Guia Estadistica y Probabilidades 2013 Villarreal

8/10/2019 Guia Estadistica y Probabilidades 2013 Villarreal

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UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREALFACULTAD DE INGENIERA ELECTRNICA E INFORMTICA

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICA

APUNTES DE CLASE Y GUIA DE PRCTICASASIGNATURA: PROBABILIDADES Y ESTADSTICA II

CDIGO: 5B0032

AO LECTIVO 2013-II

Docente: Lic. Pedro Saenz Rivera

[email protected]


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UNFV/FIEI/ PROBABILIDADES Y ESTADSTICAII -2013/LIC. PEDRO SAENZ R. Pgina 2

PROBABILIDADES

El objetivo fundamental de la estadstica es realizar inferencias acerca de una variable en lapoblacin a partir del cocimiento de una muestra. La teora de la probabilidad es el fundamentopara la inferencia estadstica; esta proporciona y estudia modelos para las distribuciones dealgunas variables importantes.

En la mayora de los problemas hay que tomar decisiones en base a experimentos, as puesdefiniremos lo que es un experimento aleatorio para poder entender el concepto de probabilidad.

1. EXPERIMENTO ALEATORIO Y ESPACIO MUESTRAL

Existen dos tipos de experimentos:

Experimento Determinstico : Al repetirlos bajo las mismas condiciones siempre dan el mismoresultado (predecible). Ejemplos: Fenmenos fsicos y qumicos.

Ejemplos:- El resultado de una reaccin qumica- La velocidad de llegada de un cuerpo a tierra al dejarlo caer desde una torre

Experimento Aleatorio o no determinstico : Conjunto de pruebas realizadas bajo las mismascondiciones y cuyos resultados son impredecibles. Los simbolizaremos como . Estos tambin sonconocidos como experimentos estocsticos. Los rasgos que distinguen a los experimentosaleatorios son:

i. Todos los resultados del experimento son conocidos con anterioridad a su realizacin.ii. No se puede predecir el resultado del experimento.iii. El experimento puede repetirse en condiciones idnticas.

Ejemplos

1 : Lanzar moneda y observar su cara superior

2 :Extraer un artculo de un lote que contiene 50 artculos defectuosos y 15 articulos nodefectuosos.

3 : Observar el tiempo de vida de una lmpara desde que se enciende hasta que falla.4 : Elegir un punto en el intervalo cerrado 0,1 5 : Lanzar una moneda y contar el nmero de lanzamientos hasta que salga cara

6 : Contar el nmero de artculos fabricados en un dia por una maquina hasta que resulte unartculo defectuoso.

Espacio Muestral : Es el conjunto de todos los resultados posibles asociados a un experimentoaleatorio. Se denota por .

Ejemplos:


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- Al experimento aleatorio 1 :Lanzar moneda le corresponde el espacio muestral 1 ,C S - Al experimento aleatorio 2 le corresponde 2 , D ND

- Al experimento aleatorio 3 le corresponde




Los espacios muestrales pueden ser:

Espacio muestral discreto:

Si tiene un nmero finito o infinito numerable de elementos.

Espacio muestral continuo

Si tiene un nmero no numerable de elementos. Es decir cuyos elementos son todos los puntos dealgn intervalo

Evento: Dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral , se llamaEvento a cualquier subconjunto de y lo denotaremos por A, B, C, D Sea el evento E entonces: E

Suceso: Es todo elemento del espacio muestral y lo denotaremos por w, x, y , etc.Sea el suceso w, entonces w

Distinguimos los siguientes tipos de eventos:

- Evento simple o elemental : slo consta de solo elemento- Evento compuesto : consta de dos o ms elementos- Evento imposible : es el que nunca puede realizarse (viene determinado por el

conjunto vaco, )- Evento seguro : es el que siempre se cumple (viene determinado por

el conjunto total, )- Evento disjuntos o mutuamente excluyentes : aquellos Evento A y B que no pueden

realizarse a la vez, A B =

Ejemplos:Clarifiquemos estos conceptos con unos ejemplos:

- Realizamos el experimento aleatorio : Lanzar un dado y observar la cara superior


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Espacio muestral: = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }Evento simple: Sacar un 2 = { 2 }Evento compuesto: Sacar un nmero impar = { 1, 3, 5 }Evento imposible: Sacar un 7 = Evento seguro: Sacar un n menor que 7 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }Evento disjuntos: A = Sacar un n par = { 2, 4, 6 }

B = Sacar un n impar = { 1, 3, 5 }

2. OPERACIONES CON EVENTOS: (ALGEBRA DE EVENTOS)

Tratndose los eventos de subconjuntos del espacio muestral, es natural que satisfagan todas lascaractersticas de los conjuntos. Sean A y B dos eventos del espacio muestral .

SUB-EVENTOSDados dos eventos A y B se dice que A esta contenido en B o que A es sub-evento de B y denotamospor A B , Es decir si ocurre el evento A ocurre necesariamente el evento B

,si A B w A w B

IGUALDAD DE EVENTOSSe dice que dos eventos A y B son iguales, y se denota por A = B, si A B y B A

LA INTERSECCIN, que se denota B A , es el evento que consta de todos los resultados en que pertenecen tanto a A como a B. Por tanto, la interseccin B A ocurre si y slo si tanto Acomo B ocurren.

AB A B w w A w B

De manera ms general, dados k eventos A1, A2, ..., A k , su interseccin k A A A 21 es elconjunto de todos los resultados bsicos que pertenecen a todo Ai (i = 1, 2, ..., k)

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:

A: que salga nmero par, y B: que sea mayor que 3.La interseccin de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.

4,6 A B

LA UNIN, que se denota B A , es el evento que consta de todos los resultados en quepertenecen al menos a uno de estos eventos. Por lo tanto, la unin B A ocurre si y slo si Ay/o B ocurren.


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A B w w A w B

PROPIEDADES:i. A B C A B A C ii. A B C A B A C

De manera ms general, dados k eventos A1, A2, ..., A k , su unin k A A A 21 es el conjuntode todos los resultados que pertenecen al menos a uno de estos k eventos.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos eventos:A: que salga nmero par, y B: que el resultado sea mayor que 3.El eventos unin estara formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

Luego 2,4,5,6 A B

EL COMPLEMENTO El complemento del evento A (con respecto al espacio muestral ), que serepresenta por c A (dependiendo de la literatura tambin se usa A ' A ), es el evento queconsta de todos los resultados pertenecientes a pero no a A.

' A A A w w w A

' A A

PROPIEDADES

i. A A ii. A A iii. A A iv. ' v. A B A B


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Ejemplo: lanzamos un dado al aire. El eventos (A) es que salga un nmero par, luego sucomplementario, evento A es que salga un nmero impar.

Definiciones complementarias:

Si A y B no tienen puntos muestrales en comn (sucesos) se denominan excluyentes y suinterseccin A B es el conjunto vaco , lo que significa que A B no puede ocurrir.

De manera ms general, dados k eventos A 1, A2, ..., Ak, se dicen mutuamente excluyentes si cadapar de estos eventos es excluyente, es decir i j A A para todo i j. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: A: que salga un nmero menorque 3, B: que salga el nmero 6.

Dados k eventos E 1, E 2, ..., E k definidos en el mismo espacio muestral , si su unin E 1 E 2 ... E k = se dice que estos k eventos son colectivamente exhaustivos .

LEYES DE MORGANLas operaciones o el algebra de eventos o sucesos es el mismo de el algebra de conjuntos.

Las leyes de Morgan se usan para el complemento es decir: Leyes De Morgan

' ' ' A B A B y ' ' ' A B A B

EJERCICIOS

Simplificar: ' ' ' ' ' A B A A B A

3. PROBABILIDAD.-

Definicin Clsica: La probabilidad de un evento es la razn entre el nmero de casos (sucesos)

favorables y el nmero total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer quealgunos de estos sucesos deban tener preferencia a los dems, lo que hace que todos seanigualmente posibles.

Es decir sea el espacio muestral y el evento A , entonces la probabilidad de la ocurrenciadel evento A ser:

N A

P A N

Donde: N A = nmero de casos favorables al evento A


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N = nmero de casos posibles.

