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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA

APUNTES

SISTEMAS DE COMUNICACIONES

Cod. 549 164

Ingenierıa Civil en Telecomunicaciones

Prof. Sebastian E. Godoy

Primera Edicion

13 de septiembre de 2010

Prologo

El presente libro, nace bajo la necesidad de lograr un mejor entendimiento de los alumnosque toman la asignatura de Sistemas de Comunicaciones, obligatoria para la carrera deIngenierıa Civil en Telecomunicaciones de la Facultad de Ingenierıa, Universidad de Concepcion,Concepcion, Chile.

El documento esta totalmente escrito utilizando LATEX mediante la interfaz grafica Kile paraUbuntu Linux. Ademas, dada la naturaleza de la obra, en forma completa esta licenciada porCreative Commons. Esta Licencia Creative Commons te permite copiar, distribuir, comunicary ejecutar publicamente la obra pero bajo las siguientes condiciones:

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El formato utilizado en el desarrollo de este documento, esta basado en los apuntes del Prof.Jose Espinoza, PhD. Departamento de Ingenierıa Electrica, Universidad de Concepcion.

Sebastian E. Godoy

Departamento de Ing. Electrica

Facultad de Ingenierıa

Universidad de Concepcion

Casilla 160-C, Correo 3

Concepcion, CHILE

Tel: +56 (41) 2203520

Fax: +56 (41) 2246999

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i

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Indice General

Prologo I

1. Introduccion 1

1.1. Concepto y Medida de la Informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Concepto de Sistema de Comunicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Concepto de Senal y Ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Clasificacion de Senales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1. Senales Determinısticas y Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2. Senales Periodicas y No periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.3. Senales Analogas y Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.4. Senales de Energıa y Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.5. Senales Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Operador Promedio en el Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.1. Potencia Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.2. Energıa Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6.1. Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.2. Razon Senal-Ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Modulacion en Amplitud 11

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Modulacion con Portadora Suprimida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. Espectro de una senal DSB-SC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2. Demodulacion de DSB-SC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3. Problemas de Sincronizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4. Potencia de una senal DSB-SC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Modulacion con Gran Portadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1. Demodulacion de DSB-LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2. Potencia de una senal DSB-LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Modulacion de Banda Lateral Unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.1. Expresion Matematica senales SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.2. Demodulacion Senales SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5. Modulacion de Banda Lateral Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6. Ruido en AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

ii

2.6.1. Senales Pasabajo y Pasabanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.2. Ruido Pasabanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.3. Ruido en Sistemas DSB-SC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.4. Ruido en Sistemas DSB-LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6.5. Ruido en Sistemas SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Modulacion Angular 28

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2. Representacion Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. FM de Banda Angosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4. FM de Banda Ancha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5. Ancho de Banda en FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6. Potencia en FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7. Demodulacion de Senales FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.7.1. Metodo Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.7.2. Metodo Indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.8. Preenfasis y Deenfasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

iii

Capıtulo 1

Introduccion

Los topicos que seran tratados aca se presentan como la base conceptual de los proximoscapıtulos, haciendo una revision de los conceptos basicos como los de un sistema de

comunicacion, el concepto y medida de la informacion. Se agrega ademas una revision de lasoperaciones basicas sobre senales, aparte de las definiciones de estas mismas y el ruido.

1.1. Concepto y Medida de la Informacion

La informacion –de forma general– corresponde a un conocimiento especıfico o dato deinteres, que agrupado con un conjunto de datos extras, constituye un mensaje sobre un deter-minado ente o fenomeno. En otras palabras, se puede decir que el concepto de mensaje, viene aser como una materializacion de la informacion.

La informacion es transferida desde una fuente a un destinatario, solo si este ultimo no laconocıa previamente. Por ejemplo, considere el escenario en que un grupo de gente mira porla ventana. Esto involucra que todos saben (tienen la informacion) que el dıa esta soleado.Si alguien dice “El dıa esta soleado” no es informacion, pues no aporta ningun dato nuevoa lo que todos conocen. Por otro lado si alguien dice “En la noche llovera” para muchos sisera informacion pues no necesariamente todos sabran dicho dato.

Pensando en senales de voltaje, una baterıa de 1.5 volts no tiene mucha informacion queaportar, pues una vez sabido su voltaje mediante un voltımetro, este seguira constante pormuchısimo tiempo lo que no aporta ningun dato nuevo → La informacion esta relacionada concambios.

