apqui00

Apuntes de Matemticas para 1

o

de

Ciencias

Jess Beato Sirvent

ndice general

I lgebra Lineal 13

1. Espacios Vectoriales 15

1.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Diagonalizacin real de matrices 21

2.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II Nmeros complejos 27

3. Nmeros complejos 29

3.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

III Anlisis real de funciones de una variable real 37

4. Funciones reales de variable real 39

4.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Clculo de primitivas 45

5.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.2. Por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.3. Racionales con races reales simples . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.4. Racionales con races reales mltiples . . . . . . . . . . . 51

5.2.5. Racionales con races complejas simples . . . . . . . . . . 51

5.2.6. Trigonomtricas: cambio t = tg(x

2

). . . . . . . . . . . . 51

5.2.7. Trigonomtricas: cambio t = tg(x) . . . . . . . . . . . . . 52

3

4 NDICE GENERAL

5.2.8. Trigonomtricas: tipo

senm(x)cosn(x) dx . . . . . . . . 52

5.2.9. Trigonomtricas: tipos

sen(mx)cos(nx) dx;

sen(mx)sen(nx) dx;cos(mx)cos(nx) dx . . . . . . 52

5.2.10. Irracionales: tipos

a2 b2x2; a2 + b2x2; a2x2 b2 . 535.2.11. Miscelnea de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6. Aplicaciones de la integracin 59

6.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2.1. Clculo de reas, longitudes y volmenes . . . . . . . . . 62

6.2.2. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2.3. Funciones eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

IV Anlisis real de funciones de varias variables reales 71

7. Funciones de varias variables reales 73

7.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2.1. Funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2.2. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2.3. Coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas . . . . . 80

7.2.4. Lmites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8. Derivadas parciales y direccionales. Gradiente 85

8.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.2.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.2.2. Derivadas direccionales. Gradiente . . . . . . . . . . . . . 92

9. Diferenciabilidad 95

9.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.2.1. Planos tangentes y rectas normales . . . . . . . . . . . . . 97

10.Derivacin de funciones compuestas e implcitas 99

10.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.2.1. Derivacin de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . 100

10.2.2. Derivacin de funciones denidas implcitamente . . . . . 102

11.Extremos de funciones reales de dos variables 103

11.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

NDICE GENERAL 5

12.Integrales dobles y triples 107

12.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

12.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12.2.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12.2.2. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

13.Integrales de lnea 115

13.1. Prontuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

13.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

V Soluciones 127

1. Soluciones al captulo 1 129





5.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.2. Por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.3. Racionales con races reales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.4. Racionales con races reales mltiples . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.5. Racionales con races complejas simples . . . . . . . . . . . . . . 176

5.6. Trigonomtricas: cambio t = tg(x

2

). . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.7. Trigonomtricas: cambio t = tg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.8. Trigonomtricas: tipo

senm(x)cosn(x) dx . . . . . . . . . . . . 1815.9. Trigonomtricas: tipo

sen(mx)cos(nx) dx;

sen(mx)sen(nx) dx;cos(mx)cos(nx) dx . . . . . . . . . . . . 1825.10. Irracionales: tipos

a2 b2x2; a2 + b2x2;

a2x2 b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.11. Miscelnea de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183


6.1. Clculo de reas, longitudes y volmenes . . . . . . . . . . . . . . 189

6.2. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.3. Funciones eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201


7.1. Funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.2. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.3. Coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas . . . . . . . . . 208

7.4. Lmites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6 NDICE GENERAL


8.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.2. Derivadas direccionales. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 218


9.1. Planos tangentes y rectas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

10.Soluciones al captulo 10 227

10.1. Derivacin de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 227

10.2. Derivacin de funciones denidas implcitamente . . . . . . . . . 230



12.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.2. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243


VI Apndices 257

A. Tabla de ejercicios resueltos 259

B. Ecuaciones rectangulares de algunas curvas planas 261

B.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

B.2. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

B.3. Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

B.4. Cisoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

B.5. Estrofoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

B.6. Lemniscata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

C. Ecuaciones polares de algunas curvas planas 263

C.1. Cardioides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

C.2. Lemniscatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

C.3. Caracoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

C.4. Rosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

C.5. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

C.6. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

C.7. Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

C.8. Espirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

D. Ecuaciones paramtricas de algunas curvas planas 267

D.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

D.2. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

D.3. Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

D.4. Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

NDICE GENERAL 7

D.5. Folium de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

E. Ecuaciones rectangulares de algunas supercies 269

E.1. Cudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

F. Exmenes de aos anteriores 271

F.1. 10 de Febrero de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

F.2. 2 de Julio de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

F.3. 1 de Septiembre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

F.4. 1 de Diciembre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

F.5. 15 de Junio de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

F.6. 6 de Septiembre de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

8 NDICE GENERAL

ndice de guras

3.1. Ejercicio 3.17 (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.2. Ejercicio 3.17 (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.3. Ejercicio 3.17 (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.1. Ejercicio 6.1 (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.2. Ejercicio 6.1 (k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.3. Ejercicio 6.2 (a.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.4. Ejercicio 6.2 (a.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.5. Ejercicio 6.2 (a.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.6. Ejercicio 6.2 (a.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.7. Ejercicio 6.2 (g.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.8. Ejercicio 6.2 (g.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.9. Ejercicio 6.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.10. Ejercicio 6.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.1. Ejercicio 7.3 (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.2. Ejercicio 7.3 (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.3. Ejercicio 7.3 (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.4. Ejercicio 7.3 (d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

12.1. Ejercicio 12.2 (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

12.2. Ejercicio 12.3 (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

12.3. Ejercicio 12.4 (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

9

10 NDICE DE FIGURAS

Introduccin

A las

62 nias de mis e

2pii + 1 ojos:M

a

Jos, Mara y Ana.

apuntar:

1

[...] 4. Tomar nota por escrito de alguna cosa. [...] 18. Insinuar o

tocar ligeramente algn tema. [...] 19. Sugerir al que habla alguna cosa para que

recuerde lo olvidado o para que se corrija.

Estas tres acepciones del trmino apuntar dan signicado pleno al hecho de

llamar Apuntes de Matemticas a las pginas que tienes entre tus manos. No

pretenden ser un libro de Matemticas, o al menos segn la manera habitual

de entender este concepto, sino que tienen voluntad de servirte de guin de la

asignatura. Desde luego, el estudio de la misma no debe limitarse a recordar los

hechos contenidos en estas notas y en hacer los ejercicios propuestos en ellas, sino

que debe completarse con la lectura y estudio en distintos libros, especialmente

los indicados en la bibliografa. Te animo desde ahora a que hagas uso de la

Biblioteca para consultar, pues estoy convencido de que es la nica forma de

adquirir verdadero conocimiento, que es algo mucho ms profundo que la simple

adquisicin de informacin.

La adaptacin al modelo de crdito europeo ha supuesto bastantes novedades

desde un punto de vista didctico. Una de las consecuencias de esta adaptacin

ha sido el descenso del nmero de horas de docencia directa por parte del pro-

fesor. Este hecho ha provocado que las asignaturas tengan, si cabe, un carcter

prctico an ms acentuado. Por eso he incluido en estos apuntes las notas

tericas que usualmente se desarrollaban en clase. De esta forma, las clases im-

partidas por el profesor se limitarn, prcticamente, a la exposicin de ejemplos

que aclaren los conceptos y pongan de maniesto la aplicacin de los distintos

algoritmos que se trabajen a lo largo del curso.

La estructura de estos apuntes es la siguiente: Cada tema empieza con un

prontuario

2

, seguido de los enunciados de los ejercicios relativos al mismo. De-

spus de desarrollar todos los temas de esta forma, hay una parte dedicada a

1

Diccionario RAE. Vigsima edicin.

2

Resumen o breve anotacin de varias cosas a n de tenerlas presentes cuando se necesiten

11

12 NDICE DE FIGURAS

proporcionar las soluciones de todos y cada uno de los ejercicios propuestos en

los apuntes. Adems, algunos de estos ejercicios estn completamente resueltos,

a n de que puedan servir de modelos de aplicacin de algoritmos o de desar-

rollos de conceptos. Como novedad interesante, he incluido una parte dedicada

a actividades dirigidas listas para ser estudiadas y expuestas por los alumnos.

Es una forma de adelantar al tipo de enseanza que el Espacio Europeo de

Educacin Superior propone. Por ltimo, se encuentran los apndices. En los

cuatro primeros se aportan las ecuaciones de algunas curvas y supercies que se

usarn durante el curso. En el quinto apndice se encuentran exmenes de aos

anteriores, completamente resueltos.

Me gustara ahora hacerte un comentario sobre la enseanza y aprendizaje

de las Matemticas. Creo que el aprendizaje de las Matemticas se basa en dos

pilares fundamentales:

CONOCER+PENSAR

Adems estos dos pilares no son independientes sino que estn interrelaciona-

dos. A menudo, el pensar sobre un tema te hacer tener necesidad de ampliar

conocimientos y esta adquisicin de conocimientos te hace pensar mejor. Muchas

veces las ideas que nos parecen ms originales e inalcanzables, dejan de serlo al

localizarlas muchas veces en distintos contextos. Adems, la mayora de las oca-

siones pensar se traduce en relacionar hechos y procedimientos que ya tenemos

adquiridos. Evidentemente, aquellos ejercicios y/o problemas en los que slo se

requiere conocer algn hecho (denicin, algoritmo, teorema,...) para aplicarlo,

tienen un grado de dicultad menor que aquellos en los que adems se necesita

pensar un poco.

El hecho de que este manual est planteado de una forma eminentemente

prctica y que pongamos el nfasis en la utilizacin de las Matemticas como

herramienta para la Ciencia, no te debe hacer descuidar otros aspectos de las

Matemticas, imprescindibles para el buen desarrollo de sta y de cualquier dis-

ciplina cientca: el rigor en la expresin y en la escritura, la precisin, el detalle

y el razonamiento son piezas bsicas para que una mente cientca empiece a

funcionar bien. No lo olvides: Todo lo que de rigurosamente cientfico

tiene una disciplina, lo debe a su contenido matemtico.

El autor

Cdiz, Noviembre de 2005.

Parte I

lgebra Lineal

13

Captulo 1

Espacios Vectoriales

1.1. Prontuario

Denicin 1.1.1 Sea V un conjunto no vaco, en el que se han denido dosoperaciones:

Una ley de composicin interna llamada suma, que representaremos por

+:+ : V V V(u, v) 7 u+ v

Una ley de composicin externa sobre R, que representaremos por R:

R : R V V

(, v) 7 v

Se dice que la terna (V,+, R) tiene estructura de espacio vectorial real (o sobreR), si se verican las ocho siguientes propiedades:

1. Propiedad conmutativa: u+ v = v + u; u, v V2. Propiedad asociativa: u+ (v + w) = (u+ v) + w; u, v, w V3. Existencia de elemento neutro: Existe V / u+ = u u V4. Existencia de elemento simtrico: para cada u V , existe un elemento,u V , llamado simtrico de u y tal que u+ (u) = .5. (u+ v) = u+ v; R; u, v V6. (+ )u = u+ u; , R; u V7. (u) = ()u; R; u V

15

16 CAPTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES

8. 1 u = u; u VSi (V,+, R) tiene una estructura de espacio vectorial (e.v.), a sus elementosse les llama vectores y se representan por ~u. A los nmeros reales se les llamaescalares.

Denicin 1.1.2 Sea (V,+, R) un e.v. y F V . Se dice que F es un sube-spacio vectorial (s.e.v) de V si F tiene estructura de espacio vectorial con lasmismas operaciones denidas en V .

