CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS.

Complejos

Reales

Imaginarios puros

Irracionales

Racionales

Enteros

Fraccionarios

Trascendentes

Irracionales

algebraicos

Enteros (-)

Naturales cero

Impropia

Propia

Compuestos

Primos

NÚMEROS COMPLEJOS.

z a bi en 0q a y b se llama número complejo.

a Parte real del número complejo z

b Parte imaginaria del número complejo z

Si 0a bi se llama imaginario puro

Si 0b a es real

1 1 1 2 2 2 ; z x iy z x iy

1 2 =z z 1 2 1 2( ) ( )x x i y y

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) z z x x y y x y y x i

1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

z x iy x iy x iy x x y y iy x x y

z x iy x iy x iy x y x y

0

1

2

3

4

1

1

1

1

1

i

i i

i

i i

i

En general n :

4 3 1ni i

4 2 1ni

4 1 1ni i

4 1ni

Conjugado de un número complejo a bi es a bi .

Opuesto de un número complejo a bi es a bi .

1 1z i 2 2z i

1) 1 2z z

2) 2 1z z

3) 1 2z z

4) 2

1

z

z

5) 1

2

z

z

6) 2(3 ) 4(5 ) 7(4 )i i i

7) 2(3 2 )i

8) 2 4

4 2

i

i

9) 2 5

(1 )3 2

ii

i

10) (3 2 )(4 2 )i i

Tarea: Dados 1z = 3 6i ;

2 5 2z i ; 3

4

3z ;

4 5z i

Calcular:

a) 1 2 3( )z z z

b) 1 4 3 4z z z z

c) 1 4 25z z z

d) 1

1 3z z

e) 1

2z

f) 1 2z z

g) 1

1 2( )z z

h) 2

1 3z z

i) 2

1

z

z

j) 1

3 42

z

z z

Reales Fracciones

Suma = 1 1 2

12 2 2

Resta = 1 1 0

02 2 2

Multiplicación = 1 1 1

2 2 4

División = 1 1 2

12 2 2

POTENCIAS.

( factores )na a a a n a

5y y y y y y

5

4

3

3 4 7

2 32

( 3) 81

1 1

2 8

x x x

Teorema 1: Si n y m son enteros positivos y a :

n m n ma a a

3 2 5

3 7 10

(2) (2) 2 32

y y y

Ejercicios: Obtener los siguientes productos.

4 3 5 2 9 5

5 4 2 9

(4 )( 5 ) 20

(4 )(5 ) 20n n n

x y x y x y

nx nx n x

Teorema 2: Si n y m son enteros positivos y a :

( )n m n ma a

3 2 6

2 5 10

(2 ) 2 64

( )x x

Ejercicios: 2 2 2( ) ;( ) ;( )n n nn x x

Teorema 3: Si n es un entero positivo y y a b :

( )n n nab a b

2

3 3 3

4 5 10 20

3 4 12

(2 5) 2 5

( )

(30 ) 810

x y x y

Ejercicios: Evaluar cada uno de los siguientes productos:

a) 3 4 2 5 4 2 5 10 6( 5 )( 6 )( ) 30r s t s t r s r s t

b) 3 2 3 2 3 4 4 17 18 19(2 ) ( ) 81x y z x y z y z

4( 1)

Teorema 4: Si n y m son enteros positivos y 0a :

n

m

a

a

6 3 54

2 7 4 5

1 1

x x xx

x x x x

Obtener los siguientes cocientes:

5 2 2 63

3 8 6 3

8 4 6 2

2 3

nn

n

a b a nxx

a b b nx

Teorema 5: Si n es un entero positivo y y ; 0a b b

n n

n

a a

b b

35 5 4 2 4 2 3 12 6

5 3 3 3 9

2 2 32 ( )

3 3 243 ( )

x z x z x z

y y y

Exponente cero y exponente entero negativo.

Si n es un entero positivo y a es un número real 0

0

1

1n

n

a

aa

3 2 1 3 2 1

3 2

1 72(2 3 ) 72 (2 3 )

(2 3 ) 17

Si n>m n ma

Si n<m 1m na

Si n=m 1

Escriba las siguientes expresiones como fracción simple usando únicamente

exponentes positivos:

23 4 5 18 2

6 2 4 12

x y z x z

x y z y

3 2 4 2 5 7 3 83 2 4

4 4 4 4

( 3 )( 2 ) 62

3 3

x yz x y z x y zx y z

x yz x yz

2 3 4 2 22 2

4 2

(20 )(2 ) 10

( 4 )(3 ) 3

r s t r s tr t

rst rs t

RADICALES.

= radicando

n= índice del radical

a a a

2;

nn

a b b a

a a

Ley de los radicales:

i) n n nab a b

ii)

n

nn

a a

b b

iii) m n mna a

iv) m

nm n mna a a

v) 1 1( ) ( )m n n m m na a a

Suma y resta

n=n

a=a

Producto y división

n=n

Racionalización del denominador.

Productos notables:

i) 2 2( )( )x y x y x y

ii) 2( )( ) ( )ax b cx d acx ad bc x bd

iii) 2 2 2( ) 2x y x xy y

iv) 2 2 2( ) 2x y x xy y

v) 3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y

vi) 3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y

Factorización:

2 2

3 3 2 2

3 3 2 2

( )( ) Diferencia de dos cuadrados

( )( ) Diferencia de dos cubos

( )( ) Suma de dos cubos

a b a b a b

a b a b a ab b

a b a b a ab b

Factorización de polinomios:

2 ;px qx r Donde p, q y r son enteros.

( )( );ax b cx d Donde a, b, c y d son enteros.

