Universidad Nacional del Centro del PerFACULTAD DE INGENERIA QUIMICA

APROXIMACION FUNCIONAL E INTERPOLACIONCALCULO NUMERICO

Una de las ventajas de aproximar informacin discreta o funciones complejas ,por medio de funciones sencillas debido a su mayor facilidad de evaluar y manipular dicha funcin. Las funciones de aproximacin se obtienen por combinaciones lineales de elementos de familias de funciones denominadas elementales .La forma general es: a0g0(x) + a1g1(x) + ... + angn(x),donde ai (0 i n ) ,son constantes por determinar y gi(x) (0 i n ) funciones de una familia particular .Los monomios en x (x0,x, x2 ...) constituyen grupos mas empleados , sus combinaciones generan aproximaciones del tipo polinomial . a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

INTRODUCCION

Sea una funcin (x) dada en forma tabular

Para aproximar a (x) por medio de la forma polinomial ,se aplica uno de los criterios siguientes : el de ajuste exacto o el de mnimos cuadrados .La tcnica de ajuste exacto consiste en encontrar una funcin polinomial que pase por los puntos dados en la tabla.El mtodo de mnimos cuadrados consiste en hallar un polinomio que pase entre los puntos y que satisfaga la condicin de minimizar la suma de las desviaciones (di)elevadas al cuadrado ; es decir, que se cumpla i=0n (di)2 = minimo

X0

X1

X2

X3

X

f(X0)

f(X1)

f(X2)

f(X3)

d0

d1

d2

d3

Fig. 1 Aproximacin polinomial con criterio de ajuste exacto (curva discontinua) y con mnimos cuadrados (curva llena)

1.-APROXIMACION POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIN :La interpolacin es de gran importancia en el campo de la ingeniera, ya que al consultar fuentes de informacin presentadas en forma tabular es frecuente no encontrara el valor buscado como un punto en la tabla.Por ejemplo en las tablas 1 y 2 presentan la temperatura de ebullicin de la acetona (C3H6O) a diferentes presiones.APROXIMACION FUNCIONAL E INTERPOLACIN Tabla 1 Temperatura de ebullicin de la acetona a diferentes presiones.

Puntos0123456T(C)56.578.6113.0144.5181.0205.5214.5P(atm)12510203040

Tabla 2 Temperatura de ebullicin de la acetona a diferentes presiones. Supngase que solo se tiene la segunda tabla y se desease calcular la temperatura de ebullicin de la acetona a 2 atm de presin. Una forma muy comn de resolver este problema es sustituir los puntos (0) y (1) en la ecuacin de la lnea recta :p(x)= a0 + a1 x, de tal modo que resultan dos ecuaciones con dos incgnitas que son a0 y a1.Con la solucin del sistema se consigue una aproximacin polinomial de premier grado ,lo que permite efectuar interpolaciones lineales ;es decir ,se sustituye el punto (0) en la ecuacin de la lnea recta y se obtiene

PUNTOS 0123T(C)56.5113.0181.0214.5P(atm)152040

56.5 = a0 + 1a1y al sustituir el punto (1) 113 = a0 + 5a1

al resolverse hallamos los coeficientesa a0 = 4.375 y a1 = 14.125Al reemplazar los coeficientes en la ecuacin de la recta obtenemos: P(x) = 42.375 + 14.125 x Esta ecuacin se puede emplear para aproximar la temperatura cuando la presin es conocida . Al sustituir la presin x = 2 atm se obtiene una temperatura de 70.6C.A este proceso se le llama interpolacin .

Fig. 2 Interpolacin grafica de la temperatura de ebullicin de la acetona a 2atm.

Para aproximar el valor de la temperatura correspondiente a P = 2 atm se pudieron tomar otros dos puntos distintos, por ejemplo (2) y (3), pero es de suponer que el resultado tendr un margen de error mayor ,ya que el valor que se busca esta entre los puntos (0) y (1).

Si se quisiera una aproximacin mejor al valor verdadero de la temperatura buscada, podran unirse mas puntos de la tabla con una curva suave ,por ejemplo tres (0),(1) y (2) (ver Fig.3) y obtener T correspondiente a P = 2atm.

Fig. 3 Interpolacin grafica en tres puntos.