Teorema 1.1.1 (Caracterizacin de subespacios vectoriales) Sea (V,+, R)un e.v. y F V . Entonces F es subespacio vectorial de V si y slo si se cumplenlas dos siguientes condiciones:

1. ~u+ ~v F ; u, v F2. u F R; u FTeorema 1.1.2 (Caracterizacin de subespacios vectoriales) Sea (V,+, R)un e.v. y F V . Entonces F es subespacio vectorial de V si y slo si se cumplela siguiente condicin:

u+ v F ; , R u, v FDenicin 1.1.3 Sea (V,+, R) un e.v. Se dice que un vector ~v V es com-binacin lineal (c.l.) de los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} V si existen escalares{1, 2, . . . , n} R tales que:

~v = 1~u1 + 2~u2 + + n~unDenicin 1.1.4 Sea (V,+, R) un e.v. y sean {~u1, ~u2, . . . , ~un} V . Se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman un conjunto libre o son linealmenteindependientes (l.i.) si:

1~u1 + 2~u2 + + n~un = ~ 1 = 2 = = n = 0En caso contrario, es decir, si esta combinacin lineal igualada a

~ es posiblecon al menos uno de los escalares i; i = 1, 2, . . . , n distinto de 0, se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman un conjunto ligado o son linealmentedependientes (l.d.)

Observacin 1.1.1 Consideremos los vectores de Rn:

~u1 = (u11, u21, . . . , un1), ~u2 = (u12, u22, . . . , un2), . . . , ~up = (u1p, u2p, . . . , unp)

Sea A la matriz formada con las componentes de estos vectores (por columnas),esto es:

A =

u11 u12 u1pu21 u22 u2p.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

un1 un2 unp

1.1. PRONTUARIO 17

Entonces se tiene

{~u1, ~u2, . . . , ~un} l.i. Rg(A) = p = no de vectoresObservacin 1.1.2 El mximo nmero de vectores linealmente independientes

en Rn es n.

Denicin 1.1.5 Sea (V,+, R) un e.v. y sean {~u1, ~u2, . . . , ~un} V . Se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman un sistema de generadores de V sicualquier vector de V se puede escribir como c.l. de dichos vectores.

Observacin 1.1.3 El mnimo nmero de vectores sistema de generadores en

Rn es n.

Denicin 1.1.6 Sea (V,+, R) un e.v. y sean {~u1, ~u2, . . . , ~un} V . Se diceque los vectores {~u1, ~u2, . . . , ~un} forman una base de V si son linealmente inde-pendientes y forman un sistema de generadores.

Teorema 1.1.3 En un e.v. todas las bases tiene igual nmero de vectores.

Denicin 1.1.7 Se llama dimensin de un e.v. (V,+, R), y representaremospor dim(V ), al nmero de vectores de una cualquiera de sus bases.

Observacin 1.1.4 dim(Rn) = n

Denicin 1.1.8 Sea (V,+, R) un e.v. y sea B = {~u1, ~u2, . . . , ~un} V unbase de V . Entonces cualquier vector de V se puede escribir como combinacinlineal de los vectores de B, de forma nica, es decir, para cada vector ~u Vexisten unos nicos {1, 2, . . . , n} tales que:

~u = 1~u1 + 2~u2 + + n~unA los coecientes {1, 2, . . . , n} de esta c.l. se les llama coordenadas del vector~u en la base B y se representa ~u(1, 2, . . . , n)B

Observacin 1.1.5 (Ecuaciones paramtricas e implcitas de un s.e.v.)

Sea F Rn un s.e.v. con dim(F ) = p. Sea B = {~u1 = (u11, u21, . . . , un1), ~u2 =(u12, u22, . . . , un2), . . . , ~up = (u1p, u2p, . . . , unp)} una base de F . Notemos por~x(x1, x2, . . . , xn) un vector genrico de F tal que ~x(1, 2, . . . , p)B. Entonces:

(x1, x2, . . . , xn) = 1(u11, u21, . . . , un1)+2(u12, u22, . . . , un2)+ +p(u1p, u2p, . . . , unp)Igualando componentes llegamos a:

x1 = 1u11 + 2u12 + + pu1px2 = 1u21 + 2u22 + + pu2p.

.

.

.

.

.

.

.

.

xn = 1un1 + 2un2 + + punp

Este conjunto de ecuaciones se conoce como ecuaciones paramtricas del sube-

spacio F . Obsrvese que el nmero de parmetros coincide con la dimensin delsubespacio. Eliminando estos parmetros llegamos a las ecuaciones implcitas

independientes del subespacio. Ntese de igual forma que:

no ecuaciones implcitas independientes = dim(Rn) dim(F )


1.2. Ejercicios

Ejercicio 1.1 Consideremos el conjunto R3 con las siguientes operaciones:

(x, y, z) + (x, y, z) = (x+ x, 2(y + y), 3z); (x, y, z), (x, y, z) R3

(x, y, z) = (x, y, z); R; (x, y, z) R3

Es R3 con las operaciones as denidas un espacio vectorial?


(x, y) + (x, y) = (x+ x, y + y); (x, y), (x, y) R2

(x, y) = (2x, 2y); R; (x, y) R2

Estudia si la terna (R2,+, .R) es espacio vectorial.


(x, y, z) + (x, y, z) = (x+ x + 1, y + y, z + z); (x, y, z), (x, y, z) R3

(x, y, z) = (x, y, z); R; (x, y, z) R3

Es R3 con las operaciones as denidas un espacio vectorial?

Ejercicio 1.4 Calcula a, b para que la matriz

( 11 a4 b

)sea combinacin

lineal de las matrices

(2 15 3

)y

(5 32 1

)Ejercicio 1.5 Estudia, en cada caso, si el sistema de vectores genera o no el

espacio vectorial indicado:

R3, {(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)}R3, {(1,1, 0), (0, 6, 2), (1, 5, 2)}Ejercicio 1.6 Analiza la dependencia o independencia lineal de los siguientes

subconjuntos de vectores:

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} R3

{(1, 2,1,2), (2, 3, 0,1), (1, 2, 1, 3), (1, 3,1, 0)} R4

{(1, 0, 0, 2, 5), (0, 1, 0, 3, 4), (0, 0, 1, 4, 7), (2,3, 1, 2, 5)} R5

{1 x2, 3 x2 + x3, 3x2 4x3} R3[x]Ejercicio 1.7 Estudia, segn los distintos valores de a R, la dependencia oindependencia de los siguientes conjuntos de vectores:

{(2, a, 0), (5,1, a), (1,3, 1)} R3

1.2. EJERCICIOS 19

{(3,1, 2, 4), (3, a,1, 2), (4, 2, 0, 1)} R4

{(3,1, 2, 4), (3, a,1, 2), (4, 2, 0, 1), (7,a, 5, 7)} R4

{(a, 1, 0), (1 a, 1 + a, 2), (5a 1, 1 2a,a 2)} R3

Ejercicio 1.8 Averigua si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales

de R4:

A = {(3, , + , ) / , R}B = {(x1, x2, x3, x4) / x1.x2 = 0}C = {(x1, x2, x3, x4) / x1, x2 Z}D = {(x1, x2, x3, x4) / x1 + x2 = 0, x3 x4 = 0}E = {(x1, x2, x3, x4) / x1 + 2x4 = 7}F = {(x1, x2, x3, x4) / x1 = 3, x2 = 2, x3 = , x4 = }Ejercicio 1.9 Sean A = {(1, 1, 1), (0, 1, 0)} y B = {(2, 3, 2), (1, 0, 1)} subcon-juntos de R3. Comprueba que son equivalentes.

Ejercicio 1.10 Determina si son equivalentes A = {(1, 2,1), (1, 1, 0)} yB = {(1, a+ 3,2), (2, 1, 1 a)}Ejercicio 1.11 Calcula a, b para que el vector (a, 1, b,5) pertenezca al sube-spacio engendrado por {(2, 1, 0, 4), (1, 1,1, 1)}Ejercicio 1.12 Demuestra que el conjunto A = {(x1, x2, x3, x4) R4 / x1 +x2 + x3 = 0, 3x2 2x3 + x4 = 0} es un subespacio vectorial de R4. Halla sudimensin, una base y unas ecuaciones paramtricas.

Ejercicio 1.13 Las ecuaciones paramtricas de un subespacio vectorial de R4son:

x1 = 3x2 = + x3 = 2x4 = 4Obtn las ecuaciones implcitas.

Ejercicio 1.14 Se considera el subespacio de R4 engendrado por los vectores{(1, 2, 0, 1), (2, 0, 7, 2), (0,1,2,2)}. Halla unas ecuaciones implcitas, unasparamtricas, una base y su dimensin.

Ejercicio 1.15 Se considera el subespacio de R4 engendrado por los vectores{ ~u1(1, 1,1, 0), ~u2(2,1, 1, 1)}. Halla unas ecuaciones implcitas, unas paramtri-cas, una base y su dimensin. Pertenece el vector (1, 0, 0, 0) a dicho subespa-cio?. Demuestra que el subespacio engendrado por { ~u1, ~u2} es el mismo que elengendrado por {(3, 0, 0, 1), (4, 1, 1,1)}


Ejercicio 1.16 Dado el espacio vectorial (R3,+, .R), se pide:

Comprueba que {(2, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} es base de R3.Determina el subespacio generado por {(1, 0, 1), (0, 0, 1)} (una base, di-mensin, unas ecuaciones paramtricas y unas ecuaciones implcitas)

Comprueba que el conjunto {(1, 1, 1), (1, 1, 0)} R3 no es base.Comprueba que el conjunto {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} R3 no esbase.

Comprueba que el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)} R3 es base (sellama base cannica).

Ejercicio 1.17 Sean ~u1(1, 2); ~u2(4, 3); ~v1(1,1); ~v2(2, 3).Comprueba que los conjuntos B = { ~u1, ~u2}; B = {~v1, ~v2} son bases deR2.

Halla las coordenadas del vector ~w(2, 3) en la base B.

Halla las coordenadas del vector ~w(2, 3) en la base B.

Dado un vector ~v = ~u1 2 ~u2, encuentra las coordenadas de ~v en la baseB.

Dado un vector

~t cuyas coordenadas en la base B son (2, 1), encuentrasus coordenadas en la base B.

Ejercicio 1.18 Sea BC = {~e1, ~e2, ~e3, ~e4} la base cannica de R4. Se consideranlos conjuntos B1 = {~v1, ~v2, ~v3, ~v4} y B2 = { ~w1, ~w2, ~w3, ~w4} donde:

~v1 = ~e2 + 3~e4~v2 = ~e1 + ~e2~v3 = ~e1 ~e3 + 2~e4~v4 = ~e1 ~e2 ~e3 + ~e4

;

~w1 = 2~e1 2~e2 + ~e4~w2 = ~e1 + ~e2 + ~e3~w3 = 3~e1 + ~e3 ~e4~w4 = 2~e2 ~e3 + ~e4Prueba que B1, B2 son bases de R4.

Determina las coordenadas respecto de B1 del vector ~u R4 cuyas coor-denadas en B2 son (2, 1, 0,1)

Captulo 2

Diagonalizacin real de

matrices

2.1. Prontuario

Denicin 2.1.1 Sea A Mnn(R) y R. Se dice que es un autovalorreal de A (o valor propio) si existe un vector ~u Rn; ~u 6= ~ tal que:

A ~u = ~u

Nota 2.1.1 Para que tenga sentido el producto A~u, consideramos el vector ~ucomo vector columna, esto es:

~u =

u1u2.

.

