezes baseados em leis fundamentais da física, tais comoo princípio da conservação da massa, conservação do momento linear e conservação da

energia.A resolução dos conjuntos de equações que formam um modelo matemático dependefundamentalmente da complexidade dessas equações. Enquanto para modelos simples aresolução analítica é fácil de obter, para modelos complexos com equações diferenciaise integrais definidas em domínios de geometria complicada, a resolução analítica podeser difícil ou mesmo impossível. Por isso, até ao aparecimento dos computadores, eracomum simplificar drasticamente as equações ou os domínios, de forma a obtersoluções por via analítica.

Nas últimas décadas, contudo, a utilização de computadores veio possibilitar, com a

ajuda de modelos matemáticos adequados e de métodos numéricos, resolver muitosproblemas práticos de engenharia. O uso de um método numérico e de um computadorpara avaliar o modelo matemático de um fenómeno físico e estimar as suascaracterísticas designa-se porsimulação numérica. Actualmente existe um domínio doconhecimento em expansão relacionado com o desenvolvimento de modelosmatemáticos e o uso de simulações numéricas de fenómenos físicos, que é designadopormecânica computacional.

Entre os métodos numéricos destaca-se ométodo dos elementos finitos, que constituiuma ferramenta poderosa capaz de analisar problemas reais de engenharia. Com estemétodo é possível executar simulações em vários domínios da engenharia e da física,por exemplo envolvendo análise de tensões e deformações, determinação de vibrações


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ou análise do escoamento térmico. Outros métodos também muito usados são ométododas diferenças finitas e ométodo dos volumes finitos.

2.1. O método dos elementos finitosO método dos elementos finitos (MEF) é um método numérico, tal como o método dasdiferenças finitas, mas é mais geral e poderoso pelas capacidades que oferece deresolver problemas concretos de engenharia envolvendo geometrias, comportamentosfísicos ou condições fronteira complexas. No MEF o domínio do problema édecomposto em vários sub domínios e em cada um desse sub domínios as equações queregem o fenómeno são aproximadas usando um método variacional. A razão principalpara procurar aproximar uma solução num conjunto de sub domínios reside no facto deser mais fácil representar uma função complicada como uma composição de funçõespolinomiais simples, com um erro que pode ser tão pequeno quanto se pretenda,bastando aumentar o número de sub domínios.

Fig. 2.1 – A função f ( x) pode ser aproximada pelo conjunto de funções pi( x).

A figura 2.1 ilustra este conceito. A função f ( x), representada a negro, pode seraproximada pelos polinómios p1( x), p2( x), ... p8( x) representados a vermelho. Cadapolinómio pi( x) é definido apenas no sub domíniod i. O erro cometido na aproximaçãopode ser tão reduzido quanto se queira, mesmo que os polinómios pi( x) tenham um graubaixo, desde que se aumente o numero de troços ou divisões do domínio entrea e b.

O uso de princípios variacionais é necessário porque a obtenção dos sistemas deequações que permitem solucionar um problema pelo MEF requer que este sejaformulado como um integral definido em todo o domínio. Contudo, os conjuntos deequações que descrevem os fenómenos físicos estabelecem normalmente relações entreas variáveis e os parâmetros do problema físico na vizinhança de cada ponto do

x

f ( x)

p1( x)

p2( x) pi( x)

p8( x)

a bd 1 d 2 d i d 8


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domínio. Para passar destadescrição pontual do fenómeno físico para adescriçãointegral requerida pelo MEF usam-se os princípios variacionais.

2.2. Um pouco de históriaO método dos elementos finitos desenvolveu-se quando apareceram os computadoresque tornaram a sua aplicação viável. De facto este método implica sempre um volumede cálculo apreciável pelo que o cálculo manual apenas permite utilizar um reduzidonúmero de elementos. Só a utilização de computadores permite explorarconvenientemente todas as suas potencialidades.

Os trabalhos de Hrenikoff (1941) e de Courant (1943) são unanimemente consideradospercursores do método. O primeiro considerou que um domínio elástico podia serrepresentado como uma colecção de barras e de vigas. O segundo apresentou a ideia deusar funções definidas por troços para aproximar funções desconhecidas e usou umconjunto de elementos triangulares e o princípio da energia potencial total estacionáriapara encontrar soluções para o problema da torção de St. Venant. Embora algumascaracteristicas essencias do método tenham sido propostas por Hrenikoff e Courant, asua apresentação formal é atribuída a Turner, Clough, Martin e Topp (1956) e a Argyrise Kelsey (1960). A designaçãoelemento finito foi pela primeira vez usada por Clough(1960). Desde a sua criação o método dos elementos finitos tem sido aperfeicoado eexpandido a novos domínios de aplicação. Informação adicional sobre a história destemétodo pode ser obtida no artigo de Babuska (1994).

2.3. Princípios variacionais

O MEF pode ser considerado como uma aplicação ao nível dos elementos de ummétodo variacional e por isso é útil perceber como é que estes métodos funcionam.Diz-se que um método é variacional quando se baseia em princípios variacionais talcomo o princípio dos trabalhos virtuais, o princípio da energia potencial totalestacionária ou o princípio de Hamilton para obter soluções aproximadas de problemas.

No sentido clássico, um princípio variacional está relacionado com a obtenção de um

extremo (máximo ou mínimo) ou de um valor estacionário de um funcional em relaçãoàs variáveis do problema. Define-se funcional em matemática como sendo umaaplicação de um campo vectorial num campo escalar, geralmente o dos números reais.Uma classe especial de funcionais é a que estabelece a aplicação de uma função f ( x) noconjunto dos reais através de um integral que depende da função f ( x) ou das suasderivadas f ’( x), f ’’( x):

( )∫Ω ′= dx x f x f H ),...(),(π


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O cálculo das variações ou cálculo variacional é o domínio da matemática que lidacom funcionais, por oposição ao cálculo ordinário que lida com funções. O objectivo docálculo variacional é normalmente obter a função que faz com que um funcional atinjaum valor extremo, máximo ou mínimo.

Para resolver problemas usando um princípio variacional e o cálculo das variações, deveescrever-se um funcional que inclua todas as características intrínsecas do problema taiscomo as equações que regem o fenómeno e as condições fronteira ou condições iniciais.Em mecânica dos sólidos ou em mecânica estrutural o funcional pode representar aenergia total do sistema. Diz-se que esse funcional corresponde à formulaçãovariacional do problema. Embora o termo formulação variacional se referisseinicialmente à construção de um funcional baseado num princípio variacional,actualmente designa-se por formulação variacional qualquer formulação em que asequações que regem o fenómeno físico são escritas sob a forma deequações integrais que não são necessariamente equivalentes a princípios variacionais. Mesmo osproblemas que não admitem princípios variacionais no sentido clássico do termo – porexemplo o comportamento de um fluido viscoso definido pelas equações de Navier-Stokes – podem agora ser formulados usando equações integrais.

