DISTRIBUCIN DE VALORES EXTREMOS Tipo I (Tippet Frechet)

11.- ANALISIS DE VIENTOS EXTREMOS

11.1- Distribucin De Valores Extremos Tipo I (Tippet Frechet)Funcin de distribucin acumulada (FDA)

(11.1)

= 2,7182....Determina la probabilidad que un valor extremo cualquiera Y sea menor que otro fijado y

(11.2)

y = valor que puede tomar Y Si se lleva a un sistema de ejes coordenados x,y de ordenada y abscisa y, obtendremos una curva similar a la indicada en (fig. 11.1)z = variable reducida z = a (y U)

(11.3)

U = moda de la distribucin

1/a = medida de la dispersin

Fig. 11.1

y

La funcin de densidad de probabilidades (FDP) correspondiente ser (fig 11.2)

(11.4)

La probabilidad que Y sea mayor que y ser:

(11.5)

La moda U es la ordenada mxima de la FDP y corresponde a z = 0.

En ese punto

El rea rayada representa el 37% de probabilidad que Y < y, lo cual coincide con el valor indicado en la ordenada del diagrama FDA.

El problema consiste en determinar los valores de 1/a y U para poder trazar la curva FDA.

En este caso, las variables aleatorias sern velocidades extremas anuales sobre un perodo de medicin de 3 segundos ,que es el adoptado por el CIRSOC 102. En adelante:

En una localidad determinada se miden velocidades ,en N aos, de igual tamao T (perodo de observacin) que puede ser 1 mes o 1 ao generalmente. No todos los valores ledos en el perodo T se utilizan, sino solamente aquellos que son estadsticamente independientes En cada ao se busca el mximo valor Se utilizar el ejemplo dado en Cook [1] correspondiente a velocidades medidas en el aeropuerto de Jersey USA (1959/78) N = 21 aos. Estos valores se colocan en la Tabla 11.1 en orden creciente del 1 al 21.

Gumbel [2] utiliza un mtodo aproximado basado en el modelo de mnimos cuadrados para determinar analticamente U y a. Se minimizan los cuadrados de las desviaciones de la recta medidas en direccin perpendicular a la recta que se obtendra de los valores de V y z, volcados en un sistema de coordenadas. (Fig. 11.3)

Las ecuaciones halladas son las siguientes:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(11.6)

(11.7)

= velocidad pico de rfaga

= velocidad promedio de las velocidades pico de rfaga

= desviacin Standard de la velocidad

= desviacin Standard esperada

= valor medio esperado

En la Tabla 11.2 figuran los valores de y en funcin del nmero de mediciones para N = 20, = 1,06 y = 0,52.

TABLA 11.1N

128.5-6.6744.49-4.8-1.3440.0220.001

229-6.1738.07-4.3-1.2040.0360.012

330-5.1126.73-3.3-0.9240.0800.020

431-4.1219.97-2.3-0.6440.149

531.5-3.6713.47-1.8-0.5040.1910.087

631.5-3.6713.47-1.8-0.5040.091

732.5-2.177.13-0.8-0.2240.2860.10

834-1.171.370.70.1960.439

934-1.171.370.70.1960.439

1035.5-0.330.232.20.6160.525

11360.830.112.70.7560.6250.085

1236.51.331.773.20.8960.665

13371.833.353.71.0360.70

14382.8384.71.3160.7640.056

15382.8384.71.3160.764

1638.53.3311.095.21.4560.792

1738.53.3311.095.21.4560.792

18393.8314.675.71.5960.8180.045

19393.8314.675.71.5960.818

20404.8323.336.71.8760.8580.039

2140.55.3328.417.22.0160.875

( = 738,50 ( = 290,79

Tabla 11.2

N

150,511,02

200,521,06

300,541,11

400,541,14

500,551,16

600,551,17

700,551,19

800,561,19

900,561,20

1000,561,21

1500,561,23

2000,571,24

5000,571,26

(0,571,28

Media esperada y desviacin standard (i)En fig. 11.4 se presenta el diagrama de la funcin de densidad de probabilidades (FDP) para lo cual se aplica la (11.4)

Para simplificar, solamente se utilizan algunas velocidades que sean suficientes para trazar la curva que posee la cola extendida hacia la derecha.

