UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA

DEPARTAMENTO DE PROCESOS QUIMICOS Y AMBIENTALES

ICQ327

“FLOTACION DE MINERALES”

JUAN YIANATOS B.

2008

Índice

1.  Principios Básicos ....................................................................................................................... 8 

1.1 Densidad .................................................................................................................................... 8 

1.2. Densidad Aparente ................................................................................................................... 9 

1.3. Densidad de Pulpas ................................................................................................................ 11 

1.4. Empuje ................................................................................................................................... 11 

1.5. Balance de Masa..................................................................................................................... 12 

1.5.1. Balance de masa global ................................................................................................... 13 

1.5.2. Balance de masa por componente ................................................................................... 13 

1.5.3. Recuperación ................................................................................................................... 13 

1.6. Flujo bypass y Reciclo ........................................................................................................... 14 

1.7. Características Generales del proceso .................................................................................... 16 

2.  Fundamentos Físico-Químicos de la Flotación ......................................................................... 19 

2.1. Energía Libre y Tensión Superficial ...................................................................................... 19 

2.1.1. Condición de adhesión .................................................................................................... 19 

2.1.2. Angulo de contacto .......................................................................................................... 20 

2.1.3. Trabajo de adhesión ........................................................................................................ 21 

2.1.4. Propiedades superficiales ................................................................................................ 22 

2.1.5. Potencial zeta................................................................................................................... 23 

2.1.6. Efecto del pH ................................................................................................................... 24 

2.2. Reactivos de Flotación ........................................................................................................... 25 

2.2.1. Colectores ........................................................................................................................ 25 

2.2.2. Activadores ..................................................................................................................... 28 

2.2.3. Espumantes ..................................................................................................................... 28 

2.2.4. Depresante ....................................................................................................................... 30 

2.3. Preguntas Frecuentes .............................................................................................................. 30 

3.  Proceso de Flotación ................................................................................................................. 33 

3.1. Diseño Conceptual ................................................................................................................. 34 

3.2. Características del Proceso ..................................................................................................... 35 

3.2.1. Química del proceso ........................................................................................................ 35 

3.2.2. Cinética del proceso ........................................................................................................ 35 

3.3. Requerimientos para la Colección y Separación .................................................................... 35 

3.3.1. Disipación de energía en celdas mecánicas ..................................................................... 36 

3.3.2. Adhesión partícula-burbuja (colección) .......................................................................... 36 

3.3.3. Formación interfase pulpa-espuma (separación) ............................................................. 37 

3.4. Preguntas Frecuentes .............................................................................................................. 38 

4.  Equipos de Flotación ................................................................................................................. 41 

4.1. Objetivos del Equipo de Flotación ......................................................................................... 41 

4.1.1. Formación del agregado partícula-burbuja (colección) ................................................... 41 

4.1.2. Transporte de burbujas (separación) ............................................................................... 41 

4.2. Celdas Mecánicas ................................................................................................................... 42 

4.2.1. Geometría de la celda ...................................................................................................... 43 

4.2.2. Volumen de la celda ........................................................................................................ 43 

4.2.3. Flujo específico de aire ................................................................................................... 44 

4.2.4. Impulsor .......................................................................................................................... 45 

4.2.5. Estator ............................................................................................................................. 45 

4.2.6. Variables de diseño de celdas mecánicas industriales ..................................................... 47 

4.3. Celdas Neumáticas ................................................................................................................. 48 

4.3.1. Columnas contra corriente .................................................................................................. 48 

4.3.2. Columnas co-corriente .................................................................................................... 54 

4.4. Comparación Entre Celdas Mecánicas y Neumáticas ............................................................ 55 

5.  Caracterización del Proceso de Flotación. ................................................................................ 58 

5.1. Zona de Colección .................................................................................................................. 59 

5.1.1. Tiempo de residencia ...................................................................................................... 59 

5.1.2. Reactivos ......................................................................................................................... 60 

5.1.3. Tamaño de Partícula ........................................................................................................ 60 

5.1.4. Flujo de aire ......................................................................................................................... 61 

5.1.5. Concentración de aire (Hold-Up) .................................................................................... 62 

5.1.6. Tamaño de burbuja .............................................................................................................. 63 

5.2. Zona de Limpieza ................................................................................................................... 64 

5.2.1. Bias .................................................................................................................................. 64 

5.2.2. Agua de lavado .................................................................................................................... 65 

5.2.3. Altura de espuma ................................................................................................................. 67 

6.  Modelación del Proceso de Flotación ....................................................................................... 69 

6.1. Modelos Empíricos ................................................................................................................ 69 

6.2. Modelos Probabilísticos ......................................................................................................... 70 

6.2.1. Schuhmann [38] .............................................................................................................. 70 

6.2.2. Tomlinson y Flemming [39] ........................................................................................... 70 

6.2.3. Kelsall [40] ...................................................................................................................... 70 

6.3. Modelos Cinéticos .................................................................................................................. 71 

6.4. Efecto de la Espuma en el Proceso de Flotación .................................................................... 76 

6.4.1. Efecto de la espuma, sin retorno de material ................................................................... 76 

6.4.2. Efecto de la espuma con retorno de material .................................................................. 77 

6.5. Distribución del Tiempo de Residencia ................................................................................. 79 

6.5.1. Flujo pistón ...................................................................................................................... 79 

6.5.2. Mezclador perfecto .......................................................................................................... 79 

6.6. Distribución de la Constante Cinética .................................................................................... 82 

6.7. Recuperación de Mineral ....................................................................................................... 85 

6.7.1. Recuperación en una celda batch .................................................................................... 85 

6.7.2. Recuperación en una celda perfectamente mezclada (operación continua) .................... 85 

6.7.3. Recuperación de mineral en una banco de flotación con n celdas ................................ 86 

6.8. Modelos de Recuperación de Mineral con Distribución Continua de la Constante Cinética . 86 

6.8.1. Distribución rectangular de la constante cinética ............................................................ 86 

6.8.2. Distribución normal de la constante cinética .................................................................. 87 

6.8.3. Distribución Gamma de la constante cinética ................................................................. 88 

6.9. Aspectos Fundamentales del Proceso de Colisión-Adhesión ................................................. 91 

6.9.1. Eficiencia de colección .................................................................................................... 91 

6.9.2. Eficiencia de colisión, cE .............................................................................................. 92 

6.9.3. Eficiencia de adhesión, aE ............................................................................................. 92 

6.9.4. Modelo de la constante cinética de colección ................................................................. 93 

7.  Análisis de Circuitos de Separación .......................................................................................... 97 

7.1. Comportamiento de Circuitos ................................................................................................ 97 

7.2. Análisis de Superioridad de Circuitos .................................................................................. 100 

7.3. Curvas de Separabilidad ....................................................................................................... 102 

7.4. Eficiencia Técnica de Separación ......................................................................................... 106 

7.5. Eficiencia Máxima de Separación ........................................................................................ 107 

7.6. Eficiencia de Separación desde el Punto de Vista del Beneficio Económico ...................... 111 

7.6.1. Criterio de la ley neutra ................................................................................................. 111 

7.6.2. Beneficio específico .......................................................................................................... 114 

7.6.3. Criterio de beneficio de Meloy ...................................................................................... 115 

7.7. Comportamiento de Equipos ................................................................................................ 115 

7.7.1. Efectos de mezclado ...................................................................................................... 116 

7.7.2. Efectos de la difusión turbulenta ................................................................................... 117 

7.8. Caracterización de la Materia Prima .................................................................................... 118 

8.  Ajuste del Balance de Materiales ............................................................................................ 120 

8.1. Ajuste de Balance para Sistemas de 1 Nodo ........................................................................ 121 

8.1.1. Aplicación del método de cálculo ................................................................................. 123 

8.2. Ajuste de Balance para Sistemas de 2 Nodos ....................................................................... 124 

8.2.1. Aplicación del método de cálculo ................................................................................. 125 

9.  Instrumentación y Control ....................................................................................................... 128 

9.1. Objetivos del Control ........................................................................................................... 128 

9.2. Problemas de Diseño, Instrumentación y Operación ........................................................... 128 

9.3. Condiciones Limitantes para la Operación .......................................................................... 128 

9.4. Desarrollos en el Control de la Flotación ............................................................................. 129 

9.5. Caso Ejemplo: Columnas ..................................................................................................... 130 

9.5.1. Sensores ......................................................................................................................... 132 

10.  Referencias .............................................................................................................................. 134 

1. Principios Básicos

Previo al análisis del proceso de flotación, es necesario repasar algunas definiciones básicas de Física que están involucradas en los fundamentos del proceso de flotación.

El proceso de flotación se basa en la interacción entre las burbujas de aire y las partículas de sólido presentes en la pulpa. La eficiencia que tienen las burbujas para atrapar en forma selectiva las partículas de mineral y luego ascender cargadas hasta el rebalse, depende de múltiples fenómenos que ocurren en la pulpa. Principalmente, diferencias en las propiedades físico-químicas superficiales de las partículas. Mediante el uso de reactivos estas diferencias se acentúan y permiten la captura preferencial de algunas partículas, que son colectadas y transportadas por las burbujas de aire.

En este curso se analizarán los conceptos básicos, características de diseño, variables de operación y sistemas de control de equipos de flotación industrial.

Los tópicos aquí presentados se encuentran resumidos y simplificados con el objeto de entregar un conocimiento básico sobre la flotación. Información más específica y detallada puede obtenerse a través de las referencias y anexos.

1.1 Densidad

Se define la densidad de un cuerpo como el cuociente entre la masa del cuerpo y su volumen.

mV

ρ = (1.1)

Los diferentes estados de la materia, sólidos, líquidos y gases, presentan densidades muy diferentes. Valores típicos son:

Tabla 1-1 Densidades de Algunas Substancias.

Densidad [kg/m3]

Gases

Aire 1.3

Oxígeno 1.4

Dióxido de Azufre 2.9

Líquidos

Agua 1000

Alcohol 800

Mercurio 13600

Sólidos

Fierro 7200

Aluminio 2800

Plomo 11340

Sílice 2700

Calcopirita 4200

1.2. Densidad Aparente

La definición de densidad también se aplica a sólidos granulares. Por ejemplo, la arena de playa tiene una densidad aparente de 1.97[kg/L]. Es decir, si se toma un volumen de un litro y se llena con arena de playa su peso será de 1.97 [kg]. Si se mira el recipiente con cuidado, nos daremos cuenta que parte del volumen es sólido y la otra parte es espacio ocupado por aire. En este caso la densidad de la arena pura (sólido) es de 2.6[kg/L], y la densidad aparente del sólido granulado será un promedio entre lo que aporta el sólido puro y el aire.

Si consideramos que el volumen total es:

total solido aireV V V= + (1.2)

Además, se sabe que:

solido solidosolido solido

solido solido

m mVV

ρρ

= ⇒ = (1.3)

aire aireaire aire

aire aire

m mVV

ρρ

= ⇒ = (1.4)

Reemplazando las ecuaciones (1.3) y (1.4) en la ecuación (1.2) se obtiene:

total solido aire

total solido aire

m m mρ ρ ρ

= + (1.5)

Otra alternativa es suponer que:

total solido airem m m= + (1.6)

Y conociendo:

solido solido solidom Vρ= ⋅ (1.7)

aire aire airem Vρ= ⋅ (1.8)

Luego, reemplazando las ecuaciones (1.7) y (1.8) en la ecuación (1.6) se obtiene:

total total solido solido aire aireV V Vρ ρ ρ⋅ = ⋅ + ⋅ (1.9)

Si se divide la ecuación (1.9) por totalV resulta:

solido aireaparente solido aire

total total

V VV V

ρ ρ ρ= ⋅ + ⋅ (1.10)

De la ecuación (1.10) se puede estimar la densidad aparente de la mezcla, conociendo las densidades de los dos componentes puros, aire y sólido ( aireρ y solidoρ ) y el porcentaje en volumen

ocupado por el aire (fracción de hueco).

Para sólidos granulares de tamaño de partícula más o menos parejo, se estima la fracción de hueco en 45%, esto significa que del volumen total ocupado por el sólido granular, el 45% es aire, por tanto:

0.55 y 0.45solido aire

total total

V VV V

= = (1.11)

Ejemplo 1: Si se conoce solido totalV /V , totalV /Vaire (de los datos entregados por la ecuación (1.11)) y

las densidades del sólido y el aire ( 3solido 2600 kg / mρ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ y 31.2 kg / maireρ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ). Calcular la

densidad aparente.

total solido aire

3

0.55 0.450.55 2600 0.45 1.2

1430 kg/m

ρ ρ ρ= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

1.3. Densidad de Pulpas

Las pulpas minerales son una mezcla de sólido y agua, cuya proporción se caracteriza generalmente como Porcentaje de Sólido (% peso).

Se sabe que:

aguatotal solido

total solido agua

mm mρ ρ ρ

= + (1.12)

Considerando que el porcentaje en peso de sólido es igual a:

%Peso=100 solido

total

mm

⋅ (1.13)

Si la ecuación (1.12) se divide por totalm , ésta se puede expresar como:

pulpa solido agua

100 %peso 100 %pesoρ ρ ρ

−= + (1.14)

Ejemplo 2: Una pulpa con 32% en peso de mineral, cuya densidad es de 2.5[g/cm3]. Calcular la densidad de la pulpa.

3

total

100 32 100 322.5 1

=1.24 g/cmtotalρ

ρ

−= +

⎡ ⎤⎣ ⎦

1.4. Empuje

El concepto de empuje, E , proviene de la hidrostática y corresponde a la fuerza que un fluido ejerce sobre un objeto sumergido. Esta fuerza es igual al volumen del fluido desplazado multiplicado por su peso específico, ver ecuación (1.15).

fluidoE V gρ= ⋅ ⋅ (1.15)

El balance de fuerzas en torno a una burbuja, ver Figura 1.1, se expresa con la ecuación (1.16).

P RF E F F= − − (1.16)

Figura 1.1 Balance de fuerzas sobre una burbuja.

La fuerza de empuje es mucho mayor que el peso, por lo que la burbuja tenderá a subir hacia la superficie del líquido. Esta tendencia disminuirá en la medida que se adhieren partículas de sólido en la superficie de la burbuja. La razón que explica lo anterior radica en el hecho de que el empuje prácticamente no variara durante la colección de burbujas al contrario de los que sucede con el peso que aumenta significativamente al aumentar el número de partículas adheridas.

Según este análisis, ¿existirá alguna diferencia en la aireación de una celda rougher y una de un cleaner?

1.5. Balance de Masa

Considere la Figura 1.2, en la cual se define:

a) F es la alimentación al sistema.

b) C es el producto valioso obtenido del sistema, es decir, el concentrado.

c) T corresponde al producto descartable del sistema, es decir, el relave.

d) iFX corresponde a la ley del mineral valioso en la alimentación.

e) iCX corresponde a la ley del mineral valioso en el concentrado.

f) iTX corresponde a la ley del mineral valioso en el relave.

Figura 1.2 Balance de materia.

1.5.1. Balance de masa global

Para realizar cualquier balance de masa se debe tener presente que todo lo que entra en un sistema es igual a lo que sale de él, siempre y cuando se haya alcanzado el estado estacionario.

El balance de masa global está dado por la ecuación (1.17).

F C T= + (1.17)

1.5.2. Balance de masa por componente

También es posible realizar el balance de masa por componentes. Generalmente, este balance se realiza para el elemento valioso presente en cada una de las corrientes de la Figura 1.2. La ecuación (1.18) expresa el balance por componentes.

=i i iF C TF X C X T X⋅ ⋅ + ⋅ (1.18)

1.5.3. Recuperación

La recuperación es una medida de la eficiencia del proceso de flotación. En el proceso se busca tener una alta recuperación del mineral valioso, pero se debe tener en cuenta que a medida que aumentamos la recuperación baja la ley. La razón que explica lo anterior es que al aumentar la recuperación se va ensuciando el concentrado con ganga (material no útil).

La recuperación se puede expresar como:

masa de mineral valioso en el concentradoRmasa de mineral valioso en la alimentación

= (1.19)

La ecuación (1.19), se puede escribir considerando los parámetros de la Figura 1.2 como:

i

i

C

F

C XR

F X⋅

=⋅

(1.20)

Finalmente, la ecuación (1.20) puede ser expresada considerando el balance de masa global y por componentes desarrolladas en las secciones 1.5.1 y 1.5.2 (Ver ecuaciones (1.17) y (1.18)) respectivamente.

( )( )

i i i

i i i

C F T

F C T

X X XR

X X X

⋅ −=

⋅ − (1.21)

1.6. Flujo bypass y Reciclo

Figura 1.3 Flujo By-pass.

Figura 1.4 Flujo de Reciclo.

Un ejemplo de reciclo en el proceso lo encontramos en un circuito conocido como Circuito RCS. El cual consiste en una flotación primaria denominada Rougher, una flotación de barrido, Scavenger, cuyo objetivo es aumentar la recuperación del proceso; y una flotación de limpieza conocida como Cleaner, cuyo objetivo es aumentar la ley del concentrado final. Un esquema típico de este circuito se muestra en la Figura 1.5.

Figura 1.5 Circuito RCS.

Ejemplo 3: Sea un circuito RCS, ver Figura 1.5. Calcular la recuperación global del circuito, si la recuperación en cada etapa es de un 80 %.

a) Análisis etapa rougher: Si la alimentación a la etapa rougher es de 1[tpd], de la ecuación (1.19) se tiene que la masa del concentrado obtenida es:

11Ro Ro

masa conc RoR masa conc Ro R= ⇒ = ⋅

Luego, por balance de masa, la masa de relave rougher está dada por:

( )1 1relave Rom R= − ⋅

b) Análisis etapa cleaner: En esta etapa, la masa de concentrado final es de:

11Clr Clr Ro

Ro

masa conc finalR masa conc final R RR

= ⇒ = ⋅ ⋅⋅

Luego, la masa de relave cleaner que es recirculada a flotación rougher es de:

( )1Ro Ro Clr Ro ClrR R R R 1 R− ⋅ ⋅ = ⋅ −

c) Análisis etapa scavenger: La alimentación a esta etapa corresponde al relave rougher. Luego, el concentrado obtenido y que es recirculado a flotación rougher es:

( ) ( )1 11 1Scv Scv Ro

Ro

masa conc ScvR masa conc Scv R RR

= ⇒ = ⋅ − ⋅− ⋅

La masa del relave scavenger es:

( ) ( )1 1Ro ScvR R− ⋅ −

Finalmente, la recuperación global está dada por:

masa conc globalRGmasa alim global

=

Donde la alimentación global está dada por el siguiente balance de masa en la unión de corrientes antes de entrar a la etapa Rougher (Ver Figura 1.5):

1alimG masa conc Scv masa relave cleaner= − −

( ) ( )1 1 1Scv Ro Ro ClralimG R R R R= − ⋅ − − ⋅ −

Reemplazando en la ecuación el valor de 80%iR = , de cada etapa, se obtiene una

recuperación global del circuito igual a:

( ) ( )1 1 1

Ro Ro

Scv Ro Ro Clr

R RRGR R R R

⋅=

− ⋅ − − ⋅ −

( )( )

20.894%

1 2 0.8 1 0.8RG = =

− ⋅ ⋅ −

1.7. Características Generales del proceso

En un proceso de flotación, se tiene como finalidad lograr la separación y posterior recuperación en forma selectiva del material valioso que se está alimentando como pulpa o suspensión al sistema. El proceso de flotación corresponde a un sistema multifase (solido, líquido y gas) y heterogéneo en tamaño, forma, composición de las partículas minerales y en el tamaño de las burbujas de gas. A pesar de la complejidad del sistema, se han establecido parámetros y modelos simples que permiten un adecuado dimensionamiento, diseño, evaluación y control de la operación. La Figura 1.6 muestra un diagrama general del proceso de separación por flotación.

En el proceso de flotación, se logran identificar 5 etapas:

a) Adsorción de reactivos en la superficie de la partícula.

b) Colisión y colección del mineral (Formación del agregado burbuja-partícula).

c) Transporte del agregado desde la pulpa a la espuma.

d) Transporte de la espuma al concentrado (salida del producto).

e) Retorno del mineral desde la espuma a la pulpa.

Figura 1.6 Esquema Proceso Frotación.

