Continuidad en un conjunto

Clculo 1 Bloque A_Comisin 1

Ao 2014

Continuidad de funciones (*)I) Continuidad en un punto

En sta representacin grfica (fig. 1), la funcin evidentemente presenta una discontinuidad, tanto en x = 0 como en x = 3, dado que el dibujo o trazo presenta una interrupcin.

(fig. 1)Si se considera la idea intuitiva de que se dibuja un trazo o lnea continua cuando la punta del lpiz no se despega del papel, esto no es lo que ocurre al dibujar la grfica de la funcin dada. Pero en el Clculo infinitesimal, hay que hacer algo ms que ver el grfico para analizar la continuidad o discontinuidad de una funcin en un punto x cualquiera.

Tomamos la expresin simblica de la funcin .

Tenemos que en x = 0, la funcin est definida ( es decir, ; analizando la existencia de lmite : . Como los lmites laterales son distintos, la funcin no tiene lmite finito en x = 0.El mismo anlisis realizado en x = 3: , y los lmites laterales son: . Al ser distintos, el lmite finito no existe en 3.Para la fig. 2) , la funcin g viene dada por la expresin . Analizamos en x = 1 las mismas condiciones: , por ello . En cuanto al lmite: . Se cumple la existencia de lmite finito en el punto x = 1 pero no as de la imagen de la funcin.

(*) Elaborado por la prof. Adriana Duartefig. 2En el ejemplo siguiente (fig. 3), la funcin h se define como: .Analizando el lmite: . Adems la funcin h est definida en 5: , pero ese valor es distinto al lmite de h cuando .fig.3Por ltimo, el caso de la funcin (fig. 4). No est definida y no existe lmite finito en x = 1, porque .(Posee asntota vertical en ese punto)fig. 4Por los anlisis realizados, podemos ver que la continuidad o discontinuidad de una funcin est relacionada con la existencia o no de la funcin en el punto y la existencia o no de lmite finito en dicho punto.

Entonces: para que una funcin sea continua en un punto x = a, se deben cumplir tres condiciones (o hiptesis):

Por ejemplo: la funcin , es continua en x = 0, porque:

Discontinuidades

En las funciones de las figuras 2 y 3, se cumple la existencia de lmite finito en el punto, que es la 2 condicin de continuidad, en cambio, no se cumple la condicin 1 (para la funcin g) y no se cumple la 3 condicin (para la funcin h). Entonces, las funciones presentan una discontinuidad evitable.En la funcin de la figura 1, no existe lmite finito (se presenta un salto en el grfico de f, tanto en x= 0 como en x = 3). No se cumple la 2 condicin de continuidad, entonces presenta una discontinuidad esencial o inevitable.

As mismo, la funcin de la figura 4, no tiene limite finito en x = 1 (en ese punto el limite es infinito), por lo que tampoco se cumple la 2 condicin de continuidad. Se dice que la funcin posee una discontinuidad infinita en ese punto, y la funcin tendr una asntota vertical.

Propiedades de funciones continuas

Si dos funciones f y g son continuas en x = a, entonces:

1) (f + g) ser continua en a; 2) (f g) es continua en a; 3) (f.g) es continua en a y 4) (f:g) es continua en a, siempre que .5) La funcin compuesta es continua en a g es continua en a y f continua en g(a).6) Todas las funciones polinmicas son continuas para cualquier valor x de su dominio al igual que las funciones potencia del tipo .7) Para las funciones potencia del tipo , con dominio , sern continuas en todo punto de su dominio, y a derecha de 0

Problema de aplicacin de continuidad de funciones:Suponga que un organismo reacciona a un estmulo slo cuando dicho estmulo supera cierto umbral. Suponga que el estmulo es funcin del tiempo t, y que su expresin es . El organismo reacciona al estmulo y muestra una cierta reaccin cuando .

Defina una funcin g, tal que cuando el organismo no muestre reaccin en el instante t y cuando el organismo muestre reaccin.

Son continuas las funciones s y g? justifique.

Solucin: La grfica de la funcin dada, , presenta intervalos del eje de la variable independiente t, donde (por encima de la lnea horizontal y = ), e intervalos donde :

Entonces la funcin g se define como una funcin por tramos: .

