Apunte Matrices

Algebra Lineal FMM110 Universidad Andres Bello

Para hacer el apunte mas amable y menos tedioso, encontraras en el texto una serie de smbolosque te ayudaran a reforzar, descartar, o a releer ciertas partes del mismo.F: Es algo muy importante, corresponde a un definicion sin cuya asimilacion no podra avanzaren su lectura y comprension. Puede corresponder a propiedades que debe analizar y recordar.: Corresponde a un breve intento por explicar el fundamento de algun concepto u idea o quizas acontextualizar ese punto dentro de la ciencia matematica, es probable que le ayude a comprenderrealmente de que se trata gran parte de lo que hacemos en este curso.z: Tema que se escapa de nuestros objetivos, pero que bien prodria interesar a algunos de ustedesy por tanto encontrara la guia adecuada para profundizar en el asunto.

Matrices

FDefinicion: Una matriz es un ordenamiento de numeros reales (o numeros complejos), estos seordenan en filas (orden horizontal de izquierda a derecha) y columnas (orden vertical de arriba aabajo), para as asignar una unica ubicacion a cada elemento dentro del ordenamiento o matriz.XEjemplo: (

1 25 7

)Intuitivamente vemos que no hay confusion respecto del lugar que ocupa cada numero dentro deeste ordenamiento. Ahora insistiremos en precisar a que llamaremos una fila y una columna.

1eraColumna 2daColumna1eraF ila 1 22daF ila 5 7

De esta modo si hacemos referencia al elemento ubicado en la segunda fila y primera columna, nohabra duda de que nos estamos refiriendo al 5. Es importante mencionar que el acuerdo tradicionales nombrar la fila y luego la columna donde se ubica el elemento al que queremos referenciar, estoes simplemente para evitar malos entendidos.XMas ejemplos y nuevos conceptos:

2 2 15 0 52 6 6, 1

3x3

(2 3

)1x2 V ectorF ila

[15

]2x1

V ectorColumna(2)1x1

Observemos dos cosas, lo primero y sin demasiada importancia es que se puede usar parentesiscuadrado para escribir a una matriz y lo segundo es que estas matrices tienen un subndice, elque se utiliza para indicar con claridad que se trata de una matriz de 3 filas y 3 columnas en elcaso de la primera matriz, o de una 1 fila por 2 columnas (es as como se lee 1x2) en el caso de lasegunda matriz. Para concluir con algo casi anecdotico notemos que un simple numero real puedeverse como una matriz de 1 fila y 1 columna.Para cerrar esta seccion indicamos que la matriz completa puede denotarse asignandole una letramayuscula, de este modo la matriz del primer ejemplo pasa a llamarse la matriz A

A =(

1 25 7

)

Prof.Patricio Orrego Pag 1 de 8


Con la consecuente comodidad para su referencia, ya que basta con mencionar a la matriz A, paraque quede absolutamente claro a que matriz nos referimos.

Definicion:Al numero de filas y columnas de una matriz se le denomina el orden de la matriz oel tamano.

Notacion:Dado que para describir propiedades generales debemos contar con una notacion como-da para matrices de cualquier orden, debemos aprender la notacion de subndices para matrices.As si deseamos representar una matriz de 33 cualquiera procederemos de la siguiente forma: a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

3x3

= (aij)3x3 = (aij) donde i,j=1, 2, 3.

Donde la expresion a11 representa al elemento que ocupa la posicion fila 1, columna 1, de estemodo como podra observar la notacion logra hacer referencia, sin ambiguedades, a cada una delas diferentes posiciones dentro de la matriz, ya que el subndice esta formado por esa informacionprecisamente, ademas esto logra que cada posicion se vea diferente a los otras, por lo que obtene-mos una matriz de 9 entradas distintas.

Operatoria Basica

Recuerdo y Fundamento:Recordara que al cursar la asignatura de calculo I comenzo estudiando los axiomas delos numeros reales, all formalizo todo lo referente a la operatoria (adicion y multi-plicacion) de numeros, comprendio que la existencia de neutros e inversos aditivos ymultiplicativos son claves para la resolucion de ecuaciones.Pues bien, ahora intentaremos recorrer el mismo camino con las matrices y para ellodebemos definir las operaciones basicas (una adicion y multiplicacion de matrices) ymanejar adecuadamente sus propiedades.La forma en que abordaremos las operaciones entre matrices sera impositivo, es de-cir, presentaremos directamente el como se deben sumar o multiplicar la matrices, sinpensar demasiado en el como llegamos a darnos cuenta de ello, esto debido al limitadotiempo con el que contamos para cubrir nuestros contenidos. Esta poltica se manten-dra en gran parte de curso, aunque en algunos momento haremos una pausa para poneratencion en estos interesantes detalles.