Cada una de estas etapas depende de alguna propiedad en particular del material a flotar, las cuales pueden ser aumentadas o disminuidas mediante la utilización de reactivos si es necesario. Es por esto que el estudio de las propiedades físico-químicas del material es de gran importancia.

2. Fundamentos Físico-Químicos de la Flotación

En un proceso de flotación se introduce energía al sistema con el fin de mantener en suspensión los sólidos y producir que las partículas minerales colisionen con burbujas. Las partículas que son capaces de colectarse se denominan flotables y pasan a la fase de espuma, para llegar posteriormente al concentrado. Las partículas que no son flotables, abandonan el sistema por la corriente de cola o relave.

2.1. Energía Libre y Tensión Superficial

2.1.1. Condición de adhesión

Una condición básica para la adhesión partícula-burbuja, manteniendo constante: base unitaria, presión, temperatura, composición química y número de moles, está dada por las ecuaciones (2.1) y (2.2). En la Figura 2.1 se muestra el proceso de formación del agregado.

2 1 2 1S SG G G G GΔ = − = − (2.1)

0SG SL LGG γ γ γΔ = − − < (2.2)

Figura 2.1 Formación del agregado partícula burbuja.

Donde:

1G , 2G : Energía de Gibbs en el Estado 1 y Estado 2 respectivamente.

1SG , 2

SG : Energías libres en superficie de adherencia, 2/E L , en los Estados 1 y 2

respectivamente.

SGγ , SLγ , LGγ : Tensiones superficiales.

Se debe tener en cuenta que para la formación del agregado es necesario romper la capa límite de líquido entre la partícula y la burbuja, ver en la Figura 2.2, por lo tanto, se requiere energía para lograr dicho objetivo.

Figura 2.2 Capa límite de líquido.

2.1.2. Angulo de contacto

Las fuerzas de tensión desarrollan un ángulo denominado Angulo de Contacto entre la superficie del mineral y la superficie de la burbuja. La Figura 2.3 muestra dicho ángulo.

Figura 2.3 Angulo de contacto.

Para conocer el ángulo de contacto que se alcanza para producir la adhesión de la partícula de sólido a la burbuja, se realiza un balance de fuerzas entre las tensiones superficiales de la Figura 2.3, es decir:

( )cosSG SL LGγ γ γ θ= + ⋅ (2.3)

Donde θ corresponde al ángulo de contacto que satisface el equilibrio de fuerzas de la ecuación (2.3).

2.1.3. Trabajo de adhesión

El trabajo requerido para romper la interfase partícula-burbuja se denomina Trabajo de Adhesión,

SGW , y es igual al trabajo requerido para separar la interfase sólido-gas es conocido como Trabajo

de Ruptura.

El trabajo de adhesión se puede obtener de la ecuación (2.4).

SG SL LG SGW γ γ γ= + − (2.4)

Reemplazando la ecuación (2.3) en la ecuación (2.4) se obtiene la siguiente expresión:

( )( )1 cosSG LGW γ θ= ⋅ − (2.5)

Al observar las ecuaciones (2.2) y (2.4) se aprecia que son similares pero con signo distinto, es decir:

SGW G= −Δ (2.6)

La ecuación (2.6) es conocida como Ecuación de Young.

De la ecuación (2.5) se puede concluir:

a) Al aumentar el ángulo de contacto, el trabajo de adhesión aumenta y la estabilidad del

agregado partícula-burbuja aumenta, es decir, existe mayor resistencia a la ruptura.

b) Si el ángulo de contacto es igual a cero ( 0θ = ), no existe adhesión y no se forma el

agregado.

c) El ángulo de contacto está estrechamente relacionado con la flotabilidad de un mineral.

d) Los minerales que poseen un ángulo de contacto pequeño son conocidos como minerales

hidrófilos, es decir, tienen una alta afinidad con el agua.

e) Los minerales que poseen un ángulo de contacto grande son conocidos como minerales

hidrófobos.

2.1.4. Propiedades superficiales

Estas son fundamentales para los procesos de flotación y floculación, y dependen de:

a) Naturaleza del mineral.

b) Heterogeneidad (liberación, diseminación, asociación).

c) Forma de las partículas.

d) Topografía de las partículas (rugosidad).

La superficie de los minerales es hidrófila debido a las cargas eléctricas asociadas a la polarización generada durante el proceso de reducción de tamaño del mineral.

Dicho proceso fractura el mineral y, por lo tanto, rompe enlaces químicos razón por la cual quedan cargas eléctricas expuestas debido a la polarización del mineral. Estas cargan se asocian con los iones de las moléculas de agua, que rodean las partículas, para lograr el equilibrio eléctrico.

La Figura 2.4 muestra un ejemplo de lo anterior para cristales de cuarzo, 2SiO .

Figura 2.4 Superficie de un mineral de SiO2 fracturado.

En casos especiales como por ejemplo azufre, molibdenita, grafito, existe una condición natural de flotabilidad.

2.1.5. Potencial zeta

Figura 2.5 Doble capa eléctrica.

Los minerales quedan polarizados eléctricamente debido al proceso de reducción de tamaño. Al entrar en contacto con un medio polar, como es el caso del agua, las cargas superficiales comienzan a desplazarse y se reordenan de tal manera de lograr el equilibrio eléctrico lo cual modifica el potencial eléctrico de la superficie, ver Figura 2.5.

Se genera una capa estancada, conocida como Capa Stern la cual enmascara la carga real de la superficie del mineral. Por lo tanto, se define un potencial eléctrico que considera el efecto de la capa estancada, conocido como Potencial Zeta, ver Figura 2.6.

Figura 2.6 Potencial Zeta.

El potencial zeta puede ser determinado a través de un proceso llamado Electroforesis. A través de éste método las partículas de mineral son sometidas a un campo eléctrico, el cual acelera las partículas cuando están cargadas eléctricamente.

Figura 2.7 Potencial Zeta Pentlandita [54].

El Potencial Zeta puede ser modificado mediante la adición de reactivos como activadores, colectores, supresores, etc. La Figura 2.7, muestra de qué forma se modifica el Potencial Zeta de la Pentlandita mediante la adición de un activador y colector.

2.1.6. Efecto del pH

La selectividad del proceso depende en forma crítica y compleja del tipo de reactivos, de su concentración y del pH.

Modificando el pH de la pulpa, dentro del equipo, se puede modificar el potencial zeta. Lo anterior se puede ver en la Figura 2.8. El punto donde el potencial zeta se hace cero se denomina Punto Isoléctrico.

Se prefiere trabajar en medio alcalino, pues la mayoría de los colectores son estables y los equipos sufren menos corrosión.

Para controlar el pH se pueden utilizar los siguientes productos:

• ( )2Ca OH (cal), 2 3Na CO (ceniza de soda); para aumentar el pH de la pulpa.

• 2 4H SO o ácido sulfuroso; que se utiliza para reducir el pH de operación.

Los reactivos a utilizar en el proceso de flotación dependen del pH de trabajo y, por lo tanto, del potencial zeta.

Figura 2.8 Potencial Zeta vs pH.

2.2. Reactivos de Flotación

Existen distintos tipos de reactivos químicos utilizados en flotación y que tienen funciones específicas.

2.2.1. Colectores

Los colectores son substancias orgánicas cuyo anión o catión tiene una estructura integrada por una parte polar y otra apolar, ver Figura 2.9.

Figura 2.9 Xantato isopropílico de sodio.

La parte polar del ión se adsorbe en la superficie del mineral. Por otra parte, la parte apolar, constituida por una cadena de hidrocarburos, queda orientada hacia la fase acuosa, dando el carácter hidrófobo al mineral, ver Figura 2.10.

Figura 2.10 Adhesión del colector a la superficie del mineral.

El largo de la cadena de hidrocarburos está asociado a la mayor o menor repelencia al agua. La parte que se adhiere al mineral dará la fuerza y selectividad. Lo anterior explica la diferencia de comportamiento de los diferentes colectores.

Por lo tanto, la colección estará íntimamente condicionada por la naturaleza de la superficie del mineral y la estructura química del colector. La unión química entre el colector y el mineral deberá ser más fuerte que la que pueda existir entre el mineral y el agua.

Los niveles de molienda o de liberación de partículas nunca serán perfectos para suplir las posibles contaminaciones de las superficies mineralógicas que impiden una adecuada unión, de ahí la necesidad de buscar el colector más eficiente.

El ángulo de contacto presentado en la sección 2.1.2 no es una característica inherente del mineral, sino del grupo apolar (cadena hidrocarburos) del agente colector, Al respecto,

a) Mientras más larga sea la cadena de hidrocarburos mayor será el ángulo de contacto y mayor será la hidrofobicidad adquirida por el mineral.

b) Se ha comprobado que las cadenas de tipo “iso” (iso-propil, iso-butil) forman ángulos de contacto mayores que las cadenas de tipo normal.

Las partículas de mineral convertidas en hidrófobas por la acción del colector se adhieren a las burbujas de aire que van ascendiendo por la pulpa. La recuperación de mineral aumenta al aumentar el ángulo de contacto.

En general, sólo se requiere una capa monomolecular de colector en la superficie del mineral. Incluso bastará con tener zonas de adsorción locales en la superficie para que la partícula se adhiera a la burbuja de aire y pueda ser flotada. Lo anterior se puede explicar por la rugosidad, forma irregular y la variedad mineralógica de la superficie del mineral.

Se pueden distinguir dos tipos de colectores, dependiendo de la carga de éste: catiónicos y aniónicos.

El tipo de colector a utilizar en flotación depende del pH de trabajo en los equipos y del potencial zeta. La Figura 2.11 se puede explicar considerando el comportamiento del potencial zeta con la variación de pH, ver Figura 2.8.

Figura 2.11 Zonas de trabajo de colectores.

En este caso, si se opera a pH alcalino el colector a utilizar será catiónico; en cambio, al trabajar a pH ácido el colector deberá ser aniónico.

Colectores Aniónicos

Se caracterizan porque su parte polar posee una carga negativa la cual se adsorbe a una superficie con carga positiva. Entre los colectores más conocidos se encuentran los Xantatos.

Figura 2.12 Xantato isopropílico de sodio.

En la Tabla 2-1 se muestran los ángulos de contacto para algunos colectores de tipo Xantatos.

Tabla 2-1 Angulo de contacto en grados, para distintos tipos de Xantatos.

Angulo de contacto, θ

metil 50

etil 60

n-propil 68

n-butil 74

iso-butil 78

Colectores Catiónicos

Se caracterizan porque su parte polar posee una carga positiva la cual se adsorbe en una superficie con carga negativa. Entre los colectores más conocidos se tiene las aminas y sales cuaternarias de amonio. Las aminas son derivados del amonio, cuyos hidrógenos están reemplazados por radicales.

{ }33R NH CH COOH+ −− (2.7)

Estos colectores son menos selectivos que los aniónicos y rara vez quedan adsorbidos de manera absolutamente específica en un mineral determinado. Por ello, es necesario potenciar su selectividad mediante reactivos reguladores (activadores, depresantes), variando el pH o dosificando correctamente.

Otras aminas especiales, por ejemplo, éter-aminas, se recomiendan especialmente para la flotación inversa de fierro, en la que el cuarzo se separa de los minerales de fierro por flotación y el hierro es deprimido con almidón.

2.2.2. Activadores

Tienen como función preparar o acondicionar la superficie del mineral para la adsorción del colector. Por ejemplo, 2Cu+ (en la forma de 4CuSO ) es adecuado para flotar el mineral de

esfalerita, ZnS . Ver Figura 2.7.

2.2.3. Espumantes

En la flotación es necesario incorporar burbujas de aire las cuales al colisionar con las partículas de mineral permiten su adhesión (captura). Además, dentro de los equipos se produce en forma espontánea coalescencia de las burbujas y éstas crecen. El espumante modifica las propiedades superficiales de la burbuja para reducir la coalescencia.

Los líquidos puros (agua, parafina, alcohol etílico) no producen una espuma estable cuando se agitan con aire y las burbujas que se producen coalescen o colapsan muy rápido. Sin embargo, la adición de pequeñas cantidades de substancias activas como alcoholes superiores, permiten formar una espuma estable al agregar aire disperso. La estabilidad de la espuma dependerá de la interacción del espumante con el agua en la zona interfacial líquido-gas.

Los espumantes más comunes son los que contienen grupos hidroxílicos, OH − , como por ejemplo:

• Aceite de pino, 10 17C H OH .

• Cresoles, 3 6 4CH C H OH .

• Metil Isobutil Carbinol, 6 13C H OH , más conocido como MIBC.

Figura 2.13 Espumante MIBC.

Al igual que los colectores, estos están constituidos por una “cabeza” polar1 que se orienta hacia la fase líquida y una “cola” de hidrocarburos que se orienta a la fase gas, ver Figura 2.14.

Las características más importantes de un espumante son:

a) En mínimas concentraciones debe generar espumas de suficiente estabilidad.

b) Debe tener bajas condiciones colectoras.

c) Aunque no sea necesariamente soluble, debe dispersarse en el agua con facilidad.

d) Una vez que la espuma es retirada de la celda de flotación, debe romperse fácilmente.

e) Generar burbujas pequeñas de 1 a 2 [mm].

Figura 2.14 Adhesión espumante a la superficie de la burbuja de aire.

Efectos del Espumante

El efecto de agregar espumante, sobre el número de burbujas y la superficie de captura, se puede evaluar:

Para un cierto flujo de gas 3 /gQ m s⎡ ⎤⎣ ⎦ , se tiene que:

3 3

6B

gdnumero de burbujas mQ n

s burbujaπ ⎡ ⎤⋅⎡ ⎤= ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.8)

El área total de burbuja está dada por la ecuación (2.9).

2

2total burbujas B

numero de burbujas mA n ds burbuja

π⎡ ⎤⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.9)

1 En este caso lo iones de la cabeza polar son grupos OH − , lo cuales son iones débiles.

Despejando n desde la ecuación (2.8) y reemplazándolo en la ecuación (2.9), se obtiene:

gT burb

B

6 QA

d⋅

= (2.10)

También se define la velocidad superficial de área de burbuja bS .

T burb gb

celda B

A 6 JS

A d⋅

= = (2.11)

2.2.4. Depresante

Tienen como función inhibir o evitar la adsorción del colector en la superficie de aquellos minerales que no son valiosos para el proceso. Por ejemplo: el cianuro, NaCN , se utiliza para depresar los compuestos de Fe y se utiliza principalmente en la flotación selectiva de molibdeno y cobre.

Ejemplo: Si 4 32 10 /gQ cm s⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦ , calcular el número de burbujas y el área total de burbuja.

Sin espumante se observó que [ ]1Bd cm= .

Con espumante se observó que [ ]0.2Bd cm= .

La Tabla 2-2 resume los resultados.

Tabla 2-2 Datos de numero de burbujas y flujo de área de burbuja.

Sin Espumante Con Espumante

dB=1[cm] dB=0.2[cm] Razón

n[nº burbujas/s] 43.82 10⋅ 64.77 10⋅ 124.9

S[cm2/s] 41.2 10⋅ 56.0 10⋅ 4

Al aumentar el número de partículas se favorece la colisión entre la partícula de mineral y la burbuja, por lo tanto, favorece la colección en la celda.

2.3. Preguntas Frecuentes

a) ¿Cuáles son los mecanismos de transporte de mineral desde la pulpa a la espuma?

b) ¿Por qué no se recupera todo el mineral que ingresa a la espuma?

c) ¿Cuáles son los requerimientos para que exista colección de mineral?

d) Indique cuáles son los reactivos utilizados en flotación. Explique qué función que cumplen dentro del proceso y las características de cada uno de ellos.

e) Indique que tipos de colector existen. Además, explique cuál es el efecto del pH sobre el Potencial Z y cómo influye en la elección del colector.

f) ¿Un colector de cadena larga será más o menos efectivo? Justifique.

g) ¿Cuáles son los objetivos de agregar espumante en el proceso de flotación?

h) ¿Cuál de los siguientes reactivos usaría como colector en un mineral cuyo potencial zeta está dado por la Figura 2.6, si desea operar a pH básico? Justifique su respuesta.

i) El circuito de flotación primaria de la planta Laguna Seca, de la Compañía Minera Escondida, está compuesto de 6 bancos paralelos de 9 celdas de 160[m3]. La flotación se alimenta con 110000[ton/dia] con una ley de mineral de cobre de 1.3 %. Considerando una recuperación global del banco de 90 %, con una ley de 5% de Cobre.

En la planta se midieron los siguientes datos:

Diámetro de la celda, [ ]7CD m= .

Flujo de aire por cada celda, 1400 /3GQ m h⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

Diámetro de partícula, [ ]75Pd mμ= .

Densidad sólido 3.1 / 3sol ton mρ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

Diámetro de la burbuja, [ ]Bd 2 mm= .

a) Calcular la velocidad superficial del aire, [ ]/GJ cm s .

b) Estime cuál sería la densidad del agregado partícula-burbuja transportado a la espuma en la primera celda del banco, considerando que se recupera un 40% de la masa total de concentrado.

c) Estime el porcentaje de cubrimiento de las burbujas en la primera celda.

3. Proceso de Flotación

Para realizar el proceso de flotación en forma efectiva y separar el mineral útil desde la ganga se debe reducir el tamaño de las partículas hasta alcanzar el nivel adecuado de liberación de las especies minerales. Lo anterior se logra reduciendo el mineral hasta un tamaño de partícula muy inferior al tamaño del grano de las especies, lo que permite alcanzar un grado mayor de liberación del mineral útil.

El rango típico de tamaño de liberación para especies mineralógicas comunes en la industria chilena del cobre es de [ ]45 75 mμ− .

Si se considera como ejemplo la Figura 3.1 Ejemplo de asociación de mineral.Figura 3.1, que contiene dentro de su distribución material valioso (blanco) que se desea recuperar y ganga. La proporción de material útil se calcula mediante la ecuación (3.1).

mineral valioso AFraccion utilmineral total

= (3.1)

Figura 3.1 Ejemplo de asociación de mineral.

La forma de representar la separación óptima en forma gráfica, viene dado por la relación Ley vs Recuperación, como se muestra en la Figura 3.2.

Otra tipo de representación gráfica corresponde a la curva de Separabilidad; la que relaciona Recuperación vs Rendimiento, como se muestra en la Figura 3.3. El Rendimiento corresponde a la masa reportada a concentrado con respecto a la masa inicial en la alimentación ( /C F , según la Figura 1.2).

Figura 3.2 Ley vs Recuperación de A.

Figura 3.3 Curva de separabilidad de A.

3.1. Diseño Conceptual

Desde un punto de vista conceptual, se puede interpretar el proceso de flotación como una secuencia de 2 operaciones: Reacción y Separación. Ver Figura 3.4.

En la etapa del reactor se alimenta la pulpa, los reactivos (promueven hidrofobicidad y otras propiedades) y el aire, además de darle la energía suficiente para mantener la pulpa en suspensión. La etapa de separación se refiere a la formación de la fase espuma. El mineral colectado pasa hacia la espuma para ser recuperado como concentrado y la ganga se descarga en la corriente de cola.

3.2. Características del Proceso

En el proceso de flotación se pueden distinguir dos características básicas:

Figura 3.4 Diseño conceptual del proceso.

3.2.1. Química del proceso

Determina la máxima recuperación y selectividad posible en una aplicación, y depende de:

a) Tipo y dosificación de reactivos.

b) La química de superficies de las partículas cubiertas con colector.

c) El grado de liberación de las partículas de mineral.

3.2.2. Cinética del proceso

Determina la recuperación y selectividad que se puede alcanzar realmente en la aplicación industrial. La cinética del proceso posee las siguientes características:

a) Representa la velocidad de producción de concentrado.

b) Permite el cálculo de equipos de flotación y el diseño de arreglos de circuitos.

En general, la cinética no se puede considerar en forma aislada de la química. La adición de reactivos altera también la velocidad para efectuar la separación. Sin embargo, es conveniente mirarlos como problemas separados.

3.3. Requerimientos para la Colección y Separación

Los requerimientos para la adhesión selectiva entre partículas y burbujas son:

a) Adecuada suspensión de partículas de tamaño y densidad variable.

b) Dispersión de aire en pequeñas burbujas.

c) Promover una zona de calma tal que se forme una interfase pulpa-espuma nítida y estable.

d) Descarga de la espuma después de separar la ganga y las partículas menos hidrófobas por el drenaje y coalescencia de burbujas.

