COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOSDEL ESTADO DE GUERRERO

PLANTEL 01 ACAPULCO

APUNTES

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Componente Básico

Por Lydia E. Moyado BeltránFebrero-Junio 2012

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Índice

Funciones..............................................................................................................................4Representación Gráfica De Las Funciones:........................................................................4Tipos De Funciones:...........................................................................................................5

Límites....................................................................................................................................5

Definición de límite............................................................................................................6

Teoremas de límites..........................................................................................................10Teorema de límite1:......................................................................................................10Teorema de límite2:......................................................................................................10Teorema de límite3:......................................................................................................11Teorema de límite4:......................................................................................................11Teorema de límite5:......................................................................................................11Teorema de límite6:......................................................................................................11Teorema de límite7:......................................................................................................11Teorema de límite8:......................................................................................................11

Incrementos.......................................................................................................................15Derivada de una función.......................................................................................................16Interpretación geométrica.....................................................................................................22Diferenciabilidad y continuidad............................................................................................31Propiedades de la diferenciación de funciones.....................................................................37

Teorema D1:.....................................................................................................................37Teorema D2:.....................................................................................................................37Teorema D3:.....................................................................................................................38Teorema D4:.....................................................................................................................38Teorema D5:.....................................................................................................................38Teorema D6:.....................................................................................................................38Teorema D7:.....................................................................................................................38

Derivadas de las funciones trigonométricas..........................................................................39Derivada de una función compuesta y regla de la cadena....................................................43

Regla de la cadena:...........................................................................................................43Derivación implícita..............................................................................................................45Derivadas de orden superior.................................................................................................49Máximos y mínimos..............................................................................................................52

Aplicación de máximos y mínimos...................................................................................57BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................74

2

INTRODUCCIÓN

Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entre dos cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

En este trabajo vas a encontrar los temas que te ayudaran a entender mejor esta materia. Te repito las progresiones nos resultan de gran utilidad práctica, en particular cuando trabajamos con datos relacionados con el crecimiento de la población mundial, el aumento de consumo de electricidad, o el incremento de una capital en función del tiempo. En ingeniería, administración y otras áreas también se nos presentan aplicaciones, que podemos manejar mediante el concepto de sucesión.

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Funciones

 

 Representación Gráfica De Las Funciones:

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 Tipos De Funciones:

Existen diversos tipos de funciones cuya clasificación se realiza observando la fórmula de las mismas. Las funciones elementales abarcan a las funciones algebraicas y las funciones tracendentes (que no son algebraicas): funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones hipérbolicas y funciones hiperbólicas inversas. El análisis de la mayor parte de las funciones requiere la aplicación del concepto de límite y del cálculo, por ejemplo, para hallar las asíntotas horizontales y verticales se requiere de límites, para determinar los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o hacia abajo se utiliza el cálculo diferencial. Primero vamos a definir aquellas funciones en las que podamos aplicar los conocimientos adquiridos hasta este punto.

 

 Límites

     El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el

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valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

 Definición de límite

     Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función  f (x):

x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2,  f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre  f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.

1.91.991.9991.99992.00012.0012.012.1

2.612.96012.9960012.999600013.000400013.0040013.04013.41

|x 2| | f (x) 3|

|1.9-2| = 0.1|1.99-2| = 0.01

|1.999-2| = 0.001|1.9999-2| = 0.0001|2.0001-2| = 0.0001|2.001-2| = 0.001|2.01-2| = 0.01|2.1-2| = 0.1

|2.61-3| = 0.39|2.9601-3| = 0.0399

|2.996001-3| = 0.003999|2.99960001-3| = 0.00039999|3.00040001-3| = 0.00040001

|3.004001-3| = 0.004001|3.0401-3| = 0.0401

|3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función  f (x) cuando x tiende a 2, es 3.Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:

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 Definición épsilon-delta

     Sea  f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.

 Ejercicios resueltos (aplicando la definición epsilón-delta)       En los ejercicios 1 a 4, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilón-delta :

LeitholdEjercicios 2.1

S o l u c i o n e s 1. Solución:

7

 2. Solución:

8

 3. Solución:

 4. Solución:

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Teoremas de límites

  Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.

 Teorema de límite1:Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces

 Teorema de límite2:Para cualquier número dado a,

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 Teorema de límite3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

 Teorema de límite4:

 Teorema de límite5:

 Teorema de límite6:Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces

 Teorema de límite7:Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

 Teorema de límite8:

 Procedimiento para calcular límites

     Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier

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polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4  implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.     Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que, una vez hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.

 Ejercicios resueltos          Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:

S o l u c i o n e s 1. Solución

 2. Solución:

 3. Solución:

 4. Solución:

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 5. Solución:

 6. Solución:No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:

 7. Solución:No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):

 8. Solución:Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0;por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:

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 9. Solución:No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:

 10. Solución: Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7  y  TL8:

 11. Solución:El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7  y  TL6:

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 12. Solución:

Nota: Repasar el procedimiento para factorizar expresiones de la forma:

Incrementos

Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo x, que se leee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. Por ejemplo, si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento x = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, x = x2 - x1 = 3 - 7 = -4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

 Derivada de una función Sea  f una función definida en todo número de algún intervalo I, la derivada de f es aquella función, denotada por f ', tal que su valor en cualquier número x de I, está dado por:

          

Se dice que una función es diferenciable o derivable cuando es posible hallar su derivada.

