Centro de Enseñanza Técnica Industrial Organismo Público Descentralizado Federal

APUNTES PARA EL PRIMER PARCIAL

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

FUNCIONES, LÍMITES, CONTINUIDAD

Academia de Matemáticas Ingeniería

Apuntes elaborados por Ana María López Salgado

Febrero – Junio 2010

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1 Contenido

2 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................... 1

3 FUNCIONES ............................................................................................................ 2

Preliminares ..........................................................................................................................2 Función: ....................................................................................................................................... 2 Dominio ....................................................................................................................................... 2 Contradominio ............................................................................................................................. 2

Clasificación de las funciones .................................................................................................2 Por su tipo .................................................................................................................................... 2 Por su simetría ............................................................................................................................. 3 Por su dominio y contradominio ................................................................................................. 4 Por su comportamiento ............................................................................................................... 4 Por su recorrido ........................................................................................................................... 5

Funciones especiales ..............................................................................................................5 Funciones a trozos o en ramas .................................................................................................... 5 Función valor absoluto ................................................................................................................ 5 Función parte entera ................................................................................................................... 6

Representación gráfica de funciones ......................................................................................7 El plano cartesiano ...................................................................................................................... 8

4 OPERACIONES CON FUNCIONES......................................................................... 8

Operaciones usuales ..............................................................................................................8

Composición de funciones ......................................................................................................8

5 LÍMITES ................................................................................................................... 9

Definición formal de límite .....................................................................................................9

Teoremas sobre límites ........................................................................................................ 10

6 CONTINUIDAD DE FUNCIONES ............................................................................11

Continuidad en un punto...................................................................................................... 11

Continuidad en un punto...................................................................................................... 11

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2 Introducción

Los notables progresos de la ciencia y en la técnica durante las últimas dos centurias procede en gran medida del desarrollo de las Matemáticas, el particular de la rama conocida como Cálculo Diferencial e Integral, sin cuyo desarrollo no sería posible abordar problemas que surgen en diversas ciencias, ya que es un instrumento natural y poderoso que permite darles un modelado formal y mayor formalidad.

El cálculo no es sólo un instrumento técnico, sino que contiene ideas que han apasionado al ser

humano en su necesidad de interpretar la naturaleza de situaciones cotidianas relacionadas con velocidad, volumen, área, razón de crecimiento, posición o aceleración, entre otros conceptos que son del interés de las ciencias aplicadas, puesto que el cálculo obliga a detenerse y a pensar cuidadosamente acera del significado de los conceptos, y reformularlos de manera que se reduzcan a otro problema de naturaleza puramente geométrica.

El origen del cálculo integral se remonta a más de 200 años, cuando los griegos intentaban

resolver el problema del área ideando el procedimiento que llamaron método de exhaución, que desde su aplicación hecha por Arquímedes, tuvo que esperar casi 18 siglos para su formalización empleando otra simbolización y técnicas algebraicas más formales, ya que el álgebra elemental que se usa hoy en día era totalmente desconocida en aquellos tiempos, por lo cual era imposible hacer extensivo el método original a otros fenómenos o situaciones.

El cambio lento pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones matemáticas, empezó en

el siglo en el siglo XVI D.C., cuando se dejo de lado el uso del sistema romano de Numeración Romano, el cual fue reemplazado (no sin oposiciones), por el sistema de numeración empleado en la India y difundido a través de los Árabes; incorporando con ello el uso del cero, de los signos + y -, y en general aprovechar las bondades que ofrecía el sistema decimal, con lo que se pudieron incluir las fracciones, fortaleciendo lo anterior con los procesos formalizados y estructurados del Aljabar, sin lo cual hubiera sido imposible llegar a la matemática del hoy.

