Apuntes de

Geometrıa Proyectivapor Enrique Arrondo(*)

Version del 7 de Enero de 2009

Version muy preliminar

EL PLANO PROYECTIVO

1. Construccion del plano proyectivo

2. Rectas del plano proyectivo

3. Razon doble

4. Conicas proyectivas

5. Conicas afines y euclıdeas

ESPACIOS PROYECTIVOS

6. Construccion del espacio proyectivo

7. Aplicaciones proyectivas

8. Clasificacion de proyectividades

9. Correlaciones y cuadricas

10. Espacio afın y espacio proyectivo

(*) Departamento de Algebra, Facultad de Ciencias Matematicas, Universidad Com-plutense de Madrid, 28040 Madrid, Spain, arrondo@mat.ucm.es

1

EL PLANO PROYECTIVO

1. Construccion del plano proyectivo

Nuestro punto de partida consiste en observar que existe una cierta simetrıa entreel conjunto de puntos y el conjunto de rectas del plano afın A2

k sobre un cuerpo k. Enefecto, dados dos puntos distintos de A2

k, se puede determinar a partir de ellos una recta,concretamente la unica que pasa por ellos dos; recıprocamente, dadas dos rectas distintasdel plano, determinan un unico punto, en concreto el de interseccion de ambas (salvo quesean paralelas, problema que obviaremos de momento). Esta simetrıa nos puede hacersospechar que ambos conjuntos tienen la misma estructura, ası que vamos a analizar siesto es cierto.

En primer lugar, el conjunto de puntos de Ak2 se identifica inmediatamente con k2,

pero describir el conjunto de rectas parece mas complicado. Para simplificarlo, y hacerque tal conjunto sea otro k2, podemos representar cada recta por medio de una ecuacionde la forma Y = aX + b, con a, b ∈ k. En otras palabras, estamos determinando cadarecta a partir de un par (a, b), donde a es la pendiente de la recta y (0, b) es su punto deinterseccion con el eje vertical. Observese que encontramos un nuevo problema, y es queesto nos da una biyeccion no entre k2 y el conjunto de todas las rectas, sino solo entre k2

y las rectas no verticales (ya que las rectas de la forma X =constante son las unicas queno se pueden representar con una ecuacion de la forma Y = aX + b).

A pesar de estos problemas, veamos si de todas formas encontramos la simetrıa a laque aludimos desde el principio. Empecemos por dos puntos distintos (x′, y′), (x′′, y′′) ∈ A2

k

y determinemos la recta que pasa por ellos. De Algebra Lineal y Geometrıa, sabemos quedicha recta tiene de ecuacion ∣

∣∣∣∣∣

1 X Y1 x′ y′

1 x′′ y′′

∣∣∣∣∣∣

= 0

que, escrita de la forma descrita anteriormente, sera Y = aX + b, con

(a, b) =( y′′ − y′

x′′ − x′ ,x′′y′ − x′y′′

x′′ − x′)

. (1.1)

Por otro lado, si consideramos las rectas Y = a′X + b′ y Y = a′′X + b′′, su interseccion esel punto

(x, y) =(

− b′′ − b′

a′′ − a′ ,a′′b′ − a′b′′

a′′ − a′)

. (1.2)

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Comparando las dos expresiones (1.1) y (1.2), nos damos cuenta de que, salvo por unsigno, los pares de la forma (a, b) juegan un papel simetrico al de los pares de la forma(x, y), lo que no deberıa ser por casualidad. La clave nos la va a dar el mirar los casos“patologicos”. Si miramos la formula (1.2), nos damos cuenta de que no tiene sentido sia′ = a′. Hasta aquı es normal, visto que a′ = a′′ quiere decir que las dos rectas tienen lamisma pendiente, es decir, son paralelas, con lo que evidentemente no nos podıa salir unpunto de interseccion.

Mirando ahora el caso simetrico, la formula (1.1) no esta definida cuando x′ = x′′,lo que tambien es normal, porque en tal caso la recta que pasa por los dos puntos es unarecta vertical, que no se puede poner de la forma Y = aX + b. La idea es que, dado queen este ultimo caso sabemos que sı que hay recta, vamos a ampliar el conjunto de pares dela forma (a, b) al conjunto de todas las rectas de A2

k, y por simetrıa ampliaremos tambienel conjunto de puntos de A2

k.

En realidad, el conjunto de todas las rectas vendra dado por el conjunto de todas lasecuaciones de la forma u0 + u1X + u2Y = 0 (con u0, u1, u2 ∈ k), teniendo en cuenta dosobservaciones:

1) Necesariamente al menos uno de los coeficientes u1, u2 es distinto de cero (de hecho,hasta ahora estabamos considerando solo rectas con u2 = 0, es decir, rectas no verticales).

2) Una recta tiene infinitas ecuaciones. Mas precisamente, las ecuaciones u0 + u1X +u2Y = 0 y u′

0 + u′1X + u′

2Y = 0 definen la misma recta si y solo si los coeficientes sonproporcionales, es decir, existe λ ∈ k tal que (u′

0, u′1, u

′2) = λ(u0, u1, u2) (observese que,

necesariamente, λ = 0).

Para indicar que los coeficientes estan definidos salvo proporcionalidad escribiremos(u0 : u1 : u2). Con esta notacion, una recta dada por las coordenadas (a, b) es la recta decoeficientes (a : b : −1) la formula (1.1) queda entonces

(u0 : u1 : u2) =( y′′ − y′

x′′ − x′ :x′′y′ − x′y′′

x′′ − x′ : −1)

= (y′′ − y′ : x′′y′ − x′y′′ : x′ − x′′)

que ahora es una recta que existe siempre (ya que o la primera o la tercera coordenadasson distintas de cero cuando los dos puntos son distintos).

Podemos intentar lo mismo ahora con los puntos en lugar de las rectas, es decir, anadiruna nueva coordenada y seguir definiendo ternas salvo multiplicidad. Observese primeroque la ecuacion u0 + u1X + u2Y = 0 sugiere una anulacion sobre la terna (1, X, Y ), con loque lo razonable es anadir la nueva coordenada al principio. En definitiva, identificamosun punto (x, y) ∈ A2

k con la terna (1 : x : y), con lo que la formula (1.2) queda

(1 : x : y) =(

1 : − b′′ − b′

a′′ − a′ :a′′b′ − a′b′′

a′′ − a′)

= (a′′ − a′ : b′ − b′′ : a′′b′ − a′b′′).

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De ese modo, la terna de la derecha esta siempre definida, aunque no correspondera a unpunto de A2

k si a′ = a′′, es decir, cuando las rectas son paralelas. En otras palabras, pareceque hemos aumentado el plano suficientemente para que dos rectas se corten siempre. Estomotiva la siguiente:

Definicion. Llamaremos plano proyectivo sobre el cuerpo k, y lo denotaremos con P2k, al

conjunto de ternas (x0 : x1 : x2) con x0, x1, x2 ∈ k no todos nulos y de forma que

(x0 : x1 : x2) = (x′0 : x′

1 : x′2) ⇔ ∃λ ∈ k tal que (x′

0, x′1, x

′2) = λ(x0, x1, x2).

Observacion 1.3. Es muy importante observar inmediatamente que no tiene sentidosumar puntos en el plano proyectivo. Por ejemplo, ¿que querrıa decir la suma de lospuntos (1 : 0 : 0) y (0 : 1 : 0)? Una respuesta apresurada nos dirıa que la suma es el punto(1 : 1 : 0), pero esto no es ası. No hay que olvidar que los elementos del plano proyectivoen realidad son clases de equivalencia, y por tanto una definicion es consistente solo sino depende del representante elegido. Por ejemplo, por la definicion de plano proyectivo,tenemos que el punto (1 : 0 : 0) coincide con el punto (2 : 0 : 0), mientras que el punto(0 : 1 : 0) coincide con el punto (0 : −3 : 0), y con estos representantes parecerıa logicodecir que la suma de (2 : 0 : 0) y (0 : −3 : 0) es (2 : −3 : 0), que no es igual al punto(1 : 1 : 0).

Proposicion 1.4. La aplicacion

i : A2k → P2

k

(x, y) → (1 : x : y)

es inyectiva y define una biyeccion entre A2k y U0 := (x0 : x1 : x2) ∈ P2

k | x0 = 0 cuya

inversa es (x0 : x1 : x2) → (x1x0

, x2x0

).

Demostracion: Observese en primer lugar que el subconjunto U0 esta bien definido, yaque si (x0 : x1 : x2) = (x′

0 : x′1 : x′

2), es equivalente x′0 = 0 a x′′

0 = 0, puesto que x′′0 = λx′

0

para algun λ = 0.

Claramente i es inyectiva, ya que si (1 : x′ : y′) = (1 : x′′ : y′′), existe λ ∈ k tal que(1, x′ : y′) = λ(1, x′′, y′′) , con lo que necesariamente λ = 1 y (x′, y′) = (x′′, y′′).

Por otra parte, es claro que la imagen de i esta contenida en U0. Recıprocamente,dado cualquier elemento (x0 : x1 : x2) ∈ U0, como x0 = 0 podemos escribir (x0 : x1 : x2) =(1 : x1

x0: x2

x0), y por tanto (x0 : x1 : x2) es la imagen de (x1

x0, x2

x0).

Definicion. A raız de la inclusion anterior, consideraremos siempre el espacio afın A2k

como el subconjuto U0 del plano proyectivo P2k. Los elementos de P2

k que no estan en A2k

los llamaremos puntos del infinito del plano afın A2k.

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Proposicion 1.5. Sea L ⊂ A2k la recta de ecuacion u0 + u1X + u2Y = 0. Entonces, si

(v1, v2) es un vector director de L, el conjunto L := L ∪ (0 : v1 : v2) ⊂ P2k tiene como

ecuacion u0X0 + u1X1 + u2X2 = 0.

Demostracion: Los vectores directores de L son de la forma (v1, v2) = λ(u2,−u1), con loque el punto (0 : v1 : v2) esta unıvocamente determinado, y es inmediato que verifica laecuacion u0X0+u1X1+u2X2 = 0. Por otra parte, es claro que un punto (x, y) ∈ L, cuandose identifica con el punto (1 : x : y) ∈ P2

k, verifica la ecuacion u0X0 + u1X1 + u2X2 = 0.

Recıprocamente, dado (x0 : x1 : x2) ∈ P2k tal que u0x0 + u1x1 + u2x2 = 0, pueden

ocurrir dos cosas:

1) Si x0 = 0, entonces (x0 : x1 : x2) se puede ver como el punto (x1x0

, x2x0

) de A2k, y

ademas se tiene u0 + u1x1x0

+ u2x2x0

= 0, con lo que (x1x0

, x2x0

) esta en L.

2) Si x0 = 0, entonces de la ecuacion u0x0+u1x1+u2x2 = 0 se deduce inmediatamente(x0 : x1 : x2) = (0 : u2 : −u1).

Definicion. Llamaremos completado proyectivo de la recta L al conjunto L, y punto delinfinito de la recta L al punto (0 : v1 : v2).

El resultado anterior nos dice entonces que los puntos del planos proyectivo son dedos tipos:

1) Puntos con x0 = 0, es decir, puntos de A2k.

2) Puntos de la forma (0 : v1 : v2), con (v1, v2) = (0, 0), que son entonces puntos delinfinito de rectas, es decir, que se pueden interpretar como direcciones del plano afın.

Notese que, en la ecuacion del completado proyectivo de una recta todos los sumandostienen grado uno, y que no hay termino independiente. La definicion general es la siguiente.

Definicion. Se llama polinomio homogeneo (de grado d) en k[X0, . . . , Xn] a un polinomioF que tiene todos sus sumandos de grado d. Claramente se verifica que F (λX0, . . . , λXn) =λdF (X0, . . . , Xn) (y de hecho, esta propiedad caracteriza a los polinomios homogeneos).

Observacion 1.6. Los polinomios homogeneos en k[X0, X1, X2] son los que sirven paradar ecuaciones en el plano proyectivo, teniendo en cuenta lo siguiente:

1) Un polinomio no homogeneo no puede nunca definir una ecuacion. Porejemplo, no tiene sentido hablar de la ecuacion X0 +X2−1 = 0. Uno podrıa pensar que elpunto (1 : 0 : 0) verifica la ecuacion, pero sin embargo el mismo punto lo podemos escribircomo (2 : 0 : 0) y ya no verifica la ecuacion.

2) Sı que tiene sentido hablar de la ecuacion definida por un polinomio homogeneoF ∈ k[X0, X1, X2] (por ejemplo, la ecuacion X0 = 0 que hemos usado en la Proposicion

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1.4 o en general la ecuacion de una recta). En efecto, si dado un punto (x0 : x1 : x2) setiene que F (x0, x1, x2) = 0, entonces para cualquier otra representacion (λx0 : λx1 : λx2)del mismo punto se tendra tambien F (λx0, λx1, λx2) = λdF (x0, x1, x2) = 0. Por tanto, laanulacion de un polinomio en un punto no depende del representante que tomemos.

3) Lo que no tiene sentido es decir cuanto vale un polinomio en un punto cuando nose anula. Por ejemplo, no se puede decir que el polinomio X0 − X1 + X2 valga 1 en elpunto (1 : 1 : 1), ya que cambiando el representante a (−3 : −3 : −3) su valor serıa −3.

Ejemplo 1.7. Veamos en ejemplos concretos como se generaliza el completado proyectivode las rectas a otras curvas planas.

1) Consideramos la parabola Y − X2 = 0. Entonces, un punto (x0 : x1 : x2) ∈ U0

estara en la parabola si y solo si x2x0

− (x1x0

)2 = 0. Quitando denominadores (es decir,multiplicando por x2

0) nos queda la relacion x0x2 −x21 = 0. Como en la demostracion de la

Proposicion 1.5, los unicos puntos de U0 que verifican la ecuacion X0X2 − X21 = 0 son los

de la parabola. En cambio, los puntos del infinito que verifican tambien X0X2 − X21 = 0

deben verificar por tanto X0 = X21 = 0, con lo que solo hay un punto en el infinito, en

concreto (0 : 0 : 1), es decir, el punto que corresponde a la direccion vertical.

2) Si consideramos la hiperbola XY −1 = 0, repitiendo el mismo proceso nos quedarıala ecuacion X1X2−X2

0 = 0, cuya interseccion con la recta del infinito nos da X0 = X1X2 =0. Tenemos por tanto en este caso dos puntos en el infinito, (0 : 0 : 1) y (0 : 1 : 0), quecorresponden a las direcciones vertical y horizontal de las asıntotas.

En general, se tiene lo siguiente:

Definicion. Dado un polinomio f ∈ k[X, Y ] de grado d, se llama completado proyectivode la curva definida por f = 0 al conjunto de puntos que se anulan en el polinomioF (X0, X1, X2) := Xd

0f(X1X0

, X2X0

). El polinomio F se llama el homogeneizado de f , y consisteen cambiar en cada sumando de f la variable X por X1, la variable Y por X2 y multiplicarpor X0 elevado a d menos el grado del monomio. Los puntos de F = 0 que estan la rectadel infinito se llaman puntos del infinito de la curva.

Definicion. Se llama curva proyectiva de grado d al subconjunto de los puntos de P2k que

se anulan en un polinomio homogeneo de grado d en k[X0, X1, X2]. Si d = 1, la curva sellama recta proyectiva, mientras que si d = 2 la curva se llama conica proyectiva.

Observacion 1.8. definido por una ecuacion del tipo u0X0 + u1X1 + u2X2 = 0, conalgun ui = 0. Por la Proposicion 1.5, todas las rectas proyectivas son completados de unarecta, excepto la recta X0 = 0, que consiste en el conjunto de los puntos del infinito deA2

k, y que llamaremos recta del infinito.

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Veamos que con esta construccion ya tenemos la simetrıa que buscabamos. En primerlugar, dados dos puntos distintos, determinan siempre una recta. En efecto:

1) Si los dos puntos estan en A2k, entonces la unica recta que los contiene es el com-

pletado proyectivo de la recta afın que pasa por ellos.

2) Si uno de los puntos esta en A2k y el otro en la recta del infinito, entonces este

segundo punto representa una direccion, y por tanto hay una unica recta afın que pasa porel primer punto en la direccion representada por el segundo punto. La recta proyectivabuscada es el completado proyectivo de esta recta afın.

3) Si los dos puntos estan en el infinito, la unica recta que pasa por ellos es la rectadel infinito.

Simetricamente, veamos que la interseccion de dos rectas proyectivas es siempre unpunto:

1) Si las dos rectas son completados proyectivos de rectas afines no paralelas, su unicopunto de interseccion es el de las correspondientes rectas afines.

2) Si las dos rectas son completados proyectivos de rectas afines paralelas, su unicopunto de interseccion es el punto del infinito que corresponde a la direccion de las dosrectas afines.

3) Si una de las rectas es la recta del infinito, el unico punto de interseccion es el puntodel infinito de la otra recta (que necesariamente es el completado proyectivo de una rectaafın).

Puede pensarse, y con razon, que la anterior comprobacion es excesivamente pesada. Yen efecto, tiene todo el sabor de los resultados de geometrıa afın en que hay que distinguirentre numerosos casos. De hecho, el plano proyectivo no hay que verlo solo como unacompletacion del plano afın (aunque esto ayude mucho a visualizarlo). Debe verse, sobretodo, como un espacio geometrico con interes en sı mismo. De hecho, ası es como lo vamosa considerar nosotros (solo cuando lo hayamos estudiado en profundidad volveremos arelacionarlo con el plano afın, pero con el fin de obtener a partir de el propiedades delplano afın, y no al reves).

Reescribamos pues la simetrıa anterior sin usar el plano afın. La primera primeraobservacion es que el conjunto de rectas proyectivas forma tambien un plano proyectivo.En efecto, dos ecuaciones u′

0X0 + u′1X1 + u′

2X2 = 0 y u′′0X0 + u′′

1X1 + u′′2X2 = 0 definen la

misma recta si y solo si existe λ ∈ k \ 0 tal que (u′′0 , u′′

1 , u′′2) = (u′

0, u′1, u

′2)λ. Por tanto,

podemos dar la siguiente definicion:

Definicion. Llamamos plano proyectivo dual al conjunto de rectas del plano proyectivo.Es un plano proyectivo en el sentido de que a cada recta u0X0 + u1X1 + u2X2 = 0 leasociamos el punto (u0 : u1 : u2). Para distinguirlo del plano proyectivo lo denotamos con

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P2k∗, y sus variables las llamaremos U0, U1, U2.

El primer signo de la simetrıa que tenemos (que a partir de ahora llamaremos dualidad)es que no solo los puntos de P2

k∗ son rectas de P2

k , sino que tambien las rectas de P2k∗ son

puntos en P2k:

Proposicion 1.9. Toda recta en P2k∗

consiste en el conjunto de rectas de P2k que pasan

por un punto fijo (lo que se llama haz de rectas con base el punto). Recıprocamente todo

haz de rectas en P2k representa una recta en P2

k∗.

Demostracion: Es inmediato, ya que la ecuacion de una recta en P2k∗ es de la forma

a0U0 + a1U1 + a2U2 = 0. Pero que un punto de P2k∗ de coordenadas (u0 : u1 : u2) satisfaga

esa ecuacion quiere decir que la recta de P2k de ecuacion u0X0 + u1X1 + u2X2 = 0 pase

por el punto (a0 : a1 : a2) de P2k.

Veamos ahora como aplicar la dualidad. En primer lugar, dados dos puntos distintos(x′

0 : x′1 : x′

2), (x′′0 : x′′

1 : x′′2) de P2

k, la unica recta de P2k que pasa por ellos tendra como

ecuacion∣∣∣∣∣∣

X0 X1 X2

x′0 x′

1 x′2

x′′0 x′′

1 x′′2

∣∣∣∣∣∣

= 0 (1.10)

(claramente representa una recta, ya que al menos uno de los menores∣∣∣∣

x′0 x′

1

x′′0 x′′

1

∣∣∣∣,∣∣∣∣

x′0 x′

2

x′′0 x′′

2

∣∣∣∣,

∣∣∣∣

x′1 x′

2

x′′1 x′′

2

∣∣∣∣

es distinto de cero, porque (x′0 : x′

1 : x′2) = (x′′

0 : x′′1 : x′′

2); ademas, es claro que

la recta pasa por los dos puntos).

Simetricamente, consideramos dos rectas distintas de P2k de ecuaciones u′

0X0 +u′1X1 +

u′2X2 = 0 y u′′

0X0 +u′′1X1 +u′′

2X2 = 0. Si (a0 : a1 : a2) es el punto de interseccion de ambasrectas, eso quiere decir que las dos rectas pertenecen al haz de rectas con base (a0 : a1 : a2).Pasando entonces a P2

k∗, estamos buscando la recta a0U0 + a1U1 + a2U2 = 0 de P2

k∗ que

contiene a los puntos (u′0 : u′

1 : u′2), (u

′′0 : u′′

1 : u′′2). Segun , (1.10), esa recta sera la recta de

ecuacion∣∣∣∣∣∣

U0 U1 U2

u′0 u′

1 u′2

u′′0 u′′

1 u′′2

∣∣∣∣∣∣

= 0.

Ejemplo 1.11. Usando el truco de dualidad anterior, si queremos calcular el punto deinterseccion de las rectas 2X0 − 3X1 + X2 = 0 y 3X0 + 4X1 − 5X2 = 0 sin resolver elsistema hacemos lo siguiente. Las rectas representan los puntos de P2

k∗ de coordenadas

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(2 : −3 : 1) y (3 : 4 : −5). La recta de P2k∗ que pasa por ellos tiene de ecuacion

∣∣∣∣∣∣

U0 U1 U2

2 −3 13 4 −5

∣∣∣∣∣∣

= 11U0 + 13U1 + 17U2 = 0,

con lo que el punto de interseccion de las rectas dadas es (11 : 13 : 17).

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2. Rectas del plano proyectivo

Empezamos con lo que serıa el analogo de ecuaciones parametricas de una recta:

Proposicion 2.1. Sea L la recta proyectiva determinada por los puntos (x′0 : x′

1 : x′2) y

(x′′0 : x′′

1 : x′′2). Entonces un punto (x0 : x1 : x2) esta en L si y solo si existen λ, µ ∈ k (no

ambos nulos) tales que

x0 = λx′0 + µx′′

0

x1 = λx′1 + µx′′

1

x2 = λx′2 + µx′′

2

(2.2)

Ademas, (λx′0 + µx′′

0 : λx′1 + µx′′

1 : λx′2 + µx′′

2) = (λ′x′0 + µ′x′′

0 : λ′x′1 + µ′x′′

1 : λ′x′2 + µ′x′′

2)si y solo si existe ν ∈ k \ 0 tal que (λ′, µ′) = (νλ, νµ).

Demostracion: La formula (1.10) nos dice que (x0 : x1 : x2) ∈ P2k es un punto de la recta L

si y solo si los vectores (x0, x1, x2), (x′0, x

′1, x

′2), (x

′′0 , x′′

1 , x′′2) son linealmente dependientes.

Como los dos ultimos son linealmente independientes (por ser los puntos (x′0 : x′

1 : x′2)

y (x′′0 : x′′

1 : x′′2) distintos), se tiene que (x0, x1, x2) depende linealmente de (x′

0, x′1, x

′2) y

(x′′0 , x′′

1 , x′′2), es decir, que existen λ, µ ∈ k tales que

(x0, x1, x2) = λ(x′0, x

′1, x

′2) + µ(x′′

0 , x′′1 , x′′

2)

(ademas (λ, µ) = (0, 0), porque (x0, x1, x2) = (0, 0, 0)). Esto prueba la igualdad (2.2).

Por otra parte, la igualdad

(λx′0 + µx′′

0 : λx′1 + µx′′

1 : λx′2 + µx′′

2) = (λ′x′0 + µ′x′′

0 : λ′x′1 + µ′x′′

1 : λ′x′2 + µ′x′′

2)

es equivalente a decir que existe ν ∈ k tal que

(λ′x′0 + µ′x′′

0 , λ′x′1 + µ′x′′

1 , λ′x′2 + µ′x′′

2) = ν(λx′0 + µx′′

0 , λx′1 + µx′′

1 , λx′2 + µx′′

2)

es decirλ′(x′

0, x′1, x

′2) + µ′(x′′

0 , x′′1 , x′′

2) = ν(

λ(x′0, x

′1, x

′2) + µ(x′′

0 , x′′1 , x′′

2))

o lo que es lo mismo

(λ′ − νλ)(x′0, x

′1, x

′2) = (−µ′ + νµ)(x′′

0 , x′′1 , x′′

2) = (0, 0, 0).

Como (x′0, x

′1, x

′2) y (x′′

0 , x′′1 , x′′

2) no son proporcionales, se obtiene λ′ − νλ = −µ′ + νµ = 0,es decir (λ′, µ′) = (νλ, νµ).

Observacion 2.3. La Proposicion 2.1 indica que toda recta proyectiva esta en biyeccioncon el conjunto de pares (λ, µ) = (0, 0) en que identificamos dos de ellos si y solo si son

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proporcionales. Es natural por tanto, en analogıa con la definicion de plano proyectivo,definir el conjunto P1

k de pares (λ : µ) definidos salvo proporcionalidad (por analogıa conP2

k, usaremos mejor coordenadas (t0 : t1)). Este conjunto se debe interpretar como unaespecie de recta proyectiva “abstracta”. La Proposicion 2.1 esta diciendo que tenemos unabiyeccion

P1k → L

(t0 : t1) → (x′0t0 + x′′

0 t1 : x′1t0 + x′′

1 t1 : x′2t0 + x′′

2 t1)(2.4)

que es el analogo de las ecuaciones parametricas de una recta afın (en el caso afın hay unsolo parametro, que varıa en el cuerpo k, es decir en A1

k, la recta afın “abstracta”).

Definicion. Una biyeccion como (2.4) la llamaremos parametrizacion de la recta L.

Lema 2.5. Dados a0, a1, a2, b0, b1, b2 ∈ k, son equivalentes:

(i) (t0 : t1) → (a0t0 + b0t1 : a1t0 + b1t1 : a2t0 + b2t1) es una parametrizacion de una recta.

(ii) (t0 : t1) → (a0t0 + b0t1 : a1t0 + b1t1 : a2t0 + b2t1) esta bien definida (i.e. no existe

ningun valor (t0 : t1) ∈ P1k tal que (a0t0 + b0t1, a1t0 + b1t1, a2t0 + b2t1) = (0, 0, 0)).

(iii) La matriz

(

a0 a1 a2

b0 b1 b2

)

tenga rango dos.

Demostracion:

(i) ⇒ (ii): Es inmediato.

(ii) ⇒ (iii): Si la matriz tuviera rango a lo mas uno, entonces se tendrıa que el punto(b0 : −a0) = (b1 : −a1) = (b2 : −a2) no tendrıa imagen.

(iii) ⇒ (iv): Por hipotesis, (a0 : a1 : a2) y (b0 : b1 : b2) son dos puntos distintos, luegola Proposicion 2.1 nos dice que (t0 : t1) → (a0t0 + b0t1 : a1t0 + b1t1 : a2t0 + b2t1) es unaparametrizacion de la recta que pasa por esos dos puntos.

Observacion 2.6. La condicion (iii) del lema anterior nos dice como calcular la inversa deuna parametrizacion (x0 : x1 : x2) = (a0t0 + b0t1 : a1t0 + b1t1 : a2t0 + b2t1). En efecto, si el

rango de la matriz(

a0 a1 a2

b0 b1 b2

)

es dos, habra dos columnas que no sean proporcionales,

por ejemplo las dos primeras. Esto quiere decir que podemos despejar t0, t1 en funcion dex0, x1. Concretamente

(t0 : t1) = (b1

∣∣∣∣

a0 b0

a1 b1

∣∣∣∣

x0 −b0

∣∣∣∣

a0 b0

a1 b1

∣∣∣∣

x1 : − a1∣∣∣∣

a0 b0

a1 b1

∣∣∣∣

x0 +a0

∣∣∣∣

a0 b0

a1 b1

∣∣∣∣

x1)

o lo que es lo mismo (una de las grandes ventajas del proyectivo es que permite eliminardenominadores)

(t0 : t1) = (b1x0 − b0x1 : −a1x0 + a0x1).

11

Observese que, en general, la inversa consiste en dos formas lineales en x0, x1, x2 (enrealidad solo dos de estas coordenadas, dependiendo de la columnas de la matriz quetomemos).

Ejemplo 2.7. Supongamos que tenemos una recta afın parametrizada de la forma si-guiente:

X = x + v1tY = y + v2t

es decir, la recta que pasa por el punto (x, y) con vector director (v1, v2). Su completadoproyectivo sera entonces la recta que pasa por los puntos (1 : x : y) y (0 : v1 : v2), con loque tendremos una parametrizacion

X0 = t0X1 = xt0 + v1t1X2 = yt0 + v2t1

que es una especie de “homogeneizacion” de la parametrizacion afın. De hecho, teniendoen cuenta que X = X1

X0, Y = X2

X0, tendremos X = x + v1

t1t0

, Y = y + v2t1t0

, es decir, t = t1t0

.Observese que el punto del infinito de la recta corresponde al valor (t0 : t1) = (0 : 1), esdecir, al valor “infinito” del parametro t.

