Apuntes de MIII

INSTITUTO POLITCNICO NACIONALUNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERA Y TECNOLOGAS AVANZADAS

ACADEMIA DE MECNICA

NOTAS DE

RESISTENCIA DE MATERIALES

Realiz: M. en C. Juan Roberto Rodrguez Bello.NOVIEMBRE DE 2010

Contenido.Pag.GENERALIDADES. Introducci y conceptos bsicos. 1

UNIDAD I.

Esfuerzo, Deformacin y Carga axial.

9

UNIDAD II.

Torsin.

13

UNIDAD III.

Flexin.

22

UNIDAD IV.

Esfuerzos Combinados.

36

UNIDAD V.

Columnas.

63

Bibliografa.

75

Generalidades. Introduccin y Conceptos Bsicos.1.1 INTRODUCCIN. El objetivo principal del estudio de la mecnica de materiales es suministrar futuro ingeniero los conocimientos para analizar y disear las diversas mquinas estructuras portadoras de carga. En ese sentido, la esttica juega un papel vital en desarrollo y planteamiento de problemas tales que, si en dicho planteamiento hay error, anlisis de esfuerzos en consecuencia tambin tendr error. 1.2 EQUILIBRIO ESTTICO Y DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE. En este punto se tratarn y recordarn algunos de los procedimientos bsicos de la esttica como es el Diagrama de cuerpo libre y lo que es Equilibrio. Para ello se realizarn problemas tipo en los cuales se apliquen estas condiciones. Equilibrio. El concepto bsico de equilibrio, nos lleva a recordar la 3 Ley de Newton, la cual dice que A toda accin corresponde una reaccin. Esto nos dice que las fuerzas aplicadas a un cuerpo en el sentido que fuere, siempre provocarn otras fuerzas (Reacciones) que actan en los puntos de apoyo de dicho cuerpo pero en sentido contrario, as como los momentos o pares de reaccin que en estos se produzcan dada la naturaleza de dichos apoyos. De acuerdo a lo anterior y manejando un sistema de referencia x-y-z, se pueden establecer condiciones de equilibrio para cada eje mediante ecuaciones: al y el el

Suma de fuerzas

Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0

Suma de momentos

Mx = 0

APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

1

My = 0 Mz = 0Diagrama de Cuerpo Libre. El diagrama de cuerpo libre, representa de manera grfica a un elemento o pieza en el cual se muestran todas las fuerzas y momentos que actan en l, as como las reacciones (fuerzas y momentos) en los puntos de apoyo. En este se deben apreciar todas las fuerzas y reacciones en un equilibrio coherente y sensato para encontrar sus valores, as como las dimensiones reales numricamente, dado que como cuerpo las tiene. (No es precisamente una partcula). Ejemplos. RA F1 F2 a b c RB

Figura 1.1 Viga simplemente apoyada

y x A Ry FRx = Fx Ry = Fy

B

M' Rx

M x Fy

Fx

M = Fy (x) M = Fx (y)

Figura 1.2 Viga empotrada libre donde se aprecia el diagrama de cuerpo libre.

y


2

x

B F W y

y Rz A My Ry x z Mz

Figura 1.3 Reacciones en el empotramiento de un letrero donde se aprecian las fuerzas que las provocan diagrama. -- Hacer problemas relacionados.

1.3 CONCEPTOS BSICOS DE LA MECNICA DE MATERIALES. Para entender la resistencia de materiales es necesario comprender primero los conceptos que permitirn asimilar los fenmenos que la rigen. Resistencia de materiales. Estudia las relaciones entre las fuerzas externas que actan en un cuerpo elstico y los esfuerzos y deformaciones producidas por dichas fuerzas externas a travs del conocimiento de ciertas propiedades fsicas de los materiales y de las leyes de la esttica. La importancia del conocimiento de esfuerzos y deformaciones es evidente, en el diseo de maquinaria, en que el factor determinante puede ser la fatiga y la deformacin. Esfuerzo Se dice que existe un esfuerzo en una barra cuando existen fuerzas unitarias que se producen dentro de ella debido a una fuerza externa aplicada axial o transversalmente sobre una de sus reas, dichas fuerzas que mantienen en equilibrio la barra son perpendiculares o 3


paralelas a dicha seccin recta. Estos pueden ser normales o cortantes. Las ecuaciones que rigen este fenmeno son:

=Fatiga.

P A

=

P A

Se dice que se tiene fatiga en una pieza debido a cargas cclicas o variables por las que el esfuerzo mximo se origina por el grado de repeticin de dichas cargas, razn por la cual un material falla despus de que dicho esfuerzo se ha repetido durante n ciclos. Este tipo de fallas son ms peligrosas porque casi siempre suceden de manera inesperada y debidas a esfuerzos menores que los considerados para diseo. Deformacin. Es el cambio de dimensiones de un cuerpo como resultado de las cargas a que es sometido. La deformacin correspondiente a la tensin es el alargamiento y la correspondiente a la compresin es el acortamiento. Ambas deformaciones debidas a esfuerzos normales, y su desplazamiento se representa con la letra , siempre paralelo a la longitud L por lo que la deformacin unitaria ser:

= LP

B

B

L C A

C P

(a) (b) Figura 1.4 Barra sometida a carga axial (b) en la que se aprecia la deformacin debida a esta y la grfica carga deformacin (a). La deformacin correspondiente al esfuerzo cortante es un desplazamiento normal a la longitud L por lo que la deformacin unitaria ser:APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

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tan =

L

L

Figura 1.5 Barra sometida a corte en la que se aprecia la deformacin debida a este. Por lo tanto, la deformacin unitaria correspondiente al esfuerzo cortante es un desplazamiento angular o un cambio de inclinacin medido en radianes, entre el plano en que acta el esfuerzo cortante y otro perpendicular a dicho plano en donde y sern considerados positivos si el desplazamiento es en el sentido de las manecillas del reloj. En el caso de tensin y son positivos y, simultneamente al alargamiento, se producir una contraccin transversal; en el caso de la compresin y son negativos y, simultneamente al acortamiento, se producir una expansin transversal. Elasticidad. Es la propiedad que tienen los cuerpos de recuperar su forma original al retirarse las fuerzas que lo deforman. Si la deformacin que sufre un cuerpo desaparece totalmente al retirarse la fuerza, se dice que el cuerpo es perfectamente elstico y si conserva parte de la deformacin se dice que es parcialmente elstico. Resiliencia. Expresa la resistencia de un metal a su rotura por impacto. En realidad, es el resultado de un ensayo y se denomina as a la energa consumida en romper una probeta de dimensiones determinadas. Plasticidad. Es la capacidad de un material de deformarse sin que llegue a romperse. Si la deformacin se produce por alargamiento mediante un esfuerzo de traccin, esta propiedad se llama Ductilidad; cuando lo es por aplastamiento mediante un esfuerzo de compresin, se llama Maleabilidad. Fragilidad. Es la propiedad que expresa falta de plasticidad y, por tanto, de tenacidad. Los materiales frgiles se rompen el lmite elstico; es decir, su rotura se produce bruscamente al rebasar la carga el lmite elstico. 5


Fluencia. Es la propiedad que tienen algunos metales de deformarse lenta y espontneamente bajo la accin de su propio peso o de cargas muy pequeas. Esta deformacin lenta se denomina tambin creep o creeping. En general se presenta con ms intensidad en los metales con temperatura de fusin baja, como el plomo. Ley de Hooke El lmite elstico de un material de ingeniera es el esfuerzo ms alto que se puede producir sin que experimente ninguna deformacin plstica (permanente). En este captulo aludimos antes al concepto del lmite elstico al estudiar la deformacin plstica. En la mayor parte de los materiales el esfuerzo es proporcional a la deformacin, para valores de los esfuerzos abajo del lmite elstico, y la ecuacin que lo rige es como sigue:

=ESustituyendo los correspondientes valores de y , se tiene:

(1.1)

P =E A lPor tanto:

=

Pl AE

(1.2)

Se conoce a esta relacin como la ley de Hooke y la constante de proporcionalidad (E) es el mdulo de elasticidad (mdulo de Young). Mdulo elstico. El mdulo elstico (E) es una medida de la rigidez de un material tecnolgico. El anlisis de la ecuacin anterior revela que, para un esfuerzo dado, los valores ms grandes de E producen deformaciones elsticas menores, lo que significa que mientras ms alto es el mdulo elstico, la respuesta del elemento a un esfuerzo particular es menor. Este parmetro es importante en los propsitos de anlisis y diseo, en especial al calcular los desplazamientos y deformaciones permisibles de los componentes de mquinas o de las estructuras. Mdulo de rigidez. As como E representa el mdulo de elasticidad en tensin y compresin, el Mdulo de Rigidez (G) es le mdulo de elasticidad en el cortante. G es una medida de la fuerza cortante que se necesita para producir una cantidad pequea dada de deformacin. El estudiante debe recordar el concepto de deformacin cortante ( ) que estudi en este captulo. Por lo tanto, si aplicamos la ley de Hooke al esfuerzo cortante ( ), resulta la expresin:APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

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=GDiagrama Esfuerzo deformacin.

(1.3)

Los datos que se obtienen en la prueba de tensin se grafican como curvas de esfuerzo-deformacin. La figura muestra algunas curvas de esfuerzo deformacin que se pueden obtener con materiales tpicos de ingeniera. La forma de la curva depender del material que se prueba, la historia de su proceso y de la temperatura a la que se realiza la prueba. Cuando los esfuerzos estn en la regin elstica, es espcimen recuperar sus dimensiones originales si se retira la carga. La resistencia ltima a la tensin no se utiliza con frecuencia en el diseo de maquinaria, porque a este nivel de esfuerzos el componente ya ha sufrido una deformacin plstica importante.

a b c Figura 1.6 Graficas esfuerzo deformacin de tres materiales distintos. (Acero bajo carbono (a), acero alto carbono (b) y mrmol (c)). Examinemos este diagrama junto con las definiciones de varios parmetros del material que se pueden observar en l. Ru

L.E. Rc Resistencia de fluencia

Fractura

Figura 1.7 Grfica esfuerzo deformacin en la que se aprecian los puntos principales. Lmite de proporcionalidad o Resistencia de cedencia. Es el valor ms alto para el cual la relacin esfuerzo- deformacin es lineal (esto es, proporcional a la deformacin). En la figura 1.7 sucede donde se marca la Rc).APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

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Lmite Elstico. Es el esfuerzo ms alto que se puede imponer al material sin que haya deformacin permanente cuando se remueva la carga. En la figura 1.7 L. E. Resistencia de fluencia. Es el punto que corresponde al es fuerzo que se requiere para producir una deformacin plstica pequea y especfica. Este punto es la referencia para realizar diseo, ya que nunca se debe llegar a l dado que si se trabaja cerca, es posible con un sobreesfuerzo, pasar a la zona plstica y de esta manera la pieza diseada se deforme plsticamente. Resistencia ltima a la tensin. Es una medida de la carga mxima que puede soportar un material bajo condiciones de carga uniaxial. Se determina tomando la magnitud de la carga mxima que se obtuvo durante la prueba y dividindola entre el rea de la seccin transversal original (Ru). D1 D2

L

L + 1

L + 2

L + T

Figura 1.7 Esquema de la deformacin de una barra en la que se aprecia la contraccin gradual y la ruptura.

