MATEMÀTIQUES 2n ESO

Temes 7, 8 i 9 TEORIA I PRÀCTICA

–1

REPÀ S D E CONCEPTE S D E G E OMETRI A E N E L PL A D E 1 r i 2n D’ES O

Recta: És una línia contínua que està formada per infinits punts en la mateixa direcció. La recta no té inici ni fi.

Semirecta: És part d’una recta. En una recta si col·loquem un punt, este delimita dos semirectes. Es caracteritza perquè té un inici però no un final.

Segment: És la porció de recta limitada per dos punts, anomenats extrems.

Rectes paral·leles: Dos rectes són paral·leles si no tenen cap punt comú, és a dir tenen la mateixa direcció.

Rectes secants: Són aquelles que es tallen en un punt i per tant no tenen la mateixa direcció

Angle: És la porció de pla limitada per dos semirectes amb origen en un mateix punt. L’origen comú es denomina vèrtex de l’angle.

Unitats de mesura d’angles: Per a mesurar un angle hem de comparar- lo amb una unitat.Les unitats més importants són el grau sexagesimal i el radian.

Grau sexagesimal (º): És l’angle limitat per un arc que és l’1/360 part de la longitud de la seua circumferència.Té com divisors, el minut (‘) i el segon (‘’)sexagesimal verificant que:1 grau = 60 minuts i1 minut = 60 segons

Radià (rad): Definim el radià com la mesura d’un angle delimitat per un arc de circumferència que té la mateixa longitud que el radi que la determina. És 360º 6,28 rad perquè una circumferència conté 2 radis.

Rectes perpendiculars: Són dos rectes que es tallen formant quatre angles rectes.

Classificació dels angles:

Complementaris 90º

Suplementaris 180º

–2

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Temes 7, 8 i 9 TEORIA I PRÀCTICA

Polígon: (del grec, "molts angles"). Figura geomètrica plana i tancada formada per un nombre limitat de segments lineals anomenats costats. Segons el nombre d’estos, els polígons es denominen:

Triangle Quadrilàter Pentàgon

Hexàgon Heptàgon Octògon

Polígon regular: Un polígon regular és el que té tots els costats de la mateixa longitud i els angles són iguals. Tot polígon regular està inscrit en una circumferència. Exemples:

–3

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Temes 7, 8 i 9 TEORIA I PRÀCTICA

Elements en un polígon Elements en un polígon regular

El perímetre d’un polígon qualsevol és la suma de la longitud dels seus costats.

Propietat: La suma dels angles interiors d’un polígon qualsevol es calcula amb per la fórmula (n 2) 180º

En un triangle, com n 3 , els angles interiors sumen (3 2) 180 180º. Per exemple:

(Veure animació en htt p ://www.geog e bra.org/en/ u pload/files/Mathu m bert/interi o rese n triangulo.ht m l ) . En un quadrilàter, com n 4 , els angles interiors sumen (4 2) 180 360º .

En un hexàgon, com n 6 , els angles interiors sumen (6 2) 180 720º .

ERV de l’1 al 3

Classificació dels triangles:

Classificació dels quadrilàters:

Circumferència: Corba plana i tancada amb la propietat que tots els seus punts estan a la mateixa distància d’un altre punt anomenat centre.

Cercle: Regió del pla interior a una circumferència.

Circumferència Cercle

Elements d’una circumferència:

Radi: Segment lineal que unix el centre del cercle amb la circumferència

Diàmetre: Segment que unix dos punts de la circumferència passant pel centre

Corda: És el segment que unix dos punts de la circumferència sense passar pelcentre

Arc de circumferència: Part de la circumferència limitada per dos punts d

Semicircumferència: És cada un dels arcs que comprén un diàmetre.

Fletxa: Part del rdi que unix el punt mitjà d’una corda amb l’arc que comprén

Angle central: Un angle és central si el seu vèrtex està situat en el centre de la circumferència.