Pode então dizer-se que o conjunto de equações diferenciais que descreve um fenómenofísico em todos os pontos do domínio corresponde à formulação forte ou forma forte doproblema físico. Para se poder usar o MEF, é necessário obter uma formulação integralque transforma a obrigatoriedade de verificação pontual do conjunto de equações numaobrigatoriedade de verificação média no domínio. Essa formulação designa-se formulação fraca ou forma fraca do problema. Um dos processos de a obter consiste emusar o cálculo variacional e deduzir a forma fraca a partir da formulação variacional doproblema.

2.4. Princípio da energia potencial total estacionária

Este princípio aplica-se a problemas de equilíbrio estático e diz que uma posição deequilíbrio corresponde a um ponto de estacionaridade do funcional que representa aenergia potencial total. Este último consiste na soma da energia de deformação dosistema,U , com a energia potencial das forças aplicadas sobre ele,V .

Para perceber como este princípio pode ser usado, considere-se um exemplo simples emque a energia de deformação e a energia potencial são função de um só parâmetro, x,como é o caso da massam suspensa da mola de rigidezk indicadas na figura seguinte.

Neste caso simples a energia potencial total é uma função de x e não um funcional.Considerando que x = 0 representa a posição inicial da massam , o princípio permitecalcular a posição final de equilíbrio.

A energia de deformação e a energia potencial devida ao peso,mg, são respectivamente:

V U +=π


19/171



E a energia potencial total é:

Fig. 2.2 – Energia potencial totalpara um sistema massa-mola.

Como a energia potencial é uma função de x, pode obter-se um ponto de estacionaridadederivandoπ em ordem a x e igualando a zero, o que permite obter a solução doproblema:

Assumindo valores para os parâmetros, isto é, considerandom = 10 kg,g = 9,81 m/s ek = 1962 N/m, pode desenhar-se o gráfico da funçãoπ ( x), que está representado nafigura 2.3. Pode observar-se que o ponto de equilíbrio corresponde a um mínimo daenergia potencial total, o que implica que esse equilíbrio é estável. O valor deπ noponto x = 0,05 m é−2,4525, o que corresponde ao mínimo assinalado.

Fig. 2.3 – Gráfico da energia potencial total em função do parâmetro x.

x

k

m

2

21 kxU = mgxV −=

mgxkxV U −=+= 221

π

k mg xmgkx

x =⇒=−=

∂∂ 0π

x

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Mínimo da energiapotencial total


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2.5. Método de Rayleight-Ritz

Este método foi introduzido por Rayleigh em 1890 e desenvolvido por Ritz em 1906. Éum método variacional em que uma soluçãou para a função a determinar é aproximadapor uma combinação linear,u~ , de funções conhecidas,φ i , e de coeficientesdesconhecidos,ci :

As funçõesφ i são escolhidas para cada problema e devem respeitar as condiçõesfronteira essenciais. Podem usar-se polinómios ou funções trigonométricas desde quesejam linearmente independentes. Para ilustrar o uso deste método considere-se oexemplo da viga em consola sujeita a uma carga distribuída uniformeqo como indicadona figura 2.4.Para esta viga, a energia de deformação e a energia potencial devida à carga distribuídasão:

A energia potencial total é:

Fig. 2.4 – Viga em consola com carga distribuída uniforme

Onde a função desconhecida,u( x), representa o deslocamento transversal da viga.Considere-seφ 1 = x2 , que respeita as condições fronteira essenciais do problema, eportanto queu( x) é aproximada por:

Então

Substituindo na expressão da energia potencial total,

i

N

iicu φ ∑

==

1

~

dxdx

ud EI U L

2

0 2

2

21∫

=

x

q0

L

21~ xcu =

dxuqV L∫−= 0 0

dxuqdx

ud EI L∫

−

=

0 0

2

2

2

21π

xcdxdu

12= 122

2cdx

ud =

( ) dx xcqcEI L

∫

−=0

210

212

2

1π


21/171



Verifica-se que, tal como no exemplo anterior,π só depende de um parâmetro,c1, porisso existe equilíbrio quando:

A solução aproximada do problema é então:

Como segunda aproximação considerem-se as funçõesφ 1 = x2 e φ 2 = x3. Logo,

Substituindo na expressão da energia potencial total,

Verifica-se agora queπ depende de dois parâmetros,c1 e c2 . Por isso existe equilíbrioquando:

Este sistema de duas equações a duas incógnitas pode escrever-se sob a forma matricial:

E a solução aproximada será agora:

( )EI

Lqcdx xqEI cdc

d L

1202

20

102

01

1

=⇒=−= ∫π

22

0

12~ x

EI Lqu =

32

21

~ xc xcu +=

221 32 xc xcdx

du += xccdxud

212

262 +=

( ) ( )dx xc xcq xccEI L∫

+−+=

03

22

102

21 6221

π

( )

( ) =−×+=

=−×+=

∫∫∫∫

0662

0262

03

00 212

02

00 211 L L

L L

dx xq xdx xccEI dcd

dx xqdx xccEI dcd

π

π

EI qLc

EI qLc

EI qLEI

qL

cc

L L L L

12,

245

4

312664

2

2

14

3

2

132

2−==⇒=

322

1224

5~ xEI

qL xEI

qLu −=


22/171



O facto de se transformar a solução de um problema definido por equações diferenciaisna solução de um sistema de equações algébricas inspirou o MEF. De facto pode dizer-se que este é uma forma de automatizar o método de Rayleigh-Ritz.


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Elementos finitos em vigas MCEM


3. ELEMENTOS FINITOS EM VIGAS

Apresenta-se a aplicação deste método na solução de problemas com vigas sujeitas acarregamento axial e transversal. Considera-se comportamento linear e comportamento

geometricamente não linear.A formulação do método dos elementos finitos pode obter-se de vários modos. Umdeles consiste em utilizar o princípio da energia potencial total estacionária.

π – Energia potencial totalU – Energia de deformaçãoV – Energia potencial das forças aplicadas

Este princípio diz que uma posição de equilíbrio é caracterizada pelo facto decorresponder a um ponto de estacionaridade da energia potencial total.

Energia de deformação

A expressão geral da energia de deformação contida num corpo de volumeV é:

(3.1)

Podem considerar-se independentes os estados de tensão e de extensão associados aoesforço axial e ao momento-flector. Podem também desprezar-se as parcelas da energiade deformação associadas às tensões tangenciais e as deformações provocadas peloesforço transverso na viga.

Fig. 3.1 – Referencial usado na viga.

V U +=π

∫= V ijij dV U ε σ 21

=

000

000

0011σ

σ ij =

33

22

11

00

00

00

ε

ε

ε

ε ij x1

x2 x3


24/171



Utilizando um referencial de eixos x1 x2 x3 como o representado na figura 3.1, o estado detensão e de extensão em cada ponto da viga será caracterizado pelos tensores dastensões e das deformações indicados. Designam-se os deslocamentos de um pontosegundo x1 , x2 e x3 poru1, u2 e u3 respectivamente.

