Apuntes de Geometría Analítica

Ing. Manuel Zamarripa Medina Geometría Analítica

1

APUNTES DE

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ing. Manuel Zamarripa Medina

Academia de Matemáticas CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS

Industrial y de Servicios 33 Correo:[email protected]

mailto:[email protected]


2

Con profundo agradecimiento a nuestra benemérita escuela.

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para el aprendizaje de las matemáticas del blog:

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Centro de Estudios Tecnológicos

Industrial y de Servicios N° 33

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3

PROLOGO:

Estos apuntes de “Geometría Analítica” conforman una antología o recopilación de temas y ejercicios que han sido preparados como apoyo didáctico para que el estudiante de la Asignatura se introduzca en la comprensión y dominio de esta rama de las matemáticas.

En los apuntes se expone la parte teórica correspondiente seguida de ejemplos resueltos, los cuales incluyen los pasos a seguir y las formulas empleadas. La solución de los ejercicios propuestos al estudiante es de vital importancia para la consolidación de los conocimientos adquiridos.

El objetivo esencial de la estructura y planteamiento de las actividades es que el alumno aplique sus conocimientos de Álgebra, Geometría y trigonometría en la resolución de ejercicios de Geometría Analítica, a través del desarrollo de la habilidad del pensamiento deductivo y analítico matemático para utilizarlo en su vida cotidiana a través de la demostración y resolución de ejercicios.

Espero que este material resulte para los estudiantes una herramienta eficaz en el aprendizaje de la Geometría Analítica.

Ing. Manuel Zamarripa Medina


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ÍNDICE Página PROLOGO ---------------------------------------------------------------------------------------------- 3

SISTEMAS COORDENADOS -------------------------------------------------------------------------- 5

1. COORDENADAS

RECTANGULARES

1.1 Puntos en el plano ------------------------------------------------------------------------------- 6 1.2 Distancia entre dos puntos -------------------------------------------------------------------- 9 1.3 División de un segmento en una razón dada --------------------------------------------- 16 1.4 Punto medio--------------------------------------------------------------------------------------- 23 1.5 Perímetros y áreas ------------------------------------------------------------------------------ 26

POLARES

1.6 Elementos ------------------------------------------------------------------------------------------ 32 1.7 Transformaciones -------------------------------------------------------------------------------- 35

LUGARES GEOMETRICOS ----------------------------------------------------------------------------- 38

RECTA

2. LA RECTA -------------------------------------------------------------------------------------------- 48

2.1 Propiedades ----------------------------------------------------------------------------------------- 48 2.2 Formas de la ecuación de la recta --------------------------------------------------------------57

CONICAS

3. CIRCUNFERENCIA -----------------------------------------------------------------------------------79

4. PARÁBOLA ------------------------------------------------------------------------------------------- 85

5. ELIPSE --------------------------------------------------------------------------------------------------92

6. HIPERBOLA -------------------------------------------------------------------------------------------98


5

Y


6

1. COORDENADAS

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES.

El plano cartesiano

Así como se pueden representar números reales mediante puntos sobre una recta también se pueden representar pares ordenados de números reales mediante puntos en un plano llamado sistema coordenado rectangular o plano cartesiano, denominado así en honor del matemático francés René Descartes (1596-1650). El plano cartesiano se forma usando dos rectas de números reales que se intersecan de manera perpendicular, como se muestra en la figura. La recta numérica horizontal se denomina eje x y la vertical es el eje y. El punto de intersección de estos dos ejes es el origen y los dos ejes dividen el plano en cuatro partes a las que se les llama cuadrantes, los cuales se ordenan en sentido contrario a las manecillas del reloj.

1.1 Puntos en el Plano

Cada punto en el plano corresponde a un par ordenado, (x,y), de números reales y llamados coordenadas del punto. La coordenada x representa la distancia dirigida desde el eje y al punto y la coordenada y representa la distancia dirigida desde el eje x al punto, como se muestra en la figura

René Descartes

(Ordenadas)

(Abscisas)


7

Ejemplo 1.- Trazo de puntos en el plano cartesiano

Localiza los puntos (-1, 2), (3, 4), (0, 0), (3, 0) (-2, -3).

Solución:

Para localizar el punto (-1, 2) imagina una recta vertical que pasa por

-1, en el eje x y una recta horizontal que pasa por 2, en el eje y. La

intersección de estas dos rectas es el punto (-1,2). Los otros cuatro

puntos se pueden trazar de manera similar, como se muestra en la

figura.

Ejemplo 2.- Localiza los siguientes puntos en el sistema de coordenadas rectangulares:

Solución:

A efecto de localizar una coordenada fraccionaria como la del punto

, se considera su expresión

decimal

; también recuérdese que

EJERCICIOS 1.- Contesta las siguientes preguntas.

1.- ¿Cuál es la razón por la que el sistema de coordenadas rectangulares se denomina también cartesiano?


8

2.- ¿Cómo está conformado el sistema de coordenadas rectangulares?

3.- ¿Cómo se ordenan los cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares?

4.- Explica cuándo las abscisas y ordenadas son positivas.

5.- Explica cuándo las abscisas y ordenadas son negativas

6.- ¿Cómo se representan las coordenadas de un punto?

7.- Explica el proceso para trazar un punto.


9

1.2 Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las cuales explicaremos a continuación:

Caso 1: Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que

pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje X), la distancia entre los dos puntos es:

P1P2 = x2 - x1 = x1 - x2

Caso 2: Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos pertenecientes a una misma recta vertical (paralela al eje

Y), la distancia entre los dos puntos es:

P1P2 = y2 - y1 = y1 - y2

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

x

P1(x1, y1) P2(x2, y2)

x


10

Ejemplo 1 .- Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 ( - 7 , 2 ) y P2 ( 8 , 2 ).

Se utiliza la fórmula para calcular distancia entre dos puntos de una recta horizontal.

P1P2 = x2 - x1= .151578)7(8 u

La longitud de esta recta horizontal es de 15 unidades.

Ejemplo 2.- Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 ( - 2 , 4 ) y P2 ( - 2 , - 6 ).

Se utiliza la fórmula para calcular distancia entre dos

puntos de una recta vertical.

P1P2 = y2 - y1=

La longitud de esta recta vertical es de 10 unidades.

x

x


11

Caso 3: Formula general de la distancia entre dos puntos; Sean dos puntos de coordenadas cualquiera, sin importar su ubicación en los cuadrantes P1(x1, y1) y P2(x2, y2).

La distancia entre los puntos d está definida por el segmento de recta P1P2. Las diferencias entre sus coordenadas X y Y nos permiten obtener un triángulo rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras

√ tenemos:

Se puede invertir el orden de los puntos, ya que | | | |

Ejemplo 3.- Encuentra la distancia entre los puntos y e indícalos en el plano cartesiano.

𝑃 𝑃 √9 √

Primero consideraremos que las coordenadas del punto A son

y respectivamente, y las coordenadas de B son y ,

ahora sustituimos en la fórmula:

y esta es la longitud del segmento .

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

Q2(x2, y1)

d


12

EJERCICIOS 2.- En tu cuaderno, gráfica y determina la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

a) A( - 6, 3) y B (2, -3)

b) P(-3, 5) y Q(-4, 3)

c) C(6, 1) y D( - 4, - 2)

Ejemplo 4.- Demuestra que el triángulo formado por los vértices )1,4(A , )3,5( B y )2,1( C es un

isósceles y traza la figura en el plano cartesiano.

Como podemos observar tenemos dos lados del triángulo con longitudes iguales lo que nos demuestra que efectivamente se trata de un triángulo isósceles.

Primero encontraremos las longitudes de los lados

del triángulo, de y , para

posteriormente comparar y demostrar que dos de

estas longitudes deben ser iguales, de lo contrario

no cumpliría con dicha demostración:

=


13

EJERCICIOS 3.- Resuelve en tu cuaderno. Demuestra que los siguientes puntos de coordenadas son los vértices de triángulos isósceles.

1.- A ( -2 , 2 ), B ( 3 , 1 ), C ( -1 , -6 )

2.- A ( -2 , -4 ), B ( -5 , -1 ), C ( -6 , -5 )

3.- A ( -6 , -6 ), B ( -2 , 2 ), C ( 2 , -2 ) 4.- A ( -6 , 4 ), B ( -5 , -3 ), C ( -1 , -1 )

Ejemplo 5.- Demuestra que el triángulo de vértices )1,3( L , )6,1(M y )2,3(N es rectángulo.

Primero determinamos las distancias entre los vértices.

Para demostrar que estos puntos son los vértices de un triángulo rectángulo aplicamos el teorema de Pitágoras: 𝑐 𝑎 𝑏

Sustituyendo las distancias obtenidas

Reduciendo los radicales con los exponentes al cuadrado tenemos que:

Sumando los términos de la derecha

Como la igualdad es verdadera, queda comprobado que el triángulo es rectángulo.


14

EJERCICIOS 4.- Demuestra analíticamente que los puntos dados son los vértices de triángulos rectángulos y determina su superficie.