Angle inscrit: Un angle és inscrit si el seu vèrtex està situat sobre la circumferència.

Propietat: Si l’angle central i inscrit comprenen el mateix arc, llavors l’arc central és el doble de l’angle inscrit com mostra la figura A

Conseqüència: Si l’angle inscrit comprén un diàmetre, llavors és de 90º perquè l’angle central que comprén un diàmetre és de 180º, com mostra la figura B.

Figura A Figura B

Posicions relatives d’una circumferència i una recta:

Una recta és tangent a una circumferència si només té un punt comú amb ella,secant si té dos i exterior si no té cap.

Propietat: La recta tangent és perpendicular al radi que passa pel punt de tangència.

Elements del cercle (zona ombrejada de les figures següents):

SemicercleÉs la regió del cercle

limitada per undiàmetre i l’arc que

determina.

Sector circular És la regió del cercle limitada per dos radis i l’arc que determinen

Segment circular És la part de cercle

limitada per una corda i el seu arc

Corona Circularés la porció de cercle

limitada per doscircumferències

concèntriques (que tenen el mateix centre

i radis diferents)

Trapezi circular és la porció de cercle limitada per dos radis i

una corona circular

Zona circularés la porció de cercle

limitada per dos cordesparal·leles

Punts notables d’un triangle. Utilització de Geogebra.

Circumcentre: És el punt on es tallen les tres mediatrius dels costats d’un triangle (la mediatriu és la recta perpendicular a un segment que passa pel punt mitjà).

Propietat: El circumcentre és el centre de la circumferència circumscrita al triangle i pot ser interior o exterior al triangle.

Incentre: És el punt on es tallen les tres bisectrius interiors d’un triangle (la bisectriu és la recta que dividix l’angle en dos parts iguals).

Propietat: És el centre de la circumferència inscrita en el triangle i sempre és interior al triangle.

Ortocentre: És el punt on es tallen les tres alçades d’un triangle (l’alçada és el segment perpendicular que unix un vèrtex amb el costat oposat o la seua prolongació)

Propietat: L’ortocentre pot ser interior o exterior al triangle.

Baricentre: És el punt on es tallen les tres mitjanes d’un triangle (la mitjana és la recta que unix un vèrtex amb el costat oposat).

Propietat: El baricentre es troba d’un vèrtex a doble distància que del seu respectiu punt mitjà.

Activitat: Descarrega i instal·la GEOGEBRA de http://www.geogebra.org i intenta construir les figures anteriors

ERV 4

ERV Del 5 al 37

–6

1 2

Teorema de Pitàgores.

En un triangle rectangle, els costats menors són els que formen l’angle recte i s'anomenen catets. El costat major s’anomenahipotenusa. El teorema de Pitàgores afirma que:

En un triangle rectangle es verifica la igualtat següent:

(hipotenusa ) 2 (cateto ) 2 (cateto ) 2 , és a dir, a 2 b 2 c 2

sent

400 anys abans de nàixer Pitàgores (580 a. C. - 495 a. C.) els xinesos ja ho van demostrar geomètricament:Observa com les àrees dels quadres de color verd fosc coincidixen.

Altres demostracions visuals en http://docentes.educa c ion.navarra.es/ m sadaall / geogebra/pitagoras.htm

Perímetres i àrees de figures planes.

Triangle

Perímetre: P a b c

Àrea : A b h

o2

A (s(s a)(s b)(s c)

s és la mitat del perímetre(fórmula d’Herón)

Quadrat

Perímetre: P 4a

Àrea : A a 2

Rectangle

Perímetre: P 2a 2b

Àrea : A b a

Rombe

Perímetre: P 4a

Àrea : A D d

2

Romboide

Perímetre: P 2b 2c

Àrea : A b a

Trapezi

Perímetre: P B c b d

Àrea : A ( B b ) a

2

Polígon regular

Perímetre: P n l

(n és el núm. de costats)

Área : A P a

2

Cercle

Longitud de circumferència:Perímetre : P 2 R

Àrea : A R 2

ERV Del 5 al 37

–7

Veure demostracions visuals en http://docentes.educacion.navarr a .es/ m sadaall/geogebra/areas.htm

ERV Del 38 al 44

–7

1. F IGURE S S EMBLANT S

Dos figures distintes es diu que són semblants quan només es diferencien en la seua dimensió. En este cas, els segments corresponents són proporcionals.