Ejemplo 2.8. La aplicacion mas importante de las parametrizaciones de rectas es quepermiten calcular su interseccion con cualquier curva. Por ejemplo, supongamos que quer-emos intersecar la conica X0X2 −X2

1 = 0 con la recta que pasa por los puntos (1 : −1 : 3)y (0 : 1 : −1). Debemos encontrar entonces los valores de (t0 : t1) tales que el punto(t0 : −t0 + t1 : 3t0 − t1) este en la conica, es decir, t0(3t0 − t1) − (−t0 + t1)2 = 0, queoperando queda 2t20 + t0t1 − t21 = 0. Para resolver esta ecuacion, observamos que t0 no escero (si lo fuera, tambien lo serıa t1, pero no pueden ser ambos nulos, por definicion deP1

k), con lo que nos queda 2 + t1t0

− ( t1t0

)2 = 0, de donde deducimos que t1t0

= 2,−1. Portanto, las soluciones en P1

k son (t0 : t1) = (1 : 2), (1 : −1), que nos dan los puntos de larecta (1 : 1 : 1), (1 : −2 : 4). Este truco se funciona en general, como vemos en el resultadosiguiente.

Proposicion 2.9. Si k es un cuerpo algebraicamente cerrado, todo polinomio homogeneo

F ∈ k[T0, T1] de grado d factoriza en d factores lineales, por lo que tiene d soluciones en

P1k contadas con multiplicidad. En consecencuencia, la interseccion de cualquier recta con

una curva de grado d consiste en d puntos (contados con multiplicidad), salvo que la recta

este contenida en la curva.

Demostracion: Sacando T0 factor comun tantas veces como sea posible, escribimos

F = Tn−m0 (a0T

m0 + a1T

m−10 T1 + . . . + amTm

1 )

12

con am = 0. Como k es algebraicamente cerrado, el polinomio a0 + a1T + . . . + amTm sepuede escribir como am(T − α1) . . . (T − αm), de donde se sigue

F = amTn−m0 (T1 − α1T0) . . . (T1 − αmT0)

y se anula precisamente en (t0 : t1) = (0 : 1) (con multiplicidad n − m) y en cada (1 : αi)(cada uno contado tantas veces como se repita el factor T1 − αiT0).

Por tanto, dada una curva definida por una ecuacion G = 0, con G ∈ k[X0, X1, X2]homogeneo de grado d, si sustituimos en G la parametrizacion de una curva, obtendremosuna ecuacion homogenea de grado d en t0, t1 (salvo que la recta este contenida en la curva,en cuyo caso tal sustitucion es identicamente nula). Por lo que acabamos de ver, talecuacion tendra d soluciones (contadas con multiplicidad) en P1

k, con lo que obtendremosd puntos de la recta que estan tambien en la curva.

Observacion 2.10. Conviene precisar cuanto antes una ambiguedad calculada del enun-ciado de la Proposicion 2.1. Implıcitamente, se esta diciendo que se estan fijando represen-tantes de los dos puntos que determinan la recta, y no solo los puntos. Es decir, que dospuntos pueden determinar infinitas parametrizaciones distintas. Por ejemplo, si queremosparametrizar la recta que pasa por (1 : 0 : 1) y (0 : 1 : 1), obtendrıamos la parametrizacion

(t0 : t1) → (t0 : t1 : t0 + t1)

pero si escribimos los puntos como (2 : 0 : 2) y (0 : −1 : −1) obtendrıamos la parametriza-cion

(t0 : t1) → (2t0 : −t1 : 2t0 − t1)

que solo coincide con la anterior para los valores (t0 : t1) = (1 : 0), (0 : 1). El resultadosiguiente nos dice que para tener unicidad nos hace falta un tercer punto.

Teorema 2.11. Sea L una recta proyectiva y (x′0 : x′

1 : x′2), (x

′′0 : x′′

1 : x′′2), (x′′′

0 : x′′′1 : x′′′

2 )tres puntos distintos de L. Entonces, existe y es unica una parametrizacion de L que

verifique(1 : 0) → (x′

0 : x′1 : x′

2)(0 : 1) → (x′′

0 : x′′1 : x′′

2)(1 : 1) → (x′′′

0 : x′′′1 : x′′′

2 )

Demostracion: Veamos en primer lugar que, de existir, la parametrizacion debe ser unica.Una parametrizacion generica tiene el aspecto

(t0 : t1) → (a0t0 + b0t1 : a1t0 + b1t1 : a2t0 + b2t1)

y, de acuerdo con nuestras condiciones, debe verificarse

(a0 : a1 : a2) = (x′0 : x′

1 : x′2)

13

(b0 : b1 : b2) = (x′′0 : x′′

1 : x′′2)

(a0 + b0 : a1 + b1 : a2 + b2) = (x′′′0 : x′′′

1 : x′′′2 )

es decir, que existen λ, µ, ν ∈ k \ 0 tales que

(a0, a1, a2) = (λx′0, λx′

1, λx′2)

(b0, b1, b2) = (µx′′0 , µx′′

1 , µx′′2)

(a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2) = (νx′′′0 , νx′′′

1 , νx′′′2 ).

De aquı se deduce, sumando las dos primeras igualdades,

λ(x′0, x

′1, x

′2) + µ(x′′

0 , x′′1 , x′′

2) = ν(x′′′0 , x′′′

1 , x′′′2 ).

Por otra parte, del hecho que (x′0 : x′

1 : x′2) este en la recta que pasa por (x′′

0 : x′′1 : x′′

2) y(x′′′

0 : x′′′1 : x′′′

2 ), se deduce de (1.10):∣∣∣∣∣∣

x′0 x′

1 x′2

x′′0 x′′

1 x′′2

x′′′0 x′′′

1 x′′′2

∣∣∣∣∣∣

= 0

y por tanto, la ultima fila es combinacion de las dos primeras (que son independientes alrepresentar puntos distintos). Es decir, existen α, β ∈ k tales que

(x′′′0 , x′′′

1 , x′′′2 ) = α(x′

0, x′1, x

′2) + β(x′′

0 , x′′1 , x′′

2). (2.12)

Substituyendo de aquı (x′′′0 , x′′′

1 , x′′′2 ) en la combinacion lineal anterior tenemos

λ(x′0, x

′1, x

′2) + µ(x′′

0 , x′′1 , x′′

2) = να(x′0, x

′1, x

′2) + νβ(x′′

0 , x′′1 , x′′

2)

o equivalentemente

(λ − να)(x′0, x

′1, x

′2) = (νβ − µ)(x′′

0 , x′′1 , x′′

2).

Como (x′0, x

′1, x

′2) y (x′′

0 , x′′1 , x′′

2) no son proporcionales, se sigue que λ = να, µ = νβ, dedonde

(a0, a1, a2) = (ναx′0, ναx′

1, ναx′2)

(b0, b1, b2) = (νβx′′0 , νβx′′

1 , νβx′′2)

y por tanto la parametrizacion debe ser

(t0 : t1) → (ναx′0t0 + νβx′′

0 t1 : ναx′1t0 + νβx′′

1 t1 : ναx′2t0 + νβx′′

2 t1)

14

que es la misma que

(t0 : t1) → (αx′0t0 + βx′′

0 t1 : αx′1t0 + βx′′

1 t1 : αx′2t0 + βx′′

2 t1).

Como α, β estan determinados a partir de los puntos mediante (2.12), la parametrizacion esunica. Ademas, es evidente que tal parametrizacion verifica las condiciones que queremos,con lo que se concluye la demostracion.

Ejemplo 2.13. Observese que la demostracion del teorema anterior es constructiva.Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar la unica parametrizacion de la rectaX0 + X1 −X2 = 0 que manda (1 : 0) a (1 : 2 : 3), (0 : 1) a (2 : 3 : 5) y (1 : 1) a (1 : −1 : 0).Entonces, lo primero que hay que hacer es encontrar la relacion (2.12), es decir, hay queescribir (1,−1, 0) como combinacion lineal de (1, 2, 3) y (2, 3, 5). Tal relacion es

(1,−1, 0) = −5(1, 2, 3) + 3(2, 3, 5) = (−5,−10,−15) + (6, 9, 15)

con lo que la parametrizacion queda

(t0 : t1) → (−5t0 + 6t1 : −10t0 + 9t1 : −15t0 + 15t1).

Ejemplo 2.14. Una pregunta natural es como son todas las parametrizaciones de unarecta. Por ejemplo, para la recta X0 + X1 − X2 = 0, la Observacion 2.10 y el Ejemplo2.13 nos dan hasta tres parametrizaciones distintas. Para ello tomamos por ejemplo laparametrizacion

(x0 : x1 : x2) = (−5t0 + 6t1 : −10t0 + 9t1 : −15t0 + 15t1)

del ejemplo anterior, y calculamos su inversa (ver la Observacion 2.6)

(t0 : t1) = (9x0 − 6x1 : 10x0 − 5x1).

Entonces, si consideramos la composicion de la parametrizacion

(t0 : t1) → (2t0 : −t1 : 2t0 − t1)

con la inversa anterior tendremos

(t0 : t1)→(2t0 : −t1 : 2t0−t1)→(

9(2t0)−6(−t1) : 10(2t0)−5(−t1))

=(18t0+6t1 : 20t0+5t1).

Lema 2.15. Dados a, b, c, d ∈ k, son equivalentes:

15

(i) (t0 : t1) → (at0 + bt1 : ct0 + dt1) es una biyeccion.

(ii) (t0 : t1) → (at0 + bt1 : ct0 + dt1) esta bien definido, es decir, no existe ningun valor

(t0 : t1) ∈ P1k tal que at0 + bt1, ct0 + dt1) = (0, 0).

(iii)

∣∣∣∣

a bc c

∣∣∣∣= 0.

Demostracion: Es practicamente igual que la del Lema 2.5.

(i) ⇒ (ii): Evidente.

(ii) ⇒ (iii): Si fuera∣∣∣∣

a bc c

∣∣∣∣= 0, entonces el punto (−b : a) = (−d : c) no tendrıa imagen.

(iii) ⇒ (i): (t0 : t1) → (dt0 − bt1 : −ct0 + at1) es la inversa.

Definicion. Llamaremos cambio de variable en P1k a una aplicacion ψ : P1

k → P1k de

la forma ψ(t0 : t1) = (at0 + bt1 : ct0 + dt1) verificando cualquiera de las condicionesequivalentes del lema anterior.

Lema 2.16. Sea ϕ : P1k → L una parametrizacion de la recta L. Entonces, todas las

parametrizaciones de L son de la forma ϕ ψ, donde ψ es un cambio de variable en P1k.

Demostracion: Si ϕ′ : P1k → L es otra parametrizacion de L, tal y como hemos hecho en

el Ejemplo 2.14 se observa que ϕ−1 ϕ′ es un cambio de variable ψ, con lo que ϕ′ = ϕ ψ.Recıprocamente, es claro que la composicion de un cambio de variable con ϕ tiene elaspecto (t0 : t1) → (a0t0 + b0t1 : a1t0 + b1t1 : a2t0 + b2t1), y como esta bien definida es unaparametrizacion por el Lema 2.5.

Nos planteamos ahora el mismo tipo de problema pero cambiando de una recta a otra.

Lema 2.17. Sea f : L → L′ una aplicacion entre dos rectas proyectivas. Entonces son

equivalentes.

(i) Existe una parametrizacion ϕ : P1k → L tal que f ϕ es una parametrizacion de L′.

(ii) Para cada parametrizacion ϕ : P1k → L, se tiene que f ϕ es una parametrizacion de

L′.

(iii) Para cada parametrizacion ϕ : P1k → L y cada parametrizacion ϕ′ : P1

k → L′ se tiene

que ϕ′−1 f ϕ es un cambio de variable en P1k.

(iv) Existen parametrizaciones ϕ : P1k → L y ϕ′ : P1

k → L′ tales que ϕ′−1 f ϕ es un

cambio de variable en P1k.

Demostracion:

16

(i) ⇒ (ii): Sabemos que para una parametrizacion concreta ϕ de L se tiene que f ϕ esuna parametrizacion de L′. Entonces, por el Lema 2.16, cualquier otra parametrizacionde L es de la forma ϕ′ = ϕ ψ, donde ψ es un cambio de variable en P1

k. Por tanto,f ϕ′ = (f ϕ) ψ, que es la composicion del cambio de variable ψ con la parametrizacionf ϕ, luego de nuevo por el Lema 2.16 es una parametrizacion de L′.

(ii) ⇒ (iii): Sean ϕ, ϕ′ parametrizaciones de L y L′ respectivamente. Por hipotesis, f ϕ

es una parametrizacion de L′, luego por el Lema 2.16 se tiene que ϕ′−1 f ϕ es un cambiode variable en P1

k.

(iii) ⇒ (iv): Evidente.

(iv) ⇒ (i): Como ϕ′−1 f ϕ es un cambio de variable en P1k, por el Lema 2.16 se tiene

que ϕ′ (ϕ′−1 f ϕ) es una parametrizacion de L′, de donde se sigue el resultado.

Definicion. Una proyectividad entre dos rectas proyectivas L y L′ es una aplicacion f :L → L′ que verifica cualquiera de las condiciones del Lema 2.17.

Veamos algunos ejemplos de proyectividades de rectas.

Proposicion 2.18. Sea L una recta de P2 y sea a ∈ P2k un punto que no esta en L. Sea

Ω(a) ⊂ P2k∗

el haz de rectas que pasan por a. Entonces:

(i) La aplicacion L → Ω(a) que asocia a cada punto p ∈ L la recta que pasa por a y p es

una proyectividad.

(ii) La aplicacion Ω(a) → L que asocia a cada recta del haz su interseccion con la recta L

es una proyectividad.

Demostracion: Sea ϕ : P1 → L una parametrizacion dada por

ϕ(t0 : t1) =(

l0(t0, t1) : l1(t0, t1) : l2(t0, t1))

,

donde l0, l1, l2 son formas lineales en t0, t1. Si a tiene coordenadas (a0 : a1 : a2), la rectagenerada por a y

(

l0(t0, t1) : l1(t0, t1) : l2(t0, t1))

tiene como ecuacion

∣∣∣∣∣∣

X0 X1 X2

a0 a1 a2

l0(t0, t1) l1(t0, t1) l2(t0, t1)

∣∣∣∣∣∣

= 0

es decir, sus coordenadas en P2k∗ son

(u0 : u1 : u2) =(

a1l2(t0, t1)−a2l1(t0, t1) : a2l0(t0, t1)−a0l2(t0, t1) : a0l1(t0, t1)−a1l0(t0, t1))

lo que da una parametrizacion de Ω(a). Por tanto, la aplicacion de (i) es una proyectividad.

17

La aplicacion de (ii) es la inversa de la de (i), con lo que tambien es una proyectividad(tambien puede verse por dualidad).

Proposicion 2.19. Sean L, L′ dos rectas distintas y sea a un punto fuera de ellas. En-

tonces la aplicacion L → L′ que asocia a cada punto p ∈ L el punto de interseccion de L′

con la recta generada por a y p es una proyectividad.

Demostracion: Se sigue inmediatamente de la Proposicion 2.18. En efecto, L → L′ es lacomposicion de L → Ω(a) que asocia a cada punto p ∈ L la recta que generan a y p (quees una proyectividad) y de Ω(a) → L′ que asocia a cada recta del haz su interseccion conL′ (que es una proyectividad). Como es claro que la composicion de proyectividades esuna proyectividad, se sigue el resultado.

Definicion. Se llama perspectividad entre dos rectas a una proyectividad definida como enla Proposicion 2.19. El punto a se llama centro de la perspectividad.

Observemos que una perspectividad no es la proyectividad mas general entre dosrectas, ya que el punto de interseccion de las rectas queda fijo por una perspectividad, perono necesariamente por una proyectividad. En realidad, veremos que el que tal punto quedefijo caracteriza las perspectividades. Para ello necesitamos en primer lugar el siguienteresultado, que es importante en sı mismo.

Teorema 2.20. Dadas dos rectas L, L′tres puntos distintos a, b, c ∈ L y tres puntos

distintos a′, b′, c′ ∈ L′, existe una unica proyectividad f : L → L′ tal que f(a) = a′,

f(b) = b′ y f(c) = c′.

Demostracion: Aplicando el Teorema 2.11, sean ϕ : P1k → L la unica parametrizacion de

L tal que ϕ(1 : 0) = a, ϕ(0 : 1) = b, ϕ(1 : 1) = c y ϕ′ : P1k → L la unica parametrizacion

de L′ tal que ϕ(1 : 0) = a′, ϕ(0 : 1) = b′, ϕ(1 : 1) = c′. Entonces, f = ϕ′ ϕ−1 esuna proyectividad que cumple la propiedad buscada. Ademas, si f ′ es otra proyectividaden las mismas condiciones, se tiene que f ϕ es una parametrizacion de L′ que mandarespectivamente (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) a a′, b′, c′, por lo que de nuevo por el Teorema 2.11se tiene f ϕ = ϕ′, con lo que f ′ = f .

Teorema 2.21. Sean L, L′ dos rectas distintas con punto de interseccion a. Entonces una

proyectividad f : L → L′ es una perspectividad si y solo si f(a) = a.

Demostracion: Sean b, c otros dos puntos de L distintos de a y tomamos b′ = f(b) yc′ = f(c). Consideramos el punto de interseccion q de las rectas bb′ y cc′. Entonces, siπq : L → L′ es la perspectividad de centro q, entonces es claro que πq(a) = a, πq(b) = b′ yπq(c) = c′. Por el Teorema 2.20, se sigue que f = πq.

18

L

L"

a

b

c

a ' '

b ' 'c ' '

p

L '

b '

a '

q

Aunque las perspectividades no sean todas las proyectividades, al menos las proyec-tividades se pueden obtener a partir de perspectividades:

Teorema 2.22. Toda proyectividad f : L → L′′ es composicion de perspectividades.

Demostracion: Observamos en primer lugar que podemos suponer L = L′′. En efecto, sifueran L = L′′, tomando L′ = L y una perspectividad cualquiera π : L → L′ se tendrıaque, supuesto demostrado el teorema para rectas distintas, f π−1 es composicion deperspectividades, con lo que f tambien lo serıa. Suponemos pues que L y L′′ son dosrectas distintas e ilustraremos la demostracion con la siguiente figura:

Sean a, b, c tres puntos distintos de L y a′′, b′′, c′′ sus respectivas imagenes por f enL′′, con la condicion de que ni c ni c′′ son el punto de interseccion de L y L′. Sea p unpunto de la recta cc′′ distinto de c y c′′. Tomamos una recta L′ que pase por c′′ pero queno pase ni por c ni por a′′. Sean a′ y b′ los respectivos puntos de interseccion de L′ conlas rectas pa y pb. Finalmente, sea q el punto de interseccion de las rectas a′a′′ y b′b′′. Siπp : L → L′ es la perspectividad de centro p y πq : L′ → L′′ es la perspectividad de centroq se tiene

Lπp−→ L′ f ′′

−→ L′′

a → a′ → a′′

b → b′ → b′′

c → c′′ → c′′

con lo que, por el Teorema 2.20, se tiene f = πq πp.

Teorema 2.23 (Desargues). Sean a, b, c, a′, b′, c′ dos ternas de puntos no alineados y

todos ellos distintos entre sı. Sean los puntos p = ab ∩ a′b′, q = ac ∩ a′c′ y r = bc ∩ b′c′.

Entonces las rectas aa′, bb′, cc′ son concurrentes en un punto si solo si los puntos p, q, r

estan alineados.

Demostracion: Supongamos en primer lugar que las rectas aa′, bb′, cc′ son concurrentes enun punto o. Ilustramos la demostracion con la siguiente figura:

19

b

a

c

c '

a '

b '

L

L ' '

L '

p

r

q

o

t

t '

t ' '

Escribimos L = aa′, L′ = bb′, L′′ = cc′, t = pr∩L, t′ = pr∩L′, t′′ = pr∩L′′ y definimosπp la perspectividad de L sobre L′ con centro p y πr la proyectividad de L′ sobre l′′ concentro r. Se tendra

Lπp−→ L′ πr−→ L′′

o → o → oa → b → ca′ → b′ → c′

t → t′ → t′′

La composicion πr πp es una proyectividad que deja fijo el punto o, luego por el Teorema2.21 es una perspectividad, y su centro es necesariamente ac ∩ a′c′ = q. Como la imagende t por esta perspectividad es t′′, se tiene que t, t′′, q estan alineados, es decir, que q estaen la recta generada por t, t′′, que es la recta p, r, por lo que p, q, r estan alineados.

El recıproco es precisamente el enunciado dual del que acabamos de demostrar.

20

3. Razon doble

En esta seccion definiremos el concepto mas importante de geometrıa proyectiva, queya veremos mas adelante que es el que caracteriza tal geometrıa.

Definicion. Sean a, b, c, d cuatro puntos distintos de una recta L. Sea ϕ : P1k → L la unica

parametrizacion de L tal que ϕ(1 : 0) = a, ϕ(0 : 1) = b, ϕ(1 : 1) = c. Si d = ϕ(ρ0 : ρ1),llamaremos razon doble de los cuatro puntos a ρ := ρ0

ρ1, y la denotaremos normalmente por

[a, b, c, d] (OJO: la definicion no es unanime, y para muchos la razon doble es ρ1ρ0

, es decir,el valor inverso del que definimos nosotros). A veces suele extenderse la definicion a loscasos d = a, b, c, en que ρ = ∞, 0, 1, respectivamente; si no, ρ toma valores en k \ 0, 1.

Antes de ver las propiedades de la razon doble, veamos como se calcula, lo que nosayudara a entender su significado geometrico.

Lema 3.1. Sean a = (a0 : a1 : a2), b = (b0 : b1 : b2), c = (c0 : c1 : c2), d = (d0 : d1 : d2)cuatro puntos alineados de modo que la recta que los contiene no pasa por (0 : 0 : 1).Entonces

[a, b, c, d] =

∣∣∣∣

a0 c0

a1 c1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 d0

b1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

a0 d0

a1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 c0

b1 c1

∣∣∣∣

(obviamente, se obtienen resultados simetricos si se supone que (1 : 0 : 0) o (0 : 1 : 0) no

estan en la recta).

Demostracion: Para calcular la unica parametrizacion ϕ de la recta abcd que manda(1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) respectivamente a a, b, c seguimos los pasos del Teorema 2.11.Observamos en primer lugar que, como (1 : 0 : 0) no esta alineado con a, b, c, d, por ejemplo∣∣∣∣

a0 b0

a1 b1

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 0 0a0 a1 a2

b0 b1 b2

∣∣∣∣∣∣

= 0, y lo mismo para los menores de orden dos formados por

las dos primeras coordenadas de cualquier par de puntos entre a, b, c, d. Esto quiere decirque, a la hora de escribir las coordenadas de c en funcion de las de a y b basta trabajarcon las dos primeras coordenadas. Entonces un simple calculo (por ejemplo con la reglade Cramer) muestra que:

(c0, c1, c2) =

∣∣∣∣

c0 b0

c1 b1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

a0 b0

a1 b1

∣∣∣∣

(a0, a1, a2) +

∣∣∣∣

a0 c0

a1 c1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

a0 b0

a1 b1

∣∣∣∣

(b0, b1, b2)

con lo que ϕ tendra de ecuacion(t0 : t1) →

21

(∣∣∣∣

c0 b0

c1 b1

∣∣∣∣a0t0+

∣∣∣∣

a0 c0

a1 c1

∣∣∣∣b0t1 :

∣∣∣∣

c0 b0

c1 b1

∣∣∣∣a1t0+

∣∣∣∣

a0 c0

a1 c1

∣∣∣∣b1t1 :

∣∣∣∣

c0 b0

c1 b1

∣∣∣∣a2t0+

∣∣∣∣

a0 c0

a1 c1

∣∣∣∣b2t1)

(despues de quitar denominadores). Repitiendo las mismas cuentas con d al puesto de c,se tendra

(d0, d1, d2) =

∣∣∣∣

d0 b0

d1 b1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

a0 b0

a1 b1

∣∣∣∣

(a0, a1, a2) +

∣∣∣∣

a0 d0

a1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

a0 b0

a1 b1

∣∣∣∣

(b0, b1, b2)

lo que indica que el valor (d0 : d1 : d2) se alcanza en la parametrizacion para

(ρ0 : ρ1) = (

∣∣∣∣

d0 b0

d1 b1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

c0 b0

c1 b1

∣∣∣∣

:

∣∣∣∣

a0 d0

a1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

a0 c0

a1 c1

∣∣∣∣

)

de donde sigue el resultado.

Observacion 3.2. Usemos la formula anterior para interpretar la razon doble de cua-tro puntos afines que esten en una recta que no sea vertical (recordemos que las rectasafines verticales son las que pasan por el punto (0 : 0 : 1)). Tomamos entonces cuatropuntos alineados (a1, a2), (b1, b2), (c1, c2), (d1, d2) de forma que sus segundas coordenadassean siempre distintas. Una vez Identificados con los correspondientes puntos del planoproyectivo (1 : a1 : a2), (1 : b1 : b2), (1 : c1 : c2), (1 : d1 : d2), su razon doble es

[a, b, c, d] =(c1 − a1)(d1 − b1)(d1 − a1)(c1 − b1)

=c1−a1d1−a1

c1−b1d1−b1

Por estar a, b, c alineados, c1−a1d1−a1

representa la proporcion entre el vector ac y el vector ad

(lo que se llama la razon simple de a, d, c), mientras que c1−b1d1−b1

es la proporcion entre bc ybd (es decir, la razon simple de b, d, c). La razon simple es invariante por afinidades (yaque estas preservan las proporciones), y de hecho el preservar la razon simple de ternascaracteriza a las afinidades. En geometrıa proyectiva, sin embargo, las proyectividadesno preservan las proporciones. Piensese en tres puntos alineados a, b, c, con b entre a yc. Si “miramos” la recta desde un punto externo entre a y b (es decir, si hacemos unaperspectividad desde dicho punto) nos parecera ver que proporcionalmente, la distanciaentre a y b es mucho mayor que la distancia entre b y c, mientras que mirando desdeun punto externo entre b y c nos parecera ahora que la distancia entre b y c es muchomayor que la distancia entre a y b. El resultado central en geometrıa proyectiva es que loque permanecera invariante no seran las proporciones (i.e. la razon simple), sino la doble

22

proporcion (i.e. la proporcion entre proporciones, el cociente entre dos razones simples: larazon doble; de ahı su nombre).

Observacion 3.3. Tomemos ahora a como punto del infinito de la recta bcd. Usando denuevo la formula del Lema 3.1 obtendremos ahora

[a, b, c, d] =d1 − b1

c1 − b1

es decir, la razon simple de b, c, d. Notese que d sera el punto medio de c y d si y solo sibd = −bc, es decir, si la razon simple de b, c, d (que hemos dicho que es [a, b, c, d] es −1.

Definicion. Se llama cuaterna armonica a cuatro puntos alineados a, b, c, d tales que[a, b, c, d] = −1.

Veamos que, efectivamente, las proyectividades preservan la razon doble (y que dehecho estan caracterizadas por esta propiedad):

Teorema 3.4. Sea f : L → L′ una aplicacion inyectiva entre dos rectas. Entonces f

es una proyectividad si y solo si para cada a, b, c, d ∈ L distintos se tiene [a, b, c, d] =[f(a), f(b), f(c), f(d)].

Demostracion: Supongamos en primer lugar que f es una proyectividad y sean cuatropuntos distintos a, b, c, d ∈ L. Sea ϕ : P1

k → L la unica parametrizacion de L que manda(1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) respectivamente a a, b, c. Si ρ = [a, b, c, d], entonces ϕ(ρ : 1) = d.Por otra parte, f ϕ es una parametrizacion de L′ que manda (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1)respectivamente a f(a), f(b), f(c), y por tanto es la unica. Como f ϕ(ρ : 1) = f(d), sesigue que [f(a), f(b), f(c), f(d)] = ρ, y por tanto coincide con [a, b, c, d], como querıamos.

Recıprocamente, supongamos que f conserva la razon doble. Fijamos tres pun-tos distintos a, b, c ∈ L y consideramos la unica proyectividad g : L → L′ tal queg(a) = f(a), g(b) = f(b), g(c) = f(c) (son tres puntos distintos por ser f inyectiva).Queremos ver que g = f . Para ello tomamos cualquier otro punto d ∈ L y veamos queg(d) = f(d). Por hipotesis, [a, b, c, d] = [f(a), f(b), f(c), f(d)], mientras que por la parteya demostrada, sabemos que [a, b, c, d] = [g(a), g(b), g(c), g(d)] = [f(a), f(b), f(c), g(d)].Por tanto, [f(a), f(b), f(c), f(d)] = [f(a), f(b), f(c), g(d)]. Sea ϕ : P1

k → L′ la unicaparametrizacion tal que (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) van a parar respectivamente a f(a), f(b), f(c).Por definicion de razon doble, si ρ = [f(a), f(b), f(c), f(d)], entonces ϕ(ρ : 1) = f(d), ycomo tambien ρ = [f(a), f(b), f(c), g(d)], se tiene ϕ(ρ : 1) = g(d), luego g(d) = f(d).

Corolario 3.5. Sean a, b, c, d y a′, b′, c′, d′ dos cuaternas de puntos alineados. Entonces

se tiene que [a, b, c, d] = [a′, b′, c′, d′] si y solo si existe una composicion de perspectividades

que manda una cuaterna a otra.

Demostracion: Es conssecuencia inmediata del Teorema 3.4 y del Teorema 2.22.

23

Observacion 3.6. Notese que la ultima parte de la demostracion del Teorema 3.4 enrealidad demuestra que, en general, dados puntos a′, b′, c′, d′, e′ en una recta L′ tales que[a′, b′, c′, d′] = [a′, b′, c′, e′], entonces d′ = e′.

Veamos una aplicacion de la observacion anterior. Para ello, necesitaremos previa-mente una definicion.

Definicion. Llamaremos complexificacion de una recta proyectiva real L a la recta complejaLC que tiene en el plano proyectivo la misma ecuacion de L. Equivalentemente, si L es larecta que pasa por dos puntos reales a, b, LC es la recta del plano proyectivo que pasa pora y b.

