Apuntes de Mecánica de Fluidos

2009

Alberto Olid Sampedro

I. T. I. de Mecánica

Apuntes de Fluidomecánica


Autor: Alberto Olid Sampedro 1

Índice.

Tema : Introducción.

Tema : Fluidodinámica.

Tema : Fluidostática.

Tema : Instalaciones hidráulicas.

Anexo : Coordenadas esféricas.

Anexo : Áreas de algunas figuras planas.

Anexo : Áreas y volúmenes de algunas figuras geométricas tridimensionales.

Anexo : Centros de gravedad de curvas, superficies y volúmenes usuales.

Anexo : Momentos de inercia de formas geométricas usuales.



Tema 1: Introducción.

Fluido:

Material que se deforma continua y permanentemente con la aplicación de un esfuerzo

cortante. A consecuencia de esto, los fluidos pueden fluir y cambiar de forma.

Los fluidos pueden clasificarse en:

Líquidos: Son prácticamente incompresibles y ocupan un volumen constante.

Gases: Son compresibles y su volumen varía, por lo que ocupan todo el espacio

disponible.

Si existen un gas y un líquido juntos, entre ellos se forma una interfase denominada

superficie libre.

Los fluidos cumplen, además, la condición de no deslizamiento, es decir, que el fluido en

contacto con el sólido se mueve a la misma velocidad del sólido.

Las dos propiedades fundamentales de un fluido son:

Densidad: Se expresa por e indica la relación existente entre la masa y el

volumen del fluido. En los gases varía casi de forma proporcional a la temperatura,

pero en los líquidos permanece casi constante.

Viscosidad: Determina la velocidad de deformación del fluido cuando se le aplica

un esfuerzo cortante dado. Hay dos tipos de viscosidad:

Viscosidad dinámica: Se representa con µ y se utiliza cuando un objeto se

mueve dentro de un fluido. Sus unidades en el S. I. son: .

Viscosidad cinemática: Se representa con ν y se utiliza cuando un fluido se

mueve alrededor de un objeto. Es el cociente de la viscosidad dinámica y la

densidad del fluido ( ), por lo que sus unidades en el S. I. son:

.

La viscosidad da una idea de la fricción interna del fluido y depende de la

temperatura:

En los líquidos disminuye al aumentar la temperatura.

En los gases aumenta al aumentar la temperatura.

Si representamos en un eje coordenado el esfuerzo cortante y la velocidad con la que se

deforma el fluido al someterlo a éste, obtendremos un reograma:



De aquí, por trigonometría:

Que es la Ley de Newton para la viscosidad.

Un sólido tiene una viscosidad infinita, mientras que un fluido ideal no tiene viscosidad

alguna.

Los fluidos que siguen la Ley de Newton se denominan fluidos newtonianos, llamándose

fluidos no newtonianos los que no la cumplen. Estos últimos, a su vez, se pueden separar en

dos grupos:

Pseudoplásticos: Son aquellos fluidos en los que disminuye su resistencia al

aumentar el esfuerzo. Si este efecto es muy importante, el fluido

pasa a llamarse plástico. El caso límite es aquel en el que se

requiere un esfuerzo umbral (fluencia) antes de que fluya. En el

caso ideal del plástico de Bingham el comportamiento en la

fluencia es lineal.

Dilatantes: Son aquellos fluidos en los que aumenta su resistencia al aumentar el

esfuerzo.



Los fluidos no newtonianos pueden modelarse mediante la siguiente ley de potencias:

donde τ0 es el esfuerzo umbral, K es el parámetro de consistencia y n es el parámetro de

comportamiento, que da una idea del alejamiento del comportamiento newtoniano. Si:

El fluido es newtoniano.

El fluido es dilatante.

El fluido es pseudoplástico.

Tema 2: Fluidodinámica.

El fluido como medio continuo:

Para poder conocer el comportamiento de los fluidos, debemos estudiarlos de forma

cuantitativa desde una perspectiva continua y, para ello, debemos aplicar la hipótesis del

continuo.

Sabemos que la densidad, o masa por unidad de volumen, no tiene un significado preciso

puesto que el número de moléculas en el interior de un volumen cualquiera cambia

constantemente. Esto sucede cuando:

siendo L la longitud característica macroscópica y d la distancia media intermolecular, cuyo

valor es .



Pero si la unidad de volumen es mucho mayor que el cubo del espaciado molecular, el

número de moléculas contenidas permanecerá prácticamente constante, a pesar del

intercambio a través de su contorno. Esta situación se da siempre que:

donde es el tamaño de la partícula.

No obstante, si la unidad de volumen seleccionada es excesivamente grande, puede haber

una variación notable en la distribución global de partículas, que es lo que pasa cuando:

Por lo tanto, existe un volumen límite por debajo del cual las variaciones moleculares

pueden ser importantes y por encima del cual las variaciones macroscópicas también lo

pueden ser.