Conseqüències:

Cada longitud en una figura s’obté multiplicant la longitud associada en l’altra figura semblant per un nombre fix "r" anomenat raó de semblança.

Si la raó de semblança de dos figures és "r", llavors la raó entre les seues àrees és "r2" i entre els seusvolums és "r3".

Els plànols i els mapes són semblants a la realitat que representen. La raó de semblança entre la reproducció i la realitat s’anomena escala.

Exemple 1: Amb una fotocopiadora hem reduït la figura 1 obtenint la figura 2. Quina és la raó de semblança entre la figura 2 i la figura 1?

Solució: Dividim qualsevol segment de la figura 2 pel corresponent de la figura 1 i obtenim sempre 0,75;

per exemple: 9

0,75 ; 6

0,75 ; 12,75

0,7512 8 17

Per tant la raó entre la figura 2 i la figura 1 és 0,75 (reducció al 75%)

Observa que la raó entre la figura 1 i la figura 2 és 4/3 (augment del 33,3333%)

Observa com la raó entre les àrees de la figura 2 i la figura1 és 0,752. Per exemple l’àrea del quadrat de la figura 2 és

64 0,75 2 36 cm 2

Exemple 2: Estes dos casetes són semblants. La raó de semblança és 1,5. Sabem que l’alçada de la primera caseta és3 dm, hem necessitat 7,2 dm

2 de cartolina i el seu volum és 6,4 dm

3. Quina alçada té la segona caseta, quanta cartolina porta i quin

volum té?

Solució: La segona caseta tindrà:

Alçada 3 1,5 4,5 dm

Superfície 7,2 1,52 16,2 dm 2

Volum 6,4 1,53 21,6 dm3

Exemple 3: En este mapa de l’estret de Gibraltar, l’escala és 1 : 4 500 000. a) Quants centímetres hi ha en el mapa entre Melilla i Màlaga?b) Quant temps tardarà un helicòpter que vola a 90 Km/h a fer el recorregut Algesires - Màlaga si en el mapa hi ha 25 mm ?

Solució:

a) En el mapa hi ha207

100000 4,6 cm4500000

b) Entre Algesires i Màlaga hi ha

25 4500000 112,5 Km y por tanto

1000000

t e

112,5

1,25 h 1h 15 minv 90

–8

2. T EOREM A D E T HALE S

Si les rectes a, b i c són paral·leles i tallen a altres dos rectes, r i s, llavors els segments que determinen en elles són proporcionals:

AB

A' B '

BC B' C ' AB

BC

Observa que de la igualtat anterior deduïm que també es verificaA' B' B' C '

Exemple: Si sabem que les rectes a, b i c són paral·leles, calcula x.

Solució: Segons el Teorema de Thales és:

x

2

1,6 1y por tanto es x 3,2 .

És lògic perquè si en una recta hem passat del segment de longitud 1 cm a 2 cm (el doble), en l’altra passarem de 1,6 cm al seu doble que és 3,2 cm.

3. S EMBLAN ÇA D E TRI A NGLE S

Si dos triangles ABC i A' B' C ' són semblants, llavors:

Els tres angles són iguals Aˆ

Aˆ ' ,

Bˆ

Bˆ ' ,

Cˆ Cˆ ' i

Els tres costats corresponents són proporcionals:a

b

c

a' b' c'

Propietats:

Dos triangles en posició de Thales (un encaixat en l’altre) com a mostra la figura són semblants.

Si dos angles d’un triangle són respectivament iguals a dos angles d’un altre triangle, llavors els triangles són semblants perquè es poden posar en posició de Thales.

