APUNTES DE GEOMETRÍA - INACAP

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a

MANUAL DOCENTE

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica de Pregrado

2016

APUNTES DE GEOMETRÍA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP

MTFG01 MTIC02 MTGI01

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ÍNDICE

UNIDAD 1: GEOMETRÍA PLANA

1.1: ELEMENTOS PRIMITIVOS DE LA GEOMETRIA

- Punto, línea plano y espacio

- Ángulo: definición

- Bisectriz

- Medida de ángulos.- Clasificación de ángulos según su medida.

- Ángulos opuestos por el vértice- Rectas: Perpendicular y paralelas.

- Distancia entre puntos.- Distancia de un punto a una recta.- Distancia entre dos rectas paralelas

- Simetral de un segmento.

1.2 POLIGONOS, CIRCUNFERENCIA Y CIRCULOS

- Concepto congruencia y semejanza.- Definición y clasificación de los polígonos:

- Triángulos: Definición, clasificación, elementos primarios y Teoremas- Elementos segundarios de un triangulo

- Área y Perímetro de Triángulos.- Cuadrilátero: Definición, clasificación, propiedades y Teoremas.

- Área y Perímetro de Paralelogramos y Trapecios.- Círculo y Circunferencia: Definición, elementos y propiedades

- Ángulos en la circunferencia y sus medidas.- Área y Perímetro del Círculo y Sector Circular.

1.3 CUERPOS GEOMETRICOS

- Definición, Elementos y Clasificación- Formulas para el Área de superficies y Volumen.

UNIDAD 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA

2.1: SISTEMAS DE COORDENADAS

- Sistema Coordenado en el plano

- Relación Entre Puntos

- Distancia Entre Puntos

- División de un segmento en una razón dada.- Áreas y perímetros de triángulos y polígonos.

- Colinealidad.- Pendiente de una recta.- Ángulo entre dos rectas.

- Rectas paralelas y perpendiculares.

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2.2 LINEA RECTA Y CIRCUNFERENCIA

- Lugares geométricos. - La línea recta: Definición de línea recta.

- Formas de la ecuación de la recta:

Punto- Punto.

Punto-Pendiente.

Pendiente - Ordenada en el origen. (o principal)

General. - La circunferencia: Definición, elementos, propiedades y gráfica.

- Ecuación de la circunferencia centrada en el origen y en un punto (h, k)

2.3 SECCIONES CÓNICAS

- Secciones cónicas: - Elipse: Definición y lugar geométrico, elementos, propiedades y gráfica.

- Ecuación de la elipse de centro en el origen. - Ecuación principal y general de la elipse de centro (h, k).

- Parábola: Definición y lugar geométrico, elementos, propiedades y gráfica. - Ecuación de la parábola de vértice en el origen.

- Ecuación principal y general de la parábola de vértice (h, k). - Hipérbola: Definición y lugar geométrico, elementos, propiedades y gráfica.

- Ecuaciones de la hipérbola. - Asíntotas de la hipérbola.

- Hipérbola equilátera. - Propiedades de la hipérbola. - Aplicaciones de las cónicas.

UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA

3.1: TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL.

- Ángulos - Definición y tipos de ángulo.

- Sistemas de medición sexagesimal y radial. - Trigonometría elemental.

- Razones Trigonométricas en el Triángulo rectángulo. - Teorema del Seno y del Coseno.

- Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. - Resolución de problemas cotidianos

3.2: TRIGONOMETRIA GRÁFICA Y ALGEBRAICA

Trigonometría gráfica. - Gráfica de las funciones trigonométricas y sus inversas.

- Uso de calculadora para las funciones trigonométricas directas e inversas.

Trigonometría algebraica. - Relaciones entre las funciones trigonométricas: inversas, pitagóricas y de ángulos dobles.

- Identidades trigonométricas. - Ecuaciones trigonométricas.

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PRESENTACIÓN

Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Geometría, asignatura

lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento de Ciencias

Básicas.

Geometría tiene como propósito fundamental, contribuir a los alumnos del área de

Construcción, en el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas.

La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizaje que involucren

metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del

docente un mediador.

El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de

base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente.

Confía en tus capacidades, te deseamos mucho éxito.

5 UNIDAD 1: GEOMETRIA

n la mayoría de los textos históricos se hace referencia, a que, la geometría, fue

iniciada en Egipto, originándose por necesidades de problemas como la medición

de áreas, en este caso era una necesidad para los egipcios, debido a que el río Nilo, se

desbordarse y barría con las señales que indicaban los límites de los terrenos de cada dueño.

Muchos autores se basan en el pasaje de Heródoto que señala que en tiempos de Ramsés II

(1300 a.C.) "La tierra se distribuía entre los egipcios en terrenos rectangulares iguales, por

los que pagaba un impuesto anual, y cuando el río inundaba parte de su tierra, el dueño

pedía una deducción proporcional en el impuesto, y los agrimensores de aquel tiempo

tenían que certificar que tal fracción de tierra había sido inundada".

Esta es mi opinión (comenta Heródoto) el origen de la geometría que después paso a

Grecia“.

Los conocimientos de geometría y las aplicaciones que los egipcios resolvían con esta, se

evidencian se evidencian en inscripciones talladas en piedras y en papiros, entre los más

antiguos se encuentran el papiro Golenischevse que se conserva en Moscú y el

papiro Rhind o de Ahmes que se haya en el British Museum.

También se tiene información histórica que Thales de Mileto, el gran matemático griego, en

uno de sus viajes se dirigió a Egipto, donde quedó maravillado del esplendor y grandeza de

las pirámides y lejos de medir la altura de una de ellas optó por un mejor camino, el cálculo,

gracias a la sombra que proyectaba esta gigantesca construcción, la ayuda de un bastón que

portaba y los conocimientos de geometría que tenía, pudo lograr su ansiado objetivo. Era el

inicio del trabajo con los que después conoceremos como teoremas sobre triángulos.

UNIDAD 1

GEOMETRÍA

E

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Diagrams/Moscow_papyrus.jpeg

http://www.jimena.com/egipto/apartados/papiros.htm

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Ahmes.html


APRENDIZAJE ESPERADO CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1.1 Aplica conceptos básicos de la geometría

euclidiana para resolver problemas que involucren Líneas y ángulos.

1.1.1 Identifica líneas, semirrectas, rectas y

segmentos median te definición y ejemplos.

1.1.2 Reconoce las características que debe cumplir

cada elemento e identifica las propiedades de cada una de ellas.

1.1.3 Aplica definiciones propiedades y teoremas

para calcular ángulos mediante condiciones y/o figuras dadas.

1.2 Aplica conceptos, técnicas, fórmulas,

propiedades y teoremas de los polígonos, circunferencia y círculo para resolver problemas geométricos y/o de su especialidad.

1.2.1 Utiliza conceptos, fórmulas, propiedades y

teoremas para determinar elementos de triángulos y cuadriláteros.

1.2.2 Aplica definiciones, propiedades, teoremas y

fórmulas para calcular ángulos y arcos en circunferencias.

1.2.3 Aplica técnicas, propiedades, teoremas y

fórmulas para calcular elementos, áreas y perímetros de figuras planas dadas y/o en problemas de su especialidad.

1.3 Aplica conceptos de los cuerpos geométricos

para resolver problemas de la vida real y/o de su especialidad.

1.3.1 Utiliza fórmulas y propiedades de los cuerpos

geométricos para calcular sus elementos.

1.3.2 Aplica conceptos, fórmulas y propiedades para

calcular áreas de superficie y volúmenes de cuerpos geométricos.

1.3.3 Aplica conceptos, fórmulas y propiedades de

los cuerpos geométricos para resolver problemas de aplicación.


Rectas y Ángulos En Geometría hay ideas básicas que todos entendemos pero que no definimos. Éstas son las ideas de Punto, Recta, Plano y Espacio. Señalamos un punto con una marca que puede ser “•” o “x” y la ubicamos en un marco de referencia, generalmente en el Sistema Cartesiano. Un punto se caracteriza y se diferencia de otro punto sólo por su ubicación. Si está

en un plano, su posición se indica por un par ordenado de números reales 𝑃(𝑥, 𝑦) (Figura 1). Si está en el espacio, se indica con un trío ordenado de números reales

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) (Figura 2).

(Figura 1) (Figura 2)

Señalamos una recta por una parre de ella, considerando siempre que la recta es ilimitada.

La nombramos con una letra (L) o marcando dos puntos cuales quiera de ella 𝐴𝐵 ⃡ Cada punto de una recta divide a ésta en dos semirrectas. El punto es la frontera entre ambas y no pertenece a ninguna de ellas. Se llama rayo a una semirrecta unida con su frontera Se llama segmento o trazo a una porción continua de recta limitada por ambos lados.

La medida o longitud de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ se designa por 𝑚(𝐴𝐵) o simplemente AB.


Señalamos un plano por una porción de él y generalmente le damos la forma de paralelogramo. No debernos olvidar que es plano es ilimitado. Normalmente lo designamos por una letra Una recta n un plano divide a éste en dos semiplanos, siendo la recta la frontera entre los dos semiplanos. Ambos semiplanos y la recta frontera constituyen una partición del plano. En el plano encontramos diversas figuras geométricas que se caracterizan por su forma. Si son líneas abiertas constituidas por segmentos unidos por sus extremos, se llaman poligonales; cunas si no contienen segmentos y mixtas si están formadas por segmentos y porciones de curvas. Si las líneas son cerradas, dividen al plano que las contiene en tres partes: su interior, su exterior y la frontera. Las líneas cerradas encierran una región, y su área es la medida de la parte del plano que constituye el interior de la figura. Quedan limitadas por su contorno o frontera, cuya medida de longitud se denomina perímetro. Espacio es el ambiente tridimensional en que nos movemos, Propondremos, estudiaremos y resolveremos problemas relativos a cuerpos geométricos. Entendemos por cuerpo geométrico una porción continua del espacio limitada por superficies curvas y/o planas. Si sólo está limitado por planos, se llama poliedro. Si su límite tiene alguna parte que es una superficie curva, se llama cuerpo redondo. La medida de esa porción limitada de espacio que constituye un cuerpo es lo que llamamos volumen del cuerpo. Las porciones de planos que limitan el cuerpo se llaman caras y si son porciones de superficies curvas, se denominan manto o superficie de revolución. La suma de las áreas de las caras y/o de las superficies de revolución constituye el área del cuerpo geométrico. Un plano divide al espacio en dos semiespacios, siendo el plano la frontera entre ambos; no pertenece a ninguno de ellos. Ambos semiespacios y el plano divisorio constituyen una partición del espacio.


Postulado Si Dos rectas sé intersectan, estas lo harán en un solo punto. Llamaremos por A al punto de intersección Ángulo. Se llama ángulo a la unión de dos rayos que tienen origen común. El origen recibe el nombre de vértice y la abertura que se produce entre los rayos es lo que llamamos medida del ángulo. Los rayos se llaman lados del ángulo. También podemos entender la medida del ángulo corno la parte del plano que

recorre el rayo 𝑂𝐴 para llegar a la posición 𝑂𝐵 , manteniendo fijo el punto O.

Considerando que el punto A puede ser elegido en cualquier parte del rayo 𝑂𝐴 (lado del ángulo). Medida de ángulos: La medida de un ángulo se considera positiva si la abertura se recorre en sentido inverso al movimiento que realizan las manecillas del reloj, y se considera negativa si la abertura se recorre en el mismo sentido en que se mueven las manecillas del reloj.

(Medida del ángulo Positiva) (Medida del ángulo Negativa) Dos ángulos son iguales si el valor absoluto de sus medidas es igual. Para poder darle una medida a los ángulos, definiremos dos sistemas de medida:


Sistema sexagesimal: Grados

Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

constituye un grado sexagesimal.

Se denotara con el símbolo “ ° ” sobre el número, así, 20 grados sexagesimales

equivale a escribir 20°.

Cada uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60′) que corresponden,

cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes

iguales (60′′) correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

Sistema Internacional de Unidades SI: Radianes

Una circunferencia se divide 2𝝅 radianes. (La letra griega 𝝅 se pronuncia Pi)

360º ≈ 6,2836 radianes o bien 1 radian ≈ 57,3°

En esta Unidad usaremos solo la medida en sistema sexagesimal.

Clasificación de los ángulos según su medida.

Angulo agudo: Son aquellos ángulos que su medida (abertura) está entre los 0º y

los 90º.

Angulo recto: Es aquel ángulo que su medida (abertura) mide exactamente 90º.

Usualmente se coloca un pequeño cuadrado entre las rectas (ver dibujo) para

denotar a este tipo de ángulo, así, no debemos hacer mención de su medida.


Angulo obtuso: Son aquellos ángulos que su medida (abertura) entre los 90º y los

180º.

Angulo Llano o Extendido: Es aquel que mide exactamente 180º. Angulo entrante o Cóncavo: Son aquellos que su medida está entre 180° y 360°

Angulo completo: Es aquel ángulo que mide exactamente 360º.

Dos ángulos pueden estar clasificados según su suma en 2 tipos. Ángulos Complementarios:

Son aquellos ángulos positivos que al sumarlos obtenemos un ángulo recto.

En otras palabras, si 𝛼 y 𝛽 son 2 ángulos, entonces 𝛼 + 𝛽 = 90°

Se dice también, 𝛼 es el complemento de 𝛽 si 𝛽 + 𝛼 = 90°

O también 𝛽 es el complemento de 𝛼 si 𝛼 + 𝛽 = 90°


Otra manera de decir esto es: si 𝛼 es el complemento de 𝛽 entonces 𝛼 = 90° − 𝛽

Ejemplos: 30° es el complemento de 60°, puesto que 60° + 30° = 90°

¿El complemento de 40° es?

Para resolver esto debemos hacer lo siguiente, viendo la última definición, tenemos

que el complemento de 40° viene dado por X = 90° - 40° = 50° Por lo tanto, el

complemento de 40° es 50°.

Ángulos Suplementarios:

Son aquellos ángulos positivos que al sumarlos obtenemos un ángulo extendido.

En otras palabras, si 𝛼 y 𝛽 son 2 ángulos, entonces 𝛼 + 𝛽 = 180°

Se dice también, 𝛼 es el suplemento de 𝛽 si 𝛽 + 𝛼 = 180°

O también 𝛽 es el complemento de 𝛼 si 𝛼 + 𝛽 = 180°

Otra manera de decir esto es decir si 𝛼 es el suplemento de 𝛽 entonces

𝛼 = 180° − 𝛽

Ejemplo 1: 100° es el complemento de 80°, puesto que 80° + 100° = 180°

Ejemplo 2: ¿El suplemento de 55° es?

Para resolver esto hacer lo siguiente, viendo la última definición, tenemos que el

suplemento de 55° viene dado por 𝑥 = 180° − 55° = 125°

Por lo tanto, el suplemento de 55° es 125°.

NOTA: Un ángulo Obtuso NO TIENE COMPLEMENTO. Esto es porque

un ángulo obtuso es mayor que 90°, por lo tanto no podemos encontrar un ángulo

el cual sumado nos de 90°. Ejemplo: ¿El complemento de 100° es? Esto sería

resolver la ecuación 𝑥 = 90° − 100° = −10° Con lo cual llegamos a contradecir

nuestra definición.


Ejemplo Mixto:

¿El suplemento del complemento de un ángulo de 55° es?

Para resolver este problema lo que debemos hacer es primero calcular el

complemento de 55°, para ello debemos resolver la siguiente ecuación:

55° + 𝑥 = 90° ⇒ 𝑥 = 90° − 55° = 35°

Ahora que tenemos el complemento, debemos buscar el suplemento de 35°, para

ello utilizamos la siguiente ecuación:

35° + 𝑦 = 180° ⇒ 𝑦 = 180° − 35° = 145°

Por lo tanto el Suplemento del complemento de 55° es 145°.

Ejercicios Propuestos:

1. Determina el complemento de 72º. 2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?

3. ¿Cuál es el suplemento de (𝑎 − 12)°? 4. Determina el complemento del suplemento de 143º. 5. Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados mide x?

6. ¿Cuál es el suplemento del complemento de (𝑎 − 10)°? 7. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el suplemento de 93º?

8. Determina la diferencia entre el suplemento de (𝑎 − 15)° y el complemento

de (𝑎 − 45)°

9. Un ángulo y su suplemento están en razón 7: 2. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

10. Un ángulo y su complemento están en razón 2: 1. ¿Cuánto mide el suplemento del ángulo mayor? 11. Determina el ángulo que es el triple de su complemento. 12. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.


13. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor. ¿Cuánto mide el ángulo menor? 14. Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que y. ¿Cuánto mide x? 15. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es 12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos ángulos? 16. Dos ángulos que suman 50º están en la razón de 2:3. ¿En qué razón están los complementos respectivos de estos ángulos? 17. El complemento y el suplemento de un ángulo son entre sí como 1:5. ¿Cuánto mide el ángulo? 18. Determina el complemento de 42º18'. 19. Determina el suplemento de 154º27'42''. 20. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho ángulo. 21. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?

Clasificación de los ángulos según su posición. Se llaman ángulos consecutivos a aquellos ángulos que comparten vértice y un tienen un lado en común. Se llaman ángulos adyacentes a aquellos ángulos que comparten vértice, tienen un lado en común y son suplementarios.

POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS

i) Dos rectas distintas en un plano si no sé intersectan se dicen paralelas. 𝐿1//𝐿2

𝐿1

𝐿2


ii) Dos rectas que al intersectarse forman ángulos rectos, se dicen perpendiculares.

𝐿1 𝐿2

𝐿1

Teorema: sí dos rectas sé intersectan, entonces

i) α + β = 180 ii) α = δ

β + δ = 180 β = γ

γ + δ = 180

γ + α = 180 Observación:

A los ángulos 𝛼 𝑦 𝛿, así como a 𝛽 y 𝛾, se le dicen ángulos opuestos por el vértice.

Teorema 2: Sea 𝐿1 paralela a 𝐿2 y sea 𝐿 una recta que intersecta a 𝐿1 y 𝐿2. Entonces se cumple que:

∡ 𝟏 = ∡ 𝟑 = ∡ 𝟓 = ∡ 𝟕 ∡ 𝟐 = ∡ 𝟒 = ∡ 𝟔 = ∡ 𝟖

Además se tiene que ∡𝟏 + ∡𝟐 = 𝟏𝟖𝟎°. Reemplazando ∡1 por ∡3, ∡5 o

∡7 se sigue manteniendo la igualdad, así como también reemplazando ∡2 por

∡4, ∡6 u ∡8


Ejercicios Propuestos.

1) Encontrar el valor del ángulo 𝑥

2) Si L1 // L2; Entonces el valor del ángulo 𝑥 =

3) Si 𝐿1//𝐿2; Entonces el ángulo 𝑥 =

4) Si 𝑃//𝑄; EF bisectriz; Entonces el ángulo 𝑥 =

5) Si Recta 𝑆//𝑇; Entonces el valor del ángulo 𝑥 =

L1 L2

x+20°

30° 70° x - 10°

L1

38°

x+27° L2

x L1

135° L2

x

P

F

20° Q

E

S T

M

2x

x


6) Si 𝑃//𝑄; y 𝑎 − 𝑏 = 20°; 𝑥 =

7) Si 𝐹//𝐺; G perpendicular con M; 𝑥 =

Definiciones: 1. Se llama distancia entre dos puntos a la medida del segmento que los une. 2. Se llama distancia de un punto a una recta a la medida del segmento que se inicia en el punto y llega perpendicularmente a la recta (Solo existe una recta que cumple con esto). 3. Todo segmento trazado desde un punto P a una recta L que no es perpendicular

a la recta se llama segmento oblicuo. 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ y 𝑃𝑆̅̅̅̅ son segmentos oblicuos.

Los puntos Q. R y S se denominan pie de los segmentos 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ y 𝑃𝑆̅̅̅̅ respectivamente.

P

a

b Q

x

T

50° F

G

x

M


Dos segmentos oblicuos cuyos respectivos pies están a igual distancia del pie de la perpendicular tienen longitudes iguales. Si el pie de un segmento oblicuo está a mayor distancia del pie de la perpendicular que otro, es más largo que ese otro. 4. Se llama distancia entre dos rectas paralelas a la medida del segmento determinado por las rectas en una perpendicular a ambas.

La distancia entre las rectas, es la distancia del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Además 𝐿1

𝐿3 y 𝐿2 𝐿3

5. Se llama simetral de un segmento a la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.


1. Si M es punto medio del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y P es un punto dei interior de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Probar que:

𝑀𝑃̅̅̅̅̅ =|𝑃𝐴̅̅ ̅̅ − 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ |

2

2. Sean 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅, 𝑁𝑃̅̅ ̅̅ y 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ segmentos consecutivos de una misma recta tales que 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 𝑥, 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ = 2𝑥, 𝑁𝑃̅̅ ̅̅ = 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑥 + 1 y 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 17. Hallar la medida de cada uno. 3. Dado un segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 50 𝑐𝑚. Desde sus extremos se marcan P y Q en 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ tales

que 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ = 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ = 2𝑄𝑅̅̅ ̅̅ . Siendo R un punto entre P y Q tal que 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ = 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ + 1, hallar Ia medida de todos los segmentos. 4. Sean P un segmento y R un punto interior tal que 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 5𝑃𝑅̅̅ ̅̅ y 𝑅𝑄̅̅ ̅̅ = 20 𝑐𝑚. Hallar la medida de 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ . 5. Sean 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ un segmento y P un punto fuera de él, en la misma recta, tal que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =3𝐵𝑃̅̅ ̅̅ + 1. Si 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ = 𝑎, cuánto mide 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ?


Triángulos Los triángulos tienen una enorme importancia en la geometría ya que todo polígono puede ser descompuesto o formado por triángulos. Es esta gran importancia de los triángulos en la geometría, la que ya se conocía en las primeras civilizaciones. El estudio tan amplio de los triángulos, que ha generado en sí misma una rama de la Geometría y de las Matemáticas, es la Trigonometría.

Definición: Un triángulo, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan

dos a dos en tres puntos, que no se encuentran en una misma línea. Se denomina

vértices del triángulo, a los puntos de intersección de las rectas.

A los segmentos de recta determinados entre los vértices se les llama lados del

triángulo.

Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Clasificación de triángulos

I. Clasificación de acuerdo a la medida de sus lados:

Triángulo Equilátero: Son los que tienen sus tres lados con igual medida.

Triángulo Isósceles: Son los que tienen al menos dos de sus lados con medida

igual.


Triángulo Escaleno: Es aquel que tienen sus tres lados desiguales.

II. Clasificación de triángulos de acuerdo a sus ángulos:

Triángulos Acutángulos: Son los que tienen sus tres ángulos agudos, es decir

menores a 90°.

Triángulos Rectángulos: Es el que tiene un ángulo recto; los lados que forman el

ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto se denomina Hipotenusa.

Triángulos Obtusángulos: Son aquellos que tienen un ángulo obtuso, es decir,

mayor a 90°.


Teoremas sobre triángulos.

Teorema 1:

En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos.

𝑎 + 𝑏 > 𝑐

𝑏 + 𝑐 > 𝑎 𝑎 + 𝑐 > 𝑏

Teorema2:

En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°

Teorema3: "Teorema de Pitágoras"

En todo Triangulo Rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos.

Pitágoras y sus seguidores, los pitagóricos, fueron griegos que se dedicaron al estudio de las matemáticas y plantearon la importancia del número en el cosmos. Pitágoras es recordado mayormente por el teorema que lleva su nombre e indica la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. El teorema lleva ese nombre porque su descubrimiento y exposición teórica recae sobre la escuela pitagórica, pero se sabe que fue usado mucho antes de la existencia de Pitágoras. Los egipcios emplearon el teorema en forma práctica para construir ángulos rectos, lo cual es muy útil al realizar obras arquitectónicas.


Teorema 4: El producto de los dos catetos, de un triángulo rectángulo, coincide

con el producto de la hipotenusa por la altura sobre ella.

Teorema 5: "Teorema de la Altura (Euclides)"

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al

producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Teorema 6: "Teorema del Cateto (Euclides)"

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección

del cateto sobre esta.

Euclides era un Matemático griego clásico por excelencia y su nombre aún es, quizá, el más popular en la larga y desarrollada historia de las matemáticas. Nació en el año 330 A.C en la ciudad de Tiro, Grecia y murió en el año 275 A.C en Alejandría. Escribió una serie de libros donde sintetizaba todos los conocimientos matemáticos conocidos hasta entonces. Los más notables son los “Elementos”, trece volúmenes que tratan de proporciones aritméticas, geometría plana y geometría del espacio. Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias.


Problema 1: Una escalera de 6,5 metros de longitud está apoyada sobre la pared de

un edificio, el pie de la escalera dista 2,5 metros de la pared. ¿A qué altura se

apoya la parte superior de la escalera sobre la pared? Si el edificio tiene 12

pisos y cada piso mide 2,2 metros ¿A qué piso llega la escalera en la posición que

se encuentra?

Solución:

Si realizamos un diagrama de la situación, tenemos

Notamos que podemos utilizar el teorema de Pitágoras y obtendremos la medida

del cateto del triángulo que está sobre el edificio.

Se tiene entonces que 𝑥2 + 2,52 = 6,52, de esto

𝑥2 = 42,25 − 6,25 = 36 Y 𝑥 = 6 𝑚, así la escalera llega a una altura de 6

metros sobre el edificio.

Además por la medida de cada piso podemos notar que la escalera llega al tercer

piso no alcanza a pasar al cuarto.

Concepto de congruencia y semejanzas.

Los conceptos de congruencia y semejanza son fundamentales, ya que podemos reducir el estudio de muchas figuras a otras ya estudiadas. Diremos que dos figuras geométricas se dicen congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. Sin importar la posición relativa entre las figuras.


Diremos que dos figuras geométricas se dicen semejantes si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Sin importar la posición relativa entre las figuras en el plano. Podemos asemejarlo a una ampliación de una figura respecto de la otra.

Un estudio muy importante es el de la congruencia y semejanza de triángulos, para

esto daremos algunos criterios.

Criterios de congruencia. (Teoremas) Criterio Lado- Lado- Lado (LLL) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, entonces los triángulos son congruentes. Criterio Lado- Angulo- Lado (LAL) Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo comprendido entre Ellos respectivamente iguales, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio Angulo- Lado- Angulo (ALA) Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes a él respectivamente iguales, entonces los triángulos son congruentes. Criterio Lado - Lado - Angulo (LLA) Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos respectivamente iguales, entonces los triángulos son congruentes.

Criterios de semejanza. (Teoremas)

Criterio Angulo - Angulo - Angulo (AAA) Si dos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente iguales, entonces los triángulos son semejantes. Criterio Angulo - Angulo (AA) Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, entonces los triángulos son semejantes.


Con los criterios de congruencia y considerando la proporcionalidad al ampliar una figura tenemos los siguientes criterios de semejanza.

Si dos triángulos tienen tres lados respectivamente proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido respectivamente igual, entonces los triángulos son semejantes.

Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de estos lados respectivamente igual, entonces los triángulos son semejantes.

Ejemplo:

Determine si los triángulos ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐷𝐸𝐹 son semejantes.

Como 10

15

8

12

12

18 , por el criterio de lados respectivamente proporcionales

tenemos que ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐷𝐸𝐹 son semejantes.

Teorema de Thales:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene

un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Podemos decir entonces que toda recta paralela a un lado de un triángulo y que

cortea los otros dos lados divide a estos últimos en segmentos proporcionales

Se tiene que del teorema de Thales presentado, se encuentra la generalización que es la siguiente. Teorema general de Thales: Si tres o más rectas paralelas cortan a dos o más secantes, entonces los segmentos que se determinan en las secantes son proporcionales.


Se tiene entonces que: 𝑎

𝑥=

𝑏

𝑧=

𝑐

𝑢

Recíproco del teorema de Thales: Si una recta divide dos lados de un triángulo en una misma proporción, la recta es paralela al tercer lado del triángulo. Perímetro y área de un triángulo.

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

Podemos notar que según su clasificación en equiláteros, isósceles y

escaleno se tiene:

Tipo Medidas de lados Perímetro

Equilátero

3 ⋅ 𝑎

Isósceles

2 ⋅ 𝑎 + 𝑏

Escaleno

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

Área de un triángulo. El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por altura. La altura de un triángulo es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. Tenemos algunos casos particulares en los que la fórmula de área se puede expresar como sigue:

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑐

𝑏


Para el cálculo de área de un triángulo también podemos ocupar la

llamada fórmula de Herón, la cual necesita conocer la medida de los

tres lados del triángulo, si estos lados son 𝒂, 𝒃 y 𝒄.

El área será 𝐴 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), donde 𝑝 corresponde al semi-

perímetro y se calcula 𝑝 =𝑎+𝑏+𝑐

2

Aplicación

Para calcular la altura de una torre, una persona que mide 1,6 metros, clava en el

suelo un listón de tres metros de altura a una distancia de 30 metros de la torre y

después retrocede 2,1 metros hasta que coincide en la visual de los extremos del

listón y de la torre, con la información entregada calcule la altura de la torre.

Solución:

Realizaremos un diagrama de la situación, se tiene

Tipo Área

Equilátero

𝐴 =𝑎2√3

4

Rectángulo

𝐴 =𝑎 ⋅ 𝑏

2

𝑎 𝑎

𝑎

2

ℎ

ℎ =𝑎√3

2

𝑏 𝑐

𝑎


Podemos plantear las siguientes relaciones ocupando la semejanza entre los

triángulos

3

1,6=

2,1+𝑥

𝑥 de lo cual se obtiene que 𝑥 = 2,4 𝑚

y además se tiene la relación ℎ

3=

34,5

4,5Así ℎ = 23 𝑚

La altura de la torre es de 23 metros

Ejercicios resueltos.

a) Hallar el área del siguiente triángulo:

b) Calcular el área de un triángulo equilátero de lado 12 cm. c) Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7cmy 6 cm. d) Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3cm, 4cm y 5 cm. Solución:

a) Al tener base y altura correspondiente utilizamos la fórmula

𝐴 =𝑏 ⋅ ℎ

2=

13 ⋅ 7

2=

91

2= 45,5

Solución:

b) Al ser un triángulo equilátero basta calcular

𝐴 =𝑎2√3

4=

122√3

4= 36 √3

Solución:

c) Al tratarse de un triángulo rectángulo su área será


𝐴 =𝑎 ⋅ 𝑏

2=

7 ⋅ 6

2= 21 𝑐𝑚2

Solución:

d) Como se tienen como datos sólo los lados de un triángulo entonces utilizamos

la fórmula de Herón

𝐴 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐),𝑝 =𝑎+𝑏+𝑐

2

para este caso 𝑝 =3+4+5

2= 6

𝐴 = √6(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5) = √6(3)(2)(1) = 6 𝑐𝑚2


1. Los lados de un triángulo miden 60 𝑚, 72 𝑚y 90 𝑚. respectivamente.

Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24𝑚., calcule la medida de los otros dos lados de este triángulo.

2. La razón de semejanza del triángulo 𝐴𝐵𝐶con el triángulo 𝐷𝐸𝐹es 2:3. Si los lados

del primer triángulo son 12, 21 y27, determina los lados del triángulo 𝐷𝐸𝐹.

3. Los catetos de un triángulo rectángulo miden6 𝑐𝑚 y 8 𝑐𝑚. ¿Cuánto medirán los

catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15𝑐𝑚?

4. En el∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐷 es perpendicular a 𝐵𝐶 y 𝐶𝐸 es perpendicular a 𝐴𝐵.

Demostrar que 𝐶𝐸 ⋅ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 ⋅ 𝐵𝐶

5. Si en el∆𝐴𝐵𝐶, 𝐶𝐷 es la bisectriz del𝐴𝐶𝐵 y 𝐴𝐵𝐸 es congruente al 𝐴𝐶𝐷 ,

demuestre que ∆𝐴𝐶𝐷 es semejante al ∆𝐷𝐵𝐸 y que ∆𝐴𝐷𝐶 es semejante al ∆𝐶𝐸𝐵


6. Encuentra la medida del segmento 𝐴𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅si 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 32 𝑚, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 15 𝑚 y 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 3 𝑚

7. Rocío mide 1,70 m y comprueba que cuando su sombra mide 1,20m, la sombra del árbol mide4, 80 m. ¿Cuál es la altura del árbol?

