1

LÍMITES DE FUNCIONES

IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO .

Ejemplo 1: Consideremos la función:

>+−<

=13

13)(

xsix

xsixxf

Su gráfica:

� Si x toma valores próximos a 1, distintos de 1 y menores que 1 (ej.: x = 0’9, 0’99, 0’999,…),

que se nota: −→ 1x , es decir:

<≠→

≡→ −

1

1

)1(1

1

x

x

apróximosmuyx

x

Los correspondientes valores de y:

−→ 1x :

x 0’9 0’99 0’999

y 2’7 2’97 2’997

Se aproximan muchísimo a 3 (se nota: 3→y )

Se escribe: 3)(lim1

=−→

xfx

Se lee: Límite de f(x) por la izquierda de 1 es 3

� Si x toma valores próximos a 1, distintos de 1 y mayores que 1 (ej.: x = 1’1, 1’01, 1’001,

etc...) que se nota +→ 1x , es decir:

2

>≠→

≡→ +

1

1

)1(1

1

x

x

apróximosmuyx

x

Los correspondientes valores de y:

+→ 1x :

x 1’1 1’01 1’001

y 1’9 1’99 1’999

Se aproximan cada vez más a 2 (se nota: )2→y

Se escribe: 2)(lim1

=+→

xfx

Se lee: Límite de f(x) por la derecha de 1 es 2.

3 y 2 se llaman límites laterales de f(x) por la izquierda y derecha de 1 respectivamente.

Ejemplo 2: Dadas las funciones:

=≠+

=

>+−=<

=

>+−<

=14

11)(

13

14

12

)(13

12)(

2

xsi

xsixxk

xsix

xsi

xsix

xhxsix

xsixxg

Cuyas gráficas respectivas:

Observamos:

2)(lim

2)(lim

1

1

=

=

+

−

→

→

xg

xg

x

x

4)1(

2)(lim

2)(lim

1

1

=

=

=

+

−

→

→

h

xh

xh

x

x

4)1(

2)(lim

2)(lim

1

1

=

=

=

+

−

→

→

k

xk

xk

x

x

En los tres casos se escribe que:

2)(lim1

=→

xgx

2)(lim1

=→

xhx

2)(lim1

=→

xkx

Y se lee que el límite de la función es 2 en el punto 1.

3

En general:

� Si y = f(x) es una función cuya gráfica es:

Se escribe mxf

ax=

−→)(lim y ')(lim mxf

ax=

+→

� Si y = f(x) es una función cuya gráfica es:

Se tiene que mxfxf

axax==

+− →→)(lim)(lim ó mxf

ax=

→)(lim

A m y m’ se les llama límites laterales de f(x) por la izquierda y por la derecha de a

respectivamente.

Si ambos números reales son iguales (m = m’), a dicho número real m se le llama límite de f(x)

en el punto a.

4

Es importante señalar que para definir el límite de una función en un punto x = a, no

necesitamos para nada el valor de la función y = f(x) en x = a, es decir f(a), sino que sólo nos

interesa el comportamiento de dicha función en los alrededores de a (valores próximos a a pero

menores o mayores que a.)

Definición formal de límite de una función en un punto.

Diremos que: ∀⇔=→

Lxfax

)(lim E(L, ε ) ∃ E*(a, ∂ ) / ∈∀x E*(a, ∂ ), ∈)(xf E(L, ε )

“El límite de una función f(x) cuando ax → es el número real L, si se cumple que para

cualquier entorno de centro L y radio ε : E(L, ε ) que tomemos, por pequeño que sea ε ,

encontramos un entorno reducido de a, E* (a, ∂ ) (sin centro a), tal que todos sus valores reales

x tengan sus imágenes f(x) dentro del entorno E(l, ε )”

Cálculo del límite de f(x) algebraicamente.

El cálculo del límite de f(x) usando la fórmula de la función se hace de la siguiente forma:

Ejemplo 1:

>+−<

=13

13)(

xsix

xsixxf

31·33lim)(lim111

===→<→ −

xxfxxcomox

y ( ) 2313lim)(lim111

=+−=+−=→>→ +

xxfxxcomox

Ejemplo 2:

=≠+

=14

11)(

2

xsi

xsixxk

( )

( ) 2111lim)(lim 22

1

11.

