Apuntes de Ayudantia_Curso Probabilidades y Estadistica

“Ayudantías de Probabilidad y Estadística”(Versión Preliminar)

“Texto de apoyo para los Estudiantes”

2012

Autor: Andrés Celedon Paredes

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Universidad Diego PortalesFacultad de Ingeniería

Instituto de Ciencias Básicas

Probabilidad y Estadística Página 2

Mis sinceros agradecimientos a:

Don Hugo Robotham

Miguel Guerrero

Jaime Pérez Kallens

Daniel Rojas

Claudio Olivares

Mis Padres

Amigos y Familia

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Introducción a las Probabilidades

Conjunto

El concepto de conjunto es un pilar fundamental de la probabilidad y la estadística y de lamatemática en general. Un conjunto puede considerarse como una colección de objetos,llamados miembros o elementos del conjunto. En general, mientras no se especifique locontrario, denotaremos un conjunto por una letra mayúscula A, B, C, y un elemento por unaletra minúscula a,b,c.

Si un elemento a pertenece a un conjunto C escribimos ∈ . Si no pertenece a Cescribimos ∉ . Si a y b pertenecen a C escribimos , ∈ . Para que un conjunto seabien definido, como siempre lo supondremos, debemos estar capacitados para determinar siun objeto específico pertenece o no al conjunto.

Un conjunto puede definirse haciendo una lista de sus elementos o, si esto no es posible,describiendo alguna propiedad conservada por todos los miembros y por los no miembros.El primero se denomina el método de extensión y el segundo el método de comprensión.

Ejemplos

a) El conjunto de las vocales en el alfabeto puede definirse por el método de extensióncomo {a, e, i, o, u} o por el método de comprensión como{ | },léase "el conjunto de los elementos x tales que x es una vocal" donde la líneavertical se lee "tal que" o "dado que".

b) El conjunto{ | } es el conjunto de los triángulosen un plano. Obsérvese que el método de extensión no puede utilizarse aquí.

c) Si lanzamos un par de dados comunes los "números" o "puntos" posibles quepueden resultar sobre la cara superior de cada dado son elementos del conjunto {1,2, 3, 4, 5, 6}.

Subconjunto

Si cada elemento de un conjunto A también pertenece a un conjunto B llamamos a A unsubconjunto de B, escrito ⊂ o B⊂ y leído "A está contenido en B" o " B contiene aA" respectivamente. Se sigue que para todos los conjuntos A tenemos ⊂ .

Si ⊂ y B ⊂ llamamos a A y B iguales y escribimos = . En este caso A y B tienenexactamente los mismos elementos.

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Si A no es igual a B, es decir, si A y B no tienen exactamente los mismos elementos,escribimos ≠ .

Si ⊂ pero ≠ llamamos a A un subconjunto propio de B.

Ejemplos

a) {a, i, u) es un subconjunto propio de {o, e, i, o, u}.b) {i, o, a, u, e} es un subconjunto, pero no un subconjunto propio, de {o, e, i, o, u},

puesto que los dos conjuntos son iguales. Obsérvese que la sola redistribución delos elementos no cambia el conjunto.

c) Al lanzar un dado los resultados posibles cuando el resultado es "par" son elementosdel conjunto {2, 4, 6}, el cual es un subconjunto (propio) del conjunto de todos losresultados posibles {1, 2 , 3, 4, 5, 6).

Conjunto Universal y Conjunto Vacio

Para muchos propósitos restringimos nuestra discusión a subconjuntos de algún conjuntosespecíficos denominado el universo del discurso, o simplemente universo. También se lellama el conjunto o espacio universal y se denota por . Los elementos de un espacio sellaman los puntos del espacio.

Es útil considerar que un conjunto que no tiene elementos. Este conjunto se denomina elconjunto vacio o el conjunto nulo y se denota por ∅; es un sub conjunto de cualquierconjunto.

Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento.

Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismoselementos. Es decir, A es igual a B si cada elemento que pertenece a A pertenece también aB y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A.

Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A = B.

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Diagramas

a) Venn – Euler

Un universo puede representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro deun rectángulo. En tal caso los subconjuntos de (como A y B indicados y sombreados enla Figura siguiente) se representan por conjuntos de puntos dentro de los círculos. Talesdiagramas denominados diagramas de Venn, sirven para darnos una intuición geométricarespecto a las posibles relaciones entre conjuntos.

Se representa un conjunto mediante un área plana, generalmente círculos.

Ejemplo:A

B B A

b) Lineales:

Se establece la representación mediante líneas donde se identifican órdenes jerárquicos.

Ejemplo:

1) A B Se representa:

2) Si A B y B C, entonces se representa:

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3) Sean los conjuntos:

A = {1}; B = {1, 2}; C = {1, 2, 3}; D = {1, 2, 4}

Su representación lineal sería:

Operaciones Fundamentales con Conjuntos

a) Unión:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la funciónproposicional “x A v x B”, entonces se obtiene un nuevo conjunto llamado la unión deA y B, es decir:

A U B = {x/x A v x B}

Representación:

A) Simbólica: x (A U B) x A v x B

B) Gráfica:

A B

A U B

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Propiedades:1. Idempotencia: A U A = A2. Identidad: A U = A ; A U U = U3. Conmutativa: A U B = B U A4. Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C5. Adición: A (A U B) ; B (A U B)

b) Intersección:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la funciónproposicional “x A x B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado la intersección de Acon B, es decir:

A B = {x/x A x B}

Representación:

A) Simbólica: x (A B) x A x B

B) Gráfica:

A B

A B

Propiedades:

1. Idempotencia: A A = A2. Identidad: A = ; A U = A3. Conmutativa: A B = B A4. Asociativa: A (B C) = (A B) C5. Distributiva: a) A (B U C) = (A B) U (A C)

b) A U (B C) = (A U B) (A U C)6. (A B) A ; (A B) B7. Si A y B son disjuntos entonces A B =

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c) Complemento:

El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A.

El complemento de A se denota por A’, o por Ac, o por Ā

A’ = {x/x A}

Representación:

A) Simbólica: x A’ x A (x A)

B) Gráfica:

A A’

Propiedades:

1. (A’)’ = A (Complemento del complemento)2. A U A’ = U (Tercer excluido)3. A A’ = (Contradicción)4. (A U B)’ = A’ B’ (Leyes de De Morgan)

(A B)’ = A’ U B’5. U’ = ; ’ = U

d) Diferencia:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una funciónproposicional “x A x B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado diferencia entre A yB.

Notación: La diferencia entre A y B se designa por A – B.

A – B = {x/x A x B}

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Representación:

A) Simbólica: x (A – B) x A x B

B) Gráfica:

A B

A - B

Propiedades:

1. A – B = A B’2. A – A = 3. A - = A4. - A = , U – A = A’5. A – B = B - A A = B6. (A - B) - C A - (B - C)7. (A - B) A

NOTA: A-B B-A (No cumple con la propiedad conmutativa excepto cuando A=B).

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e) Diferencia simétrica:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una funciónproposicional “x (AB) x (AB)”, se obtiene un nuevo conjunto llamado ladiferencia simétrica entre A y B.

Notación: Se designa la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B por A B.

A B={x/x (AB) x (AB)}

Representación:

A. Simbólica:

x(A B) x(AB) x (AB)

B. Gráfica:

A B

A B

Propiedades:

1. AB BA2. (AB)C = A (BC)3. A = A4. AA = 5. (AB)C = (AC) (BC)6. AB = (A-B)U (B-A)7. AB = (A U B)-(AB)

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f) Operaciones con conjuntos comparables:

Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento tienen propiedadessencillas cuando los conjuntos de que se trata son comparables.

Teoremas:

1. A B implica A B = A2. A B implica A U B = B3. A B implica B’ A’A B implica A U (B - A) = BNota: 1. Probar los anteriores teoremas (mediante gráficas).

2. Demostrar dichos teoremas (justificando cada paso).

Fenómenos o experimentos aleatorios ( )La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia fenómenos oexperimentos aleatorios naturales o artificiales.

Un experimento aleatorio es aquel que se caracteriza porque al repetirlo bajo condicionesanálogas es posible predecir el resultado que va a ocurrir. En caso contrario se llamaexperimento deterministico.

Ejemplos

a) Lanzar una moneda (Finito)b) Lanzar un dado hasta obtener el numero 4 y se cuenta las veces que se lanza

(Infinito numerable)c) Se mide la vida útil de un artículo (Infinito innumerable)

Espacio muestral ( )El espacio muestral de un experimento aleatorio, es el conjunto de todos los posiblesresultados asociados al experimento. Con frecuencia habrá más de un espacio muestral quedescribe los resultados de un experimento pero hay comúnmente sólo uno que suministra lamayoría de la información. Obsérvese que Ω corresponde al conjunto universal.

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Ejemplo:

Si lanzamos un dado, un espacio o conjunto muestral de todos los resultadosposibles se da por {1, 2, 3, 4, 5, 6} en tanto que otro es (par, impar). Sin embargo,es lógico que el último no sería adecuado para determinar, por ejemplo, si unresultado es divisible por 3.

Sucesos

Un suceso es un subconjunto A del espacio muestral Ω, es decir, es un conjunto deresultados posibles. Si el resultado de un experimento es un elemento de A decimos que elsuceso A ha ocurrido. Un suceso que consiste de un solo punto de Ω frecuentemente sellama un suceso elemental o simple.

Como sucesos particulares tenemos el suceso en sí mismo, que es el suceso cierto o seguroya que un elemento de Ω debe ocurrir, y el conjunto vacío∅, que se llama el sucesoimposible puesto que un elemento de ∅ no puede ocurrir.

Puesto que los sucesos son conjuntos es lógico que las proposiciones relativas a sucesospueden traducirse en el lenguaje de la teoría de conjuntos e inversamente. En particulartenemos un algebra de sucesos que corresponde al álgebra de conjuntos

Empleando las operaciones de conjuntos en sucesos en ∅ podemos obtener otros sucesos en∅. Así si A y B son sucesos, entonces

a) ∪ es el suceso “A o B o ambos”b) ∩ es el suceso “Tanto A como B”c) ´ es el suceso “No A”d) − es el suceso “A pero no B”

Si los conjuntos correspondientes a los sucesos A y B son disjuntos, es decir, ∩ = ∅,frecuentemente decimos que los sucesos son mutuamente excluyentes. Esto quiere decirque no pueden ocurrir ambos.

EjemploHaciendo referencia al experimento de lanzar una moneda dos veces sea A el suceso "por lomenos resulte una cara" y B el suceso "el segundo lanzamiento sea un sello".Entonces

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A = {CS, SC, CC}B= {CS, SS}Así tenemos ∪ = { , , , } = Ω∩ = { }´ = { }− = { , }Principio de dualidad en B, U ∩:

Toda proposición o identidad algebraica deducible de los postulados de un álgebrabooleana de conjuntos B, U ∩ sigue válida sí todas las operaciones U e ∩ y loselementos identidad y U son intercambiados.

Si una proposición o una expresión se obtienen de otra por una sola aplicación delprincipio de dualidad, la segunda se llama la “DUAL” de la primera y viceversa.

Ejemplos:

(a) A U A = A (b) A A = A (Dual de (a)).(a) A U U = U (b) A = (Dual de (a)).(a) A U (A B) = A (b) A (A U B) = A (Dual de (a)).

Nota: Hallar expresiones que cumplan con el principio de dualidad.

Número de elementos de un conjunto

Si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de elementos de A.

Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5.

Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1.

Sea N = {x/x es divisor de 5}; n(N) = 2.

Entonces podemos analizar dos casos:

A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A B = , entonces el número deelementos en la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de A y elnúmero de elementos de B.

Luego: Si A B = entonces n(A U B) = n(A) + n(B)

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Ejercicios de AyudantíaConjunto, Diagrama de Venn, Fenómenos Aleatorios y Espacio Muestral

1. Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escribael espacio muestral de este experimento aleatorio.

Solución:El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesoselementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio,indescomponibles en otros más simples. Como el experimento consiste enresponder al azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuestaconstituirá un suceso elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero ala primera pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con estarepresentación podemos escribir el espacio muestral como:

E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}

2. Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.

a) Escriba el espacio muestral.

Solución:

Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:

(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V)

(F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)

(F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)

(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)

b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.

Solución:

El Suceso responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espaciomuestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay una respuestafalso, lo llamaremos A y será:

A = {(V, V, V, F) ∪ (V, V, F, V) ∪ (V, F, V, V) ∪ (F, V, V, V)}

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c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.

Solución:

El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:

B = {(V, V, V, F) ∪ (V, V, F, V) ∪ (V, F, V, V) ∪ (F, V, V, V) ∪ (V, V, V, V)}

d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el1º.

Solución:

Observando los sucesos elementales que los componen se deducen inmediatamentelos siguientes resultados:∪ = ∩ = − = {( , , , )}

3. Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100estudiantes, acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería yaporta los siguientes datos:

Estudian trigonometría: 40 Estudian álgebra: 55 Estudian geometría: 55 Estudian trigonometría y álgebra: 15 Estudian trigonometría y geometría: 20 Estudian álgebra y geometría: 30 Estudian las tres materias: 10 No van a la biblioteca: 5

¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?

Solución:

Sean T = {x/x estudia trigonometría}

A = {x/x estudia álgebra}

G = {x/x estudia geometría}

Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda:

i. “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados.

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ii. Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza.iii. Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de

estudiantes que estudia cualquier combinación de materias.

Analíticamente:

n(T A G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(TA) – n(TG) – n(GA) + n(TAG)n(T A G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 9595 Estudiantes que asisten a la biblioteca.100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca.Por lo tanto la encuesta está bien realizada.

4. En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que:o 68 se comportan bien.o 138 son inteligentes.o 160 son habladores.o 120 son habladores e inteligentes.o 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes.o 13 se comportan bien y no son habladores.o 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.

¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no sonhabladores y no son inteligentes?.

Solución: El problema da como datos

n(B) = 68 n(I) = 138 n(H) = 160n(HI) = 120 n(BI’) = 20

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n(BH’) = 13 n(BHI’) = 15

Se pide hallar: n(B’H’I’) = ?

Primero se ubica en el diagrama de Venn n(BHI’) = 15 luego n(BI’) = 20,después n(BH’) = 13, como se sabe n(B) = 68 se puede saber (restando)n(BHI) = 40. Se puede ubicar después n(HI) = 120, y por último se saca elnúmero de personas que son únicamente inteligentes y únicamente habladoresteniendo n(I) = 138 y n(H) = 160 (restando).

Ahora bien si hay 200 estudiantes (se resta a esta cantidad (todo) las demás deldiagrama de Venn).

n(B’H’I’) = 17

Otra forma:

n(B’H’I’) = n(BHI)’

n(BHI) = n(B) + n(H) + n(I) – n(BH) – n(BI) – n(HI) + n(BHI)

n(BHI) = 68 + 160 + 138 – 55 – 48 – 120 + 40 = 183

n(BHI)’ = 200 – 183 = 17

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5. Al final del semestre se hizo una encuesta sobre las materias que más perdió lagente: Contabilidad, Administración y Química.

Siendo la clase de 60 alumnos, se tiene:

n(CAQ) = 2 n(AQ) = 8 n(CQ) = 10

n(CA) = 7 n(C) = 25 n(A) = 15 n(Q) = 35

Expresar simbólicamente y hallar el número de personas de:

a) ¿Cuántos fracasaron exactamente en una prueba?b) ¿Cuántos aprobaron las 3 pruebas?c) ¿Cuántos fracasaron en la 1era y en la 3era, pero no en la segunda?

Solución:

a) n[(CA)Q] = 31

b) n(CUAUQ)’ = 8

Demostración

n(CUAUQ) = n(C) + n(A) + n(Q) – n(CA) – n(CQ) – n(AQ) + n(CAQ)

n(CUAUQ) = 25 + 15 + 35 – 7 – 10 – 8 + 2

n(CUAUQ) = 52

n(CUAUQ)’ = 60 – 52 = 8

c) n[(CQ) A’] = 8

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n(CQ) = 10

6. Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias poralguna radio F.M. de la región, señaló que:

277 preferían Carolina

233 preferían Manquehue

405 preferían Tiempo

165 preferían Manquehue y Tiempo

120 preferían Manquehue y Carolina

190 preferían Carolina y Tiempo

105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas

Determine:

a) ¿Cuántos jóvenes fueron encuestados?b) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina?c) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina y Tiempo?

Solución:

Solo C= 277-120+105-190+105-105 Solo M= 233-120+105-105-165+105

Solo C= 72 jóvenes Solo M= 53 jóvenes

Solo C y M= 120-105= 15 Jóvenes Solo C y T= 190-105= 85 jóvenes

Solo M y T= 165-105= 60 jóvenes

Sólo T= 405-190+105-165+105-105= 545 jóvenes

Total jóvenes encuestados= 72+53+15+85+60+155+105= 545 jóvenes

a) Fueron encuestados 545 jóvenesb) Sólo Carolina prefieren 72 jóvenesc) Solo Carolina y Tiempo prefieren 85 jóvenes

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7. Demuestre:

a) ( - B)

Solución:

( - B) (A Bc) B = A(Bc B) =

=

b) (A – B) - C) = A – (B C)

Solución:

(A – B) - C) = A – (B C)(A c) Cc = A – (B C)A (Bc Cc = A – (B C)

(A ) c Cc) = A – (B C)A Cc = A – (B C)A – (B C) = A – (B C)

c) n[A B C n + n + n(C) - n(A B) - n(AC) - n(BC) +n[A(C)]

Solución:

n[A B C = n(A) + n(BC) - n[A(BC)]

= n(A) + n(B) + n(C) - n(BC) - n[(AB)(AC)]

= n(A) + n(B) + n(C) - n(B C) - n(A B) - n(A C) + [ n(A B) (AC)]

= n + n + n(C) - n(A B) - n(AC) - n(BC) +n[A(C)]

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d) (A A) (A Bc) = A

Solución:

(A A) (A Bc) = A

A (A Bc ) = A

A = A

e) (B C) A = (B A) (C A)

Solución:

(B C) A = (B A) (C A)

A (B C) = (B A) (C A)

( A B) (A C) = (B A) (C A)

(BA)(CA) = (BA)(CA)

8. Simplificar:

a) A [ (B (A B) ) (A (A B) ) ]

Solución:A [ (B (A B) ) (A (A B) ) ]A [ (B A) (B B) ] (A A) (AB)A [ (B A) (B B) ] A (A B)A [B A] B= B(A B) (A A)(A B) (A)

A

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9. Muestre en Diagrama de Venn los siguientes casos

a) [ (A B) ) (B C) (A C) ]

b) [(B (A´ C´) (A C) B´ ) ]

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c) [(A C) B’ (A B C)’ B ( A C )’´]

d) [(B (A´ C´) (A B C) ]

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Probabilidad

En el capítulo anterior, habíamos dicho que al realizar un experimento aleatorio, no hayseguridad sobre el resultado que obtendremos: en otras palabras, hay incertidumbre. Puesbien, utilizaremos para ’medir’ esa aleatoriedad o incertidumbre, un número queasociaremos a cada suceso, y llamaremos probabilidad.

Por ejemplo, si elegimos una carta al azar de entre las de la baraja mus (Baraja españolapero sin 8s y sin 9s), no sabríamos predecir con seguridad qué carta saldrá. Aunque comosabemos que hay más ases que sietes, sería lógico pensar que tiene más posibilidades desalir un as que un siete. Por eso diremos que, tras el experimento, el suceso aleatorio “lacarta es un as” tiene más posibilidades de darse que el otro suceso “la carta es un siete”.

En este capítulo descubriremos varias técnicas para medir la frecuencia con la que se danlos sucesos aleatorios, es decir, introduciremos varios métodos para asignar probabilidades.

