Anejos de AEspA XLIX 17INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

APROXIMACIÓN A LOS CONTENIDOS TEMÁTICOSDEL ESTUDIO Y SU DESARROLLO

La presente obra estudia un aspecto monográficode la Arquitectura Prerrománica Asturiana (Si-glos IX-X). Supone una reflexión sobre la forma arqui-tectónica del Prerrománico Asturiano, desde el ángulode la relevante importancia que tienen las ideas deorden y de proporción como fuentes de belleza, asícomo su sujeción a concepciones geométricas y areglas de modulación y relaciones metrológicas.

Voy a presentar unas precisas indicaciones sobrelos límites del mapa que voy a trazar. He impuestotres líneas maestras que vertebran mi estudio sobrela Arquitectura Asturiana:

1] La primera concierne al propio concepto deproporción y al alcance del término y su estrictaaplicación en la arquitectura altomedieval asturiana.Es un problema de conocimiento histórico y de unaclara repercusión estética. He dedicado un capítuloa reflexionar sobre la concepción del término taVxi~[orden] y los principios de la organización del espa-cio. Un ámbito de pensamiento en el que se analizanlas mutuas interrelaciones entre la Geometría y la Pro-porción, así como la aplicación de los sistemas deproporción a la práctica constructiva.

2] En el siguiente capítulo nuestra reflexiónsobre las artes visuales se adentra en problemas deconocimiento relativos a la teoría de la belleza, lapráctica artística y los cánones de proporción quegenera la aplicación de un Orden, taVxi~, en la Ar-quitectura Asturiana. La Ordinatio representa el re-sultado de la composición proporcionada de un edi-ficio en su totalidad y cada una de sus partes. LaOrdinatio se configura, de hecho, como una premi-sa para el proyecto arquitectónico.

Las materias que estudio en estos capítulos preli-minares son los vectores que permiten captar, inter-pretar y dirigir el arte que surge en un muy precisocontexto histórico altomedieval (siglos IX-X). Por elloel capitulo siguiente, el tercero, es una esfera cuyonúcleo lo constituye una disciplina fundamental en laHistoria de la Arquitectura: los sistemas metrológicosy su conexión con los procesos constructivos. El len-guaje de las matemáticas era una componente más enel pensamiento estético medieval.

3] El corpus de los siguientes capítulos es denaturaleza puramente técnica. Se estudia cada edifi-cio de forma unitaria, analizando pormenorizadamen-te su trazado de proporción, su modulación, su estudiometrológico. Se analizan específicamente las preci-sas normas vitruvianas aplicadas; lo que podemosconsiderar una gramática de la forma, es decir lasoperaciones aritmético-geométricas empleadas y cuyoconocimiento y uso representan un instrumento per-fecto de control de la forma a construir. Se estudiande forma individual el módulo de proporción y launidad de medida empleadas en cada edificio. Susresultados serán computados posteriormente en elconjunto de las construcciones estudiadas, extrayendolas conclusiones precisas.

Cada edificio es sometido previamente a un es-tudio de los procesos de restauración que haya ex-perimentado. La valoración de los mismos permiti-rá obtener un estado preciso de la estructuraarquitectónica del edificio.

Nuestro método de estudio considera básico ana-lizar un hecho que a nuestro juicio, se produce en elseno de la práctica constructiva altomedieval: la prio-ridad de los caracteres geométricos y metrológicosen la práctica de la composición arquitectónica. Almismo tiempo que el concepto de «forma» adquiereplenamente un significado enteramente geométrico.Podemos considerar que aquí se encuentra el germende la evolución formal de la Arquitectura Asturiana.

PRINCIPIOS METODOLÓGICOS

Las edificaciones de la Arquitectura Asturiana secaracterizan por la plena integración de las partes enel tramado arquitectónico, y en el cual los componen-tes de la triada vitruviana de la utilitas, de la firmi-tas y de la venustas se encuentran plenamente inte-grados en la estructura arquitectónica. Ello tiene unconjunto amplio de significados.

1] Se nos presentan como unitarias. Encierranun mayor efecto de homogeneidad, toda vez que elconjunto de todas sus partes se encuentran interre-

18 L. Arias, Geometría y proporción en la Arquitectura Prerrománica Asturiana Anejos de AEspA XLIX

lacionadas y sujetas al principio de symmetría. Estees uno de los principios de partida de nuestra inves-tigación.

2] Configuran un orden (taVxi~), el cual respondea unas estrictas normas de modulación arquitectóni-ca. Se obtienen así unas formas determinadas por unprincipio modular base del estudio emprendido.

3] El sentido de la medida. Las edificaciones dela arquitectura altomedieval asturiana se encuentranregidas por un «espíritu de medida», por unos prin-cipios de unidad metrológica basados en la unidad yla «necesidad recíproca de todas sus partes», así comoen la conmensurabilidad de sus dimensiones. El es-tudio del patrón metrológico empleado por el Tallerasturiano en su práctica constructiva abre uno de loscapítulos fundamentales, complementarios al estudiogeométrico-proporcional.

4] La Arquitectura Asturiana, en su conjunto,encierra un gran efecto de homogeneidad. Ello res-ponde a un principio de regulación proporcional, auna cuestión de proporciones. Estas poseen en símismas la capacidad de manifestar, representar yconstruir el espacio arquitectónico. Estudiaremos, enbase a estos principios, como el sistema de propor-ción es el mecanismo que articula las formas geomé-tricas de la Arquitectura Asturiana, y el que aseguraen todos los puntos el control métrico de los espa-cios, situando de esta suerte en el mosaico así for-mado del telar geométrico, unas formas que se nosofrecen con unas proporciones prefijadas.

Es evidente que la experiencia arquitectónica,permitirá individualizar una tipología edificatoria,transformando la herencia recibida y sus infinitassoluciones arquitectónicas, en la cristalización denuevas experiencias individuales y locales. Por unmomento podemos decir que la relación con losmodelos antiguos se sustrae a la tradición y adquie-re el derecho a introducir nuevos elementos críticos.

Nuestro rumbo metodológico nos conduce al estu-dio de los métodos de los constructores medievalesasturianos. Ello nos permite fijar como esa tradición,recibida por herencia, evoluciona progresivamente auna construcción racionalmente concebida. Se conso-lida un exacto y preciso sistema canónico en la Arqui-tectura Asturiana. Nuestro estudio corrobora este retoal que se enfrentó la nueva práctica arquitectónica enla Asturias de los siglos IX y X. Podemos decir que lastradiciones locales son puestas a prueba, y deben ade-cuarse a una nueva transformación. No hay reglas in-mutables, si bien es cierto que no se produce una re-novatio radical, pero las relaciones del taller medievalsalen profundamente transformadas. Hay un nuevogiro cultural y el proyecto edificatorio es definido

ahora con un nuevo método y una nueva técnica quecambia el marco general de materialización del pro-yecto arquitectónico.

Este es el marco «arquitectónico» de nuestro es-tudio. Definir los criterios compositivos y su inter-penetración con las técnicas constructivas, es la ta-rea impuesta. Como fondo permanece una concepcióndel «espacio arquitectónico» reducido a geometría yperspectiva, herencia de la armonía platónica; unespacio reducido a estructura y proporción, herenciafinal de la praxis vitruviana.

FUENTES

A] LA DOCUMENTACIÓN PLANIMÉTRICA UTILIZADA

EN EL ESTUDIO

En la elaboración del presente estudio, una pri-mera fase del mismo ha consistido en la realizaciónde un estudio planimétrico del conjunto de las edi-ficaciones pertenecientes a la Arquitectura Prerromá-nica Asturiana. El estudio se ha desarrollado a lo largode varios años, entre 1985 y 1995. El procedimien-to aplicado en el levantamiento planimétrico está ba-sado en un sistema de restitución semitradicional, aescala amplia de 1:20 con el fin de poder introduciruna información lo más precisa posible tanto cuali-tativa como cuantitativamente. Para cada edificio serealizan un promedio de doce a quince planos, inclu-yendo secciones longitudinales y transversales, alza-dos exteriores y levantamientos de planta a diversosniveles. Para su realización se utilizan sistemas tra-dicionales de medición topográfica, pantógrafos, asícomo medios fotográficos.