1=+=+=

→

≠

→xxf

x

xcomodedchayizqentre

diferenciasenox

Y no sería necesario buscar por separado los límites laterales, ya que la expresión algebraica de

f(x) tanto por su izquierda (para x<1) como por su derecha (para x>1) es la misma.

5

IDEA INTUITIVA DE LÍMITES INFINITOS. ASÍNTOTAS VERT ICALES

Ejemplo 1: Consideremos la función: 1

1)(

−=

xxf de D(f) = R-{ }1 y cuya gráfica es:

• Si −→ 1x , los correspondientes valores de y:

x 0’9 0’99 0’999 …

y -10 -100 -1000 …

Se hacen cada vez más grandes en valor absoluto y son negativos (se nota −∞→y )

Se escribe: −∞=−→

)(lim1

xfx

Se lee: Límite de f(x) por la izquierda de 1 es ∞−

• Si +→ 1x , los correspondientes valores de y:

x 1’1 1’01 1’001 …

y 10 100 1000 …

Se hacen cada vez más grandes sin ningún tope real (se nota +∞→y )

Se escribe: +∞=+→

)(lim1

xfx

Se lee: Límite de f(x) por la derecha de 1 es ∞+

Ejemplo 2: Tomemos 1

1)(

−−=

xxg de D(g) = R-{ }1 y gráfica (opuesta de f ):

6

Observamos:

+∞=−→

)(lim1

xgx

y −∞=+→

)(lim1

xgx

Ejemplo 3: Tomemos ( ))()(1

1)( xfxh

xxh =

−=

Observamos:

+∞=⇒

−∞=

+∞=

→→

→

+

−

)(lim)(lim

)(lim

11

1 xhxh

xh

xx

x Se escribe: +∞=→

)(lim1

xhx

Se lee: Límite de h(x) en el punto 1 es ∞+

Ejemplo 4: Sea ( ))()(1

1)( xhdeopuestaxk

xxk =

−−=

Observamos:

−∞=⇒

−∞=

−∞=

→→

→

+

−

)(lim)(lim

)(lim

11

1 xkxk

xk

xx

x

En todos los casos se dice que la recta de ecuación x = 1 es una asíntota vertical.

En general:

7

Se escribe: ±∞=

→→→

+

−)(lim xf

axaxax

. Se dice que el límite de f(x) en a ( o los laterales) es ∞±

Y: x = a es una A.V. de y = f(x) ±∞=⇔

→→→

+

−)(lim xf

axaxax

(Definición de A.V.)

Algebraicamente: El cálculo del límite de f(x) usando la fórmula se hace:

Ejemplo 1:

Rx porxx

∉=−

=−→ 0

111

11

1lim

11

Cuando sale 0 en el denominador, su significado en el cálculo de límites es denominador→0.

La tendencia del denominador a 0 (→0) puede ser:

- Por valores positivos (denominador: 0’1, 0’01, 0’001,…) si +→ 1x .

- Por valores negativos (denominador: -0’1, -0’01, -0’001,…) si −→ 1x .

Por eso cuando sale 0 en el denominador, se calculan los límites laterales:

+∞=+

=−

=

−∞=−

=−

=

=→→

=→→

++

−−

01

11

lim)(lim

01

11

lim)(lim

,...01'1,1'111

,...99'0,9'011

xxx

xxx

xxf

xxf

Con lo cual podemos conocer la posición relativa de y = f(x) con respecto a su asíntota vertical

x = 1

8

En general si al calcular: )(lim xf

axaxax

→→→

+

− sale

0l= con axl =⇒≠ 0 es A.V. de f(x).

Basándonos en ello, las asíntotas verticales de una función y = f(x) se obtienen entre los valores

que anulan al denominador y no anulan el numerador.

“Para calcular las A.V. de una función”:

Denominador = 0⇒Despejamos x: x = a, x =b, x = c,… si numerador(a, b, c,..) ≠ 0.

Si en x = a el numerador(a) = 0, veremos lo que pasa más adelante.

IDEA INTUITIVA DE LÍMITES EN EL INFINITO. ASÍNTOTAS HORIZONTALES.

RAMAS PARABÓLICAS

Ejemplo 1:

Tomemos 12)( += xxf de D(f) = R y gráfica:

Observa:

A medida que x toma valores que se representan más a la izquierda sobre el eje de abscisas

(x = −10, −100, −1000,…) que se nota −∞→x , las ordenadas y correspondientes:

x −10 −100 −1000 −∞→x

y 1’00098 7’8 · 3110− +1 … 1→y

Se escribe: 1)(lim =−∞→

xfx

Se lee: Límite de f(x) cuando x tiende a ∞− es 1.

