Apoyo Visual 6

Dinmica

Enseanza e Investigacin Superior A. C. Todos los Derechos Reservados 2011

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Dinmica

Tema 6 Momento de inercia de masa


En la fotografa aparece un carro de carreras. El buen diseo de las llantas, as como de toda la carrocera y componentes del carro son de vital importancia si se quiere ganar una carrera. Todo lo que respecta al favorecer o no el movimiento de un cuerpo rgido, como el ejemplo de los rollos de cinta adhesiva o el carro de carreras de la fotografa, tiene que ver con un concepto que estudiars en este tema: el momento de inercia.

Introduccin al tema

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Vers en este tema que el momento de inercia es esa resistencia u oposicin que ofrece un cuerpo rgido que est girando ante un cambio en la velocidad de rotacin. Tambin aprenders a calcular el momento de inercia de un cuerpo rgido con respecto a un eje, e incluso cuando se quiere referenciar a otro eje paralelo.

Para calcular los momentos de inercia te ayudar antes recordar las reglas para integracin, por lo que si conoces algn software que te ayude a agilizar este paso, ser de gran ayuda; tambin aprenders a utilizar las tablas en las que se encuentran las frmulas para calcular los momentos de inercia con respecto a los ejes X y Y.

Introduccin al tema


Al observar el gran reloj de la fotografa, en qu crees que

influyan las dimensiones de los

componentes del pndulo, as

como su material?

En este tema comenzaremos a hablar del momento de inercia, el

cual, como vers, se modificara

en el caso de cambiar las

dimensiones del pndulo,

marcando el pulso para el tiempo

a otro ritmo.

Momento de inercia de masa

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Un cuerpo rgido que recibe fuerzas externas no concurrentes, tiende a girar; a la aceleracin angular que experimenta el cuerpo se le presenta una resistencia, la cual denominamos momento de inercia, y que se representa con la letra I.

El momento de inercia es a la aceleracin angular lo que la masa a la aceleracin.



Se le llama momento de inercia al segundo momento alrededor del eje de todos los diferenciales de masa (ver dm en la figura) que componen el cuerpo rgido.

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El momento de inercia de un cuerpo alrededor del eje se expresara de la siguiente manera:

Donde:

I= momento de inercia

r = radio donde se encuentra el elemento de masa

dm = diferencial o elemento de masa

m

dmrI 2



Y como la masa es igual a la densidad por el volumen: m=rV

Donde:

I= momento de inercia

r = radio donde se encuentra el elemento de masa

dV = diferencial de volumen

La definicin de dV deber hacerse considerando la geometra del cuerpo a analizar, para decidir sobre de qu eje es que se considerar el diferencial de volumen

r= densidad del material que compone al cuerpo.

V

dVrI 2r

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Ejemplo

La varilla delgada de la figura tiene densidad y rea constantes. Determina el momento de inercia de la varilla delgada con respecto al eje Y.


Solucin

De acuerdo a la definicin de momento de inercia:

En nuestro caso:

Donde:

m = masa

r = densidad

V= volumen

A= rea

dx=diferencial de longitud

xAV Vm r

m

dmrI 2

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Al sustituir las expresiones anteriores en la integral nos queda:

Al resolver la integral y evaluar desde 0 hasta la longitud L:

L L

m

y dxxAdxAxdmxI0 0

222 )( rr

3

313

313

31

0

3

31 ))0(())(()( LAALAxAI Ly rrrr



Como la masa entonces la expresin anterior se puede poner como:

Dato que puede ser verificado en tablas.

3

31 LAI y r

LAm r

2

313

31 mLLAI y r

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Teorema de los ejes paralelos

En los casos en los que puedes conocer el momento de inercia con respecto a un eje, por ejemplo el eje Z de la figura, pero si te interesa saber cul sera el momento de inercia con respecto a otro eje que es paralelo al eje que calculaste, por ejemplo el eje Z, puedes hacerlo utilizando el teorema de los ejes paralelos.