En un estudio de estas características se recogeny registran fidedignamente los datos por mediciónmanual y taquimétrica, representando con el má-ximo rigor y precisión, el conjunto del aparejo delos paramentos piedra a piedra: sillares, mampues-tos, fisuras y juntas; se registran también las defor-maciones, las lesiones de diverso tipo, los desplomes,etc. ... todos los elementos decorativos y escultóri-cos de la arquitectura del edificio, así como la deco-ración pictórica mural, introduciendo con detalle sudibujo.

El estudio metrológico y de trazados de propor-ción se ha basado en estos planos originales a esca-la 1:20. Ello contribuye a la precisión en las medi-ciones, y con ello a obtener unos resultadosplenamente fiables de las proporciones obtenidas, asícomo de los métodos geométricos y metrológicos em-pleados por los tracistas medievales.

Anejos de AEspA XLIX 19INTRODUCCIÓN

En la presentación final del trabajo se ha proce-dido a una reducción de la escala de los dibujos consus trazados de proporción, con el fin de facilitar sumanejo, comprensión y estudio. La reducción de losplanos a escala 1:80 ha sido complementada con lainserción de una escala gráfica en pies y en metrosque facilita su análisis.

B] ESTUDIOS GEOMÉTRICO-PROPORCIONALES

He tenido conocimiento y valorado los estudiosrealizados sobre los principios geométrico-proporcio-nales en diversas etapas de la Historia de la Arqui-tectura, tanto en la que afecta directamente al periodohistórico objeto del estudio, como en otros momen-tos históricos. En la Bibliografía que complementaeste estudio se encuentran reseñadas aquellas inves-tigaciones que han sido objeto de consulta. En mu-chos casos la consulta ha sido de trabajos inéditosproporcionados por los propios investigadores.

C] ESTUDIOS METROLÓGICOS

Constituye un capítulo fundamental en el estudiorealizado. He consultado una amplia bibliografía quese adjunta en el repertorio bibliográfico, y contras-tado sus resultados con los obtenidos en mis inves-tigaciones, ello enriqueció mi trabajo y permitió si-tuarlo, con criterios de mayor confianza, en elhorizonte cultural del conocimiento de la época.

D] INSTITUCIONES CONSULTADAS

En la consulta de todo este tipo de fuentes y do-cumentos he acudido a diversas instituciones: El

Deutsches Archäologisches Institut en su sedeen Madrid así como la sede de Berlín, con su exten-so fondo bibliográfico y documental han posibilita-do un cualitativo avance en el progreso de la TesisDoctoral.

El Archivo del Ministerio de Cultura en Ma-drid, así como el Archivo General de la Administra-ción de Alcalá de Henares, han sido fuente de con-sulta de planimetrías y dibujos de las reformas yproyectos de restauración de las edificaciones alto-medievales.

El Archivo de la Consejería de Educación y Cul-tura del Principado de Asturias, en Oviedo, me hafacilitado el acceso a sus fondos de documentaciónplanimétrica.

La Biblioteca de la Universidad de Oviedo me hafacilitado la consulta, tanto de sus fondos bibliográ-ficos, como de fondos procedentes de otras biblio-tecas nacionales y extranjeras a través de su servi-cio de préstamo interbibliotecario.

Las visitas a la Biblioteca Nacional de Madridtuvieron siempre unos fructuosos resultados, siendoperiódicas las consultas de sus fondos.

La Real Academia de Bellas Artes de San Fernan-do, tanto en su servicio de Biblioteca y Archivo, comoen la consulta de su gabinete de Dibujos, me ha sidode gran utilidad. Sus ricos fondos conservan aún unbuen futuro de investigación.

La Bibliothèque Humaniste de Sélestat (Francia)me ha proporcionado la consulta del manuscrito deDe Archîtectura libri decem: de Marco VitruvioPollione, una copia medieval del siglo X.

Por su parte The British Library en Londres mefacilitó la lectura del manuscrito más antiguo que seconserva de la misma obra de Vitruvio: De Archîtec-tura libri decem, el manuscrito Harleianus 2767,copia medieval del siglo VIII.

CAPÍTULO 1.o

EL CONCEPTO DE PROPORCIÓNEN LA ALTA EDAD MEDIA

Existen muchas formas de «ver» el Arte de laMonarquía Altomedieval asturiana y más específica-mente su Arquitectura. Esencialmente deviene en unfenómeno social, político y cultural de elevada mag-nitud y profundidad. Como manifestación arquitec-tónica tiene una fuerte relación con los órganos depoder, con su máxima jerarquía dentro de la estruc-tura social, con las elites intelectuales, con el pres-tigio de la Corte... Si lo consideramos eminentementedesde la perspectiva del riguroso análisis morfológico,los edificios de la Monarquía Asturiana presentanunas genuinas formas de tratar la disposición de suselementos constructivos, de su estructura arquitectó-nica, de su tectónica. Los edificios del Arte Asturianorevelan un singular aspecto tanto en su definiciónestilística y en su conocimiento proyectivo, como enlos fundamentos geométricos y matemáticos, o en lossistemas de proporción aplicados.

Las normas tipológicas características del edifi-cio asturiano, cuyo arco cronológico se extiendedesde finales del siglo VIII a principios del siglo X,tienen una génesis formativa muy vinculada a laMonarquía astur. Con el progresivo afianzamiento yconsolidación de la Monarquía Asturiana, la inicia-tiva artística propiciada desde la Corte adquirió uncreciente auge, creándose nuevas formas estéticas, enrespuesta a un conjunto de exigencias ideológi-cas, religiosas y políticas [Alfonso II, 791-842] quecon el tiempo adquirirá momentos de elevado esplen-dor e innovación y creatividad artística [Ramiro I /Nepociano 842-850] para convertirse en señas deidentidad de todo un periodo artístico [Alfonso III,866-910].

En realidad nuestra investigación se centra en loque en su momento Kubler denominara el «sistemade relaciones formales»1 o Panofsky calificara comoel «mundo de los motivos artísticos».2 Investigación

que trata de estudiar analíticamente la «arquitecto-nicidad» de la Arquitectura Altomedieval Asturiana.

La creación del Arte Asturiano tenía un principiounificador: la síntesis de la práctica constructiva his-panovisigoda vinculada a las tradiciones tardorroma-nas muy influenciadas por las formas y técnicas si-riobizantinas. Un fenómeno sumamente complejo, delcual, aquí, solamente estudiaremos uno de los cam-pos artísticos con mayor vitalidad: la arquitectura, ymás específicamente, sus sistemas metrológicos y deproporción y de diseño proyectual.

Es difícil, en el estudio ahora iniciado, aislar aque-llas parcelas que conforman nuestro ordenamientoteórico y enriquecen la investigación iniciada. Tam-bién lo es, metodológicamente, aislar aquellas carac-terísticas de la arquitectura puramente formales, perocreemos que es un estudio necesario en el análisis dela Arquitectura Asturiana. El método utilizado pro-curará analizar las categorías estilísticas estudiandolos procedimientos y la organización del trabajo dela época empleados por los pensadores, los arquitectoso los maestros de la obra, los magistri operis, losalbañiles de los edificios originales. Con el presen-te estudio nos proponemos restituir el proyecto ori-ginal, actuando como plano intermedio entre la abs-tracción especulativa y la estructura arquitectónicallegada hasta nuestros días.

TAXIS. EL SOPORTE NORMATIVO

Una obra de la Arquitectura Asturiana es «unmundo dentro del mundo». Separada de su entornoy en contraste con lo que la rodea es «completa ytotal», conserva su «unidad». Estos conceptos de«completo, total y unidad» se encuentran en el pen-samiento arquitectónico de la Poética de Aristóteles.La arquitectura, como tal, no es objeto directo deanálisis en su obra, si bien existen muchas referen-cias a las otras artes. Sin embargo las ideas de Aris-

1 Cf.George Kubler, The Shape of Time, Yale UniversityPress, 1962.Versión castellana de Jorge Luján Muñoz: Laconfiguración del tiempo, Madrid, 1988.

2 Cf. Erwin Panofsky, «Die Entwicklung der Proportions-lehren als Abbild der Stilentwicklung», Monatshefte fürKunstwissenschaft, XV, 2, 1921-22. Traducción inglesa au-

mentada, en Meaning in the Visual Arts, New York, 1955.Versión castellana de Nicanor Ancochea: El significado delas artes visuales, Madrid, 1979.

