Apuntes de Dinámica del Cuerpo Rígido

El movimiento, en el sentido más general de la palabra, concebido como una modalidad o un atributo de la materia, abarca todos y cada uno de los cambios y procesos que se operan en el universo, desde el simple desplazamiento de lugar hasta el pensamiento.

Todo movimiento va unido, de un modo o de otro, a cierto, desplazamiento de lugar, ya sea de los cuerpos celestes, las masas terrestres, las moléculas, los átomos o las partículas del éter. Cuando más alta sea la forma del movimiento, menor será este desplazamiento de lugar. El desplazamiento de lugar no agota, de modo alguno, la naturaleza del movimiento en cuestión, pero es inseparable de él.

El hecho de que los cuerpos aparezcan concatenados lleva implícito el que actúan los unos sobre los otros, y en esta su acción mutua consiste precisamente el movimiento. Ya esto, por sí sólo, indica que la materia es inconcebible sin el movimiento. Y si, además, la materia aparece ante nosotros como algo dado, como algo que ni ha sido creado ni puede ser destruido, ello quiere decir que también el movimiento es algo increado e indestructible. Esta conclusión se reveló como irrefutable desde el momento mismo en que el universo se impuso al conocimiento como un sistema, como una concatenación de cuerpos. La conciencia de esto se abrió paso en la filosofía mucho antes de que llegara a dar frutos en las ciencias naturales, y ello explica por qué la filosofía llego a la conclusión de la increabilidad e indestructibilidad del movimiento. La tesis cartesiana de que la cantidad de movimiento existente en el universo permanece invariante sólo peca desde el punto de vista formal, puesto que emplea una expresión finita para expresar una magnitud infinita.

Cuando dos cuerpos actúan el uno sobre el otro, dando como resultado el desplazamiento de lugar de uno de ellos, este desplazamiento de lugar sólo puede consistir en un acercamiento o alejamiento, los cuerpos se atraen o se repelen. O bien, para decirlo en términos en que se expresa la mecánica, la fuerzas que entre ellos actúan son fuerzas centrales que operan en la dirección de la línea de entronque de sus centros.

Todo movimiento consiste en el juego alternativo de atracción y repulsión. Pero el movimiento sólo puede darse cuando cada atracción singular se ve compensada por la correspondiente repulsión en otro lugar distinto. De otro modo uno de los lados acabaría predominando con el tiempo sobre el otro, con lo que el movimiento cesaría, a la postre. Esto quiere decir que, todas las atracciones y todas las repulsiones se compensan mutuamente en el universo. Por consiguiente, la ley de la indestructibilidad y la increabilidad del movimiento cobra, así, la expresión de que todo movimiento de atracción en el universo se ve complementado por un equivalente movimiento de repulsión y viceversa. La suma

de todas las atracciones operadas en el universo es igual a la suma de todas las repulsiones.

Introducción: el movimiento en su sentido amplio, es sencillamente el cambio de posición de un sistema, entendiéndose por este último, una partícula, un cuerpo o un sistema de cuerpos; el sistema al realizar estos cambios, debido a que no son instantáneos, tendrá que hacerse con cierta velocidad y aceleración, para el estudio de estas se tiene la cinemática, ¿pero qué provocó el cambio o los cambios?, ¿cuál fue la o las causas?, es decir, ¿qué dio lugar al movimiento? Se tendrá entonces que definir lo que en mecánica se conoce como fuerza o sistemas de fuerzas, esto es, las causas que producen el movimiento. En esta materia se estudiará el movimiento, sus causas y la forma en que interactúan.

El universo y el mundo están en constante movimiento, y si se percibe el movimiento, es por que existe materia, luego ¿de dónde provienen estos elementos?, es una pregunta que, a través del presente trabajo se buscan resolver, mediante postulados que, en una fundamentación matemática seria, soportar estas ideas y han permitido dar una explicación creíble, de cómo surgió la materia, el movimiento y por tanto, el propio universo.

Mecánica: el fenómeno físico en virtud del cual, un ser material cualquiera, ocupa distintas posiciones en el espacioen el transcurso del tiempo, se llama movimiento, y el estudio de las diversas circunstancias que pueden presentarse en dicho fenómeno, así como el de las causas que real o aparentemente lo producen y modifican, constituye una ciencia, con caracteres físico – matemáticos, que se designa con el nombre de mecánica.

Parte de la física, en la cual se estudia la forma mas simple de movimiento de la materia, el movimiento mecánico, es decir, el movimiento del cuerpo en el espacio y el tiempo. El hecho de que los fenómenos mecánicos transcurren en el espacio y el tiempo se reflejan en cualquier ley mecánica que contenga correlaciones espacio – tiempo, explícitas o implícitas, o sea, distancias e intervalos de tiempo. La posición de un cuerpo en el espacio puede ser determinada solamente en relación a algunos otros cuerpos. Este mismo atañe también al movimiento del cuerpo, es decir, a la variación de su posición en el transcurso del tiempo. El cuerpo (o el sistema de cuerpos inmóviles entre sí) que sirve para determinar la

Figura No 1 Movimiento Espacio – Tiempo (E – T)

posición del que nos interesa, se denomina cuerpo de referencia. Las coordenadas del cuerpo permiten establecer su posición en el espacio.

Def. etimológica: estudio de la acción de las fuerzas sobre la materia. Mechanicus – mekhanikós – mekhané – mékhos – maghos – magh = (medio, dispositivo, recurso) que permite, que hace posible (poder).

Cinemática: movimiento de un cuerpo sin importar las causas que lo producen.

Def. etimológica: kinémat – kínema – kineín = mover .

Dinámica: parte de la mecánica que estudia las causas que provocan el movimiento.

Def.etimológica:Dvnamo – dynamis = fuerza.

Cuerpo rígido: cuerpo que bajo ninguna circunstancia se puede deformar, es decir, la distancia entre dos puntos o partículas permanece invariables.

Es un sistema de puntos materiales, la distancia entre los cuales no varía en el proceso del movimiento. Un cuerpo real se puede considerar rígido, si su deformación es despreciable en las condiciones del problema.

Centro de masas:el centro de masas de un sistema discreto, es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga normalmente se abrevia como CM o G.

En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable. Aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

El centro de masas es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para el análisis físico en los que no es importante considerar la distribución de masa, por ejemplo, en las órbitas de los planetas.

Movimiento: cambio de posición de un cuerpo debido a la acción de una fuerza que altero su estado inicial.

Def. etimológica: movimiento “acción o efecto de mover o moverse, cambio de posición”: del latín movere “mover” del indoeuropeo mew – “empujar”.

Def. filosófica: el movimiento se define generalmente como el cambio de lugar en el espacio, pero este cambio se efectúa en un tiempo y, por tanto, el movimiento se halla determinado por la velocidad y la dirección. El movimiento propiamente dicho se diferencia del cambio en que es sólo un caso especial del cambio en general donde hay aumento y disminución, traslación y alteración. Descartes1estableció el llamado principio de la conservación del movimiento, según el cual la cantidad de movimiento (producto de la masa por la velocidad) es constante, en tanto Leibniz afirmó dicha constancia sólo en lo que se refiere al producto de la masa por el cuadrado de la velocidad.

Causas del movimiento: las causas capaces de producir o modificar el movimiento de un cuerpo material. Se designan con el nombre genérico de fuerzas. En su esencia son estas las causas completamente desconocidas, pero la realidad de sus efectos nos induce a admitir, como cosa cierta, la existencia de un agente especial que en cada caso es el que produce o modifica las circunstancias del movimiento de los seres materiales.

Circunstancias del movimiento: cuando un cuerpo se mueve, decimos en lenguaje ordinario que marcha de prisa o despacio, según sea la mayor o menor rapidez con que se traslada de una a otra posición; esta rapidez o lentitud en cambiar de posición, tiene fácil expresión analítica por el cociente que resulta de dividir los espacios recorridos por los tiempos empleados en recorrerlos: dicho cociente puede adoptar diversas formas, y todas ellas se conocen como velocidad del movimiento.

De las misma forma puede ocurrir que los incrementos positivos o negativos de la velocidad tengan lugar en intervalos de tiempo 2más o menos grandes, y la relación entre aquellos incrementos y estos intervalos, expresará con claridad la propensión a variar de la velocidad de un móvil cualquiera: dicha relación se llama aceleración del movimiento.

Plano de movimiento: es el movimiento de simetría que contiene el centro de masa “G” del cuerpo en movimiento, equidistante siempre de un plano de referencia.

Tipos de movimiento:

Movimiento de traslación

Rectilínea. Todo punto perteneciente al cuerpo sigue una trayectoria rectilínea en el sentido del movimiento

Curvilínea. La orientación de todo segmento rectilíneo sigue siendo invariable pero los distintos puntos no siguen trayectorias rectilíneas

1 Rene Descartes. Filosofo y matemático Frances 2 W. Leibniz

Movimiento de rotación

Centroidal.Una recta del cuerpo. El eje de rotación, está fija. Los puntos que no son del eje recorren trayectorias circulares centradas en el eje. (el eje de rotación atraviesa el centro de gravedad del cuerpo coinciden)

No Centroidal.Las trayectorias que describen los puntos no son círculos concéntricos, debido a que el eje de rotación y el centro de gravedad no coinciden.

Movimiento planar (movimiento plano general). Cada punto de un cuerpo permanece en un plano. Como todos los puntos de recta perpendiculares a un plano tienen igual movimiento, bastará considerar el movimiento en un solo plano.

Combinación de los movimientos de rotación y traslación.

Características de los movimientos:

Traslación rectilínea y curvilínea

A

B

A

B

A

B

rA

rB

rAB

Z

X

Y

A

B

A

B

A

B

A

B

Figura 2movimiento de traslación de un cuerpo rígido, en traslación rectilínea o curvilínea.

De la figura se puede observar que:

rB = rA + rB/A 1

Recuérdese la definición de movimiento, en particular, considérese el hecho de que, el fenómeno observado es dependiente del tiempo, por lo que es posible determinar su velocidad a partir de que:

2

En esta última ecuación se observa que ; esté hecho es claro por la

siguiente razón: como el cuerpo considerado es un “cuerpo rígido”, la distancia entre sus partículas es constante, independientemente del movimiento, por lo que al derivar respecto al tiempo, esto es, al calcular la razón de cambio entre ellos,

entonces, es factible escribir que , luego, se valida la afirmación de que

en un cuerpo rígido en traslación, la velocidad de cada una de sus partículas es la misma. Al derivar de nueva cuenta respecto al tiempo, la ecuación 2, es decir:

3

La expresión 3, afirma como el en le caso anterior, que la aceleración de dos puntos cualesquiera (A, B) es la misma, cuando el cuerpo rígido desarrolla un movimiento de traslación. Al observar en detalle las ecuaciones 2 y 3, es posible establecer los siguientes principios:

1. Un cuerpo rígido en movimiento de traslación (rectilínea o curvilínea); todas sus partículas tienen la misma velocidad y la misma aceleración.

2. Debido a que el cuerpo rígido está referido a un sistema coordenado fijo (X, Y, Z) de referencia, permite establecer que las velocidades y aceleraciones son absolutas (no hay movimiento relativo entre sus partículas).

3. En la traslación rectilínea, los vectores y son colineales; en traslación curvilínea no siempre ocurre esto.

Características:

Trayectorias paralelas.

Distancia entre puntos constantes.

Velocidad y aceleración igual en todos los puntos.

RB = RA + RA/B; derivando respecto a t VB = VA; derivando nuevamente

respecto al tiempo aB = aA

En traslación rectilínea la velocidad y la aceleración son colineales.

En traslación curvilínea la velocidad y la aceleración son nocolineales.

Las velocidades y aceleraciones son absolutas; todas referidas a un sistema fijo de referencia XYZ.

Rotación Centroidal y no Centroidal

Eje de rotación

A

B

Centro de gravedad

Eje de rotación

A

B

Centro de gravedad

Características:

Las trayectorias que describen dos puntos cualesquiera, pertenecientes al cuerpo describen círculos concéntricos, con centro en una recta llamada eje de rotación, que es perpendicular al movimiento.

La velocidad angular determina la rotación de todo el cuerpo, además es perpendicular al eje de rotación.

V = x r; longitud del arco s = r

S = r , dividiendo todo entre t todo

Si t 0 Y

Donde

Y

X

Z

P

S

0

E

En la practica = 0; = cte; cte

La velocidad de cualquier punto de un cuerpo rígido en rotación esta dada por el producto vectorial ; la aceleración angular se obtiene sencillamente al derivar respecto a t la ecuación correspondiente de la velocidad angular.

pero

luego como

se tiene que:

P

0

pero y como

entonces

P

0

X

Y

Z

Dentro del movimiento de rotación, se pueden presentar los siguientes casos:

1) , en la solución de problemas con este tipo de movimiento, se utilizan las siguientes ecuaciones:

2) , se denomina, entonces, movimiento de rotación uniformemente acelerado y las ecuaciones que lo rigen, se obtienen a partir de las ecuaciones fundamentales anteriores:

integrando:

sustituyendo:

si1 = 0;

si se desconoce a y

y

S = r ; dividiendo todo entre t

0

P

S

X

Y

Z

por otro lado si t 0

luego

si0 = 0

3) Si , el movimiento se denomina de rotación uniforme, con = cte.

integrando

si0 = 0;

Observaciones:

1. Todo parámetro cinemático lineal y angular de puntos sobre el eje de rotación es cero.

2. son distintos para cada punto.

3. son respectivamente las mismas.

4. Entre dos elementos en rotación, en el punto de contacto, sin deslizamiento, la velocidad lineal es la misma para ambos.

5. En el caso de la ocurre lo mismo.

6. son distintas.

Movimiento planar

Este tipo de movimiento también es conocido como “movimiento planar”, “movimiento plano caso general”. Tiene la peculariedad de estar compuesto de dos tipos de movimiento que un cuerpo rígido es capaz de efectuar. Esto es, un movimiento de traslación (rectilínea o curvilínea) y un movimiento de rotación (Centroidal o no Centroidal) mismos que se han estudiado en temas anteriores, y se desarrollan de manera simultanea.

Para el estudio del movimiento en el plano de un cuerpo rígido, considérese el siguiente esquema:

Figura No 1 Barra AB con movimiento en el plano

Sea la barra AB, con extremos apoyados en pared y piso lisos respectivamente. Se persigue en este caso, determinar las características del movimiento, así como, los parámetros cinemáticos tanto lineales como angulares que subyacen en el movimiento en el plano de un cuerpo rígido.

Supóngase por un momento que la barra AB se desliza sobre pared y piso (lisos), según se muestra en la siguiente figura.

X

Y

A

B

“G”

Figura No 2 Movimiento de la barra AB

Como puede observarse, el extremo A viaja (se desliza) sobre la pared; y el extremo B, se mueve sobre el piso.

Tal vez en una aseveración un poco aventurada, se puede decir que, el parámetro cinemático asociado al movimiento de los extremos de la barra, es la velocidad que tiene cada uno, puesto que es la primera impresión que causa al ver el movimiento que esta desarrollándose. Entonces, bajo esta premisa, considérese el siguiente esquema:

Figura No 3 Velocidades de los extremos de la barra AB

X

Y

A

B

“G”

X

Y

Como se puede apreciar, y según, nuestra primera impresión, el extremo A viaja con una velocidad en dirección (hacia abajo) negativa de acuerdo a la

convención adoptada. El extremo B viaja con una velocidad en dirección (hacia

la derecha) positiva, de acuerdo, nuevamente a la convención adoptada.

Análisis de las velocidades

Al entrar en detalles del movimiento denominando, las velocidades de los extremos uno y , de manera natural surge la pregunta “inocente” de

establecer ¿cuál de las dos velocidades es mayor o bien si son iguales?. Considérese la barra AB únicamente, como se ilustra en la siguiente figura:

Es posible observar que en apariencia, las dos velocidades son iguales, pues una primera imagen mental del movimiento sugiere que esto ocurra. Pero, antes de definir que exactamente es lo que pasa, obsérvese el tipo de movimiento que adopta la barra. Se afirma desde el inicio de está sección que la barra AB es un ejemplo, muy ilustrativo del movimiento en el plano de un cuerpo rígido, está afirmación tiene varios inconvenientes que habría que eliminar para entender este fenómeno mecánico, en particular, dado el tipo de movimiento y viendo la barra, surgen varias interrogantes; a saber: ¿Si el movimiento de la barra es en el plano, donde puede observarse la traslación, donde la rotación? Y algo por demás importante, ¿Dónde esta la simultaneidad de los movimientos?, se observa que la barra solo viaja con sus extremos en contacto en piso y pared.

Es común que o bien se observe el extremo A o bien el extremo B. Pero también es cierto que al ver el movimiento de la barra en conjunto se puede apreciar algo como lo que se muestra enseguida:

“G”

Explicación: siendo cuidadosos al ver el movimiento de la barra, es posible apreciar que tiene un movimiento “curvo”, esto es, una especie de movimiento de rotación alrededor del centro “G”, y al mismo tiempo se traslada sobre sus extremos en contacto con el piso y pared; ¡esto es precisamente el movimiento en el plano de un cuerpo rígido¡.

Ahora bien, para efectos de determinar las velocidades y aceleraciones hagamos la siguiente fragmentación del movimiento. Para ello se requiere de la buena imaginería del lector además de su buena fe.

Descompongamos el movimiento en dos partes, una fase imaginaría de traslación y una fase imaginaría de rotación, de acuerdo al siguiente orden de diagramas:

Caso 1

G

B

A

Figura Movimiento en conjunto

G

A

G

B

A “Fijo”

B

+ =

Movimiento en conjunto

Fase imaginaría de traslación

Fase imaginaría de rotación

A

B

G

Un lector acucioso podría cuestionar este orden, y presentar ¿por qué tiene que ir a la traslación y rotación en ese sentido?.

No hay problema, hagámoslo en otro orden, digamos así:

caso 2

Como es posible apreciar, en ambos casos (1 y 2) tienen la particularidad de poseer el mismo sentido de rotación, no importando el punto que se determine que quede “Fijo”. Aquí es importante señalar que las fases a que se esta refiriendo, son imaginarías, en la realidad no ocurre así, pues ambas fases ocurren de manera simultanea.

El estudio de las fases permite establecer las ecuaciones para las velocidades de los extremos; como los dos casos son análogos, con estudiar cualquiera de ellos, el otro, es deducible fácilmente.

Analicemos el caso 1 (insistiendo el caso 2 es análogo). Primero la fase de traslación.

Recuérdese que en un movimiento de traslación rectilínea, se presenta el hecho de que todas las partículas viajan con la misma velocidad en la dirección del

G

B

A

G

B

A

G

B “Fijo”

A

= +

G

B

A

G

B

A

=

movimiento, entonces, si viajan con la velocidad todas las demás partículas

viajaran con velocidad , independientemente de cómo se llama la partícula, ver

la siguiente figura.

