IntroduccinIntroduccin a la MecnicaNelson Zamorano HoleFacultad de Ciencias Fsicas y MatemticasUniversidad de ChileIntroduccin a la MecnicaNelson Zamorano HoleFacultad de Ciencias Fsicas y MatemticasUniversidad de ChileIIndicegeneralI. INTRODUCCION 1I.1. UNIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.1.2. Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.1.3. Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.1.4. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.2. ANALISIS DIMENSIONAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.3. FISICA, MATEMATICAS Y COMPUTACION. . . . . . . . . . . . . . . 10I.4. EL ARTE DE LAS ESTIMACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.5. EJERCICIOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12iCaptuloIINTRODUCCIONLas Ciencias Naturales engloban diversas disciplinas, entre las cuales se encuentranlaFsica, laBiologa, laQumicaylaAstronoma; sinqueestalistaseaexhaustiva.Cada una de ellas estudia determinados fenomenos que ocurren en la naturaleza, ya seaatravesdesuobservaciondirectaomedianteexperimentosllevadosacaboenformasistematica en el laboratorio.Ciertamente, estas divisiones no son esenciales en ciencia y solamente indican gradosde especializacion. En algunos casos, el mismo fenomeno puede concitar simultaneamenteel interes de cientcos de diversas disciplinas. Por ejemplo, el estudio de los objetos quepresentan una evolucion caotica en el tiempo, interesan simultaneamente a los Fsicos ya los Matematicos. De igual modo, la determinacion de la estructura del acido desoxi-ribonucleico(ADN)lamoleculaportadoradelainformaciongeneticaenanimalesyvegetales,fueelresultadodelesfuerzoconjuntodebiologos,qumicos,bioqumicosyfsicos.Quienes tienen como ocio el estudio de las distintas manifestaciones de la naturale-za se les denomina cientcos. Para algunos de ellos, los denominados teoricos, su laborconsiste en inventar esquemas logicos que permitan explicar las observaciones realizadascon un mnimo de suposiciones y ademas, en forma simultanea, predecir la existencia denuevosfenomenos.Otrogrupopreeredesarrollarsulaborenunlaboratoriocompro-bando si las predicciones aventuradas en alguna teora reeja realmente la forma en queoperalanaturaleza.Tambienpuedenpreferirestudiarunfenomenodiferente,guiadospor su propia intuicion y al cual consideran de gran interes.La elaboracion de un esquema logico, acompa nado de un lenguaje matematico, recibeel nombre de teora. Las predicciones de una teora deben ser vericadas experimental-mente con una rigurosidad tal, que basta una observacion o prediccion que no concuerde12 CAPITULOI. INTRODUCCIONcon lo medido, para su modicacion o descarte.El desarrollo de una teora es un proceso largo y complejo que toma normalmente a nosy la contribucion de muchos investigadores. Sin embargo, siempre en alguna etapa de suevolucion destacan guras de gran capacidad intelectual cuyo aporte ha signicado unarevolucion para su epoca. En Fsica, ese ha sido el caso de Nicolas Copernico (1473-1543),GalileoGalilei (1564-1642), IsaacNewton(1643-1727), AlbertEinstein(1879-1955)yNiels Bohr (1885-1962), entre otros.Desde su origen como disciplina cientca, hace aproximadamente cuatrocientos a nos,laFsicahaacumuladounaenormecantidaddeconocimientos yparamanejar unafraccion de ese material, se requiere recorrer un largo camino. Esperamos que el estudiode los aspectos basicos de la mecanica inventada por Newton que constituye el contenidode este curso, marque el comienzo de este trayecto.I.1. UNIDADESI.1.1. IntroduccionLas leyes de la Fsica son relaciones entre propiedades de la materia medibles en unlaboratorio tales como: longitud, tiempo, masa, temperatura, energa, etc. Consecuente-mente, es necesario contar con unidades o patrones de medida, que permitan cuanticaresasmagnitudes.Porejemplo,medirladistanciaentredospuntosubicadossobreunarecta, signica comprobar el n umero de veces que una varilla patron elegida arbitraria-mente como la unidad de longitud esta contenida en el trazo que conecta dichos puntos.Sielresultadoes3,sedicequeladistanciaentrelospuntosesiguala3unidadesdelongitud.El valor de una propiedad fsica cualquiera debe indicar la unidad que se ha utilizadocomo patron. Por ejemplo, si en el caso anterior se hubiera usado el metro como unidadde medida, la distancia se expresara como 3 metros.Lamayorpartedelasunidadesqueseutilizancorrientementesepuedenexpresarcomo combinacion de un grupo reducido de ellas, llamadas unidades fundamentales. Enel Sistema Internacional (SI), las mas conocidas son: el metro, el kilogramo y el segundo.Otrasmagnitudes, talescomolaenerga, el momentumlineal, lafuerza, etc., poseenunidades que se expresan en funcion de este conjunto fundamental.Enestelibrousaremosel SistemaInternacional deUnidadesenlamayoradelosejemplos y ejercicios propuestos.I.1.2. TiempoEl segundo (s) fue denido originalmente como la 1/86400ava parte de un da solarmedio(estoes,eltiempoentredospasossucesivosdelSolporelcenit,promediadoaI.1. UNIDADES 3lo largo de un a no). La denicion moderna de un segundo es mas precisa, pero tiene ladesventaja de ser mas difcil de explicar en base a conceptos basicos. La incluimos aqucomo una informacion cuyo sentido aparecera claro mas adelante.El segundosedenecomoel tiempoquedebetranscurrirparadetectar9, 192631770 109ciclos(ovibraciones)consecutivasenlaluzprovenientedeunatransicionhipernaentredosestadospermi-tidosdeunatomodeCesio.En la actualidad, el patron o unidad de tiempo se puede determinar con gran preci-sion. El segundo se puede medir, sin error, con doce cifras signicativas. Con el objeto deaprovechar este enorme progreso, se ha denido la unidad de longitud (el metro) en baseal segundo. Para ello debemos previamente denir la velocidad de la luz. Esta decisionno genera problema alguno, puesto que la velocidad de la luz es una constante universal.Obviamente, el valor usado no altera las unidades previamente establecidas. Este es:c velocidaddelaluz=299.792.458_ms_,Combinando la denicion de un segundo y la velocidad de la luz, obtenemos la unidaddelongitud: el metro, conungradodeprecisionequivalenteal del segundo. Enestecontexto, el metrosedenecomoladistanciaquerecorrelaluzenel espaciovacodurante 1/299,729,458 segundos.Noteque, comoel valordelavelocidaddelaluzfuedenido, nopuedecontenererror de medicion.Revisemos como ha ido mejorando la precision en la determinacion de la unidad detiempo a traves de este siglo.Hastahacealgunasdecadas, larotaciondiariadelaTierraconrespectoal sol, seutilizaba para denir el largo del da (da solar) y a partir de este intervalo se dena elsegundo medio. Los relojes se ajustaban de manera de seguir lo mas exactamente posibleel largo del da solar.El da sideral se determina midiendo el tiempo que transcurre entre dos pasos conse-cutivos de una estrella muy brillante a traves del meridiano del observatorio astronomico.Cuando la exactitud alcanzada en la medida del tiempo mejoro, fue posible pregun-tarse si efectivamente la duracion del da era una constante a traves del tiempo o sufrapeque nasvariaciones. Ladudaseoriginodel siguientemodo. En1936, losrelojesdependuloalcanzaronunaprecisiondeunaparteen108yas selogroestablecerqueellargo del da en el mes de Enero de ese a no excedio al de Julio por, aproximadamente 5milisegundos.4 CAPITULOI. INTRODUCCIONMas adelante, con la aparicion de los relojes atomicos que alcanzan una precision deunaparteen1012o1013,quedoabsolutamenteclaroqueladuraciondeldavariabaen forma compleja con componentes periodicos anuales, semianuales, con el perodo delaLunaeinclusoduranteeltranscursodeunanocheconamplitudesdelordendelasdecimas de milisegundo.ElfenomenodeEl Ni noocurridoen1982-1983, marcounmaximonotableenellargo del da, con un aumento de hasta 30 milisegundos sobre el valor promedio, duranteel mes de marzo de 1983.I.1.3. LongitudLas unidades siempre se denen en forma arbitraria. El criterio empleado para ele-girlas es, entre otros, facilidad de reproduccion y maniobrabilidad.Un ejemplo de esta arbitrariedad es la existencia de diferentes unidades de longitud:el metro, la pulgada, el pie, la yarda, la milla...etc.El metro (m) fue originalmente denido como la distancia que separa a dos marcasgrabadas sobre una barra fabricada de una aleacion de platino e iridio, que se guarda enla ocina Internacional de Pesos y Medidas en S`evres, Francia. La eleccion fue hecha demanera que la distancia entre el Ecuador y el Polo Norte, medida a lo largo del meridianoque pasa por Pars fuera exactamente 1 107metros.Esta ultima armacion nos hace meditar acerca de la necesidad de una nueva unidadde longitud, mas precisa y mas facil de repetir que la recien denida. Es difcil pensar enobtener una precision del orden de una parte en 107al medir una distancia tan grande,esto sin mencionar que fue realizada con los medios disponibles durante el siglo pasado.En la actualidad el metro se dene como:Unmetroesladistanciarecorridaporlaluzenelvacoen1/299.792.458segundos.Acontinuacionsemuestraunalistacondistanciasytama nosdediversosobjetos.Se incluyen las unidades usadas en astronoma.I.1. UNIDADES 5OBJETO DISTANCIATama no del Universo 1026mGalaxia Andromeda 6, 5 105parsec 2 1022m1 parsec 1 pc 3,086 1016m = 6, 48 105/ A.U.Unidad Astronomica = 1 A.U. 1,49597892 1011m-Centauri (estrella mas cercana) 1,3 pcVega (estrella brillante) 8,1 pcDiametro de nuestra Galaxia 3 104pcDist. SolCentro de la Galaxia 9 103pc1 A no Luz 9, 4605 1015mDistancia Sol Tierra 1 A.U.Radio del Sol 6, 9599 108mDistancia TierraLuna 3, 84 108mRadio de la Tierra 6, 37817 106mRadio de la Luna 1, 738 106mGrano de Sal 103mVirus 107mRadio de un Atomo 1012mRadio del N ucleo Atomico 1015m6 CAPITULOI. INTRODUCCIONUnacaractersticaimportantedel sistemainternacional SI es suestructuradeci-mal:lasunidadesmasgrandessedenencomopotenciasdediezdelasunidadesmaspeque nas. Porejemplo, 1kilometro 1 km=103m, 1m=102centmetros 10milmetros 10 mm, 1 mm = 103m.En la siguiente Tabla se indican los nombres de las potencias de diez mas utilizadasen la literatura cientca.TABLAPotencia Prejo Abreviacion1012tera T109giga G106mega M103kilo k102hecto h10 deca de101deci d102centi c103mili m106micro 109nano n1012pico p1015femto fConviene mencionar tambien un sistema de unidades no decimal cuyo uso esta practi-camente restringido a los Estados Unidos: el Sistema Tecnico Ingles. Su unidad funda-mental delongitudeslapulgada =2,54cm, cuyasequivalenciasson1pie=12pulgadas = 1/3 yarda0.3048m.I.1.4. MasaEl kilogramo (kg) se dene como la masa de un cierto cilindro de Platino e IridioqueseguardaenlaocinaInternacional dePesosyMedidasenS`evres, Francia. Unkilogramo es aproximadamente igual a la masa de 1000 centmetros c ubicos de agua, auna temperatura de aproximadamente 4C, donde su densidad alcanza el valor maximo.I.2. ANALISISDIMENSIONAL 7Ejemplos deunidades del SistemaInternacional expresadas enbasealas unida-desfundamentalesson: fuerza, 1newton 1 N=1kgm/s2ylaunidaddeenerga,1joule 1J = 1kgm2/s2.Cuandonuestroestudioseextiendaaareasdelafsica, masalladelamecanica,necesitaremosagregarotrasunidadesfundamentales. Enel sistemainternacional (SI)estas son: launidaddetemperatura(el gradoKelvin,oK), launidaddeintensidadluminosa (la candela (cd)), la unidad de corriente electrica (el Amp`ere (A)) y el mol desubstancia (NA N umero de Avogadro = 6,022137 1023partculas).I.2. ANALISISDIMENSIONALEn una expresion algebraica, las unidades son tratadas de la misma manera que lapropiedad a la cual acompa nan. Por ejemplo, si en una ecuacion una cantidad es sumada,restada, dividida o multiplicada por otra, lo mismo acontece con las unidades asociadas aellas. Para ilustrar esto, consideremos la distancia que recorre un objeto, inicialmente enreposo, cuando es sometido a una aceleracion constantea = 2m/s2durante 0,1 horas.Dicha distanciad se calcula mediante la siguiente expresion:d =12 a t2=12 2 ms2 _0,1 hora 3600shora_2= 129,600 m = 129,6km,aqu, la aceleracion se ha multiplicado por un factor que tiene dimensiones de (tiempo)2.En la segunda igualdad se realiza la conversion de horas a segundos y en esa operacion,las unidades son tratadas como una cantidad algebraica.Convienerecalcarque cuandose sumanorestanterminosenunaecuacion,todosellosdebentenerlamismadimensionyestarexpre-sados en las mismas unidades. As por ejemplo, si ves una velocidadytesel tiempo, lasiguienteecuacionestadimensionalmenteinco-rrecta:y = v t + v t2pues,eltermino[v t],tienedimensionesde[longitud/tiempo] [tiempo]=[longitud],en tanto que las dimensiones de [v t2] son [longitud/tiempo] [(tiempo)2] = [longitud] [tiempo].A menudo el analisis dimensional permite detectar errores de calculo. Por ejemplo,silapropiedadqueestasiendoevaluadaeslaenerga,elresultadodebetenerdimen-siones demasa (velocidad)2(en el Sistema Internacional de Unidades ,kg (m/s)2).Analogamente, al evaluar un area, el resultado debe tener dimensiones de (longitud)2.Si esta condicion no se cumple, signica que existe un error en el calculo.8 CAPITULOI. INTRODUCCIONEjemploRecordemos queparaconstruir untriangulobastaconocer unladoydos delosangulos adyacentes a el. Con estos datos el triangulo queda totalmente determinado.Usandoestehechoyel analisisdimensional, compruebeel TeoremadePitagoras:a2+ b2= c2.Como eneste caso se trata de untriangulo rectangulo, solo necesita-mos conocer un lado y uno de sus an-gulosadyacentes, puestoqueel res-tante es el complemento del anterior.Porotraparte, sabemosqueel areade un triangulo debe tener las dimen-siones de longitud al cuadrado.Es posible entonces escribir una formula para el area de un triangulo rectangulo, dela siguiente forma:Area del trianguloABC Ac = c2f(),dondecesel ladodel triangulorectanguloyesel anguloadyacente. Estaformulano especica la funcionf() y solo se sabe que debe ser una cantidad adimensional, deacuerdo a los resultados de esta seccion.Ademas, debeserunaformuladevalidezgeneral, puestoqueapartirdeesosdoselementos:c y, el triangulo rectangulo queda determinado, es unico, y por lo tanto suarea debe depender solamente de estos dos valores, de forma que al variar uno de ellos,se modica el triangulo y, en consecuencia, cambia el valor de su area.SiUd.recuerdasuscursosdegeometra,probablementeconocedevariasformulaspara determinar el area de un triangulo, siendo la mas simple, y por ello la mas usada,el producto de la altura por la base dividido por dos. La formula propuesta mas arribaes sin duda una de las expresiones menos usadas para evaluar el area de un triangulo.Como es una expresion general, se aplica tambien al triangulo ACD, con la mismafuncionf(). Mas a un, tambien es valida para el triangulo CBD. En resumen,AreaACD Ab = b2f(), AreaCBD Aa = a2f(),y como el area del triangulo ABC,Ac, es la suma de las areasAa yAb, se obtiene que:Ac = Aa + Ab= c2f() = a2f() + b2f() = c2= a2+ b2.I.2. ANALISISDIMENSIONAL 9Ahoraesfacildeterminarlafuncionf()usandolaformulausualparaelareadeuntriangulo:c2f() =a b2= f() =a b2 c2=cossen 2. 2EjercicioUna pelota se lanza con velocidad horizontal v, desde una altura H, medida desde lasupercie de la Tierra. La distancia horizontal que recorre la pelota hasta el momentoen que choca contra el suelo esR. Se sabe que la partcula se mueve bajo la accion delaaceleraciondegravedadg=9,8m/s2. Usandoanalisisdimensional encuentreunaexpresion paraR en funcion deH,v yg.EjercicioUnidades Geometrizadas. A partir de las constantes universales de gravitacion G, dela velocidad de la luz en el espacio vacoc, y de Planckh, es posible construir unidadesfundamentales de longitudL, masaM y tiempot.G = 6,671011_m3kgs2_, c = 2,9979108_ms_, h = 6,62611034_kgm2s_.Construya las unidadesL,M yt, combinando adecuadamente las constantes univer-sales mencionadas.EjercicioUn experimentador encuentra que en ciertas condiciones la altura de un cuerpo sobrela supercie de la tierra vara con el tiempot, de acuerdo a la ecuacion:z(t) = a + bt + ct2i) Que dimensiones tienen las constantesa,b yc ?ii) Cual es el signicado fsico de cada una de estas constantes?10 CAPITULOI. INTRODUCCIONI.3. FISICA,MATEMATICASYCOMPUTACIONLa Geometra es una herramienta importante en la formulacion y analisis de los pro-blemas que nos interesa estudiar en fsica, as como tambien lo es el calculo diferencial.Dehecho, este ultimofuedesarrolladoporNewtonsimultaneamenteconLeibnitz,paraexpresarsusleyesenformaprecisa.Alnaldellibrohemosincluidouncomple-mento matematico donde repasamos brevemente los conceptos basicos de trigonometraynocionesdeseries, haciendoenfasisenlasaproximacionesyenel calculodel areaencerrada bajo una curva, que son los procedimientos mas requeridos en fsica.Al nal deestaseccionseincluyeunconjuntodeejerciciosrelacionadosconestamateria.La denicion de derivada se incorporo junto con la introduccion de velocidad, en elsegundo captulo.Con respecto a las ciencias de la computacion, es claro que en los ultimos veinte a nos,la investigacion, la ingeniera y la ense nanza han sido paulatinamente inuenciadas porella. Su impresionante desarrollo ha permitido resolver problemas muy importantes deFsica e Ingeniera y contin ua abriendo nuevas lneas de investigacion en diferentes areasdel conocimiento. El computadorsehatransformadoenunaherramientadetrabajoesencial en casi todos los aspectos de la sociedad moderna. En particular, aquellos pro-blemas cientcos o tecnologicos que se tornan muy difciles o imposibles de resolver pormetodos analticos, pueden normalmente ser abordados numericamente.Apesardelaimportanciadelcalculonumericoenciencia,seratratadoocasional-mente durante este curso introductorio.I.4. ELARTEDELASESTIMACIONESCerramosestecaptuloconunejemplocuyoplanteamientoesdiferentealousual.Resolveremos un problema estimando, con nuestro criterio, los valores de los datos ne-cesarios para la resolucion.Estetipo deejercicios fueronpopularizadosporEnricoFermi(1901-1954)(PremioNobel en1938), destacadofsicodeorigenitaliano, dotadodeunahabilidadinnataparaencontrarrespuestasaproximadasaproblemascomplejos, sinrecurriracalculoselaborados.Loquesepretendeesobtenerunarespuestaparaunproblemadeterminado,cuyasolucionexacta,deexistir,requeriragrancantidaddetrabajo,yaseaparacalcularobien para recolectar la informacion necesaria para realizar los calculos.El ejemplo con que ilustramos este metodo, fue planteado por el propio Fermi a susestudiantes en la Universidad de Chicago. Les pidio estimar el n umero de anadores depiano que trabajaban en la ciudad de Chicago.I.4. ELARTEDELASESTIMACIONES 11La primera impresion es que la pregunta no puede ser respondida pues falta muchainformacion; sin embargo, al analizar la situacion es posible darse cuenta que se puedellegaraunaestimacionrazonableacercadeln umeropedido.Unaformadehacerloescomenzar por estimar la poblacion de la ciudad de Chicago, digamos: cinco millones dehabitantes (es una ciudad como Santiago). Si suponemos que en promedio una familiaesta formada por cuatro personas, eso da un total de 1.250.000 familias. Ademas, si unadecadacincofamiliasposeeunpiano, entoncesdeberanhaberdel ordende250.000pianosenChicago.Siconsideramosquecadapianoesanadoaproximadamentecadacinco a nos, eso da un total de 50.000 anamientos por a no. Ahora bien, un tecnico puededar servicio en forma adecuada a unos 4 pianos diariamente y supondremos que trabajadoscientos cincuenta das al a no. Esto signica que para dar servicio a todos los usuariosdeChicagoserequierendelordende50,000/(250 4)=50tecnicos.Larespuestaesaproximada, pero no se aleja mucho del n umero de tecnicos que aparecen en las paginasamarillas de la gua de telefonos de la ciudad de Chicago.Dependiendo de las estimaciones utilizadas durante el desarrollo del calculo, se podrahaber obtenidounn umerotanbajocomo25otanaltocomo75, perociertamenteel n umeronal difcilmenteresultarasuperior a100. Larazonpor lacual estetipodecalculopuedeentregarresultadosacertados,radicaenlacancelaciondeloserrorescometidos en las diversas estimaciones. Si nos excedimos en el n umero de habitantes de laciudad de Chicago, es posible que hayamos subestimado la cantidad de pianos atendidosdiariamente por un tecnico. Es decir, los errores en cada uno de las n umeros considerados,estan distribudos aleatoriamente (i.e., al azar). Por supuesto, el entrenamiento en el artede resolver situaciones similares, mejora la precision de las respuestas.EjercicioRepitalaestimacionanteriorparael casodelaciudaddeSantiago. Comocam-biaran las cifras usadas anteriormente?EjercicioLasciudadesdeNuevaYorkyLosAngelesenUSAestanaproximadamentealamisma latitud y separadas unos 4500km. Ademas, se sabe que cuando en Nueva Yorkson las 10 de la ma nana, en Los Angeles son las 7 de la ma nana. Estime el permetro dela Tierra sabiendo que ambas ciudades no estan muy alejadas del Ecuador terrestre.EjercicioUndgitobinariorecibeel nombredebit. Ungrupodebitssedenominaunapa-labra. Una palabra de ocho bits recibe el nombre de byte. Una letra normal cualquieraesta representada en lenguaje binario por un byte. Suponga que se dispone de un disco de12 CAPITULOI. INTRODUCCIONcomputador con capacidad para 100 Megabytes. Estime el n umero de libros que podranser almacenados en ese disco.I.5. EJERCICIOSEnel enunciadode los problemasde Trigonometra que se plantean acontinuacion, nos referimos a los la-dosyangulosqueseindicaneneltriangulo rectangulo de la Figura.1.Hallar el valor de las funciones trigonometricas del angulo A, sabiendo que:a) a = 8 , b = 15, b) b = 2 , c = 11, c) a = p , b = q.2.Encontrar el valor de las funciones trigonometricas (sen, cos, tan, etc.) del anguloB, sabiendo que:a) a = 5 , c = 7, b) b = 5 , c = 13, c) a = 6 , b = 8.3.Dados cos A = 0.44, c = 30.5 ; hallar el valor deb.4.Si tan A = 11/3 y b = 27/11 ; hallar el valor dec.5.Para que valor del angulo agudox, se cumple: tan (30x) = cot (30 + 3x) ?6.Determinar el valor de los angulos agudos A y B, de un triangulo rectangulo, si secumple la siguiente relacion sen 2 A = cos 3 A .7.Sib = 2a, determinar el valor de las funciones trigonometricas de A (sen, cos, tan,etc.) Por que no aparecea yb en ellas?8.Dados:A = 30, a = 25, encontrar el valor de c, B y b.9.Dados:B = 45,b = 15, determinar el valor de c, A y a.10.Hallar el valor de sen2A + cos2A, paraA = 30, 45, 60.I.5. EJERCICIOS 1311.Demuestre que cos 60 = 2 cos2(30) 1.12.Expresar cada una de las siguientes funciones como una funcion del angulo com-plementario.a) tan 30, b) cos 20, c) sec 81,d) sen (3333

