MECÁNICA DE FLUIDOS II - fimee.ugto.mx. 9_Flujo... · F.I.M.E.E. Departamento de Ingeniería...

F.I.M.E.E. Departamento de Ingeniería Mecánica

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos

MECÁNICA DE FLUIDOS II 1. CAPA LÍMITE 1.1 Introducción El concepto de capa límite fue inicialmente introducido por el alemán Ludwing Prandtl en 1904. Aunque las ecuaciones que describen el movimiento de un fluido viscoso habían sido desarrolladas antes que Prandtl introdujera el concepto de capa límite (las ecuaciones de Navier–Stokes desarrolladas por Navier, 1827, e independientemente por Stokes, 1845), las dificultades matemáticas para la solución de estas ecuaciones (excepto en algunos casos simples) imposibilitaban el estudio teórico de los flujos viscosos. Prandtl demostró que muchos flujos viscosos pueden ser analizados dividiendo el flujo en dos regiones, una cercana a las fronteras sólidas y la otra comprendiendo el resto del flujo. Prandtl mostró que los efectos viscosos del fluido son considerables únicamente en la región delgada adyacente a la frontera sólida (capa límite). En la región fuera de la capa límite los efectos viscosos son despreciables y el flujo puede analizarse como no–viscoso, figura 1.1.

Figura 1.1 Capa límite.

Exterior de capa límite: flujo no–viscoso

Interior de capa límite: flujo viscoso

En un flujo de capa límite, tanto los efectos viscosos como los inerciales son importantes y como consecuencia el número de Reynolds, Re, es un parámetro adecuado para caracterizar los flujos de capa límite. La longitud característica usada en Re puede ser la longitud en la dirección del flujo sobre la cual la capa límite se desarrolla o alguna medida del espesor de la capa límite. De manera similar que en el flujo en un ducto, el flujo de capa límite puede ser laminar o turbulento. En el flujo de capa límite no existe un valor único en donde ocurre la transición de laminar a turbulento. Esta transición se ve influenciada por



diversos factores como son: la rugosidad de la superficie, el gradiente de presión, la transferencia de calor y perturbaciones de corriente libre.

Para flujos incompresibles sobre superficies planas de rugosidad insignificante (gradiente de presión cero), en la ausencia de transferencia de calor, la transición de flujo laminar a turbulento puede ser retrasado hasta valores de Rex = Ux/υ entre 3 y 4 millones si las perturbaciones externas son minimizadas. Sin embargo, bajo condiciones de flujo típicas la transición generalmente ocurre cuando Re = 5 × 105.

La figura 1.2 presenta esquemáticamente el crecimiento de una capa límite

sobre una placa plana. Inicialmente se presenta una región laminar a lo largo de una distancia corta a partir de el extremo frontal de la placa. Posteriormente aparece una región de transición para que finalmente ocurra el desarrollo de la región turbulenta.

Laminar Transición

Turbulento

Figura 1.2 Capa límite sobre una placa plana. 1.2 Espesor de Capa Límite La capa límite es la región adyacente a una superficie sólida donde las fuerzas viscosas son importantes. El espesor de capa límite, δ, se define como la distancia perpendicular a la superficie, desde ésta hasta el punto donde la velocidad del flujo es igual al 99 % de la velocidad de corriente libre (0.99U). Si las fuerzas viscosas no existieran en el flujo sobre una placa plana, la velocidad en cualquier punto sería U. Sin embargo, debido a las fuerzas viscosas existentes en el flujo, éste se ve retrasado dentro de la capa límite de forma que el flujo másico adyacente a la superficie sólida es menor que aquel que pasaría a través de la misma región en ausencia de superficies sólidas. El decremento del flujo másico debido a la influencia de las fuerzas viscosas es:

∫ ∞0 ρ (U–u )dy



Por otro lado, definiendo el espesor de desplazamiento, δ* (figura 1.3), como la distancia que, en ausencia de fuerzas viscosas, la superficie sólida tendría que desplazarse, para tener un déficit de masa igual al que ocurre debido a la existencia de la capa límite, se tiene:

∫ ∞0 ρ (U–u )dy ρUδ* =

Dado que para flujos incompresibles ρ = constante, entonces:

δ* = ( 1 – u/U) dy ≈ (1 – u/U) dy ∫ ∞0 ∫ δ0 ya que u ≈ U y el integrando es esencialmente cero para y ≥ δ.

y

δ

θ

0.99U

U

δ* Área = (U – u) dy ∫∞

0

Área = u(U – u) dy ∫ ∞

0

Figura 1.3 Definición de los espesores de capa límite

El efecto de retardo del flujo dentro de la capa límite produce también una

reducción en el momentum (cantidad de movimiento) al comparar el flujo dentro de la capa limite con un flujo no–viscoso. Entonces, el momentum en el flujo queda definido como:

∞∫

donde θ es el espesor de momentum y está definido como el espesor de una capa de fluido con velocidad U para la cual el momentum es igual a la pérdida de momentum a través de la capa limite. Los espesores de desplazamiento e integral son denominados espesores integrales.

0 ρ u(U–u )dy ρU2θ =

θ = u/U ( 1 – u/U) dy ≈ u/U (1 – u/U) dy ∫ ∞

0 ∫ δ0



Capa Límite Sobre una Placa Plana en Régimen Laminar: Solución Exacta

La solución para la capa límite laminar sobre una placa plana fue obtenida por H. Blasius en 1908. Para un flujo bidimensional en estado estable con gradiente de presión despreciable, las ecuaciones de gobierno se reducen a:

∂ u/∂ x + ∂ v/∂ y = 0 u∂ u/∂x + v ∂ u/∂ y = υ ∂ 2u/∂ y2

con las condiciones de frontera:

u = 0 en y = 0 u = U en y = ∞

Blasius propuso una solución de similaridad de tipo:

u/U = g(η) donde η ∼ y/δ

donde δ es el espesor de la capa límite y η es función de x, y, U y υ tal que:

η = y[U/(υ x)]1/2

Introduciendo la función de corriente,ψ, donde

xv

yu

∂∂

−=∂∂

=ψψ

La cual satisface la ecuación de continuidad. Sustituyendo u y v dentro de las

ecuaciones de gobierno, el resultado es una sola ecuación con una variable dependiente ψ. Definiendo la función de corriente adimensional como:

xUf

υψη =)(

Se obtiene el sistema con una variable dependiente f(η) mientras que η es la variable independiente. Aplicando las sustituciones anteriores, se obtiene:



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

−=∂∂

−=

∂∂

=∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

=

fddf

xUv

fxU

xfxU

fxU

xfxU

xv

fUx

UfxUyy

u

ηηυ

υηη

υ

υυψ

ηυηυη

ηψψ

21

211

21

21

Al diferenciar las componentes de la velocidad se tiene:

3

32

2

2

2

2

2

2

2 ηυηυηη

dfd

xU

yu

dfd

xUU

yu

dfd

xU

xu

=∂∂

=∂∂

−=∂∂

De forma que la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x se transforma en:

∞==

===

=+

ηη

ηη

ηη

en1y

0en0con

02 2

2

3

3

ddf

ddff

dfdf

dfd

De esta forma, la ecuación diferencial parcial de segundo orden que gobierna el crecimiento de la capa límite bajo régimen laminar se transforma en una ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden con las condiciones de frontera adecuadas. Blasius resolvió esta ecuación empleando una expansión en series de potencias. La misma ecuación fue más tarde resuelta en forma más precisa por Howarth [1]. Los valores de f, df/dη y d2f/dη2 se muestran en la tabla 1.1. El perfil de velocidad se obtiene de forma adimensional al graficar u/U contra η empleando los valores obtenidos de la tabla mostrada.