Figura Fase imaginaría de traslación con velocidad

Para completar el movimiento de la barra, se tendrá que cumplir, la fase de rotación pura que como se sabe, por necesidad se requiere de un punto que permanezca “Fijo” mientras que el otro, “viajara” manteniendo una distancia constante, respecto al fijo. Esto se puede observar en el siguiente diagrama.

Al quedar el extremo A “Fijo” ocurre que el extremo B viajara a su alrededor, describiendo una trayectoria circular, al mismo tiempo se puede decir que ese viaje lo hace con una velocidad que es relativa al punto A. Conocida como velocidad tangencial y denotada como que se lee “la velocidad de B, relativa

al extremo A” o bien “la velocidad de B respecto al extremo A”, independientemente de cómo se diga, lo que esta diciendo es que se esta desarrollando un movimiento de rotación alrededor de A, como una velocidad relativa o también llamada tangencial del extremo B.

A

G

B

A “Fijo”

B

G

Al unir estas dos fases, y observar el extremo B, es posible determinar cuales son las ecuaciones de velocidad para este tipo de movimiento, observe la siguiente figura.

De donde es posible escribir lo siguiente:

Cuyo significado es; la velocidad del extremo B es igual a la suma de un movimiento de traslación, dado que la velocidad , mas un movimiento de

rotación, dado por la .

Entrando mas en detalle: El extremo B posee dos velocidades una y otra la

; esta última como ya se menciono es una velocidad tangencial, cuya

expresión se conoce como:

Para efectos de notación de aquí en adelante, le llamaremos a estos dos

parámetros y , obviamente referidos a esta barra AB. Luego entonces, la

expresión de la velocidad del extremo B queda como:

El otro caso (el caso 2) adquiere una expresión

A “Fijo”

G

Las últimas dos expresiones para y estén constituidas, como se puede ver por dos tipos de movimientos: la que se ha denominado fase de traslación y la fase de rotación. También vale ser reiterativos, las dos etapas del movimiento planar, son simultáneas, no ocurre una antes que otra, no, son al mismo tiempo.

Recapitulando, se tiene que:

o bien

Donde:

Seguramente el lector al ver estas expresiones que definen a cada termino de la ecuación, sin embargo, el problema se reduce con la siguiente consideración, ya hecha:

“El movimiento se desarrolla en el plano” (movimiento planar), lo que permite reducir la “complejidad” de las expresiones anteriores. Es importante señalar que,

en el caso de la velocidad angular , se debe tener especial cuidado por lo

siguiente: según se observo durante el análisis del movimiento de rotación, la es la velocidad angular y se representa mediante una “flecha curveada” que significa y establece el giro y su dirección, pero para efectos de cálculo es importante considerar la expresión que pueda ser aplicada en las operaciones en las que interviene. Así, la velocidad angular es fielmente representada por un vector que se rige por la regla de la “mano derecha” donde: el dedo pulgar indica la dirección del vector y el giro lo establecen los dedos restantes, ver figura

Se solicita la comprensión del lector para no aburrirse con lo expuesto creemos que es importante enfatizar donde es necesario, por ello tanta parafernalia para definir solo algunas “cosas”. En fin, continuando; ahora la expresión para la velocidad del punto B es de la siguiente manera:

¿Alguna Duda?

De la expresión anterior es posible observar lo siguiente:

1. El resultado del determinante resulta ser un vector.

2. De acuerdo con el inciso anterior es posible sumar “ese” vector al vector termino a termino (componente a componente).

3. Por lo establecido en 1 y 2 se concluye que el vector es igual la suma de aquellos dos vectores, por lo que la suma de dos vectores es un vector.

En cualquier problema de movimiento en el plano, donde se solicite el cálculo de estos parámetros cinemáticos (velocidad lineal y velocidad angular) habrá que considerar esta ecuación, al mismo tiempo, buscar una simplificación de la misma a través de la observación del movimiento del elemento que se este analizando, esto último es muy importante, se insiste; observe como se mueve el elemento que se esta estudiando con seguridad indicara una posible ecuación y reducción de términos.

Cálculo de las Aceleraciones:

Otro parámetro que es muy importante en el análisis de cualquier tipo de movimiento, es la aceleración; tanto lineal como angular. A continuación se establecen las expresiones correspondientes para cada una, de la siguiente manera:

Se sabe que:

Entonces

Pero , entonces:

Por último se llega a:

Pero también es posible escribir:

Con toda seguridad el lector acucioso, preguntaría y con justificada razón ¿cómo

fue posible que se haya calculado si se sabe y es claro que ?

En efecto, lo que ocurre es que el vector evidentemente es constante en magnitud, sin embargo, posee el movimiento de la barra, lo que hace que al

derivarlo respecto a t, adquiera la velocidad .

Entonces, se puede observar que la esta formada por dos partes, a saber: la

aceleración de B respecto de A tangencial y la aceleración de B

respecto de A normal .

Este movimiento se caracteriza por que las trayectorias de todos los puntos de un cuerpo rígido son paralelas a un plano determinado; por ello, su estudio se puede llevar acabo analizando una sección del cuerpo paralela a dicho plano, ya que todos los puntos contenidos en una recta normal a ese plano tienen idénticas características cinemáticas.

En las siguientes figuras se ilustra el movimiento plano general.

O

P

Figura X Movimiento Plano General

A la intersección del eje de rotación con el plano del movimiento, se le denomina centro de rotación (CR).

O´

P

Y

X

B

C

A

B

C A

Y Y

X X

Características:

Combinación de los movimientos de traslación y rotación. (movimiento dependiente)

VA = VB + VA/B

aabsoluta = aT + aN

Desplazamiento: cambio de posición de un cuerpo debido a la acción de una fuerza.

Velocidad:es la magnitud física que define la variación de la coordenada en el transcurso del tiempo, depende del intervalo de tiempo en el que la hallemos. También se puede considerar como la rapidez de variación del desplazamiento.

Figura No 3 Donde s es la longitud que recorre el punto P, sobre la trayectoria en

tanto pasa de un punto a otro sobre la misma y r es el vector que une los puntos antes mencionados y al que se lo conoce como desplazamiento lineal de P.

Velocidad media: es el cociente que resulta de dividir la unidad de longitud entre la

unidad de tiempo .

Velocidad instantánea: es el límite del cociente inmediato anterior cuando t tiende

a cero, esto es .

Velocidad absoluta: es cuando el vector velocidad v se traza respecto a un eje fijo de referencia.

r

s

P

Velocidad relativa: es cuando se aprecia el movimiento de un punto o cuerpo respecto a otro punto o cuerpo en movimiento.

Figura No 4 Representación de la velocidad y aceleración absoluta y relativa.

Velocidad angular:esta definida como la rapidez de variación del desplazamiento

angular y esta definida por .

Figura No 5 Representación de la velocidad y aceleración angular.

vOA; aOA

A

B

vA/B; aA/B

vOB; aOB

X O

Aceleración:es la razón de cambio. Describe la rapidez de variación de la velocidad.

Aceleración absoluta: es cuando el vector velocidad a se traza respecto a un eje fijo de referencia.

Aceleración relativa: es cuando se aprecia el movimiento de un punto o cuerpo respecto a otro punto o cuerpo en movimiento.

Aceleración media: para ciertos incrementos de t existen ciertos incrementos de

v, por lo tanto se define . Que representa la variación de la velocidad con

respecto al tiempo.

Aceleración instantánea: es el límite del cociente inmediato anterior, cuando t

tiende a cero, es decir .

Aceleración angular: es la rapidez de variación de la velocidad angular, y se

define por .

Velocidad, aceleración y desplazamiento lineal: cuando una partícula modifica su posición en el espacio, decimos que se desplaza linealmente, aunque se mueva a

lo largo de una línea curva, y las funciones r, v y a nos determinarán, generalmente en función de t, la posición, velocidad y aceleración (lineales) de dicha partícula.

Velocidad, aceleración y desplazamiento angulares: cuando una línea recta gira, independientemente de que se desplace linealmente o no, decimos que se

desplaza angularmente, y las funciones , y nos proporcionarán, generalmente en función de t, la posición, velocidad y aceleración (angular) de dicha línea o segmento rectilíneo.

Trayectoria: línea descrita en el espacio por un punto que se mueve.

Vector: representación gráfica de una magnitud, cuyas características son: magnitud, dirección y sentido.

Sistema de referencia:en mecánica, se considera que es el conjunto de, coordenadas que describen un cuerpo (cuerpo de referencia), las coordenadas cartesianas y al tiempo. Para conocer su ubicación en el espacio – tiempo.

Sistema inercial: es un sistema coordenado en el cual son válidas las leyes de Newton sobre el movimiento.

Sistemas inerciales de referencia:

Principio de inercia: En cinemática, donde sólo se trata la descripción de los movimientos y no se toca el problema de las causas que los provocan, no hay ninguna diferencia de principio entre diferentes sistemas de referencia, y en este sentido todos ellos son equivalentes. Totalmente de otro modo se plantea el problema en dinámica, al estudiar las leyes del movimiento.

En principio se puede tomar cualquiera de la multitud innumerable de sistemas de referencia. Sin embargo, las leyes de mecánica tienen en diferentes sistemas de referencia, diferente forma y puede resultar que en un sistema arbitrario de referencia incluso fenómenos muy sencillos se hacen complejos. Es natural que surja el problema de la búsqueda de un sistema de referencia tal, en el cual las leyes de mecánica sean lo más simples posibles. Evidentemente, este sería el sistema de referencia más cómodo para la descripción de los fenómenos mecánicos.

Revisemos la aceleración de un punto material con relación a cierto sistema arbitrario de referencia. ¿Cuál es la causa de esta aceleración? Esta causa puede ser tanto la acción de algunos cuerpos determinados sobre el punto dado, como también las propiedades del mismo sistema de referencia (la aceleración será diferente respecto a los distintos sistemas de referencia).

Se puede, sin embargo, suponer que existe un sistema de referencia tal, en el cual la aceleración del punto material se determina por completo sólo por su interacción con otros cuerpos. Un punto material libre, no sujeto a la acción de ningún otro cuerpo se mueve rectilínea y uniformemente o, como dicen, por inercia con relación a este sistema de referencia, el cual recibe el nombre de sistema de referencia inercial.

Las observaciones de las aceleraciones de los planetas mostraron el carácter inercial del sistema heliocéntrico de referencia, ligado con el centro del sol y con las estrellas inmóviles.

Cualquier otro sistema de referencia que se mueva de modo uniforme y rectilíneo con relación a un sistema heliocéntrico es también inercial. En realidad, si la aceleración de un cuerpo en el sistema heliocéntrico de referencia es nula, ella es también igual a cero en cualquier otro de estos sistemas de referencia. Los sistemas de referencia que se mueven con aceleración respecto a los sistemas inerciales, se denominan no inerciales.

Centro instantáneo de rotación:cuando un cuerpo rígido describe un movimiento general, en cualquier instante podemos obtener la velocidad de todas y cada una de las partículas del mismo, considerando que (en dicho instante) el cuerpo está girando en torno a un punto llamada centro instantáneo de rotación, o centro instantáneo de velocidad cero (CIR). Si el CIR se localiza en un punto del cuerpo, en el instante analizado, la partícula de éste que coincide con él, tiene velocidad cero.

Eje instantáneo de rotación: sí un cuerpo rígido realiza un movimiento plano, ya sea general o de rotación, en cualquier instante podemos obtener la velocidad de

todas y cada una de las partículas del mismo, considerando que en el instante de interés el cuerpo está girando en torno a un eje llamado eje instantáneo de rotación, o eje instantáneo de velocidad cero (EIR). Este eje necesariamente es perpendicular a los planos en el que se mueven algunas o todas las partículas del cuerpo; si el EIR atraviesa a éste, en el instante analizado, las partículas del mismo que coinciden con el EIR tienen velocidad cero. Si el cuerpo gira alrededor de un eje fijo, este eje y el EIR son colineales.

VA

VB

A

B

CIR EIR

CIR EIR

E E

D D

Centro de masa: es un punto que pertenece a un cuerpo rígido a través del cual actúa la fuerza total del peso. También es un punto en el cual puede imaginarse que está “concentrada” toda la masa del cuerpo.

Centro de gravedad: es un punto donde se concentra la fuerza resultante de las partículas que conforman el cuerpo rígido.

Contactos Deslizantes:

Supongamos que conocemos la velocidad y la aceleración angular de la barra AB y que se quiere determinar la velocidad y aceleración de la barra AC. No podemos utilizar la ecuación para expresar la velocidad del punto A en

función de la velocidad angular AB, por que dedujimos bajo el supuesto de que A y B son puntos del mismo cuerpo rígido. A no es parte de la barra AB, pero se mueve respecto a ella conforme el pasador se desliza por la ranura. Éste es un ejemplo de contactos deslizantes entre cuerpos rígidos. Para ello se tendrán que deducir nuevamente las ecuaciones de movimiento, sin suponer que A es un punto del cuerpo.

Suponemos que el sistema coordenado está fijo al cuerpo y que B es un punto del cuerpo rígido, pero no suponemos que A es un punto del cuerpo rígido. La posición de A respecto a O es:

donde x, y y z son las coordenadas de A en el sistema coordenado fijo al cuerpo. El siguiente paso es derivar respecto al tiempo esta expresión a fin de obtener una ecuación para la velocidad de A. Al hacerlo así reconocemos que los vectores unitarios i, j y k no son constantes ya que giran con el sistema coordenado fijo al cuerpo:

A

B C

¿Cuáles son las derivadas respecto al tiempo de los vectores unitarios?. Podemos considerar el vector unitario i como el vector posición de un punto del cuerpo

rígido, su derivada respecto al tiempo es . Aplicando el mismo

razonamiento a los vectores unitarios j y k obtenemos:

Con lo anterior podemos escribir la ecuación de velocidad del punto A como:

----------- 1

Donde

------------- 2

Es la velocidad de A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo. Esto es,

es la velocidad de A relativa al cuerpo rígido.

La ecuación 1 expresa la velocidad de un punto A como la suma de tres términos, la velocidad de un punto B del cuerpo rígido, la velocidad de A respecto

a B debido a la rotación del cuerpo rígido y la velocidad de A respecto al

cuerpo rígido.

Para obtener una ecuación de la aceleración del punto A, derivamos respecto al tiempo la ecuación 1 y usamos la ecuación 2. El resultado es:

-------- 3

donde

--------- 4

Es la aceleración de A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo.

Los términos y son la velocidad y la aceleración del punto A respecto a un

sistema coordenado sin giro que es fijo respecto al punto O.

Los términos y son la velocidad y aceleración del punto A medidas por un

observador que se mueve con el cuerpo rígido.

Si A es un punto del cuerpo rígido, y son cero, las ecuaciones 1 y 3 son

idénticas a las ecuaciones de velocidad y aceleración del movimiento plano caso general.

En el caso del movimiento bidimensional podemos expresar la ecuación 3 en la forma mas sencilla:

--------- 5

Aceleración de Coriolis:

Si se tiene dos sistemas arbitrarios de referencia K y K´ que se mueven de modo determinado uno respecto al otro. Se conocen la velocidad v y la aceleración w de cierto punto A en el sistema K.

1.- El sistema K´ se mueve progresivamente con relación al sistema K.

Sea que el origen de referencia del sistema K´ en el sistema K se caracteriza por el radio vector r0, y su velocidad y aceleración por los vectores v0 y w0. Si la posición del punto A en el sistema K se determina por el radio vector r y en el sistema K´, por el radio vector r´, es evidente que r = r0 + r´. Sea luego que el punto A realiza en el sistema K, en el intervalo de tiempo dt, el desplazamiento elemental dr. Este desplazamiento se constituye del desplazamiento dr0 junto con el sistema K´ y el desplazamientodr´ respecto al sistema K´, es decir, dr = dr0 + dr´. Dividiendo esta expresión por dt, obtenemos la fórmula siguiente de transformación de la velocidad: v = v0 + v´

Derivando la ecuación anterior respecto al tiempo, encontramos también de inmediato la fórmula de transformación de la aceleración: w = w0 + w´, se deduce, en particular, que cuando w0 = 0; w = w´, es decir, al moverse el sistema K´ sin aceleración respecto al sistema K, las aceleraciones del punto A en ambos sistemas de referencia serán iguales.

2.- El sistema K´ giraa velocidad angular constante alrededor del eje fijo en el sistema K.

Tomemos los orígenes de referencia de los sistemas K y K´ en el punto arbitrario 0 del eje de rotación. Entonces el radio vector del punto A será el mismo en ambos

sistemas de referencia: r r´.

Si el punto A está inmóvil en el sistema K´, esto significa que su desplazamiento dr en el sistema K en el tiempo dt se determina solamente por el giro del radio vector

r al ángulo d (junto con el sistema K´) y es igual, según al producto vectorial [d, r].

Mas si el punto A se mueve respecto al sistema K´ a la velocidad v´, en el tiempo dt se realiza el desplazamiento complementario v´dt y entonces

dr = v´dt + [d, r]

Dividiendo esta expresión por dt, obtenemos la siguiente fórmula de transformación de la velocidad:

v = v´ + [r]

Donde v y v´ son las velocidades del punto A en los sistemas K y K´ de referencia respectivamente.

De acuerdo a la ecuación anterior, el incremento dv del vector v en el tiempo dt en el sistema K debe constituirse de la suma de los incrementos de los vectores v´ y

[r], es decir

dv = dv´ + [, dr]

Calculemos dv´. Si el punto A se mueve en el sistema K´ a v´ = constante, el incremento de este vector en el sistema K se determina sólo por su giro al ángulo

d (junto con el sistema K´) y es igual, como en el caso de r, al producto vectorial

[d, v´]. De esto es fácil convencerse haciendo coincidir el origen del vector v´ con el eje de rotación. Mas si el punto A tiene una aceleración w´ en el sistema K´, el vector v´ recibe en el tiempo dt un incremento complementario w´dt y entonces

dv´ = w´ dt + [d, v´]

Sustituyendo la ecuación anterior y la ecuación de dr en la igualdad dv y dividiendo la expresión obtenida por dt. Como resultado encontramos las siguiente ecuación para la transformación de la aceleración:

w = w´ + 2[v´] + [[r]]

Donde w y w´ son las aceleraciones del punto A en los sistemas K y K´ de referencia. El segundo sumando en el segundo miembro de esta fórmula se llama aceleración de Coriolis (o rotatoria) wcor y el tercer sumando, de aceleración axipetalwax:

1

wcor = 2 [v´], wax = [[r]]

La aceleración w del punto con relación al sistema K es igual a la suma de tres aceleraciones: a la aceleración w´ con respecto al sistema K´, a la aceleración de Corioliswcory a la aceleración axipetalwax.

