UNIVERSIDAD DE CONCEPCIN FACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICA CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Apuntes para la asignatura: Clculo III 521277 Prof. Jorge Ruiz Castillo Mayo de 2010 INDICECaptulo 1: Clculo diferencialSeccin pgina1.1 Espacio euclidiano : - dimensional 31.2 Lmite y continuidad 61.3 Diferenciacin 111.3.1 Derivadas parciales 111.3.2 La diferencial 151.3.3 Propiedades de funciones diferenciables y ejemplos 171.3.4 Funciones diferenciables de Rnen Rn191.3.5 propiedades de funciones diferenciables 201.3.6 Matriz Jacobiana 211.3.7 Regla de la cadena 211.3.8 Derivadas direccionales 231.4 Aplicaciones 26Captulo 2: Extremos de funciones con valores realesSeccin pgina2.1 Mximos y Mnimos 332.2 El teorema de Taylor 352.3 Criterio de la segunda derivada 352.4 Repaso de Formas cuadrticas 362.5 La matriz Hessiana 372.6 Multiplicadores de Lagrange 38Captulo 3: Integrales dependientes de un parmetroSeccin pgina3.1 Regla de Leibniz 413.2 Integrales impropias dependientes de un parmetro 45Captulo : IntegracinSeccin pgina4.1 Introduccin 494.2 La integral de Riemann sobre un rectngulo 524.3 Integrales sobre conjuntos acotados de Rn554.4 Cambio de variables 574.5 Coordenadas polares, cilndricas y esfricas 584.6 Integrales mltiples impropias 60Captulo 5: Calculo vectorialSeccin pgina5.1 Integrales de lnea 645.1.1 Introduccin 645.1.2 Longitud de arco 665.1.3 Integrales sobre campos vectoriales 6615.1.4 Integrales de lnea sobre campos escalares 685.1.5 otras aplicaciones de la integral de lnea 695.1.6 Independencia de la trayectoria 705.1.7 Teorema de Green 745.2 integrales de supercie 775.2.1 Supercies en Rn775.2.2 Integrales de supercie 815.2.3 Teorema de Gauss. Teorema de Stokes 852UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONDEPARTAMENTO DE MATEMATICAProf. Jorge Ruiz Castillo1 CALCULO DIFERENCIAL1.1 ESPACIO EUCLIDIANO n-DIMENSIONALRecordemos que Rnest provisto de dos operaciones+ : RnRnRn, (r, j) r +j y: R RnRn, (c, r) cr,donde:(r1, r2, ......, rn) + (j1, j2, ......, jn) = (r1 +j1, r2 +j2, ......, rn +jn),yc(r1, r2, ......, rn) = (cr1, cr2, ......, crn)(Rn, +, ) es un espacio vectorial real.Nociones topolgicas en RnEl producto interior en Rnest denido por: : RnRnRn, rj =n

I=1rIjI, donde r = (r1, r2, ......, rn)j = (j1, j2, ......, jn)Este producto interior en Rnsatisface las siguientes propiedades1. (\r Rn) rr _ 02. (\r Rn) rr = 0 =r = 03. (\r, j, . Rn) (\c, , R) (cr +,j). = c(r.) +, (j.)4. (\r, j Rn) rj = jr5. (\r Rn) r0 = 0.La norma en Rnest denida por:__ __: RnR, |r| =_rrSi r = (r1, r2, ......, rn), entonces |r| =_r21 +r22 +...... +r2nAlgunas propiedades de la norma son las siguientes:31. (\r Rn) |r| _ 02. (\r Rn) |r| = 0 =r = 03. (\r Rn) (\c R) |cr| = [c[ |r|4. (\r, j Rn) |r +j| _ |r| +|j| (desigualdad triangular)5. (\r, j Rn) [rj[ _ |r| |j| (desigualdad de Cauchy-Schwarz).La distancia en Rnest denida por:d : RnRnR, d (r, j) = |r j|Si r = (r1, r2, ......, rn) , j = (j1, j2, ......, jn), entoncesd (r, j) =_(r1j1)2+ (r2j2)2+...... + (rnjn)2Entre sus propiedades podemos mencionar:1. (\r, j Rn) d (r, j) _ 02. (\r, j Rn) d (r, j) = d (j, r)3. (\r, j Rn) d (r, j) = 0 =r = j4. (\r, j Rn) d (r, .) _ d (r, j) +d (j, .) (desigualdad triangular).Denicin.- Sean r0 Rny r0. Llamamos bola abierta con centro en r0 y-radio r al conjunto 1(r0, r) = r Rn: |r r0| < rEn R2, 1(r0, r) es una circunferencia con centro en r0 y radio r.En R3, 1(r0, r) es una esfera con centro en r0 y radio r.Denicin.- Sean G _ Rny r0 Rn. Diremos que:a) r0 es un punto interior de G si existe r0 tal que 1(r0, r) _ G.Notacin.- i:t (G) o Goes el conjunto de los puntos interiores de G (inte-rior de G).b) r0 es un punto adherente de G si (\r0) 1(r0, r) G ,= cNotacin.- ad/(G) o G es el conjunto de los puntos adherentes a G (adh-ernecia o clausura de G).c) r0 es un punto de acumulacin de G si (\r0) 1(r0, r) Gr0 , = cd) r0 es un punto de frontera de G si es un punto adherente a G y al com-plemento de G.4.Notacin.- 1r (G) es el conjunto de los puntos de frontera de G (Frontera de G).Observacin.-1. r0 1r (G) ==(\r0) [1(r0, r) G ,= c . 1(r0, r) Gc,= c]2. 1r (G) = G Gc3. r0 es un punto aislado de G si existe r0 tal que 1(r0, r) G = r0..Denicin.- Sea G _ Rn. diremos que:1. G es un conjunto abierto en Rnsi G = Go2. G es un conjunto cerrado en Rnsi Gces un conjunto abierto..Observacin.-1. G es abierto==(\r G) (rr0) 1(r, rr) _ G.2. G es cerrado==G = ad/(G)..Ejemplo.- Decidir si los siguientes conjuntos son abiertos o cerrados, indicar suadherencia, interior y frontera.1. 1((0, 0) , 1) y 1((0, 0) , 1)2. G =_(r, j) R2: 0 < r < 1, j = 1_3. J =_(r, j) R2: 0 < r < 2_4. 1 =_(r, j) R2: 0 _ r < 3_.Denicin.- Sea G _ Rn. diremos que:1. G es acotado si existe '0 tal que (\r G) |r| _ '.2. G es compacto si es cerrado y acotado.Observacin.- G es acotado si est includo en alguna bola abierta.51.2 LIMITE Y CONTINUIDADDenicin.- Sean 1 _ Rnun conjunto abierto, ) : 1 _ RnR y r0 un puntode acumulacin de 1. Diremos que 1 R es el lmite de ) cuando r tiende ar0 si,(\-0) (c0) 0 < |r r0| < c ==[) (r) 1[ < -Observacin.-1. Cuando el lmite anterior existe, es nico. En este caso lo denotamos por1 = limr r0r 1) (r) o 1 =limrr0) (r) si no hay lugar a confusin.2. Si limr r0r 1) (r) = 1, 10 _ 1 y r0 es un punto de acumulacin de 10,entonces limr r0r 10) (r) = 1.3. Sean 10, 11 _ 1 tales que r0 es un punto de acumulacin de 10 y 11,tenemos:limr r0r 10) (r) ,= limr r0r 11) (r) == limr r0r 1) (r) no existe4. limro) (r) = 1 == limro[) (r) 1] = 0.5. Si limroq (r) = 0 y [) (r) 1[ _ q (r), entonces limro) (r) = 1..Ejemplos.