Ejemplo

Si lanzamos una moneda dos veces, cul es la probabilidad de obtener al menos una cara?El espacio muestral correspondiente es = { (C,C), (C,), ( ,C), ( , ) } , siendo C = cara y = cruz

Sea el suceso A = al menos una cara = { (C,C), (C, ), ( ,C) }Luego: N A = casos favorables = 3, N = casos posibles 4

As, la probabilidad pedida es 34

N A P A

N

PROPIEDADES: Sea un experimento aleatorio y un espacio muestral asociado a este. La probabilidad deA denotado por P(A) satisface las siguientes propiedades:

1. 1)(0 A P 2. Si A es un evento imposible entonces 0 P A 3. P( ) = 14. Si A y B son mutuamente excluyentes entonces P(A B) = P(A) + P(B)

4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Dados dos eventos A y B, se define la probabilidad condicional de A dado B como

)()(

)|( B P

B A P B A P

, siempre que P(B) > 0

Y se entiende como la probabilidad de que ocurra el suceso A considerando que antes haocurrido el suceso B.

EJEMPLO: Sea el experimento aleatorio lanzar dos monedas una despus de otra. Cual es laprobabilidad de que en el primer lanzamiento haya salido una cara sabiendo que al lanzar las dosmonedas sali al menos una cara?

SOL. Se lanza dos veces una moneda: E={CC,CS,SC,SS}. Sabemos que ha ocurrido el sucesosale al menos una cara, es decir, B={CC,CS,SC} La probabilidad de que ocurra el suceso A en el primer lanzamiento sale cara={CC,CS}condicionada por el suceso B ser:

P A B P A y B P B

( )( )

//

/2 43 4

2 3

Propiedades de la probabilidad condicional


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1. 1)|(0 B A P 2. ( | ) 1 P A

3. ( | ) P A A

4. )|()|(11

B A P B A P i

iii

si 0 ji A A para ji

En general tenemos dos formas de calcular )|( B A P :a. Directamente, considerando la probabilidad de A respecto al espacio muestral B.b. Usando la definicin, donde )( B A P y P(B) se calculan respecto al espacio muestral

original .

5. REGLA DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES

Tambin conocido como Teorema de Multiplicacin, se puede ver como una consecuencia de la

definicin de probabilidad condicional, indica que la probabilidad de la interseccin de dos eventoscualesquiera A y B es:

P(A B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) La generalizacin de esta regla para n eventos nos lleva a:

)()|()|()|()|()( 112213211111 A P A A P A A A P A A A P A A A P A A P nnnnn Ejemplo: En una urna hay 5 bolillas blancas y 4 bolillas rojas; Se extrae al azar sucesivamente y sinreposicin dos bolas cual es la probabilidad de que las dos resulten blancas?SOL:

6. INDEPENDENCIA DE EVENTOSDados dos eventos A y B se dice que son independientes estadsticamente, o simplementeindependientes, si y slo si

P(A B) = P(A)P(B)

En otras palabras, A y B son independientes si y solo si P(A|B) = P(A) siempre que P(A) sea diferentede 0 y tambin si P(B|A) = P(B) siempre que P(B) sea diferente de 0.

En general n eventos n A A ,,1 , se dicen independientes si y slo si

1 1 2. .....n n P A A P A P A P A

Ejemplo: Se lanza un dado 5 veces. Hallar la probabilidad de que no aparezca ningn seis en loscinco lanzamientos.SOL.


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7. PARTICIN:Se dice que la coleccin de eventos 1 2, , , k B B B conforman una particin del espacio muestral si

1. i j B B para ji , , 1, 2,3,....i j k

2. 1

K

ii

B

3. ( ) 0i P B para todo i

8. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTALSea 1 2, , , k B B B una particin del espacio muestral , entonces para cualquier evento A en , secumple:

1 1 2 21

...k

i i k k i

P A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B

EJEMPLO: En un laboratorio hay tres jaulas, en la jaula B1 hay dos conejos pardos y tres blancos, en la jaulaB2 hay 4 conejos pardos y 2 blancos, en la jaula B3 hay 5 conejos pardos y 5 blancos. Se selecciona al azaruna jaula y se saca un conejo al azar de esta jaula. Cul es la probabilidad de que el conejo escogido sea

blanco?SOLUCIN:


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9. TEOREMA DE BAYES.- Si los eventos 1 2, , , k B B B forman una particin del espacio muestral y Aes un evento cualquiera de , entonces:

1 1 2 2

1

( ) ( | ) ( ) ( | )( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ... ( ) ( | )( ) ( | )

r r r r r k

k k i ii

P B P A B P B P A B P B A

P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B

( )

( | ) r r P B A

P B A P A

Donde el numerador resulta del teorema de multiplicacin y el denominador del teorema de probabilidadtotal.

EJEMPLO: En el ejemplo anterior, supongamos ahora que el conejo escogido aleatoriamente es blanco. Cules la probabilidad de que provenga de la jaula B1?SOLUCIN:


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I. VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES.

1. VARIABLE ALEATORIA.

Una variable aleatoria " X " es una aplicacin definida en un espacio muestral , que toma valoresreales, o sea es la transformacin del Espacio Muestral en un conjunto numrico, mediante X .

Definicin formal:Dado un experimento aleatorio y el espacio muestral asociado a dicho . Una funcin queasigna a cada elemento w en uno y solamente un numero real x X w , se llama VARIABLE ALEATORIA.Es decir, X es una funcin real : X

El rango o recorrido X R de la variable aleatoria X esta dado por el conjunto de nmeros reales:

/ , X R x X w x w X

Ejemplos:

a) Experimento: Tira 10 veces a una canasta Variable aleatoria: X = N de aciertos , 0,1,2,..9,10 X R

b) Experimento: Tirar dos monedas Variable aleatoria: X = Contar el nmero de caras , 0,1,2 X R

c) Experimento: Elegir una bombilla al azar Variable aleatoria: X = Tiempo que tarda en fundirse

/ 0 X R x x M Donde M es el tiempo mximo de vida.d) Experimento: Lanzar un dado

Variable aleatoria: X = numero de intentos hasta obtener un seis , 1,2,3,... X R e) Experimento: Elegir una punto (x,y) al azar en el plano cartesiano XY

Variable aleatoria: D = Distancia del punto al Origen de coordenadas

2 2/ D R d d x y 2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

Definicin:Una variable aleatoria se dice discreta cuanto toma una serie de valores aislados esdecir cuando X R es un conjunto finito o infinito numerable. Se dice continua cuando puede tomarcualquier valor dentro de un intervalo.

Ejemplos:De los ejemplos anteriores son discretas a,b,d , y son continuas la c y e.


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3. FUNCION O LEY DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE DISCRETAS.

Cuando se habla de la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria lo que se pretende esdeterminar cmo estn distribuidas las probabilidades entre los diferentes valores que puedetomar la variable aleatoria.

Se llama funcin de probabilidad o ley de probabilidad (o funcin de cuanta) p x de unavariable aleatoria X a la funcin que asigna a cada valor de la variable la probabilidad de que statome ese valor:

La funcin de probabilidad de una v.a. discreta cumple las 3 propiedades:i. p x P X x ii. 0, X p x x R iii. 1

X x R

p x

La coleccin de pares , X x p x x R es llamada distribucin de probabilidad de X.

Ejemplo:Sea X = Nmero de caras al tirar dos monedas X R : 0, 1, 2

Funcin de probabilidad:1

(0) ( 0)4

1(1) ( 1)

21

(2) ( 2)4

p P X

p P X

p P X

Observaciones: El dominio de la funcin de probabilidad es X R . La funcin de probabilidad p x toma valores entre 0 y 1.

La suma de todos los valores que toma la funcin de probabilidad es 1.


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4. FUNCION DE DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

Se llama funcin de distribucin , F , de una variable aleatoria X a la funcin que asigna a cada valorde la variable la probabilidad de que sta tome un valor menor o igual que ese.

)()( x X P x F Definicin formal: Sea X una v.a. discreta con rango 1 2,, ..... X R x x y funcin de probabilidad,

i i p x P X x , sea x un numero real cualquiera, la Funcin de Distribucin de X se denota por F x y se define como:

( ) ( )i i

i x x x x

F x P X x p x P X x

Es decir, para calcular el valor de la funcin de distribucin en un punto x i debemos sumar losvalores que toma la funcin de probabilidad en todos los puntos menores o iguales que x i .

Ejemplo:Sea X = Nmero de caras al tirar dos monedas ( del ejemplo anterior)

Observaciones: La funcin de distribucin es escalonada, empieza tomando el valor 0, tiene saltos en el

recorrido de la variable aleatoria hasta tomar el valor 1.

5. FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Definicin: Sea X una v.a. continua con rango X R . La funcin de densidad de probabilidad asociadaa la variable aleatoria, es una funcin f x integrable que satisface las siguientes condiciones:

a. 0, f x x

b. 1 X R

f x dx f x dx

x si

x si

x si

x si

x F

21

214

3

1021

00

)(


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Una consecuencia de esta definicin es que si A es el evento / A x a X b se define laprobabilidad de A como sigue:

b

a

P A P a X b f x dx

Este concepto de probabilidad se entiende que la probabilidad del evento A es equivalente area debajo de la curva, a la derecha de la recta x= a y a la izquierda de la recta x=b.

OBS:

a. f x no representa la probabilidad de algo, solamente cuando esta funcin se integra entredos puntos representa una probabilidad.

b. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor especifico, digamos 0 x es cero,

pues: 00

0 0 0( ) ( ) 0 x

x P X x P x X x f x dx

c. Como consecuencia cuando X es una v.a. continua P a X b P a X b P a X b P a X b

Ejemplo:Sea una variable aleatoria continua con funcin de densidad dada por:

26 2 ,0 2

0 , en otro caso

c x x x f x

1) Encuentre el valor de la constante c.Sol:

Como 0 2

2

0 2

0 6 2 0 1dx c x x dx dx

Se obtiene2

2 3

0

20 3 0 1

3c x x

, luego 3

20c

2) Calcular 1 P X


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Sol: 2

2

1 1

3 131 6 3

20 20 P X f x dx x x dx

3) Calcular 0.5 1.5 P X Sol:

1.5

0.5

0.5 1.5 P X f x dx

6. FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADAD DE UNA VARAIABLE ALEATORIA CONTINUA

Definicin: sea X una v.a. continua con funcin de densidad f x La funcin de distribucinacumulada de la v.a. continua X, denotada por F x , se define por:

( ) ( ) ( ) , x

F x P X x f t dt x

Es decir F x asigna a cada valor x la probabilidad de que la variable aleatoria Xsea menorde x .

Ejemplo:Sea una variable aleatoria continua con funcin de densidad dada por:

3

2 ,0 24

0 , en otro caso

x x x

f x

Hallar la funcin de distribucin acumulada de X.


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SOLUCION:

1) Si 0, 0 x

x F x P X x odt

2) Si 0

2

0

3 30 2, 0 2 1

4 4 3

x x x x F x P X x f t dt dt t t dt x

3) Si 0 2

0 2

32, 0 2 0 1

4

x x

x F x P X x f t dt dt t t dt dt

Luego: 20 0

31 0 2

4 3

1 2

x

x F x x x

x

Grficamente:

Observar que F(x) empieza tomando el valor 0 y va creciendo hasta alcanzar el valor 1.

6.1 POPIEDADES DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADAD DE UNA VARAIABLEALEATORIA CONTINUA

1. 0 1, F x x 2. lim 0

x F x

3. lim 1 x

F x

4. F es creciente es no decreciente, esto es : Si a b F a F b

5. F es continua por la derecha, es decir 0

lim , , 0h

F x h F x x h

6. Del segundo teorema fundamental del calculo se tiene que: d F x

f xdx


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7. PARMETROS O CARACTERISTICAS DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Las caractersticas numricas son medidas que permiten sintetizar la informacin de formatal que ofrecen las caractersticas generales del fenmeno en estudio, es decir, sus rasgosprincipales. Tambin se conocen como parmetros de las variables aleatorias.Las caractersticas fundamentales que se estudiarn son: Media y varianza

7.1 Media o Esperanza matemtica de X se denota por E X y se Define por:

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ( ) X

n n x R

E x x p x x p x x p x xp x , Si X es una v.a. discreta (*)

X

R

E x xf x dx xf x dx , Si X es una v.a. continua (**)Siempre que la sumatoria (*) o la integral (**) sean finitasEjemplo:

Sea X = Nmero de caras al tirar dos monedas

Media= 1 1 10 (0) 1 (1) 2 (2) 0 1 2 14 2 4

p p p

Es decir, si repites el experimento muchas veces en promedio obtendrs una cara.

Sea X = Nmero obtenido al lanzar un dado

Media= 1 1 1 211. (1) 2 (2) ...6. 6 1 2 ... 6 3.56 6 6 6

p p p

7.2 Propiedades de la esperanza matemtica.

7.2.1 Sea X una v.a e Y H X Una funcin de X, EL valor esperado H X se define por:

i. ( ) X x R

E H X H x p x Si X es una v.a. discretaii.

X R

E H x H x f x dx , Y H X continua y X una v.a. continua

Es decir para hallar el valor esperado de Y H X no se necesita conocer o calcular ladistribucin de probabilidad de Y.

7.2.2 Sea X una v.a., a y b constantes. Entonces:

i. E a a ii. E aH X aE H X iii. E aH X bG X aE H X bE G X


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7.3 Varianza de X:La varianza de una variable aleatoria es una caracterstica numrica que proporciona una ideade la dispersin de la variable aleatoria respecto de su esperanza, se denota y se define como:

La varianza de una v.a. X, se denota por Var X V X por la letra griega 2 X y se definecomo:

2Var X E X

Por lo tanto:

2 ( ) X x R

V x x p x , Si X es una v.a. discreta

2 X R

V x x f x dx , Si X es una v.a. continua

Ejemplo:Sea X = Nmero de caras al tirar dos monedas

Varianza

2 2 2 20 (0) 1 (1) 2 (2) 1.5 E X p p p

2 2 2 2 2 2 21 1 1 10 1 2 14 2 4 2

E X

Una de las caractersticas de la varianza es que viene expresada en unidades cuadrticasrespecto de las unidades originales de la variable. Un parmetro de dispersin derivado dela varianza y que tiene las mismas unidades de la variable aleatoria es la desviacin tpica,que se define como la raz cuadrada de la varianza.

Desviacin Tpica = X Var X

Desviacin Tpica es la raz de la varianza, asi en este ejemplo 71,05,0

7.4 Propiedades de la Varianza.

7.4.1 Sea X una v.a con valor esperado E X la varianza esta dada por: 2 2V X E X

7.4.2 Sea X una v.a., a y b constantes. Entonces: 2V ax b a V X


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7.5 EJEMPLOS: 7.5.1 Tiramos 3 monedas y sea la v.a. discreta X = Nmero de caras

Entonces:Recorrido de X = {0, 1, 2, 3}

Funcin de probabilidad.

10

83

18( )3

281

38

x

x p x

x

x

Funcin de distribucin.

31

3287

2184

108

1

00

)(

x

x

x

x

x

x F

Parmetros.1 3 3 1

( ) 0 1 2 3 1,58 8 8 8i i

x p x

2 2 2 2 2 2 2 21 3 3 1( ) 0 1 2 3 1,5 0,758 8 8 8i i

x f x

87,075,0

7.5.2 PREGUNTA:

C C CC C XC X CX C CC X XX C XX X CX X X


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Sea el siguiente juego Si un jugador lanza la moneda 3 veces, y gana un dos soles por cadacara obtenida.

a. Si el juego cuesta 2 soles cual es su ganancia esperada?b. Si el juego cuesta 4 soles cual es su ganancia esperada?c. Sea la variable aleatoria Y: ganancia en el juego, en cual de los casos a) b) ser Y mas

homognea?

7.5.3 Ejemplo Si 2

x f x para 0 x 2

a. Hallar la esperanza de X b. Cul ser el valor de la varianza de x?c. Hallar E (x+3)d. Hallar E (2x 2 ) e. Cul ser el valor de V(2x )?f. Cul es el valor de la desviacin tpica de X ?