CONCLUSIONES. De acuerdo a lo anterior, se puede concluir que para entender la Resistencia de Materiales, es indispensable el conocimiento de la Esttica como base de los anlisis de las fuerzas que actan sobre una pieza, y as mismo, de la ciencia de materiales para conocer cuales fueron las formas o ensayos hechos a ellos para comprender la naturaleza de falla en una pieza segn el material con el que fue fabricada.


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Unidad I. Esfuerzo, deformacin y carga axial.2.1 INTRODUCCIN El objetivo principal del estudio de la mecnica de materiales es suministrar al futuro ingeniero los conocimientos para analizar y disear las diversas mquinas y estructuras portadoras de carga. Tanto el anlisis como el diseo de una estructura dada involucran la determinacin de esfuerzos y deformaciones. Esta unidad estar dedicada al concepto de esfuerzo. La Resistencia de materiales estudia las relaciones entre las fuerzas externas que actan en un cuerpo elstico y las esfuerzos y deformaciones producidas por dichas fuerzas externas a travs del conocimiento de ciertas propiedades fsicas de los materiales y de las leyes de la esttica. La importancia del conocimiento de esfuerzos y deformaciones es evidente, en el diseo estructural en que pueden ser el factor determinante.

2.2 CARGA AXIAL, ESFUERZO NORMAL. Como ya hemos indicado, la barra BC de la figura 1.4, es un elemento de dos fuerzas y por lo tanto las fuerzas P y P que actan en los extremos B y C estn dirigidas a lo largo de la barra. Decimos que al barra est cargada axialmente. La seccin que hicimos en la barra para determinar la fuerza interna y el esfuerzo correspondiente, era perpendicular al eje de la barra, por lo tanto, la fuerza interna era normal al plano de la seccin y el esfuerzo correspondiente es un esfuerzo normal. As la frmula nos da el esfuerzo normal en un elemento bajo carga axial:

=

P A

(2.1)

Debemos notar que, en la formula 2.1, se obtiene dividiendo la magnitud P de la resultante de las fuerzas internas distribuidas sobre la seccin transversal, por el rea A de dicha seccin. Este representa el valor promedio del esfuerzo y no el esfuerzo especfico de un punto en la seccin.

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2.3 ESFUERZO CORTANTE Las fuerzas internas estudiadas en el punto 1.3 y los esfuerzos correspondientes eran perpendiculares a la seccin considerada. Se obtiene un tipo muy diferente de esfuerzo cuando se aplican fuerzas transversales P y P al elemento AB (Figura 2.1). Cortando en C, entre los puntos de aplicacin de las dos carga, obtenemos el diagrama de la porcin AC que se muestra. Concluimos que deben existir fuerzas internas en el plano de la seccin y que su resultante debe ser igual a P. P A B A P C B

P A C P

P Figura 2.1 Pieza sometida a corte y sus diagramas de cuerpo libre.

P Estas fuerzas internas elementales se llaman fuerzas cortantes y la magnitud P de su resultante es el cortante de la seccin. Designando al esfuerzo cortante por la letra (tau) escribimos

=

P A

(2.2)

Se debe resaltar que el valor obtenido es un promedio del esfuerzo cortante en toda la seccin. Contrario a lo que sucede con los esfuerzos normales, la distribucin de los esfuerzos normales no puede suponerse uniforme. En unidades posteriores, se ver como el cortante vara desde cero hasta un valor mximo, que puede ser mucho mayor que el promedio. Los esfuerzos cortantes se presentan normalmente en pernos, pasadores y remaches utilizados para conectar miembros estructurales y componentes de mquinas. 2.4 ESFUERZO DE APLASTAMIENTO. Los pernos, pasadores y remaches crean esfuerzos de aplastamiento en los elementos que conectan a lo largo de la superficie de apoyo o superficie de contacto.APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

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Considerando dos placas unidas mediante un remache. El remache ejerce una fuerza P sobre la placa A igual y opuesta a F ejercida por la placa sobre el remache. Figura 2.2 Fuerzas que se generan en un remache y en la placa que une, y la superficie que proyecta el barreno.

La fuerza P representa las resultante de las fuerzas elementales distribuidas en el interior del medio cilindro de dimetro d y de longitud t igual al espesor de la placa. Puesto que la distribucin de esfuerzos es muy complicada. en la prctica se usa un valor promedio nominal b del esfuerzo, llamado esfuerzo de aplastamiento, que se obtiene dividiendo la carga P por el rea del rectngulo que se proyecta del remache en la seccin de la placa (figura 2.2). Como esta rea es igual td, siendo t el espesor de la placa y d el dimetro del remache, se tiene

=

P P = A td

2.4 ESFUERZO DEBIDOS A CAMBIOS DE TEMPERATURA. Como es bien sabido, los metales cambian de dimensiones cuando cambia la temperatura, si estos no tienen montaje o no estn adyacentes a otros, no encontrarn resistencia alguna, pero si lo hay, tendr un esfuerzo correspondiente a la deformacin impedida. As cuando se hace aumentar por medio de calor la longitud de una barra y despus se sujetan firmemente sus extremos a soportes rgidos de modo que se impida que al enfriarse la barra recobre su longitud original, la barra una vez fra quedar sometida a esfuerzos de tensin. En el caso de una barra de longitud l empotrada en sus extremos la cual ha sido calentada desde una temperatura superficial T0 hasta una temperatura T en donde el enfriamiento tendremos un esfuerzo interno conocido como coeficiente de dilatacin [1/C]. L L

Figuara 2.3 Alargamiento o deformacin causada por diferencia de temperatura.


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=lLa dilatacin lineal por calor para pequeos cambios de temperatura es aproximadamente proporcional al aumento de esta y en donde la dilatacin por unidad de longitud y por grado de temperatura recibe el nombre de dicho coeficiente de dilatacin lineal y su esfuerzo que se representar ser el siguiente si = /E

= ( t t0 ) = E = E ( t t0 )

Tabla 2.1 Coeficiente de dilatacin ms comunes.

Material MaderaCobre Acero Ejemplo.

6 x 10-6

[1/C]

18 x 10-6 12 x 10-6

Una barra de longitud l = 50 cm se ha calentado desde una temperatura inicial de t = 10 C hasta 40 C en donde el coeficiente de dilatacin de = 128 x 10-7 [1/C], en base a su deformacin unitaria producida se desea calcular cual ser su alargamiento total que se ha presentado, as como el esfuerzo a que ha sido sometido.

= ( t t0 ) = (128 x 10-7 ) ( 40 10 ) = 3.84 x10-4

=E = (3.84 x10-4 ) ( 2 x106) = 768 Kg/cm2

=l = (3.84 x10-4) (50) = 0.0192 cmCONCLUSIONES De lo anterior podemos concluir que todos los elementos que interactan en una mquina o en una estructura estn sometidos a fuerzas externas las cuales producen en ellos esfuerzos internos los cuales pueden ser normales o de corte.


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Unidad III3.1 INTRODUCCIN.

Torsin.

En las unidades anteriores se estudi los esfuerzos y deformaciones en elementos sometidos a carga axial, es decir, a fuerzas dirigidas a lo largo del eje del elemento. En esta unidad, se estudiarn los elementos sometidos a torsin. Ms especficamente, analizaremos los esfuerzos y deformaciones en elementos de seccin circular, sometidos a pares torsores o momentos de torsin, T y T. Estos pares tienen una magnitud comn T y sentidos opuestos. Son vectores que pueden representarse con flechas curvas, como en la figura 3.1a o por vectores-par, como en la figura 3.1b.B

T'

T (a) A

T'

B

(b) A

T

Figura 3.1 Barra sometida a torsin donde se ilustran los momentos de torsin con vectores. Los elementos sometidos a torsin por la accin de pares torsores o momentos de torsin T producen esfuerzos los cuales no se distribuyen uniformemente dentro de una seccin. Por lo tanto para deducir las frmulas que rigen la torsin en el rango elstico, se deben considerar: la compatibilidad entre los esfuerzos en distintos puntos de la seccin y las deformaciones (Ley de Hooke). El equilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas y las fuerzas resistentes interiores en una seccin de exploracin. comprobacin de que lo anterior satisface las condiciones de carga del cuerpo (condiciones de frontera)APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

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De esta forma se podr obtener una solucin nica. 3.2 TORSIN EN ELEMENTOS CIRCULARES En muchas aplicaciones tecnolgicas se presenta la torsin de flechas circulares elsticas. Una muy comn es la flecha motriz de un automvil que transmite potencia del motor a las ruedas. Otro ejemplo, es la barra de torsin que se utiliza en la direccin delantera de algunos automviles. En este punto se deducen las ecuaciones bsicas para determinar el ngulo de torsin y la distribucin de esfuerzos en un elemento circular sometido a un momento o par de torsin segn se muestra en la figura 3.2

Figura 3.2 Barra cilndrica sometida a torsin donde se aprecia la desviacin angular y la distribucin de esfuerzos. Sus frmulas se basan en la siguientes hiptesis : Las secciones circulares permanecen circulares despus de la torsin Las secciones planas permanecen planas despus de la torsin (no se alabean) La proyeccin sobre una seccin transversal de una lnea radial de una seccin permanece radial despus de la torsinAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

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El elemento esta sometido a la accin de pares de torsin que actan en planos perpendiculares a su eje Los esfuerzos no sobrepasan los limites de proporcionalidad

Frmulas de Torsin Elstica de un Elemento Circular.

=

MtL GJ MtR J

(3.1)

mx =

(3.2)

J = R4 J = (R4 - r4) Donde:

eje eje

macizo hueco

= ngulo de torsinMt = Momento o par de torsin L = Longitud del elemento G = Mdulo de elasticidad al cortante (mdulo de rigidez) J = Momento polar de inercia del rea o seccin = Esfuerzo cortante D = Dimetro exterior del elemento d = Dimetro interior del elemento R = Radio exterior del elemento r = Radio interior del elemento.APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

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Para elementos de transmisin de potencia son aplicables: N = Mt

(3.3)(3.4)

Mt =Donde: N = Potencia = Velocidad angular f = Frecuencia de giro Problemas:

N 2f

1. Cuando se estaba perforando un pozo de petrleo a 6000 pies de profundidad, se observ que la parte superior de la tubera de acero de 8 pulgadas de dimetro exterior, de espesor de pared de 1 pulgadas, daba dos vueltas completas, antes de que el taladro comenzara a rotar. Usando G = 11 x 106 lb/pulg2, hallar el esfuerzo cortante mximo en el tubo causado por la torsin. 2. En un sistema de amortiguamiento se compone de un par de ejes conectados por medio de engranes rectos, considerando un mdulo de rigidez para el material de ambos rboles de 8.0 x 1010 N/m2 y que el esfuerzo cortante admisible es de 4.8 X 1010 N/m2, hallar el par torsor mximo que se puede aplicar en el extremo libre del sistema y el ngulo de distorsin mximo de ese ltimo eje. 50 60 Extremo fijo

12 10 20 20 Acot: mm


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3.3 TORSIN DE SECCIONES NO CIRCULARES Existen adems de los ejes circulares a torsin, otras formas de seccin para las que interesa calcular su esfuerzo y ngulo de torsin. Seccin elptica. El esfuerzo cortante mximo ocurre en los extremos del eje menor.

mx =

2M t a b2

ngulo de torsin de un extremo con respecto al otro

=

(a 2 + b 2 ) M t L a 3b 3G

2a

m

O

n

2b Donde: J = ( 2b (2a)3 + (2b)3(2a))/64 es el momento polar de inercia de la seccin. A=

bh4

es el rea de la seccin.