1.- A (-3 , 1), B (-3 , -4 ), C ( 5 , -4 )

2.- P (-2 , -8 ), Q (-6 , -1 ), R ( 0 , -4)

3.- A (-9 , -2 ), B (-3 , -2 ), C (-3 , -10 )

Ejemplo 6: Demuestra que los puntos )2,4(A , )0,4(B y )1,0(C son colíneales (que están sobre la misma

recta).

Primero sacamos la distancia de

, y . Y verificamos que la

distancia del segmento mayor sea igual a la

suma de los segmentos menores

=

Ahora observamos que la distancia mayor

es luego entonces:

Ahora descomponemos el radical de la

izquierda para igualarlo a la suma de los de

la derecha

Con este ejercicio comprobamos el teorema que dice: si B está

entre A y C, y si A, B y C son puntos distintos de la misma recta,

entonces AB + BC = AC.

Esto significa que los tres puntos están en una misma recta (son

colíneales).


15

EJERCICIOS 5.- Resuelve y grafica en tu cuaderno. 1. Determina el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:

a). L (–2, 5), M (4, 3) y N (7, –2)

b). H (–1, –2), J (4, 2) y K (–3, 5)

2. Demuestra que los puntos dados son colíneales, es decir, que están sobre una misma línea recta

a). M (12, 1), P (–3, –2) y R (2, –1).

b). P (–2, 3), Q (–6, 1) y R (–10, –1)

3. Demostrar que los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo:

a). A (1, 1), B (3, 5), C (11, 6) y D (9, 2)

b). M (–1, 5), N (2, 1), O (2, 5) y P (–2, –1)

4. Halla el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto P (–3, 6). (Da dos soluciones).

5. Uno de los extremos de un segmento de longitud 13 es A (2, 3) si la ordenada del otro punto es 5 halla su

abscisa.

6. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 13 es el punto A(-1, -5); si la abscisa

del otro extremo es 2, hallar su ordenada (dos soluciones).

7. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 17 u es el punto A ( 1 , - 11 ); si la

ordenada del otro extremo es 4 halla su abscisa (Dos soluciones).

8. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (7, 2) y B (2, 2), halla las coordenadas del

tercer vértice (dos soluciones).


16

1.3. División de un segmento en una razón dada. Para determinar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son P1(x1, y1) y

P2(x2,y2) en la razón dada ,2

1

PP

PPr se representa en la siguiente figura:

Teorema: Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son P1(x1, y1) y P2(x2,

y2) en la razón dada ,2

1

PP

PPr son:

,yy

yyr

xx

xxr

2

1

2

1

.1r:Siendo

r

ryyy

1

21

r

rxxx

1

21


17

Ejemplo.- Los extremos de un segmento son los puntos )4,7(1P y )4,1(2 P . Halla la razón 2

1

PP

PPr en

que el punto )2,1( P divide al segmento.

Para demostrar el resultado del ejercicio anterior, podemos determinar la distancia de 721 PP y 82 PP

mediante la fórmula de la distancia entre dos puntos, y posteriormente sustituir en la de la razón:

, si 3r y conocemos los valores de las distancia, entonces sustituimos8

72r

)2)(4(

)2)(36(3 Descomponiendo los radicales para poder simplificar, tenemos que:

22

263 Simplificando radicales y dividiendo 6 entre 2 igual a 3,

33 Lo cual demuestra el concepto de razón que nos pide el problema.

El valor de r se puede determinar en función de x o de y ; sustituyendo directamente las coordenadas en las fórmulas de la razón, por ejemplo en primer lugar en función de x.

También se puede determinar sustituyendo el valor de r a partir de las ordenadas.

Con ambos procedimientos se obtiene la misma razón,

rPP

PP

2

1


18

EJERCICIOS 6.- Resuelve los siguientes ejercicios:

1.- Los extremos de un segmento son los puntos A (- 10, -4 ) y B ( 2, 6 ); halla la razón 2

1

PP

PPr en que el

punto P ( -3 , 2 ) que divide al segmento.

2.- Los extremos de un segmento son los puntos A ( -2 , -4 ) y B ( 3 , 1 ); halla la razón 2

1

PP

PPr en el que el

punto P ( -5 , -7 ) que divide al segmento.

Ejemplo 8.- Determina las coordenadas de un punto P(x, y) que divida al segmento determinado por los

puntos )2,3(1 P y )3,4(2 P en la relación: 3

2r

Sustituyendo en la fórmula

Considerando que y y

conociendo r sustituimos:

De la misma manera sustituimos para y

Recordando que y ,

utilizando el mismo valor de r, tenemos:

Por lo que el punto es


19

EJERCICIOS 7.- Determina las coordenadas de un punto P(x, y) que divida al segmento AB, dada una razón r.

1.- A ( 1 , -4 ), B ( -3 , 2 ), r = 2

1

2.- A ( 2 , 3 ), B ( 5 , 7 ), r = 3

3.- A ( 7 , -3 ), B ( 4 , 2 ), r = 2

4.- A ( 5 , -2 ), B ( 3 , -5 ), r = 3

Ejemplo.- Los puntos )3,4(1 P y )1,3(2P son los extremos de un segmento. Determina las coordenadas

del punto ),( yxP que divide al segmento en dos partes tales que 2

1

2

1 PP

PPr .

Solución:

Puesto que , el punto debe ser externo al

segmento

Sustituyendo en la fórmula correspondiente:

Entonces


20

Determinación de la razón cuando un segmento se divide en n partes iguales Si un segmento se divide en n partes iguales, la razón para determinar las coordenadas de cada punto que divide a dicho segmento, se determina aplicando el procedimiento:

a) Si el segmento AB se trisecta (se divide en tres partes iguales), la razón para cada punto es:

Para el punto P1, tenemos:

.

2

1

1

1

segmentosdos

segmentoun

BP

APr

Para el punto P2, tenemos:

.1

2

2

2

segmentoun

segmentosdos

BP

APr

b) Si el segmento AB se divide en cuatro partes iguales, la razón para cada punto es:

2

2

1

1


21

Para el punto P1, tenemos: 3

1

1

1 BP

APr


2

2

2 BP

APr


3

3

3 BP

APr

c) Si el segmento AB se divide en cinco partes iguales, la razón para cada punto es:


1

1

1 BP

APr


2

2

2 BP

APr


3

3

3 BP

APr


4

4

4 BP

APr

Los siguientes criterios nos ayudarán a comprender la posición del punto buscado en el segmento dado.

1. Cuando la razón es positiva, el punto buscado estará situado entre los puntos dados del segmento. Por ejemplo:

Segmento AB . P punto buscado. La razón es positiva.


22

2. Cuando la razón es negativa, el punto buscado estará situado fuera de los puntos dados del segmento. Por ejemplo:

Segmento AB . P punto buscado. La razón es negativa.

Ejemplo.- Los punto extremos de un segmento son )4,5(A y )1,3(B . Determina las coordenadas de los

puntos que trisectan a este segmento.

Para la ordenada de P :

3

2

32

9

2

32

1

2

8

2

1

2

22

14

2

11

)1(2

14

Py o sea ),( yxP

3,

3

7P

Para la abscisa de P :

3

1

3

65

21

)3)(2(5

Qx

Para la ordenada de P :

23

6

3

24

21

)1)(2(4

Qy o sea ),( yxQ

2,

3

1Q

Solución:

Llamemos y a los puntos que trisecan

al segmento, es decir que dividen al segmento en

tres partes iguales, es evidente que la razón de

y de , por lo tanto, partiendo de estas

relaciones, obtendremos las coordenadas de Y

Para la abscisa de :


23

EJERCICIOS 8.- Determina en cada uno de los siguientes casos los puntos de trisección P1 y P2 del segmento AB. 1.- A ( 6, -2 ), B ( 4 , 1 ) P1 ( ) r = _ P2 ( ) r = ____ 2.- A ( 6 , 12 ), B ( -2 , 3 ) P1 ( ) r = P2 ( ) r = ___ 3.- A ( 3, -5 ), B ( 6 , -1 ) P1 ( ) r = P2 ( ) r = ____ 4.- A ( 5 , -1 ), B ( 1 , 1 ) P1 ( ) r = P2 ( ) r = ____

1.4 PUNTO MEDIO Si P(x, y) es el punto medio del segmento P1P2, la razón es igual a la unidad, es decir = 1

Si 2

1

PP

PPr y como P1P = PP2, resulta 1

2

2

1

1

2

1 PP

PP

PP

PP

PP

PPr .

Corolario: Las coordenadas de un punto que es el punto medio de un segmento cuyos extremos son P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2), se determinan mediante las expresiones:


24

Ejemplo.- Determina las coordenadas del punto medio del segmento A (2, 3), B (6, 7).

Obtenemos el promedio de las X y las Y aplicando las formulas:

Así el punto medio es Pm (4, 5)

EJERCICIOS 9.- Para cada caso encuentra las coordenadas del punto medio de segmento PQ cuyas coordenadas se indican.

