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Correlacin Cruzada y Autocorrelacin de Series Temporales

Aadir bn las velocidades de propPROPAGACION DE LA ONDAV. PROPAGACIN DEL SONIDO EN EL MAR

EL SONIDO es producido por el movimiento vibratorio de las molculas de una sustancia elstica. La energa mecnica de propagacin del sonido se absorbe en el medio por el cual se propaga, y que puede ser gaseoso, lquido o slido, producindose una variacin en la intensidad del sonido, que es mayor o menor segn el medio en el que se absorbe. Esta absorcin se debe a la friccin de las ondas con el medio, y a su transformacin en calor. En el agua, los sonidos se propagan con mayor rapidez y menor prdida de energa que en el aire; las ondas sonoras y ultrasonoras se transmiten en el mar a una velocidad entre 1 400 y 1 600 metros por segundo, mientras que en la atmsfera la velocidad de propagacin es de 340 metros por segundo. Esto se debe a que el agua del mar no se encuentra comprimida, es decir, no se puede reducir a un menor volumen, por lo que la absorcin de las ondas sonoras es mnima, contrariamente a lo que sucede en la atmsfera, en donde los sonidos se absorben a distancias muy cortas. Es notable la diferencia de volumen del sonido cuando se golpean entre s dos objetos duros en el aire o dentro del agua, y tambin se puede observar que, al introducir la cabeza en el agua del mar, se oye desde muy lejos el ruido de los motores de las embarcaciones. Por las caractersticas del agua del mar la velocidad de propagacin del sonido cambia de acuerdo con las variaciones de temperatura, salinidad y presin. Cuanto ms altas sean estas caractersticas del agua, tanto mayor ser su velocidad. Por ejemplo, en agua dulce, a una temperatura de 30C, es de 1 509.6 metros por segundo, mientras que en el agua del mar, con la misma temperatura, pero con una concentracin de sales de 35%, ser de 1 546.2 metros por segundo. Los oceangrafos han estimado que cuando la temperatura aumenta en un grado centgrado, la velocidad del sonido lo hace en 2.5 metros por segundo; si la salinidad se incrementa en 1%, la velocidad presentar 1.4 metros por segundo de ms; y si la presin sube 10 atmsferas, al bajar 100 metros de profundidad, el sonido registra 1.8 metros por segundo de ascenso. El efecto de la temperatura es considerablemente mayor que el de la salinidad y la presin en las aguas superficiales, debido a que en ellas alcanza sus mximos valores y presenta rpidas variaciones; pero conforme aumenta la profundidad, la accin de este factor pierde importancia. Se debe tomar en cuenta que la presin es una funcin de la profundidad y, por lo tanto, en aguas bien mezcladas, la velocidad del sonido aumentar con la profundidad. En los primeros 50 metros de profundidad se encuentra que la accin de la presin sobre la velocidad del sonido es mnima, y como la temperatura suele mantenerse constante, el incremento de la velocidad del sonido es poco, a menos que se presente un cambio de la temperatura, lo que ocasionar una variacin proporcional en la velocidad. Por debajo de los 50 metros y hasta los 300 metros, la disminucin de la velocidad es rpida por serlo tambin la de la temperatura; pero a partir de esta profundidad la accin de la temperatura es contrarrestada por el aumento de la presin y de la salinidad, y esto se traduce en un crecimiento de la velocidad, el cual se acenta conforme se acerca al fondo, por ser dominante en este estrato el efecto de la presin. En lugares con fondos poco profundos es posible medir con exactitud estos factores desde la superficie hasta el fondo y conocer con precisin la distancia que recorre el sonido; pero en las grandes profundidades surgen errores en la apreciacin de esta distancia. A poca profundidad, el error puede llegar a ser del orden de 10 a 20 centmetros, mientras que en los fondos superiores a los 5 000 metros, ste alcanza de 30 a 40 metros, siempre y cuando se haya registrado cuidadosamente la velocidad del sonido a travs de las sucesivas capas de agua. Al atravesar los estratos del mar, el sonido experimenta fenmenos de reflexin y de refraccin como los que fueron descritos para la luz. La superficie y el fondo del mar, as como cualquier objeto sumergido de tamao considerable provocan la reflexin del sonido, mientras que los estratos que forman el agua del mar son los responsables de que cambie la velocidad del sonido, provocando que la direccin de las ondas se desve dando lugar a la refraccin.