Por otro lado, una senal sinusoidal de voltaje varıa en el tiempo, sin embargo una vez queesta se ha caracterizado midiendo su amplitud, frecuencia y fase, no existe ninguna informacionnueva que esta senal pueda aportar → La informacion esta relacionada con cambios impredeci-bles.

Una forma de medir la informacion es de forma probabilıstica y fue derivada por Shannon.Esta es llamada self-information1 del mensaje m y se define como

I(m) = − log(P (m))

1Podrıa traducirse como autoinformacion

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION

en donde P (m) es la probabilidad de que el mensaje m sea elegido dentro del universo de todoslos posibles mensajes M .

1.2. Concepto de Sistema de Comunicacion

Un sistema de comunicacion, como concepto, busca explicar la transmision de informacion.En general, cualquier sistema que permita la conexion entre una fuente de informacion y

un destinatario de dicha informacion con eficiencia y confianza (sin errores) es considerado unsistema de comunicacion. La Fig. 1.1 muestra un esquema basico de un sistema de comunica-ciones. Aca se puede observar que el destinatario recibe la informacion proveniente de la fuentede la informacion mediante el sistema de comunicacion.

Fig. 1.1. Esquema de un Sistema Basico de Comunicaciones.

Un sistema de comunicacion esta compuesto basicamente de 2 partes esenciales: El trans-misor y el receptor. Dentro del primero se encuentran componentes como el Codificador y elModulador. En cambio en el receptor, se encuentran los elementos que realizan las operacionesinversas: el Demodulador y el Decodificador. La union entre ambas partes del sistema de co-municacion se realiza mediante el canal de transmision, que corresponde al medio por el cualviajara la informacion.

Resulta evidente que las caracterısticas del Canal de Transmision estan dadas por la natura-leza del medio a utilizar, por lo que no pueden ser modificadas de ninguna forma. De ahı es quela informacion tiene que ser “adaptada” para poder ser transmitida y luego “desadaptada” parapoder interpretarla en el receptor. Esa es la tarea que realizan el Modulador y el Demoduladorrespectivamente.

No todos los sistemas de comunicacion incluyen todos los bloques dados, sin embargo algoque esta siempre presente es el canal de transmision y, como se dijo anteriormente, es el querestringe el flujo de la informacion. Las partes de un sistema de comunicacion generalizado, sepueden resumir en lo siguiente.

Codificador: Elige la mejor forma de la senal para optimizar su deteccion a la salida.

Modulador: Produce una senal variable en el tiempo, que resulte ser proporcional de algunaforma con la senal de informacion a enviar. La salida corresponde a la onda que se transmitepor el canal.

Demodulador: Recupera la senal, volviendola a su forma original.

2


Decodificador: Realiza lo inverso al codificador. El conjunto codificador/decodificador tie-ne fines de seguridad y a la vez, busca maximizar la eficiencia en la conduccion de lainformacion.

1.3. Concepto de Senal y Ruido

En general, en comunicaciones una onda recibida se categoriza como la composicion deuna parte deseada (informacion) y una parte no deseada (ruido). Esta clasificacion dependeexclusivamente de la senal de interes que se quiere estudiar, pudiendo cambiar entre una y otradependiendo de la aplicacion bajo estudio. Por ejemplo, al oır radio, la senal de informacionsera la voz y la musica, por lo que el “chicharreo” sera la senal de ruido; en cambio si se quierenestudiar las interferencias, la senal de informacion sera el “chicharreo” y la voz y musica seranel ruido.

A continuacion, se estudiaran las definiciones basicas necesarias para el tratamiento desenales en un sistema de comunicacion. Dado que estos conocimientos son parte de los pre-requisitos del curso, el resto del capıtulo puede ser considerado como repaso.

1.4. Clasificacion de Senales

1.4.1. Senales Determinısticas y Aleatorias

Se habla de senales determinısticas cuando estas estan completamente definidas y noexiste ninguna incertidumbre en sus valores en cualquier instante de tiempo. Estas senales sonmodeladas por expresiones matematicas explıcitas tal como w(t) = sin(2000πt).

Por otro lado, se habla de senales aleatorias, cuando existe algun grado de incertidumbreantes de que la senal realmente ocurra, por lo que no es posible escribir una expresion ma-tematica explıcita. Sin embargo si estos se observan por un largo periodo, estos se refieren comoprocesos aleatorios y pueden exhibir ciertas regularidades que pueden ser descritas en terminosde probabilidades y promedios estadısticos.