La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de losfenómenos o experimentos aleatorios. Se entiende por experimento aleatorio todo aquel

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Probabilidad





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Probabilidad





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experimento tal que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultadoque se obtiene no siempre es el mismo. A menudo, y por muy diversas razones, esnecesario aceptar que no es posible predecir el resultado de un experimento particular aúncuando se le haya efectuado con anterioridad varias veces bajo las mismas condicionesiniciales, y en consecuencia se considera aleatorio. Bajo estas circunstancias, la teoría de laprobabilidad tiene el objetivo de modelar matemáticamente cualquier experimento aleatoriode interés.

a) Espacios de probabilidad

El modelo matemático creado durante el primer tercio del siglo XX para estudiar losexperimentos aleatorios es el así llamado espacio de probabilidad.Este modelo consiste de una terna ordenada, denotada usualmente por (Ω, ℱ, ), en dondeΩ es un conjunto arbitrario, ℱ es una σ- álgebra de subconjuntos de Ω, y P es una medidade probabilidad definida sobre ℱ .Explicamos a continuación brevemente cada uno de estos elementos.

Espacio muestral. El conjunto Ω es llamado espacio muestral o espacio muestra, y tienecomo objetivo agrupar a todos los posibles resultados del experimento aleatorio encuestión. No es imprescindible darle esta interpretación al conjunto Ω, y matemáticamentese le considera entonces como un conjunto arbitrario.

σ-álgebra. Una clase o colección no vacía ℱ de subconjuntos de Ω es una σ-álgebra si escerrada bajo las operaciones de tomar complementos y uniones numerables. El término σ-álgebra se lee “sigma-´algebra”. A los elementos de una σ-álgebra se les llama eventos,sucesos, o conjuntos medibles. Debido a su uso extendido, se usa el término medible,aunque tal vez lo correcto sea decir mensurable. En particular, un evento es simple oelemental si consta de a lo más un elemento de Ω, y es compuesto cuando consta de dos omás elementos de Ω.

Medida de probabilidad. Una función P definida sobre una σ-álgebra ℱ y con valores en elintervalo [0, 1] es una medida de probabilidad si (Ω) = 1 y es σ-aditiva, es decir, sicumple que

( ) = ( )

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Cuando , . . . son elementos de ℱ que cumplen con la condición de ser ajenos dos ados, esto es, ∩ = ∅ para valores de i y j distintos.El número P(A) representa una forma de medir la posibilidad de observar la ocurrencia delevento A, al efectuar una vez el experimento aleatorio.Tenemos entonces formalmente la siguiente definición.

Definición. (Espacio de probabilidad). Un espacio de probabilidad es una terna ( , , ),en donde es un conjunto arbitrario, es una σ-álgebra de subconjuntos de , y P es

una medida de probabilidad definida sobre .

El objetivo es asociar un espacio de probabilidad al experimento aleatorio de interés. Noexisten reglas establecidas para ello y además la posible asignación no es única, puesdependiendo del interés del observador, se puede asociar un espacio de probabilidad u otro.

En este primer capítulo se estudian con más detalle los conceptos de σ-álgebra y medida deprobabilidad.

b) σ-álgebra

En esta sección se estudia el concepto de σ-álgebra y se define la mínima σ-´algebragenerada por una colección arbitraria de subconjuntos del espacio muestral. Recordemosnuevamente la definición de esta estructura.

Definición. (σ-álgebra, espacio medible, evento). Una colección de subconjuntos deΩ es una σ-álgebra si cumple las siguientes condiciones:

∈ . Si ∈ , entonces ∈ .

Si , … ∈ , entonces⋃∞ ∈A la pareja , se le llama espacio medible y a los elementos de se les llama eventos

o conjuntos medibles.

En palabras, una σ-álgebra es una colección de subconjuntos de Ω que no es vacía y que escerrada bajo las operaciones de tomar complemento y efectuar uniones infinitasnumerables. Estas propiedades garantizan que la colección es cerrada al efectuar lasoperaciones usuales entre conjuntos, es decir, al tomar las operaciones de unión,intersección, complemento, diferencia, diferencia simétrica, etc. se obtienen nuevamenteelementos de la misma colección.

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En probabilidad elemental el conjunto Ω denota el espacio muestral o conjunto de posiblesresultados de un experimento aleatorio, y los elementos de ℱ representan eventos en elexperimento aleatorio. Una σ-álgebra es entonces una estructura que nos permite agruparciertos subconjuntos de Ω de interés, aquellos a los cuales se desea calcular suprobabilidad, y esta estructura constituye el dominio de definición de una medida deprobabilidad.

Cuando el espacio muestral es finito normalmente se toma como σ-álgebra el conjuntopotencia de Ω, pero para espacio muéstrales más generales no siempre puede tomarse esaestructura tan grande, y deben considerarse entonces σ-álgebras más pequeñas, es por elloque se estudian estas estructuras.

Proposición 1: Sea ℱ una σ-álgebra de subconjuntos de Ω. Entonces

∅ ∈ ℱ Si , … ∈ ℱ, entonces⋂ ∈ ℱ Si , ∈ ℱ, entonces − ∈ ℱ, ∆ ∈ ℱ

La proposición anterior establece entonces que las σ-álgebras son estructuras tambiéncerradas bajo las operaciones de diferencia e intersecciones numerables. En la sección deejercicios pueden encontrarse algunas otras definiciones de σ-álgebra equivalentes a la quehemos enunciado, y que involucran las operaciones de la proposición anterior. Unaoperación de particular importancia es aquella en la que se intersectan dos σ-álgebrasproduciendo una nueva σ-álgebra, este es el contenido del siguiente resultado.

Proposición 2. La intersección de dos σ-álgebras es una σ-álgebra.

Hemos entonces comprobado que si ℱ ℱ son dos σ-álgebras de un mismo conjunto Ω,entonces ℱ ∩ ℱ es nuevamente una σ-álgebra de subconjuntos de Ω, naturalmente máspequeña que ℱ ℱ en el sentido ℱ ∩ ℱ ⊆ ℱ , ℱ . La siguiente pregunta consiste enverificar si la unión de dos σ-álgebras produce nuevamente una σ-álgebra. En este caso larespuesta es negativa. En general no es cierto que la unión de dos σ-´algebras produzca unanueva σ-álgebra.

Proposición 3. La intersección finita, infinita numerable o bien arbitraria de σ-álgebras esnuevamente una σ-álgebra.

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Definición de probabilidad a partir de frecuencias relativas: probabilidadempírica.

Decíamos en el apartado anterior, que en un experimento aleatorio, la probabilidad es unnúmero que asignábamos a cada suceso, y con el que queremos indicar la frecuencia con laque se da dicho suceso.

Una sencilla manera de obtener la probabilidad de un suceso aleatorio es a través de la tablade frecuencias relativas de ese experimento. A esa probabilidad la llamamos probabilidadempírica o concepto frecuentista de probabilidad, porque se obtiene una vez realizado elexperimento. Así, si hemos realizado el experimento un número de veces n y observado susresultados, y nos damos cuenta de que en k de esas ocasiones se ha verificado el suceso quequeremos analizar, llamémosle A, decimos que la probabilidad de que ocurra el suceso A, ylo denotamos P(A), es , es decir: ( ) =Regla de Laplace: probabilidad teórica

Como has podido comprobar, resulta bastante tedioso asignar probabilidades a partir de lasfrecuencias relativas, pues es necesario realizar el experimento una gran cantidad de vecespara conseguir una buena aproximación de la verdadera probabilidad de un suceso y, aúnasí, nunca estaremos seguros de conseguirla.

Por esa razón es necesario introducir un método alternativo para el cálculo deprobabilidades que sea más manejable.

Imaginemos el ejemplo de antes: tenemos la baraja del mus o española y vamos a sacar unacarta. Queremos conocer las diferentes probabilidades de todos los posibles sucesos.

Bien, es lógico pensar que la baraja está bien hecha y, por tanto, sacaremos una carta conigual probabilidad que otra. Es decir, no hay cartas más grandes que otras, ni cartasdobladas, etc., en otras palabras, la baraja no está trucada y por tanto podemos sacarcualquiera de las cuarenta con las mismas posibilidades. Se dice en este caso que sonsucesos equiprobables. Otros sucesos equiprobables pueden ser el número que sale tras ellanzamiento de un dado (con igual probabilidad sale uno, dos,..., seis) o el hecho de salircara o cruz en el lanzamiento de una moneda (con igual probabilidad sale cara o cruz),siempre y cuando no estén trucados.

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Volvamos a nuestro ejemplo con la baraja del mus o baraja española. Tenemos cuarentacartas, todas ellas iguales en peso, forma, etc. Entre ellas hay 8 ases, por tanto parece lógicopensar que de cuarenta extracciones de cartas, aproximadamente en ocho saldrá un as. Estoes algo teórico, pues puedes comprobar que no siempre ha de ser así en la práctica (si sacascuarenta cartas, lo mismo te salen 3 ases que te salen 12). Pero el hecho de que haya 8 ases,nos da una idea de cuan probable es que salga esa carta.

Así pues, diremos que la probabilidad de que salga un as es . Es una probabilidad teórica,repetimos, en la práctica no siempre se dará que de cuarenta extracciones, en ocho de ellassaquemos un as. En este experimento, como hay cuarenta cartas en total, diremos que eneste experimento hay cuarenta casos posibles (podemos sacar cuarenta cartas diferentes) yocho casos favorables porque el suceso que estamos analizando (”sacar un as”) tiene ochooportunidades de darse.

Ahora, una vez introducidos estos conceptos, podemos enunciar la regla de Laplace para elcálculo de probabilidades, que dice:

Definición (Regla de Laplace): Si todos los sucesos elementales de un experimento sonequiprobables, y tenemos un suceso cualquiera A de dicho experimento, entonces se tieneque ( ) = ° °Donde el “N° total de casos favorables al suceso” son las posibilidades reales de obtenerese suceso”.

Esta fue la primera definición formal de probabilidad que se dio en la historia, y lo hizoPierre Simón de Laplace.

Extracciones con y sin reemplazamiento. Diagramas de árbol.Vamos a plantear en esta sección unos nuevos experimentos algo más complejos, en lugarde sacar una sola carta, vamos a sacar varias. Tras el estudio de esta sección, podremosanalizar en profundidad las diferentes jugadas del mus.

a) Extracciones con reemplazamiento

Comencemos por una situación sencilla, sacamos dos cartas de la baraja del mus, de una enuna y devolviendo la carta a la baraja una vez observada. A este proceso lo llamaremosextracción con reemplazamiento.

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Si llamamos al suceso “La primera carta es un rey” y al suceso “La segunda carta esuna sota”, nos podríamos preguntar cuál es la probabilidad de que se den esos dos sucesos ala vez, es decir, que la primera carta elegida sea un rey y la segunda una sota (numero 10).

Para calcular la probabilidad de este suceso, dibujamos el siguiente diagrama, llamadodiagrama de árbol:

La probabilidad de que la primera carta sea un rey y la segunda una sota, es el producto delas probabilidades del camino hasta llegar al resultado (la regla del producto), es decir,840 ∙ 440 = 150Sin embargo, si lo único que queremos es que las dos cartas sean un rey y una sota sinimportar el orden en el que aparezcan, nos tenemos que plantear que salgan (rey, sota) porese orden, o el orden inverso (sota, rey).Si llamamos al suceso “La primera carta es una sota” y al suceso “La segunda cartaes un rey”, para que se de la combinación (sota, rey) se tiene que dar el suceso ∩ .

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Por el mismo razonamiento de antes, y con un árbol similar al anterior, obtenemos que laprobabilidad de obtener (sota, rey) es 440 ∙ 840 = 150Por tanto, para obtener la probabilidad de obtener una sota y un rey sin importar el orden,sumamos las probabilidades anteriores “(rey, sota) + (sota, rey)” (regla de la suma), yobtenemos 150 + 150 = 125

b) Extracciones sin reemplazamiento

En los experimentos realizados antes, devolvíamos las cartas a la baraja una vez observadaspero, ¿Qué pasaría si no las devolvemos? Bien, la cosa cambia pero el razonamiento es máso menos el mismo, lo único que varían son las segundas probabilidades, es decir, lasprobabilidades referentes a la segunda extracción de cartas. Es lógico, ya que si en laprimera extracción tenemos cuarenta cartas, en la segunda sólo tendremos 39, pues laprimera que cogimos no es devuelta.

Entonces, en el ejemplo de antes, si queremos que la primera carta sea un rey y la segundasea una sota el árbol es el mismo, sólo cambian las probabilidades en la segunda extracción.

Vamos a calcular de nuevo las probabilidades de obtener un rey y una sota en ese orden,pero esta vez con unas extracciones diferentes, sin devolver las cartas a la baraja una vezobservadas.Son las llamadas extracciones sin reemplazamiento. El árbol de este experimento es muyparecido al anterior, veámoslo.

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En este caso tenemos que la probabilidad de obtener (rey, sota) es ∙ .

Notar que en este caso el segundo factor es porque al no devolver la primera carta quecogimos, nos quedarán sólo 39, entre las que hay cuatro sotas.

Igualmente calcularíamos la probabilidad de obtener la combinación (sota, rey) en dosextracciones sin reemplazamiento, y saldría ∙ .

Y de nuevo, si queremos calcular la probabilidad de obtener sota y rey sin importar elorden, en dos extracciones sin reemplazamiento, solo tenemos que aplicar la regla de lasuma, por lo que nos queda que es440 ∙ 839 + 440 ∙ 839 = 2 440 ∙ 839

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Definición axiomática de probabilidad

Ahora, en esta sección, vamos a introducir una definición más abstracta de la probabilidad.Lo haremos a partir de unos principios que aceptaremos como evidentes (a los quellamamos axiomas).Estos axiomas son:

a) Para cada suceso A, su probabilidad es un número entre 0 y 1, es decir,0 ≤ ( ) ≤ 1b) P(E) = 1, donde E es el suceso seguro.c) Si A y B son dos sucesos incompatibles, se tiene que( ∪ ) = ( ) + ( )

A partir de estos axiomas, podemos deducir una gran cantidad de propiedades que cumplela probabilidad, las más importantes son:

a) Si denotamos por el suceso complementario de A, se tiene que( ) = 1 − ( )b) Si tenemos un conjunto de sucesos , … , que son incompatibles dos a dos

( ∩ = ∅), se tiene que = ( )Como caso particular, podemos estudiar el caso en el que el conjunto de sucesos, … cumple también que ⋃ = , donde E representa el suceso seguro.En este caso decimos que el conjunto de sucesos , … es un sistema completode sucesos, y se tiene que ( ) = 1

c) Si el espacio muestral se puede descomponer en n sucesos elementales, pongamos= { , … . , }, entonces se tiene que( ) + ( ) + ⋯ + ( ) = ( ) = 1

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Como caso particular, si la probabilidad de cada suceso elemental es la misma, esdecir, ( ) = 1/ , y A es un suceso compuesto por k sucesos elementales, se tieneque ( ) = / , que es nuevamente la regla de Laplace.

d) Si A y B son dos sucesos cualesquiera, se cumple que( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )Esta propiedad se puede extender al caso de tres sucesos, cumpliéndose que( ∪ ∪ ) = ( ) + ( ) + ( ) − ( ∩ ) − ( ∩ ) − ( ∩ )+ ( ∩ ∩ )

Cálculo de probabilidades en casos complejos

a) Probabilidad condicionada

Volvemos a repartir las cartas. Son repartidas de uno en uno y nuestro turno es elcuarto, es decir, el último. Al primer jugador le ha tocado un rey, al segundo un as yal tercero una sota. ¿Cuál es la probabilidad de que nos toque a nosotros un as?Aplicando la regla de Laplace, podemos decir que la probabilidad de que nos toqueun as es , debido a que ya han sido repartidas tres cartas y por tanto en la barajasolo quedan 37, y uno de los ases fue a parar al segundo jugador, por lo que soloquedan siete en la baraja. Imagina ahora, que ninguno de ellos hubiese recibido unas, ¿Cuál sería entonces la probabilidad de que nos tocara a nosotros uno? En estecaso, quedarían aun los ocho ases en la baraja, y por tanto ahora la probabilidadsería . Pero, ¿Y si dos de ellos tuvieran un as? ¿Con qué probabilidad nos tocaría a

nosotros otro? En este caso, sería .Como puedes ver el valor de las probabilidades de que nos toque un as, varía segúnlas cartas que tengan nuestros contrincantes. Es decir, la probabilidad de un sucesopuede depender de la información que tengamos antes de realizar el experimento.

En este caso, la información que tenemos previa son las cartas de nuestroscontrincantes, es decir, sabemos que cartas van a faltar en la baraja cuando nostoque nuestro turno.

En estos casos, es muy sencillo calcular las probabilidades, pero hay otros en losque nos tendremos que apoyar en la formula de la probabilidad condicionada.

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Volvamos al ejemplo introducido antes. Si llamamos A al suceso “Mi carta será unas” y B al suceso “Los tres primeros jugadores han recibido: rey, as y sotarespectivamente”, nosotros queremos calcular P(A), pero sabiendo las cartas quetienen los otros, es decir, sabiendo que se ha dado el suceso B. Es decir, queremoscalcular la probabilidad del suceso A condicionado a B, y lo denotaremos A/B. Paraello podemos aplicar la fórmula de la probabilidad condicionada, que dice:

( / ) = ( ∩ )( )Por tanto, tendremos que calcular ( ∩ ) y ( ). Para calcular ( ) aplicamoslo aprendido antes en las extracciones sin reemplazamiento, y con un razonamientosimilar obtenemos que ( ) = 840 ∙ 839 ∙ 438Mientras que para que se de ∩ tiene que ocurrir que los cuatro jugadoresreciban un rey, un as, una sota y un as, es decir que( ∩ ) = 840 ∙ 839 ∙ 438 ∙ 737Por tanto, aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada, tenemos que= ( ∩ )( ) = 840 ∙ 839 ∙ 438 ∙ 737840 ∙ 839 ∙ 438 = 737Cómo ya sabíamos antes.En este caso, podríamos haber resuelto la cuestión sin recurrir a la fórmula de laprobabilidad condicionada, pero en otros casos es necesario utilizarla.

Definición: La probabilidad de que se dé un suceso A condicionado al suceso B, alque denotamos A/B, es

( / ) = ( ∩ )( )

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Independencia de sucesos

Volvamos por un momento un poco atrás en nuestras explicaciones y pensemos en elejemplo que vimos en el apartado de los diagramas de árbol. Si recuerdas, tuvimos quehacer muchas operaciones para calcular las probabilidades pedidas, y eso que ese era uncaso de los más sencillos. Imagina que si en lugar de dos posibles resultados en cadaextracción (rey o no rey en la primera extracción y sota o no sota en la segunda) tuviésemostres, habría en total 9 posibilidades, si hubiera cuatro casos en cada extracción, tendríamosen total 16 posibilidades tras la segunda extracción. En general, si tenemos n posiblesresultados en cada extracción, después de dos extracciones tendríamos que analizarcasos, lo cual es bastante. Y esto es sólo si hablamos de dos extracciones, si fuesen tres,tendríamos , si fuesen cuatro , etc. Lo que queremos decir es que la técnica deldiagrama de árbol, sólo es útil en casos muy sencillos, en cuanto los números se vayanhaciendo un poco más grandes, el árbol se hace casi imposible de dibujar.

