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Dinâmica EstocásticaAula 6
2016
Equação de Langevin (continuação)
1) Deslocamento quadrático médio2) Energia & Potência
1Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de movimento da partícula
)(tFvdt
dvm
v
)(tF
velocidade da partícula
(movimento em uma dimensão)
força aleatória ou flutuante
m
v força de atrito (proporcional à velocidade da partícula)
característica do movimento browniano
massa da partícula
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 2
(1)
coeficiente de atrito
mtF
mv
dt
dv ),(
1
0)( tF
)()()( ttm
BtFtF
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 3
(2)
(3-a)
(3-b)
)(tvdt
dv
0)( t
)()()( tttt
(4)
(5)
(6)
m
tFt
)()(
m
2m
B
(4-a)
(6-a)
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 20164
(4-b)
Obtivemos na aula passada
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 5
Equação de Langevin
6
))2exp(1(2
)()( 22 ttvtv
variância da velocidade
)exp()( 0 tvtv
1t 0)( tv
Limite de tempos longos 1t
(A-4)
0)exp( t
valor médio da velocidade
(A-2)
(A-3)
(A-1)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
1t 0)2exp( t2
)()( 22 tvtv
Equação de Langevin
7
2)(2 tv1t
Velocidade quadrática média no limite de tempos longos
(A-5)
Portanto, a partir das equações (22) e (23) temos:
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Limite de tempos longos 1t
2/2 v
A partir do teorema da equipartição de energia temos:
2/2/2 Tkmv B
Portanto: Tkm B2
1)2/(
2
1
Tm
kB2
Bk Tconstante de Boltzmann temperatura absoluta
(A-8)
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 8
(A-6)
E,
(A-7)
Limite de tempos longos 1t
)(2 txObtenção de:
Deslocamento quadrático médio
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 9
Equação de Langevin
Vamos agora obter uma expressão para o deslocamento quadrático médio
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
10
Equação de Langevin
)(2 txObtenção de:
'))'(exp(1)'(''))''(exp(1)(1
)(00
2
2 dttttdtttttx
tt
''))''(exp(1)(1
)(0
dtttttx
t
(7)
Obtivemos na última aula que a posição x(t) pode ser expressa como:
Portanto:
(8)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
11
Equação de Langevin )(2 txObtenção de:
'))'(exp(1)'(''))''(exp(1)(1
)(00
2
2 dttttdtttttx
tt
'''))''(exp(1))'(exp(1)()'(1
)(0 0
2
2 dtdttttttttx
t t
(9)
(8)
Tânia Tomé - Din Estoc - 201612
Equação de Langevin
)(2 txObtenção de:
'''))''(exp(1))'(exp(1)()'(1
)(0 0
2
2 dtdttttttttx
t t
(9)
'''))''(exp(1))'(exp(1)()'(1
)(0 0
2
2 dtdttttttttx
t t
(10)
Tânia Tomé - Din Estoc - 201613
Equação de Langevin
)(2 txObtenção de:
'''))''(exp(1))'(exp(1)()'(1
)(0 0
2
2 dtdttttttttx
t t
(10)
Mas, (6)
'''))''(exp(1))'(exp(1)'''()(0 0
2
2 dtdttttttttx
t t
(11)
)()()( tttt
Tânia Tomé - Din Estoc - 201614
Equação de Langevin )(2 txObtenção de:
'''))''(exp(1))'(exp(1)'''()(0 0
2
2 dtdttttttttx
t t
'))'(exp(1))'(exp(1)(0
2
2 dttttttx
t
Integrando em t’’:
'))'(exp(1)(0
2
2
2 dttttx
t
(13)
(11)
(12)
))'(exp(1''))''(exp(1)'''(0
ttdttttt
t
Tânia Tomé - Din Estoc - 201615
Equação de Langevin )(2 txObtenção de:
'))'(exp(1)(0
2
2
2 dttttx
t
(13)
'))'(2exp())'(exp(21)(0
2
2 dttttttx
t
(14)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
16
Equação de Langevin )(2 txObtenção de:
'))'(2exp())'(exp(21)(0
2
2 dttttttx
t
'))'(2exp('))'(exp(2')(
0 00
2
2 dtttdtttdttx
t tt
1)2exp(
2
)2exp(1)exp(
)exp(2)(
2
2 tt
tt
ttx
(15)
(16)
(17)
Tânia Tomé - Din Estoc - 201617
Equação de Langevin
)(2 txObtenção de:
1)2exp(
2
)2exp(1)exp(
)exp(2)(
2
2 tt
tt
ttx
)2exp(1
2
1)exp(1
2)(
2
2 ttttx
(18)
(17)
Equação de Langevin
)2exp(1
2
1)exp(1
2)(
2
2 ttttx
Comportamento para tempos longos
o 1º termo do lado direito da Eq. (19) é proporcional a t. E, portanto,domina sobre o 2º e o 3º termo no limite de tempos longos
(19)
1t
t2
)2exp(12
)exp(12
)(332
2 ttttx
(20)
1º 2º 3º
(20-a)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 18
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
19
Equação de Langevin
Comportamento para tempos longos 1t
0)exp( t33
2))exp(1(
2
t
2º e 3º termos para
33 2))2exp(1(
2
t 0)2exp( t
pois,.const
.const pois,
1t
1t
2º termo
3º termo
1t
)2exp(12
)exp(12
)(332
2 ttttx
(20)
1º 2º 3º
(20-b)
(20-c)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
20
Equação de Langevin
(22)
Comportamento para tempos longos
ttx2
2 )(
0 xpois,
txtx2
22 )(
Variância
(21)
1t
A partir das equações (20), (20-a), (20-b) e (20-c) temos:
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
21
Equação de Langevin
(22)
Comportamento para tempos longos
txtx2
22 )(
Variância associada à posição
Dtxtx 2)( 22
Seja: 22
D
222
2
22
B
m
BmD
m
(4-a)
2m
B (6-a)
22
B(*)
(*)
(23)
(24)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
22
Equação de LangevinComportamento para tempos longos
Variânciaassociada à posição
Dtxtx 2)( 22
22
B
(25)
coeficiente de difusão
Tm
kB2
(A-8)Mas, já obtivemos que
22
D
m
TkD B
2
2
m
TkD B (26)
(23)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
23
Equação de LangevinComportamento para tempos longos
Variância associadaà posição
Dtxtx 2)( 22 (25)
Coeficiente de difusão
TkD B
(26)
Generalização para 3 dimensões
Partícula esférica de raio imersa em um líquido viscoso de coeficiente de viscosidade a
Lei de Stokes
Podemos verificar que os resultados (49) e (50) (obtidos aqui para 1 dimensão) valem para 3 dimensões
a 6
a
TkD B
6 Relação de Sutherland - Einstein
(27)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
24
Equação de Langevin
a
TkD B
6 Relação de Sutherland – Einstein
(1905)
Ta,, D
então obtemos:
Bk constante de Boltzmann
Jean Perrin (1908) obteve a constante de Boltzmann dessa maneira, quando observou o movimento brownianode partículas imersas em um líquido viscoso.
(27)
Se conhecemos: e
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 25
http://www.scielo.br/pdf/rbef/v27n2/a13v27n2.pdf
Sugestão de leitura sobre movimento browniano e relação de Sutherland-Einstein
. Silvio R. A. Salinas, Einstein e a teoria do movimento browniano, Revista Brasileira de Ensino de Física 27, 263 (2005).
. Sutil é o Senhor, A. Pais, Editora Nova Fronteira, 1995
. S. Chandrasekhar em Noise and stochastic processes, N. Wax (editor), Dover, 1954.
. A. Einstein, Investigations on the Brownian movement, editado por R. Fürth, Dover, 1956.
Tânia Tomé - Din Estoc - 201626
2) Energia & Potência
Equação de Langevin
27
Equação de Langevin
Energia & Potência
Choque com as moléculas do fluído transferência de energia cinética para a partícula
A partícula dissipa energia devido ao atrito com o fluído
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
28
Equação de Langevin
)(tFvdt
dvm
m v
v
)(tF
massa da partícula velocidade da partícula
força de atrito viscoso coeficiente de atrito
força aleatória
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(1)
29
Equação de Langevin
Energia & Potência
)(tFvdt
dvm
vtFvdt
dvmv )(2
Multiplicando ambos os membros da equação de Langevin (1) por v:
dt
dv
dt
dvv
2
2
1
Mas,
2
2mv
dt
d
dt
dvmv
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(1)
(28)
(29)
30
Equação de Langevin
Energia & Potência
Portanto,
vFvmv
dt
d
22
2
vFvFmv
dt
datrito
2
2
Substituindo a expressão (29) na expressão (28) obtemos:
(31)
vFatrito
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(30)
31
Equação de Langevin
Energia & Potência
Portanto,
vFvFmv
dt
datrito
2
2
vFvFmv
dt
datrito
2
2
(32)
(33)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
32
Equação de Langevin
Energia & Potência
vFvFmv
dt
datrito
2
2
cinEdt
d
dissP
P potência transferida
(33)
2
2mv
dt
d
atritovF
Fv
potência dissipada
taxa de variação da energia cinética média
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Equação de Langevin
33
Limite de tempos longos
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
2)(2 tv1t (A-5)
02
)(2
tvm
dt
d
1t
(34)1t
Portanto,
2
2 v
2/2/2 Tkmv B
Limite de tempos longos
Tm
kB2
Bk Tconstante de Boltzmann temperatura absoluta
Equação de Langevin
34
Portanto:T
m
kv B
2
2
já vimos
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Além disso, (A-7)
(A-8)
35
Equação de Langevin
Energia & Potência
dissPatritovF 2v
atritovF mTkB /
Limite de tempos longos
Tm
kv B
2
2
atritovF 2vm
TkB
Potência dissipada
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(35)
(A-5)
36
Equação de Langevin
Energia & Potência
m
TkFP B
atritodiss
02
2
mv
dt
d
Limite de tempos longos Estado estacionário
vFFmv
dt
datrito
2
2
(33)
vFmTkB /(34)
(35)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(36)
37
Equação de Langevin
Energia & Potência
Limite de tempos longos estado estacionário
mTkvFP B / potência transferidaP=<vF>para a partícula
(36)
mTkFP Batritodiss /
Portanto, no estado estacionário a potência transferida é dissipada
(37)Pois,
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
FIM
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 38