8. Un observador, cuya altura desde sus ojos al suelo es 1,65 m, ve reflejada en un espejo la parte más alta de un edificio. El espejo se encuentra a 2,06 m de sus pies y a 5m del edificio. Halla la altura del edificio.

9. Un muro proyecta una sombra de 2,51 m al mismo tiempo que una vara de 1,10 m proyecta una sombra de 0,92 m. Calcula la altura del muro.

10. Calcula el área de un triángulo equilátero de 5,9 centímetros de lado.

11. Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calcula su área y la altura sobre la hipotenusa.

12. El área de un triángulo es de 66 𝑐𝑚2; sus lados miden 𝑎 = 20 𝑐𝑚, 𝑏 =11 𝑐𝑚 𝑦 𝑐 = 13 𝑐𝑚. Calcula sus tres alturas y su perímetro.

13. Dibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado opuesto. Así obtendrás un nuevo triángulo más grande. a) Justifica por qué es semejante al inicial.

b) ¿Cuál es la razón entre las áreas?

Problema:

Entre dos pueblos 𝐴 y 𝐵 hay una colina, para medir la distancia de 𝐴 a 𝐵 fijamos un punto 𝑃

desde el que se ven los dos pueblos, al tomar las medidas resulta 𝐴𝑃 = 15 𝑘𝑚 , 𝑃𝑀 = 7,2 𝐾𝑚 y

𝑀𝑁 = 12 𝑘𝑚, 𝑀𝑁 es paralela a 𝐴𝐵, determina la distancia entre 𝐴 y 𝐵


Definición: Los cuadriláteros son polígonos limitados por líneas rectas que

forman cuatro lados y estos entre sí, forman ángulos, también los cuadriláteros

poseen cuatro vértices.

Algunas definiciones importantes son: Lados consecutivos: son los que tienen un vértice en común. Vértices y ángulos opuestos: son los que no pertenecen a un mismo lado. Ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios, es decir, suman 180°.

Clasificación de cuadriláteros.

La primera división que se realiza es entre cuadriláteros convexos y cuadriláteros no convexos. Los cuadriláteros convexos son aquellos en que cada uno de los ángulos

interiores es menor de 180º. También se pueden distinguir pues, dados dos puntos

cualesquiera interiores al cuadrilátero, el segmento que los une tiene todos sus

puntos interiores al cuadrilátero.

Los cuadriláteros no convexos o cóncavos son aquellos en que uno de los

ángulos es mayor de 180º. También se puede distinguir un cuadrilátero no

convexo ya que podemos encontrar dos puntos, tales que el segmento entre ellos

tenga puntos, exteriores al cuadrilátero.

Los cuadriláteros motivo de nuestro estudio son, los cuadriláteros convexos


Clasificación de cuadriláteros convexos.

Lados paralelos Tipo

Dos pares de lados paralelos Paralelogramos

Dos pares de lados paralelos y los otros dos no paralelos.

Trapecios

Ningún lado paralelo a otro Trapezoides o cuadriláteros

Clasificación de paralelogramos.

Entre los paralelogramos tenemos los rectángulos, cuadrados, romboides y rombo.

Paralelogramo Características

Rectángulo

Tiene sus cuatro ángulos

rectos

Cuadrado

Tiene sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro lados iguales.

Romboide

Paralelogramo que tiene sus ángulos oblicuos.

Rombo

Paralelogramo que tiene sus ángulos oblicuos y los cuatro lados iguales.


Clasificación de trapecios.

Los trapecios se clasifican en trapecio escaleno, trapecio isósceles y trapecio rectángulo. Sus lados paralelos se llaman bases.

Trapecio Característica

Escaleno

Tiene los lados no

paralelos desiguales.

Isósceles

Tiene los lados no

paralelos de igual

longitud, formando

con las bases

ángulos adyacentes

iguales.

Rectángulo

Tiene un lado

perpendicular a las

bases, formando un

ángulo recto con

cada base.


Clasificación de trapezoides.

Los trapecios se clasifican en trapezoides simétricos y Asimétricos.

Trapezoides Característica

Simétricos

Son los que tienen dos

pares de lados

consecutivos iguales pero

el primer par de lados

consecutivos iguales es

diferente del segundo

Asimétricos

Son aquellos que no

ofrecen ninguna de las

características de un

trapezoide simétrico.

Ángulos y lados

desiguales

Propiedades de los Paralelogramos

Teorema 1:

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.

Si los cuatro ángulos son iguales, entonces cada ángulo es 90º.

Si dos ángulos son suplementarios, los otros dos también son suplementarios.

En un paralelogramo se denomina base a cualquiera de sus lados y la altura será la

distancia entre la base y el lado opuesto.


Teorema 2:

En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.

Observe que en un paralelogramo dos ángulos consecutivos son suplementarios

Justifique esta observación.

Teorema 3: Todo cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son iguales, es un

paralelogramo.

Teorema 4: En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.

Teorema 5: Todo cuadrilátero que tiene dos lados iguales y paralelos es un

paralelogramo.

Teorema 6: En todo paralelogramo las diagonales se dimidian.

Teorema 7: Todo rectángulo es un paralelogramo cuyas diagonales son iguales


Teorema 8: Todo cuadrado es un paralelogramo cuyas diagonales son

perpendiculares e iguales.

Las diagonales se dimidian y son bisectrices de los ángulos interiores.

Teorema 9: Todo rombo es un paralelogramo cuyas diagonales son

perpendiculares.

Las diagonales se dimidian y son bisectrices de los ángulos interiores.

En resumen, se tiene que todo paralelogramo, tiene:

Dos pares de lados paralelos.

Lados opuestos iguales.

Ángulos opuestos congruentes.

Los ángulos consecutivos suplementarios.

Las diagonales se dimidian.

Teorema 10: La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos es

paralela a las bases y es igual a su semisuma.

𝐸𝐺̅̅ ̅̅ =𝐴𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅+𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅

2


Problema 2: En un trapecio 𝐴𝐵𝐶𝐷, de bases 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , los ángulos en los vértices

𝐴 y 𝐷 son complementarios, los segmentos miden 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 5 𝑐𝑚 y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 12 cm

y el segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos mide

27 cm. Calcule la longitud del segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ .

Solución:

Si observamos la figura asociada a la información se tiene

Por la relación entre los ángulos se tiene que el triángulo 𝑃𝐷𝐶 es rectángulo en 𝐶

por tanto podemos calcular 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ mide 13 cm, además sabemos que el segmento de

recta que une los puntos medios de los lados no paralelos mide 27 cm y del

teorema 10 sabemos que 27 =𝑏+𝑏+13

2

Así 54 = 2𝑏 + 13, 41 = 2𝑏, 41

2= 𝑏

Perímetros y áreas de paralelogramos y trapecios.

Cuadrilátero Dibujo Perímetro 𝑷 Área 𝑨

Cuadrado

𝑃 = 4𝑎

𝐴 = 𝑎2

Rectángulo

𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏

𝐴 = 𝑎 ⋅ 𝑏


Aplicación

Queremos enmarcar un cuadro cuyas dimensiones totales son 103 cm de base por

63 cm de alto.

¿Qué longitud deberá tener la moldura que debemos usar?

Si la moldura cuesta a $3500 el metro, calcule el precio de dicho marco.

Solución:

Para determinar la cantidad de moldura simplemente debemos calcular el

perímetro del cuadro esto es igual a:

𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏 = 2 ⋅ 103 + 2 ⋅ 63 = 206 + 126 = 332 cm, la longitud de la

moldura será de 332 cm, por tanto el precio que debemos pagar es 3,32 ⋅ 3500 =

11620, es decir el marco tendrá un valor de $11.620.

Rombo

𝑃 = 4𝑎

𝐴 =𝑑1 ⋅ 𝑑2

2

Romboide

𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏

𝐴 = 𝑏 ⋅ ℎ

Trapecio

𝑃 = 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑐 + 𝑑

𝐴 =𝑏1 + 𝑏2

2⋅ ℎ

Trapezoide

𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

𝐴 =suma de las áreas de los triángulos


Ejercicios resueltos.

a) Las dos diagonales de un rombo, miden 124 mm y 93 mm. Calcula su área y su

perímetro.

b) La base mayor de un trapecio isósceles mide 35 cm y la menor 15 cm. La altura

es igual a 10,5 cm. ¿Cuánto mide su perímetro y cuál es su área?

Solución:

a)

El área del rombo está dado por 𝐴 =𝑑1⋅𝑑2

2=

124⋅93

2=

11532

2= 5766 𝑚𝑚2

Su perímetro será 4𝑎 para determinar el valor de 𝑎 utilizamos el teorema de

Pitágoras, donde cada cateto será la mitas de cada diagonal, de esta forma

𝑎2 = (124

2)

2

+ (93

2)

2

=15376

4+

8649

4=

24025

4

Por tanto 𝑎 = 77,5 mm, con esto el perímetro será 𝑃 = 310 𝑚𝑚

Solución:

b) Al tener las bases y área del trapecio sabemos que su área es

𝐴 =( 𝑏1+𝑏2 )⋅ℎ

2=

(35+15 )⋅10,5

2= 262,5 𝑐𝑚2

Como el trapecio es isósceles podemos calcular su lado utilizando el teorema de

Pitágoras

102 + 10,52 = 𝑥2 , entonces 𝑥 = 14,5 𝑐𝑚 , por tanto su perímetro es 𝑃 =

15 + 14,5 + 35 + 14,5 = 79 𝑐𝑚



1. Calcula el área de un cuadrado de 17,2 cm de lado.

2. Calcula el perímetro de un cuadrado de 5975,29 cm2 de área.

3. Calcula el área de un rectángulo de 45,6 cm de base y 32,5 cm de altura.

4. Calcula la base de un rectángulo de 364,5 cm2 de área y 24,3 cm de altura.

5. Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo con

losetas cuadradas de 25 cm de. ¿Cuántas losetas son necesarias?

6. Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 42 cm y 40 cm.

7. Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el lado

oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.

8. El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. ¿Cuál es el perímetro del

cuadrado negro exterior?

9. Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 25,6 cm y

108,5 cm y los lados no paralelos 70,5 cm.

10. Calcula el perímetro y el área del trapezoide ABCD con los datos que se indican

AB=12,6 cm. BC=14,82 cm. CD=19,8 cm. DA=19,74 cm. DB=21,24 cm.

Problema:

Las diagonales del rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷 miden: 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 32 𝑐𝑚 y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 24 . Por un punto 𝑃 de la

diagonal menor, tal que 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚 se traza una paralela a la diagonal 𝐴𝐶 que corta en 𝑀 y 𝑁 a

los lados 𝐴𝐷 y 𝐶𝐷.

Calcule el área y el perímetro del pentágono M𝐴𝐵𝐶𝑁 .

(HINT: realice la figura y descomponga el pentágono en figuras geométricas de áreas conocidas )


Definición: La circunferencia se define como la figura geométrica cuyo conjunto

de puntos del plano que la componen, están a una misma distancia de un punto

fijo, llamado centro de la circunferencia. Hay que diferenciarlo del círculo, que

es el conjunto de todos los puntos del plano que están a menor distancia de un

punto fijo. (Centro)

A continuación se identificarán las rectas que cortan o tocan a la circunferencia, así

como la que se encuentra ubicada fuera de la misma.

Recta secante (1) que intercepta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente (2) intercepta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto

de tangencia.

Recta exterior (3) no tiene ningún punto de contacto con la circunferencia.


Elementos de la circunferencia:

Radio (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ): segmento que une al centro

del círculo con un punto cualquiera de la

circunferencia.

Cuerda (𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ): segmento que une dos

puntos cualesquiera de la circunferencia.

Diámetro (𝐺𝐻̅̅ ̅̅ ): segmento que une dos

puntos de la circunferencia y pasa por el

centro del círculo; se le considera como la

cuerda de mayor tamaño que divide al

círculo en dos partes congruentes

Arco (𝐿𝑀̅̅ ̅̅ ): parte de la circunferencia, limitada por dos puntos de ella.

Ángulos y arcos en el círculo

Ángulo Central (∢𝐴𝐵𝐶): ángulo cuyo

vértice está en el centro de la circunferencia.

Ángulo Inscrito (∢𝐷𝐸𝐹) ángulo cuyo

vértice es un punto de la circunferencia y

cuyos lados son cuerdas del círculo.

Ángulo semi - inscrito (∢𝐺𝐻𝐼) ángulo

cuyo vértice es un punto de la

circunferencia y sus lados lo forman una

tangente y una secante.

Todo ángulo del centro determina un arco, como vemos en la figura siguiente,

entonces decimos que el ángulo AOB subtiende el arco AB.


Posiciones relativas de dos circunferencias:

Teoremas de la circunferencia

Recordemos las relaciones fundamentales que se cumplen en las circunferencias.

Teorema 1: El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.

∢𝐴𝑂𝐶 = 2 ∙ ∢𝐴𝐵𝐶

Teorema 2: Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo.

∢𝟏 = ∢𝟐 = ∢𝟑 Teorema 3: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.


Teorema 4: Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.

Teorema 5: Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.

𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ≅ 𝑨𝑪̅̅ ̅̅

Teorema 6: La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.

∢𝐴𝐸𝐵 =𝐴�̂� + 𝐶�̂�

2

Teorema 7: La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos correspondientes.

∢𝐶𝐴𝐷 =𝐶�̂� − 𝐵�̂�

2


Proporcionalidad en la Circunferencia.

Teorema 1: Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el

producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los

segmentos determinados en la otra cuerda.

𝑃𝐴̅̅ ̅̅ ∙ 𝑃𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ ∙ 𝑃𝐷̅̅ ̅̅

Teorema 2: Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes,

el producto de la medida de una secante por la medida de su segmento exterior es

igual al producto de la medida de la otra secante por la medida de su exterior.

𝑃𝐵̅̅ ̅̅ ∙ 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ = 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ ∙ 𝑃𝐶̅̅ ̅̅

Teorema 3: Si a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, el

cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medida de la

secante por la medida de su exterior.

𝑃𝐶̅̅̅̅ 2 = 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ ∙ 𝑃𝐴̅̅ ̅̅


AREA Y PERIMETRO

Área (A) Perímetro (P)

Circunferencia No tiene área 𝑃 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 (𝑅: radio)

Círculo 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑅2 𝑃 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 (𝑅: radio)

Circunferencia Círculo

AREA Y ARCO DE UN SECTOR CIRCULAR

Área (𝑨𝒔): Representa una fracción del área.

𝐴𝑠 = (𝛼

360°) ∙ 𝜋 ∙ 𝑅2

𝛼: Ángulo del centro

Arco (𝒂): Representa una fracción del perímetro.

𝑎 = (𝛼

360°) ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅

𝛼: Ángulo del centro


PROBLEMA APLICACION 1. Se remodelará la esquina de una plaza

colocando un sector circular como indica la figura. Determine el ángulo de centro

que se debe trazar si el ángulo de la esquina era de 72º

DESARROLLO:

a) Identificar Datos:

- Los ángulos a determinar 𝛼 = ∠𝐵𝑂𝐶

- El ángulo conocido ∠𝐵𝐴𝐶 = 72º

b) Estrategia de resolución:

- Representar la informacion relevante en un esquema reducido.

- Se plantean ecuaciones de primer grado.

- Se aplican propiedades de: ángulos en poligonos y radio de contacto con la

tangente..

c) Resolver Problema:

Radio de Contacto:

Siempre que trabajes con circunferencias o arcos de circunferencia que son tangentes con rectas,

segmentos de rectas, rayos u otras circunferencias, resulta ser indispensable el trazado del Radio de

Contacto, Radio que une los puntos de tangencia con el centro de la o las circunferencia y resultan

ser Perpendiculares con dichas Tangentes.

A

B

O

C

72º

108º


- Como 𝐵𝑂 y 𝐶𝑂 son los radios de contacto con los respectivos

segmentos tangentes 𝐵𝐴 y 𝐶𝐴 entonces 𝐵𝑂 ⊥ 𝐵𝐴 y 𝐶𝑂 ⊥ 𝐶𝐴 luego

∠𝐴𝐵𝑂 = 90°

Y

∠𝐴𝐶𝑂 = 90°

- En el cuadrilátero 𝐴𝐵𝑂𝐶 la suma de ángulos interiores es 360°, es decir,

∠𝐴𝐵𝑂 +∠𝐵𝑂𝐶 + ∠𝐴𝐶𝑂 +∠𝐵𝐴𝐶 = 360°

90° + 𝛼 + 90° + 72° = 360°

𝛼 = 108°

d) Comunicación de resultados:

Entonces el empalme circular corresponde a un sector circular de 𝛼 = 108°

PROBLEMA APLICACION 2. Se necesita pintar la fachada de la casa, cuya

vista frontal se presenta a continuación, ¿cuántos galones de hidrorrepelente se

necesitan si cada uno rinde 20 m2?

DESARROLLO:


- Debemos calcular el área de cada figura que forma la fachada.

- Debemos calcular cuanta pintura se necesitara para pintar la fachada de la

casa.



- Calcularemos el área de rectangulos, circulos y triangulos.

- Al calcular el área a pintar debemos descontar los espacios de la puerta y de

las ventanas.


- Para calcular el área total a pintar, calcularemos las áreas de los rectángulos y

los triángulos que componen la fachada, y descontaremos las áreas de la puerta y

las ventanas.

Area fachada = 2,20 ∗ 2 + 2,20 ∗ 3 +2,40 ∗ 1,20

2+

5,50 ∗ 2,20

2= 18,29

Area puerta y ventanas

= 0,80 ∗ 1,61 +𝜋 ∗ 0,402

2+ 1,502 +

𝜋 ∗ 0,752

2+ 𝜋 ∗ 0,4752

≈ 5,382

- Por lo tanto, el área a pintar es de aproximadamente 12,908 m2.


Como un galón rinde 20 m2, sólo se necesita un galón de hidrorrepelente para

pintar la fachada de la casa.

Recuerda que:

Área del rectángulo = largo · ancho Área del triángulo = 𝒃𝒂𝒔𝒆 · 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂

𝟐

Área del circulo = 𝝅 · 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐𝟐



1. Para las siguientes figuras, encontrar el valor del ángulo x

a) x = ? b) x = ?

c) ∢ABC=60°, AB diámetro; x=? d) ∢CAO=20°; ∢AOB=100º; x=?

e) ∢BOC=140º; ∢ABC=80º; ∢OAB=? f) ∢OCB = 55º; x = ?

2. Determina el perímetro de una circunferencia de diámetro 15 cm

3. El perímetro de una circunferencia es 119,32 m. calcula su radio y su diámetro

4. Las ruedas de una bicicleta tienen 30 cm de radio, ¿Cuánto recorre entonces la bicicleta si las ruedas dan vueltas 50 veces?

5. Calcula el área de un círculo cuyo radio mide 7,5 cm

6. Encuentra el área de un círculo de diámetro 10 cm

7. Las ruedas de un tractor tienen 1,5 metros de diámetro, ¿Cuántas vueltas darán

las ruedas en un terreno de 20 m de largo?

O

30

x

O

40

x

A

x

B

O

C

A

B

O C

A x

B O

C

x

C

B O A


8. El área de un círculo es 78,50 cm2 ¿Cuánto mide su radio?

9. Un círculo tiene perímetro 628 cm ¿Cuánto mide su área?

10. Una pista circular tiene un radio de 80 m. un corredor que va por el borde de

la pista da 100 vueltas. ¿Cuántos metros recorre aproximadamente?

11. El radio de un círculo es 8 m. Calcula su perímetro y su área


Definición: Un cuerpo geométrico corresponde una figura en tres dimensiones, es

decir, con largo, ancho y alto, y se encuentran delimitados por una o varias

superficies.

Dependiendo de la forma de las superficies que los delimitan es como se

caracteriza el cuerpo geométrico.

Clasificación y Elementos.

Los cuerpos geométricos se dividen en dos grupos, los poliedros y los cuerpos redondos. Los poliedros son aquellos en los que las superficies que los delimitan son planas, son caras poligonales. Los cuerpos redondos, son aquellos, en los que algunas de las superficies que los delimitan son curvas.

Poliedros

Como ya hemos visto los poliedros son cuerpos limitados por caras poligonales.

Por ejemplo:


En un poliedro podemos encontrar los siguientes elementos:

Caras: corresponden a los polígonos que delimitan el poliedro. Aristas: se llama a los segmentos de recta que corresponden a los bordes de las caras, o más bien, donde se cortan dos caras. Vértice: se denomina a los puntos donde concurren tres o más aristas. Ángulos planos: serán los ángulos formados por dos aristas que se cortan. Ángulos diedros: estos ángulos son formados por dos caras adyacentes del poliedro. Diagonales: Para los poliedros hay dos tipos de diagonales a) diagonales que unen dos vértices no consecutivos de una misma cara b) diagonales que unen vértices de distintas caras.

Los poliedros pueden ser clasificados según sus ángulos en Cóncavos y Convexos. Para determinar si un poliedro es cóncavo o convexo se deben prolongar sus caras. Si alguna de las prolongaciones pasa por el interior se llama cóncavo, si no ocurre esto se llama convexo.

En la figura anterior los dos primeros son poliedros cóncavos y los dos últimos son poliedros convexos.


Trabajaremos con los poliedros convexos. Clasificaremos a estos según la forma de sus caras en poliedros regulares y poliedros irregulares. Poliedros regulares son aquellos en que todos sus caras son polígonos regulares iguales en forma y tamaño. Sólo hay cinco poliedros regulares. Estos son: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, y son los más sencillos que se forman a partir de un solo polígono regular. Este grupo de poliedros recibía el nombre de sólidos platónicos.

Tetraedro: Tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros, cuatro vértices y seis aristas Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su superficie. Cubo o hexaedro: Tiene seis caras que son cuadradas, ocho vértices y doce aristas. Octaedro: Tiene ocho caras que son triángulos equiláteros, seis vértices y doce aristas. Dodecaedro: Tiene doce caras que son pentágonos regulares, veinte vértices y treinta aristas. Icosaedro: Tiene veinte caras que son triángulos equiláteros, doce vértices y treinta aristas Es el que tiene mayor volumen en relación con su superficie.


Poliedros irregulares, son aquellos en que al menos una de sus caras no es un polígono regular, estos se clasifican en dos grandes grupos: prismas y pirámides. Prismas Son los poliedros formados por dos caras iguales y paralelas llamadas bases y por una serie de caras laterales rectangulares. Hay tantas caras laterales como lados tenga el polígono de la base.

Si la base del prisma es un polígono regular, el prisma se llama prisma regular. Si las aristas laterales son perpendiculares a la base, se llama prisma recto. Pirámides Son poliedros que apoyados en su base terminan en un vértice. Por tanto, sus caras laterales son triángulos. Si la base de la pirámide es un polígono regular, la pirámide se llama pirámide regular. Si la línea que une el vértice con el centro del polígono de la base coincide con la altura de la pirámide, se llama pirámide recta. Cuerpos redondos. Los cuerpos redondos se forman al girar una cierta figura alrededor de una recta llamada eje. Nosotros estudiaremos los cuerpos llamados cilindro, cono y esfera.


El Cilindro Es el cuerpo que se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Se distinguen en él, generatriz, altura, radio. Este tipo de cilindro se llama recto, pues existen otros en que su generatriz no es perpendicular al círculo de la base.

El Cono Es el cuerpo generado al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Su generatriz es la hipotenusa del triángulo.

La Esfera Es el cuerpo generado al girar un círculo alrededor de un diámetro.


Área de superficies y volúmenes

Área de prismas Para determinar el área total de un prisma, realizamos su desarrollo, es decir separamos sus dos bases y dividimos la figura cortando por una arista lateral. Así obtenemos la siguiente figura plana.

Por ejemplo este es el desarrollo de un prisma de base triangular. El área total será el área lateral más el área de las dos bases, que son iguales. Área de pirámides Para observar el desarrollo de una pirámide separamos la base y dividimos la figura cortando por una arista lateral.


Esta figura está formada por un polígono regular y por tantos triángulos isósceles como lados tenga el polígono de la base. Estos triángulos tienen por base el lado de la base del polígono que forma la base y los lados iguales son las aristas laterales de la pirámide. La altura de este triángulo es la apotema de la pirámide. El área total será el área lateral más el área de la base.

Área de los cuerpos redondos.

Cilindro Revisamos el desarrollo del cilindro En la descomposición del cilindro se aprecia que su parte lateral es un rectángulo cuya base es igual al perímetro del círculo y cuya altura es la del cilindro. El área total será la suma del área lateral más dos áreas de la base. Cono. Igualmente, si separamos la base de un cono y dividimos la figura cortando por una generatriz, resulta: Esta figura está formada por un sector circular de radio la generatriz, y de longitud del arco igual a la longitud de la circunferencia de la base. El desarrollo lateral de un cono recto es un sector circular de radio la generatriz. Luego, el área total será la suma del área lateral y la de la base.


Esfera En el caso de la esfera no podemos describir una red.

Su área será 𝐴 = 4𝑟2𝜋 Resumen de áreas de cuerpos geométricos.

Volúmenes de cuerpos geométricos. La construcción y cálculo de los volúmenes de los cuerpos geométricos son algo más difíciles de desarrollar respecto de lo que vimos en las áreas para estos cuerpos, realizaremos un resumen de las fórmulas más importantes.


Nombre Dibujo Volumen

Cubo

𝑉 = 𝑎3

Paralelepípedo

𝑉 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐

Prisma

𝑉 = á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻

Pirámide

𝑉 =1

3á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻

Cilindro

𝑉 = á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻

𝑉 =1

3𝑅2𝐻𝜋

Cono

𝑉 =1

3á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝐻

𝑉 = 𝑅2𝐻𝜋


Aplicación

Se quiere pintar una habitación con forma de prisma recto de base cuadrada de

lado 3 m y la altura de la habitación es 3,5 m. El pintor cobra $1200 por metro

cuadrado. ¿Cuánto costará pintar las paredes de la habitación?

Solución:

Notamos que las 4 paredes de la habitación son de forma rectangular, de lados 3m

y 3,5 m respectivamente.

Calculamos el área de una de las paredes 𝐴 = 3 ⋅ 3,5 = 10,5 𝑚2

Luego se debe pintar una superficie de 𝑆 = 4 ⋅ 10,5 = 42 𝑚2.

Finalmente es costo de pintar la habitación es

𝐶 = 42 ⋅ 1200 = 50400

El pintar la habitación tiene un costo de $50.400.

EJERCICIO RESUELTO.

Un cono se encuentra al interior de un cilindro de radio 4 cm, como se muestra en la figura. Si la generatriz del cono mide 4,5 cm. ¿Cuánto mide el volumen NO cubierto por el cono? Los radios y las alturas del cono y del cilindro coinciden, es decir en cono está inscrito en el cilindro.

Esfera

𝑉 =4

3𝑟3𝜋


Solución:

El volumen no cubierto por el cono será igual a la diferencia entre el volumen del

cilindro con el volumen del cono, con los datos que tenemos calculamos:

Volumen del cilindro:

á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝜋𝑟2 ⋅ ℎ = 𝜋 ⋅ 16 ⋅ √4,25 =4

5√17 𝜋

Volumen del cono:

á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑎𝑙 ⋅𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

3= 𝜋𝑟2 ⋅

ℎ

3= 𝜋 ⋅

16⋅√4,25

3=

4

15√17 𝜋

Volumen buscado: 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 =8

15√17 𝜋

PROBLEMA APLICACION 3:

Una persona quiere construir un portico con 4 pilares a la entrada de su casa, cada

pilar esta formado por un paralelepipedo de base cuadrada cuyas dimensiones son

20 cm de base y 1,50 m de altura y un cubo de 30 cm de lado. ¿Cuántos sacos de

hormigón preparado necesita si un saco de 35 kg rinde 0,0168 m3?

DESARROLLO:

En la resolución de problemas es fundamental el trabajo paso a paso, es por eso

que se recomienda la utilización de la estructura que aparece en el siguiente cuadro:

Recuerda aplicar los siguientes pasos para la resolución de los problemas:

a) Identificación de datos.

b) Estrategia de resolución.

c) Resolución.

d) Comunicación de resultados.



- Debemos calcular el volumen de cada cuerpo geométrico que forman los pilares.

- Debemos calcular cuanto hormigón necesitamos.


- Dibujar el pilar.

- Transformar las dimensiones a la misma unidad de medida, es decir, centimetros o

metros.

- Calcularemos el volumen del paralelepipedo y del cubo.

- Al calcular el volumen de cada cuerpo, calcularemos el volumen total

de los pilares.


- El pilar está formado por un paralelepípedo y un cubo, como muestra

la figura:

- Para calcular el volumen de un pilar, calculamos el volumen de cada cuerpo que lo

forma.

- Las dimensiones del paralelepípedo son 20 cm de base y 1,50 m de altura, lo que

equivale a decir, 0,2 m de base y 1,5 m de altura.

Volumen Paralelepipedo = 0,22 · 1,5 = 0,06𝑚3

- Las dimensiones del cubo son 30 cm de lado, equivale a 0,3 m de lado

Volumen Cubo = 0,33 = 0,027𝑚3

- Luego el volumen de un pilar se obtiene sumando el volumen del paralelepípedo

con el volumen del cubo, por lo tanto, el volumen de un pilar es 0,087m3

- Ahora bien, como el pórtico está formado por 4 pilares, el volumen total es de

0,348m3.

Recuerda que:

Volumen del Paralelepípedo = Área base · altura Volumen cubo =

𝒂𝒓𝒊𝒔𝒕𝒂𝟑


- Sabemos que un saco de hormigón rinde para 0,0168𝑚3 y el volumen total de

los pilares es de 0,348𝑚3, por lo tanto 0,348 ∶ 0,0168 ≈ 20,71 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠.


Como un saco de hormigón rinde 0,0168𝑚3 y el volumen de los pilares es de

0,348𝑚3 se necesitan 21 sacos.


La viga de la figura está construida de concreto (densidad del concreto 2,4kg/dm3)

y una estructura compuesta de barras de acero de (densidad del acero 7,85kg/dm3)

de sección circular de 2,5 cm de diámetro. Calcula la fuerza peso que ejerce esta

viga en reposo.

DESARROLLO:

15cm

15cm

250cm

RECUERDA QUE: Volumen, Densidad, Masa y Peso

No olvides que cuando se quiere calcular el peso de un objeto se debe considerar las

relaciones entre Volumen, Densidad Masa y Peso que son las siguientes

𝑃 = 𝑀 ∙ 𝑔

donde g =9,8 m/s2 es la aceleración de gravedad y que

𝑀 = 𝑉 ∙ 𝐷

Donde D es la densidad que es una constante correspondiente al material del cual está

fabricado el objeto que te indica la cantidad de materia o masa por unidad de volumen.

Las unidades en el sistema internacional (MKS) son

Peso=N (newton=kg m/s2)

Masa=kg

Densidad=gr/cm3,kg/dm3,ton/m3

Un error muy frecuente es confundir Peso con Masa, la primera es una fuerza y la

segunda es la unidad que indica la cantidad de materia. Cuando vas a comprar el pan

compras cantidad de masa de pan no peso de pan.



- Dimensiones de la viga 𝑎 = 15𝑐𝑚 de ancho, 𝑏 = 15𝑐𝑚 de alto y 𝑐 = 250𝑐𝑚 de

largo.

- Dimensiones de las barras de acero: diámetro 𝑑 = 2,5𝑐𝑚 y largo ℎ = 250𝑐𝑚

- Densidad del acero 7,85kg/dm3

- Densidad del concreto 2,4kg/dm3


- Interpretar la viga como un paralelepipedo rectangular y utilizar la formula de

volumen correpondiente 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐, donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son las aristas del

paralelepípedo

- Interpretar las barra como cilindros y utilizar la formula de volumen

correspondiente 𝑉 = 𝜋𝑑2

4ℎ donde 𝑑 es el diametro y ℎ es la altura, en este caso el

largo de las barras.

- Aplicar correctamente las relaciones volumen, densidad masa y peso indicadas al

comienzo de esta solución.

