Aporte de Euclides a la Aporte de Euclides a la CienciaCiencia

David CalderaDavid CalderaPablo NavarretePablo NavarreteFrancisca PinoFrancisca Pino

Mario ToroMario ToroElizabeth VillanuevaElizabeth Villanueva

Contexto HistóticoContexto Histótico

Los primeros y más antiguos textos Los primeros y más antiguos textos de matemáticas provienen de matemáticas provienen principalmente de Mesopotamia y principalmente de Mesopotamia y zonas cercanas a este lugar. Sin zonas cercanas a este lugar. Sin embargo la historia de la matemática embargo la historia de la matemática no se aposenta en esta zona, si no en no se aposenta en esta zona, si no en Grecia.Grecia.

Hubieron aportes mayormente de los Hubieron aportes mayormente de los Fenicios con un sistema de Fenicios con un sistema de numeración menos engorroso que el numeración menos engorroso que el egipcio que luego continuaron los egipcio que luego continuaron los griegos.griegos.

Estos últimos hicieron de estos Estos últimos hicieron de estos conocimientos una herramienta conocimientos una herramienta fundamental en los asuntos fundamental en los asuntos humanos.humanos.

En Grecia exisiteron grandes En Grecia exisiteron grandes referentes como Tales de Mileto, referentes como Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides.Pitágoras y Euclides.

Euclides plasmó la abstracción, la inducción y la Euclides plasmó la abstracción, la inducción y la demostración.demostración.

También aportó en la biblioteca de Alejandria escribiendo una También aportó en la biblioteca de Alejandria escribiendo una recopilación de libros acerca de propiedades de la geometría y recopilación de libros acerca de propiedades de la geometría y los números, estableciendo Axiomas de los cuales se desglosa la los números, estableciendo Axiomas de los cuales se desglosa la geometría que conocemos hoy.geometría que conocemos hoy.

Portada de la primera edición inglesa de los Portada de la primera edición inglesa de los Elementos de Euclides (Londres 1570)Elementos de Euclides (Londres 1570)

Matemáticos de la Antiguedad

SigloMatemáticos

XVIII a. C. Ahmés

VI Tales y Pitágoras

V Zenón, Hipócrates

IV Platón, Eudoxo

III Euclides, Arquímedes y Apolonio

II Hiparco

I d.C. Menelao

II Ptolomeo

III Diofanto

VII Pappus, Brahmagupta

VIII Al-Jwarizmi

XIII Leonardo de Pisa

Constitución de los ElementosConstitución de los Elementos Lo que hoy llamamos Elementos de Euclides es un texto Lo que hoy llamamos Elementos de Euclides es un texto

que nos ha llegado mediante una redacción de Teón de que nos ha llegado mediante una redacción de Teón de Alejandría del siglo IV y que pudo ser completado Alejandría del siglo IV y que pudo ser completado posteriormente con la ayuda de papiros y manuscritos posteriormente con la ayuda de papiros y manuscritos antiguos, algunos anteriores a Teón, y aunque la redacción antiguos, algunos anteriores a Teón, y aunque la redacción de éste es bastante completa y revisada, no debe olvidarse de éste es bastante completa y revisada, no debe olvidarse que es posterior en seis siglos a la redacción original, a la que es posterior en seis siglos a la redacción original, a la cual pudo haberse introducido durante ese lapso buen cual pudo haberse introducido durante ese lapso buen número de modificaciones e interpolaciones. número de modificaciones e interpolaciones.

Los Elementos se componen de trece libros con un total de Los Elementos se componen de trece libros con un total de 465 proposiciones: 93 problemas y 372 teoremas. Gran 465 proposiciones: 93 problemas y 372 teoremas. Gran parte de ellos se abren con un grupo de definiciones parte de ellos se abren con un grupo de definiciones (términos según el vocablo utilizado por Euclides) a las que (términos según el vocablo utilizado por Euclides) a las que en el primer libro se agregan las proposiciones básicas, en el primer libro se agregan las proposiciones básicas, nuestros axiomas, que Euclides distingue entre postulados nuestros axiomas, que Euclides distingue entre postulados y nociones comunes.y nociones comunes.

Libros I-IVLibros I-IV Teoría Elemental de la Geometría PlanaTeoría Elemental de la Geometría Plana Los primeros cuatro libros de los Elementos, de probable Los primeros cuatro libros de los Elementos, de probable

origen pitagórico, comprenden las proposiciones más origen pitagórico, comprenden las proposiciones más importantes de geometría plana elemental, referentes a importantes de geometría plana elemental, referentes a triángulos, paralelogramos, equivalencias, teorema de triángulos, paralelogramos, equivalencias, teorema de Pitágoras, circunferencias e inscripción y circunscripción de Pitágoras, circunferencias e inscripción y circunscripción de polígonos regulares. polígonos regulares.