¿Habría alguna forma más sencilla de calcular la probabilidad de este tipo de sucesos?Pues sí, pero antes tenemos que estudiar un concepto nuevo: la independencia de sucesosaleatorios.Definición: Dado un experimento aleatorio, y dos sucesos cualesquiera de eseexperimento, llamémosles A y B, decimos que esos dos sucesos son independientes si noimporta que se dé uno de ellos para que se cumpla el otro, es decir( / ) = ( ) y ( / ) = ( )De las fórmulas anteriores, se puede deducir que si dos sucesos son independientes, se tieneque ( ∩ ) = ( ) ∙ ( )Este resultado es de gran utilidad para el cálculo de probabilidades en la repetición desucesos aleatorios. Así, si repetimos n veces un experimento, siendo el resultado en cadaocasión independiente de las anteriores, y queremos calcular la probabilidad de que ocurrael suceso en cada repetición,∀ = 1, … , , tendremos que la probabilidad de que se dentodos esos sucesos, que será el suceso intersección de todos ellos ∩ ∩ … ∩ , es( ∩ ∩ … ∩ ) = ( ) ∙ ( ) ∙ … ∙ ( )

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Probabilidad total

Imagina que seleccionamos dos cartas cualesquiera de la baraja, sin reemplazamiento.Observamos la primera carta, y después la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que lasegunda carta sea un rey? Con los conocimientos que ya tenemos, fácilmente podemosdecir que, si la primera carta fue un rey, la probabilidad de que la segunda también lo sea es

. Sin embargo, si la primera no lo fue, entonces tenemos que la probabilidad de que la

segunda carta sea un rey es . Como ves, depende de qué tipo de carta fue la primera parapoder asegurar algo sobre la segunda. En el apartado de la probabilidad condicionada,partíamos con la ventaja de que lo sabíamos, sabíamos qué tipo de carta era la primera.Pero ahora no. ¿Cómo solucionamos ese problema? Pues teniendo en cuenta ambasposibilidades, que la primera carta sea un rey o que no lo sea. Veamos como lo resolvemos:

Consideremos los siguientes sucesos aleatorios:

= “La primera carta es un rey”,= “La segunda carta es un rey”.

Queremos calcular ( ). Pues bien, vamos a tener en cuenta si se da o no se da.¿Cómo? Dividiendo ( ) en varias probabilidades que son más sencillas de calcular. Paraello vamos a recurrir a las propiedades de las operaciones con los sucesos.

Si consideramos a como el suceso complementario de , claramente tenemos que∪ = , ∩ = ∅Así pues, tenemos que = ∩ ⇒ = ( ∩ ) ∪ ( ∩ )Además, como ( ∩ ) ∩ ( ∩ ) = ∅Tenemos que ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ )Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada, obtenemos( ∩ ) = ( / ) ∙ ( )Y

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( ∩ ) = ( / ) ∙ ( )Y esas dos probabilidades sí las podemos calcular fácilmente, aplicando la regla de Laplacey las técnicas vistas para las extracciones sin reemplazamiento. Así, tendremos que:( / ) ∙ ( ) = 739 ∙ 840

( / ) ∙ ( ) = 839 ∙ 3240 = 0,2Como ves, hemos dividido la probabilidad en dos sumando: un primer sumando en dondesuponemos que la primera carta es un rey, , y otro en el que suponemos que la primeracarta no es un rey, .Los sucesos y tienen dos características muy especiales∩ = ∅ y ∪ =Esta técnica la podemos aplicar como regla general:Si tenemos un conjunto , … de sucesos incompatibles dos a dos ( ∩ = ∅ ∀ ≠), cumpliendo que ∪ ∪ … ∪ = , (si cumplen esas dos condiciones, decimos queese conjunto es un sistema completo de sucesos), entonces la probabilidad de un suceso⊂ es ( ) = ( ) ⋅ ( / ) + ( ) ⋅ ( / ) + … + ( ) ⋅ ( / )Que es la llamada fórmula de la probabilidad total.

La parte más difícil a la hora de aplicar esta fórmula, es escoger bien el sistema completode sucesos, ya que una mala elección sólo nos provocaría más dificultades en la resolucióndel problema.Se tendrían que estudiar cuáles son los sucesos que nos convienen, porque una malaelección del sistema completo de sucesos no nos ayudaría a resolver el problema.

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Teorema de Bayes

Pongámonos en la situación planteada anteriormente como ejemplo. Sacábamos dos cartasseguidas sin reemplazamiento. Se nos puede plantear una nueva pregunta: sabiendo que lasegunda carta fue un rey, ¿Cuál es la probabilidad de que la primera también lo fuera? Estapregunta puede parecer similar a la que planteábamos en la anterior sección, pero tiene unagran diferencia: en este caso, ya hemos realizado el experimento completo (hemos visto lasegunda carta) y nos preguntamos qué carta era la primera. Es decir, si llamamos a lossucesos y como antes, queremos calcular( / )Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada, obtenemos que

( / ) = ( ∩ )( )Y desarrollando el denominador según la fórmula de la probabilidad total y aplicando denuevo la fórmula de la probabilidad condicionada en el numerador, obtenemos que

( / ) = ( / ) ⋅ ( )( / ) ⋅ ( ) + ( / ) ⋅ ( )El cálculo será sencillo a partir de los que realizamos en la anterior sección, así, tenemosque ( / ) = 739 ⋅ 84015 = 739En general, la fórmula de Bayes se obtiene de la siguiente forma:Dado un Sistema Completo de Sucesos , … y un suceso cualquiera S, queremoscalcular la probabilidad de que se dé el suceso , sabiendo que al hacer el experimento, sedio el suceso S, es decir, calcular ( / ). Por el mismo razonamiento de antes se tieneque: ( / ) = ( ∩ )( ) = ( / ) ⋅ ( )∑ ( / ) ⋅ ( )Donde ( ) es la probabilidad a priori del suceso (se sabe antes de realizar elexperimento) y ( / ) su probabilidad a posteriori, pues se calcula una vez realizado elexperimento.

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Al igual que dijimos en la sección dedicada a la probabilidad condicionada, para aplicarcorrectamente la regla de Bayes, hay que elegir un adecuado sistema completo de sucesos,que será la parte más difícil del problema.

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Ejercicios de AyudantíaAxiomas de Probabilidad, Probabilidad Condicional, Probabilidad Total, Teorema de

Bayes1. ( ) tales que:

( ) = , ( ) = , ( ∩ ) = . Encuentre el valor de:

a) ( ∪ )Solución: ( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )P(A ∪ B) = 25 + 34 − 13P(A ∪ B) = 4960

b) ( )Solución: ( ) = 1 − ( )( ) = 1 − 25( ) = 35

c) ( )Solución: ( ) = 1 − ( )

( ) = 1 − 34( ) = 14d) ( ∩ )

Solución: ( ∩ ) = ( ) + ( ) − ( ∪ )

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( ∩ ) = 1 − ( ) + 1 − ( ) − ( ( ∩ ) )( ∩ ) = 1 − ( ) + 1 − ( ) − (1 − ( ∩ ))( ∩ ) = 35 + 14 − (1 − 13)

( ∩ ) = 1160e) ( ∪ )

Solución: ( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )( ∪ ) = 1 − ( ) + 1 − ( ) − ( ( ∪ ) )( ∪ ) = 1 − ( ) + 1 − ( ) − (1 − ( ∪ ))( ∪ ) = 35 + 14 − 1 − 4960( ∪ ) = 23

f) ( ∩ )Solución: ( ∩ ) = ( ) − ( ∩ )( ∩ ) = 25 − 13( ∩ ) = 115

g) ( ∩ )Solución: ( ∩ ) = ( ) − ( ∩ )( ∩ ) = 34 − 13

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( ∩ ) = 5122. Sean A y B dos sucesos definidos en un mismo espacio muestral )( tales

que:

52)(y

53)/(;

32)/( BAPABPBAP CC .

Aplicando Propiedades, desarrolle y obtenga el valor de )( CC BAP Solución:

BAPBPAPBAPBAPBAP cCC 11)(

i)

53

23

52

3252

BPBPBP

BAPBAPc

c

ii) 51

52

53

BAPBAPBAPBPBAP c

iii)

31

35

51

5351

APAPAP

BAPABP

iv) Finalmente154

51

53

311)( CC BAP

3. En cada uno de los siguientes casos, identifique el experimento aleatorio ɛrealizado, defina el respectivo espacio muestral ( ) y calcule la probabilidadde los sucesos:

a) Obtener un número mayor que 3 al lanzar un dado normal no cargado.Solución: ( ) = {1,2,3,4,5,6}Sea A: “Al lanzar el dado se obtiene un N° mayor que 3”( ) = 12

b) Obtener a lo menos una cara al lanzar dos monedas normales no cargadas

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Solución: ( ) = {( , ), ( , ), ( , ), ( , )}Sea B: “Al lanzar la moneda se obtiene a lo menos una cara”

( ) = 34c) Obtener 7 puntos al lanzar dos dados normales, no cargados.

Solución:( ) = {(1,1), (1,2) … , (1,6), (2,1), (2,2), … , (2,6) … . , (6,1), (6,2), … , (6,6)}Sea C: “Al lanzar los dados, la suma de los puntajes obtenidos es 7”( ) = 16

4. Sean A y B eventos tales que

P(A)=0.5, P(B)=0.6 y P(AB)=0.8

a) Demuestre que A y B son eventos independientes.Solución:

Bajo independencia P(A B)=P(A)*P(B) (Por demostrar)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A B) P(AB)= P(A)+P(B)- P(AB)Luego P(AB) = 0.5+0.6-0.8

= 0.3Por otra parte P(A)*P(B)=0.5*0.6

= 0.3Luego P(AB) = P(A)*P(B) = 0.3 (Son independientes)

b) Demuestre que si A y B son independientes entonces A y CB , CA y B , CA yCB son independientes.

Solución:

Por demostrar que P(A CB ) = P(A)*P( CB ) (Si A y CB son indep)P(A CB ) = P(A) – P(A B) = P(A) – P(A)*P(B) (Bajo indep de A y B)

= P(A)*(1-P(B))= P(A) * P( CB )

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Por demostrar que P( B) = P( CA )*P(B) (Si CA y B son indep)P( CA B) = P(B) – P(A B) = P(B) – P(B)*P(A) (Bajo indep de A y B)

= P(B)*(1-P(A))= P(B) * P( CA )

Por demostrar que P( CB ) = P( CA )*P( CB ) (Si CA y CB son indep)P( CA CB ) = P[(AB) C ] = 1 - P(AB) = 1 – (P(A)+P(B)-P(AB)

= 1 – P(A) - P(B)+P(A)*P(B) (Bajo indep de A y B)= P( CA ) - P(B)(1-P(A))= P( CA ) - P(B)P( CA )= P( CA )*(1-P(B))= P( CA )*P( CB )

c) Usando lo demostrado anteriormente encuentre P( A CB ), P( CA B ) yP( CA CB )Solución:

P( A CB ) = P(A)*P( CB ) = 0.5*0.4 = 0.2P( B) = P( CA )*P(B) = 0.5*0.6 = 0.3P( CB ) = P( CA )*P( CB ) = 0.5*0.4 = 0.2

5. En una familia con tres hijos, ¿Cuál es la probabilidad que….?:

El espacio muestral para este problema es el siguiente( ) = {( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )}a) Los dos mayores sean varones

Solución:

Sea A: “Los dos hijos mayores son” ( ) = 14b) Los tres sean mujeres

Solución:

Sea B: “Los tres hijos son mayores”

CA

CA

CA CA

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( ) = 18c) El menor sea mujer

Solución:

Sea C: “El menor de los hijos es mujer”( ) = 12d) Al menos sean varones

Solución:

Sea D: “Al menos dos de los hijos son varones”( ) = 12e) Al menos uno sea mujer

Solución:

Sea E: “Al menos uno de los hijos es mujer”( ) = 786. Tenemos dos urnas, una con 7 bolas rojas y 2 azules, y otra con 3 bolas rojas y

8 azules. Tiramos un dado. Si nos sale un 3 o un 5, sacamos una bola de laprimera urna y en caso contrario, sacamos una bola de la segunda urna. ¿Cuáles la probabilidad de que la bola extraída sea azul?.Solución:

Evidentemente estamos realizando un experimento compuesto. En primer lugar, setrata de elegir una urna, para lo cual lanzamos un dado. Si = “Elegir la urna 1” y

= “Elegir la urna 2”, es claro que:( ) = 26 = 13( ) = 46 = 23

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Por otra parte, luego realizamos otro experimento consistente en sacar una bola dela urna elegida.

Si A= “Sacar una bola azul”, las probabilidades que conocemos son:

( / ) = 29( / ) = 811Lo que nos piden es P(A). Para calcular dicha probabilidad, si representamos eldiagrama de árbol:

Como la probabilidad de A depende de la urna en la que estemos, basta multiplicar lasprobabilidades de cada rama que llegue a la bola azul y luego sumar los 2 resultados, esdecir: ( ) = 26 ⋅ 29 + 46 ⋅ 811 = 0,559

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7. Supóngase que A y B son sucesos para los cuales ZBAPyYBPXAP

Expresar cada una de las probabilidades siguientes en términos de X, Y, y Z

a) ( ∪ )b) ( ∩ )c) ( ∪ )d) ( ∩ )

Solución:

a) ( ∪ ) = ( ∩ )( ∪ ) = 1 − ( ∩ )( ∪ ) = 1 −b) ( ∩ ) = ( ) − ( ∩ )( ∩ ) = −c) ( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )( ∪ ) = 1 − ( ) + ( ) − ( ∩ )( ∪ ) = 1 − ( ) + ( ) − 1 − ( ∩ )( ∪ ) = 1 − + − +( ∪ ) = 1 − +d) ( ∩ ) = ( ∪ )( ∩ ) = 1 − ( ∪ )( ∩ ) = 1 − ( ) + ( ) − ( ∩ )( ∩ ) = 1 − ( + − )( ∩ ) = 1 − − +8. Sean A y B dos sucesos asociados con un experimento. Supóngase que

4,0AP mientras que 7,0BAP . Sea pBP .

a) ¿Para qué valor de p son A y B mutuamente excluyentes?Solución:

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Dos sucesos son mutuamente excluyentes si la intersección es vacía, es decir,( ∩ ) = ∅( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )0,7 = 0,4 + + 0= 0,3b) ¿Para qué valor de p son A y B independientes?

Solución:

Los sucesos son independientes si:( ∩ ) = ( ) ⋅ ( )( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ) ⋅ ( )0,7 = 0,4 + − 0,4 ⋅= 0,59. En un colegio se imparten sólo los idiomas inglés y francés. El 80% de los

alumnos estudian inglés y el resto francés. El 30% de los alumnos de inglés sonsocios del club musical del colegio y de los que estudian francés son socios dedicho club el 40%. Se elige un alumno al azar. Calcular la probabilidad de quepertenezca al club musical.Solución:

En estos problemas es importante elegir el sistema completo de sucesos. En estecaso:

= “Estudiar inglés”

= “Estudiar Francés”

= “Ser del club musical”

Nos piden P(B). Por el teorema de la probabilidad total:( ) = ( ) ⋅ ( / ) + ( ) ⋅ ( / )

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( ) = 80100 ⋅ 30100 + 20100 ⋅ 40100 = 0,32

10. En Santiago, que un ejecutivo sea egresado de una universidad privada o quetenga un magíster, es de 60%. De que sea egresado de una universidad privadaes de 20% y la de que tenga magíster es de 50%.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo escogido al azar tenga magister, siegresó de una universidad privada?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo haya egresado de una universidad privadasin haber sacado un magister?Solución:

Sean los sucesos: Priv: El alumno es egresado de una universidad privadaMag : El alumno posee Magíster

Según la información que nos dan, tenemos que:

60,0MagivPrP ; 20,0ivPrP ; 50,0MagP

a)

ivPrP

ivPrMagPivPrPMagPivPrP

ivPrMagPivPrMagP

= 5,020,010,0

20,060,020,050,0

b) 10,010,020,0MagivPrPivPrPMagivPrP c

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11. En un taller se sabe que acuden, por la mañana 3 automóviles con problemasde eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa. Por latarde hay 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 conproblemas de chapa.

a) Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.b) Calcular el porcentaje de los que acuden con problemas mecánicosc) Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda

por la mañana.Solución:Resumiendo los datos en una tabla de contingencia:

Pr. Eléctricos Pr. Mecánicos Pr. De Chapa TotalMañana 3 8 3 14

Tarde 2 3 1 6Total 5 11 4 20

a) En total acuden 20 y por la tarde acuden 6, luego:( ) = 620 = 0,3, , 30%b) En total acuden 20 y con problemas mecánicos hay 11, luego:( á ) = 1120 = 0,55, , 55%c) Aquí tenemos una información adicional (es un coche que tiene problemas

eléctricos), luego se trata de una probabilidad condicionada. Con problemaseléctricos hay 5 y de ellos 3 por la mañana, luego:( ñ / á ) = 35 = 0,6, , 60%

12. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul yblanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?

Solución:

Para que las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la rojay la segunda también pulse la roja, es decir que se verifique el suceso ( ∩ ).Ahora bien, como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de laintersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La

sed




probabilidad de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casosfavorables (uno), partido por casos posibles (tres)( ∩ ) = ( ) ⋅ ( ) = 13 ⋅ 13 = 19

b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas latecla azul?Solución:

En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de los sucesospulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos sucesos noson incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la suma de lasprobabilidades menos la probabilidad de la intersección. La probabilidad de laintersección, al igual que en el apartado anterior, se calcula basándonos en el hechode que son independientes.( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )

( ∪ ) = 13 + 13 − 19 = 5913. La probabilidad que un alumno apruebe Algebra es y la de que apruebe

Estadística es . Si la probabilidad que dicho alumno apruebe ambas

asignatura es , ¿Cuál es la probabilidad que este alumno…..?Solución:

Sean los sucesos

A: “El alumno aprueba Algebra”

E: “El alumno aprueba Estadística”( ) = ( ) =( ) = ( ) =( ∩ ) = 14

sed




a) Apruebe Algebra y no EstadísticaSolución: ( ∩ ) = ( ) − ( ∩ )

( ∩ ) = 23 − 14( ∩ ) = 512b) Apruebe Al menos una de estas asignaturas

Solución:( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) = ( ) − ( ∩ ) + ( ) − ( ∩ ) + ( ∩ )( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) = 3136

c) Apruebe Estadística pero no AlgebraSolución: ( ∩ ) = ( ) − ( ∩ )( ∩ ) = 49 − 14( ∩ ) = 736

d) No Apruebe Algebra ni EstadísticaSolución: ( ∪ ) = 1 − ( ∪ )( ∪ ) = 1 − ( ) + ( ) − ( ∩ )

( ∪ ) = 53614. En una asignatura se ha decidido aprobar a aquellos que superen uno de los

dos parciales. Con este criterio aprobó el 80%, sabiendo que el primer parcial

sed




lo super el 60% y el segundo el 50% ¿Cuál hubiese sido el porcentaje deaprobados, si se hubiese exigido superar ambos parciales?Solución:

Sea el suceso aprobar el primer parcial y aprobar el segundo. Los datos delproblema nos dicen que:( ∪ ) = 0,8, ( ) = 0,6, ( ) = 0,5Y se pide la probabilidad de la intersección de ambos sucesos. Como A1 y A2 noson incompatibles, la probabilidad de la unión será:( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )Despejando tenemos:( ∩ ) = ( ) + ( ) − ( ∪ )Sustituyendo los valores numéricos:( ∩ ) = 0,6 + 0,5 − 0,8 = 0,3La conclusión es que si se hubiese exigido aprobar los dos parciales el porcentaje deaprobados hubiese sido del 30%.

15. Dado los siguientes sucesos:

1A = La familia tiene automóvil

2A = La familia no tiene automóvil

1B = La familia tiene un ingreso menor a 5.000 dólares

2B = La familia tiene un ingreso entre 5.000 y 10.000 dólares

3B = La familia tiene un ingreso superior a 10.000 dólares.