De la tabla se observa que en η=5.0, u/U = 0.992. Definiendo el espesor de capa límite, δ, como el valor de y para el cual u/U = 0.99, entonces:

x

xxU Re

0.5/0.5

=≈υ

δ

El esfuerzo cortante en la pared puede expresarse como:



02

2

0

/==

=∂∂

=ηη

υμμτd

fdxUUyu

yw

Así

xUUw /332.0 ρμτ =

y el coeficiente de esfuerzo cortante en la pared, Cf, es:

x

wf

UC

Re664.0

21 2

==ρ

τ

Tabla 1.1 Valores obtenidos de la solución exacta Uyvx∞η =

f f’ = u/U f’’

0.0 0 0 0.33206

0.2 0.00664 0.6641 0.33199

0.4 0.02656 0.13277 0.33147

0.6 0.05974 0.19894 0.33008

0.8 0.10611 0.26471 0.32739

1.0 0.16557 0.32979 0.32301

1.2 0.23795 0.39378 0.31659

1.4 0.32298 0.45627 0.30787

1.6 0.42032 0.51676 0.29667

1.8 0.52952 0.57477 0.28293

2.0 0.65003 0.62977 0.26675

2.2 0.78120 0.67132 0.24835

2.4 0.92230 0.72899 0.22809

2.6 1.07252 0.77246 0.20646

2.8 1.23099 0.81152 0.18401

3.0 1.39682 0.84605 0.16136

3.2 1.56911 0.87609 0.13913

3.4 1.74696 0.90199 0.11788

3.6 1.92954 0.92333 0.09809

3.8 2.11605 0.94112 0.08013

4.0 2.30576 0.95552 0.06424

4.2 2.49806 0.96696 0.05052

4.4 2.69238 0.97587 0.03897

4.6 2.88826 0.98269 0.02948

4.8 3.08534 0.98779 0.02187

5.0 3.28329 0.99155 0.01591

5.2 3.48189 0.99425 0.01134

5.4 3.68094 0.99616 0.00793



5.6 3.88031 0.99748 0.00543

5.8 4.07990 0.99838 0.00365

6.0 4.27964 0.99898 0.00240

6.2 4.47948 0.99937 0.00155

6.4 4.67938 0.99961 0.00098

6.6 4.87931 0.99977 0.00061

6.8 5.07928 0.99987 0.00037

7.0 5.27926 0.99992 0.00022

7.2 5.47925 0.99996 0.00013

7.4 5.67924 0.99998 0.00007

7.6 5.87924 0.99999 0.00004

7.8 6.07923 1.00000 0.00002

8.0 6.27923 1.0000 0.00001

8.2

6.47923 1.00000 0.00001

8.4 6.67923 1.00000 0.00000

8.6 6.87923 1.00000 0.00000

8.8 7.07923 1.00000 0.00000

1. Howarth L.,”On the solution of the laminar boundary – layer equations”, Proceedings of the Royal Society of London, A164, 1938, pp. 547 – 579.


1.3 Ecuación Integral de Momento Al considerar un volumen de control dentro de la capa límite, es posible obtener una expresión de la ecuación de cantidad de movimiento que sea función de la distancia a lo largo de la superficie sólida. Esta expresión puede aplicarse tanto al flujo laminar como turbulento. Partiendo de la segunda ley de Newton, se tiene: - Ecuación de cantidad de movimiento (Momento)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

zuw

yuv

xuu

tum

DtDUm

dtdvmamF rr

Forma Integral

dAnuuudvt

FFSVys )( rrrr

⋅+∂∂

=+ ∫∫ ρρ

- Ecuación de continuidad

0)( =⋅∫ dAnuS

rrρ ; ∑ ∑=Ent Sal

mm..

Para flujo permanente en estado permanente

0=∂∂∫V udv

tρ

dAnuuFFSys )( rrrr

⋅=+ ∫ ρ

Para el análisis del campo de flujo en la capa límite, se considera el elemento diferencial definido en el esquema por a-b-c-d

Figura 1.4 Volumen de control diferencial en la región de capa límite



Ecuación de continuidad

Flujo de entrada (a-b): ∫ ==δ

ρ0

.

abx mudydzm

Flujo de salida (c-d): dxx

mmm x

xdxx∂∂

+=+

...