Tringulo equiltero: El esfuerzo mximo acontece en el centro de los lados.

mx =

20 M t b3

=

46 M t L b 4G

b

b

bHexgono regular: El esfuerzo mximo y el ngulo de torsin por unidad de longitud son

mx =

Mt 0.217 A d

=

Mt 0.13 Ad 2 G


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Octgono regular: El esfuerzo mximo y el ngulo de torsin por unidad de longitud se calculan por

mx =

Mt 0.217 Ad

=

Mt 0.13 Ad 2 G

Donde d es el dimetro del crculo inscrito y A el rea de la seccin.Cuadrado: El esfuerzo mximo y el ngulo de torsin por unidad de longitud se calculan por

mx =

4.81M t a3

=

7.10 M t L a 4G

a

a Donde a es el lado del cuadradoTrapecio issceles: Se puede obtener unos valores aproximados para el esfuerzo y el ngulo de torsin reemplazando el trapecio por un rectngulo B D equivalente. Desde el centro de gravedad se trazan perpendiculares a los lados laterales del trapecio y C despus se trazan las verticales que pasan por los puntos de interseccin de las perpendiculares y los lados laterales. Para calcular el esfuerzo cortante mximo y el ngulo de torsin se utilizan las ecuaciones utilizadas para el rectngulo.

Para cualquier eje macizo se obtiene un valor aproximado del ngulo de torsin reemplazando la seccin por otra elptica equivalente de la misma rea A y del mismo momento polar de inercia J.3.4 SECCIN DE PARED DELGADA CIRCULAR.

En el caso de un eje hueco redondo en que el dimetro interior es casi igual al dimetro exterior, se considera al eje como un tubo de pared delgada. Para tal tubo en torsin el momento polar de inercia de la seccin recta puede ser calculado con suficiente aproximacin por la frmulaAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

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J=

(d 32

4 e

d i4

)

y es preferible utilizar la expresin aproximadaJ = 2 dA = r 2 dA = 2 r 3 eA A

(a)

donde r es el radio de la circunferencia media y e es el espesor de pared. Entonces, admitiendo que en tal tubo de pared delgada la tensin de corte T sea uniforme a travs de la pared e igual al valor correspondiente al radio medio r, tenemos

=

Mt 2 r 2 e

(b)

De la misma manera, el ngulo de torsin del tubo ser M L MtL = t = GJ 2 r 3 e G El estado de cortante puro tal como el existente en el elemento A de la figura, es equivalente a traccin y compresin biaxiales en un elemento orientado con inclinacin de 45 respecto al eje geomtrico del tubo, lo mismo que el elemento B en la figura. De ello se deduce que una tira estrecha y larga de la pared que coincida con la hlice de 45 representada en la figura est sometida a compresin axial y, si la pared del tubo es muy estrecha, tal tira helicoidal puede encorvarse. Se puede poner de manifiesto este fenmeno enrollando una hoja de papel en forma de tubo y luego sometindola a torsin. El anlisis de este problema demuestra que para un tubo largo de acero bajo torsin, la condicin para evitar el peligro de pandeo con tensiones normales de trabajo es que la relacin e/r > 1/60 .

(c)

Figura 3.5 Cilindro de pared delgada.

Introduciendo en las ecuaciones las notaciones A0 = r2 - rea encerrada por la circunferencia mediaAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

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s = 2 r - longitud de la circunferencia media. Obtenemos:Mt 2 A0 e MtL 2 A0 G

=

(d)

=

(e)

3.5 ELEMENTOS ESTTICAMENTE INDETERMINADOS.

En puntos anteriores, para poder calcular los esfuerzos en un rbol era necesario calcular primero los momentos de torsin internos en las diferentes partes del rbol. Estos momentos se obtienen por medio de la esttica, trazando los diagramas de cuerpo libre de la porcin del rbol situada a un lado de un corte dado y escribiendo que la suma de los momentos de torsin ejercidos en esa porcin es cero. Hay situaciones, sin embargo, en las que los momentos de torsin internos no pueden ser determinados slo por la esttica. En efecto, en tales casos los momentos de torsin externos mismos, es decir, los momentos ejercidos sobre el rbol por los apoyos y conexiones, no pueden obtenerse del diagrama de cuerpo libre del rbol completo. Las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para ello y deben complementarse con relaciones que involucren las deformaciones del rbol y que se obtiene mediante anlisis geomtrico. Como esto sucede, se dice que los rboles son estticamente indeterminados. El ejemplo siguiente muestra como analizarlos.EJEMPLO. Un rbol acero circular AB con L = 250 mm y d = 20 mm, en el cual se ha perforado una cavidad de 125 mm de largo y 16 mm de dimetro, comenzando en el extremo B. El rbol est unido a soportes rgidos en los extremos y en la seccin media se aplica un momento de torsin de 120 Nm. Hallar el momento de torsin ejercido sobre el rbol por cada uno de sus soportes.MtA A A MtB 120 Nm B A MtA 120 Nm B Mt1 Mt2 MtB 120 Nm BAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

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Dibujando el D.C.L. y designando con MtA y con MtB a los momentos solicitados, obtenemos la ecuacin: MtA + MtB = 120 Nm Como no es suficiente para encontrar las incgnitas, es estticamente indeterminado. Sin embargo MtA y MtB pueden determinarse si observamos que el ngulo total de torsin del rbol debe ser cero, puesto que ambos extremos son rgidos. designando a 1 y 2, respectivamente, los ngulos de torsin de los segmentos AC y CB, tenemos = 1 + 2 = 0 En el diagrama de cuerpo libre de un pequeo segmento del rbol que incluye el extremo A, notamos que el momento de torsin interior Mt1 en AC es igual a MtA; en la figura, el diagrama de cuerpo libre de un pequeo segmento del rbol que incluye el extremo B, observamos que el momento de torsin interior Mt2 en CB es igual a MtB. Segn la ec. (3.1) y observando que los segmentos AC y CB del rbol estn torsionados en sentidos opuestos, escribimos = 1 + 2 = Despejando MtB, tenemosMt B = L1 J 2 Mt A L2 J 1 Mt A L1 Mt B L2 =0 J 1G J 2G

Sustituyendo los datos numricos L1 = L2 = 125 mm J1 = (10mm)4 = 15.71 X 103 mm4 J2 = [(10mm)4 - (8mm)4] = 9.27 X 103 mm4 escribimos MtB = 0.590 MtA Sustituyendo esta ecuacin en la ecuacin original de equilibrio, tenemos: MtA = 75.5 N m MtB = 44.5 N m


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Unidad IV4.1 INTRODUCCIN.

Flexin.

En esta unidad, analizaremos los esfuerzos y deformaciones en elementos prismticos sometidos en sus extremos a pares iguales y opuestos M y M', que actan en el mismo plano longitudinal (fig. 4.1). En la primera parte del captulo, supondremos que el elemento es simtrico con respecto al plano de los pares, como se muestra en la figura.

Figura 4.1 Bloque prismtico sometido a flexin.

Cuando un elemento es sometido a pares iguales y opuestos que actan en el mismo plano longitudinal, se dice que est sometido a flexin pura. Observamos que si se hace un corte a travs del elemento AB fig. 4.1, la condicin de equilibrio de la porcin AC del elemento requiere que las fuerzas elementales que actan en AC debidas a la otra porcin sean equivalentes al par M (fig. 4.2). Por lo tanto, las fuerzas internas en cualquier seccin transversal de un elemento en flexin pura son equivalentes a un par. El momento M de dicho par es conocido como momento /lector en la seccin. Seguiremos la convencin usual y asignaremos signo positivo a M cuando el elemento es flexado tal como se muestra en la fig. 4.1 y signo negativo cuando los sentidos de los pares M y M' son contrarios.

Figura 4.2 Bloque seccionado donde se aprecian la fuerzas elementales y su momento equivalente.APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

22

Un ejemplo de un elemento en flexin pura se encuentra en la porcin BC de la viga AD ilustrada en la fig. 4.3a. Haciendo un corte a travs de un punto arbitrario E localizado entre B y C y dibujando los diagramas de cuerpo libre de AD y AE (figs. 4.3b y c) verificamos que las fuerzas internas que actan en cualquier seccin transversal localizada entre B y C deben ser equivalentes a un par de 36 kNm.Figura 4.3 Viga simplemente apoyada.

El nmero relativamente reducido de aplicaciones en ingeniera donde se encuentra la flexin pura no justifica por s solo dedicarle todo un captulo a este tipo de carga. Los resultados que obtendremos, sin embargo, pueden ser aplicados al anlisis de otros tipos de carga, tales como la carga axial excntrica y la transversal. Como vimos en la sec. 1.2, las fuerzas internas en una seccin de un elemento sometido a una carga axial excntrica son equivalentes a una fuerza P aplicada en el centroide de la seccin y a un par M (fig. 4.4). Usando el principio de superposicin, podremos combinar nuestro conocimiento de los esfuerzos bajo una carga axial centrada y los resultados de nuestro posterior anlisis de esfuerzos en flexin pura para obtener la distribucin de esfuerzos bajo una carga excntrica. El estudio de la flexin pura tambin desempea un papel importante en el anlisis de vigas, i.e., en el estudio de elementos prismticos sometidos a cargas transversales. Consideremos, por ejemplo, una viga en voladizo AB que soporta una carga concentrada P en su extremo libre (fig. 4.5a). Si hacemos un corte a travs del punto C a una distancia x de A, notamos en el diagrama de cuerpo libre de AC (fig. 4.4) que las fuerzas internas en la seccin consisten en una fuerza P' igual y opuesta a P y un par M de magnitud M=Px. Como veremos ms adelante, la distribucin de esfuerzos cortantes depende de P y la distribucin de esfuerzos normales depende de M y es al misma que si se tratara de una viga en flexin pura.4.2 DISCUSIN DE LOS ESFUERZOS EN FLEXIN PURA

Usaremos los mtodos de la esttica para deducir las relaciones que deben ser satisfechas por los esfuerzos ejercidos en cualquier seccin transversal de un elemento prismtico en flexin pura. Designando por ax el esfuerzo normal en un punto de la seccin 23


transversal y por xy y xz las componen del esfuerzo cortante, estableceremos que el sistema de fuerzas internas elementales ejercidas en la seccin es equivalente al par M (fig. 4.6).

Figura 4.4 Viga empotrada libre.