Y que en la población bajo estudio, se sabe que:

1,0)(5,0)(6,0)(

3

2

1

BPBPAP

5,0)(

35,0)(

2

2

1

1

ABP

ABP

sed




Construcción de tabla con probabilidades conjuntas

1B 2B 3B

1A 0,21 0,30 0,09 0,6

2A 0,19 0,20 0,01 0,40,4 0,5 0,1 1,0

a) Encuentre cBAP )( 31 e interprete el resultado.Solución:

cBAP )( 31 =1-P(A1B3)=1- (0,6+0,1 -0,09)=0,39

b) Encuentre ))()(( 3121 BABAP e interprete el resultado.Solución:

))()(( 3121 BABAP =0,3+0,09=0,39

c) Encuentre la )(2

3A

BP e indique lo que se mide.

Solución:

)(2

3A

BP = 025,04,001,0

d) ¿Los sucesos 1A y 1B son independientes? (Pruébelo).Solución:

24,021,0)(*)()( 1111

BPAPBAP

No son independientes.

16. Suponga que el mantenimiento de un extenso archivo de expedientes médicospara efectos de seguro, la probabilidad de que un error de procesamientoocurra es de 0,10; la probabilidad de un error de archivo es de 0,09; la

sed




probabilidad de un error de recuperación, es de 0,12; la probabilidad de unerror así como de archivo es de 0,02; la probabilidad de un error deprocesamiento así como de de recuperación es de 0,03; la probabilidad de unerror de archivo, así como de recuperación es de 0,03; y la probabilidad deprocesamiento, archivo y recuperación es de 0,01. ¿Cuál es la probabilidad deque se cometa al menos uno de estos errores?Solución:

Sean los sucesos:

P: Error de procesamientoA: Error de archivoR: Error de recuperación

Los datos entregados son:( ) = 0,10 ( ) = 0,09 ( ) = 0,12( ∩ ) = 0,02 ( ∩ ) = 0,03 ( ∩ ) = 0,03( ∩ ∩ ) = 0,01El diagrama de Venn, nos queda

( ∪ ∪ ) = 0,2417. En un grupo de granjas, se sabe que las producciones de leche, trigo y fruta son

independientes. El 20% de las granjas producen leche y trigo; el 30% produceleche y fruta; el 24% produce trigo y fruta, el 12% los tres productos. Si seelige al azar una granja, ¿Cuál es la probabilidad

sed




a) De que produzca trigo?b) Que no produzcan ni leche, ni trigo, ni fruta.

Solución:

Los datos que nos entregan son:( ∩ ) = 0,20 ( ∩ ) = 0,24 ( ∩ ) = 0,30 ( ∩ ∩ ) = 0,12a) ( ∩ ) = ( ) ⋅ ( ) = 0,2

( ) = 0,2( ) (1)( ∩ ) = ( ) ⋅ ( ) = 0,3( ) = 0,3( ) (2)

Reemplazando (1) en (2), se tiene 0,2( ) = 0,3( )( ) = 0,30,2 ( ) (3)( ∩ ) = ( ) ⋅ ( ) = 0,24 (4)

Reemplazando (3) en (4), nos queda( ∩ ) = ( ) ⋅ 0,30,2 ( ) = 0,24( ( )) = 0,16( ) = 0,4

Reemplazando en (1), se tiene ( ) = 0,5Reemplazando en (3), se tiene ( ) = 0,6

sed




Por lo tanto el 40% produce solo trigo

b) ( ∪ ∪ ) = 0,12El diagrama de Venn para el problema es el siguiente

18. En cierta ciudad del sur de Chile se publican tres periódicos: A, B y C:Suponga que el 60% de las familias están suscrita al periódico A; el 50% al B yel 50% al C. También se sabe que el 30% están suscritos a A y B; el 20% en By C; 30% en A y C, y el 10% en los tres. Calcule la probabilidad que unafamilia escogida al azar:

a) Esté suscrita al periódico A, si se sabe que no lo está en B.Solución:

6,05,03,0

)()()(

c

c

c BPBAP

BAP

b) Esté suscrita sólo a uno de los tres periódicos.Solución:

))()( CBACBACBAP cccccc =

0,1+0,1+0,1=0,3

sed




c) Esté suscrita al periódico A, si se sabe que lo está en por lo menos dosperiódicos.Solución:

8333,06,0

1,02,02,0)(

DAP

19. Un alumno de Medicina debe tomar la cátedra de Cálculo el segundo semestrede 2011. Este semestre, por motivos especiales tiene tan sólo dos cátedras, queson Álgebra y Bioestadística, que no son prerrequisitos de cálculo en el sentidoque no es obligación aprobarlos para tomar la cátedra de cálculo.

Según estimaciones históricas que se ha conseguido este alumno se tiene que:

- La probabilidad que apruebe Cálculo si aprueba sólo Álgebra es de un70%.

- La probabilidad que apruebe Cálculo si aprueba sólo Bioestadística es deun 60%.

- La probabilidad que apruebe Cálculo si aprueba ambas cátedras es de un80%.

También por antecedentes históricos que se ha conseguido con los profesores,se tiene que:

0,100,10,2

0,20,1

0,1

0,1

A B

C

sed




- La probabilidad que apruebe sólo Álgebra es de un 50%.- La probabilidad que apruebe sólo Bioestadística es de un 30%.- La probabilidad que apruebe ambas cátedras es de un 20%.En base a la información proporcionada determine:

a) Probabilidad que repruebe Cálculo el segundo semestre de 2011.Solución:( ) = ( ) ∗ ( ⁄ ) + ( ) ∗ ( ⁄ ) + ( ) ∗ ( ( )⁄ )( ) = 0,5 ∗ 0,7 + 0,3 ∗ 0,6 + 0,2 ∗ 0,8 = 0,69( ) = 1 − ( ) = 0,31

b) Probabilidad que haya aprobado Bioestadística si al final del segundo semestrede 2011 aprueba Cálculo.Solución: ( / ) = ( ∩ )( ) = 0,3 ∗ 0,60,69 = 0,2609

20. Dos clases de 2º de Bachillerato, una de 28 alumnos y otra de 35 alumnos hacenconjuntamente un examen de Matemáticas. La probabilidad de aprobar de losalumnos de la primera clase es de 0,68 y los de la segunda del 0,73. Se toma unexamen al azar y resulta que está aprobado. .Cuál es la probabilidad de quesea de un alumno de la 1ª clase?

Solución:

Sea = “El examen es de un alumno de la primera clase”

= “El examen es de un alumno de la segunda clase”

B = “El examen esta aprobado”

Nos piden ( / )Hagamos antes que nada un diagrama de árbol

sed




Por el teorema de Bayes( / ) = ( / ) ⋅ ( )( / ) ⋅ ( ) + ( / ) ⋅ ( )Sustituyendo ( / ) = 2863 ∙ 0,682863 ∙ 0,68 + 3563 ∙ 0,73 = 0,427

21. Cierto teléfono público (que usualmente falla) devuelve la moneda insertadacon probabilidad 0.6; hace la conexión con el número que uno marca conprobabilidad 0.2; se queda con la moneda y no da la conexión requerida conprobabilidad 0.3. Encuentre la probabilidad que una persona haga la llamadagratis.Solución:

Sean los sucesos:

A: El teléfono público devuelve la moneda insertada.

B: El teléfono público hace la conexión con el número que uno marca.

Se tiene: P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,2 ; P(Ac Bc ) = 0,3

Se pide encontrar P(B A)

P(B A) = P(B) + P(A) - P(A B)

= P(B) + P(A) - P[(Ac Bc)c ]

= P(B) + P(A) - {1 - P[(Ac Bc)]}

= 0,2 + 0,6 - {1 - 0,3}

= 0,1

sed




Luego la probabilidad que una persona haga la llamada gratis es 0,1.

22. Un modelo probabilístico muy simple para estudiar el tiempo atmosféricoclasifica cada día como seco o húmedo. Se supone luego que el tiempo demañana será igual al de hoy con probabilidad 0.8. Sabiendo que el día 15 deMayo fue seco:

a) Asigne las probabilidades a cada uno de los 8 escenarios posibles para eltiempo en los próximos 3 días.

b) Calcule la probabilidad que exactamente dos días sean secos.Solución:

Para este problema, tenemos el siguiente espacio muestral

= {(S,S,S), (S,S,H), (S,H,S), (S,H,H), (H,S,S), (H,S,H), (H,H,S), (H,H,H)}

Si denotamos por S a un día seco y por H a un día húmedo. Con esto, por ejemplo(S,H,S) es el evento en el cual el primer día estuvo seco, el segundo día estuvohúmedo y el tercer día estuvo seco. Sea, para todo i 2 {1, 2, 3}, Si (respectivamente,

) el evento "el i–ésimo día después del 15 de Mayo estuvo seco"(respectivamente, ". . . húmedo").

Sea también, M el evento "El 15 de Mayo fue seco", donde sabemos que P(M) = 1.

a) En esta parte, queremos calcular las probabilidades a cada uno de estos 8 elementosque definen a , bajo las condiciones que se describen en el enunciado. Porejemplo, calcularemos la probabilidad que se presente (H,S,H).

= P(H1)P(S2/H1)P(H3/H1S2)

= P (H1) · 0.2 · 0.2

= 0.04 · P (H1)

Donde P (H1) se puede calcular usando la Ley de Probabilidades Totales, según loque haya ocurrido el día 15 de Mayo. Esto es,

P (H1) = P(M)P(H1/M) + P(M’)P(H1/M’) = 0.2 · 1 + 0.8 · 0 = 0.2

Así, P ((H,S,H)) = 0.04 · 0.2 = 0.008

Con este resultado, ya sabemos que el espacio muestral no es equiprobables.

sed




Procediendo de manera análoga con los restantes 7 eventos de , tenemos que

P ((S,S,S)) = 0.512

P ((S,S,H)) = 0.128

P ((S,H,S)) = 0.032

P ((S,H,H)) = 0.128

P ((H,S,S)) = 0.032

P ((H,H,S)) = 0.032

P ((H,H,H)) = 0.128

Donde como se podrá comprobar, la suma de las 8 probabilidades obtenidas dacomo resultado 1.

b) Sea R el evento "el segundo día fue seco". Entonces, como R ,R = {(S,S,S), (S,S,H), (H,S,S), (H,S,H)}, Con esto,

P (R) = P ((S,S,S)) + P ((S,S,H)) + P ((H,S,S)) + P ((H,S,H)) = 0.68

Sea U el evento "exactamente dos días son secos". Entonces, como U ,

U = {(S,S,H), (S,H,S), (H,S,S)}

Luego,

P (U) = P ((S,S,H)) + P ((S,H,S)) + P ((H,S,S)) = 0.192

23. Una pequeña población está conformada por 4 jóvenes: A, B, C y D.De ella se eligen al azar dos jóvenes:

a) Si la selección es con reposición ¿Cuál es el espacio muestral para esteexperimento aleatorio?Solución:Con reposición

Ω = ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )

sed




#Ω = 16b) Si la selección es sin reposición ¿Cuál es el espacio muestral para este

experimento aleatorio?Solución:Sin reposición

= ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )( , ), ( , )#Ω = 12c) ¿Cuál es la probabilidad asociada a cada uno de los sucesos elementales de los

casos (2) antes indicados?Solución:Un suceso elemental es “un” resultado posible del experimento. En el primer casonos queda: ( ) = 116Para el segundo caso, nos queda: ( ) = 112

d) ¿Cuál es la probabilidad asociada al suceso “En la muestra aparece el joven Apara los dos tipos de selección?Solución:

Caso 1 = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}( ) = ##Ω = 716

Caso 2 ′ = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}( ′) = # ′#Ω = 612

sed




24. Un negocio tiene una población de 4000 computadores personales guardadosen bodega; de los cuales 1500 son HP, 2000 son ACER y 500 son Compaq. Sedesea verificar el estado de ellos y para tal efecto se elige una muestra de 3 PC,al azar:

a) Si se selecciona con reposición ¿Cuál es el espacio muestral?Solución:Con reposiciónH: Computadores HPA: Computadores AcerC: Computadores Compaq

Ω = ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )#Ω = 27b) Si la selección es sin reposición ¿Cuál es el espacio muestral?

Solución:

Ω = ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )#Ω = 24c) Construya los siguientes sucesos:

i. Los tres elegidos son HPSolución:

Con reposición ( ∩ ∩ ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )Sin reposición ( ) ⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ )

ii. Los tres elegidos son de la misma marcaSolución:

sed




Con reposición( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )Sin reposición( ) ⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ ) + ( ) ⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ ) + ( )⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ )

d) Determine las probabilidades para los dos casos anteriores.Solución:Con reposición ( ∩ ∩ ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )

( ∩ ∩ ) = 15004000 = 0,0527( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )15004000 3 + 20004000 + 5004000 = 0,1796

Sin reposición ( ) ⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ )= 15004000 ⋅ 14993999 ⋅ 14983998 = 0,0526

( ) ⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ ) + ( ) ⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ ) + ( )⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ )= 15004000 ⋅ 14993999 ⋅ 14983998 + 20004000 ⋅ 19993999 ⋅ 19983998 + 5004000 ⋅ 4993999 ⋅ 4983998= 0,1795Por la cantidad de computadoras la diferencia es mínima

25. En un recinto de tiro al blanco, tres personas expertas disparan al blanco, laprobabilidad de que el tirador A le pegue al blanco es doble de que le pegue B yel triple de que le pegue C. Si ellos realizan una competencia disparando untiro cada una.

a) Construya el espacio muestra

sed




Solución:Sea el suceso E: El jugador i tiene éxito al blanco= , ,Ω = ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )( , , )= ( ) = 2 ( ) = 3 ( )Por lo tanto ( ) =( ) = /2( ) = /3

b) Determine los siguientes sucesos:i. Los tres pegan en el blanco

Solución: { ∩ ∩ } ⟹ 3ii. Uno de ellos pega en el blanco

Solución: {( ∩ ∩ ) ∪ ( ∩ ∩ ) ∪ ( ∩ ∩ )}⟹ óiii. Al menos uno pega en el blanco

Solución: { ∪ ∪ } ⟹ 1c) Asígnele probabilidades a los sucesos anteriores.

Solución:

i)

( ∩ ∩ ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) = ⋅ 2 ⋅ 3 = 36ii) ( ∩ ∩ ) ∪ ( ∩ ∩ ) ∪ ( ∩ ∩ ) =

sed




= ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )= ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 − 3 + (1 − ) ⋅ 2 ⋅ 1 − 3 + (1 − ) ⋅ 1 − 2 ⋅ 3

iii) ( ∪ ∪ ) = 1 − ( ∩ ∩ )( ∪ ∪ ) = 1 − ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )( ∪ ∪ ) = 1 − (1 − ) ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 − 3

26. Cierto teléfono público está fallando de tal modo que a veces devuelve lasmonedas y a veces no hace las llamadas. La probabilidad que devuelva lasmonedas y no haga la llamada es de un 30% mientras que la probabilidad queno devuelva las monedas y no haga la llamada es de un 10%. También se sabeque la probabilidad que haga la llamada dado que no devuelve las monedas esde un 80%. Calcule la probabilidad que la llamada salga gratis.Solución:

Sean los sucesos:A: El teléfono Devuelve las monedasB: El teléfono hace la llamada

Datos: 3,0llamadalahaganoymonedaslasDevuelvaTeléfono cBAPP

1,0llamadalahaganoymonedaslasdevuelvanoTeléfono cc BAPP

8,0monedaslasdevuelvenoquedadollamadalahagaTeléfono cABPP

Piden:

BAPPP llamadalahagaymonedaslasdevuelvaTeléfonogratisLlamada

Tenemos:

sed




1.

5,05,08,01,0

APAPAP

APAP

BAPAPAP

BAPABP cc

c

c

ccc

c

cc

2. 2,03,05,0 BAPBAPBAPAPBAP c , laprob. pedida

27. Considere una urna que contiene 3 fichas negras y 5 fichas rojas. Retire dosfichas de la urna sin reposición.

a) Obtenga los resultados posibles y sus respectivas probabilidades.b) Desarrolle el mismo problema para extracciones con reposición.c) Calcule la probabilidad de los siguientes eventos (para el caso sin reposición)

C1) Una ficha negra en la primera y segunda extracción.C2) Una ficha negra en la segunda extracción.C3) Una ficha negra en la primera extracción.

Solución:

a) Con reposición:

56# : P(w)=1/56

b) Sin reposición:64# : P(w)=1/64

c)

Sea A: Una ficha negra en la primera y segunda extracción.

Sea B: Una ficha negra en la segunda extracción.

Sea C: Una ficha negra en la primera extracción.

NNA

P(A)=P(N)*P(N/N) = (3/8)*(2/7)

))(, RNNNB

P(A)=P(N)*P(N/N)+ P(N)*P(R/N) = (3/8)*(2/7)+ (5/8)*(3/7)

sed




)(, NRNNA

P(A)=P(N)*P(N/N)+P(N)*P(R/N)= (3/8)*(2/7)+ (3/8)*(5/7)

28. El siguiente cuadro contiene la clasificación de 321 empleados de una empresa,respecto a dos características:

i) El número de años de permanencia de cada uno de los empleados en laempresaii) Su respuesta a la pregunta “Desea que se realice una negociación colectivapara obtener un aumento de sueldo”

Respuesta1 [1 - 3] [4 - 10] más de 10

Si 27 54 137 28No 14 18 34 3

No se 3 2 1 0

Numero de años en la empresa

a) Escriba usando notación de conjunto el siguiente suceso:a1) “Empleados que contestaron si y pertenece a la empresa de 4 a 10 años”Solución:

Se definen los siguientes sucesos:= { }= { }= { 1 ñ }= { 1 3 ñ }= { 4 10 ñ }= { 10 ñ }Por lo tanto el suceso nos queda: ∩a2) “Empleados que contestaron si y pertenece a la empresa más de 4 años”∩ ( ∪ )

b) Evalué la probabilidades del suceso descrito en a)Solución:

sed




( ∩ ) = 137321∩ ( ∪ ) = 165321

c) Usando las probabilidades, vea si los siguientes sucesos son independiente:∩ ∩Solución:

Bajo independencia P(S A)=P(S)*P(A) (Por demostrar)

Por un lado tenemos que ( ∩ ) = 27321 = 0,084Por otra parte ( ) ⋅ ( ) = 246321 ⋅ 44321 = 0,1050Entonces no son independientes

Bajo independencia P(NB)=P(N)*P(B) (Por demostrar)

Por un lado tenemos que ( ∩ ) = 18321 = 0,0561Por otra parte ( ) ⋅ ( ) = 69321 ⋅ 74321 = 0,04955Entonces no son independientes

d) Si selecciona dos empleados diferentes al azar (uno a uno), ¿Cuál es laprobabilidad de que ambas hayan contestado que si?