SOLUCION:Por la forma de presentar el recorrido de la variable x , indica que es una variable continua.

a. 2 2

2 3

0 0

1 ( ) = x = 1/2[x / 3) = 1/2(8/3 - 0)=1.33

2 E X x f x dx dx

b. 2 2

2 2 3 4

0 0

( ) = 1/2 1/ 2( / 4) 1/ 2(16 / 4) 16 / 8 2 E X x f x dx x dx x Luego por propiedad: V(x) = E (x 2 ) - [ E (x)]2 = 2 - 1.332 = 2 - 1.77 = 0.23

c. E (x+3) = E (x) + 3 = 1.33 + 3 = 4.33

d. E (2x 2 ) = 2 E (x 2 ) = 2 . 2 = 4

e. V(2x) = 2 2 V(x) = 4 (0.23) = 0.92

f. 2 0 23, = 0,48Recuerde que la desviacin tpica se representa por la letra griega sigma y que es la raz

cuadrada de la varianza (V(x) = 2


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RESUMENVARIABLES DISCRETAS VERSUS VARIABLES CONTINUAS

X = N de hijos Y = Tiempo de retraso/adelanto en el autobs Recorrido de X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, } Recorrido de Y =

/ ,

Y R y y m M

Funcin de probabilidad Funcin de densidad

Funcin de distribucin Funcin de distribucin x

dx x f x X P x F )()()(

)( x f

)( x F

Parmetrosn

iii x f x

1

)(

n

iii x f x

1

2 )()(

2

1

2 )( n

iin x f x

Parmetros dx x f x )(

dx x f x )()( 2


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8. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS

En esta seccin presentaremos algunas (las principales) distribuciones de probabilidad paravariables aleatorias discretas.El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribucin de probabilidaddiscreta. A menudo, las observaciones que se generan en diferentes experimentos se puedendescribir esencialmente con la misma distribucin de probabilidad y por tanto se puedenrepresentar mediante una sola formula. De hecho se necesita solo un puado de distribucionesde probabilidad importantes para describir muchas variables aleatorias discretas que seencuentran en la prctica.

8.1 DISTRIBUCIN UNIFORME

Es la mas simple de todas las distribuciones de probabilidad discreta es donde la variablealeatoria toma cada uno de sus valores con una probabilidad idntica.

La variable aleatoria toma un nmero finito de n valores, cada uno con igual probabilidad.

EJEMPLO: Se lanza un dado y sea X : numero de la cara superior

8.2 ENSAYOS Y DISTRIBUCION DE BERNOULLI

Hay muchos experimentos que solo tienen dos resultados posibles, llamados xito E y fracaso F . Donde la probabilidad de xito es siempre la misma es decir es constante y por lotanto tambin lo es la probabilidad de fracaso. Luego al espacio muestral para este tipo deensayo es , E F , Por ejemplo al lanzar una moneda podemos considerar xito si sale cara.

Un experimento con estas caracterstica se llama ensayo de Bernoulli.Definimos ahora la variable aleatoria X de tal manera que X w numero de xitos en unensayo Bernoulli entonces tenemos: 0,1 X R , as esta variable aleatoria es llamda variablealeatoria de Bernoulli .

Si denotamos 1 p P E y q p P F

Podemos escribir la distribucin de Bernoulli como:

11 , 0,1 x x p x P X x p p x

x 0 1 p(x) 1-p=q p

2,

1( ) ( ) , , ...i i i n f x P X x Rx x x xn


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DISTRIBUCION BINOMIAL

A menudo estamos interesados solamente en el numero total de xitos E obtenidos en unproceso de n ensayos Bernoulli, al margen del orden en que se presentan.

Definimos ahora una variable aleatoria Binomial como: X w nmero de xitos obtenidos en los n ensayos Bernoulli. Entonces tenemos:

0,1,3,..., X R n , con distribucin Binomial dada por:

, , 0,1,..., .n x xn

p x P X x n p p q x n x

donde)!(!

!k nk

nk

n

es el nmero de formas en que se pueden tener k xitos de n intentos.

Propiedades:1. E X np 2. V X npq

EJEMPLO:Si Tiramos 5 esferas a una canasta, la probabilidad de acertar cada tirada es 0,4. Siconsideramos la variable "" aciertosde Nmero X Hallar la distribucin de probabilidades de

X , graficarla y calcular sus parmetros.SOLUCION:Suponiendo que la probabilidad de xito se mantiene constante (es decir el lanzador noaprende)Entonces X tiene distribucin de probabilidad binomial con Rango = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y funcin de

probabilidad: k k k

k f

56,04,05

)( ES DECIR:

Grafica de la Funcin de distribucin:

50102,06,04,05

5

40768,06,04,04

5

32304,06,04,03

5

23456,06,04,02

5

12592,06,04,01

5

00778,06,04,00

5

)(

05

14

23

32

41

50

x si

x si

x si

x si

x si

x si

x f


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Parmetros:24,05 pn , 10,12,16,04,05 q pn

OBS:

Los clculos de probabilidad a partir de la funcin, pueden llegar a ser muy tediosos, enespecial cuando aumenta n, sin embargo se pueden obtener las probabilidadesdirectamente de la tabla Binomial, las cuales se encuentran disponibles en las tablas estadsticas yde esta forma evitar clculos fatigosos, Tambin se puede usar programas como el Excelque dan los clculos exactos

8.3 DISTRIBUCION GEOMETRICA

La distribucin geomtrica tambin esta relacionada con un proceso de Bernoulli, exepto que elnumero de ensayos no es fijo. Consideremos entonces una sucesin de ensayos Bernoulli.Definimos la variable aleatoria X de la siguiente manera:

X w nmero de ensayos requeridos hasta obtener el primer xito.Entonces tenemos: 0,1,3,... X R , con distribucin dada por:

1 , 1,2,3... x x p x P X x p q x

Propiedades:

1. 1

E X p 2. 2q

V X p

3. X x r P P X x X r es decir la distribucin geomtrica no tiene memoria

EJEMPLO:La probabilidad de que una maquina produzca un articulo defectuoso es 0.25, se hace uncontrol de calidad se enciende la maquina.

a. cual es la probabilidad de que exactamente el cuarto articulo producido sea elprimer articulo defectuoso producido luego de encender la maquina?.

b. Si la maquina produce consecutivamente 4 artculos no defectuosos pasa al controlde calidad, Cul es la probabilidad de que la maquina pase el control de calidad?

c. Si la maquina pasa el control de calidad y se hace un segundo control cual es laprobabilidad de que vuelva a pasar el control de calidad?

d. Cual es valor esperado de X?

SOLUCION:


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8.4 DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVALa distribucin binomial negativa tambin esta relacionada con un proceso de Bernoulli, es unageneralizacin de la distribucin geomtrica. Consideremos entonces una sucesin de ensayosBernoulli. Definimos la variable aleatoria X de la siguiente manera:

X w nmero de ensayos requeridos hasta obtener en total r xitos (los r xitos no son necesariamente consecutivos).Entonces tenemos: , 1, 2, 3,... X R r r r r , con distribucin dada por:

1

, , 1, 2, 3,...1

x r r x p x P X x p q x r r r r r

Propiedades:

1. r E X p

2. 2rq

V X

p

EJEMPLO:La probabilidad de que una maquina de la marca A con 2 aos de servcicio produzca un articulodefectuoso es 0.25

a. Cual es la probabilidad de que exactamente el segundo articulo producido seadefectuoso. (interprete correctamente la pregunta)

b. Cual es la probabilidad de que sea necesario fabricar 5 en total articulos paraobtener exactamente 3 articulos defectuosos.

c. Digamos que el control de calidad consiste en fabricar artculos hasta obtener 2defectuosos, luego se cuentan el total de los artculos sanos y si hay menos de 4artculos sanos la maquina se manda a reparacin. Cul es la probabilidad de que lamaquina pase el control de calidad? (osea que no se mande a reparar)

d. Supongamos que hay tres maquinas iguales de la misma marca A y las tres con 2aos de servicio, se efecta el control de calidad del tem anterior, Cul es laprobabilidad de que exactamente una de ellas se mande a reparacin y las otras 2pasen el control?

e. Si el proceso de produccin es el siguiente: Se fabrican artculos hasta producir 100defectuosos, luego se para la maquina y finaliza la produccin, finalmente seempaquetan los artculos sanos en un nico lote. Si cada artculo sano representauna utilidad de 5 soles y cada artculo defectuoso una perdida de 2 soles, Cul es lautilidad esperada del proceso?

SOLUCION:


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8.5 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Consideramos una poblacin de tamao N, dividida segn la caracterstica a estudiar, en dossubpoblaciones disjuntas de tamaos M y N M . Donde M


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EJEMPLO 1En una convencin nacional, hay 50 representantes de un partido poltico, de los cuales 30apoyan al candidato A y 20 apoyan al candidato B. Si seleccionamos aleatoriamente cincorepresentantes, cul es la probabilidad de que entre esos cinco, dos apoyen al candidatoA?

SOLUCION: Sea X numero de representantes que apoyan a A, Tenemos: N=50, M=30,n=5.