1.4.2. Senales Periodicas y No periodicas

Una senal es llamada periodica en el tiempo si existe una constante T0 > 0 que cumpla larelacion

w(t) = w(t+ T0) (1.1)

en donde t es el tiempo. El mınimo valor posible de T0 que cumpla la condicion es llamado elperiodo de w(t).

Si una senal no posee un valor que satisfaga la condicion, entonces es llamada senal no

periodica.

3


1.4.3. Senales Analogas y Discretas

Una senal es analoga si es una funcion continua del tiempo, lo que quiere decir que w(t) esunicamente definida para todo t. Estas senales se originan cuando una senal fısica (por ejemplo,voz) se transforma en una senal electrica usando algun transductor.

En contraste, una senal discreta solo esta definida para tiempos discretos y esta caracterizadapara una secuencia de numeros discretos kT en donde k es un entero y T es un intervalo fijo detiempo.

Ejemplo 1.1 - Senales Periodicas.

Suponga que se desea determinar el periodo fundamental de una senal en tiempo discreto dadapor x[k] = ej

2π3k + ej

3π4k, en donde k ∈ Z.

Sol. Usando la ecuacion de Euler, ejα = cosα+j sinα, se puede determinar que el periodo basicopara una exponencial compleja, esta dada por 2π. Ası, la primera exponencial tiene un periododado por 2π

3k = 2π, entonces k1 = 3. Para la segunda exponencial, se debe realizar el mismo

analisis con multiplos enteros del periodo basico. Como 3π4k = 2π → k = 8

3, el periodo requiere

evaluarse incrementando en otros 2π, pues k esta limitado a ser entero. Lamentablemente,3π4k = 4π → k = 16

3, sin embargo con 6π se logra encontrar que k2 = 8. Ahora, para que la senal

x[k] completa se repita, cada uno de los terminos deben pasar a traves de un multiplo entero desu periodo fundamental. El mınimo incremento de k que cumple esto para ambos es 24. Estoquiere decir que sobre un incremento de 24 puntos, el primer termino habra recorrido 8 vueltasde su periodo fundamental, y el segundo 3.

1.4.4. Senales de Energıa y Potencia

Una senal electrica puede ser representada como un voltaje v(t), o una corriente i(t), conuna potencia instantanea p(t) a traves del resistor R, definida por:

p(t) =v2(t)

R= i2(t)R

En sistemas de comunicaciones se trabaja con el concepto de “potencia normalizada” porlo que se asume que el valor de la resistencia R es unitario (R=1Ω). Ası, ambos lados de laecuacion anterior tiene la misma forma sin importar si hablamos de senales de voltaje o corriente.Entonces, el concepto de potencia normalizada nos permite expresar la potencia instantanea dela forma

p(t) = w2(t) (1.2)

en donde w(t) representa o una senal de voltaje o de corriente.La energıa disipada durante el intervalo de tiempo ]− T

2, T2[ por una senal real con potencia

instantanea expresada por la Ecuacion (1.2), puede ser escrita como:

ET =

∫ T2

−T2

w2(t) dt (1.3)

y la potencia promedio disipada por la senal durante ese intervalo es:

PT =1

T

∫ T2

−T2

w2(t) dt (1.4)

4


El desempeno de un sistema de comunicaciones depende de la energıa de la senal detectada.Mientras mayor sea la energıa de las senales detectadas, el proceso de deteccion se hara conun error menor a que si las senales fueran de menor energıa. Por otro lado, la potencia es latasa a la cual la energıa es entregada y es importante porque determina las condiciones detransmision/recepcion de las senales.

En el analisis de senales de comunicaciones, resulta muy deseable trabajar con senales deenergıa. La senal w(t) sera considerada una senal de energıa si y solo si 0 < E < ∞, en donde

E = lımT→∞

∫ T2

−T2

w2(t) dt =

∫ ∞

−∞

w2(t) dt (1.5)

En el mundo real, todas las senales tienen energıa finita, sin embargo consecuencia de laEcuacion (1.1), las senales periodicas por definicion existen para todo tiempo, por lo que tienenenergıa infinita. Ademas, para poder trabajar con senales aleatorias que tienen energıa infinita,se requiere definir una clase de senales llamadas senales de potencia, que seran aquellas quesi y solo si son no nulas y tienen potencia promedio finita para todo el tiempo, 0 < P < ∞, endonde:

P = lımT→∞

1

T

∫ T2

−T2

w2(t) dt (1.6)

Las definiciones de senales de energıa y potencia son mutuamente excluyentes, ya que unasenal de energıa tiene energıa finita pero potencia media nula, en cambio una senal de potenciatiene potencia media finita pero energıa infinita. Como norma general, las senales periodicas ylas senales aleatorias son consideradas de potencia. Por otro lado, las senales que a la vez sonno periodicas y determinısticas son clasificadas como senales de energıa.

