Apunte de La Catedra Eletronica Industrial Apaisado

7/24/2019 Apunte de La Catedra Eletronica Industrial Apaisado

1/73

Electrnica Industrial UTN Facultad Regional Paran

Alejandro H. Gonzlez 1

APUNTES DE CATEDRA DE LA ASIGNATURA ELECTRONICA INDUS-

TRIAL

ndice

Parte I

1. Introduccin........................................... ....................................................................... 31.1. Teora de control avanzado versus teora de control convencional....................... 41.2. Conceptos fundamentales.. .............................................................................. ...... 5

2. Representacin de sistemas en espacio de estado ........................................................ 92.1. Representacin en espacio de estado de sistemas lineales en tiempo continuo. ... 9

2.1.1. Representacin en espacio de estado de sistemas de ecuaciones diferencialeslineales de orden n. ............................................................. ...................................... 92.1.2. No unicidad del conjunto de variables de estado ......................................... 112.1.3. Solucin de la ecuacin de estado lineal invariante en el tiempo ................ 12

2.2. Representacin en espacio de estado de sistemas lineales en tiempo discreto.... 142.2.1. Formas cannicas para ecuaciones en el espacio de estado en tiempodiscreto. ........................................................................ .......................................... 142.2.2. Controlabilidad y alcanzabilidad de sistemas lineales en tiempo discreto... 16

2.2.3. Observabilidad de sistemas lineales en tiempo discreto............................... 202.2.4. Observadores de estado ................................................................. ............... 232.2.5. No unicidad de la representacin en el espacio de estado............................ 272.2.6. Solucin de la ecuacin de espacio de estado en tiempo discreto e invarianteen el tiempo ............................................................. ............................................... 282.2.7. Discretizacin de una ecuacin de estado en tiempo continuo .................... 29

2.3. Representacin en espacio de estado de sistemas no lineales. ............................ 302.3.1. Linealizacin de modelos no lineales........................ ................................... 31

2.4. Estados de equilibrio. Diagramas en el plano de fase ......................................... 312.5. Rutinas de Matlab relacionadas al captulo ........................................................ . 362.6. Referencias bibliogrficas .............................................................. ..................... 37

3. Concepto de estabilidad de Liapunov.................................................. ....................... 393.1 Concepto de Estabilidad e Inestabilidad.................................... ........................... 403.2. Teorema de estabilidad de Liapunov................................................................... 44

3.2.1. Anlisis de estabilidad de Liapunov para sistemas LTI autnomos en tiempocontinuo ............................................................. ..................................................... 473.2.2. Anlisis de estabilidad de Liapunov para sistemas LTI autnomos en tiempodiscreto ........................................................ ........................................................... 48

3.3. Rutinas de Matlab relacionadas al captulo ........................................................ . 503.4. Referencias bibliogrficas .............................................................. ..................... 51

4. Introduccin a la teora de optimizacin de funciones. Introduccin al control ptimo(LQR) .................................................................. ........................................................... 53

4.1. Definiciones preliminares (Convexidad de conjuntos y funciones)........... ......... 53



4.2. Optimizacin sin restricciones......................................................................... .... 624.3. Optimizacin con restricciones. ............................................................. ............. 65

4.3.1. Programacin convexa ........................................................ ......................... 664.3.2. Condiciones geomtricas de optimalidad..................................................... 67

4.3.4. Problemas con restricciones de igualdad y desigualdad............................... 714.3.5. Condiciones necesarias de Fritz John........................................................... 724.3.6. Condiciones necesarias de Karush-Kuhn-Tucker......................................... 764.3.7. Condiciones suficientes de Karush-Kuhn-Tucker............................. ........... 784.3.8. Programacin cuadrtica ................................................................... ........... 78

4.4. Dualidad Lagrangiana ................................................................... ...................... 794.4.1. Interpretacin geomtrica........... .................................................................. 804.4.2. Dualidad fuerte y dualidad dbil .................................................................. 82

4.5. Conceptos bsicos de control ptimo. Regulador cuadrtico lineal (LQR)..... ... 864.5.1. Regulador cuadrtico lineal en tiempo discreto ........................................... 924.5.2. Regulador cuadrtico lineal en tiempo discreto con horizonte infinito........ 99

Parte II

5. Control predictivo basado en modelos .............................................................. ....... 1035.1. Ventajas y desventajas de MPC .............................................................. .......... 103

5.1.1. Importancia de las restricciones: ................................................................ 1045.2. Formulacin bsica.............................................. .............................................. 1045.3. Modelos de prediccin .................................................................. .................... 1065.4. Problema de optimizacin on-line de MPC....................................................... 1085.5. DMC (Acrnimo derivado del ingls Dynamic Matrix Control)...................... 109

5.6. MPC con realimentacin de salida ......................................................... ........... 1115.7. Observador en estado estacionario ................................................................... . 1125.8. Eliminacin de offset en MPC ................................................................. ......... 1135.9. Referencias bibliogrficas ............................................................. .................... 114

6. Estabilidad de los controladores predictivos ............................................................ 1176.1. Definiciones preliminares............................................................. ..................... 1176.2. Formulacin general MPC estable. Teorema de Mayne ................................... 1216.3. Casos particulares. IHMPC y MPC Dual con LQR como control terminal...... 1266.4. MPC con estabilidad garantizada, aplicable a procesos industriales (IHMPC) 1336.5. Necesidad de restricciones terminales.............................. ................................. 1356.6. Extensin del dominio de atraccin. Estrategia de dos etapas de optimizacin 138

6.7. Referencias bibliogrficas ............................................................. .................... 1417. Control predictivo robusto.............................. .......................................................... 143


2/73



Parte I

1. Introduccin

En apenas cincuenta aos el control automtico ha irrumpido como una disciplina pu-

jante y de gran inters no slo cientfico y tecnolgico, sino tambin econmico. Los

sistemas de control automtico, que tienen sus orgenes en la ms remota antigedad,

han sustentado su desarrollo en las matemticas aplicadas y se estn convirtiendo, de

manera cada vez ms acentuada, en componentes esenciales y crticos de cualquier sis-tema dinmico, incluso en campos diferentes de los tradicionales en ingeniera.

Dentro del control automtico, se puede hablar de control clsico y control moderno o

avanzado. La teora de control clsico basa sus desarrollos en modelos de en el dominio

frecuancial, mientras que la teora de control avanzado lo hace en representaciones de

espacio de estado (dominio temporal), que son modelos matemticos de sistemas fsicos

que relaciona conjuntos de variables de entrada, salida y estados del sistema por medio

de ecuaciones diferenciales de primer orden. Para dar cuenta de sistemas con mltiplesentradas y salidas, las variables se expresan en forma vectorial, de modo que las ecua-

ciones diferenciales toman una forma matricial-vectorial.

Dentro de las representaciones en espacio de estado, existen dos clasificaciones im-

portantes, de acuerdo con los tipos de sistemas que se quieren modelar, y de acuerdo a

la naturaleza de la variable tiempo1. Por un lado se tienen sistemas lineales y no linea-

les; por otro, sistemas en tiempo continuo o en tiempo discreto. Dada su importancia

terica y conceptual, la primera parte de este curso estar destinada a presentar y anali-zar conceptos relacionados con sistemas tanto lineales como no lineales, de tiempo con-

tinuo como de tiempo discreto. No obstante, el inters principal estar puesto siempre

en los sistemas lineales de tiempo discreto (a la cual estar dedicada la segunda parte

del curso con exclusividad), dado que es ste el enfoque de ms utilidad para el control

industrial.

1Tambin se podra incluir aqu la clasificacin de acuerdo a la variabilidad de los parmetros del modelorespecto del tiempo. As, se tienen sistemas variantes e invariantes en el tiempo.



1.1. Teora de control avanzado versus teora de control conven-

cional

En esta seccin se expondrn las diferencias entre el control clsico, basado en el uso

de funciones de transferencias, y el control avanzado, basado en el uso de espacio de

estado. Una diferencia entre la teora de control moderna (o control avanzado) y la teo-

ra de control convencional es que la primera es aplicable a sistemas de mltiples entra-

das y mltiples salidas (MIMO), que pueden a su vez ser lineales o no-lineales, varian-

tes o invariantes en el tiempo, mientras que la ltima es aplicable slo a sistemas linea-

les, invariantes en el tiempo, y con una sola entrada y una sola salida (SISO). Adems,

la teora de control avanzado es esencialmente un abordaje en el dominio temporal,

mientras que la teora convencional lo es en el poco intuitivo dominio de las frecuen-

cias.

Para contrastar de un modo claro los campos de accin de cada uno de estos aborda-

jes, considrese la Tabla 1.1:

Teora de control conven-

cional

Teora de control avan-

zado

Tipos de sistema conside-

rados

Lineales, invariantes en el

tiempo y SISO

Lineales o No-lineales,

variantes o invariantes en

el tiempo, MIMO

Dominio de trabajo Dominio de las frecuencias Dominio temporal

Entradas

Slo funciones especficasde entrada: funciones im-

pulso, escaln, sinusoida-

les, etc.

Permite el uso de una seriede entradas arbitrarias en

lugar de funciones espec-

ficas

Condiciones inicialesNo permite tener en cuenta

las condiciones iniciales

Permite tener en cuenta las

condiciones iniciales

Diseo de sistemas de Basados en mtodos de Permiten el diseo de sis-


3/73



control prueba y error, que no

permiten sistemas de con-

trol ptimo

temas de control ptimo,

respecto de determinados

ndices de desempeo

MorfologaRelacin polinmica entra-

da-salida

n-ecuaciones diferenciales

de primer orden, para sis-

temas descriptos por ecua-

ciones diferenciales de

orden n(ordenacin matri-

cial)

Descripcin del sistemaDescripcin externa del

sistema

Descripcin interna del

sistema

Tabla 1.1. Comparacin entre la teora de control convencional y la teora de control

avanzado.