- No olvidar que en los calculos de masa se debe descontar el volumen de las barras

del volumen total de la viga


- Calculo del volumen de la viga

𝑉1 = 𝑎𝑏𝑐 = 15𝑐𝑚 ∙ 15𝑐𝑚 ∙ 250𝑐𝑚 = 56250𝑐𝑚3

- Calculo del volumen de una barra de acero

𝑉2 = 𝜋𝑑2

4ℎ = 𝜋

(2,5𝑐𝑚)2

4250𝑐𝑚 = 1227,2𝑐𝑚3

- Calculo del volumen total de acero

𝑉𝐴 = 4𝑉1 = 4 ∙ 1227,2𝑐𝑚3 = 4908,8𝑐𝑚3

- Calculo del volumen del concreto como la diferencia entre el volumen total de la

viga menos el volumen total de acero

𝑉𝐶 = 𝑉1 − 𝑉𝐴 = 56250𝑐𝑚3 − 4908,8𝑐𝑚3 = 51341,2𝑐𝑚3


- Calculamos las masas del acero y el concreto por separado como el producto de

sus volúmenes y sus respectivas densidades. Es conveniente transformar la unidad

de volumen de cm3 a dm3 para que la unidad de masa quede en kg.

Unidades de densidad = gr/cm3, kg/dm3, ton/m3

Esto se hace simplemente dividiendo por 1000 pues 1dm3 = 1000cm3

𝑉𝐴 = 4908,8𝑐𝑚3 = 4,91𝑑𝑚3

𝑉𝐶 = 51341,2𝑐𝑚3 = 51,34𝑑𝑚3

Las masas respectivas serán

𝑀𝐴 = 7,85𝑘𝑔

𝑑𝑚34,91𝑑𝑚3 = 38,54𝑘𝑔

𝑀𝐶 = 2,4𝑘𝑔

𝑑𝑚351,34𝑑𝑚3 = 123,22𝑘𝑔

- Calculamos la masa total como la suma de las masas del concreto y el acero

𝑀𝑇 = 𝑀𝐴+𝑀𝐶 = 38,54𝑘𝑔 + 123,22𝑘𝑔 = 161,76𝑘𝑔

- Calculamos finalmente el peso de la viga

𝑃 = 161,76𝑘𝑔 ∙ 9,8𝑚

𝑠2= 1585,25𝑁


- La masa total de la viga es de 161,76kg

- La fuerza peso que ejerce en reposo es de 1585,25N


1. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 14 𝑐𝑚2 y

34.000 𝑐𝑚3 de capacidad.

2. Hallar el área lateral y volumen de un prisma cuadrangular cuyas medidas son:

a) lado basal es6 𝑐𝑚y su altura es 12 𝑐𝑚.

b) lado basal es 3 𝑐𝑚y de altura del prisma 5𝑐𝑚.


3. Hallar el área total lateral de un prisma cuadrilátero regular recto cuyas medidas

son:

a) el lado de la base mide 8 𝑐𝑚 y la arista lateral mide 10 .

b) el lado de la base mide 5 𝑐𝑚y la arista lateral 20 𝑐𝑚.

4. Hallar el Volumen de una pirámide cuadrangular que tiene de lado de la base 8

cm y e altura de la pirámide 6 cm.

5. Hallar el área lateral de una pirámide cuadrilátera regular recta, cuyo lado de la

base mide 10 cm. y su altura es de 6 cm.

6. En una pirámide cuadrilátera regular recta, el lado de la base es 6mm, si la arista

lateral mide 5mm, hallar el volumen.

7. Calcula la altura de una pirámide cuadrada de 5 cm de arista lateral y cuya base

tiene 6 cm de lado.

8. Calcula el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 18 cm

de lado y su altura es de 40 cm.

9. Hallar el Área Lateral de un cilindro que tiene de radio de la base 10 cm y de

generatriz 5 cm.

10. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base.

Y la altura mide 125.66 cm. Calcular el área total.

11. Hallar el Volumen de un cilindro que tiene de radio de la base 5 cm y de altura

10 cm.

12. En un cilindro recto, la generatriz mide 12 cm y el radio de la base 4 cm. Hallar

el área lateral.

13. Hallar el volumen de un cilindro recto de radio 8cm sabiendo que su generatriz

es la mitad del radio.

14. Un vaso en forma de cilindro recto necesita ser llenado de agua, para saber

cuánto liquido servir se debe saber el volumen de este, su generatriz es de 10 cm y

el radio de la base es la mitad de la generatriz al cuadrado.

15. Hallar el Área Lateral de un cono que tiene de radio de la base 15 cm y de

generatriz 10 cm.

16. Hallar el volumen de un cono cuya generatriz es de 6.72m y su altura es de

6.01m.


17. Sea un cono de radio 18 m y 24 m de altura. Calcular el área lateral y el área

total.

18. Hallar el Área de una Esfera tiene de radio de la base 10 cm.

19. Hallar el volumen de una esfera de 2 cm, de radio.

20. Hallar el área de una esfera de 12 cm de diámetro.

21. La suma de todas las aristas de un cubo es 120 cm. El área total del cubo y su

volumen son respectivamente:

22. Si un depósito cúbico contiene 125 litros de agua, entonces su arista mide:

(recuerda 1 litro=1000 cc)

23. Las alturas de dos conos están en la razón de 5: 4 y los radios de sus bases

están en la razón de 2: 3. Sus volúmenes están en la razón:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA UNIDAD 1. Observa el siguiente plano e identifica:

Problema:

Si a un cubo de arista 𝑎 le extraemos una pirámide cuyas aristas laterales son las aristas del cubo

que concurren en uno de sus vértices y cuya base es un triángulo cuyos lados son las diagonales de

las caras del cubo que concurren a ese mismo vértice, queda un cuerpo geométrico.

¿Cuál es el volumen de este cuerpo geométrico?


a) ¿Dónde podemos distinguir puntos?

b) ¿Dónde se trabaja con rectas paralelas?

c) ¿Dónde se observan rectas perpendiculares?

d) ¿Cuál es la medida de ángulos con la que más se trabaja en el plano?

2. En la primera imagen se muestran los límites marítimos actuales de Chile, en

la segunda imagen se muestra la postura de Perú en los alegatos. Si Perú pide ganar

al menos la mitad de esta zona marítima, ¿dónde debería quedar nuestro nuevo

límite marítimo?

3. En el siguiente plano de emplazamiento mida los ángulos demarcados con

naranjo.


4. Por razones técnicas y de diseño el ángulo de depresión del techo de la

terraza debe ser de 18º y el del pilar de 78º de elevación. Determina la medida del

ángulo exterior α que permita hacer una juntura perfecta entre el envigado del

techo y el pilar, con los ángulos indicados por las especificaciones.

5. La cubierta del techo de una construccion en el centro de Viña del Mar tiene

un ángulo de depresión 25º. La normativa vigente en esta ciudad (art 2.6.3

MINVU), exige que ninguna construccion puede sobrepasar el ángulo de elevacion

envolvente de la razante de 70º como indica la figura, por lo que el techo debe

tener un quiebre en el punto P. Determina el angulo interio α que deben formar

las cubiertas para cumplir con la normativa.

6. Repite el problema anterior utilizando el esquema que muestra la figura.

18º

78º

𝛼

70º

25º

𝛂 P

P

70º

85º

𝛂


7. La estructura de la figura coresponde a una armadura de techo o cercha

en “M”. Entendiendo que: los △ 𝐴𝐵𝐶,△ 𝐴𝐷𝐹 y △ 𝐷𝐵𝐸 son todos isósceles, que

𝐹𝐺 ⊥ 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 y 𝐸𝐻 ⊥ 𝐴𝐵. Determina la medida de los ángulos

∠𝐶𝐹𝐷, ∠𝐸𝐷𝐶, ∠𝐶𝐸𝐻 sabiendo que ∠𝐶𝐴𝐵 = 26°

8. El tramo de la calzada que muestra la figura hace un giro de 40º. Determina

la medida del angulo de centro que se necesita para construir el arco de

circunferencia que empalme los dos tramos de la via.

9. En un conjunto de locales comerciales, los recintos R1 y R2 forman un

ángulo de 136º como indica la figura. Determine la medida de los angulos 𝛼, 𝛽, y

𝛾, sabiendo que 𝐴𝐷 es bisectriz del ∠𝐵𝐴𝐹

A B

C

D

E F

G H

40º

D C

G

136º

A

B

F

E

H

R1

R2 𝛼

𝛽

𝛾


10. En la figura, FC es bisectriz del <BHD, HA biseca al <GHB. La medida del

<AHF es:

a) 45º

b) 84º

c) 96º

d) 99º

11. En la figura, 𝐿1//𝐿2, BC biseca al <DBE. La medida del ángulo α es:

a) 36º

b) 72º

c) 118º

d) 149º

12. El estadio nacional, necesita una remodelación de sus áreas verdes, ¿Cuánto

dinero gastara la municipalidad, si la palmeta de 0,5 m2 tiene un costo de $940 y las

dimensiones de la cancha de fútbol son 105 por 68 m?

13. A continuación, se presenta la planta superior de una construcción. Calcule

el área de cada habitación y de la construcción total.

6,05

9,17

10,02

11,4

2,85

4,06

2,0

9

A

8,9

5

3,4

5

5,3

4

,77

7,2

A

E

F

G

B

D

C

H

168°

118º

A

B

C

D

E


14. ¿Cuántos ladrillos de 28,5 x 14 x 4,5 cm, son necesarios para construir una

pared de 324,5 cm de ancho y 192,5 cm de alto, si se desea dejar un centímetro de

separación entre ladrillos?

15. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 30 cm se necesitan para embaldosar un

salón de 6m de largo y 4,5 m de ancho?

16. Se desea cercar un sitio cuadrado de 14 metros de lado, con tres corridas de

alambre Inchalam # 14 y al mismo tiempo se desea sembrar ligustrinas cada 20

cm.

a. ¿Cuánto se gastara en alambre, si el paquete de 100 m tiene un valor de

$9.670?

b. ¿Cuántas patillas de ligustrinas son necesarias para delimitar todo el sitio?

17. El levantamiento topográfico de un terreno arrojo como resultado la

siguiente poligonal.

¿Cuál es el perímetro a cercar?

18. Los triángulos ABC y DEA son isósceles AE = DE, AE biseca al <CAB,

entonces la medida del <x es:

a) 44º

b) 66º

c) 72º

d) 100º

67º

104º

A

C

B

D

E

x

90,8m 53,5m

68,7m

44,6m

63,7m


19. En la figura, el segmento AB es tangente a la circunferencia en B. La medida

del ángulo α es:

a) 45º

b) 50º

c) 96º

d) 100º

20. En la figura, el ángulo x mide:

a) 69º

b) 138º

c) 145º

d) 146º

21. En la figura, AB = BC y AE = EB, EB=5cm. La medida del segmento AC

es:

a) 2,5cm

b) 5cm

c) 5 2 cm

d) 10cm

22. En el terreno de la figura, AB // CD. La longitud del deslinde AB es:

a) 100m

b) 58m

c) 35m

d) 43m

o 34°

x

13°

A B

C D

E

A

15m

B

C D

25m 17m

15m

48º o

A

B


23. El perfil metálico de la figura tiene forma de triángulo equilátero, su altura h

mide aproximadamente:

a) 8 cm

b) 7 cm

c) 6 cm

d) 5 cm

24. En la figura, ABCD se aprecia el detalle de una jardinera en la planta de una

terraza de un departamento. La longitud del segmento AB es:

a) 7,2m

b) 5,4m

c) 5,0m

d) 4,0m

25. En la figura AB // EC, la longitud AE mide:

a) 25/4

b) 20/3

c) 10

d) 50/3

26. La longitud del segmento DE es:

a) 16m

b) 24m

c) 32m

d) 40m

27. En el terreno de la figura, AB //

CD. La longitud del deslinde AB es:

a) 66m

b) 60m

c) 64m

d) 62m

10

18

30

A B

C

D

E

8cm

h

30m

12m

24m

34m

A B

C D

E

30m

2,4m

A B

C D

3.0m

A B

C

E D

18m 30m

24m


28. En la figura, el segmento BC mide:

a) 6

b) 8

c) 32/3

d) 46/3

29. En la figura, el segmento ED mide aproximadamente:

a) 2m

b) 2,4m

c) 4m

d) 4,8m

30. En la figura se muestra una estructura de escuadras de un techo, el

segmento AB mide aproximadamente:

a) 14,5m

b) 12,0m

c) 6,8m

d) 6,0m

e)

31. Se desea construir una piscina, como la figura, con capacidad para 56 m3. Si

el largo de la piscina es 8 m y tiene una profundidad mínima de 1,5 m y 2,5 de

profundidad máxima, ¿Cuál debe ser el ancho de la piscina?

1,2m

1,5m

0,9m

2m

A

C B

D

E

C

6

8

8

A

B

D

E

A B

C

D

6,8m

3,2m


32. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 45 m. Si

restaurarla tiene un costo de $5.000 por m2. ¿Cuánto costara repararla?

33. Una familia necesita comprar un estanque para almacenar agua y tienen dos

opciones. La primera es comprar un estanque con forma cilíndrica de 1,5 m de

diámetro y 2 m de altura a un valor de $79.990. La segunda opción es comprar un

estanque en forma de cubo de 1 m de lado a un valor de $59.990.

a. ¿Cuál es la capacidad de cada estanque?

b. ¿Cuál estanque les conviene más?

34. Un tanque de almacenamiento de agua tiene forma cilíndrica, debe ser capaz de

contener un máximo de 10000 litros. Si el radio debe ser la tercera parte de la

altura, y además como factor de seguridad su capacidad se debe aumentar en un

5%. ¿Cuáles son las dimensiones apropiadas para estas condiciones?

35. Se desea construir un tanque de almacenamiento para un conjunto residencial. Los

estudios hidráulicos dan como resultado que el volumen de diseño para el tanque

debe ser de 55m3.La base del tanque se realizara con concreto y tendrá un espesor

de 0,1m y un radio total de 2m. La pared del tanque será en concreto y tendrá un

espesor de 0,08m. El tanque será elevado para distribuir agua por gravedad y se

construirá sobre una estructura en acero. Calcule el peso máximo que tendrá el

tanque para que con dicho valor se diseñe la estructura que lo sostendrá. Asume

un peso específico de 24 KN/m3 para el concreto y del agua de 10 KN/m3.

45m


36. La figura esquematiza una excavación en forma de trinchera y se debe Los perfiles

𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 son trapecios paralelos entre sí, 𝑃2 se mide en el punto medio del eje

de la excavación. Calcula el volumen del movimiento de tierra que implica realizar

esta faena utilizando el método del prismoide.

37. La figura muestra la sección transversal de una viga de concreto reforzado con

barras de acero de sección circular con diámetro de 60mm. Determina la masa y el

peso que ejerce una viga de estas características que tenga una longitud de 18m.

Considera la densidad del acero 7.85gr/cm3 y la densidad del concreto 285gr/cm3.

20𝑐𝑚

20𝑐𝑚

51𝑐𝑚

38𝑐𝑚 38𝑐𝑚

15𝑐𝑚

45𝑐𝑚

Barras de fierro de 60mm

𝑃1

𝑃3

𝑃2

52𝑚

12𝑚

𝑃1 10𝑚

8𝑚

25𝑚

34𝑚


38. El tanque cilíndrico de la figura tiene 905 litros de agua, que es un tercio de su

contenido total. ¿Cuánto mide su altura?

a) 1,2m

b) 1,5m

c) 2,4 m

d) 2,7m

39. ¿Aproximadamente, qué fuerza debe soportar una persona que sostiene el embudo

de la figura, lleno de agua hasta la mitad de su altura? ( g=9,8m/seg2 densidad del

agua = 1Kg/dm3)

a) 149.628 [N]

b) 12.469 [N]

c) 10.584 [N]

d) 3.646 [N]

40. La masa del tronco de cono de cobre de la figura es: (densidad del cobre = 9,8

Kg/dm3)

a) 3,7 g

b) 13,7 g

c) 134,3 g

d) 3700 g

41. Si un tarro de pintura rinde 30 m2, ¿cuántos tarros de pintura o fracción son

necesarios para pintar los muros, el piso y el cielo del recinto de la figura? Sus caras

laterales son cuadrados de 3m de longitud y sus bases son hexágonos regulares.

a) 38,4

b) 5,6

c) 4,2

d) 3,4

36cm

30cm

16mm

30mm

32mm

1,2m

ℎ


42. La cantidad de material en metros cuadrados que se requiere para construir el

tanque de la figura es

a) 3.920,7 m2

b) 3.468,3 m2

c) 3.015,9 m2

d) 2.563,5m2

12m

16m

81 UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA

unque existen algunos antecedentes previos, es René Descartes quien al publicar

en 1637 su obra “La Geometrie” pone los cimientos de lo que actualmente

conocemos como geometría analítica o geometría cartesiana.

En resumen se puede decir que su propuesta es enlazar la geometría con el álgebra

estableciendo un método que traduce las propiedades geométricas de las figuras a un

lenguaje algebraico, para poder operar aplicando sus leyes, y una vez obtenido un resultado,

interpretarlo geométricamente.

Para dar una idea más concreta de lo que es la geometría analítica, enunciaremos dos de sus

problema fundamentales.

Dada una gráfica hallar su ecuación:

A partir de una ecuación en dos variables, dibujar su gráfica:

GEOMETRIA ANALITICA

A

GEOMETRÍA ÁLGEBRA

ÁLGEBRA GEOMETRÍA



2.1 Utiliza relaciones entre puntos y ángulos

entre rectas para resolver problemas geométricos en el plano cartesiano.

2.1.1 Calcula perímetros y áreas de triángulos y

polígonos mediante relaciones entre puntos en el plano cartesiano.

2.1.2 Calcula las coordenadas de un punto que

divide a un segmento en una razón dada mediante teoremas.

2.1.3 Calcula la medida del ángulo entre dos rectas

mediante propiedades y teorema.

2.2 Determina la ecuación de la recta y

circunferencia en sus distintas formas de acuerdo a un gráfico y/o condiciones geométricas dadas.

2.2.1 Determina la ecuación de la recta, mediante

condiciones dadas, y la expresa en forma general y/o principal.

2.2.2 Determina la ecuación de la recta mediante

una gráfica dada.

2.2.3 Determina la ecuación de la circunferencia en

sus distintas formas según condiciones dadas.

2.2.4 Determina la ecuación de la circunferencia en

sus distintas formas según gráfica dada.

2.3 Determina la solución de problemas

geométricos y físicos relacionados con cónicas mediante gráfica y/o condiciones geométricas dadas.

2.3.1 Determina los elementos de las diferentes

cónicas dadas mediante definiciones y propiedades.

2.3.2 Determina las ecuaciones de las diferentes

cónicas en sus distintas formas de acuerdo a condiciones o gráficas dadas.

2.3.3 Aplica definiciones, elementos y propiedades

de las cónicas para resolver problemas geométricos y físicos.


¿Para qué usar Geometría Analítica?

La geometría analítica surge de la necesidad de resolver problemas para los que no

bastaba la aplicación aislada de las herramientas del álgebra y de la geometría

euclidiana, pero cuya solución se encontraba en el usa combinado de ambas. En

este sentido, podemos entender a la geometría analítica como la parte de las

matemáticas que relaciona y fusiona el álgebra con la geometría euclidiana para

crear una nueva rama que estudia las figuras geométricas, referidas a un sistema de

coordenadas, por métodos algebraicos.

La geometría Analítica se utiliza mucho en la Física, por ejemplo para poder

describir la trayectoria que sigue un proyectil, usamos el concepto de Parábolas.

Para mejorar la acústica de algún lugar (teatros, iglesias, etc.) podemos ocupar el

concepto de Elipse ya que forma una curva en la que el sonido pueda rebotar en

las paredes y enviar las ondas de sonido a los espectadores u otro lugar de la

construcción.

En la astronomía, para medir la distancia de los cuerpos celestes en cuanto a otros,

o la distancia que recorren al acercarse o alejarse a algún punto designado en el

espacio. Entonces usamos el concepto de Hipérbola.

Al fabricar las llantas de los carros, se necesita el concepto de Circunferencia.

Es claro que podemos seguir mencionando aplicaciones de la Geometría

Analítica en la vida cotidiana, pero mejor daremos una definición para este

concepto.

Definición 1:

La Geometría Analítica es la parte de la Matemática que estudia problemas que,

partiendo de conceptos y propiedades puramente geométricos, llega a resultados

puramente analíticos mediante desarrollos de tipo algebraico.

La problemática de la geometría analítica se basa principalmente en:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su

ecuación.

Lo novedoso de la Geometría

Analítica es que permite

representar figuras geométricas

mediante fórmulas del

tipo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, donde 𝑓

representa una función u otro

tipo de expresión matemática.

En particular, las rectas pueden

expresarse como ecuaciones

polinómicas de grado 1 (Por

ejemplo: 2𝑥 + 6𝑦 = 0) y

las circunferencias y el resto

de cónicas como ecuaciones

polinómicas de grado 2.

(Por ejemplo, la circunferencia

como 𝑥2 + 𝑦2 = 9 y la

Hipérbola como 𝑥𝑦 = 1 )


2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar

geométrico de los puntos que la cumplen.

Para dar solución a estos problemas definiremos elementos que nos permitan

comprender de una mejor manera estos conceptos.

Sistema Coordenado Rectangular

Dado un plano cualquiera, un Sistema Coordenado Rectangular, está formado por

dos rectas dirigidas y perpendiculares entre sí llamadas Ejes de Coordenadas. Al

eje X se le denomina eje de las abscisas, al eje Y, eje de las ordenadas y al punto

O, que es la intersección de ambas rectas, el origen de coordenadas.

Ubicación de puntos en el plano

Podemos asociar puntos del plano a pares ordenados de números reales. Para ello

identificamos cada punto del plano con un par ordenado (x, y) de números reales

llamados coordenadas del punto, como se observa en el Figura 1. Siendo x: la

abscisa del punto y distancia dirigida desde el eje Y al punto, ey: la ordenada del

punto y distancia dirigida desde el eje X al punto.

Para ubicar los puntos, debemos trazar rectas Paralelas a los ejes de manera que

donde se intersectan ambas rectas. Sera el punto que estamos ubicando.

Ejemplo: Ubicar los siguientes puntos en el plano Cartesiano.

(3,6); (−1,5); (4,2); (−3, −5); (1, −2); (−2, −1)

Figura 1: Sistema Coordenado

Rectangular

Es bueno separar el plano en

cuadrantes. Se enumeran con

los números romanos en

sentido Anti horario (Contra las

manecillas del Reloj) partiendo

sobre el eje X. (Ver figura)

En cada cuadrante los valores

tienen un signo determinado.

Así, quedan determinados por:

𝐼 ∶ (+, +)

𝐼𝐼 ∶ (−, +)

𝐼𝐼𝐼 ∶ (−, −)

𝐼𝑉 ∶ (+, −)

P(x,y)

Y

X

y

x


Solución: Daremos nombres a los puntos y luego los ubicaremos en el plano.

𝐴 = (3,6)

𝐵 = (−1,5)

𝐶 = (4,2)

𝐷 = (−3, −5)

𝐸 = (1, −2)

𝐹 = (−2, −1)

Distancia entre dos puntos

Dados dos puntos cualesquiera del plano, 𝐴(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝐵(𝑥2, 𝑦2), su distancia

|𝐴𝐵|, está dada por la expresión:

|𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Y es igual a la longitud del trazo 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Ejemplos: a) Calcula la distancia entre los puntos 𝐴(2 , −3) y 𝐵(5, 1) del plano.

Solución: Identificamos a (2, −3) = (𝑥1, 𝑦1) 𝑦 (5,1) = (𝑥2, 𝑦2). Así

|𝐴𝐵| = √(5 − 2)2 + (1 − (−3))2

= √32 + 42 = √25 = 5

Con esto, la distancia entre los puntos A y B es 5.

b) Encontrar la distancia entre los puntos 𝐴(−1 , −2) y 𝐵(4, −6) del plano.

Solución: Identificamos a (−1, −2) = (𝑥1, 𝑦1) 𝑦 (4, −6) = (𝑥2, 𝑦2). Así

|𝐴𝐵| = √(4 − (−1))2

+ ((−2) − (−3))2

= √52 + 12 = √26

Con esto, la distancia entre los puntos A y B es √26.

La razón por la cual la formula

viene dada por una raíz, es

debido a que tomando ambos

puntos y un tercero formado

por las proyecciones, formamos

el siguiente triangulo

Y lo que hacemos es usar el

Teorema de Pitágoras, donde

los cateto son (𝑥2 − 𝑥1) y

(𝑦2 − 𝑦1) y la hipotenusa es la

distancia que queremos

encontrar.

Figura 2: Ubicación de Puntos


División de un segmento en una razón dada

Si 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2 , 𝑦2) son los extremos de un segmento 𝑃1𝑃2, las

coordenadas (𝑥 , 𝑦) de un punto 𝑃 que divide a este segmento en la razón dada

𝑟 = 𝑃1𝑃̅̅ ̅̅ ̅ ∶ 𝑃𝑃2̅̅ ̅̅ ̅ son

𝑥 =𝑥1 + 𝑟𝑥2

1 + 𝑟, 𝑦 =

𝑦1 + 𝑟𝑦2

1 + 𝑟 , 𝑟 ≠ −1

En el caso particular en que 𝑃 es el punto medio del segmento dirigido 𝑃1𝑃2 , es

𝒓 = 1, de manera que 1os resultados anteriores se reducen a

𝑥 =𝑥1 + 1 ∙ 𝑥2

1 + 1=

𝑥1 + 𝑥2

2, 𝑦 =

𝑦1 + 1 ∙ 𝑦2

1 + 1=

𝑦1 + 𝑦2

2

Según esto tenemos la siguiente definición: Definición 2: Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos

puntos extremos son (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2) son

𝑥 =𝑥1 + 𝑥2

2, 𝑦 =

𝑦1 + 𝑦2

2

Observaciones:

1. En Geometría elemental. las relaciones se escriben sin considerar el signo. En Geometría analítica, en cambio, las razones deben ser consideradas con su signo, ya que estamos tratando con segmentos rectilíneos dirigidos.

2. Al usar las fórmulas, debe cuidarse de que la sustitución de las coordenadas sea correcta, sin cambiar el orden pre-establecido.

3. Si el punto de división 𝑃 es externo al segmento dirigido 𝑃1𝑃2, la razón 𝑟 es negativa.

Ejemplo:

1. Si 𝑃1(−4, 2) y 𝑃2(4, 6) son los puntos extremos

del segmento dirigido 𝑃1𝑃2, hallar las coordenadas

del punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que divide a este segmento en

la razón 𝑃1𝑃̅̅ ̅̅ ̅ ∶ 𝑃𝑃2̅̅ ̅̅ ̅ = −3.

Solución. Como la razón 𝑟 es negativa, el punto de

división 𝑃 es externo, tal como se indica en la figura. Aplicando lo anterior, obtenemos

𝑥 =𝑥1 + 𝑟𝑥2

1 + 𝑟=

−4 + (−3) ∙ 4

1 + (−3)= 8

𝑦 =𝑦1 + 𝑟𝑦2

1 + 𝑟=

2 + (−3) ∙ 6

1 + (−3)= 8



Una empresa de construcción necesita saber la distancia que existe entre la plaza

de Punta Arenas y el museo regional para realizar un tendido eléctrico, el cual

puede ser aéreo o subterráneo.

Suponiendo que el tendido aéreo y el subterráneo tienen el mismo precio por

metro, ¿Cuál le convendría a la empresa?

DESARROLLO:

a) Identificar de datos:

- Distancia entre la Plaza de Punta

Arenas y el Museo Regional.


- Se representara la ciudad en un

plano cartesiano y se calculara la

distancia entre los puntos.


- Si el tendido es subterráneo la

distancia entre la plaza y el museo, se

marca en rosa.


- Luego la distancia horizontal se

calcula como: 5 – 4 = 1 y la distancia

vertical: 4–3 = 1

- Por lo tanto, si el tendido es

subterráneo la distancia entre la plaza y el

museo es de 2 [u].

- Ahora, si el tendido es aéreo, la

distancia entre la plaza y el museo, se

señala en verde:

- Entonces, la distancia aérea se calcula como

d = √(5 − 4)2 + (4 − 3)2 = √2 ≈ 1,4

- Por lo tanto, si el tendido es aéreo la distancia entre la plaza y el museo es de

aproximadamente 1,4 [u].


Como el tendido aéreo y el subterráneo cuestan lo mismo, conviene más el

tendido aéreo, ya que la distancia es menor.

Recuerda que:

La distancia entre dos puntos 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y 𝑄(𝑥2, 𝑦2),

se calcula como:

𝑑𝑃𝑄 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2



1. Sean 𝐴(3,5) ; 𝐵(−2,1) ; 𝐶(4, −3) ; 𝐷(−5, −1)

a) Dibujar un plano cartesiano y ubicar los puntos.

b) Encontrar el perímetro del cuadrilátero.

2. Sean los puntos 𝐴(−3,6) ; 𝐵(𝑥, 1) ; 𝐶(4, 𝑦), encontrar los valores de 𝑥 e

𝑦, para que las distancias 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ sean iguales. ¿Son únicos los puntos?

3. Sean los puntos 𝐴(−2, −1); 𝐵(2, 2); 𝐶(5, −2)

a) Dibujar un plano cartesiano y ubicar los puntos

b) Probar que los puntos son los vértices de un triángulo isósceles.

c) Encontrar el perímetro del Triángulo.

4. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto

(3. −2). Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar su ordenada. ¿es única la

solución?

5. Los puntos extremos de un segmento son 𝑃1(2, 4) y 𝑃2(8, −4). Hallar el

punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que divide a este segmento en dos partes tales que 𝑃1𝑃̅̅ ̅̅ ̅ ∶ 𝑃𝑃2̅̅ ̅̅ ̅ =

− 2.

6. Los extremos de un segmento son los puntos 𝑃1(7, 4) y 𝑃2(−1, −4). Hallar

la razón 𝑃2𝑃̅̅ ̅̅ ̅ ∶ 𝑃𝑃1̅̅ ̅̅ ̅ en que el punto 𝑃(1, −2) divide a1 segmento.

7. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8) y su punto

medio es (4, 3). Hallar el otro extremo.

8. Los extremos de un segmento son los puntos 𝑃1(7, 4) y 𝑃2(−1, −4). Hallar

la razón 𝑃1𝑃̅̅ ̅̅ ̅ ∶ 𝑃𝑃2̅̅ ̅̅ ̅ en que el punto 𝑃(1, −2) divide a1 segmento.

9. a) Encontrar los puntos medios de los lados del cuadrilátero del ejercicio

n°1.

b) Encontrar los puntos medios de los lados del triángulo del ejercicio n°3

10. Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1).

Hallar las coordenadas de los tres vértices.


Pendiente de la recta

Para comenzar a definir la ecuación de la recta, necesitamos un concepto

importante, que es la pendiente de la recta.

Definición 2:

Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte positiva del

eje X y la recta, cuando esta se considera dirigida hacia arriba.

Así, de acuerdo con la definición, el ángulo de inclinaci6n de la recta 𝑙 es 𝛼, y el de

𝑙′ es 𝛼′. (Figura 4). Evidentemente, 𝛼 puede tener cualquier valor comprendido

entre 0° y 180°; es decir, su intervalo de variación está dado por

0° ≤ 𝛼 ≤ 180°

Para la mayor parte de los problemas de Geometría analítica, emplearemos más la

tangente del ángulo de inclinaci6n que el ángulo mismo. Así:

Definición 3:

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de

inclinación. La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra 𝑚.

Por tanto, podemos escribir

𝑚 = tan(𝛼)

Por las definiciones anteriores, se ve que la pendiente puede tornar todos los

valores reales. Si 𝛼 es agudo, la pendiente es positiva, como para la recta 𝒍 en la

figura 4; si 𝛼′ es obtuso, como para la recta 𝒍′, la pendiente es negativa.

Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y seria perpendicular a1 eje X, y

su ángulo de inclinación será de 90°. Como tan 90° no está definida, la pendiente

de una recta paralela al eje Y no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que toda

recta perpendicular al eje X no tiene pendiente.

Figura 4: Angulo de una Recta

Para probar esta fórmula, basta

con observar el dibujo.