Suma de matrices

Sean (aij)nm y (bij)nm donde i= 1, 2,. . . , n y j= 1, 2,. . . , m con n,m N, es decir, dos matricesdel mismo orden (n filas por m columnas). Su suma esta dada por: a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m

an1... an2 . . . anm

...

+ b11 b12 . . . b1mb21 b22 . . . b2m

bn1... bn2 bnm

...

= a11 + b11 a12 + b12 . . . a1m + b1ma21 + b21 a22 + b22 . . . a2m + b2m

an1 + bn1... an2 + bn2 anm + bnm

...



Ejemplo:

2 3 41 0 52 1 6

+ 3 4 85 5 5

2 0 2

= 2 + 3 3 + 4 4 + 81 + 5 0 + 5 5 +5

2 + 2 1 + 0 6 + 2

= 5 7 126 5 0

0 1 8

(

15

)+(

25

)=(

30

)Esta forma de sumar las matrices suele resumirse diciendo que se hace componente a componentey debe acostumbrarse a que en general sera la forma de trabajar, aunque hay importantes excep-ciones.

Observemos que la suma(

2 17 4

)+(

35

)NO puede calcularse, dado que no tienen el mismo

orden.

Notacion: Denotaremos al espacio de matrices de m filas por n columnas por Mnm(R), es in-teresante destacar que el conjunto que va entre parentesis es llamado el cuerpo de escalares, enterminos muy simples, consiste en el conjunto de donde obtenemos los elementos que pondremosen la matriz, el hecho de este conjunto de escalares constituya un cuerpo es importantsimo, perose escapa de nuestros propositos por lo que no ahondaremos en ese punto. De modo similar eigualmente valido podriamos considerar el conjunto Mnm(C), es decir, las matrices cuyas com-ponentes son numeros complejos. Otra forma usual es escribir Mnm(K), donde K representa acualquier cuerpo (en nuestro caso K = R).

z Un Cuerpo en matematica es una estructura algebraica que consta de un conjunto de elementosy dos operaciones (adicion y multiplicacion) definidas sobre ellos, las cuales cuentan con las pro-piedades que hemos definido para nuestra adicion y multiplicacion; para ser mas precisos decimosque el conjunto con ambas operaciones, por seprarado, constituyen un grupo Abeliano, que esotra estructura algebraica mas sencilla, para buscar informacion acerca del tema debe buscar porAlgebra Abstracta.

Propiedades de la Suma

Sean A,B,C Mnm(R)(i) A+B=B+A (conmutatividad)

(ii) A+(B+C)=(A+B)+C (asociatividad)

(iii) Existe un unico elemento 0M Mnm(R) tal que A+0M=A (existencia de elemento neutro)(iv) Para cada A se tiene que existe un unico elemento A Mnm(R) tal que A+A=0M

(existencia para cada elemento de su inverso aditivo)



Por favor detengase a meditar sobre la similitud de esta suma de matrices con lasuma de reales. No es casualidad que esto ocurra, de hecho al cualquier operacionmatematica que se comporte as (cumpla con (i),(ii), (iii) y (iv)) la llamaremos suma,es por este motivo que la suma de matrices debe realizarse de esta manera y no deotra, aunque esta manera de sumar matrices no parece tan extravagante como si lopueden parecer otras operaciones con matrices

Ejemplos: (solo ejemplificaremos las propiedades (iii) y (iv) por ser las demas faciles de comprobar)

As la matriz neutra para(

2 31 5

)es(

0 00 0

)ya que

(2 31 5

)+(

0 00 0

)=(

2 + 0 3 + 01 + 0 5 + 0

)=(

2 31 5

)

Y veamos que el inverso, A, para esta misma matriz es (

2 31 5

)=( 2 31 5

)ya que

(2 31 5

)+( 2 31 5

)=(

0 00 0

)Ahora pasaremos a definir una nueva operacion pero esta vez no entre matrices sino entre unamatriz y un escalar, es decir, un numero real. Es as como definimos la ponderacion por escalar,una especie de producto entre un numero real y una matriz, es importante que quede claro esadiferencia, esto NO es un producto entre matrices, eso viene en las proximas lineas.