-1. Calcule lim(r,)(0,0)) (r, j) si existe, donde:(a) ) : R2(0, 0) R, ) (r, j) =_j +r2_r2j2r2 +j2(b) ) : R2(0, 0) R, ) (r, j) =cr+2r4 +j42. Sean ), q : 1 _ Rn R, 1 abierto y r0 1.Si limrr0) (r) = 0 y q esacotada, entonces limrr0) (r) q (r) = 0.Nota.- Se dice que una funcin es acotada si su recorrido es un conjuntoacotado.63. Considere ) (r, j) =___sin(r +j)r +j, j ,= rr2coscr21 +r2, j = r.Calcule si existe lim(r,)(0,0)) (r, j)4. Evalue usando el algebra de lmites, lim(r,)(1,0)_r33r2j3+j41_5. Evalue usando el algebra de lmites, lim(r,)(1,0)sin_r2+j21_r2 +j21.Ejercicios.-1. Calcule lim(r,)(0,0)) (r, j) si existe, donde:(a) ) : R2(0, 0) R, ) (r, j) = r2j2r2 +j2Indicacin.-lim(r, j) (0, 0)j = r) (r, j) = 0, lim(r, j) (0, 0)j = 2r2) (r, j) = 1(b) ) : R2R, ) (r, j) =___ rr2j2r2 +j2, (r, j) ,= (0, 0)1 , (r, j) = (0, 0)(c) ) : R2(0, 0) R, ) (r, j) =2j3r2 +j2(d) ) : R2(r, r) : r R R, ) (r, j) = sin_r2j2_r jIndicacin.- [sint[ _ [t[2. Calcular si existe(a) lim(r,)(1,2)) (r, j) si (j + 2) (r 1)2(j + 2)2(r 1)2+ (j + 2)2(b) lim(r,)(1,0)) (r, j) si ) (r, j) =cr+31(r 1)2+j4.Teorema.- (Algebra de lmites) Sean ), q : 1 _ Rn R y r0 un punto deacumulacin de 1. Si limrr0) (r) ylimrr0q (r) existen, se tiene:1. limrr0 [) (r) +q (r)] =limrr0) (r) + limrr0q (r)72. limrr0c) (r) = c limrr0) (r), con c R3. limrr0 [) (r) q (r)] =limrr0) (r) limrr0q (r)4. limrr0}(r)(r) =limx!x0 }(r)limx!x0 (r), si limrr0q (r) ,= 0Demostracin.- Anloga al caso de una variable. Queda como ejercicio..Denicin.- Sean ) : 1 _ Rn R, 1 abierto y r0 1. Diremos que ) escontinua en r0 si limrr0) (r) = ) (r0).Observacin.-1. ) es continua en r0 ssi(\-0) (c0) 0 < |r r0| < c ==[) (r) ) (r0)[ < -2. Sean ) : 1 _ RnR y r0 1. ).no es continua en r0 ssi limrr0) (r) noexiste o limrr0) (r) ,= ) (r0)..Denicin.- Sea ) : 1 _ Rn R, 1 abierto y r0 1. Diremos que ) escontinua si lo es en cada punto de 1.Ejemplos.- Estudie la continuidad de:1. ) : R2R denida por(a) ) (r, j) =____j +r2_r2j2r2 +j2, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0)(b) ) (r, j) =_ r3sin jr j2sin rj, rj ,= 00 , rj = 02. ) : R2(0, 0) R, ) (r, j) =_j +r2_r2j2r2 +j2.Teorema.- Sean ), q : 1 _ Rn R, 1 abierto de Rny r0 1 un punto deacumulacin.a) Si ) y q son continuas en r0, entonces c) +,q es continuas en r0.b) Si ) y q son continuas en 1, entonces c) +,q es continua en 1.8Demostracin.-a) Inmediata del teorema lgebra de lmites.b) Inmediata de a)..Teorema.- Sean ) : 1 _ Rn R y q : R R continuas. Si 1 es abierto,entonces q ) : 1 _ RnR es continua.Demostracin.- Sea r0 1. Sea -0, entonces existe c0 tal que (q escontinua en ) (r0))[j ) (r0)[ < c ==[q (j) q () (r0))[ < -..... (+)Dado que ) es continua en r0 y c0, existe ct0 tal que|r r0| < ct ==[) (r) ) (r0)[ < c..... (++)De . (+) y (++);|r r0| < ct ==[q () (r)) q () (r0))[ = [(q )) (r) (q )) (r0)[Se tiene:(\-0)_ct0_|r r0| < ct ==[(q )) (r) (q )) (r0)[ < -Por lo tanto, limrr0 (q )) (r) = (q )) (r0), lo que prueba que q ) es continuaen r0. En consecuencia q ) es continua sobre 1.Denicin.- Sean ): 1 _ Rn Rn, )= ()1, )2, ......, )n) y r0 1. Sedice que ) es continua en r0 si (\i = 1, 2, ...., :) )I es continua en r0.Ejemplo.- Estudiar la continuidad de la funcin denida por:1. ) (r, j) =j3r + 1r4 +r2 + 12. ) (r, j) =_rsinr +rj23 , r ,= :, para todo : Z2 , r = :, para algn : Z3. ) (r, j) =___(rj)4(rj)4+ (r j)2, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0)4. ) (r, j) =___r3j[r[3+[j[3, (r, j) ,= (0, 0)1 , (r, j) = (0, 0)9.Ejercicios.-1. Encontrar el lmite en cada punto de discontinuidad de las funciones delejemplo anterior, si este existe.2. Estudiar la continuidad de las funciones denidas por:(a) ) (r, j) =___(r 1)4(j + 2)4(r 1)4(j + 2)4+ (r j 3)2, (r, j) ,= (1, 2)0 , (r, j) = (1, 2)(b) ) (r, j) =___(r 8)3j[r 8[3+[j[, (r, j) ,= (8, 0)1 , (r, j) = (8, 0)(c) ) (r, j) =___r3j4[r[3+j12, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0)3. Calcular los siguientes lmites si existen:(a) lim(r, j) (0, 0)(r, j) orjr2 +j2(b) lim(r, j) (0, 0)(r, j) or2j2r2 +j2cuando o es uno de los siguientes subconjuntos de R2.i. o = (r, j) : j = ar, a ,= 0ii. o =_(r, j) : j2= ar_, a ,= 0iii. o = (r, j) : r0, j0, j < riv. o = R24. En que puntos no son continuas las funciones denidas por(a) ) (r, j) =___r2j2r2 +j21, r2+j2,= 10 , r2+j2= 1(b) ) (r, j) =___sin_r2+j2_r2 +j2, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0)(c) ) (r, j) =___2rj(r2 +j2)12, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0)10(d) ) (r, j) =___r3j3r j, r ,= j0 , r = j.Denicin.- Sea ) : 1 _ Rn R y sea r0 un punto de acumulacin de 1.Diremos que1. limrr0) (r) = + si \'0, c0 : 0 < |r r0| < c ==) (r)'.2. limrr0) (r) = si \' < 0, c0 : 0 < |r r0| < c ==) (r) < '.3. lim]r]+o) (r) = 1 si (\c0) ('0) |r|' ==[) (r) 1[ < -..Observacin.- Valen las reglas dadas para funciones de una variable. Bastaconocer el algebra en R.Ejemplos.-1. lim(r,)(1,0)1[r 1[ +j2 = +2. lim(r,)(0,0)tan_r2+j2 2_= 3. lim(r,)(1,1)sin(r j)r jctan 2rno existe.1.3 DIFERENCIACION1.3.1 DERIVADAS PARCIALESDenicin.- Sean ) : 1 _ Rn R, 1 abierto y sea r0 1. \i = 1, 2, ...., :,llamamos derivada parcial de ) c/r a rI, en el punto r0, al lmitelim|0) (r0 +/cI) ) (r0)/, si existeE = c1, c2, ......, cn es la base cannica de Rn.Notacin.-0)0rI (r0) o )ri (r0)Denicin.- Sea ): 1 _ Rn R, 1 abierto y supongamos que ) admitederivada parcial c/r a rI en cada punto de 1. Llamamos derivada parcial de )c/r a rI a la funcin0)0rI : 1 _ RnR, r 0)0rI (r) = lim|0) (r1, .., rI +/, ..., rn) ) (r1, ...., rn)/11.Observacin.