Vemos que al tener los puntos,

formamos un triángulo.

Por la definición de la tangente

en un triángulo rectángulo, se

tiene que:

tan(𝛼) =𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Y vemos que las diferencias

mostradas en la formula,

corresponden precisamente a

estos catetos.


Para encontrar este valor, solo conociendo 2 puntos por los cuales pasa esta recta,

es que daremos la siguiente definición

Definición 4:

Si 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥1, 𝑦2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta,

entonces la pendiente de la recta es

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1 ; 𝑥1 ≠ 𝑥2

Observaciones:

1. El valor de m dado por la f6rmula anterior, no está definido analíticamente para

𝑥1 = 𝑥2. En este caso, la interpretación geométrica es que una recta determinada

por dos puntos diferentes con abscisas iguales es paralela al eje Y, y por tanto,

como se mencionó anteriormente, no tiene pendiente.

2. El orden en que se toman las coordenadas en la formula, no tiene importancia.

Ya que 𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

𝑦1 − 𝑦2

𝑥1 − 𝑥2

Aunque debemos ser cuidadosos, ya que hay un error muy frecuente de tomar las

ordenadas en un orden y las abscisas en el orden contrario, y esto hace un cambio

el signo de la pendiente.

Ejemplo: Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por

los puntos (1,6) y (5, − 2).

Solución. Esta recta se muestra en la figura 5. Por la formula anterior, tenemos

para la pendiente,

𝑚 =6 − (−2)

1 − 5=

8

−4= −2

Para el ángulo se tiene, tan(𝛼) = −2 ⇒ 𝛼 = arctan(−2) = 116°34′


Angulo de dos rectas.

Un ángulo especificado θ formado por dos rectas está dado por la fórmula

tan 𝜃 =𝑚2 − 𝑚1

1 + 𝑚1 ∙ 𝑚2; 𝑚1 ∙ 𝑚2 ≠ −1

en donde 𝑚1 es la pendiente inicial y 𝑚2 la pendiente final correspondiente al

ángulo θ.

Ejemplo:

Observación:

1. Si 𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1 entonces la formula no se utiliza y diremos que estas rectas

son perpendiculares.

2. Si 𝑚1 = 𝑚2 entonces la formula nos dará que la tan 𝜃 = 0, lo cual indica que

𝜃 = 0° 𝑜 𝜃 = 180° , y eso nos dice que las rectas son paralelas.

Ambos casos se definen a continuación


1. Demostrar que los tres puntos (12, 1); (−3, −2); (2, −1) son colineales, es

decir, que están sobre una misma línea recta (ver pendiente).

2. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto

de la recta es 4. Hallar su ordenada.

3. Hallar los ángulos del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos

(2, 5); (7, 3); (6, 1) y (0,0).

4. Una recta pasa por los dos puntos (−2, −3); (4, 1). Si un punto de abscisa

10 pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada?

5. Hallar la ecuación que debe satisfacer cualquier punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que

pertenezca a la recta que pasa por el punto (3, −1) y que tiene una pendiente igual

a 4.

6. Probar que los tres puntos (2, 5); (8, −1) y (−2, 1) son los vértices de un

triángulo rectángulo, y hallar sus ángulos agudos.

7. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que

pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos (2, −1); (7, 3)


Rectas Paralelas y Perpendiculares

Definición 5:

La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus

pendientes sean iguales. Es decir, si las pendientes de las rectas son 𝑚1 y 𝑚2,

entonces

𝑚1 = 𝑚2

Esto se debe a que si las pendientes son iguales, entonces sus ángulos también lo

serán, es decir, si

𝑚1 = 𝑚2 ⇒ tan(𝛼1) = tan(𝛼2) ⇒ 𝛼1 = 𝛼2

Y con esto, se tiene que las rectas son paralelas (Ver figura 5)

Ejemplo:

El Cuadrilátero formando por los puntos 𝐴(−1,2); 𝐵(1,4); 𝐶(5,4); 𝐷(3,2) es un

paralelogramo.

En efecto, si vemos las pendientes que se forman entre los trazos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y

𝐷𝐴̅̅ ̅̅ nos queda:

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =2 − 4

−1 − 1=

−2

−2= 1

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =4 − 4

1 − 5=

0

−4= 0

𝑚𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =4 − 2

5 − 3=

2

2= 1

𝑚𝐷𝐴̅̅ ̅̅ =2 − 2

3 − (−1)=

0

4= 0

Así, podemos apreciar que las pendientes 𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑚𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y 𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑚𝐷𝐴̅̅ ̅̅ , con lo que

obtenemos que los lados 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅// 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ // 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ .

Figura 5: Rectas Paralelas


Definición 6:

La condici6n necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre

sí, es que el producto de sus pendientes sea igual a −1. Es decir, si las pendientes

de las rectas son 𝑚1 y 𝑚2, entonces

𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1

Esto se debe a una propiedad de la tangente. Si 𝛼1 = 𝛼2 + 90°, entonces

tan(𝛼1) = tan(𝛼2 + 90°) =−1

tan(𝛼2)

Así,

𝑚1 =−1

𝑚2 ⇒ 𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1

Y con esto, se tiene que las rectas son perpendiculares (Ver figura 6)

Ejemplo:

El triángulo con vértices 𝐴(1,2); 𝐵(4,6); 𝐶(5, −1) es un triangulo rectángulo.

En efecto, si vemos las pendientes que se forman entre los trazos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐴̅̅ ̅̅

nos queda:

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =2 − 6

1 − 4=

−4

−3=

4

3

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =6 − (−1)

4 − 5=

7

−1= −7

𝑚𝐶𝐴̅̅ ̅̅ =−1 − 2

5 − 1=

−3

4= −

3

4

Así, podemos apreciar que las pendientes 𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∙ 𝑚𝐶𝐴̅̅ ̅̅ = −1, con lo que

obtenemos que los lados 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ ⊥ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ (⊥= perpendicular).

Figura 6: Rectas Perpendiculares


Ejercicios:

1. Demostrar que los puntos (2, − 2); (− 8, 4); (5, 3) son los vértices de un

triángulo rectángulo, y hallar su área.

2. Demostrar que los puntos (0, 1); (3, 5); (7, 2); (4, −2) son los vértices de

un cuadrado.

3. Demostrar que la recta que pasa por los dos puntos (- 2. 5) y (4, 1) es

perpendicular a la que pasa por los dos puntos (- 1, I) y (3, 7).

4. Una recta 𝑙1 pasa por los puntos (3, 2) y (−4, −6) y otra recta 𝑙2 pasa por

el punto (−7, 1) y el punto 𝐴 cuya ordenada es −6. Hallar la abscisa del punto 𝐴.

sabiendo que 𝑙1 es perpendicular a 𝑙2.

5. Demostrar que los tres puntos (2, 5); (8. −1) y (−2, 1) son los vértices de

un triángulo rectángulo, y hallar sus ángulos agudos.

6. Demostrar que los cuatro puntos (2, 4); (7, 3); (6, −2) y (1, −1) son

vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares y se dividen

mutuamente en partes iguales.

7. Demostrar que los cuatro puntos (2, 2); (5, 6); (9, 9) y (6, 5) son

bisectrices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su

punto medio.

Lugar Geométrico

Se llama Lugar Geométrico al conjunto de puntos del plano que cumplen

determinadas condiciones. Todo lugar geométrico del plano es la gráfica cartesiana

de una ecuación en dos variables 𝑥 e 𝑦 de la forma 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎.

Recíprocamente, el conjunto de todos los puntos (𝑥, 𝑦) del plano que satisfacen la

ecuación 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎 representan una curva en el plano.

Cabe aclarar que solo estudiaremos los lugares geométricos de la recta y la

parábola.


LA RECTA

Nuestro primer objetivo es la obtención de la ecuación de la recta. Sabiendo que la

ecuación de un lugar geométrico se obtiene a partir de un número suficiente de las

propiedades únicas que lo definen.

Usaremos la siguiente definición de línea recta basada en el concepto de pendiente

dado anteriormente.

Definición de línea recta:

Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomando dos

puntos diferentes cualesquiera 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) del lugar, el valor de la

pendiente 𝑚 calculado por medio de la fórmula de la definición 4.

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1 ; 𝑥1 ≠ 𝑥2

Resulta ser siempre constante.

Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus

puntos y su dirección. Analíticamente, la ecuaci6n de una recta puede estar

perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y

su ángulo de inclinación (y, por tanto, su pendiente)

Con esto, daremos la siguiente proposición

Proposición 1.

La recta que pasa por el punto dado 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y tiene la pendiente dada 𝑚, tiene

por ecuación

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥1) (1)

Observaciones.

1. Como la ecuación (1) está dada en función de un punto y la pendiente, se

llama, ecuación de la forma de punto-pendiente.

2. Una recta que coincide o es paralela al eje Y no tiene pendiente. Por tanto, la

ecuación (1) no puede representar a una recta de tal naturaleza, ni nuestra

definición de recta puede aplicarse a ella. Para este caso se usara la ecuación de la

recta de la forma 𝑥 = 𝑘, en donde 𝑘 es cualquier número real.

Para probar esta ecuación,

basta con observar la fórmula

de pendiente. Si miramos la

grafica

Vemos que la pendiente entre 𝑃

y 𝑃1 es:

𝑚 =𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1

Y de esta ecuación, si pasamos

multiplicando el denominador,

nos queda la ecuación deseada,

es decir,

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥1)


Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, −1) y tiene un

ángulo de inclinación de 135°.

Solución. Para encontrar la ecuación de la recta, necesitamos primero encontrar la

pendiente. Para ello, recordamos que

𝑚 = tan(𝛼) = tan(135°) = −1

Así, se tiene que 𝑚 = −1. Con esto, reemplazamos los datos en la ecuación (1).

Obteniendo,

𝑦 − (−1) = −1 ∙ (𝑥 − 4) ⇒ 𝑦 + 𝑥 − 3 = 0

Con esto, la ecuación de la recta es 𝑦 + 𝑥 − 3 = 0

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos de sus

puntos arbitrarios. Analíticamente, la ecuación de una recta también queda

perfectamente determinada conociendo las coordenadas de dos de sus puntos

arbitrarios.

Con esto, daremos la siguiente proposición

Proposición 2.

La recta que pasa por dos puntos dados 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) tiene por ecuación

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1∙ (𝑥 − 𝑥1) ; 𝑥2 ≠ 𝑥1 (2)

Observaciones.

1. Como la ecuación (2) está dada en función de dos puntos, se llama ecuación

de la forma de punto-punto.

2. Si 𝑥1 = 𝑥2, la ecuación (2) no se puede usar. En este caso, la recta es

paralela al eje Y, y su ecuación es 𝑥 = 𝑥1.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, −3) y (−3,2).

Para probar esta ecuación,

basta con observar la fórmula

de pendiente. Si miramos la

grafica

Vemos que la pendiente entre

𝑃2 y 𝑃1; y entre 𝑃 y 𝑃1 es:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1 𝑦 𝑚 =

𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1

Y de esta ecuación, si igualamos

ambas expresiones, nos queda

la ecuación deseada, es decir,

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1

Y se deduce que:

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1∙ (𝑥 − 𝑥1)


Solución. Para encontrar la ecuación de la recta, necesitamos primero encontrar la

pendiente. Para ello, recordamos que

𝑚 =−3 − 2

2 − (−3)=

−5

5= −1

Así, se tiene que 𝑚 = −1. Con esto, reemplazamos los datos en la ecuación (2).

Obteniendo,

𝑦 − (−3) = −1 ∙ (𝑥 − 2) ⇒ 𝑦 + 𝑥 + 1 = 0

Con esto, la ecuación de la recta es 𝑦 + 𝑥 + 1 = 0

Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen.

Consideremos una recta 𝑙 (fig. 7) cuya pendiente es 𝑚 y cuya ordenada está en el

origen, es decir, su intersección con el eje Y, es b. Como se conoce b, el punto

cuyas coordenadas son (0, b) está sobre la recta. Por tanto, el problema se reduce a

hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto (0, b) y tiene una pendiente

dada.

Según la ecuación (1), la ecuación buscada es:

𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 0)

O sea,

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Con esto, podemos enunciar este resultado como sigue.

Proposición 3.

La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (3)

Figura 7: Recta con ordenada en el origen


Observaciones.

1. A la ecuación (3) se le llama la ecuación Principal de la recta. Usualmente se

denota como 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, donde 𝑚 es la pendiente y 𝑛 es el coeficiente de

posición de la recta.

2. Una recta paralela al eje Y no tiene ordenada en el origen. En este caso no

puede usarse la forma de ecuación que acabamos de obtener. Como ya dijimos la

ecuación de una recta es de la forma 𝑥 = 𝑘.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,5) y que tienen

pendiente 4.

Solución. Para encontrar la ecuación de la recta, usaremos la ecuación (3), ya que

el punto (0,5), es un punto sobre el eje Y. Así, tenemos que 𝑚 = 4 y 𝑏 = 5,

Obteniendo la ecuación:

𝑦 = 4𝑥 + 5

Ecuación simétrica de la recta.

Sean 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0 los segmentos que una recta determina sobre los ejes X e Y

(fig. 8), es decir, sus intersecciones. Entonces (𝑎, 0) y (0, 𝑏) son dos puntos de la

recta. Por tanto, el problema de obtener la ecuación de una recta cuando se

conocen los segmentos que determina sobre los ejes se reduce a hallar la ecuaci6n

de la recta que pasa por dos puntos, y tenemos, por la ecuación (2),

𝑦 − 0 =0 − 𝑏

𝑎 − 0(𝑥 − 𝑎)

de donde,

𝑎𝑦 = −𝑏𝑥 + 𝑎𝑏

Trasponiendo −𝑏𝑥 al primer miembro y dividiendo por 𝑎𝑏, obtenemos

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1

Figura 8: Recta con intersección en los ejes


Esta ecuación es la llamada ecuación simétrica de la recta. De aquí la siguiente

proposición.

Proposición 4.

La recta cuyas intersecciones con los ejes X e Y son 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0,

respectivamente, tiene por ecuación

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1 (4)

Observaciones.

1. Si 𝑎 = 0, entonces también 𝑏 = 0, y la forma simétrica no puede usarse. En

este caso, solamente se conoce un punto, el origen, y no es suficiente para

determinar una recta.

2. Como una recta queda perfectamente determinada por dos de sus puntos, la

manera más conveniente de trazar una recta a partir de su ecuación es determinar

las dos intersecciones con los ejes. Si la recta pasa por el origen, basta determinar

otro punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuación.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, −4) y (3,0).

Solución. Para encontrar la ecuación de la recta, usaremos la ecuación (4), ya que

el punto (0, −4), es un punto sobre el eje Y, y el punto (3,0), es un punto sobre

el eje X. Asi, se tiene que 𝑎 = 3 y 𝑏 = 4. Entonces se tiene que:

𝑥

3+

𝑦

4= 1

Resolviendo esto, queda

3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0

Ejercicios Resueltos.

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−3, 1) y es paralela a la

recta determinada por los dos puntos (0, −2) y (5, 2).

Solución. Como se conoce un punto de la recta requerida 𝑙 (ver figura), solamente

es necesario obtener su pendiente que, según sabemos, es la misma que la de la

recta paralela 𝑙′ que pasa por los dos puntos (0, −2) y (5, 2). Así, la pendiente de

𝑙′ es,

En todos los ejemplos que se

han realizado para obtener la

ecuación de la recta.

Hemos escrito las soluciones de

la forma

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

A esta expresión, se le conoce

como la Ecuación General de la

Recta. Y la característica que

tiene es que 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 son

enteros.


𝑚 =−2 − 2

0 − 5=

4

5

Por lo que aplicando la formula (1) se obtiene

𝑦 − 1 =4

5∙ (𝑥 − (−3))

Resolviendo, queda

4𝑥 − 5𝑦 + 13 = 0

2. Hallar la ecuación de la mediatriz (perpendicular en su punto medio) del

segmento (−2. 1) y (3, −5).

Solución. Supongamos que la mediatriz es la recta 𝑙 y que el segmento es 𝑙′ (ver

figura). Las coordenadas del punto medio M de 𝑙′ es

𝑀 = (−2 + 3

2,1 + (−5)

2)

= (1

2, −2)

Ahora, la pendiente de 𝑙′ es

𝑚′ =1 − (−5)

−2 − 3=

6

−5= −

6

5

Como 𝑙 es perpendicular a 𝑙′, su pendiente, es 𝑚 = 5/6, (el producto es −1). Por

tanto, usando la ecuación (1) nos queda

𝑦 − (−2) =5

6∙ (𝑥 −

1

2)

Lo cual, se reduce a

10𝑥 − 12𝑦 − 29 = 0


Problemas Propuestos.

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴(1, −5) y tiene

pendiente 2.

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴(−6, −3) y tiene un

ángulo de inclinación de 45°.

3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es −3 y cuya intersección con

el eje Y es -2.

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(4, 2) y 𝐵(−5, 7).

5. Los vértices de un cuadrilátero son 𝐴(0, 0), 𝐵(2, 4), 𝐶(6, 7), 𝐷(8, 0).

Hallar las ecuaciones de sus lados.

6. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X e Y son 2 y −3,

respectivamente. Hallar su ecuación General.

7. Una recta pasa por los puntos 𝐴(−3, −1) y 𝐵(2. −6). Hallar su ecuación en

la forma simétrica.

8. Una recta de pendiente −2 pasa por el punto 𝐴(−1, 4). Hallar su ecuación

en la forma simétrica.

9. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento dado por los puntos

𝐴(−3, 2) y 𝐵(1, 6).

10. Una recta pasa por el punto 𝐴(7, 8) y es paralela a la recta 𝐶(−2. 2) y

𝐷(3. −4). Hallar su ecuación.

11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴(−2, 4), y determina

sobre el eje X el segmento −9.

12. Demostrar que los puntos: 𝐴(−5, 2), 𝐵(1, 4) y 𝐶(4, 5) son colineales

hallando la ecuación de la recta que pasa por dos de estos puntos.

13. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados

determinan en la recta 5𝑥 + 3𝑦 − 15 = 0.

14. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es −4, y que pasa por el punto

de intersección de las rectas 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 y 3𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0.


15. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3𝑥 − 8𝑦 + 36 = 0,

𝑥 + 𝑦 − 10 = 0. 3𝑥 − 8𝑦 − 19 = 0 y 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0. Demostrar que la figura

es un paralelogramo, y hallar las coordenadas de sus vértices.

16. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la

recta cuya ecuación es 5𝑥 + 4𝑦 + 20 = 0.

17. Las coordenadas de un punto 𝑃 son (2, 6), y la ecuación de una recta 𝑙 es

4𝑥 + 3𝑦 = 12. Hallar la distancia del punto P a la recta 𝑙 siguiendo en orden los

siguientes pasos:

a) Hallar la pendiente de 𝑙.

b) Hallar la ecuación de la recta 𝑙′ que pasa por 𝑃 y es perpendicular a 𝑙.

c) Hallar las coordenadas de 𝑃′, punto de intersección de 𝑙 y 𝑙′.

d) Hallar la longitud del segmento 𝑃𝑃′.

LA CIRCUNFERENCIA Después de la recta, la línea más familiar al estudiante es la circunferencia, pues la conoce desde sus primeros estudios de Geometría elemental. Estudiaremos la ecuación de la circunferencia y deduciremos algunas de sus propiedades especiales. Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria.

Definición:

Circunferencia es el lugar geom6trico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.

Proposición 5: La circunferencia cuyo centro es el punto (ℎ, 𝑘) y cuyo radio es la

constante 𝑟, tiene por ecuación

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

Para probar esto, sea 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto cualquiera de la

circunferencia de centro 𝐶(ℎ, 𝑘) y radio 𝑟. Entonces, por definición de circunferencia, el punto P debe satisfacer la condición geométrica

|𝐶𝑃̅̅ ̅̅ | = 𝑟


la cual, por la fórmula de distancia entre dos puntos, está expresada, analíticamente, por la ecuación

√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 De donde,

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

Recíprocamente, sea 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la condición, de manera que se verifica la igualdad

(𝑥1 − ℎ)2 + (𝑦1 − 𝑘)2 = 𝑟2

De la cual se deduce, sacando la raíz,

√(𝑥1 − ℎ)2 + (𝑦1 − 𝑘)2 = 𝑟

que es la expresión analítica de la condición geométrica aplicada al punto 𝑃1. Por tanto, hemos probado la proposición anterior.

Para el caso particular en que el centro C está en el origen, ℎ = 𝑘 = 0, se tiene la siguiente consecuencia: Corolario: La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuación

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Observaciones:

1. La ecuación descrita en la proposición 5, se conoce como la ecuación ordinaria o forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia. En general, designaremos como forma ordinaria aquella ecuación de una curva que nos permita obtener más rápida y fácilmente sus características importantes. Así, por ejemplo, en este caso, podemos obtener, inmediatamente, las coordenadas del centro y el radio. 2. El tipo más simple de la ecuación ordinaria de una curva se denomina frecuentemente forma canónica. Por tanto, la ecuación del corolario es la forma canónica de la ecuación de una circunferencia.

Por la proposición 5 observamos que, si se conocen las coordenadas del centro y la longitud del radio, la ecuación puede escribirse inmediatamente. Esto sugiere un método para obtener la ecuación de una circunferencia en cualquier problema dado; todo lo que se necesita es obtener las coordenadas del centro y la longitud del radio a partir de las condiciones dadas. La construcción de una circunferencia, en Geometría elemental, implica la determinación del centro y el radio; el método allí empleado, aunque no siempre es el más corto, puede usarse para obtener en Geometría Analítica la ecuación de una circunferencia.


Ejemplo. Hallar la ecuación de la circunferencia Circunscrita al triángulo cuyos

vértices son 𝑃1(−1,1), 𝑃2(3,5) y 𝑃3(5, −3)

Solución:

La construcción de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados es un problema conocido de la Geometría elemental. El

método consiste en construir las mediatrices 𝑙1

y 𝑙2, respectivamente, de dos lados

cualesquiera, digamos 𝑃1𝑃2 y 𝑃2𝑃3 (ver figura).

La intersección 𝐶 de 𝑙1 y 𝑙2 es el centro y la

distancia de 𝐶 a uno cualquiera de los puntos

𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 es el radio. Ahora determinaremos la ecuación de la circunferencia siguiendo este mismo método analíticamente.

Por los métodos vistos anteriormente de ecuación de una recta, se puede probar

rápidamente que las ecuaciones de las mediatrices 𝑙1 y 𝑙2 son 𝑥 + 𝑦 = 4 y 𝑥 −

4𝑦 = 0. respectivamente. La solución común de estas dos ecuaciones es 𝑥 =16

5 ,

𝑦 =4

5, de manera que las coordenadas del centro 𝐶 son (

16

5,4

5)

Por la proposición 5, se tiene que el radio está dado por

𝑟 = |𝐶𝑃1̅̅ ̅̅ ̅| = √(−1 −

16

5)

2

+ (1 −4

5)

2

=1

5√442

Por lo que, tenemos que la ecuación de la circunferencia es:

(𝑥 −16

5)

2

+ (𝑦 −4

5)

2

=442

25

Nota: Se recomienda que se verifique el hecho de que las coordenadas de los

puntos 𝑃1, 𝑃2 y 𝑃3 satisfacen la ecuación hallada de la circunferencia.



Se quiere construir un carrusel para niños entre 4 y 14 años, cuya base tenga un

radio de 2,5 metros y sobre la cual se ubiquen 8 asientos a una distancia de 1,57

metros entre cada uno, ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que representa la

ubicación de los asientos?

DESARROLLO:




- Radio de la circunferencia que forma la base del carrusel.

- Distancia de separación entre los asientos del carrusel.




c) Resolución.




- Representar la base del carrusel.

- Determinar la ecuación de la circunferencia que representa la base del carrusel.

- Determinar el radio de la circunferencia que contiene a los asientos.

- Determinar la ecuación de la circunferencia que contiene a los asientos.


- La base del carrusel, se representa continuación:

- En el problema se dice que el radio de la base mide 2,5 metros. Supongamos que la

circunferencia esta centrada en el origen, por lo tanto, la ecuación de la

circunferencia que representa la base del carrusel es:

𝑥2 + 𝑦2 = 6,25

- Como los asientos se encuentran a 1,57 metros y son

ocho asientos, podemos determinar el perimetro de la

circunferencia que los contiene:

P = 1,57 · 8 = 12,56

Recuerda que:

La ecuación de la circunferencia cuyo centro es (ℎ, 𝑘) y radio es 𝑟, se expresa

como:

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2


- Ahora podemos determinar el radio de dicha

circunferencia.

12,56 = 2πr

r ≈ 2

- Como ambas circunferencias son concentricas y ya determinamos el radio de la

circunferencia que contiene a los asientos, podemos expresar su ecuación como:

𝑥2 + 𝑦2 = 4


La ecuación de la circunferencia que representa la ubicación de los asientos es

𝑥2 + 𝑦2 = 4.


Dibujar una figura para cada ejercicio

1. Escribir la ecuaci6n de la circunferencia de centro 𝐶(−3, −7) y radio 7. 2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos

𝐴(2,3) y 𝐵(−4,5). Hallar la ecuación de la curva.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto 𝐶(7, −6) y que

pasa por el punto 𝐴(2,2).

4. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro 𝐶(2, −4) y que es tangente al eje Y.

5. Una circunferencia tiene su centro en el punto 𝐶(0, −2) y es tangente a la recta

5𝑥 − 12𝑦 + 2 = 0. Hallar su ecuación.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto 𝐶(−4, −1) y que

es tangente a la recta 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0.

7. La ecuación de una circunferencia es (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 4)^2 = 36. Probar que el punto 𝐴(2, −5) es interior a la circunferencia y que el punto

𝐵(−4, 1) es exterior. 8. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto dc

intersección de las rectas 3𝑥 − 2𝑦 − 24 = 0 ; 2𝑥 + 7𝑦 + 9 = 0.


9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝐴(7, −5) y cuyo

centro es el punto de intersección de las rectas 7𝑥 − 9𝑦 − 10 = 𝑂 y

2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0.

10. Una cuerda de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 25 está sobre la recta cuya

ecuación es 𝑥 − 7𝑦 + 25 = 0. Hállese la longitud de la cuerda.

LA PARABOLA

Nuestro objetivo es la obtención de la ecuación de la parábola. Sabiendo que la

ecuación de un lugar geométrico se obtiene a partir de un número suficiente de las

propiedades únicas que lo definen.

La ecuación de la parábola la deduciremos a partir de su definición como el lugar

geométrico de un punto que se mueve de acuerdo con una ley especificada.

Para una mayor comprensión de este concepto, comenzaremos dando algunas

definiciones.

Definición.

La parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal

manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su

distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.

La definición excluye el caso en que el foco este sobre la directriz.

Figura 9: Parábola de foco F,

directriz 𝑙, eje de parábola 𝑎,

Vertice V.


Designemos por 𝐹 y 𝑙 (fig. 9), el foco y la directriz de una parábola,

respectivamente. La recta 𝑎 que pasa por 𝐹 y es perpendicular a 𝑙 se llama eje de

la parábola. Sea 𝐴 el punto de intersección entre el eje y la directriz.

El punto 𝑉, punto medio del segmento 𝐴𝐹, está, por definición, sobre la parábola;

este punto se llama vértice.

El segmento de recta, tal como 𝐵𝐵′, que une dos puntos diferentes de la parábola

se llama cuerda; en particular, una cuerda que pasa por el foco como 𝐶𝐶’, se,

llama cuerda focal.

La cuerda focal 𝐿𝐿′ perpendicular al eje se llama lado recto. Si 𝑃 es un punto

cualquiera de la parábola, la recta 𝐹𝑃 que une el foco 𝐹 con el punto 𝑃 se llama

radio focal de 𝑃, o radio vector.

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje coordenado.

Veremos que la ecuación de una parábola toma, su forma más simple, cuando su

vértice está en el origen y su eje coincide con uno de los ejes coordenados. De

acuerdo con esto, consideremos la parábola cuyo vértice está en el origen (fig. 10)

y cuyo eje coincide con el eje X. Entonces el foco F está sobre el eje X; sean (𝑝, 0)

sus coordenadas. Por definición de la parábola, la ecuación de la directriz 𝑙 es 𝑥 =

−𝑝.

Sea 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto cualquiera de la parábola. Por 𝑃 tracemos el segmento 𝑃𝐴

perpendicular a 𝑙. Entonces, por la definici6n de parábola, el punto 𝑃 debe

satisfacer la condición geométrica

|𝐹𝑃̅̅ ̅̅ | = |𝑃𝐴̅̅ ̅̅ | (1)

Figura 10: Parábola con

vértice en el origen.


Calculando la distancia, nos queda que:

|𝐹𝑃̅̅ ̅̅ | = √(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑦2 y |𝑃𝐴̅̅ ̅̅ | = √(𝑥 − (−𝑝))2

= |𝑥 + 𝑝|

Por tanto, la condición geométrica (1) está expresada, analíticamente; por la

ecuación

√(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑦2 = |𝑥 + 𝑝|

Si elevamos al cuadrado ambos miembros de esta ecuación y simplificamos,

obtenemos

𝑦2 = 4𝑝𝑥 (2)

Recíprocamente, sea 𝑃1(𝑧1, 𝑦1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfagan

(2). Tendremos:

𝑦12 = 4𝑝𝑥1

Si sumamos (𝑥1 − 𝑝)2 a ambos miembros de esta ecuación, y extraemos la raíz

cuadrada, obtenemos, para la raíz positiva,

√(𝑥1 − 𝑝)2 + 𝑦12 = |𝑥 + 𝑝|

que es la expresi6n analítica de la condici6n geométrica (1) aplicada al punto 𝑃1.

Por tanto, 𝑃1 está sobre la parábola cuya ecuación está dada por (2).

Ahora vemos que, la curva pasa por el origen y no tiene ninguna otra intersección

con los ejes coordenados. La única simetría que posee el lugar geométrico de (2)

es con respecto a1 eje X. Despejando y de la ecuación (2) , tenemos:

𝑦 = ±2√𝑝𝑥 (3)

Por tanto, para valores de 𝑦, reales y diferentes de cero, 𝑝 y 𝑥 deben ser del mismo

signo. Según esto, podemos considerar dos casos: 𝑝 > 0 y 𝑝 < 0.

Si p > 0, deben excluirse todos los valores negativos de 𝑥, y todo el lugar

geométrico se encuentran la derecha del eje Y. Como no se excluye ningún valor

positivo de 𝑥, y como 𝑦 puede tomar todos los valores reales, el lugar geométrico

de (2) es una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del

eje Y, y hacia arriba y abajo del eje X. Esta posición es la indicada en la figura 10, y

se dice que la parábola se abre hacia la derecha.


Análogamente, si 𝑝 < 0, todos los valores positivos de 𝑥 deben excluirse en la

ecuación (3) y todo el lugar geométrico aparece a la izquierda del eje Y. Esta

posición está indicada en la figura 11, y, en este caso, se dice que la parábola se

abre hacia la izquierda.

Es evidente que la curva correspondiente a la ecuación (2) no tiene asíntotas

verticales ni horizontales.

Según la ecuación (3) , hay dos puntos sobre la parábola que tienen abscisa igual a

𝑝; uno de ellos tiene la ordenada 2𝑝 y el otro la ordenada −2𝑝. Como la abscisa

del foco es 𝑝, se tiene que la longitud del lado recto es igual a1 valor absoluto de la

cantidad 4𝑝.

Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje Y, se

demuestra, análogamente, que la ecuación de la parábola es

𝑥2 = 4𝑝𝑦 (4)

en donde el foco es el punto (0, 𝑝).

Figura 12: Parábola con vértice en el origen y directrices horizontales.

Figura 11: Parábola con

vértice en el origen.


Puede demostrarse fácilmente que, si 𝑝 > 0 la parábola se abre hacia arriba

(fig.12a); y, si p < 0, la parábola se abre hacia abajo (fig.12b). Un trabajo completo

de la ecuación (4) se deja como ejercicio al estudiante.

Las ecuaciones (2) y (4) se llaman a veces la primera ecuación ordinaria de la

parábola. Como son las ecuaciones más simples de la parábola, nos referimos a

ellas como a las formas canónicas.