Libro ILibro I No hay ninguna introducción o preámbulo a la obra, y el No hay ninguna introducción o preámbulo a la obra, y el

primer libro comienza abruptamente con una lista de 23 primer libro comienza abruptamente con una lista de 23 definiciones. Seguidamente se añaden, tal y como se ha definiciones. Seguidamente se añaden, tal y como se ha dicho, las 13 proposiciones básicas: postulados y nociones dicho, las 13 proposiciones básicas: postulados y nociones comunescomunes

Nociones comunes Nociones comunes Las cosas iguales a una misma cosa, son también iguales Las cosas iguales a una misma cosa, son también iguales

entre sí. entre sí. Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son

iguales. iguales. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son

iguales. iguales. Si a cosas desiguales se añaden cosas iguales los totales Si a cosas desiguales se añaden cosas iguales los totales

son desiguales. son desiguales. Los dobles de una misma cosa son iguales entre sí. Los dobles de una misma cosa son iguales entre sí. Las mitades de una misma cosa son iguales entre sí. Las mitades de una misma cosa son iguales entre sí. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. El todo es mayor que la parte. El todo es mayor que la parte.

Consta de 48 proposiciones (14 problemas y 34 teoremas) y Consta de 48 proposiciones (14 problemas y 34 teoremas) y puede considerarse dividido en dos partes: las primeras 32 puede considerarse dividido en dos partes: las primeras 32 proposiciones se refieren a las propiedades de los triángulos, proposiciones se refieren a las propiedades de los triángulos, terminando con el teorema característico de la geometría terminando con el teorema característico de la geometría euclidiana de ser constante el igual a dos rectos la suma de los euclidiana de ser constante el igual a dos rectos la suma de los ángulos de cualquier triángulo.ángulos de cualquier triángulo.

Cabe agregar que el Cabe agregar que el Quinto PostuladoQuinto Postulado, el de las paralelas, por , el de las paralelas, por cuanto se deduce de él la existencia de la paralela única a una cuanto se deduce de él la existencia de la paralela única a una recta desde un punto exterior, no se introduce hasta la recta desde un punto exterior, no se introduce hasta la proposición 29, lo que prueba que Euclides trató evidentemente proposición 29, lo que prueba que Euclides trató evidentemente de evitarlo en las 28 anteriores, grupo de proposiciones que de evitarlo en las 28 anteriores, grupo de proposiciones que constituye de por sí una geometría independiente del quinto constituye de por sí una geometría independiente del quinto postulado.postulado.

Las últimas 16 proposiciones del libro se refieren en cambio a Las últimas 16 proposiciones del libro se refieren en cambio a paralelogramos y triángulos y sus equivalencias, terminando con paralelogramos y triángulos y sus equivalencias, terminando con los teoremas, directo y recíproco, de Pitágoras. La demostración los teoremas, directo y recíproco, de Pitágoras. La demostración de ese teorema, según comentaristas antiguos, pertenecería al de ese teorema, según comentaristas antiguos, pertenecería al mismo Euclides. En ella, Euclides no da la demostración que se da mismo Euclides. En ella, Euclides no da la demostración que se da normalmente en los libros de texto actuales, en los cuales se normalmente en los libros de texto actuales, en los cuales se aplican proporciones simples entre los lados de los triángulos aplican proporciones simples entre los lados de los triángulos semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa. Se supone que evitó tal la demostración debido a las hipotenusa. Se supone que evitó tal la demostración debido a las dificultades que trae consigo en el caso de inconmensurabilidad. dificultades que trae consigo en el caso de inconmensurabilidad. Solamente al llegar al Libro V se dedica Euclides a establecer la ya Solamente al llegar al Libro V se dedica Euclides a establecer la ya bien fundamentada teoría de proporciones, y hasta ese momento bien fundamentada teoría de proporciones, y hasta ese momento evita en lo posible el uso de las mismas.evita en lo posible el uso de las mismas.

Para demostrarlo utilizó en cambio una bella demostración Para demostrarlo utilizó en cambio una bella demostración en la que se usa una figura que se ha descrito a veces en la que se usa una figura que se ha descrito a veces como un molino de viento o como la silla de la novia como un molino de viento o como la silla de la novia (Matehematical Gazette, 11, 1922-1923)(Matehematical Gazette, 11, 1922-1923)

Demostrando que la suma de los cuadrados es igual al cuadrado sobre la hipotenusa

Euclides. Elementos. Libro I, proposición Euclides. Elementos. Libro I, proposición 47. El teorema de Pitágoras. (Manuscrito 47. El teorema de Pitágoras. (Manuscrito griego 2344, siglo XII.) griego 2344, siglo XII.)

