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MECÁNICA DE FLUIDOS

CAPÍTULO 1

1. Leyes básicas de conservación Las ecuaciones de gobierno se derivan de las leyes básicas de conservación de masa, momento (cantidad de movimiento) y energía. Sin embargo, para obtener dichas ecuaciones es necesario seleccionar el método adecuado, que puede ser estadístico o continuo, el marco de referencia, lagrangiano o euleriano, y por último aplicar un teorema general que relaciona el marco de derivadas lagrangianas al marco de derivadas eulerianas. 1.1 Método continuo o estadístico Estos métodos permiten derivar las ecuaciones que gobiernan el movimiento del fluido. El método estadístico considera el punto de vista molecular y trata al fluido como un grupo de moléculas cuyo movimiento está gobernado por las leyes de la dinámica. El fenómeno macroscópico surge del movimiento molecular cuyo comportamiento lo predicen las leyes de la mecánica y la teoría de la probabilidad. Este método se aplica, principalmente, a gases ligeros, pero es incompleta para gases poli-atómicos y líquidos. El método continuo considera al fluido como una materia continua donde existe un valor único de las variables (velocidad, presión, densidad, etc.) en cada punto del continuo En este método se considera que la trayectoria libre de las moléculas es muy pequeña comparada con la longitud física más pequeña del campo de flujo. Por ejemplo, considerando un volumen ΔV que contiene una gran cantidad de moléculas donde m y u son la masa y velocidad de cualquier molécula, entonces la densidad y velocidad en un punto dentro del continuo se define como:

donde ∈ representa el volumen cuyo tamaño es lo suficientemente pequeño de forma que ∈1/3 es pequeño comparado con la longitud significativa más pequeña, pero suficientemente grande para contener un gran número de moléculas. 1.2 Coordenadas eulerianas y lagrangianas Para el marco Euleriano, las variables independientes son: x, y, z, t, y la atención se enfoca sobre el fluido que pasa a través de un volumen de control que se encuentra fijo en el espacio. El fluido dentro del volumen de control está constituido por diferentes partículas para cada instante de tiempo. Para el marco Lagrangiano, se establecen variables de referencia; xo, yo, zo, to y la atención se enfoca sobre un grupo de partículas del fluido para observar los cambios. Estos cambios se determinan para cualquier instante de tiempo, entonces se definen las

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos


posiciones: (x-xo), (y-yo) y (z-zo). En este marco las variables independientes son: xo, yo, zo, to.La relación entre estos dos marcos de referencia se establece al considerar cualquier cantidad α como función de x, y, z, t, desde el punto de vista euleriano. Para el marco lagrangiano, existe un cambio δα para un tiempo δt que se expresa como:

teniéndose que:

lo cual representa el cambio total de α cuando se observa en el marco lagrangiano. Aplicando δt →0 se obtiene:

Esta ecuación representa la “derivada material” de la cantidad α y significa el cambio total de dicha cantidad desde el punto de vista lagrangiano en términos de las derivadas eulerianas. 1.3 Teorema del Transporte de Reynolds Este teorema considera un volumen de control en un marco de referencia lagrangiano, donde se obtiene expresiones que involucran integrales de volumen de derivadas eulerianas. Teniendo que α=α(t), entonces la razón de cambio de la integral de α se define como:

donde V(t) es el volumen de control que contiene la masa del fluido y puede cambiar de tamaño y forma. Agregando y sustrayendo una cantidad α(t+δt), se obtiene:

también se expresa como:



donde el último término representa la integral de la derivad euleriana con respecto al tiempo. El primer término representa el cambio de volumen de α y puede expresarse como un cambio de superficie (área), esto es,

Esta ecuación representa la derivada lagrangiana de una integral de volumen convertida a una integral de superficie con derivadas eulerianas. Aplicando el Teorema de Gauss, se tiene que:

Entonces el teorema de transporte de Reynolds se expresa como:

1.4 Ecuación de conservación de la masa De acuerdo al principio de conservación de la masa, el tamaño y forma de la masa contenida en un volumen de control puede cambiar, pero su contenido de masa no, entonces,

aplicando el teorema de transporte de Reynolds, se obtiene:



1.5 Ecuación de balance de momento Para esta ecuación s eaplica la segunda ley del movimiento de Newton, estableciendo que la razón de cambio del momento es igual a la fuerza neta externa que actúa sobre la masa del fluido. La ecuación de auerdo al balance se define como:

donde P representa una fuerza superficial y f la fuerza de cuerpo. Existen nueve componentes de esfuerzos, uno normal y dos cortantes para cada plano de coordenadas, figura 1.1.

Figura 1.1 Componentes de los esfuerzos.

Para las fuerzas superficiales, P, se tiene que: Pj = σij ni. Entonces:

Aplicando el teorema de transporte de Reynolds y el teorema de Gauss, se obtiene:

Considerando el principio de conservación, la ecuación se expresa como:

desarrollando términos y aplicando la ecuación de continuidad, se obtiene:



1.6 Conservación de la energía Aplicando la primera ley de la termodinámica dentro de un marco lagrangiano, donde la energía total de la masa de fluido por unidad de volumen se expresa como:

el trabajo hecho sobre el fluido se expresa por:

el trabajo hecho por la fuerza de cuerpo se expresa como:

y la cantidad de calor que interactúa con el fluido se expresa como:

Entonces la ecuación de la energía, de acuerdo al principio de conservación de la energía, se expresa como:

Aplicando el teorema del transporte de Reynolds y transformando las integrales de superficie a integrales de volumen, se obtiene:

Aplicando el principio de conservación e introduciendo los siguientes términos,

Aplicando la ecuación de continuidad a este último término, se obtiene:



Para el primer término del lado derecho, se tiene.

Entonces la ecuación de conservación de la energía se expresa como:

Aplicando la ecuación del balance del momento, se obtiene:

1.7 Ecuaciones constitutivas Para obtener una forma más específica de las ecuaciones de gobierno es necesario establecer ciertas relaciones entre algunos términos que las componen. Tal es el caso del tensor de esfuerzos, σij, con la rapidez de deformación, ekl. Para un fluido newtoniano se establecen las siguientes condiciones:

(a) Cuando el fluido está en reposo, el esfuerzo es hidrostático y la presión del fluido es la presión termodinámica.

(b) El tensor de esfuerzos, σij, está relacionado linealmente al tensor de la rapidez de deformación, ekl, y depende solamente de ese tensor.

(c) En una rotación de cuerpo sólido del fluido, no existe acción de esfuerzos cortantes.

(d) No existen direcciones preferenciales en el fluido, así que las propiedades son funciones puntuales.