-1. Si : = 1, la derivada parcial de ) coincide con la derivada total u ordinariade )2. De acuerdo con la denicin de derivadas parciales, dado r Rn, obtener0)0rI (r) consiste en derivar a ) como si slo dependiera de una sola variablerI, considerando al resto de ellas como constantes. Por esto siguen valiendolas reglas de derivacin del clculo de funciones de una variable. En par-ticular, si ) : 1 _ RnR y q : R R, 0)0rI (r) existe y dqdn () (r)) existe,entonces 0 (q ))0rI(r) existe y adems, 0 (q ))0rI(r) = dqdn () (r)) 0)0rI (r)..Ejemplos.-1. Sea ) : R3 R, ) (r, j, .) = r3j2+ rj2c:3+ 2r 5j + 1. Encontrar0)0r, 0)0j y 0)0. en el punto (1, 2, 0).2. Sea ) : R2R, ) (r, j) =___ r_rr2j2r2 +j2 + 1_, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0).Encontrar 0)0r (r, j) , 0)0j (r, j) si existe.3. Sea ) : R2R, ) (r, j) =_jr2 +j, j ,= r20 , j = r2.Encontrar 0)0r (r, j) , 0)0j (r, j) si existe..Ejercicio.- Calcule las derivadas parciales si existen. Estudie adems la con-tinuidad de las derivadas parciales.1. ) : R3R, ) (r, j, .) = j2cr2++2:cos_j +.3_2. ) : 1 _ R2R, ) (r, j) = ln(jr+ 1), donde 1 = (r, j) : j03. ) : R2R, ) (r, j) = sin cos n4. ) : R3R, ) (r, j, .) =_r3+ 3j3+:3_5_1 + cos_r2+j.3_3_55. ) : 1 _ R2R, ) (r, j) = log r, donde 1 = (r, j) : r0, j0126. ) : R4R, ) (r, j, ., n) =___r2j2.2 +n2, (., n) ,= (0, 0)0 , (., n) = (0, 0)7. ) : R2R, ) (r, j) =_ r2j sin 1r, r ,= 00 , r = 0.Denicin.- Sean ) : 1 _ RnR y r0 1. Supongamos que la derivada par-cial 0)0rI : 1 _ RnR existe. Dado , = 1, ....., :; llamamos derivada parcial de-orden 2 de ) c/r rI primero y c/r a r despus, evaluada en el punto r0 a laderivada parcial de la funcin0)0rI c/r a r en el punto r0, si existe.En forma anloga se denen las derivadas de ) de orden mayor o igual a 3.Ejemplos.-1. Sea ) : R3R, ) (r, j, .) = .2rj. Encontrar 02)0r2,02)0r0.,03)0r0j0.,03)0j20. etc.2. Sea ) : R2 R, ) (r, j) =___r2j2, j ,= 0r , j = 0. Encontrar 02)0r2 (a, 0) y03)0r3 (a, 0) si existe con a R..Teorema(de Schwarz).- Consideremos ) : 1 _ Rn R con 1 abierto de Rn.Supongamos que0)0rI, 0)0r,02)0rI0rexisten y son continuas, entonces02)0r0rIexiste y02)0r0rI =02)0rI0r .Demostracin.- Ver Clculo de Funciones Vectoriales de Willianson, Crowelly Trotter, pgina 221.Observacin.- Sin la hiptesis de continuidad para )r (o )r) el teorema ante-rior no es necesariamente vlido.Ejemplo.- Sea ) : R2R, ) (r, j) =___ rjr2j2r2 +j2, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0).Se tiene:

0)0r (r, j) =___j_r4j4+ 4r2j2_(r2 +j2)2, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0)13

0)0j (r, j) =___r_j4r4+ 4r2j2_(r2 +j2)2, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0)

r4j4+ 4r2j2_ r4+j4+4r2j2_ 2r4+2j4+4r2j2= 2_r2+j2_2........ (+)0)0r (r, j) 0= [j[r4j4+ 4r2j2(r2 +j2)2_+ 2 [j[ 0, cuando (r, j) (0, 0).Esto muestra la continuidad de 0)0r en (0, 0).En forma anloga se muestra la continuidad de 0)0j en (0, 0).. 02)0j0r (r, j) = r6j6+ 9r4j29r2j4(r2 +j2)3, (r, j) ,= (0, 0), y02)0j0r (0, 0) = 1. lim(r, j) (0, 0)j = r02)0j0r (r, j) = 0Por lo tanto02)0j0r no es continua en (0, 0). En forma anloga se prueba que02)0r0j no es continua en (0, 0).Ejercicios.-1. Sea q : R2 R, q (r, j) =_ r3sin jr j2sin rj, rj ,= 00 , rj = 0. demuestreque02q0j0r y02q0r0j no son continuas.2. Sea ) : R3R, ) (r, j, .) =1|(r, j, .)|. Muestre que: )rr+)+):: = 0..Denicin.- Sea ) : 1 _ Rn R, 1 abierto. Si ) posee derivadas parcialeshasta el orden :, : N y estas son continuas sobre 1, diremos que ) es unafuncin de clase (nsobre 1, se escribe ) (n(1). se dice que ) (o (1) si(\: N) ) (n(1).Observacin.-1. Se dice que ) es continuamente diferenciable sobre 1 si ) (1(1).2. Se dice que ) es : veces continuamente diferenciable sobre 1 si ) (n(1).3. ) (0(1) ==) es continua sobre 1.4. Para funciones de una variable ) : G _ R R, la existencia de la derivadade ) en un punto implica la continuidad de ) en ese punto. Este no es el14caso pra funciones ) : 1 _ RnR ya que la existencia de las derivadas(parciales primeras) no implica la continuidad de ). Por ejemplo veriqueque) : R2R, ) (r, j) =_rjr2 +j2, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0)tiene derivadas parciales (primeras) en todo punto, sin embargo ) no escontinua en el origen.5. Se prueba que si ) tiene derivadas parciales (primeras) continuas sobre unabierto 1 _ Rn, entonces ) es continua sobre 1.6. Sea ) : 1 _ R2R continua. sea o la supere denida por. = ) (r, j) .0)0r (a, /) es la pendiente de la curva de ecuacin . = ) (r, /) en el punto(a, /, c), es decir, la pendiente de la supercie o en la direccin del eje r.1.3.2 LA DIFERENCIALSea ) : 1 _ RnR tal que0)0rI (r0) existe para i = 1, 2, ....., :. Consideremosla aplicacin lineal 1 : RnR denida por 1(r) =0)0r1 (r0) r1+ 0)0r2 (r0) r2+............ +0)0rn (r0) rn, donde A = (r1, ...., rn).Denicin.- Sea ) : 1 _ Rn R, 1 abierto y sea r0 1. Se dice que )es diferenciable en r0 silimrr0) (r) ) (r0) 1(r r0)|r r0|= 0Si )es diferenciable en r0, entonces a la aplicacin lineal 1 se la llama ladiferencial de ) en r0 y se le denota por 1 = dr0).Ejemplo.- Sea ) : R2R, ) (r, j) = r2+ 2rj. Muestre que ) es dife-renciable en (2, 1).15.Observacin.-1. Consideremos ) diferenciable en r0. se tiene:) (r) ) (r0) = 1(r r0) +- (r) (|r r0|), donde limrr0- (r) = 0.Por lo tanto,) (r) ) (r0) - 1(r r0), para r cercano a r0.) (r) ) (r0) - (r), para r cercano a r con (r) = 1(r) 1(r0).2. La diferencial 1 = dr0) cuando existe es nica..Teorema.- Si ) : 1 _ RnR es diferenciable en r0, entonces ) es continua enr0.Demostracin.- [1(r r0)[ _ '|r r0| (ya que ) es lineal).[) (r) ) (r0)[ =Obs.1.[1(r r0) +- (r) (|r r0|)[ __ (' +- (r)) |r r0| rr00.Por lo tanto limrr0) (r) = ) (r0).Esto prueba que ) es continua en r0.Ejemplo.- ) : R2 R, ) (r, j) =_rjr2 +j2, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0), no es con-tinua en (0, 0), luego no es ,diferenciable en (0, 0).Observe que en este caso 0)0r (0, 0) = 0)0j (0, 0) = 0.Observacin.