.

un

Denicin 2.1.2 Sea A Mnn(R) y ~u Rn. Se dice que ~u es un autovectorde A (o vector propio) si existe un escalar tal que:

A ~u = ~u

En este caso, se dice que ~u es un autovector de A asociado al autovalor A.

Teorema 2.1.1 Sea A Mnn(R) y un autovalor de A. El conjunto de au-tovectores de A asociados a es un subespacio vectorial de Rn, que se denominasubespacio propio asociado al autovalor y se representa por V ()

Teorema 2.1.2 Autovectores correspondientes a distintos autovalores son lin-

ealmente independientes.

21

22 CAPTULO 2. DIAGONALIZACIN REAL DE MATRICES

Teorema 2.1.3 (Clculo de autovalores) Sea A Mnn(R). Los autoval-ores de A son las soluciones de la ecuacin:

0 = |A In|

donde In representa la matriz identidad de orden n. Esta ecuacin es llamadaecuacin caracterstica de la matriz A.

Teorema 2.1.4 (Clculo de autovectores) Sea A Mnn(R) y un auto-valor de A. Los autovectores de A asociados al autovector son las solucionesdel sistema de ecuaciones:

(A In)X = ~donde X representa la matriz de incgnitas, por columnas, esto es:

X =

x1x2.

.

.

xn

El sistema anterior representa, por tanto, unas ecuaciones implcitas del sube-

spacio vectorial V ()

Denicin 2.1.3 Sea A Mnn(R). Se dice que A es diagonalizable sobre Rsi existe una matriz D Mnn(R) diagonal y una matriz P Mnn(R) con|P | 6= 0 tales que:

P1 A P = DEn este caso, a la matriz D se le llama forma diagonal de A y a la matriz P sele denomina matriz de paso entre A y su forma diagonal.

Teorema 2.1.5 Sea A Mnn(R). La condicin necesaria y suciente paraque A sea diagonalizable sobre R es que se cumplan las dos siguientes condi-ciones:

Todos los autovalores de A son reales.

Para cada autovalor de A se verica:

dim(V ()) = multiplicidad()

Corolario 2.1.6 Si una matriz tiene todos sus autovalores reales y distintos,

es diagonalizable.

Teorema 2.1.7 (Clculo de la forma diagonal) Sea A Mnn(R) diago-nalizable sobre R. La forma diagonal D es la matriz diagonal que tiene en sudiagonal principal los autovalores de A, repetidos segn su multiplicidad.

2.2. EJERCICIOS 23

Teorema 2.1.8 (Clculo de una matriz de paso) Sea A Mnn(R) diag-onalizable sobre R. La matriz de paso P es un matriz que contiene, por colum-nas, los vectores de cada una de las bases de autovectores de los subespacios

V () asociados a la matriz A, en el mismo orden en el que los correspondientesautovalores fueron colocados en la forma diagonal.

Teorema 2.1.9 Toda matriz A Mnn(R) simtrica es diagonalizable con unamatriz de paso ortogonal. Para ello, basta elegir bases ortonormales de cada una

de las bases de los subespacios de autovectores asociados a A.

Teorema 2.1.10 Sea D = (dij)1i,jn Mnn(R) una matriz diagonal. En-tonces:

Dm =

dm11 0 00 dm22 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 dmnn

Teorema 2.1.11 Sea A Mnn(R) diagonalizable con forma diagonal D ymatriz de paso P . Entonces:

Am = P Dm P1; m N

2.2. Ejercicios

Ejercicio 2.1 Halla los autovalores y autovectores correspondientes a las sigu-

ientes matrices:

A =

1 0 00 1 30 0 2

B =

2 1 25 3 31 0 2

C =

(2 43 13

)Ejercicio 2.2 Diagonaliza sobre R las siguientes matrices, en caso de que seaposible:

A =(

3 45 2

)

B =(

2 11 2

)


C =

1 2 11 1 10 3 2

D =

3 1 04 1 04 8 2

E =

2 5 64 6 93 6 8

F =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

G =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

Ejercicio 2.3 Se considera la matriz:

A =

1 0 11 2 12 2 3

Es A semejante a una matriz diagonal real D?. En caso armativo, encuentrauna matriz D con esta condicin y una matriz de paso P entre A y D.

Ejercicio 2.4 Diagonaliza sobre R la matriz:

B =

3 1 11 3 11 1 3

Ejercicio 2.5 Sea la matriz:

G =

1 2 31 1 22 2 2

Se pide:

Halla su polinomio caracterstico as como los autovalores.

Halla los subespacios de autovectores (bases, dimensiones, ecuaciones paramtri-

cas e implcitas).

2.2. EJERCICIOS 25

Estudia su diagonalizacin sobre R.

Ejercicio 2.6 Sea la matriz:

H =

3 0 03 1 01 0 1

Se pide:

Halla su polinomio caracterstico as como los autovalores.

Halla los subespacios de autovectores (bases, dimensiones, ecuaciones paramtri-

cas e implcitas).

Estudia su diagonalizacin sobre R.

Ejercicio 2.7 Diagonaliza sobre R la matriz(a bb a

), siendo a, b R \ {0}

Ejercicio 2.8 Estudia para qu valores de a R la matriz A = a 0 01 1 0

a 1 a

es diagonalizable sobre R

Ejercicio 2.9 Determina para qu valores de a R son ortogonales los vectores{(a, a 1, a,1), (2a, a, 3, 1)}.Ejercicio 2.10 Encuentra una base ortonormal para el espacio generado por

los vectores {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1)}Ejercicio 2.11 Diagonaliza sobre R las siguientes matrices, a travs de unamatriz de paso ortogonal.

A =(

2 44 8

)

B =

7 2 12 10 21 2 7

C =

1 1 01 2 10 1 1

Ejercicio 2.12 Halla una matriz real diagonal D que sea semejante a la matriz

A =

3 1 11 0 21 2 0

. Encuentra tambin una matriz P ortogonal tal que D =

P1AP


Ejercicio 2.13 Estudia para qu valores de a R es diagonalizable sobre R lamatriz:

A =

a 1 11 a 11 1 a

Ejercicio 2.14 Se considera la matriz F =

1 0 00 1 02 4 1

. Halla una ma-

triz P tal que P1FP sea diagonal y calcula Fn; n N.

Ejercicio 2.15 Calcula la potencia nsima de cada una de las siguientes ma-trices:

A =(

2 21 1

)

B =

0 7 61 4 00 2 2

C =

2 0 43 4 121 2 5

Parte II

Nmeros complejos

27

Captulo 3

Nmeros complejos

3.1. Prontuario

Denicin 3.1.1 Se llama conjunto de los nmeros complejos y se represen-

ta por C al conjunto de los pares ordenados de nmeros reales, dotado de lassiguientes operaciones:

1. Suma:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d); (a, b), (c, d) C

2. Producto:

(a, b) (c, d) = (ac bd, ad+ bc); (a, b), (c, d) C

3. Producto por un nmero real:

(a, b) = (a, b); (a, b) C ; R

Si z = (a, b) C, al nmero real a se le llama parte real del nmero complejoz y se representa por Re(z) y al nmero real b se le denomina parte imaginariadel nmero complejo z y se representa por Im(z). Al nmero complejo (0, 1) sele denomina unidad imaginaria y se representa por i. El nmero complejo (1, 0)se le denomina unidad real y se representa por 1.

Observacin 3.1.1 Los nmeros complejos con parte imaginaria 0 seidentican con los nmeros reales, a saber:

(a, 0) = a (1, 0) + 0 (0, 1) = a 1 + 0 i = a

Los nmeros complejos con parte real 0 se llaman imaginarios puros y seescriben:

(0, b) = 0 (1, 0) + b (0, 1) = 0 1 + b i = bi

29

30 CAPTULO 3. NMEROS COMPLEJOS

Cualquier nmero complejo (a, b) puede expresarse en la forma a + bi, asaber:

(a, b) = a (1, 0) + b (0, 1) = a+ b iEsta forma de escribir un nmero complejo se llama forma binmica.

Los nmeros complejos no reales se llaman imaginarios.

Observacin 3.1.2 La unidad imaginaria verica:

i2 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1

por tanto

1 = i

Denicin 3.1.2 Dos nmeros complejos se llaman conjugados si tienen la

misma parte real y sus partes imaginarias son opuestas. El conjugado de z serepresenta por z.

Denicin 3.1.3 Se dene el mdulo de un nmero complejo z como el nmeroreal positivo que se obtiene como raz cuadrada positiva del producto de ese

nmero complejo por su conjugado. El mdulo de z, se representa por |z|, esdecir:

|z| = +z z

Observacin 3.1.3 Para efectuar la divisin de complejos en forma binmica,

se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador:

z

w=z ww w =

z w|w|2

Teorema 3.1.1 Se verica:

i0 = 1; i1 = 1; i2 = 1; i3 = i

Sean n,m N tales que n = 4m+ r; 0 r < 4. Entonces in = ir.

Denicin 3.1.4 Una vez jado un sistema de referencia cartesiano en el

plano, a cada nmero complejo z = a + bi le corresponde un nico punto delplano, de coordenadas (a, b) que se denomina ajo de z.

Observacin 3.1.4 |z| es la longitud del segmento que une el origen conel ajo de z.

|z w| representa la distancia entre los ajos de z y de w.

El ajo de z es el simtrico respecto al eje horizontal del ajo de z.

El ajo de z es el simtrico respecto al origen del ajo de z.

3.1. PRONTUARIO 31

La suma de dos nmeros complejos se puede interpretar grcamente me-

diante la llamada regla del paralelogramo: Si por cada ajo trazamos una

recta paralela al segmento que une el origen con el otro ajo, el punto de

corte de estas dos rectas corresponde al ajo de la suma de los dos nmeros

complejos considerados.

Multiplicar un nmero complejo por la unidad imaginaria corresponder a

girar su ajo 90o sobre el origen en sentido contrario a las agujas del reloj.

Denicin 3.1.5 Se llama argumento de un nmero complejo z y se representapor arg(z), al ngulo que forma el segmento que une el origen con el ajo dez y el semieje horizontal positivo. A la nica determinacin de este ngulo enel intervalo [0, 2pi) se le denomina argumento principal de z y se representa porArg(z).

Denicin 3.1.6 Se llama forma polar de un nmero complejo z a la carac-terizada por su mdulo y su argumento. El complejo z se expresa en forma polarescribiendo:

z = |z|arg(z)Observacin 3.1.5 z = |z|2piArg(z)

z = |z|pi+Arg(z)Teorema 3.1.2 (Operaciones con complejos en forma polar) As se re-

alizan las operaciones en forma polar:

Producto:

M N = (M N)+

Cociente:

MN

=(M

N

)

Potenciacin:

(M)n = (Mn)n

Observacin 3.1.6 Multiplicar un nmero complejo z por otro nmero com-plejo w, con |w| = 1, corresponde a girar el ajo de z sobre el origen un nguloigual a Arg(w) en sentido contrario a las agujas del reloj.

Teorema 3.1.3 (Relacin entre la forma binmica y la forma polar) Sea

z = a+ bi. Entonces: |z| = +a2 + b2

Arg(z) = arctg(b

a

)


Sea z = M. Entonces: {Re(z) = Mcos()Arg(z) = Msen()

De esta ltima expresin se deduce que:

z = M = M(cos() + isen())

Esta forma de expresar un nmero complejo se denomina forma trigonomtrica.

Teorema 3.1.4 Se verica:

ei = cos() + isen()

por tanto, un nmero complejo z = M se puede expresar en la forma:

z = Mei

Esta forma de expresar un nmero complejo se denomina forma exponencial.