; ; ac p bd r ad bc q

Ejercicios:

50 5 2 ; 50 25 2 5 2

3 6 364 2 ; 64 8 2

3 33 3 3 3320 64 5 4 5 4 5

32 6 1 3 2 3 2 2 2( )r s r s r s

3 364 16 2 4

40 90 5 10

64 122 3 64 6 124 8 64 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3

3 3 3

1 5 5 25

2 5 102 5 5 5

44 5 4

5 5 54 16 5 16 15 3 5 5

5 4 4 4 45 5 54 4 45 4

1 1 xx x x x x x x x

x x x x xx x x x

2

2

2 3 12 3 1

3 1 3 1 3 1

7 73 3

7 7 7 74 4 3 7

1 1 x x

x x x x

Productos notables:

a) 2 2 42 5 2 5 4 5r r r

b) 2

1 2 1c c c c

c) 3 3 2 2 32 5 8 60 150 125a b a a b ab b

Factorización:

a) 2 2 2 2(25 49 ) (5 ) (7 ) (5 7 )(5 7 )r s r s r s r s

b) 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 281 (9 ) ( ) (9 )(9 ) (9 )(3 )(3 )x y x y x y x y x y x y x y

c) 3 3 3 3 2 2 2 264 (4 ) ( 4 ) (4 ) (4 ) ( 4 )( 4 16 )a b a b a b a a b b a b a ab b

d) 2

6 9 2 3 3 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 4 2 3 68 27 (2 ) (3 ) (2 3 ) (2 ) (2 )3 ) (3 ) (2 3 )(4 6 9 )x y x y x y x x y y x y x x y y

POLINOMIOS.

1 1 0

1 1 0( ) ... n n

n nP x a x a x a x a x a

Monomio = un término 3x

Binomio = dos términos 2 2x y

Trinomio = tres términos a ab c

Polinomio = uno o más términos 3 22 3 7x x x

Grado mayor, exponente en que se encuentra la variable x.

2 2 2 26 7 3 4 (6 3) (1 4) 7 9 3 7x x x x x x x x

2 2 2 2 2 2 27 3 8 5 6 4 3a b a b ab ab ab a b ab

Suma:

3 2 3 2 3 2(4 7 3 8) (6 2 4) 10 5 3 4y y y y y y y y

Resta:

3 2 3 2 3 2(2 4 3) (4 8 2 6) 2 9 2 9a a a a a a a a a

Multiplicación:

2

2 2 9 3 2

2 2 3 2 2 3

(2 7)(3 4) 6 13 28

(3 2 1) (3 4 ) 12 11 3 5 3

(5 4 ) (2 3 ) 10 17 11 12

x x x x

x x x x x x x x x

x xy y x x y x x y xy y

División:

5 4 2 2 3 4 5 4 2 2 3 44 2 3

2 2 2

30 18 30 185 3

6 6 6

x y z x y z x y z x y zx y z xyz

xy z xy z xy z

2 23 11 18 6

5

z z z

z

3 3x y

x y

3 2 3

2 2

0 0x x x y

x xy y

21 216566

3 3 18

( ) 1 ( ) 1 99 3 ( ) 3

2 ( ) 2 24

xyxy xyxy xy xy xy xy xy xy xy

x y xyxy

26 13 28x x 3 4x

2 7x

Divisor

Cociente

Dividendo

26 8x x

21 28x Residuo

Si la expresión analítica de la función es un polinomio el dominio son todos los números

reales:

Ejemplo: 4 2( ) 4 1f x x x

Dom ( )f x =

Cont ( )f x = ( ,5]

Si la expresión analítica de la función es un cociente, el dominio son todos los reales

excepto los que anulan el denominador:

Ejemplo: 2

( )1

f xx

Dom ( )f x = - {-1}

Cont ( )f x = ( ,0) (0, )

Si la expresión analítica de la función es una raíz cuadrada el dominio está formado por los

números reales para los que:

( ) 3f x x

Dom ( )f x = [ 3, )

Cont ( )f x = [0, )

1( )

2f x

x

Dom ( )f x = ( 2, )

Cont ( )f x = (0, )

( ) 3f x x

Dom ( )f x = { }

Cont ( )f x = ( , )

2

3

x

x

Dom -{3}

Cont ( ,1) (1, )

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS.

Par ordenado = 2 números reales

( , ) ( , )a b c d

a c

b d

Plano cartesiano a abscisa o coordenada x

b ordenada o coordenada y

Plano xy:

I = x (+) , y (+)

II = x (-) , y(+)

III = x (-) , y(-)

IV = x (+) , y(-)

P = ( ,a b )

1

2

( 2, 3)

(4, 2)

P

P

1 2

1 1 1 2 2 2

2 2

1 2 2 1 2 1

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2

( , )

( , ) ( , )

( , ) ( ) ( )

( , ) ( , )

,2 2

d P P

P x y P x y

d P P x x y y

P x y P x y

x x y y

Hallar el punto medio M del segmento de recta de 1P (-2,3) a

2P (4,-2). Representar los

puntos 1P ,

2P y M y verificar que 1( , ) 9 25 4d P M , 2( , ) 9 25 4d P M .

II

IV III

I

y

x

Describa en un plano cartesiano el conjunto de todos los puntos P(x,y) tales que:

a) 3x

b) 1y

c) 0x

d) xy > 0

e) y < 0

Gráficas:

“La frase trazar la gráfica de W” significa, ilustrar geométricamente en un plano

coordenado las características de la gráfica.

{( , ) : 2 1}W x y y x

X 0 1 2 3

Y -1 1 3 5

2y x = Parábola

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y 9 4 1 0 1 4 9

Eje Y = Eje de la parábola.

(0,0) = Vértice de la parábola.

2y ax 0a Parábola con vértice (0,0)

Lado derecho es simétrico con el lado izquierdo.