Ejemplo 1.2 - .

Clasificar la senal e−t como senal de potencia o de energıa.

Sol. La potencia media de la senal esta dada por P = lımT→∞1T

∫T2

−T2

e−2t dt = ∞, por lo que

en primera instancia se podrıa decir que es de energıa, sin embargo E =∫∞

−∞e−2t dt = ∞ por

lo que no cabe en ninguna de las clasificaciones .

1.4.5. Senales Pares e Impares

Esta clasificacion se origina a partir de la respuesta de las senales a una transformacion dereflexion.

Una senal es par si verifica que la reflexion de ella misma es la propia senal. Matematicamen-te, se expresa en la forma w(t) = w(−t). Por otra parte, una senal es impar si su reflexion produceuna senal invertida de la original. Matematicamente, se expresa en la forma w(t) = −w(−t).

Una propiedad interesante, es que cualquier senal, puede ser expresada como la suma de unasenal par y una impar. En sımbolos,

w(t) = wP (t) + wI(t) , (1.7)

5


en donde las senales par, wP (t), e impar, wI(t), estan dadas por:

wP (t) =1

2[w(t) + w(−t)] (1.8)

wI(t) =1

2[w(t)− w(−t)] (1.9)

1.5. Operador Promedio en el Tiempo

El operador promedio en el tiempo para una senal cualquiera w(t), se define como:

< w(t) > := lımT→∞

1

T

∫ T2

−T2

w(t) dt (1.10)

y corresponde al valor continuo que la senal w(t) tiene. Este se denotara mediante wdc solocuando se hable del valor continuo.

Por otra parte, para una senal periodica con periodo T0, el operador promedio se reduce a:

< w(t) > =1

T0

∫

T02+a

−T02+a

w(t) dt (1.11)

en donde a es una constante real arbitraria.En general, se requiere calcular el valor continuo (DC) de la senal sobre un intervalo finito

de interes [t1, t2], por lo que se tiene la definicion de valor medio en un perıodo acotado:

< w(t) > =1

t2 − t1

∫ t2

t1

w(t) dt (1.12)

Ejemplo 1.3 - Valor Medio.

Determine el valor medio de una senal periodica dada por w(t) =

A , t ∈ [−T/4, T/4]0 , i.o.c

.

Sol. Dada la forma de la senal, se debe trabajar sobre un solo periodo, luego < w(t) >=1T

∫ T/4

−T/4A dt = A

2. Resulta facil comparar que el resultado obtenido corresponde con la logica

de la definicion si se dibuja la senal en el tiempo.

1.5.1. Potencia Promedio

La potencia promedio P para un sistema dado se calcula por su definicion como el valormedio de la potencia instantanea, es decir:

P := < p(t) > = < v(t) · i(t) > = < v2(t) > = < i2(t) > (1.13)

en donde v(t) e i(t) corresponden a las senales de voltaje y corriente instantaneas, respectiva-mente; y la igualdad se justifica por el concepto de potencia normalizada que se explico conanterioridad.

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Ejemplo 1.4 - Potencia Promedio.

Determine el valor de la potencia promedio de una senal sinusoidal w(t) = A cosω0t.Sol. Dado que la senal es periodica, entonces se clasifica como senal de potencia, luego su

potencia promedio es finita y mayor que cero. Luego P = 1T

∫ T/2

−T/2w2(t) dt = A2

T

∫ T/2

−T/2cos2(ω0t) =

A2

2, en donde se ha utilizado la propiedad trigonometrica que dice cos2(α) = 1

2+ 1

2cos(2α), y el

hecho de que la integral de una funcion sinusoidal sobre un periodo es cero.

Se define el valor RMS (Root Mean Square) de una senal w(t) mediante la relacion

wRMS :=√

< w2(t) > (1.14)

Dada la definicion del valor RMS, resulta natural notar por la forma de la Ecuacion (1.13), lapotencia promedio normalizada se puede calcular como el valor RMS cuadratico de la corrienteo el voltaje. En efecto:

P = < v2(t) > = < i2(t) >

= V 2RMS = I2RMS (1.15)

1.5.2. Energıa Promedio

La Energıa Normalizada esta definida por

E := lımT→∞

∫ T2

−T2

w2(t) dt (1.16)

en donde la senal w(t) es una senal de energıa sı y solo si 0 < E < ∞

Ejemplo 1.5 - .