Los logros en el avance de la Matemática se deben en sus orígenes a todos los grandes

estudiosos en Egipto, Grecia, Arabia y el cambio de paradigma sentado por Abu Abdullah Muhammad Ibin Musa al difundir su obra “aljabar wa-al-muqabala1", que sienta las bases para la formalización de lo que hoy se conoce como Algebra. Posteriormente Leonardo de Pisa (Fobiacci) introdujo estas ideas al continente Europeo con la publicación de su ”Líber Abaci2” y desde ellos, grandes matemáticos como Tartaglia, Cardano, Cavallieri, Torricelli, Fernat o Pascal, construyendo el camino salvando obstáculos que permitieron finalmente a Isaac Newton y Gottfried Leibniz formalizar las notaciones que hoy día se usan y que permitieron que otros como Cauchy y Rimemman fueran los precursores de la Matemática Moderna.

1 “El Libro de Cálculo Compendious por complemento y equilibrio"

2 Libro de Cálculo

3 FUNCIONES

Preliminares

"Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido"

Función:

Una función es la descripción de un proceso que permite transformar un objeto en otro, de tal forma que cada objeto de la entrada sea transformado en uno y sólo uno a la salida.

Dominio

En una función se llama Dominio, al conjunto que contiene a todos los objetos que serán transformados

Contradominio

Se llama contradominio de una función al conjunto de valores que resultan de transformar los objetos del dominio

Clasificación de las funciones

Por su tipo

Algebraicas

Llamaremos funciones algebraicas a aquellas donde la variable independiente está sometida a operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación generando expresiones algebraicas.

Enteras

Son enteras o polinómicas las funciones cuya variable independiente no aparece ni dividiendo ni afectada a exponente negativo ni fraccionario.

Racionales

Son racionales cuando la variable aparece dividiendo o bien afectada a algún exponente negativo.

Irracionales

Es irracional cuando la variable independiente está afectada por alguna raíz o exponente fraccionario.

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Trascendentes

Llamaremos funciones trascendentes en cambio a las que tienen la variable independiente sometida a otras operaciones distintas de las mencionadas, que trascienden el dominio del álgebra, como son las funciones trigonométricas, arco, exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas, arco de las hiperbólicas, entre otras.

Exponenciales

Son exponenciales cuando la variable independiente aparece en el exponente de una potencia.

Logaritmicas

Son logarítmicas cuando la variable independiente aparece afectada por la operación logaritmación.

Trigonométicas

Son funciones trigonométricas cuando la variable independiente aparece afectada por alguna de las tres funciones trigonométricas ( seno, tangente o secante) o alguna de las co- funciones (coseno, cotangente o cosecante).Tradicionalmente se generan dentro de un círculo de radio 1 Hiperbólicas Son funciones trigonométricas que tienen su origen dentro de una hipérbola, ( seno hiperbólico, tangente hiperbólica o secante hiperbólica) o alguna de las co- funciones (coseno hiperbólico, cotangente hiperbólica o cosecante hiperbólica).

Arco

Son funciones comúnmente conocidas como trigonométricas inversas, y usualmente la variable independiente representa el valor que arroja alguna de las funciones trigonométricas circulares o hiperbólicas y se espera que la función regrese el ángulo. Estas funciones pueden ser arcsen, arctan, arcsec, arcsenhip, arctanhip, arcsechip, o sus respectivas cofunciones.

Por su simetría

Par

Se dice que una función es par si:

Impar

Se dice que una función es impar si:

Por su dominio y contradominio

Función inyectiva

Una función es inyectiva o “uno a uno”, si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio, en otras palabras: Si la función no asigna a elementos distintos del dominio un elemento repetido del contradominio, diremos que ésta función es inyectiva. Así, tenemos la siguiente definición:

Sea f: A → B una función de A en B (dicho de otra forma si necesariamente)

Entonces decimos que ésta es una función inyectiva

Función suprayectiva

Así vemos que hay funciones que “barren” todo el contradominio y hay otras que no, Cuando el contradominio queda cubierto en su totalidad por la función tenemos que a esta función le llamaremos suprayectiva. Así, tenemos la siguiente definición:

Sea f: A → B una función de A en B

Entonces decimos que ésta es una función suprayectiva o sobre

Función biyectiva

Una función que es simultáneamente inyectiva y suprayectiva se dice que es biyectiva

Por su comportamiento

Sea una función f(x) definida en un intervalo A dado por(a, b)