30 50 30

5 , 0,1,2,3,4,5

50

5

x x P X x x

,

30 20

2 5 2 2 0,234

50

5

P X

8.6 DISTRIBUCION DE POISON

La distribucin de Poisson constituye un buen modelo para experimentos donde X representa elnmero de veces que ha ocurrido un evento en una unidad dada de tiempo o de espacio. Porejemplo:

Nmero de llamadas recibidas en un conmutador durante un da, conociendo el promedio porda.Nmero de reclamaciones contra una empresa de seguros por semana, conociendo el prom.Sem.Nmero de llegadas a una estacin de servicio durante un minuto dado, conociendo elprom./min.Nmero de ventas hechas por un agente de ventas en un da, conociendo el promedio por da.Slo se requiere que los eventos sean independientes.

1. Proceso Poisson

Diremos que los eventos discretos que se generan en un intervalo continuo (unidad demedida: longitud, rea, volumen, etc) forman un proceso Poisson con parmetro , sitiene las siguientes propiedades:

i. El numero promedio de ocurrencias de eventos en una unidad de medida esconocido e igual a

ii. La ocurrencia de un evento en una unidad de medida h no afecta a la ocurrencia, ono ocurrencia de otra unidad de medida h contigua. (independencia)

iii. Sea una unidad de medida suficientemente pequeo de longitud h, luego:

a. La probabilidad de un xito en esta unidad pequea es proporcional a la longitud delintervalo esto es h

b. La probabilidad de la ocurrencia de 2 o ms xitos en esta unidad pequea esaproximadamente 0.


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2. Distribucin De PoissonEn un proceso Poisson de parmetro se observa t unidades de medida, definimos X de lasiguiente manera:

X w =numero de ocurrencias de eventos en t unidades de medida.

0,12,3,.. X R La variable aleatoria as definida se llama variable aleatoria de Poisson y la distribucin deprobabilidad de X se llama distribucin de Poisson la cual esta definida por:

, 0,1,2,3..!

xt e t p x P X x x

x

3. Propiedades:

a. t es el numero promedio de ocurrencias de los eventos en las t unidades de medida b. E X t c. V X t d. La distribucin de Poisson tambin se utiliza para modelar datos discretos como

aproximacin a la Binomial dada la dificultad que exista de encontrar tablas Binomialesadecuadas cuando n es grandes y p pequea.

Considerando un nmero n grande de pruebas de Bernouilli independientes, conprobabilidad de xito, pequea y haciendo = np , llegamos a obtener la distribucin dePoisson como lmite de la binomial cuando n . Es decir, si n, p0 y =nppermanece constante, entonces se verifica: limB n,p P

n

En la practica la distribucin de probabilidad de Poisson proporciona buenasaproximaciones cuando 5np y 0.1 p

EJEMPLO 1Una central telefnica recibe 480 llamadas en una hora, pero no puede recibir ms de 12llamadas en un minuto.Determine:

a. La probabilidad de que se produzcan 10 llamadas en un minuto.

b. La probabilidad de que la central quede saturada en un minuto dado.

c. La probabilidad de que se produzcan a lo sumo 1 llamada en un minuto.

d. La probabilidad de que se produzcan mas de 2 llamadas en un minuto.

e. El nmero de llamadas esperadas en un minuto.

SOLUCION:Sea X nmero de llamadas que se reciben en un minuto, como las probabilidadespedidas se refieren a un minuto, deberemos hallar el numero de llamadas promedio porminuto es decir 480/ 60 8t (8 llamadas por minuto)


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Luego 8 8

, 0,1,2,3..!

xe

p x P X x x x

Asi calculamos directamente las probabilidades pedidas:

a.

108 8

10 0.0992610!

e

P X

b. 812

0

812 1 12 1 1 0.9362 0.06379

!

xe

P X P X x

Porque como la

central no puede recibir ms de 12 llamadas en un minuto, quedara saturada sirecibe ms de 12 llamadas

c. P( X 1) = 0.0003 + 0.0027= 0.0030d. P( X 2) = 1 (0.0030 + 0.0027 + 0.0107

= 1 0.0137 = 0.9860

e. = 8 en un minuto.

EJEMPLO 2Ejemplo 1. Suponga que una compaa de seguros asegura las vidas de 5000 hombres de 42aos de edad. Si los estudios actuariales muestran que la probabilidad de que un hombremuera durante el 2012 es 0.001 Cul es la probabilidad de que la empresa pagueexactamente 4 indemnizaciones durante el 2012?SOLUCION:

Sea Y: Numero de hombres que mueren en el 2012, Luego Y es V.A. BINOMIAL

4 49965000!4 (4) (0.001) (0.999)4!4996!

P Y p =0.1755

El valor de esta expresin no aparece en tablas y su clculo es tedioso.Podemos considerar la variable aleatoria:X: numero de defunciones en el ao 2012 y Aproximando con la distribucin de Poisson, setoma la tasa media de sucesos np = (5000)*(0.001)= 5, teniendo t=1 ao:

4 4 55( 4) 0.1754

4! 4!

t t e e P X


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8.7 DISTRIBUCIN MULTINOMIAL

La distribucin multinomial es una generalizacin de la distribucin binomial, la cual sepresentar cuando el experimento aleatorio en cuestin no slo d lugar a dos posiblesresultados, xito y fracaso, como ocurra en la binomial, sino que d lugar a tres o ms posiblesresultados.

1. Definicin: Decimos que v.a. r-dimensional ( 1 2, ,..., r X X X )= nmero de veces que sepresentan cada uno de los sucesos 1 2, , ... r A A A cuando se realizan las n-repeticionesindependientes del experimento sigue una distribucin multinomial de parmetros n,

1, 2 ,... r p p p , ( 1 2, , ..., r X X X ) M(n, 1, 2 ,... r p p p ) y su funcin de probabilidad es :

11 1 2 2 1

1

!( , ,..., )

! !r k k

r r r r

n P X k X k X k p p

k k con 0,1,...,ik n y

1

r

ii

k n

2. Propiedades:a. i i E X n p b. Var( i X )= 1i inp p

Ejemplo:Si lanzamos un dado 50 veces. Cul es la probabilidad de obtener 25 unos, 10 veces el dos y15 veces el cinco?

SOLUCION:Sea: X 1 : numero total de unos, X 2 : numero total de dos, X 3 : numero total de tres,

Entonces la probabilidad pedida ser: 1 2 3 4 5 625, 10, 0, 0, 15, 0 P X X X X X X

25 10 0 0 15 01950! 1 1 1 1 1 1 5.1(10 )

25! 10! 0! 0! 15! 0! 6 6 6 6 6 6


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8.8 EJERCICIOS:

ESPACIO MUESTRAL

1. Construir el espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos monedas y observarlas caras superiores.

2. Construir el espacio muestral apropiado para el experimento de lanzar una moneda ylanzar un dado.

3. Construir el espacio muestral apropiado para el experimento de lanzar una moneda olanzar un dado pero no ambos.

4. Dados los experimentos no determinsticos determinar los espacios mustralesasociados a cada uno de ellos:a. Se lanza una moneda 5 veces y se cuenta el nmero de caras.b. Se fabrican artculos en una maquina y se cuentan el numero de artculos

defectuosos cada12 horas.c. Se fabrican artculos hasta producir 5 no defectuosos. Se cuenta el nmero de

artculos fabricados en total.

5. Se tiene dos equipos en competencia A y B. El primero en ganar dos encuentros de tresse adjudica el premio.(el juego acaba cuando uno de ellos gana) Describir el espacioasociado a este juego.

6. Se fabrica un foco y luego de encenderlo se toma el tiempo hasta que se queme.

EVENTOS y SUCESOS:

1. Tres secretarias A, B y C se distribuyen al azar en dos oficinas 1 y 2 (una por oficina).

Describa los eventos:a. La secretaria A ocupa la oficina 2b. La secretaria C no ocupa ninguna de las oficinas.

2. Una urna contiene 4 bolillas numeradas: 1, 3,5 y 7, otra urna contiene 3 bolillasnumeradas: 2, 4, y 6. Se extrae una bolilla de la primera urna y luego una segunda bolillade la segunda urna. De tres ejemplo de:a. Un evento elemental.

b. Un evento imposiblec. Un evento seguro


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d. Dos eventos disjuntose. tres eventos mutuamente excluyentes dos a dosf. Dos eventos independientes

3. Calcule la probabilidad de cada uno de los eventos listados en el tem anterior.G=(12) P(G)=1/12

4. Supongamos que una bolilla es seleccionada de una urna que contiene 10 bolillas rojasnumeradas del 1 al 10 y 10 bolillas azules numeradas tambin del 1 al 10. Sean loseventos:

A: La bolilla seleccionada viene numerada por un nmero par.B: La bolilla seleccionada es azul.C: La bolilla seleccionada viene numerada por un nmero par y es roja.

a. Determine el espacio maestral asociado a este experimento.b. liste los sucesos asociados a los eventos A, B y C.