( ) ∗ = 246321 ∗ 245320 = 0,5849

sed




29. Sean A y B sucesos definidos en un mismo espacio muestral tales que:

( ) = = =Calcule el valor de ( / )Solución:

Debemos encontrar la siguiente relación

( / ) = ( ∩ )( )Como ( ∩ ) = 1 − ( ∪ ) = 1 − ( ( ) + ( ) − ( ∩ ))Necesitamos encontrar ( ) ( ∩ ), para ello ocupamos las propiedades de lasprobabilidades, entonces

( / ) = ( ∩ )( ) ⟹ ( ∩ ) = ( ) ∗ ( / ) = 14 ∗ 12 = 18( / ) = ( ∩ )( ) ⟹ ( ) = ( ∩ )( / ) = 1814 = 12

Entonces ( ∩ ) = 1 − ( ∪ ) = 1 − ( ( ) + ( ) − ( ∩ ))( ∩ ) = 1 − ( ∪ ) = 1 − 14 + 12 − 18 = 38

( ) = 1 − ( ) = 1 − 12 = 12

sed




( / ) = ( ∩ )( ) = 3812 = 3430. Un hombre de 40 años contrata un seguro diferido a 20 años, su mujer tiene 38

años. Si la probabilidad de un hombre de 40 años de sobrevivir 20 años es 0,8 ysobrevivir 20 años para una mujer 20 años es 0,9, ¿Cuál es la probabilidad quepor lo menos uno esté vivo para cobrar el seguro?Solución: ( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ) ∗ ( )( ∪ ) = 0,8 + 0,9 − 0,8 ∗ 0,9( ∪ ) = 0,98

31. Un vendedor de seguros visita a uno de sus clientes para ofrecerle dos tiposseguros, uno de salud y otro de vida. La probabilidad que un cliente cualquieradel vendedor adquiera el seguro de salud y no el de vida es del 13,33 %, queadquiera el seguro de vida si adquiere el de salud es del 60% y que no adquierael de salud si adquiere el de vida es del 67,66%.

a) El vendedor no habrá perdido su visita a dicho cliente, si logra venderle almenos uno de éstos seguros, determine la probabilidad que el vendedor pierdasu visita al cliente.Solución:

Sean los sucesos: S: “El cliente adquiere el seguro de Salud”

V: “El cliente adquiere el seguro de Vida”

Luego: 1333,0)( CVSP , 60,0)/( SVP , 6766,0)/( VSP C

Se pide: )()()(1)(1)( VSPVPSPVSPVSP C

Como: 40,0)/(1)/( SVPSVP C

sed




Se tiene que: 3333,04,0

1333,0)/()()(

SVPSVPSP C

C

Además: 3234,0)/(1)/( VSPVSP C

Luego: 6184,03234,0

2,0)/(

)()()/()()(

VSPVSPSP

VSPSVPVP

C

Conclusión: Por tanto, 2483,02,06184,03333,01)( CVSP , se tiene quela probabilidad que el vendedor pierda su visita al cliente es del 24,83 %

b) Si el vendedor visita a dos de sus clientes, ¿Cuál es la probabilidad que pierdasolo una de ellas?Solución:

Sean los sucesos: 1V : “El vendedor pierde su visita al Primer cliente”

2V : “El vendedor pierde su visita al Segundo cliente”

Se pide: )()( 2121 VVPVVP

Como las probabilidades asociadas a la adquisición de los seguros de Vida y Saludson las mismas para todos los clientes entonces: )P()/( 112 VVVP , esto es

21 y VV son sucesos independientes

Luego: )()(2)()()()( 21212121 VPVPVPVPVVPVVP

Según respuesta (a), 2483,0)()( 21 VPVP .

Así entonces: )()( 2121 VVPVVP 211 )()(2 VPVP

)06165,02483,0(2 3733,0

Conclusión: Por tanto, la probabilidad que el vendedor pierda sólo una de lasvisitas a dichos clientes es aproximadamente del 37,33 %

sed




32. Esperando una ganancia significativa, Don Eduardo Faivovich invierte enacciones de las compañías “Lexer” y “Coca Cola”. Las condiciones delmercado indican que la probabilidad que sólo una de estas compañíassatisfagan las expectativas del señor Faivovich es 3/5, que no las satisfaga CocaCola es 3/10 y que ninguna de ellas las satisfaga es 1/10. Determine con cuál deestas compañías el señor Faivovich tiene mayor probabilidad de satisfacer susexpectativas.Solución:

Sean los sucesos:L: “La compañía Lexer satisface las expectativas de inversión del señor Faivovich”C: “La compañía Coca Cola satisface las expectativas de inversión del señorFaivovich”Datos: [( ∩ ) ∪ ( ∩ )] = 35 ( ) = 310 ( ∩ ) = 110Por un lado tenemos( ∩ ) = ( ∪ ) = 110 ⟹ 1 − ( ∪ ) = 110 ⟹ ( ∪ ) = 910

( ∪ ) = ( ∩ ) + ( ∩ ) + ( ∩ ) ⟹ 910 = 35 + ( ∩ )⟹ ( ∩ ) = 310( ) = ( ∩ ) + ( ∩ ) ⟹ ( ) = ( ∩ ) + 310 = 710⟹ ( ∩ ) = 410[( ∩ ) ∪ ( ∩ )] = 35 ⟹ ( ∩ ) + ( ∩ ) = 35

⟹ ( ∩ ) + 410 = 35 ⟹ ( ∩ ) = 210Así entonces ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ ) ⟹ ( ) = 510

sed




Conclusión: Como ( ) > ( ), el Señor Faivovich tiene mayor probabilidad desatisfacer sus expectativas de inversión con la compañía Coca Cola.

33. Una agencia de viajes, organizó tres tipos de excursiones al viejo continente:“Europa pintoresca”, “Europa deportiva” y “Europa Cultural”, que losturistas adquirieron en las siguientes proporciones 45%, 30% y 25%,respectivamente. Para el traslado a dicha zona geográfica se ofrecieron tresalternativas aéreas (LAN, (AA) Aerolínea Argentina e IBERIA), cuyosrespectivos porcentajes de excursionistas para cada uno de los tipos deexcursiones ofrecidas, se entregan en el siguiente cuadro:

Línea Aérea E. Pintoresca E. Deportiva E. CulturalLAN 50% 10% 40%AA 15% 80% 5%IBERIA 35% 10% 55%

En base a los datos anteriores se pide determinar:

a) ¿Cuál de las tres líneas aéreas tiene una mayor probabilidad de trasladar unpasajero a Europa, por viaje de alguna de las excursiones señaladas en elenunciado?

b) Si se elije un turista al azar que viajó por IBERIA, ¿Cuál es la probabilidad deque haya adquirido la excursión “ E. Pintoresca” o “ E. Cultural”.

Solución:

a) Sean los sucesos:

1A El turista utiliza Lan

2A = El turista utiliza AA

3A = El turista utiliza IBERIA

1B El turista realiza la excursión E. Pintoresca

2B = El turista realiza la excursión E. Deportiva

sed




3B = El excursionista realiza la excursión cultural

)(*)()(*)()(*)()(3

13

2

12

1

111 B

APBPBAPBPB

APBPAP

)( 1AP 0,355

32,0)( 2 AP

)( 3AP 0,325

La línea que tiene mayor probabilidad de trasladar es: La línea Lan

b) )(

3

31A

BBP9077,0

325,0295,0

325,055,0*25,035,0*45,0

34. Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondosextienda un cheque con fecha equivocada es de 0,001. En cambio, todo clientesin fondo pone una fecha errónea en sus cheques. El 90% de los clientes delbanco tiene fondos.

Se recibe hoy en caja un cheque con fecha equivocada, ¿Qué probabilidad hayde que sea de un cliente sin fondos?Solución:Sean los sucesos: A: El cliente tiene fondos.

E: El cliente pone una fecha errónea.

i) Datos: 9,0;1;0,001 APAEPAEP c

ii) Se deduce que:

0111;999,0001,011 cccc AEPAEPAEPAEP

1,09,011 APAP c

iii) Piden

cc

cccc

AEPAPAEPAPAEPAP

EPEAPEAP

sed




0,001 E / A

A

0,9 0,999 EC / A

0,1 1 E / AC

AC

0 EC / AC

99108,0

0,10091,0

11,0001,09,011,0

El diagrama de árbol:

sed




35. Existen 6 locales donde ir. Dos (A y B) abren con de probabilidades, tres (C,D y E) abren todos los días y uno (F) nunca abre. Usted toma un taxi y entregalas direcciones al chofer pidiéndole que lo lleve a uno de ellos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que usted entre a un local?b) Si usted no pudo entrar al local, ¿Cuál es la probabilidad de que el chofer lo

haya llevado al local que nunca abre?c) Si usted entró a un local, ¿Cuál es la probabilidad de que el chofer lo haya

llevado al local A o B?Solución:

Sean los sucesos: A: El chofer del taxi lo lleva al local A

B: El chofer del taxi lo lleva la local B

C: El chofer del taxi lo lleva la local C

F: El chofer del taxi lo lleva la local F

y L : El local abre.

Tenemos las siguientesprobabilidades individuales:

i) P(A) = P(B) = ; P(C) =P(D) = P(E) = 1 y P(F)=0.

ii) i j = , para todo i

, j {A, B, C, D, E, F} y

i j

iii) P(AB) = P(A) + P(B)

=31

P(CDE) = P(C) + P(D) + P(E) =21

P(F) =61

L / ABAB

Lc / AB

1 L / CDECDE

0 Lc / CDE

0 L / FF

1 Lc / F

31

21

61

21

21

sed




a) P(entrar a un local) = P(L) , probabilidad total.P(L) = P(AB)P(L / AB) + P(CDE)P(L / CDE) + P(F)P(L / F) =

320

611

21

21

31

= 0,667

b) P(F / Lc ) = P(F Lc ) / P(Lc ) = P(F)P(Lc / F) / ( 1 - P(L)) = (61 1 )/( 1 -

32 ) =

(61 )/(

31 ) =

21 = 0,5

c) P(AB / L) = P(AB)P(L / AB) / P(L) = (31

21 )/(

32 ) =

41 = 0,25

36. Un examen detallado de los registros de una compañía de tarjetas de créditoencuentra que el primer mes, el 60% de quienes poseen tarjeta pagantotalmente su cuenta mensual. También el estudio muestra que el 90% de losclientes que pagan totalmente una cuenta mensual el primer mes, lo hacen losmeses siguientes, y que sólo el 20% de los clientes que no pagan totalmente sucuenta mensual el primer mes, cubren totalmente su deuda los mesessiguientes.

a) Suponga que se selecciona al azar a un usuario de la tarjeta y se observa elpago de tres cuotas mensuales consecutivas. Construya el espacio muestralasociado a este experimento aleatorio.

b) Suponga que se selecciona al azar a un usuario de la tarjeta, ¿Cuál es laprobabilidad que dicha persona pague totalmente su deuda mensual en tresmeses consecutivos?

c) Encuentre la probabilidad que un cliente elegido al azar pague totalmente lasegunda cuota mensual.Solución:

Sean los sucesos: iA : El usuario de la tarjeta paga totalmente la cuota mensual en elmes “i”.

ciA : El usuario de la tarjeta no paga totalmente la cuota mensual el

mes “i”.

a) El espacio mensual (no equi-probable) asociado al experimento está dado por:

sed




9 0 % A 3 / A 1 A 2

A 2 / A 1

9 0 % 1 0 % A 3c / A 1 A 2

A 1

6 0 % 1 0 % 9 0 % A 3 / A 1 A 2c

A 2c / A 1

1 0 % A 3c / A 1 A 2

c

2 0 % A 3 / A 1c A 2

A 2 / A 1c

4 0 % 2 0 % 8 0 % A 3c / A 1

c A 2

A 1c

8 0 % 2 0 % A 3 / A 1c A 2

c

A 2c / A 1

c

8 0 % A 3c / A 1

c A 2c

AAA,AAA,AAA,AAAAAA,AAA,AAA,AAA

c3

c2

c13

c2

c1

c32

c132

c1

c3

c213

c21

c321321

b) Usando la misma notación anterior podemos visualizar los sucesos mediante undiagrama de árbol:

Piden:

486,0%90%90%60AAAPAAPAPAAAP 213121321

c) Como no se especifica nada sobre la primera cuota mensual, ésta puede estar o nototalmente pagada, de modo que la probabilidad pedida es:

AAPAAPAAAAPAP 2c1212

c1212

= %62%20%40%90%60AAPAPAAPAP c12

c1121

37. Un aeroplano ha desaparecido y se piensa que existen las mismasprobabilidades de que haya caído en una de tres regiones. Sea − laprobabilidad de encontrar el aeroplano en un día de supervisión, si elaeroplano se encuentra en la región i, para i = 1, 2, 3.

a) Determine la probabilidad de encontrar el aeroplano en un día de supervisión.

sed




b) ¿Cuál es la probabilidad de que el aeroplano haya estado en la región 2 si sesabe que fue encontrado?Solución:

Definamos los siguientes sucesos: Ri : El aeroplano cae en la región i-ésima,con i = 1, 2, 3

E : El aeroplano es encontrado en un día desupervisión.

Podemos también visualizar el problema planteado mediante un diagrama de árbol:

i) Como existe la misma probabilidad que elaeroplano haya caído en una de tres regiones,entonces la probabilidad que el aeroplanocaiga en una región cualquiera de las tres esprecisamente ⅓ .

ii) Nos dan las probabilidades condicionalesde que el aeroplano sea encontrado, dado quecae en la i-ésima región (i = 1, 2, 3), esto es:

P(E/R1) = 1 - 1 ; P(E/R2) = 1 - 2 ;P(E/R3) = 1 - 3

iii) Obviamente las probabilidades de lossucesos complementarios son inmediatas ycorresponden a las probabilidadescondicionales de que el aeroplano no seaencontrado, dado que cae en la región i-ésima (i = 1, 2, 3)

P(E’/R1) = 1 ; P(E’/R2) = 2 ; P(E’/R3) = 3

a) P(E) = P(encontrar el aeroplano en un día de supervisión)

P(E) = P(R1)P(E/R1) + P(R2)P(E/R2) + P(R3)P(E/R3)

=3

1 ( [1 - 1] + [1 - 2] + [1 - 3] )

1R

2R

3R

1RE

1RE'

2RE

2RE'

3RE

3RE'

31

31

31

11

1

21

2

31

3

sed




P(E) =3

)αα(α1 321

b) P(Aeroplano haya estado en la región 2, dado que fue encontrado) = P(R2 / E)

3)αα(α

)α(1

321

231

2222

1P(E)

)REP()P(R

P(E)

E)P(RE)RP(

)(3)1(

)ER(P321

22

38. En un negocio de automóviles, hay un 25% de estos vehículos que fueronfabricados en Estados Unidos, un 35% en Europa y el resto en Asia. Se sabeque un 33% de los automóviles fabricados en EE.UU. tiene toca-CD; uno decada cuatro automóviles fabricados en Asia posee toca-CD y que el 27,7% deltotal de automóviles tiene toca-CD.

a) Si se selecciona un automóvil al azar, ¿Cuál es la probabilidad que no poseatoca-CD, si se fabricó en Europa?

b) Si se selecciona un automóvil al azar y resulta que posee toca-CD, ¿Cuál es laprobabilidad de que sea fabricado en Estados Unidos o Asia?Solución:

Sean los sucesos: Esta: El automóvil es fabricado en Estados Unidos

Euro: El automóvil es fabricado en Europa

Asia: El automóvil es fabricado en Asia

Toca: El automóvil posee toca-CD

sed




0 ,3 3 T o c a / E s taE s ta

0 ,6 7 T o c a c / E s ta0 ,2 5

0 ,3 5 p T o c a / E u ro

E u ro

(1 -p ) T o c a c / E u ro

0 ,4 0

0 ,2 5 T o c a / A s ia

A s ia

0 ,7 5 T o c a c / A s ia

Podemos representar los sucesos como se muestra en el diagrama de árbol:

Tenemos que las probabilidades condicionales de si el automóvil posee o no toca-CD son desconocidas, pero nos dan la probabilidad total de que un automóvil poseatoca-CD, esto es:

TocaAsiaTocaEuroTocaEstaPTocaP

= AsiaTocaPAsiaPEuroTocaPEuroPEstaTocaPEstaP

= 277,025,040,0p35,033,025,0

p = 0,27

a) 73,027,01p1EuroTocaP c

b)

277,0

TocaAsiaPTocaEstaPTocaP

TocaAsiaEstaPTocaAsiaEstaP

= 6588,0277,0

1825,0277,0

25,040,033,025,0

39. Una empresa opera en tres regiones (A, B, C), la distribución de sus clientes estal que la mitad esta registrado en la región B, y el del resto el 60% estáregistrado en la región C. De los clientes registrados en la región A el 15% estáen situación de morosidad, lo mismo ocurre con el 10% de los clientesregistrados en la Región B, y el 5% de los clientes registrados en la región C.

sed




a) Al observar dos de estos clientes al azar e independientemente, ¿Cual es laprobabilidad que al menos uno de ellos este en situación de morosidad?

b) Si al observar un cliente, este resulta estar en situación de morosidad, ¿Cual esla probabilidad que sea un cliente registrado en la Región A?Solución:

Calculo de la probabilidad de observar un cliente en situación de morosidad.Sea:

A: Un cliente observado al azar esta registrado en la región A

B: Un cliente observado al azar esta registrado en la región B

C: Un cliente observado al azar esta registrado en la región C

M: Un cliente observado al azar está en situación de morosidad

20,0)A(P ; 50,0)B(P ; 30,0)C(P

15,0AMP ; 10,0B

MP ; 05,0CMP

Por lo tanto; 095,0)C(PCMP)B(PB

MP)A(PAMP)M(P

Luego;

a) Sea : El “i” ésimo cliente observado esta en situación de morosidad . i=1,2Se pide;

181,0905,01)M(P)M(P1)MM(P1)MM(P)MM(P 2C2

C1

C2

C1

CC2

C121

b) Se pide;

316,0

095,020,015,0

)M(P

)A(PAMP

MAP

40. En un curso de 50 estudiantes, el 40% de ellos son mujeres y la probabilidad deque una alumna repruebe es del 10%, mientras que en el caso de un alumnoesta probabilidad es del 20%. Si se selecciona al azar un estudiante de esecurso:

sed




a) ¿Qué cantidad de estudiantes reprobara el curso?Solución:

Definir Sucesos:H: Estudiantes HombresM: Estudiantes MujeresR: Estudiante reprueba

Los datos proporcionados son:( ) = 0,40 ( ) = 0,60 ( / ) = 0,10 ( / ) = 0,20( ) = ( ) ⋅ ( / ) + ( ) ⋅ ( / )( ) = 0,40 ∗ 0,10 + 0,60 ∗ 0,20( ) = 0,16Por lo tanto = 50 ∗ 0,16 = 8

b) Al final del semestre el profesor elige a un estudiante de su lista, y resulta queaparece reprobado. Las alumnas afirman que lo más probable es que sea unalumno y no una alumna. ¿Qué opina Ud.?Solución:

( / ) = ( ) ⋅ ( / )( ) = 0,60 ∗ 0,200,16 = 0,75( / ) = ( ) ⋅ ( / )( ) = 0,40 ∗ 0,100,16 = 0,25

sed




41. Tres industrias de electrodomésticos, A, B y C producen lavadoras de consumousual. A produce el doble de B y C produce un 20% de lo producido por B. delas lavadoras producidas por A, el 4% son defectuosas, de las producidas porB, el 95% son buenas y de las producidas por C sólo el 3% resultan serdefectuosas.Solución:

Definir Sucesos

A: Industria AB: Industria BC: Industria CD: Electrodoméstico defectuoso

Los Datos: ( ) = 2 ( ) ( ) = 0,20 ( )( / ) = 0,04 ( / ) = 0,95 ( / ) = 0,03a) Se colocan las lavadoras producidas por las tres industrias en una bodega y se

selecciona al azar una de ellas la cual resulta ser defectuosa. ¿Cuál es laprobabilidad que haya sido producida por la industria B?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producida por A o C, si resulta serdefectuosa?Solución

a) ( / )Por otro lado ( ) + ( ) + ( ) = 12 ( ) + ( ) + 0,20 ( ) = 1Despejando se obtiene ( ) = 0,3125Reemplazando en las ecuaciones anteriores se obtiene( ) = 0,625( ) = 0,0625Se construye el Árbol de decisiones, nos queda

sed




( / ) = ( ) ⋅ ( / )( )Primero encontraremos la probabilidad total de electrodomésticos defectuosos, estanos queda ( ) = ( ) ⋅ ( / ) + ( ) ⋅ ( / ) + ( ) ⋅ ( / )( ) = 0,625 ∗ 0,04 + 0,3125 ∗ 0,05 + 0,0625 ∗ 0,03( ) = 0,0425Por lo tanto, nos queda