∫∫ ∂∂

+=δδ

ρρ00

.udydzdx

xudydzmcd

Flujo en la frontera (b-c):

∫∂∂

−=−=δ

ρ0

...udydzdx

xmmm salentbc

Ecuación de momento

-Entrada (a-b): ∫=δ

ρ0

)( dzudyufab

-Salida (c-d): ∫∫ ∂∂

+=δδ

ρρ00

)()( dzdxudyux

dzudyufcd

-Salida (b-c): ∫∂∂

−=δ

ρ0

)( dzdxudyUx

fbc

Fuerzas de superficie ( ): sxF -Entrada (a-b): dzPFab δ= ; P=presión

-Salida (c-d): ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+= dzdxxPPFcd δδ

Para la frontera (b-c), se considera una fuerza definida por:

dzddxxPPFbc δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=21

-Superficie, frontera (a-d): )(dxdzF wad τ−= Considerando que: dxdxd δδ << se obtiene:

∫∫ ∂∂

+=−−δδ

ρρτδ00

)( udyx

Udyuudxd

dxdP

w ; donde )(xPP =



Aplicando la ecuación de Bernoulli en la región de flujo no-viscoso se obtiene que:

dxdUU

dxdP ρ−=

Introduciendo la integral , la ecuación de cantidad de movimiento en forma integral,

para la capa límite, se expresa como:

∫=δ

δ0

dy

∫∫∫ +∂∂

+−=δδδ

ρρρτ000

)()( dyudxdUudy

xUdyuu

dxd

w

Para simplificar esta ecuación, se aplica la siguiente derivada:

∫∫∫ +∂∂

=∂∂ δδδ

ρρρ000

)()()( dyudxdUdyu

xUdyuU

x

Al sustituir el término correspondiente en la ecuación de cantidad de cantidad de movimiento, se obtiene:

∫∫ −+−∂∂

=δδ

ρρτ00

)()( dyuUdxdUdyuUu

xw

Definiendo una nueva variable: δ

ηy

=

Se obtiene: ηδddy = Entonces para esta nueva variable se define la ecuación:

∫∫ −+−∂∂

=1

0

1

0

)()( ηδρηδρτ duUdxdUduUu

xw

Para U = constante; los gradientes de presión ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdP

son despreciables. Por lo tanto

∫ −∂∂

=1

0

)( ηρδτ duUuxw

∫ −∂∂

=1

0

2 )1()( ηδρτ dUu

Uu

xUw

Esta ecuación se obtiene al considerar: - Flujo en estado permanente - Flujo incompresible - Despreciando fuerzas de cuerpo (gravedad)



- la ecuación se puede aplicar al flujo laminar o turbulento - Es necesario tener una expresión que relaciona el esfuerzo cortante, con el perfil de velocidad o espesor de capa límite

∫ −∂∂

=1

0

2 )1()( ηδρτ dUu

Uu

xUw

Ejemplo: Para un flujo laminar el perfil de velocidad se define como:

2cybyau ++= donde la condiciones de frontera aplicadas son:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

====

δ

δ

ydydu

yUuyu

;0

;0;0

22 ηη −=Uu

δ

ηy

=

Para flujo laminar se puede aplicar:

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yw dy

duμτ

Para aplicar la ecuación de cantidad de movimiento, se representa el esfuerzo cortante en función de la nueva variable η , esto es:

0=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

η

ηδμτ

dUud

Uw = ( )0

22

=

−

ηηηη

δμ

ddU

δμτ U

w2

=

Sustituyendo en la ecuación de cantidad de movimiento, se obtiene:

∫ −∂∂

=1

0

2 )1()(2 ηδρδμ d

Uu

Uu

xUU



Para obtener una expresión del espesor de capa límite,δ , se integra y se hace una separación de variables, esto es:

dxdUU δρ

δμ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=152)(2 2

-Separando variables:

dxU

dρμδδ 15

=

Integrando ambos lados de la ecuación y aplicando la condición x=0; 0=δ se obtiene:

Ux

ρμδ 30

= =5.48Ux

ρμ

También puede expresarse como:

Ux

x ρμδ 30

= =xRe

48.5

Para el esfuerzo cortante, se puede obtener una expresión del coeficiente de esfuerzo cortante en la pared, , esto es: xCf