Ejemplo 2:

Tomemos ahora 12)( += −xxg con D(g) = R y gráfica:

9

Observa:

A medida que x toma valores cada vez mayores y que se representan cada vez más a la derecha

sobre el eje de abscisas (x = 10, 100, 1000,…) que se nota +∞→x , las ordenadas y

correspondientes:

x 10 100 1000 +∞→x

y 1’00098 1’00000007 … 1→y

Se escribe: 1)(lim =+∞→

xgx

.

Se lee: Límite de g(x) cuando x tiende a ∞+ es 1.

Ejemplo 3:

Sea x

xxh

1)(

+= con D(h) = R-{ }0 y gráfica:

Observamos:

1)(lim =−∞→

xhx

y 1)(lim =+∞→

xhx

. En todos los casos se dice que la recta de ecuación y=1 es una

asíntota horizontal (A.H.) de h(x).

En general:

Si y = f(x) es una función cuya gráfica se comporta de la forma:

10

Se escribe: Rbxfx

∈=−∞→

)(lim ó Rbxfx

∈=+∞→

)(lim ó Rbxfx

∈=±∞→

)(lim

Y:

by = es A.H. de y = f(x) Rbxf

xox

∈=⇔

−∞→

+∞→)(lim (Definición A.H.)

Algebraicamente: El cálculo del límite en el infinito aprenderemos a calcularlos cuando se

estudien las propiedades de cálculo de límites.

Ejemplo 4:

Dadas las funciones 2)( xxf = y 2)( xxg −= de dominio R y gráficas:

Observamos:

+∞=

+∞=

+∞→

−∞→

)(lim

)(lim

xf

xf

x

x −∞=

−∞=

+∞→

−∞→

)(lim

)(lim

xg

xg

x

x

En todos los casos se trata de límites infinitos en el infinito: ±∞=±∞→

)(lim xfx

Cuando la gráfica no se aproxima a ninguna recta oblicua y se cumple que ±∞=±∞→

)(lim xfx

, se

dice que y = f(x) tiene una rama parabólica por la derecha si ±∞=+∞→

)(lim xfx

y por la izquierda

si ±∞=−∞→

)(lim xfx

, y por ambos lados si ocurren las dos cosas.

En general:

y = f(x) tiene una R.P. ±∞=⇔

−∞→

+∞→)(lim xf

xox

y Gráf(f) no se aproxima a ninguna

recta (Definición de R.P)

ASÍNTOTAS OBLICUAS.-

Para algunas funciones ocurre que cuando +∞→x ó −∞→x , se observa que su gráfica tiende

a aproximarse a una recta oblicua, llamada asíntota oblicua de la función:

11

La recta nmxy += con 0≠m es asíntota oblicua de )(xfy = ( ) ( )[ ] 0lim =+−⇔

−∞→

+∞→nmxxf

xox

Como se observa en la gráfica si +∞→x (ó 0) →⇒−∞→ APx .

El método general para calcular las asíntotas oblicuas de una función es el siguiente:

Si nmxy += es asíntota oblicua de ( )xfy = , entonces: ( ) ( )[ ] 0lim =+−

−∞→

+∞→nmxxf

xox

.

Si calculamos

00)()(

lim =∞±

=+−⇔

−∞→

+∞→ x

nmxxf

xox

( )0lim =

−−⇔

−∞→

+∞→ x

n

x

mx

x

xf

xox

( )0lim =

−−⇔

−∞→

+∞→ x

nm

x

xf

xox

( ) ( ) ( )m

x

xfm

x

xf

x

nm

x

xf

xóx

xóx

xóx

xox

=⇔=−⇔=−−⇔

−∞→

+∞→

−∞→

+∞→

−∞→

+∞→

−∞→

+∞→lim0lim0limlim . Luego m:

( )x

xfm

xox

−∞→

+∞→= lim

El cálculo de n es inmediato sin más que observar que: ( )[ ] 0lim =−−

−∞→

+∞→nmxxf

xox

, que despejando

n : ( )[ ]mxxfn

xox

−=

−∞→

+∞→lim .

En la práctica:

Si ±∞=±∞→

)(lim xfx

: se calcula: ( )

⇒∞±→⇒∈

=±∞→ ..