Ponderacion por escalar: Sea R y A Mnm(R) entonces

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2man1

... an2 anm...

Es decir, el escalar multiplica a todas y cada una de las componentes de la matriz.

XEjemplo:

1(

2 33 5

)=( 2 33 5

)3(

2 41 5

)=(

6 123 15

)FPropiedades de la Ponderacion:Sean , R y Mnm(R)(i) (A)=() A

(ii) (A+B)=A+ B

(iii) (+ )A = A+ A



Ahora pasaremos a definir el producto entre matrices, veremos algunos ejemplos y restriccionesde este producto y, por supuesto, comentaremos sus propiedades.

Producto de Matrices

Sean A = (aij) una matriz de nxp, y B = (bij) de orden pxm, se denomina producto a la matrizcuyas componente se forman como sigue

cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj =p

k=1

aikbkj

a11 a12 . . . a1p. . . . . . . . . . . .ai1 ai2 . . . aip. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . anp

nxp

b11

... b1j... b1m

b21... b2j

... b2m...

......

......

bp1... bpj

... bpm

pxm

=

cij . . . c1mcijcn1 . . . cnm

nm

Observe que el producto solo esta definido cuando el numero de columnas de la primera matrizes igual que el numero de filas de la segunda matriz, ademas la matriz producto tiene un tamanoque mantiene la cantidad de filas de la primera matriz y la cantidad de columnas de la segundamatriz.XEjemplo:

(2 33 5

)2x2

(2 33 5

)2x2

=(

2x2 + 3x3 2x3 + 3x53x2 + 5x3 3x3 + 5x5

)=(

13 2121 34

)2x2( 1

3)2x1

(3 5

)1x2

=( 1x3 1x53x3 3x5

)=( 3 59 15

)2x2

Observe que el producto(

23

)2x1

(42

)2x1

no existe, podra explicar por que?.

FAhora intentaremos describir, en terminos menos rigurosos, el metodo que nos llevara a calcularel producto entre dos matrices

1ero Sabemos que el orden de las matrices a multiplicar debe ser tal que el numero de columnasde la primera matriz sea igual al numero de filas de la segunda matriz, nxp y pxm, ademasresulta que el tamano de la matriz producto es de nxm, insistimos en que el producto heredala cantidad de filas de la primera matriz y el numero de columnas de la segunda.

2do Ahora que ya conocemos el orden de la matriz producto, y por tanto, conocemos las coor-denadas de las componentes de la matriz podemos usar la siguiente idea para calcular elnumero que debe ir en cada una de las entradas de la matriz producto. Es as como si desea-mos calcular el valor de la fila i, columna j de la matriz producto procederemos a tomar lafila i de la primera matriz y la columna j de la segunda matriz y multiplicar sus compo-nentes una a una ( avanzando a la derecha en la fila y avanzando hacia abajo en la columna)y sumar aquellos resultados.

Ejemplos: En clases veremos como funciona esta sencilla idea



Hemos de reconocer que este producto es por lo menos extrano si se le compara conel clasico producto de numeros reales. Se debe decir en defensa de esta forma de mul-tiplicar que es la unica forma posible en que se pueden operar dos matrices y obtenerlas propiedades que se esperan de un producto. En matematica llamamos producto auna operacion que sea asociativa, es decir, que satisfaga (ab)c=a(bc) para cual-quier trio de elementos del conjunto con el que trabajemos, pero la verdad es que elproducto de matrices tiene bastante mas cualidades que ser asociativo. Para concluirmencionamos que existen muchas formas de operar elementos pero solo algunas tienenel exito (propiedades) de las mas populares (suma y producto).

FPropiedades de la Multiplicacion

Sean A,B,C Mnm(R)(i) A (B C)=(A B) C (Asociatividad)(ii) A(B+C)=A B+A C (Distributividad del producto con respecto a la suma)(iii) (B+C) A=B A+C AObservacion: Las propiedades (ii)y (iii) podrian parecerle la misma si suponemos que el productoAB es igual a BA y AC igual a CA, suposicion no tan descabellada segun la tradicion, pero lamen-tablemente el producto de matrices NO CONMUTA, por lo que asumir la igualdad (AB=BAy AC=CA) seria un grave error. Aqui nos encontramos por primera vez con una propiedad o masbien, con la perdida de propiedad importante, la NO conmutatividad.