Para calcular los intervalos de t, se resuelve la igualdad: , . Existen infinitos valores que satisfacen

Entonces:

El grfico de g es el siguiente:

La funcin s es continua en su dominio, por ser una funcin trigonomtrica, en cambio, la funcin g, es claramente discontinua, en infinitos valores de t:

II) Continuidad en un conjunto

Una funcin f es continua en un conjunto de puntos (intervalo) si y slo si es continua en cada punto de ese conjunto.

Sea I = (a; b) un intervalo abierto. La funcin es continua en I ( es continua (x: x ( (a;b).

Sea I = [a; b] un intervalo cerrado. La funcin es continua en I ( es continua (x: x ( (a;b), a derecha de a y a izquierda de b.

La funcin es continua a derecha de a ( y es continua a izquierda de b ( .

Desde el punto de vista grfico, la idea de continuidad en un intervalo se refleja en un trazo sin saltos ni interrupciones en todo el intervalo. Es decir, si la funcin es continua en I y alcanza dos valores reales y distintos y , entonces alcanza tambin todos los valores comprendidos entre ambos nmeros reales.Cuando una funcin es continua en un intervalo cerrado [a; b], f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces existe un punto interior al intervalo donde la funcin se anula.

O sea, existe por lo menos un punto del interior que es un cero de la funcin. Esta propiedad, conocida como Teorema de Bolzano (o teorema de los ceros de las funciones continuas) tienen importancia en el clculo de races de cualquier polinomio de coeficientes reales.

Problema: Analizar si la ecuacin dada tiene soluciones reales.Solucin: Para utilizar el Teorema se toma la funcin , que al ser polinmica, es continua en todo su dominio. Si se exploran los signos de la imagen en ciertos puntos, por ejemplo, en x = -2, x = 0, x = 1 y x = 2, tenemos: f(-2) < 0; f(0) < 0; f(1) < 0 y f(2) > 0. Entonces, el teorema se cumple en [1;2] y la solucin de la ecuacin estar en un punto interior al intervalo. En la representacin grfica de la funcin se observa que, efectivamente, existe un cero en ese intervalo:

El Teorema de Bolzano se considera como un caso particular del siguiente teorema:Teoremas de Weierstrass

1 teorema: Si f es una funcin continua en un intervalo cerrado [a;b], entonces f est acotada en dicho intervalo.

Es decir, los valores de la funcin pertenecen a un conjunto acotado. Existe un valor k real tal que para todo valor de dicho conjunto f(x), se cumple ( f(x) (( k.

Por ejemplo: la funcin , es continua en . Todo valor f(x) pertenece al intervalo , entonces existe por lo menos un valor k que es cota de dicho intervalo.

2 teorema: Si f es una funcin continua en un intervalo cerrado [a;b], entonces alcanza en dicho intervalo un mximo y un mnimo absolutos.Definiciones:

f(c) es mnimo absoluto de f en C si y slo si f(c) no supera a ninguno de los valores f(x) que alcanza la funcin en dicho conjunto C, o sea: (x ( C, f(x) ( f(c).

f(c) es mximo absoluto de f en C si y slo si f(c) no es superado por ninguno de los valores f(x) que alcanza la funcin en dicho conjunto C, o sea: (x ( C, f(x) ( f(c).)

En el ejemplo anterior, la funcin tiene un mximo absoluto f(c) = 2, cuando c = y tiene un mnimo absoluto f(c) = -2, cuando c = .

Ejemplo: La funcin , tiene como dominio el intervalo [-5; 5]. Adems es continua en dicho intervalo. Alcanza su mximo absoluto f(c) = 5 cuando c = 0 y su mnimo f(c) = 0 , tanto en c = -5 como en c = 5, es decir, en los extremos del intervalo.

Tomado del artculo de Vernica Pobrete Oviedo. Matemtica en la Salud. http://netlizama.usach.cl/Apuntes%20Medicina%20(Veronica).pdf

La demostracin del teorema requiere conocimientos que estn por encima de las exigencias de ste curso.

PAGE 6Gua terica Continuidad de Funciones

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