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 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 12 halle la derivada de la función dada aplicando la definición de derivada

S o l u c i o n e s

 

 

 

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Interpretación geométrica

Geométricamente la derivada de una función  f en un punto determinado se interpreta como el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto.

 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 3, encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x1, y1). Elabore una tabla de valores de x, y, m en el intervalo [a, b], e incluya en ella todos los puntos donde la gráfica tiene una pendiente horizontal. Trace la gráfica y muestre un segmento de la tangente en cada uno de los puntos localizados.En los ejercicios 4 a 6, determine la pendiente de la tangente a la gráfica de la función  f en el punto (x1, f(x1)). Elabore una tabla de valores de x, f(x) y m en diversos puntos de la gráfica e incluya en dicha tabla todos los puntos donde la gráfica tiene un tangente horizontal. Trace la gráfica de la función.En los ejercicios 7 a 11, obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal de la curva en el punto indicado. Trace una gráfica de la curva junto con la tangente y la normal.

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S o l u c i o n e s

 

x y m

-3 0 6

-2 5 4

-1 8 2

0 9 0

1 8 -2

2 5 -4

3 0 -6

 

22

x y m

1 4 -4

2 1 -2

3 0 0

4 1 2

5 4 4

 

x y m

23

-2 -7 12

-1 0 3

0 1 0

1 2 3

2 9 12

 

x y m

-5034

3210

-0.167-0.25-0.5

No existe

 

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x y m

01234

8-1-4-19

-12-60612

 

x y m

01234

-220-22

90-309

25

 

Solución:

 

26

 

27

 

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Diferenciabilidad y continuidad

 

Así como existen límites unilaterales también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado.

 

 

La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

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En uno de los ejercicios (el número 6) resueltos que van a continuación se mostrará otro tipo de funciones que son continuas en algún número pero que no son diferenciables en el punto. Lo particular de dichas funciones es que tienen una recta vertical en dicho punto.

Resumidamente, podemos decir que una función no es diferenciable en un punto determinado por alguna de las tres razones siguientes:1.  La función es discontinua en el punto2.  La función es continua en el punto, pero por la gráfica de f no se puede trazar una recta tangente que pase por el punto (como en la gráfica de la función valor absoluto en 0)3.  La función es continua en el punto, y la gráfica tiene una recta tangente vertical que pasa por el punto.

 Ejercicios resueltosEn los ejeercicios 1 a 7, haga lo siguiente: (a) trace la gráfica de la función; (b) determine si  f es continua en el punto dado; (c) calcule las derivadas por la derecha y por la izquierda, si existen; (d) determine si  f es diferenciable en el punto dado

S o l u c i o n e s

 Solución:

30

 Solución:

31

 Solución:

 Solución:

32

 Solución:

 Solución:

33

 Solución:

34

Propiedades de la diferenciación de funciones

  Hallar la derivada de una función aplicando la definición de derivada es un proceso largo y la mayor de las veces bastante tediosa. Afortunadamente existen varias propiedades en la derivación de funciones que los matemáticos han descubierto y establecido como teoremas. Algunos de estos teoremas son generales, aplicables a cualquier función, y otros sólo se aplican a funciones particulares. A continuación se enuncian algunos de los teoremas más importantes (se nombran enumerándolos consecutivamente para facilitar una futura referencia a ellos):Nota: se supone, obviamente, que las funciones a las que hacen referencia los teoremas son diferenciables, esto es, que tienen derivada.

 Teorema D1:

En palabras: "la derivada de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función".

 Teorema D2:

En palabras: "la derivada de la suma de un número finito, n, de funciones (términos), positivas o negativas, es igual a la suma de las derivadas de cada función y con su respectivo signo".

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 Teorema D3:

En palabras: "la derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera".

 Teorema D4:

En palabras: "la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción cuyo denominador es el cuadrado de la función del dividendo y cuyo numerador es la diferencia entre la función del dividendo por la derivada de la función del divisor y la función del divisor por la derivda de la función del dividendo".

 Teorema D5:

En palabras: "para hallar la derivada de la función potencia se multiplica la función por un coeficiente igual al exponente y el exponente se disminuye en la unidad ".

 Teorema D6:

En palabras: "la derivada de la función constante es cero ".

 Teorema D7:

En palabras: "la derivada de la función identidad es uno ".

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Derivadas de las funciones trigonométricas Teorema D8:  Teorema D9:  Teorema D10:

 Teorema D11:  Teorema D12:  Teorema D13:

 Teorema D14:

 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 12 halle la derivada de la función dada aplicando los teoremas TD1 a

TD14:

S o l u c i o n e s

 

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38

 

 

39

 

 

 

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Derivada de una función compuesta y regla de la cadena

   La gran mayoría de las funciones que se estudian en cálculo están construidas por una composición de funciones, de aquí la importancia de conocer un método sencillo para diferenciar dichas funciones; el método utilizado para hallar la derivada de una función compuesta se conoce como "Regla de la cadena".