), e) csc( 7217, 4

).13.DarlosvaloresdelanguloA,comprendidosentre0y360,quesatisfacencadauna de las siguientes ecuaciones:a) sen A = 1/2, b) cosA = - 1/2, c) tanA = 1,d) cotA = 3, e) secA = 2.14.Expresar el resto de las funciones trigonometricas, en funcion de sen A.15.Escribir en funcion de cscA, cada una de las otras cinco funciones de A.16.En un triangulo rectangulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a 5/2 del productode los catetos, hallar el valor de la tangente del mayor de los angulos agudos deltriangulo.17.Demostrar las siguientes igualdades:a) cosx tanx = sen x, b) sen x secx tanx = 0,c) sen x cotx = cosx, d) cos2x sen2x = 1 2sen2x,e) cos2x sen2x = 2 cos2x 1, f) (1 + tan2x) cos2x = 1,g) (sen x + cosx)2+ (sen x cosx)2= 218.En un triangulo rectangulo se tienen los siguientes valores para sus lados y angulos:a = 1, A = 30c = 2, B = 60.A partir de ellos, construya una tabla de senos, cosenos y tangentes para los angulos0, 30, 60y 90.19.En cada una de las expresiones siguientes, realice las transformaciones necesariaspara expresarlas en funcion de.14 CAPITULOI. INTRODUCCIONa) sen( + ), b) cos (270), c) tan(540 + ), d) cot (630),e) cos ( 5/2), f) sen ( 90) g) tan (/2 ).20.Un arbol ha sido quebrado por el viento. La parte inferior del tronco, permanecevertical ytieneunaalturade5m. Lapartederribadaseapoyaconunodesusextremos en el tronco y con el otro en el piso, dibujando un angulo de 35con elpiso.Calcular la altura que tena este arbol antes de partirse en dos.21.Para calcular el ancho de un ro, se mide una distancia, AB (ver Figura), a lo largode su orilla, tomandose el punto A directamente opuesto a un arbol C, ubicado enla otra ribera. Si el angulo (ABC) es de 55y la distancia AB de 10 m, cuales el ancho del ro?22.El mastil de un gran navo tiene una altura de 30 m sobre el nivel del mar. Lejosde all , un pescador en su bote, ve el mastil subtendido por un angulo de 5. Si elangulo esta en un plano vertical: a que distancia se encuentra el bote?(Desprecie la altura del bote y del pescador que esta sentado en el.)23.Al observardostorresdesdeel puntomediodeladistanciaquelassepara, losangulosdeelevaciondesusextremossuperioresson30y60respectivamente.Demostrar que la altura de una de las torres alcanza el triple del valor de la alturade la otra.24.Al aproximarse una patrulla de reconocimiento a un fuerte (ver Figura) situado enuna llanura encuentra que, desde un cierto lugar, el fuerte se ve bajo un angulo deI.5. EJERCICIOS 1510, y desde otro punto, 200 m mas cerca del fuerte, se ve bajo un angulo de 15Cual es la altura del fuerte y cual es su distancia al segundo lugar de observacion?25.En un hexagono regular de ladoa, se pide:a) Calcular los radios de los crculos inscrito y circunscrito en funcion dea.b) La diferencia entre las areas del hexagono y el crculo inscrito.c) La diferencia entre las areas del hexagono y el crculo circunscrito.26.Con el n de medir la altura,h, de un objeto se ha medido la distancia entre dospuntos, A y B, a lo largo de una recta que pasa por su base en un plano horizontaly resulto ser metros. Los angulos de elevacion de la punta del objeto desde A yB resultaron ser yrespectivamente, siendo A el punto mas cercano a la base(ver Figura siguiente). Demostrar que la altura esta dada por la formula:h =

cot cot , si A y B estan del mismo lado, y por:h =

cot + cot, si A y B estan en lados opuestos de la base del objeto.27.A partir de la serie:(1 + x)n=n

=0n!(n )!x!compruebe que parah 0, , kN,I.5. EJERCICIOS 17entonces

k=0bkdiverge.Usando estos resultados que no necesita demostrar, estudie la convergencia de:i)

k=11k (k + 1)ii)

k=1_k + 1k_,iii)

k=01k!(k + 1)!iv)

k=1kk, > 0Indicacion:i) Recuerde que 1/[k (k+1)] = 1/k 1/(k + 1).ii) Compare (k+1)/k con 1.iii) Compare con la serie correspondiente al n umeroe.31.Es com un utilizar la siguiente aproximacion sen (para peque no), cuandoel angulo esta expresado en radianes.a) A partir de la denicion de radianes como medida angular, justique esta aproxi-macion.b)Usandolaexpresionasociadaalaseriesen ,demuestrequelaaproximaciones correcta.32.Repita el analisis del problema anterior, con la aproximacion:cos 1 (para peque no).33.Una persona ubicada en el punto P de la Figura, observa dos montes con angulosde elevacion yrespectivamente.Si el de la izquierda tiene una alturah y la separacion entre ambos es D, calculela altura del monte opuesto.18 CAPITULOI. INTRODUCCION34.Sean y dos angulos medidos en radianes.i) Usando la expresion para la suma de angulos, calcule:[ sen( + ) sen ],ii) Haga tender a cero el valor de , es decir, suponga que 0, mantienenlaconvergenciadelassiguientesseries:i)

k=0_2_k, ii)

k=02k.d) Cual es el valor de las series anteriores suponiendo que convergen?37.Use el triangulo de la Figura para encontrar la expresion de cos(+) en funcionde cos, cos, sen y sen .38.En esta Figura se puede apreciar la diferencia entre un da sideral y uno solar.20 CAPITULOI. INTRODUCCIONParahacerlaexplicacionmassim-ple,supongamosqueesposibleob-servar las estrellas durante el da. Enrealidad las estrellas estan all y dehecho los radioastronomos las obser-van durante el da.Paraunobservadorenel Ecuador,el da solar es el intervalo que trans-curreentredos pasos consecutivosdel Sol por el cenit (posicion del Soljusto sobre nuestras cabezas). El dasideral es el tiempo comprendido en-tre dos pasos consecutivos de unaestrella lejana por el cenit.La diferencia que existe entre ambas deniciones se debe al movimiento de trasla-cion de la Tierra alrededor del Sol como se indica en la Figura que se acompa na.Este desplazamiento no cambia la posicion de la estrella lejana precisamente porestartanlejana, perolaposiciondelSol enelcenitocurreantesquelaTierraalcance a dar una vuelta completa alrededor de su propio eje.Determinar el valor del angulo denido en la Figura. Calcule la diferencia, ex-presada en segundos, entre el da sideral y el da solar.39.Encontrar el desarrollo en serie de cos 3 , en potencias de.Desprecie las potencias de orden4, o mayores.40.Demostrar que el puntomediodeunaescaleradelargoL,queresba-laapoyandoseenelmuro,describeuna circunferencia.Laecuacionde unacircunferenciade radioR es:x2+ y2= R2.41.Sepidecalcularel volumendel conoquesemuestraenlaFigurahaciendousode las herramientas matematicas introducidas en el complemento matematico delapendice. Para ello se sugiere trabajar de la siguiente forma:a) Descomponga el cono en una suma de troncos de cono de altura constante ycuyo volumen esta dado por la formula siguiente:I.5. EJERCICIOS 21VTronco de Cono = _rn + rn+12_2 .Sume cada uno de estos vol umenes hasta completar el cono. Use las propiedadesde la sumatoria y los resultados obtenidos anteriormente para:

n=Nn=1n2=N(2N + 1)(N + 1)6,

n=Nn=1n =N(N + 1)2,rn = n tan, = Cte., tan =aL= Cte.b)Paraobtenerelvalorexactodelvolumende uncono, tome los si-guientes lmites en los resultados an-teriores: 0, N ,demaneraqueel productoperma-nezca constante.lmN 0N = L.42.Unacamionadadearenasecasedescargaformandounconocuyabaseesunacircunferenciade4metrosdediametro. Si lapendientedelaarenasecaesde = 32 y su densidad es = 1, 7 g/cm3, calcule la masa de la arena.43.Encuentre el angulo entre dos diagonales de un cubo.44.Un tetraedro regular es la gura geometrica que se obtiene al formar una piramideconcuatrotriangulosequilaterosidenticos.Encuentreelanguloentredosdesuscaras.45.Un tambor de 50 cm de radio y 1.5 m de largo se encuentra en posicion horizontalapoyado sobre su manto y lleno con parana hasta una altura h = 60 cm. Cuantoslitros de parana hay en el tambor?22 CAPITULOI. INTRODUCCION46.Para que latitud, el paralelo terrestre tiene 1/3 de la longitud del Ecuador?47.Al incidir un rayo de luz sobre una supercie que separa dos medios diferentes, porejemplo, al pasar del aire al vidrio o viceversa, esta sufre un cambio de direccion(verFigura).Estefenomenoseconoceconelnombrederefracciondelaluz.Laecuacion que describe este fenomeno es la Ley de Snell:sen sen =vairevvidriodonde vaire y vvidrio, corresponden a la velocidad de la luz en el aire y en el vidriorespectivamente. (Para el vidrio com un se acepta el valorvaire/vvidrio1,5).Supongamos queunhazdeluzincidesobreunvidriodecaras paralelas yde2 cm de espesor, con un angulo de incidencia = 40. Determine el espesord delvidrio para el cual el rayo de luz emergente se encontrara paralelamente desplazadorespecto al incidente. (Ver Figura).48.Considereahoraunrayodeluzincidiendosobreunprismaenlaformacomosemuestra en la Figura. Encuentre el angulopara = 20, 40, 50 y 70.Para que valor del angulo incidente, el rayo de luz se propaga paralelamente ala cara interior del lado opuesto al de incidencia del prisma?Para valores de mayores, el haz de luz se reeja especularmente en la supercieinterior del prisma. Este fenomeno se conoce con el nombre de reexion total.49.Desde un puntoD, un observador divisa una estatua con su pedestal. Conoce sualtura y la del pedestal, que son 5 y 4 m, respectivamente.I.5. EJERCICIOS 23El angulo de elevacion de la cabezade la estatua con respecto al piso esel doble del angulo que subtiende elpedestal.Apartir de estos datos, calcule aquedistanciaseencuentraesteob-servador.50.Usandoelmetododelassumatorias,calculeelvalordelareaencerradaentrelalneay = x y la parabolay = x2, entre el intervalo [0,1] del eje x.Respuesta: 1/6.24 CAPITULOI. INTRODUCCION51.Estimacionesdeltama nodelaTierra.Los antiguos reconocieron la esfericidad de la Tierra a traves de diversas observa-ciones:a) Enlos eclipses deLunalasombradelaTierrasobrelasupercielunar esredonda.b) La elevacion de una estrella sobre el horizonte vara con la latitud.c) Los barcos se pierden rapidamente de vista desapareciendo bajo el horizonte alalejarse.Uno de los primeros valores para el permetro del globo terraqueo fue obtenido porEratostenes ( 330 A. de C.).Eratostenes saba que al medioda del 22 de Junio el Sol caa verticalmente en Siena(actualmente Asuan): la luz solar que incida sobre un profundo pozo se reejabaen el fondo hacia arriba. (Ver Figura). El mismo da, a la misma hora, se midio enAlejandralasombradeunaltoobelisco.EratostenesencontroquelosrayosdelSol formaban un angulo de 7, 5 con la vertical.Figura I.2: Ejercicio # 51. El valor obtenido por Eratostenes no resulto ser el correctodebido a la imprecision en la medida de las distancias.Sabiendo que Alejandra se encuentra a algo mas de800 Km.al Norte de Siena,estime el valor del permetro y radio terrestres.52.Estimaciondelalcancevisualsobreelhorizonte.Suponga que un observador se encuentra a una altura h sobre el suelo en un terrenosin accidentes . A que distancia, se halla el lmite del horizonte?(UseR = 6,400 km). Calcule para:h1 = 2 m, ( estatura de una persona),h2 = 20 m, ( viga de un barco),I.5. EJERCICIOS 25h3 = 300 m, ( altura del cerro San Cristobal).(Ver Figura)Figura I.3: Ejercicio # 52 Ejercicio # 5453.MasadelaTierra.La mayora de los lquidos y solidos constituyentes de nuestro planeta tienen den-sidades que uct uan entre 1 y 10 kg/lt. A partir de estos datos y usando R = 6,400km para el radio de la Tierra, estime un valor para su masa.54.RelacionentreeldiametrodelaLunaysudistanciaalaTierra.Se intercala una moneda de un diametro de 2 cm. entre el ojo y la Luna, ocultan-dola a la vista. La moneda se aleja gradualmente, encontrandose que el borde de laLuna empieza a ser visible cuando la moneda esta a unos dos metros de la pupila.Useestosdatosparaencontrarunarelacionentreel diametrodelaLunaysudistancia a la Tierra.55.Tama nodelaLunaydistanciaalaTierra.El tama no de la Luna fue comparado con el de la Tierra por Aristarco (270 A. deC.), durante un eclipse lunar. (Esto ocurre cuando la Tierra se interpone entre laLuna y el Sol). Aristarco midio el tiempo que tardaba la Luna en cruzar la sombradelaTierra, yencontroqueel diametrodelasombraterrestreeradosvecesymedia el diametro de la Luna.Sinembargo,lasombradelosplanetasnoesuncilindro,sinouncono.Duranteuna eclipse solar (cuando la Luna se interpone entre el Sol y la Tierra), es solo unpoco mas que el vertice del cono de sombra de la Luna lo que alcanza a la Tierra.26 CAPITULOI. INTRODUCCIONAristarco dedujo esto observando que durante el eclipse, la Luna cubre apenas eldisco solar. Argumento que en un eclipse de Luna, la sombra de la Tierra se reduceen la misma razon que en el caso de la Luna.Conestos datos, deduzcaque d=27D, donde des el diametrolunar yD, eldiametro terrestre. Usando este resultado, el valor del radio terrestre y la relacionentre el diametro de la Luna y su distancia a la Tierra, estime:a) el diametro lunar,b) la distancia TierraLuna.Figura I.4: Ejercicio # 55 Ejercicio # 5656.DistanciaTierraSol.LadistanciadelaTierraal Sol esdifcil deestimar. Aristarconotoquecuandohay media Luna (es decir, se ve iluminada exactamente la mitad del disco lunar),losrayosdelsoldebencaersobrelaLunaperpendicularmenteconrespectoalalnea de vision del observador. En ese momento es posible medir el angulo conque el Sol es visto desde la Tierra. Su valor es muy cercano al de un angulo recto:901.(Aristarco, erroneamente, lo estimo en: 903 ).Use este resultado y la distancia TierraLuna, para estimar la distancia TierraSol.Estime, ademas, la rapidez (modulo de la velocidad) con que la tierra orbita alre-dedor del Sol.57.NuevometodoexperimentalparaestimarladistanciaTierraLuna.Supongamos dos observadores A y B que estan ubicados sobre el mismo meridianoterrestre y dispuestos de manera tal, que los rayos de luz provenientes de la Lunaforman, tanto para A como B, un anguloXcon la vertical local, como se se nalaen la Figura.I.5. EJERCICIOS 27Figura I.5: Ejercicio # 57Para calcular la distancia entre la Tierra y la Luna, debemos conocer el valor delanguloZ. Una forma de obtenerlo es midiendo la distancia entre A y B sobre lasupercie terrestre.En la antiguedad, la determinacion de esta distancia resultaba difcil, preriendo-seelmetodosiguiente:cadaobservadormedaelanguloqueformabanlosrayosprovenientesdeunaestrellaelegidapreviamenteporambos, ylavertical enelrespectivo punto. Designando estos angulos comou para A yvpara B, se puededemostrar queZ = u + v.Obtenga esta relacion y justique la suposicion que los rayos que inciden en A sonparalelos con los que inciden en B.Ahora, suponiendo conocidos: R, X y Z, calcule, en funcion de estas cantidades, ladistancia TierraLuna medida desde el centro de la Tierra. Suponga que la Lunaes un objeto puntual.Por queambos observadores debenubicarseenunmeridianoenlugar deunparalelo, por ejemplo? Haga un diagrama para justicar su respuesta.58.Consigaunahojadepapel muylargayconungrosor de0, 1mm(104m).Comience a doblarla por su mitad, de manera que en cada doblez el grosor aumentaal doble.Cuantos doblecessonnecesarios, paraqueel grosornal queadquiere, alcancea cubrir la distancia TierraLuna (aproxi-madamente 380.000 Km)?Antes de hacer el calculo escoja alguna delas alternativas propuestas en la Tabla.a) 42 vecesb) 1320 vecesc) 483200 vecesd) 639421 vecese) 2, 4 108veces.Ahora calcule y concluya cuanto puede conar en su intuicion.28 CAPITULOI. INTRODUCCION59.Estudielasiguientesituacion: alrededor del Ecuador terrestreseconstruyeunanillometalicoquecalzaenformaexacta,sinhuelgo.Acontinuacionsecortaelanillometalicoenunpuntoyseleagregaunpedazodeanillode1metrodelongitud. Si al agregarle el nuevo pedazo, el anillo queda suspendido equidistantede la supercie terrestre a una alturah:a) Estime, sin calcular: A que altura queda el anillo?b) Haga el calculo numerico y compare con su estimacion.60.a) Con que rapidez puede Ud. lanzar una piedra?b) Que velocidad cree Ud. que alcanza una bala a la salida del ca non.En ambos casos, justique cuantitativamente su estimacion.61.a) Calcule numericamente el valor de la siguiente serie:

k=1k(k + 1)!=?Indicacion:Calcule esta suma con tres cifras signicativas. Descarte los terminos de la serie maspeque nos que 104y al sumarlos aproxime la ultima cifra de modo que mantengael mismo n umero de cifras signicativas del comienzo.Si sabe el mnimo de BASIC u otro lenguaje de programacion... olvdese de estasinstrucciones y haga que la maquina calcule.b) Recordando queex= k=0xk/k!Calcule el valor exacto de la serie propuesta en la parte a).Se propone el siguiente metodo:1) Escriba la serie correspondiente al n umeroe = e1.2) A la serie propuesta en la primera parte, s umele la serie

k=01/(k + 1)! termino a termino.3) Relacione esta nueva serie con la del n umero e.62.Demuestre la siguiente igualdad trigonometrica:sen sen( /2)=_cos/2 +sen cos2( /2)cos (/2) sen (2 )_.I.5. EJERCICIOS 2963.Enesteejerciciodeniremosladivisionentren umeroscomplejos. Del texto, yaconocemoslamultiplicacionentreestosn umeros. Porotrolado, sabemosqueladivision es la operacion inversa de la multiplicacion. Comencemos entonces por elinverso de un n umero complejo.a) InversodeuncomplejoDado un n umero complejo z = a+ib, el inverso, al que llamaremos z1, sera aqueln umero (complejo) tal que:z z1= z1 z = 1. Esta operacion es abeliana.Encuentreunaexpresionparaz1,quecumplalacondicionanteriorytengalaformaz1= c + i d?c yd son n umeros reales y dependen solo de los valores deayb.Compruebela paraz = 1 + i 5b) DivisionParadividircomplejossolotenemosquemultiplicarporel inversodel complejocon respecto al cual nos interesa dividir.As :z1z2= z1 z12Dadoz1 = a + i b yz2 = c + i d, demuestre quez1z2= (a c + b d)/(c2+ d2) + i (a d + b c)/(c2+ d2)64.La Figura muestra un pendulo bilar. Este pendulo puede oscilar girando en tornoaunejehorizontal quepasaporlospuntosdeapoyo, ogirarentornoaunejevertical que pasa por el punto medio de la barra.Suponga que la barra se gira en 90ocon respecto a este eje vertical: calcule cuantose elevo la barra verticalmente.Cinemtica 1dimensinIntroduccin a la MecnicaNelson Zamorano HoleFacultad de Ciencias Fsicas y MatemticasUniversidad de ChileIntroduccin a la MecnicaNelson Zamorano HoleFacultad de Ciencias Fsicas y MatemticasUniversidad de ChileIIIndicegeneralII. CINEMATICA 29II.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II.2. GRAFICOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.2.1. Ecuacion de la recta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.2.2. La parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.3. VELOCIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.3.1. Velocidad constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II.3.2. Velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40II.4. VELOCIDAD INSTANTANEA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II.4.1. Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50II.5. ACELERACION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.5.1. Denicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.5.2. Dimensiones y unidades. (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59II.5.3. Aceleracion constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59II.5.4. La posicion en funcion del tiempo si la aceleracion es constante . . 59II.5.5. Formulas de cinematica en una dimension y con aceleracion cons-tante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61II.6. EJEMPLOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.7. VISCOSIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72II.8. EJERCICIOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75III.CINEMATICAENDOSDIMENSIONES 87iCaptuloIICINEMATICAII.1. INTRODUCCIONLa descripcion matematica de la trayectoria de un objeto es lo que denominamos cine-matica. En este captulo estudiaremos el movimiento de una partcula en una dimension.Este es un ejemplo muy simple, pero contiene todas las ideas basicas de la cinematica enmas dimensiones. De aqu podemos extendernos a los casos de dos y tres dimensiones.Cuando nos referimos a una partcula en el parrafo anterior, hablamos de un objetopuntual, despojado de dimensiones. Su descripcion natural es la de un punto matematico.Esta aproximacion al mundo real es de gran utilidad, por ejemplo, cuando se estudiael movimiento de la Tierra en torno al Sol, la distancia relevante es la distancia TierraSol, en este caso, el tama no de la Tierra es despreciable y esta puede ser tratada comouna partcula. En lo sucesivo repetiremos esta misma reduccion del tama no con diferentesobjetos.El movimiento de una partcula en una dimension nos lo podemos imaginar como undesplazamiento a lo largo de una lnea recta. En forma natural, es posible asociar estalneaconelejedelosn umerosreales.Laelecciondeunorigendivideaestarectaendos zonas. En forma arbitraria las denominamos lado positivo, a la derecha del origen y,negativo al restante.Lacoordenadaesunn umerorealqueseasociadealgunaformaconlaposiciondelapartculaencadapuntodelacurva. Si ademasespecicamosel instanteenelcual lapartculaocupodichaposicion, ladescripciondesumovimientoescompleta.Denotaremos porx(t) la posicion que tiene una partcula en cada instante de tiempot.La trayectoria es la funcionx x(t).En diversas circunstancias en el laboratorio por ejemplo, solo se conoce la posicionde la partcula en determinados instantes, en estos casos una tabladevalores, como laque se indica en la Figura, describe el movimiento.2930 CAPITULOII. CINEMATICAUna tabla de valores establece una relacion uno a uno entre dos conjuntos nitos den umeros.TIEMPO POSICIONt0x0t1x1......tjxj......Una buena estrategia para estudiar un movimiento es gracando la funcion x(t). Porejemplo, podemos ubicar los valores de t en el eje horizontal (abcisa) y la posicion corres-pondiente a ese instante en el eje x (ordenada). Una mirada a un graco, permite obteneruna gran cantidad de informacion, por esta razon es importante saber interpretarlos.Cuando una tabla de datos contiene muchos puntos podemos intentar unirlos por unalneacontinua. Estogeneraungraco. Enalgunoscasosesposibleasociarestacurvacon una funcionf(t) que relacione, en forma unica, la variablet conx = f(t).Generalmente existe una dispersion en los datos y no tiene sentido dibujar una curvax=f(t)quepaseatravesdetodosycadaunodelospuntos.Enestecasosepuedeajustar una curva elemental una curva que tenga una expresion analtica simple, queseaproximelomasposiblealosdatos.Existenprocedimientosconocidosquerealizanesta tarea y que son usados en el laboratorio.FiguraII.1: Unacurvaessuavesi lafuncionysutangentecambianenformaconti-nua.Encasoqueexistandiscontinuidadesdela curva (a),o sutangente(b),oambassimultaneamente (c), debemos analizar cada tramo por separado.Un ejemplo cuyo resultado se expresa mediante una funcion elemental, como polino-mios, funciones trigonometricas..., constituye el caso ideal para ser analizado en detalle.II.2. GRAFICOS 31En algunos casos debemos recurrir a los metodos numericos para resolver el problema.Comenzaremos estudiando las curvas mas simples y que se usan con mayor frecuencia:la lnea recta y la parabola.II.2. GRAFICOSII.2.1. Ecuaciondelarecta.La siguiente ecuacion representa una lnea recta:y = mx + n. (II.1)Conlosparametros mynesposiblecaracterizaracualquierlneatrazadaenelplano.Sabemos que dos puntos determinan completamente una recta. Basta marcar los dospuntosenlaFiguraII.2yenseguidatrazarconunareglaunalnearectaatravesdeellos.Para encontrar la relacion entre los valores de m y n y las coordenadas xP, yPy xQ,yQ de los puntos Py Q, elegimos la ubicacion de estos puntos de manera que simpliquenel algebra.Figura II.2: Las coordenadas de los puntos P y Q determinan los parametrosm yn dela recta. Las coordenadas del punto P son los valores xPeyP, que se obtienen trazandoporPuna paralela a la ordenada y a la abcisa respectivamente.Comoel puntoPpertenecealarecta, obedecelaecuacionII.1deformaquesecumple que:yP= mxP + n.De la Figura II.2 se sabe que xP= 0, puesto que su proyeccion sobre el eje x coincidecon el origen y por tanto el n umero asociado es precisamente 0. Al reemplazar este valoren la ecuacion de la recta anterior obtenemosyP= n.32 CAPITULOII. CINEMATICAUn razonamiento similar indica que:yQ = 0 = mxQ + n para el punto Q. De modoquexQ= n/m. Si relacionamosesta ultimaecuacionconel valordelacoordenadayP= n, obtenemos:m =yPxQ> 0, puesto quexQ< 0.Recordando la denicion de tangente del captulo anterior, descubrimos quem es preci-samente la tangente del angulo en el triangulo QOP.La generalizacion de esta denicion para cualquier par de puntos 1 y 2 es la siguiente:m =y2y1x2x1pendientedelarecta. (II.2)EjercicioDemuestre que esta denicion generalizada de m, coincide con el valor obtenido param en el caso particular de la Figura II.2.2Algunoscasosparticularesdelaecuaciondeunarecta.Si ponemosn = 0, la ecuacion II.1 queda:y = mx, y representa una recta que pasaa traves del origen.Figura II.3: Ejemplos de la ecuacion de una recta. Cada una de las Figuras representaun caso particular de las ecuaciones estudiadas.Si m = 0, la pendiente de la recta es nula y por tanto es paralela al ejex. En estecasoy = n, independiente del valor asignado ax.Otrocasoparticulareslaecuacionx=a. Estaecuacioncorrespondeaunarectaperpendicular al ejex que lo corta en el puntox = a. En rigor, esta ecuacion no es unafuncion: no queda denido como asociar en forma unica un solo valor de y al punto x=a.II.2. GRAFICOS 33En algunos ejemplos de cinematica, la pendiente de una funcion o la funcion mismasufren un salto repentino. En estas situaciones, cada discontinuidad se nala el comienzode una nueva ecuacion para la recta. A continuacion se incluye un par de estos casos.Ejemploy = 0 x 0,y = x 0 x 3,y = x + 3 x > 3.a)Enx = 0lafuncionescontinuapero la pendiente es discontinua. Enx = 3 se produce una discontinuidadde la funcion y de la pendiente.b) Otro caso del mismo tipo es:y = 3, para x < 0,y = +3 0 x < 4,y = x x 4.EjercicioEscriba la ecuacion correspondientea cada uno de los lados del triangulorectangulo de la gura adyacente.2II.2.2. Laparabola.La ecuacion de una parabola es:y = ax2+ bx + c (II.3)Los valores que toman los parametros a, b y c determinan las distintas formas queadopta la parabola. Algunos de estos casos se incluyen en la Figura II.4.La interseccion de la parabola con el ejex (cuya ecuacion esy = 0) son las races dela ecuacion cuadratica. Cuando la parabola no corta al eje x, las dos races son n umeros34 CAPITULOII. CINEMATICAcomplejosconjugados. Cuandolatocaenunsolopunto, lasdosracesdelaecuacionson iguales.Familiarizarse con el graco de una parabola es fundamental. El movimiento de unapartculasometidaaunaaceleracionconstanteporejemplo, encadalibresobrelasupercie de la tierra, queda descrito precisamente por esta curva.FiguraII.4:Signicadogeometricodea,byc. a>0:indicaconcavidad( ), a 0, y = ax2+ bx + c = 0, posee dos races reales:x1,x2; a, [b24 a c] < 0, y = ax2+ bx + c = 0, dos races complejas:z1,z1 ; a, [b24 a c] = 0, y = ax2+ bx + c = 0, dos races reales iguales:x1 = x2.