Analticamente el problema se resuelve al aproximar la funcin desconocida T = (P) con un polinomio que pase por los tres puntos (0) ,(1) y (2).Este polinomio es una parbola y tiene la formula general p1(x) = a0 + a1x + a2x2donde los parmetros a0, a1 y a2 se determina sustituyendo cada uno de los tres puntos en la ecuacin de la parbola:56.5 = a0 + a11 + a212113 = a0 + a15 + a252181 = a0 + a120 + a2202Al resolver el sistema se obtienea0 =39.85 , a1 =17.15 , a2 =-0.50482

De tal modo que la ecuacin polinomial queda P2 = 39.85 + 17.15x 0.50482x2

Y puede emplearse para aproximar algn valor de la temperatura correspondiente a un valor de presin .Por ejemplo si x = 2 atm, entonces T p2 = 39.85 + 17.15 (2) + -0.50482 (2)272.1C

La aproximacin a la temperatura correcta es obviamente mejor en este caso.Obsrvese que ahora se a aproximado la funcin desconocida T = (P) con un polinomio de segundo grado que pasa por los tres puntos mas cercanos al valor buscado .En general ,si se desea aproximar una funcin con un polinomio de grado n, ser necesita n+1 puntos ,que sustituidos en la ecuacin polinomial de grado n: Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxnGeneran un sistema de n+1 ecuaciones lineales en las incgnitas ai , i =0.1.2.3.....n.

Una vez resuelto el sistema se sustituyen los valores de ai en la ecuacin anterior ,con lo cual se obtiene el polinomio de aproximacin .A este mtodo se le conoce como aproximacin polinomial simple.Por otro lado ,como se dijo al principio de este capitulo ,puede tenerse una funcin conocida ,por ejemplo

la cual conviene ,para propsitos prcticos , aproximar con otra funcin mas sencilla ,como un polinomio .El procedimiento es generar una tabla de valores mediante la funcin original y a partir de dicha tabla aplicar el mtodo descrito anteriormente.

2.- POLINOMIOS DE LAGRANGE Es un mtodo donde los clculos se realizan directamente, y no se requiere resolver un sistema de ecuaciones lineales. Se parten nuevamente de una funcin discontinua f(x) dada en forma tabular y se asume que un polinomio de primer grado (ecuacin de una lnea recta); puede escribirse: (1)

Donde:

X1 y x0 son los argumentos de los puntos conocidos [ x0, f(x0) ] a0 y a1 son dos coeficientes por determinar, para encontrar el valor de a0; se hace x = x0 en la ecuacin (1) que al despejar da:

(2)

y para hallar el a1, se sustituye el valor de x con el x1 , con lo que resulta:

de tal modo :

donde :

yPor induccin se puede obtener polinomios de segundo, tercero y n-simo grado.

(3)(4)

donde :

(5)

Ejemplo: para la tabla que se presenta a continuacin obtenera) la aproximacin polinomial de Lagrange con todos los puntos.b) interpole el valor de la funcin f(x) para x = 1.8

i0123f(xi)-3057xi0136

Solucin:

Al efectuar las operaciones queda:

b) como x=1.8 se sustituye en la aproximacin polinomial de Lagrange de tercer grado se obtiene:

f(1.8)2

Por definicin de derivada en el punto x0 una funcin analtica f(x) se tiene:

3.-DIFERENCIAS DIVIDIDASSin embargo, cuando la funcin esta en forma tabular

Puntos012.nXx0x1x2.xnf(x)f(x0)f(x1)f(x2)..f(xn)

La derivada solo puede obtenerse aproximadamente; por ejemplo, si se desea la derivada en el punto x, (x0 < x < x1), puede estimarse como siguex0 < x < x1

El lado derecho de la expresin anterior se conoce como la primera diferencia dividida de f(x) respecto a los argumentos x0 y x1 y se denota generalmente como f[x0, x1]; as La relacin entre la primera diferencia dividida y la primera derivada queda establecida por el teorema del valor medio.=(x) = (), (x1, x0)