Calcular la potencia y energıa promedio de la senal w(t) = e−t.Sol. La potencia promedio por definicion sera P = w2

RMS = ∞ y la energıa E = ∞.

1.6. Series de Fourier

Las series de fourier permiten descomponer cualquier senal periodica w(t) en una sumatoriade senos y cosenos. En particular, en comunicaciones se utiliza la definicion compleja de esta,que esta dada por:

w(t) :=∞∑

n=−∞

cnejnω0t , (1.17)

en donde

cn :=1

T0

∫ α+T0

α

w(t)e−jnω0t dt , (1.18)

y ω0 = 2πf0 = 2πT0, siendo T0 el perıodo de la senal w(t). Es interesante notar que la forma

compleja de las series de Fourier dan origen a la forma tradicional, al trabajar con senales reales,

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en donde se encuentran los coeficientes an y bn que multiplican cosenos y senos respectivamente.En efecto, al considerar una senal real, entonces w∗(t) = w(t), por lo tanto:

w∗(t) = w(t) =

∞∑

n=−∞

c∗ne−jnω0t .

Reemplzando n por −n en la sumatoria, se obtiene que

w(t) =∞∑

n=−∞

c∗−nejnω0t ,

de donde, por comparacion con la Ecuacion (1.17), se deduce que cn = c∗−n, o quivalentemente,que c∗n = c−n.

Ahora, si se reagrupa la sumatoria de la Ecuacion (1.17) de la forma

w(t) = c0 +∞∑

n=1

[

cnejnω0t + c−ne

−jnω0t]

,

y si se reemplaza c∗n por c−n, se tiene que

w(t) = c0 +∞∑

n=1

[

cnejnω0t + c∗ne

−jnω0t]

.

Dado que los dos terminos de la sumatoria son complejos conjugados, entonces puedes serreemplazados por 2ℜcne

jnω0t. Ademas, expresando el coeficiente en su forma polar mediantecn = bne

jθn, se obtiene que

w(t) = c0 +

∞∑

n=1

[

cnejnω0t + c∗ne

−jnω0t]

= c0 +

∞∑

n=1

2ℜcnejnω0t

= c0 +

∞∑

n=1

2ℜbnejnω0t+θn .

Esto no es mas que

w(t) = c0 + 2∞∑

n=1

bn cos(jnω0t + θn) .

Por otra parte, si se considera que los coeficientes bn son reales, entonces θn = 0, obteniendouna de las formas tradicionales en que las series de Fourier son presentadas.

Ejemplo 1.6 - Series de Fourier.

Encontrar la serie de fourier de la senal w(t) =

A , t ∈ (2k T0

2, (2k + 1)T0

2]

0 , i.o.c.con k = 0, 1, 2, . . . .

8


Sol. Se comienza calculando el valor continuo: c0 = 1T0

∫ T0

0w(t)dt = A

T0

∫

T02

0dt = A

2. Ahora,

los otros valores de los coeficientes seran: cn = 1T0

∫ T0

0w(t)e−jnω0tdt = A

T0

∫

T02

0w(t)e−jnω0tdt =

j A2πn

(e−jnπ − 1). Dado que para n par, e−jnπ = 1 y para n impar e−jnπ = −1, los coeficientes

estan dados por: cn =

A2

, n = 0−j A

nπ, n impar

0 , n par.

Cuando una senal esta definita en tiempo discreto, entonces su representacion en series deFourier esta determinado por:

w[k] =∑

n

cnejnω0k =

∑

n

cnejn 2π

Kk ,

en donde K corresponde al periodo de la senal discreta w[k], vale decir que cumple la relacionw[k] = w[k + K]. La frecuencia fundamental de la senal esta determinada por ω0 = 2π

K. Dado

que la senal es distinta solo dentro de un rango de K valores sucesivos de k, la sumatoriade la ecuacion anterior solo se necesita incluir los terminos dentro de este rango, quedando lasumatoria dada por

w[k] =∑

n∈K

cnejn 2π

Kk . (1.19)

Por ejemplo, n puede tomar los valores de n = 0, 1, . . . , K − 1, o n = 3, 4, . . . , N + 2,obteniendose el mismo resultado. La Ecuacion (1.19) se conoce como la Serie de Fourier en

tiempo discreto y los terminos cn son los coeficientes de Fourier.

