Apoyo curricular III Ciclo y Ciclo DiversificadoLos logaritmos ..... 177 Evolución del concepto de...

Programas de estudio

Matemáticas

Apoyo curricular

III Ciclo y Ciclo Diversificado

Programas de estudio

Matemáticas

Apoyo curricular


Costa Rica

2011

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Apoyo curricular


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Apoyo curricular


Contenidos INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................................ 7

TERCER CICLO .................................................................................................................................................................. 11

TERCER CICLO, NÚMEROS ......................................................................................................................................................... 13 Indicaciones metodológicas y de gestión ....................................................................................................................... 13

Introducción .................................................................................................................................................................................. 13 Métodos ........................................................................................................................................................................................ 13 Gestión .......................................................................................................................................................................................... 14 Tecnologías y otros recursos ......................................................................................................................................................... 15

Problemas y situaciones didácticas ................................................................................................................................ 16 7° Año ............................................................................................................................................................................................ 16 8° Año ............................................................................................................................................................................................ 19 9° Año ............................................................................................................................................................................................ 23 Comentarios sobre los problemas ................................................................................................................................................. 27

Uso de historia de las matemáticas................................................................................................................................ 28 Los números irracionales ............................................................................................................................................................... 28 Nanotecnologías ............................................................................................................................................................................ 31 El Googol (o gúgol) ........................................................................................................................................................................ 32

Elementos sobre evaluación de problemas y proyectos ................................................................................................. 33 TERCER CICLO, GEOMETRÍA ....................................................................................................................................................... 37

Indicaciones metodológicas y de gestión ....................................................................................................................... 37 Introducción .................................................................................................................................................................................. 37 Métodos ........................................................................................................................................................................................ 37 Gestión .......................................................................................................................................................................................... 38 Tecnología y otros recursos ........................................................................................................................................................... 38


Uso de historia de las matemáticas................................................................................................................................ 50 La prueba de Euclides del Teorema de Pitágoras .......................................................................................................................... 50 El desarrollo del teorema de Pitágoras en otras culturas .............................................................................................................. 52 Thales y las pirámides .................................................................................................................................................................... 54

Elementos sobre evaluación de problemas y proyectos ................................................................................................. 56 TERCER CICLO, RELACIONES Y ÁLGEBRA ........................................................................................................................................ 61

Indicaciones metodológicas y de gestión ....................................................................................................................... 61 Introducción .................................................................................................................................................................................. 61 Métodos ........................................................................................................................................................................................ 61 Gestión .......................................................................................................................................................................................... 66 Tecnología y otros recursos ........................................................................................................................................................... 66

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Uso de historia de las matemáticas................................................................................................................................ 79 Importancia de la simbología ........................................................................................................................................................ 79 El número de oro o la divina proporción ....................................................................................................................................... 80 Tartaglia y las ecuaciones cúbicas ................................................................................................................................................. 82

Elementos sobre evaluación de problemas y proyectos ................................................................................................. 84 TERCER CICLO, ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD................................................................................................................................. 87

Indicaciones metodológicas y de gestión ....................................................................................................................... 87 Introducción .................................................................................................................................................................................. 87 Metodología .................................................................................................................................................................................. 88 Gestión .......................................................................................................................................................................................... 89 Tecnología y otros recursos ........................................................................................................................................................... 90

Problemas y situaciones didácticas ................................................................................................................................ 92 7° Año ............................................................................................................................................................................................ 92 8° Año .......................................................................................................................................................................................... 102 9° Año .......................................................................................................................................................................................... 110

Uso de historia de las matemáticas.............................................................................................................................. 116 Cálculo de la conducta de la razón .............................................................................................................................................. 116

Elementos sobre evaluación de problemas y proyectos ............................................................................................... 118 Pregunta dirigida .......................................................................................................................................................... 124

CICLO DIVERSIFICADO ....................................................................................................................................................129

CICLO DIVERSIFICADO, GEOMETRÍA ........................................................................................................................................... 131 Indicaciones metodológicas y de gestión ..................................................................................................................... 131

Introducción ................................................................................................................................................................................ 131 Métodos ...................................................................................................................................................................................... 131 Gestión ........................................................................................................................................................................................ 132 Tecnología y otros recursos ......................................................................................................................................................... 133

Problemas y situaciones didácticas .............................................................................................................................. 134 10° Año ........................................................................................................................................................................................ 134 11° Año ........................................................................................................................................................................................ 138 Comentarios sobre los problemas ............................................................................................................................................... 142

Uso de historia de las matemáticas.............................................................................................................................. 143 Las geometrías no euclidianas ..................................................................................................................................................... 143

Aplicaciones ................................................................................................................................................................. 144 La Geometría de Descartes.......................................................................................................................................................... 146 M.C. Escher, ¿artista o matemático? ........................................................................................................................................... 147

Elementos sobre evaluación de problemas y proyectos ............................................................................................... 152 CICLO DIVERSIFICADO, RELACIONES Y ÁLGEBRA ............................................................................................................................ 158

Indicaciones metodológicas y de gestión ..................................................................................................................... 158 Introducción ................................................................................................................................................................................ 158 Métodos ...................................................................................................................................................................................... 158 Gestión ........................................................................................................................................................................................ 165 Tecnología y otros recursos ......................................................................................................................................................... 166

Problemas y situaciones didácticas .............................................................................................................................. 168 10° Año ........................................................................................................................................................................................ 168 11° Año ........................................................................................................................................................................................ 173

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Comentarios sobre los problemas ............................................................................................................................................... 176 Uso de historia de las matemáticas.............................................................................................................................. 177

Los logaritmos ............................................................................................................................................................................. 177 Evolución del concepto de función .............................................................................................................................................. 180 El teorema de Fermat .................................................................................................................................................................. 184

Pierre de Fermat .......................................................................................................................................................... 185 Leonard Euler .............................................................................................................................................................. 185 Sophie Germain ........................................................................................................................................................... 186 Sophie Germain probó el caso 1 para todo p menor que 100 y Adrien-Marie Legendre extendió sus métodos a todos los números menores que 197. Aquí se encontró que el caso 2 no estaba demostrado ni siquiera para p = 5, por lo que fue evidente que era en el caso 2 en el que había que concentrarse. Este caso también se dividía entre varios casos posibles. ........................................................................................................................................................................ 186 Dirichlet y otros ........................................................................................................................................................... 186 Andrew Wiles ............................................................................................................................................................... 187 Elementos sobre evaluación de problemas y proyectos ............................................................................................... 188 Pregunta dirigida .......................................................................................................................................................... 193

CICLO DIVERSIFICADO, ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD .................................................................................................................... 197 Indicaciones metodológicas y de gestión ..................................................................................................................... 197

Introducción ................................................................................................................................................................................ 197 Métodos ...................................................................................................................................................................................... 197 Gestión ........................................................................................................................................................................................ 200 Tecnología y otros recursos ......................................................................................................................................................... 201

Problemas y situaciones didácticas .............................................................................................................................. 203 10° Año ........................................................................................................................................................................................ 203 11° Año ........................................................................................................................................................................................ 213

Uso de historia de las matemáticas.............................................................................................................................. 222 Origen de la Estadística ............................................................................................................................................................... 222 Kolmogorov y la probabilidad ...................................................................................................................................................... 225

Elementos sobre evaluación de problemas y proyectos ............................................................................................... 226

REFERENCIAS EN LÍNEA ..................................................................................................................................................233

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS USADAS .........................................................................................................................237

CRÉDITOS .......................................................................................................................................................................241