Con todo esto podemos obtener la siguiente gráfica:



No obstante, solo podemos establecer la hipótesis del fluido continuo cuando el número

de Knudsen sea mucho más pequeño que 1:

donde es el recorrido libre medio, cuyo valor es:

De esta forma, la densidad de un fluido se define de modo óptimo como la densidad

media de las moléculas que lo componen:

De igual manera, la velocidad de una partícula fluida será:

Esto nos lleva a utilizar el método euleriano para analizar el comportamiento de los

fluidos. Dicho método se basa en establecer una región del espacio, llamada volumen de

control, en la que estudiaremos el comportamiento del fluido. Dicho fluido, con el paso del

tiempo, es sustituido por uno nuevo debido al paso del fluido. Con este método las

características del fluido se expresarán como campos de las mismas:



a lo que debemos sumar las ecuaciones de estado.

Pero nosotros solo trabajaremos con fluidos incompresibles, newtonianos y a

temperatura constante y homogénea, con lo que la viscosidad dinámica µ y la densidad

serán igualmente constantes y homogéneas, aunque a veces esto no ocurrirá y habrá que

tenerlas en cuenta como variables.

En el campo de velocidades podemos identificar:

Trayectoria: Posición que tiene una partícula, en un instante dado, al moverse.

Dicha posición viene dada por:

donde:

Senda o Traza: Lugar geométrico de las partículas que pasaron por un punto dado

en instantes sucesivos. Se calcula eliminando el tiempo como

parámetro de la ecuación de la trayectoria.

Línea de corriente: Línea tangente a los vectores de velocidad del campo. La

velocidad de una partícula es nula en el punto donde se cortan

dos líneas de corriente. Dichas líneas se calculan mediante la

condición de tangencia:

Así mismo, el campo de velocidades puede ser:

Uniforme: La velocidad de la partícula únicamente depende del tiempo, siendo la

misma en todos los puntos del espacio:

Estacionario: La velocidad de la partícula depende, exclusivamente, de la posición

de la misma, manteniéndose constante a lo largo del tiempo y

depende del sistema de referencia seleccionado:

Punto de remanso: Región del espacio en la que la velocidad de la partícula es nula

y depende del sistema de referencia escogido:

Ejemplo:

Un campo bidimensional de velocidades se expresa como:



Calcula la trayectoria de una partícula fluida que, en el instante se encuentra en el

punto así como su traza y las líneas de corriente.

Cálculo de la trayectoria:

Esta es la trayectoria de una partícula cualquiera, por lo que ahora debemos aplicar esta

solución a la partícula que nos piden.

Cálculo de la traza:

Como preguntan la traza de la misma partícula anterior, utilizaremos la ecuación de la

trayectoria de ésta. Si nos pidiesen la traza de cualquier partícula debemos utilizar para

su cálculo la ecuación de la trayectoria general.

Cálculo de las líneas de campo:

Aplicamos la condición de tangencia.



Como el problema nos impone que sustituimos el tiempo en la expresión

anterior:

Y aplicamos la solución a nuestra partícula:

Pero necesitamos poder aplicar las fórmulas de la física al estudio de los fluidos, y dichas

fórmulas están calculadas con el método langrangiano. Para ello contamos con el teorema de

transporte de Reynolds.

Teorema de transporte de Reynolds:

Sea B una propiedad cualquiera del fluido (energía, cantidad de movimiento, etc.) y

el valor intensivo o cantidad B por unidad de masa de una pequeña porción de

fluido. La cantidad total de B en el volumen de control es:

donde · dV es la masa de un elemento diferencial de fluido dm.

Supongamos ahora un volumen de control que se mueve y deforma arbitrariamente,

siendo su velocidad de deformación:

El flujo de volumen a través de la superficie de control es proporcional a la velocidad

relativa normal:



Como dicha velocidad puede ser una función complicada y, además, los elementos de

volumen se distorsionan con el tiempo, tomaremos la rapidez de cambio tras integrar.

Así, el teorema de transporte de Reynolds para un volumen de control deformable es:

donde:

: Vector unitario normal a la superficie de control y dirigido hacia el exterior de

la misma.

: Variación de B dentro del volumen de control.

: Flujo de B a través de la superficie del volumen de

control.

Este teorema nos proporcionará las ecuaciones fundamentales de la física con importancia

en fluidomecánica para su uso con el enfoque euleriano, que son:

Ecuación de conservación de la masa.

Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento.

Ecuación de conservación de la energía.

Pero para poder aplicar convenientemente las hipótesis de simplificación en las fórmulas

finales definiremos el concepto de flujo y sus tipos.

Flujo es la cantidad de algo que sale de una región:

El flujo generalizado es la suma del flujo convectivo (asociado a la materia) y el flujo

directo (no participa la materia).

De esta forma, el de teorema de transporte de Reynolds queda como:

donde (ΦB)S es el flujo generalizado y (PB)VC es el término de producción (por si hay

manantiales o sumideros dentro del volumen de control).



Además, el flujo puede ser:

Unidimensional: Las propiedades del flujo varían en una dirección.

; ;

Bidimensional: Las propiedades del flujo varían en dos direcciones perpendiculares

entre sí. Es el caso del flujo laminar.