22 L. Arias, Geometría y proporción en la Arquitectura Prerrománica Asturiana Anejos de AEspA XLIX

tóteles se transfieren con éxito a la arquitectura enla Edad Media.

Para Aristóteles3 el «todo» tiene una conforma-ción tripartita: «un principio, un intermedio y un fi-nal», conservando conjuntamente «una disposiciónordenada de las partes». Estos imperativos genera-les constituyen lo que se denomina taxis (taVxi~, or-denación).4 De esta forma la «armonía y el ritmo»,el «metro» y la «magnitud y el orden» constituyennociones que se integran en la idea de taVxi~. La taVxi~delimita esa discontinuidad producida entre el entornoy el objeto artístico.

Esta organización tripartita distribuye el esquematípico del edificio —planta, sección y alzado fron-tal— en tres unidades con una función subordinada.Estudia, así, cada miembro del edificio proyectandouna coherencia directa entre cada una de las partesy entre las partes y el todo. De esta forma, «el rit-mo, la armonía y el metro» constituyen recursos «poé-ticos» mediante los cuales la forma corpórea deledificio es controlada de forma rigurosa creando, asu vez, un nivel de coherencia interna.

Aristóteles expone en dos de sus obras, la Poé-tica y la Política, su concepción de la belleza. Enellas estudia la influencia que ejerce sobre la belle-za la taVxi~ y meVgeθo~, términos griegos que pode-mos traducir por «orden» y «dimensión» respectiva-mente. A su vez, en la Metafísica, Aristótelesincorpora a estas dos cualidades de la belleza el con-cepto de snmmeriVa, es decir «proporción». De estaforma la belleza radica en el orden, la dimensión yla proporción. No obstante, Aristóteles reduce laproporción al orden, quedando finalmente en dos lascualidades de la belleza: el orden [o la proporción]y la dimensión: «... pues la belleza radica en la di-mensión y el orden5 ... y las principales formas dela belleza son el orden, la proporción y la limitación,cosas que enseñan sobre todo las ciencias matemá-ticas».6

Hay que tener presente que Aristóteles apenashace referencia al concepto de belleza como tal, de-finiéndolo en realidad como «sentido de armonía yritmo». Aristóteles emplea precisamente este térmi-no, al tener en griego el concepto de belleza un sen-tido muy general, por lo que no se adecuaba al rigorcon que Aristóteles quería expresar su idea.

Los soportes normativos pueden constituir unasencilla línea que regula la alineación de la formaconstructiva o una compleja configuración de formasgeométricas. Pueden tener, asimismo, una función dedelimitación de un contorno dentro del cual se ins-criben los miembros que articulan la obra arquitec-tónica. Este último método es significativo de su usoen la Edad Media y el que controlaba la taVxi~ en loque a la ubicación de los respectivos miembros ar-quitectónicos corresponde.

Los sistemas compositivos de la ArquitecturaAsturiana tienen un canon que «dirige» el diseño ycontrol de la forma arquitectónica. El soporte formal,sobre el cual se establecen los trazados arquitec-tónicos, parte de la idea aristotélica expuesta detaVxi~, y de la organización de la estructura corpó-rea en «ritmo, armonía y metro». Merced a este or-den los miembros arquitectónicos se articulan y en-samblan entre sí, se organiza su división geométricay proporcional y se distribuyen, de acuerdo a secuen-cias jerárquicas, los diferentes espacios. Vitruvio,cuya influencia en las formas constructivas de la Ar-quitectura Altomedieval Asturiana es patente, sugiereel uso de un sistema abstracto y formal de reglasbasado en los presupuestos aristotélicos a la hora deaplicar los principios de organización, «taxis, ritmo,metro y proporción».

La búsqueda de un Orden en el ámbito de la Ar-quitectura Asturiana adquiere una doble orientación:de manera abstracta, se trataría de acceder al cono-cimiento de los principios de la organización delespacio arquitectónico por medio de una investiga-ción de las formas y las proporciones. En este senti-do la reinterpretación de la Antigüedad representa unmétodo que nos permite fijar matemáticamente, ymediante la definición de reglas que tienden a sercifrables, el marco general hacia el cual toma refe-rencia la realización arquitectónica. A su vez, demanera concreta, se trataría de proceder a la aplica-ción de estas reglas; de armonizar, así, la geometríay la concepción arquitectónica con los códigos mo-rales y el deseo de representación de una clase do-minante.7 Así, el principio de Orden [taVxi~] consti-tuye un sistema de articulación de un conjunto deprincipios y reglas, los cuales definen unos conteni-dos específicos de la Arquitectura Asturiana, de suComposición arquitectónica y la particular estructurade su lenguaje arquitectónico.

Este procedimiento de organización de la formacorpórea a partir de la idea de taVxi~ es analizado por

3 Cf. Poética, Edición trilingüe por Valentín García Yebra,Editorial Gredos, Madrid, 1974.

4 Cf. especialmente Alexander Tzonis et alii: De taal vande Klassicistiese Architektuur, 1983. Versión castellana deJorge Sainz Avia: El clasicismo en arquitectura. La poéticadel orden, Madrid, 1984.

5 Cf. Aristóteles, Poética 1450 b 38.6 Cf. Aristóteles, Metafísica 1078 a 31.

7 Cf. Werner Szambien, Symétrie, goût, caractêre, Paris,1986. Versión castellana de Juan A. Calatrava: Simetría,Gusto, Carácter, Madrid, 1993, p. 81.

Anejos de AEspA XLIX 23EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN EN LA ALTA EDAD MEDIA

Marco Vitruvio Polion (siglo I a.de J.C.) en su obraDe Archîtectura libri decem, donde ofrece una defi-nición precisa del concepto taVxi~:

Ordinatio est modica membrorum operis com-moditas separatim universeque proportionis adsymmetriam comparatio. Haec componitur exquantitate, quae graece posoVth~ dicitur. Quan-titas autem est modulorum ex ipsius operis ‹mem-bris› sumptio e singulisque membrorum partibusuniversi operis conveniens effectus.8

Su versión castellana quedaría en los siguientestérminos:

«Ordinatio es la medida que corresponde a lasmagnitudes de las partes de un edificio, tantoconsiderándolas separadamente como respecto ala relación proporcional del conjunto con la sime-tría. La ordinatio está regulada por la quantitas,que los griegos llamaron posoVth~. Mas quantitases una unidad de medida [modulus] derivada delpropio edificio y la ejecución armónica de la obraen su conjunto a partir de cada uno de sus miem-bros».

El sentido preciso que adquiere aquí el términotaVxi~, es específicamente el de «acción de ordenar»y no el de «resultado de esa acción». Vitruvio expon-drá seguidamente seis conceptos, los cuales puedenrepartirse en dos grupos: aquellos que se relacionancon la acción del arquitecto y su arte como ordina-tio, dispositio, distributio y los que se relacionan conel resultado de esta acción, con las cualidades esté-ticas de la obra: eurythmia, symmetria, decor.9 Losconceptos ordinatio, eurythmia y symmetria son dis-tintos aspectos del mismo fenómeno estético, encuanto ordinatio puede ser denominado el principio,symmetria el resultado y eurythmia el efecto.10

La ordinatio o taVxi~ es difícil de distinguir de lasymmetria, como ya ha demostrado Watzinger:11 esel caso más patente de repetición tautológica, ya quees definida como «la identidad de medida —commo-ditas— de los miembros de la obra tomados uno auno y la adecuación de las proporciones generalesa la symmetria». Esta remisión a la symmetria muestrabien que la ordinatio no tiene especificidad propiay que Vitruvio incluye en ella la noción de «módu-lo» —emplea el término más adelante— y en con-secuencia a la vez el cálculo numérico que evoca laquantitas y, para pasar a la ejecución, la mediacióndel plano y de su levantamiento a escala.

La Ordinatio, pues, representa el resultado de lacomposición proporcionada de un edificio en su to-talidad y cada una de sus partes. Esta «composiciónproporcionada» está basada en la quantitas, el mó-dulo que resulta del mismo edificio. Ello supone queel proyecto del edificio fue hecho a base de una uni-dad modular. De ahí que la Ordinatio se constituya,de hecho, como una premisa para el proyecto arqui-tectónico. En este pasaje, Vitruvio no describe aúnen detalle la teoría de las proporciones.