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Introducción Este documento tiene como principal objetivo servir de apoyo al docente para hacerle frente de la mejor manera al nuevo enfoque presentado en los programas de estudio. Asimismo, se expone una visión más amplia y desarrollada de lo que se busca metodológicamente en la Educación Secundaria con este nuevo currículo. Es por esto que se presentan diversas indicaciones para su implementación en estrecha relación con su fundamentación teórica y organización por medio de áreas matemáticas y procesos matemáticos. En el Tercer ciclo hay aspectos novedosos que se quiere implementar, como el sentido práctico de los números orientado a la resolución de problemas, el tratamiento de figuras en el plano cartesiano para la representación múltiple de objetos, la introducción de las transformaciones en el plano con la traslación y homotecia de figuras, el desarrollo del área de Medidas en una forma transversal a las demás áreas, la vinculación de las ecuaciones y factorizaciones de forma gradual en el estudio de funciones y el seguimiento de las nociones intuitivas de probabilidad vistas en primaria para lograr conceptualizarlas. Asimismo, en el Ciclo diversificado Geometría aparece muy ligada a procesos algebraicos y a transformaciones en el plano, además en el área Relaciones y álgebra se potencia el análisis de funciones y la identificación de modelos matemáticos en situaciones reales, en Estadística y probabilidad se sistematizan los conceptos de probabilidad y se propone un análisis descriptivo de datos de una manera más formal. Es por esto que en este documento se proponen diversas herramientas y recursos que ayudarán y acompañarán al docente en el planeamiento y desarrollo de las lecciones. Las actividades y situaciones-problema que se presentarán desean evidenciar la utilidad de las matemáticas para la vida del ser humano a lo largo de su historia y su gran relevancia en la actualidad no solo para su buen desempeño en la cotidianidad sino también en los avances científicos. Para lograr todo esto se contemplaron aspectos como la contextualización activa, el uso de medidas en los problemas que lo ameriten, una Geometría en movimiento, el álgebra como medio de describir situaciones del entorno y el análisis crítico y fundamentado de situaciones. Por otra parte, se quiere potenciar de forma significativa el uso de tecnologías de información y comunicación (TICS) en el abordaje de determinados tópicos en donde la web o el uso de un software especializado pueden agilizar el aprendizaje y también enriquecer y profundizar los temas. Se presenta una serie de indicaciones que pretenden justificar cuándo es pertinente el uso de las tecnologías digitales y cuando no, así como indicaciones que faciliten su implementación en las lecciones. Otro aspecto que se quiere potenciar es el uso de la historia no como un elemento accesorio sino como una herramienta metodológica que le dé un carácter más humano a las matemáticas y también genere competencias de razonamiento y argumentación basadas en hechos históricos. Por esto, en cada sección de historia de las matemáticas se plantean situaciones-problema que fueron relevantes de acuerdo a las necesidades y el contexto sociocultural donde se originaron. Se desarrollarán propuestas de evaluación de problemas y proyectos por ciclo y por área matemática con el objetivo de ejemplificar una estructura que está relacionada con la resolución de problemas como estrategia metodológica. Estas indicaciones no buscan encajonar o hacer rígida una evaluación,

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sino más bien intentan proponerle al docente algunos lineamientos para la evaluación de este tipo de situaciones. En cada ciclo educativo se encuentran indicaciones de mediación pedagógica en cada una de las cinco áreas matemáticas con las siguientes subsecciones:

• Indicaciones metodológicas y de gestión • Problemas y situaciones didácticas • Uso de historia de las matemáticas • Elementos sobre evaluación de problemas y proyectos

Las indicaciones de método y gestión materializan algunas de las indicaciones generales que se consignan en la segunda parte de los programas: Descripción e indicaciones generales. También éstas amplían y complementan las “indicaciones puntuales” que acompañan los contenidos curriculares en su tercera parte. En el apartado de Recursos se brindan breves sugerencias de los recursos que se pueden usar incluyendo la tecnología y se explican los significados (sentidos y fronteras) del uso de estas herramientas en cada área, así como ejemplos representativos que pueden mostrar la manera de introducirlos.

En la subsección de Problemas y situaciones didácticas se enuncian, enumeran y resuelven situaciones-problema para cada año lectivo en tres niveles de complejidad: reproducción, conexión y reflexión. Esta es una de las principales secciones de este documento: permite al enunciar el problema establecer su pertinencia para el año escolar y en su resolución detallada ofrecer indicaciones pedagógicas relevantes que el docente puede utilizar para preparar sus lecciones. Para diferenciar dichos niveles se muestra a continuación la simbología empleada:

Nivel de complejidadNivel de complejidadNivel de complejidadNivel de complejidad Símbolo Símbolo Símbolo Símbolo Reproducción > Conexión ☯ Reflexión ¿

Estos problemas son ejemplos para comprender mejor el significado de los tres niveles. Las soluciones buscan mostrar con precisión una forma en la que se pueden resolver los problemas, además de aportar algunas sugerencias útiles para el docente.

Uso de historia de las matemáticas ofrece ejemplos y sugerencias, en algunos casos se desarrollan con detalle tópicos históricos que se han mencionado puntualmente en los programas.

Indicaciones sobre evaluación de problemas y proyectos busca aportar criterios a tomar en cuenta. No incluye prescripciones, solamente recomendaciones sistematizadas.

Además, en cada ciclo y en una de las áreas se brinda un ejemplo sobre cómo implementar el uso de la pregunta dirigida. Esta técnica pedagógica es sumamente importante en casos donde el número de estudiantes del grupo es grande. El docente mediante la formulación de preguntas generadoras a sus estudiantes puede favorecer el aprendizaje de una manera efectiva, ágil y rápida, sin dejar de lado el estilo general de enseñanza que promueve el programa, a saber: planteo de la situación-problema, actividad estudiantil, comunicación y contrastación de respuestas e institucionalización. Estas preguntas deben generar interés en los estudiantes e ir desarrollando paulatinamente el concepto y las

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habilidades que se desean dominar. Cabe destacar que este proceso a veces no se cierra para poder dejar abierta la posibilidad de hacer algún proyecto o trabajo extraclase, o para mostrar la riqueza de opciones y respuestas que un tópico puede tener. También al final se incluyen en este documento una colección de referencias en línea que pueden apoyar diferentes aspectos de la práctica docente relacionados con los programas.

Este documento responde a la perspectiva que poseen los programas de matemáticas de una fuerte orientación hacia la acción de aula y a la labor del docente.

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Tercer ciclo

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Tercer Ciclo, Tercer Ciclo, Tercer Ciclo, Tercer Ciclo, NúmeNúmeNúmeNúmerosososos

Indicaciones metodológicas y de gestiónIndicaciones metodológicas y de gestiónIndicaciones metodológicas y de gestiónIndicaciones metodológicas y de gestión

Introducción

En la educación secundaria los conjuntos numéricos !, ", # $ % hasta ahora se han colocado de una manera abstracta que apela más a la memorización de propiedades que a la utilidad de los números y sus operaciones. En los programas de matemáticas nuevos se desea enfatizar un sentido práctico de los números y sus propiedades, especialmente en situaciones asociadas a la resolución de problemas en contextos reales.

El papel de los algoritmos, principalmente en las operaciones básicas, sigue siendo fundamental en este ciclo.

Métodos

1. Al igual que en primaria, es necesario que los conceptos y habilidades concernientes a esta área estén vinculadas con la resolución de situaciones-problema que permitan al estudiante un aprendizaje más significativo.

2. En la metodología se debe dar énfasis a los cálculos operatorios, que son los que permiten desarrollar habilidades o destrezas numéricas en los estudiantes y mayores posibilidades de realizar procesos de modelización numérica y una mejor conexión con la realidad de los estudiantes. Por eso es necesario apuntar al cálculo mental y a la estimación. Esta integración se ve asociada con la resolución de problemas y la contextualización activa que se asumieron como ejes articuladores del currículo.