Denicin 3.1.7 Sea z C. Se dene el logaritmo neperiano de z como:ln(z) = ln(|z|) + iarg(z)Se denomina determinacin principal del logaritmo, a:

Ln(z) = ln(|z|) + iArg(z)Denicin 3.1.8 Sean z, w C. Se dene:

zw = ewln(z)

Teorema 3.1.5 Sea z C y n N; n > 1. Existen exactamente n nmeroscomplejos w0, w1, . . . , wn1 que son races nsimas de z, es decir, wnk = z; k =0, 1, . . . , n 1. De hecho:{

|wk| = n|z|; k = 0, 1, . . . , n

Arg(wk) =Arg(z)+k2pi

n ; k = 0, 1, . . . , nTeorema 3.1.6 Los vrtices de las races nsimas de la unidad son los vr-tices de un ngono regular inscrito en la circunferencia de centro z = 0 y radior = 1.

Teorema 3.1.7 (Teorema fundamental del lgebra) Una ecuacin polinmi-

ca de grado n tienen exactamente n races complejas.

Teorema 3.1.8 Si un nmero complejo z es solucin de una ecuacin polinmi-ca con coecientes reales, el nmero complejo z es tambin solucin de la mismaecuacin.

Teorema 3.1.9 Toda ecuacin polinmica de grado impar con coecientes reales

tiene al menos una solucin real.

3.2. EJERCICIOS 33

3.2. Ejercicios

Ejercicio 3.1 Calcula:

(3 2i)(2 + 3i)3 4i

i13241

Ejercicio 3.2 Representa y expresa en forma trigonomtrica lo nmeros com-

plejos:

5

32

+52i(

5

32

+52i

)1

7

5

32

+52i5

3

2+

52i

Ejercicio 3.3 Calcula a, b para que

3b 2ai4 3i sea real y de mdulo la unidad.

Ejercicio 3.4 Cul es el argumento principal de un complejo z en cada unode los siguientes casos?

z es un nmero real positivo

z es un nmero real negativo

z es un nmero imaginario puro.

Ejercicio 3.5 Si z es un complejo arbitrario, demuestra que los complejos u =z2 + 12z + iy w =

z2 + 12z i son conjugados, y calcula ambos para z = 3 5i

Ejercicio 3.6 Expresa en forma polar los complejos:

i

13 + 3i

1 +

3i

12

3 2i


Ejercicio 3.7 Expresa en forma binmica los nmeros complejos:

2pi2

2 3pi4

5pi4

1pi6

Ejercicio 3.8 Resuelve en C las siguientes ecuaciones:

z2 3z + 9 = 0z4 + 16 = 0

(1 + i)z3 2i = 0(1 + i)z3 zi = 0z3 (1 + i) = 0Ejercicio 3.9 Calcula el valor de a y c en la ecuacin z3 + az2 + cz + 5 = 0 si1 + 2i es una de sus races.

Ejercicio 3.10 Determina un nmero complejo z cuyo cuadrado sea igual a suconjugado.

Ejercicio 3.11 Halla dos nmeros complejos tales que su suma sea 1 + 6i y sucociente sea imaginario puro, suponiendo que la parte real del que se toma como

divisor al calcular el cociente es 1.Ejercicio 3.12 Calcula

i

1 + i

4i31 + i6

13i(

3 i)10

Ejercicio 3.13 Usando la frmula de De Moivre, calcula cos(3), sen(3) enfuncin de sen(), cos(). A partir de esas frmulas, expresa tg(3) en funcinde tg(). Repite el mismo ejercicio para el caso de un ngulo cos(4), sen(4), tg(4).

Ejercicio 3.14 Calcula las races sextas de la unidad.

Ejercicio 3.15 Expresa en forma exponencial los nmeros complejos:

3.2. EJERCICIOS 35

ei

5(cos(pi

3

)+ isen

(pi3

))1 +

3ie2 e

2i

Ejercicio 3.16 Halla el lugar geomtrico descrito por el ajo A de z sabiendoque el mdulo de z + 1 es igual a 2.

Ejercicio 3.17 Determina analtica y geomtricamente los conjuntos de com-

plejos z = x+ iy, tales que:

Re(z) + Im(z) = 1

|z| 1|z + 1| < |z 1||z i| |z + i||2z + 3| < 1|z| |2z + i|zz = |z|2z 3z + 2

= 2Ejercicio 3.18 Calcula el valor principal de:

ln(i)

ln(i)ln(1)ln(3 + 3i)

logi(2i)Ejercicio 3.19 Calcula:

ii(1 i

2

)(1+i)i1+i

(1 + i)(2+i)


Ejercicio 3.20 Halla el mdulo y el argumento de z = ln(1 + i)i

Ejercicio 3.21 Determina analtica y geomtricamente los siguientes conjun-

tos:

{z C / |z + i| = 2}{z C / |z 1 + 2i| 2}

{z C / Arg(z) = pi4}

{z C / Arg(z i) = pi4}

{z C / 1 |z + 1| 2}{z C / |z + 2| = |z + 2i|}{z C / |z 1 + i| 3} {z C / |z + 1| > |z i|}

Parte III

Anlisis real de funciones de

una variable real

37

Captulo 4

Funciones reales de variable

real

4.1. Prontuario

Denicin 4.1.1 Sea a R, a = +, a = . Una funcin f(x) se diceque es un innitsimo en a, si lm

xa f(x) = 0

Denicin 4.1.2 Dos innitsimos f(x) y g(x) en a se dicen equivalentes si:

lmxa

f(x)g(x)

= 1

Nota 4.1.1 En los lmites que presentan la indeterminacin

(00

), puede susti-

tuirse un innitsimo por otro equivalente, si gura en productos o en cocientes

(nunca en sumas o restas)

Teorema 4.1.1 (Innitsimos equivalentes) Se tiene:

sen(x) x (x 0)

tg(x) x (x 0)

1 cos(x) x2

2(x 0)

ln(1 + x) x(x 0)

ax 1 xln(a) (x 0)

(1 + x)m 1 mx (x 0)

39

40 CAPTULO 4. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Teorema 4.1.2 Sea P (x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn un polinomio concoecientes reales y sea a R. Entonces, P (x) se puede escribir en potenciasde (x a), es decir:

P (x) = b0 + b1(x a) + b2(x a)2 + + bn(x a)n

donde:

b0 = P (a); bk =P k)(a)k!

; k = 1, 2, . . . , n

Denicin 4.1.3 Sea f : D R R, f n veces derivable en a D D.Se llama polinomio de Taylor de grado n de la funcin f en el punto a, yrepresentamos por Pn,a[f ](x) al polinomio:

Pn,a[f ](x) = f(a) +f (a)

1!(x a) + f

(a)2!

(x a)2 + + fn)(a)n!

(x a)n

Teorema 4.1.3 Se verican las siguientes propiedades:

f(a) = Pn,a[f ](a); f (a) = P n,a[f ](a); f(a) = P n,a[f ](a); f

n)(a) =

Pn)n,a[f ](a)

lmxa[f(x) Pn,a[f ](x)] = 0

Denicin 4.1.4 Sea f : D R R, f n veces derivable en a D D. Sellama resto del polinomio de Taylor de grado n de la funcin f en el punto a, yrepresentamos por Rn,a[f ](x), o trmino complementario a la expresin:

Rn,a[f ](x) = f(x) Pn,a[f ](x)

Observacin 4.1.1 En las condiciones anteriores

f(x) = Pn,a[f ](x) +Rn,a[f ](x)

A esta expresin se le denomina desarrollo de Taylor de grado n de la funcinf en el punto a.

Teorema 4.1.4 Sea f : (b, c) R, f n veces derivable en a (b, c). Se verica:

lmxa

Rn,a[f ](x)(x a)n = 0

Teorema 4.1.5 Sea f : (b, c) R, f n veces derivable en a (b, c). Se veri-can las siguientes expresiones para el trmino complementario:

Expresin de Lagrange del trmino complementario:

Rn,a[f ](x) =fn+1)(t)(n+ 1)!

(x a)n+1; t entre x y a

4.2. EJERCICIOS 41

Expresin de Cauchy del trmino complementario:

Rn,a[f ](x) =fn+1)(t)

n!(x t)n(x a); t entre x y a

Observacin 4.1.2 En el caso particular de que estemos haciendo el estudio

local en el punto x = 0, al desarrollo de Taylor resultante se le suele llamardesarrollo de Mc-Laurin.

Teorema 4.1.6 (Desarrollos de Mc-Laurin de las funciones elementales)

Se tiene:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ + x

n

n!+

sen(x) = x x3

3!+x5

5! x

2n1

(2n 1)!

cos(x) = 1 x2

2!+x4

4! x

2n

(2n)!

ln(1 + x) = x x2

2+x3

3 + (1)n+1x

n

n+

Teorema 4.1.7 Sea f : (a, b) R, f n veces derivable en x0 (a, b). Supong-amos que se verica:

fk)(x0) = 0; k = 1, 2, . . . , n 1; fn)(x0) 6= 0Entonces:

Si n es par:

fn)(x0) > 0 f tiene un mnimo relativo en x0. fn)(x0) < 0 f tiene un mximo relativo en x0.Si n es impar, entonces f no tiene en x0 ni mximo ni mnimo relativo.En este caso, f tiene en x0 un punto de inexin.

4.2. Ejercicios

Ejercicio 4.1 Haciendo uso de innitsimos equivalentes, calcula:

lmx0

1 cos(x)x3

lmx1

sen(x2 1)x 1

lmx0

3x 2xx


lmx0

xarctg(x

2

)cos(x)sen2(x)

lmx0

tg(x) sen(x)x3

lmx0

cotg(x)|1 cos(x)|

lmx0

(cos(x))cotg2(x)

lmx0

(x+ e2x)1x

lmx0

1xln

1 + x1 xEjercicio 4.2 Sea P (x) un polinomio de grado 4 tal que P (2) = 1; P (2) =0; P (2) = 2; P (2) = 12; P IV )(2) = 24. Determina P (1); P (0); P (1)

Ejercicio 4.3 Desarrolla por Mac-Laurin f(x) =1

1 + x

Ejercicio 4.4 Dado el polinomio P (x) = 3x4 + 2x3 + 5x2 + 2x+ 4, desarrllaloen potencias de (x+ 1).

Ejercicio 4.5 Calcula el polinomio de Taylor de grado n = 3 en el punto x = 0de la funcin f(x) = ee

x

.

Ejercicio 4.6 Calcula el polinomio de Taylor de grado n = 4 en el punto x = 0de la funcin f(x) = esen(x)

Ejercicio 4.7 Halla el polinomio de Taylor de grado 2n de f(x) = sen(x) enx =

pi

2.

Ejercicio 4.8 Halla el polinomio de Taylor de grado 2n de f(x) = cos(x) enx = pi.

Ejercicio 4.9 Halla el polinomio de Taylor de grado n de f(x) = ex en x = 1

Ejercicio 4.10 Halla el polinomio de Taylor de grado n de f(x) = ln(x) enx = 2

Ejercicio 4.11 Desarrolla por la frmula de Mac-Laurin la funcin f(x) = ex.

Ejercicio 4.12 Obtn una cota del error que se comete al tomar como valor

del nmero e la suma siguiente:

e = 1 +11!

+12!

+13!

4.2. EJERCICIOS 43

Ejercicio 4.13 Desarrolla por la frmula de Mac-Laurin la funcin f(x) =ln(1 + x).

Ejercicio 4.14 Justica la relacin:

1 + x ' 1 + x

2 x

2

8; 0 < x < 1

y acota el error cometido en la aproximacin.