El concepto de taVxi~ tiene un papel especialmentesignificativo en el estudio e identificación y análisisque hemos realizado de los sistemas de composicióny proporción de la Arquitectura Medieval Asturiana.Nuestro criterio de estudio utiliza el término taVxi~como el soporte normativo que permite una racionaldisposición de los diferentes espacios y componentesarquitectónicos. Soporte configurado por un sistemade ejes y líneas y una «retícula modular» o matrizcompositiva, las cuales organizan y distribuyen, deacuerdo con los principios de «orden, ritmo y propor-ción» los diversos elementos de la estructura corpóreaarquitectónica, configurando finalmente la idea origi-nal de ordenación programática. Esta retícula equivalea una progresión aritmética cuya razón de proporciónes igual a su término inicial, vale decir, el módulo. Dehecho, la symmetría de un edificio depende de la uti-lización de dimensiones que pueden ser expresadas porrelación al tamaño de una parte determinada o módulo.Pero también depende del principio de proportio en elsentido de que las dimensiones de las partes están re-lacionadas con las dimensiones del conjunto. La sym-metría implicaría, pues, el uso de una escala basada enla utilización de una progresión aritmética. Por otraparte, el uso del módulo mismo no tiene necesariamen-te significación estética, y puede ser en realidad unmétodo para describir el tamaño comparado de

8 De Archîtectura libri decem, Libro I, cap. II. 2. A lo lar-go del estudio hemos hecho uso de la versión latina adopta-da por Curt Fensterbusch en su obra bilingüe latín-alemán:Zehn Bücher über Architektur, Darmstadt, 1964 [Reed.1991]. Asimismo hemos contrastado el texto con la ediciónen diez volúmenes conteniendo el texto latino, la traduccióny los comentarios de la edición de Les Belles Lettres, París,realizada bajo la dirección del C.N.R.S. y publicada entre losaños 1969 y 1995. Conviene consultar la Bibliografía gene-ral en su apartado de metrología.

9 A este respecto consultar de forma especial:R.L.Scranton, Vitruvius’ Ars of Architecture, en Hesperia 43,4, 1974, pp.494-499.

10 Cf. Hanno Walter-Krauft, Geschichte der Architektur-theorie, München, 1985. Versión castellana de Pablo DienerOjeda: Historia de la teoría de la arquitectura, 2 tomos,Madrid, 1990 (Tomo I, p. 8).

11 Cf. C. Watzinger, «Vitruvstudien», Rheinisches Mu-seum, 1909, pp. 202-223.

24 L. Arias, Geometría y proporción en la Arquitectura Prerrománica Asturiana Anejos de AEspA XLIX

un objeto y de sus partes, sin necesidad de fijar las me-didas exactas. Así, al darnos las proporciones de unOrden con relación a un módulo, Vitruvio nos facili-ta su construcción en cualquier tamaño que deseemos.Sobre estos conceptos reflexionaremos más adelante.

CONCEPCIÓN DE LA BELLEZA:GEOMETRÍA Y PROPORCIÓN

Cicerón y Horacio van a legar a la Edad Mediael topos tradicional de la utilidad y la belleza; elprincipio estoico fundado en el pensamiento prepla-tónico. Según él todo edificio estará adaptado, enprimer lugar a su fin, y posteriormente a halagar lamirada. Cicerón y Horacio son conscientes del carác-ter funcional del arte e incorporan a esta primera«exigencia» los aspectos estéticos, esenciales y de-corativos. Siendo así muy frecuentes y cotidianasexpresiones como pulcher et aptus, usui aut decori,plus pulchritudinis quam utilitatis. El propio Cice-rón escribirá sobre la adaptación y la belleza del tem-plo capitolino.12 Además en el Medioevo se produ-cirá el reemplazamiento del techo por la bóveda, lacual es evidente que es también útil y bella, ad tu-telam ignis et compositionem operis.13

La concepción artística medieval implicaba, pues,una estética simbólica como representación del mun-do temporal, en tanto que símbolo de lo eterno. Y esque dentro de la mentalidad simbólica medieval,extensible a su producción artística, la iglesia y suscontenidos litúrgicos, escultóricos, decorativos, or-namentales y pictóricos estaban impregnados de todoun contenido simbólico, de un valor y un sentidomísticos, si bien el conocimiento de ese carácter sim-bólico quedaba reducido al círculo de los teólogos ylos eclesiásticos alejándose de su comprensión directatanto el artifici como el resto del pueblo.

Y es que, al igual que el hombre fue creado aimagen de Dios, y por lo mismo las proporciones desu cuerpo responden a la voluntad divina, en la EdadMedia las proporciones arquitectónicas debían serrepresentativas del orden cósmico. Pero cabe pregun-tarse cuales son las leyes de este orden; la respuestasería ofrecida inicialmente por Pitágoras y Platón. Yes que la teoría de la proporción de la belleza fueaceptada durante todo el periodo de la Antigüedadpasando con posterioridad a la Edad Media. Desde

los pitagóricos y Platón, ya en el siglo V a. de J.C.,hasta Aristóteles en el siglo IV, los estoicos en el III,Vitruvio en el siglo I a. de J.C., y el cristianismo enlos largos siglos medievales, se adoptó una actitudacorde con las peculiaridades históricas del occidentecristiano y sus variables perspectivas teológicas entorno a la idea de proporción y belleza.

La concepción de la belleza en la Edad Media estárevestida de cierta complejidad; de hecho la bellezano se buscaba expresamente en el arte medieval; éstapodía encontrarse más fácilmente en la naturaleza, enla creación divina. En realidad las produciones litera-rias medievales no dedicaron sensu estricto su conte-nido al tema de la belleza en el arte. «Mucho de lo quese considera como supremamente bello se creó durantela Edad Media, pero surgió como por azar, sin pres-tar atención a la belleza o al arte, a la creatividad o ala habilidad artística».14 En realidad no era una situa-ción atípica, era una práctica común, por ejemplo, enGrecia. Así, el arte se había desprendido de su carác-ter individualista pasando a regirse por normas y re-glas formadas por hermandades. En realidad se guia-ba por la tradición y no por la originalidad.

El arte era entendido de una forma intelectual. Sehabía constituido en un hábito más de la mente prác-tica. La idea que lo regía era que la destreza manualera un factor externo y secundario por lo que a ladestreza intelectual se refería. Santo Tomás de Aqui-no escribiría a este respecto:

Perfectio consistit in iudicand, concibiendo el artecomo la ordenación de la razón (ordinatio rationis).

Casiodoro, transmisor de la cultura clásica a laEdad Media, afirmaría de forma expresa que «Hayuna cierta diferencia entre las cosas realizadas y lascosas creadas, si las examinamos minuciosamente.Pues nosotros, que no podemos crear, somos capa-ces, sin embargo de hacer cosas».15 De acuerdo coneste criterio de Casiodoro sobre el arte, se puede decirque el artista no es creador sino ejecutor. La consi-deración del artista medieval por la sociedad era,pues, la de un nuevo artesano. Pero quizás la situa-ción era posiblemente mucho más ambivalente de loque pudiera preverse. Si bien en la Edad Media elartista no era considerado como creador «no siem-pre ni de forma coherente se le consideró, sin embar-go, un artesano común y corriente».16

12 Edgar de Bruyne, Études d’Esthétique médiévale, 3 vol.,Brugge, 1946. Versión castellana a cargo de Fr. ArmandoSuárez: Historia de la estética, T. II. Madrid, 1963, pp. 546y ss.

13 Ibíd., pp. 546 y ss.

14 Cf. Wladyslaw Tatarkiewicz: Dzieje szesciu pojec, War-szawa, 1975. Versión castellana a cargo de Francisco Rodrí-guez Martín: Historia de seis ideas, Madrid, 1988, p. 142.

15 Casiodoro: Expositio psalmorum, 148.16 Moshe Barasch: Theories of Art. From Plato to Winckel-

mann, New York, 1985. Versión castellana de Fabiola Salce-do Garcés: Teorías del arte. De Platón a Winckelmann, Ma-drid, 1991, p. 67.