Siempre y cuando y se les llama diferencias divididas de orden cero.La diferencia de orden i es:Siempre y cuando Siempre y cuando satisfaga las condiciones de aplicabilidad de dicho teorema.Para obtener aproximaciones de derivadas de orden mas alto, se extiende el concepto de diferencias divididas a ordenes mas altos, donde para uniformar la notacin sean escrito los valores funcionales de los argumentos xi, 0

La informacin de la tabla siguiente se obtuvo del polinomio:

EjemploA partir de ella elabore una tabla de diferencias divididas.

puntos012345x-2-10236(x)-18-5-2-27142

Las primeras diferencias divididas mediante los puntos (0), (1) y (1), (2), respectivamente, sonSOLUCIONLa segunda diferencia dividida mediante los puntos (0), (1) y (2), esde igual manera se calculan las dems diferencias divididas, que se resumen en la siguiente tabla

4.-APROXIMACIN POLINOMIAL DE NEWTON

Supngase que se tiene una funcin dada en forma tabular

y que se desea aproximarla preliminarmente con un polinomio de primer grado que pasa por ejemplo por los puntos (0) y (1), sea adems dicho polinomio de la forma

Puntos012.nxx0x1x2.xn[x][x0][x1][x2]..[xn]

donde x0 es la abscisa del punto (0) y a0, a1 son constantes por determinar. Para encontrar el valor de a0 se hace x = x0 de donde a0 = p(x0) = f[x0] y a fin de encontrar el valor de a1 se hace x = x1, de donde a1 = (f[x1] f[x0])/(x1 x0),o sea la primera diferencia dividida f[x1,x0] .Al sustituir los valores de estas constantes en la ecuacin [1] tenemos: o sea un polinomio de primer grado en trminos de diferencias divididas.

Luego aproximamos la funcin tabular con un polinomio de segundo grado que pase por los puntos (0), (1), (2) y que tenga la forma: donde x0 y x1 vuelven a ser las abscisas de los puntos (0), (1) y a0, a1 y a2 son constantes por determinar, se procede como en la forma anterior para encontrar estas constantes[2]

En general: y que pasa por los puntos (0), (1) () (2)., (n); los coeficientes a0, a1,.,an estn dados por : esta aproximacin polinomial se conoce como aproximacin polinomial de newton, la cual se puede expresar sintticamente como

Elabore una aproximacin polinomial de newton para la siguiente informacin tabular e interpole la temperatura para una presin de 2 atm.

Solucin EJEMPLO

Puntos0123T(0C)56.5113.0181.0214.5P(atm)152040

Diferencias divididasPuntospTPrimeraSegundatercera0

1

2

3 1

5

20

405.6

113

181

214.514.125

4.553 1 .675-0.50482

-0.84670.01085

a) par n = 1 = de la tabla se tiene = 56.5 y ecuacin que equivale a las obtenidas anteriormente Si x = 2 , f(2) p(2) = 56.5 + 14.125(2-1) = 70.6 Cde igual manera para n = 2

=Remplazando:

Si x = 2 , f(2) p(2) = 56.5 + 14.125(2-1) -0.50482(2-1)-0.50482(2-1) (2-5) = 72.1 C

Tambin para: n = 3, resulta = 70.7 C= 14.125, de dondep(x) = 56.5 + 14.125(x-1)

5.-POLINOMIOS DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS

Si tenemos una distancia h entre dos argumentos consecutivos cualesquiera esta es la misma a lo largo de la tabla y el polinomio de newton en diferencias divididas puede expresarse con mas sencillez.

Para este propsito se introduce un nuevo parmetro s, definido en:

x = xo + s h

colocar la ecuacin en trminos de s y h .Para esto obsrvese que:

x1 x0 = h

x2 x0 = 2h

. . .

xi x0 = ih

a la primera ecuacin le restamos xi a ambos miembros resultando:

x xi = xo +sh -xi

x xi = h(s 1)

Sustituimos cada una de las diferencias (x xi) con h(s i) resultando as:

Pn(x) = Pn(xo + sh) = f[xo] + hs f[xo , x1] + h2s(s 1)f[xo , x1, x2] +.+ h3s(s 1)(s 2)f[xo , x1 , x2 , x3]+ ....+ hn s(s 1)(s 2) ....(s (n-1)) f[xo , x1 ,..... , xn] ..(1)

en la ecuacin :