1.2. Conceptos fundamentales

El matemtico francs Pierre Simn de Laplace (1749-1827) afirmaba, categrico,

que si se conociera la velocidad y la posicin de todas las partculas del Universo en un

instante dado, entonces se podra predecir su pasado y futuro para el resto de los siglos.

Lo deca con estas elocuentes palabras:

Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la

causa de su futuro. Se podra condensar un intelecto que en cualquier momento dado

sabra todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la

componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al

anlisis, podra condensar en una simple frmula de movimiento de los grandes cuer-

pos del universo y del tomo ms ligero; para tal intelecto nada podra ser incierto y

el futuro as como el pasado estaran frente sus ojos.

Existen, claro est, dificultades obvias para satisfacer la propuesta de Laplace, pero

por ms de cien aos su afirmacin pareci correcta y, ms an, la aplicacin literal de

esos conceptos al comportamiento humano condujo a la conclusin filosfica de que el



libre albedro no exista, ya que todo estaba determinado. Se podra decir, sin temor a

exagerar, que las ideas que subyacen a la teora de espacio de estado son la materializa-

cin de las ideas de Laplace, aplicadas no ya al vasto y esquivo universo, sino a modes-

tas porciones de ste, como lo son los sistemas dinmicos.

Algunos conceptos fundamentales con los que se trabajar en los sucesivos captulos

son los siguientes:

Estado. Es el conjunto mnimo de variables (llamadas variables de estado) tales que

su conocimiento en un instante 0t t= , junto con el conocimiento de la entrada para 0t t ,

determina completamente el comportamiento del sistema para todo tiempo 0t t . De

este modo, el estado de un sistema dinmico en el tiempo tqueda unvocamente deter-

minado por el estado al tiempo t0y la entrada para 0t t , y es independiente de los esta-

dos y entradas anteriores al tiempot0.

El concepto de estado no est limitado a sistemas fsicos; tambin es aplicable a sis-

temas biolgicos, sistemas econmicos, sistemas sociales y otros.

Variable de Estado. Es el conjunto ms pequeo de variables

( ( ) ( ) ( )1 2, , , nx t x t x t ) que determinan el estado del sistema dinmico. Ntese que lasvariables de estado no necesitan ser cantidades fsicamente medibles u observables, si

bien es deseable que lo sean, segn ciertas condiciones de diseo de controladores.

Vector de Estado. Si ( ) ( ) ( )1 2, , , nx t x t x t son las nvariables de estado que descri-

ben completamente el comportamiento dinmico del sistema, entonces dichas nvaria-

bles de estado son las n componentes del vector de estado ( )x t .

Estas variables de estado se representan en un vector denominado vector de estado,por lo tanto un vector de estado es aquel que determina de manera unvoca el estado del

sistema ( )x t para cualquier tiempo 0t t , una vez que se obtiene el estado en 0t t= y se

especifica la entrada ( )u t para 0t t .

Espacio de Estado. Es el espacio de ndimensiones, cuyos ejes estn formados por

los nejes que forman las nvariables de estado necesarias para describir completamente

el comportamiento dinmico del sistema.


4/73



Ntese que en el anlisis en el espacio de estado se habla de tres tipos de variables,

variables de entrada, de salida y de estado.


5/73



2. Representacin de sistemas en espacio de estado

2.1. Representacin en espacio de estado de sistemas lineales en

tiempo continuo.

Un sistema dinmico formado por un nmero finito de elementos puede ser descrito

por una ecuacin diferencial ordinaria en la cual el tiempo es la variable independiente.

Por medio del uso de una notacin vectorial-matricial, una ecuacin diferencial de or-

den npuede ser representada por una nica ecuacin vectorial-matricial de primer or-den. Si los n elementos de un vector representan un conjunto de variables de estado,

entonces la ecuacin diferencial vectorial-matricial se llama ecuacin de estado. Se pre-

sentarn a continuacin algunos mtodos para obtener representaciones en espacio de

estado de sistemas en tiempo continuo.

2.1.1. Representacin en espacio de estado de sistemas de ecuaciones di-

ferenciales lineales de orden n.

Considrese un sistema lineal SISO descrito por la siguiente ecuacin diferencial de

orden n:

( ) ( )1

1 1

n n

n ny a y a y a y u

+ + + + = (2.1)

Tomando en cuenta que el conocimiento de ( ) ( )( )

( )1

0 , 0 , , 0n

y y y

, junto con el co-

nocimiento de la entrada para 0t t , determina completamente el comportamiento del

sistema en el futuro, se pueden tomar las variables ( ) ( )( )

( )1

, , ,n

y t y t y t

como un con-

junto de nvariables de estado.

Defnase



1

2

1

.n

n

x y

x y

x y

=

=

=

Luego, la Ec.(2.1) puede ser escrita como

1 2

2 3

1 1 ,n n n

x x

x x

x a x a x u

=

=

= +

o

x Ax Bu= + , (2.2)

donde

( )

1

21

1

1 2 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

, , .

0 0 0 1 0

1

n n n n

n

n n n n

x

x

x vector de estado A B

x

x a a a a

= = =

La ecuacin de salida queda finalmente

y Cx= , (2.3)

donde

yes la salida del sistema, y [ ] 11 0 0 nC = .

Una representacin en diagrama de bloques de las ecuaciones mostradas puede verse

en la Figura 2.1. Para dar generalidad a la representacin se ha agregado un trmino a la

ecuacin de salida, esto es, y Cx Du= + . La matriz Dvincula la salida instantnea con

la entrada


6/73



Figura 2.1. Representacin en diagrama de bloques de las Ec. (2.2) y (2.3)

Ejemplo:

A partir del sistema definido por: 6 11 6 6y y y y u+ + + = , obtngase una representa-

cin en espacio de estado.

2.1.2. No unicidad del conjunto de variables de estado

El conjunto de variables de estado que representa a un dado sistema no es nico. Su-

pngase que 1 2, , , nx x x es un conjunto de variables de estado. Entonces, puede consi-

derarse otro conjunto de variables de estado a cualquier conjunto de funciones,

( )

( )

( )

1 1 1 2

2 2 1 2

1 1 2

, , ,

, , ,

, , , ,

n

n

n n n

x X x x x

x X x x x

x X x x x

=

=

=

siempre que, a cada conjunto de valores 1 2 , , , nx x x corresponda un nico conjunto de

valores 1 2, , , nx x x , y viceversa. De este modo, sixes un vector de estado, entonces x ,

con x Px= , es tambin un vector de estado, siempre que la matriz Psea no singular.

Vectores de estado diferentes llevan consigo la misma informacin relacionada al com-

portamiento del sistema.

B

A

D

C



2.1.3. Solucin de la ecuacin de estado lineal invariante en el tiempo

Solucin de la ecuacin de estado homognea. Considrese la ecuacin diferencial

vectorial-matricial

x Ax= (2.4)

donde ,n n nx A .

Se supondr ahora una solucin ( )x t de la forma

( ) 20 1 2k

kx t b b t b t b t= + + + + + , (2.5)

donde tanto ( )x t como los coeficientes , 1,2,ib i= son vectores. Sustituyendo la

supuesta solucin (2.5) en la Ec. (2.4) se obtiene

( )2 1 21 2 3 0 1 22 3 k kk kb b t b t kb t A b b t b t b t + + + + + = + + + + + . (2.6)

Ahora bien, si esta solucin supuesta es la verdadera solucin, entonces la Ec (2.6) debe

cumplirse para cualquier t. De este modo, igualando coeficientes de igual potencia en t,

se obtiene

1 0

22 1 0

33 2 0

0

1 1

2 21 1

3 2 3

1.

!k

k

b Ab

b Ab A b

b Ab A b

b A bk

=

= =

= =

=

El valor de 0b se determina al sustituir 0t= en la Ec (2.5), esto es, ( ) 00x b= . De este

modo, la solucin ( )x t se puede escribir como

( ) ( )

( )

2 21 1 02! !

0 .

k k

At

x t I At A t A t xk

e x

= + + + + +

=


7/73



Ntese que la expresin entre parntesis es precisamente la definicin de la matriz

exponencial At n ne . Dado que la matriz exponencial es de uso frecuente en el anli-

sis de sistemas lineales en el espacio de estado, se examinarn a continuacin sus pro-

piedades.

Solucin de la ecuacin de estado no homognea. Considrese ahora la ecuacin

diferencial vectorial-matricial no homognea

x Ax Bu= + (2.7)

donde , , ,n nu n n n nux u A B .

Reescribiendo (2.7) como

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t = ,

y pre-multiplicando por At n ne ambos lados de la ecuacin, se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )At At Atd

e x t Ax t e x t e Bu t dt

= = .2

Integrando ahora la ecuacin anterior entre 0 y t, se obtiene

( ) ( ) ( )0

0tAt Ae x t x e Bu d = + ,

o

( ) ( ) ( ) ( )0

0t A tAt

x t e x e Bu d

= + ,

que puede ser reescrita como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0t

x t t x t Bu d = +

, (2.8)

con ( ) Att e = ( ( )t es la Matriz de transicin de estado o avance).

2En general es ( ) ( ) ( )0

0t

f t f f d = + , con ( ) ( )Atf t e x t= y 0e I= ).



La Ec. (2.8) es la solucin de la Ec (2.7), y en ella puede verse la suma de un trmino

que representa la transicin del estado inicial y un trmino que da cuenta de la accin de

la entrada.