3.3.1. Disipación de energía en celdas mecánicas

En la mayoría de las celdas se gasta una gran cantidad de energía para mantener los sólidos en suspensión y para dispersar el aire en pequeñas burbujas. El nivel de disipación de energía es responsable de la efectividad de la adhesión entre partículas y burbujas. Así, una baja agitación disminuye la captura de partículas finas mientras que aumenta la segregación de partículas gruesas por gravedad. Por otro lado, una agitación intensa será inconveniente debido a la ruptura de agregados [1].

El consumo de potencia en celdas de flotación superiores a 100[m3] depende principalmente de la velocidad del impulsor y en menor término de la profundidad de la pulpa y de su densidad aparente [2], [3]. Actualmente, las celdas comerciales de 130-250[m3] poseen una potencia específica relativamente constante de alrededor de 0.8-1.0[kW/m3] [4], [5], lo cual representa un buen compromiso para maximizar la cinética de flotación en celdas de gran tamaño [1].

3.3.2. Adhesión partícula-burbuja (colección)

Por largo tiempo el volumen activo de la celda ha sido tema de controversia. La discusión se relaciona con la incertidumbre acerca del mecanismo de adhesión partícula-burbuja, que controla el proceso de colección, y en saber cómo y dónde se forma el agregado partícula-burbuja. Experimentalmente se ha observado que los siguientes mecanismos pueden ser responsables del proceso de ruptura de la película de líquido [6]:

a) Crecimiento de ondas fluctuantes en la interfase del fluido.

b) Nucleación de gas al interior de la película.

Se estima que la colección de partículas hidrófobas ocurre de preferencia a través de la formación de micro-burbujas sobre el mineral más que por adhesión de burbujas existentes. De otra forma, la formación de burbujas pequeñísimas sobre la superficie de las partículas facilita la adhesión de burbujas más grandes. En consecuencia, lo más probable es que en las celdas mecánicas, como también en algunas celdas neumáticas, la colisión burbuja-partícula y la precipitación de gas estén presentes.

Algunos autores creen que en las celdas de gran tamaño las condiciones óptimas de flotación requieren que todo el flujo de alimentación fresca debería contactarse con el aire pasando directamente a la zona del rotor/dispersor [7]. Actualmente, sin embargo, el conocimiento fundamental no permite predecir con precisión dónde ocurre la mayor parte de la formación de agregados en una celda y en qué proporción los diversos mecanismos de colección contribuyen a la cinética global de colección. También, es posible que en algunas aplicaciones la colección no sea el mecanismo de control de la cinética y que las diferencias aparentes entre celdas simplemente reflejen una remoción más eficiente de la espuma.

3.3.3. Formación interfase pulpa-espuma (separación)

Un aspecto clave para cumplir la tarea de separación es la formación de una interfase pulpa-espuma nítida. De otra forma, la pérdida de interfase o condición de inundación fija el límite de contorno para el tamaño de burbuja y la velocidad superficial de gas, o la máxima velocidad superficial de área de burbuja, bS . Esta relación ha sido derivada de principios fundamentales para el sistema aire-

agua [8].

Por otro lado, la máxima capacidad de transporte es otra condición de borde limitante para el transporte de mineral y fija la mínima velocidad superficial de área de burbuja para una cierta operación. Entonces, existe un estrecho compromiso, entre el tamaño de burbuja y la velocidad superficial de gas, para crear la interfase pulpa-espuma y para cumplir el transporte de masa a través de la interfase. Estas condiciones de contorno son válidas para cualquier operación de flotación industrial tanto en celdas mecánicas, celdas neumáticas o columnas, independiente del mecanismo de dispersión de las burbujas.

La Figura 3.5 muestra los contornos teóricos para la flotación de minerales sulfurados, que corresponden adecuadamente con las mediciones de velocidad superficial de gas y tamaño de burbujas realizadas en la industria [55]. El rango típico de tamaño medio de burbuja en celdas mecánicas y columnas es de 1-1.5[mm], mientras la velocidad superficial del gas es

[ ]1 1.6 /GJ cm s= − en celdas mecánicas y [ ]1.5 2.2 /cm s− en columnas [9], [10], [11], [12], [13],

[14].

Figura 3.5 Zona de interfase distintiva, sin límites de transporte y con espuma estable.

De esta forma, para tamaños de burbuja menores que 1.5[mm], el contorno superior en la Figura 3.5 corresponde al máximo flujo de gas teórico que se puede entregar con el fin de construir una interfase pulpa-espuma distintiva. Para velocidades superficiales de gas menores que 2.5[cm/s] el contorno inferior corresponde a la mínima velocidad superficial de área de burbuja,

135 45bS s−⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ , reportado en celdas mecánicas [15], [14], [13], relacionadas principalmente con

limitaciones en la capacidad de transporte y remoción de espuma a bajos flujos de gas. Esta

condición también es consistente con el mínimo 143bS s−⎡ ⎤= ⎣ ⎦ observado en columnas para la

condición de capacidad máxima de transporte [16].

Por otra parte, un bS máximo de alrededor de 1130 180 s−⎡ ⎤− ⎣ ⎦ ha sido observado antes de la

inundación de la celda (pérdida de la interfase) para tamaños de burbuja de 0.8-1.2[mm], lo cual significa una velocidad superficial de gas de 2.7[cm/s]. Burguess [9] reportó datos de una celda de 100[m3] operada con aire forzado alcanzando una recuperación máxima a velocidad superficial de gas de 2[cm/s] y tamaño de burbuja de 2.8[mm], para velocidades de gas superiores la recuperación disminuyó probablemente a causa del aumento en el tamaño de las burbujas y limitaciones en la capacidad de transporte.

También, la Figura 3.5 muestra datos de celdas de flotación sub-aireadas de 42.5[m3] en El Salvador [17], y datos de columnas de flotación de El Teniente y Andina [11], la última operación mostró un muy alto [ ]3 /GJ cm s= (cerca de pérdida de interfase) mientras que se usó un exceso de

agua de lavado para mantener la ley del concentrado.

En resumen, las condiciones limitantes son:

a) Para tamaños de burbuja pequeños [ ]0.5Bd mm< :

• Pérdida de la interfase pulpa-espuma.

• Arrastre de burbujas a las colas [18].

b) Para tamaños de burbuja grandes [ ]3Bd mm> :

• Reducción de capacidad de transporte.

• Inestabilidad de la espuma.

3.4. Preguntas Frecuentes

a) Explique las etapas del proceso de flotación.

b) Explique por qué el proceso de flotación no es perfecto.

c) Según la Figura 3.5, explique los límites operacionales y los factores que comienzan a ser críticos en cada uno de estos límites.

d) Señale dos razones de por qué las burbujas muy pequeñas pueden reducir la eficiencia de flotación.

e) ¿Cuáles son los requerimientos para la colección y separación de partículas de mineral?

4. Equipos de Flotación

Hasta mediados de los años 70’s los equipos de flotación consistían principalmente en celdas con agitación mecánica y auto-aspirantes, las cuales dominaron el mercado. A partir de los años 1980’s, se han incorporado masivamente las celdas de gran tamaño, tanto auto-aspirantes como de aire forzado. En paralelo se incorporaron también celdas neumáticas de flotación [19], [20]. En alrededor de cien años se han desarrollado una gran cantidad de equipos de flotación, sin embargo, las celdas de flotación mecánica típicamente usadas en aplicaciones industriales, no han cambiado mucho en su diseño. La falta de criterios fundamentales y confiables para el diseño y escalamiento, y el requerimiento de novedad en la especificación de patentes explica en parte la gran variedad de tipos de celdas.

4.1. Objetivos del Equipo de Flotación

Los equipos de flotación cumplen la función de separar materiales heterogéneos, en un sistema multicomponente y multifase. El equipo de flotación debe considerar dos etapas:

4.1.1. Formación del agregado partícula-burbuja (colección)

Esta etapa corresponde a la captura selectiva de las partículas. Las partículas de diferentes especies se unen a las burbujas a diferente velocidad, mientras mayor es la diferencia entre la velocidad de colección del componente de interés y la ganga, más selectiva es la separación.

Los mecanismos de captura incluyen la colisión entre partículas de mineral y burbujas, la precipitación (cavitación) de gas en la partículas o ambos.

4.1.2. Transporte de burbujas (separación)

Esta etapa corresponde a la separación del agregado burbuja-partícula que ha sido transportado desde la pulpa hasta la interfase para formar un lecho de espuma, el cual rebalsa desde el equipo para obtener un producto concentrado.

En la práctica, la separación no es perfecta por las siguientes razones:

a) Las partículas sólidas también entran en la espuma por arrastre mecánico o hidráulico.

b) Parte del líquido contenido entre las burbujas en la espuma retorna a la pulpa acarreando parte del sólido originalmente arrastrado.

c) Retorno de partículas flotables por coalescencia o colapso de burbujas en la espuma.

En general, los equipos comerciales no son ideales ni muy eficientes en cuanto a la formación y remoción de la espuma. La Figura 4.1 muestra una representación simplificada de los principales flujos en un equipo de flotación.

Figura 4.1 Transporte de masa en flotación.

Los pasos que controlan el proceso varían con el diseño del equipo y las condiciones de operación. Lo más crítico de evaluar es el transporte de masa a través de la interfase pulpa-espuma, tal como el transporte de agregados partícula-burbuja, arrastre de partículas finas y drenaje.

Un adecuado diseño de estos equipos requiere:

a) Alta intensidad en la zona de mezclado.

b) Relativa calma en la región de separación.

c) Interfase pulpa-espuma estable con mínimo retorno de partículas flotables.

d) Transporte de espuma al rebalse del equipo con mínimo arrastre de pulpa.

Dentro de estos equipos destacan dos categorías: Celdas Mecánicas y Celdas Neumáticas.

4.2. Celdas Mecánicas

Las características de diseño incluyen la geometría de la celda, la hidrodinámica y la suspensión de sólidos.

Figura 4.2 Celdas de flotación de 160m3.

4.2.1. Geometría de la celda

Las últimas generaciones de celdas son de forma cilíndrica a diferencia de la mayoría de las anteriores que eran rectangulares. El estanque cilíndrico ofrece condiciones simétricas y estables en toda la celda, además se reduce la existencia de puntos muertos. Las partículas más gruesas tienden a desagregarse cuando la longitud del transporte horizontal en la espuma aumenta. Por lo tanto, las celdas de gran tamaño se fabrican de forma circular, ver Figura 4.2.

Para asegurar la distancia de transporte más corta posible hasta la canaleta recolectora de concentrado se incorporan rebalses internos.

4.2.2. Volumen de la celda

Desde los años 1980’s el volumen unitario de las celdas ha aumentado 10 veces. Actualmente existen celdas industriales de hasta 160[m3], como es el caso de las celdas de Outokumpu, Dorr-Oliver y Wemco. Además, nuevos desarrollos incluyen celdas de 200 y 250[m3].

La capacidad de tratamiento de una celda gigante permite reemplazar a muchas celdas pequeñas con el consiguiente ahorro de espacio, mantenimiento, entre otros aspectos. Por otra parte, el mecanismo de agitación en la mayoría de celdas se encuentra en la base, en consecuencia la alta turbulencia no perturba la zona de espuma como ocurre con las celdas más pequeñas, esto se refleja (contra la creencia generalizada) en la mayor selectividad de las celdas grandes, las cuales pueden trabajar bien tanto en el barrido como en la limpieza.

El gran tamaño de las unidades disminuye el costo de la automatización, de esta forma se puede lograr un alto nivel de automatización para cada celda o para cada banco de celdas.

4.2.3. Flujo específico de aire

Las celdas actuales se construyen hasta de 4-5[m] de altura por lo cual la razón entre el área transversal y el volumen ha disminuido. En consecuencia, el flujo específico de aire disminuyó casi a la mitad, reduciendo la capacidad de transporte y de rebalse. Por esta razón, se han incorporado rebalses internos circulares y radiales; como ejemplo se pueden nombrar celdas con estanque circulares de 130-250[m3], ver Figura 4.3.

Figura 4.3 Vista del rebalse en una celda de flotación industrial de 250m3.

También, para el diseño de circuitos estándar se recomienda una capacidad de rebalse de

( )1.5 /ton h m⎡ ⋅ ⎤⎣ ⎦ [21], lo cual es similar a la capacidad de rebalse observada en celdas neumáticas

(columnas).

Otra modificación para mejorar la remoción de la espuma ha sido la incorporación de aceleradores de espuma ajustables (tipo cónico), denominados froth crowder. Para este objetivo se usa un cono invertido, reduciendo el área de descarga del concentrado.

Se ha observado que en especial la recuperación de partículas gruesas depende de la altura de la capa de espuma, de la distancia de transporte horizontal en la espuma, del tiempo de residencia en la espuma (velocidad superficial del aire). De esta forma, una menor altura de espuma aumenta la recuperación, lo mismo ocurre con la disminución del área de transporte de la espuma.

4.2.4. Impulsor

El impulsor se considera el corazón de una celda de flotación mecánica. El impulsor en una celda “autoaspirante” cumple tres funciones:

a) Suspensión de partículas.

b) Aspiración y dispersión del aire.

c) Circulación de pulpa.

El diseño del impulsor es simple con variaciones entre fabricantes, éstas consisten de una turbina con paletas. Al respecto, existen diferentes puntos de vista de la manera cómo la pulpa y el aire deberían interactuar con el impulsor. Unos favorecen el mezclado total de pulpa y aire a través de todo el volumen de la celda, mientras otros señalan la necesidad de circular la pulpa a través del impulsor. Un ejemplo de este último caso es el impulsor Wemco 1+1, que posee una considerable altura con relación a su diámetro. En la periferia del rotor las fuerzas de cizalle producen la dispersión del gas en pequeñas burbujas.

4.2.5. Estator

El estator no participa en la formación de las burbujas, la función principal es la creación de regiones tranquilas (menos turbulentas) en el estanque, reduciendo los remolinos horizontales de la pulpa. El estator ubicado alrededor del impulsor dirige las burbujas horizontalmente hacia el piso del estanque, mejorando la distribución del aire y también incrementando la capacidad de aireación.

Por ejemplo, en el centro de la celda Wemco 1+1 existe un sistema rotor dispersor, Figura 4.4, el aire ambiental ingresa a la celda y se distribuye a través de la pulpa mezclándose por efecto de la circulación de la pulpa, parte de las burbujas se forman y dispersan en contacto con el dispersor.

El movimiento de la pulpa es intenso y en el sentido que se indica en la Figura 4.4. El dispersor junto con el faldón evita la irrupción violenta de la pulpa hacia la zona de la espuma permitiendo el ascenso de las burbujas mineralizadas.

En la celda existe un fondo falso para permitir una libre circulación de la pulpa evitando los embancamientos. Sin embargo, en la práctica es normal observar un grado de embancamiento.

La Figura 4.5 muestra un esquema simplificado de dos celdas estanque, comercialmente disponibles hasta 160-200[m3]. De acuerdo a los fabricantes la colección partícula-burbuja se mejora mediante el “mezclado ideal de la pulpa y el aire”, (a), y la “circulación de pulpa a través del rotor”, (b).

A pesar del gran número de diseños de celdas y las diferencias en estilos, la mayoría de las celdas mecánicas hasta 40-50[m3], muestran un comportamiento similar a un reactor perfectamente agitado [12]. Por esta razón las celdas se arreglan típicamente en bancos para reducir el cortocircuito de la pulpa.

Figura 4.4 Celda Wemco 1+1, disposición del rotor.

Figura 4.5 Esquema simplificado de celdas de flotación mecánica de gran tamaño.

4.2.6. Variables de diseño de celdas mecánicas industriales

Potencia instalada

La Figura 4.6 muestra el aumento de la potencia instalada con el volumen de celdas de flotación Outokumpu y Dorr-Oliver [4], [5].

Figura 4.6 Potencia instalada v/s volumen de celda.

Flujo específico de aire

En la Figura 4.7 se observa la disminución del flujo específico de aire (mínimo y máximo) al aumentar el volumen de las celdas de flotación.

Figura 4.7 Flujo específico de aire ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

3

3

m airemin×m celda

vs volumen de celda ⎡ ⎤⎣ ⎦3m .

Velocidad superficial de aire

En la Figura 4.8 se muestra la disminución en la velocidad máxima superficial de aire al aumentar el volumen de las celdas.

Figura 4.8 Velocidad superficial de aire vs volumen de celda.

4.3. Celdas Neumáticas

Las celdas neumáticas de flotación se diferencian de las celdas mecánicas convencionales en cuatro aspectos básicos:

• Ausencia de agitación mecánica.

• Sistema de generación de burbujas.

• Agua de lavado.

• Geometría (relación altura: diámetro efectivo).

Las celdas neumáticas se clasifican según la forma de contactar la pulpa y el aire en: contra-corriente y co-corriente.

4.3.1. Columnas contra corriente

En una columna contra-corriente se distinguen dos zonas, ver Figura 4.9:

a) Zona de colección: desde la entrada del aire hasta la interfase pulpa-espuma.

b) Zona de limpieza: desde la interfase pulpa-espuma hasta el rebalse.

Figura 4.9 Columna de Flotación Contra-Corriente.

La pulpa previamente acondicionada, se alimenta cerca del tope de la zona de colección, aproximadamente a 2/3 de la altura total de la columna. En la zona de colección, las partículas provenientes de la alimentación se contactan en contracorriente con las burbujas producidas por el dispersor de aireador ubicado en la parte inferior de la columna. Las partículas hidrófobas chocan y se adhieren a las burbujas, cruzan la interfase y son transportadas a través de la zona de limpieza, constituida por un lecho de espuma de aproximadamente 1m de altura. Por otro lado, las partículas hidrófilas son removidas desde el fondo de la columna.

La Figura 4.10 (a) muestra el tipo de columna canadiense, que es la columna de flotación más común y que usa dispersores de aire internos removibles, mientras que otros diseños usan dispersores externos, por ejemplo el generador de burbujas Microcell en la Figura 4.10 (b), que es un mezclador estático de tipo externo [20].

Las columnas industriales tienen distintas formas geométricas, las más comunes son:

a) Circular, con diámetros de hasta 4.5[m].

b) Cuadrada, hasta 4[m] de lado.

c) Rectangular, por ejemplo de 2x8, 3x6 ó 4x6[m] de lado.

La Figura 4.11 muestra un tipo de configuración de columnas de flotación circulares en la operación industrial.

Figura 4.10 Tipos de celdas neumáticas de flotación contra-corriente.

Figura 4.11 Columnas de flotación de sección circular.

La Figura 4.12, muestra la operación industrial de columnas de flotación cuadradas.

Figura 4.12 Columnas de flotación de sección cuadrada.

Las columnas con un diámetro equivalente superior a 1.5[m] normalmente se dividen mediante tabiques divisores (baffles) con el objeto de minimizar los efectos de circulación interna. La altura total de las columnas puede variar en función de las características operacionales requeridas. Sin embargo, a pesar de la gran diversidad de condiciones la mayoría de las columnas industriales tiene alturas de 10 a 14[m].

A escala piloto, las columnas de flotación se comportan como un “reactor flujo pistón contra-corriente” con baja dispersión [16]. En la práctica industrial, sin embargo, la mayoría de las columnas opera en un régimen de flujo cercano a un reactor perfectamente mezclado [22]; esta condición es ineficiente para alcanzar un nivel alto de recuperación en una sola etapa. Por esta razón, las columnas se usan comúnmente en circuitos de limpieza junto con bancos de barrido de limpieza formados por celdas mecánicas.

Algunas características importantes de estos tipos de columnas de flotación se detallan a continuación.

Sistema generador de burbujas.

El sistema de aireación de una columna es un componente fundamental para su operación. Un generador de burbujas eficiente es aquel capaz de generar burbujas de 0.5 a 2[mm] de diámetro con velocidades superficiales de aire de 1 a 3[cm/s]. En estas condiciones la concentración (holdup) de aire en la zona de colección variará de 15 a 20%.

Los tipos de aireadores se pueden clasificar en internos y externos. Los aireadores internos pueden ser rígidos o flexibles. Los rígidos son fabricados con materiales porosos tales como: cerámica, acero inoxidable o polipropileno microporoso. Los flexibles son hechos de goma perforada o tela de filtro. La principal desventaja de estos aireadores es la obstrucción [23]. La Figura 4.13, muestra una vista exterior de una columna circular donde se aprecian los inyectores de aire.