; ;

Tridimensional: Las propiedades del flujo varían en tres direcciones

perpendiculares entre sí. Se da en el flujo turbulento.

; ;

Viscoso: Implica efectos de fricción por viscosidad.

No viscoso: Es hipotético y supone que no hay fricción por tratarse de un fluido sin

viscosidad.

Compresible: La densidad del fluido varía.

Incompresible: La densidad del fluido permanece constante. Es con los que vamos

a trabajar.

Estacionario: Todas las propiedades del flujo en cada punto se mantienen

constantes con respecto al tiempo.

No estacionario: Las propiedades del flujo en un punto cambian con el tiempo.

Laminar: Las partículas del fluido describen trayectorias paralelas entre sí en cada

punto del espacio.

Turbulento: Las partículas del fluido se mueven desordenadamente, formando

remolinos de manera aleatoria. Se establece para valores de Reynolds

mayores que 2300.

Establecido: Tiene el perfil de velocidades constante.

No establecido: El perfil de velocidades varía.



Uniforme: En cualquier sección perpendicular al flujo todas las propiedades se

mantienen constantes. Se establece para valores de Reynolds menores

de 2300.

Variable: La forma y el área de la sección transversal, a través de la cual se

produce el flujo, cambian.

Ahora sí podemos traducir las ecuaciones fundamentales de la física al enfoque

lagrangiano.

Ecuación de conservación de la masa:

La propiedad B del fluido, en este caso, es la masa:

donde:

; por conservarse la masa.

y, recordando que, por no existir flujo directo:

obtenemos, finalmente:

donde vr es la velocidad relativa del fluido.

Se comprueba que, si el flujo es estacionario y uniforme, el volumen de control tiene solo

una entrada y una salida, el fluido es homogéneo y no hay flujo directo:

donde es el caudal másico .

Si, además, el fluido es incompresible, obtenemos:

donde es el caudal Q, sabiendo que v es la componente perpendicular a S de la

velocidad relativa media.

Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento:



Las fuerzas de largo alcance se llaman fueras volumétricas o másicas y se expresan

como:

donde:

Si las fuerzas son de corto alcance se llaman fuerzas de corto alcance o superficiales y se

expresan como:

sabiendo que es el tensor de esfuerzos definido por:

donde:

en el que i y j representan la dirección de la fuerza y de la superficie respectivamente.

El tensor de esfuerzos es simétrico si no hay rotaciones y, por tanto, diagonalizable.

Además, si el medio fluido es isótropo (sus propiedades son las mismas en cualquier

dirección), los elementos de la diagonal principal tienen el mismo valor.

Si el medio es isótropo y el fluido es newtoniano y está en reposo:

Y, sabiendo que un fluido newtoniano en reposo no admite esfuerzos de corte:

Esfuerzos de corte son los representados por:

Esfuerzos normales a la superficie son los representados por:

con lo que podemos escribir:

donde es la función delta de Kronecker:

y, de aquí:



donde P es la presión del fluido e es la matriz identidad.

Todo esto nos permite escribir, los esfuerzos de la forma:

siendo el tensor de esfuerzos de corte viscosos:

Y, volviendo al principio, las fuerzas externas que actúan sobre el volumen de control

serán:

Ahora estamos listos para deducir la ecuación de continuidad de la cantidad de

movimiento. Sabiendo que la propiedad B del fluido es, en este caso, la cantidad de

movimiento:

donde:

; por conservarse la cantidad de movimiento.

y, recordando que, al existir flujo directo:

obtenemos, finalmente:

donde vr es la velocidad relativa del fluido y es el producto de la densidad del fluido

por su velocidad.


una entrada y una salida y el fluido es homogéneo:



Si, además, el fluido es incompresible, obtenemos:

donde es un factor de corrección del perfil de v, ya que el flujo no es uniforme

realmente.

Es importante considerar que las fuerzas que aparecen en las ecuaciones son las que se

realizan sobre el fluido del volumen de control y que las fuerzas y velocidades son relativas a

dicho volumen de control.

Ejemplo:

Sabiendo que por una tubería con un codo que gira un ángulo α, cuyos diámetros de entrada

y de salida son, respectivamente, D y d, pasa un caudal Q de un fluido incompresible y

homogéneo, de viscosidad µ, densidad y flujo laminar en la entrada, donde el perfil de

velocidades viene dado por y flujo uniforme en la salida.

Calcula la velocidad vm con la que entra el fluido y la velocidad vS con la que sale, así como

la fuerza F que el fluido ejerce sobre la tubería.

Cálculo de la velocidad de salida vS:

El fluido es, según el enunciado, homogéneo e incompresible y, en la parte final de la

tubería el flujo es uniforme. Además, en la conducción tenemos una entrada y una

salida y podemos suponer también un régimen estacionario por lo que el caudal será:



Y, despejando vS de la ecuación anterior:

Cálculo de la velocidad de entrada vm:

Para calcular la velocidad de entrada del fluido aplicaremos la ecuación de conservación

de la masa, teniendo en cuenta las hipótesis pero sabiendo que, en la entrada, el fluido

no es uniforme como en la salida:

donde:

; por ser el régimen estacionario.