2.2. Representacin en espacio de estado de sistemas lineales en

tiempo discreto

Una forma general de representar en espacio de estado un sistema lineal en tiempo

discreto, variante en el tiempo (LTV), es la siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x k A k x k B k u k+ = + (2.9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y k C k x k D k u k= + ,

donde ( ) nx k es el vector de estado, ( ) nyy k es el vector de salida del sistema,

( ) nuu k es el vector de entrada, y ( ) ( ), ,n n n nuA k B k

( ) ( ),ny n ny nuC k D k son matrices variantes en el tiempo (que no deben con-

fundirse con las utilizadas para los sistemas en tiempo continuo). En el caso de sistemas

lineales invariantes en el tiempo (LTI), estas matrices son constantes, lo que quedar

evidenciado escribiendo

( ) ( ) ( )1x k Ax k Bu k+ = + (2.10)

( ) ( ) ( )y k Cx k Du k= + .

En la Figura 2.2 se muestra la representacin en diagrama de bloques de las Ec. (2.9).

2.2.1. Formas cannicas para ecuaciones en el espacio de estado en

tiempo discreto.

Considrese un sistema SISO en tiempo discreto descrito por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 11 1n ny k a y k a y k n b u k b u k b u k n+ + + = + + + ,

donde algunos de los coeficientes , 1,2, ,i

a i n= y , 1,2, ,ib i n= pueden ser nulos.

Esta ecuacin puede ser escrita en la forma de una funcin de transferencia, como sigue:


8/73



( )

( )

10 1

111

n

n

n

n

Y z b b z b z

U z a z a z

+ + +=

+ + +

. (2.11)

Existen numerosas representaciones en espacio de estado particulares que se conocen

como formas cannicas. Alguna de ellas son: Forma cannica controlable, Forma can-

nica observable, Forma cannica diagonal, Forma cannica de Jordan. A continuacin

se mostrarn la primera y la ltima.

Figura 2.2. Representacin en diagrama de bloques de la Ec. (2.10).

Forma cannica controlable:

( )

( )

( )( )( )

( )

( )

( )( )( )

( )

1 1

2 2

1 1

1 2 1

1

1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 1n n

n n n n n

BAx k x k

x k x k

x k x k

u k

x k x k

x k a a a a x k

+

+ + = +

+ +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( )( )

( )

1

2

0 1 1 0 1 1 0 0

1

n n n n

DCn

n

x k

x k

x k

y k b a b b a b b a b b u k

x k

x k

= +

.

La denominacin controlable, refiere a una propiedad de los sistemas representados

en espacio de estado que se estudiar en prximas secciones.

B k

A k

D k

C k



Forma cannica de Jordan:

Si la funcin transferencia dada por la Ec (2.11) incluye un polo mltiple de orden m

en 1z p= , y todos los dems polos son distintos, entonces la ecuacin de estado y de

salida puede ser escrita como sigue

( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

1 1 1

2 1 2

1

1 1 1

1

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

m m

m m m

n n n

Ax k

x k p x k

x k p x k

x k p x k

x k p x k

x k p x k

+ + +

+

+ +

+ = +

+

( )

( )

0

0

1

1

1Bx k

u k

+

( ) [ ]

( )( )

( )

( )

( )

( )

1

2

1 2 0

1

n

DCn

n

x k

x k

x k

y k c c c b u k

x k

x k

= +

,

donde , 1,2, ,ic i n= son coeficientes provenientes de la expansin en fracciones par-

ciales de la transferencia original. Para ver las deducciones de stas y otras representa-

ciones cannicas, se remite al lector a Ogata K., 1996.

2.2.2. Controlabilidad y alcanzabilidad de sistemas lineales en tiempo

discreto

En esta seccin dar respuesta a la siguiente pregunta: es siempre posible llevar un

sistema de un dado estado inicial a otro cualquiera?

Considrese un sistema LTI discreto, de orden n, bajo la representacin de estados

( ) ( ) ( )1x k Ax k Bu k+ = + (2.12)

( ) ( ) ( )y k Cx k Du k= + ,


9/73



y supngase un estado inicial ( )0x dado.

Definicin de controlabilidad.El sistema discreto (2.12) es de estado completamen-

te controlable, si existe una secuencia de controles, ( )u k , tal que el origen ( 0x= ) pue-de ser alcanzado a partir de cualquier estado inicial en un tiempo finito.

Definicin de alcanzabilidad.El sistema discreto (2.12) es alcanzable, si existe una

secuencia de controles, ( )u k , tal que un estado arbitrario puede ser alcanzado a partir

de cualquier estado inicial en un tiempo finito.

Ntese que controlabilidad no implica alcanzabilidad, lo que puede inferirse de

(2.12). Si ( )0 0n

A x = , entonces el origen ser alcanzable con la entrada nula, ( ) 0u k = ,pero el sistema no es necesariamente alcanzable. Los conceptos de controlabilidad y

alcanzabilidad son equivalentes cuando la matrizAes invertible.

A partir de las definiciones anteriores resulta sencillo probar el siguiente teorema.

Teorema 1.1.El sistema de discreto (2.12) es alcanzable si y slo si ( )crango W n= ,

donde 1ncW B AB A B = es la matriz de controlabilidad de estados del siste-

ma.

Prueba. El estado en el instante n(orden del sistema) vendr dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

10 0 2 1

0 ,

n n

n

c

x n A x A Bu ABu n Bu n

A x W U

= + + + +

= +

(2.13)

donde

1n

c

W B AB A B =

,

( ) ( ) ( )1 2 0T T TU u n u n u = .

Por lo tanto si el rango de la matriz es n, entonces, para un estado final arbitrario,

( )x n , existir una secuencia controles no acotadas, U, capaz de llevar el sistema desde

el estado inicial, ( )0x , hasta el estado final. Ntese que esta solucin puede no ser ni-

ca.



Ejemplos:

1) Sea el sistema ( ) ( ) ( )1 0 1

10 1 1

x k x k u k

+ = +

. Este sistema no es alcanzable,

dado que la matriz de conrtolabilidad1 1

1 1cW

=

, tiene rango=1, mientras que el sis-

tema es de orden 2. Los estados alcanzables a partir del origen son aquellos que se pue-

den obtener de la combinacin lineal de columnas de Wc.

2) Sea el sistema ( ) ( ) ( )1 1 1

10.25 0 0.5

x k x k u k

+ = + , y ( )

20

2x

=

. Es po-

sible encontrar una secuencia de controles tales que ( ) 0.521

x =

?

De (2.12) se tiene que

( ) ( ) ( ) ( )22 0 0 1x A x ABu Bu= + + , esto es

( ) ( )

( ) ( )

0.5 0 14

0.25 0 0.5 12

u u

u u

+ =

.

Las dos ecuaciones que propone la igualdad anterior, son linealmente dependientes.

Por lo tanto, no existe una nica solucin. Una posible secuencia de controles que lleva

el sistema de2

2x

=

a

0.5

1x

=

en dos pasos es la dada por: ( )0 2u = , ( )1 3u = .

Sin embargo, si ahora se desea llevar el sistema a0.5

1x

=

, se tiene

( ) ( )( ) ( )

0.5 0 130.25 0 0.5 12

u uu u

+ = ,

que no tiene solucin. La razn de esto es que el sistema no es alcanzable, como se pue-

de comprobar al calcular el rango de su matriz de controlabilidad,

( )1 0.5

10.5 0.25c

rango W rango

= = .

Dicho rango es menor al orden del sistema, que es 2.


10/73



3) Sea el sistema ( ) ( ) ( )0.5 0 0.8

10 0.7 1

x k x k u k

+ = +

, y ( )0

00

x

=

. Es posi-

ble encontrar una secuencia de controles tales que ( )

1

2 1x

=

? De ser posible hacerlo,

es posible permanecer en dicho estado un instante de tiempo ms (esto es,

( ) ( )3 2x x= )?

Al ser

( )0.8 0.4

21 0.7c

rango W rango n

= = =

,

el sistema es alcanzable. Por tanto, utilizando la secuencia de controles ( )0 11.2500u = ,

( )1 -6.8750u = es posible alcanzar el estado deseado en dos pasos: el primero lleva el

sistema a ( )9

111.25

x

=

; el segundo, a ( )1

21

x

=

. En la Figura 2.3 se puede ver un

diagrama de fase de la evolucin del sistema. Ahora bien, una vez all, si se quiere dejar

el sistema en el mismo estado, implementando un nuevo control, ( )3u , se tiene

( ) ( ) ( ) ( )0.5 0 0.8

3 2 2 20 0.7 1

x x x u

= = +

, o bien

( ) ( )0.5 0 0.8

2 20 0.3 1

x u

=

,

y no existe ningn control ( )2u que satisfaga esa condicin. Esto se debe a que el sis-

tema tiene una determinada dinmica, que hace imposible dejarlo, en un paso, en el es-

tado deseado. Ntese que es posible llevar el sistema desde el origen a1

1x

=

en tres

pasos; una forma trivial de lograr esto, es aplicar el control nulo 0u= en el primer pa-

so, y despus repetir la secuencia calculada en la primera parte del ejercicio.



-2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

x1

x2

Figura 2.3. Diagrama de fases del Ejemplo 3).

Considrese ahora el caso de un cambio de variables del tipo x Px= , donde Pes una

matriz no singular. En las nuevas coordenadas se tiene la siguiente matriz de controlabi-

lidad:

1 nc

W B AB A B = ,

donde las matrices A y B son las matrices del espacio de estado transformado (segnse ver oportunamente, estas matrices son 1A PAP= y B PB= ). La matriz cW puede

ser escrita en trminos de las matrices originales como sigue:

1 1 1 nc c

W PB PAP PB PA P PB PW = = .

Por lo tanto, cW y cW tendrn el mismo rango, lo que significa que la alcanzabilidad

es una propiedad inherente al sistema, y no depende de las coordenadas.