La aceleración axipetal se puede representar como wax = - 2, donde es el

radio vector perpendicular al eje de rotación y que caracteriza la posición del punto A con relación a este eje.

w = w´ + 2[v´] - 2

1 La aceleración axipetal no se debe confundir con la aceleración normal (centrípeta)

3.- El sistema K´ gira a velocidad angular constante alrededor del eje, que se desplaza progresivamente a velocidad v0 y aceleración w0 respecto al sistema K.

Este caso unifica a los dos anteriores. Introduzcamos el sistema S auxiliar de referencia, ligado rígidamente con el eje de rotación del sistema K´ y se desplaza progresivamente en el sistema K. Sean v y vS las velocidades del punto A en los sistemas S y K de referencia, entonces en correspondencia con v = v0 +

vS.Sustituyendo vS, por la expresión vS = v´ + [r], donde r es el radio vector del punto A con relación a un punto arbitrario en el eje de rotación del sistema K´, obtenemos la siguiente fórmula de transformación de la velocidad:

v = v´ + v0 + [r]

De modo análogo, encontramos la fórmula de transformación de la aceleración:

w = w´ + w0 + 2[v´] – 2

En las dos últimas fórmulas v, v´ y w, w´ son las velocidades y las aceleraciones del punto A en los sistemas K y K´ de referencia, respectivamente, v0 y w0 son la velocidad y la aceleración del eje de rotación del sistema K´ en el sistema K, r es el radio vector del punto A respecto al punto arbitrario en el eje de rotación del

sistema K´, es el radio vector perpendicular al eje de rotación y que caracteriza la posición del punto A respecto a este eje.

Para obtener y analizar el concepto de aceleración de Coriolis, considere una

partícula P móvil, desplazándose respecto del origen O de un sistema coordenado x, y, z ubicado sobre un cuerpo rígido acelerado, cuyo movimiento esta referido respecto a un sistema de referencia fijo X, Y, Z; como se ilustra en la figura ().

Principio de la relatividad de Galileo: para los sistemas inerciales de referencia es justo el principio de relatividad, según el cual todos los sistemas inerciales son equivalentes uno a otro por sus propiedades mecánicas. Esto significa, que con ningún experimento mecánico, realizado <<dentro>> del sistema inercial dado, se puede establecer si este sistema de referencia está en reposo o se mueve. Las propiedades del espacio y el tiempo son iguales en todos los sistemas inerciales de referencia, como son también iguales todas las leyes de mecánica.

Este principio es una generalización de la experiencia y se confirma por toda la diversidad de las aplicaciones de la mecánica clásica al movimiento de los cuerpos, la velocidad de los cuales es considerablemente menor que la de la luz.

Transformaciones de Galileo: sea que el sistema inercial K´ se mueve a la velocidad v en relación a otro sistema inercial K. Elegimos los ejes de coordenadas x´, y´. z´ del sistema K´, pero de forma que los ejes x´ y x coincidan entre sí y estén dirigidos a lo largo del vector V. Tomando como origen de

referencia el momento de tiempo cuando los orígenes de coordenadas O´ y O coincidan, escribimos la correlación entre radios vectores r´ y r de un mismo punto A en los sistemas K´ y K: r´ = r – vt; y, además t´ = t.

Se sobreentiende que la longitud de los segmentos y la marcha del tiempo no dependen del estado del movimiento y, por consiguiente, son iguales en ambos sistemas de referencia. La suposición sobre el carácter absoluto del espacio y el tiempo se encuentra en la propia base de las nociones de la mecánica clásica, de las nociones fundamentales en la vasto material experimental que se refiere al estudio de los movimientos a velocidades, considerablemente menores que la de la luz.

Las ecuaciones anteriores son llamadas transformaciones de galileo. En las coordenadas estas transformaciones tienen la forma:

x´ = x – vt; y´ = y; z´ = z; t´ =t

Al diferenciar la primera ecuación respecto al tiempo, encontramos la ley clásica de transformación de la velocidad del punto durante el paso de un sistema inercial de referencia a otro: v´ = v – V

Diferenciando esta expresión según el tiempo, teniendo en cuenta que V = constante, obtenemos w´= w, es decir, la aceleración del punto es igual en todos los sistemas inerciales de referencia.

x x´

z´

z

O O´

vt

r´ r

A y´

K´

y

K

Aceleración de Coriolis:

Si se designa por , la posición de la partícula P respecto del origen del sistema

de referencia fijo X, Y, Z. Por la posición del origen O del sistema cuerpo x, y, z, respecto del origen O del sistema de referencia fijo X, Y, Z, por . La posición

relativa de la partícula P respecto del origen del sistema cuerpo, se obtiene:

La posición , la velocidad y la aceleración de la partícula P, respecto al sistema fijo X, Y, Z, se expresan:

Z

Y

X

O

y

z

x

P

El movimiento de P en función del movimiento medido en el sistema x, y, z, es:

Donde las direcciones de los vectores unitarios son conocidas con

respecto al sistema fijo, derivando la ecuación anterior:

donde:

sustituyendo:

El termino es la velocidad de P, medida en relación al cuerpo, por lo

que se llama velocidad relativa , luego:

Para obtener la aceleración de la partícula P

El termino se llama aceleración relativa de P, respecto al sistema en el

cuerpo, sustituyendo la notación correspondiente:

En la ecuación anterior, los tres primeros términos representan la aceleración de un punto unido al sistema en el cuerpo, coincidiendo con P en cualquier instante, es decir, para un punto fijo en el sistema en el cuerpo, resulta.

El termino se conoce como ACELERACIÓN DE CORIOLIS.

(Introducción a la Física; A. I. Kitaigorodski; edit. MIR, 1975)

El científico francés CORIOLIS demostró por medio de cálculos que, con respecto

a un sistema que se mueva con la velocidad angular , un cuerpo con movimiento

rectilíneo y uniforme de velocidad v tendrá una aceleración igual a 2vsen,

donde es el ángulo comprendido entre el eje de rotación y la dirección del movimiento rectilíneo. En estas condiciones el vector aceleración tiene dirección perpendicular al plano que pasa por el eje de rotación y por la dirección de la velocidad. Para elegir una de las dos direcciones posibles de la aceleración se puede utilizar la regla siguiente: si se mira a lo largo del eje de rotación de modo que se vea ésta en sentido contrario al de las manecillas del reloj y se coloca la mano izquierda con la palma hacia abajo, poniendo los dedos en la dirección del movimiento rectilíneo, el dedo pulgar indicará la dirección de la aceleración.

La aceleración de Coriolisac actúa sobre todos los cuerpos que se mueven por la superficie de la tierra. Si se mira el eje de la esfera terrestre desde la parte del polo norte, la rotación de ésta tiene sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por lo tanto, cualquier cuerpo que se mueva en el hemisferio norte rectilíneamente con respecto a una sistema inercial, se desviará hacia la derecha en la dirección del movimiento (o hacia la izquierda del hemisferio sur) para un observador que se halle en la tierra. Esta desviación puede ser mayor o menor en dependencia de la dirección que tenga el movimiento con relación al eje y de la velocidad lineal del mismo.

La desviación de los cuerpos puede tener lugar tanto en el plano horizontal como en el vertical (con respecto a la superficie de la tierra). La aceleración de Coriolis está dirigida perpendicularmente al eje de la tierra; por esto la desviación que tiene lugar en el plano horizontal es máxima en el polo e igual a cero en el ecuador. En el caso de la desviación en el plano vertical ocurre lo contrario. Las desviaciones en estos dos planos se caracterizan por las correspondientes proyecciones del vector aceleración. Así, la proyección de la aceleración de un cuerpo en el plano horizontal será igual a:

Donde es la latitud. En el hemisferio norte esta proyección está dirigida hacia la derecha siguiendo el movimiento.

La desviación del camino rectilíneo de los cuerpos que se mueven en el plano horizontal se manifiesta en el derrubio por los ríos de sus orillas derechas según la corriente en el hemisferio norte y de sus orillas izquierdas en el hemisferios sur. Por esta misma causa los ríos rodean los obstáculos por la derecha en el hemisferio norte y por la izquierda en el hemisferio sur.

Las masas de aire que afluyen a una región de baja presión se desvían de la dirección radial hacia la derecha en el hemisferio norte (y hacia la izquierda en el sur) y originan ciclones. Por lo tanto, en el hemisferio norte los ciclones transportan las masas de aire en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y en el sur, al contrario.

La existencia de la desviación vertical hace que un cuerpo al caer siga no exactamente la vertical, sino que se desvíe de occidente a oriente (la tierra gira de occidente a oriente, es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj si se mira desde la parte del polo norte).

Fuerza: causa física que modifica el estado del movimiento de los cuerpos y que se produce como resultado de la interacción de dos cuerpos.

Tipos de fuerzas:

Fuerza de atracción de la gravedad: actúa entre dos puntos materiales, es proporcional al producto de las masas de los puntos m1 y m2, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos r y esta dirigida por la recta que une estos puntos

donde es la constante de gravitación

Fuerza de Coulomb: que actúa entre dos cargas puntuales q1 y q2,

donde r es la distancia entre las dos cargas, k es un coeficiente de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegido. A diferencia de la fuerza de gravitación, la de Coulomb puede ser tanto de atracción, como de repulsión. La ley de Coulomb deja de cumplirse exactamente si las cargas se mueven.

Fuerza de gravedad homogenea:

donde m es la masa del cuerpo, g es la aceleración de la fuerza de gravedad

Fuerza elástica: es una fuerza proporcional al desplazamiento del punto material de la posición de equilibrio y está orientada hacia esta posición

donde r es el radio vector que caracteriza el desplazamiento de la partícula de la posición de equilibrio; x es un coeficiente positivo que depende de las propiedades (elásticas) de una u otra fuerza concreta.

Fuerza de rozamiento de deslizamiento: es la que surge durante el deslizamiento dado por la superficie de otro

donde k es el coeficiente de rozamiento de deslizamiento que depende de la naturaleza y del estado de las superficies en contacto (en particular de la rugosidad); Rn es la fuerza de la presión normal que aprieta las superficies en rozamiento una con otra. La fuerza F está dirigida en sentido contrario a la dirección del movimiento del cuerpo dado en relación al otro.

Fuerza de resistencia: actúa en el cuerpo durante su movimiento de traslación en un gas o un líquido. Esta fuerza depende de la velocidad del cuerpo v respecto al medio, estando dirigida en sentido inverso al vector v:

donde k es un coeficiente positivo, característico para el cuerpo y el medio dados. Este coeficiente depende, de la velocidad v, pero sin embargo, a velocidades pequeñas se puede considerar en muchos casos prácticamente constante.

Momentos de inercia:Inercia rotacional representa la inercia de un cuerpo a rotar; es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido; es una magnitud que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas, respecto de un eje, en un movimiento de rotación. El momento de inercia no depende de las fuerzas que intervienen, sino de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro.

El momento de inercia de una partícula respecto a una recta viene definido

por , siendo m la masa de la partícula y r su distancia a la recta. El momento de inercia de un sistema de partículas se define como la suma de los momentos de inercia de las distintas partículas. O sea:

---------- 1

Para un sistema formado por n partículas de masas m1, m2, …, mn, situadas a distancias r1, r2, …, rn de la recta, respecto a la cual se toma el momento de inercia.

Es evidente que el método de descomposición es aplicable a los momentos de inercia. Así, si un sistema se divide en dos partes, cuyos momentos de inercia son I1 e I2, el momento de inercia del sistema completo es:

--------- 2

Es conveniente definir una longitud k denominada radio de giro. Si un sistema de masa total m, tiene un momento de inercia I el radio de giro k está definido por la ecuación:

------------ 3

Si el sistema está formado por una sola partícula, es evidente que el radio de giro respecto a cualquier recta es simplemente la distancia hasta ellas.

En el caso de una distribución continua de materia, la definición (1) se transforma en:

------- 4

En la que el signo de integración indica el límite de un proceso, por el cual el sistema se ha dividido en un gran número de partes muy pequeñas, y se obtiene la suma; dm es la masa de un elemento infinitesimal y r su distancia a la recta, respecto a la cual se determina el momento de inercia.

Las dimensiones del momento de inercia son y vendrá medido en g

cm2, en el sistema cgs, y en lb pie2, en el fps. El cuadrado del radio de giro

tiene las dimensiones [momento de inercia]/[masa], o sea , esto es

[L2]. El radio de giro es por tanto una longitud.

Inercia:La inercia mecánica es la tendencia de los cuerpos a mantener el estado de movimiento o reposo en el que se encuentran. El cual no se modifica a menos que actúen fuerzas externas sobre su masa. También puede considerarse la inercia como la tendencia de los cuerpos a mantener su estado, sea de reposo o de movimiento, hasta que una fuerza externa modifique dicho estado. Existen dos tipos de inercia mecánica:

Inercia traslacional, relacionada con la masa total de un cuerpo.

Inercia rotacional, relacionada con la distribución de la masa de un cuerpo en torno a su centro de masas.

En la siguiente figura el elemento de masa representativo dm tiene las coordenadas generales de posición x, y, z.

Experimentalmente se observa que es distinto hacer girar objetos alrededor de diferentes ejes y que ello depende de cómo esté distribuida la masa respecto al eje de giro.

El momento de inercia es, entonces, masa rotacional, depende también de la distribución de masa del objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia.

Los momentos de inercia intervienen en casi todas las ecuaciones de la dinámica del cuerpo rígido. También se observa que un cuerpo gira más fácilmente alrededor de un eje que pase por su centro de masas, y aún mas si dicho eje es un eje de simetría. Los ejes de simetría de un cuerpo geométrico se llaman eje principales de inercia. Respecto a ellos, el momento de inercia de un cuerpo es menor que respecto a otros ejes y su facilidad de giro, mayor. Si aumenta la

distancia al eje, el momento de inercia también aumentará, con lo que disminuirá la facilidad de giro.

Momentos de inercia de una masa.

Cuando queremos calcular el momento de inercia de una masa (sistema continuo) respecto de un eje, lo que primero que tenemos que hacer es dividir la masa en

trozos infinitesimales dm, donde dm podrá ser: dm = . dv si la masa está

distribuida en un volumen, dm = . ds si la masa está distribuida en una

superficie, dm = . dl si la masa está distribuida en una longitud.

Dependiendo del sistema que tengamos, las integrales podrán ser simples, dobles o triples, pero incluso, en el peor de los casos, siempre es posible simplificar las integrales eligiendo convenientemente los elementos infinitesimales de masa dm. Por norma, tomaremos siempre diferenciales de masa tales que todos los puntos se encuentren a la misma distancia del eje respecto del cual queremos calcular el momento.

Radio de giro de una masa.

Teniendo en cuenta que las unidades del momento de inercia son Kg. . m2, se puede expresar el momento respecto de un eje como el producto de una masa por una distancia al cuadrado. Está se llama radio de giro y representa la distancia a la que se debería concentrar toda la masa de manera que el momento de inercia fuese el mismo que el del cuerpo respecto de ese eje.

Y

b

x a

dx

X

Es importante señalar que el radio de giro no coincide con la distancia respecto del eje de giro a la que se encuentra el centro de masa del sólido en cuestión, sino que ésta es siempre menor que el radio de giro.

Principio de D’Alembert:

Este principio es aplicable a problemas de movimiento de una partícula, de un sistema de partículas y de un cuerpo rígido. Pudiéndose enunciar lo siguiente:

Si al sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo móvil cualquiera P, le

adicionamos un vector - ma, llamado vector de inercia, tal que m es la masa de

P, en tanto que a es la aceleración con que se mueve dicha partícula, se obtiene como resultado, en cualquier instante, a un conjunto de vectores en equilibrio.

Entonces, el modelo matemático correspondiente a este principio es:

Ecuación correspondiente con la ecuación:

Ya que, si en ambos miembros de ésta adicionamos al vector - ma, obtenemos:

Para resolver problemas que por sus características pueden ser resueltos empleando el principio de D´Alembert, luego de hacer el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) correspondiente a la partícula en estudio, hay que adicionar en ese D.C.L.

a un vector de magnitud igual al producto (m)a y de sentido contrario al vector

a, de modo tal que al conjunto de vectores obtenidos se le aplique el principio

mencionado, mismo que haciendo F + (- ma) = V.

La expresión anterior puede escribirse de diferentes formas; por ejemplo, para estudiar el movimiento de partículas que describen trayectorias planas,

expresando a V en función de sus componentes vectoriales sobre los ejes x e y del plano que contenga a la trayectoria descrita del móvil.

Expresando a V en función de sus componentes vectoriales normal y tangencial, la ecuación queda de la siguiente forma:

Supongamos que hay un sistema compuesto de n puntos materiales. Elijamos un punto cualquiera del sistema de masa mk. Bajo la acción de fuerzas externas e

internas y aplicadas al punto (entre las cuales figuran las fuerzas activas y

las reacciones de las ligaduras) éste recibe una cierta aceleración k respecto del sistema de referencia móvil.

Introduzcamos en el análisis la magnitud

-------- 1

Que tiene dos dimensiones de una fuerza. La magnitud vectorial cuyo módulo es igual al producto de la masa del punto por su aceleración y dirigida en sentido opuesto a esta aceleración, se llama fuerza de inercia del punto.

Entonces, resulta que el movimiento del punto posee la siguiente propiedad

general: si en cada momento de tiempo a las fuerzas y que actúan

efectivamente sobre un punto se les añade la fuerza de inercia , el sistema

obtenido estará equilibrado, es decir, se tendrá:

---------- 2

Esta ecuación expresa el Principio de D´Alembert para un punto material. Se ve fácilmente que éste es equivalente a la segunda ley de Newton y viceversa. En efecto, la segunda ley de Newton para el punto que se estudia da

. Pasando aquí el miembro a la parte derecha de la

igualdad y teniendo en cuenta la notación obtenemos la ecuación anterior. Y al

contrario, pasando en la igualdad el término al otro miembro de la igualdad y

teniendo en cuenta la primer ecuación, obtenemos la expresión de la segunda ley de Newton.

Repitiendo los razonamientos hechos más arriba respecto de cada punto del sistema llegaremos al resultado siguiente que expresa el Principio de D´Alembert para un sistema: si en todo momento de tiempo a cada punto del sistema, además de las fuerzas externas e internas que actúan efectivamente sobre éste, se le aplican las fuerzas de inercia D´Alembert correspondientes, el sistema de fuerzas obtenido se encontrará en equilibrio y se le podrán aplicar todas las ecuaciones de estática.

El principio de D´Alembert se expresa matemáticamente por medio de un sistema de n ecuaciones vectoriales del tipo (2) que son evidentemente equivalentes a las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema. Por consiguiente, con ayuda

del principio de D´Alembert se pueden obtener las ecuaciones generales de la dinámica.

La importancia del principio de D´Alembert consiste en que durante su aplicación directa a los problemas de dinámica, las ecuaciones del movimiento del sistema adquieren la forma de las ecuaciones de equilibrio que son bien conocidas; esto facilita la resolución de problemas y habitualmente simplifica mucho los cálculos correspondientes.