2

21 U

C wxf

ρτ

=

Donde:0=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yw dy

duμτ = 0

2

2

=ημ

dtfd

vUU

x

xUU

xUUw

μρμρμτ ∞== 332.0332.0

Sustituyendo en , se obtiene xCf

2

21

332.0

U

xUU

Cf x

ρ

μρ∞

= =xU

Uρμ

ρ664.0

xx Ux

CfRe664.0664.0 ==

ρμ



Para diferentes perfiles de velocidad en la capa límite se obtienen soluciones con la ecuación integral de la cantidad de movimiento

Distribución de velocidad xx

Reδ xxCf Re

δy

3

23

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

δδyy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛δ

π y2

sin

3.46

4.64

4.80

0.578

0.646

0.654

Solución exacta 5.0 0.664 1.4 Gradientes de presión en capa límite Cuando los gradientes de presión en la capa límite no son despreciables y tienen un efecto sobre el comportamiento del flujo dentro de la región de capa límite.

cteU ≠

Por ejemplo, considerando un ducto donde se desarrolla la capa límite y se tienen gradientes de presión, el efecto de estos se muestra en el siguiente esquema:

Figura 1.5 Flujo en capa límite con gradientes de presión.

El punto de separación sobre la frontera sólida (superficie) se identifica con: 0=∂∂

xu

. Entonces

se establece que para 0=dxdP

, el flujo no se separa de la superficie.



Un gradiente de presión adverso: 0>dxdP

, es una condición necesaria para la separación de la

capa límite. Comparando los perfiles de velocidad y momento, figura 1.6, se puede observar que se necesita mayor gradiente de presión adverso en el régimen de flujo turbulento para provocar la separación de la capa límite.

Figura 1.6 Perfiles adimensionales sobre una placa plana.

1.5 Fuerza de arrastre Cuando un cuerpo se encuentra inmerso en un fluido experimenta una fuerza, F, debido a la acción del movimiento del fluido. Generalmente se establecen fuerzas de superficie debido al esfuerzo cortante y a la presión, esto es,

∫∫∫ +==s Pss

dFdFFdF )()( τrr

donde la componente paralela en la dirección del flujo se identifica como la fuerza de arrastre y se divide en las fuerzas debido al esfuerzo cortante y de presión, que se representan como:

∫=A

wdAF ττ ∫−=A

p pdAF

Para entender el efecto de la fuerza de arrastre, se considera el caso de una placa plana expuesta a un flujo con una velocidad uniforme, U.



Flujo paralelo sobre una placa plana: arrastre por fricción Considerando un gradiente de presión cero, el arrastre total sobre una placa plana es igual a la fricción, entonces:

AUF

AU

dAC

wD 22

21

21 ρρ

ττ== ∫

Para flujo laminar, se tiene de la solución exacta:

x

wx

UCf

Re664.0

21 2

==ρτ

Entonces,

∫=A

xD dACfA

C 1= ∫ bdx

bL x2

1)(Re664.01

; para A=b*L

Integrando se obtiene:

;Re328.1

LDC = donde

μρUL

L =Re

También se pueden obtener otras expresiones, como:

sx

wx

UCf 12 )(Re

0577.0

21

==ρτ

; flujo turbulento sobre toda la placa plana

donde: 5

1)(Re

072.0

L

DC =

De acuerdo a datos experimentales: 5

1)(Re

074.0

L

DC = ; válida para 710Re <L

Otra expresión fue definida por Schlichting como: 58.2)Re(log455.0

LDC = ; válida para

910Re <L

Para el caso de capa límite que inicialmente tiene un flujo laminar y que sufre una transición a flujo turbulento, el coeficiente de arrastre se modifica a la forma:

LL

DCRe1740

)(Re

074.05

1 −= ; teniendo que 5. 105Re xcr =



Flujo normal sobre una placa plana: arrastre por presión Si se tiene un flujo normal sobre una placa plana, se desarrolla un fuerza de arrastre relacionada con la presión que se ejerce sobre la placa. Esta fuerza se define como:

∫−=A

p pdAF

donde el flujo se separa en los extremos de la placa, generándose un retroceso de flujo (reflujo), figura 1.7. El coeficiente de arrastre por presión se determina, principalmente, por experimentación donde la relación de aspecto (ancho/alto) de la placa es el parámetro importante junto con el número de Reynolds. Este número se evalúa en función de la altura de la placa, Reh, donde a valores mayores de 1000, el coeficiente de arrastre es independiente del número de Reynolds.