Los aireadores externos son aquellos donde se mezcla agua y aire a presión, o se mezcla pulpa y aire, y se inyecta la mezcla en la columna a través de una lanza con orificios [24].Estos aireadores presentan como principal ventaja la posibilidad de remoción, inspección o substitución de los inyectores con la columna en operación. En las columnas industriales se usan principalmente aireadores externos.

Se ha demostrado que en el caso de burbujeadores de tela filtrante, la permeabilidad de la tela es

crítica y debe ser inferior a 3

2

m6m min⎡ ⎤⎢ ⎥⋅⎣ ⎦

para alcanzar niveles de concentración (holdup) de aire y

tamaños de burbuja adecuados [25]. A su vez, en el caso de burbujeadores tipo lanza con orificios las variables que afectan en mayor grado el tamaño de burbujas son la velocidad superficial de agua en los inyectores y la concentración de espumante [26]. Al respecto, para alcanzar tamaños de burbuja pequeños (1[mm]) se recomienda usar velocidades de aire superiores a 4[m/s] en el orificio, y presiones inferiores a 80-90[psig].

En la Figura 4.14 se muestra la variación del diámetro de burbuja con la velocidad de agua en el orificio de un inyector tipo Cominco [25].

Sistema distribuidor de agua de lavado.

En la parte superior de la columna se agrega el agua de lavado a través de dispersores, para permitir una adecuada distribución de agua en el interior de la espuma. El agua de lavado desempeña un papel fundamental en la eliminación de partículas finas (normalmente de ganga) arrastradas por el flujo ascendente y en la estabilización de la espuma.

Los distribuidores de agua de lavado pueden clasificarse en internos y externos. El distribuidor externo se instala arriba de la espuma (ver Figura 4.15), lo que presenta la ventaja de evitar su obstrucción y permite la inspección visual durante la operación. No obstante, presenta la desventaja de requerir un mayor flujo de agua para mantener constante el desplazamiento neto de agua al interior de la espuma (bias) y, además, reduce el porcentaje de sólidos en el concentrado. El distribuidor interno se instala bajo el rebalse de la espuma y produce un rebalse con mayor concentración de sólidos. Las desventajas son la dificultad de inspección y el ensuciamiento constante de los orificios [23]. Los distribuidores internos generalmente son instalados entre 10 y 20[cm] bajo la superficie de rebalse de la espuma.

Figura 4.13 Inyectores de aire en una Columna circular.

Figura 4.14 Efecto del agua en inyector externo tipo lanza con orificios.

Figura 4.15 Distribuidor externo de agua de lavado.

Divisores internos.

En las columnas de gran tamaño se usan divisores internos (baffles) para mejorar la distribución de flujos, reducir la circulación interna del fluido, y mejorar el contacto de las fases pulpa y aire. El área equivalente típica de las secciones es de aproximadamente 1[m2].

Rebalses internos.

Al aumentar el tamaño de las columnas es necesario aumentar el largo de rebalse del concentrado, debido a que el perímetro de rebalse no aumenta proporcionalmente con el volumen y capacidad de tratamiento de la columna. Para este objeto se instalan rebalses internos en la parte superior de la columna.

4.3.2. Columnas co-corriente

Un interesante punto de discusión ha sido planteado respecto a la baja eficiencia del contacto entre partículas de mineral y burbujas en la zona de pulpa de las columnas de flotación. En este sentido, los diseños alternativos de celdas neumáticas están provistos con un tubo de contacto descendente “downcomer”, similar a un “reactor flujo pistón co-corriente ideal”. Este tubo permite el contacto intensivo entre la pulpa y las burbujas en muy corto tiempo y con alta concentración de gas. La Figura 4.16 (a) muestra la celda Jameson, que es la celda de contacto co-corriente de mayor uso,

principalmente en la industria del carbón. Otra celda de contacto co-corriente de uso comercial es la celda neumática tipo EKOF, Figura 4.16 (b) [20].

Figura 4.16 Tipos de celdas neumáticas de flotación co-corriente.

4.4. Comparación Entre Celdas Mecánicas y Neumáticas

Las columnas de flotación difieren significativamente de las celdas de flotación tanto en su diseño como en la filosofía de operación. Los estudios comparativos de desempeño de columnas de flotación y celdas mecánicas, realizados a escala piloto, semi-industrial e industrial, permiten concluir lo siguiente:

a) Recuperación.

Una mayor concentración y área superficial de burbujas obtenida en las columnas permite elevar la probabilidad de colisión entre las partículas de mineral y las burbujas y, por lo tanto, mejorar la recuperación.

Por otra parte, la menor disipación de energía, lo que significa una menor intensidad de mezclado, en la zona de colección reduce la ruptura de agregados burbuja-partícula.

Otro factor importante en la recuperación de partículas gruesas y finas es el mayor tiempo de residencia efectivo de las burbujas en la columna. Puesto que las burbujas generadas en la base de la columna recorren toda la zona de colección, su tiempo de residencia es mayor que el de una celda mecánica de capacidad comparable. El efecto de todos estos factores combinados tiene como resultado un aumento en la recuperación del mineral de interés. Sin embargo, el comportamiento similar a un mezclador perfecto en las columnas industriales limita su capacidad de operar con alta recuperación en una sola etapa.

b) Ley

La columna de flotación puede generar concentrados con leyes más altas que las celdas de flotación. Este aumento en la ley se debe a los siguientes factores:

• La menor turbulencia en la interfase pulpa-espuma minimiza el arrastre hidráulico de las partículas hidrófilas desde la zona de colección a la zona de limpieza.

• La mayor altura de espuma, aproximadamente 1[m], representa un mayor tiempo de residencia y una mayor probabilidad de que las partículas de ganga, arrastradas por las burbujas, retornen a la zona de colección.

• El uso de agua de lavado reduce la cantidad de partículas hidrófilas arrastradas desde la zona de colección a la espuma a través del desplazamiento de agua de alimentación contenida en la pulpa.

Esta acción de limpieza es una de las principales razones para el uso de columnas principalmente en las etapas de limpieza (cleaner) en diversos circuitos de concentración de minerales.

5. Caracterización del Proceso de Flotación.

Para el análisis de celdas y columnas de flotación industriales se consideran dos zonas de características muy diferentes, la zona de colección (pulpa) y la zona de limpieza (espuma). La Figura 5.1 muestra esquemáticamente los flujos de dichas zonas, donde cR representa la

recuperación de cada especie mineral en la zona de colección y fR la recuperación del mismo

componente en la zona de limpieza.

Figura 5.1 Representación de la zona de colección y limpieza.

Por lo tanto, la recuperación global para cada especie está dada por la ecuación (5.1).

( )1 1

c fglobal

c f

R RR

R R⋅

=− ⋅ −

(5.1)

A continuación se analizan las zonas representadas por la Figura 5.1.

5.1. Zona de Colección

En la zona de colección ocurre el primer contacto entre las partículas minerales descendentes y las burbujas de aire ascendentes. La velocidad de colección y recuperación de las partículas depende de los eventos de colisión y adhesión necesarios para formar el agregado partícula-burbuja. La probabilidad de ocurrencia de estos eventos, con el resultado de colección del mineral en las burbujas, se representa generalmente como un modelo cinético de primer orden.

Experimentalmente, se ha demostrado que la recuperación de cada especie en la zona de colección se puede expresar como una función de la constante cinética, k , el tiempo medio de residencia de las partículas, pτ , y la condición de mezclado al interior de la zona de colección.

Las principales variables que influyen en el proceso de concentración por flotación son:

• Tiempo de residencia.

• Reactivos (tipo y dosificación).

• Tamaño de partículas.

• Flujo de aire.

• Holdup de aire.

• Tamaño de burbujas.

Estas variables tienen un efecto significativo sobre la ley y la recuperación de mineral de interés. Los efectos de estas variables están relacionados y, por lo tanto, difícilmente pueden aislarse.

5.1.1. Tiempo de residencia

El tiempo de residencia es uno de los factores que afectan tanto a la ley como a la recuperación del mineral flotado, modificando más significativamente a esta última. El tiempo de residencia se puede variar normalmente a través de alteraciones en el flujo, la concentración de sólidos de la alimentación y la altura de la zona de colección. El tiempo medio de residencia de la fase líquida en la zona de colección puede estimarse por la relación entre el volumen efectivo de la zona de colección y el flujo volumétrico del relave dada por la ecuación (5.2).

( )1c c g

t

A HQ

ετ

⋅ ⋅ −= (5.2)

Donde:

τ : Tiempo medio de residencia de la fase líquida.

cA : Area de sección transversal del equipo.

cH : Altura de la zona de colección.

gε : Concentración de aire (Hold up).

tQ : Flujo volumétrico de la pulpa en relave.

El tiempo de residencia de las partículas sólidas en una celda de flotación bien agitada es similar al del líquido, baja segregación. Sin embargo, en una columna es función de la velocidad de sedimentación y, por lo tanto aumenta al disminuir la granulometría aproximándose al tiempo de residencia del líquido para partículas muy finas. Las partículas mayores que 100[µm] tienen un tiempo de residencia igual o menor que el 50% del tiempo de residencia del líquido [27].

5.1.2. Reactivos

Los reactivos comúnmente usados en la flotación son el Colector, para la captura selectiva de los minerales a flotar, el Espumante para reducir el tamaño de burbujas y generar una espuma estable, y el Regulador de pH, generalmente cal. La adición de reactivos se regula en forma manual o automática, en diferentes puntos del circuito, desde la molienda húmeda a la flotación, de acuerdo a los tonelajes y flujos de alimentación. Aunque existen recursos disponibles, como medición de leyes en línea y plataformas para adquisición de datos y control, en la gran minería no se observan muchas aplicaciones de control automático de reactivos en función del resultado metalúrgico del proceso.

5.1.3. Tamaño de Partícula

La recuperación de minerales por flotación en celdas mecánicas presenta un máximo para un rango intermedio de tamaño, típicamente entre 50-100[µm], disminuyendo para tamaños de partícula finos y más gruesos. En la Figura 5.2 se muestra un ejemplo del efecto del tamaño de partículas en la recuperación de bancos de flotación rougher, en la concentradora Salvador [17].

Figura 5.2 Efecto del tamaño de partículas en la recuperación.

Partículas Finas

Las partículas finas o ultrafinas, menores a 20[µm], crean la mayor parte de los problemas en la flotación de minerales. Por ejemplo, baja recuperación por factores hidrodinámicos.

Las partículas pequeñas tienen baja inercia y tienden a moverse con el fluido cuando se aproximan a una burbuja. Los efectos eléctricos son más importantes, repulsión de la doble capa. La velocidad de flotación puede mejorarse usando burbujas más finas, por ejemplo diámetros de 200-400[µm] en la flotación por aire disperso. Sin embargo, la disminución del tamaño de burbujas tiene limitaciones, por ejemplo el arrastre de burbujas finas a las colas y la pérdida de la interfase. Otra forma de mejorar la colección de partículas finas es promover la coagulación o floculación selectiva del mineral [29].

Partículas gruesas

Las partículas gruesas tienen menor grado de liberación, menor tiempo de residencia y menor eficiencia de colección. El principal problema es la ruptura del agregado burbuja-partícula debido a la turbulencia en la celda.

Las partículas en la superficie de las burbujas están sometidas a la acción de las fuerzas de arrastre y se soltarán si las fuerzas son superiores a las fuerzas de tensión superficial que mantiene la partícula sobre la burbuja. Finalmente, las partículas gruesas, con menor fuerza de adhesión, tendrán la primera opción a desprenderse desde la espuma, por coalescencia o colapso de las burbujas, retornando a la pulpa.

Para mejorar la recuperación de partículas gruesas se necesita un sistema que permita mantener las partículas en suspensión y dispersar el aire en burbujas creando el mínimo de turbulencia. La solución óptima requiere el uso de accesorios independientes para la dispersión de la pulpa y la generación de burbujas.

5.1.4. Flujo de aire

El flujo de aire es una de las variables más importantes en el control del proceso de flotación en columna, por su gran influencia en la recuperación del mineral flotado. Dentro de los límites de estabilidad de la columna, la recuperación del mineral flotado normalmente aumenta con el aumento del flujo de aire hasta alcanzar su valor máximo. Este aumento en la recuperación se debe al aumento del área superficial de las burbujas introducidas en el equipo de flotación.

Por otra parte, un aumento excesivo del flujo de aire puede perjudicar el proceso de flotación debido al incremento de la turbulencia, arrastre, y pérdida de la interfase. La velocidad superficial de aire, gJ , se define como la relación entre el caudal de aire, gQ , medido en condiciones normales

y el área de la sección transversal del equipo, cA , según la ecuación (5.3). Para condiciones típicas

de operación de celdas y columnas la velocidad superficial varía entre 1 y 2[cm/s].

gg

c

QJ

A= (5.3)

La velocidad superficial máxima de aire en una columna está limitada por:

a) Pérdida de bias positivo: Un incremento de gJ significa un aumento en el arrastre de

líquido de la zona de colección a la zona de limpieza, elevando el valor de la concentración de líquido en la espuma y reduciendo la concentración de sólidos del material flotado. Como consecuencia existe una reducción del flujo volumétrico de pulpa al relave pudiendo tornarse menor que la alimentación con pérdida del flujo neto descendente.

b) Pérdida del tipo de flujo: Un aumento en gJ puede resultar en el cambio de régimen de

flujo, desde flujo en régimen de burbujeo (bubbly) a otro de régimen turbulento (churn) con recirculación. Esta alteración del régimen es ocasionada por el crecimiento del tamaño de las burbujas con el aumento del flujo de aire.

c) Pérdida de interfase: Al aumentar la velocidad superficial de aire, gJ , el holdup de aire

aumenta en la pulpa y disminuye en la espuma hasta alcanzar valores iguales de holdup en ambas zonas. Cuando esto ocurre se observa la presencia de espuma en toda la columna y la pérdida de la interfase.

d) Insuficiencia del burbujeador: El objetivo del sistema de aireación es proveer una determinada cantidad de aire a la operación. En función de esto no es posible trabajar con valores de gJ superiores a los especificados en el diseño del proyecto.

e) Aumento en el tamaño de burbujas: El aumento de la velocidad superficial de aire genera un crecimiento del tamaño de las burbujas, reduciendo la eficiencia de la colección de partículas, principalmente de tamaño más fino.

5.1.5. Concentración de aire (Hold-Up)

El holdup de aire corresponde a la fracción volumétrica de aire contenida en una determinada zona de la columna. Normalmente, el holdup de aire se determina en la zona de colección y constituye un parámetro que depende del valor del flujo de aire, tamaño de burbujas, densidad de la pulpa, carga de sólidos en las burbujas y la velocidad de descenso de la pulpa [30].

A través de esta medición es posible estimar el tamaño de las burbujas mediante modelos matemáticos [31], [32]. El holdup de aire puede medirse con sensores de presión, ver Figura 5.3, y se puede calcular utilizando la ecuación (5.4).

1gpulpa

Pg L

ερ

Δ= −

⋅ ⋅ (5.4)

Donde:

PΔ : diferencia de presión [kPa].

pulpaρ : densidad de pulpa [g/cm3].

L : distancia entre los medidores de presión.

g : aceleración de gravedad [m/s2].

Figura 5.3 Sistema para medición de concentración de aire.

5.1.6. Tamaño de burbuja

El tamaño medio de las burbujas y su distribución son importantes en la flotación, debido a su efecto en la eficiencia de la colección y transporte de partículas. El uso de burbujas pequeñas, permite obtener niveles más elevados de cinética de colección y transporte de sólidos por volumen de aire. Por otra parte las burbujas de tamaño muy reducido presentan una velocidad de ascenso baja pudiendo ser inferior a la velocidad de descenso de la pulpa, acarreando la pérdida de partículas hidrófobas en el flujo de relave [33], [34]. Por lo tanto, existe un tamaño medio ideal de burbujas en función del tamaño medio de las partículas, que podrá ser ajustado a través de las variables operacionales del sistema de aireación y la adición de espumantes.

El diámetro y la distribución de tamaño de burbujas dependen del tipo de generador de burbujas, de su operación y mantenimiento, del flujo de aire y de la adición de reactivo espumante [25]. En columnas de flotación industriales, donde se controla el flujo de aire y se usan generadores de burbujas independientes del transporte y la dispersión de la pulpa, se han observado diámetros de burbuja en el rango de 0.5-2.0[mm] [33].

El uso de diámetros de burbuja pequeños favorece la captura y transporte de las partículas más finas. Sin embargo, existe un límite asociado a la velocidad mínima de ascenso de la burbuja

relativa al movimiento descendente de la pulpa. De esta forma, las burbujas de 0.2-0.4[mm] o más pequeñas no alcanzan a superar la velocidad mínima y son arrastradas a las colas, debido a la disminución de su velocidad terminal por efecto del enjambre de burbujas y la carga mineral. Además, la generación de burbujas muy pequeñas aumenta la retención de gas en la zona de colección y aumenta el arrastre de pulpa a la espuma, llegando a perder la interfase, lo que favorece el arrastre de partículas finas al concentrado. La Figura 5.4 muestra una distribución de tamaño de burbujas observada en una columna de flotación del concentrador de Andina [28].

Figura 5.4 Distribución de tamaño de burbujas en columna industrial.

5.2. Zona de Limpieza

El proceso de limpieza o separación corresponde al paso de las burbujas con mineral colectado a través del lecho de espuma hasta el rebalse de concentrado. En esta zona, sin embargo, no existen modelos adecuados para describir el proceso en forma práctica. Por esta razón, los modelos cinéticos comúnmente consideran la celda como una sola unidad, y por lo tanto, se derivan parámetros y constantes cinéticas que describen la operación global de la celda. Las principales variables en la zona de separación o espuma, además del flujo de gas, son:

• Bias.

• Agua de lavado.

• Altura de espuma.

5.2.1. Bias

El bias representa la fracción neta de agua que fluye a través de la espuma y es el principal responsable de la acción de limpieza (rechazo de partículas finas arrastradas hidráulicamente) en la espuma de columnas de flotación. Se considera un bias positivo cuando el agua de lavado es superior al agua recuperada en el concentrado, y entonces parte del agua fresca se recupera en el relave de la columna.

El bias se estima comúnmente como la diferencia entre los flujos volumétricos del relave ( tQ ) y la

alimentación ( fQ ), mediante la ecuación (5.5).

t fB Q Q= − (5.5)

Otra forma consiste en la determinación de una razón de bias, es decir:

tB

f

QRQ

= (5.6)

Típicamente se recomiendan valores de BR de 0.05 a 0.15. Sin embargo, pueden calcularse valores

más precisos de bias a partir de la diferencia entre el flujo de agua de lavado y del agua del concentrado.

La estimación del bias como diferencia de los flujos volumétricos de alimentación y relave tiene dos importantes desventajas:

a) No considera el flujo volumétrico del sólido flotado, muy importante en etapas de limpieza, lo que implica un consumo excesivo de agua.

b) La diferencia de dos mediciones de flujos grandes (con error pequeño) puede significar errores superiores al 100% en la estimación del bias (flujo pequeño).

Además, desde un punto de vista de control del proceso la estimación del bias es afectada por las variaciones del nivel de la interfase, introduciendo una importante fuente de error (ruido) en su estimación [23] dada por la ecuación 5.7.

( )1ct f g c

dHB Q Q Adt

ε= − ± ⋅ − ⋅ (5.7)

5.2.2. Agua de lavado

El agua se agrega generalmente sobre el tope de la espuma para evitar el arrastre de ganga fina al concentrado, favoreciendo la limpieza y la reducción de los insolubles. La adición de agua fresca reemplaza en forma más eficiente el concepto de dilución de la pulpa en las etapas de limpieza, y tiene dos funciones básicas:

a) Reemplazar el agua de alimentación en la fracción flotada al concentrado, minimizando el arrastre hidráulico de partículas hidrófilas.

b) Aumentar la estabilidad de la espuma, menor coalescencia de burbujas.

Con la adición de agua de lavado se aumenta la selectividad del proceso sin pérdida de recuperación [32]. La efectividad del agua de lavado depende, idealmente, del flujo y de la distribución homogénea del agua, abarcando toda el área de la espuma, sin perjudicar el transporte del material flotado.