Creciente

Se dice que f(x) es creciente si , si a < b, entonces f(a) < f(b)

Decreciente

Se dice que f(x) es decreciente si , si a < b, entonces f(a) > f(b)

Constante

Se dice que f(x) es decreciente si , si a < b, entonces f(a) = f(b)

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Por su recorrido

Continua

Si su gráfica no se corta o interrumpe

Discontinua

Si en su gráfica se encuentran brincos o agujeros

Funciones especiales

Se conocen como funciones especiales, a las funciones siguientes:

Funciones a trozos o en ramas

Una función en ramas esta descrita por una colección de funciones restringidas a un intervalo específico. Así, si f(x) es una función con dominio

Función valor absoluto

Sin embargo, se puede decir que el valor absoluto es la distancia recorrida a partir de un punto

de origen, sin importar el sentido.

Funciones periódicas

Sea f(x) una función definida en un intervalo [a, b), se dice que f es periódica, con periodo

, si

Función parte entera

La función parte entera es aquella que toman un número real y devuelven un número entero mayor o menor a ese número. Las funciones más conocidas son la función piso y la función techo.

Techo entero

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero k no inferior a x:

O de otra forma:

Que se puede interpretar como el menor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x.

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Piso entero

La función piso se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero k no superior a x:

Que se puede expresar:

Que es el mayor número de los dos números enteros entre los que está comprendido x.

Usualmente a esta función piso entero, se le llama Función parte entera

Representación gráfica de funciones

Las funciones, dependiendo de su naturaleza, se pueden representar en un plano cartesiano o

polar, aunque usualmente se empleará el plano cartesiano, que es el que permite relacionar los números reales

Plano cartesiano Plano polar

El plano cartesiano

Son coordenados ya que han sido divididos en segmentos consecutivos iguales, con líneas paralelas y perpendiculares que conforman coordenadas en el plano; son cartesianos en honor a René Descartes; ortogonales (del griego orto= recto y gonía = ángulo), por estar formado por un par de rectas numéricas que se intersectan de forma perpendiculares en un punto llamado origen, que eso dónde coincide el cero de ambas rectas. El eje horizontal se reserva para ubicar a los elementos conjunto dominio y se denominará x y al eje horizontal para los elementos del contradominio, denominado y. Al eje x se lo denomina eje de abscisas y al eje y eje de ordenadas. Si dibujamos cada par ordenado como un punto en el plano, podemos obtener lo que se denomina gráfico de la función, que se le da el nombre de curva

Para graficar, es necesario expresar los elementos del dominio y contradominio en términos de

parejas ordenadas (x, y) o sea que a cada elemento del dominio (x) se le asocia el valor en el cual se transformó (y).

4 Operaciones con funciones

Operaciones usuales

Sean las funciones y y sea entonces se definen las siguientes operaciones

Multiplicación de una función por un escalar: Suma de funciones Resta de funciones Producto o multiplicación de funciones

Cociente de funciones

Composición de funciones

Sean las funciones y entonces se define la composición de funciones como:

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5 Límites

Definición formal de límite

si cuando

Límites unilaterales

Límite unilateral por la derecha:

Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la -derecha es L, y se escribe

si

Límite unilateral por la izquierda:

Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

si

Teorema

Se dice que existe y tiene un valor si y sólo sí: Los límites unilaterales existen y

ambos tienen el valor

Teoremas sobre límites

Teorema de límite1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema de límite2: Para cualquier número dado a,

Teorema de límite3: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de límite4:

Teorema de límite5:

Teorema de límite6: Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema de límite7: Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de límite8:

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6 Continuidad de funciones

Continuidad en un punto

Se dice que una función es continua en el punto si: a) existe b) existe c)

Continuidad en un intervalo

Se dice que es continua en un intervalo I de A, si se tiene que:

Si la función es continua en cada punto del intervalo I, entonces su gráfica será continua, lo que

significa que no tendrá ni brincos ni agujeros. Si f tiene algún punto de discontinuidad, su gráfica tendrá en ese punto un brinco o un agujero.