Proposicion 3.7. Sean L, L′ rectas proyectivas reales y sean a, b, c ∈ LC tres puntos

distintos, y a′, b′, c′ ∈ L′C sus respectivas imagenes por una proyectividad f : LC → L′

C. Si

se verifica que f(a) = a′, f(b) = b′, f(c) = c′ (donde la barra indica conjugacion), entonces

para cualquier d ∈ LC se verifica f(d) = f(d). En particular, f manda puntos reales a

puntos reales y define una proyectividad entre las rectas reales. Como consecuencia, las

siguientes son condiciones suficientes para que una proyectividad f : LC → L′C induzca

una proyectividad de L en L′:

(i) f manda tres puntos reales a tres puntos reales.

(ii) f manda un punto real a un punto real y un par de puntos imaginarios conjugados a

un par de puntos imaginarios conjugados.

(iii) f manda dos pares de puntos conjugados a dos pares de puntos conjugados.

Demostracion: Por la Observacion 3.6 bastara ver que, para todo d = a, b, c, se tiene[a′, b′, c′, f(d)] = [a′, b′, c′, f(d)]. Como la formula del Lema 3.1 implica claramente que larazon doble de los conjugados de cuatro puntos es el conjugado de la razon doble de loscuatro puntos, dicha igualdad sera equivalente a [a′, b′, c′, f(d)] = [a′, b′, c′, f(d)]

Por ser f una proyectividad, el Teorema 3.4 implica [a′, b′, c′, f(d)] = [a, b, c, d] y[a′, b′, c′, f(d)] = [a, b, c, d] que claramente son conjugados el uno del otro, lo que demuestrala igualdad que querıamos.

Si d es real, entonces d = d, con lo que f(d) = f(d) = f(d), lo que implica que f(d) esreal. El hecho de que f restringida a la parte real de L sea una proyectividad es de nuevoconsecuencia del Teorema 3.4, ya que f conserva la razon doble.

Observacion 3.8. La parte (i) de la proposicion anterior es inmediata, ya que por elTeorema 2.20 existe una unica proyectividad (tanto de L a L′ como de LC a L′

C que mandatres puntos dados a tres puntos dados). Lo novedoso (y que usaremos mas adelante) es quelas partes (ii) y (iii) permiten definir proyectividades reales definiendolas a partir de las

24

imagenes de puntos imaginarios. Cabrıa pensar que basta mandar dos puntos imaginariosconjugados a dos puntos imaginarios conjugados para tener una proyectividad real, perono es ası. Por ejemplo, la proyectividad de X0 = 0

(0 : X1 : X2) → (2X0 + iX1 : −iX0 + 2X1)

manda (0 : 1 : i) y (0 : 1 : −i) a sı mismos, pero por ejemplo la imagen de (0 : 1 : 0) es elpunto imaginario (0 : 2 : −i).

Observacion 3.9. De la formula del Lema 3.1 se deduce inmediatamente que, si[a, b, c, d] = ρ, entonces:

[a, b, c, d] = [b, a, d, c] = [c, d, a, b] = [d, c, b, a] = ρ

[b, a, c, d] = [a, b, d, c] = [c, d, b, a] = [d, c, a, b] =1ρ

Cabe preguntarse pues que ocurre al hacer las demas permutaciones del conjunto de puntos.Por ejemplo,

[d, b, c, a] =

∣∣∣∣

d0 c0

d1 c1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 a0

b1 a1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

d0 a0

d1 a1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 c0

b1 c1

∣∣∣∣

= −a1b0c1d0 − a0b1c1d0 − a1b0c0d1 + a0b1c0d1∣∣∣∣

a0 d0

a1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 c0

b1 c1

∣∣∣∣

que, sumado con

ρ =

∣∣∣∣

a0 c0

a1 c1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 d0

b1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

a0 d0

a1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 c0

b1 c1

∣∣∣∣

=a0b0c1d1 − a0b1c1d0 − a1b0c0d1 + a1b1c0d0

∣∣∣∣

a0 d0

a1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 c0

b1 c1

∣∣∣∣

da

a0b0c1d1 + a1b1c0d0 − a1b0c1d0 − a0b1c0d1∣∣∣∣

a0 d0

a1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 c0

b1 c1

∣∣∣∣

=(a0d1 − a1d0)(b0c1 − b1c0)

∣∣∣∣

a0 d0

a1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 c0

b1 c1

∣∣∣∣

= 1

Por tanto, y observando las simetrıas que ya tenıamos:

[d, b, c, a] = [b, d, a, c] = [c, a, d, b] = [a, c, b, d] = 1 − ρ

De aquı se sigue facilmente, combinando permutaciones anteriores:

[b, d, c, a] = [a, c, d, b] = [d, b, a, c] = [c, a, b, d] =1

1 − ρ

25

[a, d, c, b] = [d, a, b, c] = [c, b, a, d] = [b, c, d, a] = 1 − 11 − ρ

=ρ

ρ − 1

[d, a, c, b] = [a, d, b, c] = [c, b, d, a] = [b, c, a, d] =ρ − 1

ρ

Ası que la razon doble de cuatro puntos, al hacer todas las permutaciones posibles delorden de los puntos, toma seis valores. Dichos seis valores son distintos, excepto cuandolas posibles razones dobles son −1, 1

2 , 2 (que corresponde a una cuaterna armonica y suspermutaciones) o 1+

√3i

2 , 1−√

3i2 .

Observacion 3.10. Dadas cuatro rectas L1, L2, L3, L4 concurrentes en un punto a, tienesentido hablar de su razon doble, ya que son cuatro puntos del haz Ω(a), que es una rectaen P2

k∗. Ademas, dada cualquier recta L que no pase por a, si llamamos ai = L∩Li, se tiene

que [L1, L2, L3, L4] = [a1, a2, a3, a4], aplicando el Teorema 3.4 y el hecho (ver Proposicion2.18) de que la aplicacion f : Ω(a) → L definida por f(L′) = L′ ∩ L es una proyectividad.

Observacion 3.11. De la formula del Lema 3.1 para calcular la razon doble de cuatropuntos, se sigue que, si a, b, c, d, e son cuatro puntos alineados, entonces

[a, b, c, d][a, b, d, e] = [a, b, c, e].

El motivo geometrico para esta igualdad se obtiene de pensar que a es el punto del infinitode la recta, por lo que [a, b, c, d] es la proporcion entre los vectores bd y bc, [a, b, d, e] esla proporcion entre los vectores be y bd, mientras que [a, b, c, e] es la proporcion entrelos vectores be y bc. De hecho, esta observacion nos permite construir geometricamenteel producto de dos razones dobles. En efecto, si [a, b, c, d] = λ y [a′, b′, c′, d′] = λ′, essiempre posible mediante perspectividades encontrar e tal que [a, b, d, e] = λ′. Por tanto,[a, b, c, e] = λλ′.

La construccion de la suma de razones dobles es mas complicada, pero tambien puedehacerse geometricamente:

Proposicion 3.11. Sean a, b dos puntos distintos de una recta L y sean d1, d2 ∈ L\a, b.Dada L′ una recta cualquiera que pase por a y un punto cualquiera fuera de L y L′,

sean b′, d′2 las imagenes en L′ por la perspectividad desde p. Consideramos los puntos

q = b′d1 ∩ ap y d = qd′2 ∩ L. Entonces

[a, b, c, d] = [a, b, c, d1] + [a, b, c, d2]

para cualquier punto c ∈ L.

26

LL '

a

b

d1

d2

p

b'

d'2

q

d

Demostracion: Si tomamos la recta ap como recta del infinito, entonces las rectas L y L′

son paralelas. Ademas, tendremos bd2 = b′d′2 = d1d, de donde se sigue el resultado.

27

4. Conicas proyectivas

Ejemplo 4.1. Si consideramos la ecuacion X20 +X2

1 +X22 = 0 en P2

R, es claro que no hayningun punto que la satisfaga. Lo mismo puede decirse de la ecuacion X2

0 +X21 +4X2

2 = 0.Sin embargo, en cierto modo deberıamos considerar que son conicas distintas, ya que laprimera pasa por el punto imaginario (0 : 1 : i), mientras que la segunda no pasa porel. En ese sentido, vamos a considerar las conicas como ecuaciones, no como conjuntos depuntos (si trabajamos sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, ambos conceptos son sinembargo equivalentes).

Definicion. Una conica en P2k es una ecuacion de la forma u00X

20 +u01X0X1 +u02X0X2 +

u11X21 +u12X1X2 +u22X

22 . Dos conicas se consideraran iguales si y solo si sus respectivas

ecuaciones son proporcionales. De todas formas, recurriremos muchas veces al abuso denotacion de considerar la conica como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuacion.Cuando la caracterıstica de k es distinta de dos (cosa que supondremos en todo estecapıtulo), la ecuacion se puede escribir de forma matricial como

(X0 X1 X2)

u00u012

u022

u012 u11

u122

u022

u122 u22

X0

X1

X2

= 0

con lo que una conica se puede siempre identificar con una matriz simetrica no nula deorden tres modulo multiplicacion por constante.

Recordemos de Algebra Lineal que toda matriz simetrica A se puede diagonalizar (porcongruencia), en el sentido de que existen matrices de orden tres P y D tales que P tienedeterminante no nulo, D es diagonal y A = P tDP . Esto quiere decir que la ecuacion detoda conica se puede escribir de la forma

(X0 X1 X2)P t

λ0 0 00 λ1 00 0 λ2

P

X0

X1

X2

= 0.

En otras palabras, si escribimos

X ′0

X ′1

X ′2

= P

X0

X1

X2

, la ecuacion de la conica quedara de

la forma λ0X′02 + λ1X

′12 + λ2X

′22 = 0.

Definicion. Llamamos cambio de coordenadas en P2k a una expresion de la forma

X ′0

X ′1

X ′2

=

P

X0

X1

X2

, donde P es una matriz de orden tres de determinante no nulo. Notese que

28

un cambio de coordenadas manda polinomios homogeneos de grado d a polinomios ho-mogeneos de grado d. Sin embargo, si se piensa en el plano como completado de un planoafın, hay que notar que en las nuevas coordenadas la recta del infinito ya no tiene por queser X ′

0 = 0.

Veamos, en funcion de λ0, λ1, λ2, los tipos de conicas que tenemos. Recordemos tam-bien de Algebra Lineal que el rango de A es el numero de λi distintos de cero.

Caso 1) rg(A) = 1.

Supongamos por ejemplo λ1 = λ2 = 0, con lo que tras el cambio de coordenadasnos queda la ecuacion λ0X

′02 = 0, o equivalentemente X ′

02 = 0. Escribiendo P = (pij),

tendremos X ′0 = p00X0+p01X1+p02X2, con lo que la ecuacion original es (p00X0+p01X1+

p02X2)2 = 0, que es una recta doble.

Caso 2) rg(A) = 2.

Supongamos por ejemplo λ2 = 0, con lo que tendremos la ecuacion λ0X′02+λ1X

′12 = 0,

que es equivalente a X ′0 = ±

√

−λ1λ0

X ′1. Deshaciendo el cambio de coordenadas tendremos

las dos rectas (distintas)

(p00 +√

−λ1

λ0p10)X0 + (p01 +

√

−λ1

λ0p11)X1 + (p02 +

√

−λ1

λ0p12)X2 = 0

(p00 −√

−λ1

λ0p10)X0 + (p01 −

√

−λ1

λ0p11)X1 + (p02 −

√

−λ1

λ0p12)X2 = 0

En principio, si el cuerpo k no es algebraicamente cerrado, puede ocurrir√

−λ1λ0

∈ k, encuyo caso las dos rectas serıan imaginarias conjugadas. Observese que, en contraste conel caso afın, no hay que distinguir si las rectas se cortan o no, ya que dos rectas del planoproyectivo se cortan siempre.

Caso 3) rg(A) = 3.

Dependiendo de como sea el cuerpo k tendremos mas o menos subcasos. Si k esalgebraicamente cerrado, a la hora de diagonalizar A sabemos que podemos obtener λ0 =λ1 = λ2 = 1, con lo que todas las conicas son equivalentes, despues de un cambio decoordenadas, a X ′

02 + X ′

12 + X ′

22 = 0. Si en cambio k = R, a la hora de diagonalizar la

matriz simetrica A, tendremos varios casos, dependiendo de la signatura de A:

–Si la signatura de A es (3, 0), podremos obtener λ0 = λ1 = λ2 = 1, con lo que despuesde un cambio de coordenadas tendremos X ′

02 +X ′

12 +X ′

22 = 0, que no tiene puntos reales.

Lo mismo ocurre si la signatura es (0, 3), ya que basta con cambiar el signo a toda laecuacion de la conica.

–Si la signatura de A es (2, 1), podremos obtener λ0 = λ1 = 1, λ2 = −1, con lo quedespues de un cambio de coordenadas tendremos X ′

02 + X ′

12 −X ′

22 = 0, que ahora sı tiene

puntos reales. Como antes, obtenemos lo mismo si la signatura es (1, 2).

29

Definicion. Llamaremos conica no degenerada a una conica representada por una matrizde rango tres. Si no tiene puntos en P2

k, diremos que es una conica imaginaria.

Resumimos a continuacion en sendas tablas la clasificacion de conicas que hemosobtenido cuando k es algebraicamente cerrado y cuando k = R.

Conicas en P2k con k algebraicamente cerrado

Tipo de conica Caracterizacion

Conica no degenerada rg(A) = 3

Par de rectas rg(A) = 2

Recta doble rg(A) = 1

Conicas en P2R

Tipo de conica Caracterizacion

Conica no degenerada real rg(A) = 3, sgn(A) = (2, 1), (1, 2)

Conica no degenerada imaginaria rg(A) = 3, sgn(A) = (3, 0), (0, 3)

Par de rectas reales rg(A) = 2, sgn(A) = (1, 1)

Par de rectas imaginarias conjugadas rg(A) = 2, sgn(A) = (2, 0), (0, 2)

Recta doble rg(A) = 1

Proposicion 4.2. Sea C el conjunto de puntos de una conica no degenerada de matriz A

y sea a = (a0 : a1 : a2) un punto de C. Entonces, para cada punto b = (b0 : b1 : b2) distinto

de a, la recta ab corta a C en un solo punto distinto a a, excepto si (a0 a1 a2)A

b0

b1

b2

= 0,

en que la interseccion es solo el punto a.

Demostracion: Parametrizamos la recta que pasa por a y b de la forma (x0 : x1 : x2) =(a0t0 +b0t1 : a1t0 +b1t1 : a2t0 +b2t1) y sustituyendo en la ecuacion de la conica obtenemosque los puntos de la interseccion de la recta y C corresponden a las soluciones de

(a0 a1 a2)A

a0

a1

a2

t20 + 2 (a0 a1 a2)A

b0

b1

b2

t0t1 + (b0 b1 b2)A

b0

b1

b2

t21 = 0.

30

El coeficiente de t20 es cero, ya que a esta en la conica, con lo que obtenemos que lassoluciones son t1 = 0 (que da el punto a) y las soluciones de

2 (a0 a1 a2)A

b0

b1

b2

t0 + (b0 b1 b2)A

b0

b1

b2

t1 = 0.

Basta ver que la ecuacion anterior no es identicamente nula, porque entonces nos dara una

segunda solucion, que coincidira con la primera si y solo si (a0 a1 a2)A

b0

b1

b2

= 0.

Supongamos pues que (a0 a1 a2)A

b0

b1

b2

= 0 y (b0 b1 b2)A

b0

b1

b2

= 0. Eso

quiere decir (junto con la condicion de que a esta en C) que tanto a como b verifican

las ecuaciones (a0 a1 a2)A

X0

X1

X2

= 0 y (b0 b1 b2)A

X0

X1

X2

= 0, es decir, que am-

bas ecuaciones representan a la recta ab y por tanto son proporcionales. Es decir, ex-iste λ ∈ k tal que (a0 a1 a2)A = λ(b0 b1 b2)A. Multiplicando por A−1 obtendrıamos(a0, a1, a2) = λ(b0, b1, b2), lo que es absurdo porque (a0, a1 : a2) = (b0 : b1 : b2).

Definicion. Dada una conica no degenerada de matriz A y un punto a = (a0 : a1 : a2)de la misma, se llama recta tangente a la conica en el punto a a la recta de ecuacion

(a0 a1 a2)A

X0

X1

X2

= 0. Mas en general, dado un punto b = (b0 : b1 : b2), no nece-

sariamente en la conica, se llama recta polar del punto respecto de la conica a la recta de

ecuacion (b0 b1 b2)A

X0

X1

X2

= 0.

Corolario 4.3. Una conica no degenerada C no contiene tres puntos alineados, y en

particular no contiene rectas.

Demostracion: La primera parte es consecuencia inmediata de la Proposicion 4.2. Lasegunda parte se obtiene del hecho de que cualquier recta proyectiva contiene al menostres puntos distintos (ya que esta en biyeccion con P1

k, que contiene los puntos distintos(1 : 0), (0 : 1), (1 : 1)).

Proposicion 4.4. Dada una conica no degenerada de matriz A, el conjunto de rectas

tangentes a ella forma una conica en P2k∗

de matriz A−1.

31

Demostracion: Por definicion, un punto (u0 : u1 : u2) ∈ P2k∗ representa los coeficientes de

una recta tangente a la conica si y solo (u0 u1 u2) = (a0 a1 a2)A para algun (a0 : a1 : a2)de la conica. Equivalentemente (a0 a1 a2) = (u0 u1 u2)A−1 deben ser las coordenadas de

un punto de la curva, es decir, (u0 u1 u2)A−1A(A−1)t

u0

u1

u2

= 0. Como A es simetrica,

(A−1)t = A−1, lo que concluye el resultado.

Definicion. Dada una conica no degenerada C de matriz A se llama conica dual de C, yse denota por C∗, a la conica de P2

k∗ de matriz A−1. Se llama polo de una recta L respecto

de la conica C al punto de P2k que corresponde a la recta de P2

k∗ polar de L respecto de

C∗.

Observacion 4.5. El concepto de polaridad es el realmente importante a la hora dedescribir una conica y, de hecho, explica la definicion, en apariencia artificiosa, que hemosdado de conica como ecuacion y no como conjunto de puntos. En efecto, las conicasdel Ejemplo 4.1 son realmente distintas porque la recta polar del punto (0 : 1 : 1) esX1 + X2 = 0 respecto de la conica X2

0 + X21 + X2

2 = 0, mientras que es X1 + 4X2 = 0respecto de la conica X2

0 + X21 + 4X2

2 = 0.

Recogemos las propiedades de la polaridad en el siguiente resultado:

Proposicion 4.6. Sea C una conica no degenerada de matriz A. Entonces:

(i) Un punto a es el polo de una recta L si y solo si la recta L es la recta polar de a.

(ii) Un punto a esta en la polar de un punto b si y solo si b esta en la polar de a si y solo

si a esta en la recta tangente a C en b si y solo si b esta en la recta tangente a C en a.

(iii) Un punto pertenece a su recta polar si y solo si es un punto de la conica.

(iv) Una recta pasa por su polo si y solo si la recta es tangente a C.

(v) El polo de la recta que pasa por los puntos a y b es la interseccion de las rectas polares

de a y b.

(vi) La recta polar de la interseccion de las rectas L y L′ es la recta que pasa por los polos

de L y L′.

Demostracion: Si a = (a0 : a1 : a2) y L tiene coordenadas (u0 : u1 : u2), entonces L es la

recta polar de a si y solo si A

a0

a1

a2

es proporcional a

u0

u1

u2

, mientras que a es el polo

de L si y solo si A−1

u0

u1

u2

es proporcional a

a0

a1

a2

, y ambas condiciones son claramente

equivalentes.

32

La parte (ii) es clara, ya que, por la Proposicion 4.2, todas esas condiciones son

equivalentes a (a0 a1 a2)A

b0

b1

b2

= 0 (que es equivalente a (b0 b1 b2)A

a0

a1

a2

= 0 por la

simetrıa de A), siendo a = (a0 : a1 : a2), b = (b0 : b1 : b2). Haciendo a = b, obtenemos laparte (iii), de la que (iv) es su aplicacion a C∗.

Por (i) c es el polo de la recta que pasa por a y b si y solo si la recta polar de c es larecta que pasa por a y b, que por (ii) es equivalente a que c este en las rectas polares de a

y b, es decir, c es la interseccion de dichas rectas polares. Esto demuestra (v), y de nuevo(vi) es lo mismo pero en C∗.

Ejemplo 4.7. Aplicando la Proposicion 4.2 a C∗, tendremos que cada haz de rectas conbase fuera de C contiene dos rectas tangentes a C. Hay dos modos de calcular dichasrectas. Veamos ambos metodos por ejemplo para calcular las rectas tangentes a la conicaC de ecuacion X0X2 − X2

1 = 0 que pasan por el punto (0 : 1 : 1):

Metodo 1) Segun hemos visto, la tangente en un punto a de C pasa por (0 : 1 : 1)si y solo si a esta en la recta polar de (0 : 1 : 1). Dicha recta polar tiene de ecuacion

(0 1 1)

0 0 12

0 −1 012 0 0

X0

X1

X2

= 0, es decir, X0 − 2X1 = 0. Por tanto, los puntos de C

cuya tangente pasa por (0 : 1 : 1) son los puntos de interseccion de dicha recta con laconica. Es un simple ejercicio ver que dichos puntos son (0 : 0 : 1) y (4 : 2 : 1), y susrespectivas rectas tangentes son X0 = 0 y X0 − 4X1 + 4X2 = 0, que efectivamente pasanpor (0 : 1 : 1) (si uno tiene fe, puede ahorrarse el calcular las rectas tangentes, y calculardirectamente la recta por (0 : 0 : 1) y (0 : 1 : 1) y la recta por (4 : 2 : 1) y (0 : 1 : 1)).

Metodo 2) Segun la Proposicion 4.4, el conjunto de rectas tangentes a C es una conica

en P2k de matrix

0 0 20 −1 02 0 0

, es decir, la conica de ecuacion U21 − 4U0U2 = 0. Por otra

parte, el haz de rectas que pasan por el punto (0 : 1 : 1) ∈ P2k es la recta de P2

k∗ de ecuacion

U1 + U2 = 0. Se calcula facilmente que la conica U21 − 4U0U2 = 0 y la recta U1 + U2 = 0

se cortan en los puntos (u0 : u1 : u2) = (1 : 0 : 0), (1 : −4 : 4) ∈ P2k∗, que son precisamente

las rectas X0 = 0 y X0 − 4X1 + 4X2 = 0 de P2k.

El siguiente ejemplo sera ilustrativo de como las conicas, al igual que las rectas, sepueden parametrizar.

Ejemplo 4.8. Sea C la conica de ecuacion X0X2 − X21 = 0 y tomemos el punto a =

(1 : 0 : 0) y la recta L : X0 = 0. Parametrizamos L de la forma (t0 : t1) → (0 : t0 : t1).Una parametrizacion de la recta que pasa por (1 : 0 : 0) y (0 : t0 : t1) viene dada por (s0 :

33

s1) → (s0 : t0s1 : t1s1) (usamos como parametros s0, s1, ya que t0, t1 son los parametrosde la recta L), que sustituida en la ecuacion de la conica nos da t1s0s1 − t20s

21 = 0, que

tiene como soluciones (s0 : s1) = (1 : 0) (que corresponde al punto a) y (s0 : s1) = (t20 : t1),que sustituido en la parametrizacion nos da el punto (t20 : t0t1 : t21). Tenemos pues unabiyecccion P1

k → C definida por (t0 : t1) → (t20 : t0t1 : t21).

Proposicion 4.9. Sea C una conica no degenerada y sean a ∈ C y L una recta que

no pasa por a. Sea φ : L → C la aplicacion que asocia a cada p ∈ L el segundo punto

de interseccion de la recta ap con C (si ap es la recta tangente a C entonces φ(p) = a).

Entonces, si ϕ : P1k → L es una parametizacion de L, la composicion φ ϕ : P1

k → C tiene

el aspecto (t0 : t1) → (c00t20 +c01t0t1 +c02t

21 : c10t

20 +c11t0t1 +c12t

21 : c20t

20 +c21t0t1 +c22t

21),

con

∣∣∣∣∣∣

c00 c01 c02

c10 c11 c12

c20 c21 c22

∣∣∣∣∣∣

= 0.

Demostracion: Consiste en esencia en repetir las cuentas de la Proposicion 4.2, pero sinusar notacion matricial (como ilustra el Ejemplo 4.8). Por simplificar, escribiremos laparametrizacion ϕ como (t0 : t1) → (l0 : l1 : l2), donde l0, l1, l2 representan expresioneslineales homogeneas en t0, t1. Una parametrizacion de la recta que pasa por a = (a0 : a1 :a2) y (l0 : l1 : l2) sera de la forma:

(s0 : s1) → (a0s0 + l0s1 : a1s0 + l1s1 : a2s0 + l2s1)

que al sustituir en la ecuacion de la conica nos dara una expresion de la forma (teniendoen cuenta que (a0 : a1 : a2) satisface la ecuacion de la conica, ver la demostracion de laProposicion 4.2):

ls0s1 + qs21 = 0

donde l es una expresion lineal homogenea en t0, t1 y q es una expresion cuadratica ho-mogenea en t0, t1. Como la solucion (s0 : s1) = (1 : 0) es la que nos da el punto a,φ(l0 : l1 : l2) correspondera a la solucion (s0 : s1) = (q : −l), es decir,

φ(l0 : l1 : l2) = (q0 : q1 : q2)

donde q0, q1, q2 son expresiones cuadraticas homogeneas en t0, t1. El resultado estara de-mostrado si vemos que q0, q1, q2 son formas linealmente independientes. Si no fuera ası,existirıa una relacion u0q0 + u1q1 + u2q2 = 0, lo que implicarıa que la conica C estarıacontenida en la recta u0X0+u1X1+u2X2 = 0, lo que es absurdo porque C (que contiene almenos tres puntos, por estar en biyeccion con P1

k) no puede contener tres puntos alineados(por el Corolario 4.3).

Definicion. Llamaremos parametrizacion de una conica C a una biyeccion P1k → C como

en la Proposicion 4.9.

34

Proposicion 4.10. La imagen de cualquier aplicacion P1k → P2

k de la forma (t0 : t1) →

(c00t20+c01t0t1+c02t

21 : c10t

20+c11t0t1+c12t

21 : c20t

20+c21t0t1+c22t

21), con

∣∣∣∣∣∣

c00 c01 c02

c10 c11 c12

c20 c21 c22

∣∣∣∣∣∣

=

0 es una conica no degenerada que se puede transformar, mediante un cambio de coor-

denadas, en X ′0X

′2 − X ′

12 = 0. Como consecuencia, todas las conicas no degeneradas con

algun punto son equivalentes entre sı (en el sentido de que se puede pasar de una a otra

por un cambio de coordenadas.

Demostracion: La ultima afirmacion es consecuencia inmediata de la primera por la

Proposicion 4.9. Sea pues el conjunto de puntos de coordenadas

x0

x1

x2

= P

t20t0t1t21

donde (t0 : t1) varıa en P1k y P =

c00 c01 c02

c10 c11 c12

c20 c21 c22

. Haciendo el cambio de coorde-

nadas

X ′0

X ′1

X ′2

= P−1

X0

X1

X2

el conjunto sera el constituido por los puntos de la forma

(x′0 : x′

1 : x′2) = (t20 : t0t1 : t21), que es precisamente (ver el Ejemplo 4.8) la conica de

ecuacion X ′0X

′2 − X ′

12 = 0. Deshaciendo el cambio de coordenadas, se obtiene que el

conjunto es una conica (no degenerada, por serlo X ′0X

′2 − X ′

12 = 0).

Observacion 4.11. El resultado anterior puede no resultar sorprendente, porque yasabemos que todas las conicas complejas no degeneradas son equivalentes, y que las realesno degeneradas con signatura (2,1) o (1,2) (como es la signatura de la conica X0X2−X2

1 =0) tambien son equivalentes. Sin embargo, es mas sorprendente en otros cuerpos, porejemplo el de los racionales. En efecto, que solo haya una clase de conicas no imaginariasno degeneradas en P2

Q es en principio sorprendente, ya que hay infinitas clases de conicasimaginarias no degeneradas. Por ejemplo, puede demostrarse que no hay ningun cambiode variable en P2

Q que transforme la ecuacion X20 + X2

1 + pX22 = 0 en X2

0 + X21 + p′X2

2 = 0si p y p′ son dos numeros primos distintos.

En la Proposicion 4.9, en realidad la parametrizacion de la conica viene dada por elhaz de rectas Ω(a), y no por la recta L que escogemos arbitrariamente (si lo hemos hechoası es solo porque las cuentas salıan mas sencillas). En concreto, el resultado realmentecanonico serıa:

Proposicion 4.12. Sea C una conica no degenerada, a un punto de C y ψ : Ω(a) → C

la aplicacion que asocia a cada recta L′ que pasa por a el segundo punto de interseccion

de L′ con C. Entonces para cualquier parametrizacion ϕ : P1k → Ω(a), la composicion

ψ ϕ : P1k → C es una parametrizacion de C.

35

Demostracion: Sea L una recta cualquiera que no pase por a y consideremos la proyec-tividad (ver Proposicion 2.18) f : Ω(a) → L definida por L′ → L′ ∩L. Entonces ψ = φ f ,donde φ es la aplicacion φ : L → C de la Proposicion 4.9.

Si ϕ : P1k → Ω(a) es una parametrizacion de Ω(a), entonces, por ser f una proyectivi-

dad, se tendra que f ϕ es una parametrizacion de L. Por tanto, por la Proposicion 4.9,φ f ϕ (es decir, ψ ϕ) es una parametrizacion de C.

Veamos ahora que, recıprocamente, toda parametrizacion de una conica proviene dela proyeccion desde un punto de ella, que ademas podemos tomar arbitrariamente.