Ejercicio 4.15 Demuestra que si x > 0, entonces se tiene:

3

1 + x < 1 +x

3 x

2

9+x3

16

Ejercicio 4.16 Calcula e0,4 con un error menor que una milsima.

Ejercicio 4.17 Halla la frmula de Mac-Laurin de la funcin f(x) = sen(x)hasta el grado 2n+ 1.

Ejercicio 4.18 Halla la frmula de Mac-Laurin de la funcin f(x) = cos(x)hasta el grado 2n

Ejercicio 4.19 Calcula los mximos, los mnimos y los puntos de inexin de

la funcin f(x) = x5 5x4 + 10x3 10x2 + 5x 1

Ejercicio 4.20 Halla los mximos, mnimos y puntos de inexin de f(x) =x4 + 8x3 + 24x2 + 32x+ 16

Ejercicio 4.21 Calcula los siguientes lmites, usando desarrollos de Taylor:

lmx0

x sen(x)x(1 cos(3x))

lmx0

[1

sen2(x) 1x2

]

lmx0

x ln(1 + x)(1 cos

(x2

))

lmx0

x sen(x)x tg(x)

lmx0

x sen(x)x3

lmx0

ln(1 + x) x1 cos

(x2

)


lmx0

ln(1 + x2)x2

lmx0

sen(x)ex ax

lmx0

ln(x+ 1) sen(x) + 1 cos(x)tg(x) x

lmx0

tg(x) + 2sen(x) 3xx4

Ejercicio 4.22 Halla el desarrollo de Mac-Laurin de la funcin f(x) = eax

hasta el trmino de orden 2. Calcula el valor de a para que esta aproximacin

de la funcin, evaluada en x = 1, valga12.

Ejercicio 4.23 Obtn el desarrollo de Mac-Laurin correspondiente a la sexta

derivada de la funcin:

f(x) =ex ex

2Nota: Esta funcin se llama seno hiperblico y se suele representar por f(x) =sh(x).

Ejercicio 4.24 Utilizando el polinomio de Taylor de grado 2 en x = 1, de la

funcin f(x) = xx, calcula una solucin aproximada de la ecuacin xx =52

Captulo 5

Clculo de primitivas

5.1. Prontuario

Denicin 5.1.1 Llamaremos primitiva de una funcin f a toda funcin Fcon el mismo dominio que f y tal que en todo punto x e su dominio s vericaF (x) = f(x).

45

46 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVAS

Teorema 5.1.1 (Tabla de primitivas inmediatas) Se tiene:

k dx = kx+ C

xn dx =

xn+1

n+ 1+ C; n 6= 1

1xdx = ln(x) + C

ex dx = ex + C

ax dx =

ax

ln(a)+ C

sen(x) dx = cos(x) + C

cos(x) dx = sen(x) + C

tg(x) dx = ln(cos(x)) + C

cotg(x) dx = ln(sen(x)) + C

1

cos2(x)dx = tg(x) + C

1

sen2(x)dx = cotg(x) + C

1

1 + x2dx = arctg(x) + C

1

1 x2 dx = arcsen(x) + C 1

1 x2 dx = arccos(x) + C

1

a2 + x2dx =

1aarctg

(xa

)+ C

1

a2 x2 dx = arcsen(xa

)+ C

1a2 x2 dx = arccos

(xa

)+ C

Existen dos integrales que aparecen frecuentemente y que se tratan como inmedi-

atas: 1

x2 1 dx = ln(x+x2 1) + C

1x2 + 1

dx = ln(x+x2 + 1) + C


5.1. PRONTUARIO 47f(x) dx+

g(x) dx =

[f(x) + g(x)] dx

k f(x) dx =

kf(x) dx

Teorema 5.1.3 (Mtodo de sustitucin o cambio de variable) Se utiliza

para integrales de la forma: f(g(x)) g(x) dx

Se realiza el cambio:

t = g(x)dt = g(x) dx

luego al sustituir queda:f(g(x)) g(x) dx =

f(t) dt

Teorema 5.1.4 (Mtodo de integracin por partes) Se usa cuando el in-

tegrando es un producto de un polinomio por una funcin trascendente o bien

es producto de funciones trascendentes. Se utiliza la frmula:u dv = u v

v du

Teorema 5.1.5 (Integracin de funciones racionales) Se trata de integrar

funciones del tipo: P (x)Q(x)

dx; P (x), Q(x) Z[x]

Distinguimos los siguientes casos:

1. grad(P (x)) grad(Q(x)). En este caso se debe hacer la divisin de P (x)Q(x), obteniendo as:

P (x)Q(x)

= C(x) +R(x)Q(x)

siendo C(x), R(x) el cociente y el resto respectivamente de la divisin an-terior. Por tanto, se vericar grad(R(x)) < grad(Q(x)) y estaramos enel siguiente caso.

2. grad(P (x)) < grad(Q(x)). Hallamos las races de Q(x) y distinguimos lossiguientes casos a su vez:

a) Q(x) slo tiene races reales simples {1, 2, . . . , n}. En este caso,el integrando se descompone en fracciones simples, as:

P (x)Q(x)

=A1

x 1 +A2

x 2 + +An

x n


siendo Ak

x k dx = Akln|x k|; k = 1, 2, . . . , n

b) Q(x) slo tiene races reales pero al menos una de ellas mltiple. Sea una de stas races de multiplicidad r. Entonces, para esta raz aparecen r fracciones en la descomposicin en fracciones simples deP (x)Q(x), del tipo:

A1x +

A2(x )2 + +

Ar(x )r

siendoAk

(x )k dx =Ak

(k + 1)(x )k1 ; k = 2, 3, . . . , r

c) Q(x) tiene al menos dos races complejas conjugadas i. Seax2 + px+ q el polinomio de segundo grado que tiene como solucionesestas dos races complejas conjugadas. En primer lugar observamos

que se puede escribir:

x2 + px+ q = (x )2 + 2

Asociada a estas dos races complejas conjugadas, la descomposicin

en fracciones simples de

P (x)Q(x)contiene un sumando del tipo:

Mx+Nx2 + px+ q

donde:Mx+Nx2 + px+ q

dx =

Mx+N(x )2 + 2 dx =

MxM+M+N

(x )2 + 2 dx =

=

M(x )(x )2 + 2 dx+

M+N

(x )2 + 2 dx = I1 + I2

donde en I1 se hace el cambio t = (x )2 + 2 y se obtiene unlogaritmo neperiano y en I2 se saca factor comn

2y se obtiene

una integral del tipo arco tangente que se resuelve con el cambio t =x .

Teorema 5.1.6 (Integracin de funciones trigonomtricas) Distinguimos

los siguientes casos:

5.1. PRONTUARIO 49R(sen(x), cos(x)) dx. Se hace el cambio:

t = tg(x

2

); dx =

2dt1 + t2

sen(x) =2t

1 + t2; cos(x) =

1 t21 + t2

R(sen(x), cos(x)) dx, con R(sen(x),cos(x)) = R(sen(x), cos(x)).Se hace el cambio:

t = tg(x) ; dx =dt

1 + t2

sen(x) =t

1 + t2; cos(x) =

11 + t2

senm(x)cosn(x) dx. Distinguimos a su vez los siguientes casos:

m impar positivo. Se aparta un seno y se hace el cambio t = cos(x). n impar positivo. Se aparta un coseno y se hace el cambio t = sen(x). m,n pares. Se usan las siguientes identidades:

sen(x)cos(x) = sen(2x)2

; sen2(x) =1 cos(2x)

2; cos2(x) =

1 + cos(2x)2

sen(mx)cos(nx) dx;sen(mx)sen(nx) dx;

cos(mx)cos(nx) dx.

Se usan las identidades trigonomtricas:

sen(mx)cos(nx) =12

[sen((m+ n)x) + sen((m n)x)]

sen(mx)sen(nx) = 12

[cos((m+ n)x) cos((m n)x)]

cos(mx)cos(nx) =12

[cos((m+ n)x) + cos((m n)x)]

Teorema 5.1.7

a2 b2x2 dx. Cambio:

x =a

bsen(t)

a2 b2x2 = acos(t)

a2 + b2x2 dx. Cambio:

x =a

btg(t)

a2 + b2x2 =

a

cos(t)

50 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVAS a2x2 b2 dx. Cambio:

x =b

asec(t)

a2x2 b2 = btg(t)

5.2. Ejercicios

5.2.1. Cambio de variable

Ejercicio 5.1

5x4 + 6x

x5 + 3x2 + 1dx

4x

23x dx

x3

cos2(x4 + 2)dx

sen5(x)cos(x) dx

dx

x(ln(x))3dx

x 1

1 + (x2 2x)2 dxex

4 (ex 1)2 dx

5.2.2. Por partes

Ejercicio 5.2

(x+ 1)sen(x 2) dx

e2x+1sen(2x+ 1) dx

(x2 + 1)ex+1 dx

(x6 5x4 + 2x3 + 1)ln(x) dx

5.2. EJERCICIOS 51

5.2.3. Racionales con races reales simples

Ejercicio 5.3

x3 4x2 1 dx

3x4

x2 4 dxx2 3

x3 6x2 + 3x+ 10 dxdx

x3 + 3x2 x 3

5.2.4. Racionales con races reales mltiples

Ejercicio 5.4

x4 + 1

x3 + x2 5x+ 3 dxx3

x3 5x2 + 8x 4 dx3x 2

(x+ 1)2(x 1) dx1 2x

(x+ 4)(x+ 2)2dx

5.2.5. Racionales con races complejas simples

Ejercicio 5.5

1

(x2 + 4)xdx

x 2

x3 x2 + x 1 dxx 3

x2 2x+ 4 dx2x 1

x3 5x2 + 10x 6 dx

5.2.6. Trigonomtricas: cambio t = tg(x

2

)Ejercicio 5.6

dx

cos(x) + sen(x) + 3dx

8 4sen(x) + 7cos(x)

52 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVASdx

3 + 5cos(x)dx

sen(x) + cos(x)

5.2.7. Trigonomtricas: cambio t = tg(x)

Ejercicio 5.7

dx

9cos2(x) sen2(x)dx

sen2(x)cos4(x)dx

1 + tg(x)

5.2.8. Trigonomtricas: tipo

senm(x)cosn(x) dx

Ejercicio 5.8

sen5(x) dx

sen4(x)ctg3(x) dxtg3(x)sec2(x) dxsec2(x)cosec3(x)

dxsen6(x) dxcos4(2x) dxsen2(x+ 1)cos2(x+ 1) dxcos2(x)sen4(x) dx

5.2.9. Trigonomtricas: tipos

sen(mx)cos(nx) dx;

sen(mx)sen(nx) dx;

cos(mx)cos(nx) dx

Ejercicio 5.9

sen(6x)cos(3x) dx

5.2. EJERCICIOS 53cos(5x)cos(10x) dxcos(6x)sen(x+ 1) dxsen(4x+ 1)sen(4x 1) dx

5.2.10. Irracionales: tipos

a2 b2x2; a2 + b2x2; a2x2 b2

Ejercicio 5.10

2

4 2x2 dxx2

4 4x2 dxdx

x

3 + 2x2dx

2x2 8x

dx

5.2.11. Miscelnea de integrales

Ejercicio 5.11

ln

(x 1x+ 1

)dx

x 1

x2 x 2 dxx 32 x2 dx

dx

xsen2(ln(x))x2

x3 + xdx

Ejercicio 5.12

dx

1 + 3cos2(x)sen(6x)cos(x) dxx

7 + x2 dx(x3 + 2)ex3 dx

54 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVASsen2(ex)cos(ex)ex dx

Ejercicio 5.13

x+ 1

x3 + x2 6x dx x+ 1 dx

cosec3(x)cos2(x) dx

5x2 + 8

x3 + 2x2 + 4xdx

(7 + cos(x))5sen(x) dx

Ejercicio 5.14

(x+ 1)sen(2x) dx

dx

sen2(x)cos2(x)3sen(x) + 2cos(x)2sen(x) + 3cos(x)

dx

(x+ 1)arctg(x) dx

3x2 + 2x+ 2

x3 1 dx

Ejercicio 5.15

sen(3x)sen(x) dx

sen(2x)