Tomando en cuenta la primera condición, se tiene que:

donde τij depende del movimiento del fluido y se define como el tensor de esfuerzos cortantes, p es la presión hidrostática y δij es la delta de Kronecker, que se define como:

δij = 0 ; i≠j

δij = 1 ; i=j Aplicando las cuatro condiciones anteriores, se obtiene una expresión para el tensor de esfuerzos de la forma:



donde λ y μ son coeficientes que se determinan empíricamente y se definen como viscosidad dinámica y segunda viscosidad, respectivamente. Por otra parte, una relación constitutiva que involucra al flujo de calor, qj, se obtiene de aplicar la ley de Fourier, esto es,

donde k es el factor de proporcionalidad conocida como la conductividad térmica del fluido. Una relación entre los coeficientes de viscosidad fue definida por Stokes:

1.8 Ecuaciones de Navier-Stokes Estas ecuaciones se obtiene al combinar las ecuaciones de balance de momento y el tensor de esfuerzos, esto es, aplicando la derivada del tensor de esfuerzos y la delta de Kronecker, se obtiene:

Entonces las ecuaciones de Navier-Stokes se definen como:

para un fluido incompresible, se expresan como:

para efectos viscosos despreciable, se obtienen las ecuaciones de Euler,



1.9 Ecuación de la energía Teniendo la ecuación de la energía representada por la expresión,

donde el término que contiene al tensor de esfuerzos se representa por:

y aplicando la condición para la delta de Kronecker; δij = 1, se obtiene:

donde el término del lado izquierdo representa el trabajo hecho por las fuerzas superficiales y el primer término del lado derecho a la transferencia reversible de energía debido a la compresión. Los demás términos representan la función de disipación viscosa, definida como:

esta disipación es la medida de la rapidez de conversión de energía mecánica a energía térmica. Finalmente la ecuación de la energía se expresa como:

Para un fluido newtoniano, las ecuaciones de gobierno son:

Coordenadas cartesianas



donde:

Coordenadas cilíndricas

donde:



Coordenadas esféricas

donde:



CAPÍTULO 2

2. Cinemática de flujo La visualización del flujo está relacionada con la definición de términos como líneas de corriente (streamlines), de trayectoria (pathlines) y de fluido (streaklines). Estos conceptos permiten darle significado físico a la solución de las ecuaciones de gobierno. 2.1 Líneas de corriente Estas son líneas cuyas tangentes son paralelas al vector de velocidad en cualquier punto del flujo. Teniendo un flujo en estado transitorio (transiente) se consideran líneas de corriente para un instante dado. La ecuación que define a una línea de corriente se relaciona con el vector velocidad, esto es, para un sistema bidimensional donde u tiene componentes en x y y, se tiene:

para un sistema tridimensional (u,υ, w) se aplica:

definiéndose las ecuaciones de las líneas de corriente como:

quedando finalmente como:

La integración de estas ecuaciones, en un instante dado, deducen una ecuación paramétrica de la forma z = z (x, y), que representa la ecuación requerida para definir la línea de corriente. Una forma sencilla para realizar la integración es definir un parámetro geométrico, s, donde x = x(s), y = y(s) y z = z(s). La eliminación de este parámetro deducirá la ecuación de la línea de corriente para obtener z = (x, y). El parámetro s toma un valor igual a cero en el punto de referencia para las coordenadas espaciales y de tiempo, incrementando a lo largo de la línea de corriente. Introduciendo este parámetro, se obtiene:

Para un instante de tiempo fijo, t, las ecuaciones se representa por:



Si se desea conocer la línea de corriente que pasa por un punto de referencia (x0, y0, z0), entonces la ecuación se integra para la condición inicial: s = 0; x = x0; y = y0; z = z0. Resultando en:

la cual traza la línea de corriente, cuando s toma todos los valores reales. 2.2 Líneas de trayectoria Estas líneas se trazan en el tiempo para identificar la trayectoria de una partícula del fluido. Debido a que la partícula se mueve con el fluido a una velocidad local, las líneas de trayectoria deben satisfacer las ecuaciones:

donde la línea de trayectoria que pasa por el punto (x0, y0, z0) en el tiempo t = 0, será la solución de la ecuación al satisfacer la condición inicial, deduciendo una serie de ecuaciones de la forma:

la cual traza la línea de trayectoria para valores de t mayores a cero. 2.3 Líneas de fluido Es una línea que se traza por medio de un fluido marcado, que se inyecta continuamente dentro del campo de flujo en un punto fijo. Para líquidos se marca con tinta y en gases con humo. Una partícula del fluido marcado, que se localiza en un punto (x, y, z) en un tiempo t, puede pasar a través de un punto de inyección (x0, y0, z0) en un tiempo anterior t = τ. Entonces, se resuelve la ecuación de la línea de trayectoria para la condición inicial: x = x0; y = y0; z = z0 para t = τ. Cuando τ toma todos los posibles valores en el rango -∞ ≤τ≤ t, se obtienen todas las partículas en la línea de fluido, donde la ecuación se obtiene de la ecuación de la línea de trayectoria para la condición inicial mencionada, obteniéndose la ecuación:

Cuando τ toma valores de τ≤ t, las ecuaciones definirán la posición instantánea de la línea de fluido. 2.4 Vorticidad y circulación



La circulación contenida en un contorno cerrado dentro de un cuerpo de fluido, se define como la integral alrededor del contorno del componente del vector velocidad que es localmente tangente al contorno, esto es, la circulación, Γ, se define como:

donde dl representa un elemento de contorno. La integración se realiza en el sentido contrario a las manecillas del reloj, alrededor del contorno, y la circulación es positiva si la integral es positiva. La vorticidad de un elemento del fluido, se define como el rotacional de su vector velocidad, esto es,

en notación tensorial:

El vector de vorticidad, numéricamente, es dos veces la velocidad angular de la rotación del elemento de fluido que está girando alrededor de su propio eje. Se pude mencionar que un elemento de fluido puede viajar sobre una línea de corriente circular, mientras tenga vorticidad cero. Una relación entre vorticidad y circulación se puede obtener al aplicar el teorema de Stokes, esto es,

donde la integral de contorno se cambia por una integral de área de contorno, teniendo que A se define como el área del contorno cerrado alrededor del cual la circulación se calcula y n es el vector unitario normal a la superficie. Entonces,

Esta ecuación representa dos casos; uno donde ω = 0, por lo tanto Γ = 0 llamado Flujo irrotacional y el otro donde ω ≠ 0 llamado flujo rotacional. 2.5 Tubos de corriente y vorticosos



Un tubo de corriente es una región cuyas paredes laterales están hechas de líneas de corriente, figura 2.1, donde A1 es el área del contorno cerrado en la región 1 y A2 es el área de la otra región. Las áreas tienen forma y secciones diferentes.

Figura 2.1 Tubo de corriente.

Si la sección transversal de un tubo de corriente es infinitamente pequeña, el tubo se denominará filamento de corriente. De forma análoga, las líneas de vorticidad forman tubos vorticosos. Una línea de vorticidad es una línea cuya tangente es paralela al vector de vorticidad, por lo tanto, para cualquier contorno cerrado, las líneas de vorticidad formarán las paredes laterales de un tubo vorticoso, figura 2.2. También en el caso de un tubo vorticoso infinitamente pequeño, se define un filamento vorticoso.

Figura 2.2 Tubo vorticoso.