; por no haber flujo a través de la pared.

De esta expresión obtenemos ρm como factor común:

Y recordando que en la salida el flujo era uniforme, que los vectores de las superficies

están dirigidos hacia el exterior del volumen del control y que:

obtenemos:

de donde vm es constante.



Ya sólo tenemos que despejar vm en la ecuación y resolver:

Sabiendo que se corresponde con un anillo:

Y, para dejarlo en función de D:

Cálculo de la fuerza F que el fluido ejerce sobre la tubería:



En este paso necesitamos utilizar la ecuación de conservación de la cantidad de

movimiento, pues es la única que nos proporciona información sobre las fuerzas que

actúan.

donde:

; por ser el régimen estacionario.

indica presión, cuyo cálculo y significado veremos en el tema dedicado a la

fluidostática.

; por no haber flujo a través de la pared.

siendo:

; por no haber velocidad relativa, ya que el flujo es uniforme.

; por ser ambos vectores perpendiculares.

; por considerar que el fluido externo está en reposo.



Y, para dejarlo en función de D y de d:



Finalmente, cambiaremos vm y vS por sus valores correspondientes para obtener la

fuerza en función de los datos iniciales del problema:

De forma que las componentes horizontal y vertical de la fuerza que el fluido realiza

sobre la tubería son:

Ecuación de conservación de la energía:

La propiedad B del fluido que nos interesa ahora es la energía total:

donde:

; por conservarse la energía.

A diferencia de los casos anteriores, ahora existe, además del flujo convectivo,

flujo directo debido a la transmisión de calor y trabajo, definido por:



donde el signo negativo delante de indica que el flujo es positivo hacia fuera y:

es el flujo de calor por contacto con las paredes de la conducción.

es el calor de radiación.

es el calor desprendido por reacciones químicas.

donde:

es el trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas de presión. Si se

realiza sobre superficies de máquinas se mete en el término .

es el trabajo por unidad de tiempo debido a los esfuerzos viscosos. Si

se realiza sobre superficies de máquinas se mete en el término . Suele

anularse o ser despreciable algunos superficies de control:

Superficie sólida: En las partes de la superficie de control que sean paredes

sólidas, por la condición de no deslizamiento, la

velocidad del fluido es nula.

Entrada o salida: El flujo es aproximadamente paralelo al vector superficie

de la entrada o salida, con lo que la única contribución

viene del esfuerzo viscoso normal, que suelen ser muy

pequeños, salvo a veces como, por ejemplo, en el interior

de una onda de choque, por lo que es frecuente

despreciarlos en las entradas y salidas del volumen de

control.

Superficie de corriente: Si estamos fuera de la capa límite el flujo es

uniforme y los esfuerzos tangenciales casi nulos.

es el trabajo realizado por las turbomáquinas (turbinas y bombas) o sobre

su superficie.

es el trabajo de deformación que se añade al pasar la velocidad de

los trabajos de absoluta a relativa.

es el trabajo debido a una fuerza másica que deriva de un potencial

dependiente del tiempo. En este caso debemos considerar su trabajo en el flujo

directo, pero no su energía potencial.

Con todo esto, el flujo convectivo resulta:



obteniendo, al introducirlo en el teorema de transporte de Reynolds:

donde es el producto de la energía del sistema por la densidad del fluido:

siendo:

: Energía interna del sistema por unidad de masa.

: Energía cinética del sistema por unidad de masa.

: Energía potencial macroscópica del sistema por unidad de masa. Se refiere a

potenciales derivados de fuerzas másicas conservativas, como pueden ser la

fuerza inercial o la potencial gravitatoria.

: Energía procedente de cambios en la composición química, reacciones

nucleares y efectos electrostáticos o magnéticos. Nosotros despreciaremos

este término.

Con todo esto, la ecuación de la conservación de la energía nos queda:


una entrada y una salida, el fluido es homogéneo y aplicamos la continuidad de la masa:

donde es el caudal másico.



Si dividimos lo anterior por el caudal másico y, además, el fluido es incompresible,

obtenemos:

donde son las pérdidas de carga y el segundo miembro de la ecuación

es la energía potencial gravitatoria.

Si ahora despreciamos el trabajo de deformación e introducimos un factor de corrección

y en la energía cinética por trabajar con velocidades medias:

donde:

es la altura a la que se encuentra el fluido.

es la energía proporcionada por la bomba (b) o consumida por la turbina (t).

De ahí que cuando la turbomáquina sea una bomba el signo sea positivo y cuando

sea una turbina sea negativo.

son las pérdidas de carga originadas en la tubería.

De la ecuación de la conservación de la energía podemos obtener, aplicándola a una única

línea de corriente sin fricción, la ecuación de Bernoulli que, para un flujo no estacionario sin

fricción, será:

Si consideramos un flujo estacionario sin fricción y un fluido incompresible, la ecuación

de Bernoulli será:

Tema 3: Fluidostática.