1.6.1. Decibel

El decibel es una medida logarıtmica de base 10 que hace relaciones de potencia entre unasenal y otra. Se define por:

w [dB] := 10 log[w(t)] (1.20)

Por ejemplo, la ganancia en dB de un sistema de comunicacion esta dado por

G [dB] = 10 log

[

Pout

Pin

]

= 10 log

[

V 2oRMS

Ro·

Ri

V 2iRMS

]

= 20 log

[

VoRMS

ViRMS

]

En la practica, se usa un nivel de potencia en dB con respecto a 1mW de potencia, por loque

dBm = 10 log

[

P [W ]

10−3 [W ]

]

= 30 + 10 log(P [W ]) .

Ademas, se puede comparar la potencia de la portadora con respecto a uno de sus armonicos,caso para el que la notacion que se utiliza es el dBc.

Es importante notar que al sumar senales medidas en decibeles, no es correcto sumar direc-tamente valores.

9


Ejemplo 1.7 - Senales en dB.

Considere dos fuentes de ruido de 21dB cada una. Determine la interferencia total en dBm.Sol. Si una fuente es de 21dB, entonces la potencia que tiene esta dada por 21dB = 10 log P

Pref,

lo que implica que P1

Pref= P2

Pref= 10

21dB10 . Entonces, interferencia total en dB estara dada por

dBtotal = 10 log[

2021dB10

]

= 24dB, que expresado en dBm, seran dBmtotal = 54dBm.

1.6.2. Razon Senal-Ruido

La razon senal-ruido, denotada como SNR o S/N de su nombre en ingles Signal-to-NoiseRatio, corresponde a una comparacion entre la potencia de una senal deseada, con respecto ala potencia de una senal no-deseada, que se denomina ruido de fondo.

Resulta evidente que mientras mayor sea la razon, menor es la distorsion que el ruido puedeprovocar en una comunicacion. En efecto, si el ruido presente, se caracteriza por su potenciamedia N y, consecuentemente, la senal se caracteriza por si potencia media S se tiene: (i) Si Nes pequena, la potencia de la senal tambien puede serlo, pues no se requerira mucho esfuerzopara poder identificarla, en cambio (ii) cuando la potencia del ruido es demasiado alta, parapoder diferenciar entre una y la otra, la potencia de la senal tambien debe serlo.

La razon senal ruido en general se mide en dB, por lo que esta definida como

SNR = 10 log

[

S

N

]

[dB] (1.21)

10

Capıtulo 2

Modulacion en Amplitud

COMENTAR ALGO...

2.1. Introduccion

Dado que los canales de transmision no siempre tienen un ancho de banda en el mismorango que las senales que se quieren transmitir, se genera la necesidad de “adaptar” la senal deinformacion para lograr una congruencia entre su ancho de banda (banda base) y el del canal(pasa banda). Dicho proceso de adaptacion recibe el nombre de modulacion.

La senal analoga a transmitir, m(t) se asume de banda limitada, con ancho de banda W . Ensımbolos, F [m(t)] = 0, si | f |> W . La potencia de esta senal de informacion, Pm estara dadapor

Pm = lımT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2

| m(t) |2 dt .

Los parametros de la senal portadora, sc(t) = Ac cos(ωct+φ(t), podran ser modificados en formaproporcional a la senal de informacion. Entonces, se dice que el mensaje m(t) modula la senalportadora sc(t) en amplitud, frecuencia o fase, si luego del proceso, la amplitud, frecuencia ofase respectivamente, son una funcion de la senal del mensaje.

En otras palabras, se podrıa decir que el proceso de modulacion, convierte una senal debanda base en una senal pasabajo, en las vecindades de ωc, como se vera mas adelante. Lamodulacion de la portadora se realiza para lograr al menos uno de los siguientes objetivos:

1. Trasladar las frecuencias de una senal pasabajo en una senal pasabanda que cuadre conlas caracterısticas del canal por que se realizara la transmision.

2. Simplificar la estructura del transmisor utilizando altas frecuencias; por ejemplo en bajasfrecuencias se requieren grandes antenas.