Anejos de AEspA XLIX 25EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN EN LA ALTA EDAD MEDIA

Respecto a la estética de los pitagóricos se afir-maba que la Armonía, la Proporción y el númeroestaban en el fondo de la Belleza: «El orden y laproporción son bellos y útiles mientras que el des-orden y la falta de proporción son feos e inútiles».17

«La belleza corporal es la proporción de los miem-bros en su disposición mutua y en relación con eltodo; algo parecido sucedía también con la bellezadel alma».18 Sexto Empírico (siglo III) lo expresaríacon estas palabras:19

«No existe arte sin proporción. Todo arte sur-ge, así, por medio del número. La proporciónexiste, por consiguiente, tanto en escultura comoen pintura. Hablando generalmente, todo arte esun sistema de percepciones, y un sistema impli-ca cierto número; por tanto, puede decirse contoda justicia lo siguiente: las cosas parecen bellasen virtud de su número».

En el progresivo crecimiento y consolidación delconcepto de belleza y proporción sería Platón quienejercería una mayor influencia. Aceptando los pos-tulados pitagóricos sostuvo que «nada que sea bellolo es sin proporción».20 «La conservación de la me-dida y la proporción es siempre bella».21 «La fealdadno es otra cosa que carecer de medidas».22 Así pues,la concepción pitagórica que Platón asumió y desa-rrolló veía en el orden la esencia de la belleza. Cua-lidad que hacía extensible a la medida y la propor-ción: «La medida y la proporción son la belleza y lavirtud». En el Timeo, una de sus últimas obras, afir-ma con convicción que: «todo lo bueno es bello ylo bello no carece de proporción».23 Siguiendo lospresupuestos de Pitágoras y su escuela, Platón expon-dría también en el diálogo Timeo una amplia expli-cación de un mundo puramente matemático definien-do así el concepto de proporción:

«Pero no es posible unir bien dos elementosaislados sin un tercero, ya que es necesario un vín-culo en el medio que los una. El vínculo más belloes aquél que puede lograr que él mismo y los ele-mentos por él vinculados alcancen el mayor gradoposible de unidad. La proporción es la que por na-turaleza realiza esto de la manera más perfecta».24

En más de un diálogo de Platón la symmetría hacereferencia directa a «proporción exacta» [Sofista236 a]. Será siempre en este sentido en el que se con-vertiría en término técnico de la estética [Filón 64e]. Sin que sea posible interpretar aisladamente el sen-tido de «relación justa» y de «proporción».

La tradición pitagórico-platónica tuvo una influen-cia decisiva en la evolución de la teoría de las pro-porciones y sus diversas concepciones estéticas, asícomo en esa «transferencia» a la arquitectura de laidea cuasi musical de un orden armónico basado enla teoría matemática de Pitágoras sobre la consonan-cia musical. Platón dejará una profunda huella en laEdad Media influyendo en el arte medieval con susteorías estéticas de medida, orden y proporción. Unejemplo extenso y lleno de belleza lo encontramosde nuevo en el Timeo, donde Platón escribe:

«Los cuerpos primarios de que va a componer-se el mundo se conciben como materiales de cons-trucción, listos para que la mano del constructorlos ponga uno junto a otro. Esta composición selleva a cabo mediante la determinación de lascantidades en las proporciones geométricamen-te perfectas de cuadrados y cubos (1:2:4:8 y1:3:9:27). Las mismas proporciones que determi-nan también la composición del Alma del Univer-so. Según esta composición, el cuerpo del uni-verso, que consta de cuatro cuerpos primarios,cuyas cantidades se hayan limitadas y relaciona-das entre sí en las más perfectas proporciones, estáen unidad y concordancia consigo misma y de ahíque no vaya a sufrir disolución alguna por causade una falta de armonía interna de sus partes; elvínculo que las une es sencillamente la proporcióngeométrica».25

La influencia del Timeo se proyectaría con fuer-te impacto a lo largo de más de dos mil años, hastael extremo de que todos los sistemas proporcionalestendrán como referencia directa la tradición pitagó-rico-platónica. Esta tradición tendría una fuerte ex-presión de sus principios para la mente medieval enel comentario que realiza el neoplatónico Macrobiosobre el Somnium Scipionis de Cicerón,26 y en la obraLa Arithmética del influyente Boecio,27 para el cualla belleza de las formas plásticas deriva de la armo-

17 Juan Estobeo, Eclogae physicae et ethicae, IV.18 Estobaeo, II. 62. 15.19 Adversus mathematicus, VII. 106.20 Sofista, 288 a.21 Filebo, 64 e.22 Sofista, 228.23 Timeo, 87 c.24 Timeo, 31 c.

25 Timeo, 31.26 Ambrosii Theodosii Macrobii: Commentarii in Somnium

Scipionis. In aedibus B.G. Teubneri, Stutgardiae, 1994.27 Cf. Boèce: Institution Arithmétique, versión bilingüe

latín-francés a cargo de Jean-Yves Guillaumin, Les BellesLettres, Paris, 1995.

26 L. Arias, Geometría y proporción en la Arquitectura Prerrománica Asturiana Anejos de AEspA XLIX

nía producida por las relaciones entre los cuadradosy los rectángulos. Aristóteles se expresaría en lossiguientes términos: «Proporción es igualdad de re-laciones»,28 matizando su posición tanto en la Poé-tica como en la Política al afirmar que la bellezareside en la dimensión, el orden y la proporción,cualidad esta última que describe en la Metafísica:«...por su parte, las formas supremas de la Bellezason el orden, la proporción y la delimitación que lasciencias matemáticas manifiestan en grado sumo».29

Igualmente: «Las principales variedades de la bellezason: una disposición adecuada, la proporción y unadeterminada configuración»,30 afirmando que: «labelleza consiste en una magnitud y disposición or-denadas». Los estoicos opinarían en idéntica forma:«La belleza del cuerpo consiste en la relación que laproporción de los miembros mantienen entre sí y conel todo». San Agustín y Boecio escribirían sendostratados en los cuales las leyes pitagóricas de la ar-monía y las matemáticas tenían una importante pre-sencia. De hecho, Vitruvio, en sus comentarios so-bre las matemáticas, la proporción y el cuerpohumano aplica la teoría general pitagórica, si bienpara Vitruvio las proporciones no conforman un con-cepto estrictamente estético, representando, en rea-lidad, una relación básicamente de tipo numérico. Susjuicios fundamentales acerca de las proporcionesestán expuestos en el Libro III:

Aedium compositio constat ex symmetria, cuiusrationem dili gentissime architecti tenere debent.Ea autem paritur a proportione, quae graeceanalogia dicitur. Proportio est ratae partis mem-brorum in omni opere totoque commodulatio, exqua ratio efficitur symmetriarum Namque nonpotest aedis ulla sine symmetria atque proportionerationem habere compositionis, nisi uti [ad] ho-minis bene figurati membrorum habuerit exactamrationem.31

«La composición de los Templos depende dela simetría, cuyas reglas deben tener presentessiempre los Arquitectos. Esta nace de la propor-ción, que en Griego llaman analogía. La propor-ción es la conmensuración de las partes y miem-bros de un edificio con todo el edificio mismo, dela cual procede la razón de la simetría. Ni puedeningún edificio estar bien compuesto sin la sime-tría y proporción, como lo es un cuerpo humanobien formado».

Vitruvio establece una definición de las propor-ciones arquitectónicas a partir de tres conceptos:

1. La relación que se produce de las partes en-tre sí.

2. La dependencia que existe de la totalidad delas medidas respecto a un módulo referencial.

3. El establecimiento de una analogía con lasproporciones del cuerpo humano.

Queda expuesta de esta forma una cierta ambiva-lencia en la comprensión del concepto de proporción.Circunstancia que dominará una buena parte de lasposteriores disensiones que se producirán entre lateoría de la arquitectura relacionada con Vitruvio:Proporción como una relación numérica y como ana-logía con respecto al cuerpo humano, es decir pro-porción antropométrica.32

Uno de los significados de la noción de propor-ción, de acuerdo con las normas emanadas del uni-versal tratado de Vitruvio, es el que llamaremosmodular: a partir de la unidad métrica, con su ori-gen anatómico (el pie, el brazo, el palmo), se sim-plifican las relaciones para hacerlas corresponder amúltiplos exactos de la unidad misma, y por tanto,a facilitar su ejecución.