El eje z coincide con el valor de la moda U = 33.3 m/seg.

Si se desea, por ejemplo, alcanzar la velocidad de 39 m/seg. Se debe calcular el rea de la superficie rayada, que es la integral del FDA.

(11.8)

La ordenada del diagrama FDA (Fig. 11.5) indica la probabilidad que la velocidad extrema anual sea inferior a un valor v

(11.9)

indica la probabilidad que esa velocidad v sea superada.

Se define como intervalo medio de recurrencia R medida en aos ,la relacin

R = 1/ Pa

De donde R = 1/PaEl CIRSOC adopta R = 50 aos, con lo cual Pa = 1/50 = = 0,02

Existe una probabilidad del 2 % que la velocidad v sea superada un a vez en un ao cualquiera de los R Se denomina perodo de retorno S = R. T

Generalmente se considera T = 1 ao, por lo cual S = R y se puede,en adelante, llamar a R= perodo de retorno

(11.10)

(11.11)

Si se consideran otros n aos (perodo de exposicin) durante la vida de la construccin, la probabilidad que la velocidad v no sea superada por lo menos una vez en n aos ser:

(11.12)

La probabilidad de ser superada:

(11.13)En la Tabla 11.2, el mximo valor registrado es V = 40,5 m/seg que corresponde a una probabilidad 0,875 de no ser superada y 1-0,875 = 0,125 (12,5 %) de ser superada en un ao cualquiera en el perodo de retorno R = 1/ 125 = 8 aosLa probabilidad que la velocidad V sea igualada o superada por lo menos una vez en un perodo de exposicin n = 20 aos ser:

(11.14)

El Reglamento CIRSOC 102 establece velocidades pico de rfaga de 3 segundos asociadas con una probabilidad anual del 2% de ser superada en un perodo de retorno R = 50 aos en un perodo de exposicin n = 50 aos.

(11.15)

(11.16)

Existe una probabilidad del 64% que la velocidad del viento (asociada con una cierta probabilidad anual = 2%), sea excedida o igualada por lo menos una vez durante un perodo de n aos.

Si se desea determinar analticamente que velocidad de la Tabla 11.2 corresponde a Pa = 0,02.De (11.8)

(11.17)

Si se aplican logaritmos:

Si se busca en el diagrama FDA, se obtiene un valor parecido. De (11.18):

Se puede generar un grfico que linealiza la curva FDA colocando en abscisa y en ordenada las velocidades (Fig. 11.6).Una vez ubicados los puntos correspondientes se traza la recta de ajuste en base a mnimos cuadrados.

Para z = 3,9 corresponde Donde z= 0 V = 33 m/seg (moda)

La tangente a la recta mide

En el grfico hallamos 1/a = 0,30

La expresin de la tangente ser:

11.2.- Estimacion De Probabilidades (Metodo de Gumbel)

En realidad los valores experimentales no siguen exactamente la distribucin terica y se puede buscar una forma de determinar las probabilidades, basada nicamente en la ubicacin de la variable.Dice Cook [7]:

Los extremos son ranqueados hacia ascendente orden de magnitud. La posicin de cada extremo en esta secuencia lograda se define como rango m. El menor tiene el rango m = 1, el segundo tiene el rango m = 2 y el ms alto m = N, si hay N valores extremos en los datos. Es conveniente usar el smbolo para denotar el valor del extremo de rango m en la ecuacin (entonces es )Usando el conocimiento de N observaciones pasadas es posible sacar conclusiones sobre el probable valor de cada siguiente observacin, la N+1 observacin.

Si es menor que el primer extremo ranqueado habr solamente un valor afuea de N+1 extremos.