1.- P ( 6, 3 ), Q ( -2 , -5 ) Pm ( )

2.- P ( 6 , -2 ), Q ( 5 , 6 ) Pm ( )

3.- P ( 6, 3 ), Q ( -2 , 2 ) Pm ( )

4.- P ( -4, 7 ), Q ( -4 , -9 ) Pm ( )

5.- Dadas las coordenadas de los vértices de un triángulo isósceles A ( 2 , 5 ), B ( 4 , -1 ), C ( 6, 5 ); determina: a) El punto medio de la base, b) Con el punto medio de la base y el vértice opuesto, determina la altura del triángulo, c) Calcula la superficie del triángulo.


25

EJERCICIOS 10. Resuelve y grafica en tu libreta los siguientes problemas.

1. Determina las coordenadas de un punto P (x, y) que divide al segmento determinado por P1 (-2, 5) y P2

(10, -2) en la relación r = 2/3.

2. Encuentra las coordenadas de los puntos que dividen en tres partes iguales al segmento formado por A (2,

-4) y B (8, 12); determinar el punto medio del segmento.

3. Los extremos de un segmento son los puntos P1 (7, 4) y P2 (-1, -4); hallar el punto P(x, y) que divide a este

segmento en dos partes tales que P2P:PP1 = - 3

4. Los puntos extremos de un segmento son )4,2(1P y )4,8(2 P .Halla el punto ),( yxP que divide a este

segmento en dos partes tales que 21

2 PP

PPr .

5. Los extremos de un segmento son los puntos A (-3, -1) y B (5, 7); halla el punto P (x, y) que divide a este

segmento en dos partes tales que 2: PABP .

6. Los extremos del diámetro de una circunferencia son A (3, -2) y B (5, 6); halla las coordenadas del centro

de la circunferencia.

7. El extremo del diámetro de una circunferencia de centro P (7, -6) es P2 (2, 2); halla las coordenadas P1 (x, y)

del otro extremo.

8. Demuestra que el punto medio de la hipotenusa del triángulo de vértices )2,2( A , )4,8(B y )3,5(C

equidista de los tres vértices.

9. Se sabe que el punto P (8, -4) divide al segmento que se determina por los puntos P1 (14, -12) y P2 (x2, y2)

en la relación r = 2; halla las coordenadas del P2.

10. Si el segmento AB está cortado por el punto )2,5(P en la razón 7

3

PB

APr y las coordenadas de A son

)6,5( encuentra las coordenadas de B .

11. Los vértices de un triángulo son )3,1(A , )5,3(B y )1,7( C , si D es el punto medio del lado 34AB y E es el

punto medio del lado AC , demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado

AC .

12. Demuestra que los segmentos que unen los puntos medios de los lados sucesivos del cuadrilátero

)1,3( E , )3,0(F , )4,3(G y )1,4( H ; forman un paralelogramo.


26

1.5 PERIMETROS Y ÁREAS Perímetro: es la suma de las longitudes de los lados de una figura plana; matemáticamente se representa por la letra P (mayúscula). Semiperímetro: es la mitad del perímetro; se representa por la letra p (minúscula) y matemáticamente se

hace notar por:

Área de un triángulo en función de las coordenadas de sus vértices

Sean P1(X1, Y1), P2(X2, Y2) y P3(X3, Y3) los vértices de un triángulo, su área se puede obtener sumando las áreas de los trapecios Q1Q3P3P1 y Q3Q2P2P3, y restando el área del trapecio Q1Q2P2P1. Dichos trapecios se forman con las proyecciones perpendiculares de los vértices del triángulo al eje X. El área de un trapecio es igual al producto del promedio de sus bases (lados paralelos) por su altura, y el área del triángulo P1P2P3 es:

(

) (

) (

)

Haciendo

factor común y reduciendo, queda:

O

P1(X1, Y1)

Q1(X1, 0) Q3(X3, 0) Q2(X2, 0) X

Y

P2(X2, Y2)

P3(X3, Y3)


27

El área resultante se puede expresar en una forma más sencilla empleando determinantes:

A = 312312133221

1

3

2

1

1

3

2

1

2

1

2

1yxyxyxyxyxyx

y

y

y

y

x

x

x

x

Esta fórmula se utiliza para calcular el área de un polígono de cualquier número de vértices.

Se hace notar que el primer renglón se hace repetir al final con el fin de facilitar la operación.

Si los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el área resultante es de signo positivo; en caso contrario resultara negativa, lo cual solo indica el sentido de recorrido.

Ejemplo.- Determina el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A (3,2), B (7,4) y C (-2,5).

Solución:

.112

2222

2

12143

2

12143

2

11581443512

2

1

)5)(3()4)(2()2)(7()2)(2()5)(7()4)(3(2

1

2

5

4

2

3

2

7

3

2

1A

El área de este polígono es de 11 u2.

Sentido de los productos ( + ) Producto positivo

( - ) Producto negativo


28

Ejemplo.- Calcula el área, perímetro y semiperímetro del polígono si las coordenadas de sus vértices son:

A (-8,2), B (-1,5), C (7,-1) y D (-2,-6).

.842

168168

2

18583

2

18583

2

1401424235248

2

1

)5)(8(

)1)(1()6)(7()2)(2()2)(1()5)(7()1)(2()6)(8(

2

1

2

5

1

6

2

8

1

7

2

8

2

1

A

El área de este polígono es de 84 u2.

Formula de Herón de Alejandría para el cálculo del área de un triángulo En función de las distancias de sus lados.


29

El área de un triángulo se puede calcular también conociendo las distancias de sus lados, aplicando la fórmula de Herón, la cual se indica:

A = √ – – –

Siendo los lados de un triángulo,

p el semiperímetro

Para determinar el área de polígonos de n vértices, por este procedimiento, es necesario subdividir en triángulos el polígono correspondiente, es decir hay que triangularlo. Ejercicio.- Un topógrafo realizo la medición de un terreno para determinar su superficie, para lo cual subdividió en triángulos dicho terreno, resultando tres triángulos cuyas longitudes en metros se indican en la figura, determina la superficie de cada triangulo y el área total del terreno.

TRIANGULO I a = 54.630 b = 75.176 c = 46.809 Σ = 176.615 p = ½ Σ = 88.3075 p – a = 33.6775 p – b = 13.1315 p – c = 41.4985

A1 = √ 9 =

1273.040 m2

TRIANGULO II a = 46.769 b = 81.485 c = 75.176 Σ = 203.430 p = ½ Σ = 101.715 p – a = 54.946 p – b = 20.230 p – c = 26.539

A II = √ 9 9

= 1732.211 m2

TRIANGULO III a = 47.855 b = 47.312 c = 81.485 Σ = 176.652 p = ½ Σ = 88.326 p – a = 40.471 p – b = 41.014 p – c = 6.841

A III = √

= 1001.480 m2


30

Calculo de la superficie total del polígono.

S I = 1273.040 m2

S II = 1732.211 m2

S III = 1001.480 m2

S TOTAL = 4 006.731 m2

EJERCICIOS 11: Resuelve y grafica en tu cuaderno.

1) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos. a) A(3,-4), B(5,2) y C(-7,-3)

b) A(4,9), B(-2,1) y C(-5,3)

2) Hallar el área del polígono si las coordenadas de sus vértices son:

a) A (-8,2), B (-1,5), C (7,-1) y D (-2,-6).

b) A(-3,-2), B(-7,1), C(-2,8), D(1,5) y E(6,3)

3. ¿Para qué valores de ordenada (y) tendrá el siguiente triángulo de vértice A (-3, 4), B (6, 1) y C (4, y) un área

de 25 unidades cuadradas?


31


32

1.6 Elementos del Sistema de Coordenadas Polares

Hay varios tipos de sistemas coordenados. El sistema cartesiano o rectangular, con el cual se ha trabajado, es

quizás el más importante. En este sistema se localiza un punto mediante sus distancias a dos rectas

perpendiculares. En este capítulo se presentará un sistema coordenado en el cual las coordenadas de un

punto en un plano son su distancia a un punto fijo y su ángulo de dirección a partir de una recta fija. Las

coordenadas dadas de este modo se llaman coordenadas polares.

La selección adecuada de un sistema de coordenadas depende de la naturaleza del problema que se tenga. En

algunos casos puede ser satisfactorio cualquiera de los sistemas, el rectangular o el polar; sin embargo, suele

suceder que uno de los dos es preferible sobre el otro, y en algunas situaciones es conveniente usar ambos,

cambiando de uno a otro.

Elementos que integran al sistema de coordenadas polares

Un Eje Polar de referencia que consiste en una semirrecta trazada a partir de algún punto en el plano. En la figura la semirrecta se representa con OA.

El punto O se llama origen o polo y OA Eje Polar. La posición de cualquier punto P en el plano queda bien determinada por la distancia OP y el ángulo AOP.

El segmento OP, designado con r, se conoce como radio vector; el ángulo AOP, indicado como θ, se llama ángulo vectorial.

Las coordenadas de un punto P se escriben, entonces, como P(r, θ)

El punto P queda localizado entonces por una distancia (r) y un ángulo (θ) Se acostumbra considerar a las coordenadas polares como cantidades con signo. El ángulo vectorial, como en trigonometría, se define como positivo o negativo. Positivo si se mide en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj o negativo si se mide en el sentido de las manecillas del reloj.