Proposicion 4.13. Sea C una conica no degenerada y ϕ′ : P1k → C una parametrizacion

de C. Entonces, para cualquier a ∈ C, ϕ′ = ψϕ, donde ψ es la aplicacion de la Proposicion

4.12 y ϕ : P1k → Ω(a) es una parametrizacion de Ω(a).

Demostracion: Escribimos ϕ′ : P1k → C de la forma (t0 : t1) → (q0 : q1 : q2), donde qi =

Qi(t0, t1), siendo Q0, Q1, Q2 ∈ k[T0, T1] formas cuadraticas homogeneas (independientes).Necesitamos ver que ψ−1 ϕ′ es una parametrizacion ϕ de Ω(a), es decir, que tiene unaexpresion lineal en t0, t1. La imagen de (t0 : t1) sera la recta que pase por a = (a0 : a1 : a2)y (q0 : q1 : q2), es decir, la recta

∣∣∣∣∣∣

X0 X1 X2

a0 a1 a2

q0 q1 q2

∣∣∣∣∣∣

= 0

que es el punto de P2k∗ de coordenadas

(u0 : u1 : u2) = (a1q2 − a2q1 : a2q0 − a0q2 : a0q1 − a1q2).

Aunque esto parece indicar que la expresion queda de grado dos y no de grado uno, enrealidad no es ası. En efecto, el punto a esta en C, por lo que se podra escribir

(a0 : a1 : a2) = (Q0(s0, s1) : Q1(s0, s1) : Q2(s0, s1))

para algun (s0 : s1) ∈ P1k, luego los polinomios a1Q2 − a2Q1, a2Q0 − a0Q2, a0Q1 − a1Q2

tienen a (s0 : s1) como raız. Por tanto, son divisibles por s1T0−s0T1 (ver simultaneamentea esta demostracion el Ejemplo 4.14 siguiente para ilustrar este hecho) y podremos escribir

a1Q2 − a2Q1 = (s1T0 − s0T1)A0

a2Q0 − a0Q2 = (s1T0 − s0T1)A1

a0Q1 − a1Q0 = (s1T0 − s0T1)A2

36

donde A0, A1, A2 ∈ k[T0, T1] son formas lineales homogeneas. Es decir, cancelando el factorcomun podemos escribir

(u0 : u1 : u2) = (A0(t0, t1) : A1(t0, t1) : A2(t0, t1))

que ahora ya representa una parametrizacion de Ω(a).

Ejemplo 4.14. Ilustramos la ultima parte de la demostracion anterior con la conicaC : X0X2 −X2

1 = 0 con su parametrizacion (t0 : t1) → (t20 : t0t1 : t21) (que ademas, por sertodas las conicas equivalentes a esta por un cambio de variable, segun la Proposicion 4.10,sirve en realidad para cualquier conica). Tomamos el punto a = (s2

0 : s0s1 : s21), y entonces

los coeficientes de la recta que pasa por a y (t20 : t0t1 : t21) son

(u0 : u1 : u2) = (s0s1t21 − s2

1t0t1 : s21t

20 − s2

0t21 : s2

0t0t1 − s0s1t20).

Efectivamente, todas las coordenadas son divisibles por s1t0 − s0t1 y, una vez eliminado elfactor comun, queda

(u0 : u1 : u2) = (−s1t1 : s1t0 + s0t1 : −s0t0).

Ahora ya no hay indeterminacion para el unico valor conflictivo, (t0 : t1) = (s0 : s1), parael que queda la recta de coeficientes (−s2

1 : 2s0s1 : −s20), que es precisamente la recta

tangente a C en el punto a.

Corolario 4.15. Si ϕ, ϕ′ : P1k → C son dos parametrizaciones distintas de una conica no

degenerada C, entonces ϕ′ = ϕ α, donde α : P1k → P1

k es un cambio de variable en P1k.

Demostracion: Sea ψ : Ω(a) → C la aplicacion de la Proposicion 4.12. Entonces, porla Proposicion 4.13, ψ−1ϕ y ψ−1ϕ′ son parametrizaciones de Ω(a). Por el Lema 2.16,se tendra que ψ−1ϕ′ = ψ−1ϕα, donde α : P1

k → P1k es un cambio de variable en P1

k.Componiendo a la izquierda con ψ se concluye el resultado.

Corolario 4.16 (Teorema de Chasles). Sea C una conica no degenerada y sean a, a′ ∈ C.

Consideramos la aplicacion f : Ω(a) → Ω(a′) que asocia a cada recta L que pasa por a la

recta generada por a′ y el punto de interseccion de L con C distinto de a (entendiendo que

cuando L es tangente a C se define f(L) = aa′, y que ademas f(aa′) es la recta tangente

a C en a′). Entonces f es una proyectividad.

Demostracion: Sean ψ : Ω(a) → C y ψ′ : Ω(a′) → C las aplicaciones definidas en laProposicion 4.12. Entonces f = ψ′−1 ψ. Sea ϕ : P1

k → C una parametrizacion cualquiera.

37

Por la Proposicion 4.13 se tiene que ψ−1ϕ y ψ′−1ϕ son parametrizaciones de Ω(a). Comoψ′−1ϕ = f ψ−1ϕ, se sigue que f es una proyectividad (ver Lema 2.17(i)).

Observacion 4.17. El corolario anterior indica que, dada una conica no degeneradaC y cuatro puntos a, b, c, d sobre ella, se puede definir su razon doble: basta escoger unpunto p ∈ C y considerar la razon doble de las rectas pa, pb, pc, pd (ver la Observacion3.10). Esta definicion no depende de la eleccion del punto p, ya que el Corolario 4.16implica que, escogiendo otro punto p, tenemos una proyectividad f : Ω(p) → Ω(p′) talque f(pa) = p′a, f(pb) = p′b, f(pc) = p′c, f(pd) = p′d, y por el Teorema 3.4 se tendra[pa, pb, pc, pd] = [p′a, p′b, p′c, pd′].

El teorema de Chasles esta diciendo que, dada una conica no degenerada, sus puntosse pueden obtener de la siguiente forma: fijamos dos puntos a, a′ de la conica y tomamosla proyectividad f : Ω(a) → Ω(a′) del Corolario 4.16 (que verifica f(aa′) = aa′); entoncesla conica es el conjunto de las intersecciones L∩f(L) cuando L varıa en Ω(a). El siguienteresultado afirma que una construccion general de esta forma produce siempre una conicano degenerada:

Teorema 4.18 (Construccion de Steiner). Sean a, a′ ∈ P2k dos puntos distintos y sea

f : Ω(a) → Ω(a′) una proyectividad tal que f(aa′) = aa′. Entonces el conjunto C =L ∩ f(L) | L ∈ Ω(a) es una conica no degenerada que pasa por a y a′.

Demostracion: Sea ϕ : P1k → Ω(a) una parametrizacion definida por

(t0 : t1) → (u0 : u1 : u2) = (l0, l1 : l2),

donde l0, l1, l2 son expresiones lineales homogeneas en t0, t1. Como f es una proyectividad,f ϕ es una parametrizacion de Ω(a′), que tendra por tanto el aspecto

(t0 : t1) → (u0 : u1 : u2) = (l′0, l′1 : l′2),

donde l′0, l′1, l

′2 son de nuevo expresiones lineales homogeneas en t0, t1. El conjunto C sera

entonces el conjunto de puntos de interseccion de las rectas

l0X0 + l1X1 + l2X2 = 0

l′0X0 + l′1X1 + l′2X2 = 0

cuando (t0 : t1) varıa en P1k. Por tanto, C estara parametrizado de la forma

(t0 : t1) → (l1l′2 − l2l′1 : l2l

′0 − l0l

′2 : l0l

′1 − l1l

′0).

38

Por la Proposicion 4.10, el teorema estara demostrado si demostramos que las expresionescuadraticas homogeneas l1l

′2 − l2l

′1, l2l

′0 − l0l

′2, l0l

′1 − l1l

′0 son linealmente independientes.

Supongamos por tanto que no lo fueran. Eso querrıa decir que el conjunto C estarıacontenido en una recta L0. Es decir, para cada L ∈ Ω(a) se tendrıa que L ∩ f(L) es unpunto de la recta L0. En otras palabras, tendrıamos una proyectividad entre dos rectasde P2

k∗ tal que la recta entre cada punto y su imagen pasa siempre por el punto L0 ∈ P2

k∗,

con lo que f serıa una perspectividad de centro L0. Sin embargo esto es absurdo, porquela imagen de aa′ (que es la interseccion de Ω(a) y Ω(a′)) no es aa′.

Observacion 4.19. Notese que, si en la construccion de Steiner quitamos la condicionf(aa′) = aa′, se tiene que la interseccion L ∩ f(L) es siempre un punto excepto en elcaso L = aa′, en que la interseccion es toda aa′. Ademas, como se observa al final dela demostracion del Teorema 4.18, f : Ω(a) → Ω(a′) serıa una perspectividad en P2

k∗, es

decir, existirıa una recta L0 tal que f(L) serıa la recta generada por a y L∩L0. Se tendrıaentonces que C serıa la union de L0 y aa′.

Teorema 4.20. Sean p1, p2, p3, p4, p5 ∈ P2k cinco puntos distintos de modo que no hay

tres entre ellos alineados. Entonces existe una unica conica que pasa por ellos, que ademas

es no degenerada.

Demostracion: Claramente, cualquier conica que pase por los cinco puntos es no dege-nerada, ya que en caso contrario la conica deberıa ser o un par de rectas o una recta doble,y en cualquiera de los dos casos necesariamente tres de los cinco puntos estarıan en unarecta, en contra de nuestra hipotesis. Por otra parte, por el teorema de Chasles (Corolario4.16), si C es una conica no degenerada que pasa por p1, p2, p3, p4, p5, entonces existe unaproyectividad f : Ω(p1) → Ω(p2) tal que f(p1p3) = p2p3, f(p1p4) = p2p4, f(p1p5) = p2p5 yC = L∩ f(L) | L ∈ Ω(p1). Como f esta determinada por la imagen de p1p3, p1p4, p1p5,se tiene que solo existe una posibilidad para f y por tanto una unica C posible. Por otraparte, la construccion de Steiner nos dice que tal construccion nos da una conica (o un parde rectas, segun la Observacion 4.19). Como claramente C definida de ese modo contienea p1, p2, p3, p4, p5, es claro que C es una conica no degenerada.

Teorema 4.21. Sea C una conica no degenerada y L una recta que corta a C en dos puntos

distintos a, b. Entonces, para cada punto c ∈ L \ a, b, si c′ es el punto de interseccion de

L con la recta polar de c respecto de C, se tiene [a, b, c, c′] = −1.

Demostracion: Sea L′ la recta polar de c respecto de C y sean p1, p2 los puntos deinterseccion de L′ con C.

39

c

p1

p2

d

a

b

Por la Observacion 3.10, [a, b, c, c′] = [p1a, p1b, p1c, p1c′], mientras que por la Obser-

vacion 4.17, [p1a, p1b, p1c, p1c′] = [a, b, p1, p2], con lo que se tiene [a, b, c, c′] = [a, b, p1, p2].

Analogamente, cambiando el papel de p1 por p2 se tendra [a, b, c, c′] = [a, b, p2, p1], que,por la Observacion 3.9, es 1

[a,b,p1,p2]. Por tanto, [a, b, c, c′] = 1

[a,b,c,c′] , de donde se deduce(teniendo en cuenta que la razon doble de cuatro puntos distintos es distinta de uno) que[a, b, c, c′] = −1.

40

5. Conicas afines y euclıdeas

En este capıtulo redemostraremos la clasificion de conicas afines y euclıdeas a partirde sus completados proyectivos. Empezaremos con las conicas afines reales, iniciando porlos casos mas sencillos de completado proyectivo.

Proposicion 5.1. Sea C ∈ A2k una conica afın tal que su completado proyectivo es una

recta doble. Entonces C es una recta doble.

Demostracion: Es inmediato: si el completado proyectivo tiene ecuacion (a0X0 + a1X1 +a2X2)2 = 0, entonces C es la recta doble de ecuacion (a0 + a1X + a2Y )2 = 0.

Proposicion 5.2. Sea C ∈ A2k una conica afın tal que su completado proyectivo C es una

par de rectas no imaginarias (resp. imaginarias conjugadas). Entonces se da uno de los

siguientes casos:

(i) La intersccion de C y la recta del infinito consiste en dos puntos no imaginarios

(resp. imaginarios) distintos y entonces C consiste en un par de rectas secantes no

imaginarias (resp. imaginarias conjugadas).

(ii) La intersccion de C y la recta del infinito consiste un solo punto no imaginario (resp.

imaginario) distintos y entonces C consiste en un par de rectas paralelas no imaginarias

(resp. imaginarias conjugadas).

Demostracion: Si la ecuacion de C es (a0X0 + a1X1 + a2X2)(b0X0 + b1X1 + b2X2) = 0,entonces la ecuacion de C es (a0 + a1X + a2Y )(b0 + b1X + b2Y ) = 0, que es la union dedos rectas. La interseccion de C con la recta del infinito son los puntos (0 : a2 : −a1)y (0 : b2 : −b1), que corresponden a los vectores directores de las rectas. Entonces lainterseccion con la recta del infinito sera un solo punto si y solo si las rectas son paralelas.

Para estudiar conicas no degeneradas necesitaremos hacer cambios de coordenadas.Recuerdese que un cambio de coordenadas afın tiene el aspecto

1X ′

Y ′

=

1 0 0α a bβ c d

1XY

con∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣= 0 con lo que se puede extender a un cambio de coordenadas en P2

k de la

forma

X ′0

X ′1

X ′2

=

1 0 0α a bβ c d

X0

X1

X2

. (5.3)

41

Definicion. Se llama completado proyectivo de un cambio de coordenadas afın a un cambiode coordenadas en P2

k como el anterior.

Lema 5.4. Un cambio de coordenadas en P2k es el completado proyectivo de un cambio

afın de coordenadas si y solo si manda la recta del infinito a X ′0 = 0. Ademas, cualquier

proyectividad de la recta del infinito en sı misma se puede ver como la restriccion del

completado proyectivo de un cambio de coordenadas afın.

Demostracion: Claramente, un cambio de coordenadas de la forma (5.3) manda la rectadel infinito a X ′

0 = 0. Concretamente, se tiene la expresion

(0 : X ′1 : X ′

2) = (0 : aX1 + bX2 : cX1 + dX2)

que claramente define una proyectividad de la recta del infinito en sı misma. Recıproca-mente, si tenemos un cambio de coordenadas de P2

k

X ′0

X ′1

X ′2

=

p00 p01 p02

p10 p11 p12

p20 p21 p22

X0

X1

X2

si la recta del infinito va a parar a X ′0 = 0, en particular ocurrira que los puntos (0 : 1 : 0)

y (0 : 0 : 1), que en las nuevas coordenadas son respectivamente (p01 : p11 : p21) y (p02 :p12 : p22) deben tener la primera coordenada cero, es decir p01 = p02 = 0. Por tratarse

de un cambio de coordenadas,

∣∣∣∣∣∣

p00 0 0p10 p11 p12

p20 p21 p22

∣∣∣∣∣∣

= 0, es decir, p00 = 0 y∣∣∣∣

p11 p12

p21 p22

∣∣∣∣= 0.

Dividiendo entonces por p00, el cambio de coordenadas queda de la forma

X ′0

X ′1

X ′2

=

1 0 0p10p01

p11p01

p12p01

p20p01

p21p01

p22p01

X0

X1

X2

con∣∣∣∣

p11p01

p12p01

p21p01

p22p01

∣∣∣∣= 0, que es por tanto el completado proyectivo de un cambio de coorde-

nadas afın.

Por otra parte, cualquier proyectividad de la recta del infinito se puede escribir de la

forma (0 : X1 : X2) → (0 : aX1 + bX2 : cX1 + dX2), con∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣= 0, con lo que viene de

un cambio de coordenadas como (5.3) (que claramente no es unico).

Teorema 5.5. Sea C ∈ A2R una conica afın tal que su completado proyectivo C es una

conica no degenerada real. Entonces:

42

(i) Si C corta a la recta del infinito en un solo punto (es decir, si es tangente a la recta

del infinito), C es una parabola.

(ii) Si C corta a la recta del infinito en dos puntos reales distintos, entonces C es una

hiperbola.

(iii) Si C corta a la recta del infinito en dos puntos imaginarios, entonces C es una elipse

real.

Demostracion: En el caso (i), por el Teorema 2.20, podemos encontrar una proyectividadde la recta del infinito en sı misma que mande su punto de interseccion con C al punto(0 : 0 : 1), luego por el Lema 5.4 existe un cambio de coordenadas afın tal que el puntodel infinito de C es la direccion vertical (y la recta tangente en ese punto es la recta delinfinito). Eso quiere decir que la ecuacion de la conica en las nuevas coordenadas tiene elaspecto aX ′2 + bX ′ + cY ′ +d = 0. Como C es no degenerada, c = 0, con lo que la ecuacionse puede escribir de la forma Y ′ = −a

c X ′2 − bcX ′ − d

c , que claramente es la ecuacion deuna parabola.

En el caso (ii), tomamos una proyectividad de la recta del infinito en sı misma quemande sus puntos de interseccion con C a (0 : 1 : 0) y (0 : 0 : 1). Usando otra vez elLema 5.4, tendremos un cambio de coordenadas afın tal que los puntos del infinito de C

seran el horizontal y el vertical, es decir, que en las nuevas coordenadas tendra de ecuacion

aX ′Y ′ + bX ′ + cY ′ + d con a = 0 y, por ser C no degenerada,

∣∣∣∣∣∣

d b2

c2

b2 0 a

2c2

a2 0

∣∣∣∣∣∣

= 0, i.e.

a(bc − ad) = 0. Dividiendo por a, la ecuacion se puede escribir como (X ′ + ba )(Y ′ + c

a ) =bc−ad

a2 , que claramente corresponde a una hiperbola.

En el caso (iii), por la Proposicion 3.7 podemos construir una proyectividad de larecta del infinito que mande sus puntos de interseccion con C a los puntos (0 : 1 : i) y(0 : 1 : −i) y, como en los casos anteriores, extenderlas al completado proyectivo de uncambio de coordenadas afın. Como consecuencia, en las nuevas coordenadas, C tendra

ecuacion X2 + Y 2 + aX + bY + c = 0, donde la matriz

c a2

b2

a2 1 0b2 0 1

tiene signatura (2, 1)

(no puede tener signatura (1, 2), porque la submatriz diagonal(

1 00 1

)

tiene ya signatura

(2, 0)). Por tanto, su determinante c − a2

4 − b2

4 es negativo. La ecuacion es equivalente a(X+a)2+(Y +b)2+(c− a2

4 − b2

4 ) = 0, que representa una elipse real, ya que c− a2

4 − b2

4 < 0.

Finalmente, estudiamos la conicas no degeneradas imaginarias:

43

Proposicion 5.6. Sea C una conica afın tal que C es una conica no degenerada imagi-

naria. Entonces C es una elipse imaginaria.

Demostracion: Como C es imaginaria, su interseccion con la recta del infinito son dospuntos imaginarios conjugados. Como en la demostracion del caso (iii) del teoremaanterior, podemos encontrar un cambio afın de coordenadas tal que C tenga ecuacion

(X +a)2 +(Y + b)2 +(c− a2

4 − b2

4 ) = 0. La diferencia es que ahora la matriz

c a2

b2

a2 1 0b2 0 1

tiene signatura (3, 0), luego determinante c − a2

4 − b2

4 positivo, con lo que la ecuacionrepresenta una elipse imaginaria.

Observese que, para cada una de las posibilidades de C y su interseccion con la rectadel infinito, nos han salido tipos de conicas que no son afınmente equivalentes. Esto nosda una clasificacion completa de las conicas afines reales, que resumimos en la siguientetabla:

Clasificacion de conicas en A2R

Tipo de conica C Tipo de C C ∩ X0 = 0

Hiperbola No degenerada real Dos puntos reales

Parabola No degenerada real Un puntos real

Elipse real No degenerada real Dos puntos imaginarios

Elipse imaginaria No degenerada imaginaria Dos puntos imaginarios

Par de rectas reales secantes Par de rectas reales Dos puntos reales

Par de rectas reales paralelas Par de rectas reales Un punto real

Par de rectas imaginariasconjugadas secantes Par de rectas imaginarias Dos puntos imaginarios

Par de rectas imaginariasconjugadas paralelas Par de rectas imaginarias Un punto real

Recta doble Recta doble Un punto real

Observese que la clasificacion de conicas afines complejas consiste en la anterior qui-tando todos los casos imaginarios, quedando por tanto como posibilidades la hiperbola, laparabola, el par de rectas secantes, el par de rectas paralelas y la recta doble. En general,para conicas afines sobre cualquier cuerpo k, seguiremos usando el nombre elipse, parabola,

44

etc. de acuerdo con la tabla anterior, segun como sea C y su interseccion con la recta delinfinito.

Ejemplo 5.7. Fijemonos por un instante en el caso de la hiperbola. En la ecuacion re-ducida que hemos obtenido en la demostracion del Teorema 5.5, esta claro que las asıntotasson X ′ + b

a = 0 e Y ′ + ca = 0 despues del cambio de coordenadas. Una pregunta natural

es si se pueden calcular sin hacer el cambio de coordenadas. En estas nuevas coordenadas,el completado proyectivo C tiene ecuaciones

(X ′0 X ′

1 X ′2)

d b2

c2

b2 0 a

2c2

a2 0

X ′0

X ′1

X ′2

= 0

de donde se obtiene que las tangentes a C en sus puntos del infinito (0 : 1 : 0) y (0 : 0 : 1)son respectivamente las rectas b

2X ′0 + a

2X ′2 = 0 y c

2X ′0 + a

2X ′1 = 0, que son precisamente

los completados proyectivos de las asıntotas. Esto motiva la siguiente:

Definicion. Dada una conica afın no degenerada C en A2k tal que su completado corta a

la recta del infinito en dos puntos distintos, llamaremos asıntotas de la conica a la parteafın de las tangentes a C en los puntos del infinito.

Observese que estamos excluyendo el caso de la parabola, en que hay un solo punto enel infinito, cuya recta tangente es la propia recta del infinito, por lo que no tiene parte afın.Estamos admitiendo tambien la existencia de asıntotas en el caso de la elipse (imaginariao no), pero en tal caso seran dos rectas imaginarias. Observese que, sin embargo, estasdos rectas imaginarias se cortan en un punto no imaginario. En efecto, si p1, p2 son losdos puntos del infinito de C (imaginarios o no), las tangentes a C en p1 y p2 son las rectaspolares de dichos puntos, con lo que su interseccion sera el polo de la recta p1p2, es decir,de la recta del infinito (ver la Proposicion 4.6(v)), que no es imaginario. Esto motiva denuevo otra definicion.

Definicion. Se llama centro de una conica afın no degenerada al polo de la recta delinfinito. Una conica cuyo centro sea un punto afın (es decir, que no sea una parabola) sellama conica con centro.

Pasamos ahora a estudiar las conicas euclıdeas. Toda conica euclıdea es una conicaafın, luego una primera aproximacion es la clasificacion que ya tenemos de las conicasafines. Sin embargo, necesitamos una clasificacion un poco mas fina, en el sentido deque dos conicas afınmente equivalentes no son necesariamente equivalentes como conicaseuclıdeas. Por ejemplo, en el plano afın las conicas X2 + Y 2 = 1 y X2 + 4Y 2 = 1 sonequivalentes, porque el cambio de coordenadas (X, Y ) = (X ′, 2Y ′) permite pasar de una a

45

otra. Sin embargo, como conicas euclıdeas no son equivalentes, porque mientras la primeraes una circunferencia (en concreto el conjunto de puntos que distan uno de (0, 0)) la segundano lo es, y cualquier transformacion euclıdea deberıa conservar las distancias. De hecho,los unicos cambios de coordenadas permitidos en el plano euclıdeo son las isometrıas, quetienen la forma

1X ′

Y ′

=

1 0 0α a bβ c d

1XY

con(

a bc d

)

una matriz ortogonal, es decir(

a bc d

) (

a cb d

)

=(

1 00 1

)

. Dependiendo

del signo del determinante (que necesariamente es ±1), se da uno de los siguientes casos(

a bc d

)

=(

cos θ − sen θsen θ cos θ

)

(isometrıa directa)

(

a bc d

)

=(

cos θ sen θsen θ − cos θ

)

(isometrıa inversa)

Como una circunferencia esta caracterizada por ser una elipse real que corta a larecta del infinito en los puntos cıclicos (0 : 1 : i), (0 : 1 : −i), podrıa pensarse que laslos completados proyectivos de isometrıas se caracterizan por preservar los puntos cıclicos.Dicha afirmacion es cierta solo a medias:

Proposicion 5.8. Un cambio de coordenadas en P2R deja invariantes las coordenadas del

conjunto (0 : 1 : i), (0 : 1 : −i) de los puntos cıclicos si y solo si es el completado

proyectivo de la composicion de una homotecia y una isometrıa. Ademas, dicha isometrıa

es directa si y solo si quedan fijas las coordenadas de cada uno de los puntos cıclicos, y

es inversa si las permuta. Finalmente, cualquier proyectividad de la recta del infinito que

deje invariantes las coordenadas del conjunto (0 : 1 : i), (0 : 1 : −i) es restriccion del

completado proyectivo de un cambio de coordenadas isometrico.

Demostracion: En primer lugar, una homotecia tiene de ecuaciones

1X ′

Y ′

=

1 0 0α λ 0β 0 λ

1XY

y su completado proyectivo claramente conserva las coordenadas de cada punto de larecta del infinito (ya que las multiplica todas por la constante λ). Por otra parte, es unasimple comprobacion que el completado proyectivo de una isometrıa directas deja fijas lascoordenadas de los puntos cıclicos, mientras que el de una inversa las intercambia.

Recıprocamente, supongamos que un cambio de coordenadas de P2 conserva las co-ordenadas del conjunto de los puntos cıclicos. Esto implica en primer lugar que manda

46

la recta del infinito a la recta X ′0 = 0, con lo que (por el Lema 5.4) es el completado

proyectivo de un cambio afın de coordenadas, es decir, sera de la forma

X ′0

X ′1

X ′2

=

1 0 0α a bβ c d

X0

X1

X2

con∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣= 0. Las nuevas coordenadas de (0 : 1 : i) y (0 : 1 : −i) seran respectivamente

(0 : a + bi : c + di) y (0 : a − bi : c − di).

Si por ejemplo (0 : a + bi : c + di) = (0 : 1 : i) y (0 : a − bi : c − di) = (0 : 1 : −i),

se tendra∣∣∣∣

a + bi c + di1 i

∣∣∣∣

= 0 =∣∣∣∣

a − bi c − di1 −i

∣∣∣∣, de donde se deduce d = a, b = −c.

Escribiendo a√a2+c2 = cos θ, c√

a2+c2 = sen θ, tendremos

1 0 0α a bβ c d

=

1 0 0α cos θ − sen θβ sen θ cos θ

1 0 00

√a2 + c2 0

0 0√

a2 + c2

que representa la composicion de una homotecia y una isometrıa directa.

Si en cambio (0 : a + bi : c + di) = (0 : 1 : −i) y (0 : a − bi : c − di) = (0 : 1 : i), se

tendra∣∣∣∣

a + bi c + di1 −i

∣∣∣∣= 0 =

∣∣∣∣

a − bi c − di1 i

∣∣∣∣, de donde se deduce ahora d = −a, b = c.

Escribiendo de nuevo a√a2+c2 = cos θ, c√

a2+c2 = sen θ, tendremos

1 0 0α a bβ c d

=

1 0 0α cos θ sen θβ sen θ − cos θ

1 0 00

√a2 + c2 0

0 0√

a2 + c2

que representa ahora la composicion de una homotecia y una isometrıa inversa.

Finalmente, dada una proyectividad (0 : X1 : X2) → (0 : aX1 + bX2 : cX1 + bX2) dela recta del infinito que deje invariantes las coordenadas del conjunto de puntos cıclicos,acabamos de ver que (despues de dividir por

√a2 + c2), se escribe como

(0 : X1 : X2) → (0 : cos θX1 − sen θX2 : sen θX1 + cos θX2)

si deja fijos ambos puntos cıclicos o bien como

(0 : X1 : X2) → (0 : cos θX1 + sen θX2 : sen θX1 − cos θX2)

si los intercambia, con lo que es siempre restriccion del completado proyectivo de unaisometrıa.

47

Definicion. Se llama semejanza a la composicion de una homotecia y una isometrıa. Sedira que es directa o inversa segun lo sea la isometrıa.

El resultado anterior esta diciendo que con la geometrıa proyectiva, mas que geometrıaeuclıdea (la que conserva distancias, es decir, las formas y tamanos), podemos solo hacergeometrıa conforme (la que conserva las formas, pero no necesariamente los tamanos).Este hecho se manifiesta explıcitamente en el siguiente resultado, que muestra de nuevo elpapel fundamental que juegan los puntos cıclicos.

Proposicion 5.9. Sean v = (0 : v1 : v2), w = (0 : w1 : w2) dos puntos del infinito del

plano euclıdeo E2. Si I = (0 : 1 : i), J = (0 : 1 : −i) son los puntos cıclicos, entonces

[I, J, v, w] = cos 2θ + i sen 2θ, donde θ es el angulo que va del vector w = (w1, w2) al vector

v = (v1, v2) en el sentido antihorario. En particular, las direcciones representadas por v y

w son perpendiculares si y solo si [I, J, v, w] = −1.

