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1Apuntes de Mecnica de Materiales

UNIDAD 1. INTRODUCCIN A LA MECNICA DE MATERIALES

1.1. Hiptesis de la mecnica de materiales.La MECNICA DE MATERIALES es la rama de la mecnica que estudia losefectos internos que experimenta un cuerpo bajo carga, considerando a loselementos estructurales como modelos idealizados sometidos a restricciones ycargas simplificadas. La mecnica de materiales aunque menos rigurosa que lateora de elasticidad, desarrolla frmulas de una manera lgica y razonada queproporcionan soluciones satisfactorias a muchos problemas tcnicos bsicos.

Como en toda rama del saber, hay conceptos que son fundamentales para unacomprensin satisfactoria de la materia. En la mecnica de materiales elconcepto de importancia primordial es el de esfuerzo. La mecnica demateriales interviene de manera destacada en todas las ramas de la ingeniera.

Sus mtodos son necesarios para los diseadores de todo tipo de estructuras ymquinas; en consecuencia, es una de las asignaturas fundamentales de unplan de estudios de ingeniera.

El conocimiento obtenido en los ltimos tres siglos junto con las teoras ytcnicas de anlisis desarrolladas, permiten al moderno ingeniero disearestructuras seguras y funcionales de tamao y complejidad sin precedentes,teniendo en cuenta tres requisitos indispensables: resistencia, rigidez yestabilidad de los diversos elementos soportadores de carga.

Conviene aclarar algo antes de seguir que una de las hiptesis de la estticaera que los cuerpos eran indeformables sin embargo decimos que en Mecnicade materiales estudiaremos las deformaciones y desplazamiento de losmismos. En efecto existirn y de hecho se podrn medir esas deformaciones ydesplazamientos pero sus magnitudes sern pequeas (muy pequeas)comparadas con las medidas de los cuerpos. O sea: las deformaciones sontan pequeas que no cambia la configuracin geomtrica del cuerpo ysu influencia sobre las solicitaciones es despreciable y por consiguientea los fines del equilibrio y de los esfuerzos internos es como siefectivamente los cuerpos que estudiaremos fueran indeformables. Siesas deformaciones tuvieran importancia debemos tenerlas en cuenta como

efectivamente ocurrir cuando estudiemos el fenmeno de Pandeo.


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En resumen, el objeto de la Mecnica de Materiales es llegar a dimensionar loscuerpos de manera tal que las tensiones y deformaciones provocadas por losesfuerzos al que estn sometidos se mantengan dentro de ciertos lmites dadospor las experiencias y las experimentaciones hechas sobre los mismos o sobremodelos que los representan.

NOTA:

a finalidad de la Mecnica de Materiales es: DISEAR o VERIFICAR loselementos estructurales (losas, vigas, columnas, etc.) de manera que cumplanlos requisitos de:

RESISTENCIA: Los elementos debern soportar cargas de diseo sinromper.

RIGIDEZ: Los componentes debern deformarse dentro de limitacionespreestablecidas.

ESTABILIDAD: Los elementos debern encontrarse en equilibrio estable.

Hiptesis Fundamentales de la Mecnica de Materiales:

El comportamiento real de los cuerpos es muy complicado y sobre todo muydifcil de representar. En consecuencia se han elaborado hiptesissimplificativas que tratan de aproximarse lo mejor posible al comportamientode los mismos dentro de ciertos lmites que veremos ms adelante. Esashiptesis son las siguientes:

Hiptesis de homogeneidad de los cuerpos.

Esta hiptesis supone que las propiedades de los cuerpos son las mismas entodas las direcciones. Los materiales se consideran continuos. La mayora delos materiales cumple con esta hiptesis aun cuando existan poros o seconsidere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta portomos que no estn en contacto rgido entre s, ya que existen espacios entreellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada.Aunque en realidad todos sabemos que esto no se cumple estrictamente. Habrmateriales que se ajustarn ms y otros menos a esta hiptesis. Por ejemplo elhierro tiene la misma resistencia a traccin que a compresin pero esto nosucede para un material como el hormign.