En la fase de desarrollo proyectual el móduloadquiere un valor esencial. Para esta acepción esfundamental la definición ofrecida por Vitruvio deltérmino proportio: ratae partis membrorum in omniopere totiusque commodulatio, es decir, la coordina-ción métrica, en toda la obra de la rata pars, es de-cir del «módulo prefijado», de modo que éste deter-mine tanto cada miembro singular cuanto el conjunto.De esta forma los miembros contendrán uno o másmódulos siendo el todo un múltiplo del «móduloprefijado».

28 Ética a Nicómaco, V, 6.Versión de Julián Marías y Ma-ría Araujo, Madrid, 1989.

29 Metafísica, 1078 a- b. Libro XIII. Cap. 3. Versión deTomás Calvo Martínez, Madrid, 1994. Conviene consultarasimismo el artículo de Falus, R.: «La terminologie grecquedu ‘rapport’ et de la ‘proportion’», en: Acta Antiqua Acade-miae Scientiarum Hungaricae. 27/1979, 353-380.

30 Poética, 1450 b, 38. Versión de Valentín García Yebra,Madrid, 1974.

31 De Archîtectura libri decem, libro III, cap.I. Sobre elconcepto de analogía Cicerón, al traducir el Timéo de Platón,traduce ajnalogiVa (latín analogía, «analogía», compuesto deajnaV «según» y loVgoa «valor» ) por proportio, haciendode los dos conceptos «semejanza» y «subdivisión» una solapalabra latina. Platón empleaba el término para indicar laigualdad de las relaciones, a semejanza del uso hecho porAristóteles. Cf. de forma especial: Ludovico Quaroni, Pro-

gettare un edificio. Otto lezioni di architettura. Milano,1977. Versión castellana de Ángel Sánchez Gijón: Proyectarun edificio, ocho lecciones de arquitectura. Madrid, 1980.pp. 170 y ss.

32 Cf. Hanno Walter-Krauft: Geschichte der Architektur-theorie, München, 1985 . Versión castellana de Pablo DienerOjeda: Historia de la teoría de la arquitectura, 2 tomos,Madrid, 1990 (tomo I, p. 33).

Anejos de AEspA XLIX 27EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN EN LA ALTA EDAD MEDIA

El módulo considerado bajo una función estéti-ca se ha integrado dentro del vocabulario arquitec-tónico ya desde la antigüedad clásica; el módulo [ratapars]33 representa un elemento real de armonía en laconstrucción y un parámetro imprescindible paraproporcionar la composición del conjunto, el cual sederiva de una parte específica del edificio. De acuerdoa estas premisas, el diámetro de la columna, o ladodel pilar de sección cuadrada de un templo, era ele-gido como unidad de medida básica respecto a la cualotras magnitudes (altura de la columna o pilar de laarquería, del capitel, de la basa, etc.) constituíanmúltiplos exactos.

El arquitecto, pues, a partir de una medida tomadacomo módulo, deducirá todas las longitudes y formasde un edificio, de tal suerte que «todas las partes delmismo tendrán una mutua relación matemática inte-ligible». Todo el conjunto representa un perfectosistema que permite la construcción de relacionesmatemáticas exactas, las cuales extienden su armo-nía por medio de toda la apariencia visual del edifi-cio. Esta idea, es evidente, se encuentra ya en Vitru-vio y sería, como hemos dicho, utilizada ampliamentepor los arquitectos de la Edad Media.

El hecho de que las unidades de medida derivende los miembros del cuerpo humano —la palma dela mano, los pies,...— así como la frase «como lo esun cuerpo humano bien formado», supone una afi-nidad física entre el usuario y el edificio, de tal for-ma que la ratio de la columna con el capitel quedavinculada a la ratio del cuerpo humano con su ca-beza. Se produce, pues, una sensatez de forma cons-tructiva de inspiración humana.34

Así, respecto a la relación entre las proporcioneshumanas y los números, Vitruvio considera que: Ergosi convenit ex articulis hominis numerum inventumesse et ex membris separatis ad universam corporisspeciem ratae partis commensus fieri responsum,relinquitur, ut suspiciamus eos, qui etiam aedes deo-rum inmortalium constituentes ita membra operumordinaverunt, ut proportionibus et symmetriis sepa-ratae atque universae convenientes efficerentur eo-rum distributiones.35

«Si se admite, pues, que el sistema numéricoha sido deducido de las articulaciones humanas,y que existe una correlación proporcional basa-da en una unidad determinada entre los miembrostomados aisladamente y el aspecto general delcuerpo, se deduce que debemos admirar a los que,incluso estableciendo la regla de la construcciónde los templos de los dioses inmortales, han or-ganizado sus elementos de tal modo que, por eljuego de las proporciones y de las relacionesmodulares, sus divisiones consideradas separadao globalmente, estuviesen en armonía».

Vitruvio no ofrece una específica teoría de lasproporciones, entendida esta «en el sentido de unarelación numérica practicable».36 Las proporciones sepresentan bajo la consideración de valores experimen-tales, deducidos del cuerpo humano, no como valo-res absolutos. Es por ello por lo que propone la in-troducción de alteraciones en el cálculo y aplicaciónde las proporciones a los edificios:

Nulla architecto maior cura esse debet, nisi utiproportionibus ratae partis habeant aedificiarationum exactiones. Cum ergo constituta symme-triarum ratio fuerit et conmensus ratiocinationi-bus explicati, tum etiam acuminis est propriumprovidere ad naturam loci aut usum aut speciem[detractionibus aut] adiectionibus temperaturas[et] efficere, cum de symmetria sit detractum autadiectum, uti id videatur recte esse formatum inaspectuque nihil desideretur.37

«La preocupación mayor para un arquitectodebe de ser la de respetar en la construcción de unedificio la exacta aplicación del módulo y las pro-porciones. Si, pues, ha sido determinado el sistemade las proporciones y se ha desarrollado la propor-ción mediante el cálculo, será también tarea delconstructor planificar y llevar a efecto atenuacio-nes, considerando la naturaleza del lugar, el uso oel aspecto externo del edificio, mediante supresio-nes o añadidos, de modo que si se quita o agregaalgo a la proporción esto parezca estructurado ade-cuadamente y que en ello la vista no eche nada enfalta».

Mientras, San Agustín en su obra De Música sos-tiene que las leyes que determinan la armonía mu-

33 Una valoración del término módulo en Vitruvio, De Ar-chîtectura 1,2,4 / 4,3,3. Una ampliación sobre su acepcióny aplicación en Vitruve: De l’Architecture, Livre I. Texteétabli et traduit par Philippe Fleury, Paris, 1990. pp. 107,n.º 6. Asimismo: Vitruve: De l’Architecture, Livre III. Texteétabli, traduit et commenté par Pierre Gros, Paris, 1990,p. 110, n.º 3.

34 Spiro Kostof: A History of Architecture, Oxford Univer-sity Press, Inc.1985. Versión castellana de María Dolores Ji-ménez-Blanco Carrillo de Albornoz: Historia de la Arquitec-tura, Tomo I, Madrid, 1988, p. 222.

35 De Archîtectura libri decem, libro III, cap. I, 9.

36 Cf. Hanno Walter-Krauft: Geschichte der Architektur-theorie, München, 1985. Versión castellana de Pablo DienerOjeda: Historia de la teoría de la arquitectura, 2 tomos,Madrid, 1990 (Tomo I, p. 33).