3. En el Tercer ciclo el sentido numérico está estrechamente asociado a operaciones y cálculos; es el que permite decidir cuál es la estrategia más adecuada para enfrentar un problema: cálculo mental, estimación aproximada, trabajo sistemático con papel y lápiz o el uso de calculadora o incluso la computadora. También, es fundamental la representación múltiple de los números: fracciones, razones o porcentajes.

4. El uso de los números muy grandes o muy pequeños en este ciclo debe analizarse desde situaciones científicas, tecnológicas o económicas. Por ejemplo se pueden buscar noticias como la siguiente:

Indicaciones metodológicas y de gestión

A través de esta noticia se pueden realizar preguntas generadoras como por ejemplo:

a. ¿A cuánto equivale 305 MW?b. ¿A cuántas casas se le puede dar energía eléctrica con este

consume una casa en promedio)?c. ¿Cuál es el costo del proyecto en colones?

Gestión

El planteo de situaciones-problema tiene quePrimaria en lo que respecta al dominio y comprensión de las conexión de los números con otras áreas del saber y la contextualización activa. Para introducir los números enteros negativos, los racionalespueden plantear situaciones-problema interpretación de situaciones del entorno, o bien un determinado conjunto numérico no permitía represus resultados. Particularmente es reconocida la dificultad para introducirlos los números irracionales de forma significativa, por lo que el docente puede recurrir a elementos de historia depara evidenciar en los estudiantes que su nacimiento y aceptación conllevó un largo proceso de asimilación. Para la resolución de estas situacionessuficiente para la realización de experimentos y conjeturas, así como para poder describir los resultados obtenidos. En la etapa de formulación,respuesta sean reales, de aquí la importancia del rol investigador del docente, qufuentes como el Internet puede obtener datos Si bien es cierto que el desarrollo de juegos y retos matemáticos pueden seguir implementándose en este ciclo, la resolución de problemas habilidades de un mayor grado de complejidad y abstracción.

Aunque se hace un énfasis en los cálculos operatorios, no tiene sentido proponer operaciones enormes y con muchos paréntesis. Esto puede causar distracciones matemáticas, pues no encuentran en estas operaciones la practicidad y aplicabilidad de las mismas.

Fuente: www.nacion.com

A través de esta noticia se pueden realizar preguntas generadoras como por ejemplo:MW?

¿A cuántas casas se le puede dar energía eléctrica con este proyecto (investigar cuanto consume una casa en promedio)? ¿Cuál es el costo del proyecto en colones?

tiene que dar continuidad a lo desarrollado durante la Educación lo que respecta al dominio y comprensión de las operaciones, el cálculo mental, la

conexión de los números con otras áreas del saber y la contextualización activa.

Para introducir los números enteros negativos, los racionales no enteros, los irracionales problema que evidencien en los estudiantes su necesidad para la

interpretación de situaciones del entorno, o bien para dar respuesta a problemas matemáticos en donde un determinado conjunto numérico no permitía representar fielmente la realidad que se evidenciaba en

mente es reconocida la dificultad para introducirlos los números irracionales de forma significativa, por lo que el docente puede recurrir a elementos de historia depara evidenciar en los estudiantes que su nacimiento y aceptación conllevó un largo proceso de

Para la resolución de estas situaciones-problema es importante que los estudiantes tengan el tiempo de experimentos y conjeturas, así como para poder describir los resultados

En la etapa de formulación, el docente debe tener cuidado que los datos brindadosrespuesta sean reales, de aquí la importancia del rol investigador del docente, quién fuentes como el Internet puede obtener datos de la realidad.

Si bien es cierto que el desarrollo de juegos y retos matemáticos pueden seguir implementándose en este ciclo, la resolución de problemas es el medio por el cual el estudiante puede adquirir habilidades de un mayor grado de complejidad y abstracción.

énfasis en los cálculos operatorios, no tiene sentido proponer operaciones Esto puede causar distracciones y fobia de los estudiantes hacia las

matemáticas, pues no encuentran en estas operaciones la practicidad y aplicabilidad de las mismas.

Tercer ciclo, Números

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A través de esta noticia se pueden realizar preguntas generadoras como por ejemplo:

proyecto (investigar cuanto

dar continuidad a lo desarrollado durante la Educación el cálculo mental, la

, los irracionales y reales se su necesidad para la

para dar respuesta a problemas matemáticos en donde sentar fielmente la realidad que se evidenciaba en

mente es reconocida la dificultad para introducirlos los números irracionales de forma significativa, por lo que el docente puede recurrir a elementos de historia de las matemáticas para evidenciar en los estudiantes que su nacimiento y aceptación conllevó un largo proceso de

problema es importante que los estudiantes tengan el tiempo de experimentos y conjeturas, así como para poder describir los resultados

brindados y la a través de muchas

Si bien es cierto que el desarrollo de juegos y retos matemáticos pueden seguir implementándose en adquirir y desarrollar

énfasis en los cálculos operatorios, no tiene sentido proponer operaciones y fobia de los estudiantes hacia las

matemáticas, pues no encuentran en estas operaciones la practicidad y aplicabilidad de las mismas.

Indicaciones metodológicas y de gestión Tercer ciclo, Números

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Tecnologías y otros recursos

La calculadora científica se puede trabajar a partir de 7°Año como una herramienta que permita al estudiante concentrarse en los aspectos claves de la resolución de problemas como la elaboración de estrategias, comunicación e intercambio de ideas y elaboración de conjeturas. A continuación se propone un ejemplo de este tipo de actividad:

Tecnología utilizada

Problema Comentarios

Internet y calculadora

Investigue en Internet cuál ha sido la capacidad máxima de los siguientes dispositivos de almacenamiento:

• Disquete de 8 pulgadas • Disquete de 5 ¼ pulgadas • Disquete de 3 ½ pulgadas • Disco compacto (CD) • DVD • Blu-ray • Llave maya • Disco duro externo

Conteste con respecto a la capacidad de los dispositivos:

¿Cuántos CD caben en una llave maya de 16 Gbytes?

¿Cuántos disquetes de 3 ½ caben en un DVD?

¿Cuántos disquetes de 8 pulgadas caben en un Blu-ray?

¿Cuántos DVD caben en un disco duro externo de 2 Tbytes?

Datos de dispositivos de almacenamiento

Los discos flexibles o también llamados disquete fueron los más usados en los años 1980 y 1990, comenzando de 8 pulgadas, luego con 5 1/4 y para finalizar los de 3 1/2, esto en cuanto a sus dimensiones. En cuanto a capacidad de almacenamiento o memorización pasaron de tener alrededor de 200 Kbytes, 1,2 MBytes y 1,44 Mbytes respectivamente.

No obstante a comienzos de los años noventa, al aumentar el tamaño de los programas informáticos se requería mayor número de disquetes para guardar una determinada información debido a que dichos disquetes no eran suficientes. Por esta razón, a finales de la década de los noventa la distribución de programas cambió gradualmente al CD-ROM, cuya capacidad empezó en 193,536 Mbytes hasta los 912,384 Mbytes.

Ya en la actualidad han surgido los DVD cuya capacidad es de 4,7 Gbytes y las “llaves mayas” que en su comienzo tenían capacidad de 128 Mbyte y que fueron evolucionando en velocidad y capacidad pasando a 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 y 256 Gbytes.

Por otro lado, han aparecido también los discos duros externos, que en el año 2011, se pueden conseguir de hasta 4 Tbytes.

http://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtml


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Problemas y situaciones didácticasProblemas y situaciones didácticasProblemas y situaciones didácticasProblemas y situaciones didácticas Las situaciones o problemas a tratar en este ciclo en el área de Números buscan consolidar conceptos y algoritmos. Se consideran tres niveles de complejidad: reproducción (>), conexión (☯) y reflexión (¿). A continuación se proporcionan ejemplos para cada año lectivo, de cada nivel.