2.6 Cinemática de líneas vorticosas



Ciertas propiedades de las líneas de flujo se pueden establecer al estudiar la cinemática de las líneas vorticosas. Los resultados obtenidos de esta forma, algunas veces, se refieren a los teoremas de Helmholtz de vorticidad. Partiendo de la definición del vector vorticidad:

y tomando en cuenta que la divergencia del producto cruz de cualquier vector es igual a cero:

∇⋅(∇ x u) = 0 Entonces,

Lo cual significa que no debe existir fuente o sumidero de vorticidad en el fluido mismo, esto es, las líneas vorticosas deben formar ciclos cerrados o terminar en las fronteras del fluido, que pueden estar definidas como superficies sólidas o libres. Un vector de vorticidad con divergencia libre lleva a una analogía con el flujo de un fluido incompresible. En esta analogía, la contraparte del vector velocidad es el vector vorticidad y la contraparte de la rapidez del flujo volumétrico es la circulación. Entonces, partiendo de la ecuación de continuidad para un fluido incompresible, donde:

que al integrar para un volumen, se obtiene:

Aplicando el teorema de Gauss, se obtiene la integral de superficie,

Considerando que la superficie, s, sea la superficie exterior total de un elemento en un tubo de corriente, entonces,

en las paredes del tubo, dando como resultado:

Definiendo a n como el vector unitario normal hacia fuera de la superficie, se obtiene:



donde Q1 es la razón de flujo volumétrico que cruza la superficie A1 y Q2 la razón de flujo que cruza la superficie A2, por lo tanto,

Para el vector de vorticidad, se tiene que:

donde: ω⋅n = 0. Entonces,

Aplicando la ecuación:

Se obtiene:

dando como resultado que:

Esto significa que la circulación alrededor del contorno limitado por A1 es igual a la que está alrededor de A2. También significa que la circulación en cada sección transversal de un tubo vorticoso es la misma. Finalmente se puede decir que el vector de vorticidad, ω, con divergencia libre, significa que los tubos vorticosos deben terminar sobre ellos mismos, en una frontera sólida o en una superficie libre.




3. CAPA LÍMITE 3.1 Introducción El concepto de capa límite fue inicialmente introducido por el alemán Ludwing Prandtl en 1904. Aunque las ecuaciones que describen el movimiento de un fluido viscoso habían sido desarrolladas antes que Prandtl introdujera el concepto de capa límite (las ecuaciones de Navier–Stokes desarrolladas por Navier, 1827, e independientemente por Stokes, 1845), las dificultades matemáticas para la solución de estas ecuaciones (excepto en algunos casos simples) imposibilitaban el estudio teórico de los flujos viscosos. Prandtl demostró que muchos flujos viscosos pueden ser analizados dividiendo el flujo en dos regiones, una cercana a las fronteras sólidas y la otra comprendiendo el resto del flujo. Prandtl mostró que los efectos viscosos del fluido son considerables únicamente en la región delgada adyacente a la frontera sólida (capa límite). En la región fuera de la capa límite los efectos viscosos son despreciables y el flujo puede analizarse como no–viscoso, figura 3.1.

Figura 3.1 Capa límite.

Exterior de capa límite: flujo no–viscoso

Interior de capa límite: flujo viscoso

En un flujo de capa límite, tanto los efectos viscosos como los inerciales son importantes y como consecuencia el número de Reynolds, Re, es un parámetro adecuado para caracterizar los flujos de capa límite. La longitud característica usada en Re puede ser la longitud en la dirección del flujo sobre la cual la capa límite se desarrolla o alguna medida del espesor de la capa límite. De manera similar que en el flujo en un ducto, el flujo de capa límite puede ser laminar o turbulento. En el flujo de capa límite no existe un valor único en donde ocurre la transición de laminar a turbulento. Esta transición se ve influenciada por diversos factores como son: la rugosidad de la superficie, el gradiente de presión, la transferencia de calor y perturbaciones de corriente libre.



Para flujos incompresibles sobre superficies planas de rugosidad insignificante (gradiente de presión cero), en la ausencia de transferencia de calor, la transición de flujo laminar a turbulento puede ser retrasado hasta valores de Rex = Ux/υ entre 3 y 4 millones si las perturbaciones externas son minimizadas. Sin embargo, bajo condiciones de flujo típicas la transición generalmente ocurre cuando Re = 5 × 105.

La figura 3.2 presenta esquemáticamente el crecimiento de una capa límite

sobre una placa plana. Inicialmente se presenta una región laminar a lo largo de una distancia corta a partir de el extremo frontal de la placa. Posteriormente aparece una región de transición para que finalmente ocurra el desarrollo de la región turbulenta.

Laminar Transición

Turbulento

Figura 3.2 Capa límite sobre una placa plana. 3.2 Espesor de Capa Límite La capa límite es la región adyacente a una superficie sólida donde las fuerzas viscosas son importantes. El espesor de capa límite, δ, se define como la distancia perpendicular a la superficie, desde ésta hasta el punto donde la velocidad del flujo es igual al 99 % de la velocidad de corriente libre (0.99U). Si las fuerzas viscosas no existieran en el flujo sobre una placa plana, la velocidad en cualquier punto sería U. Sin embargo, debido a las fuerzas viscosas existentes en el flujo, éste se ve retrasado dentro de la capa límite de forma que el flujo másico adyacente a la superficie sólida es menor que aquel que pasaría a través de la misma región en ausencia de superficies sólidas. El decremento del flujo másico debido a la influencia de las fuerzas viscosas es:

∫ ∞0 ρ (U–u )dy

Por otro lado, definiendo el espesor de desplazamiento, δ* (figura 3.3), como la

distancia que, en ausencia de fuerzas viscosas, la superficie sólida tendría que



desplazarse, para tener un déficit de masa igual al que ocurre debido a la existencia de la capa límite, se tiene:

∫ ∞0 ρ (U–u )dy ρUδ* =

Dado que para flujos incompresibles ρ = constante, entonces:

δ* = ( 1 – u/U) dy ≈ (1 – u/U) dy ∫ ∞0 ∫ δ0 ya que u ≈ U y el integrando es esencialmente cero para y ≥ δ.

y

δ

θ

0.99U

U

δ* Área = (U – u) dy ∫∞

0

Área = u(U – u) dy ∫ ∞

0

Figura 3.3 Definición de los espesores de capa límite

El efecto de retardo del flujo dentro de la capa límite produce también una

reducción en el momentum (cantidad de movimiento) al comparar el flujo dentro de la capa limite con un flujo no–viscoso. Entonces, el momentum en el flujo queda definido como:

∞∫

donde θ es el espesor de momentum y está definido como el espesor de una capa de fluido con velocidad U para la cual el momentum es igual a la pérdida de momentum a través de la capa limite. Los espesores de desplazamiento e integral son denominados espesores integrales.

0 ρ u(U–u )dy ρU2θ =

θ = u/U ( 1 – u/U) dy ≈ u/U (1 – u/U) dy ∫ ∞

0 ∫ δ0



3.2.1 Capa Límite Sobre una Placa Plana en Régimen Laminar: Solución Exacta

La solución para la capa límite laminar sobre una placa plana fue obtenida por H. Blasius en 1908. Para un flujo bidimensional en estado estable con gradiente de presión despreciable, las ecuaciones de gobierno se reducen a:

∂ u/∂ x + ∂ v/∂ y = 0 u∂ u/∂x + v ∂ u/∂ y = υ ∂ 2u/∂ y2

con las condiciones de frontera:

u = 0 en y = 0 u = U en y = ∞

Blasius propuso una solución de similaridad de tipo:

u/U = g(η) donde η ∼ y/δ

donde δ es el espesor de la capa límite y η es función de x, y, U y υ tal que:

η = y[U/(υ x)]1/2

Introduciendo la función de corriente,ψ, donde

xv

yu

∂∂

−=∂∂

=ψψ

La cual satisface la ecuación de continuidad. Sustituyendo u y v dentro de las

ecuaciones de gobierno, el resultado es una sola ecuación con una variable dependiente ψ. Definiendo la función de corriente adimensional como:

xUf

υψη =)(

Se obtiene el sistema con una variable dependiente f(η) mientras que η es la variable independiente. Aplicando las sustituciones anteriores, se obtiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

−=∂∂

−=

∂∂

=∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

=

fddf

xUv

fxU

xfxU

fxU

xfxU

xv

fUx

UfxUyy

u

ηηυ

υηη

υ

υυψ

ηυηυη

ηψψ

21

211

21

21



Al diferenciar las componentes de la velocidad se tiene:

3

32

2

2

2

2

2

2

2 ηυηυηη

dfd

xU

yu

dfd

xUU

yu

dfd

xU

xu

=∂∂

=∂∂

−=∂∂

De forma que la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x se transforma en:

∞==

===

=+

ηη

ηη

ηη

en1y

0en0con

02 2

2

3

3

ddf

ddff

dfdf

dfd

De esta forma, la ecuación diferencial parcial de segundo orden que gobierna el crecimiento de la capa límite bajo régimen laminar se transforma en una ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden con las condiciones de frontera adecuadas. Blasius resolvió esta ecuación empleando una expansión en series de potencias. La misma ecuación fue más tarde resuelta en forma más precisa por Howarth [1]. Los valores de f, df/dη y d2f/dη2 se muestran en la tabla 3.1. El perfil de velocidad se obtiene de forma adimensional al graficar u/U contra η empleando los valores obtenidos de la tabla mostrada.

De la tabla se observa que en η=5.0, u/U = 0.992. Definiendo el espesor de capa límite, δ, como el valor de y para el cual u/U = 0.99, entonces:

x

xxU Re

0.5/0.5

=≈υ

δ

El esfuerzo cortante en la pared puede expresarse como:

02

2

0

/==

=∂∂

=ηη

υμμτd

fdxUUyu

yw

Así

xUUw /332.0 ρμτ =

y el coeficiente de esfuerzo cortante en la pared, Cf, es:

x

wf

UC

Re664.0

21 2

==ρ

τ



Tabla 3.1 Valores obtenidos de la solución exacta Uyvx∞η =

f f’ = u/U f’’

0.0 0 0 0.33206

0.2 0.00664 0.6641 0.33199

0.4 0.02656 0.13277 0.33147

0.6 0.05974 0.19894 0.33008

0.8 0.10611 0.26471 0.32739

1.0 0.16557 0.32979 0.32301

1.2 0.23795 0.39378 0.31659

1.4 0.32298 0.45627 0.30787

1.6 0.42032 0.51676 0.29667

1.8 0.52952 0.57477 0.28293

2.0 0.65003 0.62977 0.26675

2.2 0.78120 0.67132 0.24835

2.4 0.92230 0.72899 0.22809

2.6 1.07252 0.77246 0.20646

2.8 1.23099 0.81152 0.18401

3.0 1.39682 0.84605 0.16136

3.2 1.56911 0.87609 0.13913

3.4 1.74696 0.90199 0.11788

3.6 1.92954 0.92333 0.09809

3.8 2.11605 0.94112 0.08013

4.0 2.30576 0.95552 0.06424

4.2 2.49806 0.96696 0.05052

4.4 2.69238 0.97587 0.03897

4.6 2.88826 0.98269 0.02948

4.8 3.08534 0.98779 0.02187

5.0 3.28329 0.99155 0.01591

5.2 3.48189 0.99425 0.01134

5.4 3.68094 0.99616 0.00793

5.6 3.88031 0.99748 0.00543

5.8 4.07990 0.99838 0.00365

6.0 4.27964 0.99898 0.00240

6.2 4.47948 0.99937 0.00155

6.4 4.67938 0.99961 0.00098

6.6 4.87931 0.99977 0.00061

6.8 5.07928 0.99987 0.00037

7.0 5.27926 0.99992 0.00022

7.2 5.47925 0.99996 0.00013

7.4 5.67924 0.99998 0.00007

7.6 5.87924 0.99999 0.00004

7.8 6.07923 1.00000 0.00002

8.0 6.27923 1.0000 0.00001

8.2 6.47923 1.00000 0.00001

8.4 6.67923 1.00000 0.00000

8.6 6.87923 1.00000 0.00000

8.8 7.07923 1.00000 0.00000

1. Howarth L.,”On the solution of the laminar boundary – layer equations”, Proceedings of the Royal Society of London, A164, 1938, pp. 547 – 579.


3.3 Ecuación Integral de Momento Al considerar un volumen de control dentro de la capa límite, es posible obtener una expresión de la ecuación de cantidad de movimiento que sea función de la distancia a lo largo de la superficie sólida. Esta expresión puede aplicarse tanto al flujo laminar como turbulento. Partiendo de la segunda ley de Newton, se tiene: - Ecuación de cantidad de movimiento (Momento)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

zuw

yuv

xuu

tum

DtDUm

dtdvmamF rr

Forma Integral

dAnuuudvt

FFSVys )( rrrr

⋅+∂∂

=+ ∫∫ ρρ

- Ecuación de continuidad

0)( =⋅∫ dAnuS

rrρ ; ∑ ∑=Ent Sal

mm..

Para flujo permanente en estado permanente

0=∂∂∫V udv

tρ

dAnuuFFSys )( rrrr

⋅=+ ∫ ρ

Para el análisis del campo de flujo en la capa límite, se considera el elemento diferencial definido en el esquema por a-b-c-d

Figura 3.4 Volumen de control diferencial en la región de capa límite



Ecuación de continuidad

Flujo de entrada (a-b): ∫ ==δ

ρ0

.

abx mudydzm

Flujo de salida (c-d): dxx

mmm x

xdxx∂∂

+=+

...

∫∫ ∂∂

+=δδ

ρρ00

.udydzdx

xudydzmcd

Flujo en la frontera (b-c):

∫∂∂

−=−=δ

ρ0

...udydzdx

xmmm salentbc

Ecuación de momento

-Entrada (a-b): ∫=δ

ρ0

)( dzudyufab

-Salida (c-d): ∫∫ ∂∂

+=δδ

ρρ00

)()( dzdxudyux

dzudyufcd

-Salida (b-c): ∫∂∂

−=δ

ρ0

)( dzdxudyUx

fbc

Fuerzas de superficie ( ): sxF -Entrada (a-b): dzPFab δ= ; P=presión

-Salida (c-d): ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+= dzdxxPPFcd δδ

Para la frontera (b-c), se considera una fuerza definida por:

dzddxxPPFbc δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=21

-Superficie, frontera (a-d): )(dxdzF wad τ−= Considerando que: dxdxd δδ << se obtiene:

∫∫ ∂∂

+=−−δδ

ρρτδ00

)( udyx

Udyuudxd

dxdP

w ; donde )(xPP =

Aplicando la ecuación de Bernoulli en la región de flujo no-viscoso se obtiene que:



dxdUU

dxdP ρ−=

Introduciendo la integral , la ecuación de cantidad de movimiento en forma integral,

para la capa límite, se expresa como:

∫=δ

δ0

dy

∫∫∫ +∂∂

+−=δδδ

ρρρτ000

)()( dyudxdUudy

xUdyuu

dxd

w

Para simplificar esta ecuación, se aplica la siguiente derivada:

∫∫∫ +∂∂

=∂∂ δδδ

ρρρ000

)()()( dyudxdUdyu

xUdyuU

x

Al sustituir el término correspondiente en la ecuación de cantidad de cantidad de movimiento, se obtiene:

∫∫ −+−∂∂

=δδ

ρρτ00

)()( dyuUdxdUdyuUu

xw

Definiendo una nueva variable: δ

ηy

=

Se obtiene: ηδddy = Entonces para esta nueva variable se define la ecuación:

∫∫ −+−∂∂

=1

0

1

0

)()( ηδρηδρτ duUdxdUduUu

xw

Para U = constante; los gradientes de presión ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdP

son despreciables. Por lo tanto

∫ −∂∂

=1

0

)( ηρδτ duUuxw

∫ −∂∂

=1

0

2 )1()( ηδρτ dUu

Uu

xUw

Esta ecuación se obtiene al considerar: - Flujo en estado permanente - Flujo incompresible - Despreciando fuerzas de cuerpo (gravedad) - la ecuación se puede aplicar al flujo laminar o turbulento - Es necesario tener una expresión que relaciona el esfuerzo cortante, con el perfil de velocidad o espesor de capa límite



Ejemplo: Para un flujo laminar el perfil de velocidad se define como:

2cybyau ++= donde la condiciones de frontera aplicadas son:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

====

δ

δ

ydydu

yUuyu

;0

;0;0

22 ηη −=Uu

δ

ηy

=

Para flujo laminar se puede aplicar:

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yw dy

duμτ

Para aplicar la ecuación de cantidad de movimiento, se representa el esfuerzo cortante en función de la nueva variable η , esto es:

0=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

η

ηδμτ

dUud

Uw = ( )0

22

=

−

ηηηη

δμ

ddU

δμτ U

w2

=

Sustituyendo en la ecuación de cantidad de movimiento, se obtiene:

∫ −∂∂

=1

0

2 )1()(2 ηδρδμ d

Uu

Uu

xUU

Para obtener una expresión del espesor de capa límite,δ , se integra y se hace una separación de variables, esto es:

dxdUU δρ

δμ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=152)(2 2

-Separando variables:

dxU

dρμδδ 15

=



Integrando ambos lados de la ecuación y aplicando la condición x=0; 0=δ se obtiene:

Ux

ρμδ 30

= =5.48Ux

ρμ

También puede expresarse como:

Ux

x ρμδ 30

= =xRe

48.5

Para el esfuerzo cortante, se puede obtener una expresión del coeficiente de esfuerzo cortante en la pared, , esto es: xCf

2

21 U

C wxf

ρτ

=

donde:0=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yw dy

duμτ = δμU2

Sustituyendo en , se obtiene xCf

2

212

U

UCf x

ρδ

μ=

Sustituyendo δ

xxCf

Re730.0

=

Para diferentes perfiles de velocidad en la capa límite laminar, se obtienen soluciones con la ecuación integral de la cantidad de movimiento, tabla 3.2.

Tabla 3.2 Soluciones aplicando la ecuación integral en la capa límite laminar

Distribución de velocidad xxReδ

xxCf Re

δy

3

23

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

δδyy

3.46

4.64

4.80

0.578

0.646

0.654



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛δ

π y2

sin

Solución exacta 5.0 0.664

3.4 Flujo turbulento en capa límite Para flujo turbulento se puede aplicar un perfil empírico conocido como la ley de potencia, definido como:

71

η=Uu

; δ

ηy

=

Por otra parte, se aplica una expresión para el esfuerzo cortante en la pared definido por:

41

20225.0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

δνρτ

UUw

Obteniéndose, las expresiones para el espesor de capa límite y coeficiente de fricción, esto es,

( )51

Re

370.0

xx=

δ ;

( )51

Re

0577.0

x

xCf =

Para el flujo turbulento se puede establecer que existe una capa logarítmica donde se identifican tres regiones, figura 3.5, que se definen como: Región interior: donde los esfuerzos viscosos son dominantes. Región exterior: donde los esfuerzos turbulentos son dominantes. Capa de solape: ambos esfuerzos son importantes.

Figura 3.5 Distribución de esfuerzo cortante y velocidad en una capa límite turbulenta.



En la región interior, Prandtl (1930) dedujo que la velocidad debía ser independiente del espesor de capa límite, esto es,

),,,( yfu w ρτμ= A la cual aplica análisis dimensional para obtener:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==+

ν

*

*yuF

uuu

donde: 21

*⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρτ wu

conocida como la ley de la pared, donde u* es la velocidad de fricción. Para la región exterior, von Kármán (1933) dedujo que u debía ser independiente de la viscosidad y su diferencia con respecto a U debía depender de δ y otras propiedades, esto es,

),,,()( yguU wext ρτδ=− Aplicando análisis dimensional, se obtiene:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−δyG

uuU

*

esta ecuación se conoce como la ley del defecto de la velocidad. Ambas ecuaciones, definidas anteriormente, cumplen con una buena aproximación en una amplia gama de flujos turbulentos en capa límite. Las cuales al acoplarse dan buenos resultados en la subcapa intermedia. Sin embargo, C.B. Millikan (1937) demostró que esto solo podía ocurrir si la velocidad en esta zona variaba logarítmicamente, esto es,

Byuku

u+=

ν

*

* ln1

donde k = 0.41 y B = 5.0. Esta ecuación se identifica como la capa logarítmica. Mediante análisis dimensional e intuición física, se puede inferir que una representación de u en función de ln(y) en una capa límite turbulenta muestra un aspecto curvo cerca de la pared y en la zona más lejana, y sería una recta en la subcapa logarítmica de solape, figura 3.6.



Figura 3.6 Leyes interior, exterior y de acoplamiento en una capa límite.

Los perfiles mostrados en la figura anterior, indican que en la región exterior los perfiles tienden suavemente a la subcapa logarítmica y la diferencia entre ellos resulta de diferencias en el gradiente de presiones exterior. La ley de la pared es única y obedece a la ecuación:

++ === yyuuuu

ν

*

*

Se aplica desde la pared hasta aproximadamente y+ = 5, se desvía después para alcanzar la recta logarítmica para valores de y+ en torno a 30. 3.5 Gradientes de presión en capa límite Cuando los gradientes de presión en la capa límite no son despreciables y tienen un efecto sobre el comportamiento del flujo dentro de la región de capa límite.

cteU ≠

Por ejemplo, considerando un ducto donde se desarrolla la capa límite y se tienen gradientes de presión, el efecto de estos se muestra en el siguiente esquema:



Figura 3.7 Flujo en capa límite con gradientes de presión.

El punto de separación sobre la frontera sólida (superficie) se identifica con: 0=∂∂

xu

. Entonces

se establece que para 0=dxdP

, el flujo no se separa de la superficie.

Un gradiente de presión adverso: 0>dxdP

, es una condición necesaria para la separación de la

capa límite. Comparando los perfiles de velocidad y momento, figura 1.6, se puede observar que se necesita mayor gradiente de presión adverso en el régimen de flujo turbulento para provocar la separación de la capa límite.

Figura 3.8 Perfiles adimensionales sobre una placa plana.