3. Acomodar la transmision simultanea de senales de diferentes fuentes de informacion.

4. Expandir el ancho de banda de la senal transmitida para mejorar su inmunidad al ruidoe interferencias.

11

CAPITULO 2. MODULACION EN AMPLITUD

Los objetivos 1, 2 y 3 se pueden lograr mediante modulacion AM. El objetivo 4 se puedelograr mediante modulacion angular, que se vera en el siguiente capıtulo.

2.2. Modulacion con Portadora Suprimida

La modulacion en amplitud con portadora suprimida, double-sideband suppressed-carrier(DSB-SC), corresponde a la modulacion mas basica ya que se obtiene simplemente imprimiendoen forma directa la senal de informacion o mensaje, m(t), en la amplitud de la senal portadora.Esto se logra realizando la multiplicacion entre ambas senales. En efecto, considere la senalcosenoidal dada por

s(t) = A cos[θ(t)] = A cos[2πfct + δ] ;

ahora, si la amplitud A se hace variar con el tiempo, A ≡ A(t), esta recibe el nombre deenvolvente. Teniendo una amplitud proporcional a cierta senal de informacion m(t), vale decirA ≡ A(t) = kam(t) y asumiendo que sus variaciones son mucho mas lentas que las del anguloθ(t), se puede definir la senal AM de portadora suprimida como:

sm(t) := m(t) cos(2πfct) (2.1)

en donde, por simplicidad, se considera que ka y Ac son unitarias y, por definicion, la fase se hacenula. En esta senal se identifican: m(t) como la senal moduladora (mensaje), sc(t) = cos(2πfct)como la senal portadora y sm(t) como la senal modulada.

El resultado de aplicar la modulacion con portadora suprimida se puede ver en la Fig. 2.1,en donde se muestra el mensaje, la portadora y la senal modulada en el tiempo.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−4

−2

0

2

4

Men

saje

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1

−0.5

0

0.5

1

Car

rier

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−4

−2

0

2

4

Tiempo [s]

Sen

al M

odul

ada

Fig. 2.1. Modulacion DSB-SC. Senales en el tiempo

12


2.2.1. Espectro de una senal DSB-SC

Considerando que la TdeF de m(t) es M(f) ≡ F [m(t)], el espectro de la senal moduladaesta dado por:

F [sm(t)] = F [m(t) cos(2πfct)] =1

2M(ω + ωc) +

1

2M(ω − ωc) ,

en donde se ha aplicado la propiedad de traslacion en frecuencia de la transformada de Fourierde la funcion coseno.

Aplicando este principio al ejemplo dado en la Fig. 2.1, en dondem(t) = cosωmt+2 cos 2ωmt,el espectro del mensaje estara dado por:

M(f) ≡ F [m(t)] = F [cosωmt + 2 cos 2ωmt] =1

2δ(ω ± ωm) + δ(ω ± 2ωm) .

Ahora, el espectro de la senal modulada, quedara determinada por el desplazamiento en fre-cuencia dada por la portadora. En efecto,

F [sm(t)] =1

4δ[ω ± (ωc ± ωm)] +

1

2δ[ω ± (ωc ± 2ωm)] ,

lo que se comprueba en la Fig. 2.2. Aca se ha considerado que las frecuencias del mensaje y dela portadora son ωm = 200π, y ωc = 10000π, respectivamente.

−400 −300 −200 −100 0 100 200 300 4000

0.5

1

Men

saje

−5000 −4000 −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 4000 50000

0.2

0.4

Car

rier

−5000 −4000 −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 4000 50000

0.2

0.4

0.6

Sen

al M

odul

ada

Fig. 2.2. Modulacion DSB-SC. Espectro de las senales de la Fig. 2.1

Conforme a lo que se puede observar en la Fig. 2.2, los espectros pueden ser divididos enuna banda superior y una banda inferior. Se observa ademas que tanto la banda superior (UP,Upper Band) como la inferior (LB, Lower Band) poseen la misma informacion; vale decir, lainformacion se refleja sobre el eje de las ordenadas, por lo que se encuentra “repetida”. Ası, elnombre de esta modulacion se justifica por la presencia de ambas bandas en el espectro, y laausencia de la portadora en el mismo.