Figura 4.5 Elemento con carga axial excntrica.

Figura 4.6 Fuerzas elementales internas que muestran la equivalencia con el momento M.

Recordamos de la esttica que un par M consta de dos fuerzas iguales y opuestas. La suma de las componentes de estas fuerzas en cualquier direccin es, por lo tanto, igual a cero. Adems, el momento de un par es el mismo con respecto a cualquier eje perpendicular a su plano y es cero con respecto a cualquier eje contenido en dicho plano. Escogiendo arbitrariamente el eje z, como se muestra en la fig. 4.6, expresamos la equivalencia de las fuerzas elementales internas y del par M estableciendo que las sumas de 24APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

las componentes y de los momentos de las fuerzas elementales son iguales a correspondientes componentes y momentos del par M: (4.1) (4.2) (4.3)

los

Dos puntos importantes a resaltar: 1. el signo menos en la ecuacin se debe a que un esfuerzo de traccin (x > 0) conduce a un momento negativo (en el sentido de las manecillas del reloj) con respecto al eje z. 2. La ecuacin para y se vuelve trivial si el elemento es simtrico con respecto al plano que contiene el momento M.4.3 DEFORMACIONES EN UN ELEMENTO SIMTRICO EN FLEXIN PURA

Analizaremos ahora las deformaciones de un elemento prismtico que posee un plano de simetra y es sometido en sus extremos a pares iguales y opuestos M y M' que actan en el plano de simetra. El elemento se flexar bajo la accin de los pares, pero permanecer simtrico con respecto a dicho plano (fig. 4.7). Ms an como el momento flector M es el mismo en cualquier seccin transversal, el elemento se flexar uniformemente.Figura 4.7 Elemento simtrico bajo la accin de pares.

Por lo tanto, a AB, a lo largo de la cual la cara superior del elemento intersecta el plano de los pares, tendr una curvatura constante. En otras palabras, la lnea AB que originalmente era una lnea recta, se transformar en un crculo de centro C, y lo mismo ocurrir lnea A'B' (no ilustrada en la figura) a lo largo de la cual la cara inferior del elemento intersecta el plano de simetra. Tambin notamos que la lnea AB disminuye en longitud cuando el elemento es flexado como se muestra en la figura, es decir, cuando M > 0, mientras que A'B' se vuelve ms larga. En seguida probaremos que cualquier seccin transversal perpendicular al eje del elemento permanece plana y que el plano de la seccin pasa por C. Si ste no fuera el caso, podramos encontrar un punto E de la seccin original a travs de D (fig. 4.8a) el cual despus de que el elemento ha flexado no caera en el plano perpendicular al plano de simetra que contiene la lnea CD (fig. 4.8b). Pero, debido a la simetra del elemento, habraAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

25

otro punto E que podra ser transformado exactamente de la misma manera. Supongamos que, despus de que la viga ha flexado, ambos puntos estuvieran localizados a la izquierda del plano definido por CD, tal como se muestra en la fig. 4.8b. Puesto que el momento flector M es el mismo a lo largo del elemento, la misma situacin prevalecera en otra seccin transversal y los puntos correspondientes a E y E tambin se moveran hacia la izquierda.Figura 4.8 Elemento flexado donde se aprecia el desplazamiento de los puntos en una seccin transversal.

Supngase que el elemento es dividido en un gran nmero de pequeos elementos cbicos con caras respectivamente paralelas a los tres planos coordenados. La propiedad que hemos establecido requiere que estos elementos sean transformados como se muestra en la fig. 4.9, cuando el elemento es sometido a los pares M y M'. Puesto que las caras representadas en las dos proyecciones de la fig. 4.9 estn a 90" la una con la otra, concluimos que xy = zx = 0 y, por lo tanto, que xy = xz = 0. Respecto a los tres componentes del esfuerzo que no hemos discutido llamados y, z, y yz, notamos que deben ser iguales a 0 en la superficie del elemento. Puesto que, por otra parte, las deformaciones involucradas no requieren ninguna interaccin entre los elementos de una seccin transversal, supondremos que estas tres componentes del esfuerzo son iguales a cero a lo largo de todo el elemento. Esta suposicin es verificada, por evidencia experimental y por la teora de la elasticidad, para elementos esbeltos que sufren pequeas deformaciones. Concluimos que la nica componente del esfuerzo diferente de cero que acta en cualquiera de los elementos cbicos considerados aqu es la componente normal x. Por lo tanto, en cualquier punto de un elemento esbelto en flexin pura, tenemos un estado uniaxial de esfuerzo. Recordando que, para M > 0, se observa que las lneas AB y A'B' disminuyen y aumentan respectivamente en longitud, notamos que la deformacin x y el esfuerzo x son negativos en la porcin superior del elemento (compresin) y positivos en la porcin inferior (traccin).


26

Se sigue de la anterior discusin que debe existir una superficie paralela a las caras superior e inferior del elemento, donde x y x sean cero.Figura 4.9 Elemento dividido en pequeos elementos cbicos adyacentes.

Esta se llama superficie neutra. La superficie neutra intersecta el plano de simetra a lo largo de un arco de crculo DE (fig. 4.10a) e intersecta una seccin transversal a lo largo de una lnea recta llamada eje neutro de la seccin (fig. 4.10b). Seleccionaremos ahora el origen de coordenadas sobre la superficie neutra, en vez de ubicarlo en la cara inferior del elemento como lo hicimos anteriormente, de tal manera que la distancia de cualquier punto a la superficie neutra se medida por la coordenada y.

Denotando por el radio del arco DE y considerando que DE es igual a L del elemento no deformado, se tiene L= para JK L = ( y) = L L = - y (4.4) (4.5) (4.6)

Sustituyendo:Figura 4.10 elemento donde se aprecia elAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

27

= ( y) - = -y

(4.7)

eje neutro de la seccin transversal.

La deformacin unitaria longitudinal x en los elementos de JK se obtiene dividiendo por la longitud original L de JK. Escribimos

x =

L

=

y

o

x =

y

(4.8)

El signo menos se explica por el hecho de que hemos supuesto un momento flector positivo y, por lo tanto, la viga ser flexada con concavidad hacia arriba. La deformacin x alcanza su mximo valor absoluto cuando y es mximo. Denotando por c la mxima distancia desde la superficie neutra ( que corresponde a la superficie superior o inferior del elemento) y por m el mximo valor absoluto de la deformacin, se tiene

m =

c

(4.9)

despejando y sustituyendo en la ecuacin anterior, se puede escribir

x = m

y c

(4.10)

4.4 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN LA ZONA ELSTICA

Consideraremos ahora el caso cuando el momento flector tal que los esfuerzos normales en el elemento permanecen por debajo de la resistencia a la fluencia y. Esto significa que, para todos los propsitos prcticos, los esfuerzos en el elemento permanecern por debajo del lmite de proporcionalidad y del lmite elstico tambin. No habr deformacin permanente y se aplicar la ley de Hooke para esfuerzo uniaxial. Suponiendo que el material es homogneo y designando por E su mdulo de elasticidad, tenemos en la direccin longitudinal x

x = E x

(4.11)

Recordando la ecuacin de (4.10) y multiplicando ambos miembros de dicha ecuacin por E, escribimos y E x = (E m ) c o usando (4.11) y c

x = mAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

(4.12) 28

donde m denota el mximo valor absoluto del esfuerzo. Este resultado muestra que, en la zona elstica, el esfuerzo normal vara linealmente con la distancia desde la superficie neutra (fig. 4.11).Figura 4.11 Distribucin de esfuerzos en un elemento sometido a flexin.

Debera notarse que, en este punto, no conocemos la localizacin de la superficie neutra ni el mximo valor m del esfuerzo. Ambos pueden ser encontrados si recordamos las relaciones que se obtuvieron anteriormente de la esttica. Sustituyendo primero x de (4.12) en (4.1), escribimos

de donde se establece que

y dA = 0

(4.13)

Esta ecuacin muestra que el momento de primer orden de una seccin transversal con respecto a su eje neutro debe ser cero. En otras palabras, para un elemento sometido a flexin pura, siempre y cuando los esfuerzos permanezcan en la zona elstica, el eje neutro pasa por el centroide de la seccin. Ahora recordemos la ec. (4.3) deducida en la sec. 4.2 con respecto a un eje horizontal arbitrario z:

( y

x

dA) = M

Especificando que el eje z debe coincidir con el eje neutro de la don transversal, sustituimos x de (4.12) en (4.3) y escribimos

( y ) c mc

y

m

dA = M

y

2

dA = M

(4.14)


29

Pero la integral representa el momento de segundo orden o momento de inercia, I, de la seccin transversal con respecto al eje neutro. Despejando (4.14) para m, escribimos por lo tanto

m =

Mc I

(4.15)

Sustituyendo m de (4.15) en (4.12), obtenemos el esfuerzo x a cualquier distancia y del eje neutro:

x =

My I

(4.16)

Las ecuaciones (4.15) y (4.16) se conocen como frmulas de la flexin elstica, y el esfuerzo normal x causado por la "flexin" del elemento es a menudo llamado esfuerzo de flexin o flexionante. Verificamos que el esfuerzo es de compresin (x < 0) por encima del eje neutro (y > 0) cuando el momento flector M es positivo y de traccin cuando M es negativo. Retornando a la ec. (4.15), notamos que la relacin I/c depende nicamente de la geometra de la seccin transversal. Esta relacin se llama mdulo elstico de seccin y se denota por S. Tenemos I Mdulo elstico de seccin = S = (4.17) c Sustituyendo S por I/c en la ec. (4.15), escribimos esta ecuacin en la forma alterna

x =

M S

(4.18)

4.5 DEFLEXIN EN VIGAS POR INTEGRACIN.

En la seccin 4.3 se vio que una viga prismtica sometida a flexin pura, adquiere una forma deformada circular y que, dentro del intervalo elstico, la curva de la superficie neutra puede expresarse como 1

=

M EI

(4.19)

siendo M el momento flector, E el mdulo de elasticidad e I el momento de inercia de la seccin transversal, relativo a su eje neutro. Cuando una viga est sometida a carga transversal, la ec. (4.19) continua siendo vlida para cualquier seccin transversal, siempre que se aplique el principio de Saint30


Venant. Sin embargo, tanto el momento flector como la curvatura de la superficie neutra variar de una seccin al extremo izquierdo de la viga, escribimos 1

=

M (x ) EI

(4.20)

Sea, por ejemplo, una viga en voladizo AB de longitud L, sometida a una carga concentrada P en su extremo libre A (fig. 4.12a). Tenemos M(x) = - Px y sustituyendo en (4.20), 1

=

Px EI

que muestra que la curvatura de la superficie neutra vara linealmente con x desde cero en A, en donde A es infinito, hasta (-PL/EI) en B, donde |B| = (EI/PL), (fig.4.21 b).

P A L (a)

B x

P A A=o

B x

B (b)

Figura 4.12 Viga en voladizo donde se aprecia la deformacin en el extremo.