La velocidad superficial mínima del agua de lavado, wJ , será la necesaria para formar un lecho de

espuma estable, y alcanzar el flujo de bias adecuado para una efectiva acción de limpieza.

El efecto del agua de lavado en las columnas se ilustra en la Figura 5.5, donde se comparan los flujos de agua de una columna y de una celda mecánica. En la columna se aprecia que el agua de lavado “reemplaza” el agua de alimentación en el material flotado (concentrado) y se distribuye entre esta fracción y la fracción que retorna a la zona de colección. De esta forma se genera un flujo neto descendente de agua (bias) que minimiza los efectos de arrastre hidráulico de las partículas que pasan al producto flotado.

Figura 5.5 Flujos de agua en celda mecánica y en columna de flotación.

Las limitaciones de la velocidad superficial de agua de lavado ( wJ ) son:

a) Flujos de agua de lavado grandes aumentan fuertemente el mezclado en la espuma. Se observa un aumento en la recirculación de líquido y en la coalescencia de las burbujas, debido al aumento de la turbulencia. Al aumentar la turbulencia, el agua de alimentación se cortocircuita a través de la espuma produciendo una reducción en la ley del concentrado.

b) El uso de wJ elevado aumenta el consumo de agua y produce una dilución del concentrado,

dificultando y elevando los costos de las etapas posteriores de espesamiento y filtración.

c) El aumento de wJ aumenta bJ (bias) y reduce el tiempo de residencia en la zona de

colección. Esto se traduce en pérdida de recuperación, o capacidad de colección.

Para seleccionar el valor adecuado de wJ se debe considerar que la acción del agua de lavado es

más eficiente para velocidades superficiales de aire [ ]2 /gJ cm s< . Para valores de [ ]2 /gJ cm s> ,

se debe aumentar wJ para reducir el arrastre de agua de alimentación hacia la espuma.

5.2.3. Altura de espuma

La altura de la espuma es una variable importante en la selectividad del proceso de flotación. Una columna de flotación trabaja generalmente con lechos de espuma que varían entre 0.5 a 1.5[m]. En escala piloto estos valores se sitúan entre 0.4 y 1.0[m]. No existe una regla general para la determinación de la altura del lecho [35].

Si el arrastre hidráulico es el principal problema del proceso, un lecho de espuma relativamente bajo (0.4-0.6[m]) es suficiente, siempre que el arrastre de las partículas sea eliminado cerca de la interfase, cuando se opera a velocidades de aire moderadas [ ]1.5 /gJ cm s< . Por otro lado, si el

objetivo es obtener una alta selectividad entre las especies hidrófobas o si el flujo de aire es elevado, se recomienda trabajar con lechos de espuma mayores (1-1.5[m]) [36].

El lecho de espuma puede dividirse en tres secciones [37]:

a) Lecho expandido de burbujas.

b) Lecho empacado (relleno) de burbujas.

c) Espuma con drenaje convencional.

En la primera sección, arriba de la interfase pulpa-espuma, la espuma se forma como resultado de las colisiones de las burbujas contra la interfase. Las burbujas son desaceleradas bruscamente reduciendo 4-5 veces su velocidad, lo que genera una onda de choque. Este fenómeno parece ser la principal causa de coalescencia de las burbujas y pérdida de mineral, donde la fracción de líquido es elevada ( 26%lε > ), debido principalmente al arrastre de líquido asociado a las burbujas que

ingresan a la espuma y al drenaje de líquido por gravedad desde las secciones superiores de la espuma, formándose así un lecho expandido de burbujas.

La segunda sección se extiende desde el tope de la primera sección hasta el punto de introducción de agua de lavado. En esta sección, la fracción de líquido se mantiene elevada y se observa una moderada coalescencia de burbujas, causada por el movimiento de las burbujas mayores que atraviesan el lecho de espuma, todavía con forma esférica.

La última sección se sitúa inmediatamente encima del punto de introducción de agua de lavado y consiste en una espuma formada por burbujas hexagonales o poliedrales, donde la pulpa drena por gravedad a través de las aristas denominadas Plateau Borders. En esta sección la fracción de líquido es inferior al 20 %.

La altura del lecho de espuma junto con el flujo de agua de lavado y el flujo de aire, son variables de gran importancia para la obtención de una alta selectividad en el proceso de flotación.

6. Modelación del Proceso de Flotación

En la práctica, el estudio del sólido finamente dividido se realiza separando las partículas en un número finito de clases de tamaño. Las propiedades como flotabilidad no son modelables por valores únicos ni bien definidos, ni siquiera para especies puras, y no pueden ser consideradas como intrínsecas de las especies minerales, pues varían, no sólo con el acondicionamiento de los reactivos sino con las condiciones de operación del proceso de separación. Aún más difícil es predecir la distribución de estas propiedades en el caso de partículas mixtas.

En forma general, en el proceso de flotación se identifican dos zonas, la zona de colección y la zona de espuma, que contribuyen de modo complementario al resultado final del proceso de separación. Sin embargo, la dificultad de expresar los fenómenos físicos y químicos que ocurren en ambas zonas, así como la imposibilidad de medir directamente el transporte de mineral entre ambas zonas, limita el uso y confiabilidad de modelos matemáticos teóricos. En algunos casos, por ejemplo en flotación columnar, se ha intentado modelar la zona espuma de columnas industriales con el objeto de evaluar su impacto en la operación [35].

Existen distintos tipos de modelos para describir el proceso de flotación:

a) Modelos Empíricos.

b) Modelos Probabilísticos.

c) Modelos Cinéticos.

6.1. Modelos Empíricos

Los modelos empíricos se basan en la realización de una serie de experimentos, de los cuales se recopila una gran cantidad de datos que deben ser analizados para entregar una información coherente. Tienen la desventaja que no permite realizar extrapolaciones con los datos obtenidos. Estos modelos pueden ser adaptivos2 o no.

Los modelos fenomenológicos son difíciles de describir ya que son sistemas complejos, que poseen una gran cantidad de variables.

2 Se modifican en línea.

6.2. Modelos Probabilísticos

Estos modelos son utilizados para realizar el diagnóstico de la operación, comparar reactivos de flotación, etc. Además, con estos modelos se puede caracterizar el comportamiento del mineral frente a diferentes tipos y dosis de reactivos, pH de trabajo, etc.

6.2.1. Schuhmann [38]

Propone que la velocidad de flotación se puede descomponer en una serie de eventos de naturaleza probabilística.

[ ] [ ]x c aP P P F= ⋅ ⋅ (6.1)

[ ]xP : Es la probabilidad de flotación.

[ ]cP : Es la probabilidad de colisión.

[ ]aP : Es la probabilidad de adhesión.

[ ]F : Factor de estabilidad de la espuma.

6.2.2. Tomlinson y Flemming [39]

e fF P P= ⋅ (6.2)

Este modelo describe F en función de:

eP : probabilidad de levitación del agregado hasta la interfase pulpa-espuma.

fP : probabilidad de recuperación en la espuma.

6.2.3. Kelsall [40]

Para el caso de una operación batch (Figura 6.1), se tiene:

( )0 1W W p= ⋅ − (6.3)

Figura 6.1 Modelo probabilístico de Kelsall para operación Batch.

Donde:

p : Es la fracción de material que ha sido flotado (probabilidad).

El flujo de concentrado es proporcional a la masa de la pulpa.

Por ejemplo, en la Figura 6.1 se muestra que en el tiempo t=0 aún no comienza la flotación del mineral y la masa inicial dentro de la celda es 0W . En t=t1 se obtiene el primer concentrado, cuya

masa es 0W p⋅ y la masa que queda en la celda es ( )0 1W W p= ⋅ − . Si se continua flotando hasta el

tiempo t=tn la masa que queda en la celda está dada por la ecuación 6.4.

( )0 1 nnW W p= ⋅ − (6.4)

6.3. Modelos Cinéticos

El primer modelo cinético fue introducido en el año 1935 por García-Zuñiga [41]. Este modelo reconoce el comportamiento exponencial de primer orden, para determinar la cinética de flotación.

La formación del agregado partícula-burbuja en la zona de colección se puede asimilar a una reacción química como muestra la Figura 6.2.

Figura 6.2 Analogía de flotación con reacción química.

Sin embargo, la flotación no sólo consiste en la formación del agregado sino que además, se necesita la separación del mineral sólido, es decir, el transporte a la espuma y, finalmente al concentrado.

En la práctica, a pesar de las complejidades del proceso de flotación, la variación de la concentración normalmente se puede representar por un sistema simple de primer orden, el cual se adecúa bien a la respuesta del proceso.

El sistema real analizado en la sección 4.1.2, específicamente la Figura 4.1, se simplifica a una corriente de entrada y dos de salida, es decir, a una caja negra. En el caso batch la operación se representa según la Figura 6.3.

Para esta operación en particular, se tiene que la variación másica de mineral es proporcional a la masa del mineral en la zona de colección, dada por la ecuación

dm k mdt

= − ⋅ (6.5)

Figura 6.3 Esquema Celda de Flotación.

Donde:

C : concentración al interior de la celda [masa/volumen].

k : constante cinética de flotación [1/tiempo].

El parámetro k representa la constante cinética de una determinada especie. En realidad k no es constante sino que depende de varios factores: naturaleza del mineral (composición, asociación, etc.), acondicionamiento del mineral, reactivos de flotación, condiciones de operación (flujo de aire, flujo alimentación, etc.), geometría o diseño de la celda.

Dividendo la ecuación (6.5) por el volumen de pulpa en la zona de colección, V , resolviendo y considerando la condición de borde 0C C= en 0t t= , se obtiene:

0-k tC C e ⋅= ⋅ (6.6)

La Figura 6.4 muestra la respuesta de tiempo del proceso.

Figura 6.4 Concentración en el tiempo dentro de la celda de flotación.

Luego, la recuperación de mineral se puede expresar según la ecuación 6.7.

( )0

0

C C tR

C−

= (6.7)

Reemplazando la ecuación (6.7) en la ecuación (6.6) se obtiene el modelo de la recuperación ideal para operación batch:

1 k tR e− ⋅= − (6.8)

La Figura 6.5 se presenta la recuperación del proceso batch en el tiempo.

Figura 6.5 Recuperación de mineral según modelo de García-Zuñiga.

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo

C/C

0

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

tiempo

Rec

uper

ació

n [%

]

La ecuación (6.6) se puede expandir resultando en:

2 3

0 12! 3!

tk kC C k

⎛ ⎞= ⋅ − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠… (6.9)

Si en la ecuación (6.9) se desprecian los términos mayores de segundo grado, resulta:

( )0 1 tC C k= ⋅ − (6.10)

La ecuación (6.10) es similar al modelo de Kelsall, ver ecuación (6.4), y la analogía entre sus parámetros es la siguiente:

C W− : masa (concentración) dentro de la celda.

k p− : constante cinética (probabilidad de flotación).

t n− : tiempo de flotación (número de celdas).

Sin embargo, se debe considerar que el proceso de flotación no es perfecto, tanto por el hecho de que la materia prima no es perfecta como por que los equipos tampoco lo son. Por lo tanto, la recuperación se debe obtener de la masa efectivamente flotable. Lo anterior se expresa:

( )dC k C Cdt ∞= − ⋅ − (6.11)

( )1 -k tR R e ⋅∞= ⋅ − (6.12)

Donde:

C∞ : representa la concentración final del mineral valioso que no flota.

R∞ : es la recuperación máxima alcanzable en un proceso real.

En la Figura 6.6 se puede observar el efecto de la imperfección en el proceso de flotación.

Figura 6.6 Recuperación real de mineral.

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

tiempo

Rec

uper

ació

n [%

]

La pendiente de la curva recuperación vs tiempo está estrechamente relacionada con la velocidad de recuperación de mineral, la cual es proporcional a la constante cinética de flotación.

Por razones de economía de escala, la operación industrial debe desarrollarse en forma continua, ver Figura 6.7.

Figura 6.7 Operación celda continua.

Las suposiciones para modelar la operación continua son las siguientes:

• La celda está perfectamente mezclada y se ha alcanzado estado estacionario.

• C FQ Q<<

• Se considera una cinética de primer orden (la masa recuperada en el concentrado es proporcional a la masa en la pulpa).

C C TQ C k V C⋅ = ⋅ ⋅ (6.13)

En la ecuación (6.13) no se considera el efecto de la espuma. Luego, la recuperación en la celda está dada por:

C C

C C T T

Q CRQ C Q C

⋅=

⋅ + ⋅ (6.14)

Sustituyendo la ecuación (6.13) en la ecuación (6.14), se obtiene:

T

T T T

k V CRk V C Q C

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ + ⋅ (6.15)

Dividiendo la ecuación (6.15) por T TQ C⋅ se obtiene una expresión para la recuperación de mineral

en la flotación continua.

( )1

kRk

ττ⋅

=⋅ +

(6.16)

Donde / FV Qτ = corresponde al tiempo medio de residencia nominal.

Para el caso real de un proceso de flotación donde 100%R∞ ≠ , la recuperación está dada por:

( )1

kR Rk

ττ∞⋅

= ⋅⋅ +

(6.17)

6.4. Efecto de la Espuma en el Proceso de Flotación

6.4.1. Efecto de la espuma, sin retorno de material

Para considerar el efecto de la altura de espuma, se estudiará un modelo simple, pero desagregado pulpa-espuma. Ver Figura 6.8.

Figura 6.8 Modelo pulpa y espuma.

Las suposiciones de este modelo son las siguientes:

a) Existe una cinética de primer orden en la pulpa. El flujo másico transferido en la, interfase es proporcional a la masa en la zona de pulpa.

b) Existe un cinética de primer orden para la descarga de espuma al concentrado (proporcional a la masa en la espuma 2m ).

c) No existe retorno desde la espuma a la pulpa.

Si se realiza el balance de masa transiente en ambas zonas, se tiene:

11 1

dm k mdt

= − ⋅ (6.18)

21 1 2 2

dm k m k mdt

= ⋅ − ⋅ (6.19)

Para resolver el sistema de ecuaciones anterior es necesario considerar las condiciones de borde:

• En 0t = , 1 1m = y 2 0m =

• En t =∞ , 1 0m = y 2 0m =

Aplicando las condiciones de borde para resolver las ecuaciones (6.18) y (6.19), se obtiene la masa en la pulpa y en la espuma a través del tiempo, ver ecuaciones 6.22 y 6.23.

( ) 11

-k tm t e ⋅= (6.20)

( ) ( )1 212

2 1

k t k tkm t e ek k

− ⋅ − ⋅= ⋅ −−

(6.21)

Además:

( ) ( )1 2

2 11 2

2 1

k t k tk e k em t m tk k

− ⋅ − ⋅⋅ − ⋅+ =

− (6.22)

De la ecuación (6.22):

• Si el control está en la zona de colección, es decir, 2 1k k>> :

( ) ( ) 11 2

k tm t m t e− ⋅+ ≈ (6.23)

• Si el control está en la zona de espuma, es decir, 1 2k k>> :

( ) ( ) 21 2

k tm t m t e− ⋅+ ≈ (6.24)

En ambos caso el comportamiento global será equivalente a un proceso de primer orden.

6.4.2. Efecto de la espuma con retorno de material

Las suposiciones de este modelo (Ver Figura 6.9) son las siguientes:

a) Existe una cinética de primer orden en la pulpa. El flujo másico transferido en la interfase es proporcional a la masa en la zona de pulpa.

b) Existe un cinética de primer orden para la descarga de espuma al concentrado (proporcional a 2m ).

c) El flujo de retorno es proporcional, 3k , a la masa de la espuma, 2m .

Figura 6.9 Modelo altura espuma con retorno.

Si se realiza el balance de masa transiente en ambas zonas, se tiene:

11 1 3 2

dm k m k mdt

= − ⋅ + ⋅ (6.25)

21 1 2 2 3 2

dm k m k m k mdt

= ⋅ − ⋅ − ⋅ (6.26)

Para resolver el sistema de ecuaciones anterior es necesario considerar las condiciones de borde:

• En 0t = , 1 1m = y 2 0m =

• En t =∞ , 1 0m = y 2 0m =

Aplicando las condiciones de borde a las ecuaciones (6.25) y (6.26) y utilizando Transformada de Laplace para encontrar la solución del problema, se obtiene:

( ) ( ) ( )1 21 B t A tm t m t A e B e

A B⋅ ⋅+ = ⋅ − ⋅

+ (6.27)

De la ecuación (6.27): A y B son las raíces reales de la ecuación auxiliar (6.28) y A B> .

2 0s a s b+ ⋅ + = (6.28)

donde:

• 1 2 3a k k k= + +

• 1 2b k k= ⋅

Además, considerando A y B negativos, el segundo término de la ecuación (6.27) desaparece rápidamente, por lo que el comportamiento global resulta equivalente a un sistema de primer orden.

6.5. Distribución del Tiempo de Residencia

De acuerdo al nivel de mezclado, se tienen dos condiciones extremas: flujo pistón y mezclado perfecto.

6.5.1. Flujo pistón

Operación equivalente a la operación batch, en la cual toda la masa tiene la misma posibilidad de transporte y mezclado, es decir, todo el material dentro del equipo tiene el mismo tiempo de residencia. Esta condición se modela con la ecuación (6.29).

( ) ( )E t tδ= (6.29)

Donde ( )E t representa la función de distribución de tiempo de residencia.

Figura 6.10 Distribución tiempo de residencia en Flujo Piston.

6.5.2. Mezclador perfecto

Por definición la concentración es igual en todo el volumen de la mezcla, e igual a la concentración de salida.

En este tipo de operación existe la posibilidad que el mineral sea flotado o salga inmediatamente del equipo, es decir, todo el material no tiene el mismo tiempo de residencia. La distribución del tiempo de residencia se puede observar a través del comportamiento del material frente a un impulso en la alimentación.

El balance en estado transiente está dado por la ecuación (6.30). Ver Figura 6.7.

TF F T T C C

dCV Q C Q C Q Cdt

⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ (6.30)

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

tiempo

E(t)

El término /TV dC dt⋅ corresponde al material que sale del equipo. Además, el término C CQ C⋅ se

desprecia para analizar sólo la zona de la pulpa.

Si F TQ Q≈ la ecuación (6.30) queda:

TT F T T

dCV Q C Q Cdt

⋅ = ⋅ − ⋅ (6.31)

TF T

T

dCV C CQ dt

⋅ = − (6.32)

Sea / TV Qτ = el tiempo de residencia nominal, la ecuación (6.32) queda:

TT F

dC C Cdt

τ ⋅ + = (6.33)

Utilizando transformada de Laplace para encontrar la solución de la ecuación (6.33), se obtiene el modelo de distribución del tiempo de residencia en un mezclador perfecto, el cual resulta:

( ) /1 tTC t e τ

τ−= ⋅ (6.34)

En la Figura 6.11 se muestra la distribución exponencial del sistema continuo perfectamente mezclado.

Figura 6.11 Distribución tiempo de residencia.

De la Figura 6.11, se puede concluir:

• El 63.2% del material de la celda permanece un tiempo medio t τ< .

• El 39.2% del material de la celda permanece un tiempo medio / 2t τ< . Este material tiene una baja probabilidad de ser flotado, ya que está un corto tiempo en la celda, por lo tanto,

tiempo

1/τ

Mezclador Perfecto

Flujo Pistón

ττ/2

existe una baja recuperación de mineral. Esta zona se denomina cortocircuito, ya que esta fracción del material permanece un tiempo muy breve en la celda.

• El material que posee un tiempo de residencia muy grande, tiene una alta probabilidad de colección, es decir, existe una alta recuperación de mineral. Sin embargo, este mayor tiempo de residencia del material aumenta el arrastre de ganga al concentrado, por lo tanto, baja la ley final.

La condición de operación pistón es la situación ideal a alcanzar en un proceso continuo. Para lograr el objetivo anterior se debe ordenar (distribuir) el volumen de operación a través de la configuración de celdas de flotación en serie.

La distribución del tiempo de residencia de un banco de flotación de n celdas operando en forma continua está dada por [55]:

( ) ( )1

/

1 !

nt

n

tE t en

τ

τ

−−= ⋅

⋅ − (6.35)

Donde τ representa el tiempo de una celda en el banco de flotación.

La Figura 6.12 muestra la función de distribución, ( )E t , para diferentes valores de número de

celdas en serie.

