Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y ... · con restricciones sobre polos y ceros de...

Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y

polinomios ortogonales

B. de la Calle Ysern

Dpto. de Matematica Aplicada, E.T.S. Ingenieros Industriales,

Universidad Politecnica de Madrid

Encuentro Iberoamericano – p. 1/26

Aproximantes de Pade

Sea f función analítica en un entorno de z0 ∈ C y Pn el conjuntode polinomios de grado menor o igual que n.

• El polinomio de Taylor Tn(f) de f en z0 es el elemento de Pn

que tiene mayor orden de contacto con f en z0.


Aproximantes de Pade

Sea f función analítica en un entorno de z0 ∈ C y Pn el conjuntode polinomios de grado menor o igual que n.

• El polinomio de Taylor Tn(f) de f en z0 es el elemento de Pn

que tiene mayor orden de contacto con f en z0.

Sea Rn = {P/Q : gr P,Q ≤ n} el conjunto de cocientes depolinomios de grado menor o igual que n.

• El aproximante de Padé diagonal Πn(f) de f en z0 es elelemento de Rn que tiene mayor orden de contacto con f en z0.


Convergencia

Sea f(z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces

• Tn(f) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1},


Convergencia



• Πn(f) converge uniform. a f en compactos de C \ (−∞,−1].


Convergencia




Información global de datos locales:

• Los aproximantes de Padé recuperan la función a partir delos coeficientes de Taylor.


Convergencia




Información global de datos locales:

• Los aproximantes de Padé recuperan la función a partir delos coeficientes de Taylor.

• Si en un entorno de z0

(i) f se aproxima rápidamente por polinomios =⇒ f es entera.

(ii) f se aproxima rápidamente por funciones racionales =⇒ fes univaluada.


Divergencia

• Cuidado: ¡puede haber defecto de interpolación!

qn(z)f(z) − pn(z) = O((z − z0)2n+1), z → z0.

f(z) − Πn(f)(z) = O((z − z0)2n+1−k), z → z0.


Divergencia


qn(z)f(z) − pn(z) = O((z − z0)2n+1), z → z0.

f(z) − Πn(f)(z) = O((z − z0)2n+1−k), z → z0.

Existen funciones enteras cuyos aproximantes dePadé divergen en todo punto del plano complejo


Divergencia


qn(z)f(z) − pn(z) = O((z − z0)2n+1), z → z0.

f(z) − Πn(f)(z) = O((z − z0)2n+1−k), z → z0.

Existen funciones enteras cuyos aproximantes dePadé divergen en todo punto del plano complejo

• No hay resultados generales de convergencia debido a laposible aparición de polos espurios.


Divergencia

Gonchar (1982)

Sea D un dominio cuyo complemento es un conjunto convexo.Si, para todo n ≥ N ,

• Πn(f) es holomorfa en el dominio D,

• no hay defecto de interpolación,

Entonces

Πn(f) converge a f uniformemente en compactos de D.


Divergencia

Gonchar (1982)

Sea D un dominio cuyo complemento es un conjunto convexo.Si, para todo n ≥ N ,

• Πn(f) es holomorfa en el dominio D,

• no hay defecto de interpolación,

Entonces

Πn(f) converge a f uniformemente en compactos de D.

• Obstáculos para converger:

{Defecto de interpolación.Polos espurios.


Estrategias

• Debilitar la sucesión Πn(f): tomar subsucesiones.


Estrategias


• Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad.


Estrategias



• Debilitar la clase de funciones f que se aproximan:funciones de Markov, Stieltjes,...


Estrategias



• Debilitar la clase de funciones f que se aproximan:funciones de Markov, Stieltjes,...

• Dejar fijo el grado del denominador: sea m ∈ N fijo,

¿Cuándo limn→+∞

pn

qmes convergente?


Filas de aproximantes de Pade

Sean polinomios pn,m, gr pn,m ≤ n, y qn,m, gr qn,m ≤ m, elegidosde modo que

qn,m(z)f(z) − pn,m(z) = o(zn+m

), z → 0

y Πn,m(f) = pn,m/qn,m es el aproximante de Padé de tipo (n,m)de f en 0.





), z → 0


• Si fijamos m ∈ N y variamos n ∈ N nos movemos por la filam-ésima de la tabla de Padé.