- Sea ) : 1 _ RnR diferenciable en r0.1. dr0) : RnR, dr0) (r) =0)0r1 (r0) r1+ 0)0r2 (r0) r2+............+ 0)0rn (r0) rn.2. Notacin.- drI (r) = rI.3. dr0) =0)0r1 (r0) dr1 + 0)0r2 (r0) dr2 +............ +0)0rn (r0) drn.Si no hay lugar a confusin escribimosd) =0)0r1dr1 + 0)0r2dr2 +............ +0)0rndrn..Ejemplo.- Se puede ver que ) : R2 R, ) (r, j) = r2+ 2rj es diferenciablesobre todo punto de R2. En este casod) = (2r + 2j) dr + 2rdjd(1,2)) = 6dr + 2dj161.3.3 PROPIEDADES DE FUNCIONES DIFERENCIABLESY EJEMPLOSTeorema.- (Algebra de las funciones diferenciables)Sean ), q : 1 _ Rn R diferenciables en r0 1, entonces ) + q, )q sondiferenciables en r0, y si q (r0) ,= 0, tambin lo es )q. Adems:dr0 () +q) = dr0) +dr0qdr0 ()q) = ) (r0) dr0q +q (r0) dr0)dr0_)q_=q (r0) dr0) ) (r0) dr0q[q (r0)]2Demostracin.- EjercicioObservacin.-1. Si ) : 1 _ RnR es constante, entonces (\r 1) dr) = 0.2. En las condiciones de hiptesis del teorema, y si c es constante, entoncesdr0 (c)) = cdr0 ()).Demostracin.- 1. y 2. ejercicio..Teorema.- Supongamos que )r1, )r2, ......, )rn existen en una vecindad de r0 =(c1, c2, ........, cn) y son continuas en r0. Entonces ) es diferenciable en r0.Demostracin.- Ver Trench, pgina 344.Observacin.-1. Diremos que ) es continuamente diferenciable sobre el abierto 1 _ Rnsi) (1(1).2. Si ) (1(1), entonces ) es diferenciable sobre el abierto 1..Ejemplos.-1. Sea ) : R3R, ) (r, j, .) =___sin(rj.)r2 +j2 +[.[, (r, j, .) ,= (0, 0, 0)0 , (r, j, .) = (0, 0, 0).(a) Muestre que ) es diferenciable en (0, 0, 0).(b) Muestre que ) es diferenciable en (1, 2, 1).(c) Encuentre la (buena) aproximacin de ) en alguna vecindad del punto(1, 0, 1).172. Sea ) : R2R, ) (r, j) =___ (r j)2sin1r j, r ,= j0 , r = j. Se tiene:(a)0)0r (r, j) = 2 (r j) sin1r j cos1r j; r ,= j.(b)0)0r (a, a) = lim|0) (a +/, a) ) (a, a)/= lim|0/sin 1/ = 0.(c) De la misma manera:0)0j (r, j) =___ 2 (r j) sin1r j + cos1r j, r ,= j0 , r = j(d) lim(r, j) (a, a)j = a0)0r (r, j) == lim(r, j) (a, a)j = a_2 (r j) sin1r j cos1r j_== limro_2 (r a) sin1r a cos1r a_: No existe(e) Por lo tanto 0)0r es discontinua en (a, a) con a R.(f) De la misma manera se muestra que 0)0j es discontinua en (a, a) cona R.(g) En particular 0)0r y 0)0j son discontinuas en (0, 0). Sin embargo ) esdiferenciable en (0, 0) ya que:lim(r,)(0,0)) (r, j) ) (0, 0) )r (0, 0) r ) (0, 0) j_r2 +j2== lim(r,)(0,0)) (r, j)_r2 +j2,) (r, j)_r2 +j2_ (r j)2sin1r j_r2 +j2_(r j)2_r2 +j2 =_ r2+j22rj_r2 +j2_ r2+j2+r2+j2_r2 +j2__ 2_r2 +j2 (r,)(0,0)0..Observacin.- Esto muestra que las hiptesis del teorema anterior son sucientespero no necesarias (es decir, el recproco no es vlido).181.3.4 FUNCIONES DIFERENCIABLES DE Rnen RnDenicin.- Dada una funcin vectorial) : 1 _ RnRn, ) = ()1, )2, ......., )n)y r0 un punto de acumulacin de 1 , se denelimrr0) (r) =_ limrr0)1 (r) , limrr0)2 (r) , ......., limrr0)n (r)_Se dice que ) es continua en un punto r0 1 si cada funcin componente escontinua en r0. Se dice que ) es continua en 1 si cada funcin componente escontinua en 1.Ejemplos.- Sea ) : R3R2, ) (r, j, .) =_ r2+ 1j2.2 + 3, rj .2_. Se tiene:1. lim(r,,:)(1,0,2)) (r, j, .) =_23, 4_2. )1 : R3R, )1 (r, j, .) =r2+ 1j2.2 + 3 y )2R3R, )2 (r, j, .) = rj .2sonlas funciones componentes de ).3. ) es continua ya que sus funciones componentes lo son..Denicin.- Sea ) : 1 _ Rn Rn, 1 abierto y sea r0 1. Se dice que )es diferenciable en r0 si cada funcin componente lo es. En tal caso dr0) =_dx0)1, dx0)2, ......, dx0)n_.Observacin.-1. ) es diferenciable en r0 si existe una aplicacin lineal 1 : Rn Rntalquelimrr0) (r) ) (r0) 1(r r0)|r r0|= 0.2. dr0) es nica, cuando existe.3. Si ) es diferenciable en r0, entonces ) es continua en r0.4. Una aplicacin T : Rn Rnse dice afn si existe 1 : Rn Rnlineal yexiste Rnjo tal que(\r Rn) T (r) = 1(r) + ..Observacin.- Si ) : 1 _ RnRnes diferenciable en r0, entonces ) tiene unaaproximacin afn en una vecindad de r0.Demostracin.- )= ()1, )2, ......, )n) y cada funcin componente de ) puedeaproximarse por una funcin afn en una vecindad de r0 (ya que cada )I esdiferenciable en r0).191.3.5 PROPIEDADES DE FUNCIONES DIFERENCIABLES1. Si ) : 1 _ Rn Rn, ) (r) = /; con / Rnconstante, entonces ) esdiferenciable en todo punto r0 de 1 y adems:dr0) = 0 (aplicacin lineal nula)2. Si ) : 1 _ Rn Rn, ) (r) = 1(r) +(aplicacin afn) entonces ) esdiferenciable en todo punto r0 de Rn, y adems:dr0) = 1.3. Si ) : RnRnRnes bilineal, entonces ) es diferenciable en todo punto(r0, j0) de RnRn, y ademsd(r0,0)) : RnRnRn, d(r0,0)) (r, j) = ) (r0, j) +) (r, j0).Ejemplo.- ) : R2R2R, ) (r, j, n, ) = (2r j) (n 3) es bilineal sobre R2.) es diferenciable sobre todo punto de R2R2, en particular ) es diferenciableen (1, 0, 0, 1) y adems:d(1,0,0,1)) : R2R2R, d(1,0,0,1)) (r, j, n, ) == ) ((1, 0, n, .) +) (r, j, 0, 1)) == 2n 6 6r + 3jObservacin.- Vale tambin el lgebra de funciones diferenciables dada parafunciones ) : 1 _ RnR.Nota.-1. ) : 1 _ RnRn (:(1) ==(\i = 1, 2, ......, :) )I (:(1).2. Para ) : ]a, /[ Rn, se tiene:) = ()1, )2, ......, )n))t (t) = ()t1 (t) , )t2 (t) , ......, )tn (t))d|0)I: R R, d|0)I (t) = )tI (t0) td|0) : R Rn, d|0) (t) = )t (t0) t == (d|0)1 (t) , d|0)2 (t) , ..........., d|0)n (t))201.3.6 MATRIZ JACOBIANADenicin.- Si ) : 1 _ Rn Rnes diferenciable en r0 1,se llamaMatriz Jacobiana de ) en r0, a la matrizJ (), r0) =_____________0)10r1 (r0)0)10r2 (r0) . . .0)10rn (r0)0)20r1 (r0)0)20r2 (r0) . . .0)20rn (r0)............0)n0r1 (r0)0)n0r2 (r0) . . .0)n0rn (r0)_____________donde ) = ()1, )2, ......, )n).Observacin.-1. J (), r0) = [dr0)], es decir, la matriz Jacobiana de ) en r0 es la matriz dela aplicacin lineal dr0) : RnRnen las bases cannicas de Rny Rn.2. Se obtiene:dr0) (r) = J (), r0)r|.Ejemplo.