7° Año

1. > Alicia va al club cada día, Beatriz va cada dos días, Carlos va cada tres, Daniel cada cuatro, Enrique cada cinco, Francisco cada seis y Gabriela cada 7. Si hoy están todos en el club, ¿dentro de cuántos días será la próxima vez que vuelvan a reunirse?

Solución

En este tipo de problemas es importante que el docente brinde el tiempo necesario al estudiante para que pueda explorar el problema de una forma intuitiva utilizando conocimientos previos. Por ejemplo, un estudiante podría hacer una simulación de la situación con el objetivo de ver si hay algún patrón que le pueda servir para encontrar la solución.

No necesariamente el estudiante resuelve el problema mediante un procedimiento deductivo, puede ser inductivo, por lo que es importante permitirle utilizar diferentes esquemas, dibujos, materiales concretos, etc. Una idea es pensar que se vieron cualquier día de la semana, por ejemplo lunes, y hacer un esquema por semanas, como el siguiente:

Semana 1 Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Alicia X X X X X X X Beatriz X X X X Carlos X X X Daniel X X Enrique X X Francisco X X Gabriela X

Problemas y situaciones didácticas Tercer ciclo, Números

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Semana 2 Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Alicia X X X X X X X Beatriz X X X Carlos X X Daniel X X Enrique X Francisco X Gabriela X

Semana 3 Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Alicia X X X X X X X Beatriz X X X X Carlos X X Daniel X X Enrique X X Francisco X Gabriela X

El estudiante se dará cuenta en algún momento que con este procedimiento tardará mucho en encontrar la solución; sin embargo, de esta forma se puede dar cuenta de ciertas características del problema. Por ejemplo, que Alicia siempre va a coincidir con todos, que el día que se vuelvan a ver tendrá que ser el mismo (en este caso lunes) para que coincida con Gabriela. Además, nociones que tienen que ver con múltiplos comunes, por ejemplo que Beatriz y Carlos coinciden cada 6 días y que ellos a su vez coinciden con Daniel cada 12 días, entre otras relaciones.

Luego de una discusión acerca de los distintos procedimientos desarrollados por los estudiantes, el docente los agrupa de acuerdo a su similitud y selecciona el que considere más eficiente. Por último, puede proponer la siguiente solución que utiliza el concepto de mínimo común múltiplo.

Como se necesita una cantidad de días donde todos coincidan se requiere un número de días que sea divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

Se obtiene el Mínimo Común Múltiplo

1 2 3 4 5 6 7 2

2

3

5

_7_

420

1 3 2 5 3 7

3 1 5 3 7

1 5 1 7

1 7

1

Así, deben pasar 420 días para que vuelvan a reunirse.

Importante: no conviene dar esta última solución prontamente, ya que lo trascendental del problema no es el resultado sino el análisis que el estudiante pueda realizar del mismo.


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2. ☯ La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 6 ºC cada 1000 m. Si la temperatura del aire al nivel del mar en Puntarenas es de 24 ºC, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de -60 ºC?

Solución

Es importante hacer un análisis de la situación. Primero es importante calcular la diferencia de temperaturas en el aire en Puntarenas y la ubicación del avión. Lo más intuitivo es pensar en la escala de un termómetro imaginario como el siguiente:

Para obtener la diferencia de temperaturas, se visualiza que la distancia se puede calcular así: De -60°C a 0°C hay 60°C y de 0°C a 24°C hay 24°C, por lo tanto hay una diferencia de temperaturas de 60°C+24°C=84°C. Como por cada 6°C hay 1000 m entonces

, así la altura del avión será 14 000 m. Este problema sirve para institucionalizar el concepto de resta de números enteros y el valor absoluto de un número entero:

3. ¿ Utilizando cinco veces el número dos y los símbolos u operaciones matemáticas conocidas (suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación), escribir una operación cuyo resultado sea -15. Por ejemplo:


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Solución

Es importante que el estudiante pueda explorar por sí solo las relaciones y propiedades de los números con respecto a las operaciones. Un ejemplo es

Los dos primeros problemas de este año pueden ser aprovechados por el docente para activar los procesos de resolución de problemas y conexiones.

8° Año

4. > Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto rectilíneo de este a oeste de

572 km. El automóvil A lleva recorridos los del trayecto cuando el B ha recorrido los

del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno? Represente mediante un número racional el desplazamiento que año lectivo realizar el automóvil que va de primero para estar en la misma posición que el otro automóvil.

Solución

En este problema se quiere que el estudiante desarrolle la noción intuitiva de comparación de fracciones. Un primer acercamiento puede ser la representación gráfica de las fracciones:

Distancia total

572km

Desplazamiento de A

Desplazamiento de B

Se logra visualizar que el automóvil B se ha desplazado más que el automóvil A. Teniendo estas tres representaciones gráficas se puede motivar al estudiante a realizar conjeturas acerca de la cantidad de kilómetros recorridos por los automóviles; por ejemplo, se puede decir que A ha recorrido


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aproximadamente 250 kilómetros y que B ha recorrido aproximadamente 260 kilómetros, o sea hay una

diferencia aproximada de 10 kilómetros que se puede representar como de la distancia total. Con

este análisis el estudiante logra comprender la utilidad de las fracciones.

Luego se pueden institucionalizar varios conceptos por medio del siguiente procedimiento:

A_________

B___________

Claramente se puede apreciar que el automóvil B va de primero, además cuales son los trayectos recorridos de cada uno. Es importante contrarrestar y discutir las conjeturas anteriores con los resultados obtenidos.

Para representar mediante un número racional el desplazamiento que realiza el automóvil A para alcanzar al automóvil B, se puede realizar una resta con números racionales:

O también una respuesta aproximada como la siguiente:

También se puede lograr una conexión con álgebra si se plantea la siguiente ecuación para averiguar el desplazamiento que requiere el primer automóvil para alcanzar al segundo es:

obteniéndose así , que es lo que falta de recorrer al primer automóvil.

5. ☯ Investigue en Internet o en un libro de geografía la extensión en km2 que tiene cada una de las provincias de Costa Rica. Con base en esa información, responda lo siguiente: a. ¿Cuál es la razón entre la superficie de las provincias que tienen costas con respecto

a las que no las tienen? b. ¿Cuál es la razón entre la superficie de las provincias que limitan con Nicaragua con

respecto a las que limitan con el Océano Pacífico?


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Solución

Este es un problema que tiene como fin relacionar las matemáticas con otras áreas de estudio como la geografía. Esto es importante para que el estudiante interiorice la importancia de las matemáticas para analizar información de distintos ámbitos.

Después de investigar, el estudiante obtiene la siguiente información acerca de la extensión en km2 de las 7 provincias de Costa Rica:

Provincia Extensión (km2) San José 4965,9 Alajuela 9757,5 Heredia 2657,9 Cartago 3124,6 Limón 9188,2 Guanacaste 10 140,7 Puntarenas 11 265,6

Luego se realizan los ejercicios tomando en cuenta esta información y un mapa de Costa Rica como el siguiente:

Fuente: http://www.1-costaricalink.com/costa_rica_provinces_esp.htm

En respuesta a la pregunta a., las provincias que tienen costas son Limón, Guanacaste y Puntarenas, y las que no tienen costas son San José, Alajuela, Cartago y Heredia.

El área de las provincias que tienen costas es


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Ahora, el área de las que no tienen costas es

Es importante usar las unidades de medida para apoyar la contextualización y el papel transversal del área de Medidas. Finalmente la razón entre la superficie de las provincias que tienen costas con respecto a las que no las tienen es

En lo que respecta a la pregunta b., se realiza análogamente al punto a., tomando en cuenta que las provincias que limitan con Nicaragua son Guanacaste, Alajuela, Heredia y Limón y las que limitan con el Océano Pacífico son Guanacaste y Puntarenas.