Los ángulos empleados en coordenadas polares suelen darse en radianes, aunque también pueden darse en grados, para hacer la conversión entre grados y radianes hay que recordar las siguientes igualdades:

2


33

Gráfica de un punto en coordenadas polares Un punto P(r, θ) en coordenadas polares se grafica a r unidades del polo sobre un rayo que se llama lado terminal conocido también como radio vector que forma el ángulo θ. El ángulo de un punto cuyas coordenadas son polares, se considera positivo si es en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo si es en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

La representación gráfica de un par de coordenadas polares, no son únicas, es decir, hay otros valores coordenados que definen este mismo punto. Como verás a continuación:


34

Hay puntos cuya coordenada r se extienden en sentido opuesto al lado terminal del ángulo, que se denota como –r, entonces las coordenadas del punto tendrán la forma P(–r, θ), cabe mencionar que esto no significa que r sea negativa, sólo se designa de este modo a la distancia del lado terminal en esta dirección, es decir indica el sentido.

Conversión de un punto en coordenadas polares

I. Sea el punto (r, u), entonces su equivalente es (– r, u + π )

II. Sea el punto (– r, u), entonces su equivalente es (r, u – π )

Ejemplos.-

1.- Determina un punto equivalente a (– 2, 45°), cuyo radio vector sea positivo. Solución: Se aplican las equivalencias,

(– 2, 45°) = (2, 45° – 180°) = (2, – 135°) = (2, 225°)

2.- Encuentra un punto equivalente a (3, 215°), cuyo radio vector sea negativo.

Solución: Se aplican las equivalencias,

(3, 215°) = (– 3, 215° + 180°) = (– 3, 395°) = (– 3, 35°)

3.- Calcula un punto equivalente a (–5, – 60°), cuyo radio vector sea positivo. Solución: Se aplican las equivalencias,

(– 5, – 60°) = (5, – 60° – 180°) = (5, – 240°) = (5, 120°)


35

1.7 Transformación Entre Las Coordenadas Rectangulares Y Polares

Las coordenadas polares representan a los puntos del plano en función de su distancia al origen y su ángulo de inclinación medido respecto a la horizontal.

P(r, θ) Donde r: distancia del punto al origen.

θ: Ángulo de inclinación.

Las coordenadas rectangulares (x, y) y las polares (r, θ) de un punto P se relacionan como sigue:

Transformación de un punto de coordenadas polares a rectangulares

Ejemplo 1.- Determina las coordenadas rectangulares del punto P(6, 150°).

Solución: Las coordenadas polares del punto P son: r = 6 y θ = 150° Se sustituyen los valores de r y θ:


36

Transformación de un punto de coordenadas rectangulares a polares

Ejemplo 1.- Transforma a coordenadas polares el punto A(– 4, – 7).

Solución: Las coordenadas rectangulares del punto A son: x = – 4; y = – 7

Los valores se sustituyen en las fórmulas que determinan la longitud del radio vector y el argumento.


37

EJERCICIOS 12.- Resuelve y gráfica en tu cuaderno.

1. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos.

a) 15° b) 30° c) 45° d) 45° e) 90° f) 75° g) 120° h) 135° i) 225° j) 330°

2. Localiza los puntos dados en un sistema de coordenadas polares.

a) b) c) 9 d) e)

3. Transforma las coordenadas rectangulares dadas, a coordenadas polares.

a) F(3, -5) b) G(3, 4) c) H(-5, 6) d) I(-2, 4) e) J(4, 7) f) K(4, 4)

4. Transforma las coordenadas polares dadas a coordenadas rectangulares.

a) b) c) d) e)


38


39

LUGARES GEOMÉTRICOS Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son: 1) Dada la ecuación un lugar geométrico poder realizar su gráfica (discusión de un lugar geométrico).

2) Dado un lugar geométrico poder representarlo por medio de una ecuación.

Lugar Geométrico. Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo. En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...), mientras que en otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos. Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia, una recta paralela a otra,... También las curvas cónicas se pueden considerar como lugares geométricos. Así una elipse es el lugar geométrico de la suma de las distancias de un punto a dos dados (los focos) que es constante. Ecuación de un lugar geométrico: Es la ecuación que expresa matemáticamente a todos los puntos del lugar geométrico y solamente a ellos. Gráfica de un lugar geométrico: Es la representación geométrica del conjunto de puntos que forman el lugar geométrico.

Primer problema (discusión de un lugar geométrico) Dada la ecuación de un lugar geométrico se determinan las intersecciones y su simetría con los ejes, la extensión, sus asíntotas y, por último, la gráfica. Intersecciones con los ejes

a) Con el eje X se sustituye y = 0 y se resuelve la ecuación para x. b) Con el eje Y se sustituye x = 0 y se resuelve la ecuación para y.


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Simetría con los ejes y el origen

a) Simetría respecto al eje X.

Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por – y, entonces la curva es simétrica respecto al eje X.

b) Simetría respecto al eje Y.

Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por – x, entonces la curva es simétrica respecto al eje Y.

c) Simetría respecto al origen.

Si la ecuación de la curva no se altera al sustituir x por – x y y por – y, entonces la curva es simétrica respecto al origen.

Extensión de la curva. Determina los intervalos de variación para los cuales x y y están definidas. Asíntotas. Son las rectas tales que si un punto se aleja del origen, la distancia de este punto a dicha recta va decreciendo, de tal forma que tiende a cero. Se dice también que son las rectas que se aproximan a la gráfica de una ecuación sin llegar a tocarla. Gráfica Conjunto de puntos del plano que satisfacen las condiciones establecidas por una ecuación. Lugares Geométricos elementales. A continuación se mencionan los lugares geométricos esenciales: La recta y las cónicas. Recta: Geométricamente se define como una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección. Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables y gráficamente se define como el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2) del lugar geométrico, el valor de la pendiente m es siempre constante. Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que se mueven de tal manera que siempre se encuentran a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro) en el plano. Parábola: Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que se mueven de tal manera que siempre equidistan (que están a la misma distancia) de un punto fijo (foco) en el plano que de una recta llamada directriz, y dicha distancia debe medirse perpendicularmente. Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que se mueven de tal manera que la suma de las distancias a dos puntos fijos en el plano es siempre igual a una constante, 2ª. (Esta constante es la distancia que hay entre los vértices). Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que se mueven de tal manera que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos en el plano es siempre igual a una constante, 2a. (Esta constante es la distancia que hay entre los vértices).


41

Ejemplo 1.-Construye la curva, cuya ecuación es 4x2+ 9y2 – 36 = 0.

Solución:

Intersección con los ejes coordenados

a) Se sustituye y = 0 y se despeja x:


42


43

Ejemplo 2.- Halla la ecuación de la recta que está situada 3 unidades a la derecha del eje Y.

Solución:

Las ecuaciones de los ejes son, para el eje x 0y , y para el eje y 0x , esto es porque cada uno de los ejes

toca el origen, es decir en el punto (0, 0), las rectas horizontales y verticales siempre se representan con una sola variable. Entonces si queremos una recta a la derecha y a 3 unidades del eje y solo le sumamos a la ecuación del eje y

3

30

x

x

Pero como las ecuaciones deben representarse como una igualdad a cero, entonces despejamos 3 al primer miembro de la igualdad.

03 x

Gráfica del lugar geométrico. No necesitamos tabular ya que el valor de x es constante para cualquier valor de y

Ejemplo 3.-

Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) que se mueven de tal manera que siempre equidistan del punto Q(3, –1) y de R(1, 2)

Solución:

Usamos la fórmula de la distancia entre dos puntos, para encontrar la distancia del punto P(x, y) tanto a M como a P, e igualamos ambas distancias. La distancia de P a Q y la de P a R las podemos determinar en función de sus coordenadas.

x

y

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3


44

2

12

2

1221 )()( yyxxPP

PRPQ

2222 )2()1()1()3( yxyx

Elevamos al cuadrado ambas partes de la igualdad para eliminar los radicales:

222222 ))2()1(())1()3(( yxyx

Desarrollamos los binomios al cuadrado:

44121296 222 yyxxyyxx y

Agrupando en un lado de la igualdad y reduciendo términos semejantes:

044121296 222 yyxxyyxx y

0564 yx

Multiplicando por 1 toda la ecuación para presentar a x positiva.

0564 yx

Como podemos observar es una ecuación de primer grado por lo cual se trata de una recta (mediatriz del segmento QR). Para elaborar la gráfica, despejamos Y para ponerla en términos de X y tabulamos proponiendo valores de X.


45


1. Halla la ecuación de la recta que está situada 5 unidades por debajo del eje x

2. Halla la ecuación de la recta que es paralela al eje “ y ” y a 7 unidades del punto P (–2 , 2)

3. Halla la ecuación de la recta que pase por el punto (3, –1) y sea paralela a la recta 03 y

4. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que está siempre 5

unidades arriba del eje de las x .

5. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que está a la misma distancia

del punto L ( -2 , -3 ) que del punto K ( 3 , 1 ).

6. Encuentra la ecuación del lugar geométrico del punto que se mueve de tal manera que pasa por el punto

medio y es perpendicular al segmento A ( 2 , 3 ), B ( 6 , 1 ).