Demostracion: Por el Lema 3.1, se tiene

[I, J, u, v] =

∣∣∣∣

1 v1

i v2

∣∣∣∣

∣∣∣∣

1 w1

−i w2

∣∣∣∣

∣∣∣∣

1 w1

i w2

∣∣∣∣

∣∣∣∣

1 v1

−i v2

∣∣∣∣

=(v2 − iv1)(w2 + iw1)(w2 − iw1)(v2 + iv1)

=

v2√v21+v2

2

− i v1√v21+v2

2w2√

w21+w2

2

− i w1√w2

1+w22

2

.

Ahora bien, los vectores v y w se pueden ver en el plano de los numeros complejos como v =v1 + iv2 y w = w1 + iw2, y en tal caso sus vectores normalizados (de modulo uno) y giradosnoventa grados en el sentido de las agujas del reloj son precisamente v2√

v21+v2

2

− i v1√v21+v2

2

yw2√

w21+w2

2

− i w1√w2

1+w22

. Por tanto, el angulo del segundo al primero en sentido antihorario

es tambien θ, de donde se sigue

v2√v21+v2

2

−iv1√

v21+v2

2w2√

w21+w2

2

−iw1√

w21+w2

2

= cos θ + i sen θ = eiθ, lo que implica el

resultado.

Observese que en el enunciado anterior no hay indefinicion, ya que si cambiamos desentido uno de los vectores v o w, entonces θ varıa en 180 grados, con lo que su doble esel mismo (modulo 360 grados).

Observacion 5.10. El resultado anterior interpreta entonces lo que son las semejanzas:si son directas, I, J quedan fijos y, al conservarse la razon doble, se preservan los angulos;si son inversas, se intercambian I y J , luego por la Observacion 3.9 invierte la razon doble,que al ser un numero complejo de modulo uno nos da el conjugado, luego cambia el sentidode los angulos.

Veamos tambien lo que podemos decir sobre la razon doble de los puntos cıclicos ydos puntos imaginarios conjugados.

48

Lema 5.11. Sean, p, p dos puntos imaginarios conjugados de la recta del infinito, distintos

de los puntos cıclicos. Entonces, [I, J, p, p] es un numero real positivo. Ademas, existe

λ ∈ R \ 0, 1 tal que, si llamamos q = (0 : 1 : λi), entonces [I, J, p, p] = [I, J, q, q].

Demostracion: La manera mas rapida, aunque poco elegante, es por medio de un simplecalculo. Por simplificar, como p no es real, su coordenada X1 no es cero (porque si no serıael punto (0 : 0 : 1)), ası que podemos escribir p = (0 : 1 : a + bi), con a, b ∈ R y b = 0. Esentonces un simple calculo que

[I, J, p, p] =

∣∣∣∣

1 1i a + bi

∣∣∣∣

∣∣∣∣

1 1−i a − bi

∣∣∣∣

∣∣∣∣

1 1i a − bi

∣∣∣∣

∣∣∣∣

1 1−i a + bi

∣∣∣∣

=(a + (b − 1)i)(a − (b − 1)i)(a − (b + 1)i)(a + (b + 1)i)

=a2 + (b − 1)2

a2 + (b + 1)2

que claramente es un numero positivo. Por tanto, podemos escribir [I, J, p, p] = µ2 paraalgun µ > 0 (ademas, µ = 1). Las mismas cuentas que acabamos de hacer muestran que,

tomando q = (0 : 1 : λi), se tiene [I, J, q, q] =(

λ−1λ+1

)2

, con lo que basta encontrar un λ ∈ Rtal que µ = λ−1

λ+1 , y claramente basta tomar λ = 1+µ1−µ .

Con todo esto, ya podemos ir estudiando los distintos tipos de conicas euclıdeas.

Proposicion 5.12. Toda parabola euclıdea se puede escribir, despues de una cambio de

coordenadas isometrico de la forma Y ′ = aX ′2 para un unico a > 0.

Demostracion: Si p es el punto del infinito de la parabola, por la Proposicion 3.7 existe unaproyectividad de la recta del infinito en sı misma que deja fijos los puntos cıclicos y mandap al punto (0 : 1 : 0), por lo que por la Proposicion 5.8 existe un cambio de coordenadasisometrico tal que la nueva ecuacion de la parabola sera de la forma (haciendo las mismascuentas que en la demostracion del Teorema 5.5) Y ′ = aX ′2 + bX ′ + c con a = 0. Ademas,cambiando Y ′ por −Y ′ si fuera necesario, podemos suponer a > 0. La ecuacion anterior esequivalente a Y ′−c+ 4b2

a2 = a(X ′+ 2ba )2, con lo que llamando X ′′ = X ′+ 2b

a , Y ′′ = Y ′−c+ 4b2

a2

(que es una traslacion y por tanto una isometrıa) se tiene la ecuacion buscada. Como enestas ultimas coordenadas la parabola representa el conjunto de puntos que equidistan delpunto de la recta Y ′′ = − 1

4a y del punto (0, 14a ), el valor a esta unıvocamente determinado

a partir de la parabola, ya que la distancia del punto a la recta, que permanece fijo porisometrıas, es 1

2a .

Proposicion 5.13. Toda hiperbola euclıdea se puede escribir, despues de un cambio de

coordenadas isometrico de la forma X′2

a2 − Y ′2

b2 = 1 para unos unicos a, b > 0.

Demostracion: Sean v, w los puntos del infinito de la hiperbola, y sea cos 2θ + i sen 2θ larazon doble [I, J, v, w] (ver la Proposicion 5.9). Si llamamos v′ = (0 : cos θ

2 : sen θ2 ), w′ =

49

(0 : cos θ2 : − sen θ

2 ), tambien se tiene que [I, J, v′, w′] = cos 2θ + i sen 2θ, por lo queexiste una proyectividad de la recta del infinito en sı misma que manda respectivamenteI, J, v, w a I, J, v′, w′, y por la Proposicion 3.7 sera una proyectividad real. Por tanto,por la Proposicion 5.8 existe un cambio de coordenadas isometrico tal que los puntos delinfinito de la hiperbola tendran coordenadas (0 : cos θ

2 : sen θ2 ), (0 : cos θ

2 : − sen θ2 ), lo que

implica que la ecuacion se puede escribir como sen2 θ2X ′2 − cos2 θ

2Y ′2 + cX ′ + dY ′ + e = 0.Mediante la traslacion (X ′′, Y ′′) = (X ′ + c

2 sen2 θ2, Y ′ − d

2 cos2 θ2) obtenemos una ecuacion de

la forma sen2 θ2X ′′2 − cos2 θ

2Y ′′2 + e′ = 0 (con e′ = 0, ya que se trata de una hiperbola).Podemos suponer e′ < 0 (si fuera e′ > 0, intercambiamos X ′′ e Y ′′ y cambiamos θ porθ + π), y escribiendo e′

sen2 θ = a2, e′

cos2 θ = b2 obtenemos la ecuacion reducida buscada.

En estas coordenadas, la hiperbola consiste en los puntos tales que la diferencia de lasdistancias a los puntos (−

√a2 + b2, 0) y (

√a2 + b2, 0) es, en valor absoluto, igual a 2a. Por

tanto, 2a depende de las propiedades metricas de la hiperbola, ası como 2√

a2 + b2, que es ladistancia entre los puntos (−

√a2 + b2, 0) y (

√a2 + b2, 0). Como consecuencia, a y b estan

determinados unıvocamente por la hiperbola, independientemente de las coordenadas.

Proposicion 5.14. Toda elipse euclıdea real se puede escribir, despues de un cambio de

coordenadas euclıdeo, de la forma X′2

a2 + Y ′2

b2 = 1 para unos unicos a ≥ b > 0.

Demostracion: Como en los casos anteriores, y usando ahora el Lema 5.11, podemos haceruna cambio de coordenadas euclıdeo tal que los puntos del infinito de la elipse sean de laforma (0 : 1 : λi), (0 : 1 : −λi) para algun λ = 0 (si los puntos del infinito de la elipse sonlos puntos cıclicos, no hay que hacer cambio de coordenadas, y tendremos λ = 1. Es decir,que podemos escribir la ecuacion de la elipse como λ2X ′2 + Y ′2 + a′X ′ + b′Y ′ + c′ = 0.Despues de una traslacion (X ′′, Y ′′) = (X ′ + a′

2λ , Y ′ + b′

2 ), la ecuacion tendra el aspectoλ2X ′′2 + Y ′′2 + e′ = 0, para algun e′ ∈ R, que necesariamente es negativo por ser la elipsereal. Escribiendo a =

√−eλ2 , b =

√−e tendremos la ecuacion buscada (si fuera a < b, basta

girar 90 grados o intercambiar X ′′ e Y ′′).

En estas coordenadas, la elipse consiste en los puntos tales que la suma de las distanciasa los puntos (−

√a2 − b2, 0) y (

√a2 − b2, 0) es igual a 2a. Como en el caso de la hiperbola,

2a y 2√

a2 − b2, y por tanto a y b estan determinados unıvocamente por las propiedadesmetricas de la elipse, y por tanto no dependen de las coordenadas.

Observacion 5.15. Se deja como ejercicio para el lector que, en el caso de las demasconicas euclıdeas, la ecuacion reducida queda:

–Elipse imaginaria: X′2

a2 + Y ′2

b2 = −1 para unos unicos a ≥ b > 0.

–Par de rectas reales secantes: sen2 θ2X ′2 − cos2 θ

2Y ′2 = 0, donde θ es el angulo entrelas dos rectas.

50

–Par de rectas imaginarias secantes: λ2X ′2 + Y ′2 = 0, para un unico λ > 0.

–Par de rectas reales paralelas: X ′2 = a2, donde 2a es la distancia entre las dos rectas.

–Par de rectas imaginarias paralelas: X ′2 = −a2, para un unico a > 0.

–Recta doble: X ′2 = 0.

Finalmente, ya que los puntos cıclicos juegan un factor importante en la geometrıaeuclıdea, tambien lo deben jugar sus rectas polares respecto del completado proyectivo dela conica:

Definicion. Dada una conica euclıdea no degenerada C, si L1, L2 son las tangentes a C

que pasan por I, y M1, M2 son las rectas tangentes a C que pasan por J , se llaman focosde la conica a los puntos afines de interseccion de cada Li con cada Mj .

Veamos cuales son los focos de los distintos tipos de conicas euclıdeas reales (con laecuacion ya reducida):

–Si C es la hiperbola X2

a2 − Y 2

b2 = 1, entonces la recta polar a (0 : 1 : ±i) respecto

de C es X1a2 = ± iX2

b2 , que interseca a C (de ecuacion X21

a2 − X22

b2 = X20 ) en los puntos

(−√

a2 + b2i : ±a2i : b2), (√

a2 + b2i : ±a2i : b2). Por tanto las rectas tangentes a C quepasan por (0 : 1 : ±i) son

(a2 + b2)X0 ±√

a2 + b2X1 +√

a2 + b2iX2 = 0

y(a2 + b2)X0 ∓

√

a2 + b2X1 −√

a2 + b2iX2 = 0

con lo que los focos quedan los puntos (−√

a2 + b2, 0), (√

a2 + b2, 0) (0,−√

a2 + b2i) y(0,

√a2 + b2i).

–Si C es la elipse real de ecuacion X2

a2 + Y 2

b2 = 1, las mismas cuentas que antes(basta cambiar b2 por −b2) nos dan como focos los puntos (−

√a2 − b2, 0), (

√a2 − b2, 0)

(0,−√

a2 − b2i) y (0,√

a2 − b2i). Si la elipse fuera imaginaria (cambiando los a2 y b2 porsus opuestos en la ecuacion de C), quedarıan los mismos focos. Observese que, en el casode una circunferencia (real o imaginaria) los cuatro focos coinciden.

–Si C es la parabola de ecuacion Y = aX2, la recta polar a (0 : 1 : ±i) respecto de C

es ∓ i2X0 + aX1 = 0, que intersecada con C (de ecuacion X0X2 = aX2

1 ) nos da los puntos(0 : 0 : 1) y (∓4ai : 2 : ±i). Por tanto, las rectas tangentes a C que pasan por (0 : 1 : ±i)son X0 = 0 y ∓iX0 + 4aX1 ± 4aiX2 = 0, y se obtiene solo un foco, que es el punto afın(0, 1

4a ).

Definicion. Se llaman ejes de una conica euclıdea a:

51

–las rectas que unen los dos focos reales reales o dos focos imaginarios conjugados, enel caso de la hiperbola o una elipse que no sea una circunferencia (hay dos ejes, que sonperpendiculares entre sı y se cortan en el centro de la conica);

–la recta que pasa por el foco de la parabola y su punto del infinito. En este caso, sellama directriz de la parabola a la recta perpendicular al eje que pasa por el simetrico delfoco respecto del punto de interseccion de la parabola con el eje.

52

ESPACIOS PROYECTIVOS

6. Construccion del espacio proyectivo

A la vista de como hemos definido primero P2k y luego P1

k, esta claro que puede gen-eralizarse para definir Pn

k para n arbitrario. Basta definirlo como el conjunto de elementos(a0 : . . . : an) (con no todos los ai nulos) tales que (a0 : . . . : an) = (b0 : . . . : bn) si y solo siexiste λ ∈ k \ 0 tal que (b0, . . . , bn) = λ(a0, . . . , an). De todas formas, una definicion asıno es muy precisa matematicamente. Probemos a dar entonces una descripcion alternativa,que valdra en un contexto mas general. La condicion (b0, . . . , bn) = λ(a0, . . . , an) anteriores en realidad equivalente a decir que los vectores (a0, . . . , an) y (b0, . . . , bn) generan lamisma recta vectorial en kn+1. Mas en general, podemos definir:

Definicion. Se llama proyectivizado de un espacio vectorial V sobre un cuerpo k al con-junto P(V ) de rectas vectoriales de V . Si V = kn+1, escribiremos simplemente Pn

k , y lollamaremos espacio proyectivo de dimension n.

Si consideramos la aplicacion π : V → P(V ) que asocia a cada vector no nulo la rectavectorial que genera en V , tenemos claramente una aplicacion suprayectiva, y ademasπ(v) = π(w) si y solo si existe λ ∈ k \ 0 tal que w = λv. Por tanto, la relacion ∼ enV \ 0 definida por

v ∼ w ⇔ ∃λ ∈ k \ 0 tal que w = λv

es una relacion de equivalencia y ademas el cociente V \ 0 esta en biyeccion con P(V )en forma natural (asociando a la clase de v la recta vectorial generada por v). Por tanto,podemos tambier dar la siguiente:

Definicion (otra definicion equivalente de espacio proyectivo). El proyectivizado de unespacio vectorial V es el cociente P(V ) de V \ 0 por la relacion de equivalencia ∼. Alpunto de P(V ) que corresponde a la clase del vector v la denotaremos por [v]. Si V = kn+1,el punto de Pn

k que corresponde a la clase del vector (a0, . . . , an) la denotaremos por(a0 : . . . : an) en vez de [(a0, . . . , an)].

Si V es un espacio vectorial de dimension finita de dimension n + 1, tomando unabase de V cada vector de V puede representarse por n + 1 coordenadas, por lo que cadaelemento de P(V ) puede representarse por un elemento de Pn

k . Por tanto, P(V ) se puedeidentificar con Pn

k (ya veremos esto con mas precision cuando describamos los sistemas dereferencia).

53

Definicion. Dado un espacio proyectivo P(V ), se llama subespacio proyectivo o lineal dedimension r a un subconjunto de la forma P(W ), donde W es un subespacio vectorial dedimension r + 1. A los subespacios proyectivos de dimension uno se les llama rectas, a losde dimension dos se les llama planos y a los de dimension n − 1 (donde n es la dimensionde P(V ), es decir dim(V ) = n+1) se les llama hiperplanos. Por definicion, los subespaciosproyectivos de dimension cero son los puntos. Por convenio, el conjunto vacıo (que sepuede ver como el proyectivizado del subespacio cero) diremos que tiene dimension −1.

Observese que una hipersuperficie proyectiva P(W ) de P(V ) es lo mismo que unahipersuperficie vectorial W de V , que viene dada por tanto por una ecuacion, que es unaforma lineal no nula sobre V (que es lo que ocurrıa para las rectas de P2

k). Ademas, dosecuaciones definen la misma hipersuperficie si y solo si son proporcionales. Por tanto, elconjunto de hipersuperficies de P(V ) se identifica con el conjunto de formas lineales nonulas sobre V modulo proporcionalidad, es decir, V ∗ \ 0/ ∼, que es precisamente P(V ∗).Generalizando la nocion de plano dual, tendremos entonces:

Definicion. Se llama espacio proyectivo dual de un espacio proyectivo P(V ) al conjuntoP(V )∗ de todos los hiperplanos de P(V ). Es otro espacio proyectivo que se puede identificarcon P(V ∗).

Por otra parte, una recta P(W ) ⊂ Pnk corresponde a un subespacio W ⊂ kn+1

de dimension dos, que se podra generar por dos vectores linealmente independientes(a0, . . . , an), (b0, . . . , bn). Por tanto, un vector (x0, . . . , xn) esta en W (que es lo mismoque decir que el punto (x0 : . . . : xn) esta en P(W )) si y solo si existen t0, t1 ∈ k (no ambosnulos) tales que

x0 =a0t0 + b0t1

...

xn =ant0 + bnt1

con lo que recobramos la parametrizacion de las rectas (y no solo en P2k).

Observacion 6.1. Dados subespacios P(W1), . . . ,P(Ws) de un espacio proyectivo P(V ),se pueden hacer las siguientes operaciones:

–La interseccion P(W1) ∩ . . . ∩ P(Ws), que consistira en los elementos [v] tales que v

esta en cada Wi, es decir, que P(W1) ∩ . . . ∩ P(Ws) = P(W1 ∩ . . . ∩ Ws), con lo que enparticular la interseccion de subespacios es otro subespacio.

–El mınimo subespacio P(W ) que los contiene, luego W sera el mınimo subespaciovectorial que contiene a W1, . . . , Ws, es decir, W = W1 + . . . + Ws.

54

Definicion. Se llama subespacio generado por los subespacios P(W1), . . . ,P(Ws), y lo de-notaremos por < P(W1), . . . ,P(Ws) > al mınimo subespacio proyectivo que los contiene.Como hemos visto, < P(W1), . . . ,P(Ws) >= P(W1 + . . . + Ws).

Proposicion 6.2 (formula de Grassmann). Sean P(W1),P(W2) subespacios proyectivos

de P(V ). Entonces

dim < P(W1),P(W2) >= dimP(W1) + dimP(W2) − dimP(W1 ∩ W2).

Demostracion: Hemos visto que < P(W1),P(W2) >= P(W1+W2), luego por definicion ten-dremos que dim < P(W1),P(W2) >= dim(W1 +W2)−1, que por la formula de Grassmannvectorial sera igual a dimW1 + dimW2 − dim(W1 −W2) = (dimW1 − 1) + (dimW2 − 1)−(dim(W1∩W2)−1), que por definicion es igual a dimP(W1)+dimP(W2)−dimP(W1∩W2).

Corolario 6.3. Sean Λ,Λ′ dos subespacios proyectivos de dimensiones respectivas r, r′ en

un espacio proyectivo de dimension n. Entonces, si r + r′ ≥ n, la interseccion de Λ y Λ′

tiene dimension al menos r + r′ − n (y por tanto es no vacıa).

Demostracion: Por la formula de Grassmann, dim(Λ∩Λ′) = r+r′−dim < Λ,Λ′ >. Comoclaramente dim < Λ,Λ′ >≥ n, el resultado se sigue inmediatamente.

Corolario 6.4. Sea Λ un subespacio proyectivo de dimension r. Entonces, si H es un

hiperplano que no contiene a Λ, Λ∩H tiene dimension r− 1 (por ejemplo, una recta y un

hiperplano que no la contiene se intersecan exactamente en un punto).

Demostracion: De nuevo por la formula de Grassmann, se tiene que dim(Λ ∩ H) = n −1 + r − dim < Λ, H >. Como Λ ⊆/ H, se sigue que H ⊆/ < Λ, H >, por lo que < Λ, H >

tiene dimension mayor que n − 1 (y por tanto es el total), es decir dim < Λ, H >= n, dedonde se obtiene dim(Λ ∩ H) = r − 1.

Ejemplo 6.5.Consideramos en P5k, donde usaremos coordenadas (a0 : a1 : a2 : a3 : a4 : a5),

el subespacio de ecuaciones

a0 = 0a3 = 0

a5 = 0a0 +a1 +a2 +a3 +a4 +a5 = 0.

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Como corresponde a un plano vectorial en k6, entonces es una recta L ⊂ P5, que podremosparametrizar como

a0 = 0

a1 = t0

a2 = t1

a3 = 0

a4 = −t0 − t1

a5 = 0

Este ejemplo no esta escogido al azar. De hecho, un punto (a0 : a1 : a2 : a3 : a4 : a5) ∈P5

k se puede identificar con la conica de P2k de ecuacion a0X

20 + a1X0X1 + a2X0X2 +

a3X21 + a4X1X2 + a5X

22 = 0 (ya que dos ecuaciones definen la misma conica si y solo si

sus ecuaciones tienen sus coeficientes proporcionales). Con esta identificacion, se observainmediatamente que

• a0 = 0 si y solo si el punto (1 : 0 : 0) pertenece a la conica.

• a1 = 0 si y solo si el punto (0 : 1 : 0) pertenece a la conica.

• a3 = 0 si y solo si el punto (0 : 0 : 1) pertenece a la conica.

• a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0 si y solo si el punto (1 : 1 : 1) pertenece a la conica.

Por tanto, L se interpreta dentro del conjunto de las conicas de P2k como el subconjunto

de aquellas que pasan por los puntos (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1). Laparametrizacion anterior de L nos esta diciendo que cualquier conica que pase por dichospuntos se puede escribir de la forma

t0(X0X1 − X1X2) + t1(X0X2 − X1X2).

Observese que se obtiene entonces una combinacion lineal generica del par de rectasX1(X0 − X2) (que son las rectas que pasan respectivamente por (1 : 0 : 0), (0 : 0 : 1)y por (0 : 1 : 0), (1 : 1 : 1)) y del par de rectas X2(X0 − X1) (que son las rectas que pasanrespectivamente por (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0) y por (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1)).

Definicion. Se llama haz de conicas a un subconjunto L de conicas de P2k, que, visto como

subconjunto de P5k, forme una recta L ⊂ P5

k.

Observacion 6.6. Identificaremos, como en el ejemplo anterior, el conjunto de conicascon P5

k. Para cualquier punto p = (b0 : b1 : b2), el conjunto Hp de las conicas que pasanpor p tiene ecuacion b2

0a0 +b0b1a1 +b0b2a2 +b21a3 +b1b2a4 +b2

2a5 = 0, que es un hiperplanoen P5

k (el recıproco no es cierto: es un simple ejercicio ver que, por ejemplo, el hiperplanoa1 = 0 no corresponde a las conicas que pasan por algun punto). Por tanto, uno se espera

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que las conicas que pasan por cuatro puntos (al ser la interseccion de cuatro hiperplanosde P5

k) sea un subconjunto proyectivo de dimension uno, es decir, un haz. El siguienteresultado da la respuesta completa.

Proposicion 6.7. Sean p1, p2, p3, p4 ∈ P2k cuatro puntos distintos. Entonces:

(i) El conjunto de conicas que pasan por p1, p2, p3 es un subconjunto proyectivo de P5k de

dimension dos.

(ii) El conjunto de conicas que pasan por p1, p2, p3, p4 forma un haz si y solo si no existe

una recta que pase por p1, p2, p3, p4.

Demostracion: La idea para demostrar (i) es aplicar sucesivamente el Lema 6.4 paracalcular la dimension del subconjunto Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3 (que es precisamente el conjuntode conicas que pasan por p1, p2, p3). En primer lugar, Hp1 es un hiperplano, luego tienedimension cuatro. Claramente Hp1 no esta contenido en Hp2 (basta tomar una recta dobleque pase por p1 y que no pase por p1), ası que el Lema 6.4 implica que Hp1 ∩ Hp2 tienedimension tres. De nuevo, Hp1 ∩ Hp2 no esta contenido en el hiperplano Hp3 (tomese porejemplo un par de rectas, una que pase por p1 y no por p3 y otra que pase por p2 y nopor p3), con lo que el Lema 6.4 nos dice ahora que Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3 tiene dimension dos,lo que demuestra (i).

Para demostrar (ii), supongamos en primer lugar que no existe ninguna recta quecontenga a p1, p2, p3, p4. Por tanto, el punto p4 no puede estar al mismo tiempo en lasrectas p1p2, p1p3, p2p3. Sin perdida de generalidad, podemos suponer por ejemplo que p4

no esta en p1p2. Tomando entonces la conica formada por la recta p1p2 y cualquier rectaque pase por p3 pero no por p4, se concluye que Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3 no esta contenido enHp4 . Aplicando una vez mas el Lema 6.4, se concluye que Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3 ∩ Hp4 tienedimension uno, luego es efectivamente un haz de conicas.

Si en cambio suponemos que p1, p2, p3, p4 estan todos en una recta de ecuacion u0X0+u1X1 +u2X2 = 0, entonces todas las conicas de la forma t0(u0X

20 +u1X0X1 +u2X0X2)+

t1(u0X0X1+u1X21 +u2X1X2)+t2(u0X0X2+u1X1X2+u2X

22 ) = 0 pasan por p1, p2, p3, p4.

Esto da un subespacio de P5k de ecuaciones parametricas

a0 = u0t0a1 = u1t0 + u0t1a2 = u2t0 + u0t2a3 = u1t1a4 = u2t1 + u1t2a5 = u2t2

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Dado que la matriz de coeficientes

u0 0 0u1 u0 0u2 0 u0

0 u1 00 u2 u1

0 0 u2

tiene claramente rango tres (ya que

u0, u1, u2 no son todos nulos), estas ecuaciones definen un subespacio vectorial de dimensiontres de k5 y por tanto un subespacio proyectivo de dimension dos de P5

k. Esto demuestra queel conjunto de conicas que pasan por p1, p2, p3, p4 no es un haz (y de hecho es exactamenteun subespacio proyectivo de dimension dos de P5

k, ya que Hp1 ∩ Hp2 ∩ Hp3 ∩ Hp4 estacontenido en Hp1∩Hp2∩Hp3 , que por (i) tiene dimension dos; esto demuestra que, ademas,las conicas que pasan por p1, p2, p3, p4 consisten en un par de rectas, una de las cuales esla que contiene a p1, p2, p3, p4).

La pregunta natural es: ¿Son todos los haces de conicas de la forma anterior (es decir,conjuntos de conicas que pasan por cuatro puntos no alineados)? Para responder a eso,damos primero la siguiente:

Definicion. Se llama base de un haz de conicas al conjunto de puntos de P2k que estan en

todas las conicas de un haz.

Lema 6.8. Sea A ⊂ P5k un haz de conicas. Entonces, dadas dos conicas cualesquiera de

C1, C2 ∈ A, la base de A es C1 ∩ C2. Por tanto, la base de A o bien es un conjunto finito

de a lo mas cuatro punto, o bien es una recta y un punto o bien es una recta.

Demostracion: Evidentemente, como los puntos de la base de A estan en cada conica delhaz, en particular estan en C1 y C2, luego estan en C1 ∩ C2. Recıprocamente, sea p unpunto de la interseccion de C1 y C2. Si F1, F2 ∈ k[X0, X1, X2] son ecuaciones de C1 y C2

respectivamente, se tendra que F (p1) = F (p2) = 0. Por tanto, como cualquier conica deA tiene de ecuacion t0F1 + t1F2 y evidentemente t0F1(p) + t1F2(p) = 0, entonces p estatambien en cualquier conica del haz.

Para ver como puede ser la base de A, supongamos en primer lugar que A contieneuna conica no degenerada C1. Si es imaginaria, entonces claramente la base del haz es elconjunto vacıo. Si C1 no es imaginaria, entonces se puede parametrizar, y al cortar concualquier otra conica del haz obtenemos cuatro puntos (contados con multiplicidad, luegoel numero de puntos distintos puede ser menor que cuatro).

Supongamos en cambio que todas las conicas de A son degeneradas. Si todas fueranrectas dobles, entonces es claro que la base del haz serıa exactamente un punto (el deinterseccion de dos de las rectas dobles cualesquiera del haz). Si en cambio existe un parde rectas L1 ∪ L2 en A, entonces otro par de rectas en A o bien consiste en dos rectas

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ambas distintas a L1, L2 (con lo que la base del haz sera un conjunto de a lo mas cuatropuntos) o bien sera la union de, por ejemplo, L1 con otra recta L′

2 (en cuyo caso la basede A es L1 mas el punto de interseccion de L2 y L′

2, que podrıa estar dentro de L1.

Observacion 6.9. No es difıcil construir ejemplos de haces de conicas para cada una delas posibles bases dadas por el resultado anterior. Observese que, en los casos en que labase del haz es un conjunto de puntos, en realidad se puede considerar que salen siemprecuatro puntos, si se incluyen los imaginarios y tambien la multiplicidad. Por ejemplo, labase del haz de conicas reales

t0(X0X2 − X21 ) + t1(X2

0 + X21 ) = 0

consiste en el punto (0 : 0 : 1), contado con multiplicidad dos, y en los puntos imaginarios(1 : i : −1), (1 : −i : −1) (al sustituir la parametrizacion (s2

0 : s0s1 : s21) de la primera

conica se obtiene s20(s

20 +s2

1)). Si la base del haz es una recta L1 y un punto p fuera de ella,tomando p1, p2, p3 ∈ L, el haz se puede describir como el conjunto de conicas que pasanpor p1, p2, p3, p. Si en cambio el haz de conicas son los pares de rectas tales que una de lasrectas es L y la otra pasa por un punto p ∈ L, entonces, tomando p1, p2 ∈ L distintos de p,se podrıa ver el haz como el conjunto de conicas que pasan por p1, p2 y “pasan dos veces”por p. Por tanto, en cualquiera de los casos un haz se puede describir como el conjunto deconicas que pasan por cuatro puntos, aunque alguno cuente varias veces o sea imaginario.

