REALIZACION DEL TRABAJO

1. Indique cules de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes y cules son diferenciales lineales no homogneas y resulvalas.

F.

Ecuacin Caracterstica

Particular

Solucin General

Es una ecuacin diferencial lineal no homognea.

2. Demostrar que -, son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuacin diferencial:

Solucin:

Realizamos el proceso de derivacin

Luego entonces

Reemplazamos:

0=0

Entonces si x= 0, la derivada de |x|3 no existe.

Ahora comprobamos que

Entonces dado que: (1) a. Para Ya se hizo la comprobacin

b. Entonces para , se tiene

, luego entonces se cumple que:

c. Para ; sea

Derivamos

Reemplazamos en (1)

Por consiguiente se cumple que, son soluciones lineales independientes

ACTIVIDAD UNIDAD 1

1. Indique cules de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes y cules son diferenciales lineales no homogneas y resulvalas.

1.

1.

1.

1.Indique cules de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes y cules son diferenciales lineales no homogneas y resulvalas.

Punto e.

Esta ecuacin diferencial lineal es no homogneaEntonces se da por la siguiente situacin:

Entonces:

3Luego:

Entonces la funcin particular se desarrolla as:

Ahora se deduce la solucin:

4. Encontrar un operador diferencial que anule a:Punto c.

El operador es

4. Encontrar un operador diferencial que anule a:Punto d.

El operador es

G.

5. Resolver la siguiente ecuacin diferencial:

3. a. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variacin de parmetros:

Forman una Ecuacin Diferencial Ordinaria Homognea asociada:Esta es unaecuacin diferencial linealque puede ser expresada como un conjunto de sumandos cada uno de los cuales es lineal en la incgnita o una de sus derivadas.

Ejercicio escogido: G

La ecuacin diferencial NO es homognea.Podemos resolver la ecuacin por separacin de variables:

La solucin es

1.

Demostrar que y ; son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuacin diferencial:

en el intervalo Calculamos el Wronskiano:

Por lo tanto, las soluciones SON LINEALMENTE INDEPENDIENTES.

2. A. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variacin de parmetros:

1. Encontrar un operador diferencial que anule ab.

Por lo tanto el anulador es

EJERCICIO DE APLICACIN

Considere una masa de 30 kg que est unidad a una pared por medio de un resorte de constante k=30N/m. Si se alarga el resorte una distancia de 0.18 m y se suelta a partir del reposo, determine la posicin y la velocidad de la masa en el tiempo, la frecuencia de oscilacin, la amplitud, el ngulo de fase y las energas potencial y cintica en el tiempo t.

SOLUCION

Se identifican los datos que suministra el ejercicio

Distancia resorte 0,18 m

Diagrama de Cuerpo libreY

aK= 30 N/m

x

X equivale a la posicin y si se deriva x con respecto a t se halla la velocidad, y si se deriva la velocidad se halla la aceleracin.

Es decir

Reemplazamos los valores que especifica el ejercicio

= 1a La raz cuadrada de un nmero negativo es un nmero imaginario.

La solucin para esta ecuacin es

X = se aplica la propiedad:

1.

1.

A = 0,18 amplitud

X = 0.18 m/s cos ( t) equivale a la posicin

V= - 0,18 m/s sen ( t) equivale a la velocidad

T = = T = Periodo

F = = 0,16 Hz frecuencia

Energa cintica

Energa potencial

EJERCICIO PROPUESTO+

-+

-

1. Calcule las races de la ecuacin caracterstica1. Describa si es sub amortiguado, crticamente amortiguado o sobre amortiguado, justifique.1. Calcule para donde

SOLUCIONa) Calcule las races de la ecuacin caracterstica

b) Describa si es sub amortiguado, crticamente amortiguado o sobre amortiguado, justifique.como la respuesta es sub amortiguada y por tanto la ecuacin solucin tiene la forma

c) Calcule para

Como

Entonces

Por tanto

Considere una masa de 10 kg que est unidad a una pared por medio de un resorte de constante k=10N/m. Si se alarga el resorte una distancia de 0.02 m y se suelta a partir del reposo, determine la posicin y la velocidad de la masa en el tiempo, la frecuencia de oscilacin, la amplitud, el ngulo de fase y las energas potencial y cintica en el tiempo t.

DATOS

Masa =10gConstante k= 10N/mDistancia de alargue =0.02 mDeterminar la posicin de la masa en el tiempo T.Determinar la velocidad de la masa en el tiempo T.Determinar la frecuencia de la oscilacin Determinar la amplitud Determinar el ngulo de fase.Determinar energas potenciales y cinticas en el tiempo t.

En este caso empezaremos buscando la solucin a la elongacin del resorte el cual se determina de la siguiente forma

La elongacin del resorte es:

x = A.cos( t +)

A la amplitud, la frecuencia angular y la constante de fase o fase inicial.

Si se suelta a partir del reposo, t = 0, x = A; cos() = 1; luego = 0

Se sabe que = (k/m) =(10 N/m / 10 kg) = 1 rad/s

Por lo tanto: x = 0,02 m cos(1 rad/s t) es la ecuacinde la elongacin o posicin

La velocidad es la derivada de la posicin respecto del tiempo:

v = dx/dt = - 0,02 m . 1 rad/s sen(1 rad/s t)

= 2 f; luego f = / (2) = 1 rad/s / (2 rad) = 0,159 Hz

El ngulo de fase es t = 1 rad/s t (la constante de fase es nula)

Ep = 1/2.k.x = 1/2 . 10 N/m . [0,02 m cos(1 rad/s t)]Ep = 0,002 J [cos(1 rad/s)] (energa potencial)

Ec = 1/2.m.v = 1/2 . 10 kg . [0,02 m/s sen(1 rad/s t)]Ec = 0,002 J . [sen(1 rad/s t)] (energa cintica)