- Si T : R2R2, T (r, 0) = (r cos 0, r sin0), entoncesJ (T, (r, 0)) =___0T10r(r, 0)0T100 (r, 0)0T20r(r, 0)0T200 (r, 0)___ =_ cos 0r sin0sin0 r cos 0_1.3.7 REGLA DE LA CADENA(diferencial de la compuesta)Teorema (Regla de la cadena).- Sea q : R| Rndiferenciable en r0. Sea): Rn Rndiferenciable en q (r0). Entonces / = ) q : R| Rnesdiferenciable en r0 y se tiene que:dr0/ = d(r0)) dr0qObservacin.- J (/, r0) = J (), q (r0))J (q, r0).Ejemplo.- Sea / : R2 R, /(r, j) =___ r2j2sin 1rj, rj ,= 00 , rj = 0.Decida si /es diferenciable en (0, 0).21Solucin.- / = ) q, con ) (t) =_ t2sin 1t, t ,= 00 , t = 0y q (r, j) = rj.Note que / es diferenciable en todo punto (a, 0) y (0, /) con a, / R.Observacin.- Si ) : 1 _ Rn 1 _ Rnes biyectiva y diferenciable en r0,entonces J_)1, ) (r0)_= J (), r0)1.Regla de la cadena para derivadas parcialesNotacin.- 0 (/1, /2, ........, /)0 (:1, :2, ........, :j)denota la matriz Jacobiana_0/I0:_ i = 1, 2, ......, j, = 1, 2, ......, , es decir0 (/1, /2, ........, /)0 (:1, :2, ........, :j) =_________0/10:10/10:2. . .0/10:j. . . .. . . .. . . .0/0:10/0:2. . .0/0:j_________Teorema.- Si n1 = )1 (r1, ....., rn) , ................, nn = )n (r1, ....., rn) denen a: funciones diferenciables; y si r1 = q1 (t1, ...., t|) , ..........., rn = qn (t1, ...., t|),entonces0 (n1, ......, nn)0 (t1, ......., t|)= 0 (n1, ......, nn)0 (r1, ......., rn) 0 (r1, ......., rn)0 (t1, ......., t|)(+).Observacin.- Comparando coecientes de las matrices Jacobianas en (+) tene-mos:0nI0t = 0nI0r10r10t + 0nI0r20r20t +............ + 0nI0rn0rn0tEjemplos.-1. Encontrar 0n0r y 0n00 si n = /(r, j); r e j en coordenadas polares.2. (derivacin implcita) Dada la relacin .2r3j +r23 = .3j +j4, supongaque . = ) (r, j); r = n2, j = 3. Encontrar 0.0n, 0.0 y02.00n.Indicacin.- 0.0n = 0.0r 0r0n + 0.0j 0j0n.22.Ejercicio.- Demuestre que en coordenadas polares la ecuacin 02n0r2 + 02n0j2 = 0se convierte en 02n0r2 + 1r202n002 + 1r 0n0r = 0.1.3.8 DERIVADAS DIRECCIONALESDenicin.- Sean ) : 1 _ Rn R y r Rn. Llamamos derivada de ) en r0segn el vector r, a la derivada si existe de la funcinq : _ R R, q (t) = ) (r0 +tr) en t = 0..Notacin.- 1r) (r0) = lim|0) (r0 +tr) ) (r0)tDenicin.- Sea ) : 1 _ Rn R diferenciable en el abierto 1. Se dene elgradiente de ) como el campo vectorialqrad) : 1 _ RnRn, qrad) (r) =_ 0)0r1 (r) , 0)0r2 (r) , ........, 0)0rn (r)_.Notacin.- qrad) (r) = \) (r).Teorema.- Sea ) : 1 _ Rn R, 1 abierto y sea r0 1. Si ) es diferenciableen r0, entonces: (\r Rn) 1r) (r0) existe y1r) (r0) = dr0) (r) = \) (r0)r.Observacin.- La demostracin de la 1oigualdad es anloga al caso0)0rI (r0) = dr0) (cI) ..Denicin.- Sea Rn, diremos que es una direccin en Rnsi || = 1.Observacin.-1. Para : = 1, las nicas direcciones son 1 = 1 y 2 = 1.2. Para : = 2, toda direccin se puede denir en la forma = (cos 0, sin0),con 0 _ 0 < 2.(0 determina la direccin).3. Para : _ 2, las componentes de una direccin satisfacen las relacionesI = cos 0I; i = 1, 2, ...., :0I es el ngulo formado por y cI, donde cInI=1 es la base cannica deRn.23.Denicin.- Dados un punto r0 y una direccin en Rn, la recta que pasa porr0 + y r0 se llama recta que pasa por r0 con direccin . Esta viene dadapor:r Rn: r = r0 +t, t R.Denicin.- Sea ) : 1 _ Rn R, 1 abierto.Sean r0 1 y una direccin.Llamamos Derivada de ) en r0 en la direccin a0)0 (r0) = lim|0) (r0 +t) ) (r0)t, si existe.Observacin.-1. Ms simplemente llamamos a 0)0 (r0) derivada direccional de ) en r0.2.0)0rI (r0) es un caso particular de derivada direccional0)0rI (r0) = 0)0cI (r0) .3. La recta que pasa por r0 y direccin , es la misma que pasa por r0 ydireccin , sin embargo los sentidos son opuestos, luego resulta naturalque0)0 () (r0) = 0)0 (r0).Ejemplo.- Para ) : R2R, ) (r, j) =___r2j, j ,= 00 , j = 0. Pruebe que:_\ = (a, /) : a2+/2= 1_; 0)0 (0, 0) =___a2/, / ,= 00 , / = 0.24Sin embargo ) no es continua en (0, 0).Ejercicio.- Sea ) : R2 R, ) (r, j) =___r3j3r2 +j2, (r, j) ,= (0, 0)0 , (r, j) = (0, 0). Pruebeque:1 ) (0, 0) =_ a3/3, (a, /) ,= (0, 0)0 , (a, /) = (0, 0); con A = (a, /) .Sin embargo ) no es diferenciable en (0, 0).Indicacin.-0)0r (0, 0) = lim|0) (/, 0)/= lim|0// = 10)0j (0, 0) = lim|0) (0, /)/= lim|0// = 1lim(r,)(0,0)) (r, j) 0)0r (0, 0) r 0)0j (0, 0) j_r2 +j2= lim(r,)(0,0)r3j3r2 +j2 r +j_r2 +j2== lim(r,)(0,0)r3j3_r2+j2_(r +j)(r2 +j2)_r2 +j2lim(r,)(0,0)=rx>0r3j3_r2+j2_(r +j)(r2 +j2)_r2 +j2= limr0x>04r32_2r3 = 2_2 = _2Teorema.- Sea = (cos 01, cos 02, ......., cos 0n) una direccin en Rn. entoncessi ) es diferenciable en r0,0)0 (r0) = \) (r0) ,es decir,0)0 (r0) =0)0r1 (r0) cos 01 + 0)0r2 (r0) cos 02 +........... +0)0rn (r0) cos 0n.En particular para : = 2;0)0 (r0, j0) = 0)0r (r0, j0) cos 0 + 0)0j (r0, j0) sin0, con = (cos 0, sin0).Ejemplo.- Sea ) : R3 R, ) (r, j, .) = r2+ 2j2+ 3.2.Encontrar la derivadadireccional de ) en el punto (r0, j0, .0) = (1, 1, 1), en la direccin de1 = (1, 1, 1).DERIVADA DIRECCIONAL MAXIMATeorema.- Sean 1 _ Rnabierto, ) : 1 _ Rn R diferenciable en r0. Laderivada direccional de ) en r0 es mxima en la direccin del vector gradiente n = \) (r0)|\) (r0)|25Observacin.- Segn el teorema:(\ Rn: | | = 1)0)0 (r0)_ 0)0n (r0) , donde n = \) (r0)|\) (r0)|.Demostracin de teorema.-0)0 (r0) = \) (r0) 0)0 (r0)= [\) (r0) [ _ |\) (r0)|Si n = \) (r0)|\) (r0)|, entonces0)0n (r0) = \) (r0) \) (r0)|\) (r0)| = |\) (r0)| .Ejemplo.- En el anterior, cul es el valor mximo de la derivada direccional en(1, 1, 1) y cul es su direccin?.Ejercicio.- Hallar los puntos (r, j) y las direcciones para las que la derivadadireccional de la funcin denida por ) (r, j) = 3r2+j2tiene el valor mximosi (r, j) est en la circunferencia r2+j2= 1.Indicacin.