Segundo problema (dadas las condiciones del lugar geométrico, encontrar su ecuación)

Para determinar la ecuación de un lugar geométrico se necesitan las condiciones que deben cumplir los puntos que lo forman o la figura misma. Analicemos a través de los siguientes ejemplos:


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Ejemplo1.- Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos en el plano, cuya distancia al punto (3, 2) es siempre igual a 5.

Solución: La distancia de los puntos (x, y) del plano al punto (3, 2) es 5, al aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos:

Ejemplo 2: Determina la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que se conserva siempre equidistante de los puntos A (1, – 2) y B (5, 4).

Solución: La condición es que la distancia del punto P(x, y) a los puntos A y B sea la misma, es decir:


47

Ejemplo 3: Determina la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de las distancias a los puntos A(2, 3) y B(6, 7), es igual a 100.

Solución: Sea P(x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico, la condición que se da es:

EJERCICIOS 14.- Resuelve en tu cuaderno.

1. Determina la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve, de tal manera que la diferencia de la ordenada con la abscisa es siempre igual a 2.

2. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve, de tal manera que el producto de la abscisa y la ordenada sea igual a la unidad.

3. Determina la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve, de tal manera que su ordenada es igual a la mitad de su abscisa.

4. Determina la ecuación del lugar geométrico del punto que equidista del origen, cinco unidades.

5. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A(– 3, 4) y B( 4, 1).

6. Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a cinco unidades del punto (4, – 3).


48

2. LA RECTA

2.1 Propiedades Pendiente y Ángulo de Inclinación

En el sistema coordenado cartesiano la inclinación de una recta es una de sus características. Esta puede medirse directamente a través de su ángulo de inclinación, y aun mejor, a través de su pendiente. Ángulo de inclinación de una recta: Es el ángulo θ que forma una recta medido desde el eje X en sentido contrario a como giran las manecillas de un reloj, varia de 0° a 180°, esto es: Pendiente de una recta: Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta, se designa por la literal

Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación y este ángulo

() puede tomar cualquier valor entre 0° 180°; Los siguientes criterios facilitan la compresión del

comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares:

a. m es un número positivo, si 0° 90°

b. m = 0 (recta horizontal), si = 0°

c. m es un número negativo, si 90° 180°

d. m = no definida (recta vertical), si = 90°

; Siendo x1 x2

θ

θ

m


49

En las siguientes figuras se representan los cuatro casos:


50

Ejemplo.- Determina la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos )3,1( A y

)1,7(B .

Sentido del ángulo de inclinación

Θ= -26°33’54”

𝜃 𝑇𝑎𝑛− (

) ′ "

Para la aplicación de la formula hacemos

𝑃 𝐴 ; 𝑃 𝐵 ; así qué: , ,

y , sustituyendo en la fórmula

Tenemos:

Debemos recordar que es indistinto el orden que demos a los puntos de la fórmula ya que también:

Finalmente la respuesta es la misma.

Y el ángulo de inclinación θ, lo determinamos de

la igualdad:

Por tanto el ángulo es igual a la función inversa

de la tangente (2ª función con la calculadora):

𝜃 𝑇𝑎𝑛− 𝑚

X

Obsérvese que el ángulo es negativo por el signo de la pendiente. Al aumentar los valores de X, se desciende. También resulta que el ángulo resultante esta medido en sentido de las manecillas del reloj.


51

EJERCICIOS 15:

b) c) a)

d) e) f)

h) g) i)

Ejercicios

1. Por simple inspección, determina la pendiente de cada recta. Calcula el ángulo de inclinación correspondiente:

m= α= m= α= m= α=

m= α= m= α= m= α=

m= α= m= α= m= α=


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EJERCICIOS 16.- Resuelve y grafica en tu cuaderno.

1. Determina la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A (- 6, - 4) y

B (8, 3).

2. Una recta de pendiente (-2) pasa por el punto A (5, - 2); la abscisa (coordenada x) del otro punto de la recta es

(1); calcula su ordenada (y).

3. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A (12, - 5) y B (2, 1).

4. Traza la recta que pasa por el punto A (- 3, - 2) y que tiene una pendiente igual a (4/5).

5. Una recta de pendiente (-2) pasa por el punto A (5, - 2); la abscisa de otro punto de la recta es (1); hallar su

ordenada.

Ejemplo.- Demuestra mediante la pendiente que los puntos )1,4(L , )2,5( M y )5,6( N son colíneales.

Si los puntos son colíneales las pendientes resultantes deben ser iguales, es decir que la

pendiente de debe ser igual a la

pendiente de .

Formula:

Como las pendientes son iguales:

queda demostrado que los puntos son colíneales.


53

EJERCICIOS 17.- Resuelve y gráfica. Demuestra por medio de las pendientes que los siguientes puntos son colíneales.

1.- A (-2, 3), B (2/3, 1) y C (6, -3)

2.- K (-4, 7), L (2, 2) y M (5, -1/2)

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

1. Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Dos rectas, 1l y 2l , son paralelas sólo si sus

inclinaciones son idénticas; si las pendientes de las rectas son 1m y 2m , la condición de paralelismo establece

que 1m = 2m

Como 1l y 2l son paralelas, sus inclinaciones 1 y 2 son iguales, es decir, 1 = 2 y en consecuencia

tan 1 = tan 2 , por lo tanto 1m = 2m .

2. Rectas perpendiculares: Cuando dos rectas son perpendiculares, el ángulo que se forma entre ellas es de 90°;

es decir, dos rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus pendientes es igual a – 1, tenemos:

121 mm

Esta igualdad da lugar a lo siguiente: Dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta.

2

1

1

mm y/o

1

2

1

mm


54

Toda recta perpendicular al eje X no tiene pendiente, es decir, la pendiente de una recta vertical paralela al eje Y no existe.

Dos rectas paralelas respectivamente a los ejes X y Y , son en consecuencia, perpendiculares, se hace notar que la pendiente de la recta paralela al eje X es cero, puesto que tan 0° = tan 180° = 0; en tanto que la

pendiente de la otra recta vertical, paralela al eje Y es indefinida, puesto que tan 90° = .

Ejemplo.- Demuestra que los puntos )4,3(A , )1,2( B y )1,4(C son los vértices de un triángulo rectángulo.

En este ejercicio se cumple la condición que dos rectas perpendiculares, tienen pendientes recíprocas y de signo contrario, y su producto es -1.

Formula de la pendiente

Observamos que las pendientes son reciprocas y de signo contrario.

, es decir es la recíproca y de signo

contrario de

En consecuencia al aplicar la condición 𝑚 𝑚

Las rectas son perpendiculares.


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EJERCICIOS 18.- Demuestra aplicando la condición de perpendicularidad, que los puntos de coordenadas dados, son los vértices de un triángulo rectángulo.

1.- A (-5 , 3 ), B (-1 , -2 ), C (-1 , 3 )

2.- A ( 1 , -1 ), B ( 4 , -5 ), C ( 4 , -1 )

Ángulo que se forma entre dos rectas que se intersecan.

Ángulo entre dos rectas. Es el ángulo formado entre dos rectas que se intersectan en un punto.

Sean L1 y L2 dos rectas que tienen pendientes m1 y m2, respectivamente; si es el ángulo entre las rectas, se establece que:

−

Por lo que el valor del ángulo es:

− (

)

A esta fórmula se le conoce como fórmula de la tangente del ángulo comprendido entre dos rectas que se intersecan en función de sus pendientes. NOTA: Es interesante observar que si el numerador m2 - m1 = 0 entonces m2 = m1 la recta L1 es paralela a L2 y si el denominador 1+ m1m2 = 0 entonces m1m2 = -1, significa que la recta L1 es perpendicular a la recta L2. También es interesante observar que si en el numerador tomamos m1 - m2 en lugar de m2 - m1, entonces obtenemos el ángulo suplementario ′.

′

L2

L1

X

Y

0


56

EJERCICIOS 19.- Determina las medidas de los ángulos interiores de los triángulos cuyas coordenadas de los vértices se indican:

1.- A ( 2 , 5 ), B ( 8 , -1 ), C ( -2 , 1 )

2.- A ( -6 , 4 ), B ( -5 , -3 ), C ( -1 , -1 )

EJERCICIOS 20.- Resuelve y grafica en tu cuaderno.

1. Dadas las siguientes rectas que pasa por los puntos A y B, Así como definidas por los puntos M y N; determina si son paralelas o perpendiculares entre sí:

a) A (4, 1), B (-2, 5) y M (3, 7), N(-1,1)

b) A(-7, 1), B (1, -6) y M (-4, -6), N(3, 2)

c) A (2, 2), B (9, 9) y M (6, 5), N (5, 6)

2. Halla los ángulos interiores del triángulo de vértices )2,4(E , )1,0(F y )1,6( G .

3. Una recta pasa por los dos puntos )3,2( , )1,4( . Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál

es su ordenada?.

4. Traza la siguiente recta que pasa por el punto R (2, -7) y cuya pendiente es (-4).

5. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º, la recta final tiene una pendiente de 3 , calcula la pendiente de la recta inicial.

6. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos A (3, -6), B (11, -5), C (9, 2) y D (1, 1) son vértices

de un paralelogramo.