 Regla de la cadena:

Ejemplo ilustrativo1:

Muchas veces sucede que hay que aplicar la regla de la cadena más de una vez para derivar una función compuesta dada.Ejemplo ilustartivo2:

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 Ejercicios resueltosEn los siguientes ejercicios obtenga la derivada de la función que se indica aplicando la regla de la cadena:

S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 

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Derivación implícita

 Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma  y = f (x); esto es cuando se da  y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que  y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y  puede definir a más de una función implícita.

          En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita.    

          Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.

 

 Ejercicios resueltos          En los siguientes ejercicios, halle dy/dx por medio del proceso de diferenciación implícita

S o l u c i o n e s

 

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44

 

 

45

 

 

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Derivadas de orden superior

 Sea  f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.

Aceleración instantánea:

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 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 5, obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.

S o l u c i o n e s

 

 

48

 

 

 

 

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Máximos y mínimos

   El hecho de que la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado es muy útil para el trazado de las gráficas de funciones. Por ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de x (variable independiente) la tangente que pasa por dicho punto tiene pendiente cero y, por ende, es paralela al ejex. También, se pueden establecer los intervalos en los que la gráfica está sobre o debajo de la tangente...

Valor máximo relativo:

En la figura de la derecha (fig.1) se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor máximo relativo en c. Dicho valor es d  y ocurre en  c.El valor máximo relativo de f en (a,b) es d.

 (fig.1)

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Valor mínimo relativo:

En la figura de la derecha (fig.2) se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor mínimo relativo en c. Dicho valor es d  y ocurre en  c.El valor mínimo relativo de f en (a,b) es d.

(fig.2)

Si una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, se dice entonces que la función tiene un extremo relativo en c.

El teorema anterior establece que la recta tangente a la gráfica de la  f  en el punto en donde ocurre un extremo relativo es paralela al ejex.

Si  f  es diferenciable, los únicos posibles valores de x para los cuales  f  tiene un extremo relativo son aquellos en los que  f ' (x) = 0. No obstante, ocurre con muchas funciones que a pesar de que  f ' (x) = 0, no hay  un extremo relativo allí. En la fig.3 se puede apreciar un ejemplo de esta situación.

También puede suceder que alguna función  f tenga un extremo relativo en un número dado y sinembargo no ser diferenciable en dicho número. La fig.4 ilustra este hecho.

Por último, para ciertas funciones f (c) existe y  f '(c) no existe y sinembargo no hay un extremo relativo en c. En la fig.5 se muestra la gráfica de una función donde ocurre esta situación.

Conclusión: si una función  f  está definida en un número c, una condición necesaria para que  f tenga un extremo relativo en c es que  f '(x) = 0  o  f '(c) no exista; pero esta condición no es suficiente.

(fig.3) (fig.4) (fig.5)

51

(fig.6)

En la fig.6 se muestra la gráfica de una función en donde el valor mínimo absoluto ocurre en a, el valor máximo absoluto ocurre en b. En e la función tiene un valor máximo relativo, y en d un valor mínimo relativo.  

Cuando una función tiene un valor máximo o un valor mínimo absoluto en un intervalo, se dice que la función tiene un extremo absoluto en el intervalo.

Una función dada puede tener o no tener un extremo absoluto en un intervalo.

En la (fig.7) se puede observar que la función tiene un valor máximo absoluto en c (también es un valor máximo relativo), pero no tiene un valor mínimo absoluto.

                  (fig.7)

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Procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función en el intervalo cerrado [a, b]

1.  Se obtienen los números críticos de la función en (a, b), y se calculan los valores correspondientes de f para dichos números.2. Se hallan  f (a)  y  f (b)3.  El mayor de los valores encontrados en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y el menor es el valor mínimo absoluto.

 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 3, obtenga los números críticos de la función dada. En los ejercicios 4 a 10 halle los extremos absolutos de la función en el intervalo que se da, y calcule los valores de f (x) en los cuales ocurren los extremos absolutos. Trace la gráfica de la función en el intervalo.

S o l u c i o n e s

 

 

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Aplicación de máximos y mínimos

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fig.1

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 E n u n c i a d o s

Solución de los numerales pares de los Ejercicios 4.10: "Aplicaciones de la derivada a la economía" de El Cálculo Con Geometría Analítica - cuarta edición - de Louis Leithold: 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - 14 - 16 - 18 - 20 - 22 - 24 - 26 - 28 - 30

S o l u c i o n e s

 

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BIBLIOGRAFÍA

Spivak, M., (1975): Calculus. Tomo 1. Barcelona: Reverté. Aleksandrov, A.D., Kolmogorov, A.N., Laurentiev, M.A., et al., (1985): La

Matemática: su contenido, métodos y significado. 3 vols., Madrid: Alianza.

Ayres, F. Jr., (): Cálculo Diferencial e Integral. México: McGraw-Hill.

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