Al utilizar el principio de D´Alembert es necesario tener en cuenta que éste, como ley fundamental de la dinámica, se refiere al movimiento respecto de un sistema de referencia inmóvil. En este caso, sobre los puntos del sistema mecánico cuyo

movimiento se estudia, actúan solamente las fuerzas externas e internas y

surgidas como resultado de las acciones mutuas de los puntos del sistema entre sí, así como con los cuerpos que no pertenecen a este sistema. Bajo la acción de tales fuerzas los puntos del sistema se desplazan con la aceleración correspondiente . Las fuerzas de inercia, mencionadas en el principio de

D´Alembert, no actúan sobre los puntos en movimiento de lo contrario, según las ecuaciones (2) estos puntos se encontrarían en reposo o se moverían sin aceleración alguna y, en este caso, de acuerdo con la igualdad (1) no habría fuerzas de inercia. La introducción de las fuerzas de inercia es un procedimiento que permite componer las ecuaciones de la dinámica con ayuda de los métodos mas sencillos de la estática.

Se sabe que en estática, la suma geométrica de las fuerzas que se encuentran en equilibrio y la suma de sus momentos respecto de un centro cualquiera O son iguales a cero, esto es valido para las fuerzas que actúan no solamente sobre un cuerpo sólido, sino también sobre un sistema variable cualquiera. Entonces, según el principio de D´Alembert se debe tener:

--------- 3

introduciendo la notación:

----------- 4

Las magnitudes y son respectivamente el vector principal y el momento

principal de las fuerzas de inercia respecto del centro O del sistema. Como resultado, teniendo en cuenta que la suma geométrica de las fuerzas internas y la suma de sus momentos son iguales a cero, de la igualdad (3), obtenemos:

----------- 5

La aplicación de las ecuaciones (5), las cuales son corolarios del principio de D´Alembert, simplifica el proceso de la resolución de problemas, por que estas

ecuaciones no contienen a las fuerzas internas. En efecto, las ecuaciones (5) son equivalentes a las ecuaciones que expresan los teoremas de la variación de la cantidad de movimiento y del momento principal de la cantidad de movimiento del sistema y se distinguen de éstas solamente por la forma.

Es particularmente cómodo utilizar las ecuaciones (5) durante el estudio del movimiento de un cuerpo sólido o de un sistema de cuerpos sólidos. Para el estudio completo del movimiento de un sistema variable estas ecuaciones son insuficientes.

Para las proyecciones sobre los ejes coordenados las igualdades (5) nos dan ecuaciones análogas a las ecuaciones correspondientes de la estática. Para utilizar estas ecuaciones durante la resolución de problemas hace falta conocer la expresión del vector principal y del momento principal de las fuerzas de inercia.

Consideremos una partícula de masa m que tiene, en un cierto instante, la aceleración a. El vector ma es la <<fuerza efectiva>> que actúa sobre la partícula, y el vector – ma es denominado <<fuerza efectiva inversa>>. Consideremos ahora un sistema (S) de n partículas en movimiento; la fuerza efectiva inversa de la partícula i será – miai. Siguiendo el mismo esquema mental de este sistema, imaginemos otro (S´) tal que las partículas estén en reposo en las mismas posiciones que se tienen en un instante en S. Supongamos que actúe sobre el sistema estático S´ una serie de fuerzas reales, idénticas a las fuerzas efectivas inversas de S. Ahora bien, por las ecuaciones de movimiento de las partículas en S, tenemos:

En la que Fi es la fuerza real sobre la partícula i de S. De aquí se deduce que S´ está en equilibrio estático, puesto que la fuerza total sobre cada partícula es igual a cero. El principio de D´Alembert se enuncia así: las fuerzas efectivas inversas y las fuerzas reales dan, juntas, equilibrio estático.

Para la resolución de problemas en dinámica plana, introducimos un plano fundamental al cual es paralelo el movimiento. Puesto que las fuerzas internas son plano – equipolentes a cero, se sigue que las fuerzas externas, junto con las fuerzas efectivas inversas forman un sistema plano – equipolente a cero. Esto significa que el vector suma y el momento se anulan.

El establecimiento del principio de D´Alembert puede dar la impresión de que reduce la dinámica a estática. Esto es parcialmente cierto en el sentido de que comprende solamente las condiciones de equilibrio estático. Sin embargo, debe recordarse que en las fuerzas efectivas inversas entran las derivadas de las coordenadas y que, por tanto, las condiciones de equilibrio estático, en las que entran estas fuerzas, son realmente las ecuaciones diferenciales del movimiento.

Para determinar el movimiento por la acción de unas ciertas fuerzas, deben resolverse estas ecuaciones diferenciales, problema mas bien dinámico que estático. Por otra parte, si el movimiento es conocido, el principio de D´Alembert nos permite la utilización de los métodos de la estática para determinar las fuerzas que obran sobre el sistema.

Segunda ley de Newton para sistemas torsionales: (System Dynamics; KatsuhikoOgata; edit Prentice Hall, 1978)

La segunda ley de Newton establece que para un cuerpo Rígido en rotación pura alrededor de un eje fijo:

Donde T, es la sumatoria de todos los torques actuando alrededor del eje fijo, J

es el momento de inercia de un cuerpo alrededor del eje, y , es la aceleración angular.

Movimientos (dinámicos):

Retomemos nuevamente el problema del palo es escoba (príncipe azul) considerando las reacciones (rA y rB) que aparecen por el hecho de apoyar el palo de escoba sobre las superficies (piso y pared) y el peso del palo de escoba (príncipe azul).

Dado que, el piso y la pared se consideran lisos, las reacciones en A (AY) y el B (BX) se desprecian. Ver figura siguiente.

X

Y

A

B

“G”

AY

BX

BY

AX

Diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) nótese que solo aparecen las fuerzas inherentes al movimiento, puesto que el hecho de que la pared y piso son lisos, las componentes de las fuerzas en AY y BX valen cero.

Diagrama inercial, el movimiento que se observa en general es de la barra, en particular el del punto “G”, que es el centro de masa de la propia barra.

Para apreciar toda la dinámica subyacente es necesario igualar los dos diagramas anteriores, para ver la correspondencia entre las fuerzas externas y fuerzas efectivas (Principio de D´Alembert y segunda ley de Newton).

maGX

maGY

BY

AX

W

Las fuerzas externas que actúan sobre la barra son: las reacciones debidas por el piso y la pared, además del propio peso de la barra, así mismo los momentos externos son los provocados por estas fuerzas referidas hacia el punto “G” (centro de masa) de la barra.

Las fuerzas efectivas son aquellas que aparecen cuando el movimiento se esta desarrollando.

Considerando el Principio de D´Alembert y la segunda ley de Newton, se tiene que:

, por lo tanto:

BY

AX

W

maGX

maGY

=

BY

AX

W

“G” D´

D

Leyes de Newton:

Primera ley de Newton:

Un cuerpo permanece en estado de reposo o con velocidad constante (aceleración cero) cuando ninguna fuerza externa no actúa sobre de él.

Segunda ley de Newton:

La variación respecto del tiempo de la cantidad de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza que actúa sobre del mismo. La cantidad de movimiento se define como MV, donde M es la masa del cuerpo y v el vector velocidad, de modo que:

De la ecuación anterior podemos concluir que M es constante.

Tercera ley de Newton:

Siempre que dos cuerpos interaccionan, F21 que el primer cuerpo ejerce sobre el segundo es igual y opuesta a la fuerza F12 que el segundo ejerce sobre el primero.

Esta ley es la base para la conservación de la cantidad de movimiento, las dos fuerzas F21y F12 actúan en cuerpos diferentes y en la aplicación de la segunda ley de Newton a un cuerpo particular es sólo la fuerza sobre este cuerpo la que debe

de considerarse. La fuerza igual y opuesta influye sólo sobre el movimiento del otro cuerpo.

En particular solo trabajaremos con la segunda ley de Newton, ya que es la que nos involucra el movimiento del cuerpo.

Dinámica:

Recuérdese, DINAMICA, estudia el movimiento considerando las causas que lo producen, de este modo es importante señalar que para su estudio se requiere analizarel tipo de movimiento que se desarrolla por acción de fuerzas y/o momentos aplicados al cuerpo rígido, entonces, es necesario clasificar los tipos de movimiento que se pudiesen generar, dentro de lo que se tienen:

Movimiento de Traslación.

Movimiento de Rotación.

Movimiento Plano general.

Movimiento de Rotación No Centroidal.

Ahora, las fuerzas y momentos externos totales que pudiesen actuar sobre un cuerpo rígido,tendrán que estar referidos a algún punto en particular. Aquí es necesario considerar que sin perdida de generalidad cualquier punto es susceptible de ser considerado para este efecto, sin embargo la mayoría de las veces se refiere al centro de masas G. Se insiste, puede ser cualquier punto bajo la premisa de que tanto en un lado de las ecuaciones de fuerzas y momentos como en el otro sea el mismo.

Lo anterior se expresa matemáticamente como:

Movimiento de traslación:

Si un cuerpo rígido está en traslación, para poder determinar su movimiento sólo es necesaria la segunda ley de Newton. No hay movimiento de rotación que determinar. Sin embargo, puede ser necesario tener que aplicar la ecuación de

movimiento angular para determinar fuerzas o pares desconocidos. Como = 0, establece que el momento total respecto al centro de masa es igual a cero:

.

Movimiento de Rotación:

En el caso del movimiento de rotación, solo se necesita la ecuación:

, para determinar el movimiento de rotación, aunque también se

puede necesitar la segunda ley de Newton para determinar fuerzas o pares desconocidos.

Movimiento plano general:

Si un cuerpo rígido está sometido a traslación y rotación, es necesario usar la segunda ley de Newton y la ecuación de movimiento angular. Si el movimiento del centro de masa y el movimiento de rotación no son independientes, por ejemplo cuando un cuerpo rueda, se encontrará que hay más incógnitas que ecuaciones de movimiento. En tales casos, se pueden obtener ecuaciones adicionales relacionando la aceleración del centro de masa con la aceleración angular.

a

O

a

Movimiento de Rotación No Centroidal:

El movimiento de un cuerpo rígido que está restringido a girar alrededor de un eje fijo que no pasa por su centro de masa se denomina “Rotación No Centroidal”. El

centro de masa G del cuerpo se mueve a lo largo de un círculo de radio r centrado en el punto O, donde el eje de rotación intersecta al plano de referencia.

Al denotar, respectivamente, por y la velocidad angular y la aceleración angular de la línea OG, se obtienen las siguientes expresiones para las componentes tangencial y normal de la aceleración de G.

De acuerdo con el teorema de los ejes paralelos, se tiene , donde

denota el momento de inercia del cuerpo rígido alrededor del eje fijo. Por lo

tanto:

La ecuación anterior expresa una relación importante entre la suma de los momentos de las fuerzas externas alrededor del punto fijo O y el producto , es

necesario que esta ecuación no significa que el sistema de fuerzas externas es equivalente a un par de momento . El sistema de fuerzas efectivas y, por lo

tanto, el sistema de fuerzas externas, se reduce a un par sólo cuando O coincide con G (esto es cuando la rotación es Centroidal). En el caso más general de rotación no Centroidal, el sistema de fuerzas externas no se reduce a un par.

Un caso particular de rotación no Centroidal es de suma importancia, el caso de

rotación uniforme, en el cual la velocidad angular es constante, puesto que es cero, el par de inercia se anula y el vector de inercia se reduce a su componente normal. Esta componente (denominada fuerza centrifuga) representa la tendencia del cuerpo rígido a apartarse del eje de rotación.

Teorema de los ejes paralelos o Teorema de STEINER:

El momento de inercia de la masa de un cuerpo plano, respecto a un eje paralelo al Centroidal, es igual al momento de inercia Centroidal de la masa del cuerpo considerado, más el producto de dicha masa, por el cuadrado de la distancia que separa a los ejes.

Los ejes centroidales paralelos Y – Y yY´ - Y´ se encuentran separados d unidades. Al tomar momentos con respecto al eje Y´- Y´ se tiene que:

Vale decir que la razón es que, este es la suma de

los momentos respecto a “G”, luego:

es el momento de inercia respecto a un eje paralelo al Centroidal.

Diagrama de Cuerpo Libre:

El diagrama de cuerpo libre es el concepto abstracto o modelo ideal de un cuerpo aislado que nos permite observar por medio de la representación lo que está experimentando realmente dicho cuerpo en un instante dado y para una posición determinada, dentro de los campos de la dinámica o de la estática. Si se trata de está última, el diagrama de cuerpo libre deberá mostrar con claridad todas las fuerzas que están actuando sobre el cuerpo considerado, sin indicar jamás las

y

x

G

dm

Y

X

d

Y´ Y

Y´

fuerzas con que reacciona éste sobre los demás cuerpos. Si se trata de la primera, aparte de mostrar todo lo anterior como en la estática; deberá agregarse al diagrama conocido el de las fuerzas efectivas (pares efectivos y fuerzas efectivas), dependiendo del tipo de movimiento (traslación, rotación o movimiento plano general).

Resulta interesante hacer notar, que los diagramas de cuerpo libre de la dinámica (diagrama de cuerpo libre de las fuerzas exteriores y el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas efectivas) están en función del tiempo y por lo tanto sólo tienen validez en un instante dado y para una posición determinada.

Los diagramas de cuerpo libre de la estática no están en función del tiempo.

Todos los problemas de la mecánica, para su correcta solución, deberán de analizarse invariablemente a través de dos fases irreversibles: 1era fase, Análisis cualitativo; 2da fase, Análisis cuantitativo.

El primero comprende una metodología ordenada del conocimiento que no puede fallar; el segundo sólo es concluyente y siempre dependiente del primero.

El diagrama de cuerpo libre constituye la parte más intrínseca del análisis cualitativo; es decir, los mejores diagramas de cuerpo libre sin una metodología ordenada del conocimiento, no tienen sentido alguno. Hablar del diagrama de cuerpo libre es hablar de análisis cualitativo.

Fricción:

Se define como fuerza de rozamiento o fuerza de fricción entre dos superficies en contacto a la fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre la otra (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción estática). Se genera debido a las imperfecciones, especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza entre ambas superficies no sea perfectamente perpendicular a éstas, sino que forma un ángulo φ con la normal (el ángulo de rozamiento). Por tanto, esta fuerza resultante se compone de la fuerza normal (perpendicular a las superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela a las superficies en contacto.

Características de la fuerza de fricción o rozamiento:

La fuerza de rozamiento se encuentra en la dirección de la superficie de apoyo.

El coeficiente de rozamiento es prácticamente independiente del área de la superficie de contacto.

El coeficiente de rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, así como del estado en que se encuentren sus superficies.

La fuerza máxima de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza normal que actúa entre las superficies de contacto.

Para un mismo par de cuerpos, el rozamiento es mayor un instante antes del movimiento que cuando se está en movimiento.

Existen dos tipos de rozamiento o fricción, la fricción estática y la fricción dinámica. El primero es una resistencia, la cual se debe superar para poner movimiento un cuerpo con respecto a otro que se encuentra en contacto. El segundo, es una fuerza de magnitud constante que se opone al movimiento una vez que éste ya comenzó.

Para el caso en que un cuerpo se encuentra en “Rodadura sin deslizamiento” las ecuaciones:

Funcionan de acuerdo con los siguientes criterios:

1. Si F <S N Existen rodadura pura, sin deslizamiento, F puede tener cualquier valor y se puede calcular independiente de N.

2. Si F = S N El cuerpo esta a punto de deslizarse, las ecuaciones: , funcionan y esta fase es llamada,

fase de traslación o crítica.

3. Si F >S N El cuerpo rueda y se desliza, las ecuaciones anteriores no funcionan , por lo que se calculan por separado y

sustituir S porK.

Donde:

FMAX = S N: Fuerza de rozamiento máxima.

S: Coeficiente de rozamiento estático.

K: Coeficiente de rozamiento dinámico.

F: Fuerza de rozamiento independiente de .

Principio de trabajo y energía:

En el caso del tratamiento de la mecánica de la partícula esté principio se define por la ecuación:

donde T2 – T1 es el cambio en la energía cinética que ocurre cuando una partícula se mueve de la posición 1 a la posición 2 bajo la acción de una fuerza “F”, mismo que esta representado por U1-2. La siguiente figura ilustra lo anterior:

En los párrafos anteriores se han supuesto dos términos que en apariencia son conocidos.

1) Energía. 2) Trabajo.

2

1 Posiciones

intermedias

F

Pero ¿qué es energía? Y más aún ¿qué es trabajo?.

Bien, desde un punto de vista filosófico, la energía se define como:

“El verdadero absoluto del universo, la sustancia cuyas transformaciones hacen posibles todos los fenómenos en todas sus especies”.

En algún texto de física elemental, se define como: “capacidad que tiene un cuerpo para producir trabajo”.

¿Se necesita tener definido el concepto de trabajo para definir energía?, ¿y es posible “adaptar” el concepto filosófico al del texto elemental y con ello poder definir trabajo?.

En el caso del cuerpo rígido, habrá que hacer las siguientes consideraciones:

1) La energía cinética es una cantidad escalar, por lo que, la energía cinética de un sistema de partículas (cuerpo rígido) es igual a la suma de las “energías cinéticas” de las partículas que constituyen dicho sistema.

2) Un sistema de partículas (cuerpo rígido) generalmente está bajo la acción de fuerzas externas e internas. Debido a que las partículas que integran un cuerpo rígido, están siempre a distancias constantes, no desarrollan ningún trabajo (mecánico), por lo que es suficiente considerar el trabajo desarrollado por todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo rígido considerado.

Se ha mencionado que en un cuerpo rígido al ser urgido por fuerzas (externas) estas tendrán como resultante ya sea una sola fuerza, un par o un sistema fuerza – par.

En párrafos anteriores, se menciono que el trabajo desarrollado por una fuerza F durante un desplazamiento cualquiera entre dos puntos, está dado por la expresión:

donde es el ángulo formado por los vectores F y dr. S2 – S1 es la distancia recorrida por el punto de aplicación de la fuerza y ds, es la magnitud del desplazamiento diferencial dr. Obsérvese la siguiente figura:

Si la fuerza F actúa de tal modo que su punto de aplicación describe una circunferencia perfecta, la expresión correspondiente es:

Donde Mo es el momento de la fuerza F respecto al centro “o”.

Ahora obsérvese la siguiente equivalencia:

Como Mp = Fr = F d = momento, pero también se tiene que:

Posición 2

Posición 1

A F

o

Mp

F

o

=

Está expresión permite calcular el trabajo desarrollado por un par durante una

variación angular 2 - 1. Si el par Mp= constante. La expresión anterior se

reduce a U1-2 = Mp (2 - 1) = Mp.

Considérese una partícula A que se mueve a lo largo de una curva C bajo la acción de una fuerza F.