Observacion 6.10. Notese que todos los haces de conicas contienen conicas degeneradas.La mejor forma de verlo es con un ejemplo. Si consideramos el haz de la observacionanterior, la matriz de una conica del haz sera

t1 0 t02

0 t0 − t1 0t02 0 0

luego la conica sera degenerada si y solo si la matriz tiene determinante cero, es decir,(

t02

)2 (t0 − t1) = 0, que nos da las soluciones (t0 : t1) = (0 : 1) con multiplicidad dosy (t0 : t1) = (1 : 1), que dan respectivamente las conicas X2

0 + X21 = 0 (par de rectas

imaginarias conjugadas) y X0(X0 + X2) = 0 (par de rectas reales). En principio, puedeparecer extrano que el ultimo par de rectas pase con multiplicidad dos por (0 : 0 : 1), yaque solo la rectas X0 = 0 pasa por ese punto. En realidad, es que el hecho de pasar conmultiplicidad dos por un punto es mas sofisticado de la idea intuitiva que hemos dado. Porejemplo, en este caso, las conicas del haz pasan por (0 : 0 : 1) con recta tangente X0 = 0,es decir, que pasan por el punto y por otro “infinitamente proximo” en esa direccion (otraforma de decirlo, para incluir tambien las conicas degeneradas, es que la recta X0 = 0corta a las conicas del haz en (0 : 0 : 1) con multiplicidad dos).

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En general, el determinante de la matriz de la conica general del haz es o bien identicamentenulo (si todas las conicas del haz son degeneradas) o bien homogeneo de grado tres en t0, t1,con lo que da tres soluciones contadas con multiplicidad. Por ejemplo, en el caso masgeneral del haz de conicas que pasan por cuatro puntos p1, p2, p3, p4 tales que no hay tresalineados, hay tres conicas degeneradas, que son los pares de rectas p1p2∪p3p4, p1p3∪p2p4

y p1p4 ∪ p2p3.

Estudiamos ahora la dualidad en el espacio proyectivo, que no es sino la traduccionde la dualidad en espacios vectoriales.

Teorema 6.11. Sea P(V ) un espacio vectorial de dimension n. Para cada subespacio

proyectivo Λ ⊂ P(V ) definimos

Ω(Λ) := H ∈ P(V )∗ | Λ ⊂ H

y para cada subespacio proyectivo A ⊂ P(V )∗ definimos

Ω∗(A) :=⋂

H∈A

H.

Entonces:

(i) Si dim Λ = r, entonces Ω(Λ) es un subespacio proyectivo de P(V )∗ de dimension

n − r − 1.

(ii) Si dimA = s, entonces Ω∗(A) es un subespacio proyectivo de P(V ) de dimension

n − s − 1.

(iii) Ω y Ω∗ definen biyecciones entre el conjunto de subespacios proyectivos de P(V ) y el

conjunto de subespacios proyectivos de P(V ) que son inversas la una de la otra.

(iv) Si Λ,Λ′ son subespacios proyectivos de P(V ), entonces Ω(Λ ∩ Λ′) =< Ω(Λ),Ω(Λ′) >

y Ω(< Λ,Λ′ >) = Ω(Λ) ∩ Ω(Λ′).

(v) Si A, A′ son subespacios proyectivos de P(V )∗, entonces Ω∗(A∩A′) =< Ω∗(A),Ω∗(A′) >

y Ω∗(< A, A′ >) = Ω∗(A) ∩ Ω∗(A′).

Demostracion: A lo largo de la demostracion supondremos fijada una base de V , con loque trabajaremos con coordenadas respecto de esa base.

Para demostrar (i), un subespacio Λ ⊂ P(V ) de dimension r correspondera a unsubespacio de vectorial de V de dimension r +1, por lo que se podra poner como el subes-pacio generado por vectores independientes (a00, . . . , a0n), . . . , (ar0, . . . , arn). Entonces,una forma lineal u0X0 + . . . + unXn ∈ V ∗ define un hiperplano de P(V ) que contiene a Λ

60

si y solo si

a00u0 + . . . + a0nun = 0...

ar0u0 + . . . + arnun = 0.

Por tanto, estas son las ecuaciones de Ω(Λ), por lo que representa un subespacio de P(V )∗.Ademas, como las r + 1 ecuaciones son linealmente independientes, es un subespacio di-mension n − r − 1.

Para ver (ii), supongamos que A corresponde al subespacio de de V ∗ generado por lasformas lineales independientes

H0 =u00X0 + . . . + u0nXn

...

Hs =us0X0 + . . . + usnXn.

Es claro que la interseccion en P(V ) de los hiperplanos de A coincide con la interseccion delos hiperplanos definidos por H0, . . . , Hs. Al ser independientes, la interseccion de dichoshiperplanos es un subespacio de P(V ) de dimension n − s − 1.

Para la parte (iii), observemos que que para todo subespacio Λ ⊂ P(V ) se tieneΩ∗(Ω(Λ)) =

⋂

H∈Ω(Λ) H =⋂

H⊃Λ H, que claramente contiene a Λ. Como (i) y (ii) implicanque Ω∗(Ω(Λ)) y Λ tienen la misma dimension, se sigue entonces la igualdad Ω∗(Ω(Λ)) = Λ.De la misma forma, para cualquier subespacio A ⊂ P(V )∗ se tiene la inclusion A ⊂Ω(Ω∗(A)) (ya que cualquier hiperplano de A contiene a Ω∗(A), que es la interseccion detodos los hiperplanos de A), y de nuevo por (i) y (ii) es una igualdad.

De (iv) y (v) son inmediatas a partir de la definicion las igualdades Ω(< Λ,Λ′ >) =Ω(Λ)∩Ω(Λ′) y Ω∗(< A, A′ >) = Ω∗(A)∩Ω∗(A′). Las otras dos se obtienen a partir de lasbiyecciones Ω y Ω∗. Por ejemplo, para demostrar la igualdad Ω(Λ∩Λ′) =< Ω(Λ),Ω(Λ′) >

basta demostrar la igualdad

Ω∗(Ω(Λ ∩ Λ′)) = Ω∗(< Ω(Λ),Ω(Λ′) >).

Pero el termino de la izquierda es Λ ∩ Λ′ por (iii), y el termino de la derecha es, comoacabamos de observar, igual a Ω∗(Ω(Λ)) ∩ Ω∗(Ω(Λ′)), que de nuevo por (iii) es igual aΛ ∩ Λ∗.

Definicion. Llamaremos sistema lineal de hiperplanos de dimension s a un subconjuntoproyectivo A ⊂ P(V )∗ de dimension s. Si s = 1, al sistema lineal lo llamaremos haz dehiperplanos. Por el teorema anterior, un sistema lineal de hiperplanos es el conjunto de

61

hiperplanos de P(V ) que contienen a un subespacio proyectivo Λ ⊂ P(V ) de dimensionn − s − 1. Ademas, si M0, . . . , Ms ∈ V ∗ son s + 1 formas lineales independientes quedefinen a Λ, entonces los hiperplanos del sistema lineal Ω(Λ) son los de ecuaciones λ0M0 +. . . + λsMs = 0 con λ0, . . . , λs ∈ k.

62

7. Aplicaciones proyectivas

Ya hemos observado que para dar coordenadas en el espacio proyectivo P(V ) bastadar una base de V y tomar coordenadas respecto de dicha base. Por ejemplo, una recta enP2

k correspondera a un subespacio vectorial de dimension dos de k3, que estara generadopor dos vectores (a0, a1, a2) y (b0, b1, b2). Entonces, podemos decir que un punto de larecta tiene coordenadas (t0 : t1) si es el punto (a0t0 + b0t1 : a1t0 + b1t1 : a2t0 + b2t1). Enotras palabras, dar coordenadas en la recta no es mas que dar una parametrizacion de lamisma. Ya observamos (Observacion 2.10y Teorema 2.11) que la parametrizacion no estadeterminada por los puntos (a0 : a1 : a2) y (b0 : b1 : b2), sino que hace falta un tercerpunto. En general, habra que anadir siempre otro punto para obtener una base:

Proposicion 7.1. Sea p0, . . . , pn+1 un conjunto de n + 2 puntos de un espacio proyectivo

P(V ) tales que no haya ningun hiperplano que contenga a n + 1 de ellos. Entonces existe

una base v0, . . . , vn de V tal que

p0 =[v0]...

pn =[vn]

pn+1 =[v0 + . . . + vn].

Ademas, cualquier otra base que verifique lo mismo es de la forma λv0, . . . , λvn para

algun λ ∈ k \ 0.

Demostracion: Sean w0, . . . , wn+1 ∈ V tales que p0 = [w0], . . . , pn+1 = [wn+1]. Comop0, . . . , pn no estan en ningun hiperplano de P(V ), w0, . . . , wn no estan en ningun hiper-plano de V , es decir, son linealmente independientes, por lo que forman una base de V .Tendremos entonces una relacion

wn+1 = λ0w0 + . . . + λnwn

donde ademas λ0, . . . , λn son todos no nulos (si fuera λi = 0, entonces los vectoresw0, . . . , wi−1, wi+1 . . . , wn+1 serıan linealmente dependientes, con lo que estarıan en unhiperplano, luego los puntos p0, . . . , pi−1, pi+1 . . . , pn+1 estarıan en un hiperplano, en con-tra de nuestra hipotesis). Basta tomar entonces v0 = λ0w0, . . . , vn = λnwn.

Supongamos ahora que tenemos v′0, . . . , v′n ∈ V tales que

p0 =[v′0]...

pn =[v′n]

pn+1 =[v′0 + . . . + v′n]

.

63

Entonces extistiran µ0, . . . , µn+1 tales que

v′0 =µ0v0

...

v′n =µnvn

v′0 + . . . + v′n =µn+1(v0 + . . . + vn).

Sumando las n + 1 primeras igualdades y sustituyendo en la ultima, obtenemos

µ0v0 + . . . + µnvn = µn+1v0 + . . . + µn+1vn.

Como v0, . . . , vn forman una base (en particular son linealmente independientes) se tieneque µ0 = . . . = µn = µn+1, que es lo que querıamos demostrar (llamando λ a este valorcomun).

Definicion. Un conjunto de puntos en posicion general en un espacio proyectivo P(V ) esun conjunto de puntos p0, . . . , ps tales que cualesquiera pi0 , . . . , pir distintos (con r ≤ n)generan un subespacio proyectivo de dimension r. En otras palabras:

–Si s ≤ n, los puntos generan un subespacio de dimension s.

–Si s ≥ n, no existe un hiperplano de P(V ) que contenga ningun subconjunto decardinal n + 1 de los p0, . . . , ps.

Se llama referencia proyectiva de P(V ) a un conjunto ordenado de n+2 puntos en posiciongeneral. Se llama base asociada a una referencia proyectiva a cualquiera de las bases queproporciona el Teorema 7.1.

Corolario 7.2. Sea P(V ) un espacio proyectivo de dimension n y sea R una referencia

proyectiva de P(V ). Entonces la aplicacion ϕR : Pnk → P(V ) que asocia a cada (a0 : . . . : an)

el punto de P(V ) que corresponde a un vector v ∈ V de coordenadas (a0, . . . , an) respecto

de una base asociada a R esta bien definida y es biyectiva.

Demostracion: Sea B = v0, . . . , vn una base asociada a R. Tenemos entonces un iso-morfismo ψB : kn+1 → V de espacios vectoriales que asocia a cada (a0, . . . , an) el vectora0v0 + . . . + anvn. Entonces debe ser ϕR(a0 : . . . : an) = [ψB(a0, . . . , an)], con lo quepara estar bien definido hay que ver que este valor no depende ni del representante de(a0 : . . . : an) ni de la base asociada B.

En primer lugar, si (a0 : . . . : an) = (a′0 : . . . : a′

n), entonces existe λ ∈ k \ 0tal que (a′

0, . . . , a′n) = µ(a0, . . . , an), luego ψB(a′

0, . . . , a′n) = λψB(a0, . . . , an), y por tanto

[ψB(a0, . . . , an)] = [ψB(a′0, . . . , a

′n)].

64

En segundo lugar, si B′ fuera otra base asociada a R, por el Teorema 7.1 se sigue queexiste λ ∈ k \ 0 tal que B′ = λv0, . . . , λvn. Por tanto,

ψB′(a0, . . . , an) = a0λv0 + . . . + anλvn = λ(a0v0 + . . . + anvn) = λψB(a0, . . . , an)

es decir, [ψB(a0, . . . , an)] = [ψB′(a0, . . . , an)].

Definicion. Dado un punto [v] ∈ P(V ), se llaman coordenadas respecto a una referen-cia proyectiva R = p0, . . . , pn, pn+1 a ϕ−1

R ([v]), es decir, a (a0 : . . . : an), donde(a0, . . . , an) son las coordenadas de v respecto de cualquier base asociada a la referen-cia proyectiva. Observese que las coordenadas respecto de R de los puntos p0, . . . , pn, pn+1

son, respectivamente, (1 : 0 : . . . : 0), . . . , (0 : . . . : 0 : 1), (1 : . . . : 1). El punto pn+1 sellama punto unidad de la referencia. Se llama referencia canonica de Pn

k a la referencia(1 : 0 : . . . : 0), . . . , (0 : . . . : 0 : 1), (1 : . . . : 1).

La demostracion del Corolario 7.2 se puede generalizar:

Proposicion 7.3. Sean V, W dos espacios vectoriales de dimension n + 1 sobre k. En-

tonces:

(i) Si ψ : V → W es un isomorfismo de espacios vectoriales, la aplicacion ϕ : P(V ) →P(W ) dada por ϕ([v]) = [ψ(v)] esta bien definida y es una biyeccion.

(ii) Si p0, . . . , pn, pn+1 es una referencia proyectiva de P(V ) y v0, . . . , vn es una base

asociada, ϕ(p0), . . . , ϕ(pn), ϕ(pn+1) es una referencia proyectiva de P(W ) con base

asociada ψ(v0), . . . , ψ(vn).(iii) Dos isomorfismos ψ, ψ′ : V → W definen la misma aplicacion ϕ : P(V ) → P(W ) si y

solo si existe λ ∈ k \ 0 tal que ψ′ = λψ.

Demostracion: Para demostrar (i), observamos primero que ψ(v) = 0 si v = 0, con loque tiene sentido hablar de [ψ(v)]. Ademas, [v] = [v′] si y solo si existe λ ∈ k \ 0 talque v′ = λv, que es equivalente (por ser ψ un biyectiva) a ψ(v′) = ψ(λv); como ψ es unhomomorfismo de espacios vectoriales, ψ(λv) = λψ(v), por lo que la igualdad anterior esequivalente a [ψ(v′)] = [ψ(v)]. Esto demuestra que ϕ esta bien definida y es inyectiva. Lasuprayectividad de ϕ es inmediata, ya que dado [w] ∈ P(W ), por la suprayectividad de ψ

tenemos que existe v ∈ V tal que w = ψ(v). Ademas, como w = 0 y ψ es homomorfismo,se sigue que v = 0. Por tanto, [w] = ϕ([v]).

La parte (ii) es una consecuencia de las igualdades

ϕ(p0) = ϕ([v0]) = [ψ(v0)]

...

65

ϕ(pn) = ϕ([vn]) = [ψ(vn)]

ϕ(pn+1) = ϕ([v0 + . . . + vn]) = [ψ(v0 + . . . + vn)] = [ψ(v0) + . . . + ψ(vn)]

Para la parte (iii), es claro que cualquier isomorfismo de la forma λψ define la mismaaplicacion ϕ que ψ. Recıprocamente, supongamos que ψ, ψ′ definen la misma ϕ. Tomamosp0, . . . , pn, pn+1 una referencia proyectiva de P(V ) y v0, . . . , vn una base asociada suya.Por (ii), ψ(v0), . . . , ψ(vn) como ψ′(v0), . . . , ψ′(vn) son bases de W seran dos basesasociadas de ϕ(p0), . . . , ϕ(pn), ϕ(pn+1). Por la Proposicion 7.1, existe λ ∈ k \0 tal que

ψ′(v0) = λψ(v0)...

ψ′(vn) = λψ(vn)

lo que implica que ψ′ = λψ.

Definicion. Se llama proyectividad entre dos espacios proyectivos P(V ) y P(W ) a unabiyeccion obtenida como en la Proposicion 7.3 a partir de un isomorfismo entre V y W .Se llama parametrizacion de un espacio proyectivo P(V ) a una proyectividad entre Pn

k yP(V ).

Teorema 7.4 (segundo teorema fundamental de la geometrıa proyectiva). Sean P(V ) y

P(W ) dos espacios proyectivos de dimension n y referencias respectivas p0, . . . , pn, pn+1y q0, . . . , qn, qn+1. Entonces existe una unica proyectividad ϕ : P(V ) → P(W ) tal que

ϕ(pi) = qi para i = 0, . . . , n + 1.

Demostracion: Supongamos que ϕ venga definida a partir de un isomorfismo ψ : V → W

y veamos que ψ es unico salvo multiplicacion por constante. Si v0, . . . , vn es una baseasociada a p0, . . . , pn, pn+1, entonces por la Proposicion 7.3(ii), ψ(v0), . . . , ψ(vn) es unabase asociada a q0, . . . , qn, qn+1. Como por la Proposicion 7.1 existen bases asociadasa q0, . . . , qn, qn+1 y todas son proporcionales entre ellas, existen isomorfismos ψ en esascondiciones y todos ellos son proporcionales entre sı.

El motivo de empezar estudiando las aplicaciones que inducen los isomorfismos vec-toriales es que una aplicacion lineal arbitraria F : V → W no da lugar a una aplicacionf : P(V ) → P(W ) bien definida (la definicion seguirıa siendo f([v]) = [F (v)]). Siguiendola demostracion de la Proposicion 7.3, se observa que el problema es que, si F no esinyectiva, existen vectores no nulos v ∈ ker F y entonces f([v]) no esta definida. Indicare-mos el hecho de que una aplicacion no este definida en todos los puntos con la notacionf : P(V )----->P(W ).

66

Definicion. Se llama aplicacion proyectiva entre dos espacios proyectivos P(V ) y P(W ) auna aplicacion f : P(V )----->P(W ) definida por una aplicacion lineal no nula F : V → W .El subespacio P(kerF ) se llama centro de la aplicacion proyectiva.

Ejemplo 7.5. Sea P(V ) un espacio proyectivo de dimension n y sean Λ,Λ′ dos subespaciosdisjuntos de dimensiones r y n − r − 1 (luego por la formula de Grassmann, < Λ,Λ′ >=P(V ). Para cada p ∈ P(V ) \ Λ, podemos considerar el subespacio < p,Λ >, que porla formula de Grassmann tiene dimension r + 1. De nuevo por la formula de Grassmann,dim(< p,Λ > ∩Λ′) = 0, es decir, es un punto p′. Veamos que la aplicacion f : P(V )\Λ → Λ′

es proyectiva (y se llama proyeccion lineal de centro Λ sobre Λ′).

Sean W, W ′ los subespacios vectoriales de V que corresponden respectivamente a Λ,Λ′.Como Λ ∩ Λ′ = ∅, se tiene W ∩ W ′ = 0, y como dim W = r + 1 y dimW ′ = n − r

se sigue que V = W + W ′. Entonces, para cada v ∈ W se puede escribir de formaunica v = w + w′, con w ∈ W y w′ ∈ W ′ \ 0. Por tanto, se tiene w′ = v − w, queclaramente esta en L[v] + W . En otras palabras, el punto [w′] de P(V ) esta tanto en< [v],Λ > como en P(W ′). Como hemos visto que si [v] ∈ P(V ) \ P(W ) hay un unicopunto en < [v],Λ > ∩P(W ′), necesariamente es [w′], por lo que f([v]) = [w′]. Dado que laaplicacion F : V → W ′ que asocia a cada v el unico vector w′ tal que v = w + w′ es unhomomorfismo, se sigue que f es proyectiva.

Podemos ahora generalizar la Proposicion 7.3:

Proposicion 7.6. Sea F : V → V ′ un homomorfismo no nulo de espacios vectoriales y

sea f : P(V )----->P(W ) la aplicacion proyectiva inducida. Entonces

(i) Im f = P(Im F ), luego es un subespacio proyectivo de P(W ) que tiene dimension

dimP(V ) − dim(centro de f) − 1.

(ii) f es suprayectiva si y solo si F es suprayectiva.

(iii) f es inyectiva (donde esta definida) si y solo si F es inyectiva, es decir, si y solo si el

centro de f es vacıo (y por tanto f esta definida en todo P(V )).

(iv) f es una proyectividad si y solo si F es un isomorfismo.

(v) Otro homomorfismo no nulo F ′ : V → W define la misma aplicacion proyectiva f si y

solo si existe λ ∈ k \ 0 tal que F ′ = λF .

Demostracion: Para demostrar (i), basta observar que los elementos de Im f son loselementos de la forma f([v]), con v ∈ V \ ker F , es decir, los elementos de la forma[F (v)] con F (v) = 0, es decir, los elementos de P(Im F ). La formula de la dimension esconsecuencia inmediata de la igualdad dim(ImF ) = dimV − dim kerF .

La parte (ii) es inmediata a partir de (i), de la misma forma que (iv) es consecuenciade (ii) y (iii).

67

Para ver (iii), hay que trabajar un poco mas. Supongamos primero que F es inyectiva.Entonces, si f([v]) = f([v′], se tiene que [F (v)] = F (v′)], por lo que existe λ ∈ k \ 0tal que F (v′) = λF (v). Esto implica que F (v′) = F (λv), que, por la inyectividad de F

implica v′ = λv, es decir, [v] = [v′], con lo que f es inyectiva. Recıprocamente, supongamosahora que f es inyectiva y veamos que ker F = 0. Para ello, tomamos v ∈ ker F y fijamoscualquier v′ ∈ V \ kerF . Entonces tendremos F (v + v′) = F (v) + F (v′) = F (v′) = 0, conlo que tendremos f([v + v′]) = f([v′]). Por la inyectividad de f , existe λ ∈ k \ 0 tal quev + v′ = λv′. Aplicando F , tendremos F (v′) = λF (v′), y como F (v′) = 0, se tendra λ = 1,por lo que v = 0, lo que demuestra ker F = 0.

Finalmente, para ver (v), es evidente que dos aplicaciones lineales proporcionalesdefinen la misma aplicacion proyectiva. Recıprocamente, supongamos que F y F ′ definenla misma aplicacion proyectiva f : P(V )----->P(W ). En particular, el centro de f es tantoP(kerF ) como P(kerF ′), y la imagen de f es tanto P(Im F ) como P(Im F ′). Por tanto,ker F = kerF ′ e Im F = Im F ′. Sea V ′ ⊂ V un subespacio vectorial complementario deker F , es decir, V = kerF ⊕ V ′ y sea W ′ = Im F = Im F ′. Es entonces evidente queF|V ′ , F ′

V ′ : V ′ → W ′ son dos isomorfismos que definen la misma proyectividad f|P(W ′) :P(V ′) → P(W ′). Por tanto, por la Proposicion 7.3(iii), existe λ ∈ k\0 tal que F ′

|V ′ , λFV ′ .Sea ahora cualquier v ∈ V . Como V = kerF ⊕ V ′, podremos escribir v = v0 + v′, conv0 ∈ ker F = kerF ′ y v′ ∈ V ′. Por tanto,

F ′(v) = F ′(v0+v′) = F ′(v0)+F ′(v′) = 0+λF (v) = λF (v0)+λF (v) = λF (v0+v′) = λF (v)

lo que demuestra que F ′ = λF .

El resultado anterior nos permite dar las siguientes definiciones:

Definicion. Se llama matriz de una aplicacion proyectiva f : P(V )----->P(V ) respecto de unpar de sistemas de referencia R,R′ de P(V ) y P(W ) a una matriz de una aplicacion linealF : V → W que induzca f respecto a un par de bases B, B′ asociadas a R,R′. Esta matrizsera unica salvo multiplicacion por constante. Dadas dos referencias proyectiva R,R′ deun mismo espacio proyectivo, se llama matriz de cambio de referencia a una matriz de laaplicacion identidad en P(V ) respecto de las referencias R,R′.

Ejemplo 7.7. Si tenemos una proyectividad entre dos espacios proyectivos P(V ) y P(W ),entonces sabemos que una referencia R de P(V ) va a parar a una referencia R′ de P(W ).Por tanto, la matriz de la proyectividad respecto de R y R′ es la identidad, es decir, elpunto de coordenadas (x0 : . . . : xn) respecto de R va a parar al punto de coordenadas(x0 : . . . : xn) respecto de R′. Recıprocamente, si tenemos una aplicacion f : P(V ) →P(W ) y un par de referencias proyectivas, R de P(V ) y R′ de P(W ), tal que el punto de

68

coordenadas (x0 : . . . : xn) respecto de R va a parar al punto de coordenadas (x0 : . . . : xn)respecto de R′, entonces f es una proyectividad. En efecto, si v0, . . . , vn y w0, . . . , wnson bases asociadas a R y R′ respectivamente, se tendra que f corresponde al isomorfismoV → W que manda el vector x0v0 + . . . + xnvn al vector x0w0 + . . . + xnwn.

Observacion 7.8. Notese que el segundo teorema fundamental de la geometrıa proyectivaes la generalizacion del Teorema 2.20, que es el que permitıa definir razon doble de cuatropuntos de una recta del plano proyectivo. Por tanto, tiene sentido dar la misma definicionde razon doble para cuatro puntos alineados en cualquier espacio proyectivo, y se tendratambien el analogo del Teorema 3.4, es decir, que una aplicacion inyectiva entre dos rectaes una proyectividad si y solo si conserva la razon doble. En el leguaje de coordenadas,se puede interpretar de otro modo. Dados cuatro puntos a, b, c, d de una recta L, la unicaparametrizacion P1

k → L que manda respectivamente (1 : 0), (0 : 1), (1 : 1) a los puntosa, b, c es precisamente la proyectividad que consiste en tomar coordenadas respecto a lareferencia R = a, b, c. Entonces, si (ρ0 : ρ1) son las coordenadas homogeneas de d

respecto de R, la razon doble es por definicion [a, b, c, d] = ρ0ρ1

.

La formula de calculo de la razon doble que dimos en el Lema 3.1 se puede generalizar.La forma mas sencilla de escribirla es que, dados a, b, c, d en una recta L, tomando cualquierreferencia proyectiva R sobre L, si las coordendas de a, b, c, d son respectivamente (a0 :a1), (b0 : b1), (c0 : c1), (d0 : d1), entonces

[a, b, c, d] =

∣∣∣∣

a0 c0

a1 c1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 d0

b1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

a0 d0

a1 d1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

b0 c0

b1 c1

∣∣∣∣

.

Esto es simplemente porque la aplicacion φR : P1k → L dada por las coordenadas respecto

de R es una proyectividad, luego conserva la razon doble.

El hecho de que la conservacion de la razon doble caracterice las proyectividadesde rectas es precisamente el hecho de que las proyectividades estan caracterizadas porconservar coordenadas. En efecto, supongamos que tenemos una aplicacioon inyectiva f :L → L′ entre dos rectas, y sean a, b, c ∈ L puntos distintos. Como f es inyectiva, entoncesf(a), f(b), f(c) son tambien distintos. Tenemos entonces una referencia R = a, b, c de L

y otra f(a), f(b), f(c) de L′. Segun el Ejemplo 7.7, f sera una proyectividad si y solo sitransforma cada punto de coordenadas (ρ0 : ρ1) respecto de R en el punto de coordenadas(ρ0 : ρ1) respecto de R′, lo que es equivalente a que f conserve la razon doble.

Esta ultima observacion se puede generalizar a espacios proyectivos de dimensionarbitraria, y nos permite caracterizar las proyectividades en terminos exclusivamente degeometrıa proyectiva, sin necesidad de usar espacios vectoriales:

69

Teorema 7.9. Sea f : P(V ) → P(W ) una aplicacion inyectiva entre espacios proyectivos.

Entonces f es una proyectividad entre P(V ) y f(P(V )) si y solo si manda puntos alineados

en puntos alineados y conserva la razon doble de cuaternas de puntos alineados.

Demostracion: Lo demostraremos por induccion sobre n = dimP(V ). Si n = 1, entoncesP(V ) es una recta, y por hipotesis su imagen esta contenida en una recta, por lo que estecaso es el Teorema 3.4 (que acabamos de redemostrar en la Observacion 7.8).

Supongamos ahora que n > 1 y que hemos demostrado el resultado para aplicacionesque parten de un espacio proyectivo de dimension n − 1. Observese primero que unaimplicacion es inmediata: si f es una proyectividad sobre la imagen, manda rectas arectas, y la restriccion a ellas es una proyectividad, luego conserva la razon doble.

Para la otra implicacion, fijemos R = p0, p1, . . . , pn, pn+1, una referencia proyectivade P(V ). Para cada i, j ∈ 0, 1, . . . , n, n + 1, sean Λij =< p0, . . . , pi, . . . , pj , . . . , pn+1 >

y pij =< pi, pj > ∩Λij . Por hipotesis de induccion, cada f|Λijes una proyectividad

sobre f(Λij), que sera un subsespacio de dimension n − 1. Como f es inyectiva, entoncesf(pi), f(pj) son distintos y ninguno de ellos esta en f(Λij). Se tendra, por tanto, f(pij) =< f(pi), f(pj) > ∩f(Λij) y, en particular, f(P(V )) estara contenido en el subespacio< f(p0), f(p1), . . . , f(pn), f(pn+1) >=< f(Λij), f(pi), f(pj) >, que tiene dimension n.