Pruebas de simetría:

i) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje Y si la sustitución de

X por –X da una ecuación equivalente.

ii) Lá gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje X si la sustitución de

Y por –Y da una ecuación equivalente.

iii) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al origen si la sustitución

simultánea de X por –X y de Y por –Y da una ecuación equivalente.

2 3

3

4

4

y x y x

y x

Si C(h,k) es un punto del plano coordenado radio r > 0

P(x,y) sobre la circunferencia d(C,P) = r

2 2

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ecuación de la circunferencia

( ) ( )

0 y 0

centro en el orígen

x h y k r

r x h y k

h k

r x y

Obtener la ecuación de la circunferencia con centro C(-2,3) y que pasa por el punto D(4,5).

2 2

2 2

2 2

2 2

(4 ( 2) (5 3) 40

2 y 3

( 2) ( 3) 40

4 4 6 9 40

4 6 27 0

h k

x y

x x y y

x y x y

Hallar el centro y radio de la circunferencia cuya ecuación está dada por 2 2 4 6 3 0x y x y .

2 2

2 2

2 2

2 2

4 6 3 0

( 4 ) ( 6 ) 3

( 4 4) ( 6 9) 3 4 9

( 2) ( 3) 16

(2, 3) 16

x y x y

x x y y

x x y y

x y

C r

Graficar:

9.- 3 1y x

15.- 22y x

20.- 23 0y x

23.- 3 2y x

33.- 2 2 16x y

35.- 2 29 9 1x y

37.- 2 2( 2) ( 4) 1x y

39.- 2 2( 3) 9x y

41.- Centro C(3,-2) r = 4

43.- Centro C(1/2, -3/2)

42.- Centro C(-5,2) r = 5

51.- 2 2 2 10 10 0x y x y

52.- 2 2 8 4 15 0x y x y

53.- 2 2 6 5 0x y y

Funciones: Una función puede considerarse como la correspondencia entre un conjunto X

de números reales X, y otro conjunto Y de números reales Y, donde el número Y es único

para un valor dado de X.

2

2

2 2

( ) 2

2 5

( , )

[5, )

16

f x x

y x

x y

X -4 -3/2 -1 0 1 3/2 4

Y 16 9/4 1 0 1 9/4 16

2•

3•

1•

5•

7•

0•

1•

2•

3•

4•

5•

6•

Dominio

X

Contradominio

Y

[0,16]

[-4,4]

Dominio ( , 3] [3, )

Contradominio [0, )

x = variable independiente

y = variable dependiente

4( )

1

4 0 y 1 0

4 1

[ 4,1) (1, )

xy x

x

x x

x x

a) El dominio de g

b) (5), ( 2), ( ), 3 / 4, 2 3, 4 9 1g g g a a

Una función f con dominio D es:

i) Par si ( )f x = ( )f x para todo x en D

4•

-4•

-3/2•

3/2•

-1•

1•

0•

16•

9/4•

-1•

0•

ii) Impar si ( )f x = - ( )f x para todo x en D

a) Si ( )f x = 4 23 2 5x x ; función par.

b) Si 5 3( ) 2 7 4g x x x x ; función impar.

Ejemplo:

La función h se define como {( , ) : | |}h x y y x . Trazar la gráfica de h y determinar el

dominio y el contradominio.

D = ( , )

C = [0, )

Sea F la función que corresponde al conjunto de todos los pares ordenados tales que

2

{3 2 si 1

{1 2( 1) si 1

y x x

y x x

Trazar la gráfica de F y determinar el dominio y contradominio.

D = ( , )

C = ( , )

Si ( )f x = 29 x trazar la gráfica de f y encontrar el D y C.

2( ) 3

( , )

[ 3, )

f x x

D

C

Decreciente.

( ,0)

Creciente.

(0, )

Dominio

[ 3,3]

Contradominio

[0,3]

1 1 0

1 1 0( ) ... n n

n nP x a x a x a x a x a

( ) 1f x x Creciente.

Dominio y contradominio

[1, ) [0, )

2 9

3

xy

x

; 3x 2 0 9x x

3x

2 3x x

3 9x

3 9x

0

2y x

2( 4)y x

2( 2)y x

Traslaciones verticales.

( ) abajo

( ) = arriba

y f x C C

y f x C C

( ) derecha

( ) = izquierda

y f x C C

y f x C C

2

1 angosta

1 ancha

x n

n

n

Swokowski = 176

Leithold = 255

na

n

a) Positiva Par Desciende desde la izquierda, asciende hacia la derecha

b) Positiva Impar Asciende desde la izquierda, asciende hacia la derecha.

c) Negativa Par Asciende desde la izquierda, desciende hacia la derecha.

d) Negativa Impar Desciende desde la izquierda, desciende hacia la

derecha.

2y x

2 2y x

2 4y x

2( )y k a x h Ecuación de la parábola (eje vertical).

2

3

( ) 3 24 50

( ) 2 6 4

f x x x

f x x x

(a) (b)

(c) (d)

2y ax ( ,0)h 2( )y a x h

3 2( ) 6 9 4P x x x x

X -2 -1 0 1 2 3 4 5

P(x) -54 -20 -4 0 -2 -4 0 16

( , )h k

2( )y a x h k

4 3 2( ) 3 4 12 12P x x x x

X -2 -1 0 1 2 3

F(x) 44 7 12 -1 -20 -39

FUNCIONES RACIONALES.

Es el cociente de dos funciones polinomiales *( )

( )( )

P xf x

Q x

Si P y Q son funciones polinomiales y f es la función definida por * entonces f es una

función racional, El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto los

ceros de Q.