4. FLUJO VISCOSO DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES 4.1 Introducción La solución para este tipo de problemas recae en las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, donde se aplican las condiciones de frontera relacionadas con el vector de velocidad, principalmente, la condición de no-deslizamiento. Estas ecuaciones son tratadas, solamente, para flujo laminar. La principal dificultad en la solución de problemas de flujo viscoso de fluidos incompresibles, radica en la presencia de los términos convectivos en las ecuaciones de Navier-Stokes. Existen soluciones exactas que se dividen en dos categorías; una considera los términos no-lineales igual a cero: flujo de Couette, Poiseuille, flujo entre cilindros rotatorios, problema de Stoke, etc. La segunda categoría considera los términos no-lineales, por ejemplo: flujo en un punto de estancamiento, flujo en canales convergentes y divergentes, flujo en una pared porosa, etc. 4.2 Flujo de Couette Para mostrar este tipo de flujo, se considera el caso más simple de un flujo viscoso, el cual consiste en un flujo entre dos superficies paralelas, figura 4.1, donde se supone que el tamaño en la dirección z es mucho más grande que el tamaño de la distancia, h, entre superficies.

Figura 4.1 Flujo entre dos placas paralelas (

El flujo se supone en la dirección x y se considera que la presión es función,

únicamente, de la dirección x. Esto significa que no hay flujo en la dirección y, así como tampoco fuerzas de inercia, viscosas o externas, por lo tanto, tampoco hay gradiente de presión en la dirección y. Por lo tanto, u = u(y), v = w = 0, además p = p(x), entonces la ecuación de Navier-Stokes se simplifica a la forma:

Esta ecuación establece un balance entre la fuerza de presión en el fluido y la fuerza viscosa cortante en todos los puntos del fluido. Al integrar la ecuación con respecto a y, se obtiene:

donde A y B son las constantes de integración, las cuales se determinan al aplicar las condiciones de frontera: u(y = 0) = 0; u (y = h)=0, dando como resultado que: B = 0 y



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

21 h

dxdpA

μ

Entonces la ecuación queda de la forma:

Introduciendo el parámetro:

donde U es una velocidad característica del flujo, como la velocidad media del perfil de velocidades. Finalmente la ecuación que representa el flujo entre placas paralelas, se expresa como:

Esta ecuación indica que el flujo existe para un gradiente de presión negativo (caída de presión) y que el perfil de velocidad es parabólico. Entonces existe una dependencia del gradiente de presión para que haya flujo entre las placas.

4.2.1. Flujo plano de Couette Otra forma de representar el flujo entre placas paralelas, es cuando una de ellas se mueve a una velocidad constante, figura 4.2, y se conoce como el Flujo Plano de Couette. Para este caso, las condiciones de frontera son: u(y = 0) = 0; u (y = h)=U

Figura 4.2 Flujo plano de Couette.

Teniendo que u = u(y), pero sin gradientes de presión, se obtiene la ecuación de gobierno:

al integrar, se obtiene:

aplicando las condiciones de frontera, se tiene:

la cual representa el comportamiento lineal de velocidad entre las placas.



4.2.2. Flujo general de Couette El caso más general del flujo de Couette se presenta cuando existe gradiente de presión y una placa en movimiento, figura 4.3.

Figura 4.3 Flujo general de Couette.

La solución para obtener el perfil de velocidad implica la sobreposición de los dos casos anteriores, esto es,

Esta solución comprende los casos donde P = 0 y P ≠ 0. Para este último se tiene a su vez dos casos: P > 0 [(dP/dx) < 0] se tiene gradiente de presión favorable el perfil de velocidad; P < 0 [(dP/dx) > 0] el gradiente de presión es adverso al movimiento del flujo. 4.3 Flujo de Poiseuille Este flujo se identifica como el flujo permanente de un fluido viscoso que pasa por un conducto que tiene una sección transversal cualquiera, figura 4.4. En este caso, se consideran las componentes de velocidad en y, z, con v = w = 0 y u = u (y,z). No existen fuerzas ni movimiento en y, z, por lo tanto, p = p(x).

Figura 4.4. Flujo viscoso en conductos de diferente sección transversal.



La ecuación de gobierno se expresa como:

Una solución se puede obtener para el caso de una sección circular, donde el sistema de coordenadas son las cilíndricas, entonces la ecuación se expresa como:

donde la velocidad axial, u, es independiente de θ y x. Integrando la ecuación con respecto a R, se obtiene:

Aplicando las condiciones de frontera: u(R = 0) = valor finito; u (R = a)=0, se tiene que: A = 0 y . Entonces la ecuación se expresa como:

Al igual que el flujo entre placas paralelas, este flujo de Poiseuille depende del gradiente de presión. 4.4 Flujo entre cilindros rotatorios Para este caso, la longitud de los cilindros se considera muy grande comparada con el diámetro y se tiene un flujo bidimensional, figura 4.5.

Figura 4.5 Flujo entre cilindros rotatorios.

Para un sistema de coordenadas cilíndricas, donde existe únicamente la velocidad tangencial, uθ = uθ (R). Sin tener fuerzas de cuerpo, entonces la presión dependerá solamente de R. Para este caso, las ecuaciones de gobierno son:



La primera ecuación muestra un balance entre la fuerza centrífuga que actúa sobre un elemento del fluido y una fuerza producida por el campo de presión inducido. La segunda ecuación establece que existe un balance entre los esfuerzos viscosos en el fluido. De esta ecuación se obtiene la expresión para uθ ,

la cual está expuesta a las siguientes condiciones de frontera: uθ (R0)=ω0 R0 ; uθ (Ri)=ωi Ri , obteniéndose:

Quedando, finalmente, la siguiente distribución de velocidad entre los cilindros rotatorios como:

Para obtener la distribución de presión, se aplica la primera ecuación de gobierno, entonces,

Integrando se obtiene:

Donde la constante de integración se determina al conocer la presión en cualquier frontera; R = R0 o R = Ri.



4.4 Flujo en un punto de estancamiento Para este caso, los términos de inercia (convectivos) no son despreciables y la solución se obtiene a través del flujo potencial, de forma tal que las ecuaciones de Navier-Stokes aún se cumplen para las condiciones de frontera aplicadas. Para el análisis del problema, se supone una pared, figura 4.6, donde se tiene un flujo bidimensional (u,v), gobernado por las ecuaciones de Navier-Stokes.

Figura 4.6 Punto de estancamiento plano

Las condiciones de frontera son: u(x, y =0) = 0, v(x, y =0) = 0. Lejos de la pared, las condiciones se establecen para un flujo no-viscoso, esto es:

v(x, y → ∞) = -ay+b = -a(y-b/a), u(x, y → ∞) = ax donde la constante a es proporcional a la velocidad de la corriente libre, U, dividida por la longitud característica del cuerpo, esto es,

LUa α

=

donde la constante de proporcionalidad, α , depende de la forma del cuerpo. Para satisfacer la ecuación de continuidad se considera que: u = x f´(y) entonces de la ecuación de continuidad se obtiene: v = - f(y) + c(x) Aplicando la condición de frontera: v(x, y =0) = 0, se determina c(x) = 0. Por lo tanto: v = - f(y). Entonces para la nueva variable f (y), las condiciones de frontera son:

f(y = 0) = 0, f´(y = 0)= 0, f(y→∞) → ay+b , f(y→∞) → a La solución del problema considera las siguientes ecuaciones derivadas de las ecuaciones de Navier-Stokes:

xp

yu

yuv

xuu

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

+∂∂

ρυ 1

2

2

yp

yv

yvv

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

ρυ 1

2

2



Estas ecuaciones se obtienen al considerar un flujo permanente, incompresible y sin fuerzas de cuerpo. Aplicando la definición de u y v en función de f, se obtiene:

[ ] [ ][ ] [ ]xpfxffxfxf yyyyy ∂∂

−=−+ρ

υ 1´´)(

´´)()(

´)(

´)(

donde: ( ){ } )(´´´´´2´1

yxHffffxxp

−=−−=∂∂

− υρ

obteniéndose: )()(2

211

yy KHxp +=−ρ

donde la función K(y) es la presión a lo largo de la línea de estancamiento en x = 0. También se obtiene el gradiente de presión en la dirección y, esto es:

´´2

211 KHx

yp

−−=∂∂

−ρ

La ecuación de momento en la dirección y se expresa como:

[ ] [ ]ypfff yyy ∂∂

−−=ρ

υ 1´)(

´)()(

Sust. el gradiente de presión en la dirección y, se obtiene:

´´´´2´

21 fKHxff υ−−−=

Para y→ ∞, se tiene; , entonces: -H = a. Por lo tanto: 0´´´)(

´´)( == ∞∞ ff

( ) 2´´´´´2´ affff =−− υ Esta ecuación gobierna el problema en conjunto con las siguientes condiciones de frontera:

af

f

f

=

=

=

∞´

)(

´)0(

)0(

0

0

La ecuación se resuelve aplicando nuevas variables definidas por:

´

a

yυ

η =

´

afFυ

=



Estas variables se definen adimensionando la longitud, η , y la velocidad, F. Finalmente la ecuación de gobierno se expresa como:

( ) 1´´´´´2´ =−− FFFF Para las condiciones de frontera:

1

0

0

´)(

´)0(

)0(

=

=

=

∞F

F

F

La solución de la ecuación se muestra en la figura 4.7 y se aplica para cualquier problema de punto de estancamiento. Este problema se establece como un problema de valor en la frontera de dos puntos.

Figura 4.7 Forma funcional de la solución

Una opción para la solución del problema es convertir la ecuación diferencial de tercer orden en ecuaciones diferenciales de primer orden, esto es,

´´3

´21 , , FYFYFY ===

Entonces se obtiene un sistema de ecuaciones definido por:

2´

1

3´

2

132

2´

3 1

YY

YY

YYYY

=

=

−−=

Con las siguientes condiciones de frontera:

1 ,0 ,0 )(2´

)0(2)0(1 === ∞YYY

Se aplica el método de disparo para la solución del sistema de ecuaciones.




5. FLUJOS POTENCIALES BIDIMENSIONALES 5.1 Introducción Cuando se consideran flujos de fluidos incompresibles y no-viscosos, la simplificación matemática es enorme y el análisis de flujo de fluidos ideales se aplica. Para este análisis las ecuaciones de gobierno se representan por la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Euler, que se expresan como:

La condición de flujo ideal se origina en un flujo irrotacional y el teorema de Kelvin garantiza que el flujo permanecerá irrotacional, aún cerca de un cuerpo. Esto significa que el vector vorticidad, ω , será cero en cualquier punto del cuerpo. Aplicando la definición: ∇x∇φ = 0 para cualquier función escalar, φ, la condición de irrotacionalidad se satisface al seleccionar:

u = ∇φ

donde φ se denomina la velocidad potencial y el campo de flujo definido por esta ecuación se le conoce como flujo potencial. 5.2 Flujos potenciales bidimensionales Dentro de la categoría de flujos potenciales, los flujos bidimensionales son más simples. El análisis de estos flujos se inicia al considerar la función de corriente, ψ, que en conjunto con el potencial de velocidad, φ, lleva a la definición del potencial complejo. El potencial complejo se define de tal forma que, automáticamente, se satisface la condición de irrotacionalidad. Esto significa que la ecuación de continuidad tendrá una solución de la ecuación de Laplace., esto es,

donde la función de corriente se aplica para satisfacer la ecuación de continuidad, esto es,

Entonces la ecuación de Laplace se obtiene al aplicar la condición de irrotacionalidad, definida por:



Al introducir la función de corriente, se obtiene:

Por lo tanto, la función de corriente como el potencial de velocidad debe satisfacer la ecuación de Laplace. Esto se obtiene al tener los componentes de velocidad en función del potencial de velocidad, φ, esto es,

de la ecuación de continuidad se obtiene:

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yxφφ

5.2.1 Propiedades de la función de corriente (a) Las líneas de corriente que corresponden a ψ = Cte., son las líneas de corriente del campo de flujo, esto es, si la función de corriente varía de la forma:

entonces para ψ = Cte., se obtiene:

que representa la ecuación de la línea de corriente en el plano xy. (b) Otra propiedad indica que la diferencia entre valores de dos líneas de corriente da como resultado el volumen del fluido que está fluyendo entre esas dos líneas de corriente. Esto se demuestra al tener dos líneas de corriente definidas por:

como se ilustra en la figura 5.1.



Figura 5.1 Líneas de corriente que representan el flujo volumétrico.

El volumen total del fluido entre esas dos líneas de corriente, por unidad de tiempo y por unidad de profundidad, se define como:

comparando con la variación de la función de corriente e integrando, se obtiene:

entonces: (c) Se establece que las líneas de corriente con ψ = Cte. y las líneas del potencial de velocidad (líneas equipotenciales) φ = Cte., son ortogonales entre sí. Esto se demuestra al considerar:

Para φ = Cte., se obtiene:

comparando con la ecuación de la línea de corriente, se determina que:



Esto significa que la pendiente de la línea equipotencial, φ = Cte., es recíprocamente negativa a la pendiente de la línea de corrinete, ψ = Cte. 5.3 Velocidad y potencial complejo De acuerdo a la definición de los componentes de velocidad en el plano xy, en términos del potencial de velocidad y de la función de corriente,

se establece que:

que se les conoce como las ecuaciones de Cauchy-Riemann para las funciones; φ(x, y) y ψ(x, y). Entonces se puede definir un potencial complejo como:

donde F(z) es una función analítica, z = x+iy y el potencial de velocidad, φ, así como la función de corriente, ψ, satisfacen a las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esto significa que para cualquier función analítica, la parte real representa al potencial de velocidad y la parte imaginaria es la función de corriente. Este resultado sugiere una forma simple de establecer soluciones a las ecuaciones de flujos potenciales bidimensionales, de acuerdo a la variable compleja. Esta teoría garantiza que se cumpla la ecuación de Laplace para el potencial de velocidad, ∇2φ = 0, y la función de corriente, ∇2ψ = 0 . La ventaja de utilizar la teoría de variable compleja es el eliminar las dificultades al tratar de resolver las ecuaciones diferenciales parciales.

Al definir el potencial complejo, se puede determinar una velocidad compleja, W(z), esto es,

esta ecuación ofrece una alternativa para determinar los componentes de velocidad que corresponden a un potencial complejo.



Una propiedad útil de la velocidad compleja, es que se puede multiplicar por su propio conjugado complejo, dando como resultado el producto escalar del vector velocidad, esto es,

También se puede trabajar con las coordenadas cilíndricas (uR, uθ ), que tienen una relación con las coordenadas cartesianas a través de las siguientes expresiones:

estas relaciones se pueden observar en la figura 5.2.