Figura 9. Refraccin y reflexin del sonido. En las zonas donde la temperatura se mantiene constante con la profundidad, las ondas sonoras no sufren refraccin; cuando decrece, se refractan hacia el fondo; y donde la temperatura aumenta lo hacen hacia la superficie. Cuando hay refraccin hacia abajo, el sonido que llegue eventualmente al fondo del mar sufrir en l absorcin, pero se reflejar como un "eco del fondo" hacia la superficie para refractarse nuevamente. Los objetos aislados, regulares y de mayor tamao que la longitud de onda del sonido sobre los que llega una emisin sonora, producen reflexin del sonido fuerte y bien definido, lo que se reconoce como eco; pero los objetos que son pequeos, irregulares y numerosos originan muchos ecos dbiles que se repiten sucesivamente propagndose en todas direcciones y sobreponindose para causar la llamada reverberacin del sonido. Los sonidos que presentan una frecuencia de 25 a 10 000 vibraciones por segundo son registrados por el rgano auditivo humano, pero existen otros que sobrepasan este ltimo valor y que reciben el nombre de ultrasonidos, los cuales el hombre no percibe, sin embargo, algunos animales s. Cuando un haz de ondas ultrasonoras se proyecta verticalmente hacia abajo en el agua del mar, su velocidad vara progresivamente a medida que aumenta la presin; tambin se observan variaciones de velocidad, irregulares e imprevisibles en las capas superficiales debido a la temperatura y la salinidad de ellas. Si el haz se proyecta horizontalmente, las variaciones son de menor importancia, porque la presin constante y la estratificacin del agua, prcticamente horizontal, hacen que las ondas se propaguen en un medio de densidad constante. Los cambios en la velocidad del sonido y del ultrasonido modifican el intervalo necesario para que una seal recorra el trayecto entre dos puntos dados, por lo que las ondas sonoras desempean un papel sumamente importante en la medicin de las distancias y en otros mtodos de sealizacin a travs del agua del mar. El conocimiento de la propagacin del sonido en el mar ha permitido la construccin de aparatos acsticos para medir la profundidad y las distancias en el mar, como las sondas de eco o ecosondas, que posteriormente han sido sustituidas por la sonda ultrasnica. Estos aparatos no seran tiles en el aire, porque en l las ondas se absorben a distancias muy cortas. Los servicios de navegacin y de proteccin de costas de algunos pases industrializados publican tablas en las que se dan instrucciones sobre la propagacin de las ondas sonoras y ultrasonoras en el agua del mar. Gracias a esto, se ha podido evitar grandes errores en cuanto se refiere a la determinacin de la profundidad de las aguas y se ha logrado hacer ms segura la navegacin. Durante los ltimos veinte aos los buques mercantes y de guerra han ido aumentando el uso de una variedad de instrumentos en los cuales la informacin sobre el sonido en el mar desempea un importante papel. En toda esta fase de desarrollo, ingenieros y fsicos dedicaron los mayores esfuerzos al equipo tanto emisor de las ondas como al receptor. Las flotas pesqueras ms modernas utilizan mtodos acsticos para la localizacin de peces y para conocer la topografa del terreno, con lo que permiten al pescador aumentar sus capturas y mejorar sus posibilidades de xito. En el estudio de la propagacin del sonido en las aguas del ocano hay que tomar en cuenta un fenmeno del que, actualmente, se tienen escasos conocimientos, y es el hecho de que diversas formas de vida marina son capaces de emitir sonidos. Esto abre un nuevo campo de investigacin para entender el comportamiento de estas especies snicas y lograr al mximo su aprovechamiento y conservacin. BIBLIOGRAFIAhttp://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/17/htm/sec_8.htmlRevisra si la SNR esta en dBs o lineal (esta en dBs segn help)Comparar en una misma grafica la onda tx con la onda rxLas funciones de correlacin proporcionan medidas de la semejanza de una seal f(t) con ella misma o con otra seal, comparadas con un desplazamiento relativo del tiempo. La correlacin es ampliamente utilizada en aplicaciones como la deteccin de seales daadas por el ruido del canal de comunicaciones, la estimacin de retardos en radar, sincronizacin, el reconocimiento de patrones, deteccin y sincronizacin en comunicaciones digitales, la estimacin espectral, etc. La comparacin de dos seales distintas se la conoce como Correlacin Cruzada y la correlacin de una seal con una copia de s misma se la conoce como Autocorrelacin.La funcin de Correlacin peridica discreta de dos seales peridicas se define como:

(Ec 1.15)

Donde el parmetro n es el desplazamiento o retardo en el tiempo de la seal.Mientras que la funcin de Autocorrelacin peridica se define como:

(Ec 1.16)

La funcin de Autocorrelacin peridica toma el valor mximo cuando las dos seales se encuentran en fase (desplazamiento n=0). Por lo tanto:

(Ec 1.17)