:..lim

PR

ncalculaOARm

x

xfx

PROPIEDADES –INDETERMINACIONES

1). ( ) )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfx

axx

axx

ax±∞→

→±∞→

→±∞→

→±=±

12

• ±∞=∞±l

• ( ) ( ) +∞=∞++∞+

( ) ( ) −∞=∞−+∞−

2). ( ) )(lim·)(lim)(·)(lim xgxfxgxfx

axx

axx

ax±∞→

→±∞→

→±∞→

→=

• )(lim·)(·lim xfkxfkx

axx

ax±∞→

→±∞→

→= con k = constante

• ( ) ±∞=∞±·l (Regla de los signos para el producto) y 0≠l

• ( ) ( ) ±∞=∞±∞± · (Regla de los signos para el producto)

3). )(lim

)(lim

)()(

limxg

xf

xg

xf

xax

xax

xax

±∞→→

±∞→→

±∞→→

=

• ±∞=± 0l

(Regla de los signo para el cociente) 0≠l

• 0=∞±l

( Rl ∈∀ incluido l = 0)

• ±∞=∞±l

(Regla de los signos para el cociente) ( Rl ∈∀ incluido l = 0)

4). ( ))(lim

)( )(lim)(lim

xg

xax

xg

xax

xax

xfxf±∞→

→

=

±∞→→

±∞→→

• n

xax

n

xax

xfxf )(lim)(lim±∞→

→±∞→

→=

• ( ) ( )∞+=∞+ l si l > 0

( ) 0=∞+ l si l < 0

•

<<>∞+

=∞+

100

1

lsi

lsil

<<∞+>

=∞−

10

10

lsi

lsil

• ( )( ) ( )∞+=∞+ +∞ ( )( ) 0=∞+ −∞

Entre las propiedades anteriores faltan los siguientes casos, en los que no hay ninguna regla fija:

1). ∞±∞±

2). 00

3). ( )∞±·0 4). ( ) ( )∞+−∞+ 5). ±∞1 6). ( )0∞+ 7). 00

En estos casos se trata de indeterminaciones.

13

Cuando al calcular el límite de la función aparece una indeterminación, hay que evitarla usando

estrategias de cálculo que dependerán de la forma que tenga la expresión algebraica de la

función y del tipo de indeterminación que nos haya salido.

CÁLCULO ALGEBRAICO DE LÍMITES:

Tendremos en cuenta además de las propiedades anteriores:

• kkx

ax=

±∞→→lim siendo k = constante.

• )()(lim aPxPax

=→

siendo P(x) un polinomio.

• ±∞=±∞→

)(lim xPx

dependiendo del signo del coeficiente principal y del grado de P(x)

� Indeterminación ∞±∞±

• Si f es racional

)(

)(lim

xQ

xPx ±∞→

(P y Q polinomios). En todos los casos, para evitar la indeterminación, se divide

numerador y denominador por la x de mayor grado del denominador.

Ejemplo 1:

401

0041

1

114

lim1

14

lim1

14lim

2

2

22

2

222

2

2

2

=+

−+=+

−+=

+

−+=

+−+

+∞→+∞→+∞→

x

xx

xx

xxx

x

x

x

x

xxxxx

Ejemplo 2:

−∞=∞−=−

−+∞−=−

−+−=

−

−+−

=−

−+−+∞→+∞→+∞→ 101

005

1

114

lim5

14

lim5

14lim

2

2

22

2

222

3

2

3

x

xxx

xx

xxx

x

x

x

x

xxxxx

Ejemplo 3:

010

01000

71

114

lim7

14

lim7

14lim

3

32

33

3

333

2

3

2

==+

−+=+

−+−

=+

−+−

=+

−+−+∞→+∞→+∞→

x

xxx

xx

xxx

x

x

x

x

xxxxx

• Si f es irracional: Se evita dividiendo numerador y denominador entre la x de mayor grado

del denominador (igual que si fuese racional). Si el denominador tiene raíz, se dividen entre la

raíz de esa potencia de x.

Ejemplo:

14

11

011

11

limlimlim22

2

2

=+=+

=+

=++∞→+∞→+∞→

x

x

xx

x

x

x

x

xxxxx

� Indeterminación: 00

• Si f es racional:

0

0

)(

)(

)(

)(lim ==

→ aQ

aP

xQ

xPax

.

Como P(a)=0⇒P(x) es divisible por x – a (Teorema del resto). Lo mismo ocurre con Q(x).