), z → 0


• Si fijamos m ∈ N y variamos n ∈ N nos movemos por la filam-ésima de la tabla de Padé.

Teoría de convergencia similara la de los polinomios de Taylor



Teorema de De Montessus de Ballore (1902)

• Sea Dm el mayor disco donde la función f es meromorfa conm polos y Rm su radio.• Sea K compacto de Dm que no contenga ningún polo de f .

• Sea ρ(K) = maxz∈K

|z|.



Teorema de De Montessus de Ballore (1902)

• Sea Dm el mayor disco donde la función f es meromorfa conm polos y Rm su radio.• Sea K compacto de Dm que no contenga ningún polo de f .

• Sea ρ(K) = maxz∈K

|z|.

Entonces

lim supn→∞

‖f − Πn,m‖1/nK =

ρ(K)

Rm



Problema inverso (Gonchar 1981) Supongamos que existe unpolinomio qm de grado m tal que

lim supn→∞

‖qn,m − qm‖1/n = r < 1.



Problema inverso (Gonchar 1981) Supongamos que existe unpolinomio qm de grado m tal que

lim supn→∞

‖qn,m − qm‖1/n = r < 1.

Entonces

f admite extensión meromorfa con m polos (precisamente losceros de qm) al disco de radio

Rm =

maxqm(zi)=0

|zi|

r


Conjetura de Pade

• Siempre hay subsucesiones de Πn(f) sin defecto deinterpolación.


Conjetura de Pade


• En muchos ejemplos Πn(f) admite subsucesiones queconvergen a f uniformemente en compactos del dominio.


Conjetura de Pade


• En muchos ejemplos Πn(f) admite subsucesiones queconvergen a f uniformemente en compactos del dominio.

Conjetura de Baker-Gammel-Wills (1961)

Si f es meromorfa en el disco abierto U , entonces existe unasubsucesión Γ ⊂ N tal que Πn(f), n ∈ Γ, converge a funiformemente en compactos de U en la métrica de la esfera deRiemann.


Conjetura de Pade

• Variantes:

Convergencia en capacidad (se verá más adelante).f es algebraica y el dominio es extremal (idem).Acotación uniforme del número de polos espurios.


Conjetura de Pade

• Variantes:

Convergencia en capacidad (se verá más adelante).f es algebraica y el dominio es extremal (idem).Acotación uniforme del número de polos espurios.

• Avances:

Funciones hiperelípticas (Stahl): f = r1 + r2√

p,

con restricciones sobre polos y ceros de r1 y r2.

Funciones enteras de crecimiento lento (Lubinski).


Conjetura de Pade

Refutada por Lubinski en 2001. Más tarde Suetin encontró uncontraejemplo con una función hiperelíptica.


Conjetura de Pade

Refutada por Lubinski en 2001. Más tarde Suetin encontró uncontraejemplo con una función hiperelíptica.

Recientemente el propio Baker ha propuesto una nuevaconjetura, the patchwork convergence:

afirma que utilizando un número finito de subsucesiones esposible lograr convergencia.


Capacidad logarıtmica

• Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K):

P (σ; z) =

∫

Klog

1

|z − ζ| dσ(ζ) .




P (σ; z) =

∫

Klog

1

|z − ζ| dσ(ζ) .

• Energía de σ:

I(σ) =

∫

KP (σ; z) dσ(z) .




P (σ; z) =

∫

Klog

1

|z − ζ| dσ(ζ) .

• Energía de σ:

I(σ) =

∫

KP (σ; z) dσ(z) .

• Energía mínima sobre K: I(K) = infσ I(σ).




P (σ; z) =

∫

Klog

1

|z − ζ| dσ(ζ) .

• Energía de σ:

I(σ) =

∫

KP (σ; z) dσ(z) .


• Medida de energía mínima de K: λ si I(K) = I(λ).




P (σ; z) =

∫

Klog

1

|z − ζ| dσ(ζ) .

• Energía de σ:

I(σ) =

∫

KP (σ; z) dσ(z) .


• Medida de energía mínima de K: λ si I(K) = I(λ).

• Capacidad logarítmica de K: cap (K) = exp(−I(K)).


Diametro transfinito

Sea K compacto de C y n ≥ 2. El diámetro n-ésimo de K es elvalor

δn(K) = maxa1,...,an∈K

∏

j,k:j<k

|aj − ak|2

n(n−1)





∏

j,k:j<k

|aj − ak|2

n(n−1)

limn→∞

δn(K) = cap (K).