2.2.3. Observabilidad de sistemas lineales en tiempo discreto

En esta seccin dar respuesta a la siguiente pregunta: cmo determinar el estado de

un sistema a partir de la observacin de las entradas y salidas? Ms concretamente, la

observabilidad de un sistema indica si es posible obtener el vector de variables de esta-

do (no medibles en forma directa) a partir de las mediciones de la salida. Esto ltimo es

de suma utilidad para implementar controles con realimentacin de estados.

( )0x( )2x

( )1x


11/73



Considrese un sistema LTI discreto, de orden n, como el dado por (2.12).

Observabilidad.El sistema dado por (2.12) es observable si existe un kfinito tal que

el conocimiento de las entradas ( ) ( ) ( )0 , 1 , , 1 ,u u u k y las salidas

( ) ( ) ( )0 , 1 , , 1 ,y y y k es suficiente para determinar el estado inicial del sistema.

Teorema 1.2. El sistema de tiempo discreto (2.12) es observable si y slo si

( )orango W n= , donde ( ) ( ) ( )1T

TT T n

oW C CA CA =

es la matriz de observabi-

lidad del sistema. De no cumplirse esa condicin, se dice que los estados ( )0x tales que

( ) ( )0 ox null W3, son estados no observables.

Prueba. Para simplificar la explicacin, se supondr que ( ) 0u k = , para todo k, y que

( ) ( ) ( )0 , 1 , , 1y y y n , con n=orden del sistema, son conocidos. As, se puede escribir

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

0 0

1 1 0

1 0 ,n

y Cx

y Cx CAx

y n CA x

=

= =

=

o,

( )0oW x Y= ,

donde

1

o

n

C

CAW

CA

=

,

( )( )

( )

0

1

1

y

yY

y n

=

.

Por lo tanto, el estado ( )0x quedar determinado s y slo si ( )orango W n= .

Al igual que ocurre con la alcanzabilidad, la observabilidad es una propiedad del sis-

tema, y por lo tanto es independiente del sistemas de coordenadas utilizado.

3 ( )onull W refiere al espacio nulo de la matriz Wo.



Ejemplo:

1) Sea el sistema autnomo (sin entradas)

( ) ( )

( ) [ ] ( )

1.1 0.311 0

1 0.5

x k x k

y k x k

+ =

=

.

La matriz de observabilidad es1 0.5

0.6 0.3oC

WCA

= =

, y su rango es 1 mientras que

el sistema es de orden 2. De este modo, los estados no observables pertenecen al espacio

nulo de Wo, esto es, [ ]0.5 1 . En la Figura 2.4 se muestran las salidas correspondientes

a los siguientes estados iniciales: ( ) [ ]0 0.5 1T

x = , ( ) [ ]0 1.5 0.5T

x = ,

( ) [ ]0 2.5 0T

x = y ( ) [ ]0 1 0.5T

x = .

0 2 4 6 8 10 12 14

0

0.5

1

1.5

k

y

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

k

y

0 2 4 6 8 10 12 140

0.5

1

1.5

2

2.5

k

y

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

k

y

Figura 2.4. Salidas del sistema correspondientes a diferentes estados iniciales

( ) [ ]0 0.5 1T

x =

( ) [ ]0 1 0.5T

x = ( ) [ ]0 2.5 0Tx =

( ) [ ]0 1.5 0.5T

x =


12/73



2.2.4. Observadores de estado

En los sistemas no siempre es posible medir directamente los estados. Normalmente

se dispone slo de un modelo matemtico del sistema y de las entradas y salidas. Exis-ten diferentes formar de lograr una estimacin de los estados a partir de las variables

conocidas, utilizando lo que se conoce como observadores de estado. A continuacin, se

expondrn algunas de ellas.

Observador clsico o de prediccin

Considrese nuevamente un sistema LTI discreto, de orden n, como el dado por

(2.12).

( ) ( ) ( )1x k Ax k Bu k+ = + (2.12)

( ) ( ) ( )y k Cx k Du k= + ,

Como se desea estimar el estado ( )x k a partir de la secuencia de las entradas

( ) ( ), 1 ,u k u k y salidas ( ) ( ), 1 ,y k y k , el sistema debe ser completamente ob-

servable. La ecuacin del observador es una copia del modelo con realimentacin de ladiferencia entre la salida medida proveniente de la planta real y la salida estimada segn

el modelo. La Figura 2.5 muestra el esquema general del observador.

+-

B z-1

A

Cu(k) y(k)

B z-1

A

C

( ) ( ) y k Cx k=

L

Planta

x(k)

( ) 1x k+( )x k

+

+

Observador

Figura 2.5. Esquema general del observador de prediccin.



La ecuacin de estado del Observador es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x k Ax k Bu k L y k y k+ = + + (2.14)

( ) ( ) y k Cx k=

Ntese que si ( ) ( )0 0x x= , y dado que las matrices A, B, y C del observador son

exactamente las de la planta real, entonces se tiene: ( ) ( )x k x k= , y entonces las ecua-

ciones (2.12) y (2.14) son idnticas (no hay discrepancia entre el estado observado y el

real). De aqu se deduce el hecho, no siempre obvio, de que cuando la planta es igual al

modelo, el problema de necesitar un observador reside en que se desconoce ( )0x .

Si se arma un nuevo vector de estados que sea la diferencia (error) entre el estado es-

timado y el estado real, se tiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1e k A LC x k A LC x k

A LC e k

+ =

= (2.15)

De este modo, eligiendo adecuadamente los autovalores de (A-LC) se puede conse-

guir la convergencia de ( )x k a ( )x k con una velocidad arbitrariamente grande. Ntese

que siL=0, entonces ( )x k tiende a ( )x k con la misma velocidad del sistema. Esto es,

en el equilibrio (cuando ( ) ( )1x k x k+ = ) ambos estados, el real y el estimado, coincidi-

rn; pero fuera del equilibrio el estado estimado sigue al real sin alcanzarlo. Por otro

lado, el tomar 0L ayuda a corregir discrepancias entre las matrices AyBreales y las

respectivas matrices estimadas en el observador (notar que se considera planta igual a

modelo). Resumiendo, dependiendo de la matrizLde realimentacin del error de salida,

se conseguir un estimador dex(k) ms o menos aceptable.

Observador actualizado

Hasta aqu se ha considerado lo que se llama observador de prediccin, pues el estado

estimado al tiempo kusa la informacin de salida al tiempo k-1. Ntese que en (2.14) el

estado estimado al tiempo kno depende dey(k) sino dey(k-1). La idea ahora es aprove-

chary(k), que es conocida al tiempo k, para obtener el estimador del estado al tiempo k.

Para ello se divide la ecuacin del observador en dos partes:


13/73



Actualizacin de la medicin o correccin

( ) ( ) ( ) ( )( )

innovacion

aux

Cx kx k x k L y k y k

= +

(2.16)

Actualizacin temporal o prediccin4

( ) ( ) ( )1x k Ax k Bu k+ = + (2.17)

Adems de las anteriores actualizaciones, se tiene la ecuacin de salida

( ) ( )y k Cx k= (2.18)

En las ecuaciones anteriores, ( )x k es una estimacin (o pseudo estimacin) basada

en la prediccin hecha en el tiempo anterior, mientras que ( )x k es la estimacin basada

en la medicin de la salida ms reciente. Se presenta ahora un esquema (Figura 2.6) del

observador actualizado, en donde aparece explcito ( )x k , es decir, el estado estimado

que proporciona el observador al eventual controlador.

Es importante notar que la salida del observador es ( )x k , pues esa es la mejorestimacin del estado actual, y es lo que precisa MPC para hacer la prediccin.

Para analizar la convergencia del error de estimacin en el observador actualizado

(caso A, B y C conocidas), se define el error como

( ) ( ) ( )e k x k x k = (2.19)

o, lo que es igual,

( ) ( ) ( )1 1 1e k x k x k + = + + .

4Observaciones:1 - ( )x k , que es la estimacin dex(k) al tiempo k, depende dey(k).

2 - ( )x k es la pseudo estimacin dex(k), utilizandoy(k-1). Para ver esto, escrbase la actualizacin tem-

poral o prediccin en k: ( ) ( ) ( ) 1 1x k Ax k Bu k= + ; donde a su vez, ( ) 1x k proviene de la actualiza-

cin de la medicin ( ) ( ) 1 1x k x k = ( ) ( )1 1auxL y k y k+ .



Figura 2.6. Esquema general del observador actualizado.

Ahora bien, la ecuacin (2.16) desplazada un instante hacia delante es

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1auxx k x k L Cx k Cx k+ = + + + + .

Y, segn la actualizacin temporal (), ( ) ( ) ( )1x k Ax k Bu k+ = + , queda5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 1auxx k Ax k Bu k L Cx k C Ax k Bu k + = + + + + , (2.20)

que es una expresin slo de x .

Ahora, si se resta (2.20) de la primera ecuacin de (2.12) se tiene

( ) ( ) ( )1 auxe k Ae k L CAe k + = ,

o,

( ) ( ) ( )1 auxe k A L CA e k + =

donde se recuerda una vez ms el detalle de que se supone que A,By Cson perfecta-mente conocidas por el observador. En este caso, vemos que la velocidad de convergen-

cia del error de estimacin a cero vendr dada por la matriz ( )auxA L CA .

5Esta ecuacin es importante en el anlisis de eliminacin de offset de los controladores.


14/73



2.2.5. No unicidad de la representacin en el espacio de estado

Como se puede intuir de lo visto hasta ahora, una dada funcin de transferencia admi-

te ms de una representacin en espacio de estado. Sin embargo, todas las ecuaciones deestado correspondientes a un mismo sistema estn relacionadas entre s por medio de

una transformacin de similaridad.