En un tiempo muy breve dt la partícula se mueve de A aA´, siendo el desplazamiento AA´ = dr. El trabajo efectuado por la fuerza F durante el desplazamiento anterior, se define por el trabajo.

Designando la magnitud del desplazamiento dr (esto es, la distancia recorrida) por ds. Se puede escribir:

donde es el ángulo entre la dirección de la fuerza F y el desplazamiento dr. Pero

F cos es la componente FT de la fuerza a lo largo de la tangente a la trayectoria, de modo que:

Verbalmente se puede expresar el resultado anterior de la siguiente manera:

“El trabajo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento.”

Nótese que si F es perpendicular al desplazamiento ( = 90º), el trabajo efectuado por la fuerza es cero. Por ejemplo, esto ocurre en el caso de la fuerza centrípeta FN en el movimiento circular.

A

A´

T

C

F

o

FT

V

FN

C

En el caso de la figura de gravedad mg cuando el cuerpo se mueve sobre un plano horizontal.

El trabajo total sobre una partícula cuando se mueve de 1 a 2, es la suma de todos los trabajos infinitesimales efectuados en los sucesivos desplazamientos infinitesimales.

Esto es:

o sea:

F

mg

Desplazamiento

2 dr4

F4 F3

dr3

dr2

F2 dr1

F1

1

El trabajo total es la suma de los trabajos infinitesimales

Para poder efectuar la integral anterior, es necesario conocer F en función de x, y, z. De igual manera se debe conocer la ecuación de la trayectoria seguida por la partícula. Alternativa, se debe conocer F, x, y, z en función del tiempo o de otra variable.

Muchas veces conviene representar FT gráficamente. En la siguiente figura, esta representada FT en función de la distancia S.

Cuando la fuerza es constante en magnitud y dirección y el cuerpo se mueve de forma rectilínea en dirección de la fuerza.

Se tiene un caso particular interesante: entonces FT = F y

o sea trabajo = fuerza x distancia, expresión muy conocida.

Si Fx, Fy y Fz son las componentes rectangulares de F y dx, dy, dz las de dr, es posible escribir:

dU = FT ds

FT U

ds 1 2 S

FT

Trabajo total efectuado yendo de 1 a 2 es igual al área total debajo de la curva

A B

F

S

Movimiento

Trabajo de una fuerza que es constante en magnitud y dirección.

Cuando sobre la partícula actúan las fuerzas F1, F2, …, los trabajos efectuados por cada una de ellas en desplazamiento dr son: dU1 = F1dr; dU2 = F2dr; dU3 = F3dr, etc. Nótese que dr es el mismo para todas las fuerzas, ya que todas actúan sobre la misma partícula. El trabajo total dU hecho sobre la partícula se obtiene sumando los trabajos infinitesimales dU1, dU2, …, efectuados por cada una de las fuerzas. Esto es como:

donde F = F1 + F2 + F3 + …, es la fuerza resultante. Con esto se demuestra que el trabajo de la resultante de varias fuerzas aplicadas a la misma partícula es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas componentes.

El principio de trabajo y energía establece que el trabajo U hecho por fuerzas y pares externos al moverse el cuerpo rígido entre dos posiciones 1 y 2 es igual al cambio en su energía cinética, donde T es la energía cinética del cuerpo rígido:

En el movimiento plano general la energía cinética es:

Donde v es la magnitud de la velocidad del centro de masa e I es el momento de inercia de masa respecto al centro de masa. En el caso de una rotación alrededor de un eje fijo 0, la energía cinética también se puede expresar como:

Cuerpo rígido en movimiento plano

El trabajo realizado por fuerzas internas y externas sobre un cuerpo rígido cuando se mueve entre dos posiciones es igual al cambio en su energía cinética. Si las fuerzas internas entre cada par de partículas están dirigidas a lo largo de la recta que las une, el trabajo que realizan las fuerzas internas sobre un cuerpo rígido es cero.

Considérese en un cuerpo rígido dos partículas 1 y 2, las suma de las fuerzas que ejercen entre sí es cero, f12 + f21 = 0, por lo que la razón a la que las fuerzas efectúan trabajo (la potencia) es:

Potencia:

En aplicaciones practicas, especialmente en ingeniería y de manera particular en los mecanismos que se diseñan y construyen, es importante conocer la rapidez del trabajo efectuado. Se define la potencia instantánea por:

Esto es, la potencia, como puede observarse es la razón de cambio del trabajo efectuado por unidad de tiempo, durante un intervalo dt muy pequeño. La ecuación anterior se puede reescribir como:

lo que a su vez, permite re-definir la potencia como el producto de la fuerza por la velocidad. La potencia promedio durante un intervalo t se obtiene de dividir el

trabajo total entre el tiempo t, lo que permite llegar a

que: .

f21

m2

f12

m1

r1

r2

0

Desde el punto de vista de la ingeniería, el concepto de potencia es muy importante, pues cuando un ingeniero diseña una máquina, es la rapidez con que se puede efectuar el trabajo es muy importante.

Energía Cinética:

Considérese la segunda ley de Newton F = m a, a partir de la que una componente tangencial está dada por la ecuación.

por lo que:

puesto que ; luego como

esta última integral representa el trabajo total, se tiene entonces que:

donde V2 y V1 son las velocidades de la “partícula” en las posiciones 2 y 1 respectivamente. Además, este último resultado indica la independencia de la trayectoria, de la forma funcional de la fuerza, el valor de V es igual a la diferencia

de evaluadas en la posición inicial y final.

La magnitud así definida es llamada energía cinética, se designa por: “T” (Ec. o alguna otra), por lo tanto:

puesto que P = m V; luego entonces, es posible escribir la siguiente ecuación:

que traducido al lenguaje “verbal”;

“El trabajo efectuado sobre una partícula es igual al cambio producido en su energía cinética”.

Este resultado que relaciona el cambio de T de una “partícula” con el trabajo U efectuado por una fuerza, se parece mucho a la siguiente ecuación:

es decir

la magnitud se le llama impulso y dice:

“El cambio en el momentum de una partícula es igual al impulso”.

El impulso consiste esencialmente del producto de la fuerza por el tiempo, una fuerza “muy fuerte” que actúe por un tiempo muy corto puede causar un cambio de momentum comparable al de la fuerza débil, que actúe por un tiempo largo.

Regresando, en cuanto al parecido que se logra percibir y la relación es en cuanto a que, el cambio en el momentum P de una partícula con el impulso I de la fuerza. La diferencia consiste en que el impulso, siendo una integral, de tiempo, es útil, si se conoce la fuerza en función del tiempo. Para el trabajo, siendo una integral del espacio, puede calcularse si se conoce la fuerza en función de la distancia.

Generalmente se conoce la fuerza en función de la posición, por esta razón es que los conceptos de trabajo y energía son importantes en Física, pero tienen significados muy precisos y no deben confundirse con los mismos términos, como se usan comúnmente en la vida diaria.

Trabajo de una fuerza de magnitud constante:

1

m

dr

r1

F

2

r2

O

A B

Fig. Trabajo de una fuerza de magnitud y dirección constantes.

Considérese una partícula de masa m bajo la acción de F constante en magnitud y dirección; pudiendo haber otras fuerzas que actúan y que sean o no constante, pero no se consideran en este momento.

El trabajo de F cuando la partícula se mueve de 1 a 2 a lo largo de la trayectoria A es:

o bien:

Luego U es la diferencia de los valores de en los extremos del camino.

Las ecuaciones anteriores, tienen una muy buena aplicación cuando de considera el trabajo de la fuerza de gravedad.

En este caso

y

F2 - F 2(x2, y2)

1(x1, y1) y2 – y1

r1

r2 m g

x

Fig. Trabajo de la gravedad

El trabajo U se puede obtener de la siguiente manera:

Esta ecuación NO demuestra referencia alguna de la trayectoria, y el trabajo solo depende de la diferencia , es decir, entre las alturas de los extremos.

Energía Potencial.

La situación ilustrada en el caso de la energía cinética T es un ejemplo de una clase de fuerzas, llamadas “conservativas”. Una fuerza es conservativa, si su dependencia del vector de posición F o de las coordenadas x,y,z, es tal que el trabajo U puede ser expresado como la diferencia entre los valores de una cantidad V(x,y,z) evaluada en los puntos inicial y final, llamada “Energía Potencial” y es una función de las coordenadas de las partículas.

Esto es, si la fuerza es conservativa, ocurre que:

obsérvese que se escribió V1 – V2; es decir: el trabajo hecho es igual a V en el punto inicial, menos V en el final. En otras palabras:

“La energía potencial es una función de las coordenadas, tal que la diferencia entre sus valores en las posiciones inicial y final es igual al trabajo efectuado sobre la partícula para moverla de su posición inicial a la final”.

Como se recordará , está ecuación es valida en

general, no importando de que fuerza F se trate, siempre ocurre que

Mientras que la forma de la función V(x, y, z) depende de la naturaleza de F y no todas las fuerzas pueden satisfacer la condición establecida para las llamadas conservativas. Por ejemplo, la fuerza de gravedad es conservativa, la V debida a la gravedad es:

y para una fuerza constante:

Puesto que , donde es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento, entonces:

F cos es la componente de la fuerza a lo largo de la dirección de desplazamiento ds; luego si se conoce V(x, y, z) es posible obtener la componente de F en

cualquier dirección calculando que es la derivada de V en aquella dirección

con signo negativo. Esto es lo que se llama “derivada direccional de V”.

Cuando un vector es tal que su componente en una dirección es igual a la derivada direccional de una función en aquella dirección, el vector se llama “el gradiente” de la función. Se puede decir que F es el negativo del gradiente de V, y así:

Con base a lo anterior:

o bien:

dondeUx, Uy, Uz son los vectores unitarios asociados con los ejes cartesianos (coordenados).

Al escribir las ecuaciones anteriores, se uso el símbolo de derivada parcial (), era necesario, pues la V(x, y, z) es en general función de x, y, z. Si por ejemplo una partícula se desplaza en el eje x, una distancia dx, las coordenadas y, z pertenece

invariables, es por esto, la razón de escribir .

Cuando las fuerzas no son centrales, esto es, que su línea de acción no pasa por el centro; existe un torque alrededor del punto “O” que esta dado por:

Regresando un poco: considérese un cuerpo rígido que tiene un movimiento planar, esto es, traslación + rotación. La energía cinética de un cuerpo rígido con este tipo de movimiento, tiene la expresión:

que, como puede apreciarse esta constituida por la energía cinética de traslación

+ la energía cinética de rotación .

Si ocurre que el cuerpo rígido gira con rotación no Centroidal, recuerde aplicar el teorema de los ejes paralelos, cuya expresión final es:

por lo que:

Observaciones:

i. Las fuerzas internas de los sistemas, no desarrollan trabajo. ii. Las cuerdas, cables y alambres, etc. Se consideran inextensibles y sin

peso; sus fuerzas internas no desarrollan trabajo. iii. Todas las reacciones en soportes o ejes fijos, como articulados fijos y

móviles, bloques o rodillos que deslizan, no desarrollan ningún trabajo; por estar representadas todas las fuerzas por vectores fijos, o que sus puntos de aplicación se mueven en dirección diferente de las mismas.

iv. Las fuerzas de rozamiento FR, que actúa en el punto de contacto del cuerpo rodante con el plano de rodadura, si el cuerpo no desliza, dicha fuerza, no produce ningún trabajo, por que su velocidad es cero es ese punto y siempre coincide con el centro instantáneo de rotación. Cuando el cuerpo desliza, el centro instantáneo de rotación se traslada a distancias muy grandes y la fuerza de rozamiento produce trabajo.

v. El trabajo desarrollado por un cuerpo al intervenir como fuerza, su propio peso W, sólo depende de su cambio de posición, sin influir la forma de su trayectoria.

Conservación de la energía:

Para que la energía se conserve se necesita que ésta permanezca constante, lo que puede describirse como: el movimiento de un cuerpo o algún otro sistema, es producto de fuerzas conservativas.

Son sistemas conservativos aquellos que están constituidos por fuerzas gravitacionales y elásticas, es decir, el peso de los cuerpos y las fuerzas producidas por los resortes. Luego por su posición respecto a un sistema de referencia tiene la capacidad de producir trabajo, puesto que posee energía potencial (V) gravitacional. De la misma manera todo cuerpo elástico. Por su configuración respecto a un plano de referencia es capaz de desarrollar trabajo. El trabajo de la fuerza elástica solo depende de la deformación inicial y final del resorte y recibe el nombre de energía potencial elástica.

Si V es la energía potencial total, entonces, es fácil ver que:

donde:

Vg: Energía potencial gravitacional.

Ve: Energía potencial elástica.

Parafraseando lo escrito: si un cuerpo rígido o un sistema de cuerpos de la misma naturaleza, se mueven bajo la acción de fuerzas conservativas, la energía se conserva (hablando estrictamente, la energía mecánica) entonces, se puede establecer que:

así mismo, es posible deducir, que al considerar las posiciones final e inicial de un cuerpo o sistema de cuerpos, la constancia de la energía establece lo siguiente:

que es equivalente a decir que la energía se conserva. En el cálculo de reacciones en diferentes sistemas, es necesario completar las ecuaciones anteriores con las deducidas del principio de D´Alembert y la segunda ley de Newton.

Ejemplo: En el sistema mostrado. Calcular la velocidad del bloque C, para = 30º,

sabiendo que para = 45º el sistema parte del reposo. mAB = mBC = 5 kg, LAB = LBC = 90 cm. Se desprecia la masa del bloque C y su rozamiento con el plano horizontal. Aplicar el principio del trabajo y la energía.

Solución:

AB tiene rotación no -Centroidal.

BC tiene movimiento plano caso general

A

B

C

Lo anterior es importante, puesto que al identificar el tipo de movimiento que desarrolla un elemento, es posible usar la ecuación (de movimiento) que lo describa más apropiadamente. Así:

además

Es necesario hacer un análisis cinemático para establecer la relación entre las velocidades angulares del sistema.

Como el sistema parte del reposo T1 = 0 y = 45º, entonces: U1-2 = T2 = energía

cinética del sistema cuando = 30º.

Es fácil llegar a establecer que:

La T del sistema es la suma de las Ti para la posición inicial, dicha suma es cero. Por lo tanto T1 = 0.

Para = 30º

Pero

luego:

Cálculo del trabajo del sistema desde = 45º hasta = 30º

Como las reacciones en las uniones A, B, C no producen trabajo; el trabajo desarrollado por en el sistema en las posiciones 1 y 2 será:

A

B

45º C 30º

W W

G1 G2

0.318 m

A

B

45º CY 30º

W W

G1 G2

0.225 m

0.093 m

luego

entoncesvC = (1.962)(0.9) = 1.766 m/s para = 30º

Cantidad de movimiento lineal:

La segunda ley del movimiento relaciona el cambio en el movimiento de un cuerpo con la interacción entre éste y otros cuerpos. Esta interacción se mide por una cantidad física denominada fuerza.

Supóngase que dos cuerpos interactúan, de la experiencia sobre el movimiento de los cuerpos, debido a su interacción recibirán aceleraciones directamente opuestas.

Recuérdese que las aceleraciones son de sentidos opuestos, lo que permite escribir:

La cantidad es la medida cuantitativa de la interacción y se designa como

que el cuerpo C2ejerce sobre el cuerpo C1, luego, de acuerdo con esto, el concepto de fuerza queda definido por la ecuación:

Esta es, en esencia, la segunda ley de Newton del movimiento, que se expresa diciendo “la razón al tiempo del cambio o variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo es proporcional a él y se presenta en la dirección y sentido de dicha fuerza”.

La cantidad de movimiento (momentum en ingles) , de un cuerpo se define como el producto de su masa por su velocidad.

o bien, de acuerdo con la segunda ley de Newton:

C1 C2

m2 m1

que es la expresión correcta de la segunda ley del movimiento.

Ahora bien, el movimiento de partículas, puede ser en cualquier dirección y bajo un sistema de fuerzas cualesquiera, por lo tanto, considerando esté sistema de partículas como un cuerpo rígido, es posible establecer, con respecto a un sistema de coordenadas (x, y, z) de acuerdo con los momentos de primer orden, las ecuaciones:

o bien

donde : cantidad de movimiento lineal o momentum del cuerpo rígido considerado.

Cantidad de movimiento angular:

La cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido es una cantidad física muy importante. Tiene su “origen” análogo al de la cantidad de movimiento lineal, además de considerar la segunda ley de Newton para sistemas en rotación.

Es importante señalar que, en el análisis del movimiento angular del cuerpo en estudio, es necesario determinar si la rotación es de tipo Centroidal o no, en cuyo caso la expresión se reduce a:

enesté caso se esta considerando que el punto “O” es el centro instantáneo de rotación y coincide con el centro “G”.

A se le conoce como “cantidad de movimiento angular”.

Vale comentar que la rotación puede cambiar de un texto a otro, sin embargo, eso no debe de ser problema.

Principio de impulso y cantidad de movimiento lineal de un cuerpo rígido:

Del teorema de D´Alembert:

luego, obsérvese con cuidado:

integrando entre los límites de t1 a t2 y respectivamente:

se tiene que:

Principio del impulso angular y de la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido:

Se sabe que:

También es claro que:

integrando de manera análoga al caso anterior

Si el centro de masas “G” coincide con el centro de rotación “O”, la ecuación anterior se transforma en:

Choque excéntrico:

En esta sección se considera el caso de cuerpos que se tocan en puntos “alejados” del centro de masas “G”, cuyo movimiento generado por el “impacto” produce en los cuerpos ya sea un movimiento de tipo plano caso general o bien uno de rotación no Centroidal respecto a un punto fijo “O”.

El cuerpo puede girar respecto a “O” o bien respecto a “G”.

t O

O G

G

n

A B

n

t

Donde: n – t son los ejes normal y tangencial.

A – B puntos de contacto.

Es importante hacer un análisis del movimiento de los cuerpos antes, durante y después del impacto, y así, será posible definir y establecer las velocidades de impacto antes durante y después del choque.

Como se pretende ilustrar, es posible percibir un acercamiento entre los cuerpos, justo antes del choque en los puntos indicados como A y B. Con velocidades

. Aquí, es

posible suponer sin perdida de generalidad de que

t

G

G

n

A

B

n

t

t

G

G n

A B

n

t

En esta figura se puede observar el momento en que se produce el impacto. Los cuerpos se deforman y al termino de la deformación,

componentes de

sobre el eje n – n, deben ser iguales.

Ahora obsérvese los diagramas

siguientes del cuerpo A.

t

n

n

t

La figura ilustra el momento en que tiene el periodo, conocido como “periodo de restitución”; en el que, al final, los puntos A y B, tienen

G

n

A n

G

r

A

n

Donde:

: Velocidad de “G” al inicio del periodo de deformación.

: Velocidad de “G” al final del periodo de deformación.

: Impulso durante el periodo de deformación (suponiendo sin fricción entre

los puntos en contacto).