Figura 1.7 Flujo normal sobre una placa plana.

Para el caso de la placa plana expuesta a un flujo normal, se tiene una gráfica que relaciona el coeficiente de arrastre con la relación de aspecto teniendo Reh >1000, figura 1.8.

Figura 1.8 Coeficiente de arrastre sobre una placa plana expuesta a un flujo normal.

donde el número de Reynolds se define como: μ

ρUhh =Re



Para otros objetos también existen valores del coeficiente de arrastre, tabla 1.2.

Tabla 1.2 Coeficiente de arrastre para otros objetos, Reh > 1000.

Flujo normal sobre una esfera o cilindro: arrastre por fricción y presión En el caso de una esfera o cilindro en flujo cruzado, tanto la fricción como la presión contribuyen al arrastre total y también está relacionado con el número de Reynolds, el cual se define como:

μρ dRe U

d =

Para no hay separación de capa limite sobre la esfera y la estela es laminar dominando el arrastre por fricción, figura 1.9. Para este caso, Stokes, demostró analíticamente que las fuerzas inerciales son despreciables y definió la fuerza arrastre como.

1Re ≤d

UdFD πμ3=

y coeficiente de arrastre como

UA

FC D

D

ρ21

=



Cuando se incrementa hasta 1000, el coeficiente disminuye debido a la separación de cada límite y el arrastre es una combinación de fricción y presión. Cuando

el arrastre por fricción contribuye con el 5% del arrastre total:

dRe

1000Re ≈d

Para el rango el coeficiente tiene poca variación. Sin embargo,

cuando el coeficiente reduce abruptamente.

33 102Re10 xd <<

3102Re Xd ≈ Para la capa límite es laminar en la parte frontal de la esfera y la separación ocurre corriente arriba de la sección media de la estera, con una estela turbulenta, relativamente ancha, corriente abajo de la esfera.

5102Re Xd <

Para ocurre la transición en la capa limite (laminar a turbulento) sobre la parte frontal de la esfera. El punto de separación se desplaza a la parte posterior de la esfera y el tamaño de la estela disminuye. Para esta condición, la fuerza de arrastre por presión se reduce y el coeficiente cae abruptamente.

5102Re Xd >

Figura 1.9 Coeficiente de arrastre sobre una esfera. -Para esferas lisas, la transición ocurre a 5104Re xd =

-Para esferas rugosas la transición ocurre 5101Re xd = Para un cilindro en flujo cruzado el comportamiento es similar, pero con distintos valores para el coeficiente de arrastre, figura 1.10.



Figura 1.10 Coeficiente de arrastre para un cilindro en flujo cruzado Perfil aerodinámico La extensión de la región donde existe la separación de flujo, atrás de los cuerpos en flujo normal, se puede reducir o eliminar al diseñar objetos con forma aerodinámica, figura 1.11. Esta modificación al objeto reduce el gradiente de presión adverso.

Figura 1.11 Coeficiente de arrastre total en un perfil aerodinámico.

Para un el coeficiente de arrastre es de 5104Re xd = 06.0=DC , donde 25.0≈ct

lo

cual representa un 20% menos del valor que se obtiene para un cilindro en flujo cruzado. En 1930 la NACA (Nacional Advisor Comittee for Aeronautics) desarrolló perfiles aerodinámicos de “flujo laminar” donde la transición en la capa límite se presenta entre el 60% ó 63% de la longitud de la cuerda desde el borde de ataque (nariz) de perfil. Para dos perfiles simétricos de un 15 % de relación de espesor, t/c, figura 1.12, la transición en el perfil NACA0015 se lleva a cabo en x/c = 0.13 cerca del punto de máximo espesor. Por lo tanto, la mayor parte del perfil tiene una capa límite turbulenta con un coeficiente de arrastre de . 0061.0=DC



Figura 1.12 Coeficiente de arrastre por presión en dos perfiles simétricos.