( / ) = ( ) ⋅ ( / )( ) = 0,3125 ∗ 0,040,0425 = 0,2941b) ( ∪ / ) ( ∪ / ) = ( / ) + ( / )

( ∪ / ) = ( ) ⋅ ( / )( ) + ( ) ⋅ ( / )( )( ∪ / ) = 0,625 ∗ 0,040,0425 + 0,0625 ∗ 0,030,0425( ∪ / ) = 0,6324

sed




42. En una industria de productos Químicos, las unidades son producidas por doslíneas A y B en proporciones 80:20 respectivamente. Un 5% y 10% de lasunidades producidas por cada línea, respectivamente, son defectuosos. Lasunidades son mezcladas y enviadas a los compradores.

a) Determine la probabilidad que una unidad escogida al azar sea defectuosa.b) Si un cliente encuentra una unidad defectuosa, determine la probabilidad que

se haya producido en la línea B.c) Suponga ahora que se escogen dos unidades en forma aleatoria y resulta que

ambas son defectuosas, calcule la probabilidad que la primera unidad hayasido producida en la línea A y la segunda en la línea B.Solución:

Sean los eventos:

A: La unidad es producida por la línea AB: La unidad es producida por la línea BD: La unidad es defectuosa

P(A)=0.8 P(D/A)=0.05

P(B)=0.2 P(D/B)= 0.1

a) 0 05 0 8 01 0 2 0 06( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) . * . . * . .P D P D A P A P D B P B

b)31

06.02.0*1.0

)()()/()/(

DPBPBDPDBP

c) De acuerdo a parte B), tenemos:

BDPBPADPAP

ADPAPDP

DAPDAP

= 32

06,004,0

,06005,08,0

En otras palabras si el artículo es defectuoso, o proviene de A con probabilidad

32 ó proviene de B con probabilidad 3

1 . Además que la producción de unidades

defectuosas de la línea A es independiente de la producción de unidadesdefectuosas de la línea B. Entonces de dos artículos escogidos, que el primeroprovenga de A y el segundo de B es:

sed




92

31

32DBPDAPDBDAP

43. Una persona que padece de cierta enfermedad catastrófica debe operarse ypara ello puede atenderse en dos clínicas, la clínica A que atiende a sólohombres y la clínica B en la cual el 40% de las personas que ingresan sonhombres.De los pacientes hombres que ingresan a operarse a la clínica A, el 90%sobrevive mientras que de las personas que ingresan a la clínica B, el 60% delos hombres sobrevive y el 70% de las mujeres también lo hacen. Si la clínica B

0.8

0.2

A

B

D0.05

0.95

A

B

DC

A

B

0.8

0.2

0.05

0.95

0.1

0.9

DC

D

DC

0.8

0.2

D

DC

D

DC

0.05

0.95

0.1

0.9

D0.1

A

B

0.8

0.2

0.05

0.95

0.1

0.9

DC

D

DC

DC DC

0.95

A0.8

D0.05

0.95

B

0.2D

DC

0.1

0.9

D

D

sed




atiende al triple de personas que la clínica A, y se escoge al azar a una personaque posee la enfermedad catastrófica, determine:

a) Probabilidad que la persona que se opera en alguna de estas clínicas sobreviva.b) Probabilidad que la persona haya sido atendida en la clínica A, dado que

sobrevivió.c) Probabilidad que la persona haya sido mujer, dado que falleció.

Solución:

Sean los sucesos: A: La persona se opera en la clínica A.

B: La persona se opera en la clínica B.

H: La persona es Hombre.

M: La persona es Mujer.

S: La persona Sobrevive.

m: La persona muere.

El diagrama de árbol se puede representar como:

0,9 S/(A

1 H/A

A 0,1 m/(AH)

0

0,25 M/A

0,6 S/(B

H/B

0,75 0,4 0,4 m/(BH)

B 0,7 S/(B)

0,6 M/B

0,3 m/(B)

sed




*) Notar que si la clínica B atiende al triple de personas que la clínica A, entoncespodemos escribir: P(A) + P(B) = P(A) + 3P(A) = 1 P(A) = ¼ = 0,25 y P(B) = ¾ =0,75.

**) La misma situación anterior puede ser descrita en una tabla de probabilidadescomo:

Sobrevivencia

A : Clínica A B : Clínica B

TotalH :Hombres

M :Mujeres

H :Hombres

M :Mujeres

S : Sobrevive 0,225 0 0,180 0,315 0,72

m : muere 0,025 0 0,120 0,135 0,28

Total0,250 0 0,300 0,450

10,25 0,75

a) SMBSHBSHAPSP , probabilidad total. SMBPSHBPSHAPSP ; unión disjunta.

MBSPBMPBPHBSPBHPBPHASPAHPAPSP , probabilidades condicionales.

Del árbol : 72,07,06,075,06,04,075,09,0125,0 SP .

De la tabla: 0,525, directamente.

b)

3125,072,0225,0

72,09,0125,0

SP

ASPAP

SPSAP

SAP ,

c) ...4821,0

28,0135,0

mP

mMPm

MP , directamente de la tabla.

sed




44. Suponga que las ocupaciones (trabajos) se agrupan en Alta (A), Media (M) yBaja (B). Además significa que el padre tiene ocupación Alta y significaque el hijo tiene ocupación Alta. Los subíndices 1 y 2 denotan padre e hijorespectivamente. Glass y Hal (1954) obtuvieron las siguientes estadísticas detrabajo en Inglaterra y Gales:

2A 2M 2B

1A

1M

1B

0.45 0.48 0.07

0.05 0.70 0.25

0.01 0.50 0.49

Así, si el padre pertenece a A, las probabilidades de que el hijo pertenezca a lasclases A, M y B son respectivamente 0.45, 0.48 y 0.07.

Suponga que en la generación de los padres el 10% está en A, el 40% está en My el 50% en B.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo esté en A?Solución:

P( 2A ) = P( 2A / 1A )P( 1A ) + P( 2A / 1M )P( 1M ) + P( 2A / 1B )P( 1B )

= 0.45 * 0.1 + 0.05 * 0.4 + 0.01 * 0.5

= 0,07

b) Si el hijo pertenece a M ¿Cuál es la probabilidad de que el padre hayapertenecido a B?Solución:

P( 1B / 2M ) = P( 2M / 1B )*P( 1B ) / P( 2M )

Donde P( 2M ) = P( 2M / 1A )P( 1A ) + P( 2M / 1M )P( 1M ) + P( 2M / 1B )P( 1B )

= 0.48 * 0.1 + 0.7 * 0.4 + 0.5 * 0.5

= 0.578

Luego: P( 1B / 2M ) =578.0

5.0*5.0 = 0.43

sed




A2

A1 B2

C2

A2

B1 B2

C2

A2

C1

B2

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo NO esté en B?Solución:

P( CB2 ) = P( 2M 2A ) = P( 2M ) + P( 2A ) (Por ser eventos excluyentes)

= 0.578 + 0.07

= 0.648

45. Se tiene una urna con 5 fichas azules, 2 blancas y 1 celeste. Se seleccionan alazar 2 fichas sin reposición

a) Defina los sucesos de interés y describa el espacio muestral de esteexperimento.

b) Se define la variable aleatoria X: “Nº de fichas seleccionadas del mismo color”.Obtenga la función de cuantía para esta variable aleatoria.Solución:

a)Sean los sucesos: A: La i-ésima ficha seleccionada es azul, (i=1,2)B: La j-ésima ficha seleccionada es blanca, (j=1,2)

C: La k-ésima ficha seleccionada es celeste, (k=1,2)

;;;;;;

2121

212121

212121

BCACCBBBABCABAAA

Ω

o también

sed




t.o.l;0

2Xsi;39286,00;60714,0 Xsi

xf

b) X: Número de fichas seleccionadas del mismo color

Como se seleccionan dos fichas, o son ambas del mismo color (2 fichas del mismocolor) o no son del mismo color (0 fichas del mismo color).

Rec(X) = {0; 2} 212121212 BBPAAPBBAAPXP

0,392862811

5622

71

82

74

85

121121 BBPBPAAPAP

60714,039286,01210 XPXP

Luego, la función de cuantía para esta variable aleatoria es:

46. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar,hallar la probabilidad de:

X f(x)0 0,607142 0,39286

sed




t.o.l;0

2Xsi;39286,00;60714,0 Xsi

xf




0,392862811

5622

71

82

74

85

121121 BBPBPAAPAP

60714,039286,01210 XPXP



X f(x)0 0,607142 0,39286

sed







0,392862811

5622

71

82

74

85

121121 BBPBPAAPAP

60714,039286,01210 XPXP



X f(x)0 0,607142 0,39286

sed




a) Seleccionar tres niños.Solución:

(3 ñ ) = 1016 ∗ 915 ∗ 814 = 0,214b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

Solución:( 2 ñ 1 ñ ) = 1016 ∗ 915 ∗ 614 + 1016 ∗ 615 ∗ 914 + 616 ∗ 1015 ∗ 914 = 0,482c) Seleccionar por lo menos un niño.

Solución:( 1 ñ ) = 1 − ( ñ ) = 1 − 616 ∗ 515 ∗ 414 = 0,964d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

Solución:(2 ñ 1 ñ ) = 1016 ∗ 615 ∗ 514 + 616 ∗ 1015 ∗ 514 + 616 ∗ 515 ∗ 1014 = 026847. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son

economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% delos economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistassolamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de queun empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?Solución:

sed










sed










sed




Aplicando el teorema de Bayes:

= 0,2 ∗ 0,750,2 ∗ 0,75 + 0,2 ∗ 0,5 + 0,6 ∗ 0,2 = 0,40548. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de

alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algúnincidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningúnincidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad deque no haya habido ningún incidente?

Solución:

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.

Aplicando el teorema de Bayes:̅ = 0,9 ∗ 0,020,1 ∗ 0,97 + 0,9 ∗ 0,02 = 0,157

sed








Solución:

Sean los sucesos:




sed








Solución:

Sean los sucesos:




sed




49. En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige unlibro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B eligeotro libro al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?Solución:

Aplicando la regla de la multiplicación, tenemos:( ) = 6080 ∗ 5979 + 2080 ∗ 6079 = 0,75b) Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro

seleccionado por A sea de poesía?Solución:

Aplicando la formula el teorema de Bayes, tenemos:

( / ) = 2080 ∗ 60796080 ∗ 5979 + 2080 ∗ 6079 = 0,253250. Se sabe que la caja A contiene una moneda de un centavo y una moneda de

diez centavos mientras que la caja B contiene dos monedas de diez centavos. Se

sed











sed











sed




elige aleatoriamente una de ellas, de la que después se seleccionaaleatoriamente una moneda.

a) Construya el espacio muestral (Como conjunto o diagrama de árbol) asociadoa este experimento, definiendo previamente los sucesos de interés.Solución:

Sean los sucesos:A: La caja A es seleccionadaB: La caja B es seleccionadaC: Una moneda de 1 centavo es seleccionadaD: Una moneda de 10 centavos es seleccionada

Diagrama de Árbol:

b) Si en el primer paso se selecciona la caja A, ¿Cuál es la probabilidad de que enel segundo se selecciona una moneda de diez centavos?Solución: ( / ) = 12

c) Si en el segundo paso se selecciona una moneda de diez centavos, ¿Cuál es laprobabilidad de que provenga de la caja A?Solución: ( / ) = ( ∩ )( )

( / ) = ( ) ∗ ( / )( ) ∗ ( / ) + ( ) ∗ ( / )

sed




( / ) = 0,5 ∗ 0,50,5 ∗ 0,5 + 0,5 ∗ 1 = 13d) Si en el segundo paso se selecciona una moneda de un centavo, ¿Cuál es la

probabilidad de que provenga de la caja A?Solución: ( / ) = ( ∩ )( )

( / ) = ( ) ∗ ( / )( ) ∗ ( / ) + ( ) ∗ ( / )( / ) = 0,5 ∗ 0,50,5 ∗ 0,5 + 0,5 ∗ 0 = 1

51. Un lote de 6 artículos buenos, 3 con pequeños defectos y 1 con defectos grave.Se eligen dos artículos sin reemplazo. Encuentre la probabilidad que:Solución:Sean los sucesos

: El i – esimo artículo es bueno (i: 1,2): El j – esimo artículo tiene pequeños defectos o leves (j: 1,2): El k – esimo artículo tiene defectos graves (k: 1,2)

Diagrama de árbol

sed




a) Ambos sean buenosSolución: ( ) = ( ∩ )( ) = ( ) ∗ ( / )

( ) = 610 ∗ 59 = 13b) Ambos tengan defectos graves

Solución: ( ) = ( ∩ )( ) = ( ) ∗ ( / )( ) = ( ) ∗ 0( ) = 0

sed




c) A lo menos uno es buenoSolución:( ) == ( ó ) + ( )= ( ∩ ) + ( ∩ ) + ( ∩ )= ( ) ∗ ( / ) + ( ) ∗ ( / ) + ( ) ∗ ( / )

= 610 ∗ 49 + 410 ∗ 69 + 610 ∗ 59 = 1315d) A lo más uno es bueno

Solución: ( á ) == ( ) + ( ó )= ( ∩ ) + ( ∩ ) + ( ∩ )= ( ) ∗ ( / ) + ( ) ∗ ( / ) + ( ) ∗ ( / )= 410 ∗ 39 + 610 ∗ 49 + 410 ∗ 69 = 23

e) Ninguno tiene defectos gravesSolución: ( ) = ( ∩ )( ) = ( ) ∗ ( / )

( ) = 910 ∗ 89 = 45f) Ninguno es bueno

Solución: ( ) = ( ∩ )( ) = ( ) ∗ ( / )( ) = 410 ∗ 39 = 215

sed




A 2 / A 1

A 1 B 2 / A 1

C 2 / A 1

A 2 / B 1

B 1 B 2 / B 1

C 2 / B 1

A 2 / C 1

C 1

B 2 / C 1

52. Se tiene una urna con 3 fichas azules, 2 blancas y 1 celeste. Se seleccionan alazar 2 fichas sin reposición.

a) Describa por extensión el Espacio Muestral, definiendo previamente lossucesos de interés.

b) Se definen los sucesos siguientes sobre el espacio muestral:

S1: Salen dos fichas del mismo color.

S2: Al menos una de las fichas seleccionadas es blanca.

Calcule b1) )( 1SP b2) )/( 12 SSP c

c) Si A1 es el suceso “La primera ficha seleccionada es azul” y A2 es el suceso “Lasegunda ficha seleccionada es azul”, calcule 1221 )( AAPyAAP y determinesi A1 y A2 son independientes.

Solución:

a) Sean los sucesos: A : La i-ésima ficha seleccionada es azul, (i=1,2)

B : La j-ésima ficha seleccionada es blanca, (j=1,2)

C : La k-ésima ficha seleccionada es celeste, (k=1,2)

;

;;;;

2121

212121

212121

BCACCBBBABCABAAA

Ω

O también

sed




b)b1 ) P( Salen dos fichas del mismo color ) = P( salen las dos azules o bien salen las

dos blancas )

S 1 = ( A 1 A 2 ) , ( B 1 B 2 )

0,2667154

308

51

62

52

63

21211 BBPAAPSP

b2 ) 1

1212 SP

SSPSSPc

c ; pero cS2 : Salen cero blancas o ninguna ficha de las

seleccionadas es blanca.

cS2 = (A 1 A 2), (A 1 C 2), (C 1 A 2) 2112 AASSc

Luego, 75,043

154

52

63

12

SSP c

c)

También

21

52

212 APAAP ; por lo tanto A 1 y A 2 no son

independientes.A su vez

21

52

121 APAAP ; por tanto, nuevamente A 1 y A 2

no son independientes.

53. Dos tratamientos A y B curan una determinada enfermedad en el 20% y 30%de los casos respectivamente. Suponga que ambos actúan de modoindependiente y estos tratamientos son aplicados a pacientes internados en elhospital. Si a un paciente cualquiera sólo se le aplica el tratamiento A, laprobabilidad de salir del hospital antes del mes es de 10%. Si se le aplica sólo eltratamiento B, la probabilidad de salir del hospital antes del mes es de un 20%,mientras que si se le aplican ambos tratamientos, la probabilidad de salir antesdel mes aumenta a 50%. Obviamente si no se aplica al paciente el tratamientoA ni el B, es imposible que el paciente pueda salir antes del mes del hospital.

5

22151

53

61

53

62

52

63

52

63

121121121

121

2

2121

CAPCPBAPBPAAPAPAAPAP

APAAPAAP

sed




Si el paciente logró salir del hospital antes del mes. ¿Cuál es la probabilidadque se le haya aplicado por lo menos un tratamiento?Solución:

Sean los sucesos:

A: El Tratamiento A cura la enfermedad

B: El Tratamiento B cura la enfermedad

C: El paciente sale antes del mes del hospital

Datos: 2,0AP ; 3,0BP ; A y B son sucesos independientes.

1,0/ cBACP ; 2,0/ BACP c ; 5,0 / BACP ; 0 / cc BACP

Piden:

101

CP

cBcACPCP

CP

CccBcAP

CPCBAPCBAP

* Nótese que

000 /

cccc

cccc BACP

BAPBACPBACP

54. Un terapeuta físico que trabaja en la universidad Enormous State sabe que elequipo de fútbol jugará 40% de sus juegos en campos con pasto artificial en lapresente temporada. También sabe que las posibilidades de que un jugador defútbol sufra una lesión en la rodilla son 50% más altas si juega en pastoartificial en lugar de hacerlo en pasto natural. Si la probabilidad de que unjugador sufra una lesión en la rodilla mientras juega en pasto artificial es de0.42. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador elegido aleatoriamente conlesión en la rodilla haya sufrido ésta mientras jugaba en un campo con pastonatural?Solución:Sean los sucesos

sed




PA: Pasto ArtificialPN: Pasto NaturalL: Se Lesiona ⟹ 0,42 = ⋅ 0,5 +0,42 = 1,5= 0,28Por lo tanto, nos piden ( / )Por Bayes

( / ) = ( / ) ⋅ ( )( )Por otro lado sabemos que( ) = 0,4 ⋅ 0,42 + 0,6 ⋅ 0,28 = 0,336Entonces, nos queda

( / ) = ( / ) ⋅ ( )( ) = 0,28 ⋅ 0,60,336 = 0,555. Una empresa que fabrica calculadoras piensa poner en el mercado una nueva

calculadora en dos versiones, una de bajo costo y una de alto costo que realizanuevas funciones respecto de las versiones anteriores.

En el control de calidad se ha detectado que en un 5% de las calculadorasnuevas de alto costo aparecen incongruencias matemáticas, mientras que estasincongruencias se producen en un 8% de las calculadoras de bajo costo. Si seelige para una presentación, una muestra al azar de dos calculadoras desdeuna caja donde hay 10 calculadoras de alto costo y 5 de bajo costo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas calculadoras sean de la versión de bajocosto?Solución:Se sacan al azar 2 de 15 calculadoras (supuesto extracción con reposición)SeanAC: Calculadoras de Alto CostoBC: Calculadoras de Bajo Costo

sed




( ) = 515 = 0,333( ) = 1015 = 0,666( ∩ ) = ( ) ⋅ ( ) = 515 ⋅ 515 = 0,111 = 11,1%

b) ¿Cuál es la probabilidad de una de las calculadoras elegidas presenteincongruencias matemáticas?Solución:Sea I: Presenta incongruencia matemática

Por lo tanto ( ) = ( ) ⋅ ( / ) + ( ) ⋅ ( / )( ) = 0,666 ⋅ 0,05 + 0,333 ⋅ 0,08( ) = 0,05994c) Si una de las calculadoras elegidas presenta incongruencias matemáticas.