El libro II de los El libro II de los elementos es uno elementos es uno de los más cortos, de los más cortos, y su contenido no y su contenido no tiene mayor tiene mayor importancia en la importancia en la matemática matemática moderna.moderna.

El libro utiliza el El libro utiliza el concepto de concepto de gnomon para la gnomon para la mayoría de las mayoría de las proposiciones proposiciones

Los siguientes libros III y IV estan Los siguientes libros III y IV estan dedicados principalmente a la geometría dedicados principalmente a la geometría de la circunferencia.de la circunferencia.

La proposición más importante es la La proposición más importante es la constancia del producto de los segmentos constancia del producto de los segmentos determinados por las secantes trazados determinados por las secantes trazados desde un punto interior o exterior.desde un punto interior o exterior.

Aquí se estudian también problemas Aquí se estudian también problemas relacionados con la circunscripción e relacionados con la circunscripción e inscripción de poligonos regulares.inscripción de poligonos regulares.

Los libros V y VI estudian la teoría general Los libros V y VI estudian la teoría general de las proporciones numéricas.de las proporciones numéricas.

Se generaliza el teorema de pitágoras.Se generaliza el teorema de pitágoras.

Los libros VII al IX tratan la aritmética.Los libros VII al IX tratan la aritmética. Aquí se estudian la teoría de proporciones, Aquí se estudian la teoría de proporciones,

números primos, mcd , mcm, progresiones números primos, mcd , mcm, progresiones geométricas y propiedades sencillas de geométricas y propiedades sencillas de cuadrados y cubos.cuadrados y cubos.

El libro IX presenta una resolución importante al El libro IX presenta una resolución importante al problema de la factorización de un número. Aquí problema de la factorización de un número. Aquí se reconoce que todo número posee una se reconoce que todo número posee una factorización única en factores primos, además factorización única en factores primos, además que el número de primos es infinito y se que el número de primos es infinito y se establece el concepto de número perfecto.establece el concepto de número perfecto.

El libro X recibe el nombre de “La cruz de las El libro X recibe el nombre de “La cruz de las matemáticas”, en donde se trata la clasificación matemáticas”, en donde se trata la clasificación de segmentos incomensurables. Hoy se considera de segmentos incomensurables. Hoy se considera como un linro sobre números irracionales.como un linro sobre números irracionales.

Entre otros libros fuera de la obra de Entre otros libros fuera de la obra de los elementos, Euclides estudió los elementos, Euclides estudió problemas de la óptica, astronomía y problemas de la óptica, astronomía y mecánica.mecánica.

Los 5 postualdos de EuclidesLos 5 postualdos de Euclides

1. - Una recta puede trazarse desde un punto 1. - Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro.cualquiera hasta otro.

2. - Una recta finita puede prolongarse 2. - Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida.indefinida.

3. - Una circunferencia puede describirse con un 3. - Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia.centro y una distancia.

4. - Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.4. - Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.5. - Si una recta que corte a otras dos forma con 5. - Si una recta que corte a otras dos forma con

éstas ángulos interiores del mismo lado de ella éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado en que dicha suma de ángulos cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos.sea menor que dos rectos.

QUINTO POSTULADO DICE LITERALMENTE ASÍ:QUINTO POSTULADO DICE LITERALMENTE ASÍ: ““Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los

ángulos internos, del mismo lado, menores que ángulos internos, del mismo lado, menores que dos rectos, entonces las dos rectas prolongadas dos rectos, entonces las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado que indefinidamente se encontraran en el lado que están los ángulos menores que los rectos.”están los ángulos menores que los rectos.”

ALGUNAS FORMULACIONES EQUIVALENTES:ALGUNAS FORMULACIONES EQUIVALENTES:1.- Rectas paralelas son equidistantes.1.- Rectas paralelas son equidistantes.2.- Dos rectas paralelas guardan una distancia entre 2.- Dos rectas paralelas guardan una distancia entre

si finita.si finita.3.- Existe un par de triángulos no congruentes, pero 3.- Existe un par de triángulos no congruentes, pero

si semejantes.si semejantes.4.- Por un punto exterior a una recta, sólo cabe 4.- Por un punto exterior a una recta, sólo cabe

trazar un paralela.trazar un paralela.

DIFICULTAD Y PROBLEMA:DIFICULTAD Y PROBLEMA: Hoy resulta difícil comprender que se considerara polémico este Hoy resulta difícil comprender que se considerara polémico este

postulado. Esto es así porque se ha popularizado el postulado de postulado. Esto es así porque se ha popularizado el postulado de Tolomeo, ya que es equivalente.Tolomeo, ya que es equivalente.