La estimacin de esta ocurrencia es:

(11.20) .Similarmente, si es mayor que el ltimo ranqueado , luego N fuera de N+1 es menor y el estimativo de este rango es

(11.21) En el caso general de el estimado es (11. 22)La palabra estimado se us deliberadamente para indicar que los valores resultantes de no son exactos por las siguientes razones:

El valor slo puede ser discriminado para incremento de .

El correspondiente valor de solamente puede ser discriminado para incremento que dependen del anemmetro utilizado El registro puede no ser representativo de la distribucin total.

Ntese que el rango de los extremos es el mismo si es V o V2, luego la estimacin de P es la misma en ambos modelos.El mtodo de Gumbel se aplica usualmente a un grupo de velocidades mximas anuales, esto es que cada valor es la mxima velocidad del viento que produce en un perodo de 1 ao.Maximum gust wind speeds for Jersey: Intermediate data for Gumbel plot

Gust speed2

(m/s)2Rank

mCDF

Reduced variate

z

81210.045-1.129

84120.091-0.875

96130.136-0.689

96140.182-0.533

99250.227-0.393

99260.273-0.262

105670.318-0.136

115680.364-0.012

115690.4090.122

1260100.4550.238

1296110.5000.366

1332120.5450.501

1369130.5910.642

1444140.6360.784

1444150.6820.960

1482160.7271.144

1482170.7721.355

1521180.8181.606

1521190.8641.920

1600200.9092.351

1640210.9553.068

TABLA 11.3Se reproduce la Tabla C2 de Cook [7] donde las velocidades estn al cuadrado y la probabilidad es la correspondiente a V2 (Tabla 11.3 ).

En la Fig. C1 de Cook [1] se colocan en ordenadas las velocidades al cuadrado y en abscisas la variable reducida .(Fig. 11.7)As se obtiene grficamente la recta representativa de la variacin.

Fig. 11.7 [Ref. 7]Para z = 0, se obtiene el valor de y la pendiente de la recta determina el valor de .

Para hallar la velocidad correspondiente a un perodo R partimos de la (11.19)

Esta expresin es similar a:

Cook trabaja con velocidades al cuadrado.

En la Fig. 11.7 se obtiene valores similares

11.3.- Aplicaciones Al Reglamento Cirsoc 102El Reglamento CIRSOC 102 (94) [0] que se denominar en adelante C-94 fue reemplazado por el Reglamento CIRSOC 102 (01), en adelante C-01 [1].

El mapa de la Repblica que presenta el C-94 contiene curvas de nivel de velocidades instantneas mximas anuales obtenidas utilizando una distribucin de extremos Tipo II, sin considerar el perodo de exposicin n, que luego es tenido en cuenta mediante un coeficiente de velocidad probable Cp. La mayora de los Reglamentos (ASCE, British Standard, NB, etc.) utilizan la distribucin Tipo I y los mapas ya estn incluyendo el tiempo de exposicin n. Cuando se cambi el Reglamento, CIRSOC decidi aplicar este ltimo criterio para lo cual era necesario modificar el mapa. Raimundin y Cudmani [27], aconsejaron determinar un nuevo valor de Cp en base a la distribucin Tipo I y ya con el tiempo de exposicin incluido.

C-94C-01

= velocidad bsica de diseo

: coeficiente de velocidad probable en funcin de n y

: velocidad promedio de velocidades instantneas pico de rfaga sobre 3 seg. para = 0,02

de 0,01 a 0,50

m de 2 a 100 aosV: velocidad bsica de viento

velocidad de rfaga de 3 seg. para Categora de exposicin C.

= 0,02 n = 50 aos

= 0,64

Valores Extremos Tipo II

= 7,14

(11.23)Valores Extremos Tipo I

(11.26)

Valor Medio:

(11.24) (11.27)

Desviacin Standard:

(11.25) (11.28)

Si se igualan (11.24) con (11.27) y (11.25) con(11.28)

Desarrollando la (11.29)

Desarrollando la (11.30)

Reemplazando la (11.32) en la (11.31)

Raimundin obtiene un valor menor:

Se puede aceptar que la moda de la del Tipo I es igual a la velocidad de referencia de la del Tipo II.