2( )

3

xf x

x

X 4 7/2

(3.5) 10/3(3.3) 13/4(2.25) 31/10 301/10 30001/1000(3.001)

F(x) 6 11 16 21 51 501 5001

3f x

X 2 5/2(2.5) 8/3(2.6) 11/4(2.75) 29/10 299/100 2999/1000

F(x) -4 -9 -14 -19 -49 -499 -4999

3f x

Asíntota

vertical.

i) iv)

i) iiii)

Asíntota vertical: Se dice que la recta x a es una asíntota vertical de la gráfica de la

función f cuando por lo menos uno de los siguientes enunciados es cierto:

i) ( )f x a medida que x a

ii) ( )f x a medida que x a

iii) ( )f x a medida que x a

iv) ( )f x a medida que x a

Asíntota horizontal: Se dice que la recta y b es una asíntota horizontal de la gráfica de

la función f cuando por lo menos uno de los siguientes enunciados es cierto:

i) ( )f x b a medida que x

ii) ( )f x b a medida que x

iii) ( )f x b a medida que x

iv) ( )f x b a medida que x

i) iv) ii) iii)

La gráfica de una función racional de la forma:

1

1 1 0

1

1 1 0

...

...

n n

n n

m m

m m

a x a x a x a

b x b x b x b

Tiene:

i) Al eje x como asíntota horizontal cuando n<m

ii) A la recta n

m

ay

b como asíntota horizontal cuando n=m

iii) Ninguna asíntota horizontal cuando n>m

Tarea:

2

2

2 3 3( ) ( )

1 2 32

x xf x f x

x x

2

2

4 4( ) ó ( )

25 ( 5)( 5)

x xf x f x

x x x

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

Tarea:

2

3

3 2

4 2

5 3

( ) 2

( ) 2

( ) 3 3

( ) 5 4

( ) 4

f x x

f x x

f x x x

f x x x

f x x x

Teorema 1: Si n y m son números racionales entonces:

i) Si a > 1, n < m implica que n ma a

ii) Si 0 < a < 1, n < m implica que n ma a

a = 4, n = 2, m = 3 2 34 4 a = 1/3 2 3

1 13 3

Teorema 2: Si a y b son números positivos cualesquiera, y n y m son números positivos

cualesquiera entonces:

i) n m n ma a a

ii) m

m n

n

aa

a

iii) ( )m n mna a

iv) ( )n n nab a b

v)

n n

n

a a

b b

Ejercicios:

3 12 3 32 2 2 20

5 107 7

*El número 2.7182818e

Función exponencial de base a

Si a > 0 y a 1, entonces la función exponencial de base a es la función f definida:

( ) xf x a

Donde el dominio de f es el conjunto de números reales y el contradominio es el conjunto

de números positivos.

Representar gráficamente f siendo ( ) 2xf x

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4

F(x) 1/6 1/4 1/2 1 2 4 8 16

Crecimiento exponencial. Decrecimiento exponencial.

Trazar la gráfica de f si 2

( ) 2 xf x

X -2 -1 0 1 2

F(x) 1/16 1/2 1 1/2 1/16

3( ) 2

( ) 3 3

x

x x

f x

f x

; 1xy a a 0 1

xy a

a

Función exponencial natural *

La función exponencial natural es la función f definida por ( ) xf x e , donde el dominio

es el conjunto de los números reales y su contradominio es el conjunto de los números (+).

X 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.5 -1 -2 xe 1 1.6 2.7 4.5 7.4 12.2 0.6 0.4 0.1

.

Encontrar las raíces de f si 2 2 2( ) ( 2 ) 2x xf x x e xe

2 2 2

2

2

2

( ) 2 2

( ) 2 (1 )

1 0 2xe 0

1 2xe 0

x x

x

x

x

f x xe x e

f x xe x

x

x

( ) ( 1)x x xf x xe e e x

-1 y 0

3 4 2 4

2 4

( ) (4 ) 3

( ) (4 3)

x x

x

f x x e x e

f x x e x

0x

4 3

3

4

x

x

9.-

2

3 4 2 4

2 2 2 2 2

( )

( ) 2

( ) (4 ) 3

( ) (2 ) 2 2 éste no

x x

x x

x x

x x x x

f x xe e

f x x e xe

f x x e x e

f x x e xe e xe

13.- 2

( )( ) ( )( )

( )

x x x x x x x x

x x

e e e e e e e e

e e

La función logarítmica de base a es la inversa a la función exponencial de base a.

log si y sólo si x

ax y y a

3

2

1/2

2

5

2 8

5 1/ 25

1/16 1/ 4

3 log 8

2 log 1/ 25

1/ 2 log1/16 1/ 4

Teorema:

i) loga x

a x para toda x > 0

ii) log 1a a

iii) log 1 0a

Dominio = Reales positivos.

Contradominio = Reales.

Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 6log 2

36

x

x

b) 27log 2 / 3

9

x

x

c)

log 81 2

1/ 9

x

x

4log (5 ) 3

59

x

x

Leyes de los logaritmos:

i) log ( ) log loga a auw u w

ii) log log loga a a

uu w

w

iii) log ( ) log para todo número real c.c

a au c u

Si u=4, w=8, a=2 y c=3.

log ( ) log loga a auw u w

log log loga a a

uu w

w

log ( ) logc

a au c u

Expresar cada uno de los siguientes casos en términos de logaritmos de x, y, z en los que

estas variables representen números (+).

a) 2 3 4loga x y z

b) 2

loga

x

yz

c)

2

53

loga

xy

z

* 2 3 4log log loga a ax y z

a) 2log 3log 4loga a ax y z

b) log log 2loga a ax y z

c) 1 2 3

log log log5 5 5

a a ax y z

Escribir cada una de las siguientes expresiones como un solo logaritmo con coeficiente

1.

a) 2

3log 2log 3log loga a a a

xyx y z

z

b) 2

341 log 4 log 3 2log log log

3 3a a a a a

xx y

y

La función logarítmica natural es la inversa de la función exponencial natural.