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Hiptesis de elasticidad de los materiales.

Esto significa que si un material se ha deformado bajo una causa externa alretirar esa causa vuelve a su posicin primitiva. Fig. 1 a), b) y c)

Fig.1

Esta hiptesis tambin no se cumple estrictamente y vara de material amaterial y adems depende de la magnitud de la causa externa. Para seguir

con el ejemplo anterior: el hierro cumple bastante bien con esta hiptesisdentro de ciertos rangos de tensiones no as el hormign que cualquiera sea latensin al retirar la causa externa siempre permanece algo" de la deformacinproducida. La deformacin que al retirar la causa se recupera totalmente sedenomina deformacin elstica, mientras la que no se recupera se la definecomo deformacin plstica.

Hiptesis de Navier.

Nos limitaremos a enunciarla y dice una superficie plana correspondiente a

una seccin cualquiera de un cuerpo permanece plana despus de ladeformacin del mismo. Fig. 2 a) y b).

Fig.2


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1.2. Caractersticas y propiedades mecnicas de materialescomunes en la construccin.

En la seleccin de un material para un miembro de un sistema de estructuras son muyimportantes las caractersticas fsicas del comportamiento del material sometido aesfuerzos. Estas caractersticas se conocen como las propiedades mecnicas del material.

Adems de las propiedades mecnicas, los materiales poseen propiedades qumicas,elctricas, trmicas, pticas y otras. Aunque estas otras propiedades son de inters entrelos requisitos de diseo especializado, las propiedades mecnicas son las que msinteresan al ingeniero proyectista.Las propiedades mecnicas, tales como rigidez, ductilidad, fragilidad y maquinabilidad,para nombrar algunas, describen el comportamiento del material cuando se somete acargas. Estas propiedades afectan las del material cuando se someten a cargas. Estaspropiedades afectan las caractersticas de funcionamiento de los miembros de lossistemas estructurales. Una breve descripcin de estas propiedades ayudar a entenderlos factores que conducen a la seleccin de un material particular para una funcinparticular.

Continuamente se estn produciendo nuevos materiales para satisfacer las nuevas ydiferentes aplicaciones de ingeniera que constantemente surgen en nuestras tecnologasen evolucin. Cada uno de estos nuevos materiales, junto con los materiales comunes queya estn en uso, tiene sus propias propiedades fsicas. Por esta razn se dar una breveintroduccin a la terminologa y a las propiedades de los materiales de ingeniera en lassiguientes secciones.

Propiedades mecnicas:

La primera propiedad mecnica que se considerar es la resistencia. La resistencia de unmaterial indica su capacidad de resistir carga y generalmente se toma como sinnimo de

esfuerzo. Ms especficamente, se considera que el esfuerzo mximo que un materialpuede soportar antes de que ocurra la falla. Un miembro se considera que ha fallado sicesa de realizar la funcin para la cual se dise. Esto puede deberse a llegar el esfuerzoltimo en los materiales frgiles que no se deforman grandemente antes de la fractura, opuede ser debido a haber alcanzado el esfuerzo de fluencia en los materiales dctiles quese deforman plsticamente una gran cantidad, antes de que alcance el esfuerzo ltimo.

Otra propiedad de inters, particularmente con respecto a las consideraciones deflexibilidad, es la rigidez. Se dice que una parte estructural es rgida si soporta un granesfuerzo con una deformacin relativamente pequea. El mdulo de elasticidad de unmaterial es una medida de su rigidez.