Al leer los postulados tal cual los escribió Euclides es fácil Al leer los postulados tal cual los escribió Euclides es fácil entender que muchos consideraran el quinto postulado como entender que muchos consideraran el quinto postulado como algo independiente de los otros cuatro. La pregunta es: ¿Es algo independiente de los otros cuatro. La pregunta es: ¿Es realmente un postulado o debe incluirse entre las proposiciones realmente un postulado o debe incluirse entre las proposiciones o teoremas?o teoremas?

Esto es porque desde el inicio hay diversas dificultades Esto es porque desde el inicio hay diversas dificultades (psicológicas) en aceptarlo, lo cual desarrollo distintas (psicológicas) en aceptarlo, lo cual desarrollo distintas posiciones frente a éste.posiciones frente a éste.

Pues, en toda discusión relacionada con éste, se encuentra el Pues, en toda discusión relacionada con éste, se encuentra el horror a lo infinito. La posibilidad de que las cosas sucedan en el horror a lo infinito. La posibilidad de que las cosas sucedan en el infinito les repulsa a los griegos.infinito les repulsa a los griegos.

INDEPENDENCIA DEL QUINTO POSTULADO:INDEPENDENCIA DEL QUINTO POSTULADO: Después de 22 siglos, tras la escritura de “Los Elementos” se Después de 22 siglos, tras la escritura de “Los Elementos” se

concluyó que el quinto postulado es independiente de los otros concluyó que el quinto postulado es independiente de los otros cuatro.cuatro.

La prueba de esto está en que existen dos geometrías en las La prueba de esto está en que existen dos geometrías en las que no se cumple este postulado.que no se cumple este postulado.

Según Euclides una línea es una longitud sin anchura. Una línea Según Euclides una línea es una longitud sin anchura. Una línea recta es aquella que yace por igual al respecto de los puntos recta es aquella que yace por igual al respecto de los puntos que están en ellas.que están en ellas.

La definición de Arquímedes es: La recta es la mas corta de La definición de Arquímedes es: La recta es la mas corta de todas la líneas que tienen los mismos extremos. todas la líneas que tienen los mismos extremos.

APARICIÓN GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS:APARICIÓN GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS:

La independencia del quinto postulado la concluyen Bolyai La independencia del quinto postulado la concluyen Bolyai y Lovatchevsky, mediante la contradicción matemática y y Lovatchevsky, mediante la contradicción matemática y sus geometrías.sus geometrías.

La idea es la siguiente: Si el quinto postulado depende de La idea es la siguiente: Si el quinto postulado depende de los otros cuatro no hace falta incluirlo, pues aparecería los otros cuatro no hace falta incluirlo, pues aparecería como teoría mas tarde. Por otro lado, si se elimina el como teoría mas tarde. Por otro lado, si se elimina el postulado y se añade la negación de este, entonces debe postulado y se añade la negación de este, entonces debe ser dependiente de los otros cuatro. Así llegaremos a que el ser dependiente de los otros cuatro. Así llegaremos a que el quinto postulado y su contrario son ciertos, lo cual no es quinto postulado y su contrario son ciertos, lo cual no es admisible. Por lo que alguna hipótesis es falsa.admisible. Por lo que alguna hipótesis es falsa.

Si bien es cierto, con esto no se llegó a una contradicción Si bien es cierto, con esto no se llegó a una contradicción alguna, se comprobó que las geometrías de Bolyai y alguna, se comprobó que las geometrías de Bolyai y Lobatchevsky eran consistentes.Lobatchevsky eran consistentes.

Por ejemplo, para negar el quinto postulado, podemos decir Por ejemplo, para negar el quinto postulado, podemos decir que si pasan rectas infinitas, obtenemos la geometría que si pasan rectas infinitas, obtenemos la geometría hiperbólica de Lobatchevsky.hiperbólica de Lobatchevsky.

Importancia y Trasendencia de Importancia y Trasendencia de EuclidesEuclides

· Recopilación y resumen de obras previas.· Recopilación y resumen de obras previas.· Geometría como instrumento de · Geometría como instrumento de

razonamiento deductivo.razonamiento deductivo.· Influencia sobre el pensamiento científico.· Influencia sobre el pensamiento científico.· Motivación al posterior desarrollo de · Motivación al posterior desarrollo de

nuevas geometrías.nuevas geometrías.· Utilidad en distintas disciplinas científicas.· Utilidad en distintas disciplinas científicas.· Vigencia de la geometría plana como · Vigencia de la geometría plana como

contenido visto en la educación primaria y contenido visto en la educación primaria y secundaria.secundaria.