Consideremos ahora la viga con un extremo en voladizo AD (figura 4.13) que soporta dos cargas concentradas tal como se muestra. Del diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 4.14a), encontramos que las reacciones en los apoyos son RA = 1 KN y RC = 5 KN, respectivamente, y dibujamos el diagrama de momentos flectores correspondiente (figura 4.14b). Observamos en el diagrama que M, y por lo tanto la curvatura de la viga, son nulos en ambos extremos de la viga y tambin, en el punto E, localizado en x = 4 m. Entre A y E el momento flector es positivo y la viga es cncava hacia arriba; entre E y D el momento flector es negativo y la viga es encava hacia abajo (fig. 4.14c). Observamos tambin que el mayor valor de la curvatura (es decir, el valor ms pequeo del radio de curvatura) ocurre en el apoyo C, en donde |M| es mximo.


31

De la informacin obtenida sobre su curvatura, podemos adquirir una buena idea de la forma de la viga deformada. Sin embargo, el anlisis y el diseo de una viga generalmente requieren informacin ms precisa sobre la deflexin y la pendiente de la viga en diferentes puntos. De particular importancia es el conocimiento de la deflexin mxima de la viga. En este captulo usaremos la ec. (4.20) para obtener una relacin entre la deflexin y medida en un punto dado Q en el eje de la viga y la distancia x desde e1 punto a algn origen fijo (fig. 4.15). La relacin obtenida es la ecuacin de la curva elstica, es decir, la ecuacin de la curva en la cual se convierte el eje de la viga, cuando se le aplica la carga (Fig. 8.4b).

Figura 4.13 Viga con extremo en voladizo.

Figura 4.14 Diagramas de cuerpo libre de momentos flectores y deformaciones.

Figura 4.15 Curva elstica donde se aprecia la deformacin debida a las cargas.

4.5.1 ECUACIN DE LA CURVA ELSTICA

Primeramente, recordemos del clculo elemental, que la curvatura de una curva plana en un punto Q (x,y), puede expresarse como:1 d2y dx 2 `dy 2 1 + dx 3 2

=

(4.21)


32

donde dy/dx y d2y/dx2 son la primera y segunda derivadas de la funcin y(x) representada por dicha curva. Pero, en el caso de la curva elstica de una viga, la pendiente dy/dx es muy pequea y su cuadrado es despreciable comparado con la unidad. Podemos escribir entonces:d2y = dx 2 1

(4.22)

Sustituyendo 1/ de (4.22) en (4.20) tenemosd 2 y Mx = EI dx 2

(4.23)

La ecuacin diferencial obtenida es lineal ordinaria y de segundo orden; es la ecuacin diferencial fundamental de la curva elstica. El producto El es la rigidez a la flexin y, si vara a lo 1argo de la viga, como ocurre con una viga de altura variable, debemos expresarla en funcin de x antes de proceder a integrar la ec. (4.23). Sin embargo, en el caso de una viga prismtica, que es el caso considerado aqu, la rigidez a la flexin es constante. Podemos entonces multiplicar los dos miembros de la ec. (4.23) por EI e integrar en x. Escribimosdy EI = M ( x) dx + C1 dx 0x

(4.24)

en donde Ci es la constante de integracin. Designando por (x), el ngulo, medido en radianes, que la tangente en Q a la curva elstica forma con la horizontal (fig. 4.16), y recordando que ste ngulo es muy pequeo, tenemosdy = tan ( x) dx

As, podemos escribir la ec. (4.24) en la formaEI ( x) = M ( x) dx + C10 x

(4.24)

Integrando ambos miembros de la ec. (4.24) con respecto a x, tenemosx x EI y = M ( x) dx + C1 dx + C 2 0 0


33

EIy = dx M ( x) dx + C1 x + C 20 0

x

x

(4.25)

en donde C2 es una segunda constante y el primer trmino del segundo miembro representa la funcin de x obtenida integrando dos veces el momento flector M(x). Si no fuera por el hecho de que Ci y C2 estn todava indeterminadas, la ec. (4.25) definira la deflexin de la viga en cualquier punto Q y las ecs. (4.24) y (4.24') definiran anlogamente la pendiente de la viga en Q.Figura 4.16 tangente que se forma con la curva elstica y la horizontal.

Las constantes C1 y C2 se determinan con base en las condiciones de contorno , ms precisamente, en las condiciones impuestas en la viga por sus apoyos. Limitndonos en esta seccin a vigas estticamente determinadas, es decir, a vigas apoyadas de tal manera que las reacciones en los apoyos pueden obtenerse por los mtodos de la esttica, observamos que slo tenemos que considerar tres tipos de vigas (fig 4.17): (a) la viga simplemente apoyada, (b) la viga simple con un extremo en voladizo y (c) la viga en voladizo.

Figura 4.17 Condiciones de contorno para vigas estticamente determinadas.

En los primeros dos casos, los apoyos constan de un pasador y un soporte en A y de un rodillo en B y requieren que la deflexin sea cero en cada uno de estos puntos. Haciendo x = xA, y = yA en la ec. (4.25) y luego en x = xB , y = yB = 0 en la misma ecuacin, obtenemos dos ecuaciones que pueden ser resueltas para C1, y C2. En el caso del voladizo (fig. 4.17c) notamos que tanto la deflexin como la pendiente en A deben ser cero. Haciendo x = xA , y = yA = 0 en la ec. (4.25) y x = xA, = A = 0 en la ec. (4.24) obtenemos de nuevo dos ecuaciones de las cuales se pueden determinar C1 y C2.


34

PROBLEMAS: 4.1 a 4.6 En las vigas mostradas, dibuje los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores, asimismo determine el valor de los esfuerzos mximos producidos considerando las condiciones de su seccin.

1.3 m 800 lb/ft 2.5 Klb 5 ft B 2.3 ft 2.3 ft C1 4p lg

4.5 Klb 2 ft D

550 Kg 0.3 m 0.3m B 250 Kg/m C 0.15 x 0.32 m t = 10 mm

2.8 ft

A

A

Figura P4.11200 N/m 2.5 KN 1.2 m A 0.1m B 0.1m C 100x250 mm 0.6 m 4.5 KN 0.2 m D A

Figura P4.40.85 m 0.4 m 0.25m 0.6 m 840 Kg/m 2.5 KN

B 0.25 m t = 8 mm 2.5 ft

C

D

Figura P4.58.5 ft 4 ft 500 Kg 0.2 m C 0.1 x 0.25 m t = 12 mm A B

Figura P4.2300 Kg/m 450 Kg 0.1 m 0.1m B 0.6 m

6 ft 4.4 Klb/ft

2.5 Klb

C 10x10 plg

D

E

A

Figura P4.6

Figura P4.3

4.7 a 4.12 En los problemas anteriores, determine la deformacin mxima producida considerando un valor de E = 200 GPa = 2.1 x106 Kg/mm2 = 30 x106 psi. Emplee el mtodo de doble integracin

35 APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRIGUEZ BELLO

Unidad V5.1 INTRODUCCIN.

Esfuerzos Combinados.

En captulos anteriores se han estudiado tres tipos bsicos de cargas: axiales, de torsin y de flexin. Cada uno de ellos se consider que actuaba aisladamente sobre la estructura. En esta unidad, analizaremos los casos en que actan conjuntamente dos o ms de estos esfuerzos. Los tres tipos fundamentales de cargas y sus correspondientes frmulas se resumen en las siguientes: Esfuerzo por carga axial: Esfuerzo por carga de torsin: Esfuerzo por carga de flexin:

P A Mr = t j My f = I

a =

Hay cuatro combinaciones posibles de cargas: 1) axial y flexin; 2) axial y torsin; 3) torsin y flexin, y 4) axial, torsin y flexin. Comencemos por el caso (1) de combinacin de esfuerzos normales . En todos los dems casos interviene esfuerzos normales y cortantes, por lo que requieren un estudio preliminar.5.2 TEORAS DE FALLA. 5.2.1 FRACTURA FRGIL Y DCTIL. * Fractura Dctil.

Por lo general, las fallas dctiles se presentan cuando el material de un componente se sujeta a esfuerzos excesivos. Debido a esto, la s fallas dctiles son fracturas de energa relativamente alta; durante su desarrollo tienden a absorber energa. Este tipo de falla se caracteriza por la propagacin estable de grietas, lo que significa que si se retira la carga q8ue produce grietas, cesa la propagacin de estas.

Figura 5.2. Elemento que muestra una falla dctil donde se aprecia la deformacin previa a la fractura. 36APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

* Fractura Frgil.

Las fallas frgiles se presentan de modo repentino con muy pocas o ninguna seal externa de la fractura inminente. Este tipo de falla se presenta a esfuerzos menores que la resistencia de fluencia. Con frecuencia las fallas frgiles estn asociadas con grietas o con otros defectos del material y en contraste con el comportamiento dctil, se caracteriza por una absorcin muy maja de energa y ausencia de deformacin plstica visible. Un ejemplo de ello es una pieza de cristal, la cual despus de la fractura se podra ensamblar como un rompecabezas. Carga A (PQ) o PMX A PMX

(PQ)

PMX = (PQ)

Dctil

Intermedio

Frgil

0 0 0 Desplazamiento Figura 5.3. Grfica carga-desplazamiento que muestra los diferentes tipos de fallas, donde se aprecia en cual hay deformacin previa a la fractura.

Figura 5.4. Elemento que muestra una falla frgil donde se aprecia que no hay deformacin previa a la fractura. 5.2.2 PRINCIPALES TEORAS DE FALLA. * Teora de los esfuerzos principales. (Esfuerzo Normal mximo)

Este criterio considera que, un componente de mquina estructural dado falla cuando el esfuerzo normal mximo de dicho componente alcanza la resistencia final yAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

37

obtenida de un ensayo a traccin de una probeta del mismo material. Por lo tanto, el componente estructural estar seguro siempre y cuando los valores absolutos de los esfuerzos principales a y b sean ambos menores que y: a < y ; b < y

El criterio del esfuerzo normal mximo puede expresarse grficamente como se muestra en la figura.

b y

-y -y

y

a

Si el punto obtenido graficando los valores de a y b de los esfuerzos principales caen dentro del cuadro mostrado en al figura, el componente estructural es seguro, si cae fuera del rea, el componente fallar. (Mecnica de Materiales, Beer & Johnston, McGraw Hill) La combinacin de esfuerzos Normal y por corte que genera la tensin normal mxima, recibe el nombre de Esfuerzo principal mximo, 1. La magnitud de 1 se puede calcular por medio de la ecuacin siguiente:

1 =

x + y2

x y + 2

+ ( xy )2

2

La combinacin de esfuerzos que se aplica, la cual genera la tensin normal mnima, recibe el nombre de Esfuerzo principal mnimo, 2. Su magnitud puede calcularse a partir de:

2 =

x +y2

x y 2

+ ( xy )2

2

Particularmente en anlisis experimental de esfuerzos, es importante, conocer la direccin de los esfuerzos principales. El ngulo de inclinacin de los planos, en los cuales ejercen accin los esfuerzos principales, a los que se da el nombre de planos principales, se pueden encontrar a partir de la ecuacin 38


2 xy = 1 2 arctan x y El ngulo se mide a partir del eje x positivo del elemento original que genera tensin hasta el esfuerzo principal mximo 1. As, el esfuerzo principal mnimo 2, est en el plano 90 a partir de 1. Cuando el elemento que genera tensin est orientado tal como se analiz de manera que los esfuerzos principales actan sobre l, el esfuerzo por corte es cero. y

2

1

x

1

2

* Teora del esfuerzo cortante mximo. (mximo esfuerzo tangencial).