Figura 6.12 Efecto del número de celdas sobre ( )E t en operación continua.

La recuperación global del banco de n celdas está dada por:

1

n

total ii

R R=

=∑ (6.36)

Desarrollando la sumatoria la ecuación (6.36) queda:

( )

111 nR

kτ= −

+ ⋅ (6.37)

En la ecuación (6.37), el tiempo de residencia total en el banco está dado por n τ⋅ , donde τ corresponde al tiempo de residencia para una celda de flotación. Para el caso real, la recuperación en un banco de flotación se modela con la ecuación (6.38).

( )

111 nR R

kτ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ −⎜ ⎟+ ⋅⎝ ⎠

(6.38)

La Figura 6.13 muestra la recuperación de las distintas operaciones de flotación. Como se ve la operación batch es la operación ideal y se puede aproximar si se configuran las celdas de flotación en bancos de gran número de celdas.

Figura 6.13 Efecto del arreglo de celdas y régimen de flujo sobre ( )E t .

6.6. Distribución de la Constante Cinética

En la realidad existen varias especies mineralógicas dentro de la celda de flotación con distintos comportamientos, es decir, poseen distintas constantes cinéticas. Luego para distintas especies, la recuperación está dada por la ecuación 6.43.

1

m

i ii

R R X=

= ⋅∑ (6.39)

Donde m es la cantidad de especies mineralógicas distintas, iR corresponde a la recuperación para

distintos procesos, es decir, si es batch, mezclador perfecto o la recuperación en un banco, iX es la

fracción de material de una especie dada.

Para el caso de la flotación en un banco de flotación, la ecuación (6.39) queda:

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

tiempo

E(t)

Flotación BatchMezclador PerfectoBanco n Celdas

( )1

111

m

ini i

R Xk τ=

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⋅⎜ ⎟+ ⋅⎝ ⎠

∑ (6.40)

En el caso de existir infinitas especies, la recuperación del banco de flotación puede ser expresada por una distribución continua, ( )E k , según:

( ) ( )0

R R k E k dk∞

= ⋅∫ (6.41)

( )

( )0

111 nR E k dk

k τ

∞⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⋅⎜ ⎟+ ⋅⎝ ⎠

∫ (6.42)

En el caso más simple, modelo de García-Zúñiga, el proceso se describe con una sola constante cinética, entonces la función ( )E k está dada por:

( ) ( )E k kδ= (6.43)

En un caso general, se considera una función de distribución de constantes cinéticas del tipo rectangular [42].

( ) maxmax

max

1 0

0

si k kkE k

si k k

⎧ < <⎪= ⎨⎪ >⎩

(6.44)

Figura 6.14 Modelo de Klimpel.

La función (6.44) se caracteriza por un solo parámetro que representa la constante cinética máxima de la distribución rectangular. Esta distribución tiene la ventaja de mantener el mismo número de parámetros, pero aumenta la flexibilidad pues considera la existencia de especies con diferentes

velocidades de flotación. Esta situación es más real, por ejemplo para describir el efecto del tamaño de partícula en una misma especie mineral o de diferentes asociaciones minerales.

En forma general, se plantean distribuciones continuas más complejas, por ejemplo del tipo gama. Sin embargo, el uso de ese tipo de distribuciones implica un mayor número de parámetros, con menor significado físico, y su rango de validez resulta más limitado.

Ejemplo: Se tienen dos especies mineralógicas, una de las cuales posee una cinética rápida y la otra una lenta.

Sean:

rk : cinética rápida.

lk : cinética lenta.

φ : fracción de las especie de cinética rápida.

Para el caso de flotación batch, se tiene:

2

1i i

iR R φ

=

= ⋅∑ (6.45)

( ) ( ) ( )1 1 1 lr kkR e e ττφ φ − ⋅− ⋅= ⋅ − + − ⋅ − (6.46)

( )( )1 1 lr kkR R e e ττφ φ − ⋅− ⋅∞= ⋅ − ⋅ − − ⋅ (6.47)

Las constantes cinéticas pueden ser determinadas empíricamente a través de un gráfico como se muestra en la Figura 6.15.

Figura 6.15 Especies con distintas constantes cinéticas.

tiempo

kl

kr

Φ

1-Φ

6.7. Recuperación de Mineral

En el caso más general, la respuesta cinética se puede describir según la ecuación (6.48).

( ) ( ) ( )0 0

1 k tR e E k E t dtdk∞ ∞ − ⋅= − ⋅ ⋅∫ ∫ (6.48)

Donde ( )E k es una función de distribución de la constante cinética, para especies minerales con

diferente velocidad de flotación, y ( )E t es la función de distribución de tiempo de residencia, para

procesos con diferente nivel de mezclado.

( )E k y ( )E t pueden ser distintas funciones matemáticas y que varían de acuerdo a las operación

que se llevará a cabo.

6.7.1. Recuperación en una celda batch

Sean:

( ) ( )E t tδ= (6.49)

( ) ( )E k kδ= (6.50)

La recuperación en celda batch está dada por:

( ) ( ) ( )0 0

1 k tR R e k t dt dkδ δ∞ ∞ − ⋅

∞= ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫ (6.51)

( )1 k tR R e− ⋅∞= − (6.52)

Donde R∞ representa la recuperación máxima alcanzable para un tiempo infinito de operación.

6.7.2. Recuperación en una celda perfectamente mezclada (operación continua)

Sean:

( ) /1 tE t e τ

τ−= ⋅ (6.53)

( ) ( )E k kδ= (6.54)

La recuperación en celda batch está dada por:

( ) ( ) /

0 0

11 k t tR R e k e dt dkτδτ

∞ ∞ − ⋅ −∞= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ (6.55)

1

kR Rkττ∞

⋅⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟+ ⋅⎝ ⎠ (6.56)

6.7.3. Recuperación de mineral en una banco de flotación con n celdas

En el caso de la operación de un banco de n celdas, asumiendo que están perfectamente mezcladas y el mineral posee una constante cinética única.

Sean:

( ) ( )1

/

1 !

nt

n

tE t en

τ

τ

−−= ⋅

⋅ − (6.57)

( ) ( )E k kδ= (6.58)

La recuperación en el banco de flotación está dada por la ecuación (6.60).

( ) ( ) ( )1

/

0 01

1 !

nk t t

n

tR R e k e dt dkn

τδτ

−∞ ∞ − ⋅ −∞= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

⋅ −∫ ∫ (6.59)

( )

111 nR R

k τ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ −⎜ ⎟+ ⋅⎝ ⎠

(6.60)

Donde τ corresponde al tiempo de una celda en un banco de n celdas.

Los bancos de flotación se configuran en paralelo porque:

a) Facilita la tarea de mantenimiento, es decir, son más flexibles.

b) Se adecúa a las condiciones de operación de la planta de Chancado y Molienda.

6.8. Modelos de Recuperación de Mineral con Distribución Continua de la Constante Cinética

6.8.1. Distribución rectangular de la constante cinética

a) Recuperación en una celda batch

Sean:

( ) ( )E t tδ= (6.61)

( ) maxmax

max

1 0

0

si k kkE k

si k k

⎧ < <⎪= ⎨⎪ >⎩

(6.62)

La recuperación en una celda batch es:

( ) ( )0 0

11 k t

max

R R e t dt dkk

δ∞ ∞ − ⋅

∞= ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫ (6.63)

( )11 1 maxk t

max

R R ek τ

− ⋅∞

⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

(6.64)

b) Recuperación en una celda perfectamente mezclada (operación continua)

Sean:

( ) /1 tE t e τ

τ−= ⋅ (6.65)

( ) maxmax

max

1 0

0

si k kkE k

si k k

⎧ < <⎪= ⎨⎪ >⎩

(6.66)

La recuperación en una celda perfectamente mezclada es:

( ) /

0 0

1 11 k t t

max

R R e e dt dkk

τ

τ∞ ∞ − ⋅ −

∞= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ (6.67)

( )ln 11 max

max

kR R

kτ

τ∞

⎛ + ⋅ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

(6.68)

c) Recuperación en una banco de flotación de n celdas

Sean:

( ) ( )1

/

1 !

nt

n

tE t en

τ

τ

−−= ⋅

⋅ − (6.69)

( ) maxmax

max

1 0

0

si k kkE k

si k k

⎧ < <⎪= ⎨⎪ >⎩

(6.70)

La recuperación en un banco de flotación es:

( ) ( )1

/

0 0

111 !

nk t t

nmax

tR R e e dt dkk n

τ

τ

−∞ ∞ − ⋅ −∞= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

⋅ −∫ ∫ (6.71)

( )( )

11 11

1

nmax

max

kR R

k nτ

τ

−

∞

⎛ ⎞⎛ ⎞− + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ −

⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ −⎝ ⎠⎝ ⎠ (6.72)

6.8.2. Distribución normal de la constante cinética

Otro modelo utilizado para describir la distribución de constante cinética es el Modelo de dos Distribuciones Normales [43]. Ver Figura 6.16.

( )( ) ( )2 2

1 22 21 2

1 2

batch batchk k k k

S SE k b e b e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⋅ + ⋅ (6.73)

Donde 1S y 2S son las desviaciones estándar respectivas, y 1k y 2k son los valores medios de la

constante cinética en los respectivos peaks.

A pesar de lograr una flexibilidad en la representación de la distribución de constante cinética, aumenta la gran cantidad de parámetros a determinar.

Figura 6.16 Modelo de dos distribuciones normales.

6.8.3. Distribución Gamma de la constante cinética

En esta sección se presenta el modelo y la metodología para evaluar sus parámetros, mediante el uso de trazado radioactivo [44].

El modelo considera una función de distribución de tiempo, ( )E t cualquiera, y una función de

distribución de constante cinética ( )E k continua tipo Gamma, la cual representa las diferentes

velocidades de flotación del mineral.

El modelo no consideran las variaciones en la operación; por ejemplo: flujo de aire, flujo de alimentación, altura espuma, reactivos, etc. Además, el modelo se asocia con una o varias clases de tamaño.

La distribución de la constante cinética se representa por la función:

( ) ( )1

1

aa b kbE k k e

a

+− ⋅= ⋅ ⋅

Γ + (6.74)

donde:

a , b : parámetros de ajuste del modelo.

k : constante cinética.

La función Gamma se define según:

( )0

1 ! a xa a x e dx∞ −Γ + = = ⋅∫ (6.75)

Luego, utilizando la función gamma (Ver Ecuación (6.74)) como distribución de constantes cinéticas dentro del modelo de recuperación general (Ver Ecuación (6.48)) se obtiene:

( )( )

1

101

a

a

bR R E t dtb t

+∞

∞ +

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= ⋅ − ⋅

⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦∫ (6.76)

La ecuación (6.76) puede ser resuelta si se conoce la función de distribución de tiempo de residencia ( )E t . Esta función se puede determinar experimentalmente a través de la respuesta del

proceso a un impulso de trazador, es decir, una función Delta de Dirac ( )tδ .

Existen diversos tipos de trazadores utilizados en laboratorio y en planta para determinar la función

( )E t , estos son:

a) Trazadores convencionales: Se utilizan para modelar líquidos. Ejemplos de este tipo de trazador son, por ejemplo: NaCl , KCl , etc.

Al utilizar estos trazadores se observa la evolución de los iones Cl− que modifican la conductividad del líquido. Tienen la desventaja que es necesario utilizar una gran cantidad del trazador, por lo que puede alterar los flujos en la operación y, además, el fondo (background) es variable.

Otra alternativa es el uso de LiCl ó 2 3Li CO , donde se puede medir la concentración de

Li+ en [ppm] mediante absorción atómica.

En todos los casos, es necesario obtener muestras de los flujos para realizar el trazado, lo cual ocasionaría errores de muestreo.

b) Trazadores radioactivos: Se pueden utilizar tanto para mineral como para líquido y, además, no se perturba la operación ya que una pequeña cantidad de estos permite lograr una respuesta significativa, regulando la intensidad de la radiación.

La detección de estos trazadores se realizan a través de detectores externos no invasivos, por lo que no es necesario realizar muestreos. La medición es externa y en línea con el proceso.

Para ajustar los parámetros a y b se puede utilizar uno de los métodos siguientes:

a) Para un sistema, en operación continua, que ha alcanzado el estado estacionario, se mide la recuperación para diferentes flujos de alimentación. Luego, se estiman los valores de estos parámetros para un promedio del flujo.

Finalmente, se realiza una integración numérica para hallar a y b .

b) Utilización de trazado radioactivo.

Para calcular se debe realizar un ajuste entre los datos experimentales y el modelo. La función objetivo a minimizar es:

( ) ( )( )2n

calculada experimentalmini

C t C tψ = −∑ (6.77)

Donde C es la concentración de mineral a la salida del proceso.

Si se introduce q [g] de trazador y se mide [ ]/TQ ton min a la salida del proceso; en un

intervalo de tiempo muy pequeño la masa de trazador a la salida del proceso está dada por:

( )dm q E t dt= ⋅ (6.78)

Figura 6.17 Concentración del trazador a la salida del proceso.

Y la masa de relave total está dada por:

TdM Q dt= (6.79)

Luego, la concentración del trazador a la salida del proceso en un intervalo de tiempo dt , está dada por la razón entre la masa de trazador, dm , y la masa de relave, dM .

( ) ( )T

q E t dtdmC tdM Q dt

⋅= = (6.80)

( ) ( )T

q E tC t

Q⋅

= (6.81)

La ecuación (6.81) corresponde a la concentración del mineral no flotable a la salida del proceso, y representa la distribución del tiempo de residencia del mineral.

dt

Figura 6.18 Distribución del tiempo de residencia a la salida del proceso.

Finalmente, la concentración de mineral flotable a la salida del proceso está dada por:

( ) ( ) ( )0

k t

T

q E tC t e E k dk

Q∞ ⋅⋅

= ⋅ ⋅∫ (6.82)

( ) ( )( )

1

1

a

aT

q E t bC tQ b t

+

+

⋅= ⋅

+ (6.83)

6.9. Aspectos Fundamentales del Proceso de Colisión-Adhesión

Para la formación del agregado es necesario que la partícula de mineral colisione con la burbuja y luego se adhiera a ella. Se define:

6.9.1. Eficiencia de colección

La eficiencia del proceso colisión-adhesión, se define como eficiencia de colección según:

k c aE E E= ⋅ (6.84)

donde:

kE : Eficiencia de colección.

cE : Eficiencia de colisión

aE : Eficiencia de adhesión.

dt

6.9.2. Eficiencia de colisión, cE

La eficiencia de colisión se define como la probabilidad de que una partícula, que se aproxima a una burbuja desplazándose a través de la corriente de líquido, colisione con la burbuja de aire.

La eficiencia de colisión se representa por:

2

2c

ca

rEr

ππ⋅

=⋅

(6.85)

2

cc

a

rEr

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.86)

Donde cr y ar corresponden al radio crítico de aproximación de la partícula y al radio de la burbuja

respectivamente como se ve en la Figura 6.19. El radio crítico depende del tamaño, forma y densidad de las partículas, del tamaño de las burbujas y del nivel de agitación. Al aumentar la turbulencia se genera una mayor cantidad de núcleos de energía que atrapan a las partículas y las hacen colisionar, por lo tanto, mejora la eficiencia de colisión.

Figura 6.19 Esquema eficiencia de colisión.

6.9.3. Eficiencia de adhesión, aE

La eficiencia de adhesión se define como la fracción de partículas cuyo tiempo de contacto o deslizamiento, st , es mayor al tiempo de inducción, it (~10-50[ns]). Ver Figura 6.20.

El tiempo de inducción depende del grado de hidrofobicidad ( ihidrofobicidad t↑ ⇒ ↓ ) y del

carácter iónico de la solución.

Figura 6.20 Esquema eficiencia de adhesión.

6.9.4. Modelo de la constante cinética de colección

En la Figura 6.21 se considera el volumen que desplaza una burbuja en su recorrido dentro de la celda. El objetivo es obtener la cantidad de partículas que tienen la oportunidad de colisionar y adherirse a la burbuja.

Figura 6.21 Volumen desplazado por una burbuja.

El número de partículas que son capturadas por una burbuja de diámetro Bd , está dado por:

2

4B

r kdN E C hπ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (6.87)

donde:

kE : Es la fracción de partículas de mineral que se adhieren.

C : Número de partículas por unidad de volumen.

2Bd hπ ⋅ ⋅ : Volumen desplazado por la burbuja.

El número de burbujas por unidad de tiempo está dado por:

3

6

gb

B

QN

dπ=⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.88)

Donde gQ es el flujo de aire que entra a la celda de flotación y Bd es el diámetro de la burbuja.

La velocidad de remoción de partículas está dada por la ecuación (6.89).

2

346

gr Bk

B

QdN dE C hdt d

ππ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞

⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.89)

32

grk

B

QdN h E Cdt d

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (6.90)

La velocidad de desaparición del número de partículas en la celda está dada por:

t rdN dNdt dt

= − (6.91)

32

gtk

B

QdN h E Cdt d

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (6.92)

Pero:

g gQ J A= ⋅ (6.93)

( )tN C h A= ⋅ ⋅ (6.94)

Reemplazando las ecuaciones (6.93) y (6.94) en la ecuación (6.92) se obtiene:

( ) 32

kg

B

EdCh A h A Jdt d

⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (6.95)

32

k g

B

E JdC Cdt d

⋅= − ⋅ ⋅ (6.96)

En la ecuación (6.96) los términos constantes se agrupan para dar lugar a la constante cinética de flotación, es decir:

32

k g

B

E Jk

d⋅

= ⋅ (6.97)

La ecuación (6.97) demuestra que la constante cinética es proporcional a la eficiencia de colección

kE y a la velocidad superficial de gas gJ , e inversamente proporcional al diámetro de burbuja, Bd .

La ecuación (6.97), también puede ser expresada en función del flujo superficial de superficie de

burbuja, 2 2/ /bS m min m⎡ ⎤⎣ ⎦ , según la ecuación:

14 k bk E S= ⋅ ⋅ (6.98)

donde el flujo de superficie de burbuja es:

6 g

B

QS

d⋅

= (6.99)

bSSA

= (6.100)

En la ecuación (6.99) Bd es el diámetro de la burbuja. En la actualidad existe gran interés en

desarrollar métodos de medición [Gómez et al., 1998] y estudios cinéticos incorporando la variable

bS para describir el comportamiento cinético de celdas de flotación industriales [45], [46].

7. Análisis de Circuitos de Separación

7.1. Comportamiento de Circuitos

Raramente se utilizan equipos o unidades individuales en el proceso de separación a escala industrial. El arreglo más simple es el uso de una etapa Rougher (primaria) seguida de una etapa Cleaner (limpieza), ver Figura 7.1.

Figura 7.1 Circuito RC.

Generalmente se agrega una tercera etapa al circuito de separación denominada flotación Scavenger (barrido o agotamiento). La configuración de este circuito se muestra en la Figura 7.2.

En la Figura 7.2 la etapa Scavenger tiene por objetivo aumentar la recuperación de mineral y la etapa Cleaner tiene por objetivo aumentar la ley del mineral.

Para observar las ventajas del circuito frente a la utilización de las etapas en forma individual, se considera el análisis de nodos.

alimentación

conc. Ro

conc. Clr

cola Clr

cola Ro

Figura 7.2 Circuito RCS.

En la Figura 7.3, se muestra el circuito RCS donde cada etapa del circuito corresponde a un nodo. El análisis consiste en encontrar la recuperación global del circuito, determinando la recuperación de cada etapa del circuito.

Figura 7.3 Análisis de nodos para circuito RCS.

Si la alimentación al nodo R es 13, la recuperación global está dada por la ecuación (7.1).

3 Las unidades corresponden a masa.

alimentación

conc. Ro

conc. Clr

cola Clr

cola Scv

conc. Scv

cola Ro

( ) ( )1 1 1

R CG

R C S R

R RRR R R R

⋅=

− ⋅ − − ⋅ − (7.1)

donde:

RR : es la recuperación en la etapa rougher.

CR : es la recuperación en la etapa cleaner.

SR : es la recuperación en la etapa scavenger.