Considrese el sistema definido por las Ec. (2.12). Si se define ahora un nuevo vector

de estado dado por x Px= , o, suponiendo que n nP es no singular, 1 x P x= , enton-

ces las Ec.(2.2) pueden ser escritas en trminos del nuevo vector de estado como sigue:

( ) ( ) ( )1 1 1P x k AP x k Bu k + = +

( ) ( ) ( )1 y k CP x k Du k= + .

Pre-multiplicando ahora ambos lados de esta ecuacin por P, y definiendo

1A PAP= , B PB= , C CP= y D D= se tiene finalmente

( ) ( ) ( ) 1x k Ax k Bu k+ = +

( ) ( ) ( ) y k Cx k Du k= + ,

que son ecuaciones de estado y salida equivalentes a las originales. (Ntese que si bien

los estados han cambiado, la entrada y la salida son los originales). La matriz Precibe el

nombre de matriz de transformacin, y es la que permite pasar de una representacin a

otra.

La matriz P, por ejemplo, podra escogerse de modo tal que

( )1 1 nA PAP diag p p= = , donde , 1,2, ,

ip i n= son los autovalores de la ma-

trizAoriginal (polos del sistema), si es que stos fueran distintos entre s. Si no lo fue-

ran, P podra escogerse de modo que 1A PAP= = matriz diagonal de Jordan, que es una

generalizacin del primer caso. Una importante propiedad de la transformacin lineal es

que cualquiera sea P, los elementos de la diagonal principal de la matriz 1PAP son

idnticos a los valores caractersticos de la matriz Aoriginal. Esto es, se mantiene la

invariancia de los valores caractersticos bajo una transformacin lineal de este tipo.



2.2.6. Solucin de la ecuacin de espacio de estado en tiempo discreto e

invariante en el tiempo

Considrense nuevamente las Ec. (2.12). La solucin a esta ecuacin puede obtenerserecursivamente como

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

1 0 0

2 1 1 0 0 1

3 2 2 0 0 1 2

x Ax Bu

x Ax Bu A x ABu Bu

x Ax Bu A x A Bu ABu Bu

= +

= + = + +

= + = + + +

Mediante la simple repeticin de este procedimiento se obtiene

( ) ( ) ( )1

1

0

0k

k k j

j

x k A x A Bu j

=

= + , 1,2,k= . (2.21)

Ntese que ( )x k est formada por dos partes, una que representa la transicin o

avance del estado inicial y otra que da cuenta de la accin de la entrada. La salida ( )y k

est dada por

( ) ( ) ( ) ( )1

1

0

0k

k k j

j

y k CA x C A Bu j Du k

=

= + + . (2.22)

De esta ltima ecuacin se puede inferir que la matriz de transicin de estado esta da-

da por ( ) kk A = .

Esta matriz es nica y satisface

( ) ( )1k A k + = , ( )0 I = .

En trminos de la matriz de transicin de estado, las Ec. (2.21) y (2.22) pueden res-

cribirse como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1

0

0 1

0 1

k

j

k

j

x k k x k j Bu j

k x j Bu k j

=

=

= +

= +

y


15/73



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

0

1

0

0 1

0 1 .

k

j

k

j

y k C k x C k j Bu j Du k

C k x C j Bu k j Du k

=

=

= + +

= + +

2.2.7. Discretizacin de una ecuacin de estado en tiempo continuo

Supngase que el vector de entrada cambia slo en los instantes de muestreo T, 2T,

, es decir ( ) ( )u t u kT = , kT t kT T + . La ecuacin de estado en tiempo continuo

est dada por

c cx A x B u= +

. (2.23)

La representacin en tiempo discreto de (2.23), por otro lado, tomar la forma

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x k T A T x kT B T u kT+ = + , (2.24)

donde queda evidenciada la dependencia de las matricesAyBdel intervalo de muestreo

T. Para determinar estas matrices se recurrir a la Ec. (2.8), que es la solucin de (2.24).

Tomando en cuenta que

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11 1

01 0c c c

k TA k T A k T A

cx k T e x e e B u d

++ + + = +

y

( ) ( ) ( )0

0c c ckT

A kT A kT A

cx kT e x e e B u d

= + ;

y multiplicando la ltima ecuacin por cA te y sustrayndola de la primera, se obtiene

( )( ) ( ) ( )

( )

( )11

1cc c

k TA k TA T A

ckTx k T e x kT e e B u d

++

+ = + . (2.25)Como ues constante en el intervalo de integracin, se puede escribir

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

1 c c c

c c

TA T A T A

c

TA T A

c

x k T e x kT e e B u kT dt

e x kT e B u kT d

+ = +

= +

con T t= . Si se define

( )cA TA T e=



( ) ( )0 cT

A t

cB T e dt B= ,

entonces la Ec. (2.25) se puede escribir como

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x k T A T x kT B T u kT+ = + ,

que no es otra que la forma buscada.

2.3. Representacin en espacio de estado de sistemas no lineales

Los sistemas fsicos son inherentemente no lineales. En el caso en que las no lineali-

dades son suaves y el rango de operacin es pequeo, los sistemas no lineales pueden

ser razonablemente aproximados por modelos lineales. Sin embargo, no siempre es po-

sible suponer estas condiciones, por lo que se torna imprescindible trabajar con modelos

ms precisos y complejos, que representen en todo el rango de operacin al sistema que

se pretende describir. En esta seccin se presentar brevemente la forma de modelar

sistemas no lineales con la representacin de espacio de estado. Para tal fin, se conside-

rarn sistemas dinmicos modelados por un nmero finito de ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer orden acopladas entre s, que sern representadas por

( ) ( ) ( )( ),x t f x t u t= , (2.26)

en su versin en tiempo continuo, y por

( ) ( ) ( )( )1 ,x k f x k u k+ = , (2.27)

en su versin en tiempo discreto. Por simplicidad se suponen sistemas invariantes en el

tiempo. Las ecuaciones (2.26) y (2.27) estn escritas, al igual que en el caso lineal, en

forma matricial vectorial. De este modo, se tiene quen

x es el vector de estados,nuu es el vector de entradas y : n nu nf es una funcin que va del espacio

compuesto por entradas y estados al espacio de los estados.

Por otro lado, la ecuacin de salida, tanto para sistemas en tiempo continuo como en

tiempo discreto, estar dado por

( ),y h x u= , (2.28)


16/73



con nyy . La Figura 2.7 muestra un diagrama de bloques de las Ec. (2.26) y (2.28).

Como puede intuirse de las ecuaciones presentadas, los modelos lineales presentados

en secciones anteriores constituyen un caso particular de modelo no lineal. As, las pro-

piedades que se expondrn en lo que sigue de esta primera parte estarn por lo general

referidas a sistemas de la forma (2.26) o (2.27), para dar generalidad a los conceptos.

Figura 2.7. Representacin en diagrama de bloques de las Ec. (2.26) y (2.28).

2.3.1. Linealizacin de modelos no lineales

Una aproximacin lineal al modelo no lineal presentado antes, en cercanas de un da-

do punto de operacin, ( ),ss ssx u , puede obtenerse segn

lin lin

x A x B u= + ,

para el caso de tiempo continuo, y segn

( ) ( ) ( )1 lin linx k A x k B u k+ = + ,

para el caso de tiempo discreto, donde

ssx x x= , ssu u u= , ( )

( ),

,ss ss

lin

x u

fA x u

x

=

, ( )

( ),

,ss ss

lin

x u

fB x u

u

=

.

2.4. Estados de equilibrio. Diagramas en el plano de fase

Primeramente se introducirn, siempre referidos al caso general de sistemas no linea-

les, los siguientes conceptos:

Sistema autnomo.Se llamar sistema autnomo al sistema (en general no lineal)

dado por



( ) ( )( ),x t f x t t= , (2.29)

con nx , y condiciones iniciales dadas por ( )0 0x t x= . La Ec. (2.29) representa un

sistema fsico en tiempo continuo, y tiene solucin nica. Para el caso de sistemas entiempo discreto, el sistema autnomo estar dado por

( ) ( )( )1 ,x k f x k k+ = , (2.30)

con nx , y condiciones iniciales dadas por ( )0 0x k x= .

Sistema no autnomo.Se llamar sistema no autnomo al sistema (en general no li-

neal) dado por

( ) ( ) ( )( ), ,x t f x t u t t= , (2.31)

con nx , nuu y condiciones iniciales ( )0 0x t x= , ( )0 0u t u= . La Ec. (2.31) repre-

senta un sistema fsico en tiempo continuo, y tiene ms de una solucin. Para el caso de

sistemas en tiempo discreto, el sistema no autnomo estar dado por

( ) ( ) ( )( )1 , ,x k f x k u k k+ = , (2.32)

con nx , nuu y condiciones iniciales ( )0 0x k x= , ( )0 0u k u= .

Ntese que un sistema no autnomo con realimentacin de estado, esto es, un sistema

en el que la entrada est expresada en funcin del estado, ( )u g x= , puede ser conside-

rado un sistema autnomo, puesto que

( ) ( )( ) ( ), , , , ,x f x u t f x g x t f x t= = =

para un sistema en tiempo continuo, o

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )1 , , , , ,x k f x k u k k f x k g u k k f x k k+ = = =

para uno en tiempo discreto.

Estado o punto de equilibrio.Sea un sistema autnomo en tiempo continuo como el

descrito por (2.29). Un estado ex que cumple con

( ) 0, 0

e

f x t t t= ,


17/73



se denomina estado o punto de equilibrio (PE) del sistema en tiempo continuo.

Sea ahora un sistema autnomo en tiempo discreto como el descrito por (2.30). Un

estadoe

x que cumple con

( ) 0,e ef x k x k k= ,

se denomina estado o punto de equilibrio (PE) del sistema en tiempo discreto.

Observaciones (Caso tiempo continuo):

1) En el estado de equilibrio, si ( )0 ex t x= , entonces ( ) 0,ex t x t t= .