Este criterio est basado en la observacin de que la fluencia en materiales dctiles es causada por el deslizamiento del material a lo largo de superficies oblicuas y se debe primordialmente a esfuerzos cortantes. De acuerdo con este criterio, un componente estructural dado es seguro siempre y cuando el valor mximo mx del esfuerzo cortante en dicho componente permanezca menor que el correspondiente valor del esfuerzo cortante en una probeta a traccin del mismo material cuando esta empieza a fluir. Recordando que el valor mximo del esfuerzo cortante bajo carga axial centrada, es igual a la mitad del valor del correspondiente esfuerzo normal axial, concluimos que el esfuerzo cortante mximo en una probeta a traccin es y cuando la probeta empieza a fluir. Por otra parte, vimos que para el esfuerzo plano, el valor mximo mx del esfuerzo cortante es igual a mx si los esfuerzos principales son positivos o ambos negativos y a (mx mn ) si el esfuerzo mximo es positivo y el esfuerzo mnimo es negativo. Por lo tanto, si los esfuerzos principales a y b tienen el mismo signo, el criterio del esfuerzo cortante mximo da a < y ; b < y

Si los esfuerzos principales a y b tienen signos opuestos, el criterio del esfuerzo cortante mximo resulta 39


a b < y En una orientacin distinta al elemento que genera tensin surgir el esfuerzo mximo por corte. Su magnitud se puede calcular a partir de

mx

x y = 2

+ ( xy )2

2

El ngulo de inclinacin del elemento en el que se genera el esfuerzo mximo por corte se calcula de la siguiente forma: y = 1 2 arctan x 2 xy El ngulo entre el elemento principal que genera esfuerzos normales y el elemento que genera el esfuerzo mximo de corte es siempre 45. En el elemento que genera el esfuerzo mximo de corte, habr esfuerzos normales de igual magnitud que actan en sentido perpendicular a los planos en los que ejercen accin los esfuerzos mximos de corte, estas tiene el valor de

2 Ntese que este es el promedio de los dos esfuerzos que se aplican.PROBLEMA.

=

x y

Un rbol se apoya entre dos cojinetes y soporta dos ruedas o coronas dentadas para cadena, las tensiones en la cadenas ejercen fuerzas horizontales en el rbol, ello tiende a flexionarlo en el plano xy. La rueda dentad en C ejerce un momento de torsin igual pero opuesto sobre el rbol. Para la condicin de carga que se muestra, determine la condicin de esfuerzos en el elemento K de la superficie frontal del rbol (en el lado z positivo) justo ala derecha de la rueda dentada B. 1) Determine los esfuerzos en el elemento K en le plano xy y muestre los esfuerzos en el elemento que se genera. 2) Calcule los esfuerzos principales en el elemento y los sentidos en que actan. 3) Dibuje el elemento que genera tensin sobre el cual ejercen accin los esfuerzos principales y muestre su orientacin respecto al eje original x. 4) calcule el esfuerzo mximo de corte en el elemento y la orientacin del plano sobre el cual acta. 5) Dibuje el elemento que genera esfuerzo sobre el cual acta el esfuerzo mximo por corte y muestre su orientacin respecto al eje original x.APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

40

A B 101.6 mm K 101.6 mm 50.8 mm D Mt = 12700 Kg mm C

arb = 31.75 mm

Solucin: D.C.L. z RA 175 Kg 101.6 A B 75 0 0 250 Kg 101.6 C 125 Kg 50.8 D 200x

RD = 200 Kg.

175 0

0

10160 Kg mm

17780 Kg mm 41


x =

Mc (17780 )(15.875) = 5.6585 Kg/mm2 = 4 I (31.75) 64

xy =

Mr (12700)(15.875) = = 2.021 Kg/mm2 4 J (31.75) 32 y

y = 05.6585 Kg/mm2 O x

xy = 2.021 Kg/mm2Para el esfuerzo normal mximo:

1 =

x + y2

x y + 2

+ ( xy )2

2

1 =

5.6585 5.6585 2 + + (2.021) 2 2

2

1 = 6.3061 Kg/mm22 = x +y2 x y 2 2

+ ( xy )2

2

5.6585 5.6585 2 2 = + (2.021) 2 2

2 = 0.6476 Kg/mm2APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

42

y

= arc tan [2 xy /( x y )] = arc tan [2 (2.021)/( 5.6585 )]x 17.769 6.306 Kg/mm2 0.6476 Kg/mm2 Para el Cortante Mximo.

= 17.769

mx

x y = 2

+ ( xy )2 2

2

mx

5.6585 2 = + (2.021) 2

mx = 3.477 Kg/mm2 = arc tan [( y y ) / 2 xy] = arc tan [5.6585 / (2*2.021)] = 27.23

2 = 0.6476 Kg/mm227.23

mx = 3.477 Kg/mm2

* Teora de la deformacin Normal mxima.

De acuerdo con este criterio, un componente estructural dado es seguro siempre y cuando el valor mximo de la deformacin normal en dicho componente sea menor que u de la deformacin con la cual una probeta de prueba a traccin del mismo material fallar. Pero, como se mostrar, la deformacin es mxima a lo largo de uno de los ejes principales de esfuerzo, si le deformacin es elstica y el material homogneo e isotrpico. Por loAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

43

tanto, designando por a y b los valores de la deformacin normal a lo largo de los ejes principales en el plano de esfuerzo, escribimos a < b ; b < b

Usando la ley generalizada de Hooke, podemos expresar estas relaciones en funcin de los esfuerzos principales a y b y de la resistencia final u del material. Encontramos que, de acuerdo con el criterio de la deformacin normal mxima, el componente estructural es seguro siempre y cuando el punto obtenido graficando a y b caiga dentro del rea mostrada, donde es la Relacin de Poisson para el material dado.

b u

= u 1 u a

l l

u 1 +u u Para los esfuerzos normales.1 ( x + y ) + (1 + ) = 2 x y 2

=

E

+ ( xy )2

2

* Teora del mximo trabajo de deformacin.

Para esta teora, consideremos una barra BC de longitud L y de seccin transversal uniforma A, unida en B a un apoyo fijo y sometida en C a una carga axial P, incrementada gradualmente. Ahora, si trazamos la magnitud de P de la carga contra el alargamiento x de la barra, obtenemos un cierto diagrama carga-alargamiento que es caracterstico de al barra BC. Consideremos ahora el trabajo dU hecho por la carga P, cuando la varilla seAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

B L

C

A

x B C P44

alarga en dx. Este trabajo elemental es igual al producto de la magnitud P de la carga y del pequeo alargamiento dx. Escribimos

dU = P dxP P

0

x

0 x dx

x1

x

Y notamos que la expresin obtenida es igual al elemento de rea de ancho dx localizado bajo el diagrama carga-deformacin. El trabajo total hecho por la carga, cuando la varilla experimenta un alargamiento x1 es

U = Pdx0

x1

y es igual al rea por debajo del diagrama carga-deformacin entre x = 0 y x = x1. El trabajo hecho por la carga P, cuando es aplicada lentamente a la varilla, debe resultar en el aumento de cierta energa asociada con la deformacin de la barra. Esta energa es la llamada energa de deformacin. Tenemos por definicin Energa de deformacin = U =

x1

0

Pdx

Recordemos que trabajo y energa deben expresarse en unidades que se obtienen multiplicando unidades de longitud por una fuerza. Nm=J lb pe o lb plg. En el caso de la deformacin lineal y elstica, la porcin del diagrama carga-deformacin involucrado, puede representarse por medio de una recta cuya ecuacin esAPUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

45

P=kx P

P1

U=

1 P x1 1 2

0 x1 Remplazando a P en la ecuacin tenemos

U = kxdx =0

x1

1 2 x1 2

1 U = P x1 1 2siendo P1 el valor correspondiente a la deformacin x1. El concepto de energa de deformacin es particularmente til en al determinacin de los efectos de cargas de impacto en estructuras, o en componentes de mquinas. Consideremos un cuerpo de masa m, que se mueve a una velocidad v0 y golpea el extremo de la varilla B, suponiendo que no hay disipacin de energa durante el impacto y despreciando la inercia de los elementos de la varilla, encontramos que la energa mxima de deformacin Um adquirida por la varilla es igual a la energa cintica original

T = m v02del cuerpo en movimiento.


46

U=0 =0 A B C vP A U = Um = m1 2 1 mv 0 = Px 2 22 mv 0 P= x

T=

1 2 mv0 2

B T=0 v=0

5.3 COMBINACIN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIN.

La viga simplemente apoyada de la figura 5.1-a, soporta una carga concentrada Q. Supongamos una que la viga est unida a los apoyos en el centro de gravedad de las secciones extremas. En el punto A, el esfuerzo normal de flexin es = My/I. Es una tensin dirigida perpendicularmente al plano de la seccin recta, como se indica en la figura, y la fuerza que acta en sobre re un elemento diferencial de rea A es f dA. Si la misma viga apoyada en la misma forma se somete a la accin de una fuerza axial P (Fig. 5.1-b), los esfuerzos axiales se distribuyen uniformemente sobre cualquier seccin transversal. Su valor es = P/A y tambin es una tensin perpendicular a la seccin recta. la fuerza que acta en el mismo elemento es a dA. 47


Si ambas cargas actan simultneamente en la viga (Fig. 5.1-c), el esfuerzo resultante en a se obtiene como superposicin de los dos efectos aislados. En efecto, la fuerza resultante que acta sobre el elemento diferencial A es el vector suma de las fuerzas coaxiales f dA y a dA. Dividiendo esta fuerza entre el rea dA se deduce el esfuerzo resultante = a + f dirigido perpendicularmente a la seccin recta.Q m E. N. A n y

R1

R2

A

y

(a) Esfuerzo por flexinm P A n P Seccin m-n

f dA

E. N.

(b) Esfuerzo axialQ

y A Seccin m-n

a dA

m P B

f ay

P

B y

E. N.

A n

y

f dAy

R1

f + a

R2

a dA f dA a dA

(c) Esfuerzo axial y por flexin combinados (Obsrvese el desplazamiento de la lnea de esfuerzo nulo).

A

Seccin m-n

Figura 5.5 Diagrama que muestra el efecto de superposicin de esfuerzos al combinarse flexin con carga axial.