∏

j,k:j<k

|aj − ak|2

n(n−1)

limn→∞

δn(K) = cap (K).

Ejemplos:

• Si K es un disco de radio r, cap (K) = r.

• Si K es un intervalo de longitud h, cap (K) = h/4.


Convergencia en capacidad

• Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica yacotada en G \ K (G abierto que contiene a K) admiteextensión armónica a todo G.




• También: generalizaciones del problema de Dirichlet y delprincipio del máximo de las funciones armónicas.




• También: generalizaciones del problema de Dirichlet y delprincipio del máximo de las funciones armónicas.


∀ ǫ > 0, ∀K ⊂ D limn→∞

cap {z ∈ K : |f(z) − fn(z)| > ǫ} = 0.

Notación: fnC−→ f en D

.



Lema de Gonchar (1975)

Supongamos que fnC−→ f en el dominio D.

1. Si fn ∈ H(D), entonces {fn}n∈N converge uniformementeen subconjuntos compactos de D.

2. Si fn ∈ M(D) y tiene como mucho k < +∞ polos en D yf ∈ M(D) y tiene exactamente k polos en D, entoncestodas las funciones fn, n ≥ N , tienen también k polos en Dy la sucesión {fn} tiende a f uniformemente ensubconjuntos compactos de D en la métrica de la esfera deRiemann.



Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973)

Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea fanalítica en C \ K. Entonces ,

Πn(f)C−→ f en C.






En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 esnecesaria.







Previamente Gonchar había extendido el teorema a funcionesque se aproximan rápidamente por funciones racionales.







Previamente Gonchar había extendido el teorema a funcionesque se aproximan rápidamente por funciones racionales.

¿Qué se puede afirmar cuando f tiene puntos de ramificación?



Teorema del dominio extremal (Stahl 1997)

Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f

analítica (posiblemente multivaluada) en C \ K. Entonces ,

Πn(f)C−→ f en un dominio D que verifica:

• Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a laconvergencia de Πn(f).

• Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a lacontinuación analítica univaluada de f .

• C \ D es esencialmente unión de arcos analíticos que unenlos puntos de ramificación.



Polos espurios

Polos de Πn(f) en regiones de analiticidad de f ( o demeromorfía pero con mayor número de polos) donde, a su vez,haya convergencia en capacidad.

Asintóticamente se emparejan con ceros de Πn(f).



Polos espurios

Polos de Πn(f) en regiones de analiticidad de f ( o demeromorfía pero con mayor número de polos) donde, a su vez,haya convergencia en capacidad.

Asintóticamente se emparejan con ceros de Πn(f).

La convergencia en capacidad permite entenderel comportamiento global de los aproximantes de Padé,


Ortogonalidad

Sea f(z) =∞∑

m=0

cm

zm+1analítica en un entorno de z = ∞.

qn(z)f(z) − pn(z) = O(1

zn+1), z → ∞.

⇓zk (qn f − pn)(z) = O(1/z2), z → ∞; k = 0, 1, · · · , n − 1.


Ortogonalidad

Sea f(z) =∞∑

m=0

cm


qn(z)f(z) − pn(z) = O(1

zn+1), z → ∞.

⇓zk (qn f − pn)(z) = O(1/z2), z → ∞; k = 0, 1, · · · , n − 1.

Por el teorema de Cauchy

0 =

∫

γzk qn(z) f(z) dz, k = 0, 1, · · · , n − 1.


Ortogonalidad

Sea f(z) =∞∑

m=0

cm


qn(z)f(z) − pn(z) = O(1

zn+1), z → ∞.

⇓zk (qn f − pn)(z) = O(1/z2), z → ∞; k = 0, 1, · · · , n − 1.

Por la fórmula integral de Cauchy

f(z) − Πn(f)(z) =1

qn(z)

1

2πi

∫

γ

qn(ζ)

z − ζf(ζ) dζ.


Funciones de Markov

Sea µ(z) =

∫ 1

−1

dµ(x)

z − x; µ medida con soporte en [−1, 1].

0 =

∫ 1

−1xk qn(x) dµ(x), k = 0, 1, · · · , n − 1.