6. ¿ Tres hermanos tenían una fuerte discusión por causa de una herencia de 23 caballos que les dejó su padre. Según ésta, el hermano mayor debía recibir la mitad de la herencia, el que sigue una cuarta parte y el menor una sexta parte. Un finquero cabalgaba por el lugar y al oírlos discutir se comprometió a resolverles el conflicto con la condición de que producto de ello, recibiría en recompensa uno de los caballos correspondientes a la herencia que se disputaban (problema adaptado del libro El hombre que calculaba de Malba Tahan). a. ¿Por qué al inicio existía disconformidad entre los hermanos? b. Describa cómo el finquero dará solución a dicha situación obteniendo la ganancia

correspondiente. Solución

En problemas de reflexión como éste es trascendental darle al estudiante suficiente tiempo para la exploración, comprensión y análisis de la situación-problema, ya que lo importante en este tipo de problema no es la solución acertada sino los procesos que puede construir el estudiante. Es importante, además, que el estudiante argumente y discuta sus ideas con los compañeros. Luego se puede explicar una posible solución como la siguiente:

a. La discusión se da porque al momento de hacer la repartición, al primero le corresponde 11,5, al segundo 5,75 y al tercero 3,83, lo cual corresponde a números NO enteros, entonces no podrían realizar la repartición de caballos.

b. El finquero propone agregar su caballo a los otros 23, teniendo de esa forma 24 caballos. Luego si se

hace la repartición al primero le corresponde la mitad, es decir 12, al segundo una cuarta parte que corresponde a 6 y finalmente al último una sexta parte que son 4 caballos, quedando así todos conformes porque lograron tener un poco más de lo que inicialmente les correspondía. Pero si se


23

realiza la suma de lo que le correspondió a cada uno se tienen 22, obteniendo el finquero un caballo como recompensa.

Asimismo, es importante discutir el por qué de la interesante solución del finquero. El finquero se percató de que al sumar la repartición de caballos que habían calculado los hermanos sería “21,08 caballos”, o sea faltaba “1,92 caballos”, porque las fracciones de la herencia no suman el total de la herencia, veamos:

Esto quiere decir que hay de la herencia que no se repartió. El finquero audaz juntó su caballo para

que fueran 24 y él poder dejarse el caballo sobrante y repartir el “0,92 caballo” entre los hermanos de la siguiente forma: 0,5 al mayor para que completara los 12 caballos, al del medio 0,25 para que completara 6 caballos y al menor 0,17 para que completara los 4 caballos.

9° Año

7. > Determine tres números irracionales representados con radicales que se encuentran entre los números 7 y 8.

Solución

Se considera en este ejercicio la relación existente entre las potencias y los radicales. Si se desea que uno de los radicales sea una raíz cuadrada, entonces se eleva al cuadrado el 7 y el 8:

con lo que se puede usar cualquier raíz cuadrada que posea un subradical que se ubique entre 49 y 64, por ejemplo . Si se desea que uno de los radicales sea una raíz cúbica, entonces se eleva al cubo el 7 y el 8:

con lo que se puede usar cualquier raíz cúbica que posea un subradical que se ubique entre 343 y 512,

por ejemplo .

De forma análoga se podría elegir una raíz de índice n, n ≥ 4.


24

8. ☯ Si la distancia entre la Tierra y la estrella más cercana (Alfa Centauro) es de y si la velocidad promedio de una nave espacial es de ,

¿cuántos años se tardaría en poder llegar a Alfa Centauro con estas condiciones? Solución

Este es un problema que hace conexión con el área de Medidas ya que aunque se trabaja con unidades ya conocidas como el kilómetro, las cantidades son muy grandes. Así que se podría pensar en trabajar con unidades como el megámetro (Mm) que es igual a 1 000 000 de metros, el gigámetro (Gm) que es igual a 1 000 000 000 metros (mil millones de metros) o el terámetro (Tm) que es igual a 1012 metros (un billón de metros) para simplificar los cálculos. Por ejemplo, la distancia entre la Tierra y la estrella más cercana (Alfa Centauro) se podría expresar como

1,882 ⋅ 1016 Mm 1,882 ⋅ 1013 Gm 1,882 ⋅ 1010 Tm

O también se podría desarrollar la siguiente estrategia de resolución: Si en una hora la nave recorre 27 000 km entonces en un día recorre 648 000 km. Luego, en un año recorre 236 520 000 km. Se divide la distancia total entre lo que recorre por año, obteniendo

años necesarios para llegar a la estrella Alfa Centauro.

9. ¿ Se cuenta con 4 bolsas de caramelos para repartir en tres grupos de personas. En el primer grupo de 5 personas se reparten equitativamente dos de las bolsas y sobra un caramelo. En el segundo grupo de 6 personas se reparten una bolsa y sobran dos caramelos. Finalmente, en el tercer grupo formado por 7 personas se reparte la última bolsa y sobran tres caramelos. Determine cuántos posibles caramelos posee cada bolsa.


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Sugerencia

En este problema no existe una solución única. Se quiere que los estudiantes analicen posibles soluciones al problema y que interioricen algebraicamente el concepto de divisibilidad. Es importante tener claro que no todos los problemas que se plantean en el aula deben tener una única respuesta o solución, ya que la mayoría de situaciones de la vida cotidiana tienen múltiples soluciones y esto hay que hacérselo ver a los estudiantes.

Es por esto que al igual que los demás problemas de reflexión hay que dar el tiempo adecuado para que el estudiante pueda analizar la situación y pueda compartir ideas con los demás compañeros.

Un análisis del problema podría ser:

Si x representa la cantidad de caramelos por bolsa, entonces se tiene que:

Si se reparte en el primer grupo de 5 personas dos bolsas y sobra un caramelo, entonces se tiene que cumplir

, con a entero positivo.

En el grupo de 6 personas se reparten una bolsa y sobran dos caramelos, entonces se tiene que cumplir

, con b entero positivo.

Por último, en el grupo de 6 personas, se tiene que cumplir

, con c entero positivo.

Una posible solución sería , donde a = 15, b = 6, c = 5.


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El siguiente problema permite trabajar algunos elementos de la lógica, tales como el significado de una falacia, así como los métodos de inducción y deducción como una forma de activar procesos de argumentación.

Demuestre que 12 es un número irracional.

Demostración

La demostración se hace por contradicción. Supóngase que

donde el máximo común divisor de p y q es 1. Elevando al cuadrado a ambos miembros se tiene

De lo anterior, p2 es múltiplo de 2, por lo que p es múltiplo de 2 y puede ser expresado de la forma

p = 2k, k entero

Luego,

Con lo cual 34 es múltiplo de 2 y 3 es múltiplo de 2. Así, 5 y 3 son múltiplos de 2 lo que contradice nuestra suposición inicial.

tiene que ser irracional.


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Comentarios sobre los problemas

Particularmente en el área de Números muchos problemas están asociados al nivel de complejidad de conexión, pues esta área es muy amplia y es natural utilizar números y sus operaciones para la resolución de situaciones en otras áreas de las matemáticas.

Es importante que los estudiantes le dediquen el tiempo suficiente a la resolución de los problemas, pues necesitan leer, analizar, plantear, resolver y dar conclusiones.