Energia de deformação associada ao esforço axialNuma viga apenas com carregamento axial, pode considerar-se o estado de tensão e deextensão uniforme para todos os pontos da mesma secção transversal, comσ 11= P / A onde P á a carga axial e A a área da secção. Considerando comportamento elásticolinear,σ 11= E ε 11, ondeE é o módulo de Young. O único produto diferente de zero emσ ijε ij é σ 11ε 11 e a equação (3.1) dá origem a:

(3.2)

Pois a extensãoε 11 em qualquer ponto da secção é igual á derivada1

11,1 x

uu∂∂= do

deslocamento segundo x1.

Fig. 3.2 – Elemento finito barra.

Considere-se o elemento finito com dois nós representado na figura 3.2. Sejamu I e u II os deslocamentos segundo x1 desses nós. Devido ao carregamento axial existirádeslocamento axialu1 dos pontos situados sobre o eixo da viga. Assumindo que essedeslocamento varia linearmente entre as extremidades,

(3.3)

Utilizando duas funções de forma, N I e N II , o deslocamentou1 em qualquer ponto daviga será dado por:

A expressão analítica para estas funções pode ser facilmente obtida a partir dopolinómio (3.3) e das condições fronteira da viga,

∫∫∫ ∫ === L L L

AdxEAudxEAdAdxU

0 121,10 1

2110 11111 2

121

21

ε ε σ

xaau 101 +=

J J J

J J II II I I N u N u N u N uu ==+= ∑=

2

11

I uau x ==⇒= 011 0

II u Laau L x =+=⇒= 1011

x1

x2 x3 u I

u II


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logo,

E substituindo no polinómio (3),

(3.4)

As duas funções de forma estão representadas graficamente na figura 3.3:

Fig. 3.3 – Funções de forma para representar o deslocamento axial da viga.

As derivadas destas duas funções são respectivamente,

Utilizando as funções de forma, e sabendo queu1,1 = u J N J,1 , pode escrever-se a energiade deformação (3.2) no elemento:

(3.5)

Esta expressão resulta mais clara se for usada uma representação matricial das váriasquantidades envolvidas. Definindo a extensão segundo x1:

I ua =0 Luua I II −=1

II I u L xu

L xu 111 1 +

−=

x1

1

L x N I 11−= L

x N II 1=

x1

1

L N I

11, −= L

N II 1

1, =

( ) K L

K J J L

J J udx N N EAudx N uEAU ∫∫ == 0 11,1,0 121, 21

21

{ }

∂∂∂∂

=∂∂=

∂∂== ∑

=

1

1

1

2

1 11,111

x N x N

uu x N u

x N uu

II

I

II I J

J J

J J ε


26/171



Pode escrever-se a expressão (3.5) de forma matricial:

(3.6)

ou

onde

(3.7)

é a matriz de rigidez que contabiliza a parcela da energia de deformação elástica devidaao carregamento axial.

Esta matriz pode ser obtida escrevendo a equação (3.7) sob a forma matricial, para umaviga de secção transversal uniforme:

(3.8)

Energia potencial das forças aplicadas

A energia potencial de uma força aplicada sobre um corpo é igual ao produto da força

pelo deslocamento do seu ponto de aplicação, afectado do sinal negativo (quando oponto de aplicação da força se desloca no sentido da força, diminui a energia potencial).Se apenas se considerarem forças aplicadas sobre os nós no sentido do eixo x1 a energiapotencial das forças aplicadas será,

E a energia potencial total será:

{ }

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

= ∫ II

I L II I

II

I

II I u

u

EAdx x N

x N

x N x N

uuU 0 1111

1

21

{ }== II

I

JK II I K JK J

u

uK uuuK uU

21

21

∫= L

K J JK EAdx N N K 0 11,1,

−

−=−

−= ∫

LEA

LEA

LEA LEAEAdx L L

L

LK L

JK 0 111

1

1

{ }−=−= II

I II I J J f

f uuF uV

{ } { }−=−= II I

II I II

I JK II I J J K JK J f

f uuu

uK uuF uuK u 2

121

π


27/171


28/171



É possível escrever um sistema de equações como o indicado anteriormente para cadaum dos elementos. Contudo, reparando que o deslocamento do segundo nó do elemento1 é idêntico ao do primeiro nó do elemento 2, podem escrever-se amatriz de rigidezglobal e osvectores dos deslocamentos e de forças globais.

Nestes vectores os índices referem-se aos nós indicados na malha de elementos finitosda figura 3.4. O processo de obtenção da matriz de rigidez global da estrutura a partirdas matrizes de rigidez de cada elemento designa-seassemblagem.

Reparando que o nó 1 está encastrado verifica-se queu1 = 0 e que f 1 corresponde àreacção desconhecida no apoio A. Retirando a primeira linha e a primeira coluna damatriz de rigidez obtém-se o sistema:

Ou

Resolvendo este sistema de equações obtêm-seu2 = 0,06× 10−3 m , u3 = 0,14× 10−3 m.

Utilizando a primeira linha da matriz de rigidez 3× 3 original, calcula-se f 1 = −100000 N, como seria de esperar.

Energia de deformação associada ao momento flector

Pode estudar-se independentemente a flexão nos planos x1 x2 e x1 x3. Considere-se apenaso plano x1 x2 e também que a secção da viga é uniforme. Considere-se válida a lei deHooke.

A deformação que ocorre numa secção é função apenas do deslocamento transversal,u2.

Sabe-se da teoria de vigas que 211 x I M

−=σ

=

−

−+−

−

3

2

1

3

2

1

0

0

f f f

uuu

LE A

LE A

LE A

LE A

LE A

LE A

LE A

LE A

BC

BC

BC

BC

BC

BC

BC

BC

AB

AB

AB

AB

AB

AB

AB

AB

=−

−+

3

2

3

2

f

f

u

u

LE A

LE A

LE A

LE A

LE A

BC BC

BC BC

BC

BC

BC

BC

AB

AB

L AB = 0,6 m L BC = 0,4 m A AB = 0,005 m2 A BC = 0,0025 m2E = 200 GPaP= 100 kN

=××−×−×

1000000

1025,11025,11025,1109167,2

3

299

99

uu


29/171



(3.9)

Atendendo a que e

Fig. 3.5 – Elemento finito viga.

Considere-se o elemento finito com dois nós representado na figura 3.5. Sejamv I e v II osdeslocamentos segundo x2 desses nós eθ I e θ II as rotações em torno de x3 do eixo daviga nesses nós. Assumindo que a elástica da viga será representada por um polinómio

de terceiro grau virá,(3.10)

Pode exprimir-seu2 utilizando funções de forma, N J . Contudo, como o polinómio temquatro parâmetros, são necessárias quatro funções de forma e os deslocamentosu2 emquatro nós. É possível, em alternativa, utilizar quatro funções de forma e apenas doisnós, mas neste caso é necessário considerar simultaneamente o deslocamentou2 e arotação em torno de x3 nesses dois nós.