- 0)0n (r, j) es mxima si n(r, j) = \) (r, j)|\) (r, j)|\) (r, j) = (6r, 2j); |\) (r, j)| = 2_9r2 +j2; n =_3r_9r2 +j2,j_9r2 +j2_0)0n (r, j) = |\) (r, j)| = 2_9r2 +j2: es el valor de la derivada direccionalmxima en la direccin de n(r, j).Sea q (r, j) = 2_9r2 +j2; con r = cos 0, j = sin0 quedaq (0) = 2_1 + 8 cos20Considere /(0) = q (0)2y encuentre los extremos de / con 0 _ 0 _ 2.1.4 AplicacionesTeorema de la funcin inversaTeorema.- Sea ): o _ Rn Rn, o abierto, )= ()1, )2, ....., )n) de clase(1y sea T = ) (o).Supongamos que el Jacobiano [J (), r0)[ , = 0, en algn punto r0 de o.Entonces existen una nica funcin q y dos conjuntos abiertos A _ o e 1 _ Ttales que26i) r0 A y ) (r0) 1ii) 1 = ) (A)iii) ) es inyectiva sobre Aiv) q est denida sobre 1 , q (1 ) = A y(\r A) q () (r)) = rv) q (1(1 ).Ejemplo.- Dada la funcin denida por ) (r, j) =_r_j, j_r_; r _ 0, j _ 0.a) Admite ) una inversa en una vecindad l de (4, 4)?.b) Si ) admite una inversa en una vecindad de (4, 4), determine la aproxi-macin afn de )1en el punto (8, 8).Solucin.- Consideramos) : o _ R2R2, ) (r, j) =_r_j, j_r_ cono =_(r, j) R2: r0, j0_o es abierto, ) (1(o) y [J (), (4, 4))[ = 3 ,= 0.Por lo tanto,a) ) admite una inversa local de clase (1denida en una vecindad l de(4, 4).b) ) (4, 4) = (8, 8)La aproximacin afn de )1en el punto (8, 8) tiene ecuacin:1(n, ) = )1(8, 8) +d(8,8))1(n 8, 8)= (4, 4) +J_)1, (8, 8)__ n 8 8_= (4, 4) +J (), (4, 4))1_ n 8 8_= (4, 4) +_ 2 11 2_1_ n 8 8_1(n, ) = _2n + 43, 2 n + 43_.Ejercicio.- Sea ) denida por) (r, 0) = (r cos 0, r sin0, .) ; 0 < r, 0 < 0 < 2, . R.27a) Calcule (si existe) la diferencial de ) en _1, 3, 0_.b) Existe inversa local de ) cerca de _1, 2, 0_?.c) Calcule la aproximacin afn de )1en (1, 0, 0)..Notacin.- Sea r Rn, t R|; (r, t) Rn+|.Teorema de la funcin implcitaTeorema.- Sea 1 : o _ Rn+n Rn (1(o), o abierto, tal que (r0, n0) o.Suponemos que:i) 1 (r0, n0) = 0ii) 1u (r0, n0) es no singular, es decir,det 1u (r0, n0) =0)10n1.. ..0)10nn: :: :0)n0n1.. ..0)n0nn,= 0.Entonces, existe una vecindad abierta ' de (r0, n0) contenida en o, yuna vecindad abierta de r0 en Rnsobre la cual est denida una nicatransformacin G : _ RnRntal que:I) (r, G(r)) ', r II) G(r0) = n0III) 1 (r, G(r)) = 0, r Ms an, G es continuamente diferenciable sobre yJrG = [1u (r, n)]11r (r, G(r)).Corolario.- Sea ) : Rn+1R de clase (1sobre el abierto o, tal que (r0, n0) o.Suponemos que:i) ) (r0, n0) = 0ii) )u (r0, n0) ,= 0.Entonces, existe una vecindad ' de (r0, n0) contenida en o, y una vecin-dad de r0 en Rnsobre la cual est denida una nica funcin q : _RnR tal que:28I) (r, q (r)) ', r II) q (r0) = n0III) ) (r, q (r)) = 0, r Adems: q (1() yqri (r) = )ri (r, q (r)))u (r, q (r)) , 1 _ i _ :..Ejemplo.-1. Sea ): R3 R, ) (r, j, .) = (j +.) cos r. Pruebe que )dene unafuncin implcita diferenciable . = /(r, j) en una vecindad de (0, 0, 0).Halle d(0,0)/.Solucin.-) : o _ R3R, ) (r, j, .) = (j +.) cos r con o = R3o es abierto, (0, 0, 0) o, ) (1(o)) (0, 0, 0) = 0 y 0)0. (0, 0, 0) = 1 ,= 0.Por lo tanto, ) dene una funcin implcita diferenciable . = /(r, j) enuna vecindad de (0, 0, 0) y adems:0/0r (r, j) = 0)0r (r, j, .)0)0. (r, j, .) = (j +.) tanr0/0j (r, j) = 0)0j (r, j, .)0)0. (r, j, .) = 1De esta maneraJ (/, (0, 0)) = _0/0r (0, 0) , 0/0j (0, 0)_= (0, 1)J (/, (0, 0))_ rj_= (0, 1)_ rj_= (j) = j,d(0,0)/ : R2R, d(0,0)/(r, j) = j.2. Suponga que las variables r, j, n, estn relacionadas por el sistema deecuaciones:r2j2= 2n 15r + 2rj = n22+ 10Sea 10 (1, 2, 2, 3).29(a) Pruebe que este sistema dene a n y como funciones diferenciablesde (r, j) en una vecindad del punto (1, 2).(b) Determine 00j (1, 2) , 02n0r2 (1, 2)(c) Sean n = /(r, j) , = q (r, j) las funciones implcitas cuya existen-cia se prob en i). Muestre que ) = (/, q) admite funcin inversadiferenciable en una vecindad del punto (1, 2).(d) Determine la transformacin afn que aproxima )1en una vecindaddel punto (2, 3).Indicacin.- 1 : R4R2,1 (r, j, n, ) =_r2j2+ 2n + 15, r + 2rj n2+210_1 (1_R4_, 1 (1, 2, 2, 3) = (0, 0) y [1I (A0, l0)[ = 52 ,= 0.Por lo tanto:(a) Existe ) : _ R2R2diferenciable tal que) (r, j) = (/(r, j) , q (r, j)) = (n, )(b) J (), (1, 2)) = (JI01)1(J01) = 152_6 44 6__ 245 2_==___ 8134131126 713___ =___0n0r (1, 2)0n0j (1, 2)00r (1, 2)00j (1, 2)___(c) ) es de clase (1(del T. de la F. Implcita), [J (), (1, 2))[ =613 ,= 0. Por elT. de la F. Inversa, ) es localmente invertible.(d) J_)1, (2, 3)_= J (), (1, 2))1= 112_14 811 16_La aproximacin afn de )1en una vecindad de (2, 3) est denida por:1(n, ) = )1(2, 3) +d(2,3))1(n + 2, 3) = (r, j)Nota.- 00j (1, 2) , 02n0r2 (1, 2) de la parte (b) se pueden obtener derivandoimplcitamente en el sisitema dado. Se obtiene 02n0r2 (1, 2) = 6413..Ejercicios.-1. En el ejemplo 1. anterior determine adems la ecuacin del espacio (plano)tangente a la supercie o =_(r, j) R2: /(r, j) = 0_ en (0, 0).302. Pruebe que la ecuacinrj. + sin(. 6) 2_r +j +r2j2_= 0dene en una vecindad del punto 10 (1, 1, 6) a . como funcin implcita der e j; es decir, . = ,(r, j).Determine ,r (1, 1) , , (1, 1) , ,r (1, 1) , , (1, 1) , ,rr (1, 1)..Propiedades del gradiente. Curvas y supercies de nivelSi c : 1 _ RnR, 1 abierto, y c diferenciable, entoncesqradc : 1 _ RnRn, qradc(r) = \c(r) =_ 0c0r1 (r) , 0c0r2 (r) , ......, 0c0rn (r)_Si c y c : 1 _ RnR son diferenciables, entonces:a) \(c +c) = \c +\c b) \(cc) = c\c +c\cc) \(c,c) =1c2 (c\c c\c), para r 1 tal que c (r) ,= 0.Demostracin.- Son consecuencia inmediata de la denicin de \) y delas propiedades de las derivadas..Interpretacin geomtrica.