Ecuación fundamental de la hidrostática:

La hidrostática estudia el comportamiento de los fluidos en reposo y las fuerzas que

actúan sobre ellos. La ecuación fundamental de la hidrostática deriva, precisamente, de la

ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, eliminando los esfuerzos viscosos y

los distintos trabajos por resultar nulos:



donde ep es la energía potencial del sistema.

Si solo consideramos el campo potencial gravitatorio, la ecuación fundamental de la

hidrostática es:

Tomando diferenciales obtenemos:

donde indica la profundidad a la que se encuentra el punto escogido, por lo que su

origen se sitúa en la superficie libre del fluido.

Esta ecuación implica que todos los puntos que se encuentran a la misma profundidad del

fluido tienen la misma presión y que ésta, a su vez, aumenta con la profundidad.

Presión manométrica y presión absoluta:

La presión absoluta es aquella ejercida por un fluido sobre el punto escogido más la

presión realizada por la columna de aire que hay por encima de ese punto, llamada presión

atmosférica.

Se calcula mediante la fórmula:

donde es la presión atmosférica sobre la superficie libre del fluido.

La presión manométrica es la ejercida por un fluido sobre el punto escogido. Al utilizar

las presiones manométricas, eliminamos el efecto de la presión atmosférica, por lo que su

cálculo vendrá dado por:

donde:

por lo que, finalmente, obtenemos:

La presión se define como fuerza ejercida por unidad de superficie, es decir:



por lo que se mide en , unidad que recibe el nombre de Pascal . Otras unidades de

medida de la presión frecuentes son el bar , las atmósferas , los Torricelli

y el milímetro de mercurio y la relación existente entre ambas es:

Ejemplo:

Las cuatro ruedas de un coche de 1200 kg están infladas a una presión manométrica de

220 kPa. Determinar el área de contacto de cada rueda con el suelo suponiendo que

soportan el peso por igual.

Este problema es una aplicación directa del concepto de presión:



Fuerza sobre superficies sumergidas:

La fuerza que se aplica sobre una superficie plana sumergida viene dada por la integral:

donde:

es la presión atmosférica sobre la superficie libre y equivale a en el

dibujo.

es la presión en el punto considerado.

es la superficie del cuerpo plano sumergido.

Finalmente, la integral anterior queda de la siguiente manera al resolverla:

donde:

es la profundidad a la que se encuentra el centro de gravedad del cuerpo

sumergido.

es la presión en el centro de gravedad del cuerpo sumergido.



Dicha fuerza es perpendicular al cuerpo sumergido, se dirige hacia el exterior del fluido

que la causa y se aplica en el centro de presiones del cuerpo.

Las coordenadas del centro de presiones de un cuerpo plano se calcula mediante:

donde:

es el producto de inercia del cuerpo sumergido, calculado en el plano de la

placa con respecto a ejes que pasan por el centro de gravedad.

es el momento de inercia de la superficie del cuerpo sumergido respecto a su

eje central x, calculado en el plano de la placa.

La coordenada siempre se encuentra a más profundidad que el centro de gravedad de

la superficie plana, pero tiende a acercarse a él a medida que aumenta la profundidad.

Si, en lugar de utilizar presiones absolutas, trabajamos con presiones manométricas, las

fórmulas a emplear son:

Ahora bien, si tenemos una superficie curva en lugar de una plana:



La componente horizontal de la fuerza ejercida sobre una superficie curva es igual

a la fuerza ejercida sobre el área plana que forma su proyección sobre un plano

vertical perpendicular a dicha componente, por lo que hay que aplicar las fórmulas

anteriores para dicha proyección.

La componente vertical de la fuerza ejercida sobre la superficie curva será la suma

del peso del volumen de fluido (líquido y aire atmosférico) que hay encima de

dicha superficie y se aplica en el centro de gravedad de la columna de fluido.

Ejemplo:

Calcular la fuerza necesaria para mantener la compuerta parabólica, de anchura b,

en la posición indicada.

En este problema trabajaremos con presiones manométricas para evitar utilizar la

presión atmosférica, así como despreciaremos el peso de la compuerta.

Como nuestro objetivo es conocer el valor de la fuerza para que la compuerta quede

en equilibrio, bastará con tomar momentos respecto a la bisagra de la compuerta,

llamada O, siendo ésta, además, el origen del sistema de coordenadas:



donde los momentos se toman como positivos cuando van en sentido contrario al de las

agujas del reloj.

Según la ecuación anterior, el momento en el punto O originado por la fuerza debe

ser igual al momento en el punto O creado por la fuerza ejercida por el agua sobre la

compuerta:

Para conocer la fuerza ejercida por el agua sobre la superficie sumergida de la

compuerta bastará con calcular las componentes horizontal y vertical de la misma,

según lo indicado anteriormente.

Componente horizontal:

donde:

es la posición del centro de gravedad de la proyección de la parte de

la compuerta que está en contacto con el agua, que coincide con un

rectángulo de base y altura .

es el área de la proyección de la parte de la compuerta que está en

contacto con el agua, que coincide con un rectángulo de base y altura

.