7. Determina la pendiente de una recta que forma un ángulo de 45º con la recta que pasa por los puntos de coordenadas )1,2( D y )3,5(F .

8. El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos )5,4(A y ),3( yB con la que pasa por )4,2(L

y )1,9(M es de 135º. Halla el valor de y.

9. Demuestra que los puntos )4,2(A , )3,7(B , )2,6( C y )1,1( D son vértices de un cuadrado y que sus

diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales

10. Demuestra que el punto A (-5, 3) está sobre la mediatriz del segmento cuyos extremos son P (2, 5) y Q (-3, -4).


57

2.2 Formas De La Ecuación De La Recta La línea recta es el lugar geométrico de los puntos del plano, de los cuales al tomar dos cualesquiera, el valor de la pendiente m siempre es constante. Dependiendo de la información disponible según sea el caso, existen diferentes formas para expresar a una recta.

Forma Punto Pendiente Para determinar la ecuación de una recta en función de las condiciones dadas, se emplean las siguientes ecuaciones, según corresponda: Por geometría, la recta se determina perfectamente cuando se conoce uno de sus puntos y su dirección. Analíticamente la ecuación de la recta se determina perfectamente cuando se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación o pendiente. Teorema: La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y tiene la pendiente dada m, es:

Demostración:

Sean P(x, y) un punto cualquiera y P1(x1, y1) el punto de coordenadas dado, de una recta.

Gráficamente, se tiene:

La pendiente de la recta PP1 es:

1

1

xx

yym

Al despejar el denominador y ordenar, resulta: y – y1 = m (x - x1)

y – y1 = m (x- x1)


58

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,-4) y tiene una pendiente de (- 1/3).

Solución:

Ecuación punto-pendiente. )( 11 xxmyy

Sustituyendo valores. )2(

3

14 xy

Despejando 3 que multiplica al primer miembro

2123 xy

Ordenando los términos de la ecuación. 02123 yx

Reduciendo términos. 0103 yx

Ecuación de la recta. 0103 yx

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-5,2) y tiene un ángulo de inclinación de

3/4. Solución:

Conversión de radianes a grados. 3/4 = 135°

Pendiente = m. m = tan θ

Sustituyendo valores. m = tan 135°

Determinando el valor de la pendiente. m = - 1.

Ecuación punto pendiente. )( 11 xxmyy

Sustituyendo valores. )5(12 1 xy

Suprimiendo paréntesis. 52 xy





59

EJERCICIOS 21: Resuelve y gráfica en tu cuaderno. Deduce la ecuación de la recta para cada uno de los siguientes problemas.

1) Pasa por (2,-4), m = 2

2) Pasa por (5,3), m = - 4

3) Pasa por (2,2), m = - 3/4

4) Pasa por (-4,6), m = 2/3

5) Pasa por A(7, 4) y

6) Pasa por P(2, - 7) y θ = 135°

Forma Pendiente-Ordenada En El Origen De Una Recta

Al aplicar la ecuación punto y pendiente para una recta cuya pendiente dada es m y pasa por el punto

dado (0, b), tenemos que:

A esta forma de la ecuación de la recta, también se le denomina común. Una recta paralela al eje y no tiene

ordenada en el origen; por lo anterior la ecuación obtenida no se aplica; en este caso, su ecuación es: x = a.

Teorema: La ecuación de la recta cuya pendiente es m y tiene su ordenada en el origen (b), es:

y = mx + b

Forma punto - pendiente

y - y1 = m(x - x1)

Haciendo que el punto de coordenadas

conocidas sea 𝑃 𝑏 y el punto cualquiera

de coordenadas sea 𝑃 𝑥 𝑦 , sustituyendo:

y – b = m(x - 0)

y – b = mx

y = mx + b


60

Ejemplo.- Determina la ecuación de la recta que tiene pendiente

y su intersección con el eje y

es (3).

Ecuación de la recta. bmxy

Sustituyendo valores. 3

7

2 xy

Despejando el denominador 7. 2127 xy


Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente y su intersección con el eje y es

(-5/2).

Ecuación de la recta. bmxy

Sustituyendo valores.

2

52 xy

Multiplicando por 2 para reducir el

denominador 2.

542 xy


Multiplicando por – 1 a toda la ecuación. 0524 yx


Deduce la ecuación de la recta que tiene la pendiente dada y su intersección con el eje y según se indica para cada caso.

1) m = - 3/5, intersección con el eje y (- 3)

2) m = 4, intersección con el eje y (6/5)

3) m = - 5, intersección con el eje y (2)

4) m = 1/6, intersección con el eje y (- 8/3)


61

EJERCICIOS 23.- Deduce por simple inspección la ecuación de cada recta en su forma pendiente-ordenada al origen.


62

Ecuación De La Recta Forma Dos Puntos

Por geometría, una recta queda perfectamente determinada por dos de sus puntos; analíticamente, la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada cuando se conocen las coordenadas de dos de sus puntos.

Teorema: La ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2), es:

1

21

211 xx

xx

yyyy

Demostración:

Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos cualesquiera de una recta, cuya pendiente es:

12

12

xx

yym

, con (x1 x2)

Al sustituir el valor de la pendiente m en la ecuación punto y pendiente de la recta, resulta:

y - y1 = m (x- x1)

1

21

211 xx

xx

yyyy

Si x1 = x2, la ecuación anterior no se puede aplicar; en este

caso, la recta es paralela al eje y, su ecuación es: x = a.

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-3,-1) y B (5,2).

Ecuación de la recta.

1

21

211 xx

xx

yyyy

Sustituir valores. 3

53

211

xy

Resolviendo. 3

8

31

xy

Suprimiendo denominador. 9388 xy


63

Ordenando términos de la ecuación. 09883 yx


Multiplicando por – 1 a toda la ecuación. 0183 yx

EJERCICIOS 24.- Resuelve y gráfica en tu cuaderno. Determina la ecuación de la recta cuando pasa por dos puntos, en cada uno de los incisos. 1) Pasa por (1,4) y (3,5) 2) Pasa por ( 2/3, 4) y B(- 1/5, 1/3) 3) Pasa por (2,-1) y (4,4) 4) Pasa por A(1/4, - 2/5) y B( - 1/2, 4/7) 5) Pasa por Q(-2,5) y R(4,-3)

Ecuación Simétrica o Canónica De La Recta

Sea una recta que intersecta a los ejes coordenados x y y en los puntos A(a,0) B(0,b), respectivamente:

Al determinar la pendiente de la recta dada, tenemos:

12

12

xx

yym

Sustituyendo valores

0

0

a

bm reduciendo

a

bm

Al sustituir los datos en la ecuación punto-pendiente de la recta, resulta:

y – y1 = m(x – x1) Sustituyendo y – 0 = a

b ( x – a ) Reduciendo ay = -bx + ab

Ordenando bx + ay = ab


64

Al dividir la ecuación por ab

ab

ab

ab

ay

ab

bx

A esta ecuación también se le llama reducida o de abscisa y ordenada en el origen.

NOTA:

Si a=0, entonces también b=0 y la ecuación de la forma simétrica no se puede aplicar, en este caso, se conoce un punto (origen del sistema coordenado) por lo que no es suficiente para determinar una recta.

Ejemplo.- Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son (-6) y (-2), respectivamente. Hallar su ecuación. Ecuación canónica.

1b

y

a

x

Datos: a = -6 y b = - 2.

Sustitución. 1

26

yx

Multiplicando por – 6 a la fracción. )6(1

2

)6(

6

)6(

yx

Resolviendo. 63 yx


Ecuación de la recta en su forma general. 063 yx

EJERCICIOS 25.- Hallar para cada caso la ecuación de la recta en su forma canónica, si los segmentos que determina sobre los ejes x y y , es decir, sus intercepciones a continuación se presentan

respectivamente; transfórmala también en su forma común.

1) -5 y -2

2) 3 y 1

3) 5/2 y 11/4

4) 7 y - 5

Teorema: La ecuación de la recta que

intercepta los ejes coordenados x y y en los puntos (a,0) y (0,b), respectivamente es:

; Con a 0 y b 0


65

Ejemplo.- Transforma la ecuación de la recta 04937 yx a la forma simétrica (común) para

encontrar el valor de la abscisa al origen ( a ) y el de la ordenada al origen ( b ), así como el valor de la pendiente ( m ).

Ecuación general. 04937 yx

Despejando el termino independiente 49y3x7

Dividiendo la ecuación entre el término

independiente 49

49

49

3

49

7

yx

Simplificando la división. 1

3

497 1

3

49

7

49

yxyx

Los valores de las coordenadas al origen son: 7a

3

49b

Y la pendiente ( m) es:

3

7

3

7

21

49

7

3

49

ma

bm

EJERCICIOS 26.- Encuentra la pendiente y las intersecciones con los ejes coordenados, de cada una de las siguientes rectas:

1) 2x +3y – 6 = 0

2) 7x – 3y = 0

3) 2x – 1 = 0

4) 3y + 4 = 0


66

Forma General De La Ecuación De La Recta

La ecuación lineal en dos variables x y y de la forma:

Se denomina forma general de la ecuación de la recta, en donde los coeficientes A, B y C son número reales cualesquiera, con la condición de que A o B debe ser diferente de cero.