ln

ln si y sólo si

ln 1

y ln

x

x x

x y y e

e

e x e x

i) ln( ) ln lnuw u w

ii) ln ln lnu

u ww

iii) ln lncu c u

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Obtener el conjunto de soluciones de la ecuación:

(1)

3 21

log3 log 21

log3 log 21

log 212.77

log3

x

x

x

x

Resolver la ecuación:

(2)

2 15 6 2

{ 3.64}

x x

x

(3)

log(5 1) log( 3) 2

29995

x x

x

(4)

3 15 0.08

{ 0.1897}

x

x

(5)

17 3

{1.296}

x x

x

(6)

17 3

1.296

x x

x

(7)

10

2

log ( 3) 2

3 10

x

x

(8)

2 2

2

3

log ( 4) log ( 3) 3

log 3

2 4

x x

a

b

a

b

(9)

3 3

2 3

2

log log (2 3) 3

log( ) 3

2 3 3

2 3 27 0

( 3)(2 9) 0

x x

ab

x x

x x

x x

2

2

3 3 4

13 4

3

3 1 4(3 )

(3 ) 4(3 ) 1 0

3

2 5

x x

x

x x

x x

x

x u

u

3 2 5

log3 log(2 5)

log3 log(2 5)

1.314

conjunto de soluciones

x

x

x

x

3 21xe lny x 3

21

3 ln 21

yx e

x y

x

x

4 4

3 3

10 10 10 10

2 2 2

Tarea:

log (2 3) 2log 2

*log (2 3) log ( 3) 4

log log ( 200) log 4 5 log 5

*log ( 2) 3 log 3 log

x x

x x

x x

x x

CONVERSIONES DE UNIDADES ANGULARES

En geometría un ángulo se determina por dos rayas o semirrecta 1l y

2l con el mismo punto

inicial O. Si A y B son puntos en 1l y

2l respectivamente entonces nos podemos referir al

ángulo AOB.

Ángulo positivo. Ángulo negativo.

Si el lado terminal coincide con un eje coordenado, entonces al ángulo se le llama ángulo

cuadrantal.

grado

11°=

360

90 ángulo recto

0 90 ángulo agudo

90 180 ángulo obtuso

*Éstos ángulos siempre tienen

medidas de grados que difieren

en un múltiplo de 360°.

60°+360°=420°+720°=780°

2 ángulos agudos son complementarios si suman 90°.

2 ángulos positivos son suplementarios si suman 180°.

O

A

B

Lado inicial

2l

1l

1l

2l

Se llaman ángulos coterminales a aquellos que tienen los mismos lados inicial y teminal.

1 grado dividirlo en 60 partes iguales minuto (‘) y cada minuto en 60 partes iguales

llamadas segundo (‘’)

1 11' 1° y 1'' 1°

60 3600

73 56'18''

Hallar el ángulo complementario de si:

= 25°43’37’’ =73.26°

Un ángulo tiene una medida de 1 radián, si al colocar su vértice en el centro de un círculo,

la longitud del arco interceptado en la circunferencia es igual al radio.

P

A

360 2 radianes

180° = radianes

1° = radianes180

1801 radián =

1° 0.0174533 radianes y 1 radián = 57.29578° .

a) 5 5

150 , 225 en radianes ,6 4

r

r

b) 7

, en grados 315 ,604 3

Radianes 0 6

4

3

2 2

3 3

4 5

6

Grados 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

76

54

43

32

53

74

116

2

210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

Teorema de Pitágoras, ley de senos y cosenos, triángulos semejantes.

En todo triángulo-rectángulo el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.

c

a

b

cos

tan

asen

c

b

c

a

b

2 2 2

2 2

2 2

c a b

a c b

b c a

Triángulos oblicuos.

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son

respectivamente a, b, c entonces:

a b x

sen sen sen

A

b

B C

CASO I:

62.5 112 42

/ ,

a

B b c

CASO II:

C=25 =35° =68°

, ,

* 31.5 b=51.8 33

, ,

ABC

c a b

a

c

Ley de los cosenos.

En cualquier triángulo ABC, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de

los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno

del ángulo comprendido entre ellos. Esto es:

Este teorema se aplica cuando

en un triángulo dado se conocen:

•CASO I: Dos lados y el ángulo

comprendido entre ellos.

•CASO II: Los tres lados del triángulo.

a

c

Teorema: En cualquier triángulo ABC, la

relación entre un lado y el seno del ángulo

opuesto, es constante.

Éste teorema se aplica cuando en un triángulo

dado se conocen:

•CASO I: Dos ángulos y el lado opuesto a uno

de ellos.

•CASO II: Dos ángulos y el lado entre ellos.

•CASI III: Dos lados y el ángulo opuesto a uno

de ellos.

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc

b a c ac

c a b ab

30.3 40.4 62.6

23.65 32.3 124.05

7 6 9

a b c

a b c

2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6

2 50

6 3 2 3 6

30 60 90 120 150 180

3

4 2 4

Cálculo de funciones trigonométricas para ángulos comunes.

2

n 0 1 2 3 4

sin 0 ½ 22

32

1

cos 1 32

22

½ 0

tan 0 1

3 1 3 Ind

0 0 30° 45° 60° 90°

radianes 0 6

4

3

2

sin

cos

0° 30° 45° 60° 90°

0 1 2 3 4

4 3 2 1 0

2

tan

0° 30° 45° 60° 90°

0 1 2 3 4

4 3 2 1 0

I cuadrante todas (+)

II cuadrante sin, cosec (+)

III cuadrante tan, cotan (+)

IV cuadrante cos, sec (+)

ABC=

1 1 2sec

cos 3 3

2

1csc

sin

Cat. Opuesto Cat. Adyacentesin cos=

Hipotenusa Hipotenusa

Cat. Opuesto 1tan cot=

Cat. Adyacente tan

x y

r r

x y

y x

r x

sec= csc= r r

y x

Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas, si el punto P(-3,4)

pertenece al lado terminal del ángulo asociado y sus ángulos internos.

a = 4

C

c

A

B

b=3

Ejemplos:

Calcular la altura h del siguiente triángulo rectángulo.

tan 60340

h

Un cable se amarra a 12 m de la base de un mástil y el cable forma un ángulo de 15° con el

suelo. ¿Cuánto mide dicho cable?