Figura 5.2 Relación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas.

Para las coordenadas cilíndricas, la velocidad compleja toma la forma:

5.4 Flujo uniforme

La función analítica más simple de z es proporcional a la misma z, y los campos de flujo correspondientes son uniformes, entonces se aplica,

donde c es una variable real, por lo tanto,



donde: u = c ; ʋ = 0 Este resultado de las componentes de velocidad representan un flujo uniforme rectilíneo, como se muestra en la figura 5.3.

Figura 5.3 Flujo uniforme (a) dirección x, (b) dirección y, (c) con un ángulo de

inclinación Para un flujo uniforme con una velocidad U en la dirección x, el potencial complejo se expresa como:

Considerando ahora el potencial complejo proporcional a z con una constante imaginaria, se tiene que:

donde c es real y el signo (-) se aplica para que la componente de velocidad sea positiva cuando c es positivo, entonces,

donde: u = 0 ; ʋ = c Este resultado representa un flujo uniforme en la dirección y, entonces para un flujo cuya velocidad en la dirección de y es V, se obtiene,

Finalmente considerando una constante compleja de proporcionalidad, de la forma:

donde c y α son reales, se obtiene:

donde las componentes de velocidad se expresan como:



Este resultado corresponde a un flujo uniforme inclinado, figura 5.3(c). Teniendo una velocidad de magnitud V, se expresa como:

este resultado contiene los casos para α = 0 y α = π/2 5.5 Fuentes, sumideros y flujos vorticosos

Los potenciales complejos de estos flujos se obtienen al considerar la función analítica proporcional a log(z), donde la parte principal de esta función es multivalente correspondiendo 0 < θ > 2π. Tomando en cuenta la constante de proporcionalidad real, se tiene:

donde: φ = c log (R) y ψ = cθ. Esto significa que la líneas equipotenciales son círculos con R = Cte. y las líneas de corriente son líneas radiales con θ = Cte. Este potencial da como resultado el campo de flujo mostrado en la figura 5.4(a), donde las líneas sólidas corresponden a las líneas de corriente y las punteadas a las líneas equipotenciales.

Figura 5.4 Campo de flujo definido por líneas de corriente y equipotenciales.

De acuerdo a la geometría del campo de flujo, es conveniente utilizar coordenadas cilíndricas, esto es,

donde:



Este campo de flujo resultante se conoce como fuente, donde la velocidad es completamente radial y su magnitud disminuye conforme se aleja del origen, el cual se define como un punto singular con velocidad infinita. La velocidad del flujo radial disminuye de forma tal que el volumen del fluido que cruza cada círculo es constante para cumplir con la ecuación de continuidad. Las fuentes se caracterizan por tener una fuerza m, que se define como el volumen del fluido por unidad de tiempo y por unidad de profundidad, esto es,

donde c = m/2π, dando un potencial complejo de la forma:

que representa un potencial complejo con una fuente en el origen. Para un potencial complejo con una fuente localizada en un punto z0, se tiene:

Para el caso de un sumidero, se tiene una fuente con signo negativo, -m, esto es,

zmzF log2

)(π

−=

Para una función analítica, definida por:

donde c es real y el signo negativo se aplica para obtener un vórtice positivo. En coordenadas cilíndricas, se obtiene:

donde: φ = cθ y ψ = - c log (R). Esto significa que las líneas equipotenciales se representan por líneas radiales para = Cte. y las líneas de corriente son círculos para R = Cte., figura 5.4(b). Los componentes de velocidad que se obtienen, son:

donde:

Este campo de flujo representa un vórtice.



El vórtice se caracteriza por su fuerza que se mide por la circulación, Γ, asociada al campo de flujo. Para una circulación asociada al origen se tiene que:

donde: c = Γ/2π. Para este campo de flujo, el potencial complejo en el origen se define como:

en el caso de un vórtice localizado en un punto z0, se expresa como:

La aplicación principal de las fuentes, sumideros y vórtices es a través de la superposición de flujos para generar campos de flujo más prácticos. 5.6 Flujo en una esquina

Para este caso el potecial complejo se representa por:

donde n ≥ 1, si n = 1 se tiene un flujo uniforme rectilíneo. Para coordenadas cilíndricas se aplica:

)()( θieRUzF = donde:

por lo tanto,

Este resultado indica que para θ = 0 y θ = π/n, la función de corriente es cero, ψ = 0, que corresponde a las líneas radiales en θ = 0 y θ = π/n. Las otras líneas de corriente se establecen para Rn Sen(nθ) = Cte., figura 5.5.



Figura 5.5 Líneas de corriente (sólidas) y equipotenciales (punteadas) para flujo en una

esquina. La dirección del flujo a lo largo de las líneas de corriente pueden determinarse de la velocidad compleja, esto es,

donde:

Para: 0< θ < π/2n ; uR es positiva y uθ es negativa. Para: π/2n< θ < π/n; uR es negativa y uθ es negativa. Entonces el potencial complejo para una esquina de ángulo π/n es:

que para n = 1 representa un flujo uniforme rectilíneo y para n = 2 un flujo en una esquina con ángulo recto. 5.7 Flujo alrededor de un extremo puntiagudo (borde de una placa plana) Para este flujo el potencial complejo aplicado es:

donde c es real y 0< θ < 2π. En coordenadas cilíndricas se expresa como:

donde:



Para θ = 0 y θ = 2π , se tiene ψ = 0. Las demás líneas se establecen de R1/2 Sen(θ/2) = Cte., figura 5.6.

Figura 5.6 Líneas de corriente (sólidas) y equipotenciales (punteadas) para un flujo

alrededor de una placa plana. La dirección del flujo se determina de la velocidad compleja, esto es,

donde:

Para: 0< θ < π ; uR es positiva y uθ es negativa. Para: π < θ < 2π ; uR es negativa y uθ es negativa.



5.8 Flujo debido a un doblete La función 1/z tiene una singularidad para z = 0, que representa un doblete. Esto se identifica como una coalición (unión) de una fuente y un sumidero, obteniéndose el potencial complejo a través de un procedimiento. El potencial complejo se logra a considerar la geometría mostrada en la figura 5.7, donde se tiene una fuente de fuerza m y un sumidero de fuerza –m, separados una distancia pequeña, ε, del origen.

Figura 5.7 Superposición de una fuente y un sumidero.

El potencial complejo para la configuración requiere la superposición de la fuente y sumidero localizados en un punto fuera del origen, entonces,

Si la distancia adimensional ε/z es pequeña, se obtiene:

asignando términos 0(ε2/z2) o más pequeños, el logaritmo toma la forma log(1+γ) donde γ << 1 así que γ+ 0(γ2), entonces,

teniendo ε→ 0 y m→ 0, se aplica que lim(mε ) =πμ, donde μ es una constante, entonces,



Para determinar las componentes de velocidad, se aplica:

para ψ = Cte., se tiene:

Esta ecuación representa la ecuación de un círculo de radio μ/2ψ, cuyo centro se localiza en y = - μ/2ψ , figura 5.7(b). Los componentes de velocidad se obtienen de la velocidad compleja, esto es,

donde:

Este resultado representa un campo de flujo llamado flujo doblete, que tiene la singularidad en el corazón llamado doblete. Para un potencial complejo de fuerza μ localizada en z0, se tiene:

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