Para saber si la ecuación Ax + By + C representa siempre una línea recta, es necesario analizar su comportamiento para cuando el coeficiente de y es igual o diferente de cero.

1. Caso : Si B=0, entonces A0, por lo que la ecuación Ax + BY + C = 0, se reduce a: Ax + By + C=0

Ax + 0y + C=0

Ax + C = 0

Esta forma corresponde a la ecuación de una recta paralela al eje Y; es decir:

Ax + C = 0

Ax = -C

Cuando x es la abscisa en el punto de intersección con el eje X se dice que x = a

abscisa en el origen

2. Caso: Si A = 0, y B 0, por lo que la ecuación Ax+By+C=0 resulta:

Ax + By + C=0

0x + By + C = 0

By + C = 0

Esta forma corresponde a la ecuación de una recta paralela al eje x ; es decir:

By + C = 0

By = -C

Cuando y es la ordenada en el punto de intersección con el eje y se dice que y = b

Ordenada en el origen


67

Para encontrar la pendiente de la recta Ax +By + C = 0, se utilizan los coeficientes como se indica en la fórmula.

Pendiente de la recta.

Ejemplo.- Hallar las puntos de intersección con los ejes coordenados (a y b) así como la pendiente ( m ) de la ecuación 2x +3y – 12 = 0


Valor de los coeficientes. A = 2, B = 3 y C = -12

Sustituyendo en la formula A

Ca

6 a 6

2

12

2

)12(

A

Ca

Sustituyendo en la formula B

Cb

4 b 4

3

12

3

)12(

B

Cb

Sustituyendo en la formula B

Am

3

2 m

3

2

3

)2(

B

Am

EJERCICIOS 27.- Hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados (a) y (b) así como la pendiente ( m ) de las siguientes ecuaciones.

1) 2x +3y – 6 = 0 2) 2x +3y + 6 = 0 3) 7x – 3y = 0 4) 2x – 1 = 0 5) 3y + 4 = 0

Ahora se muestran algunos ejemplos en donde la ecuación general de la recta se transforma a las formas: pendiente – ordenada al origen (común) y a su forma simétrica (canónica)


68

Ejemplo 1.- Transforma la ecuación de la recta 0113 yx a la forma pendiente – ordenada al

origen (común) y a su forma simétrica (canónica)


Buscando su forma común. bmxy

Se despeja y . 113 xy

Se divide la ecuación en - 3.

3

11

33

3

xy.

Resolviendo.

3

11

3

1 xy .

Ecuación en su forma pendiente – ordenada

al origen (común). 3

11

3

1 xy

Buscando su forma canónica. 1

b

y

a

x


Pasando el término numérico al 2do miembro. 113 yx

Dividiendo a la ecuación en – 11.

11

11

11

3

11

yx

Resolviendo. 1

11

3

11

yx

Ecuación en su forma simétrica (canónica). 1

31111

yx


69

Ejemplo 2.- Transforma la ecuación de la recta 0196 yx a la forma pendiente – ordenada al origen

(común) y a su forma simétrica (canónica)





6

19

66

6

xy

Resolviendo.

6

19

6

1 xy .

Ecuación en su forma pendiente- ordenada al

origen (común). 3

11

3

1 xy


b

y

a

x




19

19

19

6

19

yx

Resolviendo. 1

19

6

19

yx

Ecuación en su forma simétrica (canónica). 1

61919

yx


70

Ejemplo 3.- Una recta pasa por los puntos P(-1,3) y Q(5,4); escribir su ecuación a la forma general, común y simétrica.

Ecuación punto-pendiente. )( 11 xxmyy

La m de PQ .

6

1m

Se toma el punto P o Q para sustituirlo en la

ecuación. )5(

6

14 xy

Suprimiendo el denominador 5246 xy







6

19

66

6

xy

Resolviendo.

6

19

6

1 xy .

Ecuación en su forma común.

3

11

3

1 xy


b

y

a

x




19

19

19

6

19

yx

Resolviendo. 1

19

6

19

yx

Ecuación en su forma canónica. 1

61919

yx


71

Ejemplo 4.-Una recta que pasa por el punto A ( 7 , 8 ) y es paralela a la recta formada por los puntos P (- 2 , 2 ) y Q ( 3 , - 4 ); hallar su ecuación.

Condición de paralelismo.

21 mm

Calcular la m de P y Q.

12

12

xx

yym

Sustituir valores.

23

24

m

Resolviendo.

5

6m

Ecuación punto – pendiente. )( 11 xxmyy

Sustituir valores. )7(

5

68

xy

Suprimir denominadores. 426405 xy




Ejemplo 5.- Encuentra la ecuación de la recta que pase a través del punto 3,2P y es paralela a la

recta que pasa por los puntos 2,16,1 ByA .

Datos: Sabemos que esta recta.

1. Pasa por el punto 3,2P

2. Es paralela a la recta que pasa por los puntos 2,16,1 ByA

Conclusión: Antes de usar una determinada forma de las ecuaciones de la recta, deberá obtenerse la

pendiente m del segmento de recta AB .

12

12

xx

yym

AB

Una vez obtenida la m pendiente AB que es igual a la de la recta que pasa por el punto 3,2P se

selecciona la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente.

Forma punto-pendiente............... )( 11 xxmyy


72

Solución:

Sustituimos las coordenadas de los puntos del AB en: 12

12

xx

yym

Sustituimos en: )( 11 xxmyy

)2(23 xy

Se realizan las operaciones.

223 xy

423 xy

Se iguala a cero la ecuación.

0342 yx

Se reducen términos semejantes. 012 yx

Y obtenemos la ecuación de la recta en su forma general.

Ejemplo 6.- Encuentra la ecuación de la recta que pase a través del punto 3,2P y es perpendicular

a la recta que pasa por los puntos 2,16,1 ByA .

Datos: Sabemos que esta recta.

1. Pasa por el punto 3,2P

2. Es perpendicular a la recta que pasa por los puntos 2,16,1 ByA

Antes de usar una determinada forma de las ecuaciones de la recta, deberá obtenerse la pendiente m

del segmento de recta AB .

12

12

xx

yym

AB

Una vez obtenida la m pendiente AB que es recíproca y de signo contrario a la de la recta que pasa

por el punto 3,2P se selecciona la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente.

Forma punto-pendiente............... )( 11 xxmyy

Solución:

1. Sustituimos las coordenadas de los puntos del AB en: 12

12

xx

yym

; 2

1

22

4

11

62

m

22

4

11

62

ABm


73

Ecuación punto pendiente. )( 11 xxmyy

Sustituir los valores en la ecuación. )2(

2

13 xy

Suprimir denominador. 262 xy

Ordenando la ecuación. 0262 yx


Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es (-7/3) y que pasa por el punto de intersección de las rectas 13x – y – 45 = 0 y 11x – 5y – 9 = 0; escribirla en la forma general y común. Ecuación punto-pendiente. )( 11 xxmyy

Resolver el sistema de ecuaciones simultaneas

por alguno de los 3 métodos (igualación,

sustitución o suma y resta)

13x – y – 45 = 0

11x – 5y – 9 = 0

Punto de intersección P ( 4 , 7 )

Sustituyendo valores de la pendiente y punto

de intersección )4(

3

77 xy

Suprimiendo el denominador 287213 xy







3

49

3

7

3

3

xy.

Resolviendo.

3

49

3

7 xy Ecuación en su forma común


74

Rectas Notables Del Triángulo.

A continuación se describen las rectas y puntos notables de los triángulos.

Ejemplo.- Dado el triángulo J ( -2 , 3 ), K ( 6 , 5 ), L ( 4 , 7), encontrar:

a) La ecuación de la mediana del lado JK

b) La ecuación de la altura, considerando como base el lado

JK

c) La ecuación de la mediatriz del lado KL

d) La ecuación del lado LJ

Solución:

a) Recuérdese que la mediana es la recta que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Entonces se determinan las coordenadas del punto medio del lado JK:

xm = 2

62 =

2

4 = 2

L

J

K


75

ym = 2

53 =

2

8 = 4

Pmjk ( 2 , 4)

En seguida se calcula la pendiente de la mediana pues ya sabemos que pasa por

Pmjk ( 2 , 4 ) y por L ( 4 , 7 ):

m = 24

47

=

2

3

Con este valor de m y usando cualquiera de los puntos, por ejemplo L, queda:

y – 7 = 2

3 ( x – 4)

2y – 14 = 3x –12

3x – 2y +2 = 0 ecuación de la mediana del lado JK .

b) La altura es perpendicular a la base y pasa por el vértice opuesto. Así, tenemos que encontrar la ecuación de la recta por el punto L ( 4 , 7 ) y es perpendicular a la recta JK. Entonces se calcula la pendiente de JK:

mJK = 26

35

=

8

2 =

4

1

La pendiente de la altura es recíproca y de signo contrario:

Maltura = - 4

Con este valor de m y usando el punto L, queda:

y – 7 = - 4 (x – 4 )

y – 7 = -4x + 16

4x + y – 23 = 0 ecuación de la altura

c) Para encontrar la ecuación de la mediatriz de KL se determina el punto medio:

xm = 2

46 =

2

10 = 5

ym = 2

75 =

2

12 = 6

Pm ( 5 , 6 )


76

Se calcula la pendiente de KL:

MKL = 64

57

=

2

2

= -1

La pendiente de la mediatriz es recíproca y de signo contrario: m = 1

Con este valor de m y usando el punto medio Pm, queda:

y – 6 = 1 ( x – 5 )

y – 6 = x – 5

x – y + 1 = 0 ecuación de la mediatriz

d) Para encontrar la ecuación del lado LJ se calcula su pendiente:

MLJ = 24

37

=

6

4 =

3

2

Y utilizando cualquier punto L o J, por ejemplo con el punto L (4 , 7 ), la ecuación es:

y – 7 = 3

2 ( x – 4)

3y – 21 = 2x – 8

2x – 3y + 13 = 0 ecuación del lado LJ


77

EJERCICIOS 28.- Dados los siguientes triángulos resuelve lo que se pide.