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Uso de historia de las matemáticasUso de historia de las matemáticasUso de historia de las matemáticasUso de historia de las matemáticas

Los números irracionales

El concepto de número irracional no es una noción fácil de comprender por lo que puede introducirse utilizando notas históricas, por ejemplo:

1. Los Pitagóricos aseguraban que los números racionales eran suficientes para describir toda la Geometría, sin embargo uno de sus miembros Hipaso de Metaponto (500 a. C.) planteó la existencia de otro tipo de números (llamados inconmensurables). En el siguiente texto Cappelleti (1987, p. 266), ilustra el impacto que tuvo hablar de la existencia de los números irracionales (inconmensurables) en la población de la época:

Según una tradición, Hipaso fue expulsado de la comunidad pitagórica por haber divulgado los escritos y la doctrina de Pitágoras. Se dice que fue el primero que divulgó la naturaleza de la conmensurabilidad y de la inconmensurabilidad. Con esto vincula también la doctrina de los números irracionales. La duda sembrada por la revelación del número irracional en la mente del pueblo y la consecuente sospecha del desorden del Universo, podía llegar a tener efectos prácticos muy serios para la comunidad pitagórica. Esta era, como se sabe, un partido político de élite que pretendía imponer un determinado régimen de gobierno y una determinada organización social, basados en el modelo de la sociedad patriarcal y militar de los dóricos. Para imponerse al pueblo habían elaborado una ideología basada en la idea de que era preciso realizar en el Estado (microcosmos) el orden perfecto y la bellísima armonía que reinaba en el Universo (macrocosmos). La ideología se derrumba totalmente en cuanto se empezaba a dudar de ese orden y esa armonía. De hecho, las tendencias democráticas que Jamblico atribuye a Hipaso contaron con la vigorosa oposición de los pitagóricos ortodoxos.

2. A través de la historia se ha ido calculando el número 9 con más exactitud, aproximándolo con un mayor número de decimales. Desde el año 1650 a.C. se calculó que 9 equivalía a . En la actualidad, se han podido calcular 5 billones de decimales. En el sitio web

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pi_10000.htm

puede encontrar los primeros 10 000 decimales de 9. En el siguiente texto tomado de la página web Profesor en línea se amplía la evolución de la aproximación del número π a través de la historia:

Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la

Uso de historia de las matemáticas Tercer ciclo, Números

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correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo).

Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonard Euler en su obra Introducción al cálculo infinitesimal de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludoph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (No se debe confundir con el número de Arquímedes).

El valor computado de esta constante ha sido conocido con diferentes precisiones en el curso de la historia, de esta forma en una de las referencias documentadas más antiguas como la Biblia aparece de forma indirecta asociada con el número natural 3 y en Mesopotamia los matemáticos la empleaban como 3 y una fracción añadida de 1/8.

Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo.

Euclides precisa en sus Elementos los pasos al límite necesarios e investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento.

Arquímedes reúne y amplía estos resultados. Prueba que el área de un círculo es la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3,14084 y 3,14285.

En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximarse un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 =3,14166...

Conforme se han desarrollado las matemáticas, en sus diversas ramas, álgebra, cálculo, etc., se han ido construyendo distintos artificios que permiten afinar cada vez más su valor.

Uno de los casos más curiosos de la historia fue el del matemático inglés William Shanks, quien luego de un trabajo que le demandó casi veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desgraciadamente, Shanks incurrió en un error en el 528º decimal, y a partir de éste están todos mal.

Desde esa fecha hacia delante, se han consignado los siguientes resultados en la búsqueda de un valor para π:

Ferguson, en 1947, obtuvo un valor con 808 decimales.

Usando el computador Pegasus, en 1597, se logró una cifra con 7 840 decimales.

Más tarde, en 1961, usando un computador IBM 7090, se logró llegar a 100 000 decimales.

Luego, en 1967, con un CDC 6600, se llegó a 500 000 decimales.

En 1987, con un Cray-2, se obtuvo una cifra con 100 000 000 decimales para π.

Y finalmente, en 1995, en la Universidad de Tokio, se llegó a un valor de π de 3,14… y se le agregan 4 294 960 000 de decimales.

Recuperado de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numero_Pi.htm el día 19 de setiembre del 2011.


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Actualmente, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En el 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora llamada T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento que juntas obtuvieron esta aproximación en 73 horas y 36 minutos.

3. El número áureo se puede usar en la conexión entre las matemáticas y otras disciplinas como la arquitectura y el arte. Por ejemplo, el Partenón de Grecia está inscrito en un rectángulo áureo.

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/razon-oro.html

Una forma sencilla de determinar con mayor exactitud el valor de : es a través de un algoritmo recursivo muy sencillo, siguiendo los siguientes pasos:

i. Se toma un número cualquiera: n

ii. Se obtiene el inverso de n:

iii. Se suma 1:

iv. Se repite el procedimiento con 18 471 1,62129 29

+ = ≈

Entre más veces se repita este procedimiento se obtiene una mejor aproximación al número áureo. Por ejemplo, observe la siguiente tabla para n = 3:

n 3

A partir de esos ejemplos históricos se puede motivar a la clase; es posible también que algunos estudiantes ya conocieran sobre esas referencias, y se puede propiciar un debate sobre la importancia y algunas características de estos números.


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Nanotecnologías

La palabra “nanotecnología” se usa para referirse a las ciencias y técnicas que se aplican a un nivel de “nanoescala”. Son medidas extremadamente pequeñas llamadas “nanos” que permiten trabajar y manipular las estructuras moleculares y sus átomos. Esta disciplina se produce a partir de las propuestas de Richard Feynman, premio Nóbel de Física, quien en 1959 escribió un artículo en el que analizaba cómo las computadoras trabajando con átomos individuales podrían consumir poquísima energía y conseguir velocidades extraordinarias.

En la década de los 80 del siglo XX, Eric Drexler hace importantes aportaciones a la nanotecnología molecular, esto es, la construcción de nanomáquinas hechas de átomos y que son capaces de construir ellas mismas otros componentes moleculares. Desde entonces Drexler es considerado uno de los mayores visionarios sobre este tema. En 1986, en su libro Engines of creation (Máquinas de creación) introdujo las posibilidades y peligros de la manipulación molecular.

Una idea de las dimensiones que se manejan cuando se refiere a “nanos” se tiene con la noción de nanocable, el cual es un cable que es un nanómetro (una milésima parte de milímetro) de grueso. Los nanocables son usados como semiconductores, diodos emisores de luz (LEDs), etc.

Es posible provocar una discusión sobre esto en el aula, pues son términos muy usados en la actualidad.


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El Googol (o gúgol)

Es importante que los estudiantes comprendan la relevancia que tiene en la actualidad trabajar con números muy pequeños y con números muy grandes, esto sobre todo con el origen de las computadoras que poco a poco han evolucionado desarrollando ordenadores con más memoria de almacenaje y con altas velocidades de procesamiento jamás imaginado. También, cada día hay mayor competencia con respecto a la memoria entre artículos de cómputo (llaves maya, discos duros extraíbles, etc.), correos gratuitos, buscadores, entre otros. Un ejemplo de ello ocurre con el buscador internauta Google, que atiende a 19 millones de usuarios diarios. Este buscador le debe su nombre al número Googol. Así lo iban a llamar sus fundadores originales, pero se decidieron por Google debido a un problema ortográfico. Pero, ¿qué es el número Googol? Coto (2007) responde a la anterior interrogante en el siguiente texto:

Un buen día, en el año 1938, el matemático norteamericano Edward Kasner escribió un número en un papel. El número en cuestión constaba de un 1 seguido de 100 ceros (10 elevado a la 100). Al no saber cómo llamarlo, le dijo a su sobrino Milton, de nueve años, que le pusiese un nombre. Este respondió Googol. Desde entonces, a este numerito en cuestión se le denomina Googol.

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000. 000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000. 000.000.000.000.000

No es que el Googol tenga mucha importancia dentro de las matemáticas, de hecho el propio Kasner lo creó para ilustrar la diferencia entre un número inimaginable grande y el infinito.