El hecho de que cada f|Λijsea una proyectividad sobre F (Λij) implica que los puntos

f(p0), f(p1), . . . , f(pn), f(pn+1) estan en posicion general, y forman una referencia proyec-tiva de < f(p0), f(p1), . . . , f(pn), f(pn+1) >. Consideramos entonces la unica proyectivi-dad F : P(V ) →< f(p0), f(p1), . . . , f(pn), f(pn+1) > que manda cada pi a f(pi). Veamosque F = f , lo que completarıa la demostracion.

En primer lugar, para cada i, j es claro que los puntos p0, . . . , pi, . . . , pj , . . . , pn+1, pij

forman una referencia proyectiva de Λij . Por tanto f|Λijes la unica proyectividad que

manda esa referencia en f(p0), . . . , ˆf(pi), . . . , ˆf(pj), . . . , f(pn+1), f(pij). Como F|Λijtam-

bien verifica lo mismo (para pij se hace como para f), entonces f|Λij= F|Λij

. Por tanto,f(p) = F (p) para cualquier punto p ∈ P(V ) que este en algun Λij .

Por otra parte, si un punto p ∈ P(V ) no esta en ningun Λij , consideramos los puntosp′ =< p, pn+1 > ∩Λ0,n+1 y q′ =< p, pn+1 > ∩Λn,n+1. Usando que tanto f como F

conservan la razon doble, se tendra

[f(p′), f(q′), f(pn+1), f(p)] = [p′, q′, pn+1, p] =

= [F (p′), F (q′), F (pn+1), F (p)] = [f(p′), f(q′), f(pn+1), F (p)]

de donde se deduce (Observacion 3.6) f(p) = F (p).

Observacion 7.10. La hipotesis de conservar la razon doble es fundamental en el Teorema7.9. Por ejemplo, la aplicacion f : P2

C → P2C definida por f(x0 : x1 : x2) = (x0 : x1 : x2)

70

es claramente biyectiva, y la imagen de la recta de ecuacion u0x0 + u1x1 + u2x2 = 0 es larecta de ecuacion u0x0 + u1x1 + u2x2 = 0. Sin embargo, no se conserva la razon doble, yaque, por ejemplo, [(0 : 1 : 0), (1 : 0 : 0), (1 : 1 : 0), (1 : λ : 0)] = λ, mientras que en cambio[(0 : 1 : 0), (1 : 0 : 0), (1 : 1 : 0), (1 : λ : 0)] = λ.

Definicion. Se llama aplicacion semilineal de espacios vectoriales a una aplicacion F :V → W para la que existe un automorfismo de cuerpos σ : k → k tal que F (v1 + v2) =F (v1) + F (v2) y F (λv) = σ(λ)F (v). Se dice tambien que F es σ-semilineal. Si F es unisomorfismo, diremos que es un σ-semiisomorfismo (en cuyo caso F−1 es una aplicacionσ−1-semilineal).

Ejemplo 7.11. Fijada una base v0, . . . , vn de V y un automorfismo de cuerpos σ : k → k,la aplicacion F0 : V → V definida por F0(x0v0 + . . . + xnvn) = σ(x0)v0 + . . . + σ(xn)vn esun σ-semiisomorfismo.

Lema 7.12. Sea F0 : V → V un σ-semiisomorfismo y W un espacio vectorial sobre k.

La asignacion F → F F0 define una biyeccion entre el conjunto de aplicaciones lineales

F : V → W y el conjunto de aplicaciones σ-semilineales F ′ : V → W .

Demostracion: Si F es una aplicacion lineal, entonces se tendra

F F0(λ1v1 + λ2v2) = F (σ(λ1)F0(v1) + σ(λ2)F0(v2)) = σ(λ1)F (F0(v1)) + σ(λ2)F (F0(v2))

por lo que F F0 es una aplicacion σ-semilineal.

Del mismo modo, si F ′ : V → W es una aplicacion σ-semilineal, se tendra

F ′ F−10 (λ1v1 + λ2v2) = λ1F

′(F−10 (v1)) + λ2F

′(F−10 (v2))

por lo que F ′ F−10 es una aplicacion lineal. Por tanto, la asignacion F ′ → F ′ F−1

0 es laasignacion inversa de la dada, con lo que ambas son biyectivas.

Podemos repetir para aplicaciones semilineales todo lo que hemos visto para aplica-ciones lineales. En concreto:

Definicion. Se llama aplicacion semiproyectiva o aplicacion σ-semiproyectiva a una apli-cacion f : P(V ) → P(W ) definida por una aplicacion σ-semilineal V → W no nula (es decir,f([v]) = [F (v)]). Si F es un semiisomorfismo, diremos que f es una σ-semiproyectividad.Por el Lema 7.12, una aplicacion semiproyectiva viene caracterizada por ser la composicionde una semiproyectividad y una aplicacion proyectiva.

71

Teorema 7.13 (Primer teorema fundamental de la geometrıa proyectiva). Una aplicacion

f : P(V ) → P(W ) entre espacios proyectivos de dimension al menos dos es una semiproyec-

tividad entre P(V ) y f(P(V )) si y solo si manda biyectivamente rectas a rectas.

Demostracion: Es claro que una semiproyectividad manda biyectivamente rectas a rectas,ası que basta ver que esta propiedad caracteriza a las semiproyectividades.

Sea pues f : P(V ) → P(W ) una aplicacion inyectiva que manda biyectivamente rectasa rectas. En particular, f es inyectiva, ya que si a = b, la recta ab va biyectivamente aotra recta, por lo que f(a) = f(b).

Veamos que, si [a1, b1, c1, d1] = [a2, b2, c2, d2] para dos cuaternas de puntos alineados enP(V ), entonces tambien [f(a1), f(b1), f(c1), f(d1)] = [f(a2), f(b2), f(c2), f(d2)]. En efecto,la condicion [a1, b1, c1, d1] = [a2, b2, c2, d2] es equivalente a que las cuaternas a1, b1, c1, d1

y a2, b2, c2, d2 se obtienen una de la otra a partir de un numero finito de perspectivi-dades. Como f manda puntos alineados en puntos alineados, se tendra tambien que lascuaternas f(a1), f(b1), f(c1), f(d1) y f(a2), f(b2), f(c2), f(d2) se obtienen una de la otraa partir de un numero finito de perspectividades. Por tanto, [f(a1), f(b1), f(c1), f(d1)] =[f(a2), f(b2), f(c2), f(d2)].

Podemos entonces definir una aplicacion σ : k → k tomando, para cada ρ ∈ k, unacuaterna a, b, c, d ∈ P(V ) tal que [a, b, c, d] = ρ y definiendo σ(ρ) = [f(a), f(b), f(c), f(d)](como casos degenerados, definimos σ(0) = 0 y σ(1) = 1). Veamos en primer lugar que σ

es un automorfismo de cuerpos.

–Dados ρ1, ρ2 ∈ k \ 0, 1, sean a, b, c tres puntos distintos de P(V ) que esten sobreuna misma recta L. Tomamos d ∈ L tal que [a, b, c, d] = ρ1. Como ρ1 = 0, 1, los puntosa, b, d son distintos, luego existe e ∈ L tal que [a, b, d, e] = ρ2. Por la Observacion 3.11tendremos

σ(ρ1ρ2) = σ([a, b, c, d][a, b, d, e]) = σ([a, b, d, e]) =

= [f(a), f(b), f(c), f(e)] = [f(a), f(b), f(c), f(d)][f(a), f(b), f(d), f(e)] = σ(ρ1)σ(ρ2).

Tenemos por tanto que σ(ρ1ρ2) = σ(ρ1)σ(ρ2) para todo ρ1, ρ2 ∈ k (si algun ρi = 0, 1, elresultado es trivial).

–Veamos ahora que σ(ρ1+ρ2) = σ(ρ1)+σ(ρ2) para todo ρ1, ρ2 ∈ k\0 (el caso en quealgun ρi = 0 es trivial). En este caso, podemos tomar tres puntos distintos a, b, c ∈ P(V )sobre una misma recta L, y puntos d1, d2 = a tales que [a, b, c, d1] = ρ1 y [a, b, c, d2] = ρ2.Como P(V ) tiene dimension al menos dos (esta es la parte crucial en que se usa), podemostomar un plano que contenga a L, y el Lema 3.11 nos permite construir geometricamenteun punto d ∈ L tal que [a, b, c, d] = [a, b, c, d1]+[a, b, c, d2]. Como f manda puntos alineadosa puntos alineados, mandara la figura del Lema 3.11 en una figura identica en P(V ), que

72

dara entonces [f(a), f(b), f(c), f(d)] = [f(a), f(b), f(c), f(d1)] + [f(a), f(b), f(c), f(d2)], esdecir, σ(ρ1 + ρ2) = σ(ρ1) + σ(ρ2).

–Con esto tenemos que σ es un homomorfismo de grupos (y en particular inyectivo).Para ver que es suprayectivo, sea ρ′ ∈ k. Tomamos L ⊂ P(V ) una recta cualquiera. Porhipotesis, f(L) es una recta. En particular, podremos encontrar a′, b′, c′, d′ ∈ f(L) talesque [a′, b′, c′, d′] = ρ′. Sean a, b, c, d ∈ L tales que f(a) = a′, f(b) = b′, f(c) = c′ y f(d) = d′

y escribamos ρ = [a, b, c, d]. Se tendra entonces σ(ρ) = ρ′.

Sea ahora g : P(V ) → P(V ) cualquier σ-semiproyectividad. Se tendra entonces quef g−1 es una aplicacion inyectiva que manda puntos alineados en puntos alineados, y queademas conserva la razon doble. Por el Teorema 7.9, la aplicacion f g−1 es una proyec-tividad sobre f g−1(P(V )) = f(P(V )), lo que implica que f es una σ-semiproyectividadsobre f(P(V )).

En el caso en que el cuerpo base es k = R, el Teorema Fundamental caracterizalas proyectividades de un espacio proyectivo (de dimension al menos dos) como aquellasaplicaciones que mandan biyectivamente rectas a rectas, ya que se tiene el siguiente:

Teorema 7.14. Sea σ : R→ R un automorfismo de cuerpos. Entonces σ = idR.

Demostracion: Por ser un automorfismo de cuerpos, σ(1) = 1, y por tanto

σ(n) = σ(1 + n). . . + 1) = 1 + n). . . + 1 = n

para todo n ∈ N. Como σ(−1) = −1, se sigue tambien que σ(a) = a para todo a ∈ Z. Sitomamos ahora q = a

b ∈ Q, se tendra

bσ(q) = σ(b)σ(q) = σ(bq) = σ(a) = a = bq

por lo que σ(q) = q para cualquier q ∈ Q.

Veamos ahora que σ conserva el orden de los reales. En efecto, si α < β, entoncespodremos escribir β − α = ε2, para algun ε ∈ R positivo. Por tanto

σ(β) − σ(α) = σ(β − α) = σ(ε2) = σ(ε)2 > 0

luego σ(α) < σ(β). Veamos finalmente que σ(α) = α para cualquier α ∈ R. En efecto, encaso contrario, se tendrıa α < σ(α) o σ(α) < α. Veamos que el primer caso es imposible,siendo el segundo caso analogo. Si fuera α < σ(α), como los racionales son densos en Q,podrıamos encontrar q ∈ Q tal que α < q < σ(α). Pero eso es imposible, ya que, segunhemos visto, la desigualdad α < q implica la desigualdad σ(α) < σ(q) = q.

73

En el caso k = C, el resultado anterior no es cierto, ya que la conjugacion es unautomorfismo. No es el unico automorfismo distinto de la identidad (aunque sı es el unicocontinuo). De hecho, existem infinitos automorfismos de C, aunque no son faciles deconstruir.

Damos ahora una definicion que de nuevo parece artificial porque necesita pasar porel espacio vectorial, pero que otra vez mas la razon doble nos permitira hacer de formaintrınseca.

Definicion. Dada una referencia proyectiva R de un espacio proyectivo P(V ), se llamareferencia dual a la unica referencia proyectiva R∗ de P(V )∗ que tiene como base asociadauna base dual de una base asociada a R.

Proposicion 7.15. Sea R = p0, . . . , pn, pn+1 una referencia proyectiva de un espacio

proyectivo P(V ). Entonces, la referencia dual R∗ = H0, . . . , Hn, Hn+1 consiste en los

hiperplanos:

H0 =< p1, . . . , pn >

...

Hn =< p0, . . . , pn−1 >

y Hn+1 es el unico hiperplano que contiene a los puntos p′ij donde p′ij es el cuarto armonico

respecto de los puntos pi, pj , < pipj > ∩ < R \ pi, pj >.

Demostracion: Escribimos todo en coordenadas respecto de la referencia R. Entonces lareferencia dual consiste en los hiperplanos

H0 : X0 = 0

...

Hn : Xn = 0

Hn+1 : X0 + . . . + Xn = 0.

Evidentemente, H0, . . . , Hn consiste en los hiperplanos del enunciado, ası que basta com-probar que Hn+1 es el del enunciado. Para cada i, j ∈ 0, . . . , n (supondremos i < j), elhiperplano < R \ pi, pj > tiene ecuacion Xi − Xj = 0, con lo que su interseccion con la

recta < pi, pj > tiene coordenadas (0 : . . . : 0 :i)

1 : 0 . . . 0 :j)

1 : 0 : . . . : 0), luego el punto p′ij

tiene coordenadas (0 : . . . : 0 :i)

1 : 0 . . . 0 :j)− 1 : 0 : . . . : 0). Es entonces claro queHij es el

hiperplano generado por los puntos pij .

74

Proposicion 7.16. Sea f : P(V )----->P(W ) una aplicacion proyectiva que tiene matriz

A respecto de las referencias R y R′. Entonces, la aplicacion f∗ : P(W )∗----->P(V )∗ que

asocia a cada hiperplano H ′ ⊂ P(W ) que no contiene a Im f el hiperplano f−1(H ′) ⊂ P(V )es una aplicacion proyectiva de centro Ω(Im f), y su matriz respecto de las referencias R′∗

y R∗ es At (i.e. la matriz transpuesta de A).

Demostracion: Que A sea la matriz de f respecto de R y R′ quiere decir que el punto decoordenadas (x0 : . . . : xn) respecto de R se transforma por f en el punto de coordenadas(x′

0 : . . . : x′m) respecto de R′, con

x′0...

x′m

= A

x0...

xn

. (7.17)

Sea ahora el hiperplano H ′ ⊂ P(W ) de ecuacion u′0X

′0 + . . . + u′

mX ′m = 0 respecto de R′.

Un punto de P(V ) de coordenadas (x0 : . . . : xn) respecto a R estara en f−1(H ′) si y solo siu′

0x′0 + . . . + u′

mx′m = 0, donde (x′

0 : . . . : x′m) vienen dados por (7.17). Esto es equivalente

a decir que

(u′0 . . . u′

m)A

x0...

xn

= 0

es decir, el punto de coordenadas (x0 : . . . : xn) pertenece al hiperplano de coeficientes(u0 . . . un) = (u′

0 . . . u′m)A (observese que los coeficientes son todos no nulos si y solo si

H ′ no contiene a la imagen de f). De aquı se concluye que el hiperplano de coordenadas(u′

0 : . . . : u′m) respecto de R′∗ se transforma mediante f∗ en el hiperplano de coordenadas

(u0 : . . . : un) respecto de R∗, con

u0...

un

= A

u′0...

u′m

lo que demuestra el resultado.

Definicion. Se llama aplicacion dual de una aplicacion proyectiva f : P(V )----->P(W ) a laaplicacion f∗ : P(W )∗----->P(V )∗ definida en la Proposicion 7.16.

75

8. Clasificacion de proyectividades

Clasificar proyectividades quiere decir encontrar una representacion sencilla de ellasrespecto de alguna referencia proyectiva. Ya vimos en el Ejemplo 7.7 que, usando buenasreferencias en los espacios proyectivos de salida y llegada de la proyectividad, la matriz dela proyectividad es mas sencilla. Por tanto, plantearse el problema de una representacionsencilla solo tiene sentido si las referencias de los dos espacios proyectivos estan relacionadasentre sı. El caso mas natural es cuando ambas referencias son iguales, es decir, cuando loque queremos es clasificar proyectividades de un espacio proyectivo en sı mismo.

Observacion 8.1. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad. Si fijamos una referenciaproyectiva R de P(V ), entonces f tendra una cierta matriz A respecto de R. Si cambiamosla referencia R a otra R′ y la matriz P define el cambio de sistema de referencia, entoncesP−1AP es (salvo proporcionalidad) la matriz de f respecto de R′. Por tanto, las posiblesmatrices sencillas de proyectividades estaran en clases de equivalencia de matrices porsemejanza, es decir, corresponderan a las posibles formas canonicas de Jordan.

Las formas canonicas de Jordan se calculan a partir de autovectores y autovalores.Veamos que se trata de una nocion natural en el contexto de las proyectividades:

Lema 8.2. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad determinada por un automorfismo

F : V → V . Entonces un vector v ∈ V \ 0 es un autovector de F si y solo si [v] es un

punto invariante por f (i.e. f([v]) = [v]).

Demostracion: Recordemos que, por definicion, f([v]) = [F (v)], luego [v] es invariantepor f si y solo si [F (v)] = [v], es decir, si y solo si existe λ = 0 tal que F (v) = λv, esdecir, si y solo si v es un autovector de autovalor λ (observese que necesariamente todoslos autovalores de F son no nulos, por ser F un isomorfismo).

Observacion 8.3. Dado que, fijada una referecia proyectiva de P(V ) la matriz de unaproyectividad de P(V ) respecto de dicha referencia es unica salvo proporcionalidad, siempreque tengamos un autovalor en k (lo que es cierto siempre que k sea algebraicamente cerrado,por ejemplo si k = C), dividiendo por el podemos suponer que 1 es un autovalor. Estopermite simplificar la clasificacion de proyectividades.

Ejemplo 8.4. Veamos por ejemplo cual serıa la clasificacion de las proyectividades deuna recta cuando k es un cuerpo algebraicamente cerrado, usando la simplificacion de laObservacion 8.3. Suponiendo entonces que un autovalor es 1, las posibles formas canonicasde Jordan serıan:

76

1) Si hay un unico autovalor (con multiplicidad dos) y la matriz es diagonalizable, la

forma canonica de Jordan serıa(

1 00 1

)

. En este caso, la proyectividad serıa la identidad.

2) Si hay un autovalor doble y la matriz no es diagonalizable, la forma canonica de

Jordan serıa(

1 01 1

)

.

3) Si hay dos autovalores distintos, la forma canonica de Jordan serıa(

1 00 λ

)

, con

λ = 1.

Observese que si k no fuera algebraicamente cerrado (el caso natural en que pensar esk = R), entonces tanto en el caso 1 como en el 2 el unico autovalor esta necesariamenteen k. Sin embargo, en el caso 3 hay que distinguir dos subcasos: que los dos autovaloresesten en k o que ambos sean imaginarios (conjugados, si k = R).

Veamos ahora la descripcion geometrica de cada uno de los casos anteriores no triviales.

Lema 8.5. Sea f : L → L una proyectividad de una recta proyectiva L cuya matriz

respecto de alguna referencia proyectiva es

(

1 01 1

)

. Entonces, f tiene un unico punto

invariante p0, y se tiene que

[p0, p, f(p), f(f(p))] = 2

para cualquier p ∈ L \ p0. Por tanto, f esta determinada conociendo p0 y la imagen de

un punto distinto de el.

Demostracion: En las coordenadas respecto a las cuales la matriz de f es(

1 01 1

)

, se tiene

inmediatamente que p0 = (0 : 1) es el unico punto invariante. Un punto p distinto de p0 sepuede escribir con coordenadas (1 : a), luego f(p) tendra coordenadas (1 : a+1), y f(f(p))tendra coordenadas (1 : a+2). Se calcula entonces facilemente que [p0, p, f(p), f(f(p))] = 2.

Por tanto, conocidos p0 y la imagen de un punto p = p0, la formula anterior permiteconocer tambien la imagen de f(p), con lo que tenemos la imagen de tres puntos, lo quedetermina de forma unıvoca la proyectividad f .

El tercer caso lo estudiamos en una situacion mas general, que nos sera util masadelante:

Lema 8.6. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad de un espacio proyectivo P(V ) de

dimension n. Supongamos que existe una referencia proyectiva R de P(V ) en la cual f viene

77

representada por una matriz diagonal

1. . . r+1)

1λ

. . . n−r)

λ

con λ = 1. Entonces,

existen subespacios proyectivos disjuntos Λ,Λ′ ⊂ P(V ) de dimensiones r y n − r − 1 tales

que cada punto de ellos es invariante por f y, para cada p ∈ P(V ) \ (Λ ∪ Λ′), su imagen

f(p) esta caracterizada por la condicion

[p0, p1, p, f(p)] = λ

donde p0 =< p,Λ > ∩ Λ′, p1 = Λ∩ < Λ′, p >. En particular, si P(V ) es una recta, existen

puntos invariantes p0, p1 tales que [p0, p1, p, f(p)] = λ para todo p = p0, p1.

Demostracion: Tomamos coordenadas respecto de una referencia R como en la hipotesis.Entonces, la expresion de f sera de la forma

f(x0 : . . . : xn) = (x0 : . . . : xr : λxr+1 : . . . : λxn).

Es entonces evidente que los subespacios Λ : Xr+1 = . . . = Xn = 0 y Λ′ : X0 = . . . = Xr =0 estan formados por puntos invariantes. Dado un punto p = (a0 : . . . : an) que no este nien Λ ni en Λ′, es facil ver (en realidad esta hecho en el Ejemplo 7.5) que

p0 = (0 : . . . : 0 : ar+1 : . . . : an) y p1 = (a0 : . . . : ar : 0 : . . . : 0).

Tomando p0, p1, p como sistema de referencia de la recta < p0, p1 >, es claro que f(p) =(a0 : . . . : ar : λar+1 : . . . : λan) tiene coordenadas (λ : 1), de lo que se sigue que[p0, p1, p, f(p)] = λ.

En general, nos interesaran no solo subespacios de puntos fijos (como en el resultadoanterior), sin mas en general subespacios que se transformen en ellos mismos, pero nonecesariamente punto a punto:

Definicion. Dada una proyectividad f : P(V ) → P(V ), se llama subespacio invariante aun subespacio Λ ⊂ P(V ) tal que f(Λ) = Λ. Observese que, como f(Λ) tiene la mismadimension que Λ, basta comprobar solo que f(Λ) ⊂ Λ.

Para hiperplanos, la situacion es bien sencilla:

78

Lema 8.7. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad y sea H ⊂ P(V ) un hiperplano.

Entonces, H es un hiperplano invariante si y solo si es un punto invariante de la aplicacion

dual f∗ : P(V )∗ → P(V )∗.

Demostracion: Como f es biyectiva, es claro que f(H) = H si y solo si H = f−1(H), loque es equivalente a que H sea un punto fijo de f∗.

Observacion 8.8. Dada una proyectividad f : P(V ) → P(V ) definida por una matrizA respecto de una referencia R, la aplicacion dual viene dada por la matriz At respectode la referencia dual R∗ (Proposicion 7.16). Recuerdese que la forma canonica de Jordande A esta determinada a partir de los rangos de las potencias (A − λI)i, que son igualesa los rangos de (At − λI)i, luego A y At tienen la misma forma canonica de Jordan. Enparticular, hay una biyeccion entre el conjunto de puntos invariantes y el de hiperplanosinvariantes (incluso autovalor a autovalor). Veamos a continuacion como usar esto de modopractico.

Ejemplo 8.9. Sea f : P3R → P3

R la proyectividad definida, respecto de la referencia

canonica, por la matriz

0 −1 0 01 2 0 00 0 −1 00 0 0 −1

. Nuestro objetivo es calcular todos los subes-

pacios invariantes por f . Un simple calculo muestra que los autovalores son ±1 (cada unodoble) y que, para el autovalor λ = 1, se obtiene el punto invariante (1 : −1 : 0 : 0)y para λ = −1 se obtiene la recta X0 = X1 = 0 de puntos invariantes. Un modo deobtener subespacios invariantes es considerando subespacios generados por subespaciosinvariantes. En nuestro caso, el unico plano que se obtiene ası es el plano X0 + X1 =0, generado por todos los puntos invariantes que hemos encontrado. Sin embargo, porla observacion anterior sabemos que tiene que haber infinitos planos invariantes. Paracalcularlos, transponemos la matriz anterior y calculamos los subespacios propios. Paraλ = 1 obtenemos (u0 : u1 : u2 : u3) = (1 : 1 : 0 : 0), es decir, de nuevo el plano X0+X1 = 0.Si en cambio calculamos el subespacio propio de λ = −1, obtenemos la recta de P3

R

∗ deecuaciones U0 = U1 = 0, que corresponde al haz de planos de P3

R que contienen a la rectaX2 = X3. Veamos ahora como podemos encontrar rectas invariantes a partir de los puntosy planos invariantes ya hallados:

1) La recta X0 = X1 = 0 de puntos invariantes es evidentemente invariante.

2) La recta X2 = X3 = 0 es invariante por ser interseccion de planos invariantes.

3) Todas las rectas del plano X0 + X1 = 0 que pasan por el punto (1 : −1 : 0 : 0) soninvariantes, ya que estan generadas por (1 : −1 : 0 : 0) y su interseccion con X0 = X1 = 0(que es necesariamente un punto, distinto de (0 : 1 : 0 : 0) y ademas invariante). Estas

79

rectas tambien pueden verse como la interseccion del plano invariante X0 +X1 = 0 con unplano que contenga a X2 = X3 (y por tanto tambien invariante).

Estas son todas las formas de obtener rectas invariantes a partir de intersecciones de planosinvariantes o como rectas generadas por dos puntos invariantes, pero en principio podrıanno ser todas (como pasaba con los planos invariantes obtenidos a partir de los puntosinvariantes). Un modo mas exhaustivo de encontrar rectas invariantes es el de restringir laproyectividad a un plano invariante y calcular todos los hiperplanos invariantes de dicharestriccion. Veamos lo que obtenemos en nuestro caso:

–Si restringimos al plano X0 + X1 = 0, tomamos en el coordenadas x1, x2, x3 (usandoque x0 = −x1), y tendremos entonces la expresion

(−x1 : x1 : x2 : x3) → (−x1 : x1 : −x2 : −x3)

o, en forma matricial,

x1

x2

x3

→

1 0 00 −1 00 0 −1

x1

x2

x3

.

El autovalor λ = 1 de esta nueva matriz nos da el punto y la recta invariante de coordenadas(1 : 0 : 0), que son respectivamente el punto (−1 : 1 : 0 : 0) (que ya sabıamos que erainvariante) y la recta X0 = X1 = 0 (que tambien sabıamos que era invariante). Por otraparte, el autovalor λ = −1 nos da como puntos invariantes los de la recta de ecuacionX1 = 0 (dentro del plano X0 + X1 = 0, es decir, de nuevo la recta X0 = X1 = 0), y comorectas invariantes las que verifican la ecuacion U1 = 0, es decir, las que pasan por el puntode coordenadas (1 : 0 : 0), que son precisamente las rectas de X0 + X1 = 0 que pasan por(−1 : 1 : 0 : 0) (que de nuevo ya sabıamos que eran invariantes).

–Si restringimos a un plano que contenga a la recta X2 = X3 = 0, las cuentas son mascomplicadas porque tenemos infinitos de estos planos, y deberıamos hacer depender todode un parametro. Para evitar dichas cuentas, utilizaremos la Observacion 8.8. Fijemos enprimer lugar un plano Π que contenga a la recta X2 = X3 = 0. Los puntos invariantes def|Π ya los sabemos, ya que son los puntos de interseccion de Π con el conjunto de puntosinvariantes de f . Obtenemos entonces que f|Π tiene exactamente dos puntos invariantes:el punto (1 : −1 : 0 : 0) y la interseccion de Π con la recta X0 = X1 = 0 (que es soloun punto, ya que en caso contrario Π contendrıa a toda la recta X0 = X1 = 0, apartede a la recta X2 = X = 3 = 0, que sin embargo generan todo P3

R). Por tanto, por laObservacion 8.8, f|Π tiene exactamente dos rectas invariantes. Como ya conocemos dos(la recta X2 = X3 = 0 y la interseccion de Π con X0 + X1 = 0), ya sabemos que no haymas.

Si supieramos que todas las rectas invariantes estan contenidas en algun plano inva-riante, en el ejemplo anterior habrıamos encontrado todas las rectas invariantes. Veamos

80

que, en efecto, es ası:

Lema 8.10. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad de espacios proyectivos sobre un

cuerpo algebraicamente cerrado k. Entonces cada subespacio invariante contiene un punto

invariante y esta contenido en un subespacio invariante.

Demostracion: Veamos primero que cada subespacio invariante contiene un punto inva-riante. En efecto, si Λ ⊂ P(V ) es un subespacio invariante por f , entonces f|Λ es unaproyectividad de Λ en sı mismo. Como k es algebraicamente cerrado, cualquier endomor-fismo que induzca f|Λ tiene al menos un autovector no nulo (ya que tiene algun autovalor),y por el Lema 8.2, f|Λ tiene algun punto invariante, es decir, Λ contiene algun puntoinvariante por f .

Veamos ahora que existe algun hiperplano invariante que contiene a Λ. En primerlugar, observamos que, como f(Λ) = Λ (o equivalentemente f−1(Λ) = Λ), entonces paracualquier hiperplano H que contenga a Λ se tiene que f−1(H) tambien contiene a Λ. Estoquiere decir que Ω(Λ) es un subespacio invariante de la proyectividad f∗ : P(V )∗ → P(V )∗.Por la parte que acabamos de demostrar, existira H ∈ Ω(Λ) invariante por f∗, es decir, H

es un subespacio invariante de f que contiene a Λ.