( para todo).EjemploEncontrar las coordenadas de los puntos donde una recta intercepta una parabola.La ecuacion de la parabola esy = x2+ 2 y la recta obedece a la ecuaciony = x.Laintersecciondelasdoscurvasindicaqueambastienenal menosunpuntoencom un, llamemosle P. Como el punto pertenece a ambas curvas, sus coordenadas,xPeyP, deben satisfacer las ecuaciones de ambas curvas simultaneamente. En P se cumpleentonces que:II.2. GRAFICOS 35Figura II.5: A la izquierda se dibujan los gracos de la recta y la parabola, con las letrasy1ey2. A continuacion se superponen ambos gracos. En el ejercicio se pide encontrarlas coordenadas de los puntos de interseccion.Ecuacion Ecuacionde Comosecumpledelarecta: laparabola: para x:yP=xP, yP= x2P+ 2, = x = x2+ 2.Las dos soluciones de esta ecuacion cuadratica son:xP= 1 = yP, yxQ = 2,yQ = 2.EjercicioGraque el polinomioy = x3+b x +c, para distintos valores deb yc, hasta obteneruna combinacion tal que solo exista una raz real para la ecuacion c ubica.Indicacion: Recuerdequelasracesdeunpolinomioseobtienenponiendoy=0. Porejemplo, si c = 0 yb< 0, entonces existen tres races reales, un de ellas esx = 0 y lasotras dos sonx = b. Examine a continuacion que sucede conb 0. 2EjemploEncuentre las coordenadas del vertice del rectangulo que encierra el area maxima yque esta inscrito en una elipse, cuya ecuacion esx2/m2+ y2/n2= 1.Para hacer contacto con la ecuacion de una parabola vamos a considerar el cuadradodel area en lugar del area. Este es un truco que no afecta el resultado puesto que el areaes positiva: si / es el area maxima, /2, tambien lo es.36 CAPITULOII. CINEMATICAFigura II.6: Rectangulo inscrito en una elipse, cuya ecuacion esta dada en el texto. A laderecha se indican los casos extremos, en los cuales el valor del area /, tiende a cero.De la Figura, sabemos que /2= 16 x2y2, pero como el punto Pse ubica en la elipse,debe cumplir la ecuacion de la elipse, es decir:y2= n2[1 x2/m2], = /2= 16 n2x2[1 x2/m2].Deniendov x2yU /2obtenemos la ecuacion:U= 16n2m2v2+ 16 n2v,esta es la ecuacion de una parabola,cona = 16n2m2,b = 16 n2yc = 0,deacuerdoaladeniciondeestasletras dadas inicialmente. Cuandov=0=x=0, U=0yporlotantoel area /esnula. Lomismosucedesi v =m2=x=m, elarea / = 0. Como a < 0, la parabo-latieneformade , deacuerdoalo se nalado anteriormente. Tambiencomoc = 0,sabemosquepasaporel origen.Para calcular el maximo de / debemos gracar la funcion, dandonos previamente losvalores dem yn. En el caso mas simple, conm = n = 1, se obtieneU= 16 v2+ 16 v,y gracando esta funcion o haciendo una tabla de valores, encontramos quev = 1/2maximiza U. De aqu se obtiene x = y = 1/2, y por lo tanto, con estos valores de m yn, el area maxima se logra con un cuadrado. Este es un resultado esperado, puesto queal ponerm = n = 1, la elipse se transforma en una circunferencia.EjercicioII.3. VELOCIDAD 37Demuestrequeparael casom ,=1yn ,=1, el maximodelafuncionUdenidaanteriormente ocurre parav = m2/2 y que el valor del Area del rectangulo es: /max=2mn.2II.3. VELOCIDADII.3.1. Velocidadconstante.Como mencionamos anteriormente, iniciamos el estudio de la trayectoria de los cuer-pos restringiendonos a movimientos en una dimension.Para determinar la posicion que ocupa el movil en cada instante, usamos una lnearecta, cuyos puntos identicamos conlos n umeros reales. Estaes lacoordenadadelcuerpo en movimiento.A unenel casoquedibujemos el movil consus dimensiones correspondientes, elcuerpoefectivamenteestararepresentadosoloporunpunto, deestaformanoexisteambig uedad al identicar la posicion del cuerpo con el n umero real correspondiente a sucoordenada.Para describir el movimiento podemos usar una Tabla, como la mostrada al comienzodel Captulo, que contenga en una columna el tiempo y a su derecha la posicion en dichoinstante.Otra manera de representar esta trayectoria, es mediante un graco.LnearectaLa representacion graca es util para visualizar las propiedades de la trayectoria deuna partcula. La Tabla de Datos se usa de preferencia en los Laboratorios para guardarinformacion.Usualmente en un graco se asigna la variable independiente, el tiempo en este caso,al eje horizontal y la variable dependiente, la posicion, al eje vertical.A continuacion analizaremos con detalle el signicado de una lnea recta en un gracodistancia vs. tiempo. Comenzamos con la siguiente armacion:El gracomas simplededistanciaversus tiempo, es unalnea recta y representa una partcula viajando con velocidadconstante.La tangente de una recta es independiente del punto donde la midamos: es constante.tan =xt x2x1t2t1(II.4)38 CAPITULOII. CINEMATICAFigura II.7: El graco indica las distintas posiciones que toma una partcula a lo largodel tiempo, cuandoviajaconvelocidadconstante. Lapendiente(oinclinacion)delarecta permite conocer su velocidad. La Figura ilustra el signicado de la introducidaen el texto.Como es un movimiento unidimensional la velocidad puede ser positiva o negativa de-pendiendo six2> x1 o viceversa.II.3. VELOCIDAD 39NotacionLadiferenciaentredos cantidades delamismanaturalezayconsecutivas, comoporejemplo: dosposiciones, dosinstantesdetiempo, dosvelocidades...etc., seindicamediante una . Por ejemplo, x es la diferencia entre la posicion x2y la posicion x1.t [t2 t1], esladiferenciaentreel tiempocorrespondientealaposicionx2yx1,respectivamente.2La diferencia entre la coordenada de una partcula en el tiempot2y la coordenadaen el tiempot1, (cont2> t1), se denomina desplazamiento:Desplazamiento [x2x1] x.Eldesplazamientoesunacantidadquetienesigno.Silacoordenadaxdelapartculaseincrementaenel tiempo, el desplazamientoesunn umeropositivo; si al contrario,decrece en el transcurso del tiempo, el desplazamiento es negativo.Denicion:Velocidad de una partcula es el cuociente entre el desplazamientoyeltiempoquetranscurriodurantedichodesplazamiento.v=x(t2) x(t1)t2t1. (II.5)Enungracox(t)versus t, estadenicioncorrespondealatangentedel anguloqueforma la recta que une (x1, t1) y (x2, t2) con el eje horizontal.A partir de esta expresion podemos determinar la ecuacion que relacionax cont encualquier instante:v velocidad constante =x x0t t0. (II.6)x es la posicion correspondiente al tiempot yx0 es la posicion ocupada por el movil ent0. Despejando:x x0= v (t t0),x = x0 + v t v t0.Supongamos que t0 = 0, es decir, el reloj comienza a funcionar cuando la partcula seencuentra en x0. (Es lo que sucede, por ejemplo, en una carrera de atletismo). Entonces:Enunmovimientoconvelocidadconstante,laposicionenunins-tantecualquiera,vienedadapor:x = x0 + vt. (II.7)40 CAPITULOII. CINEMATICAEnungracoxversust,estaecuacionrepresentaunalnearecta.Lainclinaciondelarectaconres-pecto al eje del tiempo es una medi-da de la velocidad de la partcula.tan1 v1, tan2 v2, tan3 v3, conv3> v2> v1.Unarectahorizontalcorrespondeaunapartculaenreposoyunarec-ta vertical (perpendicular al eje deltiempo) representa un objeto quetiene velocidad innita.II.3.2. VelocidadmediaEs muy difcil encontrar un movimiento con velocidad constante. Lo natural es que lavelocidad cambie a lo largo de la trayectoria. En el caso de un vehculo, los semaforos, losbaches en el camino, el transito... etc. impiden mantener una rapidez uniforme. En estascondiciones un graco posicion versus tiempo, adopta una forma complicada: el cambiode velocidad produce, de acuerdo al razonamiento anterior, un cambio en la pendientedelacurvayel gracodejadeserunalnearectaysetransformaenunacurva. Eneste caso, solo tiene sentido denir una velocidad instantanea asociada a cada instantede la trayectoria, pero aqu postergamos esta denicion e introducimos en su lugar elconcepto de velocidad media.La idea detras de la velocidad media es intuitiva: por ejemplo, cuando se prepara unviaje, se desea saber cuanto se tardara en llegar all . Si tenemos experiencia en este tipode viajes, sabemos que si acostumbramos a viajar a una velocidad de 90 km/h, entonces,para estimar el tiempo de viaje, debemos considerar una velocidad de solo 70 km/h, conellotenemospresentelasposiblesdetenciones, lademoraenadelantaralosvehculosmaspesadosenlassubidas... etc. Estavelocidadde70km/h, esprecisamenteloquesedenominavelocidadmedia.Indicaquesienviamosunautomovilconunavelocidadconstante e igual a 70 km/h llegara simultaneamente con nosotros. Con esta velocidadmedia se compensan exactamente las detenciones y los tramos de la carretera en la cualviajamos mas rapido.Esta es la explicacion intuitiva de la velocidad media.Denicion:La velocidad media entre O y el punto P de la trayectoria, se dene como el cuocienteentreel caminorecorrido, xP xO, yel tiempototal empleadoenrecorrerlat. Engeometra, esto corresponde a la tangente del angulo que se indica en la Figura. II.8.II.3. VELOCIDAD 41Acontinuaciongeneramosunadenicioncuantitativa(matematica). Notemosqueen ambos casos el modelo con velocidad constante, y el real, con velocidad variable,la distancia recorrida es la misma. De este modo, usando la relacion entre la distancia yel tiempo empleado en recorrerla, II.7, de la formula anterior, tenemos:Distancia Recorrida=Velocidad Media Tiempo Total del Viaje.Parauncasoreal, debemosdividirloenetapasysuponernuevamentequeviajaconvelocidad constante en cada una de dichas etapas. (Solo cuando denamos la velocidadinstantanea nos podremos deshacer de esta suposicion). Enseguida procedemos a sumarlas respectivas distancias recorridas en cada etapa, de acuerdo a la formula [II.7]:42 CAPITULOII. CINEMATICADistancia Total Recorrida =Velocidad Media Etapa 1Intervalo de Tiempo en Etapa 1 +Velocidad Media Etapa 2Intervalo de Tiempo en Etapa 2 +...Velocidad Media Etapa NIntervalo de Tiempo en Etapa N.Distancia Total Recorrida =V1t1 + V2t2 + V3t3 + ...dondehemosdenidotkcomoel intervalodetiempoenel cual el movil viajaconvelocidadVk.Reemplazandoladistanciatotalrecorridaporlaformulacorrespondienteaunob-servador que se mueve con velocidad constante, tenemos:Velocidad Media Tiempo Total del Viaje N