Dos triangles rectangles són semblants si:

o tenen un angle agut igual o

o tenen dos costats proporcionals

Exemple 1: Explica perquè dos triangles rectangles isòsceles són semblants.

Solució: Perquè en els dos triangles rectangles els angles aguts han de ser de 45º per a que sumen 180º.

Exemple 2: Explica perquè els triangles adjunts són semblants.

Solució: Perquè són triangles rectangles i tenen dos costats proporcionals:

28,8

12

12 5

ERV Del 45 al 52

MATEMÀTIQUES 2n ESO. Temes 7,8 i 9. EXERCICIS

Exercicis r es o lts en vídeo www.josejai m e.c o m / vi d eosde m at e maticas

TEORIA I EXERCICIS

1. Troba el valor de l’angle en cada un dels casos següents:a) b) c) d)

37o 112o

48o 48o 35

40o

2. Calcula la magnitud dels angles desconeguts:

a) b) o 55o 65

3. Calcula els angles , i , en els següents polígons regulars:a) b) c) d)

4. (1r ESO) Triangles.a) Què és la mitjana d’un triangle? Com s’anomena el punt de tall de les tres mitjanes d’un triangle? Digues les propietats d'aquest punt.b) Què és l’alçada d’un triangle? Com s’anomena el punt de tall de les tres alçades d’un triangle? Quan el punt aquest és interior o exterior al triangle?c) Què és la recta mediatriu d’un segment? Com s’anomena el punt de tall de les tres mediatrius dels costats d’un triangle? Quina propietat posseïx eixe punt?d) Què és la bisectriu d’un angle? Com s’anomena el punt de tall de les tres bisectrius dels angles d’un triangle? Quina propietat posseïx eixe punt?e) Utilitza el Cabri II o el Geogebra per a trobar els 4 punts anteriors en un triangle qualsevol i comprova les seues propietats.

5. (1r ESO) Teorema de Pitàgores:a) Enuncia el teorema de Pitàgores. Busca en internet informació sobre eixe teorema (demostració, història, etc)b) Troba la longitud de la hipotenusa d’un triangle rectangle sabent que els catets mesuren 3 i 4.c) Troba la longitud del catet d’un triangle rectangle si sabem que la hipotenusa mesura 13 i un catet 5.

6. Teorema de Pitàgores:Calcula l’àrea del quadrat verd en cada un dels casos següents:

7. Teorema de Pitàgores:Si sabem la longitud dels tres costats dels triangles, digues si són rectangles, acutangles o obtusangles:

a) 15 cm, 10 cm, 11 cm b) 35 m, 12 m, 37 m c) 23 dm, 30 dm, 21 dm

8. (1r ESO) Teorema de Pitàgores:A quina alçada s’arriba amb una escala de 10 m si es col·loca la base a 6 m de la paret?

9. (1r ESO) Teorema de Pitàgores:Un pal de fusta té 7 m d’alçada i es vol subjectar amb tres cables que van des de l’extrem superior a un punt del sòl que dista de la base del pal 4 m. Quina longitud de cable es necessita?

10. (1r ESO) Teorema de Pitàgores:El perímetre d’un quadrat mesura 36 cm. Quant mesura la diagonal?

11. Teorema de Pitàgores:En les festes d’un poble, pengen una estrella d’1 m d’alçada enmig d’una corda de 34 m que està lligada als extrems de dos pals de 12 m separats 30 m’entre si.A quina distància del sòl queda l’estrella?

12. A quina altura es troba l’equilibrista?

13. (1º ESO) Quadrilàters:a) Què és un quadrilàter?b) Fes un esquema classificant els distints tipus de quadrilàters.c) En un trapezi isòsceles, les bases mesuren 16 cm i 10 cm. Calcula la longitud dels costats iguals sabent que l’altura és 6 cm.