5. Suponga que en el intervalo cerrado 0,1

Se selecciona un nmero aleatoriamente y sean los sucesos:

A. El nmero seleccionado es impar.B. El nmero seleccionado es mayor que 0.5.

C. El nmero seleccionado es de la forma1

, nn .D. El nmero seleccionado es par.

Determine el espacio muestral asociado a este experimento y determine los elementos delos eventos A, B, C, y D.Que puede decir del evento D. Es A un EVENTO ELEMENTAL?

6. Un nmero es seleccionado al azar entre los nmeros 1 al 20 Sean los eventos:

A: el nmero elegido es par.B: el nmero elegido es primo.C . el nmero elegido es mltiplo de 5.

Liste los elementos de los siguientes eventos: A B , A B , C A C , C A B C .


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PROBABILIDADES:

1. Sean A y B dos eventos cualesquiera tal que:

0.2 P A , 0.6 P B y 0.6 P AB Calcular: P A B P AB P AB P AUB P AUB

2. Una urna contiene 5 bolas blancas y 7 bolas negras.se extrae un abola al azar, se pone fuerade la urna y su color no es visto; despus se extrae otra bola aleatoriamente. Cul es laprobabilidad que esta ultima sea blanca?

i. I: La primera sea Bii. II: La primera no sea Biii. III: la segunda sea B

3. Se tiene 5 urnas idnticas; dos de ellas de igual contenido ,con 3 bolas blancas y 5 negras ,ylas otras tres teniendo cada una ,4 blancas y 3 negras .se elije una urna aleatoriamente .Dela urna elegida se extrae al azar una bola .cual es la probabilidad que sea blanca?

4. Se tiene 2 urnas A y B, con 5 bolas rojas ,3 blancas y una roja ,2 blancas respectivamente .Se lanza undado, si se obtiene 3 o 6, se pasa una bola de B a A, luego se extrae una bola de A .En cualquier otrocaso se pasa una bola de A a B, luego se extrae una bola de B. Determinar la probabilidad que:

a. Ambas bolas sean rojas.b. Ambas bolas sean blancas.

5. tres urnas contienen respectivamente una bola blanca, dos negras; dos blancas una bola negra; dosblancas y dos bolas negras. De la primera urna se transfiere una bola a la segunda, despus setransfiere una a la tercera urna y enseguida se extrae una bola de la tercera urna. Cul es laprobabilidad de que esta sea blanca?

6. Considere una urna con 10 bolas de las cuales 5 son negras .se elije al azar un entero n delconjunto {1, 2, 3, 4, 5,6}, luego se selecciona una muestra de tamao n sin reemplazo de laurna .Determinar al probabilidad que todas las bolas de la muestra sean blancas.

7. En una sociedad hay 15 miembros, 5 mujeres y 10 hombres. A una reunin asistieron 13 miembrospara elegir un presidente. Cul es la probabilidad de que sea una mujer la elegida?

8. Se tiene 5 fusiles que, cuando son apuntados apropiadamente y disparados, tienen probabilidadesde dar en el blanco respectivamente como sigue: 0.5; 0.6; 0.7; 0.8 y 0.9. e escoge aleatoriamenteuno de los fusiles, se apunta y dispara. Cul es la probabilidad de dar en el blanco?


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9. Una caja contiene 3 monedas, dos normales y una con dos caras. Se elige una moneda al azar y seefecta una tirada. Si sale cara se tira otra vez. Si sale sello, entonces se elige una de las otras dos dela caja y se tira.

10. Determinar la probabilidad que salgan dos caras.

11. Si se tira la misma moneda las dos veces, hallar la probabilidad de que sea la moneda condos caras.

12. Una urna I contiene dos bolas blancas y tres azules, una segunda urna II, contiene tres bolas blancasy cuatro azules, se extrae aleatoriamente una bola de la urna I y se coloca en la segunda, luego seextrae aleatoriamente una bola de esta; calcular la probabilidad de que esta ultima sea blanca.

13. Por la noche dos coches se aproximan uno al otro en una autopista. Si ninguno de los dos choferesesta borrachos, ambos pasarn a salvo con una probabilidad de 0.999. Cada uno puede estarborracho con una probabilidad de 0.1, la probabilidad que ambos estn borrachos es de 0.01. si soloel chofer A esta borracho, pasaran a salvo con una probabilidad de 0.7. Si solo el chofer B estaborracho pasaran a salvo con una probabilidad de 0.8. Si ambos estn borrachos, pasaran sin peligrocon una probabilidad de 0.4. Cul es la probabilidad que pasen a salvo?

14. La urna I tiene tres bolas blancas y 7 negras. La urna II tiene 20 bolas de las cuales algunas sonblancas y las dems son negras se escoge una urna al azar y de ella se extrae una bola

encontrndose que es blanca. si la probabilidad que esta bola blanca provenga de la urna I es igual a1/3 determinar el nmero de bolas blancas que existan originalmente en la urna II.

15. Un fabricante recibe el 60% de sus materias primas del distribuidor A y el resto B por experienciasabe que el 92% de los costales de materia prima llegan en buenas condiciones. Cul es laprobabilidad que un costal daado sea el distribuidor A? Qu Sea el B? un estudio posterior revelaque el 95% de los costales del distribuidor A llega en buen estado ,mientras que el 87.5% de B es debuena calidad .con esta informacin Cul es la probabilidad que un costal daado proceda de A ?.

16. un aparato especial para medir el contenido alcohlico en la sangre de una persona arrojo el

siguiente resultado : de 500 voluntarios ,240 estaban borrachos ( el nivel de alcohol de sangre era0.0015 o mas ) los mismos 500 voluntarios se sometieron a una prueba sangunea inmediatamentedespus ,encontrndose 280 personas con un nivel de 0.0015 o mas .despus se determino que 180personas resultaron estar borrachos en ambas pruebas que porcentaje de personas resultaronestar ebrios sin que lo indicara el aparato?.Supngase que una persona realmente estuvieraborracha y que pasara la prueba en el aparato .segn la informacin dada anteriormente, Cul es laprobabilidad que al prueba resulta positiva?.

17. Todas las noches, el seor Prez llega tarde a su casa .la seora Prez que es una buena esposa, le

deja encendida la luz de la entrada a la casa. la probabilidad que el seor Prez llegue borracho es


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0.60 si llega borracho ,hay una probabilidad de 0.90 que olvide apagar la luz que tanto que esta essolo de 0.05 si llega sobrio.

a. Cual es la probabilidad que el seor Prez apague la luz en una noche cualquiera?.b. Dado que el seor Prez apago la luz una cierta noche .cual es la probabilidad que a

ya legado borracho?

18. La compaa COMPUT-PERU esta considerado comercializar una Calculadora electrnica .deacuerdo a una investigacin hecha en el mercado, la probabilidad que el producto tenga xito es0.80 si una firma competidora introduce un producto similar en el mercado, en tanto que laprobabilidad de xito es de 0.30 si la firma competidora comercializa el producto similar en elmercado ,en tanto que la probabilidad de xito es de 0.30 si al firma competidora comercializa elproducto similar .A dems la compaa estima que hay una probabilidad de 0.40 que la firma

competidora comercialice el producto .dado que el producto de la compaa de COMPUT-PERU tuvoxito . cual es la probabilidad que al firma competidora haya comercializado el producto ?

19. Juan tiene dos bolas; la bolsa I, con tres bolas rojas y dos blancas ;la bolsa II con una bola roja ycuatro blancas. Juan escogi una bola de la bolsa I ala zar y lo coloca en la bolsa II y encuentra que esroja Cual s la probabilidad de que al bola transferida de la bolsa I a la II haya sido roja.

20. Si P[A] = 1/6, P[AB] = 1/18, P[B] = 1/3. Son A y B independientes?

21. Una urna contiene cuatro bolas blancas y cinco negras. Se extraen sucesivamente y sin reposicindos bolas, sean los eventos: A: La primera bola extrada es negra B: la segunda bola extrada esblanca, Son los eventos A y B independientes?