k=1VktkVelocidadMediaV=

Nk=1Vktk

Nk=1 tk(II.8)La velocidad media en el punto P, de la Figura es:V (P) =[xP 0][tP 0]=xPtP. (II.9)Notequeestadenicionesigual aladadaanteriormente[II.8], el numeradorenestaecuacion es precisamente la distancia recorrida xPy el denominador es tambien el tiempototaltP.Enladeniciondelavelocidadmediasoloimportalaposicionnal,lainicialyeltiempoempleadoenel trayecto. Sepierdeinformacionacercadelasvariacionesdelavelocidadquepudieronocurrirdurantelatrayectoria. Porejemplo, el valorcalculadopara la velocidad media en el ejemplo de la Figura, ignora que el movil estuvo detenidoentretA ytB.II.3. VELOCIDAD 43Figura II.8: La curva corresponde a un movimiento con velocidad variable. La velocidadmedia entre O y P se calcula dividiendo la distancia recorrida por el tiempo empleadoen llegar a P. Con esto se pierde informacion acerca de los detalles de la trayectoria enlos puntos intermedios.EjemploUn objeto se mueve con una velocidad constante v1 = 20 m/s durante 20 s partiendodesdeA, permaneceenreposopor20sycontin uaviajeenlamismadireccionconuna velocidad de 40 m/s durante otros 20 s, deteniendose nalmente en un punto quedenominamos B.a) Gracar la velocidad media de cada uno de los intervalos versus tiempo.b) Indique la forma del Graco desplazamiento versus tiempo, para este ejemplo.FiguraII.9: Gracodesplazamientoversus tiempoyvelocidadmediaversus tiempo,obtenidos a partir de los datos de este ejemplo.c) Calcule el valor de la velocidad media entre los puntos A y B de este problema.44 CAPITULOII. CINEMATICALos valores de la velocidad en las distintas etapas son: v1= 20 m/s v2= 0 v3= 40 m/st1= 20 s t2= 20 s t3= 20 st1 intervalo de tiempo en que la partcula viajo con velocidadv1... etc.La velocidad media se calcula sumando las distancias recorridas en cada una de lasetapas y dividiendo esta cantidad por el tiempo total empleado en hacerlo. v = [ v1 t1 + 0t2 + v3 t3]/(t1 + t2 + t3)= [2020 + 020 + 4020]/[60s] v = [400 + 800]/[60] = [1200]/[60] = 20 m/s2(II.10)EjemploEn el equipo de la carrera de postas de un colegio, siempre ubican al mas rapido enel ultimo relevo. Si se conoce la velocidad media de cada uno de los atletas, demuestreque su distribucion en la pista no mejora el tiempo del equipo.Para simplicar el algebra suponga que solo participan dos atletas. No considere elposible cambio de rendimiento de un atleta debido a la presion sicologica de los ultimosmetros de la carrera.Supongamos que los atletas alcanzan una velocidad media de v1 y v2 respectivamente.Lo que debemos calcular es la velocidad media del equipo, es decir el tiempo que lestoma recorrer el total del trayecto: AB. vAB =trayectoria totaltiempo empleado= [x1 + x2]/[t1 + t2]x x1 = x2ambos recorren la misma distancia.2 xrepresentaladistanciatotal recorrida, peroveremosqueestedatonoapareceenel resultadonal. Laexplicaciondeestehechoesquelavelocidadmediadel equipodebedependerdelasvelocidadesdecadaunodelosatletasynodeloextensodelatrayectoria. Recuerde que la velocidad media de los atletas es constante, no depende deladistanciarecorrida.Esteesotrodelossupuestosdeesteejercicio:losatletasnoseagotan.Lo que puede inuir, por cierto, es la fraccion del trayecto que recorre cada uno delosatletas.Porejemplo,siunodelosatletasrealizacasitodoeltrayecto,entonceslavelocidad media del equipo sera muy parecida a la velocidad media de este atleta.II.3. VELOCIDAD 45Despejamos primero t1. Usando la formula de la velocidad v1 = x1/t1 = x/t1 tenemost1 = x/ v1.Analogamentet2 = x/ v2 vAB= 2x/ [x/ v1] + [x/ v2] ,= 2x/x( v1 + v2)/( v1 v2) vAB=2 v1 v2( v1 + v2)o, de otra forma:2 vAB=1 v1+1 v2.Como esta expresion no se altera si cambiamos v1 por v2, concluimos que la velocidadmedia del equipo es independiente del orden en que participen los atletas.Supongamosque v2permanecejoydistintodecero. Averiguemoscomodepende vABde v1. Estocorrespondeal casoenqueunodelosatletasrecienseincorporaalgrupo y el entrenador desea cuanticar el progreso que experimenta su equipo con estenuevo elemento.FiguraII.10: Valor delavelocidadmediacuandounadelas velocidades del tramopermanece constante. La velocidad media depende en forma nolineal con respecto a v1.Si fuera lineal, al aumentar v1 al doble, la velocidad media vAB se incrementara de igualforma.Del graco correspondiente a esta situacion se desprende que por muy rapido que seael nuevo atleta la velocidad del equipo no puede sobrepasar el valor lmite de vAB = 2v2.Lasaproximacioneshechasaqu parecenrazonables; nohemosincluidolademoraenel pasodel bastonni tampocoel aspectosicologico: loqueunatletapuededarsies exigido al maximo. Este ultimo factor puede ser sin duda importante, pero hay quedarsecuentaquenoestarelacionadoconlamaximavelocidadquepuedealcanzarel46 CAPITULOII. CINEMATICAatleta. En otras palabras, si el atleta mas lento mejora notablemente su tiempo cuandoes exigido y a un sigue siendo el mas lento, conviene ubicarlo en el ultimo tramo.2EjercicioVerique si esta ultima armacion corresponde a la verdad. Suponga, por ejemplo,quev1>v2peroqueelatletacuyarapidezesv1mejorasutiempoenun10 %enlasnales, en cambio el otro lo hace en un 30 %.2Ejercicioa) Encuentre la velocidad media cuando participan 4 atletas.b) Cual es la expresion para la velocidad media, en el caso de dos atletas, suponiendoque no corren distancias iguales sino que uno de ellos cubre un porcentaje 0 < < 1 dela distancia total?2A continuacion estudiamos un movimiento en el que ocurre un cambio de signo enla velocidad. En este caso debemos asignar un sentido positivo al eje coordenado.EjemploUnapelotaselanzasobreunaparedconunavelocidadconstante v1. Al chocarcon la muralla se devuelve con una velocidad v2cuyo modulo (rapidez) es,v1, donde0 < < 1.Si la distancia desde el punto de lanzamiento hasta la muralla esd, se pide:a) Calcular el tiempo que demora la pelota en ir y volver al punto de partida, comouna funcion de.Ida:De la Figura tenemos,t1 = d/v1.Retorno:v2< 0.v2 = [0 d]/[t2t1].II.3. VELOCIDAD 47Si ahora ponemosv2 = v1entonces,t2t1 = d/[v1].De aqu,t2 = d[1/v1 + 1/(v1)],t2 = t1[1 + 1/]b) Se pide gracar velocidad y rapidez versus t (Ver Figura).FiguraII.11: Gracoposicionversustiempoyrapidezversustiempo. Recuerdequelarapidezsoloconsiderael modulodelavelocidad. Notequeapesarqueladistanciarecorrida es 2 d, la posicion nal coincide con el punto de partida.c)Hagaungracodeladistanciarecorridaversusel tiempoempleado, tomandocomo origen el punto de lanzamiento.2En el siguiente parrafo haremos una armacion cuya validez se extiende desde aque-llos ejemplos cuyo movimiento se realiza con velocidad constante hasta los casos en quela velocidad vara arbitrariamente. Su demostracion la postergamos hasta mas adelante.En el graco velocidad versus tiempo, el area encerrada bajola curva equivale al camino recorrido durante dicho interva-lo.Esteesunresultadogeneral,validoparaunavelocidadconstanteovariable.Veriquemos esta armacion en el ejemplo anterior; estudiemos la trayectoria det1at2.Pordenicion,elmovilpartedelorigencomosemuestraenlaFigura.Comoen48 CAPITULOII. CINEMATICAcada uno de los trayectos recorre la distanciad, tenemos:d = v1t1 = [v2[ (t2t1),pero ambos productos son iguales al area encerrada en el graco velocidad versus tiempo,de cada uno de estos casos. De hecho en el rebote de la pelota,d es negativo, debido aque el desplazamiento es negativo, por esta razon consideramos el valor absoluto dev2.Enelcasogeneral,aquelconvelocidadvariable,tomaremospeque nosintervalosyaproximaremos, encadaunodeellos, lavelocidadcorrespondienteconunavelocidadconstantecaractersticadecadaintervalo. Deestaformaladistanciatotal recorridasigue siendo el area bajo la curva, y estara compuesta por la sumatoria de los rectangulosasociados a cada intervalo de tiempo en los que se dividio el tramo total.El analisis de esta aproximacion es el contenido de la siguiente seccion.II.4. VELOCIDADINSTANTANEAUna partcula que se traslada con velocidad constante corresponde al caso mas simpleque podemos imaginar. Solo en casos muy particulares ocurre este fenomeno en la natu-raleza. Sin embargo, como es difcil registrar la velocidad en cada punto de la trayectoria,se considera, como alternativa, la velocidad media.Para analizar el movimiento de una partcula con mas detalle se requiere conocer elvalor de la velocidad en tramos intermedios de la trayectoria.Recordemosqueel valordelavelocidadmedianodependedelasubdivisiondeltramo. Por ejemplo si subdividimos OP en cuatro intervalos arbitrarios y calculamos encada uno de ellos la velocidad media y a partir de estos valores calculamos la velocidadmedia entre O y P de acuerdo a la formula