14. (1r ESO) Circumferència:a) Dibuixa una circumferència i sobre ella especifica el centre, un radi, un diàmetre, una corda, un arc i una semicircumferència.b) Dibuixa un cercle i sobre ell especifica un sector circular, un segment circular i una corona circular. c) Quan una recta és exterior, tangent o secant a una circumferència?d) Dibuixa una circumferència i especifica en ella un angle central i un angle inscrit. Quina relació hi ha entre l’angle inscrit i l’angle central corresponent? què mesura l’angle inscrit en una semicircumferència?

15. (1r ESO) Una corda està a 6 cm de distància del centre d’una circumferència de 8 cm de radi. Troba la longitud de la corda.

16. (1r ESO) Calcula el radi d’una circumferència circumscrita a un quadrat de 4,24 cm de costat.

17. (1r ESO) Calcula l’apotema d’un triangle equilàter inscrit en una circumferència de 5 cm de radi, si el costat del triangle mesura 8,66 cm.

18. (1r ESO) El perímetre d’un hexàgon regular mesura 54 cm. Calcula el diàmetre de la circumferència circumscrita.

19. (1r ESO) Perímetre i àrees de polígons. Triangles.a) Troba l’àrea i el perímetre d’un triangle de base 7 cm i alçada sobre eixa base de 4 cm. Sabem que un dels costats és de 5 cm.b) Troba l’àrea i el perímetre d’un triangle de costats 5 cm, 6 cm i 7 cm. Troba l’alçada sobre el costat major.

20. (1r ESO) Perímetre i àrees de polígons. Quadrilàters.a) Troba l’àrea i el perímetre d’un rectangle de base 6 cm i alçada 4 cm.b) Troba l’àrea i el perímetre d’un rombe del qual la diagonal major és 14 cm i menor 8 cm.c) Troba l’àrea d’un romboide de base 6 cm i alçada 4 cm. Per què no podem trobar el perímetre?d) Troba l’àrea i el perímetre d’un trapezi rectangle les bases del qual mesuren 10,4 cm i 7 cm i l’alçada és5,4 cm.e) Troba l’àrea i el perímetre d’un trapezi les bases del qual mesuren 8 cm i 2 cm, l’alçada 4 cm i un costat és 5 cm.

21. (1r ESO) Perímetre i àrees de polígons regulars.a) Troba l’àrea i el perímetre d’un triangle equilàter de costat 8 cm. Nota: troba l’àrea de dos formes: amb la fórmula d’Herón i com (base x alçada) / 2b) Troba l’àrea i el perímetre d’un quadrat de costat 8 cm.c) Troba l’àrea i el perímetre d’un hexàgon regular de costat 8 cm.d) Comprova amb Geogebra o Cabri II que només hi ha un polígon regular de costat fix amb n costats.

22. (1r ESO) Longituds i àrees en la circumferència i el cercle.Donada una circumferència de la qual el radi mesura 3 cm. a) Quina és la seua longitud?b) Calcula la longitud d’un arc de la circumferència de 60º d’amplitud. c) Calcula l’àrea del cercle tancat en la circumferència proposada.d) Calcula l’àrea del semicercle.e) Calcula l’àrea del sector circular de 15º d’amplitud tancat en la circumferència proposada.

23. Calcula el valor de x en cada polígon, el perímetre i l’àrea:

a) b) c) x d)

6 mx

6 m 8 cm x10 dm

x 8 m

6 m 15 cm 24 dm 8 m

24. Calcula el valor de x en cada polígon, el perímetre i l’àrea:a) b) c)

8 m

60o

9 m

60o

x

30o

x 12 cm x

60o

d) e)

x 12 dm x

45o

6 cm

25. (1r ESO) En l’etapa de la volta ciclista a Espanya amb final en "Xorret de Catí" els ciclistes recorren 142Km. Si sabem que les rodes de la bicicleta té un radi de 36 cm. Quantes voltes dóna cada roda?