1.- Determina la ecuación de cada mediana del triángulo cuyas coordenadas son:

A (-2, -3), B (5, 1) y C (0, 4) y encuentra las coordenadas del baricentro.

(Baricentro es el punto de intersección de las rectas medianas de los lados de un triángulo).

2.- Determina la ecuación de cada la altura del triángulo cuyas coordenadas son:

A (-2, -3), B (5, 1) y C (0, 4) y encuentra las coordenadas del ortocentro.

(Ortocentro es donde se cortan las tres alturas también de un triángulo).

3.- Determina la ecuación de la mediatriz de cada lado del triángulo cuyas coordenadas

son: A (6, 2), B (4, 7) y C (1, 1) y encuentra las coordenadas del circuncentro.

(Circuncentro es el punto de intersección de las rectas que son las mediatrices de un triángulo

dado).

4.- Dado el triángulo A(6, 2), B(4, 7) y C(1,1), encuentra:

a) La ecuación de la mediana del lado .AB

b) La ecuación de la altura, si se considera como base el lado .AB

c) La ecuación de la mediatriz del lado .BC


78


79

Las Cónicas

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas de intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.

La Circunferencia

Definición de circunferencia. Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia a un punto fijo llamado centro, siempre es constante.


80

Ecuaciones De La Circunferencia

Las formas de expresar la ecuación de una circunferencia son las siguientes:

Ecuación en su forma ordinaria

Ecuación de la circunferencia con centro en el punto C (h, k) y radio r.

(x – h)2 + (y – k)2 = r 2

Ecuación en su forma general

Esta ecuación se obtiene al desarrollar los binomios e igualar a cero la ecuación ordinaria.

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con A = C

Ecuación en su forma canónica

Si el centro de la circunferencia se encuentra en el origen, entonces su ecuación es de la forma:

Análisis de la ecuación de una circunferencia

Si r es positivo la circunferencia es real.

Si r es negativo la circunferencia es imaginaria.

Si r es igual a cero entonces representa un punto.

Ejemplo 1.- Una circunferencia tiene su centro en el origen y su radio es de 6 unidades. ¿Cuál es su ecuación en forma general?

Solución.- Se sustituye r = 6 en la forma canónica de la ecuación de la circunferencia y se transforma a la forma general:


81

Ejemplo 2.- Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 4.

Ejemplo 3.- Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro en (2, – 3) y radio 5.

Solución:

Se sustituyen el centro y el radio en la ecuación ordinaria y se transforma a su forma general:

Datos: Circunferencia con centro en el origen. Radio r = 4

Fórmula:

Procedimientos: Sustituyendo valores en la

fórmula:

La ecuación es:


82

EJERCICIOS 29.- Encuentra las ecuaciones y grafica las circunferencias con centro en el origen y cuyo radio mide:

a) r = 1.

b) r = 3.

c) r = 5/2.

Ejemplo 4.- Determina la ecuación general de la circunferencia de centro (7, -4) y que pasa por el punto (-5, 1).

Solución:


83

Ejemplo 5.- Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro se halle en el origen y que pase por el punto A (3, 4).

EJERCICIOS 30: Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro se halle en el origen y que pase por el punto dado.

d) 5 , 4 P

e) 3,5P

f) 24,P

Datos: Circunferencia con centro en el origen C(0, 0).

Pasa por el punto dado: A (3, 4).

Formula:

Procedimientos: Se calcula el radio sustituyendo el punto dado en la formula.

Se resuelve las potencias.

9 + 16 = r2

Se resuelve la operación resultante.

25 = r2 r = 5

Se sustituye el radio en la formula.


84

Ejemplo 6.- Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen y que sea tangente a la recta 3x + 4y + 15 = 0.

Datos:

Circunferencia con centro en el origen.

Circunferencia tangente a la recta 3x + 4y + 15 = 0.

Coordenada del centro de la circunferencia:

C (0, 0)

Fórmulas:

Circunferencia con centro en el origen.

x2 + y2 = r2.

Distancia de un punto a una recta.

Procedimientos:

Se calcula el radio de la circunferencia.

Se hace uso de la fórmula de distancia de un punto a una recta para calcular la longitud del radio de la circunferencia.

Se sustituye los valores:

Se sustituye las coordenadas del centro.

Se resuelve la operación resultante:

La longitud del radio se sustituye en la formula correspondiente:

La ecuación de la circunferencia es:


85

EJERCICIOS 31.- Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen y que sea tangente a la recta dada.

a) 08y4x;30,0C

b) 05y2x;30,0C

c) 014y2x;50,0C

4. PARÁBOLA Geométricamente se describe como la curva que resulta al intersectar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono.

Definimos la parábola como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que está siempre a la misma distancia (equidistan) de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz.


86

Ecuación De La Parábola Con Vértice En El Origen.

Elementos y ecuación de la parábola con vértice en el origen

Parábola Horizontal

Concavidad:


87

Parábola Vertical

Concavidad:

Ejemplo 1.- Encuentra los elementos y grafica la parábola cuya ecuación es y2 – 8x = 0.

Solución:


88

Ejemplo 2.- Encuentra los elementos y grafica la parábola cuya ecuación es: 3x2 – 12y = 0.

Solución:

Ejemplo 3.- Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto (3, 0).

Solución:


89

Ejemplo 4.- Obtén la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz en la recta x – 3 = 0.

Solución:

Ejemplo 5.- Una parábola de vértice en el origen pasa por el punto (2, 3) y su eje coincide con el eje Y. Determina su ecuación.

Solución:


90

Elementos y ecuación de una parábola con vértice fuera del origen, en (h, k) Parábola horizontal

Parábola vertical


91

EJERCICIOS 32.- Gráfica y determina las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y la ecuación del eje de cada una de las siguientes parábolas:

EJERCICIOS 33.- Encuentra las ecuaciones de las parábolas con los datos dados:

1.

2.

3.

4.

5.

La Elipse en el Universo


92

5. Elipse

Definición.

Es el lugar geométrico que describe un punto del plano que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos de la Elipse.

Elementos y ecuación de la elipse con centro en el origen.


93

Ejemplo 1.- Determina los elementos y grafica la elipse, cuya ecuación es: 9x2 + 4y2 – 36 = 0


94

Ejemplo 2.- Determina los elementos y grafica la elipse: 16x2 + 25y2 = 400

Solución:


95

Ejemplo 3.- Determina las coordenadas de los focos de la elipse cuya ecuación es: 9

Solución:

Ejemplo 4.- El eje mayor de una elipse mide 20 unidades, si la excentricidad es

, ¿cuál es la

longitud del eje menor?

Solución:


96

Dados sus elementos, obtener la ecuación de la elipse con centro en el origen

Ejemplo 1.- Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, vértice (0,4) y foco en (0,4).

Solución: Se grafican los datos


97

EJERCICIOS 34.- Determina los elementos de las siguientes elipses


98

6. Hipérbola

Definición. Es el lugar geométrico que describe un punto del plano que se mueve de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es siempre constante.


99

Elementos y ecuación.


100

Ejemplo 1.- Determina los elementos y traza la gráfica de la hipérbola, cuya ecuación es:

9x2 – 4y2 – 36 = 0

Solución:


101

Ejemplo 2.- Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es x2 – 4y2 + 4 = 0

Solución:


102

Ejemplo 3.- Determina los vértices, los focos, los extremos del eje conjugado, la excentricidad,

el lado recto y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es x2 – 8y2 = 8.

Solución:

EJERCICIOS 35.- Determina los elementos de las siguientes hipérbolas:


103

Dados los elementos de una hipérbola, determinar su ecuación.

Ejercicio 1.- ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola cuyos vértices y focos son los puntos (± 3, 0) y (± 4, 0), respectivamente? Solución:

Ejercicio 2.- Determina la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, uno de sus focos, el

punto y e l l a d o r e c t o √ Solución:


104

Ejercicio 3.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los puntos (0, 3), (0, – 3) y lado

recto igual a

Solución:

EJERCICIOS 36.- Determina la ecuación de la hipérbola que cumpla con las siguientes características:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Notas:

Apuntes de Geometría Analítica

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