Para evitar este tipo de indeterminación dividimos numerador y denominador por. ( )ax−

Ejemplo:

001

lim2

3

1=

−−

→ xx

xx

(indeterminación)⇒ Dividimos numerador y denominador entre ( )1−x

( )3

13

11111

lim1

lim22

11:2

3

1==++=++=

−−

⇒→−→ x

xx

xx

xxxx

• Si f es irracional:

Ejemplo:

00

11lim

0=

−−→ x

xx

indeterminación que se evita multiplicando numerador y denominador por

el conjugado de donde aparece la raíz y posteriormente dividiendo por ( )ax− , en nuestro

ejemplo por . ( ) xx =− 0

( )

( )( )( )

( )( )

( ) 201111lim

11lim

11

11lim

1111

11lim

11lim

0

02000

=−+=−+=

=−+=−−−+=

−+−−−+=

−−

→

→→→→

x

x

xx

x

xx

xx

xx

x

x

x

xxxx

� Indeterminación: ( ) ( )∞+−∞+

• Si f(x) es racional:

Ejemplo 1:

( ) ( )∞+−∞+=

−−

−→ 13

12

lim 321 xxx, se evita la indeterminación operando razones algebraicas y

transformando la expresión en un cociente de polinomios:

15

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) 00

3·0·2112

11112

lim

111

33222lim

111

1312lim

1

3

1

2lim

2

2

1

2

2

12

2

1321

=−−=++−+

−−=

=++−+−−++=

++−++−++=

−−

−

→

→→→

xxxx

xx

xxxx

xxx

xxxx

xxx

xx

x

xxx

Queda otra indeterminación que se evita dividiendo numerador y denominador por ( )1−x :

( )( )( ) ( ) ( )( ) 21

63

3·212

1112

lim111

12lim

211:2

2

1==+=

++++=

++−+−−

→−→ xxx

x

xxxx

xxxxx

Ejemplo 2:

( ) ( )∞+−∞+=

+−+−

++−

+∞→ 132

214

lim22

x

xx

x

xxx

, se evita la indeterminación, como en el caso

anterior, realizando la operación y transformando la resta en una sola razón algebraica.

( )( ) ( )( )( )( )

( ) =++

+−−−+−−=++

−++−+−−=

=

+++−+−++−=

+−+−

++−

+∞→+∞→

+∞→+∞→

23

64133lim

23

64133lim

12

232114lim

1

32

2

14lim

2

2323

2

2323

2222

xx

xxxxxx

xx

xxxxxx

xx

xxxxxx

x

xx

x

xx

xx

xx

∞+∞−=

+++−−=

+∞→ 23

747lim

2

2

xx

xxx

Indeterminación que se evita dividiendo por la x de mayor exponente del denominador, en

nuestro caso dividimos por 2x :

7001

00723

1

747

lim23

747

lim23

747lim

2

2

222

2

222

2

2

2

−=+++−−=

++

+−−=

++

+−−

=++

+−−+∞→+∞→+∞→

xx

xx

xx

x

x

xxx

x

x

x

xx

xxxxx

• Si f(x) es irracional:

� Si hay cociente se divide por la x de mayor exponente del denominador con su raíz, en

caso de que le afecte alguna raíz.

Ejemplo 1:

( ) ( )∞+

∞+−∞+=+−+∞→ x

xxx

1lim , para quitar la indeterminación se divide numerador y

denominador entre x :

16

01

111

011

1

111

lim

1

lim =−=+−=+−

=+−

+∞→+∞→

x

x

xxx

x

x

x

xx

Ejemplo 2:

( ) ( )∞+

∞+−∞+=+−

+−+∞→ xx

xxx 2

1lim , para quitar indeterminación se divide numerador y

denominador por x

01111

101

011

12

1

111

lim2

1

lim2

1lim =

+−=

+−+−=

+−

+−=

+−

+−=

+−+−

+∞→+∞→+∞→

x

x

x

x

xx

xxx

x

x

x

xx

xxxxx

� Si no hay cociente sino sólo una resta de raíces, la indeterminación se evita

multiplicando y dividiendo por el conjugado:

Ejemplo 3:

( )( ) ( ) ( )∞+−∞+=−−+++∞→

11lim 2 xxxx

⇒ Indeterminación. Para evitarla multiplicamos y

dividimos por el conjugado:

( )( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ∞+∞+=

++++=

=−+++

−−++=−+++

−+++⋅−−++

+∞→

+∞→+∞→

11

3lim

11

11lim

11

1111lim

2

2

22

2

22

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

x

xx

Indeterminación que se evita dividiendo por la x de mayor exponente del denominador, en

nuestro caso x ( xx =2 )

23

)01(001

3

11

111

3lim

11

3

lim

2222

2=

++++=

++++=

+++++∞→+∞→

xxxxx

x

xx

x

x

xx

x

xx

EJERCICIOS RESUELTOS DEL CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS D E UNA FUNCIÓN.-

Calcula razonadamente todas las asíntotas de las siguientes funciones:

� Ejercicio 1. ( )xx

xxf

2

42

2

−−=

A.V: Calculamos los valores de x que anulan al denominador:

17

==

2

0

x

x que son las posibles A.V. de la función.

Comprobamos si lo son o no, calculando los límites en estos puntos:

( ) ( )∞±∉−=−−=

→→R

xx

xxf

xx 0

4

2

4limlim

2

2

00..0 VAunaesx =⇒

Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de 0=x se estudia calculando los

límites laterales: ( )

( ) +∞=−−=

−∞=+−=

=→

−=→

+

−

0

4lim

0

4lim

1'00

1'00

xx

xx

xf

xf

( ) ( ) ( )( ) ( )

=+=+=−⋅

+⋅−=−−=

→−→→→ 2

222lim

2

22lim

2

4limlim

22:20

02

2

22 x

x

xx

xx

xx

xxf

xxxxxR∈2 y ( )fD∉2

Luego: ..2 VAunaesnox = En 2=x , hay una

discontinuidad evitable

A.H: ( ) =−−=

−

−=

−

−=

−−=

±∞→±∞→∞+∞+±∞→±∞→ 01

012

1

41

lim2

4

lim2

4limlim

2

22

2

22

2

2

2

x

x

x

x

x

xxx

x

xx

xxf

xxxxR∈1

)(.1 izqdalaporydchalaporHAesy =

Y para saber la posición relativa de la ( )fGráf respecto de la asíntota: 1=y :

x ( )xf ( ) 1=yconxfnComparació ( ) ..HAarespectoconxfdePosición

100 02'1 102'1 > ( ) ..HAladeencimaporxf

100− 98'0 198'0 < ( ) ..HAladedebajoporxf

No puede haber A.O.: Pues la función tiene un A.H.

� Ejercicio2. ( )1

22

−+=

x

xxg

A.V: Calculamos el valor de x que anula al denominador, que es: 1=x (posible A.V)

Comprobamos si lo es o no, calculando el límite en ese punto:

( ) ( )∞±∉=−+=

→→R

x

xxg

xx 0

3

1

2limlim

2

11⇒ 1=x verticalasíntotaunaes

18

Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de 0=x se estudia calculando los límites

laterales: ( )

( ) +∞=+

=

−∞=−

=

=→

=→

+

−

0

3lim

0

3lim

1'11

9'01

xx

xx

xg

xg

A.H: ( ) =−

+∞±=−

+=

−

+=

−+=

±∞→±∞→∞±∞+±∞→±∞→ 01

01

1

2

lim1

2

lim1

2limlim

2

2

x

xx

xx

xxx

x

x

xxg

xxxxR∉∞±

eshorizontalasíntotastienenof⇒

A.O.: nmxy += Con m y n R∈ , Que se calculan de la forma siguiente:

( ) =−+=

−

+=

−

+=

−+=−

+

==±∞→±∞→

∞+∞+±∞→±∞→±∞→ 01

011

1

21

lim

2

lim2

lim1

2

limlim2

22

2

22

2

2

2

2

x

x

x

x

x

xxx

x

xx

x

xx

x

x

xgm

xxxxxR∈1 ⇒ 1=m

( )( )( )

∞±∞±±∞→±∞→∞±−∞±±∞→±∞→=

−+=

−+−+=

−

−+=−=

1

2lim

1

2lim

1

2limlim

222

x

x

x

xxxx

x

xmxxgn

xxxx

=−+=

−

+=

−

+=

±∞→±∞→ 01

011

1

21

lim1

2

lim

x

x

xx

xxx

x

xxR∈1 ⇒ 1=n

Luego la función posee una asíntota oblicua de ecuación: 1+= xy

Si queremos conocer la posición relativa de la ( )fGráf respecto de la A.O.:

x ( )xg ..OAy ( ) ..OAyconxgnComparació

100 03'101 101 ( ) ..OAladeencimaporxg

100− 03'99− 99− ( ) ..OAladedebajoporxg

� Ejercicio 3. ( ) 12 −= xxh

A.V: ..VAtieneNo , pues el denominador es el 1 y no se puede anular.