¿Cuál es la probabilidad de que sea de la versión de alto costo?Solución: ( / ) = ( ) ⋅ ( / )( ) = 0,05 ⋅ 0,6660,05994 = 0,55

56. Determine las probabilidades para los siguientes casos:

a) En las prácticas de tiro (se supone un disparo por persona) el 3% falla. El 2%de los varones falla y se sabe que el 20% de las personas son mujeres. Si en unintento la persona impactó en el blanco, ¿cuál es la probabilidad que seamujer?Solución:

Sean los sucesos:M: MujeresV: VaronesF: Fallan

sed




Para completar las ramas del Bayes, nos falta la información de:( / ) =Por otro lado sabemos que:( ) = ( ) ⋅ + ( ) ⋅ ( / )0,03 = 0,2 ⋅ + 0,8 ⋅ 0,02= 0,07Por lo tanto ( / ) = ( / ) ⋅ ( )( ) = 0,93 ⋅ 0,21 − 0,07 = 0,191

b) Una Electrónica funciona básicamente por la acción de dos fusibles de altaprecisión que actúan de manera independiente; aún así, basta que uno fallepara que la electrónica deje de funcionar. El uso frecuente de esta electrónicaha permitido hacer estimaciones de la falla del primer fusible (0,35) y de ambosfusibles (0,025). ¿Cuál es la probabilidad que esta electrónica falle?Solución:

Sean los sucesos:A: Falla fusil 1B: Falla fusil 2 ( ) = 0,35 ( ∩ ) = 0,025Por lo tanto ( ) = ( ∪ )Se sabe que ( ∩ ) = ( ) ⋅ ( )0,025 = 0,35 ⋅ ( )( ) = 0,0714Además ( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )( ∪ ) = 0,35 − 0,0714 − 0,025 = 0,03964

sed




57. En un campeonato de fútbol en el que participa Chile, existe la posibilidad quejueguen, en forma independiente Argentina y Brasil, con probabilidad depresentarse de un 40% y un 70% respectivamente. La probabilidad que Chilegane el campeonato, si solo se presenta Argentina, es de 60%, si solo sepresenta Brasil, es de 30%, si se presenta tanto Argentina como Brasil es de un30%, y de 90% si Argentina y Brasil no se presentan.

Se pide calcular la probabilidad que Chile pierda el campeonato.

Solución:

Sean los sucesosA: Se presenta ArgentinaB: Se presenta BrasilC: Chile gana el campeonato( ) = ( ) ⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ ) + ( ) ⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ ) + ( )⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ ) + ( ) ⋅ ( / ) ⋅ ( / ∩ )( ) = 0,4 ⋅ (0,7 ⋅ 0,7 + 0,3 ⋅ 0,4) + 0,6 ⋅ (0,7 ⋅ 0,7 + 0,3 ⋅ 0,1) = 0,556

58. Un terapeuta físico que trabaja en la universidad Enormous State sabe que elequipo de fútbol jugará 30% de sus juegos en campos con pasto artificial en lapresente temporada. También sabe que las posibilidades de que un jugador defútbol sufra una lesión en la rodilla son 60% más altas si juega en pastoartificial en lugar de hacerlo en pasto natural. Si la probabilidad de que unjugador sufra una lesión en la rodilla mientras juega en pasto artificial es de0.35. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador elegido aleatoriamente conlesión en la rodilla haya sufrido ésta mientras jugaba en un campo con pastonatural?.Solución:

21875,06,135,0

6,035,0

xx

xx

LPNP /

sed




Los sucesos son:PA: Pasto artificialPN: Pasto naturalL: Se lesionaLC: No se lesiona

Por Bayes

5932,0

2581,07,021875,0//

LPPNPPNLPLPNP

7,021875,03,035,0 LP

2581,0LP Volviendo a fórmula anterior:

59. En una población animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de lashembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembrasque de machos y se pide: Un individuo de esa población se sabe que estáenfermo ¿Qué probabilidad hay de que el citado individuo sea macho?.Solución:

21 , BB

Sean los sucesos:

:1B El individuo es macho:2B El individuo es hembra

A: El individuo se encuentra enfermo

)( 1BP 1/3)( 2BP 2/3 (es el doble de machos)

1,0)/( 1 BAP ; 18,0)/( 2 BAP

2174,01533,0033,0

18,0*)3/2(1,0*)3/1(1,0*)3/1(

)/()(

)/()()(

)()/( 2

1

1111

i

ii BAPBP

BAPBPAP

ABPABP

sed




60. Se ha realizado un estudio en una empresa constructora, y se ja estimado queel 30% de las casas tienen un costo superior a 2.000 UF, el 50% tiene un costoentre 1.350 UF y 2.000 UF y el resto de las casas tienen un costo inferior a 1.350UF. Además la inmobiliaria estima que el 2% de las casas que tienen un costosuperior a 2.000 UF se venden antes de construirse ( en verde), el 10 % de lasque tienen un costo entre 1.350 UF y 2.000 UF también se venden en verde, encambio el 60% de las casas de un costo inferior a 1.350UF se venden despuésde ser construidas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una de las casas seleccionadas al azar se vendadespués de ser construida?Solución:

: El costo de la casa es mayor a 2.000 UF: El costo de la casa es entre 1.350 UF y 2.000 UF: El costo de la casa es menor a 1.350 UF

: La casa se vende en verde( ) = 0,3 ∗ 0,98 + 0,5 ∗ 0,9 + 0,2 ∗ 0,6 = 0,864b) Si se elige al azar una de estas casas que se vendieron en verde, ¿Cuál es la

probabilidad de que tenga un costo igual o superior a 1.350 UF?

( ∪ / ) = 0,5 ∗ 0,1 + 0,3 ∗ 0,021 − 0,864 = 0,411861. Una industria de calzados cuenta con cuatro plantas de producción, la primera

planta produce el 30% de la industria, la segunda produce el 60% de la terceray la cuarta produce 20% más que la tercera. Se sabe que la tasa de defecto esde 3%, 5%, 2% y 4% para la primera, segunda, tercera y cuarta plantarespectivamente. El resultado de la producción se deposita en un almacén dedistribución y se selecciona un par de zapatos:

a) Resulta ser bueno, ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por lasegunda o tercera planta?Solución: = 0,300,30 + 0,60 ⋅ + 1,2 ⋅ = 1 ⟹ 2,8 ∗ = 0,7 ⟹ = 0,25= 0,15 = 0,30

sed




( /1) = 0,03 ( /2) = 0,05 ( /3) = 0,02 ( /4) = 0,04(2 ∪ 3/ ′) = ( ′/2) + ( ′/3)( ′/1) + ( ′/2) + ( ′/3) + ( ′/4)

(2 ∪ 3/ ′) = 0,95 ∗ 0,15 + 0,98 ∗ 0,250,97 ∗ 0,30 + 0,95 ∗ 0,15 + 0,98 ∗ 0,25 + 0,96 ∗ 0,30 = 0,4009b) Si es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad que no fue producido por la primera

planta?Solución:(1′/ ) = 1 − (1/ ) = 1 − ( /1) ∗ (1)( ) = 1 − 0,03 ∗ 0,31 − 0,9665 = 0,7313

62. Un organismo público convoca a presentar propuestas para la ejecución de unproyecto de obras públicas, es seguro que las empresas Alfa S.A ó Beta S.Apresentaran propuestas, la probabilidad de que ambas empresas presentenpropuestas es de un 50%, la probabilidad de que de estas dos empresas soloAlfa S.A presente propuesta es de un 20%. Si estas dos empresas presentanpropuestas la probabilidad que otra empresa ejecute el proyecto es de un 10%:Si de Alfa S.A o Beta S.A. solo alfa presenta propuesta, la probabilidad de queotra empresa ejecute el proyecto es de un 30%, y si de estas dos empresas –Alfa S.A ó Beta S.A.- solo Beta S.A presenta propuesta, la probabilidad de queotra empresa ejecute el proyecto es de 40%.

a) Si de Alfa S.A ó Beta S.A, al menos una de ellas presenta propuestas a lalicitación, ¿Cuál es la probabilidad que otra empresa ejecute el proyecto?Solución:

Sean los sucesos:

A1: Solo Alfa Ltda. presenta propuesta.

A2: Alfa Ltda. Beta Ltda. presentan propuesta.

A3: Solo Beta Ltda Presenta propuesta.

B: La ejecución del proyecto es adjudicado a otra empresa.

sed




Luego: 20,0)A(P 1 , 50,0)A(P 2 , 30,0)A(P 3

30,0)AB(P

1 , 10,0)A

B(P2 , 40,0)A

B(P3

Se pide 23,030,040,050,010,020,030,0APAB)B(P i

3

1 i

b) Si la ejecución del proyecto es adjudicado a otra empresa, ¿Cuál es laprobabilidad que Beta S.A haya presentado propuesta a la licitación?Solución:

Se pide:

7391,023,0

30,040,050,010,0)BP

APABPAPA

BP

BAAP

33

2232

63. Una empresa dedicada a la elaboración y venta de alimentos para guaguas,préndete poner en el mercado cierto producto en tres sabores: Naranja (A),Frutilla (B), y Plátano (C) en las proporción 35%, 45% y 20%respectivamente. El Departamento de Investigación ha logrado establecermediante pruebas que el 4,5%, el 6,5% y el 7,0% de estos respectivosproductos, presentan problemas en el sellado del sabor.

a) De la proporción total de productos con problemas de sellado del sabor, ¿Qué% corresponden al tipo B?Solución:

Sean los sucesos:A: “El producto tiene sabor a Naranja”B: “El producto tiene sabor a Frutilla”C: “El producto tiene sabor a Plátano”S: “El producto tiene problemas de sellado del sabor”( ) = 0,35 ( ) = 0,45 ( ) = 0,20( / ) = 0,045 ( / ) = 0,065 ( / ) = 0,07

sed




La pregunta nos dice

( / ) = ( ) ⋅ ( / )( )Por el teorema de Bayes, se tiene( ) = 0,045 ∗ 0,35 + 0,065 ∗ 0,45 + 0,07 ∗ 0,20 = 0,059Por lo tanto ( / ) = ( ) ⋅ ( / )( ) = 0,065 ∗ 0,450,059 = 0,4958Un 49,58% aproximadamente de los productos

b) Si resulto un producto bien sellado, ¿Cuál es la probabilidad de quecorresponda al tipo B o C?Solución: (( ∪ ) / )( ∪ ) Esto equivalente a que sea de A( ) = 1 − ( ) = 1 − 0,059 = 0,941Luego

( / ) = ( ) ⋅ ( / )( ) = 0,955 ⋅ 0,350,941 = 0,3552Aproximadamente un 35,52%

64. Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquierade tres hoteles de la ciudad: Palacio del Sol, Hyatt o Marriott, en unaproporción de 18,5%, 32% y 49,5% respectivamente, de los cuales se ha tenidoinformación de que se les ha dado un mal servicio en un 2,8%, 1% y 4%respectivamente:

sed




a) Si se selecciona a un visitante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no se lehaya dado un mal servicio?Solución:

Sean los sucesos:NQ: “El visitante no se queje del servicio”PS: “El visitante haya sido hospedado en el hotel Palacio del Sol”H: “El visitante haya sido hospedado en el hotel Hyatt”M: “El visitante haya sido hospedado en el hotel Marriott”

Por Bayes tenemos que

( ) = ( ) ⋅ + ( ) ⋅ + ( ) ⋅( ) = 0,185 ∗ 0,972 + 0,32 ∗ 0,99 + 0,495 ∗ 0,96 = 0,97182

Existe una probabilidad de 97,18% de que no se haya dado un mal servicio

b) Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejo delservicio prestado, ¿Cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en elPalacio del Sol?Solución:

= ( ) ⋅ ( / )( ) = 0,185 ∗ 0,9720,97182 = 0,185Existe una probabilidad del 18,50% que un visitante se haya hospedado en elPalacio del Sol

65. De 20 postulantes se presentaron a una empresa por un puesto de trabajo sesabe que:

El 60% de ellos tienen experiencia previa en el tipo de trabajo al quepostulan.

El 10% de ellos tienen un curso de capacitación y no experiencia previa enel tipo de trabajo al que postulan.

sed




El 75% de los que tienen experiencia previa en el tipo de trabajo al quepostulan, no tienen un curso de capacitación.

a) Si se elige al azar uno de dichos postulantes, determine la probabilidad quetenga experiencia previa, pero no un curso de capacitación.Solución:

Definamos los sucesos:E: “El postulante tiene experiencia previa en el tipo del trabajo al que postula”C: “El postulante tiene un curso de capacitación”

Experiencia C TotalE 3 9 12

2 6 8Total 5 15 20

Se pide: ( ∩ ) = ( ) − ( ∩ ) = 1220 − 320 = 0,45Conclusión: Luego, la probabilidad que el postulante seleccionado tengaexperiencia previa, pero no un curso de capacitación es del 45%.

b) Pasaran a una segunda etapa del proceso de selección, sólo aquellos postulantesque cumplan con a lo menos una de las dos características ya señaladas(experiencia previa, curso de capacitación). Determine la probabilidad que unode dichos postulantes elegidos al azar, no logre pasar a la segunda etapa delproceso de selección.Solución:

Se pide: ( ∪ ) = 1 − ( ∪ ) = 1 − ( ( ) + ( ) − ( ∩ )( ∪ ) = 1 − ( ∪ ) = 1 − 1220 + 520 − 320 = 0,3

Conclusión: Luego, la probabilidad que el postulante seleccionado no logre pasar ala segunda etapa del proceso de selección es del 30%

sed




66. En un análisis de las perdidas registrada en las inversiones en los distintosfondos de pensiones, se observo que en el último trimestre el comportamientofue el siguiente: un 28% para el fondo A, un 22% para el fondo B, un 5% parael fondo D y 0,5% para el fondo E. Además se sabe que la distribución deinversiones en los distintos fondos fue de un 16%, 18%, 28%, 24% y un 14%respectivamente. Sabiendo que la pérdida acumulada en dicho periodo fue deun 15,85%. Determine:

a) ¿Qué % de pérdida se observo en las inversiones provenientes del fondo C, endicho periodo?Solución:Sean los sucesos:A: “Inversión en el fondo A”B: “Inversión en el fondo B”C: “Inversión en el fondo C”D: “Inversión en el fondo D”E: “Inversión en el fondo E”W: “Perdida registrada en el último trimestre”

Datos: ( / ) = 0,28 ( / ) = 0,25 ( / ) =? ?( / ) = 0,05 ( / ) = 0,005( ) = 0,16 ( ) = 0,18 ( ) = 0,28 ( ) = 0,24 ( ) = 0,14Se pide ( / ) =? ?Obtener ( / ) =? ?Se sabe que ( ) = 0,1585, entonces, la probabilidad total es:( ) = ( / ) ⋅ ( ) + ( / ) ⋅ ( ) + ( / ) ⋅ ( ) + ( / ) ⋅ ( )+ ( / ) ⋅ ( )0,1585 = 0,28 ∗ 0,16 + 0,25 ∗ 0,18 + ∗ 0,28 + 0,05 ∗ 0,24 + 0,005 ∗ 0,14( / ) = 0,20Conclusión: Luego, durante el periodo en estudio, se observo un 20% de pérdida enlas inversiones provenientes del fondo C.

sed




b) De la perdida observada en el periodo, ¿Qué % provienen de los dos fondos deinversión más riesgosos?Solución:

Los fondos más riesgosos son A y B, luego se pide:( ∪ / ) = ( / ) + ( / )( ∪ / ) = ( ) ⋅ ( / )( ) + ( ) ⋅ ( / )( )( ∪ / ) = 0,28 ∗ 0,160,1585 + 0,25 ∗ 0,180,1585 = 0,5666

Conclusión: Un 56,66% de la perdida observada en dicho periodo proviene de lainversión de los fondos A o B.

sed




Variable aleatoria

Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por elresultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la variable aleatoria con susposibles valores. Ejemplos:

a) Nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…)b) Nº de llamadas que recibe un teléfono en una horac) Tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado…

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas:

Discretas: El conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas aexperimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.

Continuas: El conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los valoresde un intervalo. Son el resultado de medir.

Distribución de una variable aleatoria Discreta.

Sea x una variable aleatoria discreta. Su distribución viene dada por los valores que puedetomar, x1, x2, x3, …, xk, y las probabilidades de que aparezcan p1, p2, p3, …, pk. Estas

cantidades p P x xi i { } reciben el nombre de función de probabilidad o función decuantía.

La probabilidad de que una variable aleatoria x tome un valor entre dos cantidades a y bserá:

P a x b P x a P x a P x b P x b

P x xix a

b

i

{ } { } { } ... { } { }

{ }

1 1

La función de probabilidad verifica que:

p P x xi i { } 0

p P x xii

k

ii

k

1 1

1{ }

sed




La función de distribución o de probabilidad acumulada representa en cada punto laprobabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que dicho punto, es decir,

P x x{ } 0

Función de distribución de probabilidad -fdp-

Una función f(x) es una fdp si x es una variable aleatoria y:

0xf Para todo Rx

Si Rx = { Rx / f( x ) > 0 }

continuaessidf

discretaessif

xR

Rxx

xxx

xx1

aFaP x

continuaessitdf

discretaessifaF

xx

xxx

a

ax

A F se le llama función de distribución acumulativa –fda-

Teorema

Para toda FDA se tiene que

0 ≤ ( ) ≤ 1 F(x) es no decreciente (−∞) = 0 (∞) = 1 ( < ≤ ) = ( ) − ( )

Vamos a diferenciar ( ) ( ), Teorema

Si x es una variable aleatoria discreta con FDA F(x), entonces

( < ≤ ) = ( ) − ( ) ( ≤ ≤ ) = ( ) − ( ) ( < < ) = ( ) − ( ) ( ≤ < ) = ( ) − ( )

sed




( = ) = ( ) − ( )Observación:

P(xa) es el área acumulada sobre el conjunto de valores x a. En el caso de una vadiscreta es una suma de rectángulos y en el caso continuo es el área bajo la curva f(x) en elintervalo (- , a].

Media o esperanza de una variable aleatoria

Sea x una v.a. con valores posibles en Rx , sea f( x ) su fdp, entonces el valor esperadoo la esperanza de cualquier función h(x) E(h(x)) se calcula así:

continuaesSidfh

discretaesSifh

h(x)Exxxx

xxxRx

)()(

)()(

Observe que si h(x)=ax+b es una función lineal, entonces

dfbaX

fbaX

h(x)E

baXEh(x)E

xx

xRx

)(

)(

Por las propiedades de los operadores lineales integral y sumatoria

sed




dfbdfa

bffa

h(x)Exxxxx

xxxRxRx

)()(

)()(

d)f(

f

1fdp,unaesf(x)Como

xx

)x(Rx

Entonces definimos μ como la esperanza de la va x

continuaessidf

discretaessif

xEμxxxx

xxxRx

)(

)(

Tenemos entonces que

bXaEbaXE

Es decir E es también un operador lineal que hereda sus propiedades de la sumatoria y laintegral.

De manera similar definimos 2-xh(x) entonces la varianza de la v.a. x será:

V(x)μ-xE 22 .

sed




Equivalentemente

Entonces

xVxExE 22 2

Observe que esta aproximación de la varianza no depende del carácter discreto o continuode x. También que

XVabaXV 2

Desviación típica de una variable aleatoria

La desviación típica de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la distribuciónalrededor de la media. Los valores pequeños indican concentración de la distribuciónalrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a distribuciones másdispersas.