El punto de aplicación de esta fuerza se halla en el centro de inercia de la

mencionada proyección que, calculado desde el centro de gravedad de la

misma, está a una profundidad de:

Lo que indica que la fuerza debe aplicarse en un punto situado por debajo del

centro de gravedad, que se halla a una profundidad de , por lo que debemos

aplicar la fuerza, respecto del origen del sistema de coordenadas (situado en la

bisagra), en:

Componente vertical:

donde:

al despejarla de la ecuación de la parábola.



El punto de aplicación de esta fuerza se halla en el centro de gravedad de la

columna de fluido, aunque nos basta con conocer su posición referida al eje

que, por tratarse de un área parabólica:

Una vez conocidas las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el

agua sobre la superficie sumergida y sus respectivos puntos de aplicación, podemos

determinar el valor de la fuerza retomando la ecuación:

Principio de Arquímedes:

El principio de Arquímedes se enuncia de la siguiente forma:

Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de empuje

vertical y hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja.

donde:



es la fuerza de empuje, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo

sumergido.

es la densidad del fluido desalojado.

es el volumen del cuerpo sumergido, que es equivalente al del fluido

desalojado.

Un cuerpo que flota desaloja su propio peso en el fluido en que flota.

donde:

es la masa del cuerpo sumergido.

es el volumen del fluido desalojado.

Tema 4: Instalaciones hidráulicas.

Flujos internos y flujos externos:

Llamamos flujos internos a aquellos que se encuentran confinados por paredes. En este

tipo de flujos, las regiones fluidas sometidas a los efectos viscosos crecerán hasta ocupar

todo el flujo.



A una distancia finita de la entrada, las capas límite se unen y el núcleo no viscoso

desaparece. El flujo en el tubo es entonces viscoso y la velocidad axial se va ajustando hasta

, en que ya no cambia prácticamente con y se dice que el flujo está totalmente

desarrollado. Aguas abajo de la longitud de entrada, , el perfil de velocidad y el esfuerzo

en la pared es constante, mientras que la presión disminuye linealmente con , tanto en flujo

laminar como turbulento.

La longitud a partir de la cual el flujo se considera desarrollado depende de si este es

laminar o turbulento:

Flujo laminar:

La longitud máxima de entrada en flujo laminar, sabiendo que el máximo Reynolds

laminar vale , es , donde es el diámetro de la tubería.

Flujo turbulento:

En el flujo turbulento las capas límite crecen más deprisa y la longitud de entrada

es relativamente más corta, siguiendo la expresión aproximada para paredes

lisas:

Llamamos flujos externos o corrientes exteriores, a aquellos que no se encuentran

confinados por paredes y son libres de expandirse a pesar de que puedan crecer las capas

viscosas de los cuerpos inmersos en él. En este tipo de flujos no hay nada equivalente al flujo

completamente desarrollado.

Pérdidas de carga en tuberías:



Consideramos un flujo estacionario, adiabático (sin transferencia de calor entre el interior

y el exterior), incompresible y completamente desarrollado entre las secciones y del tubo

inclinado de sección constante de la figura anterior.

Aplicando las ecuaciones de la fluidodinámica en el caso anterior obtenemos:

Ecuación de la conservación de la masa:

Ecuación de la conservación de la energía:

donde:

por lo que, finalmente, quedaría:

Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento:

donde



.

es el radio de la tubería.

Finalmente, reordenando los términos de la ecuación:

Aún así, esta ecuación nos resultará complicada si no sabemos calcular los esfuerzos de

corte producidos por el fluido en la pared de la tubería, por lo que usaremos la ecuación de

Darcy-Weisbach, según la cual:

donde:

es el factor de fricción de la tubería. Es distinto para cada material y su cálculo

varía según el flujo sea laminar o turbulento:

Flujo laminar:

Flujo turbulento:

El cálculo del factor de fricción en flujos turbulentos es algo más largo, pero

basta con realizar unas pocas iteraciones en la siguiente ecuación, llamada

ecuación de Colebrook:

donde es la rugosidad del material del que está fabricada la tubería y

es la llamada rugosidad relativa, que es más relevante que la rugosidad por

sí misma. Ambos términos dependen del material del que esté hecha la

tubería.

Ahora bien, para calcular el factor de fricción, debemos seguir los siguientes

pasos:

1) Escribimos la ecuación como:



2) Le damos un valor cualquiera a y, con ese valor, calculamos .

3) Nos preguntamos: ¿Es ?

Aquí tenemos dos posibles respuestas:

a. Sí. Hemos terminado. Podemos decir que .

b. No. Comenzamos el proceso de nuevo pero, ahora,

asignamos a el valor calculado para en este ciclo y

repetimos los pasos anteriores.

Material Condición mm Material Condición mm

Acero

Lámina metálica, nueva

Hierro

Fundido, nuevo

Inoxidable Forjado, nuevo

Comercial, nuevo Galvanizado, nuevo

Estriado Fundido asfáltico

Oxidado

Hormigón

Liso

Latón Laminado Rugoso

Plástico Tubo laminado Caucho Liso

Vidrio ------------- Madera En duelas

No obstante, estas ecuaciones solo sirven para tuberías de sección circular, por lo que no

se podrán usar con tuberías que no sean cilíndricas. En estos casos, buscaremos una tubería

de sección circular que tengas las mismas pérdidas de carga que la nuestra.