Funciones de Markov

Sea µ(z) =

∫ 1

−1

dµ(x)


0 =

∫ 1

−1xk qn(x) dµ(x), k = 0, 1, · · · , n − 1.

• Πn(µ)(z) =pn(z)

qn(z)=

n∑

i=1

λn,i

z − xn,i

• Fórmula de cuadratura Gauss-Jacobi: Si gr P < 2n entonces

∫P (x) dµ(x) =

n∑

i=1

λn,i P (xn,i).


Funciones de Markov

Sea µ(z) =

∫ 1

−1

dµ(x)


0 =

∫ 1

−1xk qn(x) dµ(x), k = 0, 1, · · · , n − 1.

Teorema de Markov (1895)

Sea K compacto de C \ [−1, 1]. Entonces

lim supn→∞

‖µ − Πn(µ)‖1/2nK ≤ ‖z −

√z2 − 1‖K


Funciones de Stieltjes

Sea f analítica en C \ [0,+∞) definida por

f(z) =

∫∞

0

e−t

1 − ztdt.




f(z) =

∫∞

0

e−t

1 − ztdt.

Integrando por partes repetidamente se obtiene

f(z) = 1 + z

∫∞

0

e−t

(1 − zt)2dt = 1 + z + z2

∫∞

0

2 e−t

(1 − zt)3dt

= 1 + 1! z + 2! z2 + · · · + n! zn + zn+1

∫∞

0

(n + 1)! e−t

(1 − zt)n+2dt.




f(z) =

∫∞

0

e−t

1 − ztdt.

El aproximante de Padé Πn(f) en z0 = 0 construído usando laserie divergente converge a f uniformemente en compactos deC \ [0,+∞).



Una función de Stieltjes es una función del tipo

f(z) =

∫∞

0

dµ(t)

z − t,

donde µ es una medida con soporte en [0,+∞) y

cn =

∫∞

0tndµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . .




f(z) =

∫∞

0

dµ(t)

z − t,


cn =

∫∞

0tndµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . .

Toda función de Stieltjes tiene un desarrollo asintótico dado por

f(z) ≈∞∑

n=0

cn

zn+1.




f(z) =

∫∞

0

dµ(t)

z − t,


cn =

∫∞

0tndµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . .

Teorema de Stieltjes (1895)

Si los números cn, n = 0, 1, . . . determinan unívocamente lamedida µ, entonces {Πn(f)} en z0 = ∞ converge a funiformemente en compactos de C \ [0,+∞).


Principio general

• Se plantea un problema de aproximación racional defunciones analíticas.


Principio general


• Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertasrelaciones de ortogonalidad.


Principio general



• Se aplican propiedades y comportamiento asintótico depolinomios ortogonales.


Principio general



• Se aplican propiedades y comportamiento asintótico depolinomios ortogonales.

• Se prueba convergencia de los aproximantes racionales a lafunción.


Funciones de Stieltjes meromorfas

Sea f(z) =

∫∞

0

dµ(t)

z − t+

s(z)

t(z), donde los d polos de t están fuera

de [0,+∞).



Sea f(z) =

∫∞

0

dµ(t)

z − t+

s(z)


de [0,+∞).

¿Los aproximantes de Padé diagonales Πn(f)

convergen a f?



Sea f(z) =

∫∞

0

dµ(t)

z − t+

s(z)


de [0,+∞).

Tras un cambio de variable, el denominador qn del aproximantesatisface las relaciones de ortogonalidad

∫ 1

−1xj qn(x) t(x)

dν(x)

(1 − x)2n= 0, j = 0, 1, . . . , n − 1 − d.



Sea f(z) =

∫∞

0

dµ(t)

z − t+

s(z)


de [0,+∞).

Tras un cambio de variable, el denominador qn del aproximantesatisface las relaciones de ortogonalidad

∫ 1

−1xj qn(x) t(x)

dν(x)

(1 − x)2n= 0, j = 0, 1, . . . , n − 1 − d.

Se consideran los polinomios ortogonales {ln,m}m∈N respecto

de la medida variantedν(x)

(1 − x)2n.