El concepto de desviación típica es equivalente en variables aleatorias discretas ycontinuas, aunque en estas últimas su cálculo es más complicado.

Si x es una variable aleatoria discreta su desviación típica viene dada por:

x i x ii

k

i i xi

k

DT x x m p x p m ( ) 2

1

2 2

1

Y su varianza será:

x i x ii

k

i i x xi

k

xV x x m p x p m m m2 2

1

2 2

1

22

( )

Propiedades:

sed




Si a y b son constantes se cumple que:

ax b xa

ax b xa 2 2 2

Si x e y son dos variables aleatorias independientes se cumple que:

x y x y 2 2 2y

x y x y 2 2

sed




Ejercicios de AyudantíaVariable aleatoria Discreta y Continua

1. Una empresa fabrica tornillos según el departamento de control de calidad dela empresa, el numero de fallas superficiales en los tornillos corresponde a unavariable aleatoria con ( ) = , por tornillo. Además, se sabe que lafunción de cuantía está dada por:

x 0 1 2 3 4p(x) a 0,37 0,16 B 0,01

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo presente al menos 2 fallas?Solución:

Sea X: N° de fallas ( ) = 0,88X 0 1 2 3 4

P(x) a 0,3 0,16 B 0,010 1 4 9 16

Antes de calcular la probabilidad, debemos calcular a y B

Por definición tenemos que ( ) = ⋅ ( )Entonces 0,88 = 0 ∗ + 1 ∗ 0,3 + 2 ∗ 0,16 + 3 ∗ + 4 ∗ 0,01= 0,05Por definición tenemos que ( ) = 1+ 0,3 + 0,16 + 0,05 + 0,01 = 1

sed




= 0,41Teniendo definido las probabilidades podemos sacar la probabilidad que nos piden( ≥ 2) = 1 − ( < 2)( ≥ 2) = 1 − [ ( = 0) + ( = 1)]( ≥ 2) = 1 − (0,41 − 0,37) = 0,22

b) Calcule la varianza de los tornillosSolución:

La varianza se define como: ( ) = ( ) − ( ( ))Se tiene que ( ) = ⋅ ( )( ) = 0 ∗ 0,41 + 1 ∗ 0,37 + 4 ∗ 0,16 + 9 ∗ 0,05 + 16 ∗ 0,01 = 1,62Por lo tanto ( ) = 1,62 − (0,88) = 0,8456

2. La demanda diaria X de autos en un concesionario de la ciudad, vienedeterminada por la función de cuantía:

lotsi

XsiXkXsikX

XP..0

5,4,3502,1,0

a) Determinar el valor de la constante K y hallar la probabilidad de que en undeterminado día no se vendan más de cuatro autos.Solución:

a) 0)( ixXP ix y b) 1)(1

iixXP

Por condición a) se tiene que K debe ser una magnitud positiva mayor que cero.

sed




Por condición b) se tiene

K+2k+3k+47k+46k+45k=1 luego K=1/141

La 141/95141/451)5(1)4( XPXP

b) Si la utilidad U del concesionario (en $105) viene dada por: U= 3X –0,5,determine la función de distribución acumulada de la Utilidad.Solución:

5,14515,1445,1114196

5,1135,8141505,825,514135,515,21411

5,200

xUxU

xUxUxU

xU

xUF

c) Si la demanda de un día cualquiera se sabe que será de a lo mas cuatro autos.¿Cuál es la probabilidad de que la demanda sea de 2 o 3 autos?Solución:

)4(/)32()4(/)432()4/32( XPXPXPXXPXXP

95/5)141/95/())3()2(()4(/)32( XPXPXPXP

3. Suponga que la producción semanal de cierto producto en una fabrica es unavariable aleatoria que acepta la siguiente función de cuantía.

k,.....,2,1x;si

)1k(kx2

)x(f

Donde k es la máxima capacidad de producción semanal de la fábrica.

sed




Si la probabilidad que en una semana la fábrica opere a máxima capacidad esun 40%.

a) ¿Cuál es la probabilidad que en una semana cualquiera se supere laproducción esperada?Solución:

Obtención de “k”

4k40,0k40,0240,0)1k(k

k2)kx(f

c.o.cen0

4,.....,2,1x;si10x

)x(f

Calculo de la esperanza

4

1x3)x(xf)x(E

Luego 40,0)4x(P)3x(P))x(Ex(P

b) Si en una semana observada al azar ya se ha alcanzado una producción mas de2 unidades de este producto. ¿Cuál es la probabilidad que se alcance unaproducción de 3 unidades en la semana?Solución:

Se pide

429,073

107

103

)2()3(

23

xPxP

xxP

sed




4. Sea x una variable aleatoria que expresa el nº de personas que habitan en unavivienda elegida al azar. La distribución de probabilidad de x es la siguiente:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ó +

pi 0,230 0,322 0,177 0,155 0,067 0,024 0,015 0,010

a) Comprobar que es una distribución de probabilidad.Solución:

p ii

1

8

0 2 3 0 3 2 2 0 1 7 7 0 0 1 0 1, , , . . . ,

b) Hallar la probabilidad de que el nº de personas que viven en un hogar seamenor o igual que cuatro.Solución:

P x P x P x P x P x

4 1 2 3 40 2 3 0 3 2 2 0 1 7 7 0 1 5 5 0 8 8 4, , , , ,

c) Calcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda.Solución:

P x P x P x P xP x

2 2 3 81 2 1 0 23 0 77

...`( ) , ,

d) Obtener el nº medio de personas que habitan en una vivienda.Solución:

mx 1 023 2 0322 3 0177 7 0015 8 001 2689, , , ... , , ,

sed




5. Una compañía ha vendido 205 billetes para un avión de 200 plazas.Sea x la variable aleatoria que expresa el nº de viajeros que va al aeropuertopara viajar en el avión. Su distribución es:

xi 198 199 200 201 202 203 204 205

pi 0,05 0,09 0,15 0,20 0,23 0,17 0,09 0,02

a) Hallar la probabilidad de que todos los viajeros que van al aeropuerto tenganplaza.Solución:

P x P x P x P x{ } { } { } { }, , , ,

2 0 0 1 9 8 1 9 9 2 0 00 0 5 0 0 9 0 1 5 0 2 9

b) Obtener la probabilidad de que se quede sin plaza algunos de los viajeros queva al aeropuerto.Solución:

P x P x P x P x{ } { } { } . . . { }, , , , , ,

2 0 0 2 0 1 2 0 2 2 0 50 2 0 2 3 0 1 7 0 0 9 0 0 2 0 7 1

O

P x P x{ } { } , , 200 1 200 1 0 29 0 71

c) Calcular el nº esperado de viajeros que acude al aeropuerto.Solución:

m x px i ii

k

198 0 05 199 0 09 200 0 15 201 0 2

202 0 23 203 0 17 204 0 09 205 0 02201 44

1

, , , ,

, , , ,,

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona de la lista de espera tengasitio en el vuelo?Solución:

P x P x P x{ } { } { } , , , 199 198 199 0 05 0 09 0 14

sed




6. Una empresa distribuye cajas que contienen 20 baterías, de las cuales se sabeque vienen 4 baterías defectuosas por cajas. El control de calidad seleccionamuestras al azar de 3 baterías en cada caja, encontrando que el número debaterías defectuosas por caja tiene la siguiente función de cuantía:

a) ¿Cuál es el valor de k?Solución:

Sea la v.aX: “N° de baterías defectuosas”

( ) = 4 163 − = 0,1,2,3Los axiomas de la probabilidad nos dice

( ) = 1⟹ 1 40 163 + 41 162 + 42 161 + 43 160 = 1

Para resolver la combinatoria, es la siguiente

= !! ( − )!Por otro lado tenemos que, el factorial se define como el producto de todos losnúmeros enteros positivos desde el 1 hasta n, es decir,! = 1 × 2 × 3 × 4 × … × ( − 1) ×

sed




Una propiedad importante del factorial es que 0! = 1Volviendo al ejercicio, nos queda

⟹ 1 [1 ∗ 560 + 4 ∗ 120 + 6 ∗ 16 + 4 ∗ 1] = 1Por lo tanto = 1140Volviendo a definir la función de cuantía, tenemos

( ) = 4 163 −1140 = 0,1,2,30b) Obtenga la función de acumulada y calcule la probabilidad de que en una

muestra cualquiera de una caja se encuentre por lo menos una bateríadefectuosa.Solución:

x f(x) F(x)0 0,4912 0,49121 0,4211 0,91232 0,0842 0,99653 0,0035 1,0000

( ≥ 1) = 1 − ( = 0) = 1 − 0,4912 = 0,5088c) Si se rechaza una caja es porque se encuentra por lo menos una batería

defectuosa de la muestra de 3. ¿Cuál es la probabilidad que de 2 cajasescogidas al azar se rechace por lo menos una?Solución:

Sean los sucesos:: La caja i – esima es rechazada; i: 1,2,3

sed




( ) = 0,5088 ( ) = 0,4912Además son sucesos independientes

Piden ( ℎ ) = ( ∩ )( ℎ ) = 1 − ( ∩ )( ℎ ) = 1 − ( ) ⋅ ( )( ℎ ) = 1 − (0,4912) = 0,75877. La cantidad de boletos que vende un cine por hora es una variable aleatoria

con la siguiente función de probabilidad

( = ) =

casootroen;06,5,4 xsi x)-A(25

1,2,3 xsi2Ax

a) Encuentre el valor “A” de modo que ( = ) sea una función de cuantía.Solución:

Para definir la función de cuantía se debe obtener el valor de A, de tal modo decumplir que ( ) = 1( ) = ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) + ( = 4) + ( = 5) + ( = 6)

= 2 + 4 + 6 + 21 + 20 + 19 = 1Por lo tanto el valor de la constante es = 172

sed




b) Obtener la función de distribución de probabilidad.Solución:

( ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 136 = 1,2,3172 (25 − ) = 4,5,60

c) Usando la función de probabilidad, determine la probabilidad de que elnúmero de boletos vendidos sea mayor que 3 pero menor o igual a 5.Solución: (3 < ≤ 5) = ( = 4) + ( = 5)

(3 < ≤ 5) = 2172 + 2072 = 4172d) Calcular el número esperado de boletos.

Solución:

( ) = ⋅ ( )( ) = 1 ⋅ ( = 1) + 2 ⋅ ( = 2) + 3 ⋅ ( = 3) + 4 ⋅ ( = 4) + 5 ⋅ ( = 5) + 6⋅ ( = 6)

( ) = 1 ∗ 136 + 2 ∗ 236 + 3 ∗ 336 + 4 ∗ 2172 + 5 ∗ 2072 + 6 ∗ 1972 = 4,53e) Encuentre F(x)

Solución:

x f(x) F(x)1 1/36 1/362 1/18 1/123 1/12 1/64 7/24 11/245 5/18 53/726 19/72 1

sed




8. La venta diaria de una empresa que fabrica cierto tipo de artículo correspondea una v.a X con función de cuantía dada por:

a) Determine el valor de la constante K para que f (x) sea una función deprobabilidad.

b) ¿cuántas unidades se espera se vendan en un día cualquiera?Solución:

a) Para que f(x) sea una función de probabilidad debe cumplirse que:

110121210625344352611)(Re

kkxfXx

54,3,2,,1;507

501150

x-xxxfkk

Además 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x en el recorrido.

b)

)(Re

2

)(Re)(Re 507

057

XcxXcxXcx

xxxxxxfxXE

2,350

160225316495461501

t.o.l,0

51si,)7()(

xxxkxf

sed




9. En un lote de 5 máquinas industriales hay 3 que no cumplen con las normas decalidad. Se desea evaluar la calidad de las máquinas que se desea comprar,para lo cual se toma una m.a. de dos de ellas.

a) ¿Cuál es la función de cuantía de la v.a. “número de máquinas defectuosas enla muestra aleatoria”. Descríbala explícitamente.Solución:X: número de máquinas defectuosas en la muestra aleatoria.

Sea 0: cumple con normas de calidad; 1: máquina defectuosa

S = {(00), (01), (10), (11)}

P(00) = 0,4 * 0,25 = 0,10 P(0,1) = P(10) = 0,4 * 0,75 = 0,30

P(11) = 0,6 * 0,5 =0,3

x 0 1 2

f(x) 0,1 0,6 0,3 1

b) Se sabe que la función de costo por defecto es: 0,8 X + 2, donde X representa elnúmero de máquinas defectuosas ¿cuál es el costo esperado por máquinasdefectuosas?Solución:

x 0 1 2

f(x) 0,1 0,6 0,3 1

(0,8 x + 2) f(x) 0,20 1,68 1,08 2,96

E(0,8 X + 2) = 2,96

sed




10. Suponga que el numero de paquetes de 1000 acciones cada uno, que uncorredor de bolsa vende un día viernes entre las 9:00 y 10:00 hrs, correspondea una variable aleatoria X, cuya función de probabilidad está dada por:

X 4 5 6 7 8 9P( X = x) 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6 1/6

a) ¿Cuál es la probabilidad que el corredor de bolsa en el día y periodo indicado,venda a lo más 8 paquetes de acciones, si vende más de 5 de dichos paquetes?Solución:

Sea la v.aX: “N° de paquetes de acciones vendidas por el corredor de Bolsa el dia y horarioindicado”

( ≤ 8/ > 5) = (5 < ≤ 8)( > 5) = 2356 = 45 = 0,8b) El monto de los honorarios que el corredor de bolsa cobra a sus clientes por la

venta de cada paquete de acciones esta dado por( ) = ⋅ − ( $)Determine el monto esperado de los honorarios del corredor de bolsa por laventa de dichos paquetes de acciones durante el día y periodo indicado.Solución: ( ) = ⋅ ( )

( ) = 4 ∗ 112 + 5 ∗ 112 + 6 ∗ 14 + 7 ∗ 14 + 8 ∗ 16 + 9 ∗ 16= 6,8333 ( )Luego ( ) = (2 ⋅ − 1 )

sed




Por propiedades del valor esperado se tiene que( ) = (2 ⋅ − 1 ) = 2 ⋅ ( ) − 1 = 2 ⋅ 6,8333 − 1= 12,666 ( $) = $ 126.66611. Un estudio de mercado de una nueva marca de leche (envasada en cajas de un

1 lt), realizado en una muestra aleatoria de hogares de la RegiónMetropolitana, entrego para el consumo diario de este tipo de leche, lossiguientes resultados:

N° de Cajas 0 1 2 3 4 5 6N° de Hogares 40 120 190 240 150 40 20

a) Determine la función de probabilidades del consumo diario de este tipo deleche en dichos lugares.Solución:

Sea la v.aX: “Consumo diario de leche (En cajas de 1 lt)”

X N° de Hogares P( X = x)0 40 0,051 120 0,152 190 0,23753 240 0,34 150 0,18755 40 0,056 20 0,025

Total 800 1

b) Si en la muestra en estudio, el consumo diario esperado excede las dos cajas, laempresa productora lanzara la nueva marca de leche al mercado. Determine sidicho producto será comercializado por la empresa.Solución:

( ) = ⋅ ( )

sed




( ) = 0 ∗ 0,05 + 1 ∗ 0,15 + 2 ∗ 0,2375 + 3 ∗ 0,3 + 4 ∗ 0,1875 + 5 ∗ 0,05 + 6∗ 0,025 ( ) = 2,675 ( )Conclusión: Como en la muestra en estudio, el consumo diario esperado excede lasdos cajas, el producto será comercializado por la empresa.

12. Dada la siguiente función

( ) = , + , = ,, − , = ,a) Verificar si P(x) es función de cuantía

Solución:

( ) = 1( ) = ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) + ( = 4)

= 0,3 + 0,4 + 0,2 + 0,1 = 1Por lo tanto es una función de cuantía

b) Construya la función de distribución f(x) y F(x)Solución:

X p(x) F(x)1 0,3 0,32 0,4 0,73 0,2 0,94 0,1 1

Definiéndolo en intervalos, que tiene

sed




( ) = ⎩⎪⎨⎪⎧0,3 = 10,4 = 20,2 = 30,1 = 40

( ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 0 < 10,3 1 ≤ < 20,7 2 ≤ < 30,9 3 ≤ < 41 ≥ 4

c) Calcule ( ≥ / < )Solución:

( ≥ 2/ < 4) = (2 ≤ < 4)( < 4) = ( = 2) + ( = 3)( = 1) + ( = 2) + ( = 3)( ≥ 2/ < 4) = 0,60,9 = 0,66

d) ( ) ( + )Solución:

El valor esperado que saca con la formula

( ) = ⋅ ( )( ) = 1 ⋅ 0,3 + 2 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 0,2 + 4 ⋅ 0,1 = 2,1( ) = 1 ⋅ 0,3 + 2 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 0,2 + 4 ⋅ 0,1 = 5,3

La varianza tiene propiedades que nos ayudan a simplificar las operaciones, talescomo: ( + ) = ( )

sed




Para el ejercicio se tiene (2 + 3) = 2 ( ) = 4 ⋅ ( )Por otro lado la varianza se saca con( ) = ( ) − ( ( )) = 5,3 − (2,1) = 0,89Entonces, nos queda(2 + 3) = 2 ( ) = 4 ⋅ ( ) = 4 ∗ 0,89 = 3,56

13. Dada la siguiente función

( ) = = , ,a) Demuestre que f(x) es función de cuantía

Solución:

( ) = 1( ) = 16 + 26 + 36 = 1

Por lo tanto es función de cuantía

b) F(x)Solución:

X p(x) F(x)1 0,167 0,1672 0,333 0,5003 0,500 1,000

Definiéndolo en intervalos, que tiene

sed




( ) = 0,167 = 10,333 = 20,500 = 30( ) = 0 < 10,167 1 ≤ < 20,500 2 ≤ < 31 ≥ 3

c) Graficar F(x)Solución:

d) Calcular ( ≤ ≤ ) ( ≤ < 2) ( < 3) ( ≥ / < 3)Solución:

(1 ≤ ≤ 2) = ( = 1) + ( = 2) = 16 + 26 = 36(1 ≤ < 2) = ( = 1) = 16

sed




( < 3) = ( = 1) + ( = 2) = 16 + 26 = 36( ≥ 1/ < 3) = (1 ≤ < 3)( < 3) = ( = 1) + ( = 2)( = 1) + ( = 2) = 1

14. El numero de problemas resueltos correctamente en un examen por un alumnoes una variable aleatoria con la siguiente F(x)

( ) =⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ < 0≤ < 1≤ < 2≤ < 3≥

a) ( ) ( )Solución:

Al no tener la función de cuantía, a través de la función acumulada, esta nos queda

X p(x) F(x)0 1/7 1/71 3/7 4/72 2/7 6/73 1/7 1

Definiendo en intervalos

( ) = ⎩⎪⎨⎪⎧1/7 = 03/7 = 12/7 = 21/7 = 30

El valor esperado que saca con la formula

sed




( ) = ⋅ ( )( ) = 0 ⋅ 17 + 1 ⋅ 37 + 2 ⋅ 27 + 3 ⋅ 17 = 107( ) = 0 ⋅ 17 + 1 ⋅ 37 + 2 ⋅ 27 + 3 ⋅ 17 = 207

Por lo tanto la varianza, nos queda

( ) = ( ) − ( ) = 207 − 107 = 4049b) Calcule la probabilidad de que el numero de problemas resueltos sea a lo

menos 1Solución:

( ≥ 1) = 1 − ( < 1) = 1 − ( = 0) = 1 − 17 = 67

Apuntes de Ayudantia_Curso Probabilidades y Estadistica

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