Anlogamente, en el punto B de la misma seccin, tambin a una distancia y de la lnea neutra, pero encima de ella, el esfuerzo resultante es la diferencia entre los esfuerzos axial y por flexin. Si a los esfuerzos de tensin se les da signo positivo y a los de compresin, negativo, el esfuerzo resultante en un punto cualquiera de la viga viene dado por al suma algebraica de los esfuerzos axial y de flexin en dicho punto:

= a f

=

P My A I

(5.1) 48


Obsrvese que el esfuerzo axial puede ser de tensin o de compresin. Este es el motivo de poner los signos positivo y negativo delante de P/A, y rodearlos con un crculo es para recordar que el esfuerzo axial es uniforme en toda la seccin. En la ecuacin 5.1 se ha aplicado el mtodo de superposicin. Ahora bien, hay que tener en cuenta la modificacin que la carga axial puede introducir en el momento flexionante, como se aclarar posteriormente. La figura 5.2 muestra muy exagera-damente la flexin producida por una carga transversal Q en una viga. Si P es de tensin, como en la figura 5.2, el momento flexionante producido por P en cualquier seccin, y que vale P, tiende a disminuir el momento producido por Q y, por tanto, reduce los esfuerzos por flexin, y al contrario ocurre si se trata de una compresin axial. En otras palabras, los valores dados por la ecuacin (5.1) son algo mayor que los reales si P es de compresin y menores que los reales si P es una tensin. Este efecto es despreciable, si las barras o elementos estructurales son tan rgidos que los esfuerzos producidos por P son muy pequeos frente a los producidos por el momento flexionante de las fuerzas transversales Q, es decir, si las deflexiones son muy pequeas. Pero si las barras son largas y flexibles, el efecto puede tener su importancia y deben emplearse otros procedimientos ms exactos de clculo.EJEMPLO.

Un voladizo tiene la seccin indicada en la figura, y ser el soporte para los cojinetes de un rbol con un rodillo de alimentacin de papel. La accin del rbol es una fuerza P de 3500 Kg como se indica. Calcule los esfuerzos normales resultantes en los puntas A y B del empotramiento. A 4 3 P 120mm 140mm 45 mm B 410 mm

Solucin:

Se comienza por encontrar el momento flector debido a P, para lo que se descompone en sus componentes Px = 2800 Kg y Py = 2100 Kg, y tomando momentos con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad de la seccin AB:

Diagrama de cuerpo libre:


49

M = M1 + M2 Ry Py

Px P 120 mm

Rx 410 mmEquilibrio en (AB).

M = Px (120) + Py (410) = 2800 (120) + 2100 (410) = 1197000 Kgmm La existencia de dos momentos flectores, se deba a la excentricidad de las cargas con respecto al centro de gravedad de la seccin de la pieza, y como se puede apreciar, la componente horizontal es la que produce el esfuerzo normal axial, mientras que la vertical produce el esfuerzo normal por flexin. Calculando los esfuerzos resultantes en A y en B. Para A:

=

2800 6(1197000 ) + (45)(140) (45)(140 )2Respuesta

= 8.5872 Kg/mm2 Para B:

=

2800 6(1197000 ) (45)(140 ) (45)(140 )2Respuesta.

= 7.6983 Kg/mm2

Los signos indican tensin en A y compresin en B.

PROBLEMAS:

5.1 a 5.4 En el elemento mostrado, determine el valor de los esfuerzos en los puntos indicados considerando las condiciones de su seccin.


50

140 mm A 60 mm 2.5 KN 210 mm 6" 25" 1.5" 820 N B

Figura P5.1

2.5"

450 lb

B

A

7.5"

1.5"

t = 6.5 mm A 160 mm

Figura P5.21.2 m 0.25 1.25m 50 mm

B

90 mm

.4m

B A

0.85m

40 mm

C

C

Figura P5.4250 Kg45

200 mm Seccin CC

t = 12 mm

Figura P5.3

5.4 CRCULO DE MOHR.

El crculo usado para deducir algunas de las frmulas bsicas relativas a la transformacin del esfuerzo plano fue presentado por el ingeniero alemn Otto Mohr (1835-1918) y se conoce como Crculo de Mohr para esfuerzo plano. Este crculo puede usarse como mtodo alterno para la solucin de diferentes problemas y se basa en sencillas consideraciones geomtricas y no requiere del uso de frmulas especializadas. Aunque fue diseado originalmente para soluciones grficas, se puede aplicar igualmente mediante el uso de calculadoras. Consideremos un elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano, Figura 5.2a, y sean x, y y xy las componentes del esfuerzo ejercido sobre el elemento. Trazamos ahora un punto X de coordenadas x y - xy , y un punto Y de coordenadas y y + xy , Figura 5.2b. Si xy es positivo, como se supuso Figura 5.2a, el punto X est localizado por encima del eje y Y, por debajo. Uniendo X y Y con una lnea recta, definimos el punto C de interseccin de la lnea XY con el eje y dibujamos el crculo de centro C y dimetro XY. En donde observamos que la abcisa de C del crculo corresponde al prom y las de los puntos A y B donde el circulo intersecta el eje representan respectivamente los esfuerzos principales mx y mn del elemento.


51

by

xy mx

mn

a y

mx

O

px

mn

mx

x

(a) B O

Y ( ,+ )y xy

A C 2p x xy

mn

X ( , )xy

1 2

( )x y

(b)

Figura 5.6 Elemento sometido a esfuerzo plano y el crculo de Mohr.

Tambin notamos que la rotacin de la partcula siempre obedece a la motad del ngulo de inclinacin de la diagonal XY, como se puede apreciar en la correspondiente al punto A. Como el crculo de Mohr est definido unvocamente, el mismo circulo puede obtenerse considerando las componentes del esfuerzo x, y y xy, correspondientes a los ejes x, y y, como se muestra en la figura 5.3. El punto X de las coordenadas x y -xy, y el punto Y de las coordenadas y y +xy, estn por lo tanto localizados en el crculo de Mohr, y el ngulo XCA de la figura debe ser igual a dos veces el ngulo xOa en la figura 5.3. Puesto que, como se anot anteriormente, el ngulo XCA es dos veces el ngulo xOa, se concluye que el ngulo XCX en la figura 5.3b es dos veces el ngulo xOx en la figura 5.3a. Por lo tanto el dimetro XY que define los esfuerzos normal y cortante x, y y xy puede obtenerse rotando el dimetro XY un ngulo igual a dos veces el ngulo formado por los ejes x y x en la figura 5.3a. Notamos que la rotacin del dimetro XY hacia el XY en la figura 5.3b tiene el mismo sentido de rotacin que el eje xy hacia el eje xy en la figura 5.3a. Esta propiedad que acabamos de indicar puede usarse para verificar el hecho de que los planos de esfuerzo cortante mximo forman un ngulo de 45 con los planos principales. Realmente recordemos que los puntos D y E del circulo de Mohr corresponden a los planos de esfuerzo cortante mximo, mientras que A y B corresponden a los planos principales (figura 5.4b). Puesto que los dimetros AB y DE en el crculo de Mohr forman un ngulo de 90 entre s, se concluye que las caras de los elementos correspondientes forman un ngulo de 45 entre s (Figura 5.4a).APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

52

by

xy mx

mn

a y

mx

Y' ( ,+ )y' x'y'

O

x

x

mn

y' (a) Ox'y' x' y'

Y B A C 2 Xx'y'

x'

X' ( , )x'

(b)

Figura 5.7 Rotacin del eje XY para alcanzar el estado de esfuerzo XY.

La construccin del Crculo de Mohr para esfuerzo plano, se simplifica notablemente si consideramos por separado cada cara del elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. En las figuras anteriores observamos que cuando los esfuerzos cortantes hacen rotar el elemento en sentido contrario a las manecillas del reloj, el punto correspondiente a dicha cara en el crculo est localizado por debajo del eje . Cuando los esfuerzos cortantes hacen rotar el elemento en sentido de las manecillas del reloj, el punto correspondiente a dicha ca-ra en el crculo est d locali-zado por encima e del eje . En lo referente ' ' a los es-fuerzos normales, ' = de acuer-do con la D convencin usual, si es de tensn ser consi-derado b 90 positivo (derecha) si es de A B compresin ser neO C a gativo (izquierda).prom mx mx mn

mx

O

mx

Figura 5.8 Diagrama que muestra la condicin de esfuerzo normal promedio y esfuerzo cortante mximo.

(a)

mn

E (b)


53

EJEMPLO:

Para el estado de esfuerzo que se muestra, a) construir el Crculo de Mohr, b) determinar los esfuerzos principales, c) determinar el esfuerzo cortante mximo y el esfuerzo normal correspondiente. y 10MPa 40MPa x O 50MPa B 40 G O 20 R a) Construccin del crculo. X C F A (MPa) 40 Y 10 + (MPa) D

50 1. Se traza un par de ejes coordenados tomando a como el eje de las abscisas y a como el eje de las ordenadas. 2. Se trazan los valores de y correspondientes a dos superficies mutuamente perpendiculares del cubo elemental, tales como la que tiene aplicada la compresin y la que tiene la tensin, obteniendo dos puntos (X y Y) en la periferia del crculo. De acuerdo con la convencin de signos, la tensin es positiva y la compresin es negativa. Los esfuerzos cortantes que tienden a hacer girar al bloque en sentido de la manecillas del reloj, como es el caso del par horizontal, se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de corte que tienden a girar en contra de las manecillas del reloj, tales como el par vertical, son negativos. 3. Se traza la lnea recta YCX que une estos dos puntos. Esta lnea es el dimetro del crculo cuyo centro es el punto C. 4. Se completa el crculo tomando como centro el punto C y como radio CX. b) Obtencin de los esfuerzos principales. Las coordenadas del punto C son (20,0). La distancia OA da el esfuerzo principal mximo que se obtiene como: OA = OC + radio del crculo = OC + [(CF)2 + (FX)2 ] = 20 + [(30)2 + (40)2 ] = 20 + 50 = 70 MPa El esfuerzo principal mnimo es la distancia OB, que se determina as:APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

54

OB = OC - radio del crculo = OC [(GC)2 + (GY)2 ] = 20 [(30)2 + (40)2 ] = 20 50 = 30 MPa El ngulo de rotacin del bloque, requerido para obtener esos esfuerzos es la mitad del valor de 2 en el crculo. As: mn = -30 MPa tan 2 = FX 40 = = 1.33 CF 30 mx = 70 MPa

2 = 53.1 = 26.55 b) Obtencin del esfuerzo cortante mximo. Este esfuerzo corresponde a las coordenadas del punto D, que son (20,50), el ngulo 2s es igual a 2 + 90. Por consiguiente, med = -30 MPa s = + 45 = 26.55 + 45 = 71.55 mx = 50 MPa

PROBLEMAS

5.5 a 5.10 En las Figuras P5.5 a P5.10 se muestran los esfuerzos en una partcula. Determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo. Dibujar las partculas rotadas correspondientes y los valores de los esfuerzos en ellas, como en el problema anterior. y y 20MPa 30MPa x O 40MPa Figura P5.5 O 4000 psi Figura P5.6 1300 psi 2500 psi x


55

y 140Kg/mm2 230Kg/mm2 x O 240 Kg/mm2 Figura P5.7 y 40MPa 70MPa x O 25MPa Figura P5.9 O O

y 2300 psi 3500 psi x 500 psi Figura P5.8 y 200 Kg/mm2 200 Kg/mm2 x 700 Kg/mm2 Figura P5.10