- Consideremos : = 3, c=cte. y sea1c = r 1 : c(r ) = c1c es una supercie en R3si di:1c = 2. Si este es el caso entonces, 1c tieneun plano tangente en el punto a = (a1, a2, a3) de ella y la ecuacin del planotangente es:\c(a )(r a ) = 0,es decir0c0r (a ) (r a1) + 0c0j (a ) (j a2) + 0c0. (a ) (. a3) = 0.Esto es el vector \c(a ) es normal al plano tangente, luego es normal a lasupercie 1c denida por la ecuacin c(r ) = c en el punto a .31Observacin.-1. Dicho plano tangente existe en todo punto a tal que c(r ) ,=0 .2. Si c(r, j, .) = ) (r, j) ., entonces\c(r, j, .) =_0)0r (r, j) , 0)0j (r, j) , 1_l1c..Consideremos ahora : = 2, entonces 1c = r 1 : c(r ) = c es una curvaen R2. Si \c(a ) ,= 0 , a = (a1, a2), entonces la recta tangente a la curva Gcen el punto a tiene ecuacin0c0r (a ) (r a1) + 0c0j (a ) (j a2) = 0y \c(a ) es normal a dicha tangente, y luego lo es a la curva Gc en el puntoa .Denicin.- El campo escalar c cuyo gradiente es \c se llama funcin poten-cial del campo vectorial \c.Las correspondientes supercies 1c, denidas por c(r ) = c, r 1, se llamansupercies equipotenciales o supercies de nivel si :2. Si : = 2 se habla decurvas equipotenciales o de nivel..Clculo III - 52122723 de Marzo de 2010JRC32UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONDEPARTAMENTO DE MATEMATICAProf. Jorge Ruiz Castillo2 EXTREMOS DE FUNCIONES CONVALORES REALES2.1 Mximos y MnimosDenicin.- Sea ) : 1 _ RnR y sea r0 1. Se dice que:1. r0 es un punto de mximo absoluto para ) si(\r 1) ) (r) _ ) (r0)2. r0 es un punto de mnimo absoluto para ) si(\r 1) ) (r0) _ ) (r)3. r0 es un punto de mximo local para ) siexiste r0 tal que(\r 1(r0, r) 1) ) (r) _ ) (r0)4. r0 es un punto de mnimo local para ) si existe r0 tal que(\r 1(r0, r) 1) ) (r0) _ ) (r).Observacin.-1. El procedimiento para hallar valores extremos absolutos o relativos es muysemejante al usado para funciones de una variable. Solo que ahora hayms derivadas dado que se trata de funciones de varias variables2. En analoga al caso de una variable tambin se obtiene el siguiente resul-tado: Una funcin continua r ) (r) alcanza un valor mximo y un valormnimo (absolutos) sobre cualquier regin 1 cerrada y acotado en que estedenida. Adems, estos extremos slo pueden hallarse en los puntos defrontera de 1 o en los puntos interiores de 1 en los que )r = ) = 0 odonde )r o ) no existan ("puntos crticos de )")..Teorema.- Sea ) : 1 _ RnR y sea r0 o1. Si )r1 (r0) , )r2 (r0) , ........, )rn (r0)existen y r0 es un extremo local de ), entonces(\i = 1, 2, ....., :) )ri (r0) = 033Demostracin.- Basta denir: (\i = 1, 2, ....., :) qI (t) = ) (r0 +tcI), donde cInI=1es la base cannica de Rn.Se tiene que qI es derivable en t0 = 0, qtI (0) = )ri (r0).Adems t0 = 0 es un extremo local de qI. Por lo tantoqtI (0) = )ri (r0) = 03. Tambin en analoga al caso de una variable, es vlido el siguiente resul-tado:.Teorema.- De los valores extremosSi ) : 1 _ RnR es continua sobre el conjunto cerrado y acotado 1, entoncesexisten 11, 12 1 tales que(\r 1) ) (11) _ ) (r) _ ) (12)Ejemplo.- Sean 1 =_(r, j) R2: 1 _ r2+j2_ 2_y ) : 1 _ R2R denidapor ) (r, j) = cr2+2. Entonces ) alcanza su mximo valor sobre 1.4. El recproco del teorema de la observacin 2. no es cierto..Ejemplo.- Sean ) : R2R, ) (r, j) = r3+j3y (r0, j0) = (0, 0), entonces:0)0r (0, 0) = 0)0j (0, 0) = 0y (0, 0) no es un punto de mnimo ni de mximo local de ) ya que:) (c, 0) = c3 ) (0, 0)) (c, 0) = c3< ) (0, 0)con c0 y pequeo.Denicin.- Sea ):1 _ Rn R y sea r0 1. Diremos que r0 es unpunto crtico de ) si (\i = 1, 2, ....., :)J}Jri (r0) = 0 o si (, = 1, 2, ...., :)J}Jrj (r0)no existe.Observacin.-1. Como se aprecia en el ejemplo anterior, un punto crtico de ) no es nece-sariamente un extremo local de ).2. Un punto crtico de una funcin diferenciable ) : 1 _ Rn R que no esun extremo local recibe el nombre de punto de silla de ).342.2 El teorema de TaylorTeorema.- Sea ) : 1 _ Rn R de clase (|+1. Sean 1, H Rntales que elsegmento de extremos 1 y 1 + H en notacin [1, 1 +H] est includo en 1.Entonces:) (1 +H) = ) (1) +d) (1) [H] + 12d2) (1) [H] +..............++ 1|!d|) (1) [H] +1| [H]dondelim101k[1]]1]k = 0d2) (1) [H] =n

I,=1J2}JriJrj (1) /I/d3) (1) [H] =n

I,,|=1J3}JriJrjJrt (1) /I//|ds) (1) [H] =n

I,,|=1Js}Jri1Jri2........Jris (1) /I1/I2....../IsDemostracin.- Se obtiene del teorema del mismo nombre para funciones de unavariable.Observacin.- En el caso / = 2 se tiene:) (1 +H) = ) (1) +d) (1) [H] + 12d2) (1) [H] +12 [H]2.3 Criterio de la segunda derivadaTeorema.- Sean ) : o _ R2 R y r0 oo.Supongamos que ) es de clase (2sobre una vecindad del punto crtico r0. Sea1 = )rr (r0) ) (r0) )2r (r0)Entonces1. r0 es un extremo local de ) si 10.(a) r0 es un mximo local si )rr (r0) < 0.(b) r0 es un mnimo local si )rr (r0)0.2. r0 es un punto de silla de ) si 1 < 0.3. El criterio no da informacin si 1 = 0.Demostracin.- Se dene 1 (t) = ) (a +/t, / +/t), donde (r0, j0) = (a, /),/ y / son jos. Luego se estudian los mximos y mnimos locales de lafuncin de una variable 1 con ayuda del teorema de Taylor. Ver Clculocon Geometra Analtica Thomas/Finney; 6oedicin. Volumen 2; pgina885.35.Ejemplo.- estudiar extremos locales de ) : R2R, ) (r, j) = cor2+b2, a/ ,= 0.Ejercicio.- Lo mismo para ) : R2R, ) (r, j) = 3r2+ 5j2+ 6r 20j.Respuesta.- (1, 2) es un punto de mnimo local para ).Observacin.- La expresin 1 = )rr) )2r se llama discriminante de ).1 = )rr)r)r)2.4 Repaso de Formas cuadrticas1. Una funcin : RnR se llama forma cuadrtica si (H) =n