2 2 2

2 2 2

12sin15

46.3644

r x y

x r r r

x

60°

340 m

h=?

12m

15°

9

6

10 3 y

7

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1sin cos tan cot

csc sec cot tan

1 1 sin cossec csc tan cot

cos sin cos sin

sin cos 1 sec tan 1 csc cot 1

Ejercicios:

2 2

2

2

2 2

22

2

2 2

2 2

22

2

1.-sin cos sin csc

12.- cos 1

csc

3.- tan sin csc sec

cos4.- 1 csc

sin

5.-sin cos cos sec

6.- tan tan cot sec

sin7.- 1 sec

cos

x x x x

xx

x x x x

xx

x

x x x x

x x x x

xx

x

2

2

2 2

22

2

2

2

18.-sin 1

sec

9.-tan cos cos 1

sin10.-sin 1

tan

111.- tan

cos csc

12.-cos csc cot

113.- cot

sin sec

114.- 1 csc

tan

xx

x x x

xx

x

xx x

x x x

xx x

xx

Senos y cosenos.

2 2

2

2

2

2

2

2

2

sin 1sin sec cos 1

cot csc

1 1sec

cot sin csc

1csc

sec

1 cot 1 tan

csc sec

sin 2 2cos2 2 tan

1 sin

xx x x

x x

xx x x

sen x senx xx

y y

y y

x xx

x

2

2

2 2 2 2

1 1sec cos

cos sec

cot sin cos csc

x xx x

x x x x

TAREA

TAREA

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.

1 1 11 1 1sin cos tan

sin cos tanx x x

x x x

Obtener la solución de las ecuaciones siguientes cuando

2 210 tan 3 0 2cos 1 02

x x x

2

2

cot 1 0 0 x

2sin cos 1 0 0 2

Obtenga todos los valores de en [0,2 )

tan 3 1

x

t t t

x

x

Arco coseno

Arco seno

Arco tangente

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES.

2

5 5 2 7

4

6 7 3 0

6

7

3

x x

x

x x

a

b

c

Si y a b exactamente uno de los tres siguientes enunciados es verdadero:

y entonces

5 y 5

a b b c a c

x y

x y

Propiedades de < si a, b y c son :

i) Si a < b, entonces a+c < b+c (propiedad de suma)

ii) Si a < b, entonces a-c < b-c (propiedad de resta)

iii) Si a < b y c > 0, entonces ac < bc (propiedad de la multiplicación)

iv) Si a < b y c < 0, entonces ac > bc (propiedad de multiplicación)

3 8 7

5

x

x

7

4

73

7{ | }3

7[ , )3

xx

x

x x

3 4 7 15

3 4 7 4 7 15

1 2

( 1,2]

x

x x

x

0 5

2

2

2

2 8 0

( 2)( 4) 0

( , 2)( 2,4)(4, )

12 15

2 15 0

( 5)( 3) 0

( , 5)( 5,3)(3, ) conjunto de soluciones: ( 5,3)

| 3 5 | 9

3 5 9 (3 5) 9

3 4 3 5 9

4 3 143

14 conju3

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

4 14nto{ , }3 3

1 1 1

2 2 2

2 3 6 3 5

5 3 10 2 4

ax by c

a x b y c

a x b y c

x y x y

x y x y

4 3 4 2 3 8

2 3 2 0 5 3 4 4

2 2 2 6 4 5 12

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

2 2 2

2 2

2 2

=4 +y =25

x+y=3 3 4 25

4 +xy+y =6 *

2 8

y x x

x y

x

x xy y

2 2

2 2

4 6

10 7 0 (6 )(2 ) 0

5 2

x xy y

x xy y x y x y

y x y x

MATRICES.

Una matriz fila está constituida por una sola fila (2, 3, -1)

2 1 0 1 1 3 5, B= , C=

3 2 4 2 2 1 1A

a) 4 4 4 16 16

; 8 1 6 25 39

AB ABC

b)

94 2

325 151 12

2 2 21 3

9112

tB A C B A

c) 2 2 21 4 4 2

No se puede12 1 8 8

A B C

2 2 2

2

2 6 3 1 1 1

0 9 5 2 4 2

6 2 1 3 5 7

; ( ) 2

( ) ( )( )

no es conmutativa

A B

AB BA A B A AB B

AB BA A B A B A B

a) ABC b) 12

tC B A c) 2 2 2, ,A B C

DETERMINANTES.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define como determinante de A (denotado como

|A|, det(A) ó A ) a la suma de los n productos formados por n-factores que se obtienen al

multiplicar n elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un solo

elemento de cada fila y columna de A.

Esto significa, que un determinante es un valor numérico x que está relacionado con una

matriz cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo.

Regla de Sarrus.

Determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal principal

menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

11 12

11 22 21 12

21 22

11 12 13

21 22 23 11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 21 12 33 11 32 23

31 32 33

det( )

det( )

a aA a a a a

a a

a a a

A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

Propiedades de los determinantes.

1. Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el

determinante es cero.

2. El determinante de la matriz A es el determinante de la matriz At.

3. Si cada elemento de un renglón o una columna es multiplicado por un

escalar k, el determinante es también multiplicado por k.

4. Si se intercambian dos renglones o columnas el signo del determinante

cambia.

5. Si un renglón o columna se traslada P renglones o columnas entonces el

determinante obtenido es igual a ( 1) p .

6. Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces el determinante es

cero.

Menor de un elemento.

Se define el menor de un elemento ija al determinante que resulta de eliminar el renglón i y

la columna j.

Cofactores.

Se define el cofactor de un elemento ija , el cual se denota A ij como:

A ij = ( 1) i j

ijM

Es decir, el cofactor es igual al menor multiplicado por 1 o -1 dependiendo si la suma de los

dos subíndices es par o impar respectivamente.

11 12 13

21 22 23 11 11 12 12 13 13

31 32 33

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 32

det( )

a a a

A a a a a A a A a A

a a a

a a a a a aa a a

a a a a a a

Matriz adjunta.

1

( )* ( )*det( )

TTA Adj AA

Ejemplos:

2 1 03 5 4 8 9 1

2 4 0 3 5 10 2542 4 3 7 0 0

1 7 8

Menor de un elemento.

22

31

23

11

12

13

1 5 3

2 1 4

3 10 2

32

23

56

1 0 1

2 5 4

3 10 2

= 30

=16

A =-35

1 2 8

det( ) 6 4 5 39

2 1 3

M

M

M

A

A

A

LÍMITES Y DERIVADAS.

*

Sea a un punto de un intervalo abierto, sea f una función definida en todo el intervalo

excepto posiblemente en a, y sea L un número real. Entonces:

lim ( )x a

f x L

Significa que para todo > 0 existe un > 0 tal que sí 0 | |x a , entonces

| ( ) |f x L

*De forma intuitiva se puede definir el límite de una función en un punto como el valor al

que se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca al punto.

Propiedades de los límites.

- Límite de una constante.

lim limx a x a

k k x a

- Límite de una suma.

lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x

- Límite de un producto.

lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x

- Límite de un cociente.

lim ( )( )lim Si lim ( ) 0

( ) lim ( )

x a

x a x a

x a

f xf xg x

g x g x

- Límite de una potencia.

lim ( )( )lim ( ) lim ( ) Si ( ) 0x a

g xg x

x a x af x f x f x

- Límite de un logaritmo.

lim log ( ) log lim ( ) Si 0 y ( ) 0a ax a x a

f x f x a f x

Operaciones con infinito (indeterminaciones.)

Infinito más un número

k =

0

0

0

.

( ) si 0

0 .

0 0

0

0

0 in .0

.

1

0 .

.

ind

k k

ind

k

k

k

k

d

ind

k

ind

ind

0 0 si k>0

si k<0

si k>0

0 si k<0

0 0

0

1 .

k

k

ind

lim ;limx a x a

k k x a

Ejercicios.

3 8

2

23

2

2

23

2

0

1

3

3 2

23 3

*lim8 *lim3

2 7*lim =-

5 2 4

* lim [0, )

9*lim D[ ,2) (2,3) (3, )

5 6

*lim( ) 1

*lim5 ln 0

1 1*lim 0

3

27 0 ( 3)( 3 9*lim lim

9 0

x x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x x

x

x

x x

x e

x x

x

x x x x

x

22 2

4

4

) 9

( 3)( 3) 2

2 0 ( 2)(1 1) ( 2)(1 1)*lim lim

01 1 (1 1)(1 1) 1 ( 1)

( 2)(1 1) ( 2)(1 1)(1 1)

1 1 ( 2)

5 1 0 1*lim

2 3 2 0 2

x x

x

x x

x x x x x

x x x x

x x x xx

x x

x

x

1 0

1 0

...lim

...

n

n

mxm

a x a x a

b x b x b

5

4

2

4

2

2

5 1* lim

1

5*lim 0

2 3

3 5 3*lim

5 3 1 5

x

x

x

x x

x

x

x

x

x x

0 si m>n

si m=n

si m < n

Tarea:

1. Si 2( ) 2f x x y 1( )g xx

. Calcular:

a) 3

lim( )( )x

f g x

b) 3

lim( )( )x

f g x

c) 3

lim( )( )x

f g x

d) 3

lim( / )( )x

f g x

2. Calcular el límite de la función 3 2

2

( 2 6 12)( )

( 3 10)

x x xg x

x x

cuando 2x .

3. Calcular el límite de la función 2(3 4 )

( )x x

f xx

cuando 0x .

DERIVADAS.

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a. La derivada de f en a,

denotada por 1( )f a está dada por:

1

0

1

0

( ) ( )( ) lim

( )( ) lim

h

x

f a h f af a

h

f f af a

x a

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de la función en un punto.

Una función f es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en el intervalo abierto (a,b)

y los límites.

0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim y lim existenh h

f a h f a f b h f b

h h

y

x

a x

1

0

( ) ( )( ) lim

h

f x h f xf x

h

como una función

Ejemplo 1:

2

0

( ) ( )( ) 3 5 4 Encontrar ( ) lim

h

f x h f xf x x x f x

h

a) 1( )f x

b) 1 1(2), ( 2)f f

1

1 1

2

4 3 2

7 2

7 3

7

2 2 2 2

81

7

( ) 6 5

(2) 7 ; ( 2) 6 2 5

( ) 2 5

( ) 2 4

1lim

2 300

entre x

4lim 2 3 2 3 2 3 2 3 2

2

81lim 18

9

( 1)( 2)lim 1

( 3)( 4)

lim

x

x

x

x

x

f x x

f f

f x x

f x x x x

x x

x x

x x x x x x x x

x

x

x x

x x

2

2 3

49

x

x

2

1

0

2

1

0

2 2 2

1

0

21

0 0

1 1

( ) ( )( ) lim

3( ) 5( ) 4 (3 5 4)( ) lim

3 6 3 5 5 4 (3 5 4)( ) lim

6 3 5( ) lim lim6 3 5 6 5

( ) [ ( )] [ ( )]

h

h

h

h h

f x h f xf x

h

x h x h x xf x

h

x xh h x h x xf x

h

xh h hf x x h x

h

dy df x Dx f x Dxy y f x

dx dx

Como función

Reglas para determinar derivadas.