2) Para el caso de sistemas no-autnomos, se habla de un estadoe

x y una entradae

u

de equilibrio, que cumplen con

( ) 0, , 0e ef x u t t t= .

3) Para los sistemas LTI autnomos, ( ),f x t Ax= , si A es no singular, entonces el

sistema tiene un nico estado de equilibrio, 0x= , mientras que siA es singular enton-

ces existirn infinitos estados de equilibrio.

4) Para los sistemas LTI no autnomos, ( ), ,f x u t Ax Bu= + , siA es no singular, en-

tonces existen infinitos estados de equilibrios 1e ex A Bu= . Estos estados de equilibrio,

que se asocian con entradas de equilibrio, no necesariamente cubren todo el espacio de

estado.

5) Los sistemas no lineales en tiempo continuo pueden tener ms de un estado de

equilibrio.

Observaciones (Caso tiempo discreto):

1) En el estado de equilibrio, si ( )0 ex k x= , entonces ( ) 0,ex k x k k= .

2) Para el caso de sistemas no-autnomos, se habla de un estado ex y una entrada eu

de equilibrio, que cumplen con

( ) 0, ,e e ef x u k x k k= .



3) Para los sistemas LTI autnomos, ( ),f x k Ax= , si A es no singular, entonces el

sistema tiene un nico estado de equilibrio, 0x= , mientras que siA es singular enton-

ces existirn infinitos estados de equilibrio.

4) Para los sistemas LTI no autnomos, ( ), ,f x u k Ax Bu= + , siA es no singular, en-

tonces existen infinitos estados de equilibrios que cumplen e e ex Ax Bu= + , o

( )1

e ex I A Bu

= . Estos estados de equilibrio, que se asocian con entradas de equili-

brio, no necesariamente cubren todo el espacio de estado.

5) Los sistemas no lineales en tiempo discreto pueden tener ms de un estado de equi-

librio.Diagramas en el plano de fase

Los planos de fase fueron usados al principio por los ingenieros para estudiar estabi-

lidad de sistemas no lineales. Tienen sentido usarlos cuando se estudia sistemas de se-

gundo orden ya que consiste en una representacin grfica dex2vs.x1. Tambin, es po-

sible una extensin a sistemas de tercer orden donde se puede graficar las trayectorias

en el espacio.

Trayectoria de estado.Dado un sistema como el descrito por (2.29) o (2.30), y una

condicin inicial ( )0 0x t x= , o ( )0 0x k x= , se define como trayectoria de estado a la

grfica (en el espacio de estado) de la solucin de la ecuacin de estado.

Plano de Fase. Se define plano de fase al sistema de coordenadas cuyos ejes son las

variables de estado.

Diagrama o retrato de Fase. Se define como diagrama o retrato de fase a la

representacin grfica paramtrica de las distintas trayectorias de estado.

Ejemplo:

1) Considere el sistema mecnico lineal de segundo orden dado por

( ) ( ) ( )22 0x t kx t n x t+ + = . A partir de este sistema se obtiene la siguiente representa-

cin de estado 1 1 122 2 2

0 1

2

x x xA

x x xn k

= =

.


18/73



Dependiendo de los valores adoptados para ny k, se tienen los valores de la matriz A

mostrados en la Tabla 2.1.

n k MatrizA Autovalores deA

Caso (1) 2 00 1

4 0A

=

1 2j = , 2 2j =

Caso (2) 2 10 1

4 2A

=

1 1 3j = + , 1 1 3j =

Caso (3) 2 2.5

0 1

4 5A

= 1 1 = , 1 4 =

Tabla 2.1. Diferentes casos segn se varen los parmetros ny k.

Las Figuras 2.8 a 2.10 muestran las respuestas temporales de cada estado cuando

0

3

3x

=

, y el diagrama de fase correspondiente a las trayectorias de estado originadas

para las condiciones iniciales 03

3x

= , 04

4x

= , 02

2x

= y 05

5x

= .

Figura 2.8.a) Respuesta temporal de los estados, y b) diagrama de fase para el caso (1).

a) b)



Figura 2.9.a) Respuesta temporal de los estados, y b) Diagrama de fase para el caso (2).

Figura 2.10.a) Respuesta temporal de los estados, y b) Diagrama de fase para el caso

(3).

2.5. Rutinas de Matlab relacionadas al captulo

[ ] ( )A,B,C,D = num,dentf2ss , transforma ( ) ( )

( )

num s

H s den s= en

x Ax Bu

y Cx

= +

=

.

[ ] [ ]( )num,den = A,B,C,D,nuss2tf , transformax Ax Bu

y Cx

= +

=

, con nuu , en

( ) ( )

( )

num sH s

den s= .

a) b)

a) b)


19/73



sysd= (sysc,T)c2d , transforma el sistema continuo sysc, en el sistema discreto sysd,

con tiempo de muestreo T. El sistema sysc puede estar expresado en cualquiera de las

formas aceptadas por Matlab, esto es, funcin de transferencia en sus diferentes formas,

espacio de estado, etc.

2.6. Referencias bibliogrficas

Gonzlez A. H., Control Predictivo de Procesos Industriales con Restricciones. Anlisis

de Estabilidad y Robustez. Tesis Doctoral, Facultad de Ingeniera en recursos Hdri-

cos Universidad Nacional del Litoral, 2006.

Ogata, K., Sistemas de control en tiempo discreto, Prentice Hall, 1996.


20/73



3. Concepto de estabilidad de Liapunov.

El anlisis de estabilidad de Liapunov juega un papel importante en el anlisis de es-

tabilidad de los sistemas descritos por ecuaciones en espacio de estado. En general, y a

diferencia de lo que ocurre con los mtodos clsicos (ubicacin de polos en el dominio

de frecuencias, etc), el mtodo de Liapunov no requiere de las soluciones explcitas de

las ecuaciones diferenciales o en diferencias, por lo que resulta de mucha utilidad en la

prctica. De la teora de la mecnica clsica se sabe que un sistema vibratorio es estable

si su energa total se reduce continuamente, hasta alcanzar un estado de equilibrio. El

mtodo de Liapunov se basa en una generalizacin de lo anterior: si un sistema cual-

quiera tiene un estado de equilibrio asintticamente estable, entonces existe una funcin

escalar (una funcin ficticia de energa que se conoce como funcin de Liapunov) que

se decrementa al aumentar el tiempo, hasta que por ltimo adopta un valor mnimo en el

estado de equilibrio.

Un punto de equilibrio se dice estable si todas las soluciones de la ecuacin de estado

que se inicien en las cercanas del punto de equilibrio permanecen en las cercanas del

punto de equilibrio; de otro modo el punto de equilibrio es inestable. Un punto de equi-

librio se dice asintticamente estable si todas las soluciones que se inicien en las cerca-

nas del punto de equilibrio no slo permanecen en las cercanas del punto de equilibrio,

sino que adems tienden hacia el equilibrio a medida que el tiempo se aproxima a infini-

to. Los teoremas de estabilidad de Liapunov dan condiciones suficientes para estabili-

dad de puntos de equilibrio. Existen teoremas conversos que establecen que, al menos

conceptualmente, en los teoremas de Liapunov muchas de estas condiciones son tam-

bin necesarias.

A continuacin se darn algunas definiciones, para luego pasar al anlisis de estabili-

dad propiamente dicho.

Funcin escalar definida positiva.Una funcin escalar ( ) : nV x es definida

positiva en una regin (que incluye al origen del espacio de estado) si ( ) 0V x > para

todo estado 0x de la regin , y adems ( )0 0V = .



Funcin escalar definida negativa.Una funcin escalar ( )V x es definida negativa

si ( )V x es definida positiva.

Funcin escalar semidefinida positiva.Una funcin escalar ( )V x es semidefinida

positiva si es positiva para todo x , excepto en el origen y en determinados estadosno nulos, donde ( ) 0V x = .

Funcin escalar semidefinida negativa.Una funcin escalar ( )V x es semidefinida

negativa si ( )V x es semidefinida positiva.

Funcin indefinida.Una funcin escalar ( )V x es indefinida en si para algunos

estados de adopta valores positivos, y para otros, valores negativos.

3.1 Concepto de Estabilidad e Inestabilidad

Las definiciones que siguen, estarn referidas al sistema autnomo dado por

( ) ( )( )x t f x t= , (3.1)

y el sistema no autnomo dado por

( ) ( ) ( )( ),x t f x t u t= , (3.2)ambos en tiempo continuo. La solucin general a las Ec. (3.1) y (3.2) se nombrar

( )0;t x , y ( )( )0; ;t x u respectivamente. Ntese que las soluciones dependen de los

estados inicialesx0, y en el segundo caso, tambin de la entrada.

Estabilidad en el sentido de Liapunov.Sea R> 0 el radio de una regin esfrica

( ),eS x R formada por el conjunto de puntos alrededor de un estado de equilibrio xetal

que ( ) ex t x R 6para todo 0t t , y sea r, con 0 r R< < , el radio de una regin esf-

rica ( ),eS x r , formada por el conjunto de estados iniciales 0x alrededor dexetales que

0 ex x r . Luego, se dice que el estado de equilibrio xedel sistema (3.1) es estable en

el sentido de Liapunov si para cada ( ),eS x R existe un ( ),eS x r tal que las trayectorias

que se inician en ( ),eS x r no salen de ( ),eS x R .

6 i refiere a la norma euclideana, es decir, ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2e e e n nex x x x x x x x = + + +


21/73



Estabilidad asinttica. Se dice que el estado de equilibrio xe del sistema (3.1) es

asintticamente estable si es estable en el sentido de Liapunov y si cada trayectoria que

se inicia en el interior de ( ),eS x r converge a xe, sin salir de ( ),eS x R , conforme tse

incrementa indefinidamente. Esto es, 0lim 0et

x x

= .