Los resultados anteriores se resumen en la siguiente proposición.

Proposición 1.

La ecuación de una parábola de vértice en el origen y de eje en el eje X, es

𝑦2 = 4𝑝𝑥

en donde el joco es el punto ( p , 0) y la ecuación de la directriz es 𝑥 = −𝑝. Si 𝑝 >

0, la parábola se abre hacia la derecha; si 𝑝 < 0, la parábola se abre hacia la

izquierda.

Si el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su

ecuación es

𝑥2 = 4𝑝𝑦

en donde el foco es el punto (0, 𝑝), y la ecuación de la directriz es 𝑦 = −𝑝. Si 𝑝 >

0, la parábola se abre hacia arriba; si 𝑝 < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje

Y pasa por el punto (4, −2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de

su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Trazar la gráfica correspondiente.

Solución. Por la Proposición 1, la ecuación de la parábola es de la forma

𝑥2 = 4𝑝𝑦

Como la parábola pasa por el punto

(4, −𝟐), las coordenadas de este punto

deben satisfacer la ecuación (4).

Tenemos

16 = 4𝑝(−2)

Observación.

En cada caso, la longitud del

lado recto está dada por el valor

absoluto de 4𝑝, que es el

coeficiente del término de

primer grado.

Así, podemos escribir

Longitud del lado recto |4𝑝|


De donde 𝑝 = −2, y la ecuación buscada es

𝑥2 = −8𝑦

De la proposición, el foco es el punto (0, 𝑝), o sea, (0, −2) la ecuación de la

directriz es

𝑦 = −𝑝 ⇒ 𝑦 = 2

La longitud del lado recto es |4𝑝| = 8. En la figura, se ha trazado el lugar

geométrico, foco, directriz y lado recto.


Dibujar para cada ejercicio la gráfica correspondiente.

En cada uno de los ejercicios del 1 al 4, Hallar las coordenadas del foco, la

ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada, y discutir

el lugar geométrico correspondiente.

1. 𝑦2 = 12𝑥

2. 𝑦2 + 8𝑥 = 0

3. 𝑥2 = 12𝑦

4. 𝑥2 + 2𝑦 = 0

5. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto

(3,0).

6. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta

𝑦 − 5 = 0.

7. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X

pasa por el punto (−2,4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del

foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

8. Una cuerda de la parábola 𝑦2 − 4𝑥 = 0 es un segmento de 1a recta 𝑥 −

2𝑦 + 3 = 0. Hallar su longitud.

9. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola 𝑥2 + 8𝑦 = 0 que es

paralela a la recta 3𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0.


Ecuación de una parábola de vértice (𝒉, 𝒌) y eje paralelo a un eje

coordenado.

Frecuentemente necesitaremos obtener la ecuación de una parábola cuyo vértice

no está en el origen y cuyo eje sea paralelo, y no necesariamente coincidente, a

uno, de los ejes coordenados. De acuerdo con esto, consideremos la parábola

(fig.13) cuyo vértice es el punto (ℎ, 𝑘) y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejes

coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen 0′ coincida con el

vértice (ℎ, 𝑘), se sigue, por la proposición 1, que la ecuación de la parábola con

referencia a los nuevos ejes 𝑋’ e 𝑌′ está dada por

𝑦′2 = 4𝑝𝑥′ (1)

en donde 1as coordenadas del foco 𝐹

son (𝑝 , 0) referido a los nuevos ejes.

A partir de la ecuación de la parábola

referida a los ejes originales X e Y,

podemos obtener la ecuación (1)

usando las ecuaciones de

transformaciones de ejes, a saber,

𝑥 = 𝑥′ + ℎ ; 𝑦 = 𝑦′ + 𝑘

De donde

𝑥′ = 𝑥 − ℎ ; 𝑦′ = 𝑦 − 𝑘

Si sustituimos estos valores de 𝑥′ e 𝑦′ en la ecuación (1) , obtenemos

(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (ℎ, 𝑘) y cuyo eje es paralelo al

eje Y, tiene por ecuación

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

en donde |𝑝| es la longitud de aquella porción del eje comprendida entre el foco y

el vértice.

Las ecuaciones (2) y (3) se llaman, generalmente, segunda ecuación ordinaria de

la parábola.

Los resultados anteriores, junto con los obtenidos en proposición 1, conducen a la

siguiente proposición.

Figura 13: Parábola con vértice (ℎ, 𝑘)


Proposición 2.

La ecuación de una parábola de vértice (ℎ, 𝑘) y eje paralelo al eje X, es de la forma

(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

siendo |𝑝| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.

Si 𝑝 > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si 𝑝 < 0, la parábola se abre hacia la

izquierda.

Si el vértice es el punto (ℎ, 𝑘) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su

ecuación es de la forma

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Si 𝑝 > 0, la parábola se abre hacia arriba; si 𝑝 < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3,4) y cuyo

foco es el punto (3,2). Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de

su lado recto.

Solución. Como el vértice 𝑉 y el foco 𝐹 de una parábola están sobre su eje, y

como en este caso cada uno de estos puntos tiene la misma abscisa 3, se sigue que

el eje 𝑎 es paralelo al eje Y, como se indica en la figura.

Por tanto, por el teorema 2, la ecuación de

la parábola es de la forma

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Como el vértice 𝑉 es el punto (3,4), la

ecuación puede escribirse

(𝑥 − 3)2 = 4𝑝(𝑦 − 4)

Ahora bien, |𝑝| = |𝐹𝑉̅̅ ̅̅ | = |4 − 2| = 2.

Pero, como el foco 𝐹 está abajo del vértice

𝑉, la parábola se abre hacia abajo y 𝑝 es negativo. Por tanto, 𝑝 = −2, y la ecuación

de la parábola es

(𝑥 − 3)2 = 8(𝑦 − 4)

y la longitud del lado recto es 8.


Designemos por A el punto en que el eje 𝑎 corta a la directriz 𝑙. Como 𝑉(3,4) es

el punto medio del segmento 𝐴𝐹̅̅ ̅̅ , se sigue que las coordenadas de A son (3,6).

Por tanto, la ecuación de la directriz es 𝑦 = 6.

Si desarrollamos y trasponemos términos en la ecuación

(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ),

obtenemos

𝑦2 − 4𝑝𝑥 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 + 4𝑝ℎ = 𝑂,

que puede escribirse en la forma

𝑦2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3 = 0, (4)

en donde 𝑎1 = −4𝑝 ; 𝑎2 = −2𝑘 y 𝑎3 = 𝑘2 + 4𝑝ℎ. Recíprocamente,

completando el cuadrado en 𝑦, podemos demostrar que una ecuación de la forma

(4) representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje X.

Al discutir la ecuación de la forma (4) suponemos que 𝑎1 ≠ 0.

Si 𝑎1 = 0, la ecuación toma la forma

𝑦2 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3 = 0, (5)

que es una ecuación cuadrática en la única variable y. Si las raíces de (5) son reales

y desiguales, digamos 𝑟1 y 𝑟2, entonces la ecuación (5) puede escribirse en la

forma

(𝑦 − 𝑟1)(𝑦 − 𝑟2) = 0

y el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectas diferentes, 𝑦 = 𝑟1 e

𝑦 = 𝑟2, paralelas ambas al eje X. Si las raíces de (5) son reales e iguales, el lugar

geométrico consta de dos rectas coincidentes representadas geométricamente por

una sola recta paralela al eje X.

Finalmente, si las raíces de (5) son complejas, no existe ningún lugar geométrico.

Una discusión semejante se aplica a la otra forma de la segunda ecuación ordinaria

de la parábola

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Los resultados se resumen en la siguiente proposición.


Proposición 3.

Una ecuación de segundo grado en las variables 𝑥 e 𝑦 que carezca del término en

𝑥𝑦 puede escribirse en la forma

𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Si 𝐴 = 0, 𝐶 ≠ 0 y 𝐷 ≠ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo

a (o coincide con) el eje X. Si, en cambio, 𝐷 = 0, la ecuación representa dos rectas

diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún

lugar geométrico, según que las raíces de 𝐶𝑦2 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 sean reales y

desiguales, reales e iguales o complejas.

Si 𝐴 ≠ 0, 𝐶 = 0 y 𝐸 ≠ 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es

paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, 𝐸 = 0, la ecuación representa

dos rectas diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o

ningún lugar geométrico, según que las raíces de 𝐴𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐹 = 0, sean reales y

desiguales, reales e iguales o complejas.

Ejemplo. Demostrar que la ecuación 4𝑥2 − 20𝑥 − 24𝑦 + 97 = 0 representa una

parábola, y hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz

y la longitud de su lado recto.

Solución. Por la proposición 3, la ecuación

4𝑥2 − 20𝑥 − 24𝑦 + 97 = 0 (6)

representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.

Si reducimos la ecuación (6) a la segunda forma ordinaria, completando el

cuadrado en 𝑥, obtenemos

(𝑥 −5

2)

2

= 6(𝑦 − 3) (7)

De esta ecuación vemos inmediatamente que las coordenadas del vértice son

(5

2, 3). Como 4𝑝 = 6, 𝑝 = −

3

2, y la parábola se abre hacia arriba. Entonces como

el foco está sobre el eje y el eje es paralelo al eje Y, se sigue que las coordenadas

del foco son (5

2, 3 +

3

2), o sea, (

5

2,9

2). La ecuación de la directriz es 𝑦 = 3 −

3

2, o

sea, 𝑦 =3

2, y la longitud del lado recto es |4𝑝| = 6.

Se recomienda al estudiante que dibuje la gráfica correspondiente a este ejemplo.

También se recomienda resolver el problema por traslación de los ejes

coordenados.


En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria de 1a parábola, dadas por la

proposición 2, hay tres constantes arbitrarias independientes o parámetros, ℎ, 𝑘 y

𝑝. Por tanto, la ecuación de cualquier parábola cuyo eje sea paralelo a uno de los

ejes coordenados puede determinarse a partir de tres condiciones independientes.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa

por los tres puntos (3

2, −1) ; (0,5) y (−6, −7).

Solución. Por la proposición 2, la ecuación buscada es de la forma

(𝑌 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Podemos, sin embargo, tomar también la ecuación en la forma dada por la

proposición 3, a saber,

𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Como 𝐶 ≠ 0, podemos dividir toda la ecuación por 𝐶, obteniendo así

𝑦2 + 𝐷′𝑥 + 𝐸′𝑦 + 𝐹′ = 0,

Donde 𝐷′ =𝐷

𝐶 ; 𝐸′ =

𝐸

𝐶 ; 𝐹′ =

𝐹

𝐶. Son 3 constantes por determinar.

Como los tres puntos dados están sobre la parábola, sus coordenadas deben

satisfacer la ecuación (8). Por tanto, expresando este hecho, obtenemos las tres

ecuaciones siguientes correspondiendo a los puntos dados:

{(3

2, −1) 1 +

3

2𝐷′ − 𝐸′ + 𝐹′ = 0

(0 , 5) 25 + 5𝐸′ + 𝐹′ = 0

(−6, −7) 49 − 6𝐷′ − 7𝐸′ + 𝐹′ = 0

que pueden escribirse así,

{1 +

3

2𝐷′ − 𝐸′ + 𝐹′ = 0

25 + 5𝐸′ + 𝐹′ = 049 − 6𝐷′ − 7𝐸′ + 𝐹′ = 0

La solución de este sistema de tres ecuaciones nos da

𝐷′ = 8 ; 𝐸′ = −2 ; 𝐹′ = −15

Sustituyendo estos valores en la ecuación (8), obtenemos

𝑦2 + 8𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0

que es la ecuación de la parábola que se buscaba.


El estudiante debe dibujar la figura para este ejemplo y verificar el hecho de que

las coordenadas de cada uno de los tres puntos dados satisfacen la ecuación de la

parábola. También debe obtener la misma ecuación usando la forma

(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Ejercicios Resueltos

1.- Encontrar todos los elementos de las siguientes parábolas y graficar:

(abertura, vértice, foco, directriz, eje de la parábola, etc.)

a) x4y2

b) y10x2

c) 1x44y2

d) 1y63x2

Solución.

a) 𝑦2 = 4𝑥 ; 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 = 1

El parámetro 𝑝 = 1 ( 0p ), la parábola se abre a la

derecha del eje Y.

El vértice es 𝑉(0,0). El foco está sobre el eje X y tiene

coordenadas 𝐹(𝑝, 0) = (1,0). La directriz tiene

ecuación 𝑥 = −𝑝 = −1.

El eje de la parábola es el eje X. Si 𝑥 = 1; 𝑦2 = 4 ⇒ 𝑦 = ±2

Solución.

b) 𝑥2 = 10𝑦

Vértice 𝑉(0,0). El eje de la parábola es el eje

Y.

4𝑝 = 10 ⇒ 𝑝 =5

2 ⇒ 𝐹 (0,

5

2)

La directriz tiene ecuación 𝑦 = −𝑝 = −5

2

Si 𝑦 =5

2 ; 𝑥2 = 10 ∙

5

2= 25 ⇒ 𝑥 = ±5


Solución.

c) (𝑦 − 4)2 = 4(𝑥 + 1)

De la ecuación, se observa que

4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 = 1 > 0

El foco es ahora 𝐹(ℎ + 𝑝, 𝑘) = (0,4)

La directriz es 𝑥 = ℎ − 𝑝 = −2 ⇒ 𝑥 = −2

Cuando 𝑥 = 0,

(𝑦 − 4)2 = 4 ⇒ 𝑦 = 4 ± 2 ⇒

𝑦1 = 6 ; 𝑦2 = 2

Solución.

d) (𝑥 − 3)2 = −6(𝑦 − 1)

Observamos que el vértice es 𝑉(3,1).

4𝑝 = −6 ⇒ 𝑝 = −3

2< 0, la

parábola se abre hacia la dirección

negativa del eje Y.

El foco tiene coordenadas

𝐹(ℎ, 𝑘 + 𝑝) = (3, −1

2)

La directriz tiene ecuación

𝑦 = 𝑘 − 𝑝 ; 𝑦 =5

2

2.- Encontrar la ecuación de la parábola, con vértice (4, −1), eje paralelo al eje Y,

y que contiene al origen. Graficar.

Solución

Si el eje es paralelo al eje Y, la ecuación es:

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) ⇒

(𝑥 − 4)2 = 4𝑝(𝑦 + 1)


Como contiene al origen, éste verifica la ecuación: (0 − 4)2 = 4𝑝(0 + 1)

⇒ 16 = 4𝑝 ⇒ 𝑝 = 4

La ecuación es: (𝑥 − 4)2 = 16(𝑦 + 1); 𝑦 = 0

(𝑥 − 4)2 = 16 ⇒ 𝑥 = 4 ± 4 ⇒ 𝑥1 = 8 ; 𝑥2 = 0

3.- La trayectoria que describe un proyectil lanzado horizontalmente, con una

velocidad 𝑣(m/seg) desde un punto situado 𝑦 (metros) sobre el suelo, es una

parábola de ecuación: 𝑥2 = −2𝑣2

𝑔∙ 𝑦, donde 𝑥 es la distancia horizontal desde el

lugar de lanzamiento y 𝑔 ≈ 9,81 (m/seg2). El origen se considera como el punto

de salida del proyectil del arma.

Con estas condiciones podemos resolver el siguiente ejercicio:

Se lanza horizontalmente una piedra desde la cima de una torre de 185 m de

altura, con una velocidad de 15 m/s. Hallar la distancia del punto de caída al pie

de la torre (se supone el suelo horizontal). Si el Vértice en (1,3) y directriz 𝑥 = 0

Solución.

(𝑥 − 1)2 = −2𝑣2

𝑔∙ (𝑦 − 3) ≈ −

2 ∙ 152

9,81∙ (−188) = 8623,8532

⇒ (𝑥 − 1)2 ≈ 8623,8532 ⇒ 𝑥 − 1 ≈ ±92,8647 ⇒ 𝑥 ≈ 93,8647

Así, se tiene que el proyectil cae, aproximadamente a 93 m del origen.



La figura muestra el corte longitudinal de un anfiteatro que contempla graderías y

un escenario con una concha acústica de la cual tendrá una forma parabólica para

aprovechar sus propiedades geométricas, las cuales permiten “ordenar” sobre las

graderías, el sonido emitido por el interprete como muestra la figura. Determina la

altura de los pilares A, B, C, y D asumiendo la mencionada forma parabólica.

DESARROLLO:


- Las posiciones de las bases de los pilares serán los valores de x en la ecuación de la

parábola a utilizar a saber x1 = 0, x2 = 5, x3 = 10, x4 = 15, x5 = 20.

- La posición del foco de la parábola estará en las coordenadas (10,1.8))


- Para interpretar la forma de la concha acústica y debido a la posición horizontal

del eje focal de la parábola, utilizaremos la ecuación (y − k)2 = 4p(x − h)

Lugares geométricos y propiedades de las cónicas:

En muchos problemas en los que se aplican cónicas a problemas prácticos, más

que su lugar geométrico, es conveniente considerar las curvas desde la

perspectiva de sus propiedades. Por ejemplo, las parábolas se utilizan

frecuentemente en aplicaciones acústicas y ópticas por su propiedad de

concentrar en la posición del foco toda onda que se desplacen en forma

perpendicular a la directriz y que se reflecte en la superficie parabólica. El

siguiente planteamiento ilustra esta situación desde el punto de vista del sonido.

A

B C

D

5m 5m 5m 5m

1.8m


- Reconocemos las coordenadas del foco y el vértice para establecer

definitivamente la ecuación.

- Realizamos una tabla de evaluación para determinar los valores positivos de yi

correspondientes a cada xi, que serán en definitiva las longitudes buscadas

c) Resolución:

- Consideramos la ecuacion (y − k)2 = 4p(x − h).

- Las coordenadas del vertice son 𝑉(ℎ, 𝑘) = 𝑉(0,1.8), por lo tanto ℎ = 0 y 𝑘 =

1.8

- Las coordenadas del foco son 𝑉(ℎ + 𝑝, 𝑘) = 𝑉(10,1.8), por lo tanto 𝑝 = 10.

- La ecuacion queda definitivamente (𝒚 − 1.8)𝟐 = 𝟒 ∙ 10𝑥. despejando 𝑦 se tiene

(𝒚 − 1.8)𝟐 = 𝟒0𝑥

|𝒚 − 1.8| = √𝟒0𝑥

𝒚 = 1.8 + √𝟒𝟎𝒙

pues nos interesan solamente las soluciones con raíz positiva que representan la

parte de la parabola por sobe el eje focal como es el caso.

- Construimos la tabla de evaluación

d) Comunicación de los resultados:

- Las longitudes de los pilares son A 15.94m, B 21.80m, C 26.29m y D 30.08m

𝑥 𝒚 = 1.8 + √40𝑥 0 1.80

5 15.94

10 21.80

15 26,29

20 30.08



Considera la región achurada definida en la figura, donde 𝐿1 es perpendicular con

𝐿2. Determina:

i. Las ecuaciones de las rectas y la parábola.

ii. Las coordenadas de los puntos P y Q.

a) Identificar datos

- La recta 𝐿2 pasa por los puntos (−3,0) y (0,1)

- La recta 𝐿1 pasa por el punto (4, −1)

- 𝐿1 ⊥ 𝐿2


- Utilizamos la ecuación punto-punto con (−3,0) y (0,1) para determinar la

ecuación de la recta 𝐿2.

- Como 𝐿1 ⊥ 𝐿2 utilizamos la pendiente de 𝐿2 para determinar la pendiente de 𝐿1

- Utilizamos la ecuación punto-pendiente con (4, −1) para determinar la ecuación

de 𝐿1.

- Utilizamos las coordenadas de los puntos (4, −1), (0,5) y (3

2,0) para determinar la

ecuación de la parábola.

- Determinamos el punto 𝑃 como la intersección de la parábola con la recta 𝐿2.

A

B

C

(0,1)

(−3,0)

(4, −1)

𝑃

𝑄

𝑥

𝑦

𝐿2

𝐿1

(3

2, 0)

(0,5)


c) Resolución del problema:

- Dados los puntos (𝑥1, 𝑦1) = (−3,0) y (𝑥2, 𝑦2) = (0,1) y la ecuación punto-

punto

𝑦 − 𝑦1 = (𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1) (𝑥 − 𝑥1)

se tiene la ecuación de

𝐿2 : 𝑦 − 0 = (1 − 0

0 − (−3)) (𝑥— 3)

𝐿2 : 𝑦 − 0 =1

3(𝑥 + 3)

luego

𝐿2 : 𝑦 =1

3𝑥 + 1

- Como 𝐿1 ⊥ 𝐿2 la pendiente de la recta 𝐿1 es 𝑚 = −113

= 3 y como pasa por el

punto (𝑥1, 𝑦1) = (4, −1), utilizando la ecuación punto-pendiente

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Se tiene que

𝐿1 ∶ 𝑦 − (−1) = 3(𝑥 − 4)

Luego

𝐿1 ∶ 𝑦 + 1 = 3𝑥 − 12

𝐿1 ∶ 𝑦 = 3𝑥 − 13

- Las coordenadas del punto 𝑄 se obtienen de la intersección de las rectas 𝐿1 y

𝐿2 mediante el sistema

𝐿1 ∶ 𝑦 = 3𝑥 − 13

𝐿2 : 𝑦 =1

3𝑥 + 1

Por igualación

3𝑥 − 13 =1

3𝑥 + 1

Amplificando

9𝑥 − 39 = 𝑥 + 3


𝑥 =21

4

Sustituyendo en 𝐿2 𝑦 =1

3∙

21

4+ 1 =

11

4 y las coordenadas del punto son

𝑃 (21

4,11

4)

- Tomamos la ecuación general de la parábola 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑦, evaluamos en

cada uno de los puntos (4, −1), (0,5) y (3

2,0) y obtenemos un sistema de

ecuaciones

𝐴 ∙ 42 + 𝐵 ∙ 4 + 𝐶 = −1 𝐴 ∙ 02 + 𝐵 ∙ 0 + 𝐶 = 5

𝐴 (3

2)

2

+ 𝐵 (3

2) + 𝐶 = 0

simplificando

16𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = −1 𝐶 = 5

9𝐴 + 6𝐵 + 4𝐶 = 0

finalmente 𝐴 =11

15, 𝐵 = −

133

30, 𝐶 = 5 y la ecuación de la parábola será

11

15𝑥2 −

133

30𝑥 + 5 = 𝑦

Finalmente el punto 𝑃 se obtiene de intersecar la recta

𝐿2 : 𝑦 =1

3𝑥 + 1

Y la parábola

11

15𝑥2 −

133

30𝑥 + 5 = 𝑦

Por igualación tenemos que

11

15𝑥2 −

133

30𝑥 + 5 =

1

3𝑥 + 1

22𝑥2 − 133𝑥 + 150 = 10𝑥 + 30

22𝑥2 − 143𝑥 + 120 = 0

Que tiene soluciones

𝑥1 =−(−143)— √1432 − 4 ∙ 22 ∙ 120

2 ∙ 22=

143 − √9889

44= 0.98992

𝑥2 =−(−143) + √1432 − 4 ∙ 22 ∙ 120

2 ∙ 22=

143 + √9889

44= 5.51008


Y sus respectivas coordenadas

𝑦1 =1

3∙143 − √9889

44+ 1 = 1.32997

𝑦2 =1

3∙143 + √9889

44+ 1 = 2.83669

d) Comunicación de los resultados:

- Las ecuaciones de las rectas son

𝐿1 ∶ 𝑦 = 3𝑥 − 13

𝐿2 : 𝑦 =1

3𝑥 + 1

- La ecuación de la parábola es

11

15𝑥2 −

133

30𝑥 + 5 = 𝑦

- Las coordenadas de los puntos son

𝑄 (21

4,11

4),

𝑃 (143 − √9889

44,1

3∙143 − √9889

44+ 1) = 𝑃(0.98992,1.32997)

Ejercicios Propuestos

1.- Complete las siguientes proposiciones:

a)Una parábola es el conjunto P del plano que satisfacen

…………………………….

b)A partir de la definición de lugar geométrico, se puede determinar la ecuación de

una parábola de C(0,0) y eje de simetría el eje X, considerando

……………………………

c) La ecuación de una parábola en función de la luz y la flecha es:

………..………………

d) La ecuación de una parábola con eje de simetría el eje Y es:

……………………………..

e) El lado recto de la parábola es: ……………………………


f) Enuncie la propiedad focal de la parábola

g) La excentricidad de la parábola es ………………………………

h) El parámetro p en la parábola, representa………………………

i) En la ecuación general de la cónica, distingue cuando se trata de una parábola

porque……………………………………………………

2.- Determine los elementos de las siguientes parábolas y grafique:

a) 𝑥2 + 6𝑥 + 5𝑦 − 1 = 0, b) 𝑦2 – 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0

3.-Determine la ecuación de la parábola, los elementos restantes y su gráfica si:

a) 𝑉(2,3) 𝐹( 2,5)

b) 𝑉(4,2) y directriz de ecuación 𝑥 = 2

c) 𝑉(3, −2), directriz // al eje OY, y pasa por el punto 𝑃(2,0)

4.-En la estructura colgante que se indica el cable parabólico está suspendido de

dos torres de 12 m de altura y su distancia es de 40 m. Calcule las longitudes de los

cables verticales que se indican.

5.-En una bóveda de hormigón de arco parabólico de 20 m de luz y 6 m de flecha,

calcule las alturas de las columnas cada 2 metros.

6.-Un arco en forma parabólica y eje vertical tiene 10 m de flecha y 30 m de luz.

Halle la altura de la columna para soporte a 3 m de un extremo del arco.


LA ELIPSE Definiciones. Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

- A los puntos fijos se llaman focos de la elipse, denotados por 𝐹 y 𝐹′(ver figura).

- La recta 𝑙 que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar esta recta.

- Los puntos 𝑉 y 𝑉′, los llamaremos vértices.

- La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento 𝑽𝑽′, se llama eje mayor.

- El punto 𝑪 del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro.

- La recta 𝑙′ que pasa por 𝑪 y es perpendicular al eje focal 𝑙 tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el término eje normal para designarla.

- El eje normal 𝑙′ corta a la elipse en dos puntos, 𝐴 y 𝐴′, y el segmento 𝐴𝐴′ se llama eje menor.

- Un segmento tal como 𝐵𝐵′, que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los

focos, tal como 𝐸𝐸′, se llama cuerda focal.

- Una cuerda focal, tal como 𝐿𝐿′, perpendicular al eje focal 𝑙 se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos.

- Una cuerda que pasa por C, tal como 𝐷𝐷′, se llama un diámetro. Si P es un

punto cualquiera de la elipse, los segmentos 𝐹𝑃 y 𝐹′𝑃 que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores de P.


Ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes de la elipse. Proposición: La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal

igual a 2𝑐 y cantidad constarte igual a 2𝑎 es

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de

los focos sean (0, 𝑐) y (0, −𝑐), la ecuación de la elipse es

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

Para cada elipse, 𝑎 es la longitud del semieje mayor, 𝑏 la del semieje menor, y 𝑎, 𝑏

y 𝑐 están relacionados por la siguiente expresión

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es 2𝑏2

𝑎 y la excentricidad

𝑒 está dada por la fórmula

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 − 𝑏2

𝑎< 1

NOTA. Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica, podemos determinar fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando los

denominadores de los términos en 𝑥2 e 𝑦2. El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse. Ejemplo. Una elipse tiene su centro en el origen, y su eje mayor coincide con el eje Y. Si uno

de los focos es el punto (0, 3) y la excentricidad es igual a ½. Hallar las coordenadas de otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos.


Solución.

Como uno de los focos es el punto (0, 3), tenemos 𝑐 = 3, y las coordenadas del

otro foco son (0, −3). Como la excentricidad es ½, tenemos

𝑒 =1

2=

𝑐

𝑎=

3

𝑎

De donde 𝑎 = 6, Así, tenemos también que

𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 = √62 − 32 = 3√3 Por tanto, las longitudes de los ejes mayor y

menor son 2𝑎 = 12 y 2𝑏 = 6√3, respectivamente. Por la proposición, la ecuación de la elipse es

𝑥2

27+

𝑦2

36= 1

La longitud de cada lado recto es 2𝑏2

𝑎=

2∙27

6= 9

El lugar geométrico es el representado en la figura Ejercicios Propuestos.

1. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0), (−4, 0) y

cuyos focos son los puntos (3, 0), (− 3. 0).

2. Los vértices de una elipse son los puntos (0,6), (0, −6) y sus focos son los

puntos (0,4), (0, −4). Hallar su ecuación.

3. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2, 0), (−2,0) y su

excentricidad es igual a 2

3.

4. Los focos de una elipse son los puntos (3,0), (−3,0) y la longitud de uno cualquiera de sus lados rectos es igual a 9. Hallar la ecuación de la elipse. 5. Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen,

uno de sus vértices en el punto (0, −7) y pasa por el punto (√5,14

3).

6. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X.

Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos (√6, −1) y (2, √2).


Proposición 2: La ecuación de la elipse de centro el punto (ℎ, 𝑘) y eje focal paralelo a1 eje X, está dada por la segunda forma ordinaria,

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Si el eje focal es paralelo a1 eje Y, su ecuación está dada por la segunda forma ordinaria,

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2= 1

Para cada elipse, 𝑎 es la longitud del semieje mayor, 𝑏 es la del semieje menor, c es

la distancia del centro a cada foco, y 𝑎, 𝑏 y 𝑐 están ligadas por la relación

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2




𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 − 𝑏2

𝑎< 1

Ejemplo

Los vértices de una elipse tienen por coordenadas (−3,7) y (−3, −1) y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor, las coordenadas de sus focos y su excentricidad. Solución.

Como los vértices 𝑉 y 𝑉1 están sobre el eje focal y sus

abscisas son ambas −3, se sigue (ver figura) que el eje focal es paralelo al eje Y. Por tanto, por la proposición, la ecuación de la elipse es de la forma

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2= 1

El centro C es el punto medio del eje mayor 𝑉𝑉1, y sus

coordenadas son, por lo tanto. (−3,3). La longitud del

eje mayor 𝑉𝑉1 es 8, como se puede ver fácilmente. Por

tanto, 2𝑎 = 8 y 𝑎 = 4. La longitud del lado recto es 2𝑏2

𝑎= 2. Como 𝑎 = 4, se sigue que 2𝑏2 = 8, de

donde 𝑏 = 2, y la longitud del eje menor es 4. Luego la ecuación de la elipse es


(𝑥 + 3)2

4+

(𝑦 − 3)2

16= 1

También. 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 = 16 − 4 = 12, de donde 𝑐 = 2√3. Por tanto, las

coordenadas de los focos son 𝐹(−3 , 3 + 2√3) y 𝐹′(−3 , 3 − 2√3) y la

excentricidad

𝑒 =𝑐

𝑎=

2√3

4=

√3

2


1. Los focos de una elipse son los puntos (−4, −2) y (−4, −6) y la longitud de cada lado recto es 6. Hállese la ecuación de la elipse y su excentricidad.

2. Los vértices de una elipse son los puntos (1, −6) y (9, −6) y la longitud de

cada lado recto es 9

2. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus

focos y su excentricidad.

3. Los focos de una elipse son los puntos (3,8) y (3,2) y la longitud de su eje menor es 8. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad.

4. El centro de una elipse es el punto (−2, −1) y uno de sus vértices es el punto

(3, −1). Si la longitud de cada lado recto es 4, hállese la ecuación, de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.

5. El centro de una elipse es el punto (2, −4) y el vertice y el foco de un mismo

lado del centro son los puntos (−2, −4) y (−1, −4), respectivamente. Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto.