La solución para reducir el arrastre sobre el perfil, es mover el punto de máximo espesor, perfil NACA662-015, para tener flujo laminar con un gradiente de presión

favorable, esto es, para 63.0=cx

, para este perfil: 0035.0≈DC . Estos perfiles

aerodinámicos se usan en el diseño de aviones subsónicos. Para estos perfiles, el flujo laminar se mantiene hasta . 61030Re xd = Fuerza de levante (sustentación) Esta fuerza es la componente perpendicular al área de la superficie debido a la acción del flujo sobre la superficie. Para evaluar la fuerza se define un coeficiente de levante:

p

LL

AUF

C2

21 ρ

=

Donde es el área de proyección (máxima) del perfil. Entonces para un perfil aerodinámico los coeficientes de arrastre y levante dependen del número de Reynolds

pA

μρUc

c =Re , definido en función de la longitud de cuerda del perfil, y del ángulo de ataque

α . Este ángulo de ataque se establece entre la cuerda del perfil y el vector velocidad de la corriente libre, U. Los coeficientes de arrastre y levante para perfiles de “flujo laminar” se presentan en la figura 1.13, considerando un número de Reynolds de 9x106.



Figura 1.13 Coeficientes de arrastre y levante en función del ángulo de ataque.

Si el ángulo de ataque se incrementa, el coeficiente de levante incrementa hasta alcanzar un valor máximo. Sin embargo, si sigue aumentando el ángulo de ataque se produce un decremento súbito en el coeficiente de levante. En las pruebas sobre estos perfiles, se identifica la separación del flujo sobre la superficie superior. Si el ángulo de ataque se incrementa el punto de estancamiento se mueve hacia atrás a lo largo de la superficie inferior del perfil. En el perfil aerodinámico, el flujo se acelera en la superficie superior y la presión se reduce, propiciando el gradiente de presión adverso que provoca la separación del flujo. Esta condición de flujo provoca un cambio súbito en el coeficiente de arrastre y representa la transición del flujo en la parte superior del perfil.



Para las alas del avión de longitud finita (envergadura), el coeficiente de levante se reduce y el coeficiente de arrastre se aumenta. El efecto de la envergadura finita se representa a través de una razón de aspecto, ar, definida como:

pAbar

2=

donde b es la longitud de la envergadura y es el área de la plataforma (área de proyección). Este efecto se muestra en las figuras 1.14 y 1.15.

pA

Figura 1.14 Vórtices formados para una envergadura finita.

Figura 1.15 Efecto de la envergadura finita sobre los coeficientes de arrastre y levante.

La teoría de alas de envergadura o alargamiento finito predice que el ángulo de ataque aumenta de acuerdo a la cantidad,

arCL

πα =Δ

provocando un un aumento en el coeficiente de arrastre,

arCCC L

LD πα

2

=Δ=Δ

este término se conoce como arrastre inducido.



Entonces para un ala de envergadura finita se tiene que:

arCCCCC L

DDiDD π

2

,, +=+= ∞∞

donde CD, ∞ es el coeficiente de arrastre para una envergadura infinita. Finalmente se puede establecer que el arrastre sobre perfiles aerodinámicos surge de fuerzas viscosas y de presión, donde el arrastre viscoso cambia con el número de Reynolds, pero el ángulo de ataque tiene poca influencia, figura 1.16.

Figura 1.16 Arrastre sobre cuerpos con y sin levante. Para el caso de una ala de avión o el avión completo, una aproximación útil de la relación sustentación-resistencia se obtiene al considerar el arrastre inducido donde el coeficiente de arrastre se representa como:

arCCCCC L

DiDDD π

2

0,,0, +=+=

donde CD, 0 es el coeficiente de arrastre para sustentación (levante) cero. Para condiciones de vuelo en estado permanente, la sustentación o levante es igual al peso del avión, por lo tanto,

)21( 2 AUCFW LL ρ==

y la velocidad mínima de vuelo se obtiene al considerar

maxLL CC = . Entonces:

ACWUL

mínmax

2ρ

=


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