22. De una baraja ordinaria de 52 cartas se extraen sucesivamente dos cartas, restituyendo la primeraantes de extraer la segunda. Sea A el evento (suceso) la primera carta es una pica, B el evento lasegunda carta es as o rey y C el evento la primera carta es as o rey. De los tres pares de eventos:A y B; A y C; B y C. determine cuales (si los hay) son independientes.

23. Si A y B son independientes, P[A] = 1/3, P[B] = 1/4, Hallar P[A U B]

24. si A Y B son independientes .P[A]=P[B]=1/2.calcular p[AB U AB]

25. Dado P [A] = 0.5 y P[AUB] =0.7.Hallar P[B],Si A y B son independientes

26. si A Y B independientes, y P[A] = [B/A] =1/2 Hallar P[AUB]

27. si A y B son eventos independientes con P[A]= 0.2 , P[B]= 0.3 Cul es la probabilidad que:a. Al menos uno ocurra

b. Exactamente uno ocurrac. Ninguna ocurra


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d. Ambos ocurran

28. Sean A y B dos eventos independientes, se sabe que la probabilidad de que ocurra al menso uno dedicho eventos es 0,6 y que al probabilidad de que ocurra de A es 0,4 .Cual es la probabilidad de queocurra B.

29. Si un conejo es inyectado con una droga A la probabilidad que muera dentro de las 24 horassiguientes es de 0,63 y si es inyectado con una droga B dicha probabilidad es de 0,45 .cual es laprobabilidad que un conejo sobreviva ms de 24 horas despus de haber sido inyectadosimultneamente con las drogas A y B ,si se supone que la accin de las misma es independiente.

30. Se dispara cada uno de los fusiles A, B y C la probabilidad de dar en el blanco es 0,15; 0,25 y 0,35,respectivamente. Calcular la probabilidad:

a. De que al menos uno de los tres de en el blancob. De que acierte uno solo

31. Considere tres urnas; la urna I contiene una bola blanca y dos negras ,la urna II contiene tres bolasblancas y dos negras y al urna III contiene dos bolas blancas y tres negras .Se extrae una bola de cadauna. Cual es la probabilidad de que entre las bolas extradas haya

a. Una blanca y dos negrasb. Por lo menos dos negrasc. Mas negras que blancas

VARIABLE ALEATORIA

1. Una urna contiene 4 bolas numeradas 1, 2, 3,4 respectivamente. Se extraen 2 bolasaleatoriamente y sin reemplazamiento. Se define la variable X como la suma de estos dosvalores: Hallar el dominio de X, La distribucin de probabilidad de X y la funcin dedistribucin acumulada de X

2. Sea X una variable aleatoria cuya distribucin de probabilidad es la siguiente.

a. Hallar ( ) E X b. Hallar 2( ) E X c. Hallar 2( ) E X

X 0 1 2 3 4P(X) 1/8 1/4 1/4 1/4 1/8


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3. En un juego de apuestas un hombre puede obtener una ganancia de 1000 soles o unaperdida de 500 soles La probabilidad de sufrir una perdida es 0.4 .Cual es la perdida o laganancia esperada en soles?

4. Dada la funcin de densidad de la variable X :

2

2

1, 0 1500

(1500)

( ) 1( 3000), 1500 3000

(1500)en otro caso

0

x x

f x x x

a. Hallar el valor esperado de Xb. Hallar el valor esperado de 6X-500

5. Suponiendo que la duracin (en horas) de cierto transistor es una variable contina X con

fdp2

100( ) , 100 f x x

x y 0 para cualquier otro valor.

a. Halle la funcin de distribucin acumulada de X.b. Determine si existe ( ) E x

6. Supngase que un instrumento electrnico tiene una duracin X (en unidades de 1000 horas) que se cons8idera como una variable aleatoria continua con la siguiente fdp:

( ) , 0. x f x e x Suponiendo que el costo de fabricacin de tal articulo es $2.00. El fabricante vende elarticulo por $5.00, pero garantiza un reembolso total si 0.9 X . Cul es la utilidadesperada del fabricante por artculo?

7. Se sabe que un lote contiene 2 artculos defectuosos y 8 no defectuosos. Si estos se debeninspeccionar al azar uno despus del otro hasta encontrar los dos artculos defectuosos,Cul es el numero esperado de artculos que se tendrn que inspeccionar hasta queaparezcan los dos defectuosos?

8. Un lote de 10 motores elctricos contiene uno defectuoso y estos pueden ser vendidostotalmente o rechazados totalmente por el cliente, si el costo por motor es de $75 y sevenden por $100 cual ser la utilidad del vendedor si es que el cliente escogealeatoriamente 2 motores y los prueba y en caso de encontrar uno o ambos motoresdefectuosos rechaza el lote y en este caso los 10 motores deben ser destruidos.

9. Supongamos que cierto tipo foco tiene una probabilidad de 0.2 de funcionar (encender)ms de 1000 horas. Si probamos 20 focos, Cul es la probabilidad de que exactamente k deellos funcionen mas de 1000 horas?, k= 1, 2, 3, ,20


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10. Supngase que el 5 por ciento de los artculos que salen de una lnea de produccin sondefectuosos. Se escogen 10 de tales artculos y se inspeccionan Cul es la probabilidad deque se encuentren a lo ms 10 defectuosos?

11. Una fbrica produce diariamente 10 recipientes de vidrio. Se puede suponer que hay unaprobabilidad constante p=0.1 de producir uno defectuoso. Antes de que estos depsitos sealmacenen son inspeccionados y los defectuosos puestos aparte. Supongamos que hay unaprobabilidad constante r=0.1 de que un recipiente defectuoso sea mal clasificado. Sea Xigual al nmero de recipientes clasificados como defectuosos al trmino de un da deproduccin. (Suponemos que todos los recipientes que se fabrican en un da soninspeccionados al termino de ese mismo da)

a. Calcular ( 3) P X ,y ( 3) P X b. Obtener una expresin para ( ) P X k

12. Supngase que la maquina uno produce (diariamente) el doble de artculos que la maquina2. Sin embargo, cerca del 4 % de los artculos producidos por la maquina uno sondefectuosos, mientras que en el caso de la maquina dos el porcentaje de defectuosos sondel 2%. Supongamos que se combina la produccin diaria de las dos maquinas. Se toma unamuestra aleatoria de tamao 10 del resultado combinado. Cul es la probabilidad de queesta muestra contenga 2 defectuosos?

13. Una variable X aleatoria tiene por funcin de densidad:

x

x

x x

x

x x

x

x f

40

434.0

322.02.0

212.0

102.0

00

)(

Calcular:a. P(x 1)b. P(1


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d. Probabilidad de que X ses mayor que 2e. Calcular E(x) y Var(x)

15. La funcin de densidad de una variable aleatoria continua es:

casootroen

x sibax x f

0

)2,0()(

2

Sabiendo que P(1/2


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DISTRIBUCIONES CLASICAS ( POISON, BINOMIAL, EXPONENCIAL)

1. Hallar la media y la varianza de una v.a. Bernoulli.

2. Un panel solar tiene una vida til de 5 aos con una probabilidad de 0.95. Se toman 20pneles solares y se registr la vida til.

a. Cul es la probabilidad de que exactamente 18 tengan su vida til de 5 aos?b. Cul es la probabilidad de que cuando mucho 10 tengan esa vida til?c. Si solo 10 paneles tienen una vida til de 5 aos, que debera pensarse sobre el

valor verdadero de P(Probabilidad de vida til)?

3. De todas las plantas slo el 5% descargan residuos por sobre la norma. Si se muestrean 20plantas Cul es la probabilidad de que estn fuera de la ley:

a. Menos que una planta?b. Menos de dos plantasc. Exactamente 3d. Ms de una

4. El nmero promedio de automviles que se detienen por minuto para tomar gasolina encierta gasolinera es 1.2. Cul es la probabilidad de qu en determinado minuto sedetengan ...

a. menos de dos automviles?b. ms de tres automviles?c. menos de dos automviles ms de tres?d. dos tres automviles para tomar gasolina?

e. al menos dos automviles?

5. Entre los 60 aspirantes a unas plazas de tcnicos superiores en la Administracin Pblica,40 son mujeres. Si seleccionamos una muestra aleatoria, sin reemplazamiento, de 20aspirantes. Obtener la probabilidad de que 10 sean mujeres.