Las pérdidas de carga para tuberías de sección no circular vienen dadas por:

donde:

es el perímetro mojado de la tubería.

es la superficie de la sección de la tubería.



Si igualamos la ecuación anterior con la obtenida para tuberías de sección circular

podremos conocer el diámetro necesario para que una tubería de sección circular tenga las

mismas pérdidas de carga que otra de una sección cualquiera:

donde:

es el diámetro hidráulico de la tubería equivalente. Dicho diámetro no sirve

para calcular el caudal que circula por la tubería ni el área del tubo.

es el radio hidráulico, , de la tubería equivalente, de forma que:

Para calcular las pérdidas de carga obtenidas en la nueva tubería aplicamos la ecuación de

Darcy-Weisbach pero, esta vez, habrá que calcular el factor de fricción, , de otra manera,

puesto que la ecuación de Colebrook se basa en tuberías de sección circular. Las ecuaciones

a aplicar son las siguientes:

Flujo laminar:

siendo una constante (generalmente distinta de ) que viene tabulada en libros y

catálogos.

Flujo turbulento: Aplicamos la ecuación de Colebrook, pero sabiendo que

introduciremos errores hasta del , por lo que los resultados

no serán muy precisos.



Hasta ahora hemos calculado las pérdidas de carga por rozamiento en una tubería pero,

además de éstas, se producen otro tipo de pérdidas que se originan en puntos singulares de

las tuberías (cambios de dirección, codos, juntas...) y que se deben a fenómenos de

turbulencia. La suma de estas pérdidas de carga localizadas más las pérdidas por rozamiento

dan las pérdidas de carga totales.

Salvo casos excepcionales, las pérdidas de carga localizadas sólo se pueden determinar de

forma experimental y, puesto que son debidas a una disipación de energía motivada por las

turbulencias, pueden expresarse en función de la altura cinética corregida mediante un

coeficiente empírico:

donde:

es una constante que depende del aparato que introduce las pérdidas de carga

locales.

Accidente K Accidente K

Tipo de entrada

Reentrante ----- Válvula de globo (abierta)

Orilla cuadrada ----- Válvula de bola (abierta) -----

Redondeada

----- Válvula de mariposa (totalmente abierta) -----

----- Codo a de radio corto (con bridas) -----

----- Codo a de radio normal (con bridas) -----

Tipo de salida Abrupta ----- Codo a de radio grande (con bridas) -----

Válvula esférica (totalmente abierta) Codo estándar de

Válvula en ángulo recto (totalmente abierta) Codo a de radio corto (con bridas)

Válvula en ángulo (totalmente abierta) ----- Codo a de radio normal (con bridas)

Válvula de seguridad (totalmente abierta) ----- Codo a de radio grande (con bridas)

Válvula de retención (totalmente abierta) Codo estándar de 0,75

Válvula de compuerta (totalmente abierta) Codo estándar de curvatura grande de 90º -----

Válvula de compuerta (abierta ) T por salida lateral

Válvula de compuerta (abierta ) T estándar (flujo en línea recta)

Válvula de compuerta (abierta ) T estándar (flujo en rama)



Finalmente, al unir las pérdidas de carga debidas al rozamiento con las debidas a los

accesorios de la instalación (entre las que se cuentan las entradas y las salidas de las tuberías

también), obtenemos que las pérdidas de carga totales vienen dadas por la expresión:

Sistemas de tuberías:

Las tuberías pueden conectarse entre sí de dos formas:

En serie:

Las tuberías conectadas de este modo tienen el mismo caudal y la pérdida de carga

total es igual a la suma de las pérdidas de cada tramo:

En paralelo:

Las tuberías conectadas de este modo tienen las mismas pérdidas de carga y el caudal

es igual a la suma de los caudales de cada tramo:

Tipos de problemas en instalaciones hidráulicas:

Existen tres tipos de problemas sobre instalaciones que se nos pueden plantear:

Tipo A: Hallar las pérdidas de carga de la instalación.



Si el régimen es laminar, bastará con aplicar la ecuación de Darcy-Weisbach

con .

Si el régimen es turbulento, bastará con aplicar la ecuación de Darcy-

Weisbach, para lo que habrá que calcular con la ecuación de Colebrook.

Tipo B: Hallar los caudales que circulan por las tuberías o la velocidad del fluido

en ellas.


con y despejar .

Si el régimen es turbulento no podremos aplicar la ecuación de Colebrook ya

que, al no conocer el caudal o la velocidad, no podemos saber el valor de

Reynolds. Para resolver el problema, aplicaremos cualquiera de los dos

métodos siguientes:

Inventamos un valor para y, con este valor cualquiera, despejamos

la velocidad, , en la ecuación de Darcy-Weisbach.

Al conocer el valor de , podemos obtener Reynolds y, aplicando la

ecuación de Colebrook, calcular un valor para .