G

: Velocidad angular de A, al principio del periodo de deformación.

: Velocidad angular de A, al final del periodo de deformación.

De los diagramas anteriores, es posible deducir que:

De manera análoga, el periodo de restitución para el mismo cuerpo A (no indicado en el dibujo).

Donde:

: Velocidad de “G” después del impacto.

: Velocidad angular después del impacto.

: Impulso durante el periodo de restitución.

El coeficiente de restitución e, esta dado por:

y es posible establecer que: (simplificado)

desarrollando y simplificando, se llega a que; para cada cuerpo (A y B) se tiene que:

Finalmente, el coeficiente de restitución e, para choque excéntrico

Movimiento en el espacio de cuerpos rígidos:

En esta sección se hace un estudio (sucinto) del movimiento general de un cuerpo rígido en el espacio. Este movimiento esta compuesto de una traslación de un punto fijo del cuerpo (generalmente el centro de masas), más la rotación alrededor de un eje fijo; através de el punto fijo, el cual no necesariamente restringe en la dirección. Esté último sirve para decir que, los grados de libertad, según se ha comentado, son el número de coordenadas necesarias para definir la posición de un cuerpo. Así, el número de grados de libertad para el movimiento general de un cuerpo rígido en el espacio son 6.

Usualmente se seleccionan 3 de ellos, para que sean las coordenadas de un punto en el cuerpo (generalmente “G”) y las otras, los ángulos, que describen la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un punto.

Si un cuerpo rígido esta constreñido en cualquier forma, por ejemplo, manteniendo un punto fijo, el número de grados de libertad se reduce.

También, de acuerdo con esto último, el movimiento general de un cuerpo rígido puede ser expresado en función de la traslación de un punto fijo del cuerpo, más la rotación del propio cuerpo alrededor de un eje, a través del punto, sin perdida de generalidad es posible considerar el caso de analizar el movimiento de rotación y posteriormente el o los efectos de la traslación.

Para hacer lo anterior, supóngase primero que un punto del cuerpo rígido, está fijo en el espacio. Los efectos de la traslación, son realmente fáciles de manejar y se pueden obtener usando:

Si es la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema:

Visto lo anterior como, se ha visto, el concepto de cantidad de movimiento.

Velocidad y velocidad angular de un cuerpo con un punto fijo:

Suponga que un punto O de un cuerpo rígido (C. R.) esta fijo. Entonces, en cualquier instante de tiempo el cuerpo girará con velocidad angular alrededor del eje instantáneo que pasa por “O”. Una partícula P, tiene vector de posición y

velocidad dada por: .

Luego, una partícula P del cuerpo, tiene un vector de posición con respecto a

“O”, además, tiene una velocidad que esta dada por la ecuación:

El momento angular o cantidad de movimiento angular HO del cuerpo rígido con un punto fijo, alrededor de un eje instantáneo en un punto fijo, esta dado por:

Con la salvedad del posible valor que pudiese tener , ya sea Centroidal o no Centroidal, en ese sentido “siempre” se deberá tener especial cuidado.

Momentos de inercia y productos de inercia:

Considérese un sistema coordenado fijo xyz con origen en “O” y escríbase lo siguiente: (ojo, poner atención)

entonces, es fácil ver que:

P

O

C. R.

donde:

[recuérdese para esto último, la definición del momento de inercia y como es que tiene variaciones respecto a cada eje donde se lleve a cabo la rotación].

Y donde:

Recuerde que, las cantidades son los llamados momentos de inercia,

alrededor de los ejes x, y, z respectivamente. Las cantidades son los

llamados productos de inercia. Para una distribución de masa continua, estos pueden determinarse usando integración.

Matriz de momentos de inercia o tensor:

Las 9 cantidades anteriores se puede escribir como:

Llamada “matriz o tensor”, y cada cantidad es un elemento del tensor. Los , son elementos de la diagonal principal, los demás guardan simetría

respecto a está diagonal principal, los demás guardan simetría respecto a esta diagonal, por ello es llamada matriz simétrica o tensor.

Energía cinética de rotación:

De acuerdo a como se definió la cantidad de movimiento angular H, es posible hacer lo mismo para el caso de la energía cinética de rotación:

o de manera simplificada.

como es posible observarse, las cantidades escritas, corresponden al tensor o matriz del momento de inercia, que nos dice de que manera se esta moviendo en el espacio el cuerpo que este considerado, esto es respecto a cada uno de los ejes del sistema coordenado, esto último se aprovecha para la siguiente definición.

Ejes principales de inercia:

Al conjunto de 3 ejes, mutuamente perpendiculares y con origen común en “O” y cuyo producto de inercia alrededor de ellos es cero, son los llamados ejes principales de inercia o brevemente, ejes principales del cuerpo.

Una importante propiedad de los ejes principales, es que si el cuerpo rota alrededor de él, la dirección del momentum angular (o cantidad de movimiento angular) es la misma que la velocidad angular, esto es:

donde es un escalar. De esto, se encuentra que: usando esta propiedad.

o bien que:

los momentos principales de inercia, se encuentran haciendo el determinante de los coeficientes de en esta última ecuación, igual a cero, es decir:

El desarrollar este determinante, permite presumir que se tiene una ecuación cúbica en con tres raíces que son los llamados momentos principales

de inercia. Haciendo en las ecuaciones anteriores que se igualaron a cero,

se obtienen relaciones como: que dan la dirección de o la dirección

del eje principal, correspondiente a . De manera análoga, al sustituir e se

encuentran las direcciones de los correspondientes ejes principales.

Nota: cualquier eje de simetría de un cuerpo rígido, es siempre un eje principal.

Si ahora, llamamos y H1, H2, H3 a las velocidades angulares y a la

cantidad de movimiento angular alrededor de los ejes principales, entonces:

La energía cinética de rotación alrededor de los ejes principales esta dada por:

El Elipse de Inercia:

Considérese un vector unitario en la dirección de entonces:

donde , son los cosenos directores de o , respecto a los

ejes x, y, z. Entonces, la energía cinética de rotación esta dada por:

donde

por definición un vector

donde luego, entonces desarrollando y simplificando la

ecuación anterior a esta última:

En términos matemáticos, esta ecuación corresponde a un elipsoide, y es frecuentemente llamado elipsoide de inercia o el momentum elipsoidal.

Si los ejes coordenados se rotan para hacerlos coincidir con los ejes principales del elipsoide, la ecuación queda:

donde representan las coordenadas de los nuevos ejes.

Ecuaciones de Euler de Movimiento:

El movimiento de un cuerpo cualquiera, se debe a la acción de una fuerza, un par o bien de un sistema fuerza – par; pensando en un cuerpo cualquiera, que desarrolla un movimiento cualquiera, las ecuaciones de Euler son las mas apropiadas para dar una descripción adecuada de tal movimiento.

Es conveniente para describir el movimiento de un cuerpo rígido relativo a un conjunto de coordenadas cuyos ejes coinciden con los ejes principales fijos al cuerpo que giran conforme el propio cuerpo lo hace. En esté contexto, si

son las componentes de un torque externo que actúa sobre el cuerpo

rígido, y si representan las componentes de la velocidad angular a lo

largo de los ejes principales, las ecuaciones de movimiento están dadas por:

Son las llamadas ecuaciones de Euler.

El trompo simétrico y el giroscopio.-

Considérese un cuerpo simétrico alrededor del eje z y fijo a él, así que es libre de moverse alrededor del punto fijo “O” como se muestra en la siguiente figura:

Debido a la simetría , y , donde es constante

aunque el cuerpo este rotando respecto a los ejes x, y, z.

Las componentes de H son:

sustituyendo esas componentes en las ecuaciones generales de momento:

sustituyendo las expresiones para las componentes de la velocidad angular en términos de los ángulos de Euler, se obtiene que:

La solución de este conjunto de ecuaciones diferenciales sujeto a las condiciones iniciales, dará una descripción completa del movimiento del

z

Z

y

O Y

x

X

sistema.Desafortunadamente aun en el caso simétrico, la solución de ecuaciones diferenciales no – lineales no puede ser obtenido y son problemas muy estudiados, para algunos casos es necesario suponer muchas simplificaciones.

Un tipo de problema que puede resolverse, es la determinación del momento aplicado, y que puede corresponder a cierto tipo de movimientos estables de los sistemas. También es posible hacer un estudio analítico de la estabilidad, suponiendo movimientos estables, y con ello justificar las suposiciones.

Un examen cuidadoso de la ecuación general de momentos, arriba expuesta (sin considerar los ángulos de Euler), muestra primero los términos usuales que involucran las velocidades y aceleraciones angulares que podrían presentarse, aun si el cuerpo no girará alrededor de su eje geométrico. En resumen, se

encuentran los términos y que son una consecuencia del

giro de el cuerpo alrededor de su eje. Los momentos asociados con términos de ese giro, son llamados “momentos giroscópicos”, y los dispositivos en los que tales términos juegan un importante rol, son los llamados “giroscopios”.

Los momentos giroscópicos alrededor del eje “x” están asociados con una velocidad angular alrededor del eje “y” y viceversa. El hecho de que una velocidad angular se produce a ángulos rectos al momento externo que lo produce, es una característica peculiar de los giroscopios. Este movimiento de giro en el eje, en una dirección perpendicular al momento aplicado es llamada “presesión”.

Un giroscopio frecuentemente esta montado en “cardan” por ello es que toda rotación es alrededor del centro de masas.

Como la ecuación puede ser escrita con respecto al centro de masas, las ecuaciones anteriores, son aplicables a un giroscopio montado sobre el cardan aunque el propio centro de masas se este moviendo.

Ejemplo: (por fin)

Un disco circular de momento de inercia respecto de su centro geométrico rota con velocidad angular respecto al eje. Al mismo tiempo el eje mismo rota en un plano horizontal con una “velocidad angular de precesión” . Un momento

debido a la acción de la gravedad de magnitud actúa en el sistema según se muestra en la siguiente figura. Encuentre la velocidad angular de precesión

compatible con este movimiento estable del sistema.

Utilizando las ecuaciones para determinar las componentes de la velocidad angular en función de los ángulos de Euler, y con el siguiente sistema de coordenadas.

W

Z y

Y z

X

x

Se tiene entonces, en rotación de las ecuaciones mencionadas que: “ojo mucho ojo”.

así, de la primera (de las citadas ecuaciones)

o bien

contrario al sentido de giro de las manecillas del reloj, visto desde arriba.

Ejemplo:

El eje geométrico de un cono circular recto de ángulo medio y altura h, hace un ángulo contante con la vertical, y rota alrededor del eje vertical en el vértice del cono con una velocidad angular uniforme . La mismo tiempo, el cono gira

alrededor de su eje geométrico con una velocidad angular constante relativa al movimiento del eje.

Como se muestra en la siguiente figura. Para valores constantes dados de y , determinar la velocidad de precesión .

Z

z

y

O Y

W

x X

Solución:

Aplicando las ecuaciones para determinar las componentes de la velocidad angular en función de los ángulos de Euler, y como referencia la figura anterior, de la que es posible obtener los siguientes datos:

la ecuación es:

también , se tiene que:

esto es:

de donde:

para el cono , entonces:

La expresión anterior da 2 raíces reales para la velocidad de precesión que

satisfacen las condiciones del problema y son conocidas como movimiento lento y rápido de precesión. La precesión lenta es observada en experimentos simples y requiere de un análisis de la estabilidad de los movimientos supuestos para completar la discusión de tales problemas.

Si se supone que la velocidad angular de precesión es pequeña comparada con la velocidad de giro, una solución simplificada se puede obtener, de la siguiente manera: las ecuaciones de momentos obtenidas antes, se pueden reescribir

como: .

Si , el término se puede omitir, y con ello

Nótese que conforme la velocidad de giro aumente, la velocidad de precesión disminuye. Los giroscopios tienen velocidad de giro muy alta, con ello es

usualmente bueno.

Trabajo y Potencia:

Sea una partícula se desplaza por cierta trayectoria 1 – 2, bajo la acción de la fuerza F. En el caso general, la fuerza F puede variar en el proceso del movimiento de la partícula tanto por su módulo como por su dirección. Analizando el desplazamiento elemental dr, en los límites del cual la fuerza F su puede considerar constante.

La acción de la fuerza F para el desplazamiento dr se caracteriza por una magnitud igual al producto escalar Fdr, denominado trabajo elemental de la fuerza F para el desplazamiento dr.El se puede representar, además en otro aspecto:

Donde es el ángulo entre los vectores F y dr, ds =dr, el camino elemental, FS, la proyección del vector F sobre el vector dr.

Así, el trabajo elemental de la fuerza F para el desplazamiento dr.

2

FS

dr

F

1

--------- 1

La magnitud W es algebraica: en dependencia del ángulo entre los vectores F y dr (o del signo de la proyección FS del vector F sobre el vector dr) ella puede ser

tanto positiva como negativa y, en particular, igual a cero (si F dr, es decir, FS = 0).

Sumando (integrando) la ecuación anterior por todos los sectores elementales del camino desde el punto 1 hasta el punto 2, hallamos el trabajo de la fuerza F en el camino dado:

--------- 2

La expresión anterior se le puede dar evidente sentido geométrico. Representemos la grafica FS como la función de la posición de la partícula en la trayectoria. Sea, por ejemplo, que este gráfico tiene el aspecto mostrado en la

siguiente figura. En esta figura se puede observar, que el trabajo elemental W es numéricamente igual al área de la banda sombreada, y el trabajo W en el camino desde el punto 1 hasta el 2, al área de la figura, limitada por la curva, con las ordenadas 1 y 2 y el eje S. Con ello, el área de la figura sobre el eje S se toma con signo más (corresponde al trabajo positivo), en tanto que el área de la figura bajo el eje S, con signo menos (corresponde al trabajo negativo).

Trabajo de la fuerza elástica F = - xr:

Donde r es el radio vector de la partícula A en relación al punto 0. Trasladamos a la partícula A, sobre la cual actúa esta fuerza, por un camino arbitrario desde el

FS

0

+

A

- 2 S

1

A dr

r1 r

r2

2

0

punto 1 al punto 2. Primero determinamos el trabajo elemental de la fuerza F para el desplazamiento elemental dr:

El producto escalar rdr = r(dr)r, donde (dr)r es la proyección de dr sobre el vector r. Esta proyección es igual a dr. O sea, al incremento del módulo del vector r. Por eso, rdr = rdr y

Ahora calculemos el trabajo de la fuerza dada sobre todo el camino, es decir, integramos la última expresión desde el punto 1 hasta el punto 2:

------------ 3

Trabajo de la fuerza de gravedad (o de Coulomb):

Sea que la masa puntual (carga) se encuentra en el origen del vector r. Encontremos el trabajo de la fuerza de gravedad (de Coulomb) durante el desplazamiento de la partícula A desde el punto 1 hasta el punto 2 por un camino arbitrario. La fuerza que actúa sobre la partícula A puede ser representada como:

Primero calculamos el trabajo elemental de esta fuerza para el desplazamiento dr:

Como y en el caso anterior, el producto escalar r dr = r dr, por eso:

Mas el trabajo de esta fuerza por todo el camino desde el punto 1 hasta el punto 2

---------- 4

Trabajo de la fuerza homogénea de gravedad F = m g:

Escribimos esta fuerza como F = - mgk, donde k es el versor del eje vertical z, cuya dirección positiva se ha elegido hacia arriba. El trabajo elemental de la fuerza de gravedad para el desplazamiento dr:

El producto escalar k dr = (dr)k, donde (dr)k es la proyección de dr sobre el versor k, igual a dz, o sea, al incremento de la coordenada z. Por eso k dr = dz y

Mas el trabajo de la fuerza dada por todo el camino desde el punto 1 hasta el punto 2.

-------- 5

Las fuerzas examinadas son interesantes a causas de que su trabajo, como se desprende de las ecuaciones 3 a 5, no depende de la forma del camino entre los puntos 1 y 2, sino que sólo depende de la posición de éstos. Esta particularidad tan importante de las fuerzas dadas es inherente, sin embargo, no a todas las fuerzas. Por ejemplo, la fuerza de rozamiento no posee esta propiedad: el trabajo de esta fuerza depende no sólo de la posición de los puntos inicial y final, sino que también de la forma del camino entre ellos.

Hasta aquí se ha tratado el trabajo de una fuerza. Mas si en el proceso de movimiento actúan sobre la partícula varias fuerzas, la resultante de las cuales F = F1 + F2+ …, es fácil mostrar que el trabajo de la fuerza resultante F para cierto desplazamiento es igual a la suma algebraica de los trabajos, realizados por cada una de las fuerzas por separado por este mismo desplazamiento. Efectivamente,

-------- 6

Potencia:

Para la caracterización de la velocidad a la cual se realiza el trabajo, se introduce una magnitud denominada potencia. Potencia, por definición, es el trabajo realizado por una fuerza en la unidad de tiempo. Si el intervalo de tiempo dt la fuerza F realiza el trabajo F dr, entonces la potencia, desarrollada por esta fuerza en el momento de tiempo dado es N = F dr/dt. Teniendo en cuenta que dr/dt = v, obtenemos:

De este modo, la potencia, desarrollada por la fuerza F, es igual al producto escalar del vector de la fuerza por el vector de velocidad, a la cual se mueve el punto de aplicación de la fuerza dada. Como el trabajo, la potencia es una magnitud algebraica.

Conociendo la potencia de la fuerza F se puede determinar el trabajo que realiza esta fuerza en el espacio de tiempo t. En efecto, representando la expresión bajo la integral 2, como Fdr = Fvdt = Ndt, obtenemos:

En conclusión ponemos la atención en una circunstancia muy esencial. Cuando se habla de trabajo (o de potencia) es necesario indicar claramente o imaginarse en cada caso concreto, el trabajo de qué fuerza precisamente (o fuerzas) se tienen n cuenta. En caso contrario, como regla, son inevitables las equivocaciones.

Campo potencial de fuerzas:

Definición:

El campo de fuerzas estacionario en el cual el trabajo de la fuerza del campo por el camino entre dos puntos cualesquiera no depende de la forma del camino, sino que depende solamente de la posición de estos puntos, se denomina potencial y las mismas fuerzas, conservativas. Si no se cumple esta condición, el campo de fuerzas no es potencial, y las fuerzas del campo se denominan no conservativas. A las últimas pertenece, por ejemplo, la fuerza de rozamiento (en caso general el trabajo de esta fuerza depende del camino).

La parte del espacio en cada punto del cual actúa una fuerza sobre la partícula de allí se encuentra, que varía con regularidad de punto a punto, denomínase campo de fuerzas, por ejemplo de la fuerza de gravedad de la tierra o el campo de las fuerzas de resistencia en un flujo de líquido (de gas). Si la fuerza en cada punto del campo no depende del tiempo, este campo se llama estacionario. Evidentemente, que el campo de fuerzas, estacionario en un sistema de referencia, en otro, puede resultar ser no estacionario. La fuerza en un campo de fuerzas estacionario depende sólo de la posición de la partícula.