LA HIPÉRBOLA Definiciones. Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. La definición de la hipérbola excluye el caso en que el punto móvil se mueva sobre la recta que pasa por los focos a excepción del segmento comprendido entre ellos. Los focos y el punto medio de este segmento no pueden pertenecer al lugar geométrico. El lector debe observar la estrecha analogía que existe entre las definiciones de la hipérbola y elipse. La analogía entre estas dos curvas se encontrará frecuentemente a medida que avancemos en nuestro estudio de la hipérbola. En el artículo siguiente veremos que la hipérbola consta de dos ramas diferentes, cada una de longitud infinita. En la figura 93 se ha


Proposición: La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal coincidente con el eje

X, y focos los puntos (𝑐, 0) y (−𝑐, 0) es

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1

Si el eje focal coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos

sean (0, 𝑐) y (0, −𝑐), entonces la ecuación es

𝑦2

𝑎2−

𝑥2

𝑏2= 1

Para cada hipérbola, 𝑎 es la longitud del semieje transverso, 𝑏 la del semieje

conjugado, 𝑐 la distancia del centro a cada foco, y 𝑎, 𝑏, 𝑐 están ligadas por la relación

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2




𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2 − 𝑏2

𝑎< 1

NOTA. La posición de una elipse con relación a los ejes coordenados puede determinarse. Este método no es aplicable a la hipérbola, ya que podemos tener

𝑎 > 𝑏, 𝑎 < 𝑏 o 𝑎 = 𝑏. La posición de la hipérbola se determina por los signos de los coeficientes de las variables en la forma canónica de su ecuación. La variable de coeficiente positivo corresponde al eje coordenado que contiene al eje transverso de la hipérbola. Ejemplo.

Los vértices de una hipérbola son los puntos 𝑉(0,3) y 𝑉’(0, −3) y sus focos lo

puntos 𝐹(0,5) y 𝐹’(0, −5). Hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes de sus ejes transverso y conjugado, su excentricidad y la longitud de cada lado recto. Solución. Como los vértices y los focos están sobre el eje Y, el eje focal coincide con el eje Y. Además, el punto medio del eje transverso está, evidentemente, en el origen. Por tanto, por la proposición, la ecuación de la hipérbola es de la forma

𝑦2

𝑎2−

𝑥2

𝑏2= 1


La distancia entre los vértices es 2𝑎 = 6, longitud del eje transverso. La

distancia entre los focos es 2𝑐 = 10. Por tanto, 𝑎 = 3 y 𝑐 = 5, de donde

𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 25 − 9 = 16, Por lo tanto 𝑏 = 4, y la longitud del eje conjugado

es 2𝑏 = 8. La ecuación de la hipérbola es entonces

𝑦2

9−

𝑥2

16= 1

La excentricidad es 𝑒 =𝑐

𝑎=

5

3 y la longitud de cada lado recto 𝑒 =

2𝑏2

𝑎=

2∙16

3=

32

3

El lugar geométrico está representado en la figura, en donde el eje conjugado está

indicado por el segmento 𝐴𝐴′ del eje X. Ejercicios Propuestos.

1. Los vértices de una hipérbola son los puntos 𝑉(2,0), 𝑉′(−2,0), y sus focos

son los puntos 𝐹(3,0), 𝐹′(−3,0). Hallar su ecuación y su excentricidad.

2. El centro de una hipérbola está en el origen, y su eje transverso esta sobre el

eje Y. Si un foco es el punto (0, 5) y la excentricidad es igual a 3. hállese la ecuación de la hipérbola y la longitud de cada lado recto.

3. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,3) y

(0, −3), y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y su excentricidad.

4. Los vértices de una hipérbola son (0,4), (0, −4) y su excentricidad es igual a 3

2.

Hallar la ecuación de la hipérbola y las coordenadas de los focos.

5. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el eje X.

Hallar su ecuación sabiendo que su excentricidad es √6

2 y que la curva pasa por

el punto (2,1).

6. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje conjugado está sobre el eje

X. La longitud de cada lado recto es 3

2, y la hipérbola pasa por el punto

(−1, 2). Hallar su ecuación.

7. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos (3, −2) y (7, 6), tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje X.


Asíntotas de la hipérbola Proposición.

La hipérbola 𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2, tiene por asíntotas las rectas 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0 y

𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 0. NOTAS. 1. Si la ecuación de una hipérbola está en su forma canónica, las ecuaciones de sus asíntotas pueden obtenerse reemplazando el término constante por cero y

factorizando el primer miembro. Así, para la hipérbola 9𝑥2 − 4𝑦2 = 36, tenemos

9𝑥2 − 4𝑦2 = 0, de donde (3𝑥 + 2𝑦)(3𝑥 − 2𝑦) = 0, y las ecuaciones de las

asíntotas son 3𝑥 + 2 = 0 y 3𝑥 − 2𝑦 = 0. 2. La gráfica de una hipérbola puede esbozarse muy fácilmente trazando sus vértices y sus asíntotas. Las asíntotas actúan en la gráfica como líneas guía. Ejemplo.

Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (6,2) tiene su centro en el

origen, su eje transverso está sobre el eje X, y una de sus asíntotas es la recta 2𝑥 −5𝑦 = 0. Solución.

Por la proposición anterior, la otra asíntota es la recta 2𝑥 + 5𝑦 = 0. Las

ecuaciones de ambas asíntotas pueden obtenerse haciendo 𝑘 igual a cero en la ecuación

(2𝑥 + 5𝑦)(2𝑥 − 5𝑦) = 𝑘 O sea,

4𝑥2 − 25𝑦2 = 𝑘

Como la hipérbola buscada debe pasar por el punto (6, 2), las coordenadas de este

punto deben satisfacer la ecuación de la hipérbola, Por tanto, si hacemos 𝑥 = 6 y

𝑦 = 2 en la última ecuación, hallamos 𝑘 = 44, y la ecuación de la hipérbola que se busca es

4𝑥2 − 25𝑦2 = 44


Hipérbola equilátera o rectangular. Consideremos la hipérbola especial cuyos ejes transverso y conjugado son de igual

longitud. Entonces 𝑎 = 𝑏; y la ecuación 𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 toma la forma más sencilla

𝑥2 − 𝑦2 = 𝑎2 Debido a la igualdad de sus ejes, la hipérbola anterior se llama hipérbola equilátera.

Las asíntotas de la hipérbola equilátera son las rectas 𝑥 − 𝑦 = 0 y 𝑥 + 𝑦 = 0. Como estas rectas son perpendiculares, resulta que las asíntotas de una hipérbola equilátera son perpendiculares entre sí. Por esta razón la hipérbola equilátera se llama también hipérbola rectangular. Es un ejercicio fácil demostrar que recíprocamente, una hipérbola rectangular es también equilátera. Una forma particularmente simple y útil de la ecuación de la hipérbola equilátera es

𝑥𝑦 = 𝑘 en donde 𝑘 es una constante cualquiera diferente de cero. Aplicando los métodos vistos, podemos demostrar que la curva anterior tiene por asíntotas

a los ejes coordenados, y que, si 𝑘 es positivo la gráfica es como se ve en la figura. El estudiante debe demostrar que si se giran los ejes

coordenados un Angulo de 45°, la ecuación se

transforma en 𝑥′2 − 𝑦′2 = 2𝑘, que es la ecuación de una hipérbola equilátera. Ejercicios Propuestos.

1. Hallar y trazar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola 4𝑥2 − 5𝑦2 = 7.

2. Hallar los puntos de intersección de la recta 2𝑥 − 9𝑦 + 12 = 0 con las

asíntotas de la hipérbola 4𝑥2 − 9𝑦2 = 11.

3. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (3. −1), su centro está en el origen, su eje transverso está sobre el eje X, y una de sus asíntotas es la

recta 2𝑥 + 3√2𝑦 = 0

4. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (2, 3), tiene su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus asíntotas es la

recta 2𝑦 − √7𝑥 = 0.

5. Hallar la distancia del foco de la derecha de la hipérbola 16𝑥2 − 9𝑦2 = 144 a una cualquiera de sus dos asintotas.


PROBLEMAS DE APLICACIÓN UNIDAD GEOMETRIA ANALITICA

1. Una parcela consta de dos postes de tendido eléctrico, el primero de los

postes se encuentra a 10 m al norte de la entrada de la parcela y el último se

encuentra a 90 m a la derecha y 130 m hacia el norte. Si necesitamos instalar dos

postes entre los que ya existen, considerando que tienen que estar separados por

distancias iguales. ¿Dónde deben instalar los nuevos postes?

2. En un predio agrícola se riega una plantación mediante un canal que corre

en su interior. En un terreno adyacente dentro del mismo predio existe una

cisterna para incrementar el caudal cuando sea necesario. Representa el terreno en

un sistema de coordenadas y determina la posición y longitud del conducto que

una de la forma más conveniente el canal principal con la cisterna.

3. En el trazado de una carretera, se desea realizar mejoras al diseño, razón por

la cual es necesario conocer las coordenadas del PL. Por la dificultad de encontrar

esta coordenada con herramientas de topografía, debido a que la carretera está en

funcionamiento, se desea conocer esta coordenada a partir de cuatro puntos

conocidos. Determina las coordenadas del punto PL

Punto Norte Este

P1 865m 294m

P2 866m 280m

P3 879m 281m

P4 882m 289 m

160m

200m

40m

220m

PL

P4 P3

P1

P2


4. En un levantamiento topográfico se han obtenido los siguientes puntos en

coordenadas relativas:

Punto Norte Este

P1 340 451

P2 391 480

P3 400 700

P4 240 430

P5 340 451

¿Qué figura se formó?, ¿Cuál es su perímetro?

5. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (-1,1) y (3,1).

Hallar las coordenadas del tercer vértice.

6. Sean 𝐴(3, 4), 𝐵(−2, 6) y 𝐶(1, −3) los vértices de un triángulo. Determine:

a) El perímetro del triángulo ABC.

b) Clasifique el triángulo en equilátero, isósceles o escaleno.

c) Determine los puntos medios de los lados del triángulo.

7. Los vértices de un triángulo son los puntos (1,-2), (4,-2) y (4,2).

a) Determinar las longitudes de los lados del triángulo.

b) Clasificar el triángulo.

c) Calcular el perímetro del triángulo.

d) Calcular el área del triángulo.

8. Los vértices de un cuadrilátero son A(4,5); B(-2, 4); C(-3, 2) y D(2, -3).

Calcule el perímetro del cuadrilátero.

9. Hallar un punto del plano cartesiano, que equidiste de los puntos A(−4, 3),

B(4, 2) y C(1,−1).

10. Los extremos de un segmento son los puntos (7,4) y (-1,-4). Hallar la razón

en que el punto (1,-2) divide al segmento.

11. Los extremos de un trazo tienen por coordenadas los puntos 𝐴(−3, −4),

𝐵(5, 2). Hallar las coordenadas del punto que lo divide interiormente en la razón

−3

4.


12. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos

𝐴(−2, 1), 𝐵(3, 4) y 𝐶(5, −1).

13. La distancia entre los puntos P y Q donde P(-4, 7) y Q(1, -5) es:

a) 5

b) 8

c) 12

d) 13

14. De las siguientes rectas, la que es paralela con 3x + 4y = 12 es:

a) 2+x3

4=y

b) 5+x4=y

c) 𝑦 = −3

4𝑥 + 4

d) 𝑦 = −4

3𝑥 − 5

15. El punto medio de un trazo es (3,7) y uno de los extremos es (10,4).

Determina el otro extremo

a) (4,-10)

b) (13

2,11

2)

c) (7

2,3

2)

d) (-4, 10)

16. Determine el ángulo que se forma entre las rectas −3𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 y

2𝑥 − 4𝑦 – 8 = 0.

a) 45º

b) 54º

c) 78º

d) 135º


17. Un predio agrícola se riega mediante un canal de regadío, para optimizar el

riego se desea construir otro canal paralelo al primero y cuya distancia de

separación entre ambos sea de 120 m. Al medir el ángulo de inclinación del canal

de regadío con el límite sur del predio se obtuvo un ángulo de 27º. ¿Cuál es la

ecuación de la recta que permite a los trabajadores hacer marcaciones para

construir el nuevo canal de regadío?

18. Se debe construir la estructura de la techumbre de un galpón, el cual por

especificaciones técnicas, requiere que los perfiles AB y CD sean perpendiculares

en B. Determina la longitud del perfil 𝐴𝐵 y la distancia entre los apoyos 𝐷 y 𝐵.

19. Se tiene que trazar una línea divisoria de un terreno de modo tal que los

terrenos resultantes tengan aéreas 𝐴1 y 𝐴2 en la razón 1:2. La siguiente tabla indica

las coordenadas de los vértices del cuadrilátero que representa el terreno todo en

metros y con el origen en 𝐴(0,0)

Punto Coordenada eje x Coordenada eje y

𝐴 0m 0m

𝐵 550m 0m

𝐶 480m 365m

𝐸 105m 412m

𝑥 10𝑚

𝑦

0𝑚

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

3𝑚

5𝑚

27°

𝐴 𝐵

𝐶

𝐸

𝐷

𝐴1

𝐴2


Determina las ecuaciones de las rectas 𝐴𝐷 ⃡ y 𝐸𝐶 ⃡ que permitan calcular las

coordenadas exactas del punto D que permite trazar la nueva línea divisoria.

20. Se realizara el loteo de un terreno que tiene la forma de un cuadrilátero con

vértices 𝐴𝐵𝐶𝐷. La subdivisión será en tres lotes de igual área. El loteo se realizara

mediante líneas de división paralelas al lindero 𝐴𝐷. La siguiente tabla indica las

coordenadas de los vértices del terreno.

Punto Coordenada eje x Coordenada eje y

𝐴 0m 0m

𝐵 1000m 0m

𝐶 784m 725m

𝐷 218m 582m

Determina las ecuaciones de las rectas paralelas al deslinde 𝐴𝐷 que permitan hacer

los loteos pedidos y las coordenadas de sus intersecciones con los deslindes.

21. Se tiene un terreno con forma de trapecio que tiene vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷

donde 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷 y se quiere subdividir en dos lotes que tengan aéreas 𝐴1 y 𝐴2 en la

razón 2:3. Si 𝐹 debe ser el punto medio del deslinde 𝐴𝐵, determina las

coordenadas del punto 𝐸 en el deslinde 𝐶𝐷, que permite trazar la línea de división

que hace la partición deseada.

𝐵(412𝑚, 134𝑚)

𝐶(318𝑚, 290𝑚) 𝐸

𝐵(0𝑚, 222𝑚)

𝐴1 𝐴2

𝐹 𝐴(0𝑚, 0𝑚)

𝐴 𝐵

𝐶

𝐷

𝐴1

𝐴2


22. Si L1 pasa por (4,0) y (0,3) y L2 pasa por (1,0) y es perpendicular a L1,

entonces la ecuación general de L2 es:

23. Sean A(3,4), B(-2,6) y C(1,-3) vértices de un triángulo, determina la ecuación

principal de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB y que además

es perpendicular a la recta 2x – 3y + 4 = 0.

24. Determine la ecuación general de la recta, representada a continuación:

25. Hallar la ecuación general de la circunferencia que tiene por centro (2, 3) y

pasa por (3, -2)

26. Hallar la ecuación general de la circunferencia sabiendo que los puntos A(3,

8) y B(−3, 0) son los extremos de un diámetro.

27. Determina la ecuación general de la circunferencia, representada a

continuación.


28. Una red ramificada de distribución de agua, tiene la siguiente forma que

indica el esquema. Los puntos a donde llega el agua a cada manzana tienen las

coordenadas relativas que están en la tabla.

29. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1, -1) y Q(-5,8) es:

a) y = -2x + 3

b) y = 3x - 2

c) y = -1,5x + 0,5

d) y = 2x – 3

30. La pendiente del segmento PQ donde P(-1, 3) y Q(3, 2) es: :

a) 5/4

b) 2/3

c) – 4/5

d) – ¼

31. El centro de la circunferencia de ecuación 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 10𝑦 + 3 = 0 es:

a) (4, -5)

b) (16,36)

c) (-2, 3)

d) (-4, 6)

Clientes Coordenada Este Coordenada Norte

M1 155m 10m

M2 184m 98m

M3 67m 142m

M2

M1

M3

R


32. El radio de la circunferencia de ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 es:

a) 9

b) 6

c) 4

d) 3

33. En un proyecto de paisajismo, se está diseñando un área verde que

contempla un jardín de forma elíptica con las dimensiones que indica la figura. En

su interior se debe ajustar una piscina rectangular cuyo largo debe ser el doble que

su ancho. Determina las longitudes de esta piscina.

34. En el museo interactivo MIM se quiere replicar la cámara de los susurros

existente en Monterrey, la que consiste en una sala con techo en forma de elipse en

donde si tú te paras en un punto y otra persona se para a unos metros de ti te

podrá escuchar aunque hables muy bajo pero una persona en medio de ustedes

dos no escucha nada. Si la cámara de los susurros del MIM tiene un largo de 4

metros y un ancho de 2 metros, ¿En qué puntos deberían situarse las personas

para escucharse cuando susurren?

36m

24m


35. Se quiere construir un puente con arco parabólico de 30 metros de largo y

altura máxima de 5 metros. Si se quieren instalar cada 5 metros los soportes; ¿Qué

altura tendría cada uno?

36. Calcula las longitudes de los pilares A, B, C y D del puente elíptico de la

figura.

37. Parte del frontis de una moderna construcción está compuesto por un arco

formado por dos hipérbolas como indica la figura. Considerando las líneas

segmentadas AC y BC como sus asíntotas y los puntos P y Q como las posiciones

de los vértices de cada curva, determine las ecuaciones de cada una de estas

hipérboles.

8m

32m

2m 9m B

D C

A

𝑃

𝑄

18m 18m

12m

8m

20m

𝐴 𝐵

𝐶

30m

5m 5m


38. Para aprovechar sus cualidades acústicas, la bóveda de la estructura de un

techo tiene forma elíptica como indica la figura. Determina las longitudes A y B.

39. La figura muestra la planta de la terraza de un departamento, delimitada por

un arco de circunferencia AB con centro en C. Determina el área de la terraza

descontando la

jardinera.

40. Una luminaria colgante está constituida por una canal de 4m de largo

conectada a un cable mayo por medio de cables menores llamados tensores que

tienen una separación de 50cm. Para que el peso de la luminaria se distribuya

uniformemente sobre el cable mayor, este cable mayor debe formar un arco que

tiene una forma muy parecida a una parábola (catenaria). Calcula las longitudes de

los cables tensores que faltan (líneas punteadas)

𝐴

𝐵 45°

2.5m

5m

𝐶

𝐵

𝐴 𝐷

12m

9m

80cm

16cm

50cm


41. Un proyectista es contratado para hacer el levantamiento de la nave principal

de una iglesia destruida en un terremoto, de la cual no se tienen planos de corte

que la muestren en detalle. La nave se construyo en base a un arco de parábola (A.

Gaudí) y cuatro pilares. Cuando llega al lugar se encuentra con la situación que

ilustra la imagen. El arco se destruyo totalmente y sólo sobrevivió el pilar indicado

con la letra A. Considera las medidas que se indican en el esquema y:

a. Determina la ecuación de la parábola necesaria para la reconstrucción del

arco.

b. Calcula las alturas a eje de los pilares B, C y D

42. La ecuación 𝑥2 + 4𝑦2 − 18𝑥 + 24𝑦 = 0 corresponde a una

a) Circunferencia

b) Parábola

c) Elipse

d) Hipérbole

43. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la cónica de la figura?

a)

( ) ( )1=

25

5y+

36

8x 22--

b)

( ) ( )1=

36

8y+

9

5x 22--

c)

( ) ( )1=

9

8y+

36

5x 22-

d)

( ) ( )1=

9

5y+

36

8x 22--

8

5

2

8

0

A 6m

4m

40m

D C B


44. La distancia entre el foco y el vértice de la parábola de ecuación

0=12y5+x8+x2 - es:

a) 4/5

b) 8

c) 6

d) 5/4

45. La ecuación de la parábola de la figura es:

a) ( ) ( )6x8=5y 2--

b) ( ) ( )6x4=3y 2--

c) ( ) ( )3y4=3x 2--

d) ( ) ( )3y8=3x 2--

46. Las coordenadas del foco de la parábola de ecuación 0=45+y12x6+x2 -

son:

a) (-3, 4)

b) (2, -3)

c) (-3, 2)

d) (-3, 6)

47. La distancia entre los focos de la elipse 1=144

y+

169

x 22

es:

a) 10

b) 12

c) 24

d) 169

48. El radio mayor de la elipse 0=9+y64+x18y16+x9 22 - es:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 9

2

4

3

D

151 UNIDAD 3: TRIGONOMETRIA

a trigonometría, al igual que cualquier otra rama de la matemática, fue el resultado de la labor de muchos matemáticos. Su historia se remonta a los astrónomos babilónicos de los siglos V y IV a.c., quienes acumulado una cantidad de datos astronómicos y astrológicos permitirían a los matemáticos griegos construir la trigonometría gradualmente. El aporte de los griegos fue un

estudio sistemático de las relaciones entre los ángulos centrales (o sus arcos correspondientes) en un círculo y las longitudes de las cuerdas que los subtienden. Los astrónomos de la época Alejandrina ya habían empezado a trabajar en problemas que apuntaban de una manera cada vez más urgente a la necesidad de establecer sistemáticamente relaciones entre los ángulos y las cuerdas. Estas relaciones les permitieron calcular, a través de las proporciones, el tamaño de la Tierra y las distancias relativas al Sol y a la Luna. Hiparco de Nicea (140 a.C.), es considerado como el padre de la trigonometría, en efecto durante varios siglos los griegos se habían dedicado a estudiar las relaciones entre rectas y circunferencias y habían aplicado estas relaciones a gran cantidad de problemas astronómicos, pero de todo ello no había resultado nada que pudiera llamarse una trigonometría más o menos sistemática. Todo parece indicar que a mediados del siglo II a.C. fue armada la primera tabla trigonométrica por obra del astrónomo Hiparco de Nicea.

Sin embargo no es sino hasta principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de éste siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen(x) y series similares para el cos(x) y la tan(x). Finalmente, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos.

UNIDAD 3

TRIGONOMETRÍA

L



3.1 Resuelve expresiones numéricas y

problemas cotidianos y contextualizados a la especialidad que involucren triángulos, aplicando la trigonometría triangular.

3.1.1 Transforma medidas angulares de un sistema a

otro, utilizando fórmulas de conversión.

3.1.2 Resuelve problemas de triángulos rectángulos

cotidianos y/o contextualizados a la especialidad, aplicando razones trigonométricas.

3.1.3 Resuelve problemas de triángulos

oblicuángulos cotidianos y/o contextualizados a la especialidad, aplicando teoremas del seno y/o del coseno.

3.2 Resuelve ecuaciones y problemas

trigonométricos, utilizando fórmulas, propiedades y gráficas de las funciones trigonométricas.

3.2.1 Grafica funciones trigonométricas simples.

3.2.2 Comprueba identidades trigonométricas

utilizando propiedades y relaciones trigonométricas.

3.2.3 Resuelve ecuaciones trigonométricas sencillas

aplicando propiedades e identidades trigonométricas.

El Concepto de Ángulo


El ángulo es la parte del plano que está comprendida por dos semi-rectas que

tienen un el punto inicial en común. Por otra parte, los ángulos se miden en

unidades como el grado sexagesimal, radián o grado centesimal. En el primer caso,

la circunferencia se divide en 360° (grados), cada uno de los cuales se divide en 60’

(minutos), cada uno de los cuales se divide en 60’’ (segundos), este sistema de

medición de ángulos, es llamado grados sexagesimales. El caso particular del

triángulo rectángulo, se caracteriza por tener un ángulo interno de 90° (o ángulo

recto), los otros dos ángulos presentes siempre tendrán una medida entre 0º y 90º,

exclusivamente. Más adelante profundizaremos sobre este concepto.

Razones trigonométricas

La trigonometría nace de la observación de que todos los triángulos rectángulos

que tienen ángulos congruentes son semejantes, esto es, la razón entre cada par de

lados de uno de tales triángulos es constante, es decir, las mismas razones se

mantienen entre todos los lados respectivos de los demás triángulos rectángulos

que tengan ángulos congruentes con él.

Distingamos en el siguiente triángulo rectángulo el ángulo α, los catetos 𝑎𝑑 y 𝑜𝑝, y

la hipotenusa ℎ𝑖𝑝.

Recuerda que el ángulo α está estrictamente entre 0° y 90°.

Más adelante estudiaremos con detalle el concepto de ángulo.

Definición:

Las razones trigonométricas definidas en un triángulo rectángulo como el de la

imagen son las siguientes:

hip

ad

op

α


Seno: sen(𝛼) =𝑜𝑝

ℎ𝑖𝑝

Coseno: cos(𝛼) =𝑎𝑑

ℎ𝑖𝑝

Tangente: tan(𝛼) =𝑜𝑝

𝑎𝑑

Secante: sec(𝛼) =ℎ𝑖𝑝

𝑎𝑑

Cosecante: csc(𝛼) =ℎ𝑖𝑝

𝑜𝑝

Cotangente: cot(𝛼) =𝑎𝑑

𝑜𝑝

Observación:

Por semejanza de triángulos, como se comentó, los valores de las razones

trigonométricas sólo dependen del ángulo, no de las medidas concretas de los

lados del triángulo.

Recuerda que por Teorema de Pitágoras, se cumple:

ℎ𝑖𝑝 = √𝑎𝑑2 + 𝑜𝑝2

Ejemplo:

En el triángulo mostrado, los valores de las razones trigonométricas son

sen(𝛼) =6

10= 0,6

cos(𝛼) =8

10= 0,8

tan(𝛼) =6

8= 0,75

sec(𝛼) =10

8= 1,25

csc(𝛼) =10

6= 1, 6̅

cot(𝛼) =8

6= 1, 3̅


10

8

6

α


Determina los valores de las razones trigonométricas en cada caso:

a) En el triángulo

b) En el triángulo

Propiedad:

Las razones trigonométricas cumplen:

tan(𝛼) =sen(𝛼)

cos(𝛼)cot(𝛼) =

1

tan(𝛼)

sec(𝛼) =1

cos(𝛼)csc(𝛼) =

1

sen(𝛼)

20

16

12

α

13

12

5

α


Propiedad (Identidad Pitagórica):

En todo triángulo rectángulo donde α es un ángulo no recto se cumple:

√(cos(𝛼))2 + (sen(𝛼))2 = 1

Ello es consecuencia del Teorema de Pitágoras, ya que: ℎ𝑖𝑝 = √𝑎𝑑2 + 𝑜𝑝2, y

dividiendo a ambos lados por ℎ𝑖𝑝, se tiene:

1 =ℎ𝑖𝑝

ℎ𝑖𝑝=

√𝑎𝑑2 + 𝑜𝑝2

ℎ𝑖𝑝= √

𝑎𝑑2 + 𝑜𝑝2

ℎ𝑖𝑝2= √(

𝑎𝑑

ℎ𝑖𝑝)

2

+ (𝑜𝑝

ℎ𝑖𝑝)

2

= √(cos(𝛼))2 + (sen(𝛼))2

Para abreviar, se acostumbra a abreviar las potencias de las trigonométricas del

siguiente modo:

sen2(𝛼) abrevia a (sen(𝛼))2

cos2(𝛼) abrevia a (cos(𝛼))2

tan2(𝛼) abrevia a (tan(𝛼))2

sec2(𝛼) abrevia a (sec(𝛼))2

csc2(𝛼) abrevia a (csc(𝛼))2

cot2(𝛼) abrevia a (𝑐𝑜𝑡(𝛼))2

De ese modo, la Identidad Pitagórica queda:

√cos2(𝛼) + sen2(𝛼) = 1

Y de ella se obtienen, por ejemplo:

√1 − sen2(𝛼) = cos(𝛼) y √1 − cos2(𝛼) = sen(𝛼)

Ejemplo:

Si se sabe que sen(𝛼) =2

3, se pueden determinar todas las otras razones

trigonométricas.

Observa:


Por Identidad Pitagórica √cos2(𝛼) + sen2(𝛼) = 1 y entonces:

cos(𝛼) = √1 − sen2(𝛼) = √1 − (2

3)

2

=√5

3.

Luego:

tan(𝛼) =sen(𝛼)

cos(𝛼)=

23⁄

√53

⁄=

2

√5cot(𝛼) =

1

tan(𝛼)=

1

2√5

⁄=

√5

2

sec(𝛼) =1

cos(𝛼)=

1

√53

⁄=

3

√5csc(𝛼) =

1

sen(𝛼)=

1

23⁄

=3

2


Determina, en cada caso, todas las razones trigonométricas usando la información

dada:

a) sen(𝛼) =1

3

b) cos(𝛼) =3

4

c) sen(𝛼) =√2

3

Ángulos notables.

No todas las razones trigonométricas son simples aunque los ángulos a que se

aplican sí sean simples, como cos(10°) ≈ 0,984807753, pero algunos ángulos

especiales, llamados ángulos notables, tienen razones trigonométricas

suficientemente simples de recordar:

Desde el cuadrado de lado 1, tenemos que una diagonal lo divide en dos triángulos

rectángulos isósceles de catetos 1 e hipotenusa de medida √2, por Teorema de

Pitágoras. La diagonal divide al ángulo recto, de 90°, en dos ángulos de 45°, de

modo que, como muestra la figura, se tiene sen(45°) =1

√2=

√2

2 y también:


cos(45°) =1

√2=

√2

2, y entonces tan(45°) =

√22

⁄

√22

⁄= 1, así que sec(45°) =

1

cos(45°)=

1

√2 y csc(45°) =

1

sen(45°)=

1

√2 y finalmente cot(45°) =

1

tan(45°)=

1

1= 1

Desde el triángulo equilátero de lado 1 y tres ángulos de 60°, si trazamos una altura

como muestra la imagen, obtenemos dos triángulos rectángulos de ángulos 60°,

30° y 90°, con hipotenusa 1 y catetos 1

2, ya que por simetría, la base se parte en dos

segmentos congruentes y, por teorema de Pitágoras, el otro cateto es la altura

√1 − (1

2)

2

=√3

2. Con ello, se obtienen las razones trigonométricas :

cos(60°) =1

2sen(60°) =

√3

2

tan(60°) =sen(60°)

cos(60°)=

√32

⁄

12⁄

= √3 cot(60°) =1

tan(60°)=

1

√3

sec(60°) =1

cos(60°)= 2 csc(60°) =

1

sen(60°)=

2

√3

45°

1

1

√2

30°

30°

60°

60°

1

1

12⁄

√32

⁄



Encuentra en cada caso el valor de 𝑥 usando la información disponible:

Problema Resuelto

Para dar estabilidad a un poste vertical de 32 metros de altura, su extremo superior

se unirá a una sujeción en el piso mediante un cable metálico. El cable formará con

el piso, que supondremos plano y horizontal, un ángulo de 60°. Con estos datos

podemos determinar a qué distancia de la base del poste se debe instalar la

sujeción y cuánto debe medir el cable.

Solución:

Como el poste es vertical, forma un ángulo recto con el suelo, así que tenemos un

triángulo rectángulo, con un ángulo de 60° y con el lado opuesto de 32 metros.

10

x

30°

a)

x

6

45°

b)

5

x

60°

c)

x

√7 30°

d)

60°

32 metros L

D


Entonces sen(60°) =32

𝐿, con lo cual 𝐿 =

32

sen(60°)=

32

√32

⁄=

64

√3≈ 37 metros,

que es la longitud del cable.

Por otra parte, tan(60°) =32

𝐷, de modo que 𝐷 =

32

tan (60°)=

32

√3≈ 18,5 metros,

que es la distancia entre la sujeción y la base del poste.


Construye un teodolito básico que te permita calcular

la altura de un objeto al cual no puedes acceder.

38°

8m

1.7m


Construcción de un TEODOLITO BASICO:

Un Teodolito es un instrumento utilizado en estudios topográficos, que dentro de sus funciones está la de

determinar ángulos de elevación y depresión de objetos que se encuentran a cierta distancia. Para construir

uno casero, se requiere de:

1. Un transportador de cartón u otro material de similares características de radio no menor a 15cm con una

graduación como la que muestra la figura

2. Una varilla delgada que hará las veces de mirilla para apuntar el extremo superior o inferior del objeto a medir.

3. Un peso que servirá de plomada que colocada en el extremo de la aguja indicadora del ángulo, marcará en la

graduación la medida del ángulo.

4. Nunca olvides considerar en tus cálculos la altura respecto de la horizontal, por ejemplo la estatura del

observador.

DESARROLLO:

a) Identificación de datos:

- Ángulo de elevación del observador al objeto ∝= 38°.