(3.11)

∫ ∫= L

AdAdxU

0 1111121

ε σ

∫ ∫= L

A dAdxE 0 12

1121 σ

∫ ∫= L

AdAdx x

E I M

0 1222

2

21

( ) 10 2222

21 dxdA x

E I M L

A∫ ∫=

I dA x A

=∫ 22

102

11,210

2

21

21

dxEIudx IE M L L

∫∫ ==

EI M u =11,2

33

22102 xa xa xaau +++=

J J IV II III II II I I I N u N N v N N vu =+++= θ θ 2

x1

x2

x3

v I

v IIθ Iθ II


30/171



onde u J é um vector contendo osdeslocamentos generalizados nos nós do elementoviga,

(3.12)

Tal como anteriormente acontecia para a viga com carregamento axial é possível obterestas funções de forma explícita. Considerando as condições fronteira:

podem obter-se os coeficientesa0, a1, a2 e a3:

Que substituídos no polinómio inicial (3.10) permitem obteru2 como função deu J

Agrupando convenientemente os termos referentes av I , v II , θ I e θ II obtêm-se os polinómios de Hermite:

I vau x ==⇒= 021 0

I au x θ ==⇒= 11,21 0

{ } II II I I J vvu θ θ =

II v La La Laau L x =+++=⇒= 33221021

II La Laau L x θ =++=⇒= 23211,21 32

I va =0

I a θ =1

II II I I Lv

L Lv

La θ θ 1323 222 −+−−=

II II I I

Lv

L Lv

La θ θ 23233

1212 +−+=

I I II II I

I II II I I

v x x L

xv L

x L

xv L

x L

xv L

x L

xv L

u

++−+−

−+−+=

121

212

21

212

312

313

312

3132

132

31212

θ θ θ

θ θ

N I

L

x1

N II

L

x1

313

212

231 x L

x L

N I +−=

312

211

12 x L x L x N II +−=


31/171



Fig. 3.6 – Polinómios de Hermite

A energia de deformação elástica da viga foi expressa em (3.9) em função das segundasderivadas do deslocamento transversalu2. Derivando a equação (3.11) obtém-se:

(3.14)

Pelo que é necessário obter as derivadas das funções de forma. O cálculo analíticodestas derivadas permite obter:

Substituindo na equação (3.9)u2,11 poru J N J,11 obtém-se,

(3.15)

ou

onde

(3.16)

é a matriz de rigidez que contabiliza a parcela da energia de deformação elástica devidaà flexão.

N III

L N IV x1 L

313

212

23 x L

x L

N III −=

312

21

11 x L

x L

N IV +−=

11,11,11,11,11,11,2 J J IV II III II II I I I N u N N v N N vu =+++= θ θ

13211,126 x L L

N I +−= 1211,64 x

L L N II +−=

13211,126 x L L

N III −= 1211,62 x

L L N IV +−=

( ) k L

K J J L

J J udx N N EI udx N uEI U 10 11,11,102

11, 21

21 ∫∫ ==

k JK J uK uU 21=

10 11,11,dx N N EI K

LK J JK ∫=

(3.13)


32/171



Os elementos desta matriz podem ser calculados escrevendo primeiramente a equação(3.14) sob a forma matricial,

E em seguida realizando os produtos e a integração que surgem na expressão da matrizde rigidez (3.16). Obtém-se então,

(3.17)

As duas matrizes de rigidez, associadas à tracção/compressão e à flexão podem sercombinadas numa só.

O elemento viga da figura 3.2 apenas contabiliza a energia de deformação associada à

tracção/compressão. O cálculo dessa energia apenas depende do deslocamento segundoo eixo x1 de cada nó do elemento. Diz-se que cada nó tem umgrau de liberdade. Oelemento tem dois nós e por isso tem um total de dois graus de liberdade. Por isso ovector de deslocamentos do elemento tem dois elementos e a sua matriz de rigidez tem adimensão 2×2.

De modo análogo diz-se que cada nó do elemento viga da figura 3.5 tem dois graus deliberdade e que esse elemento tem um total de quatro graus de liberdade.

Verifica-se que os graus de liberdade associados à tracção/compressão sãoindependentes dos graus de liberdade associados à flexão. Agrupando numvector de

deslocamentos generalizados todos os 6 graus de liberdade obtém-se:

−

−−−

−

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

K JK

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323

{ }

+−

−

+−

+−

=

12

132

12

132

11,2

62

126

64

126

x L L

x L L

x L L

x

L L

vvu II II I I θ θ


33/171



(3.18)

A energia de deformação continuará a ser obtida pela expressão,

E a matriz de rigidez do elemento viga com 6graus de liberdade será,

(3.19)

Energia potencial para forças e momentos aplicados nos nós

Considerando forças aplicadas sobre os nós de um elemento finito com três graus deliberdade por nó e dois nós, a energia potencial associada a essas forças será:

com e

{ } II II II I I I J vuvuu θ θ =

k JK J uK uU 21=

−

−−−

−

−

−

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

K JK

460

260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

J J F uV −=

{ } II II II I I I J vuvuu θ θ = =

II

II

II

I

I

I

J

m

p

f

m

p

f

F


34/171



F J é o vector contendo as forças generalizadas aplicadas nos nós do elemento, sendo f i e pi as forças aplicadas no nói segundo x1 e x2 respectivamente emi o momento no nói em torno de x3.

Energia potencial para cargas distribuídas

Se sobre o mesmo elemento finito estiver aplicada uma carga distribuída uniformeQ então:

Fig. 3.7 – Carga distribuída uniforme.

Utilizando funções de forma para representaru2, u2 = u J N J ,

(3.20)

Realizando este integral, obtém-se:

x1

x2

x3

Q

∫−= L

QdxuV 0 12

∫−= L

J J Qdx N uV 0 1

{ }

+

−

−

−

−=

12

2

012

2

0

2

2

QL

QL

QL

QL

vuvuV II II II I I I θ θ


35/171



Onde os sinais negativos que surgem nos elementos dovector de forças equivalentes sedevem ao facto de se considerar positiva uma cargaQ que actua no sentido oposto aoeixo x2. O integral na equação (3.20) pode ser obtido para qualquer funçãoQ( x1). Paraos carregamentos triangulares indicados na figura 3.8, os vectores de forçasequivalentes são os seguintes,

Fig. 3.8 – Cargas distribuídas triangulares.

Energia potencial para cargas axiais

Um caso particular ocorre quando o ponto de aplicação de uma força actuando segundoo eixo da viga sofre deslocamento devido à flexão existente na viga. Este facto vaiimplicar um comportamento não linear da viga.

Fig. 3.9 – Encurtamento de uma viga com uma cara axial provocando flexão.

x1

x2

x3

Q I

x1

x2

x3 Q II

+

−

−

−

=

30

203

0

20

207

0

2

2

LQ

LQ

LQ

LQ

F

I

I

I

I

J

+

−

−

−

=

20

207

0

30

203

0

2

2

LQ

LQ

LQ

LQ

F

I

II

II

II

J

PP

δ


36/171



Fig. 3.10 – Viga com flexão e compressão.