El trabajo que realizan las fuerzas de un campo durante el desplazamiento de una partícula desde el punto 1 al punto 2, depende, hablando en general, del camino. Sin embargo, entre los campos de fuerzas estacionarios hay tales en los cuales este trabajo no depende del camino entre los puntos 1 y 2. Esta clase de campos, teniendo una serie de propiedades muy importantes, ocupa un lugar especial en física.

Demostremos que en un campo potencial el trabajo de las fuerzas del campo por cualquier trayectoria cerrada es igual a cero. En realidad, cualquier trayectoria cerrada se puede dividir arbitrariamente en dos partes: 1 a 2 y 2 b 1. Como el

campo es potencial, según el planteamiento, . Por otro lado, es

evidente que . Por eso

Al contrario, si el trabajo de las fuerzas del campo en cualquier trayectoria cerrada es igual a cero, el trabajo de estas fuerzas por la trayectoria entre dos puntos

arbitrarios 1 y 2 no depende de la forma de ésta, es decir, el campo es potencial. Para la demostración tomemos dos trayectorias arbitrarias: 1 a 2 y 1 b 2. De ellos componemos la trayectoria cerrada 1a2b1. El trabajo en esta trayectoria cerrada

es igual a cero, es decir, . De aquí . Pero ,

por eso

De ese modo, la igualdad a cero del trabajo de las fuerzas del campo por cualquier trayectoria cerrada es condición necesaria y suficiente de la independencia del trabajo de la forma de la trayectoria y puede considerarse como el rasgo distintivo de cualquier campo de fuerzas.

Campo de fuerzas centrales:

Cualquier campo de fuerzas se provoca por la acción de determinadas fuerzas. La fuerza que en un campo tal actúa sobre la partícula A, está condicionada por la interacción de esta partícula con los cuerpos dados. Las fuerzas que dependen solamente de la distancia entre las partículas en interacción y dirigidas por la recta que une estas partículas, denominadas centrales.

Las fuerzas de gravedad, de Coulomb y elásticas son ejemplos de estas últimas.

La fuerza central, que actúa sobre la partícula A desde la partícula B, se pueden representar en aspecto general:

---------- 8

Donde f (r) es una función, que con el carácter dado de la interacción, depende sólo de r, o sea, de la distancia entre las partículas; er es un vector unitario que prefija la dirección del radio vector de la partícula A con relación a la partícula B.

B

er

r

A

dr

Demostremos que cualquier campo estacionario de fuerzas centrales es potencial.

Primero el trabajo de las fuerzas centrales en el caso, cuando el campo de fuerza es provocado por la presencia de una partícula B inmóvil. El trabajo elemental de la fuerza (ecuación 8) para el desplazamiento dr es .

Como , o sea, la proyección del vector dr sobre el vector er, o sobre el

radio vector r correspondiente, . Mas el trabajo de esta fuerza por un

camino arbitrario desde el punto 1 hasta el punto 2.

La expresión obtenida depende, evidentemente sólo del tipo de la función f(r), es decir, del carácter de la interacción y de los valores de r1 y r2, o sea, de las distancias inicial y final entre las partículas A y B. No depende de ningún modo de la forma del camino. Y esto significa que el campo de fuerzas dado es potencial.

Generalicemos el resultado obtenido en el campo de fuerzas estacionario, provocado por la presencia de un conjunto de partículas inmóviles que actúan sobre la partícula A con las fuerzas F1, F2, …, cada una de las cuales es central. En este caso, el trabajo de la fuerza resultante al desplazar la partícula A desde un punto a otro es igual a la suma algebraica de los trabajos de las fuerzas aisladas. Y como el trabajo de cada una de estas fuerzas no depende de la forma del camino, el trabajo de la fuerza resultante tampoco depende de ella.

De ese modo, en realidad, cualquier campo estacionario de fuerzas centrales es potencial.

Energía potencial de la partícula en el campo:

La circunstancia de que el trabajo de las fuerzas del campo potencial depende solamente da las posiciones inicial y final de la partícula, da la posibilidad de introducir el concepto extraordinariamente importante de energía potencial.

Imaginemos que desplazamos una partícula por un campo potencial de fuerzas de diferente puntos Pi a un punto fijado 0. Como el trabajo de las fuerzas del campo no depende de la forma del camino, entonces queda sólo su dependencia de la posición del punto P (para el punto fijado 0). Esto significa, que el trabajo será cierta función del radio vector r del punto P.

Designando esta función por U(r), escribimos

---------- 9

La función U(r) se denomina energía potencial de la partícula en el campo dado.

Ahora determinamos el trabajo de las fuerzas del campo durante el desplazamiento de una partícula desde el punto 1 al punto 2. Ya que el trabajo no depende del camino, elegimos la trayectoria que pasa por el punto 0. Entonces el trabajo en el camino 102 puede ser representado como:

o teniendo en cuenta la ecuación 9

---------- 10

La expresión a la derecha es el decremento de la energía potencial, es decir, la diferencia de los valores de la energía potencial de la partícula en los puntos inicial y final del camino.

De ese modo, el trabajo de las fuerzas del campo en el camino 1 – 2 es igual al decremento de la energía potencial de la partícula en el campo dado. Es evidente, que la partícula situada en el punto 0 del campo, siempre se le puede aducir cualquier valor elegido de antemano de la energía potencial. Esto corresponde a la circunstancia de que mediante mediciones del trabajo puede ser determinada solamente la diferencia de las energías potenciales en dos puntos del campo, pero no su valor absoluto. Sin embargo, en cuanto es fijada la energía potencial en algún punto, sus valores en todos los demás puntos del campo se determinan de modo unívoco por la ecuación.

La ecuación 10 da la posibilidad de encontrar la expresión U(r) para cualquier campo potencial de fuerzas.

1

2

0

Para esto es suficiente calcular el trabajo realizado por las fuerzas del campo en cualquier camino entre dos puntos, y presentarlo como un decremento de cierta función, que es precisamente la energía potencial U(r).

De este modo se hizo durante el cálculo del trabajo en los campos de las fuerzas elásticas y de gravedad (de Coulomb) y también en el campo homogéneo de gravedad. Inmediatamente de las ecuaciones 3 – 5 se ve que la energía potencial de una partícula en los campos de fuerzas dados tiene el siguiente aspecto:

1) En un campo de fuerzas elásticas

--------- 11

2) En un campo de una masa puntual (una carga)

----------- 12

3) En un campo homogéneo de fuerzas de gravedad

----------- 13

Una vez más subrayamos que la energía potencial U es una función que se determina con exactitud salvo la adición de cierta constante arbitraria. Sin embargo, esta circunstancia no tiene en absoluto importancia, ya que en todas las ecuaciones entra solamente la diferencia de los valores de U en dos posiciones de la partícula. Por eso, la constante arbitraria, igual para todos los puntos del campo, se elimina. En relación con esto, generalmente se omite, lo que se hizo en las tres expresiones anteriores.

Otra circunstancia importante. La energía potencial se debe de referir no a la partícula, sino al sistema de partículas que interaccionan con los campos que provocan el campo de fuerzas. Para el carácter dado de interacción la energía potencial de interacción de la partícula con los cuerpos dados depende sólo de la posición de éstas respecto a estos cuerpos.

Energía potencial y fuerzas del campo:

La interacción de una partícula con los cuerpos circundantes se puede describir por dos procedimientos: con ayuda de las fuerzas o mediante la energía potencial. Ambos procedimientos se emplean en la mecánica clásica con igual amplitud. Sin embargo, el primer procedimiento es algo más general, ya que también es aplicable a las fuerzas para las cuales no es posible introducir la energía potencial (por ejemplo, las fuerzas de rozamiento). En lo que se refiere al segundo procedimiento, éste es sólo aplicable para las fuerzas conservativas.

El problema consiste en establecer la relación entre la energía potencial y la fuerza del campo, con más precisión, determinar el campo de fuerzas F(r) según la energía potencial dada U(r) como función de la posición de la partícula en el campo.

Durante el desplazamiento de una partícula desde un punto del campo potencial a otro, el trabajo que realizan las fuerzas del campo puede ser representado como el

decremento de la energía potencial de la partícula, es decir, W12 = U1 – U2 = - U.

Esto se refiere también al desplazamiento elemental dr: W = - dU, o bien

--------- 14

Concepto de campo:

En el caso de interacciones de gravitación y electrostática la fuerza F, que actúa sobre la partícula A del lado de los cuerpos circundantes (del sistema B), es proporcional a la masa (o la carga) de la partícula A. En otras palabras, la fuerza F puede ser representada como el producto de dos magnitudes:

--------- 15

Donde m es la masa (o carga) de la partícula A, G es cierto vector que depende tanto de la posición de la partícula A, como de las propiedades de los cuerpos circundantes, es decir, del sistema B.

Cabe la posibilidad de otra interpretación física de la interacción ligada con el concepto de campo. A saber: en este caso se dice, que el sistema B crea en el espacio circundante un campo, caracterizado por el vector G(r). O de otro modo, se considera que en cada punto del espacio el sistema B, o sea, la fuente del campo, crea tales condiciones (el vector G), con las cuales la partícula, ubicada en estos puntos, experimenta la acción de la fuerza (ecuación 15). Con ello, consideran que el campo (el vector G) existe independientemente de la presencia de la partícula A.

El vector G e denomina intensidad del campo. Una de las propiedades más importantes de los campos consiste en que el campo formado por varias fuentes, es igual a la suma de los campos creados por cada una de ellas. Con mayor exactitud, digamos que la intensidad G del campo resultante en un punto arbitrario.

-------- 16

Donde Gi es la intensidad del campo de la i – ésima fuente en un mismo punto. Esta ecuación expresa el llamado principio de superposición de los campos.

Retomando la energía potencial de una partícula. Según la ecuación 15, la ecuación 14 se puede escribir así: mGdr = - dU. Dividiendo ambos miembros por

m y designando U/m = , obtenemos:

--------- 17

----------- 18

La función (r) denomínase potencial del campo en el punto con radio vector r.

La ecuación 18 ofrece la posibilidad de encontrar el potencial de cualquier campo

de gravitación o electrostático. Para esto es suficiente calcular la integral

conforme a la trayectoria arbitraria entre los puntos 1 y 2 y después representar la expresión obtenido como el decremento de cierta función, que es precisamente el

potencial (r). Así, los potenciales del campo de gravitación de la masa puntual m y del campo de Coulomb de la carga puntual q se determinan, mediante la siguiente ecuación:

--------------- 19

El potencial , como la energía potencial, puede ser determinado solamente con exactitud salvo la adición de cierta constante arbitraria, que tampoco tiene en absoluto importancia. Por eso generalmente la omiten.

Así, el campo puede describirse o en forma vectorial G(r), o bien escalar (r). Ambos procedimientos son adecuados. Resulta mas práctico que el segundo

procedimiento de descripción del campo (con ayuda del potencial ) en la mayoría de los casos es mucho más cómodo por la siguiente causa.

1) Conociendo (r), se puede calcular inmediatamente la energía potencial U y el trabajo de las fuerzas del campo W:

----------- 20

2) En lugar de las tres componentes de la función vectorial G(r) es más

sencillo prefijar la función escalar (r). 3) Cuando el campo se crea por muchas fuentes, es más fácil calcular el

potencial que el vector G: los potenciales son escalares, se pueden con facilidad sumar, no prestando atención a la dirección de las fuerzas.

En realidad, según las ecuaciones 16 y 17, Gdr = (Gidr) = - di = -

di = - d, es decir,

---------- 21

Donde i es el potencial creado por la i – ésima partícula en el punto dado del campo.

4) Finalmente, conociendo la función (r), se puede restablecer fácilmente

el campo G(r) como el antigradiente del potencial .

----------- 22

Energía cinética:

Sea que una partícula de masa m se mueve bajo la acción de cierta fuerza F (en caso general la fuerza F puede ser la resultante de varias fuerzas). Encontremos el trabajo elemental que realiza esta fuerza por el desplazamiento dr. Teniendo en cuenta que F = m dv/dt y dr = v dt, escribimos.

El producto escalar v dv = (dv)v, donde (dv)v es la proyección del vector dv sobre la dirección del vector v.

Esta proyección es igual a d, o sea, al incremento del módulo del vector de

velocidad. Por eso, v dv = d y el trabajo elemental.

Aquí se ve que el trabajo de la fuerza resultante F incrementa a cierta magnitud (que está entre paréntesis), denominada energía cinética:

---------- 23

De este modo, el incremento de la energía cinética de la partícula con un desplazamiento elemental, es igual a:

--------- 24

Y con el desplazamiento final del punto 1 a 2

------------ 25

es decir, el incremento de la energía cinética de una partícula por cierto desplazamiento es igual a la suma algebraica de los trabajos de todas las fuerzas, que actúan sobre la partícula durante este mismo desplazamiento. Si W12 > 0, entonces T2> T1, o sea, la energía cinética de la partícula aumenta; mas si W12> 0, la energía cinética disminuye.

La ecuación 24 se puede presentar, además en otra forma, dividiendo ambos miembros por el intervalo de tiempo dt correspondiente:

----------- 26

Esto significa, que la derivada de la energía cinética de una partícula conforme al tiempo es igual a la potencia N de la fuerza resultante F, que actúa sobre la partícula.

Las ecuaciones 25 y 26 son justas en los sistemas inerciales y no inerciales de referencia. Además de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada desde ciertos cuerpos (las fuerzas de interacción), es necesario tener en cuenta también las fuerzas de inercia. Por eso, en estas ecuaciones se debe entender por trabajo (potencia) la suma algebraica de los trabajos (de las potencias) tanto de las fuerzas de interacción, asimismo como de las fuerzas de inercia.

Energía mecánica total de una partícula:

Según la ecuación 24, el incremento de la energía cinética de una partícula es igual al trabajo elemental de la fuerza resultante F de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. ¿qué fuerzas son éstas? Si la partícula se encuentra en el campo potencial que nos interesa, sobre ella actúa la fuerza conservativa FC desde este campo potencial. Además otras fuerzas que tienen otro origen. Denominémoslas fuerzas extrañas FEX.

De este modo, la resultante F de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula, puede ser presentada como F = FC + FEX. El trabajo de todas estas fuerzas incrementa la energía cinética de la partícula:

El trabajo de las fuerzas del campo es igual al decremento de la energía potencial

de la partícula, es decir, WC = - d U. Sustituyendo esta expresión y pasando el miembro d U a la izquierda, obtenemos:

De aquí se desprende que el trabajo de las fuerzas extrañas incrementa la magnitud T + U. Esta magnitud, o sea, la suma de la energía cinética y potencial, la denominan energía mecánica total de la partícula en el campo:

----------- 27

La energía mecánica total E, como la potencial, se determina con exactitud salvo la adición de una constante arbitraria de poca importancia.

Así, el incremento de la energía mecánica total de la partícula por un desplazamiento elemental, es igual a:

------------- 28

Y por el desplazamiento final desde el punto 1 hasta el 2

------------ 29

Es decir, el incremento de la energía mecánica total de una partícula por cierto recorrido es igual a la suma algebraica de los trabajos de todas las fuerzas extrañas que actúan sobre la partícula por este mismo recorrido. Si WEX> 0, la energía mecánica total de la partícula aumenta, si WEX< 0, disminuye.

Ley de conservación de la energía de un sistema:

En caso general, las partículas del sistema pueden interaccionar tanto entre si, como y con los cuerpos que no entran en el sistema dado. El sistema de partículas, sobre el cual no actúan ningunos cuerpos extraños (o su influencia es despreciable por su pequeñez), se denomina cerrado (o aislado). El concepto de sistema cerrado es la generalización natural de la noción de punto material aislado y juega un importante papel en física.

Energía potencial del sistema:

En un sistema cerrado, entre cuyas partículas actúan sólo fuerzas centrales, es decir, fuerzas que dependen, con el carácter dado de la interacción, sólo de la distancia entre ellas y que están dirigidas por la recta, que une las partículas.

En cualquier sistema de referencia el trabajo de todas estas fuerzas durante el paso del sistema de partículas de una a otra posición, puede ser presentado como el decremento de cierta función que depende, con el carácter de la interacción dado, sólo de la configuración del mismo sistema o de la disposición relativa de sus partículas. Esta función se denomina energía potencial propia del sistema (a diferencia de la energía potencial que caracteriza la interacción del sistema dado con otros cuerpos).

Tomando un sistema de dos partículas. Calculemos el trabajo elemental de las fuerzas, con las cuales estas partículas interaccionan entre sí. Sea que la posición de las partículas en cierto momento de tiempo se determina en un sistema arbitrario de referencia por los radios vectores r1 y r2. Si las partículas realizaron en el tiempo dt los desplazamientos dr1 y dr2 respectivamente, entonces el trabajo de las fuerzas de interacción F12 y F21 es igual a:

Ahora tomando en cuenta que, según la tercera ley de Newton, F21 = - F12, por eso la expresión anterior se puede escribir así:

Introduciendo el vector r12 = r1 – r2 que caracteriza la posición de la primer partícula con relación a la segunda. Entonces dr12 = dr1 – dr2 y después de la sustitución en la expresión para el trabajo obtenemos:

La fuerza F12 es central, por eso el trabajo de ella es igual al decremento de la energía potencial de interacción del par dado de partículas, es decir,

Como la función U12 depende solamente de la distancia r12 entre las partículas, es

evidente que el trabajo W12 no depende de la elección del sistema de referencia.

Ahora recurrimos a un sistema de tres partículas (el resultado obtenido en este caso se generaliza también fácilmente para un sistema de un número arbitrario de partículas). El trabajo elemental, que realizan todas las fuerzas de interacción con el desplazamiento elemental de todas las partículas, puede ser presentado como la suma de los trabajos elementales de los tres pares de interacciones, es decir,

W = W12 + W13 + W23. Pero para cada par de interacciones, sabemos que,

Wik = - dUik, por eso:

Donde la función U es la energía potencial propia del sistema dado de partículas:

Como cada sumando de este total depende de la distancia entre las partículas correspondientes, entonces evidentemente, la energía potencial propia U del sistema dado depende de la disposición relativa de las partículas (en un mismo momento), o con otras palabras, de la configuración del sistema.

Está claro, que semejantes, razonamientos son justos para los sistemas de cualquier número de partículas. Por eso se puede afirmar que a cada configuración de un sistema arbitrario de partículas le es inherente su energía potencial propia U, y que el trabajo de todas las fuerzas centrales internas, al variar esta configuración es igual al decremento de la energía potencial propia del sistema, es decir,

Y con el desplazamiento final de todas las partículas del sistema.

Donde U1 y U2 son los valores de la energía potencial del sistema en los estados inicial y final.