Propiedades adicionales de gran importancia en la seleccin de los miembros quesoportan carga son la ductilidad, maleabilidad y fragilidad. Un material es dctil y maleablesi puede soportar grandes deformaciones inelsticas (plsticas) antes de la fractura. Laductilidad est asociada con los esfuerzos de tensin (por ejemplo, un material puede serestirado en alambres); la maleabilidad est asociada con los esfuerzos de compresin (porejemplo, un material puede ser laminado en hojas delgadas). La mayora de los materiales


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que son dctiles tambin son maleables, la fragilidad es la propiedad opuesta a laductilidad; un material frgil se fracturar a deformaciones unitarias relativamente bajas.Una lnea divisoria usual que separa los materiales dctiles de los frgiles es unadeformacin unitaria de 5%, es decir, si un material se fractura a una deformacin unitariade 5% o menor, se considera como quebradizo.

Los materiales usados en miembros que estn sujetos al impacto de cargas dinmicasdeben ser capaces de absorber la energa. La resiliencia de un material es la capacidadde absorber energa en un intervalo elstico de esfuerzos, mientras que la tenacidad es sucapacidad de absorber energa en el intervalo inelstico de esfuerzos.

Otra propiedad de inters en consideraciones de diseo es la dureza, que es una medidade la capacidad del material para resistir rayaduras.La dureza de un material puede modificarse grandemente mediante varios procesos demanufactura. Tales como tratamientos trmicos, trabajo en fro, templado y revenido.

La maquinabilidad es una medida de la facilidad con que un material puede maquinarsemediante operaciones tales como barrenado, fresado, roscado, etc. La maquinabilidad deun material puede cambiarse considerablemente aleando el material con otros elementosy mediante operaciones tales como los tratamientos trmicos y el estirado en fro.

Ductilidad y fragilidad

La presencia o la ausencia de ductilidad tiene un marcado efecto sobre la capacidadltima de soportar carga de un miembro. Por consiguiente, consideramos que se necesitauna discusin ms completa de estas propiedades para apreciar mejor su funcin en eldiseo.La ductilidad y fragilidad pueden ilustrarse fcilmente mediante diagramas de esfuerzo-deformacin unitaria, como los de la Fig.15.1.La Fig.15.1 (a) muestra el diagrama esfuerzo- deformacin unitaria para un material frgilo quebradizo. Puede verse que el alargamiento total antes de la fractura esconsiderablemente menor al del material dctil mostrado en la Fig.15.1 (b). esto esimportante en el diseo por dos razones principales. Primero, antes de la fractura, unmaterial frgil prcticamente no avisa, mientras que un material dctil se deforma una grancantidad antes de fallar. Un segundo factor ms significativo es que un material dctil,debido a su gran alargamiento despus de la fluencia, tiene la cualidad de redistribuiresfuerzos en lugares de concentraciones altas de esfuerzos. Esto es particularmenteimportante en el diseo de conexiones y flechas con cuas o clavijas donde ocurren altasconcentraciones de esfuerzos.

Consideremos, por ejemplo, la placa mostrada en la Fig. 15.2. Siempre que ocurrancambios bruscos en el rea de la seccin transversal de un miembro, donde los esfuerzosno estn uniformemente distribuidos. Los esfuerzos ms altos ocurren cerca de los bordesdel agujero. Si el material es dctil, las fibras cercanas al agujero se esfuerzan hasta elvalor de fluencia. Estas fibras se deforman, pero mantienen ese esfuerzo, como semuestra mediante el diagrama esfuerzo-deformacin unitaria de la Fig.15.1 (b). El excesode esfuerzo que se habra aplicado a estas fibras, es soportado por las fibras adyacentes.Este es un ejemplo de redistribucin de esfuerzos.


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En la redistribucin de esfuerzos de un material dctil, algunas fibras de la seccintransversal fluyen. Esto no va en detrimento para un miembro, a menos que la fluenciaocurra sobre una porcin sustancial de la seccin transversal. Sin embargo, si el materialfuera frgil, no sera capaz de soportal altas concentraciones de esfuerzos y algunas fibrasse romperan. Esto reduce el rea neta, haciendo que los esfuerzos en la fibras restantes

se incrementen, y que se desarrolle una grieta en la seccin.Los materiales frgiles, como por ejemplo la fundicin de hierro tienen muchasaplicaciones. El proyectista deber ser cuidadoso para evitar aplicarlo en situaciones queden lugar a concentraciones de esfuerzos que puedan producir falla.