Simplificando la ecuación (7.1), suponiendo que R C SR R R R= = = , luego se obtiene:

( )

2

1 2 1GRRR R

=− ⋅ ⋅ −

(7.2)

Ejemplo: La separación en una etapa de flotación de una pulpa que contiene 2 3Cr O y 2SiO produce

un concentrado con una ley de 2 3Cr O de 93 %, considerando 2 3Cr OR igual a 90% y

2SiOR igual a

15%. La ley de la alimentación es de 68.9% de 2 3Cr O y 31.1% de 2SiO . Alternativamente, si se

trabaja con el circuito RCS se tiene que la recuperación global de 2 3Cr O es de 98.8% y la ley del

concentrado es de 98.7% de 2 3Cr O .

Figura 7.4 Relación recuperación-ley.

En la Figura 7.4 se muestran dos curvas recuperación vs ley, la inferior corresponde a la operación con una etapa y la superior al proceso en circuito RCS.

El uso del circuito RCS, y preparando la materia prima en forma eficiente, permite optimizar el resultado metalúrgico de la operación.

7.2. Análisis de Superioridad de Circuitos

Consideremos que el mineral que se procesa se comporta de acuerdo a la curva que muestra la Figura 7.5; la recuperación de mineral puede ser descrita en función de alguna propiedad del mineral estudiado, como por ejemplo flotabilidad, densidad, tamaño de partícula, etc. En el caso de la Figura 7.5 se utiliza la densidad del mineral como parámetro de análisis.

Figura 7.5 Recuperación vs densidad.

La pendiente de la curva de la Figura 7.5 representa la calidad de la separación. Es conveniente utilizar una curva normalizada, es decir, en el caso de la curva de la Figura 7.5, se utilizará como parámetro de normalización:

50

50

solz ρ ρρ−

= (7.3)

Donde 50ρ es la densidad de mineral correspondiente a una recuperación de 50% para el mineral

recuperado.

Luego, la recuperación es ajustada con modelos exponenciales del tipo:

k z

k z k z

eRe e

⋅

− ⋅ ⋅=+

(7.4)

Comparando la separación ideal con la separación real, se obtienen parámetros que indican la calidad de la separación.

a) Si se deriva la ecuación (7.4) y se evalúa en 0z = , se obtiene:

0

20

40

60

80

100

sol50

( ) ( )

( )2

k z k z k z k z k z k z

k z k z

k e e e e k e k edRdz e e

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

⋅ − ⋅

⋅ ⋅ − + − ⋅ − ⋅ + ⋅=

+ (7.5)

0 2z

dR kdz =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.6)

Luego, el parámetro k representa la pendiente de la curva de separación. Para 1k = se tiene una separación perfecta y para 0k = no existe separación.

b) Análisis circuito RCS.

La recuperación global de este tipo de circuito está dada por la ecuación, en la cual se supone que la recuperación de cada etapa es la misma.

( )

2

1 2 1GRRR R

=− ⋅ ⋅ −

(7.7)

Si derivamos la ecuación con respecto a z , queda:

G GdR dR dRdz dR dz

= ⋅ (7.8)

( )( ) ( )

( )( )

2

2

2 1 2 1 4 2

1 2 1G

R R R R RdR dRdz dzR R

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠− ⋅ ⋅ −

(7.9)

0

22

G

z

dR kdz =

⎛ ⎞ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.10)

0

G

z

dR kdz =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.11)

En la Figura 7.6 se observa que con el circuito RCS se mejora la calidad de la separación y se tiende a la operación ideal (separación perfecta).

Este modelo permite estudiar otros tipos de arreglos de circuito y determinar la flexibilidad de éste. Se debe considerar que sistemas complejos no necesariamente mejoran la separación.

Para el caso en que se tengan n etapas en serie de recuperación y limpieza.

n k z

n n k z n k z

eRe e

⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=+

(7.12)

00

n

zz

dR dRndz dz ==

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (7.13)

En la ecuación (7.13) si n →∞ , la pendiente es igual a infinito y, por lo tanto, existe una separación perfecta desde el punto de vista del equipo.

7.3. Curvas de Separabilidad

La separación de minerales está limitada básicamente por dos aspectos:

a) La materia prima y su acondicionamiento.

b) El tipo de proceso, equipos y su operación.

Figura 7.6 Comparación de la calidad de separación entre distintas operaciones.

Figura 7.7 Modelo separación ideal de mineral.

A continuación se presentan los casos de la separación ideal y la separación real.

La separación ideal supone que durante la separación primero se obtiene el mineral valioso puro, luego el mineral con ganga asociada hasta finalmente separar la ganga pura, como se muestra en la Figura 7.7.

0

20

40

60

80

100

sol50

curva ideal

RCS, k

real 1 etapa , k/2

Sin embargo, en la separación real el mineral valioso se obtiene siempre con ganga asociada4. En la medida que transcurre el tiempo de separación va disminuyendo su ley. Lo anterior se muestra en la Figura 7.8.

Figura 7.8 Modelo separación real de mineral.

Por lo tanto, el problema es determinar hasta cuándo se debe separar. A continuación, se presentan algunas relaciones importantes.

a) Curva “Ley acumulativa vs Recuperación acumulativa”.

Si se aumenta la recuperación de mineral, disminuye la ley del producto obtenido; por lo tanto, se debe especificar claramente donde establecer la separación, o el punto de separación. Ver Figura 7.9.

Figura 7.9 Relación ley vs recuperación.

4 Esto se debe a mecanismos de arrastre o falta de liberación.

b) Curva “Recuperación acumulativa vs parámetro”.

El parámetro a utilizar para caracterizar el proceso puede ser: tiempo, número de celdas en un banco, etc. Ver Figura 7.10.

Figura 7.10 Recuperación acumulativa vs tiempo.

El tiempo requerido para alcanzar la máxima recuperación no es el mismo para alcanzar la ley máxima, por lo tanto, se debe buscar un compromiso entre estos objetivos para obtener el máximo beneficio para la operación.

La Curva de Separabilidad relaciona los objetivos anteriores, y consiste en una relación “recuperación vs rendimiento”. Ver Figura 7.11.

La recuperación se calcula con la ecuación (7.14).

C cRF f⋅

=⋅

(7.14)

Y se define el rendimiento como la fracción del flujo másico de la alimentación que va al concentrado.

CYF

= (7.15)

Otra manera de representar el eje de la abscisa en la curva de separabilidad, es dividir el rendimiento por la ley del mineral en la alimentación, ver Figura 7.12.

La curva de separabilidad tienen características vectoriales, por ejemplo en la Figura 7.12, la

longitud del segmento OA corresponde a la cantidad de material y la pendiente representa la ley acumulativa del concentrado para una recuperación AR .

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

tiempo

Rec

uper

ació

n [%

]

Figura 7.11 Curva de separabilidad recuperación vs rendimiento.

Figura 7.12 Curva de separabilidad R vs Y/f .

Un punto sobre la curva de separabilidad define un punto de operación en planta. Para llegar desde el punto A al punto B , en un proceso batch se debe aumentar el tiempo de flotación y, en el caso de un banco de flotación, se deben añadir celdas al banco.

El punto de operación de la planta está determinado por las propiedades de la materia prima y por el objetivo planteado inicialmente.

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

m=c/f

Y

Rec

uper

ació

n [%

]

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

m=c

B

A

Y/f

Rec

uper

ació

n [%

]

7.4. Eficiencia Técnica de Separación

Se define la eficiencia técnica como:

Tcantidad separadaEcantidad separable

= (7.16)

En la Figura 7.13, la separación ideal de un mineral perfectamente liberado5 está dada por la ecuación 7.17.

OM MS OS+ = (7.17)

Figura 7.13 Eficiencia técnica de separación.

El trazo OM tiene una ley igual a la ley del mineral puro y el trazo MS tiene una ley de mineral igual a cero. La separación ideal supone que primero es recuperado el mineral puro y finalmente se recupera la ganga.

Si se desea conocer la eficiencia técnica de separación en un punto sobre la curva de separabilidad, por ejemplo, el punto K de la Figura 7.13 se puede desagregar la separación, es decir:

OL : Es la fracción de mineral puro separado.

LK : Es la fracción de mineral con ley igual a la alimentación.

Luego, la Eficiencia Técnica6 está dada por: 5 Separación ideal.

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

c=f

Y/f

M S

KL

RKmineral puro

ganga pura

Tfraccion de mineral puro separado OLEfraccion de mineral puro separable OM

= = (7.18)

A continuación se presenta la eficiencia técnica de separación en función de las variables del proceso.

1

TOL OB R YE

fOM OCm

−= = =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.19)

donde:

f : es la ley de la alimentación.

m : es la ley del elemento (ej: cobre) en el mineral.

Figura 7.14 Eficiencia técnica de separación en función de los parámetros del proceso.

7.5. Eficiencia Máxima de Separación

La eficiencia se separación es máxima en el punto de tangencia de la línea de ley de alimentación (c f= ) y la curva de separabilidad.

,T maxOQEOM

= (7.20)

6 Esta eficiencia técnica está relacionada con la separación ideal, lo cual no es realista.

0 40 60 80 1000

20

60

100

c=f

Y/f

M S

K

L

RKmineral puro

ganga pura

YK/f

Q

B c=f

c=f

C

La ecuación (7.20) es la Eficiencia Técnica Máxima con respecto a la separación ideal. Sin embargo, lo que se quiere determinar es la separación de la materia prima real relativa a la máxima separación real. La ecuación (7.21) corresponde a la Eficiencia Técnica Real relativa a la máxima separación, la cual sólo incluye el efecto de la operación (equipos).

,T maxOLEOQ

= (7.21)

La eficiencia de separación de un mineral real permite visualizar si una operación está funcionando en forma adecuada. Es posible determinarla de tres maneras:

a) A partir de la curva de separabilidad, dibujando la recta tangente a la curva con pendiente c f= .

b) Cuando la ley incremental del concentrado es igual a la ley de alimentación, ver Figura 7.15.

Figura 7.15 Comportamiento ley acumulativa, ley incremental y recuperación vs tiempo de flotación.

En un banco de flotación la ley incremental corresponde a la ley del concentrado de cada celda, en cambio en un proceso batch ésta corresponde a la ley instantánea.

Lo anterior es conocido como Principio de Agar: “Se debe flotar hasta que la ley incremental del concentrado sea igual a la ley de alimentación”.

c) Maximizando la diferencia ( )u gR R− .

Sea uR la recuperación de mineral útil y gR la recuperación de ganga, la Eficiencia

Técnica Máxima se obtiene con la ecuación 7.22.

( )T u g maxE R R= − (7.22)

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

tiempo

Rec

uper

ació

n [%

]

Ley IncrementalLey Alimentación

Ley Acumulativa

La Figura 7.16 muestra el punto de separación máxima.

Para comparar la operación de la planta real, se utiliza como referencia la curva de separabilidad ideal de la materia prima real7, ver Figura 7.17.

Según la Figura 7.17, la eficiencia técnica relativa a la separación ideal de la materia prima real está dada por:

,T relOAEOB

= (7.23)

Figura 7.16 Maximización de la diferencia u gR -R

Hasta aquí, se han estudiado las curvas de separabilidad para la flotación en una sola etapa. A continuación en la Figura 7.18 se presenta su aplicación para el circuito RCS (ver Figura 7.2).

Características de acuerdo a la Figura 7.18:

a) El punto A corresponde al punto de operación de la etapa de flotación rougher. En la ordenada del gráfico se lee la recuperación de esta etapa que corresponde a RoR .

b) La magnitud del vector OA corresponde a la masa de concentrado obtenido en la flotación rougher y la pendiente corresponde a la ley del concentrado rougher.

c) La magnitud del vector AS corresponde a la masa de relave que se obtiene de la etapa rougher8. La pendiente de este vector corresponde a la ley de la cola rougher.

7 Libre de los efectos del proceso de separación. 8 Esta masa es alimentada a la siguiente etapa que corresponde a la flotación scavenger.

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100Ru

Rg

(Ru-Rg)max

tiempo

Rec

uper

ació

n [%

]

d) El punto B corresponde al punto de operación de la etapa de flotación cleaner. La recuperación de esta etapa no se lee directamente del gráfico sino que debe ser escalada en función de la recuperación de la etapa rougher.

e) La magnitud del vector OB corresponde a la masa de concentrado obtenido en la flotación cleaner y la pendiente corresponde a la ley del concentrado cleaner o concentrado final.

f) La magnitud del vector BA corresponde a la masa de relave que se obtiene de la etapa cleaner, la cual es enviada como reciclo a la flotación rougher. La pendiente de este vector corresponde a la ley de la cola cleaner.

Figura 7.17 Eficiencia técnica relativa a la máxima separación alcanzable.

g) El punto C corresponde al punto de operación de la etapa de flotación scavenger. La recuperación de esta etapa no se lee directamente del gráfico sino que debe ser escalada en función de la recuperación de la etapa rougher.

h) La magnitud del vector AC corresponde a la masa de concentrado obtenido en la flotación scavenger, que es retornada a la flotación rougher, y la pendiente corresponde a la ley del concentrado scavenger.

i) La magnitud del vector CS corresponde a la masa de relave que se obtiene de la etapa scavenger, la cual es enviada a los tranques de relave. La pendiente de este vector corresponde a la ley de la cola scavenger.

j) La combinación de la cola del cleaner BA más el concentrado scavenger AC , da origen al

reciclo BC , con ley similar a la alimentación.

Figura 7.18 Análisis de separabilidad para un circuito RCS.

7.6. Eficiencia de Separación desde el Punto de Vista del Beneficio Económico

Criterios económicos para definir hasta cuando flotar.

7.6.1. Criterio de la ley neutra

Este criterio, también conocido como criterio de Dell, plantea que existe una ley crítica denominada \ley neutra" del concentrado, para la cual el costo del tratamiento posterior de este concentrado es igual al valor del mineral útil contenido en él.

i n iC C P C SΔ ⋅ ⋅ = Δ ⋅ (7.24)

Donde:

iCΔ : Es la masa incremental de concentrado [ ]/conton h .

nC : es ley de mineral [ ]/min conton ton .

P : es el precio del mineral [ ]$ / minton

Rec

uper

ació

n [%

]

S : es el costo de fundición [ ]$ / conton .

Lo ideal que el lado izquierdo de la ecuación (7.24) sea mayor que el lado derecho.

La ley neutra puede calcularse con la ecuación:

100nSCP

= ⋅ (7.25)

En la Figura 7.19 se ha trazado la ley neutra, con una pendiente menor que la ley de la alimentación (también puede ser mayor). Como se puede ver en este caso la recuperación de mineral es mayor que la recuperación obtenida desde el punto de vista de separación técnica.

Sea:

x : El segmento EEAR .

EER x− : El segmento OA .

Figura 7.19 Ley neutra en una curva de separabilidad.

El máximo beneficio económico se obtiene maximizando la diferencia EER x− . Esta diferencia se

puede describir en función de los parámetros de operación conocidos.

Sea:

/n nx YC x C

Y f f= ⇒ = ⋅ (7.26)

Rec

uper

ació

n [%

]

YR cf

= ⋅ (7.27)

nY YR x c Cf f

− = ⋅ − ⋅ (7.28)

1 nCR x Rc

⎛ ⎞− = ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.29)

Ejemplo: Encontrar el máximo beneficio económico. Ver Figura 7.20.

P: [ ]1100 $ / metalUS ton

S: [ ]61.9 $ / conUS ton Tabla 7-1 Datos de cálculo.

Ley, % Recuperación %

22.6 98

34.8 96

40.0 95

44.3 94

52.2 92

56.2 90

El valor de la ley neutra es:

61.9 100 5.63%1100nC = ⋅ = (7.30)

Considerando como base de cálculo 100[ton/h] de mineral en la alimentación. Luego, el máximo beneficio económico se logra con una recuperación de mineral de 92% y un ley de concentrado de 52.2%.

Figura 7.20 Ejemplo cálculo para máximo beneficio económico.

Tabla 7-2 Ejemplo de cálculo para máximo beneficio económico.

Ley % Rec % Masaconc[ton/h]

F f RC=c⋅ ⋅

Precioconc[$/h]

A=C P⋅

Costo proceso[$/h]

B=C S⋅

B[$/h]

A-B

22.6 98 433.6 107793 26840 80958

34.8 96 275.9 105615 17078 88524

40.0 95 237.5 104500 14701 89798

44.3 94 212.2 103405 13135 90265

52.2 92 176.2 101174 10907 92290

56.2 90 160.1 98974 9910 89087

7.6.2. Beneficio específico

Se deriva como una extensión del criterio económico de Dell.

R F fB R F f P k F Sc⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ (7.31)

Donde:

B : Beneficio Económico [ ]$ / h .

90 92 94 96 98 1000

10

20

30

40

50

60

Ley

[%]

Recuperación [%]

F : Flujo másico de alimentación a flotación[ ]/ton h .

k : Costo unitario de flotación [ ]$ / alimton .

S : Costo unitario de fundición [ ]$ / concton .

El primer término del lado derecho de la igualdad corresponde al valor del concentrado, el segundo corresponde al costo de flotación y el último corresponde al costo de fundir el concentrado.

Se define el Beneficio Específico según:

$

$ton mineral alimentadoBE

ton mineral

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(7.32)

1 nCB kBE RF f P c P f

⎛ ⎞= = ⋅ − −⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ (7.33)

Las ventajas de este criterio son:

• Es adimensional.

• Es proporcional al criterio económico de la ley neutra.

• Depende de parámetros que se pueden estimar fácilmente.

7.6.3. Criterio de beneficio de Meloy

Este criterio fija un valor para el concentrado que está relacionado con el metal valioso contenido en él, pero castiga o premia la cantidad de impurezas, leyes bajas, etc.

Por ejemplo, si el parámetro de castigo o premio al precio del concentrado es la ley de éste, el precio del concentrado está dado por la ecuación (7.34).

( )0.5 0.05 0.8P c= + ⋅ − (7.34)

V R F f P= ⋅ ⋅ ⋅ (7.35)

Se puede establecer la condición de trabajo óptima si:

0dVdR

= (7.36)

7.7. Comportamiento de Equipos

Las características de la alimentación y los equipos utilizados imponen limitaciones a la separación. Por lo tanto, ninguna separación es perfecta.

El origen de la separación imperfecta en lo equipos se debe principalmente:

a) Efectos de mezclado.

b) Efecto de difusión turbulenta.

7.7.1. Efectos de mezclado

EL mezclado es el resultado macroscópico de los fenómenos de turbulencia a nivel microscópico. Como se ha estudiado anteriormente existen dos condiciones límites de mezclado: flujo pistón y el mezclador perfecto.

Se sabe que el flujo pistón es similar a la operación batch, y es la condición ideal en la flotación industrial. Lo anterior se aproxima, pero no al 100%, con la disposición de mezcladores perfectos en serie en bancos de flotación.

Las condiciones límite de mezclado pueden ser observadas en la curva de separabilidad, como se muestra en la Figura 7.21.

Además, se puede comparar el comportamiento entre la operación batch y la flotación en un banco de n celdas con ayuda de la curva de separabilidad en la Figura 7.21.

Figura 7.21 Condiciones límite de mezclado en equipos de flotación.

Figura 7.22 Comparación entre la operación batch y un banco de n celdas.

De la Figura 7.22, la recuperación en el caso del banco de flotación es similar a la recuperación batch para bajas recuperaciones, aumentando la diferencia a medida que aumenta la recuperación.

7.7.2. Efectos de la difusión turbulenta

La energía se dispersa en los equipos formando pequeños torbellinos o núcleos de energía denominados “EDDIES”. Estos producen un mezclado similar a la difusión turbulenta.

Los eddies poseen una distribución de tamaño que depende de la geometría del equipo. Todas las partículas o burbujas de tamaño menor al tamaño del eddie serán afectadas.

La energía en el proceso de flotación se aprovecha de distintas maneras:

• Dispersión de gas.

• Suspensión de las partículas de sólido.

• Colisión de las partículas con las burbujas. La presencia de Eddies alteran las líneas de flujo, de tal manera que las partículas que no están dentro del radio crítico de la burbuja o que no tienen suficiente inercia para colisionar y adherirse, también se pueden adherir.

7.8. Caracterización de la Materia Prima

Las curvas de separabilidad dependen de la materia prima y del equipo. Para eliminar los efectos del equipo y representar la separación óptima, se utilizan los siguientes recursos.

a) Pruebas de laboratorio.

b) Microscopía: se preparan muestras de mineral, denominadas briquetas, para su observación.