1 + sen2(x)dx

cos(x)

sen2(x) + 2sen(x) + 1dx

x+ 1 dx

dx

x[1 + (ln(x))2]dx

Ejercicio 5.16

1 + tg(x)1 tg(x) dx

5.2. EJERCICIOS 55cos(x)esen(x) dx

ln

(x+ 1x 3

)dx

dx

sen8(x)cos(x)

cos2(sen(x)) 1 dx

Ejercicio 5.17

sec6(x) dx

xsen(x2 + 1)cos(x2 1) dx

dx

x3 6x2 + 12x 8x2 4x+ 1

3x3 6x2 + 3x dx

ex+1sen(x 1) dx

Ejercicio 5.18

dx

(1 + sen(x))2x

2x2 4 dx

5x2 13x

dx

7 dx

5 + cos(x)cotg5(x) dx

Ejercicio 5.19

x 3

x3 + 2x2 + 5xdx

sen3(x)ln(cos(x)) dx

(x 1)x 1 dx

56 CAPTULO 5. CLCULO DE PRIMITIVAS3x+ 15x2 + 7

dx

3cos(x)

5cos(x) sen(x) dx

Ejercicio 5.20

cos(x)sen25(x)

dx

dx

cos(x) 2sen(x) + 1 5 x2 dx 1 + cos(2x) dx

dx

x(x2 + x+ 1)

Ejercicio 5.21

x2cos(x) dx

ex

e2x 3ex dxdx

x2

4 + x2xsen2(x2 + 1)cos(x2 + 1) dx

5sen(x) 5cos(x)2sen(x) + 4cos(x)

dx

Ejercicio 5.22

xarctg(x+ 1) dx

x 2x3 5x2 + 16x 30 dxx2ln

(x+ 1x 2

)dx

x+x

xdx

(x3 + x2 + 1)ex1 dx

5.2. EJERCICIOS 57

Ejercicio 5.23

x3sen(x 3) dx

x 2x+ 1

dx

sen(ln(x))xcos3(ln(x))

dx(sen2(x) + cos2(x)) dx

Captulo 6

Aplicaciones de la integracin

6.1. Prontuario

Teorema 6.1.1 Sean f, g dos funciones integrables en I = [a, b]. Se vericanlas siguientes propiedades: b

a

f(x) dx = ca

f(x) dx+ bc

f(x) dx; c (a, b)

ba

f(x) dx ab

f(x) dx

aa

f(x) dx = 0

ba

(f(x) g(x)) dx ba

f(x) dx k ba

g(x) dx

f(x) 0; forall x I ba

f(x) dx 0

f(x) 0; forall x I ba

f(x) dx 0

f(x) g(x); x I ba

f(x) dx 0

Teorema 6.1.2 (Regla de Barrow) Sea f una funcin continua en I, y seaF una primitiva de f . Entonces: b

a

f(x) dx = F (b) F (a)

59

60 CAPTULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRACIN

Denicin 6.1.1 Sea f : I R continua. Se dene la funcin integral de fen I como:

F : I Rx 7 F (x) =

xa

f(t) dt

Teorema 6.1.3 (Teorema fundamental del clculo integral) Si F es lafuncin integral de f en I, entonces F es una primitiva de f en I, esto es:

d

dx

( xa

f(t) dt)

= f(x)

Teorema 6.1.4 (rea) Sea f una funcin continua y positiva en I. Elrea que determina la funcin con el eje de abscisas entre las rectas x = a

y x = b coincide con ba

f(x) dx

Sea f una funcin continua en I. El rea que determina la funcin con el

eje de abscisas entre las rectas x = a y x = b coincide con ba

|f(x)| dx

Sean f, g funciones continuas en I. El rea que determinan dichas fun-

ciones coincide con

ba

|f(x) g(x)| dx

Teorema 6.1.5 (Volumen) Para calcular el volumen V de un slido de rev-olucin:

Si el eje de giro es el eje horizontal:

V = pi ba

R2(x) dx

donde R(x) es el radio de disco que gira para cada x en I.

Si el eje de giro es el eje vertical:

V = pi ba

R2(y) dy

donde R(y) es el radio de disco que gira para cada y en I.

Si el slido tiene un agujero:

V = pi ba

[R2(x) r2(x)] dx

donde R(x) y r(x) son, respectivamente, el radio externo e interno deldisco que gira, para cada x en I.

6.1. PRONTUARIO 61

Teorema 6.1.6 (Longitud de un arco) Si y = f(x) representa una curvasuave en I, la longitud de arco de f entre a y b viene dada por:

s = ba

1 + [f (x)]2 dx

Teorema 6.1.7 (rea de una supercie de revolucin) Si y = f(x) tienederivada continua en I, entonces el rea de la supercie de revolucin S formadaal girar la grca de f alrededor de un eje horizontal o vertical es:

S = 2pi ba

r(x)

1 + [f (x)]2 dx

donde r(x) representa, para cada x en I, la distancia desde la grca de f y eleje de revolucin correspondiente.

Teorema 6.1.8 (Centroide) Sean f, g funciones continuas en I con f(x) g(x) en I. El centro de masas, o centroide, de la lmina determinada por lasgrcas de f y g, viene dado por:

(x, y) =(Mym,Mxm

)con:

Mx = ba

f2(x) g2(x)2

dx

My = ba

x[f(x) g(x)] dx

m = ba

[f(x) g(x)] dx

Denicin 6.1.2 Llamaremos integral impropia a aquellas en las que el inter-

valo de itegracin no est acotado y/o la funcin no est acotada en una cantidad

nita de puntos del intervalo de integracin. Atendiendo a esta denicin, las

integrales impropias se clasican en:

Integrales impropias de 1

a

especie: intervalo de integracin no acotado.


a

especie: la funcin no est acotada.


a

especie: son a la vez de 1

a

y de 2

a

especie.

Teorema 6.1.9 Se verica: +a

f(x) dx = lmb+

ba

f(x) dx

ba

f(x) dx = lmcb

ca

f(x) dx, siendo c un punto de I donde la funcin

no est acotada.


Denicin 6.1.3 Se dene la funcin Gamma de Euler, o funcin euleriana

de 1

a

especie y se representa por como:

: (0,+) R

(p) = +

0

xp1ex dx


(1) = 1

(p+ 1) = p(p)

(n+ 1) = n!; n N

(

12

)=pi

Denicin 6.1.4 Se dene la funcin beta de Euler, o funcin euleriana de 2

a

especie y se representa por , como:

: (0,+) (0,+) R

(p, q) = 1

0

xp1(1 x)q1 dx


(p, q) = (q, p)

(p, q) = 2 pi

2

0

sen2p1()cos2q1() d

(p, q) =(p) (q)(p+ q)

6.2. Ejercicios

6.2.1. Clculo de reas, longitudes y volmenes

Ejercicio 6.1 En cada uno de los siguientes apartados, haz un esbozo de la

regin acotada por las grcas de las ecuaciones dadas y calcula el rea de la

regin:

y =1x2

; y = 0; x = 1; x = 5

y =1x2

; y = 4; x = 5

6.2. EJERCICIOS 63

y =x

(x2 + 1)2; y = 0; x = 1

y = 1 x2

; y = x 2; y = 1

x = y2 2y; x = 0x = y2 2y; y = 0; x = 1y = x; y = x3

x = y2 + 1; x = y + 3

y = x2 8x+ 3; y = 3 + 8x x2

y =x 1; y = x 1

2

y = x4 2x2; y = 2x2

Ejercicio 6.2 En cada uno de los siguientes apartados, calcula el volumen del

slido generado al girar la regin acotada por las ecuaciones dadas en torno de

la recta indicada:

y = x; y = 0; x = 4

el eje X el eje Y la recta x = 4 la recta x = 6

y =x; y = 2; x = 0

el eje X el eje Y la recta y = 2 la recta x = 1

x2

16+y2

9= 1

el eje X (esferoide prolato) el eje Y (esferoide oblato)

x2

a2+y2

b2= 1

el eje X (esferoide prolato) el eje Y (esferoide oblato)


y =1

(x2 + 1)2; y = 0; x = 0; x = 1

el eje Yy =

(x+ 1)3; y = 0; x = 1; x = 1

el eje Xy = x2 + 6x 5; y = 0 el eje X el eje Y

y = x3 + 1; y = 2; x = 0

el eje XEjercicio 6.3 En cada uno de los apartados siguientes, halla el centroide de la

regin acotada por grcas de las ecuaciones dadas:

x+y =a; x = 0; y = 0

y = x2; y = 2x+ 3

y = a2 x2; y = 0

y = x23 ; y =

12x

Ejercicio 6.4 Escribe una integral que represente la longitud del arco del crculo

x2 + y2 = 4 desde (3, 1) hasta (3, 1), en el sentido de las agujas del reloj.

Ejercicio 6.5 Calcula la longitud de la grca de y =16x3 +

12x, desde x = 1hasta x = 3

Ejercicio 6.6 Calcula por integracin el rea de la supercie de un cono cir-

cular recto de altura 4 y radio 3.

Ejercicio 6.7 Un depsito de gasolina tiene forma de esferoide oblato generado

por la regin acotada por la grca de

x2

16+y2

9= 1 al girar en torno el eje Y ,donde x e y se miden en pies. Calcula la profundidad de la gasolina cuando eldepsito est lleno a un cuarto de su capacidad.

Ejercicio 6.8 Calcula el rea de la regin acotada por y = xx+ 1 e y = 0.

Ejercicio 6.9 Se hace girar la regin denida en el ejercicio anterior en torno

al eje X. Calcula el volumen del slido resultante.

Ejercicio 6.10 La regin limitada por y = 2x; y = 0; x = 3 se hace girar entorno al eje X. Calcula el rea de la supercie del slido resultante.

Ejercicio 6.11 Calcula la longitud de arco de la grca de f(x) =45x

54, desde

x = 0 hasta x = 4.

6.2. EJERCICIOS 65

6.2.2. Integrales impropias

Ejercicio 6.12 En cada uno de los siguientes apartados, determina si la inte-

gral impropia dada converge o diverge. Calcula el valor de las que sea conver-

gentes: 40

1xdx

43

1x 3 dx 2

0

1(x 1) 23 dx 2

0

1(x 1)2 dx +

0

ex dx

0

e2x dx

0

xe2x dx

+0

xex dx

+0

x2ex dx

+0

(x 1)ex dx +

1

1x2

dx

+1

1xdx

+0

excos(x) dx

+0

eaxsen(bx) dx; a > 0

+

11 + x2

dx


+0

x3

(x2 + 1)2dx

+0

1ex + ex

dx

+0

ex

1 + exdx

+0

cos(pix) dx

+0

sen(x

2

)dx

10

1x2

dx

10

1xdx

80

13

8 x dx e0

ln(x) dx

10

xln(x) dx

pi2

0

sec() d

pi2

0

tg() d

20

14 x2 dx 4

2

1x2 4 dx 2

0

14 x2 dx 2

0

13x 1 dx 2

0

1(x 1) 43 dx

6.2. EJERCICIOS 67

Ejercicio 6.13 Determina los valores de p para los cuales converge la integralsiguiente: +

1

1xp

dx

Ejercicio 6.14 Determina los valores de p para los cuales converge la integralsiguiente: 1

0

1xp

dx

Ejercicio 6.15 Comprueba que la siguiente integral converge para todo nmero

n N: +0

xnex dx

Ejercicio 6.16 Sea f(t) una funcin denida para todos los valores positivosde t. Se dene su transformada de Laplace como la funcin F (s) dada por:

F (s) = +

0

estf(t) dt

si esa integral impropia converge. En cada uno de los siguientes apartados, halla

la transformada de Laplace de cada funcin:

f(t) = 1

f(t) = t

f(t) = t2

f(t) = eat

f(t) = cos(at)

f(t) = sen(at)

Ejercicio 6.17 Dada la regin acotada por las grcas de y =1x2e y = 0

(x 1), calcula:el rea de la regin.

el volumen del slido generado al girar en torno el eje X.

el volumen del slido generado al girar en torno al eje Y .