Donde Ex es la energa de la seal discreta x(n). La ecuacin de arriba tiene una importante aplicacin en la deteccin de datos. Esta sugiere que al tiempo de desplazamiento cero, el nivel de autocorrelacin es proporcional a la energa de la seal la cual ayuda al proceso de deteccin.Cuando las seales que se correlacionan son peridicas, la funcin de Correlacin cruzada y autocorrelacin son simtricas al origen. Para tener la funcin de correlacin en Matlab se realiz la funcin xcorrelacion(sec1,sec2).m.La funcin devuelve dos vectores con los desplazamientos (ind) y la funcin de correlacin calculada (corr). Para el funcionamiento de la funcin se considera que las secuencias ingresadas son de la misma longitud.Para la comprobacin del funcionamiento de la funcin xcorrelacion, se realiza el siguiente ejemplo: Para calcular la autocorrelacin de la secuencia [-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1], se ingresan los comandos:

Figura 1.17 Comprobacin de la funcin xcorrelacion.Como se puede ver en la figura, para realizar la Autocorrelacin se compara la secuencia consigo misma. La funcin devuelve los valores de los desplazamientos de la secuencia, as como los valores de la correlacin calculados para cada desplazamiento.Graficando los valores de correlacin con los respectivos desplazamientos se tiene:

Figura 1.18 Autocorrelacin de la secuencia [-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1].Matlab tambin tiene una funcin que calcula la correlacin, esta es la funcin xcorr.

Figura 1.19 Captura de la funcin xcorr del Help de Matlab.La funcin xcorr estima la correlacin cruzada de una secuencia.Calculando los valores para la autocorrelacin para la secuencia anterior se tiene:

Figura 1.20 Autocorrelacin de la secuencia [-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1] con xcorr.

Graficando la funcin, se tiene:

Figura 1.21 Grfica de la Autocorrelacin de la secuencia [-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1] con xcorrSe puede observar que los resultados obtenidos con las dos funciones son diferentes, pues los resultados obtenidos con la funcin xcorr corresponden a una funcin de correlacin aperidica.La funcin de correlacin aperidica est definida por:(Ec 1.18)

Los coeficientes de la Autocorrelacin de la secuencia definida anteriormente se calculan de la siguiente manera:Tabla 1.5 Autocorrelacin aperidica de la secuencia [-1 1 -1 1 -1 1 -1]DesplazamientoSecuenciaRxx

0-11-11-11-17

1-11-11-11-6

2-11-11-15

3-11-11-4

4-11-13

5-11-2

6-11

Como se puede ver en la tabla anterior, los resultados son los obtenidos en Matlab con la funcin xcorr.

Figura 1.22 Autocorrelacin de la secuencia [-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1] con xcorr.Para realizar el anlisis de las secuencias que intervienen en CDMA, es necesario el uso de la funcin de correlacin peridica. Con la funcin xcorrelacion implementada se aplica este concepto y por tanto se la utilizar en el Captulo 2.

Secuencias de sincronizacinCmo se pudo ver en los cdigos anteriores como los cdigos Walsh y OVSF, solo sirven para escenarios de comunicaciones sincronizadas. Ahora, para aplicaciones donde no se pueda tener dicha sincronizacin es importante investigar nuevos tipos de secuencias que permitan tener una autocorrelacin maximizada, como son las secuencias de Barker.Secuencias de BarkerLas secuencias o cdigos de Barker se caracterizan por su funcin de correlacin; que es 1 para todos los desplazamientos excepto en el desplazamiento cero. Por esta razn, estos cdigos son usados comnmente como prembulo para la sincronizacin de tramas en la comunicacin digital. La funcin de Autocorrelacin es impulsiva, lo mismo que en las m-secuencias. Por lo tanto los cdigos de Barker son tambin ideales para la deteccin de datos de informacin. Desafortunadamente, los cdigos de Barker solo existen para los tamaos de L= 2, 3, 4, 5, 7, 11, 1, y por lo tanto ofrecen un proceso de ganancia limitado.Los cdigos de Barker fueron desarrollados originalmente para las emisiones de radar. Por ejemplo, pueden ser usados como un prembulo de una secuencia PN larga con un solo propsito, simplificar la sincronizacin. La ms notable propiedad de los cdigos de Barker es que el menor pico de su funcin de Autocorrelacin siempre consiste es 1. Las secuencias de Barker no son producto de los LFSRs, si no que son hard coded, es decir, son generados de manera manual de modo que, en el proceso de investigacin, produzcan la mxima autocorrelacin posible. La siguiente tabla presenta la lista completa de los cdigos de Barker: Tabla 2.28 Cdigos de Barker de longitud L.Longitud del Cdigo de Barker (L)Cdigo de Barker