(iv) En general A B 6= B AEjemplos: Calcule la siguiente operacion de todas las formas posibles (asociando, distribuyendo,etc.). Ademas conmute algun producto, esto con idea de verificar que llega a un resultado distinto(

2 33 5

)[(5 32 1

)+(

3 80 2

)]Ahora abordaremos un problema importante, nos dedicaremos a discutir acerca de los inversosmultiplicativos en las matrices, pero antes recordaremos que es un inverso multiplicativo en losreales y veremos la importancia teorica que tiene su existencia para la resolucion de ecuaciones.

Si tuviese que resolver una ecuacion de primer grado probablemente su procedimientoseria similar al siguiente:

3x+ 5 = 23x = 2 5 Alguna vez oyo que el 5 pasaba restando desde el otro lado3x = 3x =

33

...de forma similar cree que el 3 pasa dividiendo desde el otro lado

x = 1



Bueno, me parece que estas misteriosas explicaciones para resolver una inofensiva ecua-cion de primer grado no le son suficientes a estas alturas. Piense en que le garantizaque siempre los numeros puedan pasar restando desde el otro lado de la ecuacion, y loscoeficientes que acompanan a x pasen dividiendo desde el lado izquierdo de la ecuacion.Debe usted sospechar que hay motivos mas profundos para proceder de esta forma.Lo que sucede es que dichas garantas se las dan los axiomas de los numeros realesy, por tanto, recordara que todo numero tiene su inverso aditivo y multiplicativo (ex-cepto el cero, claro esta), veamos ahora la verdadera historia del asunto para cualquiera 6= 0,b,c R

ax+ b = c /+b Axioma:Existencia de inversos aditivosax+ b+b = c+b

ax+ 0 = c b Axioma: Dos elemento opuestos aditivamente suman ceroax = c b / 1

aAxioma: Dado a6=0 existe inverso multiplicativo

1a ax = 1

a (c b) Axioma: El producto de inversos multiplicativos es 1

1 x = c ba

Es claro que debido a los axiomas podemos afirmar que es posible resolver TODAS lasecuaciones de primer grado. Que sucedera si ahora cambiamos un poco la ecuacion

Ax = b

Donde x y b son matrices (vectores columnas), y x es el vector incognita. Inten-tara pasar diviendo la matriz A para despejar el vector incognita. Bueno, es preciso,que en este punto se entere que la operacion de division de matrices no existe, debidoa un serio problema que tiene el producto de matrices, Que hacer?.Nada mejor que pensar en multiplicar a la matriz A, cosa que s puede hacer, por unamatriz, llamemosla A, tal que ese producto tenga la propiedad de ser neutro es decirque no afecte al vector x y as quede despejado, en efecto:

Ax = b / A por la izquierdaAAx = Ab1Mx = Ab

x = Ab

Donde 1M representa al neutro para el producto del que hablamos, note ademas queel producto A

b , se podra calcular dado que las dimensiones coinciden.



Definicion:El conjunto de matrices cuadradas, es decir, el conjunto de matrices con el mismonumero de filas que de columnas,Mn(R), admite un elemento neutro para el producto, denominadomatriz identidad.Recordemos que ser neutro para el producto significa que para una matriz A dada, tenemos queAI=A, es decir, el producto de A por la identidad no produce accon alguna sobre A.

I =

1 0 . . . 00 1 . . . 0

. . .0 0 . . . 1

La matriz identidad es aquella que tiene unos en la diagonal principal y ceros en las otras posiciones.Es necesario destacar una excepcion que presenta el producto de matrices. Recordemos, que engeneral, el producto no conmuta, pero el producto con la identidad tiene la siguiente propiedad,

AI = A = IA

XEjemplo:En clases.

Recapitulando las propiedades del producto tenemos que:

(i) A (B C)=(A B) C (Asociatividad)(ii) A(B+C)=A B+A C (Distributividad del producto con respecto a la suma)(iii) (B+C) A=B A+C A(iv) En general A B 6= B A (No conmutatividad)(v) Existe un elemento neutro para las matrices cuadradas, es decir, una matriz I, tal que

AI = IA = A (Existencia de neutro multiplicativo)

Observe que ya tenemos varias propiedades para este producto, pero aun no aclaramos si efec-tivamente las matrices admiten un inverso multiplicativo, es decir, que cada matriz pueda sermultiplicada por un elemento tal que el producto resultante sea igual a la matriz identidad, I. Deexistir este tipo de matrices inversas? podriamos resolver ecuaciones con matrices, pero eso esparte de la proxima clase.


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