II.8, esta operacion, no altera el valor de lavelocidad media calculada, por ejemplo, dividiendo el trayecto OP en solo dos tramos.Hasta ahora solo podemos estudiar problemas de los cuales conocemos la velocidadmediaenuncierton umerodeintervalos. Al irdeuntramoal siguiente, lavelocidadmedia experimenta un salto para alcanzar el nuevo valor. Obviamente esto es articial.La velocidad vara en forma continua, no a saltos.Paradisminuir lamagnituddelos saltos es necesariosubdividir el tramoenin-tervalosmaspeque nos. Si pretendemoshacerlosimperceptibles, debemosaumentareln umero de intervalos, haciendolos mas y mas diminutos. En el lmite cuando el tramoes mas peque no de lo que podemos imaginar pero distinto de cero, necesitamos conocerlavelocidadasociadaacadaunodelos puntos delatrayectoria. Estoes loquesedenomina la velocidad instantanea.Para realizar este proceso debemos calcular la velocidad media entre dos puntos queesten lo mas cercano posible. En el proceso de acercar un punto al otro, el valor de laII.4. VELOCIDADINSTANTANEA 49Figura II.12: El objeto se desplaza con una velocidad variable. A cada intervalo se asociaun valor para su velocidad (velocidad media), que depende del intervalo mismo. En laFigura se toma un punto intermedio Q para comparar con el caso original en el cual solose contabiliza el punto inicial O y el nal P.velocidad (la pendiente de la cuerda en la Figura II.13) va cambiando, pero se aproximaa un lmite que se denomina la velocidad instantanea y que corresponde a la inclinacionde la tangente a la curva en dicho punto.Figura II.13: En esta Figura se aprecia que al ir acercando el punto E hacia A, la cuerdase aproxima mas y mas a la tangente trazada por el punto A. El valor de la tangente enA, corresponde al valor de la velocidad instantanea en A.La descripcion anterior corresponde a una operacion matematica bien denida, quese denomina tomar el lmite de una funcion. La velocidad instantanea se dene como:velocidadinstantaneaen t0 v(t0) =lmtt0__x(t) x(t0)t t0__ (II.11)50 CAPITULOII. CINEMATICALaoperacionlmtt0, enlaformase naladacorrespondeatomarladerivadadelafuncionx(t). En terminos geometricos, la derivada es la inclinacion de la tangente a lacurva en el punto t0. Esto es lo que se observa en la Figura II.13, al acercarse al punto Atanto como sea posible: (D C B ...) la cuerda tiende a coincidir con la tangenteen el puntoA.Enungracodesplazamientoversus tiempo, lavelocidadinstantaneaenunpuntoP,eslainclinaciondelatangentealacurvaendichopunto.Notaacercadellmite.El hecho de tomar puntos tan cercanost t0, revela que al dividir por [t t0] enlaecuacionII.11, corremosel riesgodeestardividiendoporcero. Larespuestaaestetemor es la siguiente: primero, no se esta dividiendo por cero puesto que la operacion lmse nala que [t t0] tiende a un valor tan peque no como se quiera, pero distinto de cero.En segundo lugar, si la funcionx(t), es continua y este es el tipo de funciones que nosinteresan, al acercart t0, la diferencia entrex(t) yx(t0) es tambien muy peque na eigual a una suma de terminos que contienen potencias de [t t0].x(t) x(t0) = b[t t0] + c[t t0]2+ ...dondeb,c, ... son constantes que dependen del valor dex(t0). Solo diremos que este esun resultado general y que se denomina desarrollo de Taylor.Volviendo al argumento previo, al tomar el lmite, cuandot t0, las potencias de[t t0] que aparecen en x(t)x(t0), se hacen arbitrariamente peque nas y no necesitamosconsiderarlas salvo la primera, [t to] que se simplica con el denominador y da el valorde la derivada.2II.4.1. Derivada.Comoesdifcil retenerymanejartantasdenicones, acontinuacionilustraremosestas ideas con una serie de ejemplos resueltos.EjemploDemostrar quelm0_sen( + ) sen _ = cos.II.4. VELOCIDADINSTANTANEA 51Figura II.14: El graco representa la funcion sen . El valor de la pendiente de la tangenteen cada uno de los puntos indicados tiene el mismo valor que cos, donde es el valorcorrespondiente de abcisa en P, Q y R.Este problema esta resuelto en el Apendice, aqu lo analizaremos usando geometra.Para ello nos referiremos a la Figura que se incluye a continuacion.OD = 1, sen = DC, sen( + ) = AB,sen( + ) sen = AB DC = EB,pero, cos( + ) =EBBD=EB.Aqu hemos aproximado el arco BDconlacuerdaBD (medidaenradianes). Entonces:sen( + ) sen cos( + ),despejando cos( + ),cos( + ) [sen( + ) sen ]/,tomandoellmite 0,laexpre-sion se transforma en una igualdad.lm0cos( + ) cos = lm0sen( + ) sen .Para acortar la escritura usamos la siguiente notacion:dd sen = cos (II.12)52 CAPITULOII. CINEMATICAEsta ecuacion arma que el cuociente entre la variacion de sen debida a un incrementoinnitesimal de, (unaumentomuypeque no), divididaporesteincremento, esunn umero nito que resulta igual a cos, cuando se toma el lmite 0.En el graco de sen versus , la derivada representa geometricamente la pendientede la tangente a la curva, como se muestra en la Figura.En forma similar:Ejerciciolm0cos( + ) cosd cosd= sen ,y con la misma interpretacion geometrica,d cosd representa el valor de la tangente enel punto del graco cos versus.2En general, denimos la derivada de una funcion como:d f(x)d xlmx0f(x + x) f(x)x, (II.13)el signicado geometrico corresponde a evaluar la tangente a la funcion f(x) en el puntox, en un graco def(x) versus x.Si la tangente a una curva en un punto es una lnea horizontal, la derivada en dichopunto es nula: tan 0 = 0.Propiedadesdeloslmites.A continuacion establecemos dos propiedades de los lmites, que por denicion, per-tenecen tambien a las derivadas y que es fundamental conocerlas:lmx0f(x + x) g(x + x) lmx0f(x + x) lmx0g(x + x). (II.14)lmx0cf(x + x) = c _lmx0f(x + x)_. (II.15)II.4. VELOCIDADINSTANTANEA 53En palabras:ellmitedeuna suma defuncionesf(x)yg(x)esiguala la suma delos lmites de cada una de las funciones, y el lmite del producto de una constantec poruna funcionf(x) es igual al producto de la constante por el lmite de la funcion.En el caso de las derivadas, estas propiedades se escribend f(x) g(x)d xd f(x)d xd g(x)d x, (II.16)d cf(x)d x c d f(x)d x. (II.17)En lo que respecta al producto de funciones, en este caso la derivada satisface la Reglade Leibnitz:ddx [f(x) g(x)] =_ddxf(x)_ g(x) + f(x) ddxg(x). (II.18)LaregladeLeibnitzindica queladerivadadeunproductodefuncionesesigualalasumadeladerivadadeunadelasfunciones, f(x)porlaotrafuncion, g(x)masladerivada de la segunda funciong(x) por la primeraf(x).Estaoperacionsepuedeaplicaracualquierfuncion.Acontinuacionincluimosunalista de derivadas, solo usaremos un par de ellas en los captulos posteriores.TABLADEDERIVADASdd (sen ) = cos (II.19)dd (cos) = sen (II.20)dd (tan) = +1cos2(II.21)dd (cot) = 1sen2(II.22)dd (csc) = cossen2= cot 1sen (II.23)54 CAPITULOII. CINEMATICAdd (sec) = +sen cos2=tancos(II.24)ddx(xr) = rxr1( r, ya sea entero o real.) (II.25)ddx (ex) = ex(II.26)ddx ln(x) =1x. (II.27)Ejemploddx_1x_ = lmx0__1x + x 1x_ 1x_= lmx0__x (x + x)x(x + x)_1x_= lmx0__xx(x + x)_ 1x_= lmx0_1x(x + x)_ = 1x2EjemploPara n n umero entero, pruebe que:ddxxn= nxn1.f(x) xn, f(x + x) (x + x)n,ddxf(x) ddx(x)n= lmx0f(x+x)f(x)x,= lmx0(x + x)n(x)n 1x,II.4. VELOCIDADINSTANTANEA 55desarrollando (x + x)n(x)n ,d [xn]dx= lmx0_xn+ nxn1x/1! + n(n 1) xn2[x]2/2! + ... (x)n_x,= lmx0_nxn1x/1! + n(n 1) xn2[x]2/2! + ..._x,= lmx0_nxn1+ n(n 1) xn2(x)/2! + ..._,tomando el lmite, obtenemos:ddxxn= nxn1.EjemploUsandolaregladeLeibnitz,encuentreelvalordeddx(xsenx).Primerointentamoscon el metodo usual:ddx(xsen x) lmx0(x + x)sen(x + x) xsenxx,ordenando esta expresion:ddx(xsenx) = lmx0_[xsen(x + x) xsenx] + xsen(x + x)x_,= lmx0_xsen(x + x) xsenxx_+ lmx0_xsen(x + x)x_,sacando x, fuera del lmite en el primer termino,x lmx0_sen(x + x) senxx_+ lmx0sen(x + x) ,y recordando la expresion de la derivada de la funcion seno, obtenemos:dd x(xsenx) = x cosx + sen x.A continuacion encontraremos este mismo resultado pero usando la regla de Leibnitz,para ello identicamosf(x) x, yg(x) senx. Aplicando la formula y recordandolos valores de la derivada de sen x y x, tenemos:56 CAPITULOII. CINEMATICAddx(xsenx) = xddxsen x +d xdx sen x, = x cosx + sen xEjemploEncontrar el valor dedd xx.dxd x= lmx0_x + x xx_,multiplicando ambos miembros por el mismo factor:dxd x= lmx0_[x + x x][x + x +x][x][x + x +x]_,= lmx0_[x + x] x[x][x + x +x]_,simplicando:= lmx0_1[x + x +x]_,y tomando el lmite:dd xx =12x.Este resultado coincide con la formula dada para la derivada de xrdonde r es un n umeroreal cualquiera, en particular 1/2.Aplicacionesdeladerivadaenlacinematicadeunapartcula.EjemploCalcular explcitamente la velocidad en un instante t cualquiera, usando la expresionparax(t) dada en la ecuacion II.7.v(t) = lm0x(t + ) x(t)