1-1

2-1 1

3-1 -1 1

4-1 -1 1 -1

5-1 -1 -1 1 -1

7-1 -1 -1 1 1 -1 1

11-1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 1

13-1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1

Generacin de los cdigos Barker en MatlabPara el anlisis de las secuencias de Barker se desarroll la funcin Barker(longitud).m (ver Anexos Cap 2), donde longitud es el tamao de la secuencia Barker a generar.Para Analizar las propiedades de Autocorrelacin de las secuencias de Barker, basta ingresar el siguiente cdigo:longitud=13;secuencia=barker(longitud)[ind corr]=xcorrelacion(secuencia,secuencia);plot(ind,corr)title('Autocorrelacin de la Secuencia Barker 13')

Figura 2.109 Secuencia Barker de longitud 13 y sus valores de Autocorrelacin.

Se nota que la Autocorrelacin se parece a la que tiene un m-secuencia. La diferencia radica en los valor 1 que toma para los desplazamientos de la Secuencia Barker.

Figura 2.110 Grfica de la Autocorrelacin de la secuencia Barker de longitud 13.Esta propiedad de Autocorrelacin hace que en aplicaciones de sistemas de espectro ensanchado, el espectro sea mucho ms uniforme y por lo tanto el desempeo de los receptores mejora notablemente.Como se explic anteriormente, las caractersticas de autocorrelacin este tipo de secuencias son muy utilizadas ya sea como prembulo de una trama de informacin para simplificar la sincronizacin, como secuencia ensanchadora del estndar 802.11a/b, o en aplicaciones identificacin de objetos como el radar.A continuacin se realizar un ejemplo de aplicacin de las secuencias Barker.Determinacin de la distancia de un blanco [footnoteRef:1] [1: Modelado de un Radar Doppler de Pulsos (PDR), Arramb Daz, Marcial, p. 58-59.]

La distancia de un blanco es determinada por el tiempo que le toma a la seal electromagntica transmitida por el radar en viajar de ida y de vuelta en la atmsfera. A este tiempo se le conoce como tiempo de retardo tr. La energa electromagntica en el espacio libre viaja a la velocidad de la luz . Por lo tanto, el tiempo para que la seal viaje hacia la posicin del blanco a una distancia D y regrese al radar es 2D/c. Entonces la distancia del blanco es:(Ec 2.42)

Por lo tanto, para obtener el tiempo de retardo de la seal se recurre a la correlacin cruzada, la cual es mxima cuando la seal transmitida y la seal recibida son similares. Al correlacionar estas seales, se est obteniendo el tiempo preciso cuando las seales presentan la mxima similitud entre ellas. Este tiempo es el retardo entre de la seal recibida respecto a la seal transmitida.La funcin de correlacin, se puede escribir de la siguiente forma:(Ec 2.43)

Donde s(n) es la seal transmitida y sr(k-tr) es la seal reflejada. Adems la seal sr(n) es:(Ec 2.44)

Donde W(n) es el ruido aditivo del canal.De esta manera se sabe que la seal reflejada posee un retardo y ruido por lo que al correlacionarla con la seal transmitida, se tendr una seal que en algn tiempo tr tendr un valor mximo de amplitud. Para incrementar la precisin en el clculo del tiempo de retraso tr, y a su vez la distancia del blanco, se utiliza el cdigo de Barker.Para realizar el ejemplo expuesto, se realiz el programa cap2_cod12_ejemplo_barker.m (ver Anexos Cap 2), donde se define una secuencia Barker de longitud 13 con la funcin barker(longitud).mTambin se define un retraso aleatorio de la seal para realizar la correlacin cruzada y detectar la seal entre 30 y 100 tiempos de bit. Se define un tiempo de bit tb=1 ms. La seal transmitida es una secuencia Barker y la seal recibida ser la secuencia Barker retrasada ms el ruido de un canal AWGN. Se calcula la correlacin cruzada para determinar el retraso que ha sufrido la seal transmitida originalmente y se lo muestra grficamente.Resultados:Seal Recibida con Ruido.

Figura 2.111 Seal Recibida en el Radar.Retraso de la Secuencia Barker.

Figura 2.112 Correlacin cruzada entre la Seal Transmitida y la Seal Recibida por el Radar.Se puede ver claramente, para este ejemplo, que se produce un pico de amplitud mximo a t=74 ms. Para saber si el resultado es el esperado, se revisa el valor calculado y guardado en la variable delay.

Figura 2.113 Valor de delay calculado aleatoriamente.Por lo tanto el algoritmo propuesto es vlido para calcular la distancia a un blanco a travs de la correlacin cruzada de las secuencias Barker. Adems se nota claramente la importancia de las caractersticas de autocorrelacin y correlacin cruzada de cdigos, para ser aplicados de una manera eficiente.