- Distancia horizontal del observador al objeto 𝑑 = 8𝑚

- Altura del observador 𝑙 = 1.7𝑚.

- Altura del objeto 𝐻 la incógnita.


0° 10° 20° 30°

40° 50°

60°

70°

90°

80°

10° 20° 30°

40°

50°

60°

70°

90°

80°

AGUJA

INDICADORA

PLOMADA

MIRILLA


- Interpretar la información y los datos dentro de los elementos de un

triángulo rectángulo.

- Aplicar la razón trigonométrica adecuada en este caso la tangente del ángulo

de elevación.

c) Resolución:

- Interpretamos geométricamente la figura incorporando los datos y variables.

- Utilizamos la tangente de ∝= 38°

tan ∝=𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝.

𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦.

tan 38° =ℎ

8𝑚

8m ∙ tan 38° = ℎ

8m ∙ 0.7813 = ℎ

6.25m = ℎ

- Pero

𝐻 = 1.7𝑚 + ℎ

- Luego

𝐻 = 1.7𝑚 + 6.25𝑚

𝐻 = 7.95𝑚

38°

8m

𝑙 = 1.7𝑚

𝑑 = 8𝑚 𝐻

ℎ

𝐶

𝐵

𝐴



La altura de la luminaria es 7.95m


1. Desde un balcón a 12 metros de altura a la calle se observa que en el edificio de

enfrente hay bandera en una ventana a mayor altura que el observador, el cual

mide el ángulo de elevación (desde la horizontal, subiendo hacia el objeto

observado) y le da 30°. Luego mide la distancia que separa a ambos edificios, 48

metros. Deduce la altura a que está la bandera respecto del piso.

2. Al caer la tarde, un poste de luz produce una sombra que mide el doble que

dicho poste. ¿Qué inclinación tienen los rayos del sol en ese instante?

3. Una escalera de 3,6 m de largo está apoyada sobre una ventana situada a 3,3 m

sobre el suelo. ¿A qué distancia de la pared se encuentra el pie de la escalera?

4. ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es de 1,5 m y al alejarse 2,5 m

del borde una persona que mide 1,7 m ve el borde y la línea del fondo en una

misma recta?


Teorema del Seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos

𝑎

sen(𝛼)=

𝑏

sen(𝛽)=

𝑐

sen(𝛾)

Problema Resuelto

Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2 m, otro 1.5 m y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40°. ¿Lo conseguirá? Explica

Solución:

Haremos primero un dibujo de la situación:

Aplicando el Teorema del Seno, se obtiene:

1,5

sen(𝛼)=

2

sen(40°)=

𝑐

sen(𝛾)= 𝑘

Usando los dos primeros términos, nos queda:

1,5

sen(𝛼)=

2

sen(40°) ⇒ 1,5 ∙ sen(40°) = 2 ∙ sen(𝛼) ⇒

sen(𝛼) =1,5 ∙ sen(40°)

2 ⇒ 𝛼 = sen−1 (

1,5 ∙ sen(40°)

2) ≈ 28,82°

Ahora, podemos obtener el Valor de 𝛾, usando la propiedad del triángulo, que sus

tres ángulos deben sumar 180°. Así, se obtiene que:

28,82° + 40° + 𝛾 = 180° ⇒ 𝛾 = 180° − 28,82° − 40° ⇒

𝛾 = 111,18°

𝛽

𝛾

40°

𝛾


Finalmente, aplicando nuevamente el Teorema del Seno, pero ahora para el

término que falta por encontrar, se tiene:

2

sen(40°)=

𝑐

sen(111,18°)

De lo cual, se deduce que:

𝑐 =2 ∙ sen(111,18°)

sen(40°)= 2,90 𝑐𝑚

Por lo tanto, Los lados de la mesa son 1.5 mts, 2 mts y 2.9 mts, Los ángulos

asociados son 40°, 28.18° y 111,18°

Problemas Propuestos:

1. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm. y el

ángulo 𝛽, opuesto a ese lado, mide 42º. Calcula:

a) el lado AC

b) el lado BC

c) el ángulo 𝛾

2. Si ABC es un triángulo rectángulo en A y los segmentos AB y AC miden 2 m. y

4 m., respectivamente. Calcula:

a) el lado BC

b) el ángulo ABC

c) el ángulo ACB

3. Si MNO es un triángulo rectángulo en M y los lados NO y MO miden 8 m. y 6

m., respectivamente. Calcula:

a) el lado MN

b) el ángulo MNO

c) el ángulo MON

4. La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m.

¿Cuál es la medida del ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos

puntos extremos, de la sombra y del árbol?


5. Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante

de 10º hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del

aeropuerto se encuentra en ese momento.

6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8

metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte

superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo de

depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente.

Teorema del Coseno

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos(𝛼)

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos(𝛽)

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos(𝛾)

Problema Resuelto

Tres Ciudades A, B y C están unidas por carreteras rectas y llanas. La distancia 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

es de 6 Km., la 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ es 9 Km. y el ángulo que forman 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ es de 120°. ¿Cuánto

es la distancia entre A y C?.

Solución:

Para resolver este ejercicio haremos un dibujo que represente la situación.

𝛽

𝛾


Vemos que por Teorema del Coseno, se tiene que:

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 − 2 ∙ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∙ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ∙ cos(𝛾)

Reemplazando los datos del ejercicio, nos queda que:

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 62 + 92 − 2 ∙ 6 ∙ 9 ∙ cos(120°)

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 36 + 81 − (−54)

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 171 ⇒ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √171

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≈ 13,08 Km

Con esto, se tiene que la distancia entre las ciudades A y C es aproximadamente de

13 Km.

Problemas Propuestos:

1. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un

triángulo, mientras que 𝛼, 𝛽 y 𝛾 son las medidas de los ángulos opuestos a esos

lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:

a) a = 10 cm. b= 12 cm. 𝛾 = 35º

b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m.

c) c = 10 cm. 𝛽 = 40º 𝛼 = 70º

d) a = 12 cm. b = 16 cm 𝛽 = 43º

e) 𝛼 = 53º 𝛽 = 75º c = 30,5 cm.

f) 𝛼 = 48º 𝛾 = 68º c = 47,2 mm.

2. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y

tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor.

3. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman

un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué

distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje.


4. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos

los lados m y n, y el ángulo a entre ellos.

El concepto de Ángulo

Hay muchos ángulos entre 0° y 90° además de los ángulos notables. Recordando

un poco, la circunferencia se divide en 360° (grados), cada uno de los cuales se

divide en 60’ (minutos), cada uno de los cuales se divide en 60’’ (segundos).

Habitualmente este sistema de medición de ángulos, llamados grados

sexagesimales, se utiliza en mediciones vinculadas con geometría y sus

aplicaciones, como en los ángulos de elevación de, por ejemplo, una torre o una

montaña, en navegación y mapas terrestres o aéreos, y en física de fuerzas

(dinámica) y construcciones que analizan fuerzas para determinar sustentación de

estructuras como puentes o edificios.

En este sistema un ángulo puede expresarse, por ejemplo, como 18°12’35’’ para

indicar que el ángulo mide 18 grados, más 12 minutos, más 35 segundos.

En un triángulo rectángulo los ángulos no rectos están entre 0° y 90°

estrictamente, y según lo indicado cada grado puede dividirse en 60 minutos y cada

uno de ellos en 60 segundos, así que hay bastantes ángulos a considerar aún sin

salirse del sistema.

Pero ¿cómo calcular las razones trigonométricas de tales ángulos? Salvo

calculadoras o computadores más sofisticados, generalmente podemos calcular las

razones trigonométricas de tales ángulos pasándolos a notación decimal, es decir,

usar un número con decimales para indicar cuantos grados mide un ángulo.

Usando el ejemplo, 18°12’35’’, primero separamos el ángulo como 18°+12’+35’’.

Ahora, cada minuto es (1

60)

°

, así que 12’ = 12 ⋅ (1

60)

°

= 0,2° , mientras cada

segundo es (1

60)

′

, y pasándolo a grados es (1

60) ⋅ (

1

60)

°

= (1

3600)

°

, por lo cual

35’’ = 35 ⋅ (1

3600)

°

= 0,00972̅° ≈ 0,01°. Finalmente:

18°12’35’’ = 18° + 12’ + 35’’ ≈ 18° + 0,2° + 0,01° = 18,21°

Ahora podemos calcular, por ejemplo, seno y coseno de 18°12’35’’, lo que da:

sen(18°12’35’’) = sen(18,21)

≈ 0.3125007151552682347854559113221


cos(18°12’35’’) = cos(18,21)

≈ 0.94991752432905768885106236070256

¿Cómo llegamos a esos valores?

Si usamos la calculadora del sistema, versión calculadora científica, aplicando a

18,21 la función (o tecla de la calculadora) 𝑠𝑖𝑛 , ya que en inglés se dice “sin” en

vez de “seno”, obteniendo 0.3125007151552682347854559113221.

Aplicamos a 18,21 la función 𝑐𝑜𝑠 , obteniendo

0.94991752432905768885106236070256.

Generalmente hay también una tecla para tangente, 𝑡𝑎𝑛 . Para las otras razones

trigonométricas, que son recíprocos de las anteriores, a los resultados obtenidos se

les aplica la tecla de recíproco 1𝑥⁄ . Por ejemplo, para obtener la secante de

18°12’35’’, basta aplicar a 18,21 la tecla 𝑐𝑜𝑠 y luego la tecla 1𝑥⁄ , obteniendo :

sec(18°12’35’’) = sec(18,21) ≈ 1.0527229726668285062754914700877

Pero cuidado, no sólo tiende a expresarse con punto en vez de coma para los

decimales, también hay tres sistemas para medir ángulos:

El sistema sexagesimal, ya descrito, en que la circunferencia completa se divide en

360° iguales. Es un modo en las calculadoras, en algunas indicado por 𝑆𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠. o

por las siglas 𝐷𝐸𝐺 y que se identifica fácilmente si al aplicar 𝑡𝑎𝑛 a 45 da 1 (en los

otros sistemas no da 1)

El sistema centesimal, análogo al anterior, pero buscando concordar con el sistema

decimal de los números divide la circunferencia en 400 grados centesimales, los

cuales se subdividen en

décimas, centésimas, etcétera. No es muy usado en matemáticas, y se indica en

muchas calculadoras por 𝐶𝑒𝑛𝑡. o por las siglas 𝐺𝑅𝐴. Es fácil saber si se miden

ángulos en este sistema ya que el equivalente a 45° sexagesimales, en este sistema,

son 50 grados centesimales, así que aplicando 𝑡𝑎𝑛 a 50 da 1 (en los otros sistemas

no da 1)

El sistema de radianes, que es el realmente científico, se basa en las propiedades

geométricas de los arcos de circunferencia que el ángulo del centro sustenta.


Observa:

El perímetro de la circunferencia es 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 y su medida en radianes es 2⋅𝜋⋅𝑟

𝑟= 2 ⋅

𝜋 que es la medida en radianes de la circunferencia completa. Al dividir por 𝑟 nos

quedamos con la medida proporcional del arco, sin importar el radio, es decir, con

la proporción de arco respecto del ángulo.

En este sistema el ángulo recto, es la cuarta parte de la circunferencia, mide 2⋅𝜋

4=

𝜋

2. En general, si 𝑅 es la medida de un ángulo en radianes y 𝑆 es la medida del

mismo ángulo en grados sexagesimales, entonces se cumple la proporción 𝑅

2⋅𝜋=

𝑆

360 porque la proporción de 𝑅 respecto de 2 ⋅ 𝜋 (el ángulo comparado con el

ángulo completo) es igual a la proporción de 𝑆 respecto de 360° (el ángulo

comparado con el ángulo completo). Así, 45° sexagesimales corresponden a 𝜋

4 y en

tu calculadora puedes, habitualmente, encontrar una tecla 𝜋 ; por ello, para

verificar si tu calculadora está en modo radianes, aplicando la tecla tan a 𝜋

4 debe

dar 1 (no da 1 en los otros sistemas).

De no tener una tecla o modo de indicar 𝜋 en tu calculadora o computador,

recuerda que el número 𝜋 es irracional, es decir, su expansión decimal es infinita

no periódica, así que cualquier cantidad finita de decimales que se use para

representar a 𝜋 será inexacta, aunque para nuestros cálculos usar la aproximación

𝜋 ≈ 3,14 es razonable.


1) Transforma los siguientes ángulos en notación sexagesimal a ángulos con

decimales:

a. 12°30’45’’

b. 45°20’15’’

c. 81°15’30’’

2) Transforma los siguientes ángulos de notación sexagesimal a radianes:

r


a. 42°27’30’’

b. 10°10’10’’

c. 72°’05’01’’

d. 30°

e. 45°

f. 60°

3) Calcula seno, coseno y tangente para los siguientes ángulos sexagesimales, previa

conversión a decimales (aunque tu calculadora permita trabajar con grados-

minutos-segundos)

a. 40°30’06’’

b. 25°15’10’’

c. 33°12’48’’

4) Calcula seno, coseno y tangente para los siguientes ángulos en radianes,

recordando que si está expresado como múltiplo de 𝜋 debe usarse la tecla 𝜋 o en

su defecto la aproximación 3,14:

a. 𝜋

3

b. 𝜋

4

c. 𝜋

9

d. 1.2566371

5) Determina la altura de un edificio situado a 80 metros si al usar un instrumento

para medir ángulos (goniómetro) situado en un trípode de 1,5 metros de altura, el

ángulo de elevación del borde superior del edificio desde la horizontal es de 38°12’



La figura muestra el plano de emplazamiento de un terreno. La información

que contiene, se obtuvo de un levantamiento que se hizo en terreno. ¿Cuánto

debería pagar alguien que quiera comprarlo, si media hectárea cuesta $7.500.000 y

cercarlo cuesta $1.000 el metro?

DESARROLLO:

1. Identificación de datos:

- Longitudes de los lados conocidos 𝑎 = 22.54𝑚, 𝑏 = 18.35𝑚

- Longitudes a determinar 𝑐 y 𝑑

- Ángulos relativos al Norte de los límites del terreno, obtenidos mediante una

brújula 𝛼1 = 𝑆 − 82°45′ 30" − 𝐸, 𝛽1 = 𝑁 − 40°32′15" − 𝐸, 𝛾1 = 𝑆 −

61°08′55" − 𝑂 𝛿1 = 𝑁 − 08°52′28" − 𝐸

- Ángulos interiores del cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿.

2. Estrategia de resolución:

- Interpretar el terreno como un cuadrilátero.

- Determinar los ángulos interiores del polígono a partir de los ángulos

relativos al norte

- Se traza una diagonal para construir triángulos que se resolverán,

dependiendo de las condiciones, aplicando el teorema de los cosenos y/o senos.

- Se calcula el área total mediante la suma de las áreas de los triángulos

parciales.

22.54m

18.35m N 40°32’15” E

S 82°45’30” E

S 61°08’55” O

N 08°52’28” E

LOTE 29


3. Resolución:

- Interpretamos la

información en un cuadrilátero

- Determinamos los ángulos interiores.

Para 𝛼 = 180° − 08°52′28-82°45' 30"

𝛼 = 88°22′02"

Para 𝛽 = 82°45′ 30" + 40°32′15"

𝛽 = 138°17′30"

Para 𝛾 = 180° − 61°08′55" − 40°32′15"

𝛾 = 78°18′50"

𝛾

N

E

O

S

40°32′15"

61°08′55"

𝛼

N

E

O

S

08°52′28

82°45' 30"

𝛽

N

E

O

S

40°32′15"

82°45′ 30"

𝑎 = 22.54𝑚

𝑏 = 18.35𝑚

𝑐

𝑑

𝛿

𝛽

𝛾

𝛼

𝐴

𝐵

𝐷

𝐶


Para 𝛿 = 360° − 𝛼 − 𝛽 − 𝛾

𝛿 = 360° − 88°22′02" − 138°17′30" − 78°18′50"

𝛿 = 55°01′38"

- Trazando la diagonal 𝐴𝐶, aplicamos el teorema de los cosenos (LAL) en el

triángulo △ 𝐴𝐵𝐶 y se determina la longitud 𝑙1 = 𝐴𝐶

- Aplicando el teorema de los cosenos

𝑙12 = 22.542 + 18.352 − 2 ∙ 22.54 ∙ 18.35 ∙ cos(138°17′30")

𝑙12 = 1462.3266

𝑙1 = √1,462.3266

𝑙1 = 38.24m

- Aplicando el teorema de los senos en forma inversa, determinamos el ángulo

de menor medida, en este caso ε. Observa que esto se sabe pues en todo triángulo,

al menor lado se opone el ángulo de menor medida. De esta manera no es

necesaria la hipótesis de acutángulo del teorema de los senos, por lo que es

correcto utilizarlo.

sen(138°17′30")

38.24𝑚=

sen(휀)

18.36𝑚

18.36𝑚 ∙ sen(138°17′30")

38.24𝑚= sen(휀)

0.3194462 = sen(휀)

- Aplicando arcoseno

sen−1(0.3194462) = 휀

18°37′46" = 휀

𝑎 = 22.54𝑚

𝑏 = 18.35𝑚

𝑐

𝑑

𝛿

138°17′30"

𝛾

𝛼

𝑙1

𝐴 𝐵

𝐷

𝐶

휀

𝜃

휀1

𝜃1 𝐴2

𝐴1


Y

𝜃 = 180° − 138°17′30 − 18°37'46"

𝜃 = 23°04′44"

- Con estos ángulos calculamos 휀1 y 𝜃1, donde

𝜃1 = 𝛾 − 𝜃

𝜃1 = 78°18′50 -23°04'44

𝜃1 = 55°14′06"

- De la misma forma

휀1 = 𝛼 − 휀

휀1 = 88°22′02" − 18°37′46"

휀1 = 69°44′16"

- En el triángulo △ 𝐴𝐶𝐷 se dan las condiciones ideales

𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 – 𝐿𝑎𝑑𝑜 – 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 (ALA), para aplicar el teorema de los senos

38.24𝑚

sen(55°01′38")=

𝑑

sen(𝜃1)=

𝑐

sen(휀1)

38.24𝑚

sen(55°01′38")=

𝑑

sen(55°14′06")=

𝑐

sen(69°44′16")

de donde

38.24𝑚 ∙ sen(55°14′06")

sen(55°01′38")= 𝑑

38.34𝑚 = 𝑑

Y

38.24𝑚 ∙ sen(69°44′16")

sen(55°01′38")= 𝑐

43.78𝑚 = 𝑐

lo que nos da un perímetro total de

𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

𝑃 = 22.54𝑚 + 18.35𝑚 + 43.78𝑚 + 38.34𝑚

𝑃 = 123.01𝑚


- Para el cálculo del área, utilizaremos los mismos triángulos, determinando

sus aéreas mediante la formula 𝐴 =1

2𝑏𝑐 sen 𝛼 donde 𝛼 es el ángulo interior

que forman los lados 𝑎 y 𝑏. De esta forma, si 𝐴1 es el área del △ 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴2 es el

área del △ 𝐴𝐶𝐷, el área total será

𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2

donde

𝐴1 =1

2𝑎𝑏 sen 𝛽

𝐴1 =1

2∙ 22.54𝑚 ∙ 18.35𝑚 ∙ sen(138°17′30")

𝐴1 = 137.6𝑚2,

Así mismo, determinamos

𝐴2 =1

2𝑑𝑐 sen 𝛿

𝐴2 =1

2∙ 38.34𝑚 ∙ 43.78𝑚 ∙ sen(55°01′38")

𝐴2 = 687.71𝑚2

Finalmente el área total será de

𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2

𝐴 = 137.6𝑚2 + 687.71𝑚2

𝐴 = 825.31𝑚2

4. Comunicación de resultados.

- El perímetro total del terreno es de 𝑃 = 123.01𝑚, por lo tanto gastamos

$123.010 en cercarlo.

- La superficie o área total es de 𝐴 = 825.31𝑚2, por lo tanto debe pagar

$1.237.965 por el terreno.

Ángulos y Rotaciones

Los ángulos miden también rotaciones. Por ejemplo, un ángulo de 𝜋

4 (o 45°) mide

una rotación en medio ángulo recto o, equivalentemente, en 1

8 de giro completo,

considerando un giro completo al que vuelve al mismo punto, es decir, 2 ⋅ 𝜋 (o

360°), porque 𝜋

4=

2⋅𝜋

8.


Al medir rotaciones, los ángulos pueden girar más que un giro completo, esto es,

puede haber ángulos que midan más de 2 ⋅ 𝜋 (más de 360°).

Ejemplo:

Un ángulo de 19⋅𝜋

3 mide tres giros completos y un giro parcial adicional de

𝜋

3, ya

que :

19 ⋅ 𝜋

3=

(9 ⋅ 2 ⋅ 𝜋 +⋅ 𝜋)

3=

9

3⋅ 2 ⋅ 𝜋 +

𝜋

3= 3 ⋅ (2 ⋅ 𝜋) +

𝜋

3

Ejercicio Propuesto:

Determina, en cada caso, los giros completos y el giro parcial adicional si se realiza

una rotación en:

1) 9⋅𝜋

4

2) 28⋅𝜋

6

3) 54⋅𝜋

3

En el Plano Cartesiano los ángulos se miden en el origen del sistema, (0,0),

tomando un lado (o posición inicial) en el lado positivo del eje horizontal (eje X) y

el otro lado (o posición final del giro) de modo que se forme el ángulo que se

quiere medido en sentido antihorario (sentido de giro contrario a las manecillas del

reloj). Observa:

Así, un ángulo en radianes de 𝜋

2 (ángulo recto) termina en el eje vertical (eje Y), un

ángulo en radianes de 𝜋 termina en la parte negativa del eje horizontal (eje X), ya

que corresponde a 180°, y un ángulo de 2⋅𝜋

3 termina en el segundo cuadrante.


Para determinar el cuadrante en que termina un ángulo en radianes que esté

entre 0 y 2 ⋅ 𝜋, considera que en el I° Cuadrante terminan los ángulos que están

entre 0 y 𝜋

2 radianes, en el II° Cuadrante terminan los ángulos entre

𝜋

2 y 𝜋 radianes,

en el III° Cuadrante terminan los ángulos entre 𝜋 y 3⋅𝜋

2, y en el IV° Cuadrante

terminan los ángulos que están entre 3⋅𝜋

2 y 2 ⋅ 𝜋.


Determina en qué cuadrante terminan los siguientes ángulos:

1) 3⋅𝜋

4

2) 4⋅𝜋

3

3) 8⋅𝜋

5

Observa que un ángulo mayor a 2 ⋅ 𝜋 representa más de un giro completo.


1. Determina en qué cuadrante terminan los siguientes ángulos:

a) 13⋅𝜋

4

b) 22⋅𝜋

3

c) 34⋅𝜋

5

También podemos considerar ángulos negativos, los que giran desde la parte

positiva del eje horizontal (eje X) en sentido contrario a los ángulos positivos, esto

es, siguiendo el sentido de las manecillas del reloj.

2. Determina en qué cuadrante terminan los siguientes ángulos:

a) −𝜋

3

b) −6⋅𝜋

2

c) −14⋅𝜋

5

Circunferencia Unitaria y Funciones Trigonométricas


Recordemos que los ángulos en radianes miden la razón entre la longitud de un

arco y el radio de la circunferencia en que está ese arco, es decir, el ángulo mide 𝐿

𝑅

radianes cuando el arco mide 𝐿 y el radio mide 𝑅, como muestra la figura:

Entonces el arco mide exactamente 𝛼 ⋅ 𝑅 unidades si el ángulo mide 𝛼 en

radianes.

Ejemplo:

Una rueda de 48 cm de radio da cuatro vueltas y un cuarto. Para determina cuanto

avanzó, notamos que, en términos de ángulo en radianes, la rotación fue de 4 ⋅

(2 ⋅ 𝜋) +𝜋

2=

17⋅𝜋

2 radianes, y como el radio es 48 cm, la rueda avanzó 48 ⋅

17⋅𝜋

2≈

1281.77 cm, es decir, 12,8 metros.

Ejercicio Propuesto:

Determina cuanto avanza una rueda de 35 cm de diámetro si recorre 18 giros y 3

4.

Si nos fijamos ahora en una circunferencia de radio 1 con centro en (0,0), llamada

“circunferencia unitaria”, y medimos ángulos a partir de la parte positiva del eje

horizontal (eje X) como hicimos antes, entonces a cada ángulo en radianes le

corresponde un punto de la circunferencia unitaria.

Por ejemplo, al ángulo de 𝜋

2 radianes le corresponde el punto (0,1) ya que es el

punto que corresponde a ese ángulo. Nota que, por la correspondencia entre

ángulo en radianes y longitud de arco, al ser la circunferencia unitaria de radio 1,

ese punto forma con el punto (1,0) un arco que mide exactamente 𝜋

2 unidades, ya

que recorre exactamente 1

4 de circunferencia. De hecho, al ángulo de 0 radianes le

corresponde exactamente el punto (1,0).

Ejemplo:

R

L


1) Al ángulo de 𝜋 radianes le corresponde el punto (−1,0) ya que recorre media

circunferencia.

2) Al ángulo de 𝜋

4 le corresponde el punto del primer cuadrante que es la intersección

de la circunferencia unitaria, de ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 1 con la recta diagonal de

ecuación 𝑦 = 𝑥, usando simetría, ya que recorre la mitad del primer cuadrante.

Reemplazando, obtenemos 2𝑥2 = 1 de donde 𝑥 = ±1

√2. Como es del primer

cuadrante, tenemos 𝑥 =1

√2 y de 𝑦 = 𝑥 obtenemos 𝑦 =

1

√2, por lo cual el punto de

la circunferencia unitaria que corresponde al ángulo 𝜋

4 es (

1

√2,

1

√2).

Ese resultado tiene notable semejanza con los valores de seno y coseno para el

ángulo 𝜋

4.

Aprovechamos este hecho para definir las funciones trigonométricas coseno y

seno sobre el conjunto de todos los números reales, ℝ, a partir del punto asignado

en la circunferencia unitaria a cada número real, visto como un ángulo en radianes.

Definición:

Para cada número real 𝑡 definimos cos (𝑡) y sen(𝑡) como primera y segunda

coordenada, respectivamente, del punto asignado a 𝑡 en la circunferencia unitaria.

Ejemplos:

1) El punto asignado a 0 radianes es (1,0), por lo que la definición indica que

cos(0) = 1 y sen(0) = 0.

2) El punto asignado a 𝜋

2 radianes es (0,1), por lo cual cos (

𝜋

2 ) = 0 y sen (

𝜋

2 ) = 1.

3) El punto asignado a 𝜋 radianes es (−1,0), por lo que cos(𝜋) = −1 y sen(𝜋) =

0.

4) El punto asignado a 3⋅ 𝜋

2 radianes es (0, −1), por lo cual cos (

3⋅𝜋

2 ) = 0 y

sen (3⋅𝜋

2 ) = −1.

5) El punto asignado a 2 ⋅ 𝜋 radianes, un giro completo, es (1,0) nuevamente, por lo

que cos(2 ⋅ 𝜋) = 1 y sen(2 ⋅ 𝜋) = 0.


Podemos seguir del mismo modo con ángulos mayores que 2 ⋅ 𝜋 y con ángulos

negativos, como vimos antes.


De hecho la definición de seno y coseno es concordante en el

I° Cuadrante con las razones trigonométricas originales:

En los demás cuadrantes, además del signo propio de los cuadrantes, que cambian

el signo de las funciones trigonométricas, se utiliza también un triángulo

rectángulo auxiliar:

II° Cuadrante: El punto asociado al ángulo original, 𝛼, determina el triángulo

rectángulo con ángulo 𝛽 = 𝜋 − 𝛼


III° Cuadrante: El punto asociado al ángulo original, 𝛼, determina el triángulo

rectángulo con ángulo 𝛽 = 𝛼 − 𝜋

IV° Cuadrante: El punto asociado al ángulo original, 𝛼, determina el triángulo

rectángulo con ángulo 𝛽 = 2 ⋅ 𝜋 − 𝛼

Para determinar cos (4⋅𝜋

3), primero notamos que 𝜋 <

4⋅𝜋

3<

3⋅𝜋

2, por lo cual el

punto asociado a 4⋅𝜋

3 está en el III° Cuadrante, por lo cual cos (

4⋅𝜋

3) es negativo

(recuerda que en el III° Cuadrante ambas coordenadas son negativas). Además,


según lo indicado antes, el ángulo del triángulo rectángulo determinado por 4⋅𝜋

3

es 𝛽 = 4⋅𝜋

3− 𝜋 =

𝜋

3 por lo que, dejando de lado por ahora el signo, |cos (

4⋅𝜋

3)| =

cos (𝜋

3) =

1

2; obtenemos así que cos (

4⋅𝜋

3) = −

1

2.

Nota que si un ángulo es mayor que 2 ⋅ 𝜋 o negativo, siempre se puede reducir a

un ángulo entre 0 y 2 ⋅ 𝜋 radianes, como hicimos antes ya que se cumplirá que los

valores de las funciones trigonométricas se repiten con cada giro completo, en

sentido antihorario o en sentido horario.

Propiedad:

Para cada número 𝛼 ∈ ℝ y cada número 𝑘 ∈ ℤ se cumple:

cos(𝛼 + 𝑘 ⋅ 2 ⋅ 𝜋) = cos(𝛼)

sen(𝛼 + 𝑘 ⋅ 2 ⋅ 𝜋) = sen (𝛼)


Basándote en el ejemplo anterior, determina el valor de las funciones

trigonométricas indicadas, reduciendo el ángulo a uno entre 0 y 2 ⋅ 𝜋, si fuera

necesario, luego determinando el cuadrante de su punto asociado y por tanto su

signo, y luego determinando cuál ángulo del I° Cuadrante es igual al valor absoluto

que la función trigonométrica pedida:

1) cos (3⋅𝜋

4)

2) sen (3⋅𝜋

4)

3) tan (3⋅𝜋

4) (definimos las demás funciones trigonométricas como antes, cocientes y

recíprocos usando seno y coseno)

4) cos (5⋅𝜋

6)

5) cos (−5⋅𝜋

6)

6) sen (−17⋅𝜋

4)

Por simetría obtenemos una propiedad adicional, considerando que cambiar de

signo a un ángulo equivale a recorrer el contorno de la circunferencia unitaria en

sentido contrario desde el mismo punto de partida, lo que significa que los puntos

asociados a un número real y a su opuesto son simétricos respecto del punto de

partida, y por tanto simétricos respecto del eje horizontal. Por ello, tales puntos

tienen iguales primeras coordenadas pero sus segundas coordenadas suman 0.


Propiedad: (Identidades de paridad)

Para cada 𝛼 ∈ ℝ se cumple:

cos(−𝛼) = cos (𝛼)

sen(−𝛼) = −sen(𝛼)

(esta propiedad se menciona en varios textos indicando que la función coseno es

función Par y que la función seno es función Impar, dado su comportamiento

respecto del signo similar a potencias pares e impares, respectivamente.

Ejemplos:

1) sen (−3⋅𝜋

4) = − sen (

3⋅𝜋

4) = − sen (𝜋 −

3⋅𝜋

4) = − sen (

𝜋

4) = −

1

√2

2) cos (−𝜋

3) = cos (

𝜋

3) =

1

2

3) tan (−𝜋

4) =

sen(−𝜋

4)

cos(−𝜋

4)

=−sen(

𝜋

4)

cos(𝜋

4)

= − tan (𝜋

4) = −1

Ejercicios y Problemas Propuestos:

Utiliza la propiedad anterior para simplificar o calcular:

1) cos (−𝜋

4)

2) sen (−𝜋

4)

3) tan (−𝜋

3)


4) cos (−5𝜋

6)

5) tan(−𝛼) (la idea es simplificarlo como en ejemplo 3)

6) sec(−𝛼)

Considerando la definición de las funciones trigonométricas coseno y seno como coordenadas de puntos de la circunferencia unitaria asociados a ángulos o arcos recorridos desde el punto (1,0), notamos que la primera coordenada, coseno,

decrece desde 1 hasta 0 en el I° Cuadrante, a medida que el ángulo crece de 0 a 𝜋

2,

mientras la función seno crece desde 0 a 1 en para los mismos ángulos.