26. (1r ESO) a) La tapa de pot de tomaca fregit mesura 43 cm de circumferència, quant mesura el radi de la tapa?b) La superfície de la tapa d’un altre pot de tomaca fregit és de 20 cm2, quant mesura el radi de la tapa?

27. (1r ESO) L’arena d’una plaça de bous té un diàmetre de 63 m’i el carreró té una amplitud de 2 m. Calcula l’àrea del carreró. (observa que és una corona circular)

28. (1r ESO) Una roda d’una bicicleta té 47,75 cm de diàmetre i cada 6 cm aproximadament té un radi que costa1,35 €. Quant costen els radis de la bicicleta?

29. (1r ESO) Una classe rectangular mesura 8 m llarg i 6 m d’ample. Si en la classe hi ha 36 alumnes.a) Es complix la normativa vigent que obliga a tindre amb una superfície mínima de 1,5 m2 per alumne?. b) Quin és el nombre màxim d’alumnes que podria tindre la classe?

30. (1r ESO) Calcula l’àrea de la figura compresa entre l’hexàgon i la circumferència:

33. (1r ESO) Calcula l’àrea pintada en la figura:

31. (1r ESO) Calcula l’àrea pintada en la figura:

34. (1r ESO) Calcula l’àrea pintada en la figura:

32. (1r ESO) Calcula l’àrea de l’estrella següent:

35. (1r ESO) Troba l’àrea del cor següent:

36. Tenim un cub de poliespan. Ho hem tallat com es mostra en la figura següent: Troba l’àrea i el perímetre del polígon.

37. La plaça d’un poble té la forma i les dimensions que apareixen en el dibuix.Els angles assenyalats són, tots ells, de 45°. Calcula el perímetre i l’àrea de la plaça.

38. Figures semblantsEn una fotografia estan Pablo i son pare. Se sap que Pablo mesura en la realitat 1,50 m. Les mesures en la fotografia són: Pablo, 6 cm, i son pare, 7,2 cm. Quant mesura el seu pare en la realitat?

39. Figures semblantsa) En la vora del riu Sena (París) hi ha una rèplica a escala 1:4 de l’Estàtua de la Llibertat que mesura 11,5 m d’altura. Troba l’altura de l’estàtua de Nova York.b) En Cenicero, un poble riojano, hi ha una Estàtua de la Llibertat de 1,2 m. Quina seria l’escala d’esta respecte a la de Nova York?

40. Figures semblants (plans).Este és el plànol de la paret d’una cuina. Calcula:a) Les seues dimensions reals (llarg i ample).b) La distància real que hi ha entre els foguers i la campana extractora. c) La superfície real de vidre de la finestra.Ajuda: hauràs de mesurar amb la regla les mesures corresponents en el

pla.

41. En este mapa d’Elx l’escala és 1:9000.a) Quina distància hi ha en línia recta de l’Institut a la Glorieta si en el mapa hi ha 10,6 cm?b) Quant temps tardaríem a arribar si poguérem anar en línia recta a un pas de 6 Km/h?c) Si de ma casa a l’Institut hi ha 2,8 Km en línia recta, quina distància hi ha en el mapa?

42. El perímetre d’un pentàgon regular mesura 12 m, i el d’un altre pentàgon regular mesura 42 m.a) Calcula la raó de semblança.b) Si l’àrea del primer és de 9,91 m2, quina és l’àrea del segon?

43. Construcció de figures semblants.a) Sobre un full de paper quadriculat, realitza una còpia del següent dibuix, però al doble de la seua dimensió.b) Còpia la següent figura en el teu quadern i amplia-la al triple de la seua dimensió:

b1) Projectant-la des d’un punt interior (A).b2) Projectant-la des d’un dels seus vèrtexs (B). b3) Projectant-la des d’un punt exterior (C).b4) Repetix els apartats anteriors amb ajuda de Geogebra.

Comentari: Es diu que la figura projectada és homotètica amb raó d’homotècia 3 i centre d’homotècia el punt proposat (A, B o C).