Pn(x) = ao + a1(x xo) + a2(x xo)(x x1) +.........+ an(x xo)(x x1)....(x xn-1)

Sustituimos cada una de las diferencias (x xi) con h(s i) resultando as:

Pn(x) = Pn(xo + sh) = f[xo] + hs f[xo , x1] + h2s(s 1)f[xo , x1, x2] + h3s(s 1)(s 2)f[xo , x1 , x2 , x3]+ ....+ hn s(s 1)(s 2) ....(s (n-1)) f[xo , x1 ,..... , xn] ...................(2))

O expresada de la siguiente manera:

n k-1

Pn(x) = ( ak hk ( (s - i) .(3)

k=0 i=0

simplificando la ecuacin (3) obtenemos:

(f(x) = f(x + h) + f(x) ...........(4)

donde: ( = operador lineal en diferencias hacia delante

A su vez, las diferencias hacia delante de orden superior se generan como sigue :

(i f(x) =(((i-1f(x)) .........(5)

tambin podemos simplificar de la siguiente forma:

( f(x) = f(x) f(x h)........(6))

donde: ( = operador lineal de diferencia hacia atrs

(i f(x) = (((i-1f(x)) ...........(7)

aplicando ( al primer valor funcional f(xo) de una tabla se tiene:

(f(xo) = f(x1) f(xo) = h f(xo , x1) .(8)

consecuentemente, al sustituir f( xo , x1,....., xi ), en trminos de diferencia finita

Pn(x) = Pn(xo+sh) = f(xo) + s(f (xo) + ((s(s 1))/2()(2f (xo) + ((s(s 1)(s 2))/3()(3f (xo) + .......+ ((s(s 1)(s 2)...(s (n 1)))/n()(nf (xo) ............(9)

Esta ecuacin (9) es considerado como el polinomio de newton en diferencias finitas hacia delante.

Recordemos que la diferencia entre dos argumentos consecutivos cualesquiera es h y as introducimos el parmetro s en la ecuacin x = xn +s h obteniendo:

x xn = sh

x xn-1 = xn xn-1 + sh = h(s+1)

x xn-2 = xn xn-2 + sh = h(s+2)

.

x xo = xn xo + sh = h(s+n)

sustituyendo los valores anteriores en la ecuacin(15) obtenemos

Pn(x) = Pn(xn+sh) = f(xn) + s(f (xn) + ((s(s 1))/2()(2f (xn) +.......+ ((s(s 1)(s 2)...(s (n 1)))/n()(nf (xn)..........(10)

Siendo considerada como polinomio de newton en diferencias hacia atrs.

EJEMPLO

La siguiente tabla proporciona las presiones de vapor en lb/plg2 a diferentes temperaturas para el 1-3 butadieno.

puntos

0

1

2

3

4

5

T OF

50

60

70

80

90

100

P lb/plg2

24.94

30.11

36.05

42.84

50.57

59.30

Aproxime la funcin tabulada por el polinomio de newton en diferencias hacia delante e interpole la presin a la temperatura de 64 oF.

Punto

xi

F(xi)

(F(xi)

(2F(xi)

(3F(xi)

(4F(xi)

0

50

24.94

(f(xo)=5.17

1

60

30.11

(2f(xo)=0.77

(f(x1)=5.94

(3f(xo)=0.08

2

70

36.05

(2f(x1)=0.85

(4f(xo)=0.01

(f(x2)=6.79

(3f(x1)=0.09

3

80

42.84

(2f(x2)=0.94

(4f(xo)=-0.03

(f(x3)=7.73

(3f(x2)=0.06

4

90

50.57

(2f(x3)=1.00

(f(x4)=8.73

5

100

59.30

Si nos damos cuenta sabremos que h=10

x1 xo = h

60 50 = 10

Siendo el valor por interpolar 64 y despejando s de la ecuacin: x = xo + sh obtenemos

s= (x xo)/h = (64-50)/10 =1.4

al interpolar el valor de la presin a una temperatura de 64F tendramos P(x) = f(xo) + s(f(xo)= 24.94 +1.4(5.17)=32.17

:

P1(64) =f(x1) + sf(x1) = 30,11 +1,4(5,17)=37,348