6. Un representante realiza cinco visitas cada da a los comercios de su ramo y por suexperiencia anterior sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita esdel 0,4. Obtener:

a. La distribucin del nmero de pedidos por dab. Probabilidad de que le hagan 4 pedidosc. Nmero medio de pedidos por da y varianza.d. Probabilidad de que el nmero de pedidos en un da est comprendido entre 1 y 3e. Probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos.

7. Desde el ao 1980 el nmero medio de empresas que han presentado suspensin de pagosha sido de 6,8 por ao y admitimos que el nmero de empresas X que han presentadosuspensin de pagos durante un periodo determinado de tiempo sigue una distribucin dePoisson. Obtener:


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a. Probabilidad de que ninguna empresa presente suspensin de pagos durante untrimestre.

b. Probabilidad de que por lo menos dos empresas presente suspensin de pagosdurante un determinado ao.

8. Se sabe que el 1% de los artculos importados de un determinado pas tienen algn defecto.Si tomamos una muestra de tamao 30 artculos, determinar la probabilidad de que tres oms de ellos tengan algn defecto.

9. La distribucin de los salarios mensuales de los trabajadores de una gran empresa vienedada por la siguiente tabla:

Rentas (euros) Proporcin detrabajadores[600,750] 0,15(750,900] 0,28

(900,1200] 0,26(1200,1800] 0,18mas de 1800 0,13

Se seleccionan aleatoriamente cinco trabajadores de la empresa. Determinar la probabilidadde que entre esos cinco trabajadores, uno pertenezca al tramo de salarios ms bajos, dos alsiguiente tramo y los dos restantes al tramo comprendido entre 1200 y 1800 Euros.

10. El nmero de alumnos que llegan a la primera clase de la Facultad, sigue una distribucin dePoisson, cuya media es de dos alumnos por minuto. El nmero de alumnas que llegan a lamisma clase sigue tambin una distribucin de Poisson, cuya media es de tres alumnas porminuto. Admitimos que ambas llegadas son independientes. Obtener la probabilidad de quelleguen menos de 4 alumnos y alumnas en un minuto.

11. Una empresa constructora tiene comprometida la realizacin de 9 proyectos, de los que 5son de edificios de pisos. Si el prximo mes debe emprender la realizacin de 3 proyectos ysu eleccin es al azar con probabilidades de eleccin iguales para cada proyecto, se pide:

a. La distribucin del nmero de edificios de pisos que se empiecen a construir elprximo mes.

b. Nmero esperado de edificios de pisos que previsiblemente se inicie su construccinel prximo mes.

12. El numero N de tanques de aceite que llega a un refinera cada da se comporta como v.a dePoisson con parmetro 2. Las facilidades de puerto de la refinera pueden servir trestanques por da .Si llegan mas de tres tanques en exceso deben ser puestos en otro puerto.En un da especifico, Cul es la probabilidad de tener que enviar tanques a otro lugar?

13. Los coches que llegan a un semforo siguen un proceso de Poisson con media de 4 vehculospor minuto. El semforo est 40 segundos en rojo y 80 segundos en verde.

a. Cul es la probabilidad de que haya 4 coches en cola cuando el semforo sepone en verde?


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persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de20 aos? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 aos en un paciente. Cul esla probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25% aos?

20. Se sabe que el kilometraje, en miles de kilmetros que un autobs recorre antes de que sesometa aun reparacin del motor sigue una distribucin exponencial con

( ) ( )

Se tiene una flota de 300 autobuses Cuntos se esperara que se sometieran a reparacinantes de 60,000km?, Cul es la probabilidad de que un autobs recorra ms de 100,000kmantes de cometer el motor a reparacin?

21. En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de Sabiendo que la duracinmedia de un tomo de esta materia es de 140 das, cuantos idas transcurrirn hasta que

haya desaparecido el 90% de este material?22. El periodo de de vida en aos de un televisor de cierta marca tiene una distribucin

Exponencial con un promedio de falla de 6 aos.

a. Cul es la probabilidad de que un televisor falle antes de 2 ao de uso?

b. Suponga que analiza 5 televisores de esa marca, cul es la probabilidad deque al menos 2 de los 5 televisores fallen antes del 2 ao de uso.

23. El tiempo que transcurra antes de que una persona sea atendida en una clnica de urgenciases una variable aleatoria que tiene una distribucin exponencial con una media de 5minutos.a) cual es la probabilidad que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos.b) si se selecciona al azar 10 personas cul es la probabilidad de que ms de 2 personassean atendidas en menos de 4 minutos?

24. El nmero medio de pinchazos en los neumticos de cierto vehculo industrial es de 0,3 porcada 50.000 kilmetros (km) recorridos. Si el vehculo recorre 100.000 km, se pide:

a. Probabilidad de que no haya tenido pinchazos.b. Probabilidad de que tenga menos de 3 pinchazos.c. Nmero de km. recorridos para que la probabilidad de que no tenga

pinchazos sea 0,4066

25. En una planta manufacturera en particular, dos mquinas (A y B) producen una piezaespecial. Una mquina (B) es ms nueva y ms rpida. En un periodo de 5 minutos seproduce un lote formado por 32 piezas, 22 de las cuales son producidas por la mquina B yel resto por la mquina A. Suponga que un inspector selecciona al azar doce piezas de estelote.

a. Cul es la probabilidad de que exactamente tres piezas se hicieran en la mquina A?b. Cul es la probabilidad de que la mitad de las piezas se hicieran en cada mquina?c. Cul es la probabilidad de que todas las piezas se hicieran en la mquina B?


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d. Cul es la probabilidad de que siete, ocho o nueve piezas se hicieran en la mquinaB?

UNFV-FCCNNM-EAPQ-ASIGNATURA: PROBABILIDADESExamen Parcial Mayo 2012

1. Pruebe que el teorema de la multiplicacin / P A B P A B P B establecido para dossucesos, se puede generalizar para tres sucesos como sigue:

/ / P A B C P A B C P B C P C (3 pts.)

2. La variable aleatoria continua X tiene funcin de densidad 23 , 1 0 f x x x .

Sib es un nmero que satisface 1 0b , Calcular 2b

P X b X

(3 pts.)

3. Un experimento consiste en lanzar 2 bolas en 4 cajas de tal manera que cada bola tieneigual probabilidad de caer en cualquier caja. Si X denota el nmero de bolas en la primeracaja. (3 pts.)

a. Hallar la funcin de probabilidad de Xb. Hallar la media y 2 E X c. Hallar la moda de X.

4. Se tiene 5 urnas idnticas, dos de ellas de igual contenido, con 3 bolas blancas y 5 negras, ylas otras tres teniendo cada una, 4 blancas y 3 negras. Se elige una urna aleatoriamente. Dela urna elegida se extrae al azar una bola.

(3 pts.) a. Cul es la probabilidad de que sea blanca?b. Si la bola resulto blanca, cual es la probabilidad que provenga de una de las dos

primeras urnas?c. Si no se sabe qu color resulto, cual es la probabilidad de que provenga de la primera

urna blanca?

5. Una persona tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces a lo sumo. En cada juego gana opierde 6 euros. Una persona empieza con 6 euros y dejar de jugar si antes de la 5 vezpierde todo su dinero o si gana 18 euros, esto es, si tiene 24 euros. Sea X el nmero total de jugadas que hace esta persona Hallar: (3 pts.) a. el Rango de Xb. la funcin de probabilidadc. la esperanza matemtica de 2 1W X

6. La funcin de densidad de una variable aleatoria continua Xes: (4 pts.)


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4 ,0

1( )

0 ,

k x

x f x

en otro caso

a) Hallar k (1 pt)

b) Hallar E X (EN CASO EXISTA) (2 pt) c) Hallar la moda (1 pt)

7. Sea el experimento aleatorio De urna que contiene 2 esferas rojas y 3 esferas negras seextrae una esfera con reemplazo hasta que salga una esfera roja por primera vez Se define el espacio muestral como , , , , ....r nr nnr nnnr nnnnr Indique si las afirmaciones son verdaderas falsas: (2 pts.)

a) La variable aleatoria X color de la primera esfera es una variable aleato ria discreta

( ) b) La variable aleatoria Y nmero total de extracciones hasta obtener una esfera rojaes una variable aleatoria continua ( )

c) 3 3. y P nnr donde y est definido en el tem b. ( )

d) 2 3 22.5 .5 5 5

F y donde y est definido en el tem b ( )

Tiempo Mximo 100 minutos. Puntaje mximo 20Prohibido el uso de celulares, prstamo de calculadoras u otros materiales.

Guia Estadistica y Probabilidades 2013 Villarreal

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