Cuando Krasner lo mencionó, resultaba un número difícilmente abordable; de hecho, solo hay que tener en cuenta que es tan grande que supera el número de átomos en el universo, cuyo número se estima entre 1072 y 1087 (sin tener en cuenta a la materia oscura). No obstante, en la actualidad, con la invención de las computadoras, el cálculo de números del tamaño del Googol se ha convertido en rutina. (p. 85)


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Elementos sobre evaluación de problemas y proyectosElementos sobre evaluación de problemas y proyectosElementos sobre evaluación de problemas y proyectosElementos sobre evaluación de problemas y proyectos A continuación se presentan dos situaciones-problema en el área de Números, e indicaciones sobre la evaluación de las posibles estrategias de solución. Situación-problema 1

Los enteros positivos se escriben en orden sucesivo por renglones según la siguiente regla: En el primer renglón va únicamente el 1; después, a partir del segundo renglón, en cada renglón se escribe doble cantidad de números que en el renglón anterior. ¿En qué número de renglón queda escrito el 2011?

Modalidad Área Año Habilidad específica

Problema Números 7° Aplicar el concepto de potencia y la notación exponencial en el cálculo de expresiones numéricas.

Aspectos a evaluar

• Exploración del problema. Aquí se evalúa si el estudiante realmente realizó intentos escritos o bien, la lectura y discusión grupal en pos de la comprensión del problema planteado. En el caso particular del problema expuesto, los estudiantes ordenen los números de la siguiente forma, como un indicador de que han logrado comprender el problema. Fila

1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 4 8 9 10 11 12 13 14 15 . . .

• Establecimiento de una estrategia. Una vez comprendido el problema es conveniente calificar

el tipo de estrategia empleado por el estudiante. En este caso es necesario considerar aspectos como la originalidad, su factibilidad, conexión y belleza. Se muestran a continuación dos posibles estrategias que permiten resolver dicho problema.

Elementos sobre evaluación de problemas y proyectos Tercer ciclo, Números

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Estrategia 1

El estudiante observa la relación existente entre el número de fila y la primera columna de números, la cual constituye una sucesión de números que corresponden a potencias en base dos.

Fila Primera columna

Resultado

1 20 1 2 21 2 3 22 4 4 23 8 5 24 16

Con lo anterior, el estudiante puede desarrollar la sucesión hasta que encuentre el primer elemento de la fila que sobrepasa 2011, en cuyo caso se considera la fila anterior como la opción correcta.

Estrategia 2

El estudiante puede establecer una serie numérica donde cada término corresponde a la cantidad de números que hay por fila. Por ejemplo:

1 + 2+ 4 + 8 +16 + . . . Al establecer el total de dicha suma se puede tener noción de la fila donde se encuentra el número 2011, pues conforme se añaden términos apenas el resultado de la misma supera 2011 la cantidad de términos de la suma refleja el número de fila en la que se ubica dicho número.

Nótese que ambas estrategias denotan originalidad, factibilidad y belleza. En efecto, existe otra estrategia no muy original ni bella que sería escribir los números del 1 al 2011 y comenzar a realizar grupos de un, dos, cuatro, ocho elementos en forma sucesiva hasta que alguno de los grupos contenga al número 2011. Por otra parte, la primera estrategia podría ser mejor evaluada por su conexión con los contenidos de teoría de números estudiados durante ese año.

• Desarrollo de la Estrategia. Se valora si el estudiante hace un uso adecuado de procedimientos matemáticos para desarrollar la estrategia. En este ejemplo es verificar que los cálculos de los estudiantes sean correctos.

Estrategia 1

Fila Primera

columna Resultado

1 20 1 2 21 2 3 22 4 4 23 8 5 24 16 . . .

11 210 1024 12 211 2048

Estrategia 2 1 + 2+ 4 + 8 +16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2047

• Autoreflexión sobre la estrategia. En este punto se evalúa la pertinencia de la estrategia

empleada, valorando si el estudiante mantiene un control sobre algunas variantes del problema. El docente puede hacer preguntas al estudiante sobre posibles variantes no consideradas en el problema para valorar si el estudiante domina la estrategia implementada y si la misma sirve para responder a dichas interrogantes.


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• Análisis de los resultados. Se considera la pertinencia o coherencia de los resultados obtenidos, así como su factibilidad. En el caso de la primera estrategia, el estudiante tiene que comprender que los resultados de la primera columna corresponden al primer elemento de la fila, con lo que no puede pensar que el número 2011 se encuentre en la 12a fila. En el caso de la segunda estrategia, el resultado de la suma permite conocer el último número de la fila (recordar que la cantidad de términos de la suma corresponde a la cantidad de filas) y al haber 11 términos significa que se necesitan 11 filas para ubicar el número 2011.

• Conclusión. Es la respuesta al problema planteado. Situación-problema 2

Exposición: Historia del número

Los estudiantes preparan una exposición que muestre a la comunidad estudiantil cómo ha evolucionado el concepto de número a través de la historia y la influencia que ha ejercido el contexto sociocultural en el surgimiento de los diversos tipos de números. Una actividad de este tipo no puede ser desarrollada en dos lecciones por lo que se puede implementar simultáneamente con el desarrollo de ferias científicas o actividades especiales de interés institucional. Para delimitar los alcances del proyecto, se mencionan a continuación los principales tópicos a desarrollar:

• Evolución de la noción de número desde los inicios hasta la actualidad. • Los sistemas de numeración en las civilizaciones antiguas: Grecia, Egipto, Roma

y Maya. • Evolución del uso de la simbología numérica actual. • Números especiales a través de la historia: π, e y .

• Desarrollo histórico de los números racionales. • Desarrollo histórico de los números irracionales. • Desarrollo histórico del concepto de número entero negativo.

Este proyecto pretende brindar al estudiante la oportunidad de contextualizar de forma histórica todos los conocimientos acerca de la noción de número que ha adquirido a lo largo de su vida estudiantil y de ese modo valorar la parte humana de aquellos hombres y mujeres que hicieron aportes significativos en el quehacer matemático.

Modalidad Área Año Habilidad específica

Proyecto Números 9° Identificar un número real (racional e irracional) en cualquiera de sus representaciones y en diversos contextos.


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Aspectos a evaluar

• Explorar y comprender la situación-problema. Se califica el trabajo en equipo y la participación de todos los estudiantes en la logística involucrada para la realización de la exposición. Como es un proyecto que requiere la participación de todos los estudiantes, es importante que se asignen los grupos de trabajo (no más de cuatro) para los temas propuestos.

• Diseño de la estrategia que involucra la situación-problema. Se valora si los estudiantes llevan información obtenida en libros y por internet del tópico a desarrollar para extraer las ideas principales. Se valora la originalidad con que los estudiantes van a presentar la información (uso de carteles, recursos multimedia, material concreto) y su organización a la hora de exponer los contenidos investigados.

• Implementación de la estrategia. Se aprecia en el momento en que inicia la exposición. Se

pueden evaluar aspectos relacionados a la forma en que los integrantes de los diversos grupos exponen la información, la forma de motivar a los visitantes para que se interesen por la temática expuesta y la originalidad con que se presenta al público la investigación realizada. También puede considerarse si existe una distribución adecuada de los subgrupos en el espacio asignado para el desarrollo de la actividad. El docente puede elaborar preguntas sencillas relacionadas a la temática que expone el grupo para evaluar su desenvolvimiento, dominio y seguridad a la hora de la respuesta.

• Análisis de los resultados. Se valora si realmente el mensaje o la idea que deseaban transmitir

los estudiantes de cada subgrupo de trabajo fue claro.

• Comunicación de los resultados y conclusiones. En las lecciones posteriores a la finalización del evento, se realiza una plenaria donde participan los integrantes del grupo en general para realizar las conclusiones acerca del desarrollo de la actividad: los aciertos, los comentarios que hizo el público participante y los aspectos que se podrían mejorar para otro evento de esta índole. Se evalúa aquí la pertinencia de los comentarios realizados. En general, el proceso de comunicación de los resultados de la investigación se dio durante la actividad, por lo que se evalúa solamente que la presentación escrita del tema investigado esté acorde a las especificaciones brindadas por el docente.