Debido a las relaciones de ortogonalidad

qn t =

d∑

k=−d

λk ln,n+k




qn t =

d∑

k=−d

λk ln,n+k

Bajo condiciones generales

limn→∞

ln,n+k+1(z)

ln,n+k(z)= z +

√z2 − 1, k ∈ Z.




qn t =

d∑

k=−d

λk ln,n+k


limn→∞

ln,n+k+1(z)

ln,n+k(z)= z +

√z2 − 1, k ∈ Z.

Entonces los polinomios qn tienen como mucho d ceros lejos delsoporte =⇒ hay convergencia en capacidad =⇒ hayconvergencia uniforme.




qn t =

d∑

k=−d

λk ln,n+k


limn→∞

ln,n+k+1(z)

ln,n+k(z)= z +

√z2 − 1, k ∈ Z.

Lagomasino (1989)


Ademas

• Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en unatabla de puntos con una cierta distribución límite.


Ademas


• Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de losaproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce lageometría del conjunto de singularidades de la función.


Ademas



• Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea defunciones.


Ademas



• Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea defunciones.

• Aproximantes Fourier-Padé. Se consideran desarrollosortogonales y se busca el aproximante racional que tenga elmayor orden de contacto según este desarrollo.


Valores irracionales de la funcion zeta de Riemann

Euler (1748/1755). Probó las fórmulas

∞∑

n=1

1

n2k= (−1)k−1 4k b2k

2(2k)!π2k

donde bk ∈ Q son los números de Bernoulli. Es decir

x

ex − 1=

∞∑

n=0

bn

n!xn ⇒ b0 = 1,

n−1∑

j=0

(nj

)bj = 0.



Euler (1748/1755). Probó las fórmulas

∞∑

n=1

1

n2k= (−1)k−1 4k b2k

2(2k)!π2k

donde bk ∈ Q son los números de Bernoulli.

¿Qué ocurre con las sumas de exponente impar?

¿∞∑

n=1

1

n2k+1= q π2k+1, q ∈ Q ?



La función zeta de Riemann se define como

ζ(z) =

∞∑

n=1

1

nz, si Re z > 1

y mediante continuación analítica en C \ {1}.



La función zeta de Riemann se define como

ζ(z) =

∞∑

n=1

1

nz, si Re z > 1

y mediante continuación analítica en C \ {1}.

Problema abierto:

Demostrar que los números ζ(2k + 1), k ∈ N, son irracionales



Apéry (1978). ζ(3) es irracional. Usa la fórmula

ζ(3) =5

2

∞∑

n=1

(−1)n−1

n3

[(2n

n

)]−1

La demostración no es generalizable a otros valores ζ(2k + 1).



Apéry (1978). ζ(3) es irracional. Usa la fórmula

ζ(3) =5

2

∞∑

n=1

(−1)n−1

n3

[(2n

n

)]−1

La demostración no es generalizable a otros valores ζ(2k + 1).

Beukers (1981). Muestra que la sucesión de aproximantesracionales de Apéry puede obtenerse a partir de un problemageneralizado de aproximación de Padé simultánea.



fk(z) =∞∑

n=1

zn

nk, k ∈ N



fk(z) =∞∑

n=1

zn

nk, k ∈ N

Encontrar polinomios pn, tn, qn y qn de grado n tales que

qn(z) f1(z) + qn(z) f2(z) − pn(z) = o(z2n), z → 0,

qn(z) f2(z) + 2 qn(z) f3(z) − tn(z) = o(z2n), z → 0,

qn(1) = 0.



Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del términode error en el desarrollo de ζ(3).




ζ(3) =n∑

k=1

1

k3+

1

2Ψ(1/n),

donde Ψ(z) tiene la expansión asintótica

Ψ(z) =

∞∑

n=0

(n + 1)bn zn+2.




ζ(3) =n∑

k=1

1

k3+

1

2Ψ(1/n),

donde Ψ(z) tiene la expansión asintótica

Ψ(z) =

∞∑

n=0

(n + 1)bn zn+2.

Prévost-Rivoal (2007) Este principio puede ser general alaparecer en otro tipo de funciones como la exponencial.



Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . } hay infinitosnúmeros irracionales.




Utiliza aproximación simultánea de Padé de polilogaritmos,

Lip(z) =

∞∑

n=0

zn

(n + 1)p




Utiliza aproximación simultánea de Padé de polilogaritmos,

Lip(z) =

∞∑

n=0

zn

(n + 1)p

Zudilin (2001) Al menos uno de los siguientes números

ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)

es irracional.


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