( ) 0

( ) 1

Dx c derivadas

Dx x

Si n es un entero positivo entonces, Dx( nx ) = 1nnx

2

1

[ ( )] [ ( )]

[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]

[ ( ) ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )]

( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )]

( ) [ ( )]

( )n n

Dx cf x cDx f x

Dx f x g x Dx f x Dx g x

Dx f x g x f x Dx g x g x Dx f x

f x g x Dx f x f x Dx g xDx

g x g x

Dx x nx

1.- 2( ) 10 9 4 20 9f x x x x

5.- 3 2 4 2( ) ( 7)(2 3) 10 9 28f x x x x x x

9.- 2

4 5 23( )

3 2 (3 2)

xf x

x x

3.- 2 4 3( ) 15 4 5 1 8 20f s s s s s s

7.- 2 4 5 2( ) (3 7 2) 18 21 4h r r r r r r r

22.- 2 3

1 1 1( ) 1p x

x x x

4( ) 4

4f x x

x

x 92 13

3 401100

f(x) 8 12 400

x 72 15

4 399100

f(x) -8 -16 -400

2

4( )

5 6f x

x x

2

( 2)( 3)

3 2 6

2; 3

x x

x x x

x x

x 32 7

4 199100

f(x) 5.3 12.8 396

x 72 13

4 301100

f(x) 5.3 12.8 396

x 73 2001

1000

f(x) -18 -4004

x 114 2999

1000

f(x) -21 -4004

2

2 2

2 2

2

8 3 6( ) ; ( )

1 2 4

4 4 3 3( ) ó ( ) ó

25 ( 5)( 5) 2 32 2( 4)( 4)

16( )

3

xf x f x

x x x

x x xf x f x

x x x x x x

xf x

x

CONVERSIONES DE UNIDADES.

1801 radianes 1 radián=

180

150 5 7 7(180) 315

180 6 4 4

225 5 180 60

180 4 3 3

360 (180)2 90

180 2 2

TEOREMA DE PITÁGORAS.

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

2 2 2

2 2

2 2

c a b

b c a

a c b

Calcular la altura (h) del siguiente triángulo rectángulo y la hipotenusa.

a

op

c=hipotenusa

body

sin tan cosa a b

c b c

1

1

1

sin csc

cos sec

tan cot

c

a

c

b

bx

a

h=

?

60°

Hip.=?

340 cm

2 2

1 1

1 1

tan 60 ; tan 60 (340) 588.9340

(340 ) (588.9 ) 680

sin ( ) sin (588.9) 680

cos ( ) cos (340) 680

hh cm

c cm cm cm

c a cm

c b cm

Un cable se amarra a 12m de la base de un mástil y el cable forma un ángulo de 15° con el

suelo. ¿Cuánto mide dicho cable?

12 12

sin15 ; 46.360 sin15

m mx m

x

Una escalera está apoyada contra la pared de un edificio y su base se encuentra a una

distancia de 12 ft del edificio. ¿A qué la altura está el extremo superior de la escalera y cuál

es la longitud de esta si el ángulo que forma con el suelo es de 70°?

tan 70 ; tan 70 (12 ) 32.912

12 12cos70 ; 35.1

4 cos70

xx ft ft

y ft

x

12m

15°

?

?

70°

12 ft

PASANDO A SENOS Y COSENOS.

2

2

2 2

2

sec 1 1 1 cos* sec ; csc ; cot

csc cot csc 1 sin

1

cos1 sin sin1 ;

cossin cos cos

sin

1 1 cos 1 1* sec cot csc sec

cot sin csc sin sin cos

1 1 1

1cos cossin

sinsin

x xx x x

x x x x senx

xx x

xx x x

x

xx x x

x xx

xx

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

sin cos 1 1 1

cos cos cos cos

1 1*sec csc sec csc (sin cos ) sec csc

cos sin

1 1 1 1(sin cos )

cos sin cos sin

sin cos (sin cos )

cos sin sin cos

1*sin cos sec tan sec

cos

x x

x x x x

x x x x x x x xx x

x xx x x x

x x x x

x x x x

x x x x xx

22 2

2 2

2 22 2 2 2

2 2

sintan

cos

1 sinsin cos

cos cos

1 sin cossin cos cos sin 1 1

cos cos

xx

x

xx x

x x

x xx x x x

x x

Ecuaciones trigonométricas.

12

1 12

6

2sin 1=0 0

sin

x x

x

x

2 12

1

3

*tan 3 0 0 x

tan 3

tan 3

x

x

x

x

2 2

2 12

34 4 4

1

*2cos 1 0 cot 1 0 0 x

cos cot 1 1

1cos cot 1 { , }

2

1cos cot

2

x x

x x

x x

x x

34

4

1

x

*Obtener las soluciones de la ecuación 0 2x

2

2 512 3 3

2

2

53 3

12

2sin cos 1 0

2(1 cos ) cos 1 0 ( , )

2 2cos cos 1 0 1

2cos cos 1 0

(2cos 1)(cos 1) 0 { , , }

2cos 1 0 cos 1 0

cos cos 1

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

*Obtener el conjunto de soluciones de

2

2

2

54 4

54 4

sec tan 1 0 2

(1 tan ) tan 1

tan tan 0

tan (tan 1) 0

tan 0 tan 1

0; ; 2 ,

{0, , 2 , , }

x x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

x

*Obtenga todos los valores de x en [0, 2 ) para los que tan3 1x

0 2 ;0 3 6

tan 3 1

1 5 9 13 17 21, , , , , ,

4 4 4 4 4 4

x x

x