A.H: Calculamos el ( ) =−=±∞→±∞→

1limlim 2xxhxx

R∉∞+ ..HAhayNo

A.O.: nmxy += Con m y n R∈ , Que se calculan de la forma siguiente:

19

( )

∈−=−−

=−−

∈=−=−

=−

=

−

=−==

+∞→−∞→

+∞→+∞→

±∞→∞±∞+±∞→±∞→

Rx

x

xxx

x

Rx

x

xxx

x

x

xx

x

x

x

x

xhm

xx

xx

xxx

11

11

lim

1

lim

11

01

1

11

lim

1

lim1

lim1

limlim

222

2

222

2

2

2

Para: ⇒=1m

( ) ( ) ( )0

1

1

1lim

1

1lim

1

11lim1lim

22

22

2

222 =

∞+∞+−=

+−−=

+−−−=

+−++⋅−−=−−=

+∞→+∞→+∞→∞−∞++∞→ xxxx

xx

xx

xxxxxxn

xxxx

Y la asíntota oblicua tiene de ecuación: xy =

Para: ⇒−= 1m

( ) ( ) ( )0

1

1

1lim

1

1lim

1

11lim1lim

22

22

2

222 =

∞+∞+−=

−−−=

−−−−=

−−−+⋅+−=+−=

−∞→−∞→−∞→∞−∞+−∞→ xxxx

xx

xx

xxxxxxn

xxxx

Y la asíntota oblicua tiene de ecuación: xy −=

Como vemos tiene dos A.O. :

−==

xyizqdalaPor

xydchalaPor

:

:

Y la posición relativa de la ( )hGráf respecto de ellas:

x ( )xh ..OAy ( ) ..OAyconxhnComparació

100 99'99 100 ( ) ..OAladedebajoporxh

100− 99'99 100 ( ) ..OAladedebajoporxh

� Ejercicio 4. ( )

−≥−

−<+=

21

22

2

xsix

x

xsixxk

A.V: Calculamos los valores de x que anulan a los denominadores:

=−=1

2

x

x que son las posibles A.V. de la función.

Comprobamos si lo son o no, calculando los límites en estos puntos:

20

( )

( ) 212

2

1limlim

0

4

2

2limlim

22

22

=−

=−

=

∉+∞=−−=

+=

++

−−

−→−→

−→−→

x

xxk

Rx

xk

xx

xx

⇒ ..2 VAesx −=

( ) ( )∞±∉=−

=→→

Rx

xxk

xx 0

1

1limlim

11⇒ 1=x ..VAes

Y la posición relativa de la gráfica de la función respecto de 1=x se estudia calculando los límites

laterales: ( )

( ) +∞=+

=

−∞=−

=

=→

=→

+

−

0

1lim

0

1lim

1'11

9'01

xx

xx

xk

xk

A.H: Calculamos el

( )

=∞−

=+

=−

=−

=−=

−∞→

+∞→∞+∞++∞→

±∞→

02

2

2lim

101

11

lim1

limlim

x

xx

xx

x

x

x

xk

x

xx

x

⇒

==

0:..

1:..

yizqdalaporHA

ydchalaporHA

La posición relativa de la ( )kGráf respecto de ellas:

x ( )xk ( ) HAconxknComparació . ( ) ..HAarespectoconxkdePosición

100 01'1 101'1 > ( ) ..HAladeencimaporxk

100− 02'0− 002'0 <− ( ) ..HAladedebajoporxk

Observación: El estudio de la posición relativa de la Gráf de cada función respecto de sus

asíntotas no es riguroso, en cuanto que damos a x un solo valor (100 ó -100) que no tiene por qué

ser en valor absoluto suficientemente alto. Pero en la mayoría de las funciones que trabajaremos

en el curso, nos suele ayudar y dar una idea clara de cómo se posiciona la gráfica de la función.

En cualquier caso, podemos prescindir de dicho estudio y sustituirlo por la utilización del resto

de las propiedades que tenga la gráfica de la función, encajándolas hasta hacer un esbozo

correcto de la gráfica pedida.