O comportamento não linear (isto é uma relação não linear entre forças edeslocamentos) está neste caso associado ao facto dos deslocamentos seremsuficientemente grandes para que não possa ser desprezada a modificação na posição doponto de aplicação das forças que ocorre durante a deformação.

Este comportamento não linear também se dizcomportamento geometricamente nãolinear para o diferenciar do comportamento não linear com origem na deformaçãoplástica do material, que se designa porcomportamento materialmente não linear . Esteúltimo não é abordado aqui.

Para pequenos deslocamentos e rotações, é usual considerar que as forças são aplicadasna configuração inicial da viga. Assume-se também que o deslocamento dos pontos deaplicação dessas forças durante a deformação não afecta os esforços internos. Obtém-seassim uma relaçãolinear entre forças e deslocamentos.

Isto é equivalente a considerar que os integrais realizados anteriormente no cálculo daenergia de deformação são sempre realizados naconfiguração inicial.

Se os deslocamentos e rotações forem grandes, então o efeito da alteração do ponto deaplicação das forças externas deve ser considerado. Para vigas com cargas axiais, isto

pode ser conseguido contabilizando a variação da energia potencial devida àmodificação de comprimento da viga por flexão.

O deslocamentoδ da Figura 3.9 pode ser aproximado por:

A energia potencial associada à força axialP será,

PF

δ

L

M

Comportamento linear

FL M =

δ PFL M +=

Comportamento não linear

∫= L

dxu0 1

21,22

1δ

∫−=−=

LdxuPPV

0 1

2

1,22δ


37/171



Esta expressão pode ser discretizada recorrendo às funções de forma da viga sujeita àflexão,

(3.21)

ou

onde(3.22)

é a matriz de rigidez geométrica ou matriz geométrica da viga. QuandoP provocacompressão na viga, os coeficientes deG, multiplicados porP devem ser subtraídos àmatriz de rigidezK deduzida anteriormente provocando umadiminuição de rigidez. Nocaso da forçaP provocar tracção, ocorre umaumento de rigidez.

(3.23)

De notar que os deslocamentos e rotações contidos no vectoru J são os indicados em(3.12) e a matrizG terá por isso a dimensão 4×4. Contudo, pode sempre obter-se umamatriz com 6×6 elementos, compatível com (3.19) acrescentando duas linhas e duascolunas com zeros, para os deslocamentos segundo x1 em (3.19).A equação (3.10) utilizada para representar a deformada da viga (equação da linha

elástica) representa a solução de uma viga sujeita a cargas concentradas que apresenteuma variação linear do momento flector, mas na ausência da força axial P. Por isso,utilizando a matriz de rigidezK JK e a matriz geométricaG JK apenas se poderão obtersoluções aproximadas para problemas com cargas axiais. Para obter soluções exactaspara problemas como o da viga da figura 3.9, é necessário utilizar matrizes que sebaseiem nasolução exacta da equação de equilíbrio considerando cargas axiais, quetoma a forma:

(3.24)

com k 2 = P / EI . Considerando osdeslocamentos generalizados nos nós do elemento

viga, que se indicaram anteriormente na equação (3.12), e as mesmas condiçõesfronteira:

∫−= L

K K J J udx N N uPV

0 11,1,2

K JK J uGuPV 2

−=

∫= L

K J JK dx N N G 0 11,1,

−−

−−−

−−

−

=

152

101

30101 10

1

5

6

10

1

5

63010

1152

101

101

56

101

56

L L L L

L L L L

G JK

31211102 cossin a xakxakxau +++=


38/171



podem obter-se os coeficientesa0, a1, a2 e a3:

Que substituídos no polinómio inicial (3.24) permitem obteru2 como função deu J sob aforma:

(3.25)

com

II II I I kAkLv

AkL

kAkLkLkLv

AkLa θ θ 1)cos()sin()sin(1)cos()sin(0

−−−+−+=

II II I I AkLv

AkLk

AkLv

AkLk a θ θ 1)cos()sin(1)cos()sin(2

−++−+−=

II II I I kAkLkLv

AkL

kAkLkLkLv

AkLkLkLa θ θ −−−+−−+−= )sin(1)cos()sin()cos()sin(1)cos(3

I vaau x =+=⇒= 3121 0

I ak au x θ =+=⇒= 201,21 0

II va LakLakLau L x =++×+×=⇒= 321021 )cos()sin( II akLk akLk au L x θ =+×−×=⇒= 2101,21 )sin()cos(

II II I I kAkLkLv

AkL

kAkLkLkLv

AkLa θ θ −+−−−+−= )sin(1)cos()sin()cos(1)cos(1

J J IV II III II II I I I N u N N v N N vu =+++= θ θ 2

AkLkLkL

x AkLk

kx AkL

kx AkL

N I )sin(1)cos()sin(

)cos(1)cos(

)sin()sin( +−

+−−

+=

x AkLkx

kAkLkLkLkx

kAkLkLkL N II

1)cos()cos()sin()cos()sin()sin(1)cos( −+−++−=

kAkLkLkL )sin()cos( −−

A

kL xkLk kx A

kLkx A

kL N III

1)cos()sin()cos(1)cos()sin()sin( −++−−−=


39/171



É possível então, utilizando as equações calcular uma matriz que contabilizesimultaneamente a energia de deformação da viga e a energia potencial associada àcarga axial.

Procedendo como anteriormente, obtém-se a seguinte matriz de rigidez exacta:

(3.26)

As funçõesφ i designam-se por funções de estabilidade e são definidas por:

com

kAkLkL x

AkLkx

kAkLkLkx

kAkL N IV

−−−+−+−−= )sin(1)cos()cos()sin()sin(1)cos(

∫∫ −=− L

K K J J k L

K J J udx N N uPudx N N EI uV U

0 11,1,10 11,11, 221

−

−−−

−

−

=

32

42

22

122

1

42

32

22

122

1

4626

612612

2646

612612

φ φ

φ φ

φ φ φ φ

φ φ

φ φ

φ φ φ φ

L L

L L L L

L L

L L L L

LEI K T JK

β βφ φ cot21 =

)cot1(3

2

2 β β β φ

−=

β β φ φ cot41

43 23 +=

β β φ φ cot21

23

24 −=

E PP

EI P LkL

222π β === 2

2

LEI PE

π =e


40/171



PE é a carga critica de uma viga com as dimensões, módulo de elasticidade e momentode inércia do elemento viga considerado e com as duas extremidades apoiadas.Observa-se que os elementos da matriz de rigidez total se obtêm a partir dos elementoscorrespondentes da matriz de rigidez inicial, (3.17), multiplicados pelas funções deestabilidade. Estas são funções não lineares e estão representadas graficamente na

figura seguinte.