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Tercer Ciclo, Tercer Ciclo, Tercer Ciclo, Tercer Ciclo, GeometríaGeometríaGeometríaGeometría

Indicaciones metodológicas y de gestiónIndicaciones metodológicas y de gestiónIndicaciones metodológicas y de gestiónIndicaciones metodológicas y de gestión

Introducción

En este ciclo el abordaje de los contenidos conviene realizarse en principio mediante la experimentación, para pasar posteriormente a la abstracción y la argumentación matemática. A través de la experimentación el estudiante podrá realizar conjeturas cuya validez deberá argumentar apropiadamente y en algunos casos hacer pruebas usando las propiedades matemáticas (especialmente en el último año del ciclo).

Con el propósito de reforzar la actitud de confianza en la utilidad de las matemáticas es importante la contextualización de los contenidos geométricos y las conexiones con otras disciplinas.

Al finalizar este ciclo el estudiante será capaz de abstraer propiedades geométricas, realizar conjeturas y probar algunas propiedades relacionadas especialmente con triángulos y cuadriláteros.

Métodos

1. Una metodología recomendable en este nivel es el trabajo en grupos. Esto permite reforzar algunas actitudes como participación activa y colaborativa y respeto, aprecio y disfrute de las matemáticas.

2. El trabajo en grupos debe combinarse con la resolución de problemas. También es importante la participación de los estudiantes en la pizarra con el propósito de fortalecer el proceso de comunicación.

3. Algunas cuestiones históricas pueden ser útiles en la introducción de los conceptos.

4. La demostración del teorema de Pitágoras utilizando áreas es un proyecto que puede resultar interesante en el estudio de este tema.

5. Es importante que el estudiante redacte utilizando tanto el lenguaje natural como el lenguaje matemático y la simbología en su argumentación.

Indicaciones metodológicas y de gestión Tercer ciclo, Geometría

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Gestión

En este ciclo se quiere que en la elaboración de situaciones-problema se tomen como base las nociones intuitivas desarrolladas en la Educación Primaria para poder construir a un nivel más formal y en fases crecientes los conceptos y propiedades de distintas figuras antes exploradas. Esto quiere decir que las situaciones-problema se plantean a partir de la visualización de objetos para luego pasar a procesos de razonamiento y análisis de representaciones más generales y abstractas.

Se desea proponer problemas que involucren diferentes representaciones de un mismo objeto, situaciones de movimiento y diversidad de estrategias de resolución. Es por esto que al ser problemas de un nivel de complejidad mayor es necesario que el docente contemple suficiente tiempo en su planeamiento para el trabajo individual y discusión grupal, de lo contrario en lugar de ser un puente al conocimiento serán una barrera que fomentará actitudes negativas hacia la materia.

En el planeamiento conviene tener en mente el uso de la tecnología digital. El hecho de usarla no garantiza un mejor proceso de aprendizaje, incluso puede convertirse en un obstáculo. Se puede usar siempre y cuando eleve los temas a una comprensión mayor o genere mucha mayor apropiación de las propiedades y características de un objeto geométrico. Ahora bien, no solo basta presentar un problema y brindarle al estudiante un software adecuado. Es importante recordar que la computadora por sí sola no enseña, la incorporación del uso de un software en una lección de Geometría tiene que ir acompañada de una guía adecuada para el estudiante donde se realicen preguntas generadoras que ayuden a enriquecer el aprendizaje (sin conducirlo paso a paso a la respuesta).

Tecnología y otros recursos

Algunos recursos que se pueden utilizar son el doblado y recorte de papel, instrumentos como regla, compás y transportador. Por ejemplo para verificar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° (ángulo llano), se les puede pedir a los estudiantes que construyan en cartón o papel para reciclar un triángulo cualquiera y recorten sus esquinas.

Luego, pueden comprobar el teorema uniendo las esquinas de la siguiente manera:

Indicaciones metodológicas y de gestión Tercer ciclo, Geometría

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El uso de software de geometría dinámica es importante. Se sabe que al dibujar cualquier figura geométrica en la pizarra, ésta es estática. A través de este recurso se puede trazar cualquier figura y cambiarla con solo “arrastrar” o mover uno de los elementos que la componen. Esto permite que la visualización sea enriquecedora y que se trabajen procesos como la generalización y la modelización.

A continuación se propone una actividad de esta naturaleza:

Tecnología utilizada

Problema Comentarios

Computadora Con ayuda de un software de geometría dinámica, se le solicita al estudiante: 1. Dibuje un triángulo de medidas 3, 4 y

5. 2. Por cada vértice trace una paralela al

lado opuesto. 3. Verifique que el triángulo formado

por los puntos de intersección de estas rectas es semejante al triángulo inicial.

4. ¿Cuál es la razón de semejanza? 5. Arrastre los vértices del triángulo

inicial para formar otro triángulo cualquiera.

6. ¿Se conserva la semejanza, siempre o en algunos casos? En caso afirmativo, ¿cuál es la razón de semejanza?

7. Pruebe la semejanza en los casos en que se dé.

Es importante fomentar el uso de software libre, pues existen varios de mucha calidad. Entre ellos podemos citar el Geogebra, Regla y Compás, entre otros. Lo valioso de este tipo de actividad es que el estudiante observe y deduzca propiedades que a través de un dibujo en la pizarra difícilmente se podrían deducir. Se puede realizar a modo de presentación (con solo una computadora y un video bean).

Tercer ciclo, Geometría

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Problemas y situaciones didácticasProblemas y situaciones didácticasProblemas y situaciones didácticasProblemas y situaciones didácticas Las situaciones o problemas a tratar en este ciclo buscan la identificación y verificación de propiedades sobre las figuras geométricas. Se consideran tres niveles de complejidad: reproducción, conexión y reflexión. A continuación se proporcionan ejemplos para cada año, de cada nivel. El primer problema del año corresponde a reproducción (>), el segundo a conexión (☯) y el tercero a reflexión (¿).

7° Año

10. > En la figura adjunta, ABCD es un paralelogramo y el ángulo ∠CDE mide 35°. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos del paralelogramo?

Solución

Para poder resolver el problema es necesario que el estudiante domine como conocimiento previo las relaciones métricas que existen entre los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal o secante. En el caso particular del cuadrilátero ABCD de la figura, se tiene que:

∠ADC mide 145°, ya que forma un par lineal con el ∠CDE y entonces:

m∠ADC + m∠CDE = 180°

m∠ADC + 35° = 180°

m∠ADC = 145°

∠BAD mide 35°, ya que ∠BAD y ∠CDE son ángulos correspondientes entre paralelas y por lo tanto miden lo mismo.

∠ABC mide 145°, ya que ∠ABC y ∠DAB son ángulos conjugados internos entre paralelas y por lo tanto son suplementarios:

m∠ABC + m∠DAB = 180°

m∠ABC + 35° = 180°

Problemas y situaciones didácticas Tercer ciclo, Geometría

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m∠ABC = 145°

∠BCD mide 35°, puesto que ∠BCD y ∠CDE son ángulos alternos internos entre paralelas y por lo tanto miden lo mismo.

Al obtener las medidas de los ángulos internos del cuadrilátero ABCD, se puede visualizar que los ángulos opuestos del cuadrilátero son congruentes y los ángulos consecutivos son suplementarios, característica importante de los paralelogramos. Luego de este análisis se puede institucionalizar el concepto de paralelogramo y analizar otras características.

11. ☯ En la figura, los ángulos ∠CDA y ∠CDB forman un par lineal, ¿cuál es el valor de la variable >?

Apoyo curricular III Ciclo y Ciclo DiversificadoLos logaritmos ..... 177 Evolución del concepto de...

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