Teorema de los ejes paralelos

El teorema de los ejes paralelos se resume en la siguiente frmula:

Donde:

IG = momento de inercia con respecto al eje Z que pasa por el centro de masa G

m = masa del cuerpo

d = distancia perpendicular entre los ejes paralelos Z y Z

2mdII G

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El radio de giro

En algunos manuales de ingeniera se utiliza el radio de giro cuando se quiere expresar el momento de inercia con respecto a un eje.

Es la manera como se distribuye la masa de un cuerpo alrededor del eje en el que se encuentra su centroide. El radio de giro se expresa con la frmula:

2mkI



Donde:

I = momento de inercia con respecto a un eje

k = radio de giro

m = masa del cuerpo

Si despejamos el radio de giro de la frmula anterior obtenemos:

2mkI

m

Ik

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Cuerpos compuestos

Si un cuerpo se compone de elementos de disco, rectngulos, barra, etc., el momento de inercia del cuerpo compuesto ser la suma algebraica de los momentos de inercia particulares de cada elemento, trasladando cada elemento a un eje en comn por medio del teorema de los ejes paralelos. Lo anterior lo podemos expresar con la siguiente frmula:

Donde ya conocemos el significado de cada uno de los trminos.

)( 2mdII G


Ejemplo

Tenemos una placa roja que es de un material que tiene una densidad de

Determina su momento de inercia con respecto al eje que pasa por el punto O. En el diagrama se encuentran los datos.

3000,5 mkgr

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Solucin

Como es un cuerpo compuesto de una placa cuadrada y un hueco redondo, realizaremos los clculos para obtener el momento de inercia de la placa cuadrada, el momento de inercia del hueco, usando el teorema de los ejes paralelos en ambos casos, y despus restaremos ambos momentos de inercia para obtener el momento de inercia con respecto al eje que pasa por el punto O.

Utilizaremos la siguiente frmula:

)( 2mdII G


Solucin

Para la placa cuadrada:

De tablas, para el momento de inercia de una placa delgada observamos que:

kgmmmmkgVm 125.3)]01.0)(25.0)(25.0)[(/5000( 3 r

222

1212

11 )( mdhbmmdII G

2

1 08138.0 kgmI

2

225.022

121

1 ))(125.3(])25.0()25.0)[(125.3(mkgmmkgI

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Solucin

Para el hueco:

Aplicando la frmula:

Obtenemos el resultado final:

kgmmmkgVm 393.0)]01.0()05.0)()[(/5000( 23 r

2

225.02

2122

212

22 ))(393.0()05.0)(393.0(m

G kgmkgmdmrmdII

2

1 006632.0 kgmI

)( 2mdII G

)006632.0()08138.0( 2221 kgmkgmIII

)07475.0 2kgmI


En este tema has podido observar cmo cuando un cuerpo gira, existe una oposicin o resistencia a la aceleracin angular a la cual denominamos momento de inercia.

Cierre

Con los conocimientos que has adquirido, podras calcular el momento de inercia de la tuerca que se encuentra en la fotografa de arriba, considerando un eje que pase por el centro del hueco?, y el del tornillo correspondiente?

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En los clculos tendras que consultar el teorema de los ejes paralelos, el cual recordamos que se formula de la siguiente manera:

Y por ser, sin duda, un elemento que en su geometra se compone por varias figuras, usaramos la siguiente frmula para hacer el clculo en dos planos y para un eje:

Cierre

2mdII G

)( 2mdII G


Hibbeler, R.C. (2010). Ingeniera Mecnica. Dinmica (12. ed.). Mxico: Pearson.

Referencias bibliogrficas

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Diseo de contenido: Ing. Alejandro Corts Leal

Coordinador de Calidad Acadmica de rea: Ing. Norma Yolanda Loera Hdz. MA y MED

Universidad Tec Milenio

Produccin y edicin del curso:

Tecnologa Educativa Universidad Virtual, ITESM

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