En el II° Cuadrante coseno, como primera coordenada, pasa a ser negativo y seno,

como segunda coordenada, se mantiene positivo, decreciendo coseno de 0 a −1 mientras seno decrece de 1 a 0.

En el III° cuadrante ambas coordenadas son negativas, y coseno crece desde −1

hasta 0 mientras seno decrece de 0 a −1.

En el IV° Cuadrante coseno, como primera coordenada, es positivo mientras seno, como segunda coordenada, es negativo, creciendo coseno desde 0 hasta 1 y creciendo seno desde -1 hasta 0.

Nota que en todos los casos el valor absoluto de ambas funciones trigonométricas no superan el valor 1, como corresponde a coordenadas de puntos de la circunferencia unitaria. Además, por la misma razón se mantiene la propiedad

Pitagórica para seno y coseno en ℝ

Propiedades:

Para todo 𝛼 ∈ ℝ se cumplen:

1) |cos(𝛼)| ≤ 1

2) |sen (𝛼)| ≤ 1

3) sen2(𝛼) + 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) = 1


4) tan(𝛼) =sen(𝛼)

cos(𝛼) cuando cos(𝛼) ≠ 0

5) sec(𝛼) =1

cos(𝛼) cuando cos(𝛼) ≠ 0

6) csc(𝛼) =1

sen(𝛼) cuando sen(𝛼) ≠ 0

7) cot(𝛼) =1

sen(𝛼) cuando sen(𝛼) ≠ 0

8) 1 + tan2(𝛼) = sec2(𝛼)

Haremos una tabla de la función seno, la graficaremos, y luego veremos que la

gráfica de la función coseno puede deducirse desde la gráfica de la función seno:

Recordando que cada avance en 2 ⋅ 𝜋 retorna al mismo punto de la circunferencia

unitaria, y los valores de la tabla anterior, la gráfica de la función seno es:

𝛼 0 𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2

2 ⋅ 𝜋

3

3 ⋅ 𝜋

4

5 ⋅ 𝜋

6

𝜋

𝑠𝑒𝑛(𝛼) 0 1

2

1

√2 √3

2

1 √3

2

1

√2

1

2

0

Aprox. 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0

𝛼 0 −

5𝜋

6 −

3𝜋

4 −

2𝜋

3 −

𝜋

2 −

𝜋

3 −

𝜋

4 −

𝜋

6 0

𝑠𝑒𝑛(𝛼) 0 −

1

2 −

√2

2 −

√3

2

−1 −

√3

2 −

√2

2

1

2

0

Aprox. 0 −0,5 −0,7 −0,9 −1 −0,9 −0,7 −0,5 0


Así como en los ángulos complementarios en un triángulo rectángulo se

intercambian catetos adyacentes y opuestos, en las funciones trigonométricas se

cumple:

Propiedad:

Para todo 𝛼 ∈ ℝ

cos (𝜋

2− 𝛼) = sen(𝛼)

sen (𝜋

2− 𝛼) = cos(𝛼)

Con ello podemos obtener la gráfica de la función coseno:

Ejercicio y Problemas Propuestos

1) Determina en la gráfica los valores en que seno y coseno valen 0.

2) Determina en la gráfica los valores en que seno y coseno valen 1.

3) Determina en la gráfica los valores en que seno y coseno valen 1

2.

Se dice que las gráficas de seno y coseno son sinusoidales. Pero hay más funciones

sinusoidales que se obtienen modificando las funciones seno y coseno. Veamos

algunas cualidades de las funciones seno y coseno para entender esto.

Propiedad:

Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen ambas dominio ℝ y recorrido

[−1,1]


Definición:

El período de una función 𝑓 es el menor número positivo 𝑃 para el cual todo 𝑥 ∈

ℝ cumple 𝑓(𝑥 + 𝑃) = 𝑓(𝑥)

Propiedad:

Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen período 2 ⋅ 𝜋

Definición:

La amplitud de una función de gráfica sinusoidal es el número positivo 𝐴 tal que el

recorrido de la función es [−𝐴, 𝐴]

Propiedad:

Las funciones seno y coseno tienen amplitud 1.

Ejemplo:

La función f(x) = 3 ⋅ sen(5 ⋅ 𝑥) tiene gráfica sinusoidal, de amplitud 3 y período 2⋅𝜋

5, porque :

𝑓 (𝑥 +2 ⋅ 𝜋

5) = 3 ⋅ sen (5 ⋅ (𝑥 +

2 ⋅ 𝜋

5)) = 3 ⋅ sen (5 ⋅ 𝑥 + 5 ⋅

2 ⋅ 𝜋

5)

= 3 ⋅ sen((5 ⋅ 𝑥) + 2 ⋅ 𝜋) = 3 ⋅ sen(5 ⋅ x) = f(x)

La amplitud es de 3 porque para todo 𝑥 ∈ ℝ se cumple :

|3 ⋅ sen(5 ⋅ 𝑥)| ≤ 3


y de hecho 𝑓 (𝜋

10) = 3 ⋅ sen (5 ⋅

𝜋

10) = 3 ⋅ sen (

𝜋

2) = 3, así como :

𝑓 (−𝜋

10) = 3 ⋅ sen (5 ⋅ (−

𝜋

10)) = 3 ⋅ sen (−

𝜋

2) = −3

por lo cual el recorrido de 𝑓(𝑥) es [−3,3], lo que justifica que la amplitud sea 3.

La gráfica de 𝑓(𝑥) es:

donde se han marcado en el eje horizontal los puntos 𝜋

10,

𝜋

5,

𝜋

2 y 𝜋 para mostrar

cómo se modificó la gráfica de la función seno. Es claro que el dominio de la

función 𝑓(𝑥) sigue siendo ℝ.


Dibuje el gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥, para A = 1, A = ½ y A = 2.

Compare.

DESARROLLO:






c) Resolución.




- Función a graficar: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑓(𝑥) =1

2𝑠𝑒𝑛𝑥 y 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥


- Realizar una tabla de valores.

- Usar la calculadora.

- Graficar.


- Primero realizaremos el gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥.

- Luego de configurar la calculadora en Radianes, realizamos una tabla de

valores.

x y =sen x

0 0

0,5 0,5

1 0,84

1,5 1

2 0,9

-0,5 -0,5

-1 -0,8

-1,5 1

-2 -0,9

- Luego de construir la tabla de valores, se realiza el gráfico.

Utilizando la calculadora, para graficar funciones trigonométricas:

Configurar la calculadora en radianes, para ello escoge y

Rad MODE


-

Ahora realizaremos el gráfico de 𝑓(𝑥) =1

2𝑠𝑒𝑛𝑥, para ello realizamos una tabla de

valores.

x y=½ sen x

0 0

0,5 0,24

1 0,42

1,5 0,5

2 0,46

-0,5 -0,24

-1 -0,42

-1,5 -0,5

-2 -0,46

- Luego, el gráfico es:


- Finalmente, realizaremos el gráfico de 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥, realizamos una tabla de

valores.

x y = 2 sen x

0 0

0,5 0,96

1 1,68

1,5 1,99

2 1,81

-0,5 -0,96

-1 -1,68

-1,5 -1,99

-2 -1,81

- Luego de construir la tabla de valores, se realiza el gráfico.



Para comparar, observamos los tres gráficos simultáneamente.

Al comparar se observa que:

- Tienen la misma forma, es decir, el mismo periodo 2.

- Cambia el dominio de los graficos, es decir: y = 2 sen x Dom = [-2, 2]

y = sen x Dom =[-1, 1]

y = ½ sen x Dom =[- ½, ½]

Por lo tanto, podemos concluir que la función 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥 es periodica de

periodo 2 y su dominio es [-A, A].

Ejercicios y Problemas Propuestos:

Grafica las siguientes funciones indicando su amplitud y período:

1) 𝑓(𝑥) = 2 cos(2 ⋅ 𝑥)

2) 𝑓(𝑥) = 3 cos(4 ⋅ 𝑥)

3) 𝑓(𝑥) = 5 sen(3 ⋅ 𝑥)

4) 𝑓(𝑥) = − sen(2 ⋅ 𝑥)

5) 𝑓(𝑥) = √5 sen(3 ⋅ 𝑥)

6) 𝑓(𝑥) = 2 cos(𝜋 ⋅ 𝑥)

Propiedad (ángulos compuestos)

y =2 sen x

y =sen x

y =1/2 sen x


Para cualquier par de ángulos 𝛼 y 𝛽, Se cumplen las siguientes igualdades:

sen(𝛼 + 𝛽) = sen(𝛼) cos(𝛽) + cos (𝛼)sen(𝛽)

cos(𝛼 + 𝛽) = cos(α) cos(β) − sen(α)sen(β)

sen(𝛼 − 𝛽) = sen(𝛼) cos(𝛽) − cos(𝛼) sen(𝛽)

cos(𝛼 − 𝛽) = cos(α) cos(β) + sen(α)sen(β)

Estas igualdades son conocidas como las fórmulas de la suma y diferencia de

ángulos para las funciones seno y coseno.

A partir de estas fórmulas, podemos hacer lo siguiente

tan(𝛼 + 𝛽) =sen(𝛼 + 𝛽)

cos(𝛼 + 𝛽)

Reemplazando las expresiones anteriores, se obtiene finalmente que:

tan(𝛼 + 𝛽) =tan 𝛼 + tan 𝛽

1 − tan 𝛼 tan 𝛽

Y

tan(𝛼 − 𝛽) =tan 𝛼 − tan 𝛽

1 + tan 𝛼 tan 𝛽

Ejemplo:

Calcular sen(75°) usando las funciones de 45° y 30°.

Solución:

Comenzamos dándonos cuenta que 75°=30°+45°, por lo que

sen(75°) = sen(30° + 45°) = sen(30°) cos(45°) + sen(45°) cos(30°)

=1

2∙√2

2+

√2

2∙√3

2=

√2

4+

√6

4=

1

4(√2 + √6)


1. Hallar el valor de cos(15°), usando las funciones de 45° y 30°.

2. Hallar el valor de sin(105°), usando las funciones de 60° y 45°.

3. Si tan(𝑥) =3

4 y tan(𝑦) =

7

24 , hallar sen(𝑥 + 𝑦) y cos(𝑥 + 𝑦) cuando 𝑥 e

𝑦 son ángu1os agudos.


4. Sabiendo que 𝛼 y 𝛽 terminan en el segundo y cuarto cuadrantes,

respectivamente, y que sen 𝛼 = cos 𝛽 =3

5 hallar cos(𝛼 + 𝛽).

5. Probar que sen 90° = 1 y cos 90° = 0, usando ángulos de 60° y 30°

6. Probar que

𝑎) sen(45° + 𝑥) =sen(𝑥) + cos(𝑥)

√2

𝑏) cos(60° + 𝑥) =cos(𝑥) + √3 sen(𝑥)

2

𝑐) cos(45° + 𝑥) + sen(𝑥 − 45°) = 0

𝑑) cos(30° + 𝑥) − cos(30° − 𝑥) = − sen(𝑥)

Propiedad (ángulo doble)

Si para las formulas anteriores se toma 𝛼 = 𝛽, las formulas nos quedan:

sen(2𝛼) = sen(𝛼 + 𝛼) = sen(𝛼) cos(𝛼) + cos (𝛼)sen(𝛼)

En donde se obtiene que

sen(2𝛼) = 2sen(𝛼) cos(𝛼)

Para el coseno, se utiliza el mismo argumento. Así

cos(2𝛼) = cos(𝛼 + 𝛼) = cos(𝛼) cos(𝛼) + sen (𝛼)sen(𝛼)

En donde se obtiene que:

cos(2𝛼) = cos2(𝛼) − sen2(𝛼)

Como sen2(𝛼) + 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) = 1, podemos escribir la igualdad anterior como:

cos(2𝛼) = 2 cos2(𝛼) − 1

cos(2𝛼) = 1 − 2 sen2(𝛼)


Y finalmente queda que

tan(2𝛼) =2 tan 𝛼

1 − tan2 𝛼

Ejemplo 1: Si sen(𝑥) =2

√5, con x en el segundo cuadrante, encontrar el valor de

sen(2𝑥) ; cos(2𝑥) y tan(2𝑥)

Solución:

Comenzamos viendo que si sen(𝑥) =2

√5, por Teorema de Pitágoras, podemos

deducir que cos(𝑥) = −1

√5 𝑦 tan(𝑥) = −2.

Aplicando las fórmulas para los ángulos dobles, nos queda que:

sen(2𝑥) = 2 ∙2

√5∙ (−

1

√5) = −

4

5

cos(2𝑥) = (−1

√5)

2

− (2

√5)

2

= −3

5

tan(2𝑥) =2 ∙ (−2)

1 − (−2)2=

4

3

Ejemplo 2: Calcular sen(120°) ; cos(120°) y tan(120°) Usando las formulas

del ángulo doble.

Solución:

Comenzamos viendo que 120° = 2 ∙ 60°, de donde se obtiene

sen(120°) = 2 ∙ sen(60°) ∙ cos(60°) = 2 ∙√3

2∙1

2=

√3

2

sen(120°) = cos2(60°) − sen2(60°) = (1

2)

2

− (√3

2)

2

=1

4−

3

4= −

1

2

tan(120°) =2 ∙ tan(60°)

1 − (tan(60°))2=

2 ∙ √3

1 − (√3)2 =

2√3

−2= −√3


1. Encontrar los valores del sen(2𝛼) ; cos(2𝛼) y tan(2𝛼) usando la fórmula

del ángulo doble, si se sabe que 𝛼 mide:

a) 15°

b) 30°

c) 45°


d) 60°

e) 75°

f) 105°

2. Sabiendo que tan(𝑥) = 2 y que x está en el tercer cuadrante, encontrar

sen(2𝑥) ; cos(2𝑥) y tan(2𝑥)

3. Sea un triángulo rectángulo ABC, con ángulo 𝛾 = 90°, y de lados 𝑎, 𝑏, 𝑐.

Probar que se cumplen las siguientes igualdades.

a) sen(2𝛼) = sen(2𝛽)

b) tan(2𝛼) =2𝑎𝑏

𝑏2−𝑎2

c) cos(2𝛼) =𝑏2−𝑎2

𝑐2

d) cos(2𝛼) + cos(2𝛽) = 0

4. Probar que el valor del sen(2𝛼) es menor que el valor de 2 sen(𝛼) para todos

los valores de 𝛼, donde 0° < 𝛼 < 90°.

Identidades Trigonométricas

Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para cualquier

valor del ángulo que aparezca en la igualdad, no importando si el ángulo está en el

primero, segundo, tercero o cuarto cuadrante.

Es recomendable, expresar todos los términos de la igualdad en función del seno y del coseno para efectuar las operaciones indicadas, sólo debemos trabajar en uno de los dos miembros de la igualdad, de manera de llegar hasta el otro. Si no se consigue este propósito entonces se debe aplicar los mismos artificios en el otro miembro.

Para una mejor resolución de estas identidades, es importante mencionar que

sen2(𝛼) + cos2(𝛼) = 1 ∧ tan(𝛼) =sen(𝛼)

cos(𝛼)

Pasos Generales para resolver una identidad trigonométrica.

1. Conocer las relaciones básicas y sus formas alternativas, es decir, con sus respectivos despejes si los tuviera. 2. Conocer los procedimientos de adición y sustracción, cálculo del m.c.m. para reducir, transformar las fracciones obtenidas en otras equivalentes.

3. Conocer las técnicas de la factorización y de los productos notables.

4. Usar sólo procedimientos de sustitución y de simplificación que permitan trabajar solamente en uno de los dos miembros la identidad.


5. Seleccionar el lado de la igualdad que parezca ser el más complicado, e intentar transformarlo en el otro.

6. Si decides trabajar en ambos lados de la igualdad, debes hacerlo en forma independiente, es decir, sin transposiciones de términos.

7. Evitar sustituciones que introduzcan raíces.

8. Usar sustituciones para cambiar todas las funciones trigonométricas en expresiones que contengan únicamente senos y cosenos y luego simplificar (siempre en un solo lado).

9. Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el conjugado de cualquiera de ellos.

10. Simplificar la raíz cuadrada de una fracción usando conjugados para transformarla en el cociente con cuadrados perfectos.

Ejemplo 1:

Probar que:

cos(𝛼) − cos3(𝛼)

sen(𝛼) − sen3(𝛼)= tan(𝛼)

Solución:

Comenzamos resolviendo el lado izquierdo de nuestra igualdad. (Es el que se ve

más difícil). Con lo que nos queda:

cos(𝛼) − cos3(𝛼)

sen(𝛼) − sen3(𝛼)=

cos(𝛼) (1 − cos2(𝛼))

sen(𝛼) (1 − sen2(𝛼))=

cos(𝛼) sen2(𝛼)

sen(𝛼) cos2(𝛼)=

sen(𝛼)

cos(𝛼)

= tan(𝛼)

Ejemplo 2:

Probar que

1 − tan2(𝛼)

1 + tan2(𝛼)= 1 − 2 sen2(𝛼)

Solución:

Al igual que antes, comenzamos resolviendo el lado izquierdo de nuestra igualdad.

(Es el que se ve más difícil). Con lo que nos queda:


1 − tan2(𝛼)

1 + tan2(𝛼)=

1 −sen2(𝛼)cos2(𝛼)

1 +sen2(𝛼)cos2(𝛼)

=

cos2(𝛼) − sen2(𝛼)cos2(𝛼)

cos2(𝛼) + sen2(𝛼)cos2(𝛼)

=cos2(𝛼) − sen2(𝛼)

cos2(𝛼) + sen2(𝛼)

=(1 − sen2(𝛼)) − sen2(𝛼)

1= 1 − 2 sen2(𝛼)

Ejemplo 3:

Probar que:

cos(𝛼) cos(𝛽) =cos(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 − 𝛽)

2

Solución:

Ahora comenzaremos por el lado derecho de nuestra igualdad. (Es el que se ve

más difícil). Con lo que nos queda:

cos(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 − 𝛽)

2

=(cos(α) cos(β) − sen(α)sen(β)) + (cos(α) cos(β) + sen(α)sen(β))

2

=2cos(α) cos(β)

2= cos(α) cos(β)


Demuestre la siguiente identidad trigonometrica

1

1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥+

1

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥≡ 2𝑠𝑒𝑐2𝑥

DESARROLLO:






c) Resolución.




- Funciones incluidas.

- Funciones inversas.


- Operar como fracciones.

- Partir del lado izquierdo.


- Primero partimos del lado izquierdo de la identidad.

1


1

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥

- Calculamos m.c.m

(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥) + (1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)

(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)

- Simplificamos la expresión

2

(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)

- Aplicamos suma por su diferencia

2

1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥

- Reemplazamos la identidad pitágorica.

2

𝑐𝑜𝑠2𝑥

- Identificamos la razón inversa de coseno.

-

Suma por su diferencia:

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2

Identidad Pitagórica:

𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

Razones inversas:

sec 𝑥 =1

cos𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 =

1

𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 =

1

tan 𝑥


2𝑠𝑒𝑐2𝑥


Por lo tanto, queda demostrada la identidad

1


1

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥≡ 2𝑠𝑒𝑐2𝑥


1. tan 𝜃 + cot 𝜃 = sec 𝜃 csc 𝜃

2. 1 − 2 sen2 𝜃 = 2 cos2 𝜃 − 1

3. sen 𝜃 cos 𝜃 sec 𝜃 csc 𝜃 = 1

4. 1

1 + sen 𝜃+

1

1 − sen 𝜃= 2 sec2 𝜃

5. cos 𝜃 + tan 𝜃 sen 𝜃 = sec 𝜃

6. cos4 𝜃 − sen4 𝜃 = cos2 𝜃 − sen2 𝜃

7. tan 𝜃 − cot 𝜃

tan 𝜃 + cot 𝜃= 2 sen2 𝜃 − 1

8. sen 𝜃

1 + cos 𝜃+

1 + cos 𝜃

sen 𝜃= 2 csc 𝜃

9. 1 − cos 𝜃

sen 𝜃=

sen 𝜃

1 + cos 𝜃

10. cos2 𝜃 − sen2 𝜃 =1 − tan2 𝜃

1 + tan2 𝜃

11. cot 𝜃 + tan 𝜃 = cot 𝜃 sec2 𝜃

12. 1 + tan2 𝜃

tan2 𝜃= csc2 𝜃


13. (csc 𝜃 − cot 𝜃)2 =1 − cos 𝜃

1 + cos 𝜃

14. sec2 𝜃

1 + sen 𝜃=

sec2 𝜃 − sec 𝜃 tan 𝜃

cos 𝜃

15. 1 + cot 𝜃 =(1 − cot2 𝜃) sen 𝜃

sen 𝜃 − cos 𝜃

Ecuaciones Trigonométricas.

Las ecuaciones trigonométricas, es decir, las ecuaciones que involucran funciones trigonométricas de ángulos desconocidos, se llaman:

a) Ecuaciones idénticas o identidades. Si se satisfacen para todos los valores de los ángulos desconocidos, cuyas funciones están definidos. b) Ecuaciones condicionales, o simplemente, ecuaciones. Si solo se satisfacen en ciertos valores de los ángulos desconocidos.

Las ecuaciones trigonométricas son aquellas en las cuales la incógnita aparece como un ángulo de funciones trigonométricas cuyas soluciones pertenecen al

intervalo 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°.

No existe un método general para resolver una ecuación trigonométrica. Generalmente se recomienda, transformar toda la ecuación de manera que quede expresada en términos de una sola función trigonométrica y luego resolverla como una ecuación algebraica cualquiera.

Muchas veces, se obtienen soluciones extrañas, por lo tanto se deben comprobar las obtenidas en la ecuación dada. Además hay que recordar que las funciones trigonométricas repiten sus valores en los cuatro cuadrantes del plano de coordinadas rectangulares, siendo positivas en dos de ellos y negativa en los otros dos, es decir, hay dos cuadrantes en las que el valor de un ángulo de función trigonométricas tiene el mismo valor y signo.

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación trigonométrica

sen(𝑥) = sen(80°)

Solución:

Para que se cumpla la igualdad, la medida del ángulo 𝑥 debe ser igual a 80º

Por tanto la solución es 𝑥 = 80°


Ejemplo 2:


cos(𝑥) = cos(60° − 𝑥)

Solución:

Para que se cumpla la igualdad, es necesario que:

𝑥 = 60° − 𝑥

𝑥 + 𝑥 = 60°

2𝑥 = 60°

𝑥 =60°

2

𝑥 = 30°

Por tanto la solución es 𝑥 = 30°

Ejemplo 3:


2 sen(𝑥) = 1

Solución:

Para que esta igualdad sea cierta, despejamos el seno, quedando:

2 sen(𝑥) = 1

sen(𝑥) =1

2

El seno de un ángulo es 1

2, cuando dicho ángulo es 30°, además el seno es

positivo también en el segundo cuadrante, por lo tanto, para encontrar el otro ángulo, se toma:

𝛼 + 𝑥 = 180°

𝛼 = 180° − 𝑥 = 180° − 30° = 150°

Por tanto, las soluciones son 𝑥 = 30°, 150°

Ejemplo 4:


cos(2𝑥) csc(𝑥) + csc(𝑥) + cot(𝑥) = 0

Solución:

Comenzamos expresando cos(2𝑥) = cos2(𝑥) − sen2(𝑥), con esto, se tiene que

la ecuación nos queda:


(cos2(𝑥) − sen2(𝑥)) csc(𝑥) + csc(𝑥) + cot(𝑥) = 0

De igual manera, utilizamos que csc(𝑥) =1

sen(𝑥) y cot(𝑥) =

cos(𝑥)

sen(𝑥), lo que nos

queda

(cos2(𝑥) − sen2(𝑥))1

sen(𝑥)+

1

sen(𝑥)+

cos(𝑥)

sen(𝑥)= 0

(cos2(𝑥) − sen2(𝑥)) + 1 + cos(𝑥)

sen(𝑥)= 0

(cos2(𝑥) − sen2(𝑥)) + 1 + cos(𝑥) = 0

(cos2(𝑥) − (1 − cos2(𝑥))) + 1 + cos(𝑥) = 0

2 cos2(𝑥) + cos(𝑥) = 0

Lo que nos queda una ecuación de segundo grado en la variable coseno.

Factorizando, nos queda

cos(𝑥) (2 cos(𝑥) + 1) = 0

De donde se deduce que:

cos(𝑥) = 0 ∨ 2 cos(𝑥) + 1 = 0

De aquí, tenemos lo siguiente:

cos(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = 90°; 270°

De la otra ecuación:

2 cos(𝑥) + 1 = 0

2 cos(𝑥) = −1

cos(𝑥) = −1

2

De aquí, tenemos lo siguiente:

cos(𝑥) = −1

2 ⇒ 𝑥 = 120°; 240°

Con esto, las soluciones de la ecuación son:

𝑥 = 90°; 120°; 240°; 270°



Resuelva la siguiente ecuación trigonometrica

(tan 𝑥 − 1)(4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3) = 0

DESARROLLO:




- Funciones incluidas.

- Funciones inversas.

- Ángulos de referencia.


- Resolver por separado y calcular los ángulos de referencia que solucionan la

ecuación.


- Como el producto es cero, cada factor puede ser cero.

(tan 𝑥 − 1)(4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3) = 0

- Es decir,

tan 𝑥 − 1 = 0

tan 𝑥 = 1

- Usamos arctan para encontrar la medida de x.




c) Resolución.


SHIFT tan 1

Arcotangente:

Para encontrar la medida de un ángulo usando la calculadora,


𝑥 = 45°

-Usando ángulos de referencia, sabemos que la función tangente es positiva en el

primer y tercer cuadrante, por lo tanto:

𝑥 = 225°

- Realizamos el mismo trabajo con el segundo factor:

4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3 = 0

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = ±√3

2

- Usando arcoseno, obtenemos que:

𝑥 = 60°

- La función seno es positiva en en el primer y segundo cuadrante, por lo

tanto, otro valor que nos sirve es:

𝑥 = 120°

- Y es negativo en el tercer y cuarto cuadrante, por lo tanto, también nos sirve:

𝑥 = 240°𝑥 = 300°


Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son: 45º, 60º, 120º, 225º,

240º y 300º.


1. sen2(𝑥) =1

4

2. csc2(𝑥) = 2

3. tan2(𝑥) − 3 = 0

4. sec2(𝑥) − 4 = 0

5. tan(2𝑥) = 1

6. 2 cos(2𝑥) + √3 = 0

7. sen2(2𝑥) = 1

8. 4 cos2(2𝑥) − 1 = 0


9. cot2 (𝑥

2) = 3

10. sec2 (𝑥

2) = 2

EJERCICIOS APLICACIÓN UNIDAD TRIGONOMETRIA

1. Un topógrafo situado en la llanura observa dos picos, A y B, de una montaña situados a 870 y 960 metros, respectivamente, del observador con un ángulo de elevación de 55°. Encuentra la distancia horizontal entre ambos picos.

2. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados

miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

3. Hallar la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la

parte superior de la antena bajo un ángulo de 30°.

80m 70°

130m

A B

870 m

960 m

55º


4. Un aspersor funciona con un mecanismo que le produce un movimiento de

giro, de ida y vuelta, de 60º. Si el chorro de agua alcanza 16m, halla el área de la

superficie de césped regada.

5. Una torre de 135 pie de altura está situada en la orilla de un lago. Desde la

punta de la torre, el ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta del lago

es 36,3º. ¿Cuál es el ancho del lago?

6. El edificio Empire State (Nueva York) tiene 1250 pie de altura. ¿Cuál es el

ángulo de elevación de su último piso desde un punto de la calle que está a 1 milla

desde la base del edificio? (Recuerda que una milla equivale a 5280 pies)

7. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a

8m del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de

30º y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45º. Determine la altura del

edificio señalado.

8. Al observar desde la azotea de un edificio de 60 pie de altura, el ángulo de

elevación del extremo superior de otro edificio en frente, es de 14º, mientras que

desde la base del primer edificio, el ángulo de elevación del extremo del poste es

de 28º. Obtenga:

a) La altura del segundo

edificio.

b) la distancia entre los

dos edificios.

28°

14°


9. Una escalera para acceder a un túnel tiene la forma y las dimensiones de la

figura. Calcula la profundidad del punto B.

10. En la figura un técnico en construcción que tiene una estatura de 1.72m,

debe determinar la altura de un muro al cual no puede acceder debido a un

derrumbe. Como tiene conocimientos de trigonometría plantea la siguiente

estrategia para poder calcular esta altura:

i) Define dos posiciones A y B distantes 15m una de otra frente al muro

ii) Mide con su teodolito ángulos de elevación del muro en estos dos puntos

𝛼 = 28.73° y 𝛽 = 48.43°

a) ¿Cuál fue la estrategia del técnico?

b) ¿Es determinante para el resultado final la longitud de 15m tomada

inicialmente por el técnico entre las mediciones de los ángulos de elevación?

1m

3m

2,5m

A B 𝛽 = 48.43° 𝛼 = 28.73°

15m


11. En la figura sin es

a) 12/13

b) 13/12

c) 5/13

d) 5/12

12. Si 𝜃 es un ángulo interior de un triángulo rectángulo y ( ) 3,1=θtan entonces

( )=θcos

a) 5/4

b) 3/5

c) 4/5

d) 4/3

13. La altura del edificio B es de 200m entonces la altura del edificio A es

a) 115,43m

b) 39,23m

c) 84,57m

d) 430,9m

14. Dado que ( ) 125,0=θsin la longitud del lado AC es

a) 109,3m

b) 198,4m

c) 112,3m

d) 100m

15. El área del triangulo ABC

a) 147,28m2

b) 109,22m2

c) 66,88m2

d) 130,64m2

16. La medida del en la figura es

a) 55,5°

b) 61,1°

c) 50°

d) 86,7°

B

A C

25m

A

B 15°

600m

12

13

53º

15

12

48º

15m

12m

A

C

B


17. El perímetro del triángulo ABC es

a) 11,71 m

b) 33,27m

c) 22,84 m

d) 10,16 m

18. La medida del ángulo 𝛼 es

a) 34,8°

b) 60°

c) 54,7°

d) 48,6°

19. Bosqueje la gráfica de:

a. 𝑓(𝑥) = 2 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +𝜋

4)

b. 𝑓(𝑥) =1

2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −

𝜋

2)

c. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥

20. La figura muestra la elevación de una escalera de caracol que conecta las

plantas del primer y segundo piso de una construcción. Utilizando la información

de la figura, determina las ecuaciones de las curvas senoides que determinan en la

proyección de la elevación los extremos de los peldaños y el pasamano.

2.86m

3m

0.8m

0.2m

0.15m

1 m

A

C

B 58º 42º

4m

A

C

B 12m

8m 9m


21. Pruebe las siguientes identidades trigonométricas:

a. 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥+

cos𝑥

sec 𝑥= 1

b. 1−𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥=

sen 𝑥

1+cos𝑥

c. sec 𝑥

𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥+𝑡𝑔 𝑥= 𝑠𝑒𝑛 𝑥

22. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 4 = 0

b. 2 cos2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 1

c. √4𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 7 = 3

23. La expresión sen α(cotg α + cosecα) es equivalente a:

a) sen α + 1

b) tg α + sen α

c) cos α + 1

d) cotg α + tg α

24. La expresión trigonométrica 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2𝑥 es equivalente a:

a) sen x + cos x

b) 1

c) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 · 𝑠𝑒𝑐2𝑥

d) sen x · cos x


25. ¿Qué grafica representa a la función y = 2 sen x?

a)

b)

c)

d)

26. El valor numérico de la expresión 60cot245sec60cos2

1 222 gec

es:

a) 2

b) -2

c) 0

d) 22

27. El valor numérico de

3cos

3sin

6cos

6sin

3sec

es:

a) 1

b) 2

c) -1

d) 0


28. Los valores de x que satisfacen la ecuación cos x = 0 , expresados en grados

son:

a) 0° y 90°

b) 90° y 180°

c) 90° y 270°

d) 180° y 270°

29. Los valores de x que satisfacen la ecuación sen x = 0 , expresados en grados

son:

a. 0° y 90°

b. 90° y 180°

c. 90° y 270°

d. 180° y 270°

APUNTES DE GEOMETRÍA - INACAP

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