La energía potencial propia del sistema U es una magnitud no aditiva, es decir, en caso general no es igual a la suma de las energías potenciales propias de sus partes. Además, es necesario tomar en cuenta la energía potencial de interacción Uint de las partes aisladas del sistema:

Donde Un es la energía potencial propia de la n-ésima parte del sistema.

También se debe tener en cuenta, que la energía potencial propia del sistema, como y la energía potencial de interacción de cada par de partículas, se determina con exactitud salvo la adición de una constante arbitraria que, además, aquí no tiene por completo importancia.

En conclusión, las siguientes ecuaciones son útiles para el cálculo de la energía potencial propia del sistema, esta energía puede ser representada como:

Donde Ui es la energía potencial de interacción de la i-ésima partícula con todas las demás del sistema. Aquí se toma la suma según todas las partículas del sistema.

Energía cinética de un sistema:

Supongamos que la i-ésima partícula del sistema tiene en un momento dado una energía cinética Ti. El incremento de la energía cinética de cada partícula es igual,

al trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre está partícula: dT i = Wi. Para encontrar el trabajo elemental que realizan todas las fuerzas, que actúan sobre las partículas del sistema:

donde T = Ti es la energía cinética sumaria del sistema. La magnitud de la energía cinética del sistema es una magnitud aditiva: es igual a la suma de las energías cinéticas de las partes aisladas del sistema independientemente de si ellas interaccionen entre sí o no.

Así, el incremento de la energía cinética de un sistema es igual al trabajo que realizan todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Con el desplazamiento elemental de todas las partículas.

y con el desplazamiento final

, se puede presentar también en otra forma, dividiendo sus dos miembros por el intervalo de tiempo dt correspondiente. Teniendo con ello en

cuenta que Wi = Fi vidt, obtenemos:

es decir, la derivada de la energía cinética del sistema conforme al tiempo es igual a la potencia sumaria de todas las fuerzas que actúan sobre todas las partículas del sistema.

Las ecuaciones anteriores son justas tanto en los sistemas inerciales de referencia, como en los no inerciales. Solamente se debe recordar que en los sistemas no inerciales además del trabajo de las fuerzas de interacción es necesario tener asimismo en cuenta el trabajo de las fuerzas de inercia.

Clasificación de las fuerzas:

Las partículas del sistema considerado pueden interaccionar tanto entre si, como también con los cuerpos que no entran en el sistema dado. En correspondencia con esto, las fuerzas de interacción entre partículas las denominan internas, mientras que las fuerzas, determinadas por la acción de otros cuerpos que no entran en el sistema dado, externas. En un sistema no inercial de referencia a las últimas pertenecen y las fuerzas de inercia.

Además, todas las fuerzas se dividen en potenciales y no potenciales. Las fuerzas que con él carácter de interacción dado dependen sólo de la configuración del sistema mecánico se denominan potenciales. El trabajo de estas fuerzas es igual al decremento de la energía potencial del sistema.

A las fuerzas no potenciales se refieren las llamadas fuerzas disipativas, es decir, las fuerzas de rozamiento y de resistencia. Una particularidad importante de dichas fuerzas es que el trabajo sumario de las fuerzas disipativas internas del sistema considerado es negativo además en cualquier sistema de referencia.

Cualquier fuerza disipativas puede ser representada como:

donde V es la velocidad del cuerpo dado con relación a otro cuerpo (o medio), con el cual interaccionan: k(v), es el coeficiente positivo, que en caso general depende de la velocidad v. La fuerza F está siempre dirigida en sentido contrario al vector V. El trabajo de esta fuerza puede ser, en dependencia del sistema de referencia elegido, tanto positivo, como negativo. Mas el trabajo sumario de todas las fuerzas disipativas internas es siempre una magnitud negativa.

Las fuerzas disipativas internas en el sistema dado se encontrarán a pares. Con ello, en cada par, según la tercera ley de Newton, dichas fuerzas serán de igual módulo y estarán dirigidas en dirección contraria. Definamos el trabajo elemental de un par arbitrario de fuerzas disipativas de interacción entre los puntos 1 y 2 en el sistema de referencia, donde las velocidades de estos cuerpos en un momento dado son iguales a V1 y V2:

ahora tengamos en cuenta que F21 = - F12, V1 – V2 = V, o sea, la velocidad del cuerpo 1 con relación al cuerpo 2 y también, que F12 = - k(v) V. Entonces la expresión para el trabajo se transforma del siguiente modo:

de aquí se ve, que el trabajo de un par arbitrario de fuerzas disipativas internas es siempre negativo, y esto significa que el trabajo sumario de todos los pares de fuerzas disipativas internas también es siempre negativo. De este modo, en realidad:

Ley de conservación de la energía:

Anteriormente fue demostrado que el incremento de la energía interna de un sistema es igual al trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre todas las partículas del sistema. Dividiendo estas fuerzas en las externas e internas, en tanto que las, a su vez, en las potenciales y disipativas, de otra forma:

Consideremos que el trabajo de las fuerzas potenciales internas es igual al

decremento de la energía potencial propia del sistema, es decir, .

Entonces, la expresión anterior toma el aspecto:

Introduciendo el concepto de energía mecánica total del sistema o, brevemente, de energía mecánica como la suma de la energía cinética y potencial del sistema:

Es evidente que la energía E depende de las velocidades de las partículas del sistema, del carácter de la interacción entre ellas y de la configuración del sistema. Además, la energía E, como también la energía potencial U, se determina con una exactitud salvo la adición de una constante arbitraria de poca importancia y es una magnitud no aditiva, es decir, la energía E del sistema en caso general no es igual a la suma de las energías de sus partes aisladas.

donde En es la energía mecánica de la n-ésima parte del sistema, Uin es la energía potencial de interacción de sus partes aisladas.

Esta expresión es justa para la variación infinitesimal de la configuración del sistema. Mas para la variación finita

es decir, el incremento de la energía mecánica del sistema es igual a la suma algebraica de los trabajos de todas las fuerzas externas y de todas las fuerzas disipativas internas.

La ecuación se puede representar, además, en otra forma,

dividiendo sus dos miembros por el intervalo de tiempo dt correspondiente, entonces:

es decir, la derivada de la energía mecánica del sistema conforme al tiempo es igual a la suma algebraica de las potencias de todas las fuerzas externas y de las fuerzas disipativas internas.

y; estas ecuaciones son juntas tanto en

los sistemas inerciales de referencia, como en los no inerciales. Sólo se debe tomar en consideración, que en el sistema no inercial de referencia es necesario tener en cuenta el trabajo (la potencia) de las fuerzas de inercia que juegan el papel de fuerzas externas, es decir, por Wext se debe entender la suma algebraica

de los trabajos de las fuerzas externas de interacción y el trabajo de las fuerzas de inercia W1. Para subrayar esta circunstancia, podemos escribir

de la siguiente forma:

Así pues, llegamos a un importante resultado: la energía mecánica del sistema puede variar bajo la acción tanto de las fuerzas externas, como de las fuerzas disipativas internas (hablando con precisión, bajo la acción de la suma algebraica de los trabajos de todas estas fuerzas). De aquí se deriva directamente otra importante deducción, o sea, la ley de conservación de la energía mecánica:

En un sistema inercial de referencia la energía mecánica de un sistema cerrado de partículas, en el cual no hay fuerzas disipativas, se conserva en el proceso de movimiento, es decir,

Este sistema lo denominan conservativo. Indicamos que durante el movimiento de un sistema conservativo cerrado se conserva precisamente la energía mecánica total, mientras que en caso general las energías cinéticas y potencial varían. Sin embargo, estas variaciones siempre tienen lugar de tal modo que el incremento de

una de ellas es exactamente igual al decremento de la otra, es decir, T = - U. Claro está, que esta situación es justa sólo en los sistemas inerciales de referencia.

Luego, se deduce que si el sistema cerrado no es conservativo, es decir, en él hay fuerzas disipativas, la energía mecánica de este sistema, según decrece:

Se puede decir: La energía mecánica se consume en el trabajo contra las fuerzas disipativas que actúan en el sistema. Sin embargo, esta explicación es formal, ya que no revela la naturaleza física de las fuerzas disipativas.

La comprensión más profunda de este problema llevó la deducción fundamental sobre la existencia en la naturaleza de la ley universal de conservación de la energía:

La energía no se crea y no se elimina jamás, sólo puede pasar de una a otra forma o intercambiarse entre partes aisladas de materia. Con ello, se tuvo que ampliar el concepto de energía con la introducción de sus nuevas formas (además de la mecánica): La energía del campo electromagnético, la energía química, la nuclear y otras.

De ese modo, la ley universal de conservación de la energía abarca también aquellos fenómenos físicos a los cuales no se extienden las leyes de Newton. Por esta razón ella no puede ser deducida de estas leyes, sino que debe considerarse como una ley independiente, que representa de por sí una de las generalizaciones más amplias de los hechos experimentales.

De la siguiente ecuación , se puede decir que, siempre con la disminución de la energía mecánica de un sistema cerrado surge una cantidad equivalente de energía de otros tipos, no ligados con el movimiento visible. En este sentido se pueden considerar las siguientes ecuaciones

y como la formulación más general de la

ley de conservación de la energía, en la cual se indica la causa de la variación de la energía mecánica en un sistema no cerrado.

Cantidad de Movimiento Lineal:

Newton enunció la segunda ley de la dinámica en una forma más general diferente a la expuesta en los párrafos anteriores. Para caracterizar el estado mecánico durante el movimiento de un cuerpo se introduce una magnitud más: la cantidad de movimiento (o impulsión) del cuerpo. La cantidad de movimiento del cuerpo es una magnitud física vectorial numéricamente igual al producto de la masa por la velocidad y cuya dirección y sentido coinciden con los de la velocidad del cuerpo. Si designamos con la letra K la cantidad de movimiento de un cuerpo de masa m y

a su velocidad con , entonces:

---------- 30

La unidad de cantidad de movimiento no posee denominación especial. En el sistema SI la cantidad de movimiento tiene dimensiones kg .m/c. Así, por ejemplo,

si un cuerpo de una masa de 10 kg se mueve con una velocidad de 2 m/c, este tiene una cantidad de movimiento igual a:

Newton enunció la segunda ley de la dinámica de la manera siguiente <<La variación de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza motriz y ocurre en la dirección de la recta en que actúa esta fuerza>>.

Empleando lenguaje moderno es mejor escribir el enunciado anterior del modo siguiente: la derivada de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual en valor a la fuerza aplicada y coincide con ella en dirección y sentido.

Si K es la cantidad de movimiento del cuerpo y F, la fuerza aplicada, en todo instante tendremos que:

-------- 31

Y solamente en el caso que la masa del cuerpo permanezca constante al transcurrir el tiempo se puede sacar del signo de la derivada el valor de la masa y escribir:

----------- 32

Donde es la aceleración del cuerpo. Por consiguiente, sólo en un caso

particular, en verdad, el que se presenta con mayor frecuencia, la ecuación anterior conserva su validez.

Cuando varía la masa del cuerpo durante el movimiento es necesario emplear la segunda ley en su forma general (con la cantidad de movimiento) que refleja correctamente los preceptos de la dinámica para todos los casos de movimiento de un punto material.

La forma general de la segunda ley de la dinámica también resultó ser válida en la teoría de la relatividad. Según dicha teoría la masa depende del módulo de la velocidad de movimiento del cuerpo. Por lo tanto, es correcta la expresión 31 y no lo es la 32. En esta teoría la ley de la dinámica se formula así:

----------- 33

Al cambiar el valor de la velocidad cambia la masa m; en el caso general, la fuerza F no coincide en dirección ni en sentido con la aceleración a y, la aceleración no es proporcional a la fuerza.

En el caso que coincidan la dirección y el sentido de la fuerza con los de la

velocidad o, cuando la fuerza sea perpendicular a la velocidad, la aceleración a y

la fuerza F coinciden en dirección y sentido. En los demás casos la situación es aproximadamente igual a la mostrada en la siguiente figura.

En la mecánica Newtoniana <<m a>>, ya que la propia masa m difiere muy

poco de la masa constante m0. Incluso con una enorme velocidad como la

velocidad cósmica ( = 30 Km/s), la razón /c = 10-4 y por lo tanto la masa difiere de m0 en solo una 5.10-9 fracción de la unidad. A las velocidades <<técnicas>> ordinarias esta fracción es mucho menor. Por supuesto, no consideremos las velocidades de partículas en los aceleradores de éstas, etc. En dichos

aceleradores es cercana a c y por esto la mecánica Newtoniana debe ser substituida por la mecánica Einsteniana.

En la primera y segunda leyes de Newton se habla solamente de la fuerza que actúa sobre un cuerpo dado (único) y no se mencionan otros cuerpos, los cuales ejercen dicha fuerza. Una fuerza caracteriza la interacción de por lo menos dos cuerpos; el papel del segundo cuerpo en los fenómenos dinámicos está reflejado en la tercera ley de Newton que, de hecho, es inseparable de las dos primeras.

Ley de conservación de la impulsión:

La experiencia y el análisis correspondiente de los fenómenos mecánicos muestran, que para la caracterización del movimiento mecánico de los cuerpos es

necesario, además de la energía cinética , introducir una magnitud más,

o sea, la impulsión . Estas dos magnitudes son las medidas

fundamentales del movimiento mecánico de los cuerpos: la primera es escalar, la segunda, vectorial. Ambas juegan un papel central en toda la estructura de la mecánica.

Ante todo escribimos la ecuación fundamental de la dinámica Newtoniana en otra forma, o sea, mediante la impulsión:

F m a

V

es decir, la derivada de la impulsión de un punto material conforme al tiempo es igual a la fuerza que actúa sobre él.

En particular, si F 0, entonces p = constante.

Indiquemos, que la fuerza F en un sistema no inercial de referencia contiene no sólo las fuerzas de interacción de la partícula dada con otros cuerpos, sino que también las fuerzas de inercia.

La ecuación anterior permite encontrar el incremento de la impulsión de la partícula en cualquier intervalo de tiempo, si se conoce la dependencia de la fuerza F y el tiempo. En realidad, de la ecuación anterior se deduce que el incremento elemental de la impulsión de la partícula en el lapso dt es dp = F dt. Integrando esta expresión según el tiempo, encontramos el incremento de la impulsión de la partícula en el intervalo finito de tiempo t:

La magnitud en el segundo miembro, la denominan impulsión de una fuerza. De este modo, el incremento de la impulsión de una partícula en cualquier intervalo de tiempo es igual a la impulsión de una fuerza en este mismo tiempo. Si la fuerza F = constante, entonces el vector F se puede sacar de la integral y p2 – p1 = Ft.

Impulsión de un sistema:

Introduciendo el concepto de impulsión del sistema como suma vectorial de las impulsiones de sus partes por separado:

donde pi es la impulsión de la i-ésima partícula. Señalemos, que la impulsión del sistema es una magnitud aditiva, es decir, la impulsión del sistema es igual a la suma de las impulsiones de sus partes por separado independientemente de que ellas interaccionen entre si o no.

Hallemos la magnitud física que determina la variación de la impulsión del sistema. Para esto diferenciamos la ecuación anterior conforme al tiempo:

dondeFik son las fuerzas que actúan sobre la i-ésima partícula desde otras partículas del sistema (fuerzas internas), Fi es la fuerza que actúa sobre esta misma partícula desde otros cuerpos que no entran en el sistema considerado (fuerzas externas). Sustituyendo la última expresión en la anterior, obtenemos:

La suma doble en el segundo miembro es la suma de todas las fuerzas internas. En correspondencia con la tercera ley de Newton las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema son iguales a pares según su módulo y contrarias por su dirección. Por eso la fuerza resultante en cada par de interacción es igual a cero, lo que significa que es también igual a cero la suma vectorial de todas las fuerzas internas. Como resultado la última ecuación toma el siguiente aspecto:

donde F es la resultante de todas las fuerzas externas, .

La ecuación anterior significa: la derivada de la impulsión conforme al tiempo es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema.

Como en el caso de una partícula, de la ecuación anterior se deduce que el incremento de la impulsión del sistema en el intervalo finito de tiempo t es:

es decir, el incremento de la impulsión del sistema es igual a la impulsión resultante de todas las fuerzas externas en el intervalo de tiempo correspondiente. Y aquí, claro está, F es la resultante de todas las fuerzas externas.

Las dos ecuaciones anteriores son válidas tanto en los sistemas inerciales de referencia, como y en los no inerciales. Sólo debe tenerse en cuenta que en el sistema no inercial de referencia es necesario tomar también en consideración la acción de las fuerzas de inercia, que juegan el papel de fuerzas externas, es decir, por F se debe entender en estas ecuaciones la suma Fin + Fi, donde Fin es la resultante de todas las fuerzas externas de interacción y Fi, la resultante de todas las fuerzas de inercia.

Ley de conservación de la impulsión:

La impulsión de un sistema puede variar sólo bajo la acción de las fuerzas externas. Las fuerzas internas no pueden variar la impulsión del sistema. De aquí se deriva directamente otra importante deducción, o sea, la ley de conservación de

la impulsión: la impulsión de un sistema cerrado de partículas en un sistema inercial de referencia permanece constante, es decir, no varía con el tiempo:

con ello, pueden variar con el tiempo las impulsiones de partículas aisladas o de partes del sistema cerrado, lo que subraya en la última expresión. Sin embargo, estas variaciones siempre transcurren de modo que el incremento de la impulsión de una parte del sistema es igual al decremento de la impulsión de la parte restante del sistema. Con otras palabras, las partes aisladas de un sistema cerrado sólo pueden intercambiar impulsiones. Habiendo descubierto en cierto sistema un incremento de la impulsión, podemos afirmar que este incremento tuvo lugar a cuenta del decremento de la impulsión en los cuerpos circundantes.

y estas ecuaciones se deben considerar como la

formulación más general de la ley de conservación de la impulsión, en la cual se indica la causa de la variación de la impulsión en un sistema cerrado, o sea, la acción de otros cuerpos (fuerzas externas). Sin duda, lo dicho es justo sólo para los sistemas inerciales de referencia.

A condición de que la resultante de todas las fuerzas externas sea igual a cero, la impulsión se puede también conservar en un sistema no cerrado. Esto se deduce directamente de las ecuaciones antes mencionadas. En estos casos la conservación de la impulsión, desde un punto de vista práctico, tiene especial interés, ya que da la posibilidad de obtener por vía suficientemente simple una serie de conocimientos del comportamiento del sistema.

Y otra cosa más. En un sistema no cerrado se puede conservar no la misma impulsión p, sino su proyección px en cierta dirección x. Esto sucede cuando la proyección de la fuerza externa resultante F en la dirección x es igual a cero, es decir el vector F es perpendicular a ella.

de donde se deduce que si Fx 0, entonces px contante. Por ejemplo, durante el movimiento de un sistema en campo homogéneo de fuerzas de gravedad se conserva la proyección de su impulsión en cualquier dirección horizontal, suceda lo que suceda en el sistema.