44. Construcció de figures semblants.Per mitjà d’una projecció que tinga com a centre el centre del rombe, dibuixa un altrerombe que siga una ampliació al 250 %. a) Quant mesuren les noves diagonals? b) Compara les àrees dels dos rombes

45. Teorema de Thales.Si AB 9 cm ,

BC 12 cm i

A' B' 7,5 cm , quina és la longitud del segment

B' C ' ? Quin teorema has aplicat?

46. Triangles semblants.Dibuixa un triangle rectangle els catets del qual mesuren 3 cm i 4 cm. Dibuixa un altre triangle rectangle en posició de Thales, de manera que el catet menor mesure 6 cm. Quant mesura l’altre?

47. Si sabem que AB = 1,5 cm, AC = 3 cm i AB' = 2,25 cm, troba la longitud del costat AC'. Com estan els triangles ABC i AB' C'?

48. Triangles semblants.Dos angles d’un triangle mesuren 55° i 65°, i dos angles d’un altre triangle mesuren 55° i 60°. Són semblants ambdós triangles?

49. Triangles semblants.Calcula l’alçada de l’arbre i de l’edifici sabent que la longitud de l’estaca és 1,6 m; l’ombra de l’estaca és 0,7 m; l’ombra de l’arbre és 3,5 m’il’ombra de l’edifici és 6 m. Observa que els rajos del Sol arriben paral·lelsels uns als altres quan els objectes estan prop.

50. Triangles semblants.Quina és la distància entre el nen i la base de la torre(el venenu la torre reflectida en l’aigua)?

51. Triangles semblants.Una persona se situa de tal manera que la part alta de la reixa i la part alta de l’edifici estiguen alineades amb els seus ulls. Assenyala la seua posició i pren les mesures que es veuen en el dibuix.a) Explica per què els triangles ABC i CDE són semblants. b) Calcula ED.c) Calcula l’alçada de l’edifici.

52. Triangles semblants.Els costats d’un triangle mesuren 7,5 cm, 18 cm i 19,5 cm. Es construïx un altre semblant a ell el costat menordel qual mesura 5 cm.a) Quina és la raó de semblança al passar del primer al segon?b) Quant mesuraran els altres dos costats del segon triangle?c) Sabent que el primer triangle és rectangle, podem assegurar que el segon també ho serà? Comprova-ho aplicant el teorema de Pitàgores als dos triangles.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

SOLUCIONSTemes 7,8 i 9 Exercicis r es o lts en vídeo www.josejai m e.c o m / vi d eosde m at e maticas

SOLUCIONS:1. a) 75º , b) 132º , c) 130º , d) 145º

(Veure vídeo)2. a) = = = =125o ; = = = 55o b) = 65o

26. a) 43

2 6,84 cm ; b)

2

20 2.52 cm . (Veure vídeo)

; = 25o ; = 155o (Veure vídeo) 27. A 383,27 m

. (Veure vídeo)

3. a) = 120o, = 60o, = 300o ; b) = 90o, = 90o, = 270o ; c) = 72o, = 108o, = 252o

d) = 60o, = 120o, = 240o (Veure vídeo)

28. Cost: 33,75 €. (Veure vídeo)29. a) No perquè disposen de 1,33 m2 cada alumne;

b) 32 alumnes. (Veure vídeo)

4. (Veure video) 30. A 1,22 cm 2 .(Veure vídeo)5. b) 5; c) 12 (Veure vídeo)6. a) 44 cm2; b) 15 m2 (Veure vídeo)

31. A

cm 2 . (Veure vídeo)

7. a) obtusangle; b) rectangle; c) acutangle; (Veure vídeo)

32.

33.