Existen dos tipos de microscopía:

a) Microscopía óptica: problemas de observación, adquisición de datos, etc.

b) Microscopía electrónica: los problemas asociados a éste recurso son:

• Dificultad en la interpretación de los resultados, producido por el traslape de señales lo cual hace difícil determinar la proporción de las especies mineralógicas presentes en la muestra.

• La proyección de la materia prima de 3D a 2D genera un problema esteorológico.

8. Ajuste del Balance de Materiales

Los circuitos de procesamiento de minerales, desde el chancado a flotación, pueden ser bastante complejos e incluyen varios flujos de reciclo.

Frecuentemente no se dispone de estimaciones de los flujos másicos en línea, excepto para el flujo de alimentación. Por lo tanto, estos flujos deben estimarse indirectamente si son requeridos.

La Figura 1.2 muestra una situación común en flotación.

La letra minúscula se refiere a alguna cualidad de la corriente, por ejemplo: contenido fraccional de cobre, la fracción más fina que 200 mallas, etc.

Del balance de materiales en estado estacionario, tanto global como por componentes, se obtiene:

F C

T C

x xFT x x

−=

− (8.1)

En consecuencia, la razón /B A se puede determinar indirectamente de la cualidad o característica medida9.

La pregunta natural en este punto es: ¿se obtendrá la misma razón /B A si se resuelve utilizando el análisis fraccional y la fracción más fina que 100 mallas? La respuesta es no.

La razón es que a menos que los valores a , b y c sean perfectos, en el sentido que el muestreo, análisis y estado estacionario sean perfectos, se debe esperar diferencias en la razón /B A si se utilizan distintas cualidades.

Por lo tanto, se requiere determinar la mejor estimación de /B A , además, se desea que los valores a , b y c se ajusten para corresponder a la mejor estimación anterior.

Esto no es un ejercicio académico, sino que tiene significado práctico.

a) Los balances de materia se efectúan en forma rutinaria para estimar la velocidad de producción de concentrado y su recuperación.

b) En esquemas de control de procesos, la adición de reactivos puede realizarse en proporción al flujo másico de mineral.

9 Análisis químico o granulométrico.

c) La instrumentación puede ser chequeada, determinando que cualidad necesita mayor ajuste.

d) En la construcción de modelos, la estimación de los parámetros requiere de datos “suavizados”.

A continuación se presentan los resultados de la aplicación de un método de cálculo para el ajuste de balance de materiales desarrollado por [47].

8.1. Ajuste de Balance para Sistemas de 1 Nodo

Para explicar los fundamentos matemáticos del ajuste para sistemas de 1 nodo, se analizará un separador típico, con flujos de alimentación, concentrado y cola; según la Figura 8.1. Los flujos másicos involucrados son 1w , 2w y 3w respectivamente, conteniendo n elementos de interés, con

concentraciones 1ic , 2ic y 3ic .

Figura 8.1 Balance de materiales para sistemas de 1 nodo.

El balance global de materiales está dado por:

1 2 3 0w w w− − = (8.2)

El balance por componentes está dado por:

1 1 2 2 3 3 0i i iw c w c w c⋅ − ⋅ − ⋅ = (8.3)

Considerando los errores intrínsecos a los métodos de muestreo y análisis ( ijδ ), asociados a los

valores de las concentraciones de los diferentes elementos de interés en cada corriente, estos pueden expresarse según:

Colasw3, c3i

Concentrado

w2, c2i

Alimentación

w1, c1i

*1 1 1i i ic c δ= + (8.4)

*2 2 2i i ic c δ= + (8.5)

*3 3 3i i ic c δ= + (8.6)

De esta forma, la ecuación (8.3) se puede expresar como:

* * *1 1 2 2 3 3 0i i iw c w c w c⋅ − ⋅ − ⋅ = (8.7)

De acuerdo con el método desarrollado por [47], se define la función objetivo J que debe ser minimizada para obtener una solución óptima al ajuste del balance de materiales. Dicha función está dada por:

[ ] 1Ti i i

iJ Mδ δ−= ⋅ ⋅∑ (8.8)

2

k nij

j i ij

Jδσ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∑ (8.9)

donde, 2ijσ : es la varianza de ijc .

k : es el número de corrientes.

n : es el número de elementos de interés.

En el caso del separador de la Figura 8.1, se tiene que:

[ ]21

22

23

0 00 00 0

i

i i

i

Mσ

σσ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.10)

Se definen además:

[ ]1 2 3B w w w= − − (8.11)

*1

* *2*3

i

i i

i

cC c

c

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.12)

1

2

3

i

i i

i

δδ δ

δ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.13)

Utilizando el método de aproximación de Lagrange, se llega a la siguiente expresión para la función objetivo:

[ ] 1 *2T Ti i i i

iL M B Cδ δ λ−= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∑ (8.14)

Donde:

1

2

n

λλ

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.15)

El desarrollo final de Lagrange arroja como resultado la matriz de ajuste iδ para cada corriente:

[ ] [ ]( ) 1T Ti i i iM B B M B B Cδ

−= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (8.16)

Ahora se pueden obtener los errores para cada elemento i en cada corriente j . Para esto, es

necesario fijar las variables independientes, dado por la ecuación 8.17, (grados de libertad) en el sistema para la optimización de la función objetivo J .

1grados de libertad = Nº corrientes Nº nodos − − (8.17)

8.1.1. Aplicación del método de cálculo

Para aplicar el método de ajuste, se considera una columna de flotación operando con mineral de fosfatos, en circuito abierto; como se muestra en la Figura 8.1.

Durante la operación en estado estacionario se obtuvieron seis muestras sucesivas de los flujos de alimentación, concentrado y colas. Los resultados obtenidos se resumen en la Tabla 8-1, para las concentraciones de 3 elementos de interés: 2 5P O , 2 3Fe O y 2SiO .

Tabla 8-1 Muestreo de las leyes en las corrientes del separador.

El problema tiene 1 grado de libertad, ya que, se fija como valor conocido el flujo de la alimentación 1 1w = , por lo tanto:

3 21w w= − (8.18)

La Tabla 8-2 resume los resultados realizados para el separador.

w1 w2 w3 w1 w2 w3 w1 w2 w31 20.45 35.17 10.17 17.56 5.2 25.11 10.51 3.45 14.952 21.95 34.12 11.55 18.04 4.77 27.12 11.54 3.17 14.123 20.84 33.88 9.98 17.85 5.9 26.12 11.87 2.87 15.344 20.57 36.64 10.56 17.28 4.74 24.91 10.1 4.06 15.875 19.32 33.55 11.87 19.2 5.12 23.84 9.86 3.55 16.046 19.25 33.42 9.85 19.85 4.37 25.76 12.54 4.12 15.22

Media 20.4 34.46 10.66 18.3 5.01 25.48 11.07 3.54 15.26Varianza 1.02 1.52 0.72 1.01 0.28 1.27 1.15 0.24 0.48

MuestrasP2O5 Fe2O5 SiO2

Tabla 8-2 Resultados balance de materia sistema un nodo.

Alimentación Concentrado Cola P2O3 medido 20.4 34.46 10.66 Fe2O3 medido 18.3 5.01 25.48 SiO2 medido 11.07 3.54 15.26

δP2O3 -0.45 0.26 0.2 δFe2O3 -0.41 0.04 0.32 δSiO2 -0.23 0.02 0.06

P2O3 ajustado 19.95 34.72 10.86 Fe2O3 ajustado 17.89 5.05 25.8 SiO2 ajustado 10.84 3.56 15.32

Donde, la función es minimizada para 2 0.38w = .

8.2. Ajuste de Balance para Sistemas de 2 Nodos

Para ilustrar el método de cálculo para sistemas de 2 nodos, se desarrollará el ajuste de balance de materiales para un circuito de flotación cleaner-cleaner, según muestra la Figura 8.2.

Figura 8.2 Balance de materiales para sistemas de 2 nodo.

El balance global de materiales está dado por:

1 5 3 2w w w w+ = + (8.19)

3 4 5w w w= + (8.20)

El desarrollo del método de optimización indica que la matriz de ajustes que minimiza la función J, al igual que en el sistema de 1 nodo, se describe según:

[ ] [ ]( ) 1T Ti i i iM B B M B B Cδ

−= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (8.21)

En este caso, al tratarse de 5 corrientes:

[ ]

21

22

23

24

25

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

i

i

i i

i

i

M

σσ

σσ

σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.22)

*1*2

* *3*4*5

i

i

i i

i

i

cc

C ccc

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.23)

Para el caso de 2 nodos, también se modifica la matriz B , a partir del balance de materiales:

2 3 5

3 4 5

1 00 0

w w wB

w w w− −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ (8.24)

Existen dos grados de libertad, por lo tanto:

1 1w = (8.25)

4 21w w= − (8.26)

3 4 5w w w= + (8.27)

8.2.1. Aplicación del método de cálculo

Durante una operación en estado estacionario se obtuvieron seis muestras sucesivas para los cinco flujos del circuito de la Figura 8.2, obteniéndose los resultados que aparecen en la Tabla 8-3, para las concentraciones de dos elementos de interés A y B .

Tabla 8-3 Muestreo de las leyes en las corrientes del separador.

w1 w2 w3 w4 w5 w1 w2 w3 w4 w51 47.97 25.68 86.52 92.15 72.1 9.47 14.85 3.04 1.75 4.512 43.65 23.88 85.22 92.47 71.8 12.01 15.42 2.41 1.65 3.463 46.42 24.94 86.05 92.88 71.1 10.04 14.57 2.38 2.04 3.844 45.85 24.41 83.35 95.89 72.02 9.88 13.12 2.85 1.96 4.845 43.5 23.66 83.36 95.38 71.95 9.67 14.21 1.84 1.2 4.46 46.22 23.85 86.75 92.17 75.54 11.09 12.21 2.88 1.04 3.77

Media 45.27 24.4 85.21 93.49 72.59 10.36 14.06 2.57 1.61 4.14Varianza 1.76 0.61 2.34 2.86 2.11 0.97 1.41 0.2 0.16 0.28

MuestrasA B

Los resultados son: 1 1w = ; 2 0.699w = ; 3 0.49w = ; 4 0.301w = ; 5 0.189w = . La Tabla 8-4 resume

los resultados obtenidos con el método.

Tabla 8-4 Resultados balance de materia sistema de dos nodo.

Flujo 1 Flujo 2 Flujo 3 Flujo 4 Flujo 5 A medido 45.27 24.4 85.21 93.49 72.59 B medido 10.36 14.06 2.57 1.61 4.14

δA -0.07 0.02 0.13 -0.06 -0.05 δB -0.07 0.07 0.03 -0.01 -0.01

A ajustado 45.2 24.42 85.34 93.43 72.54 B ajustado 10.29 14.13 2.6 1.6 4.13

9. Instrumentación y Control

9.1. Objetivos del Control

El objetivo fundamental del control de procesos de concentración de minerales es reducir la variabilidad de la recuperación y la ley del concentrado, ocasionados por la variabilidad natural del mineral de alimentación.

La reducción en la variabilidad representa en general una mejora en el nivel de productividad, garantizando por ejemplo mayores recuperaciones para igual ley, o mayores leyes de concentrado para recuperaciones equivalentes. Además, se logra una mejora en los indicadores operacionales, mayor disponibilidad, reducción de costos, y finalmente se potencia la opción de usar estrategias de control óptimo.

9.2. Problemas de Diseño, Instrumentación y Operación

El diseño de los equipos y la selección de la instrumentación de un proceso constituyen las primeras restricciones para su control; por ejemplo: limitaciones en la capacidad, flexibilidad, accesos para muestreo o instrumentación, etc.

Respecto a la medición en línea de variables de interés (leyes, flujos, recuperaciones), en general existe baja disponibilidad y baja confiabilidad, por falta de instrumentación o mantenimiento. Es común encontrar fallas en la cadena instalación, calibración y contrastación de los instrumentos por falta de coordinación entre las partes interesadas.

Algunas veces, se pierde información valiosa por falta de conocimiento en el uso apropiado y oportuno de la información. Desde el punto de vista del proceso, la variabilidad de las condiciones de operación (leyes, granulometría, flujos, densidades) impone otro desafío para lograr un adecuado control.

9.3. Condiciones Limitantes para la Operación

Los equipos de flotación industrial operan en un estrecho rango de tamaño de burbuja y velocidad superficial de gas, que corresponde al rango de velocidad superficial de área de burbujas de

alrededor de Sb=30-80[s-1]. Los límites están impuestos por la existencia de una interfase pulpa-espuma distintiva, requerida para la separación, y por el transporte de masa a través de la interfase pulpa-espuma.

Por otro lado, el máximo tamaño de burbujas de alrededor de 3[mm], resulta limitante por la pérdida de estabilidad de la espuma, y la necesidad de una zona de calma cerca de la interfase limita la velocidad superficial del gas Jg alrededor de 3[cm/s].

9.4. Desarrollos en el Control de la Flotación

Las mejoras en el control de flotación corresponden a desarrollos en diferentes áreas: mediciones, modelos funcionales y dinámicos, estrategias de control y algoritmos de control.

La falta de conocimiento del proceso, específicamente su comportamiento no estacionario (transiente) y la interacción entre variables, generalmente hacen que el control distribuido convencional sea de baja calidad y parcialmente inhiben el uso de estrategias de control más complejas o inteligentes.

Desde la década de 1970, uno de los principales avances en control de flotación está relacionado con el uso de mediciones en línea de leyes de mineral, de allí la oportunidad para automatizar el control del proceso basado en:

a) Medición directa de un objetivo metalúrgico.

b) Uso de sistemas de control supervisor experto.

El monitoreo en línea de la flotación puede incluir:

• Flujo volumétrico y la densidad de la pulpa de alimentación.

• Flujo de aire.

• Nivel de pulpa.

• Dosificación de reactivos.

• pH.

• Medición de leyes en las corrientes de alimentación, concentrado y colas.

Otras variables internas tales como la concentración (holdup) de gas, tamaño de burbujas o el flujo real de “bias” de agua en columnas, no son aún de uso común.

Por otra parte, las variables manipuladas más comunes en la operación de planta son el nivel de pulpa, flujo de aire, dosificación de reactivos y el flujo de agua de lavado.

Las celdas mecánicas se arreglan en filas para disminuir el cortocircuito y también por razones de control. Cada fila consiste en un número de bancos de celdas de flotación en serie.

Típicamente, para celdas de gran tamaño de 40-130[m3], el número de celdas por banco es de 2 ó 3, y el número total de celdas por fila es de 8-10. Ahora, debido al aumento en el tamaño de las celdas

el número total de celdas por fila tiende a disminuir. Al respecto, se ha sugerido el uso de un mínimo de 5 celdas de gran tamaño por fila para compensar los problemas de cortocircuito y control [21].

Hace algunos años atrás era común ver muchos circuitos de flotación con numerosas cámaras de TV, que permitían al operador seleccionar cada celda y observar el rebalse de la espuma mientras tomaba decisiones en una sala de control centralizada. En los últimos años el desarrollo de los sistemas de visión de espuma por computador junto con el análisis automático de imágenes ha permitido la caracterización en línea de la superficie de espumas industriales, incluyendo la distribución de tamaños de burbuja, estabilidad y la estimación de la velocidad de remoción de la espuma. Estos sistemas ahora están disponibles comercialmente y ha sido usado en algunas plantas para propósitos de control mediante manipulación del flujo de aire y nivel de pulpa. Sin embargo, todavía no se dispone de correlaciones prácticas para estimar la ley del mineral y la recuperación de espuma a partir de los parámetros de la superficie de espuma.

En consecuencia, a pesar que la información de la velocidad de descarga de espuma es una herramienta valiosa para mantener una operación más estable bajo control automático, la medición de leyes en línea resulta imperativa para optimizar la operación. También, se ha observado que aún están presentes algunos antiguos problemas relacionados con la confiabilidad (calibración), robustez y mantenimiento de la instrumentación.

Por otra parte, se ha logrado un control efectivo de columnas de flotación industrial usando un sistema de control supervisor que coordina la manipulación del nivel de pulpa, el flujo de aire, y el flujo de agua de lavado (dosificación de reactivos) con el fin de mantener la ley de concentrado en un rango determinado [49].

En resumen, los avances en el control de flotación están relacionados principalmente con el desarrollo de nueva instrumentación, por ejemplo sistemas de visión de espuma y automatización del proceso. El uso de la información disponible en línea bajo control supervisor experto, incluyendo mediciones de objetivos metalúrgicos tales como leyes, permiten un mejor diseño de las estrategias de control.

9.5. Caso Ejemplo: Columnas

El objetivo básico del sistema de control es mantener la columna en condiciones de operación estables. Esto se logra normalmente a través del ajuste automático del nivel de la interfase pulpa-espuma. Con el fin de lograr una operación más eficiente, generalmente se controlan los flujos de agua de lavado y de aire, en forma manual o automática. El control puede realizarse mediante regulación de variables intermedias como el holdup de aire o el bias, o bien responder a la medición directa de las leyes de concentrado final, alimentación y relaves [24], [50].

Para estabilizar la columna se usan dos alternativas de control [20]:

a) Control de nivel mediante la adición de agua de lavado, mientras que el flujo de la cola se controla por la diferencia o la razón entre los flujos volumétricos de cola y alimentación,

usando el bias como referencia (set-point). Esta alternativa es de mayor costo y generalmente posee una respuesta más lenta.

b) Controla de nivel mediante la variación del flujo de pulpa de la cola, y el agua de lavado se ajusta a una referencia (set-point) predeterminada. Este control es más simple y de menor costo.

Eventualmente, la referencia del agua de lavado puede estar asociada al bias, si se dispone de medidores de flujo de alimentación y colas.

Los flujos de agua de lavado y de aire, y la presión del sistema de aireación deben controlarse automáticamente para mantener la estabilidad operacional de la columna de flotación y garantizar el desempeño metalúrgico previsto. En algunos casos el flujo de alimentación se controla automáticamente para estabilizar la operación [51].

La tendencia actual consiste en medir directamente la variable objetivo, por ejemplo la ley del concentrado, y actuar sobre el flujo de aire, flujo de agua de lavado, el nivel de la interfase y la dosificación de reactivos, a fin de controlar el objetivo en la forma más eficiente posible, por ejemplo con la máxima recuperación. La Figura 9.1 muestra un esquema de esta operación.

Figura 9.1 Sistemas de control operacional de columnas de flotación.

FIC

Concentrado

Aire

FIC

Agua de Lavado

Cola

LIC

XA

FIC

XApH

Alimentación

9.5.1. Sensores

Para el control del nivel de la interfase pulpa-espuma se usan diferentes tipos de sensores.

Los más comunes son:

a) Sensores de presión: Los sensores de presión se instalan en la pared de la columna (captor de diafragma, dPcell ) o bien se introducen desde el tope de la columna (tubo de burbujeo o tubo de presión estática).

La principal limitación del control de nivel usando un solo sensor en la zona de colección es la dependencia de la presión con las densidades de la pulpa y la espuma, que varían con las condiciones de operación, en forma difícil de predecir [23].

b) Sensores de conductividad: La variación de conductividad eléctrica entre las zonas de colección y la zona de espuma ocurre principalmente debido a la diferencia de la concentración (holdup) de aire [52]. De esta forma, la posición de la interfase se puede estimar observando la variación en la conductividad eléctrica a través de la interfase, mediante sensores instalados longitudinalmente [51].

c) Sensores de temperatura: La variación de temperatura entre las zonas de colección y la zona de espuma ocurre principalmente debido a la diferencia de temperatura entre el agua de lavado, generalmente más fría, y la pulpa que viene de molienda o remolienda.

De esta forma, la posición de la interfase se puede estimar observando la variación en la temperatura a través de la interfase, mediante sensores instalados longitudinalmente [51].

d) Sensores de profundidad de espuma: La profundidad de espuma es importante para lograr una adecuada separación entre las burbujas mineralizadas y la pulpa arrastrada a la espuma. Una espuma baja aumenta la contaminación del concentrado, mientras que una espuma alta reduce la recuperación. El control de la profundidad de espuma es fundamental en la operación industrial, y requiere de sensores robustos y adecuadamente calibrados y contrastados. Actualmente, los sensores más confiables están basados en la medición del nivel con un elemento flotador y la transmisión de la señal mediante sensores de ultrasonido. De esta forma se combina la medición directa con una señal de transmisión que es fácilmente adaptable a cualquier sistema de información y control [53].

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