Fig. 3.11 – Funções de estabilidade

Energia potencial total

Obtidos todos os termos deU e V , a energia potencial total é agora uma função de várias

incógnitas. Essas incógnitas são os deslocamentos e rotações nos nós da viga e estãoarrumadas numvector de deslocamentos generalizados. A expressão geral paraπ é:

(3.27)

Como enunciado anteriormente uma posição de equilíbrio é caracterizada porcorresponder a um ponto de estacionaridade da energia potencial total. Um ponto deestacionaridade existe quando,

J J K JK J K JK J F uuGuPuK u −−=22

1π

0=∂∂

J uπ

P/P E


41/171



Derivando (3.27) em ordem aos elementos do vectoru J obtém-se a seguinteequação deequilíbrio:

(3.28)

Com esta equação podem resolver-se vários tipos de problema:• Considerandocomportamento linear

Esta formulação conduz a umsistema de equações lineares. A sua solução permiteobter os deslocamentos e esforços na viga para as cargas aplicadas existentes emF J .

• Considerando comportamento não-linear e uma força axialP desconhecida.

Na ausência de forças externas aplicadas nos nós ou de carregamentos distribuídos, ovector de forçasF J é zero e esta formulação conduz a um problema de valores própriose vectores próprios. A solução permite determinar as cargas críticas,P, ou cargas queprovocam a instabilidade do sistema (os valores próprios) e as deformadascorrespondentes ou modos de instabilidade (os vectores próprios).

• Considerando comportamento não-linear e a existência de carregamentosaplicados emF J .

Esta formulação conduz a um sistema de equações não-linear porque a forçaP não énormalmente conhecida (para estruturas compostas por várias vigas) pois é o esforçoaxial em cada viga e depende deuK . Por isso esta equação deverá ser resolvidaiterativamente.

Problemas de dinâmica

O princípio da energia potencial total estacionáriaestá limitado à resolução deproblemas de equilíbrio estático de corpos sólidos. O princípio de Hamilton é umageneralização do princípio dos trabalhos virtuais à dinâmica de corpos sólidos. Oprincípio assume que o sistema é caracterizado por duas energias:energia cinética eenergia potencial total e considera que para existir equilíbrio é necessário que aseguinte quantidade seja estacionária,

( ) J K JK JK F uGPK =−

J K JK F uK =

( ) 0=− K JK JK uGPK

( ) J K JK JK F uGPK =−

( )dt T t

t 2

1∫ −π


42/171



T – Energia cinéticaπ – Energia potencial total (soma da energia de deformação e da energia potencial dasforças aplicadas)

As equações de equilíbrio do elemento podem ser deduzidas a partir deste princípio,obtendo-se,

(3.29)

Energia cinética

A expressão geral da energia cinética de um corpo sólido de volumeVé,

(3.30)

Considere-se um elemento finito de viga com material homogéneo e secção transversaluniforme, de área A. Utilizando as funções de forma empregues anteriormente, podediscretizar-se o campo de velocidade na viga e obter,

Escrevendo então a equação (3.30) para o elemento viga virá,

ou

onde M JK é amatriz de massa do elemento, dada por,

0=∂∂+

∂∂

∂∂

uuT

t π

&com

t uu

∂∂=&

∫

∂∂=

V

dV t uT

2

21

ρ

t udx N N A

t uT k

LK J

J

∂∂

∂∂= ∫0 12

1 ρ

J J

N t u

t u

∂∂

=∂∂

t

u M t

uT k JK J

∂

∂

∂

∂=2

1

∫= L

K J JK dx N N A M 0 1 ρ


43/171


44/171



ou

Que é a formulação de um sistema de valores próprios e vectores próprios. Este sistema

pode ser resolvido para determinar as frequências naturais (os valores próprios) e osmodos de vibração (os vectores próprios) da viga.

3.1. Exemplo – Estrutura constituída por uma viga e uma barra

Analise pelo método dos elementos finitos a estrutura representada na figura seguinte.

Resolução :

Vamos utilizar o método dos elementos finitos para determinar as reacções nos apoios eos deslocamentos horizontal e vertical do pontoC assim como a sua rotação. Esteproblema pode ser resolvido pelo programamatef.m lendo o ficheiro de dadosviga.inp.

Como a barra AC está articulada nas duas extremidades, apenas transmite forças axiais.Justifica-se por isso utilizar dois tipos de elementos finitos diferentes, ambosrepresentados por uma linha com dois nós localizados nas extremidades :

( ) 02 =− k JK JK u M K ω

A

B C

P = 30 kN

2,5 m

Barra AC

20 mm

Barra BC

160 mm

40 mm

45º


45/171



Um elemento com 2 graus de liberdade ( gdl ) apenas, os deslocamentos segundo o eixo x dos nós do elemento, que representará a barra AC .

Outro elemento com 6 gdl, os deslocamentos segundo x e y e as rotações dos nós doelemento, que representará a barra BC .

A estrutura ficará assim representada pela seguintemalha de elementos finitos, contendo2 elementos ( um de cada tipo ) e 3 nós. De notar que, uma vez que os doisreferenciaislocais não são coincidentes, é necessário definir umreferencial global X , Y .

Matriz de Rigidez do Elemento

Nó 1 = 1Nó 2 = 2L1 = 3,5355 mα1 = 315 º

A1 = 3,142×10-4

m2 E = 200 GPa

Elemento Finito com 2 gdl

xu1 u2 nó 1 nó 2

Elemento Finito com 6 gdl

xv1

u2

nó 1 nó 2

u1 v2

y

θ 1 θ 2

1

2

1

23

P

X

Y

1

1

X

Y

1

2 x

α


46/171



Matriz de rigidez do elemento com 2 gdl em coordenadas locais :

Matriz de transformação de coordenadas globais em coordenadas locais :

O vectoru = {u1 x , u1 y , u2 x , u2 y }T representa os deslocamentos dos nós do elemento noreferencial global X,Y .

Matriz de rigidez do elemento com 2 gdl em coordenadas globais :

obtém-se para o elemento 1,

[ ]

−

−=

L AE

L AE

L AE

L AE

K l

[ ]=α α

α α sencos

0000 sencos

T [ ]=

y

x

y

x

uuuu

T uu

2

2

1

1

2

1

[ ] [ ] [ ][ ]T K T K lT g =

[ ]×

−×−

×−−×

=

α

α α α

α α α α

α α α α α α

sen

cossencos

sencossensen

cossencoscossencos

2

2

22

22

L AE S

L AE

L AE

L AE L AE L AE L

AE L

AE L

AE L

AE

K g

[ ]=

y

x

y

x

g

y

x

y

x

uuuu

K

f f f f

2

2

1

1

2

2

1

1

[ ]

××−××−××

××−×−×

=

6

66

666

6666

10886,810886,810886,810886,810886,810886,8

10886,810886,810886,810886,8

S

K g

[ ]=2

1

2

1

uu

K f f

l


47/171



Matriz de Rigidez do Elemento

Nó 1 = 2Nó 2 = 3L2 = 2,5 m

α2 = 180 ºA2 = 64,0×10-4 m2 I2 = 1,3653×10-5 m2 E = 200 GPa

Matriz de rigidez do elemento em coordenadas locais :

Matriz de transformação de coordenadas globais em locais :

Matriz de rigidez do elemento com 6 gdl em coordenadas globais :

ou

2

2 X

Y

23 x

y

[ ]