Ensaye de materiales

Las propiedades mecnicas mencionadas anteriormente describen cualidades de unmaterial con respecto a ciertas caractersticas. Para comparar materiales, se deben tenerevaluaciones numricas de estas cualidades. Se han desarrollado varias pruebas queestablecen estas cantidades numricas parapara las propiedades mecnicas.

Los resultados de los ensayes hechos sobre un material dado son afectados por ciertonmero de factores, tales como la rapidez de aplicacin de la carga, el tamao y la formade los especmenes, y la disposicin del aparato. Para permitir una comparacin de losresultados de ensayes sobre un material con los obtenidos a partir de ensayes sobre otromaterial, los procedimientos de ensaye estn normalizados. La American Society forTesting Materials (cuya sigla es ASTM) es una organizacin que establece normas parallevar a cabo los ensayes.La ATSM realmente efecta dos funciones principales de normalizacin. Especificaprocedimientos que deben seguirse en los laboratorios de ensaye, y tambin estableceespecificaciones de calidad y comportamiento de materiales especficos. Por ejemplo, elacero estructural al que s ele da la designacin ASTM de A-36 debe ajustarse a requisitosde fluencia y de tensin ltima, propiedades de flexin, porcentaje de alargamiento,marcado, etc. Para asegurarse de que el material designado como acero A-36 cumple conestos requisitos, los especmenes se ensayan de acuerdo a un programa definido.

1.3. Esfuerzo y deformacin Unitaria.

Es de gran importancia la relacin entre los trminos de esfuerzo unitario ydeformacin unitaria. En el siglo diecisiete (1658). Robert Hooke public unartculo en que estableci que el esfuerzo era directamente proporcional a la

deformacin unitaria. Este hecho se conoce como la Ley de Hooke.Matemticamente puede expresarse como , que significa, por ejemplo, quesi una barra est sujeta a una carga de tensin de 100 lb, se alargar unacierta cantidad. Si la carga se incrementa a 200 lb, el alargamiento seduplicar.


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Esta proporcin puede convertirse en una ecuacin introduciendo unaconstante de proporcionalidad. Esta constante de proporcionalidad fuecalculada a principios del siglo diecinueve (1802) por Thomas Young uncientfico ingls. El mdulo de elasticidad (al que se ha dado como smbolo E)se ha determinado para los diversos materiales de ingeniera.

Al incluir el mdulo de elasticidad, la Ley de Hooke, se convierte en unaecuacin importante y til, que se expresa como:

(1)

donde:

= esfuerzo unitario en lb/plg, o N/m o Pa. = deformacin unitaria en plg/plg o m/m.E = mdulo de elasticidad en lb/plg, o N/m o Pa.

Clculo de la deformacin

Si un mimbro se somete a una fuerza exterior axial P, como se indica en la Fig.2.6,la barra se deforma ( se alarga en este caso). Puede demostrarseexperimentalmente que la deformacin es directamente proporcional al reade la seccin transversal A. expresado matemticamente, PL/A.Esto es razonable, ya que a mayor carga, mayor deformacin (Ley de Hooke),y a mayor longitud de varilla, ms molculas se presentan en cada fibra. Porconsiguiente, el alargamiento acumulado de cada fibra ser mayor. Ladeformacin es inversamente proporcional al rea ya que a medida que

aumenta el rea, se presentan ms fibras para soportar la carga, y cada fibrasoportar una menor parte de esta carga.Para convertir esta proporcin en una ecuacin, debe incluirse la

constante de proporcionalidad. Esta constante es el inverso del mdulo de laelasticidad de Young. La ecuacin para la deformacin total de una barraaxialmente puede escribirse como;

(2)

donde:

= deformacin total en plg o m,P = carga aplicada en lb o N,L = longitud en plg o m,A = rea de la seccin transversal en plg o m,E = mdulo de elasticidad en lb/ plgo N/mo Pa.