A 16 cm2 . (Veure vídeo)

A 50 cm2 . (Veure vídeo)8. 8 m (Veure vídeo)9. (Ver vídeo) 34. A 12 cm

2 27,70 cm 2

. (Veure vídeo)

10. (Ver vídeo)11. 11 m (Veure vídeo)

35. A 5,66 cm 2 . (Veure vídeo)

12. 15 m (Veure vídeo) 36. És un trapezi isòsceles. Base major 72 cm ;

13. c) 45 cm 6,71cm . (Veure vídeo)

Base menor 18 cm ; Costat igual

45 cm ;

14. (Veure vídeo) Perímetro 26,14 cm ;

Alçada 6,36 cm ;

15. 2 28 cm 10,58 cm (Veure vídeo)

Àrea 40,5 cm 2 . (Veure vídeo)

16. 2,12

2 cm 3 cm

(Veure vídeo) 37. P (56 2

72 4 ) cm 85,54 cm ;

17. Aprox. 2,5 cm. (Veure vídeo)18. 18 cm. (Veure vídeo)

A (420 8 ) cm 2 445,13 cm 2 . (Veure

vídeo)38. 1,80 m. (Veure vídeo)

19. a) A 14 cm 2

;P 12

32 cm 17,66 cm ;

39. a) 46 m; b) 1:38,333. (Veure vídeo)

b) 216 cm2 14,7 cm2 ; P 18 cm ;

40. Veure vídeo.41. a) 954 m; b) 0,159 h 9,54 min ; c) 31,11 cm . (Veure

h 2 216

cm 4,2 cm . (Veure

vídeo)7

vídeo)

20. a) A 24 cm 2 ; P 20 cm

42. a) La raó entre el pentàgon gran i el xicotet és

b) A 56 cm 2 ; P 4

65 cm 32,25 cm

3,5; b)vídeo)

A 9,91 3,52 m 2 121,3975 m 2 . (Veure

c) A 24 cm 2 ; Perquè hi ha infinits romboides ambeixes característiques.

43. Veure vídeo.44. a) Diagonal major = 7,5 cm; Diagonal menor = 5 cm

2

d) A 46,98 cm 2

;Aprox. P 29,18

cm

b) Àrea rombe major = 18,75 cmÀrea rombe menor = 3 cm2

e) A 20 cm 2

;P 20 cm . El trapezi és isòsceles. .

La raó entre les àrees és 6,25, és a dir, 2,52. (Veure

(Veure vídeo) vídeo)

MATEMÀTIQUES 2n ESO

SOLUCIONSTemes 7,8 i 9 Exercicis r es o lts en vídeo www.josejai m e.c o m / vi d eosde m at e maticas 21. a) A

163 cm 2 27,71cm 2

;

P 24 cm

.

45. 10 cm; Teorema de Thales. (Veure vídeo)

b) A 64 cm 2

;P 32 cm

.

46. 8 cm. (Veure vídeo)47. 4,5 cm. (Veure vídeo)

c) A 96 3 cm 2 166,28 cm 2 ;

P 48 cm . (Veure

48. Sí, perquè ambdós triangles tenen d’angles 55º,

vídeo)

22. a) L 6 cm 18,85 cm ; b) L cm 3,14

cm ;

A 9 cm 2

60º i 65º. (Veure vídeo)49. Alçada arbre = 8 m

Alçada aprox. edifici = 13,71 m. (Veure vídeo)

c)

(Veure vídeo); d) A 9 / 2 cm 2

e)A 9 / 24 cm 2

. 50. 33,3 m. (Veure vídeo)

23. a) x = 5,20 m b) x = 17 cm c) x = 13 dm d) x = 11,31 m. (Veure vídeo)

24. a) x = 5,20 m b) x = 10,40 cm c) x = 6,93 m d) x = 8,49 cm e) x = 8, 49 dm. (Veure vídeo)

25. 62777 voltes. (Veure vídeo)

51. a) Perquè tenen els mateixos anglesb) ED = 3,9 m; c) 6,9 m. (Veure vídeo)

52. a) 2/3; b) 12 cm i 13 cm; c) Sí, perquè els angles es mantenen iguals. (Veure vídeo)