Viollaz y Salvatierra [26], revisaron los valores de velocidades de las 19 ciudades includas en el C-94 y agregaron otros con la contribucin de la Dra. Schwartzkopf, dibujando un mapa con mayor densidad de isopletas y colocando los nuevos valores adecuados a la distribucin Tipo I.

Si se aplican logaritmos a la (11.1)

(11.33)

De (11.11):

De donde:

(11.34)

Despejando V

Para el aeropuerto de Crdoba se encontr

Reemplazando en la (11.26)

que es el valor hallado por Viollaz.

En el C-01 figura para la ciudad de Crdoba

En el C-01 se utiliza la nomenclatura intervalo medio de recurrencia R que es similar a perodo de recurrencia Figura la Tabla A-1(Tabla 11.4) en el Apartado A en funcin del riesgo de la construccin.

CategoraIPaN

I0,870,0425

II10,0250

III1,150,01100

IV1,150,01100

Si la construccin es de bajo riesgo (Categora I), se puede reducir el intervalo de recurrencia a R = 25 aos ,por lo cual las presiones pueden modificarse a travs de I = 0,87, donde Pa = 1/25 = 0,04 con lo cual ya hay una probabilidad mayor de ser excedida la velocidad en cualquier ao en 25 aos.

Si la construccin es de alto riesgo ,debe tenerse en cuenta un intervalo de recurrencia mayor, que es de 100 aos. En ese caso, Pa= 1/100 = 0.01 con lo cual el riesgo sera del 1 % e I = 1,15.

En los Comentarios del CIRSOC 102 figura la Tabla C2 donde figuran diversos valores de perodo de exposicin n en relacin a la probabilidad anual Pa (Tabla 11.5) y se obtienen los valores de la probabilidad de ocurrencia Pn .

Tabla 11.5

Probabilidad anual, PaPerodo de referencia (exposicin), n (aos)

15102550100

0,04 (1/25)0,040,180,340,640,870,98

0,02 (1/50)0,020,100,180,400,640,87

0,01 (1/100)0,010,050,100,220,400,64

0,005 (1/200)0,0050,020,050,100,220,39

Si usramos otra probabilidad, por ejemplo para Pa = 0,02 = 1/125 (intervalo de recurrencia 25 aos)

Pn = 1 (1-0,02)25 = 0,40

Probabilidad del 40% que esa velocidad sea igualada o excedida una vez a lo largo de un perodo de exposicin n = 25 aos.

Si se usan valores de Pa distintos a 0,02 , deben afectarse los valores de los coeficientes I de la Tabla 11.4 mediante el factor de conversin establecido en la Tabla C3 de los Comentarios (Tabla 11.6)

Tabla 11.6Velocidad de pico de rfaga para un intervalo medio de recurrencia de N = 50 aos

Intervalo medio de recurrencia (R aos)Factor de conversin

5001,230,002

2001,140,005

1001,070,010

501,000,02

250,930,04

100,840,10

50,780,20

(11.29)

0,37

U

(11.18)

Z = 0

EMBED Equation.3

1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 = 0,37

0

Pa = 0,63

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Fig. 5

3,9

47,23

33,5

45

40

30

25

15

10

5

(11.36)

(11.35)

(11.32)

(11.30)

(11.31)

Fig 11.2.

Tabla 11.4

Fig. 11.3

z = a ( EMBED Equation.3 - U)

EMBED Equation.3

(11.19)

y

z

EMBED Equation.3

0

37%

y

z

0

4

3

2

1

0

-1

20

35

50

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Fig. 11.6

3,9

47,23

33,5

45

40

30

25

15

10

5

0

4

3

2

1

0

-1

20

35

50

0,33

Pag. 130

PAGE 129Pag.

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