Con el nuevo valor de volvemos a calcular, en la ecuación de Darcy-

Weisbach, el valor de la velocidad, , y la comparamos con el

anterior, . Si son lo suficientemente parecidas, podemos decir que la

velocidad del fluido, en la tubería de diámetro , es y, si no se

parecen lo suficiente, volvemos a calcular y para continuar el

proceso iterativo.

Aplicando el análisis dimensional obtenemos:

donde:



En este caso no hace falta iterar. Con la obtenida podemos calcular

en la ecuación de Darcy-Weisbach.

Tipo C: Hallar los diámetros de las tuberías de la instalación.


con y despejar .

Si el régimen es turbulento no podremos aplicar la ecuación de Colebrook ya

que, al no conocer el diámetro, no podemos saber el valor de Reynolds ni de

la rugosidad relativa. Para resolver el problema, aplicaremos cualquiera de

los dos métodos siguientes:

Inventamos un valor para y, con este valor cualquiera, despejamos

el diámetro, , en la ecuación de Darcy-Weisbach.

Al conocer el valor de , podemos obtener Reynolds y la rugosidad

relativa, , y, aplicando la ecuación de Colebrook, calcular un valor

para .

Con el nuevo valor de volvemos a calcular, en la ecuación de Darcy-

Weisbach, el valor del diámetro, , y lo comparamos con el anterior,

. Si son lo suficientemente parecidos, podemos decir que diámetro en

esa tubería, es y, si no se parecen lo suficiente, volvemos a calcular

y para continuar el proceso iterativo.

Aplicando el análisis dimensional obtenemos:

donde:

estando y en función del caudal.

Ejemplo:



Calcula, en la siguiente instalación, la potencia de la bomba, sabiendo que su

rendimiento es η, y el caudal que circula por la tubería si la longitud del tubo que una A y

B (tubo ) es muy pequeña, la presión en el depósito del fluido abrasivo es la atmosférica y

el depósito de agua se encuentra a presión .

Trabajaremos bajos las hipótesis de flujo turbulento, uniforme, incompresible, en

régimen estacionario y tomando presiones manométricas.

El primer paso en los problemas de instalaciones es establecer un sistema aplicando la

ecuación de la energía a cada tramo de tuberías y la relación entre los caudales de las

mismas:

Despreciamos , ya que el enunciado nos dice que la longitud de esta tubería es

mucho menor que la de las demás:



donde:

ya que, al ser presiones atmosféricas, las podemos quitar tomando

manométricas.

, puesto que suponemos que ambos depósitos son lo suficientemente

grandes.

, porque se trata del origen de cotas.

, tal y como se nos muestra en el esquema del problema.

, ya que el punto C es el extremo del tubo .

Nótese que hemos dejado y sin desarrollar. Esto se debe a que introduciríamos

más incógnitas, pues no conocemos las presiones en A y en B y su cálculo es arduo e

innecesario.

Conociendo el valor de podemos conocer el de mediante iteración en la ecuación

de Colebrook:

Sabiendo ahora el valor de podemos hallar :

y, posteriormente, conocer cuánto vale , para lo que habrá que iterar puesto que, en la

misma ecuación, tenemos , que tampoco la conocemos:



Seguidamente, una vez conocido el valor de , encontraremos el de despejando de

la ecuación:

de donde podremos conocer aplicando:

Después de conocer el valor de , obtenemos la energía de la bomba con la ecuación:

Y, finalmente, hallamos la potencia de la bomba mediante la fórmula:

Anexo 1: Coordenadas esféricas.

Coordenadas esféricas:



El sistema de coordenadas esféricas se utiliza para determinar la posición espacial de un

punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto queda

representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar y el azimuth

.

Líneas y superficies coordenadas:

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y

manteniendo fijas las otras dos. Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen

fijando sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

Las superficies que se forman cuando permanece constante son esferas con

centro en el origen de coordenadas.

Las superficies que se forman cuando permanece constante son conos rectos con

vértice en el origen.

Las superficies que se forman cuando permanece constante son semiplanos

verticales.

Base coordenada:

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada

punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base

puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las

relaciones:

e, inversamente:

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala:

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector

de posición en estas coordenadas es:

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81ngulo_polar&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Azimuth

http://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escala

http://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escala



Nótese que no aparecen términos en o . La dependencia en estas coordenadas está

oculta en el vector .

Diferenciales de línea y de superficie:

Diferencial de línea:

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado

por:

Diferenciales de superficie:

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es

complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie

coordenada, q3 = cte. el resultado es:

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie

son:

Cuando permanece constante:



Anexo 2: Áreas de algunas figuras planas.

Tabla de las áreas:



Anexo 3: Áreas y volúmenes de algunas figuras

geométricas tridimensionales.



Anexo 4: Centros de gravedad de curvas, superficies y

volúmenes usuales.

Centros de gravedad de superficies usuales:



Centros de gravedad de curvas usuales:



Centros de gravedad de volúmenes usuales:



Anexo 5: Momentos de inercia de formas geométricas

usuales.

Apuntes de Mecánica de Fluidos

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