5.5 COMBINACIN DE ESFUERZOS POR FLEXIN Y POR TORSIN.

En el punto anterior, se trataron los esfuerzos debidos a la combinacin de cargas axiales y por flexin, y el mtodo de superposicin era vlido debido a que la lnea de accin en ellos era la misma, pero en el caso de un elemento sometido a un momento de torsin y a una carga axial vemos que esta produce esfuerzos normales = P/A en cada partcula, y el par produce esfuerzos cortantes = (M r) / J. Estos esfuerzos se muestran sobre las partculas de la figura 5.5b. Ntese que los esfuerzos cortante y normal no tienen la misma lnea de accin. Por consiguiente, la suma algebraica de los esfuerzos por superposicin, no es vlida. En el caso de un elemento sometido a flexin, esta produce esfuerzos normales, cuya lnea de accin es al misma que los de la carga axial, y al igual que estos, no se pueden sumar por superposicin. M P (a)


56

= (M r) / J = P/A+ =

= (M r) / J = P/A

(b) Figura 5.9 Esquema de una barra sometida a carga axial y a torsin (a) y partculas con los esfuerzos respectivos a cada carga y la resultante (b). En el caso de la flexin y torsin combinadas, se tienen dos situaciones diferentes debido a que en la flexin se generan esfuerzos de tensin y de compresin. Esto provoca que en la misma pieza, se tengan dos partculas con esfuerzos normales de tensin y de compresin combinados con corte, como se muestra en la figura 5.6. P M A B (a)

= (Mt r) / J=

= (Mt r) / J = Mc/I

= Mc/IA + (b)

= (Mt r) / J=

= (Mt r) / J = Mc/I

= Mc/IB + (c)

Figura 5.10 Esquema de una barra sometida a flexin y a torsin y partculas con los esfuerzos respectivos a cada carga y sus resultantes. EJEMPLO:

En el elemento que se muestra, determine los esfuerzos mximos en le punto A.


57

A

50mm

D

C90 mm

4000N 3600N15 m 0m

Haciendo los diagramas de cuerpo libre de cada elemento, se tiene:

D.C.L. elemento CD 4000N C

Dy MFy = 0 Dy = 3600 N Dx = 4000 N MD = 540000 N

D 3600N 150

Dx

Fx = 0 MD = 0

D.C.L. cilindro AD 3600N M Ay A 4000N 3600N MAx MD D 4000N

MAz = 324000 N MAy = 360000 N

MAz

90

De acuerdo a lo anterior, se deduce que el elemento esta sometido a Flexin-Torsin. Anlisis por torsin.APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

58

A

MAx

MD

D

=

Mr 16 M = J d3

= = 22 MPaAnlisis por flexin. y x A 90 mm

16(540000) (50)3

3600 N

MAz 3600 N

= =

My I

324000(25) = 26.4 MPa (50)4 64

x z A MAy 4000 N 90 mm

4000 N

(25)2 4(25) 4000 2 3 VQ = = 4 Ib (50) 64 (50 ) = 2.71 MPa


59

donde: r 25 y = (4r / 3) 50 mm 26.4 MPa Entonces, la partcula resultante queda: 24.71 MPaPROBLEMAS. 5.11 Determine el esfuerzo cortante mximo y los esfuerzos principales en el rbol de 50 mm de dimetro mostrado en la figura P5.11. Las poleas tienen un peso de 100N cada una. 5.12 Determine el valor de la carga P para el rbol mostrado, considerando que el esfuerzo cortante mximo del material es de 8000 psi y el normal admisible es de 12000 psi. Desprecie el peso de las poleas. Figura P5.11

Q = A y

Figura P5.12

5.6 COMBINACIN DE ESFUERZOS POR CARGAS AXIALES, POR FLEXIN Y POR TORSIN.

En el caso de esta combinacin, con respecto a las anteriores, slo sera considerar en los esfuerzos normales, la suma del esfuerzo por carga axial, siendo entonces las ecuaciones que resultan as: Para Normales

=

P My A I60


Para cortantes

=

VQ M r Ib J

dependiendo de los sentidos de estos, sern los signos, y en la partcula, se considera de al misma manera.PROBLEMAS: 5.13. En el rbol mostrado, determine los esfuerzos mximos considerando que tiene un dimetro de 40 mm y que la fuerza mayor es de 1800 N, y la menor es de 800 N, asimismo transmite un par de torsin de 7200 Nmm. Todo esto sucede en donde se encuentra el engrane mayor. 5.14. En el rbol mostrado, determine los esfuerzos mximos considerando que tiene un dimetro de 30 mm y que la fuerza mayor en el pin es aplicada en un dimetro de 40 mm.

5.15. En el letrero mostrado, determine el dimetro de un tubo si el esfuerzo cortante mximo en A es de 1600 psi. La relacin entre dimetros es de D/d = 1.2.


61

m 1.2

B F= 230 Kg 5.5 m 60 Kg y x z A


62

Unidad VI6.1 INTRODUCCIN.

Columnas.

En las discusiones sobre el anlisis y diseo de varios tipos de elementos y estructuras, en captulos anteriores, tuvimos dos intereses principales: 1) la resistencia de la estructura, es decir, la capacidad de soportar carga sin experimentar esfuerzos excesivos, 2) la capacidad de la estructura de soportar cargas sin experimentar deformaciones inaceptables. En esta unidad se tratar la inestabilidad de la estructura, es decir, la capacidad para soportar las cargas sin presentar un cambio sbito en su configuracin. Nuestra discusin se relacionar principalmente con columnas, es decir, con el anlisis y diseo de elementos prismticos verticales que soportan cargas axiales.

P A A

P

B

(a)

B

(b)

Figura 6.1 Columna con extremos articulados cargada axialmente y pandeo posterior causada por al inestabilidad.


63

6.2 ESTABILIDAD DE ESTRUCTURAS.

Supngase que debemos disear la columna AB de longitud L para soportar la carga P dada (fig. 6.1a). La columna estar articulada en ambos extremos y supondremos que la carga P axial y centrada. Si el rea de la seccin transversal A de la columna se escoge de tal manera que el valor = P/A del esfuerzo en la seccin transversal sea menor que el esfuerzo admisible para el material usado, y la deformacin = PL/AE cae dentro de las especificaciones dadas, podramos concluir que la columna ha sido correctamente diseada. Sin embargo, puede ocurrir que, cuando se aplique la carga, la columna presente pandeo; en vez de permanecer recta, sbitamente presenta una curvatura (fig. 6.1b). Claramente una columna que pandee bajo la accin de una carga dada no est diseada correctamente.6.3 FRMULA ARTICULADOS. DE EULER PARA COLUMNAS DE EXTREMOS

Considerando la columna AB de la seccin anterior, nos proponemos determinar el valor crtico de la carga P, es decir Pcr para la cual la posicin de la columna deja de ser estable. Si P > Pcr, el menor desalineamiento o alteracin originar pandeo en la columna. Nuestro propsito es determinar las condiciones bajo las cuales es posible tener la configuracin de la figura 6.1b. Como una columna puede considerarse como una viga en posicin vertical y sometida a carga axial, se proceder como en el captulo de flexin y se denotar como x la distancia del extremo A de la columna a un punto cualquiera a de su curva elstica, y por y la deflexin de dicho punto (Figura 6.2a). Se concluye que el eje x ser vertical y dirigido hacia abajo y que el eje y ser horizontal y dirigido hacia la derecha. Considerando el equilibrio del cuerpo libre Aa (Figura 6.2b) encontramos que el momento flector en a es M = -Py. Sustituyendo este valor de M en la ecuacin de la elstica para la viga se escribeP A y (+) y x x a yy

P

Py P

B P

(a)

(b)

Figura 6.2 Anlisis de una columna con extremos articulados considerndola como una viga.APUNTES DE MECATRNICA III M. en C. JUAN ROBERTO RODRGUEZ BELLO

64

d2y M = 2 EI dx d 2 y Py + =0 dx 2 EI

;

M = Py

Ecuacin de la elstica para una viga.

(1)

La ecuacin anterior es una ecuacin diferencial ordinaria de 2 orden y homognea con coeficientes constantes, haciendo

m2 =

P EI P EI

m=

y la solucin general de la ecuacin diferencial ordinaria es

y = A cos mx + B sen mxComprobando al derivar (2)

(2)

dy P = A sen dx EId2y P = A cos 2 dx EI

P P P x+B cos x EI EI EIP P P x B sen x EI EI EI

(3)

Sustituyendo (3) y (2) en (1) P A cos EI P P P P P P x B sen x + EI A cos EI x + B sen EI x = 0 EI EI EI

Desarrollando y reduciendo trminos se encuentra que: Aplicando condiciones de frontera: para x = 0 ; y = 0 sustituyendo en (2) 0 = A (1) + B (0)

0=0

A=0 La segunda posibilidad es que B = 0, lo cual es una solucin trivial. 65


para x = L ; y = 0 P 0 = B sen EI L

la primera posibilidad es que B = 0 (solucin trivial), y la segunda es que P y = B sen EI x

para que la segunda condicin sea satisfecha, debemos tener que mL = n, sustituyendo m: Figura 6.3 Posibles casos de pandeo.

P L = n ; n = [ 0, 1, 2, 3, 4, ......... ] EIDe aqu despejamos P y asignando a n = 1, que dara el valor menor de P, se tiene

Pcr =

2 EIL2

Esta expresin se conoce como Frmula de Euler.

=

2 EIALe2

I = k2 A

Nomenclatura. P = Carga crtica E = Mdulo de elasticidad I = Momento de inercia Le = Longitud equivalente k = Radio de giro mnimo = esfuerzo crtico

=

2 Ek 2 AALe2

=

2E Le k 2

=

2E Le k L k2

Re =

Relacin de esbeltez.


66

Observaciones. 1. La columna se flexionar respecto al eje de menor momento de inercia. 2. Una columna con las mismas condiciones soporta lo mismo sea de alta o baja resistencia. Limitaciones:

LP = 200 MPa

;

E = 200Gpa

Le 2E 2 200 x10 3 = = = 99.346 200 k

(

)

Esfuerzo crtico LP

Esfuerzo de trabajo 99.346 L/k

Figura 6.2 Grfica donde se aprecian las curvas de esfuerzo para una columna.

Padm =

2 EIF .S . Le2

Longitudes equivalentes: ; F. S. > 1

Padm = Carga admisible Padm A Le = L Le = 0.5L Le = 0.7 L Le = 2L

adm =


67

EJEMPLO:

En la columna mostrada, determine la carga admisible y la longitud mnima de la columna. E = 10 GPa y x 100 mm 50 mm I min = 100(50) = 1.041x106 mm 123

adm = 30 MPa F. S. = 2 L = 2.5 m

Le 2E 2 10 x10 3 = = 30 k Le = 57.35 k

(

)

k=

1 100 x50 3 I 12 = 14.43 mm = (50)(100) A

(

)

Le = 57.35 (14.43) = 827.776 mm L = 2 Le = 2 (827.776) =

Apuntes de MIII

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