Representaciones grficas de estados de equilibrio estables (en el sentido de Liapu-

nov) y asintticamente estables, se muestran en la Figura 3.1.

Figura 3.1. a) Estado de equilibrio estable, b) Estado de equilibrio asintticamente es-

table.

Dominio de atraccin.Dado un estado de equilibrioxedel sistema (3.1), se denomi-

na dominio de atraccin de xe, ( ),eS x , a la mayor regin de estabilidad asinttica.

Esto es, el dominio de atraccin del equilibrio xees el conjunto de todos los puntos x

tales que ( )lim ; et

t x x

= , donde ( );t x es la solucin de Ec. (3.1) que se inicia en el

puntox(ver Figura 3.2).

a) b)



Figura 3.2. Representacin grfica del dominio de atraccin de un estado de equili-

brio.

Inestabilidad. Se dice que un estado de equilibrioxees inestable si no es estable. En

la Figura 3.3 se muestra una representacin grfica de un estado de equilibrio inestable.

Figura 3.3. Representacin grfica de un estado de equilibrio inestable.

Para el caso de la Figura 3.3, no es posible decir que las trayectoria se ir a infinito,ya que podra acercarse a un ciclo lmite fuera de la regin ( ),eS x R . Si un sistema LTI

es inestable, entonces las trayectorias que se inician cerca del estado de equilibrio ines-

table van a infinito. Sin embargo, esto no necesariamente es cierto con los sistemas no

lineales.

Conjunto invariante:Un conjuntoMes un conjunto invariante con respecto a (3.1)

si ( ) ( )0 ,x M x t M t .


22/73



Conjunto invariante positivo:Un conjunto M es un conjunto invariante positivo si

( ) ( )0 , 0x M x t M t .

Ejemplos:

1) Considrese el sistema no lineal descrito por ( ) ( ) ( )2x t x t x t= + , con la condi-

cin inicial ( )0 0x = . La solucin de dicha ecuacin diferencial est dada por

( )( )0

00 0

;1t

xt x

x e x =

+ .

De la condicin ( )( ) ( ) ( )2 0f x t x t x t= + = se obtienen dos estados de equilibrio:

1 0ex = y 2 1ex = . El estado 1 0ex = es un punto de equilibrio asintticamente estable,

que cumple ( )lim 0t

x t

= , para todo estado inicial 0 1x < < . El estado 2 1ex = es un

punto de equilibrio inestable, dado que para x0= 1 el sistema permanece en xe2= 1,

mientras que, para todo 0 1x > y entonces existe un tiempo t1 tal que ( )0 0ln 1x x , lo

que implica que ( )1x t = .

2) Pndulo.Uno de los problemas ms simples en robtica es el de controlar la po-

sicin de una junta de robot usando un motor ubicado en el punto de giro. Matemtica-

mente esto no es ms que un pndulo, representado en la Figura 3.4.

Figura 3.3. Pndulo

Usando la segunda ley de Newton se puede escribir la ecuacin de movimiento en la

direccin tangencial:



(3.3)

donde mes la masa de la bola, les la longitud del brazo, es el ngulo entre la vertical

y el brazo, ges la aceleracin de la gravedad, y kes el coeficiente de friccin. Tomando

como variables de estado 1x = , 2x = se pueden escribir las ecuaciones de estado

(3.4)

Los PE, que salen de hacer 1 2 0x x= = , son ( n , 0), 0, 1, 2,n= . Obviamente,

slo los PE (0, 0) y (, 0) son no triviales ya que el resto son repeticiones de los mis-

mos7.

Los tres tipos de estabilidad se pueden ver en la ecuacin (3.4). Considerando que no

hay friccin, o sea tomando k= 0, las trayectorias en el entorno del PE (0, 0) son rbitas

cerradas. Empezando suficientemente cerca del PE se puede garantizar que las trayecto-

rias van a permanecer en cualquier bola pre-especificada alrededor del PE. Por lo tanto,

el PE es estable. No es asintticamente estable, sin embargo, porque las trayectorias quecomienzan fuera del PE nunca tienden a l. Si consideramos friccin (k > 0), el PE en el

origen es un foco estable. La inspeccin del retrato de fase de un foco estable muestra

que el requisito para estabilidad se satisface; ms an, las trayectorias que comienzan

cerca del PE tienden a l cuando ttiende a . El segundo PE en (, 0) es un punto de

ensilladura. Es obvio que el requisito para estabilidad no se satisface porque, para cual-

quierR> 0, siempre hay una trayectoria que deja la bola ( ),eS x R , an cuando ( )0x sea

arbitrariamente cercano al PE. El diagrama de fase, para el caso de considerar friccinno nula, se muestra en la Figura 3.4.

3.2. Teorema de estabilidad de Liapunov

Funcin de Liapunov.Se denominar funcin de Liapunov ( ) :V x , donde

es una regin de n alrededor del origen, a cualquier funcin escalar definida posi-

7Fsicamente se puede intuir que el PE en (0, 0) es estable mientras que el PE en (, 0) es inestable.


23/73



tiva (y continuamente diferenciable), cuya derivada temporal ( ) ( )dV x

V xdt

= a lo largo

de las trayectorias solucin de (3.1) sea definida negativa (o semidefinida negativa).

Figura 3.4. Diagrama de fase del pndulo

Ntese que,

1) La derivada temporal de ( )( )V x t a lo largo de las trayectorias solucin de (3.1)

est dada por

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )

1

2

1 1 1 2

n n

i i

i ii i n

n

f x

f xV V V V V V V x t x f x f x

x x x x x x

f x

= =

= = = =

2) Si ( ) 0V x


24/73



1. Las condiciones de los teoremas de estabilidad de Liapunov requeridas para la es-

tabilidad de un sistema no lineal son condiciones suficientes pero no necesarias.

2. La funcin de Liapunov no es nica y no encontrar una funcin de Liapunov ade-

cuada para mostrar la estabilidad o inestabilidad de un punto de equilibrio implica sim-

plemente no tener informacin respecto a la estabilidad y no permite aventurar condi-

cin alguna sobre el punto de equilibrio considerado.

3. Para un estado de equilibrio estable o asintticamente estable, siempre existe una

funcin de Liapunov con las propiedades requeridas.

4. Probar que un estado de equilibrio es estable en la regin que incluye al estado

de equilibrio, no significa que trayectorias fuera de puedan llevar a inestabilidad.

3.2.1. Anlisis de estabilidad de Liapunov para sistemas LTI autnomos

en tiempo continuo

Considere el siguiente sistema LTI autnomo,

( ) ( )x t Ax t= , (3.5)

donden

x ,n n

A

. En este caso, el nico punto de equilibrio est en xe=0, y eseequilibrio es estable si y slo si todos los autovalores deAtienen parte real no positiva y

cada autovalor con parte real nula tiene un bloque de Jordan asociado de orden 1. El

punto de equilibrio x = 0 es asintticamente estable global si y slo si todos los autova-

lores deAtienen parte real negativa. Cuando todos los autovalores deAtienen parte real

negativa, se dice queAes una matriz Hurwitz. La estabilidad del origen puede tambin

estudiarse utilizando el mtodo de Liapunov. Considrese para ello la siguiente funcin

de Liapunov

( ) TV x x Px= ,

donde P es una matriz simtrica real, definida positiva. Su derivada a lo largo de cual-

quier trayectoria, est dada por



( )

( ) ( )

( )

T T

T T

T T T

T T

V x x Px x Px

Ax Px x P Ax

x A Px x PAx

x A P PA x

= +

= +

= +

= +

Dado que ( )V x se escogi definida positiva, se requiere para la estabilidad asinttica

que ( )V x sea definida negativa. Por tanto, debe ser,

( ) TV x x Qx= ,

Para alguna matriz Qdefinida positivas. De ah, se define

( )TQ A P PA= + , (ecuacin de Liapunov)

donde se exige que TA P PA+ sea definida positiva.

Lo que usualmente se hace en la prctica es que, en lugar de especificar P,se especi-

fica Q y a partir de ello se calcula P. En trminos prcticos se puede escoger Q =I (ma-

triz identidad) como primer intento para calcular P.

Teorema 5.Considrese el sistema autnomo descrito por (3.5). El punto de equili-

brioxe= 0 ser asintticamente estable global si y slo si dada una matriz Qsimtrica

real, definida positiva, existe una nica matriz Psimtrica real, definida positiva, que es

solucin de TA P PA Q+ = .

3.2.2. Anlisis de estabilidad de Liapunov para sistemas LTI autnomos

en tiempo discreto

Considrese el siguiente sistema autnomo en tiempo discreto

( ) ( )1x k Ax k+ = (3.6)

donde nx , n nA . Otra vez, el nico punto de equilibrio de este sistema est enxe

=0, y ese equilibrio es estable si y slo si todos los autovalores de Atienen parte real

menor o igual a 1. A su vez, el punto de equilibrio x= 0 es asintticamente estable glo-

bal si y slo si todos los autovalores de Atienen parte real menor a 1. La estabilidad del

Electrnica Industrial UTN Facultad Regional Paran Electrnica Industrial UTN Facultad Regional Paran


25/73



origen puede tambin estudiarse utilizando el mtodo de Liapunov. Considrese para

ello la siguiente funcin de Liapunov

( ) TV x x Px= ,

donde P es una matriz simtrica real, definida positiva. La funcin diferencia de esta

funcin (el equivalente discreto de la derivada) a lo largo de cualquier trayectoria, est

dada por

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1 1T T

T T

T TT

T T

V x k V x k V x k

x k Px k x k Px k

Ax k PAx k x k Px k

x k A PAx k x k Px k

x k A PA P x k

= +

= + +

=

=

=

Dado que ( )V x se escogi definida positiva, se requiere para la estabilidad asinttica

que ( )( )V x k sea definida negativa. Por tanto, debe ser

( )( ) ( ) ( )T

V x k x k Qx k = ,

para alguna matriz Qdefinida positivas. De ah, se define

( )TQ A PA P= , (ecuacin de Liapunov en tiempo discreto)

donde se exige que TA PA P sea definida positiva.