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La ecuacin (2) es exactamente la misma que la ec.(1), excepto que tiene unaforma ms conveniente para resolver problemas que involucran cambios delongitud. Para mostrar la correlacin entre ecuaciones, puede sustituirse =P/Ay = /L en la ec. (1), como se indica a continuacin:

,

,

,

EJEMPLO: La barra de acero indicada en la FIg. es de 2.5m de longitud y tieneuna rea en su seccin transversal de 3x . Determinar la deformacintotal producida por una fuerza de tensin de 80kN. El mdulo de elasticidad esde 200 GPa.

SOLUCIN:

( )()

( )( )


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1.4. Limite elstico, lmite de proporcionalidad, esfuerzo defluencia, rigidez, resistencia de ruptura.

1.5. Material dctil, frgil, elstico, plstico, elasto-plstico.

UNIDAD 2. ESFUERZO Y DEFORMACIN NORMAL

2.1. Concepto de esfuerzo.

2.2. Esfuerzo producido bajo carga normal axial.

2.3. Concepto de deformacin y deformaciones normales enbarras.

2.4. Problemas estticamente indeterminados.

2.5. Determinacin de elementos mecnicos (fuerza cortantey momento flexionante) y construccin de diagramas.

UNIDAD 3. FLEXIN, CORTANTE Y TORSIN EN VIGAS

3.1. Elementos sujetos a flexin.

3.2. Esfuerzo de elementos sujetos a flexin.

3.3. Ejemplo de elementos sujetos a flexin.

3.4. Elementos sujetos a fuerza cortante directo.

3.5. Elementos sujetos a cortante en la flexin.

3.6. Esfuerzo cortante por flexin en elementos

estructurales.

3.7. Ejemplo de elementos sujetos a cortante en la flexin.

3.8. Elementos sujetos a torsin.


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3.9. Esfuerzo cortante por torsin en barras de seccincircular o anular.

3.10. Deformaciones por torsin en barras de seccincircular o anular.

3.11. Ejemplo de elementos sujetos a torsin.

UNIDAD 4. INTRODUCCIN AL PANDEO

4.1. Introduccin.

4.2. Naturaleza del problema viga columna.

4.3. Ecuacin diferencial para viga

columna.

4.4. Estabilidad del equilibrio.

4.5 Carga de pandeo de Euler (para diferentes tipos deapoyos).

4.6. Limitacin de la ecuacin de pandeo elstico.

4.7. Modificacin en la ecuacin de la carga crtica de Euler.

4.8. Columnas cargadas excntricamente.

UNIDAD 5. FLEXIN Y CARGA AXIAL

5.1. Carga excntrica y ncleo central.

5.2. Ecuacin de esfuerzos por carga normal axial y flexinuniaxial.

5.3. Ecuacin de esfuerzos por carga normal.


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BIBLIOGRAFIA1.- Beer in Jhonston. Mechanics of Materials. McGraw-Hill. 1981.2.- Fitzgerald W., Robert. Mecnica de Materiales. Fondo EducativoInteramericano. 1982.3.- Gere y Timoshenko. Mechanics of Materials. Brooks cole Engineering. 1984.4.- Hibbeler R.C. Mechanics of Materials. MacMillan. 1991.5.- Higdon, Olsen, Weese y Riley. Mechanics of Materials. Prentice-Hall. 1985.6.- Popov, E. Introduction to Mechanics of Solids. Prentice-Hall. 1968.7.- Popov, E. Mechanics of Materials. Prentice-Hall. 1976.8.- David Roylance and J. Willen. Mechanics of Materials. 1995.9.- Roy R., Craig Jr. Jwig. Mechanics of Materials. 1996.

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