37 De Archîtectura libri decem, libro VI, cap. II.

28 L. Arias, Geometría y proporción en la Arquitectura Prerrománica Asturiana Anejos de AEspA XLIX

sical determinan igualmente la armonía visual. SanAgustín demuestra la regularidad matemática de las«modulaciones» musicales. Asimismo, en su escri-to De Libero Arbitrio, llega a la conclusión de quela forma es el resultado de los números: Formashabent, quia numerus habent. San Agustín es leídocon especial interés y frecuencia, definiendo y de-sarrollando el principio de que en todas las artes, in-cluida la arquitectura, el artista realiza números yproporciones. Para San Agustín la música y la arqui-tectura son hermanas, basándose ambas en los nú-meros, los cuales constituyen la fuente de la perfec-ción estética; Omnes artifices in arte habent numerusquibus coaptant opera sua... quidquid (ibi) delectat,numerosum est.38 Para los pensadores de la EdadMedia la belleza consistía en armonía (proporción).Cualidades establecidas por Seudo-Dionisio y que elMedievo no haría más que repetirlas. La tesis deSeudo-Dionisio y con ello de toda la Edad Mediaconstituyó un intento de relacionar la proporciónplatónica con la luz neoplatónica. El concepto deproporción fue definido en la Edad Media median-te una variada terminología: proportio, armonía (con-venientia, conmensuratio, consonantia) al igual queordo y mensura. En un sentido cualitativo, propor-ción adquiría el significado de selección y dispo-sición adecuada de las partes, mientras que en un sen-tido cuantitativo reflejaba una relación matemática.La belleza era denominada con frecuencia bajo elnombre de pulchritudo aunque se empleaban otrasacepciones como formositas y speciositas (forma yspecies, es decir «lo que tiene buena forma»). Sedistinguía también entre belleza y utilidad, y habíaque escoger entre una de ambas cualidades (autusuai, aut decori).39 La compositio era un términoque designaba de forma especial la belleza puramenteformal de la estructura. Sería empleado en la termi-nología arquitectónica llamándose entonces compo-sitor a todo artífice y al arquitecto especialmente. Sedistinguía también entre belleza y perfección de laejecución de la obra, siendo digno de admiración enlas obras de arte su belleza (operis pulchritudo), asícomo la maestría del artífice (mira perfectio artis,subtilis et minuta figuratio).

Fig. n.º 1. Grabados representando los conceptos de Scaeno-graphia (centro), Icnographia (abajo) y Orthographia (arri-ba). Según Marco Vitruvio Polión: M. Vitruvii de Architetu-ra Libri decem nuper maxima diligeniae castigati atq; excusi,additis, Iulig Frontíni de aqueductihus libris propter materiaeaffinitatem. Ed. per haeredes Philippi luntae Anno domini

MDXXII. Impressum Florentiae.

38 Aurelius Augustinus: De Libero Arbitrio, en: J.-P. Mig-ne: Patrologiae cursus completus, er. lat., vol. 32, París,1877, col. 1263. Consultar igualmente De Bruyne: Historiade la Estética, Tomo II, Madrid, 1963, p. 485.

39 Cf. Wladyslaw Tatarkiewicz: Historia Estetyki. PWN-Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa. 1962-1970.Versión castellana de Danuta Kurzyca: Historia de la Estéti-ca. Vol. 1: La estética antigua, Madrid, 1987; vol. 2: La es-tética medieval. Madrid, 1989, p. 156.

Anejos de AEspA XLIX 29EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN EN LA ALTA EDAD MEDIA

LA PROPORCIÓN EN EL ESPACIOARQUITECTÓNICO

La doctrina de la proporción es, realmente, de ori-gen pitagórico: «el orden y la proporción son bellosy útiles». Inicialmente, la estética de la proporciónestablecía una definición de la belleza como una re-lación matemáticamente expresable por medio de losprimeros números naturales. En su forma más evolu-cionada la belleza es equiparada a la igualdad perfecta,reduciéndose a su vez los números a la mónada.

En el arte de la Antigüedad los sistemas proporcio-nales tienen una función primordial, tanto en la arqui-tectura ideal (ver Arquidamante) como en la esculturaideal (Policleto) o en la música ideal (Pitágoras).Mientras, Platón estudia las proporciones fundamen-talmente en el Timeo (se analizará más adelante) ensus tres formas: filosófica, estética y matemática. Así,los intelectuales medievales establecen un vínculo deconocimiento con la filosofía de la proporción pormedio del diálogo comentado por Calcidio.

Es precisamente el Comentario del Sueño de Es-cipión donde Calcidio y Macrobio resumen toda unatradición en la que los elementos matemáticos secombinan con las especulaciones filosóficas. En estecontexto tienen un papel decisivo el pitagorismo, elplatonismo, el estoicismo de Posidonio y el neopla-tonismo.

En las obras de San Agustín encontramos referen-cias directas a la belleza de las analogías así comode los números, de la igualdad y de la unidad. Unabuena parte de conceptos clásicos con directa refe-rencia a lo musical y lo armonioso son introducidosen Occidente a través de la obra de San Agustín Demúsica, la cual será objeto de estudio y difusión porEscoto Erigena y por el anónimo de la Música En-chiriadis en el siglo IX, así como la obra De ordine,la cual será objeto especial de estudio por Isidoro deSevilla, quien se inspirará, a su vez, en Quintiliano,Varrón, Macrobio, Boecio y Casiodoro.

La finalidad de todo método proporcional se basaen vincular las relaciones o rationes (es decir la com-paración cuantitativa entre dos segmentos) por me-dio de trazados lógicos, de tal suerte que «prefigu-ren» la estructura arquitectónica final del edificio.Citando a Euclides diremos que:

«Llámanse proporcionales las magnitudes queguardan la misma razón».40

Así como:

«Se dice que una primera magnitud guarda lamisma razón con una segunda que una tercera conuna cuarta, cuando cualesquiera equimúltiplos dela primera y la tercera excedan a la par, sean igua-les a la par o resulten inferiores a la par, que cua-lesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuar-ta, respectivamente y tomados en el ordencorrespondiente».41

El concepto de Proporción introduce un principioordenador entre las diferentes magnitudes y sus me-didas, además de elementos de comparación y la ideade una cualidad que invariablemente es transmiti-da de una ratio a otra. Vitruvio en sus comentariossobre las matemáticas, la proporción y el cuerpo hu-mano, aplica la teoría general pitagórica.

La teoría numérica de las proporciones tiene susinicios en Pitágoras, siendo aplicable exclusivamen-te a magnitudes conmensurables. Por otra parte, en laobra de Euclides Elementos,42 se dice: «Los númerosson proporcionales si el primero es el mismo múlti-plo, o la misma parte, o las mismas partes del segundoque el tercero del cuarto». La definición enunciada escoincidente con la expuesta por Pitágoras.

Una de las fuentes principales para el estudio dela estética de la proporción, la tenemos en los trata-dos técnicos de Boecio. Es decisiva la importanciade estos manuales para la visión del mundo medie-val. Constituyen, de hecho, la base de una psicolo-gía estética en las que se puede seguir su evoluciónhasta el siglo XII.

En este sentido Boecio, en su obra Aritmética tra-duce e introduce amplios resúmenes de Teón de Es-mirna y Nicómaco de Gerasa y en su obra Música seinspira básicamente en Euclides y en Ptolomeo.

Igualmente Boecio, en su Institutio Aritmética,43

expone de forma extensa su concepto de proporciónen los siguientes términos:

Est igitur proportionalitas duarum uel triumuel quotlibet proportionum adsumptio ad unumatque collectio. Vt etiam communiter definiamus,proportionalitas est duarum uel plurium propor-tionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quan-titatibus et differentiis constitutae sint. Differen-tia uero est inter numeros quantitas.

40 Euclides: Elementos, Libro V, def. 6. Versión realizadasegún M.ª Luisa Puertas en Elementos, Editorial Gredos,Madrid, 1991, 2 tomos.

41 Euclides: Elementos, Libro V, def. 5.42 Ibid., Libro VII, def. 20.43 Cf. Boèce: Institution Arithmétique, De proportionalita-

tibus, XL, 1,2,3,4. Texte établi et traduit par Jean-Yves Gui-llaumin, Les Belles Lettres, Paris, 1995.

30 L. Arias, Geometría y proporción en la Arquitectura Prerrománica Asturiana Anejos de AEspA XLIX

Proportio est duorum terminorum ad se inui-cem quaedam habitudo et quasi quodammodocontinentia, quorum compositio quod efficit pro-portionale est. Ex iunctis enim proportionibusproportionalitas fit.

In tribus autem terminis minima proportiona-litas inuenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior;ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini,duplam obtinet proportionem Sin uero quattuorcontra duo compares, hic quoque dupla propor-tio est. Quos tres terminos si continue consideres,ex duabus proportionibus fit proportionalitas etest proportionalitas unum ad duo et duo ad quat-tuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est,collectio proportionum in unumque redactio.