Ejercicio 6.18 Dada la regin acotada por las grcas de y = ex e y = 0(x 0), calcula:el rea de la regin.

el volumen del slido generado al girar en torno al eje Y .


Ejercicio 6.19 La regin acotada por (x 2)2 + y2 = 1 se hace girar en tornoal eje Y . Calcula el rea de la supercie del toro as obtenido.

Ejercicio 6.20 Una funcin f no negativa se llama funcin de densidad deprobabilidad si: +

f(t) dt = 1

La probabilidad de que t est entre a y b viene dada por:

P (a t b) = ba

f(t) dt

El valor esperado de t (esperanza) viene dado por:

E(t) = +

tf(t) dt

En cada uno de los siguientes apartados, prueba que la funcin no negativa que

se da es una funcin de densidad de probabilidad, despus calcula P (0 t 4)y por ltimo calcula E(t).

f(t) =

{ 17e

t7 si t 0

0 si t < 0

f(t) =

{ 25e

2t5 si t 0

0 si t < 0

Ejercicio 6.21 Calcula el valor de la siguiente integral, muy usada en la teora

de electromagnestismo:

P = k +

1

1(a2 + x2)

32dx

6.2.3. Funciones eulerianas

Ejercicio 6.22 Calcula (

72

)y

(52,

72

)

Ejercicio 6.23 Calcula

+0

ex3x2 dx


+0

ex2x2 dx


80

x12 (2 x 13 ) 14 dx

6.2. EJERCICIOS 69


10

x(1 x4) 12 dx


10

dx1 4x


10

x5 dx1 x4


80

dx

x12 (2 x 13 ) 14

Parte IV

Anlisis real de funciones de

varias variables reales

71

Captulo 7

Funciones de varias variables

reales

7.1. Prontuario

Denicin 7.1.1 Sea f(x, y) una funcin real de dos variables reales. Se lla-ma curva de nivel al conjunto de puntos en los que la funcin toma un valor

constante. La curva de nivel formada por los puntos en los que la funcin toma

el valor c R tiene de ecuacin:f(x, y) = c

Denicin 7.1.2 Se llama funcin vectorial a toda aplicacin:

f : D Rn Rm; m > 1f(x1, x2, . . . , xn) = (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn))

de forma que se suele escribir la funcin f as:

f : D Rn Rm; f = (f1, f2, . . . , fm)donde

fi : D Rn Rse llaman funciones componentes de f .

Nota 7.1.1 En algunos contextos, llaman funcin vectorial a aquella en la que

n = 1.

Observacin 7.1.1 Una funcin f : D Rn Rm tiene n variables y mcomponentes.

Teorema 7.1.1 Sea f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) una funcin vectorial en el es-pacio. Se verican las siguientes propiedades:

73

74 CAPTULO 7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES

1. Lmite:

lmta f(t) =

(lmta f1(t), lmta f2(t), lmta f3(t)

)2. Una funcin vectorial f es continua en el punto t = a si existe lm

ta f(t) yse cumple:

lmta f(t) = f(a)

3. Una curva C en el espacio representada por la funcin f = (f1, f2, f3) sedice que es suave en el intervalo I = (a, b) si f 1, f

2, f3 son continuas en I

y f (t) 6= ~; t I.4. Derivada: Si f1, f2, f3 son derivables en I, entonces la derivada de f vienedada por:

f (t) = (f 1(t), f2(t), f

3(t))

5. Integral: Si f1, f2, f3 son continuas en I, se tiene:f(t) dt =

(f1(t) dt,

f2(t) dt,

f3(t) dt

)y anlogamente: b

a

f(t) dt =

( ba

f1(t) dt, ba

f2(t) dt, ba

f3(t) dt

)

Denicin 7.1.3 (Coordenadas cilndricas) En un sistema de coordenadas

cilndricas, un punto P de espacio se representa por una terna ordenada (r, , z),donde:

1. (r, ) son las coordenadas polares de la proyeccin de P en el plano XY ,0 2pi.2. z es la tercera coordenada rectangular.

Teorema 7.1.2 Las siguientes identidades nos proporcionan el cambio de

coordenadas cilndricas a rectangulares:

x = rcos() y = rsen() z = zLas siguientes identidades nos proporcionan el cambio de coordenadas rect-

angulares a cilndricas:

r = +x2 + y2

= arctg(yx

)

7.2. EJERCICIOS 75

z = z

Denicin 7.1.4 (Coordenadas esfricas) En un sistema de coordenadas

esfricas, un punto P de espacio se representa por una terna ordenada (, , ),donde:

1. es la distancia orientada desde P hasta el origen, 02. es el mismo ngulo usado en coordenadas cilndricas, 0 2pi.3. es el ngulo entre el eje z positivo y el segmento OP , 0 pi

Teorema 7.1.3 Las siguientes identidades nos proporcionan el cambio de

coordenadas esfricas a rectangulares:

x = sen()cos() y = sen()sen() z = cos()Las siguientes identidades nos proporcionan el cambio de coordenadas rect-

angulares a cilndricas:

= +x2 + y2 + z2

= arctg(yx

) = arccos

(z

x2 + y2 + z2

)

7.2. Ejercicios

7.2.1. Funciones escalares

Ejercicio 7.1 En cada uno de los siguientes apartados, evala la funcin en

los puntos que se indican:

f(x, y) =x

y

(3, 2) (30, 5) (x, 2) (1, 4) (5, y) (5, t)

f(x, y) = xey


(5, 0) (3, 2) (2,1) (5, y) (x, 2) (t, t)

h(x, y, z) =xy

z

(2, 3, 9) (1, 0, 1)

f(x, y) = xsen(y)

(

2,pi

4

) (3, 1)

f(x, y) = yx

(2t 3)dt

(0, 4) (1, 4)

Ejercicio 7.2 En cada uno de lo siguientes apartados, describe la regin R quecorresponde, en el plano xy, al dominio de la funcin dada. Halla el recorridode la funcin.

f(x, y) =

4 x2 y2

f(x, y) = arcsen(x+ y)

z =x+ yxy

f(x, y) = ln(4 x y)f(x, y) = e

xy

f(x, y) =1xy

Ejercicio 7.3 Describe las curvas de nivel para cada funcin y las curvas de

nivel para los valores de c que se indican:

f(x, y) =

25 x2 y2; c = 0, 1, 2, 3, 4, 5f(x, y) = xy; c = 1,2, ,6

7.2. EJERCICIOS 77

f(x, y) =x

x2 + y2; c = 1

2,1,3

2,2

f(x, y) = ln(x y); c = 0,12,1,3

2,2

f(x, y) = exy; c = 1, 2, 3, 4,12,

13,

14

Ejercicio 7.4 La temperatura T (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y)de una placa metlica circular de 10 pies de radio es:

T (x, y) = 600 0, 75x2 0, 75y2

donde x e y se miden en pies. Dibuja algunas de las curvas isotermas.

Ejercicio 7.5 Las ley de los gases ideales establece que PV = kT , donde P esla presin, V el volumen, T la temperatura (en grados Kelvin) y k una constantede proporcionalidad. Un depsito contiene 2600 pulgadas cbicas de nitrgeno

a una presin de 20 libras por pulgada cuadrada y a una temperatura de 300

grados Kelvin.

Determina k.

Expresa P como funcin de V y T y describe las curvas de nivel corre-spondientes.

Ejercicio 7.6 Un depsito de propano se ha construido adosando dos semies-

feras a los extremos de un cilindro circular recto. Expresa su volumen V comofuncin del radio r y de la longitud l del cilindro.

7.2.2. Funciones vectoriales

Ejercicio 7.7 En cada uno de los siguientes apartados, halla el dominio de la

funcin vectorial dada:

r(t) =(

5t,1t

)r(t) = (

4 t2, t2)

r(t) = (et, ln(t))

r(t) =(

1t 3 ,

1t 5

)Ejercicio 7.8 Calcula ||r(t)||:

r(t) = (sen(pit), cos(pit))

r(t) = (t, 3t)


Ejercicio 7.9 Dibuja la curva representada por la funcin vectorial, indicando

su orientacin:

r(t) = (3t, t 1)r(t) = (2cos(t), 2sen(t))

r(t) = (t, t2)

r(t) =(t,

1t

)Ejercicio 7.10 En cada uno de los siguientes apartados, calcula el lmite indi-

cado:

lmt3

(t,t2 9t2 3t

)

lmt0

(1 cos(t)

t, t2)

lmt3

(2t2, e2t

)Ejercicio 7.11 En cada uno de los siguientes apartados se pide:

1. Dibujar la curva plana representada por la funcin vectorial.

2. Dibujar los vectores r(t0), r(t0) para el valor de t0 especicado. Colocarlo vectores de manera que el punto inicial de r(t0) est en el origen y elpunto inicial de r(t0) sea el punto nal de r(t0).

r(t) = (t2, t); t0 = 2

r(t) = (cos(t), sen(t)); t0 =pi

2

Ejercicio 7.12 Halla r(t), r(t):

r(t) = (3t, t 1)r(t) = (acos(t), asen(t))

r(t) = (t sen(t), 1 cos(t))Ejercicio 7.13 En cada uno de los siguientes apartados, halla:

1. r(t)

2. Dt[r(t) u(t)]3. Dt[3r(t) u(t)]4. Dt[||r(t)||]

7.2. EJERCICIOS 79

r(t) = (3t, 4t); u(t) = (4t, t2)

r(t) = (sen(t), cos(t)); u(t) = (cos(t),sen(t))

Ejercicio 7.14 En cada uno de los siguientes apartados, halla el intervalo o

intervalos donde la funcin vectorial es suave:

r(t) = (t2, t3)

r() = (2cos3(), 3sen3())

r() = ( 2sen(), 1 2cos())

r(t) =(

3t1 + t3

,3t2

1 + t3

)Ejercicio 7.15 Halla las siguientes integrales indenidas:

(6t2, 3) dt

(1t, et)dt

(4sen(t), 3cos(t)) dt(tet

2, t) dt

Ejercicio 7.16 Halla las siguientes integrales denidas: 10

(6t,3t) dt 1

0

(t,t+ 1) dt

pi2

0

(4cos(t), 3sen(t)) dt

30

(et, tet) dt

Ejercicio 7.17 Halla r(t) con las condiciones impuestas:

r(t) = (4e2t, 3et); r(0) = (2, 0)

r(t) = (2t,t); r(0) = (1, 1)

r(t) = (4cos(t),3sen(t)); r(0) = (0, 3); r(0) = (4, 0)


Ejercicio 7.18 En cada apartado, demuestra la propiedad enunciada. Supn,

en cada caso, que r, u son funciones vectoriales derivables en t, f una funcinreal derivable en t y c un escalar.