= lm0[x0 + v0 (t + )] [x0 + v0 t]

= lm0v0

= lm0v0 = v0.II.4. VELOCIDADINSTANTANEA 57Este resultado indica que la expresion x(t) que aparece en la ecuacion II.7, efectivamentecorrespondeal movimientodeunapartculaconvelocidadconstantev0(i.e. indepen-diente del tiempo).2EjemploLa altura de un objeto en cada libre, esta dada por:z(t) = z0 12 g t2.Usando esta expresion y la denicion de la velocidad, ecuacion II.7, calcule la velo-cidad en un instantet cualquiera.v(t) = lm0z(t + ) z(t)

= lm0[z012g(t + )2] [z012gt2]

= lm012g(2t + )

= lm0g(2t + )2= g tLa velocidad instantanea decrece linealmente a medida que transcurre el tiempo. Elsigno negativo de la velocidad indica que la partcula se esta desplazando en el sentidonegativo del ejez.Sinembargo,la rapidezdenidacomoelmodulo dela velocidaddela partcula,aumenta a medida que transcurre el tiempo: [v(t)[ = g t.El movimientodescritoporlafuncionz(t)deesteejemplocorrespondealacadalibre (es decir, sin que otras interacciones act uen durante el trayecto), de una partculaen el campo gravitacional terrestre desde una alturaz0.Si la velocidad de una partcula cambia a medida que transcurre el tiempo, entoncesla partcula tiene una aceleracion.2Si la inclinacion de la tangente a la curva que representa la posicion de un objeto atraves del tiempo no muestra cambios abruptos, armamos que la velocidad instantaneaesta bien denida en cada punto de la trayectoria.Cualquier variacion abrupta de la pendiente en un punto del graco posicion versustiempo revela la existencia de un cambio repentino en la magnitud de la velocidad. Elvalor de la tangente (o la velocidad) en la vecindad de este punto, depende del lado porel cual nos aproximemos a ella. En denitiva no tiene un valor unico.En cualquiera de estas situaciones, tenga o no cambios abruptos, siempre podemosgracar la velocidad en funcion del tiempo.58 CAPITULOII. CINEMATICAII.5. ACELERACIONII.5.1. DenicionEn la seccion anterior denimos la velocidad como la inclinacion de la tangente a lacurvax(t)versust.Analogamente,enungracovelocidadversustiempo,denimoslaaceleracion como la inclinacion de la tangente a la curva que determina la velocidad encada instante.Laaceleracionsedenecomolarazonentreel cambiodevelocidadyelintervaloenelcual estaocurre.a =v1v0t1t0=vt(II.28)Para estudiar las propiedades de la aceleracion, denida de este modo, comenzamos,como es usual, por el caso mas sencillo.Deacuerdoaestaestrategia, inicialmentenoconsideramoscambiosarbitrariosdevelocidad como el que muestra la Figura a continuacion, por las dicultades matematicasque involucra.FiguraII.15: Gracodevelocidadversustiempoparaunaaceleracionquevaraeneltiempo. Lastrayectoriasconaceleracionconstantecorrespondenaunarectaenestegraco. La inclinacion de la recta nos da el valor de la aceleracion.A continuacion nos referimos a las dimensiones de la aceleracion y enseguida comen-zamos con el caso de aceleracion constante.II.5.2. Dimensionesyunidades.(SI)[a] [v][t]=_LT2_ =(m/s)s= m/s2.II.5. ACELERACION 59Figura II.16: Graco de velocidad constante versus tiempo y velocidad versus tiempo conaceleracion constante.La dimension de longitud se escribe como [L] y la dimension correspondiente al tiempo,como [ T ].II.5.3. AceleracionconstanteComo la aceleracion es, por denicion, la inclinacion de la tangente a la curva velo-cidad versus tiempo, el caso particular de una aceleracion constante queda representado,en este tipo de graco, por una lnea recta.A partir de la denicion de aceleracion:a =v1v0t1t0obtenemos la expresion para la velocidad. Para acortar los calculos suponemos el origendel tiempo ent0 = 0. Despejando la velocidad de la formula anterior, llegamos a:a =v v0tat = v v0,donde reemplazamost1 port, un tiempo arbitrario, puesto que la pendiente de la curvaes una sola y no depende del valor que tomet. De aqu tenemos:v = v0 + at. (II.29)Esta expresion nos da la velocidad en el instante t, bajo el supuesto quea = constanteyt0 = 0.II.5.4. LaposicionenfunciondeltiemposilaaceleracionesconstanteAntesdecalcularladistanciarecorridahastaelinstantet,necesitamoscalcularlavelocidad media v, para un movimiento con una aceleracion constante.60 CAPITULOII. CINEMATICARecordemosque, pordenicion, lavelocidadmediaeslavelocidadconstanteconlacual unmovil debeviajar pararecorrer lamismadistanciaqueenel casodado,empleando el mismo tiempo. Cuantitativamente la velocidad media es v = x/t, con( x distancia recorrida en el intervalo de tiempo t). De aqu obtenemos:x = v t. (II.30)La expresion vt tiene dimensiones de distancia. vt [L][T][T] = [L].Porotraparte, sabemosqueel areabajolacurvaenungracovelocidadversustiempo representa la distancia recorrida. En el caso de aceleracion constante, entonces ladistancia recorrida es el area bajo el trapecio de la Figura II.17, y su valor es, de acuerdoal resultado que obtuvimos en el captulo anterior:12(v + vo)t = distancia recorrida en el tiempo t x.Estadistanciadebeserpordeniciondevelocidadmedia, lamismaquerecorrioelmovil con velocidad constante v,12(v + v0)t = v t = x, (II.31)de la primera igualdad se obtiene la expresion para la velocidad media.La velocidad media de una partcula moviendose con acele-racionconstantees: v=vf+ vi2. (II.32)Los gracos velocidad versus tiempo, para los casos de aceleracion constante, son lneasrectas cuya pendiente indica la magnitud de la aceleracion: si la aceleracion es nula, elgracoesunalneahorizontal. Esteesunresultadosimilaral obtenidoenungracodesplazamiento versus tiempo para un movil con velocidad constante.Si laaceleracioncambiaenel tiempo, lapendienteenel gracovelocidadversustiempocambiaylarectasetransformaenunacurva. El metodoparaencontrar ladistancia recorrida area bajo la curva, es el mismo pero su expresion matematica noes simple.II.5. ACELERACION 61Figura II.17: En la Figura se indica el area bajo la curva para el caso aceleracionnulay aceleracion constante. En este ultimo caso el area achurada corresponde a un trapeciocuyas bases sonv yv0, y su alturat.Retornando a la expresion encontrada para la distancia recorrida:x = vt, y reem-plazando aqu el resultado obtenido para la velocidad media, tenemos:x =12(v + vo)tpero la velocidad, en cualquier instante, esta dada porv = vo + atx =12(v + vo)tx =12(vo + at + vo)tx = vot + 12at2(II.33)Revisamos las dimensiones en cada uno de los terminos de esta ultima ecuacion:[x] = L,[vo t] = [LTT] = L,[12LT2][T2] = L.1/2 es un n umero y no tiene dimensiones.Losn umerosqueaparecencomofactoresfrenteaunacantidadfsicanotienendimensiones.62 CAPITULOII. CINEMATICAII.5.5. Formulas de cinematica enuna dimensionyconaceleracionconstante.a = constante, to= 0x = x0 + vt (II.34)v = vo + at (II.35)x = x0 + vot + 12at2(II.36)2 a (x x0) = v2v2o(II.37)Entodasestasformulas,conexcepciondeII.37,eltiempoapareceexplcitamente.Esta ultima ecuacion II.37, se obtiene a partir de las anteriores y se caracteriza por nocontener el tiempot. Para llegar a dicha expresion debe operarse de la siguiente forma:de v = vo + at podemos despejar el tiempo:t =v voa.Reemplazandot en la ecuacion correspondiente a la distancia recorrida:x = vo_v voa_+ 12 a _v voa_2,y desarrollando cada uno de los terminos de esta ultima expresion:x =vvoa 1av2o +12 av2vo va+12 av2ox =12 a(v2v2o), o mejor2 ax = v2v2oII.6. EJEMPLOS. 63Esta ultima formula es la ecuacion II.37. Como acabamos de mostrar, esta ecuacion esuna combinacion de las anteriores.II.6. EJEMPLOS.EjemploUn auto de carrera acelera desdev= 0 hasta alcanzar una velocidad de 240 km/hen una distancia de solo 1/4 de kilometro. Cual es el valor de su aceleracion?Datos:t = 0, x0 = 0, v0 = 0,vf= 240 km/h, a = cte.Si conocemos la distancia que recorre y la velocidad que alcanza en dicha distancia,debemos usar la ecuacion II.37 para despejar directamente la aceleracion.2 ax = v2v20,a =v22 x=(240)22(1/4)_(km/h)2km_.Lasunidadesempleadasoscurecenlamagnituddelaaceleracionencontrada. Ex-presemosla en m/s2.a = 2(240)2km/hh= 2(240)21000m3600 s3600s,de aqu se obtiene el valor numerico de la aceleracion,a = 2 _ 2403600_2 1000 [ms2] = 40/3ms2,perolaaceleraciondegravedad, g, es aproximadamente9, 8 m/s2, por lotanto, laaceleracion del automovil en la partida es dea = 40/3 m/s243g.Una estimacion para el valor de la maxima aceleracion que se puede comunicar a unautomovil sin que resbale es de 1.5g. En realidad este valor es, tal como se menciona,solo unaestimacion;dependedeotrosparametros,como eltama no ynaturaleza de lasupercies que estan en contacto, si existio resbalamiento previo...etc.2Unavezqueasignamos por convenienciaunsentidopositivoanuestroejedecoordenadas, lasaceleracionespuedenserpositivas(+)onegativas(desaceleraciones,()), dependiendo si coinciden con el sentido del eje coordenado o no.64 CAPITULOII. CINEMATICAEsnecesariorecordarquelafsicadelproblema,esdecirloquedeterminaelcom-portamiento de una partcula en una cierta situacion, no depende del sentido (+) o ()asignado arbitrariamente al eje.Unejerciciotpicoeseldeunapelotalanzadaalaire.(Noconsiderelaviscosidadprovocada por el aire.)Una vez disparada, la experiencia nos indica que esta disminuye constantemente suvelocidad hasta que nalmente cambia de signo y la pelota retorna al piso nuevamente.El cambio de velocidad indica la presencia de una aceleracion. En este caso la aceleracionmantiene constante su magnitud y sentido durante toda la trayectoria del objeto.Nuestra eleccion del sentido positivoimplicaquea g= 9,8m/s2.La orientacion escogida para los ejesdereferenciaesarbitrariaylatra-yectoria del punto no puede depen-der de ella. Las matematicas son au-toconsistentes, por lo tanto, si en eldesarrollo del problema, respetamosla convencion adoptada, la respues-ta sera consistente con lo que se ob-serva en la realidad.EjemploEncontrar el tiempo que tarda, en volver a su punto de lanzamiento, una partculadisparada verticalmente al aire.Elejerciciopropuesto,conelsistemacoordenadoestipuladoenlaFigura,eselsi-guiente:Datos:v0 velocidad de lanzamiento de un objeto,y0 = 0, g 9,8m/s2.2Supongamos que el cuerpo demora un tiempo T en volver a su punto de partida. Enel instante que retorna al origen, se produce la siguiente igualdad en la ecuacion II.36:y = v0 t + 12at2= v0 t 12gt2,y(T) = 0 = v0 T 12g T22 soluciones: T= 0, T=2v0gAmbas soluciones tienen un signicado fsico: T= 0 indica el instante en que la partculaabandonael pisoyT =2 v0/g, el tiempoquetardoenretornaral piso, despuesdealcanzar su altura maxima.II.6. EJEMPLOS. 65Cabe se nalar que, en algunos ejemplos, una de las soluciones debe ser desechada porcarecer de interpretacion fsica.Revisemos las dimensiones de esta ultima solucion:T= [T] =_LT_ _1L/T2_ = T.Usando la informacion acumulada, podemos averiguar el tiempo que tarda en alcan-zar la altura maxima. Llamemosa este instante:v() = v0gEn ese instante, la velocidad debe ser nula puesto que si tuviera una peque na compo-nente positiva, podra a un elevarse un poco mas y no estaramos en el verdadero maximode la altura. De aqu :0 = v0g,= v0/g T2 .Ahora podemos calcular el valor dela altura maxima:y1 = v20/g 12v20/g =12v20/gFinalmenteincluimosungracodevelocidadversus tiempoyposicionversustiempo. Notemosquelave-locidad media es nula y que el areabajo la curva velocidad versus tiem-po, tambien, si tenemos encuentalos signos que aparecen. Del gracosabemos exactamente la posicion encada instante de la trayectoria. Ca-si siempre utilizaremos g, la acelera-cion de gravedad como una constan-te.EnrealidaddependedelaalturasobrelaTierraytambiendelacomposicionalinterior del terreno donde se ubica el observador. Mas adelante mostraremos que el errorquesecometeal hacerestaaproximacionesdespreciable, si laalturaquealcanzaelobjeto es muy peque na comparada con el radio de la Tierra.66 CAPITULOII. CINEMATICATampoco hemos considerado la friccion del aire. Este aspecto sera propuesto comoun ejercicio numerico para ser resuelto con el computador.EjemploUntrenpuedeaceleraraunarazondea1=20[cm/s]ydesacelerara100[cm/s].Determine el tiempo mnimo que puede demorar este tren para ir de una estacion a otra,situada a 2 km de distancia.Figura II.18: Graco velocidad versus tiempo en dos situaciones posibles: el tren acelerapor un cierto tiempo y despues frena para alcanzar a detenerse frente a la estacion y elcaso en el cual mantiene una velocidad constante en un tramo intermedio.Intuitivamente sospechamos que la maxima distancia recorrida en el mnimo de tiem-po, ocurre cuando el tren acelera todo el tiempo hasta un cierto instante en el cual debeponer los frenos (desacelerar) para alcanzar a detenerse justo frente a la proxima esta-cion.Esta conjetura queda demostrada al interpretar el signicado del area que encierracada uno de los dos gracos velocidad versus tiempo que se incluyen. Ambos involucranun mismo valor para el area o sea, distancia recorrida, pero el primero lo hace en unintervalo menor.Resolveremos este problema en tres formas diferentes.MetodogracoDesignamos la distancia a recorrer como L = 2,000 m. Otros datos son la aceleraciona1= 0,2m/s2y la desaceleraciona2= 1m/s2. Con ellos podemos dibujar el gracoII.6. EJEMPLOS. 67velocidad versus tiempo. La base del triangulo esT, el tiempo buscado, que lo descom-ponemos en T= t1 +t2, donde t1 es el tiempo durante el cual el maquinista acelera y t2el intervalo en el cual desacelera.La altura hdel triangulo se determinade la siguiente forma: h =t1 tan =t2 tan.