Observacion 8.11. El lector puede pensar que el lema anterior no se puede aplicar alEjemplo 8.9, porque R no es algebraicamente cerrado. Sin embargo, como R esta dentrode C, que es algebraicamente cerrado, y en realidad hemos calculado todos los subespaciosinvariantes de la proyectividad de P3

C en sı mismo definida por la misma matriz, f no tienemas rectas invariantes (ni siquiera imaginarias). Un buen ejemplo de esta observacion esconsiderar la proyectividad de P3

R en sı mismo definida por la matriz

0 1 0 0−1 0 0 01 0 0 10 0 −1 0

.

Es un simple calculo comprobar que sus autovalores son λ = i, que da el punto invariante(0 : 0 : 1 : −i) y el plano invariante X0 − iX1 = 0, y λ = −i, que da el punto invariante(0 : 0 : 1 : i) y el plano invariante X0 + iX1 = 0. Por tanto, la proyectividad no tieneni puntos ni planos reales invariantes. Sin embargo, en el plano X0 − iX1 = 0 (donde(0 : 0 : 1 : i) y (0 : 0 : 1 : −i) son puntos invariantes) tenemos las rectas invariantesX0 = X1 = 0 y X0 − iX1 = X2 − iX3 = 0, y en el plano X0 + iX1 = 0 (donde (0 : 0 : 1 : i)y (0 : 0 : 1 : −i) son puntos invariantes) tenemos las rectas invariantes X0 = X1 = 0 yX0 + iX1 = X2 + iX3 = 0. Por tanto, la proyectividad tiene una recta invariante real,que es X0 = X1 = 0 (que podıa haberse obtenido tambien como la recta generada por los

81

dos puntos invariantes o como la interseccion de los dos planos invariantes; notese tambienque ninguna de las rectas invariantes imaginarias podrıan haberse obtenido directamentea partir de los puntos y planos invariantes).

En los siguientes dos resultados estudiaremos tipos particulares de proyectividades deun espacio proyectivo.

Definicion. Una proyectividad involutiva es una proyectividad f : P(V ) → P(V ) tal quef f = idP(V ).

Teorema 8.12. Sea f : P(V ) → P(V ) una proyectividad y supongamos que k es alge-

braicamente cerrado. Entonces son equivalentes:

(i) f es una proyectividad involutiva.

(ii) Existe una referencia proyectiva de P(V ) en la que f se representa por una matriz

diagonal con solo unos y menos unos.

(iii) Existen subespacios proyectivos disjuntos Λ,Λ′ ⊂ P(V ) de dimensiones r y n − r − 1tales que cada punto de ellos es invariante y, para cada p ∈ P(V ) \ (Λ ∪ Λ′), el punto

f(p) es el cuarto armonico de los puntos < p,Λ > ∩ Λ′, Λ∩ < Λ′, p > y p.

Demostracion:

(i) ⇒ (ii): Sea F : V → V un isomorfismo que defina a f (que como dijimos en laObservacion 8.3 podemos suponer que tiene a 1 como autovalor). La condicion f f =idP(V ) (por ser f involutiva) equivale a decir que existe λ ∈ k tal que F F = λidV . Como1 es un autovalor de F , existira v ∈ V \ 0 tal que F (v) = v. Por tanto, λv = F (F (v)) =F (v) = v, lo que implica λ = 1. Entonces, la condicion F F = idV puede escribirsetambien como (F − idV ) (F + idV ) = 0, o equivalentemente Im(F + idV ) ⊂ ker(F − idV ).Tomando dimensiones y usando la igualdad dimV = dim(ker(F +idV ))+dim(Im(F +idV ))llegamos a que dim(ker(F − idV )) + dim(ker(F + idV )) ≥ dimV . Como ker(F − idV ) ∩ker(F + idV ) = 0 (son los subespacios propios de los autovalores 1 y −1, se concluye queV es la suma directa de ker(F − idV ) y ker(F + idV ). Tomando una base formada por launion de una base de ker(F − idV ) y otra de ker(F + idV ) se obtiene que la matriz de F

respecto de esa base es diagonal con unos y menos unos en la diagonal.

(ii) ⇒ (iii): Es el Lema 8.6 cuando λ = −1.

(iii) ⇒ (i): Es claro que, si p estan en Λ o Λ′, entonces f(f(p)) = f(p) = p, ası quebasta comprobar la igualdad f(f(p)) = p para puntos que no esten en Λ ∪ Λ′. Si lla-mamos p0 =< p,Λ > ∩ Λ′, p1 = Λ∩ < Λ′, p >, se tiene por hipotesis [p0, p1, p, f(p)] =−1 y [p0, p1, f(p), f(f(p))] = −1. Entonces, por la Observacion 3.9, se tiene tambien[p0, p1, f(f(p)), f(p)] = −1 y la Observacion 3.6 se sigue que f(f(p)) = p

82

Teorema 8.13. Sean P(V ) un espacio proyectivo de dimension n ≥ 2 y f : P(V ) → P(V )una proyectividad distinta de la identidad. Entonces, si existe un hiperplano H ⊂ P(V )de puntos invariantes, se da una de las siguientes situaciones:

(i) Existe otro punto invariante p0 ∈ H y una constante λ = 0, 1 tal que para cada

p ∈ H ∪ p0 se verifica que f(p) es el unico punto de la recta < p0, p > para el que

[< p0, p > ∩H, p0, p, f(p)] = λ.

(ii) No hay mas puntos invariantes por f aparte de los de H, y conocidos un punto p1 ∈ H

y su imagen f(p1), si p0 =< p1, f(p1) > ∩H, entonces f esta determinada de la forma

siguiente (si dimP(V ) ≥ 2): para cada p ∈ H∪ < p1, f(p1) >, si q =< p1, p > ∩H, se

tiene f(p) =< p0, p > ∩ < q, f(p1) >.

Demostracion: El que haya un hiperplano H de puntos invariantes equivale a decir queexiste todo un hiperplano en V de vectores propios de un automorfismo de V que definaf . Este hiperplano correspondera entonces a un autovalor λ de multiplicidad al menos n.Se pueden dar entonces dos casos:

Caso i) El autovalor λ tiene multiplicidad exactamente n, con lo que hay otro autovalor,que (ver la Observacion 8.3) supondremos que es 1 (por tanto, λ = 1, y tampoco es ceropor tratarse de un isomorfismo). Entonces la forma canonica de Jordan es diagonal (yaque la dimension del subespacio propio correspondiente a λ es precisamente n) y estamosen el caso particular del Lema 8.6 en que r = 0, con lo que Λ es un punto p0.

Caso ii) El autovalor λ tiene multiplicidad n + 1, y por tanto es el unico autovalor (que,de nuevo por la Observacion 8.3, supondremos λ = 1. Se tiene entonces que la matriz deJordan J no es diagonal, pero como J − I debe tener rango uno debe ser:

J =

11 1

1. . .

1

.

Sea R una referencia proyectiva de P(V ) respecto de la cual la matriz J represente a f .Usando coordenadas respecto de R, H sera el hiperplano de ecuacion X0 = 0. Supongamosque el punto p1 tenga coordenadas (1 : a1 : . . . : an) (podemos suponer que la primeracoordenada no es nula, por no estar p1 en H). Entonces es un simple ejercicio comprobarque f(p1) = (1 : a1 + 1 : a2 : . . . : an) y que el punto p0 =< p1, f(p1) > ∩H tienecoordenadas (0 : 1 : 0 : . . . : 0) (observese en particular que p0 no depende del punto p1

escogido). Tomemos ahora un punto arbitrario p ∈ H∪ < p1, f(p1) >. Como acabamosde observar, la interseccion de < p, f(p) > con H debe ser el mismo punto p0, luego f(p)esta en la recta < p0, p >. Es tambien evidente que, como p esta en la recta < p1, q >,

83

entonces f(p) tambien esta en < f(p1), f(q) >=< f(p1), q >. Como las rectas < p0, p >

y < f(p1), q > son distintas (porque p no esta en la recta < p0, f(p1) =< p0, p1 >) ydos rectas distintas se cortan como mucho en un punto, se sigue que la interseccion de< p0, p > y < q, f(p1) > es exactamente f(p).

Definicion. Se llama homologıa de centro p0 y eje el hiperplano H0 a una proyectividad deP(V ) como en el teorema anterior. Una homologıa como en el caso (i) se llama homologıageneral, y λ se llama razon de la homologıa. Una homologıa como en el caso (ii) se llamahomologıa especial.

Observacion 8.14. Esta claro que una homologıa general esta completamente determi-nada a partir del centro, eje y razon. En principio, una homologıa especial parece determi-nada a partir del eje y de la imagen de un punto p1 (lo que determina automaticamente elcentro) solo para puntos fuera de la recta < p1, f(p1) >. Sin embargo, una vez conocida laimagen de un punto p′1 fuera de la recta < p1, f(p1) >, haciendo jugar ahora a p′1 el papelde p1, podemos conocer la imagen de cualquier punto fuera de < p′1, f(p′1) >, en particularde cualquier punto de < p1, f(p1) >. Por eso es fundamental la hipotesis n ≥ 2, que haceque en el caso n = 1 la situacion sea menos completa (ver el Lema 8.5).

84

9. Correlaciones y cuadricas

La mejor forma de explicar lo que queremos hacer en este capıtulo es revisar, con ellenguaje de la geometrıa proyectiva, la nocion de polaridad respecto de una conica quevimos en el capıtulo 4:

Ejemplo 9.1. Sea C una conica no degenerada de P2 de ecuacion

(X0 X1 X2)A

X0

X1

X2

= 0

(donde A es una matriz simetrica no degenerada). Sea f : P2 → P2∗ la aplicacion queasocia a cada punto de P2 su recta polar respecto de C. Entonces, f es una proyectividad.En efecto, si C es la conica, sabemos que la recta polar del punto (a0 : a1 : a2) es

(a0 a1 a2)A

X0

X1

X2

= 0

es decir, la recta u0X0 + u1X1 + u2X2 = 0, donde (u0 u1 u2) = (a0 a1 a2)A. Como A essimetrica, tambien podemos escribir

u0

u1

u2

= A

a0

a1

a2

lo que indica que f es la proyectividad de matriz A tomando la referencia canonica de P2

y su referencia dual en P2∗.

Sin embargo, no todas las proyectividades de P2 en P2∗ son una polaridad. Porejemplo, la proyectividad f : P2

R → P2R

∗ que asocia a cada punto (a0 : a1 : a2) la rectaa1X0 − a0X1 + a2x2 = 0 no puede ser la polaridad respecto de una conica. En efecto, laimagen del punto a = (0 : 1 : 1) es la recta f(a) de ecuacion X0 + X2 = 0, que contiene alpunto b = (1 : 1 : −1), mientras que la imagen del punto b es la recta X0 − X1 − X2 = 0,que no contiene al punto a. Por tanto, f no verifica la propiedad (ii) de la Proposicion4.6, por lo que no es la polaridad respecto de una conica. El problema con este ejemplo(como explicaremos en este capıtulo) es que f tiene como matriz, respecto de las referencias

canonica y su dual, a la matriz

0 1 0−1 0 00 0 1

, que no es simetrica.

Una primera justificacion de la observacion anterior es que la polaridad respecto deuna conica no degenerada C ⊂ P2

k de matriz A se puede definir de la siguiente forma.

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Consideramos la forma bilineal B : k3 × k3 → k definida por

B((X0, X1, X2), (Y0, Y1, Y2)) = (X0 X1 X2)A

Y0

Y1

Y2

.

Entonces la recta polar respecto de C de un punto (a0 : a1 : a2) es la recta de ecuacionB((X0, X1, X2), (a0, a1, a2)) = 0. En particular, el punto (b0 : b1 : b2) esta en la rectapolar de (a0 : a1 : a2) si y solo si B((b0, b1, b2), (a0, a1, a2)) = 0, mientras que el punto(a0 : a1 : a2) esta en la recta polar de (b0 : b1 : b2) si y solo si B((a0, a1, a2), (b0, b1, b2)) = 0.Por tanto, la propiedad (ii) de la Proposicion 4.6 parece equivalente a que B sea una formabilineal simetrica, es decir, que A sea simetrica.

Notese, finalmente, que la conica C esta determinada perfectamente por la formabilineal B (o, mas precisamente, por su forma cuadratica asociada), ya que su ecuacion esprecisamente B((X0, X1, X2), (X0, X1, X2)) = 0.

En este capıtulo nos proponemos estudiar generalizacion de conica proyectiva (que,como en geometrıa afın, sera la nocion de cuadrica) y la nocion de polaridad, que serauna aplicacion proyectiva de un espacio proyectivo en su dual (pero no cualquiera, ya quetendra que verificar alguna condicion de simetrıa). Empezamos con una definicion:

Definicion. Llamaremos correlacion a una aplicacion proyectiva f : P(V )----->P(V )∗ ycorrelacion no degenerada a una correlacion que ademas sea una proyectividad (esta no-tacion no es universal, y muchos autores llaman correlacion a lo que nosotros llamamoscorrelacion no degenerada).

Observacion 9.2. Veamos (por el momento en coordenadas) que la nocion de correlacionf : P(V )----->P(V )∗ no es mas que la generalizacion a dimension arbitraria de lo que hemosvisto en el Ejemplo 9.1. Para ello, fijamos una referencia proyectiva R de P(V ), tomamosla referencia dual R∗ de P(V )∗ y consideramos A una matriz de f respecto de R y R∗. Estoquiere decir que, si un punto p (fuera del centro de f) tiene coordenadas (a0 : . . . : an)

respecto de R, entonces f(p) es el hiperplano coordenadas A

a0...

an

respecto de R, es

decir, el hiperplano de ecuacion

(X0 . . . Xn)A

a0...

an

= 0

respecto de R. En otras palabras, un punto de coordenadas (b0 : . . . : bn) pertenece al

86

hiperplano f(p) si y solo si

(b0 . . . bn)A

a0...

an

= 0.

Observese que, si p estuviera en el centro de f , entonces A

a0...

an

=

0...0

, con lo que

la relacion anterior se verifica para cualquier punto de coordenadas (b0 : . . . : bn). Porabuso de notacion, diremos en tal caso que f(p) es todo P(V ). De esta forma, dar unacorrelacion es equivalente a dar una matriz A, y la imagen por la correlacion de un puntode coordenadas (a0 : . . . : an) es el conjunto de puntos de coordenadas (b0 : . . . : bn) paralos que se verifica la relacion anterior.

Tambien puede verse la correlacion por medio de una forma bilineal. En efecto, bastafijar una base asociada a la referencia R y definir B : V × V ----->k mediante

B(u, v) = (X0 . . . Xn)A

Y0...

Yn

donde X0, . . . , Xn e Y0, . . . , Yn son respectivamente las coordenadas de u y v respecto dedicha base. De este modo, la imagen por la correlacion del punto [v] es el conjunto depuntos de [u] que verifican B(u, v) = 0.

Dicho sin coordenadas, lo que tenemos es el siguiente resultado de Algebra Lineal:

Proposicion 9.3. Sea V un espacio vectoria sobre un cuerpo k. Entonces:

(i) Dado un homomorfismo F : V → V ∗, la aplicacion BF : V × V → k definida por

BF (u, v) = (F (v))(u) es una forma bilineal.

(ii) Dada una forma bilineal B : V × V → k, la aplicacion FB : V → V ∗ definida por

FB(v) : V → ku → B(u, v)

es una aplicacion lineal.

Ademas, las asignaciones F → BF y B → FB definen biyecciones (una inversa de la otra)

entre el conjunto de homomorfismos V → V ∗ y el conjunto de formas bilineales V ×V → k.

Demostracion: Se deja como ejercicio.

Definicion. Llamaremos correlacion asociada a una forma bilineal no nula B : V ×V → k

a la correlacion definida por el homomorfismo FB : V → V ∗ de la proposicion anterior.

87

Observacion 9.4. Por la Proposicion 9.3, la correlacion f : P(V )----->P(V )∗ asociada auna forma bilineal B : V × V → k esta definida como

f([v]) = [u] ∈ P(V ) | B(u, v) = 0.

Ademas, dos formas bilineales B, B′ definen la misma correlacion si y solo si los homo-morfismos FB y FB′ definen la misma aplicacion proyectiva. Por la Proposicion 7.6(v),esto es equivalente a que FB y FB′ sean proporcionales, lo que equivale a que B y B′ seanproporcionales.

Proposicion 9.5. Sea f : P(V )----->P(V )∗ la correlacion asociada a una forma bilineal

no nula B : V × V → k. Consideramos la forma bilineal Bt : V × V → k definida

por Bt(u, v) = B(v, u). Entonces la aplicacion dual de f (ver Proposicion 7.16) es la

aplicacion f∗ : P(V )----->P(V )∗ asociada a Bt, es decir, para todo p ∈ P(V ) se tiene que

f∗(p) = q ∈ P(V ) | p ∈ f(q).

Demostracion: Identificamos cada punto [v] ∈ P(V ) con el hiperplano Ω([v]) de P(V )∗

consistente en el conjunto de hiperplanos de P(V ) que pasan por p. Entonces, por definicionde aplicacion dual, f∗ manda [v] a la imagen inversa por f de Ω([v]), es decir al conjunto[u] ∈ P(V ) | [v] ∈ f([u]). Como f esta asociada a B, se tendra [v] ∈ f([u]) si y solo siB(v, u) = 0, es decir Bt(u, v) = 0, por lo que f∗ es la correlacion asociada a Bt.

Definicion. Llamaremos correlacion dual o correlacion transpuesta de una correlacion f

a la aplicacion f∗ : P(V )----->P(V )∗ del lema anterior. Notese que, si f tiene matriz A

respecto de una referencia y su dual, entonces f∗ tiene matriz At.

Proposicion 9.6. Sea f : P(V )----->P(V )∗ una correlacion asociada a una forma bilineal

B : V × V → k. Entonces:

(i) f = f∗ si y solo si B es simetrica o antisimetrica.

(ii) Cada punto p ∈ P(V ) esta en el hiperplano f(p) si y solo si B es antisimetrica.

Demostracion: Sabemos por la Proposicion 9.5 que f∗ esta asociada a Bt. Por tanto, porla Observacion 9.4, se tendra f = f∗ si y solo si existe λ ∈ k \ 0 tal que B = λBt. Parademostrar (i), basta ver que los unicos valores de λ para los que se puede dar esta igualdadson 1 y −1. En efecto, transponiendo la igualdad y reiterando, se obtiene Bt = λB =λ(λBt) = λ2Bt, lo que implica λ2 = 1 y por tanto λ = ±1. Esto demuestra (i).

Para demostrar (ii), la Observacion 9.4 nos dice que [v] ∈ f([v]) si y solo si B(v, v) = 0.Por tanto, cada punto estara en su imagen por f si y solo si B(v, v) = 0 para todov ∈ V . Veamos que esta ultima condicion es equivalente a que B sea una forma bilineal

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antisimetrica. En efecto, si B(v, v) = 0 para todo v ∈ V , en particular se tendra, paracualesquiera u, v ∈ V ,

0 = B(u + v, u + v) = B(u, u) + B(u, v) + B(v, u) + B(v, v) = B(u, v) + B(v, u)

(donde hemos usado la bilinealidad de B). Por tanto, B(u, v) = −B(v, u) para cualesquierau, v ∈ V , es decir, B es antisimetrica.

Definicion. Se llama correlacion nula (o correlacion antisimetrica) a una correlacion f :P(V )----->P(V )∗ tal que p ∈ f(p) para cada p ∈ P(V ). Se llama polaridad o correlacionsimetrica a una correlacion f : P(V )----->P(V )∗ que coincide con su dual f∗ y tal queel conjunto Q de los puntos p ∈ P(V ) para los que p ∈ f(p) no es todo P(V ). Por laproposicion anterior, tales correlaciones son, respectivamente, las correlaciones asociadasa una forma bilineal antisimetrica y simetrica.

Ejemplo 9.7. Observese que, como en una recta los hiperplanos son puntos, una cor-relacion en una recta no es mas que una aplicacion proyectiva de la recta en sı misma. Sif : L----->L fuera una correlacion nula en la recta L, entonces f(p) = p para todo p ∈ L,luego p serıa la identidad.

Observacion 9.8. Notese que, si el cuerpo k tiene caracterıstica distinta de dos (lo quesupondremos siempre) no puede haber correlaciones nulas no degeneradas en un espacioproyectivo de dimension n par. El motivo es que si A es una matriz antisimetrica de ordenimpar n + 1, entonces de la igualdad At = −A se sigue det A = det At = (−1)n+1 det A =−det A, lo que implica detA = 0 (aquı hace falta usar que la caracterıstica no es dos; encaso contrario, 2 detA = 0 no implicarıa detA = 0). En cambio, para n impar, la matriz

0 1−1 0

0 1−1 0

. . .0 1−1 0

(donde las entradas no explicitadas son cero) es antisimetrica de orden par. En realidad,puede demostrarse que cualquier correlacion nula no degenerada admite una matriz de esaforma respecto de un sistema de referencia adecuado.

Definicion. Por abuso de notacion, se suele llamar cuadrica en un espacio proyectivo P(V )a un conjunto Q de puntos p ∈ f(p), donde f : P(V )----->P(V )∗ es una polaridad, aunque en

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realidad una cuadrica es una polaridad, en el sentido de que dos cuadricas se consideraraniguales solo si sus polaridades coinciden. Se llamara vertice de la cuadrica al centro de lapolaridad. Llamaremos rango de la cuadrica al rango de cualquier matriz que defina lapolaridad. Diremos que la cuadrica es no degenerada o no singular si el rango es maximo,es decir, dim(V ) (equivalentemente, f es una proyectividad o, tambien, el lugar singulares vacıo).

Lema 9.9. Sea f : P(V )----->P(V )∗ la polaridad asociada a una forma bilineal (simetrica)

B : V × V → k y sea Q ⊂ P(V ) el conjunto de puntos p ∈ P(V ) tales que p ∈ f(p).Dado un subespacio P(W ) ⊂ P(V ) no contenido en Q, entonces la aplicacion f|P(W ) :P(W )----->P(W )∗ definida por f|P(W )(p) = f(p) ∩ P(W ) es la polaridad asociada a la res-

triccion BW×W . Ademas, como conjunto de puntos, esta cuadrica es la interseccion de Q

con P(W ).

Demostracion: Por definicion, la correlacion asociada a BW×W asocia a cada [w] ∈ P(W )el conjunto de puntos [u] ∈ P(W ) tales que BW×W (u, w) = 0, que es precisamente f([w])∩P(W ). Ademas, [w] ∈ P(W ) esta en el correspondiente conjunto de puntos si y solo siBW×W (w, w) = 0, es decir, si y solo si [w] ∈ Q.

Ejemplo 9.10. En coordenadas respecto de una referencia R (y su dual), la polaridadde una cuadrica viene dada por una matriz simetrica A. Si el rango de A es r, entoncessabemos que existe una matriz P de determinante no nulo tal que

P tAP =

λ0

. . .λr−1

0. . .

0

con λo, . . . , λr−1 ∈ k \ 0 Esto quiere decir que, haciendo el cambio de coordenadas

X0...

Xn

= P

X ′0...

X ′n

,

la ecuacion de la cuadrica queda λ0X′02 + . . . + λr−1X

′r−1

2 = 0. Por tanto:

–Si la cuadrica tiene rango uno, su conjunto de puntos es un hiperplano, y se dice quela cuadrica es un hiperplano doble.

90

–Si la cuadrica tiene rango dos, su conjunto de puntos es de la forma X ′02+ λ1

λ0X ′

12 = 0.

Si√

−λ1λ0

∈ k, entonces dicho conjunto es la union de los hiperplanos X ′0 +

√

−λ1λ0

X ′1 = 0 y

X ′0−

√

−λ1λ0

X ′1 = 0, y se dice que la cuadrica es un par de hiperplanos reales (los hiperplanos

son distintos, pues λ1 = 0). Si, en cambio√

−λ1λ0

∈ k, se dice que la cuadrica es un par dehiperplanos imaginarios.

El resultado siguiente indica que la polaridad respecto de una cuadrica no degeneradatiene el mismo sentido que vimos para conicas (Proposicion 4.2), aunque ahora lo haremossin coordenadas:

Proposicion 9.11. Sea f : P(V )----->P(V )∗ la polaridad de una cuadrica Q. Entonces,

para cualquier p ∈ Q se tiene:

(i) Una recta de f(p) que pase por p o bien esta contenida en Q o corta a Q solo en el

punto p.

(ii) Una recta que pase por p y no este contenida en f(p) corta a Q exactamente en dos

puntos (siendo p uno de ellos).

Demostracion: Sea L ⊂ f(p) tal que p ∈ L y supongamos que L contiene un punto q ∈ Q

distinto de L. Veamos entonces que L ⊂ Q, lo que demostrara (i). Observamos en primerlugar que, como q ∈ f(p), entonces p ∈ f(q), y como q ∈ Q, entonces q ∈ f(q). Por tanto,L ⊂ f(q), ademas de L ⊂ f(p) por hipotesis. Dado pues q′ ∈ L, se tendra q′ ∈ f(p) yq′ ∈ f(q), luego p, q ∈ f(q′), es decir, L ⊂ f(q′). En particular, q′ ∈ f(q′), es decir, q′ ∈ Q

como querıamos.

Para demostrar (ii), sea ahora L una recta que pasa por p pero no esta contenida enf(p). En particular, f(p) es un hiperplano que corta a L solo en el punto p. Consideramosf|L : L----->L definido en el Lema 9.9. Evidentemente, f|L(p) = f(p) ∩ L = p. Ademas, siq ∈ L \ p, no puede ser L ⊂ f(q), ya que entonces p ∈ f(q), lo que implicarıa q ∈ f(p),es decir, q ∈ f(p)capL = p, que es absurdo. Por tanto, f|L(q) = f(q) ∩ L es un punto, loque implica que f|L es no degenerada, es decir, tiene rango dos. Por el Ejemplo 9.10, comoQ ∩ L tiene al menos el punto real p, consiste exactamente en dos puntos.

Definicion. Dada una cuadrica no degenerada Q ⊂ P(V ), se llama hiperplano polar de unpunto respecto de la cuadrica a la imagen del punto respecto de la correlacion f determinadapor la cuadrica (en el sentido del resultado anterior) Si p ∈ Q, llamaremos a f(p) hiperplanotangente a la cuadrica Q en el punto p y lo denotaremos TpQ. Mas en general, se llamasubespacio polar de un subespacio Λ ⊂ P(V ) al subespacio que corresponde por dualidada f(Λ) ⊂ P(V )∗. Se tiene entonces que la interseccion de Q con el hiperplano polar de unpunto p es el conjunto de puntos q tales que el hiperplano tangente a Q en q pasa por p.

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Proposicion 9.12. Sea Q una cuadrica de rango r y vertice Λ0 en un espacio proyectivo

P(V ) de dimension n. Entonces:

(i) Para cada p ∈ Q, la interseccion de Q con el hiperplano tangente a Q en p es una

cuadrica en dicho hiperplano, que tiene rango r − 2 y vertice el subespacio generado

por p y Λ0.

(ii) Los subespacios lineales contenidos en Q tienen dimension a lo sumo 2n−r2 .

Demostracion: Para demostrar (i), tomamos coordenadas en P(V ) tales que el punto p

sea (1 : 0 : . . . : 0) y el hiperplano tangente a Q en p sea H : Xn = 0. La matriz de Q enestas coordenadas tendra entonces la forma

A =

0 0 . . . 0 p0n

0 p11 . . . p1,n−1 p1n

......

......

0 p1,n−1 . . . pn−1,n−1 pn−1,n

p0n p1n . . . pn−1,n pn,n

con p0n = 0. Ademas, como el rango de A es r, el rango de

p11 . . . p1,n−1

......

p1,n−1 . . . pn−1,n−1

es r − 2. Es claro que H ∩ Q es la cuadrica en H, cuya ecuacion en las coordenadasx0, . . . , xn−1 consiste en hacer Xn = 0 en la ecuacion de Q, es decir, es la cuadrica dematriz

0 0 . . . 00 p11 . . . p1,n−1

......

...0 p1,n−1 . . . pn−1,n−1

que claramente tiene rango r − 2 y cuyo nucleo es el subespacio que corresponde al sube-spacio proyectivo generado por p y Λ0.

Sea ahora Λ un subespacio lineal contenido en Q de dimension m. La restriccion de lapolaridad de Q a Λ es una aplicacion proyectiva Λ----->Ω(Λ) con centro Λ ∩ Λ0. Por tanto

n−m−1 = dim(Ω(Λ)) ≥ dim Λ−dim(Λ∩Λ0)−1 ≥ dim Λ−dim Λ0 −1 = m− (n− r)−1

de donde se obtiene (ii).

Proposicion 9.13. Sea P(V ) un espacio proyectivo de dimension tres y sea Q ⊂ P(V )una cuadrica no degenerada que contiene una recta L. Entonces por cada punto p ∈ Q

pasan exactamente dos rectas contenidas en Q.

Demostracion: Por la Proposicion 9.12(i) sabemos que la interseccion de Q con el planotangente a Q en p es una conica de rango uno, es decir, un par de rectas. El resultado

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estara demostrado si demostramos que las rectas no son imaginarias. Distinguimos doscasos:

–Si p ∈ L, la interseccion de Q con su plano tangente en P contiene a la recta L, luegoel par de rectas no son imaginarias (ya que L es una de ellas).

–Si p ∈ L, entonces, la interseccion de Q con el plano Π generado por p y L es unaconica que pasa por p y contiene a la recta L. Por tanto, dicha conica es un par de rectasno imaginarias, una de ellas L, y otra recta L′ que pasa por p. Repitiendo el caso anteriortomando L′ en lugar de L, se obtiene el resultado.

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10. Espacio afın y espacio proyectivo

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