Su versión castellana es la siguiente:

«La proporcionalidad es, pues, la asociación,la agrupación de dos, tres o de un número cual-quiera de relaciones en una sola ratio. Y para darde ello una definición general: la proporción esuna relación semejante entre dos o varias ratio-nes, incluso si no están constituidas con las mis-mas diferencias (la diferencia es la magnitud quehay entre los números.

Una ratio es una relación recíproca, una for-ma de continuación de dos términos cuya combi-nación da una proporción. Porque es la combina-ción de rationes lo que hace la proporción.

La proporción más pequeña es la de 3 térmi-nos. Una proporción puede existir entre términosmás numerosos, pero es más larga. Por ejemplo,2 tiene con relación a 1 una ratio doble, porqueexisten 2 términos. Si ahora se compara 4 con 2,aquí también la ratio es doble. Y si se conside-ran estos tres términos en su secuencia las dosratios formarán una proporción: es la proporciónde 1 a 2 y de 2 a 4. Porque la proporción, comose ha dicho, es la combinación de razones (ratio-nes) que se reducen a una sola razón (ratio)».

Mientras, Nicómaco realiza una pormenorizadaenumeración de las diversas razones numéricas; Así,tendríamos las que podríamos definir como razonesmúltiples (doble, triple y razones submúltiplo), ra-zones de carácter particular (el antecedente contie-ne al consecuente y una parte más), o las que llama-remos razones epímeras (el antecedente contiene alconsecuente y a algunas de sus partes), etc.

No obstante adquiere mayor relevancia la técni-ca de las proporciones. En el Libro VII de Elemen-

tos de Euclides, se encuentran numerosas proposicio-nes con una referencia directa a las proporciones. Asítenemos:

1) Si a/b=c/d, entonces a/c=b/d (por permuta-ción).

2) Si a/b=d/e y b/c=e/f, entonces a/c=d/f (com-puesta de a a b y de b a c).

3) Si a/b=c/d, entonces b/a=d/c.4) Si a/b=c/d, entonces (a+b)/b=(c+d)/d.5) Si a/b=c/d, entonces (a-b)/b=(c-d)/d.

Con el fin de evitar la dificultad operativa queintroducen los números irracionales, ésta teoría de lasproporciones será sustituida por la de Eudoxo. Otrateoría aritmética elaborada por los primeros pitagó-ricos es la de las medias. Los pitagóricos distingui-rían un bloque de tres: la media aritmética, la me-dia geométrica y la media armónica. Desarrollando,además, la proporción más perfecta:

a/ [(a+b)/2]=2ab/ [(a+b)/b]

donde (a+b)/2 es la media aritmética de a y b, y 2ab/(a+b) es la media armónica de a y b. Un caso par-ticular de esta proporción es la proporción 12/9=8/6=4/3=1,333, aplicable a la estructura modular arqui-tectónica y a la música.

* * *

El objetivo clásico de la teoría de la proporciónse funda básicamente en la intencionalidad visual, esdecir, la introducción de un orden generado porla adicción de figuras geométricas y la intenciona-lidad formal, o la introducción de un ritmo a las re-laciones.

La proporción resulta ser, pues, una combinaciónentre dos o más rationes enlazadas, a su vez, por unmódulo o submúltiplo común.

Generalmente es confundida con la propia ratio44

y con el concepto más complejo de symmetría, acu-ñado por los griegos y por Vitruvio, y que los arqui-tectos del Renacimiento denominarían commodulatio.

Nuestra concepción del término proporción par-te del hecho de que no debe confundirse con el tér-mino ratio, cuya traducción más exacta sería la derelación proporcional, es decir, la relación que seestablece entre dos cantidades. Generalmente puede

44 Consultar muy especialmente para este término y otrospresentes en el tratado De Archîtectura de Vitruvio, la obra:Callebat, L. y Fleury, P.: Dictionnaire des vocabulaires tech-niques du «De Architectura» de Vitruve, Paris, 1995, pp. 63y 91.

Anejos de AEspA XLIX 31EL CONCEPTO DE PROPORCIÓN EN LA ALTA EDAD MEDIA

ser considerada bajo la expresión de ratio mathema-tica, «sistema de relaciones matemáticas».45 La pro-porción es, pues, en realidad, la igualdad deducidade las relaciones proporcionales entre dos pares decantidades. Así, en una proporción efectiva debenexistir, como mínimo, tres magnitudes: dos extremosy un término medio llamado habitualmente «media».

Sería Pitágoras quien definiría explícitamente lostres tipos principales de proporción: la proporcióngeométrica, la aritmética y la armónica.

En la proporción geométrica se cumple que elprimer término es al segundo lo que el segundo altercero. Así obtenemos la serie proporcional 1:2:4.Esta proporción determina la octava 1:2, es decir larelación establecida por el doble cuadrado.

La segunda de las proporciones, la aritmética,queda establecida cuando el segundo de los términossupera al primero en igual cantidad que el tercero lohace al segundo. Así, en la proporción 2:3:4 se cum-ple que la media 3 supera al primer término en 1,siendo superada igualmente en 1 por el segundo delos términos. La proporción aritmética supone la di-visión de la octava en quinta y cuarta.

La proporción armónica se cumple cuando en trestérminos la distancia existente entre cada extremo yla correspondiente media dividida por el extremorespectivo es equivalente. Así, en la proporción 6:8:12la media 8 excede a 6 en un tercio de 6, y es supera-da por 12 en un tercio de 12. De esta forma la pro-porción 6:8:12 divide a la octava en cuarta y quinta.

De acuerdo con la definición del Comentario a laarmonía de Ptolomeo original de Porfirio, se puedededucir que tres números enteros a, b, c, están enproporción aritmética, geométrica o armónica cuandocumplen perfectamente las relaciones expuestas acontinuación:

b-a=c-b [Proporción aritmética]a:b=b:c [Proporción geométrica](b-a):a=(c-b):c [Proporción armónica]

Siendo sus medias proporcionales las que segui-damente se exponen:

b=(a+c)/2 [Media aritmética]b=√ac [Media geométrica]b=2 ac/(a+b) [Media armónica]

Observamos que la ley de proporción es una leyeminentemente modular: Se determina una medida,un «módulo», que en este caso podría ser el ancho

de un pilar. Para componer toda la arquitectura seusan medidas que sean múltiplos o submúltiplos deesta unidad métrica que es el módulo. Se obtienen asíformas determinadas según un principio modular. Nosiendo posible la introducción de variaciones desdeel momento en que esta ley es aplicada.

De esta forma, el interior del edificio se prolon-ga con respecto al exterior mediante un canon deri-vado de la altura de la bóveda. Tenemos, pues, va-rios elementos concatenados entre sí uno a uno, enconjunto: así, del diámetro o ancho del pilar se de-riva la altura del muro interior, y por tanto la alturade la bóveda así como la altura del muro exterior. Estalógica geométrica y proporcional en último términonos permite deducir la medida del muro exterior, lacual resulta congruente con el ancho del pilar.

A juicio de Paul Zumthor,46 las dimensiones delespacio físico constituyen al mismo tiempo el medioy la materia de la arquitectura. Así, para Zumthor lasproporciones que instaura esta última entre las ma-sas edificadas las organizan en una jerarquía inesta-ble, «que la geometría no basta para describir. Lafachada deja de ser una pared, se convierte en unjeroglífico en el que cada rasgo tiene un significadocon relación a los otros». Por su parte A. Scobeltzi-ne, escoge una apropiada imagen cuando habla de«infeudación de volúmenes».47

Fig. n.º 2. Figuras geométricas representando diversas rela-ciones de proporción: √2, 4/3, 5/3, 3/2... y su aplicación enla construcción de los atrios. Ilustración procedente de la obraDe Archîtectura de Marco Vitruvio Polión, según la ediciónrealizada por Cesare Cesariano en Como, 1521. (Edición fac-

símil, Munich, 1969. Milán, 1987).

45 A este respecto consultar De Archîtectura libri decem,Libro III, cap. 3, 12.

46 Cf. su obra: La mesure du monde. Représentation del’espace au Moyen Âge. Paris, 1993. Versión castellana deAlicia Martorell: La medida del mundo. Representación delespacio en la Edad Media. Cátedra, Madrid, 1994, p. 90.

47 Cf. su obra L’Art féodal et son enjeu social, París, Ga-llimard, 1973, pp. 147-159.