I,=1aI/I/con H = (/1, /2, ......, /n) y los aI son nmeros reales jos. = (aI)I,=1,2,....,n se llama la matriz de la forma cuadrtica .De esta forma (H) = HTH, donde H =______/1/2::/n______, HT= (/1 /2 ...... /n)2. Se dice que es simtrica si aI = aI; i, , = 1, 2, ......, :.Se dice que es denida positiva si (H)0 para cada H ,= 0Se dice que es denida negativa si (H) < 0 para cada H ,= 0Se dice que es no denida si existen H1, H2 Rntales que: (H1) < 0 < (H2).Teorema.- Criterio de los valores propiosSea : RnR una forma cuadrtica.1. es denida positiva ssi todos los valores propios de de la matriz asociadason positivos.2. es denida negativa ssi todos los valores propios de de la matriz asociadason negativos.3. es no denida ssi existen valores propios positivos y valores propiosnegativos.Demostracin.- Ver Fleming, pgina 165.36.Teorema.- Criterio de Ruth HurwiczSi (H) = HTH es una forma cuadrtica sobre Rntal que det ,= 0, entonces es:1. denida positiva ssia110, a11a12a21a22 0, ................,a11a12...... a12a21a22...... a22::::a11a12...... a11 02. es denida negativa ssia11 < 0, a11a12a21a22 0,a11a12a13a21a22a23a31a32a33, ....................., (1)|a11a12...... a12a21a22...... a22::::an1an2...... an1 03. es no denida ssi ninguna de las condiciones anteriores se cumple.Demostracin.- Ver Edwards, pgina 1492.5 La matriz HessianaDenicin.- Sea ) : o _ RnR de clase (3, y sea } la forma cuadrtica} (1) (H) =n

I,=102)0rI0r (1) /I/.La matriz simtrica H = _02)0rI0r (1)_ recibe el nombre de matriz Hessianade ) en 1.Teorema.- Sea ): _ Rn R de clase (3, y sea 1un punto crtico de).1. Si la matriz Hessiana H es denida positiva, entonces 1 es un punto demnimo local para ).2. Si la matriz Hessiana H es denida negativa, entonces 1 es un punto demximo local para ).3. Si la matriz Hessiana H es no denida , entonces 1 es un punto de silla.37.Observacin.-1. Para usar este criterio es necesario que det_02)0rI0r (1)_,= 0.2. Para ) : _ R2R de clase (3tal que 0)0r (1) = 0)0j (1) = 0, se obtieneel criterio de la segunda derivada visto en la seccin 2.3..Ejemplo.- Estudiar los extremos relativos de la funcin) : R3R, ) (r, j, .) =_r +.2_cr(2+:2+1)Ejercicio.- Repetir lo mismo para ) : R2R, ) (r, j) = cr+1rj2.6 Multiplicadores de LagrangeSean ), q1, q2, ......., qn : 1 _ RnR, con 1 abierto. Supongamos que:(1) q1 (r) = q2 (r) = ........ = qn (r) = 0 == r 11 con 11 _ 1 abierto novaco.Si r0 11 y existe una vecindad de r0 tal que(2) ) (r) _ ) (r0), para todo r 11 decimos que r0 es un punto demximo local para ) sujeto a las restricciones (1).Si (2) es reemplazado por:(3) ) (r) _ ) (r0), para todo r 11 decimos que r0 es un punto demnimo local para ) sujeto a las restricciones (1).Si (2) y (3) valen para todo r 1, omitimos el adjetivo "local"..Teorema.- Sean ), q1, q2, ....., qn : 1 _ Rn R de clase (1sobre el abierto1; :, : _ 1, y supongamos que r0 = (c1, c2, ....., cn) 1 es un extremo localde ) sujeto a las restricciones qI (r) = 0; 1 _ i _ :.Supongamos tambin que al menos uno de los Jacobianos0 (q1, q2, ....., qn)0 (rI1, rI2, ....., rIm),r0 (1 _I1_I2_ ........ _ in _ :es no nulo. entonces existen constantes `1, `2, ....., `n tales que:0)0rI (r0) +n

=1`0q0rI (r0) = 0; 1 _ i _ :.Demostracin.- Hace uso del Teorema de la Funcin Implcita. Ver Trench,pgina 458.38.Observacin.-1. El teorema dice que si r0 es un punto extremo de ) sujeto a las condicionesqI (r) = 0; 1 _ i _ :; entonces r0 es un punto crtico de1 = ) +n

=1`qpara algunas constantes `1, `2, ....., `n.2. Los parmetros `1, `2, ....., `n son llamados multiplicadores de Lagrangey el mtodo sugerido por 1) es llamado de los mutiplicadores de Lagrange..Ejemplos.-1. Encontrar los extremos de ) (r, j) = r2rj +j2sobre1 =_(r, j) R2: r2+j2_ 9_2. Hallar los valores mximos y mnimos que alcanza la funcin denida por:) (r, j) = rjsobre la elipse de ecuacinr28+ j22= 1.Indicacin.- ) alcanza sus extremos sobre todo conjunto cerrado y acotado..Ejercicios.-1. Determine la mxima y la mnima distancia (si existen) sobre la hiprbolade ecuacin rj = 1 al origen.Indicacin.-0 _ ) (r, j) = r2+j2. ) es acotada superiormente.) alcanza un mnimo sobre la hiprbola.1 (r, j) = ) (r, j) `q (r, j) = r2+j2`(rj 1)(1, 1) y 1(1, 1) minimizan a ) sobre la hiprbola.Observacin.- ) no alcanza un mximo sobre la hiprbola.2. Acote (si es posible) a 2r + 4j + 8. sobre la esfera r2+j2+.2= 21.) es continua sobre la esfera (conjunto cerrado y acotado).Luego ) alcanza sus extremos sobre la esfera.1 (r, j, .) = ) (r, j, .) `q (r, j, .) = 2r+4j +8. `_r2+j2+.221_(1, 2, 4) es un punto de mximo de ) sobre la esfera.1(1, 2, 4) es un punto de mnimo de ) sobre la esfera.393. Encontrar la mnima distancia entre la circunferencia ( : r2+j2= 1 y larecta 1 : r +j = 4Indicacin.- Sean (r, j) ( y (n, ) 1. Debemos minimizar) (r, j, n, ) = (r n)2+ (j )2sujeta a las condiciones r2+j2= 1, n + = 4.1 (r, j, n, ) = ) (r, j, n, ) `1q1 (r, j, n, ) `2q2 (r, j, n, )Los puntos ms cercanos sobre la circunferencia y la recta son:_1_2,1_2_ y 1(2, 2)..Clculo III - 5212274 de Mayo de 2010JRC40UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONDEPARTAMENTO DE MATEMATICAProf. Jorge Ruiz Castillo3 Integrales dependientes de un parmetro3.1 Regla de LeibnizConsideremos funciones denidas mediante la relacinc(r) =_Jc ) (r, t) dt; a _ r _ /c y d son constantes. Nos interesdamos en encontrar ct (r).Teorema 1.- (Regla de Leibniz) Supongamos que c est denida porc(r) =_Jc ) (r, t) dt; a _ r _ /c y d son constantes.Si ) y 0)0r son continuas sobre 1 = (r, t) : a _ r _ /; c _ t _ d, entoncesct (r) =_Jc0)0r (r, t) dtpara a < r < /.Demostracin.-c(r +/) c(r)/= 1/_Jc ) (r +/, t) dt 1/_Jc ) (r, t) dt == 1/_Jc[) (r +/, t) ) (r, t)] dtPero) (r +/, t) ) (r, t) =_r+|r0)0r (n, t) dnPor lo tantoc(r +/) c(r)/= 1/_Jc_r+|r0)0r (n, t) dndt..........(1)Puesto que 0)0r es continuan sobre 1 (cerrado y acotado), entonces 0)0r es uni-formemente continua sobre 1; es decir,(\-0) (c0)0)0r (n, t) 0)0r (r, t)