Dt[cr(t)] = cr(t)

Dt[r(t) u(t)] = r(t) u(t)Dt[f(t)r(t)] = f(t)r(t) + f (t)r(t)

Dt[r(f(t))] = r(f(t))f (t)

Si r(t) r(t) = c r(t) r(t) = 0

7.2.3. Coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas

Ejercicio 7.19 Pasa el punto dado, de coordenadas rectangulares a cilndricas:

(0, 5, 1)

(1,

3, 4)

(2,2,4)

Ejercicio 7.20 Pasa el punto dado, de coordenadas cilndricas a rectangulares:

(5, 0, 2)(3,pi

3, 2)

(4,

7pi6, 3)Ejercicio 7.21 Pasa el punto dado, de coordenadas rectangulares a esfricas:

(4, 0, 0)

(2, 23, 4)(

3, 1, 2

3)

Ejercicio 7.22 Pasa el punto dado, de coordenadas esfricas a rectangulares:(4,pi

6,pi

4

)(

12,pi4, 0)

(5,pi

4,

3pi4

)Ejercicio 7.23 Pasa el punto dado, de coordenadas cilndricas a esfricas:

7.2. EJERCICIOS 81(4,pi

4, 0)

(4,pi

6, 6)

(12, pi, 5)

Ejercicio 7.24 Pasa el punto dado, de coordenadas esfricas a cilndricas:(10,

pi

6,pi

2

)(

6,pi6,pi

3

)(

8,7pi6,pi

6

)Ejercicio 7.25 Halla una ecuacin en coordenadas rectangulares para la ecuacin

dada en coordenadas cilndricas:

r = 2

=pi

6

r = 2sen()

r2 + z2 = 4

Ejercicio 7.26 Halla una ecuacin en coordenadas rectangulares para la ecuacin

dada en coordenadas esfricas:

= 2

=pi

6

= 4cos()

= cosec()

Ejercicio 7.27 Halla una ecuacin de la supercie dada, primero en coorde-

nadas cilndricas y despus en coordenadas esfricas:

x2 + y2 + z2 = 16

x2 + y2 + z2 2z = 0x2 + y2 = 4y

x2 y2 = 9


7.2.4. Lmites y continuidad

Ejercicio 7.28 Calcula el lmite propuesto usando los lmites:

lm(x,y)(a,b)

f(x, y) = 5; lm(x,y)(a,b)

g(x, y) = 3

lm(x,y)(a,b)

[f(x, y) g(x, y)]

lm(x,y)(a,b)

[4f(x, y)g(x, y)

]lm

(x,y)(a,b)[f(x, y)g(x, y)]

lm(x,y)(a,b)

[f(x, y) g(x, y)

f(x, y)

]Ejercicio 7.29 En cada apartado, calcula el lmite que se indica y discute la

continuidad de la funcin:

lm(x,y)(2,1)

(x+ 3y2)

lm(x,y)(2,4)

x+ yx y

lm(x,y)(0,1)

arcsen(xy

)1 + xy

lm(x,y)(0,0)

exy

lm(x,y,z)(1,2,5)

x+ y + z

Ejercicio 7.30 En cada uno de los siguientes ejercicios, calcula el lmite usan-

do coordenadas polares (Ayuda: Haz x = rcos(); y = rsen() y observa que(x, y) (0, 0) es equivalente a r 0)

lm(x,y)(0,0)

sen(x2 + y2)x2 + y2

lm(x,y)(0,0)

xy

x2 + y2

lm(x,y)(0,0)

x3 + y3

x2 + y2

lm(x,y)(0,0)

x2y2

x2 + y2

Ejercicio 7.31 Discute la continuidad de las siguientes funciones:

7.2. EJERCICIOS 83

f(x, y, z) =1

x2 + y2 + z2

f(x, y, z) =z

x2 + y2 4

f(x, y, z) =sen(z)ex + ey

f(x, y, z) = xysen(z)

Ejercicio 7.32 Discute la continuidad de la funcin compuesta f g en cadaapartado:

f(t) = t2; g(x, y) = 3x 2y

f(t) =1t; g(x, y) = 3x 2y

f(t) =1

4 t ; g(x, y) = x2 + y2

Captulo 8

Derivadas parciales y

direccionales. Gradiente

8.1. Prontuario

Denicin 8.1.1 Si z = f(x, y), se dene la derivada parcial de f respecto ax en un punto (a, b), y se representa por:

D1f(a, b) = fx(a, b) =f

x(a, b)

como el siguiente lmite, si existe es nito:

f

x(a, b) = lm

xaf(x, b) f(a, b)

x a = lmh0f(a+ h, b) f(a, b)

h

Anlogamente, se dene la derivada parcial de f respecto a y en un punto (a, b),y se representa por:

D2f(a, b) = fy(a, b) =f

y(a, b)

como el siguiente lmite, si existe y es nito:

f

y(a, b) = lm

ybf(a, y) f(a, b)

y b = lmh0f(a, b+ h) f(a, b)

h

Nota 8.1.1 Formalmente, las derivadas parciales se efectan segn las mismas

reglas de derivacin de las funciones de una variable, entendiendo como tal la

variable respecto de la que se est derivando y considerando las dems variables

como constantes.

Nota 8.1.2 La forma de notar las derivadas segundas de una funcin de dos

variables es:

85

86CAPTULO 8. DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. GRADIENTE

Derivar dos veces respecto a x:

x

(f

x

)=2f

x2= fxx = D11f

Derivar dos veces respecto a y:

y

(f

y

)=2f

y2= fyy = D22f

Derivar primero con respecto a x y a continuacin con respecto a y:

y

(f

x

)=

2f

yx= fxy = D12f

Derivar primero con respecto a y y a continuacin con respecto a x:

x

(f

y

)=

2f

xy= fyx = D21f

Teorema 8.1.1 (Teorema de Schwartz de igualdad de derivadas cruzadas)

Si z = f(x, y) es tal que f, fx, fy, fxy, fyx son continuas en la regin abierta R,entonces para cada (x, y) R, se tiene:

fxy(x, y) = fyx(x, y)

Denicin 8.1.2 Sea f : Rn Rm. Se llama matriz jacobiana de f en elpunto (a, b), y se representa por J(f)(a, b), a la matriz:

J(f)(a, b) =

f1x1

(a, b)f1x2

(a, b) f1xn

(a, b)

f2x1

(a, b)f2x2

(a, b) f2xn

(a, b)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

fmx1

(a, b)fmx2

(a, b) fmxn

(a, b)

Observacin 8.1.1 Observemos que:

f : Rn Rm J(f)(a, b) Mmn(R)

Observacin 8.1.2 (Interpretacin geomtrica de las derivadas parciales)

Se tiene:

fx(a, b) representa la pendiente de la recta tangente a la curva interseccindel plano y = b con la supercie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b))

8.2. EJERCICIOS 87

fy(a, b) representa la pendiente de la recta tangente a la curva interseccindel plano x = a con la supercie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b))

Denicin 8.1.3 Una funcin f se dice diferenciable en (a, b) si:

lm(h,k)(0,0)

[f(a+ h, b+ k) f(a, b)] [fx(a, b) h+ fy(a, b) k]h2 + k2

= 0

Observacin 8.1.3 En general, una funcin f : Rn Rm es diferenciable siy solo si lo son cada una de sus funciones componentes

Denicin 8.1.4 Sea z = f(x, y) y ~u = (u1, u2) R2 con ||~u|| = 1. Se denela derivada direccional de f en (a, b) en la direccin del vector ~u y se representapor D~uf(a, b), como el siguiente lmite si existe y es nito:

D~uf(a, b) = lmh0

f(a+ hu1, b+ hu2) f(a, b)h

Denicin 8.1.5 Si z = f(x, y), entonces se dene el gradiente de f en unpunto (a, b) y se representa por (f)(a, b) como:

f(a, b) = (fx(a, b), fy(a, b))Teorema 8.1.2 Sea z = f(x, y) diferenciable y sea ~u = (u1, u2) R2 con||~u|| = 1. Entonces:

D~uf(a, b) = f(a, b) ~uTeorema 8.1.3 Sea f una funcin diferenciable en el punto (a, b). Entonces severican las siguientes propiedades:

Si f(a, b) = ~, entonces D~uf(a, b) = 0, ~u.La direccin y sentido de mximo crecimiento de f viene dada por f(a, b).El valor mximo de D~uf(a, b) es ||f(a, b)||La direccin y sentido de mnimo crecimiento de f viene dada por f(a, b).El valor mnimo de D~uf(a, b) es ||f(a, b)||

Teorema 8.1.4 Si f es diferenciable en (a, b) y f(a, b) 6= ~, entonces f(a, b)es normal a la curva de nivel que pasa por (a, b)

8.2. Ejercicios

8.2.1. Derivadas parciales

Ejercicio 8.1 Calcula D1f(1, 0), D2f(1, 0), siendo f(x, y) = xxxy

Ejercicio 8.2 Calcula, aplicando la denicin, las derivadas parciales de primer

orden de la funcin f(x, y) =x+ yx y en el punto P (2, 3).

88CAPTULO 8. DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. GRADIENTE

Ejercicio 8.3 Calcula utilizando las reglas prcticas de derivacin parcial, las

derivadas de primer orden de las siguientes funciones:

f(x, y) =x2 y2x2 + y2

f(x, y) =cos(x) + cos(y)cos(x) cos(y)

f(x, y, z) = ex + ey + ez exyz

g(x, y) = tg(x) sen(y) + x2 y2

h(x1, x2, ,n ) =ni=1

x2i

u(x, y, z, w) =1x

+ y + z2 + ln(w)

w(x, y, z) = sen(x

(y 1

sen(x)

))Ejercicio 8.4 Sea f : R2 R denida as:

f(x, y) =

{xytg

(yx

)si x 6= 0

0 si x = 0

Estudia en qu puntos f satisface la ecuacin:

xD1f(x, y) + yD2f(x, y) = 2f(x, y)

Ejercicio 8.5 Calcula utilizando las reglas prcticas de derivacin parcial, las

derivadas de primer orden de las siguientes funciones:

f(x, y, z) = xy + xz + yz

f(x, y, z) = x+ sen(xy) + ln(xz)

f(x, y) = exy +1xy

g(x, y) = arcsen(y +

1x

)h(x, y, z) = xyz

u(x, y, z) =x+ y + zxyz

Ejercicio 8.6 En cada uno de los siguientes apartados, halla las derivadas par-

ciales primeras con respecto a x y con respecto a y:

8.2. EJERCICIOS 89

f(x, y) = 2x 3y + 5f(x, y) = xy

z = xy

z = x2e2y

z = ln(x2 + y2)

z = lnx+ yx y

h(x, y) = e(x2+y2)

h(x, y) =x2 + y2

z = sen(2x y)z = eysen(xy)

f(x, y) = sen yx

(t2 1) dt

Ejercicio 8.7 Evala fx, fy en el punto indicado

f(x, y) = arctg(yx

); (2,2)

f(x, y) =xy

x y ; (2,2)

f(x, y) =4xyx2 + y2

; (1, 0)

Ejercicio 8.8 Halla las derivadas primeras con respecto a x, y, z.

w =x2 + y2 + z2

w =xy

x+ y + z

H(x, y, z) = sen(x+ 2y + 3z)

Ejercicio 8.9 Dada la funcin f(x, y) =x

y, calcula

2f

x2,2f

xy,2f

yx,2f

y2


2f

x2,2f

y2, siendo f(x, y) =

x2 + xy + y2

x+ yen el punto

P (1, 1)

Ejercicio 8.11 Halla las segundas derivadas parciales:

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