Al igual que para los sistemas LTI en tiempo continuo, es conveniente especificar Q y

luego calcular P.

Teorema 6.Considere el sistema autnomo descrito por (3.6). El punto de equilibrioxe= 0 ser asintticamente estable global si y slo si dada una matriz Qsimtrica real,

definida positiva, existe una nica matriz Psimtrica real, definida positiva, que es so-

lucin de ( )TQ A PA P= .

Ejemplo.

Se desea investigar la estabilidad del sistema autnomo en tiempo discreto dado por



( ) ( )0 1

10.5 1

x k x k

+ =

mediante el mtodo de Lyapunov. Para ello primeramente se debe calcular la matriz P y

encontrar la funcin ( )( )V x k de Lyapunov. Para ello se adopta Q =I, de modo que

TA PA P I =

o

11 12 11 12

21 22 21 22

0 1 0 1 1 0

0.5 1 0.5 1 0 1

Tp p p p

p p p p

=

Esta ecuacin conduce a

4 2

2 3P

=

,

que es una matriz real simtrica positiva. Por tanto, segn el Teorema 6, el punto de

equilibrioxe= 0 es asintticamente estable. La funcin de Lyapunov resulta

( ) 2 21 1 2 24 2 3TV x x Px x x x x= = + .

Dado que se escogi Q =I, la funcin diferencia de Vest dada por

( )( ) ( ) ( ) 2 21 2T

V x k x k Qx k x x = = ,

que es una funcin definida negativa.

3.3. Rutinas de Matlab relacionadas al captulo

P= (A,Q)lyap , resuelve la ecuacin de Liapunov en tiempo continuo:

T

AP PA Q+ =

.P= (A,B,Q)lyap , resuelve la ecuacin de Liapunov general en tiempo continuo (tam-

bin llamada ecuacin de Sylvester): AP PB Q+ = .

P=d (A,Q)lyap , resuelve la ecuacin de Liapunov en tiempo discreto:

0TAPA P Q + = .



26/73



3.4. Referencias bibliogrficas

Ogata, K., Sistemas de control en tiempo discreto, Prentice Hall, 1996.



27/73

ect ca dust a U N acu tad eg o a a a


4. Introduccin a la teora de optimizacin de funcio-

nes. Introduccin al control ptimo (LQR)

Como se ver oportunamente en este apunte, el corazn de la teora de control avan-

zada, o ms concretamente, de la teora de control ptimo, es la teora de optimizacin.

Si bien la teora de optimizacin es un rea de inmenso potencial, tanto terico como de

aplicacin, que va mucho ms all de la aplicacin al control avanzado, este capitulo

presentar un resumen de sus conceptos fundamentales que permitir una comprensin

ms acabada de los sucesivos captulos.

4.1. Definiciones preliminares (Convexidad de conjuntos y fun-

ciones)

Primeramente se revisarn algunos conceptos bsicos referidos a topologa de conjun-

tos.

Dado un punto nx , la vecindad alrededor de x se define como el conjunto

( ) { }:nN x x x x = , donde refiere a la norma Eucldea.

Sea Sun conjunto arbitrario en n . Un puntoxest en la cerradurade S, nombrada

como cl S, si ( )S N x para todo 0> . Es decir, la cerradurade Ses el conjunto

de puntos arbitrariamente cercanos a S. Si clS S= , entonces Sse dice cerrado. Un pun-

toxest en el interiorde S, nombrado como int S, si ( )N x S para algn 0> . Si

intS S= , entonces Sse dice abierto.

Un puntoxest en lafronterade S, nombrado como S , si ( )N x contiene al menos

un punto en Sy un punto fuera de S para cada 0> 9. De este modo, un conjunto Ses

cerrado si y slo si contiene todos los puntos de su frontera. Ms an, se cumple que

cl S S S es el conjunto cerrado ms pequeo que contiene a S. Anlogamente, un

conjunto Ses abierto si y slo si no contiene ningn punto de su frontera. Claramente,

9Ntese que Sno necesariamente contiene los puntos de su frontera.

ect ca dust a U N acu tad eg o a a a


un conjunto puedo no ser abierto ni cerrado, y los nicos conjuntos de n que son a la

vez abiertos y cerrados son el conjunto vaco y el mismo n .

Un conjunto es acotadosi est contenido en una vecindad de radio suficientemente

grande, pero acotado. Un conjunto que es cerradoy acotado, se dice compacto.

Funcin diferenciable. Sea S un conjunto en n con interior no vaco, y sea

:f S . Luego, se dice que f es diferenciable en intx S si existe un vector

( )T nf x , llamado vector gradiente, y una funcin : n , tales que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),T

f x f x f x x x x x x x x= + + para todo x S ,

con ( )lim , 0x x x x x =

. La funcin f se dice diferenciable en el conjunto abierto'S S si es diferenciable en cada punto de 'S . La representacin anterior se conoce

como la expansin de primer orden (serie de Taylor) defen x .

Ntese que si f es diferenciable en x , entonces existe un nico vector gradiente, que

consiste en las derivadas parciales, esto es,

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

, , ,

n

f x f x f xf x

x x x

=

.

Funcin dos veces diferenciable.Sea Sun conjunto en n con interiorno vaco, y

sea :f S . Luego, se dice quef es dos veces diferenciableen intx S si existe un

vector ( )T nf x , una matriz simtrica de n n elementos, ( )H x , llamada matriz

Hessiana, y una funcin : n , tales que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

,

2

T Tf x f x f x x x x x H x x x x x x x x= + + + para todo

x S ,

con ( )lim , 0x x

x x x

= . La funcin f se dice dos veces diferenciable en el conjunto

abierto 'S S si es dos veces diferenciable en cada punto de 'S . La representacin

anterior se conoce como la expansin de segundo orden (serie de Taylor) defen x .

Para funciones dos veces diferenciables, la matriz Hessiana contiene las derivadas

parciales de segundo orden, esto es



28/73

g


( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 1 1 2 1

2 2 2

2 1 2 2 2 1

2 2 2

1 2

n

n n n n

f x f x f x

x x x x x x

f x f x f x

H x x x x x x x

f x f x f x

x x x x x x

=

Mnimo de una funcin. El mnimo de una funcin f en S, que se denominar

( ){ }min :f x x S , existe si existe un x S tal que ( ) ( )f x f x para todo x S . Se

puede probar que si Ses no vaco, cerrado y acotado, y si f es continua en S, entonces

existe un mnimo def en S.

nfimo de una funcin.El nfimo ( ){ }inf :f x x S= es la mayor cota inferior a f

en S.

Conjunto convexo: Un conjunto nS es convexo si el segmento que une cual-

quier par de puntos del conjunto pertenece tambin al conjunto. Esto es, si 1 2,x x S

entonces ( )1 21x x + debe pertenecer tambin a Spara cada [ ]0,1 .

La Figura 4.1 ilustra las nociones de conjunto convexo y no convexo.

a) b)

Figura 4.1. Conjunto a) convexo y b) no convexo

A continuacin se listan algunos ejemplos de conjuntos convexos:

Hiperplano. { }: TS x p x = = , donde p es un vector no nulo de n llamado vector

normal al hiperplano, y es un escalar. Para ver quepes el vector normal al hiperpla-

no, considrese un vector tangencial al plano, dado por 1 2Tx x x= , con 1 2,x x S .

g


Luego, 1 2 0T T T

Tp x p x p x = = = , y el producto escalar de vectores es nulo si y

solos si stos son normales (el coseno del ngulo entre ellos es nulo). Una representa-

cin grfica de hiperplanos normales a un dado vectorppuede verse en la Figura 4.2.a.

Semiplano. { }: TS x p x = , dondepes un vector no nulo de n , y es un escalar.

Semiplano abierto. { }: TS x p x = < , dondepes un vector no nulo de n , y es un

escalar.

Conjunto polidrico. { }:S x Ax b= , donde A es una matriz m n y b es un vector

1m . La desigualdad anterior es elemento a elemento. Ver Figura 4.2.b.

Cono polidrico. { }: 0S x Ax= , dondeAes una matriz m n . Ver Figura 4.2.c.

Cono creado por un nmero finito de vectores . {1

: ,m

j j

j

S x x a=

= =

}0, 1, ,j para j m = , donde 1, , ma a son vectores dados den . Ver Figura 4.2.d.

y 4.2.e.

Vecindad de un punto. ( ) { }:nN x x x x = .

Figura 4.2.a. Representacin grfica de hiperplanos definidos por el vector normalp.

Algunas condiciones de optimalidad geomtrica que se vern ms adelante hacen uso

de conos convexos.

1S

0S=

2S

p

x1

x2

x1-x2



29/73


Figura 4.2.b. Conjunto polidrico. Figura 4.2.c. Cono polidrico

Figura 4.2.e. y 4.2.e Conos creados por vectores

Cono convexo. Un conjunto no vaco, C, de n se llama conocon vrtice en cero si

x C implica que x C para todo 0 . Si, adems, Ces convexo, entonces se de-

nominar cono convexo. La Figura 4.3 muestra una representacin grfica de conos

convexos y no convexos.

Figura 4.3. Cono a) convexo y b) no convexo

S

S

x1

x2

x3

a) b)

S

S

x1

x2

A

Apunte de La Catedra Eletronica Industrial Apaisado

Documents

Transcript of Apunte de La Catedra Eletronica Industrial Apaisado