−

−

−−

=

L

EI S LEI

LEI

L AE

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

L AE

L AE

K l

4

61200

2604

61206120000

23

2

2323

[ ]=

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

θ

θ

vu

vu

K

m p f m p f

l

[ ]=

1000000cossen-0000sencos0000001000000cossen0000sencos

α α α α

α α α α

-

T [ ]=

3

3

3

2

2

2

2

2

2

1

1

1

θ

θ

θ

θ

y

x

y

x

uu

uu

T

vu

vu

[ ] [ ] [ ][ ]T K T K lT g =


48/171



obtém-se para o elemento 2,

A matriz de rigidez da estrutura representará aassemblagem das matrizes de rigidez dosdois elementos,

[ ]

×××

×××××−×−×−×

×−×

=

6

66

8

666

666688

104,3690106214,2100971,2

00101200,5102,1845106214,20104,3690106214,2100971,20106214,2100971,2

00101200,500101200,5

S

K g

[ ]=

3

3

3

2

2

2

3

3

3

2

2

2

θ

θ

y

x

y

x

g

y

x

y

x

uu

uu

K

m f f m f f

[ ]

−+

+

×−

×+

+

+

−

−

−

×+

×−

+

+

−×+

×−

−

−−

×−

×+

+

+

=

LEI S

LEI

L

EI L

AE

LEI

LEI

L AE

LEI

L AE

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI L

EI L

AE

LEI L

AE

LEI L

EI L

AE

LEI

LEI

L AE

LEI

L AE

LEI

LEI

L AE

LEI

L AE

K g

4

cos6

cos12

sen

sen6

cossen12

cossen

sen12

cos

2 cos6 sen64

cos6 cos12

sen

cossen12

cossen cos6

cos12

sen

sen6

cossen12

cossen

sen12

cos sen6

cossen12

cossen

sen12

cos

22

3

2

2

32

3

2

22

22

3

2

3

22

3

2

2

32

3

2

2

32

3

2

α α

α

α α α

α α

α

α

α α

α α

α

α α

α α α

α

α

α α α

α α

α

α α

α α

α α

α

α


49/171



ou { f } = [K] {u}, onde { f } é o vector de forças generalizado ( alguns elementos dovector podem ser momentos ) e {u} é o vector de deslocamentos generalizado ( algunselementos do vector podem ser rotações ).

Este sistema deve agora ser alterado, devido ao facto de elementos do vector {u} e dovector { f } terem valores conhecidos

Aplicação das condições fronteira.

No vector dos deslocamentos, são conhecidos os valores

u1 x = 0u1 y = 0u3 x = 0u3 y = 0θ 3 = 0

No vector de forças são conhecidos

f 2 x = 0 f 2 y = −30000 ( negativo porque P actua no sentido contrário ao eixoY )m2 = 0

Isolando a 3ª, 4ª e 5ª equação, obtém-se o sistema :

=×+×−−=×−×+×−

=×−×+

0103690,4106214,230000106214,2100983,110886,8

010886,8102089,5

26

26

26

27

26

26

28

θ θ

y

y x

y x

uuuuu

que resolvido permite obter a solução do problema,

u2 x = −5,52860× 10−5 mu2 y = −3,24021× 10−3 mθ 2 = −1,94412× 10−3 radianos

×××

×××× ×−×−×−×

×−×−××−××

××−×−×

=

3

3

3

2

2

2

1

1

6

66

8

666

6667

868

666

6666

3

3

3

2

2

2

1

1

106390,4106214,2100971,2

00101200,5101845,2106214,20103690,4 106214,2100971,20106214,2100983,1

00101200,5010886,8102089,5000010886,810886,810886,8000010886,810886,810886,810886,8

θ

θ

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

uu

u

uuu

S m f f m f

f f f


50/171



os sinais indicam que os deslocamentos têm o sentido contrário ao dos eixos doreferencial global considerado. Para obter as reacções nos apoios basta utilizar asrestantes equações.

obtém-se,

Em seguida, os esforços nos elementos podem ser calculados transformando osdeslocamentos obtidos no referencial global em deslocamentos referidos ao referenciallocal de cada elemento, através da matriz [T ], e depois multiplicando o resultado pelamatriz de rigidez do elemento no referencial local, [K l] isto é :

obtém-se, para o elemento 1,

f 1= −40029 N f 2= +40029 N

e para o elemento 2,

f 1= +28301 N p1= +1699 Nm1= 0 N⋅m f 2= −28301 N p2= −1699 Nm2= +4247 N⋅m

×+×−=×+×−=

×+=×−×+=×+×−=

26

26

3

26

26

3

38

3

26

26

1

26

26

1

101845,2106214,2106214,2100971,2

101200,510886,810886,810886,810886,8

θ θ

y

y y

x x

y x y

y x x

umu f u f

uu f uu f

⋅+=+=+=+=−=

mN424730N1699N28301N28301N28301

3

3

3

1

1

m f f f f

y

x

y

x

[ ][ ]=

3

3

3

2

2

2

2

2

2

1

1

1

θ

θ

y

x

y

x

l

uu

uu

T K

m p f m p f

[ ][ ]=

y

x

y

x

l

uuuu

T K f f

2

2

1

1

2

1

f 1 = 40029 N

nó 1 = 1 nó 2 = 2

f 2 = 40029 N

p2 = 1699 N p1 = 1699 N

f 1 = 28301 N

nó 2 = 3 nó 1 = 2

f 2 = 28301 N m2 = 4247 Nm m1 = 0

x

y


51/171

Elementos finitos bidimensionais MCEM


4. ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONAIS

4.1. Problemas de transmissão de calor

Estes problemas regem-se pelaequação diferencial de Poisson, que se deduz emseguida para um domínio D definido no plano xy. Consideramos que não existe variaçãode temperatura ao longo do eixo z e que, como consequência, o fluxo de calor é nulonessa direcção.

O fluxo de calor é representado por um vector comduas componentes:

Considerando um elemento infinitesimal de dimensãodxdy (e dimensão unitária nadirecção z), a equação que traduz o balanço de fluxo térmico no elemento será:

Fig. 4.1 - Balanço de fluxo térmico no elemento.

