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1. Encuentre dos m eros cuyo producto sea -12 y lasumaX - 'l;ide sus cuadrados sea minima. . -r"l. (- 12-

. . ,-- ::"""r:;2 L' d" d < I J.~' - ~/~) - \, (.. a ralz cuarta e un numero exce e en a m ••..•.lma Cal1~l-

dad al doble de esti"i,~ual es el numero? J-.1.. ...•. j- !.?::)2. '. ,)( = / t fiJ .x.. 3. Encuentrc los puntos de la parAbolax" 2y 2 que estan mas

cercanos al punto (10, 0). Sugerencia: Minimice elcuadrado de.la distancia entre (x, y) y (10, 0). .

. 4. Encuentre los puntos de la hip~rbola ~/4 - Y = I masc~anos el punto (5, 0). (4 ±'{?:) .

~ 5. Un ranchero quitre bardeJ dos corrales rectangularesadyacentes identicos, cada uno de 900 pies cuadrados de area,

'cornase mueslri, en la figura 8~~Cuanto- dchen medic x yy pa'ra,que se necesite la minima cantidad de bard a?

6. Suponga que el perl metro exterior de los corrales delproblema 5 requiere bardas pes adas que cuesta.'1 $2 por pie, entanto que la divisi6n de enmedio requiere una barda que cuestas610 $1 por pie. i,Que dimensiones de x y y producerilabarda

menos costosa? )(.:·~:3a1117 '(=37...~477. Suponga que eI ranchero del problema 5 escoge hllcer

tres corrales adyacentes, cada uno de 900 pies cuadrados, comose muestra en la figura 9. i,Cuanto deben medir x y y para hacerminima la cantidad de barda quc se necesita?

Irx I~I_I. J 8. Estudie las'soluciones de losproblemas 5 y 7 para ver si'"e> puede hacer una conjetura con respecto a la raz6n entre la

~t' .fl)eantidad de barda requerida en la direcci6n x yen la direcci6n y~~V'~L> para todo problema de este tipo. Desp'ues,si es ambicioso, trate 9'00

()'V I~ de demostrar su conjetura. L.::Z n ')<. +( r)"" , ) •••.••..--UJ 9. Se va a construir una cisterna de base cuadrada para X~e. retener 12,000 pies cubicos de agua. Si la tapa metalica cuesta el

doble que los lados y la base de concreto, i,cuAles son lasdimensiones mas econ6micas de la cisterna?

10. Se necesita una caja sin tapa de 36,000 pulgadas cubi-cas. Si la cajil debe tener el doble de largo que de ancho, l,qucdimcnsioncs debe tener paruque ocupe la menor cantidad de II

. I? " • "IJ.....·mateTla al)cho~?>o \C)!r'go: "0 .~rQ/= ao.E3 11. Si la resistenc!.~.de una .yi~a rectangular es proporcionalal producto de su base por cl cuadrado de su altura, cncuentre lasdimensiones de la viga mas fuerte que se puede cortar de untronco cuya secci6n transversal tiene la forma de la elipse 9~ +81=72. Vea el ejemplo 4. . .

J 2. La i1uminaci6n en un punta varia en proporci6n inversa :\.. . al cuadrado de la distancia del punto a la fuente luminosa, y

.~directamente ~roporcional a la intensi~ad de 1~luz e.mitida. SidA dos focos lummosos estAn separados spIes y sus mtensldades son

l~II Y h, respectivamente, i,en que punto entre ellos es minima la

suma de las iluminaciones producidas?..•.

El 13. Una pequefla isla e~taa 2 millas, en linea rectadel puntomas cercano P de la ribera de un gran lago. Si un hombre puederemar en su bote a 3 millas por hora y caminar 4 millas por tiora,i,d6nde debe desembarcar para lIegar a un pueblo que:esta 10millas playa abajo del punta P, en el tiempo mas corto? Vea elejemplo,

§] 14. E~ cI problema 13, suponga que el hombre puede ser ., recogido por un carro que promedia 50 millas por horn en cuantoalcance Ja p~a ,,06nde debe .desembarear7 1/1 , J A P

A "'3" z,4.,," =0",f2.02- mlV1ZW ~§] 15. En el problema I:r. suponga que eI hombre usa su botcde motor que avanza a 20 millas por hora. i,D6nde debe dcsem-barcar?

16. Una central electrica esta ubieada en la orilla de un rlorectiHneo dc w pieS de ancho. En la orilla opuesta estA situadauna fAbrica, L pies rlo abajo del punto A que esta directamenteenfrente de la central e1ectriea. i,CuAI es la ruta mas econ6micapara tender un cable que conecte la central con la fabrica, si cuestaa d61ares por pie tender el cable abajo del agua y b <l6Iares,spbre ;tierra (a > b)? P It'" ",S,' r b;j~ a-o U<j\o aA C'*kt,~

"tllf~~7:0~.~~~Z~lif~~~CCI6;i2eesle de un segundo barco. Si cl primcro navega hacla el oeste a' A20 millas por hora y el segundo al sudestc a 30 millas por tiora,i,cn que momento se encontraran mas pr6ximos uno del otro?

18. Encuentre la ecuaei6n dc la recta tangente a laelipseb2~ +cry = crb2en el primer cuadrante y que forma con 105ejescoordenados el triangulo de menor area posible (a y b sonconstantes positivas).

'" 19. Encuentre eI maximo volu~en de un eilindro circularrecto que se puede inscribir a una esfera de radior. ,', <,.

, :

20. bemuestre que el rectangulo de maximo perfmetro.quese puede inscribir en un circulo es ~ cuadrado .. ' ; <'. •

V' 21. i,Cuales son las dimensiones relativas de un eilindrocircular recto, con la maxima superficie curva, que se puedeinscribir en una esfera dada?

22. Se va a inscribir un cona circular recto dcntro de otrodono circular recto de volumen dado, con eI mismo eje y con elvertice del cono interior tocando la base del exterior. i,Cual debeser .Ia raz6n de sus alturas para que el cono inscrito tcnga elmftximo volumen? .

.V 23. Un cable de 100 centlmetros de longitud es C<irtado endos piezas; una se dobla para formar un cuadrado y la otra para

. formar un triangulo equilAtero. l,D6nde debe hacerse el corte si(a) la suma de las dos arcas debe ser minima; (b) maxima? (Seadmite la posibilidad de no cortar.)

24. Se desea construir una caja en forma de paraleleplpedorectangular de base cuadrada y de un volumen dado. Si el materialusado en la base cuesta 20% mas por pulgada cuadrada que eldelos lados y la Japa 50% mas que ~stos, encuentre I~ proporcionesde Iii caja mas econ6mica. .

/ 25. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro. circular recto, rematado por una b6veda hemisferica, con un

volumen total dado. Si la b6veda hemisfcriea cuesta el doble porpie cuadrado que el muro cillndrico, i,cuAles son las proporcionesmas econ6micas?

26. Una masa conectada a un resone se mueve a 10 largo;del eje de las x de modo que su abscisa en el mom~ilto t es

x = sen 21 + J3 cos 21

l,Cuales la menor distanciail~sde el ofigen que a1canza la masa7 ..