= y

x

qq

qr

x

y

dydx xqq x x ∂∂+

dxdy yq

q y y

∂∂

+

dyq x

dxq y


52/171



onde f a quantidade de calor gerado por unidade de volume no elemento. Simplificandoesta equação obtém-se

Consideramos agora a Lei de Fourier , que diz que o fluxo térmico é proporcional aogradiente da temperatura, sendok − coeficiente de condutividade térmica− a constantede proporcionalidade,

Substituindo esta lei na equação de balanço,

e assumindo quek é constante ao longo de x e y, obtemos aequação diferencial dePoisson :

Nota : Utilizando o operador nabla, , a expressão anterior podeescrever-se :

Obter a solução de um problema de condução de calor consiste em obter a funçãoT ( x, y) definida no domínio do problema que verifica esta equação diferencial em todos ospontos do domínio. É necessário ainda que a funçãoT ( x, y) verifique também ascondições fronteira do problema. Estas poderão ser de três tipos diferentes e por isso

consideramos a fronteiraF decomposta em três partes,F 1, F 2 e F 3 :

fdxdydxqdyqdxdy yq

qdydx xqq y x

y y

x x =−−

∂∂

++

∂∂+

f yq

xq y x =

∂∂

+∂∂ f q ii =,ou, em notação indicial,

xT k q x ∂

∂−=

yT k q y ∂

∂−=ii kT q ,−=ou,

f kT ii =− ,

f yT

k y xT

k x =

∂∂

∂∂

−

∂∂

∂∂

−

ou f yT

xT k =

∂∂+

∂∂− 2

2

2

2

f T k =∇− 2

T

y x ∂∂

∂∂

=∇

(4.1)


53/171



T

1. A temperatura tem um valor conhecido numa parte da fronteira,

2. O fluxo na direcção normal à fronteira,q0, tem um valor conhecido,

3. O fluxo na direcção normal à fronteira é proporcional à diferença detemperaturas entre o exterior e a fronteira, sendo a constante de proporcionalidadedesignada porcoeficiente de convexão, h,

A funçãoT ( x, y) que representa a solução deve verificar a equação (4.1) em todos ospontos do domínio, D, e as condições fronteira (4.2), (4.3) e (4.4) respectivamente emF 1 , F 2 e F 3. O método dos elementos finitos permite obter umasolução numéricaaproximada do problema. Esta solução consiste num vector contendo as temperaturasem alguns pontos seleccionados do domínio− os nós − e algumas funções conhecidas− as funções de forma − que, em conjunto, permitem calcular o valor da temperatura emqualquer ponto do domínio.

Para obter essa solução, é conveniente escrever novamente a equação (4.1), que traduz oequilíbrio pontual, sob a forma de um integral calculado em todo o domínio D doproblema. Esta equação integral, também designada forma fraca da equaçãodiferencial, pode em problemas de mecânica estrutural ser obtida através do princípio daenergia potencial total estacionária ou do método dos trabalhos virtuais.

No problema da condução de calor, podemos obter a equação integral, multiplicandoambos os termos de (4.1) por uma função arbitrária, que representa umavariação virtual na distribuição de temperatura, e integrando em seguida em todo odomínio D,

integrando por partes esta equação, obtemos,

Qualquer função que verifique esta equação satisfaz simultaneamente a equação

diferencial (4.1) e as condições fronteira naturais (4.3) e (4.4). Somente a condiçãofronteira essencial (4.2) necessita ser imposta na solução.

10 em F T T =

20 em ˆ F qnT k =⋅∇

30 em )(ˆ F T T hnT k −−=⋅∇

(4.2)

(4.3)

(4.4)

∫∫ =

∂∂+

∂∂−

D DdDT f dDT

yT

xT k 2

2

2

2

∫∫∫∫ =−+−

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

D DdDT f dF T T T hdF T qdD

yT

yT

xT

xT k )(

32 F0F 0

(4.5)


54/171



As funções T ( x, y) e ),( y xT devem em seguida ser discretizadas. Para issoconsideremos o domínio D dividido emelementos finitos triangulares, com um nó emcada vértice, como indicado na figura 4.2.

Fig. 4.2 - Elemento finito triangular.

Consideremos que a função que define a temperatura no elemento é a seguinte funçãolinear em x e y,

Os coeficientes A0 , A1 e A2 desempenham o papel de incógnitas do problema. Se forpossível determiná-los então poderemos obter a temperatura em todos os pontos doelemento triangular. Estes coeficientes não são contudo as incógnitas mais convenientespara resolver o problema, sendo preferível utilizar antesT 1, T 2 e T 3, respectivamente astemperaturas nos nós 1, 2 e 3 do elemento. Podemos escrever um conjunto de trêsequações que nos dizem que a temperatura nos três nós, de coordenadas x1 y1, x2 y2 e x3 y3 é respectivamente igual aT 1, T 2 e T 3,

O sistema pode ser resolvido em ordem a A0 , A1 e A2 , e os resultados substituídos naequação (3.6), para obter,

onde

são as três funções de forma do elemento triangular. Os coeficientesai , bi , ci são iguaisa:

y A x A A y xT 210),( ++=

++=++=++=

323103

222102

121101

y A x A AT y A x A AT y A x A AT

(4.6)

( ) ( ) ( )333322221111 ),( T yc xbaT yc xbaT yc xba y xT ++++++++=(4.7)

( ) ),( yc xba y x N iiii ++=

( )( )( )

/ / /

12213

31132

23321

J y x y xa J y x y xa J y x y xa

−=−=−= ( )

( )( )

/ / /

213

132

321

J y yb J y yb J y yb

−=−=−=

x

y

nó 1 nó 2

nó 3


55/171



x

y

nó 1 nó 2

nó 3T ( x, y)

1

Fig. 4.3 – Função de forma N 1( x, y).

A equação (4.7) pode ser escrita na forma (4.8), o que é ilustrado graficamente na figura4.4.

Fig. 4.4 – Utilização de funções de forma N i( x, y).

( )( )( )

/ / /

123

312

231

J x xc J x xc J x xc

−=−=−=

elementodoÁrea2111

333

321 ×== x x x x x x J

332211 ),(),(),(),( T y x N T y x N T y x N y xT ++=

x

T ( x, y)

x

T 1

T ( x, )

x

T x,

T 2

x

yT ( x, y) T 3

T 1 T 2

T 3

+

+

||

A temperatura em todos os pontosdo elemento finito triangular,

T ( x, y)

11 ),( T y x N

é o resultado da contribuição do nó 1

22 ),( T y x N

33 ),( T y x N

somada à contribuição do nó 2

e à contribuição do nó 3

(4.8)


56/171



),( y xT

De notar que, na equação (4.5) surgem derivadas do campo de temperaturas.Considerando que este último é representado pela equação (4.8), facilmente obtemos,

e

onde,

De notar que, devido às funções de forma utilizadas, estas derivadas são constantesdentro do elemento, isto é, o campo de temperaturas apresenta gradiente constantedentro de cada elemento.

Finalmente, a função poderá ser representada de forma análoga,

e as duas funções podem ser substituídas na equação (4.5). Consideremos que odomínio foi discretizado em Ne elementos e analisemos o primeiro termo desta equação,

por comodidade, representemos o termo entre parêntesis sob a forma de um produtomatricial,

também podemos utilizar esta representação para as derivadas do campo detemperaturas, obtendo-se,

33

22

11 ),( ),( ),(),( T

x

y x N T x

y x N T x

y x N

x

y xT

∂

∂+∂

∂+∂

∂=∂

∂

33

22

11 ),( ),( ),(),( T

y y x N T

y y x N T

y y x N

y y xT

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

( ) J y yb x

y x N / ),( 3211 −==∂∂

( ) J y yb x

y x N / ),( 1322 −==∂∂

( ) J y yb x

y x N / ),( 2133 −==∂∂

( ) J x xc y

y x N / ),( 2311 −==∂�

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