13


2.2.2. Demodulacion de DSB-SC

El proceso de recuperacion de la senal recibe el nombre de demodulacion y se realizamediante la multiplicacion de la senal modulada por la portadora, y la aplicacion de un filtropasabajos. En efecto, al realizar la multiplicacion, se tiene:

sm(t) cos(2πfct) = [m(t) cos(ωct)] cos(ωct)

= m(t) cos2(ωct)

= m(t)

[

1

2+

1

2cos(2ωct)

]

=1

2m(t) +

1

2m(t) cos(2ωct)

en donde se ha utilizando la identidad trigonometrica dada por 2 cos2 α = 1 + cos 2α.Ahora, tomando la TdeF se tiene:

F [sm(t) cos(2πfct)] = F

[

1

2m(t) +

1

2m(t) cos(2ωct)

]

=1

2M(ω) +

1

4M(ω ± 2ωc)

Entonces, al incluir un filtro pasabajo (LPF, Low-Pass Filter) con una frecuencia de corteinferior a 2ωc, pero superior a W , la senal original se obtendra a la salida del filtro, con unaatenuacion se puede despreciar si el filtro tiene ganancia 2 en la banda permitida. Evidentemente,se requiere que ωc > W , en donde W es el ancho de banda del mensaje m(t).

2.2.3. Problemas de Sincronizacion

Si la frecuencia del receptor ωc es diferente a la del transmisor, la demodulacion no re-sulta valida. Para demostrar esto, supongase una pequena diferencia en la frecuencia que sedenotara como ∆ω. Entonces, la portadora del receptor estara determinada por la ecuacioncos(ωc +∆ω)t. Luego, al entrar al demodulador, se generara la senal:

sm(t) cos(ωc +∆ω)t = m(t) cos(ωct) cos(ωc +∆ω)t

= m(t)

[

1

2cos∆ωt+

1

2cos(2ωc +∆ω)t

]

LPF→

1

2m(t) cos∆ωt .

Es evidente, que la senal obtenida a la salida del demodulador no corresponde ni en el tiemponi espectralmente a la senal originalmente enviada. Esto permite determinar que la deteccionpara una modulacion DSB-SC debe ser sincronica.

De igual forma, se puede demostrar que la deteccion requiere que el proceso se realice conportadoras de la misma fase, lo que implica tener una deteccion coherente en fase.

Para lograr tal sincronizacion, en transmisores de larga distancia, se envia una portadorapiloto, que es una portadora modificada en amplitud y frecuencia: atenuada y a una frecuenciaque no altere la transmision DSB-SC. La sincronizacion se logra utilizando circuitos PLL (Phase-Locked Loop)

14


2.2.4. Potencia de una senal DSB-SC

Para poder procesar el contenido de potencia de una senal DSB-SC, se emplea la definiciondada por la Ecuacion (1.6):

Psc = lımT→∞

1

T

∫ T2

−T2

s2m(t) dt

= lımT→∞

1

T

∫ T2

−T2

[m(t) cosωct]2(t) dt

=1

2lımT→∞

1

T

∫ T2

−T2

m2(t)[1 + cos 2ωct] dt

=1

2lımT→∞

1

T

∫ T2

−T2

m2(t) dt

=1

2Pm , (2.2)

en donde Pm representa la potencia en la senal del mensaje m(t). El penultimo paso en eldesarrollo se justifica en el hecho de que al calcular la integral de m2(t) cos 2ωct sobre un periodocompleto, se produce una cancelacion casi completa entre cada semiciclo ya que la envolventees muy suave. Ademas este pequeno valor de la integral, se pondera sobre T y dado que es muygrande, el aporte final en el resultado es nulo.

Ejemplo 2.1 - Potencia en DSB-SC.

Considerando un tono dado por m(t) = A cosωmt, determine la potencia de la senal moduladaen cada una de las bandas laterales. Para esto, considere que la portadora posee una amplituddada por Ac.Sol. Se sabe que la potencia media de una senal sinusoidal esta determinada por A2

2, luego

Psc = A2c

2Pm = A2

cA2

4. Dada la simetrıa de las bandas laterales, las potencias de la banda

superior e inferior, Pus y Pls, seran iguales a Pus = Pls =A2

cA2

8.

Notese, que el calculo de la potencia se puede realizar mediante calculos estadısticos alconsiderar que el valor medio de la potencia corresponde al valor medio del cuadrado de lasenal. En efecto,

Psc = E

s2m(t)

= E

m2(t) cos2 ωct

=1

2E

m2(t)

=1

2Pm , (2.3)

en donde E . representa la esperanza, que en este caso corresponderıa a la media temporal delas senales.

2.3. Modulacion con Gran Portadora

Dados los posible problemas de sincronizacion que presenta la modulacion con portadorasuprimida y puesto que utilizar una portadora piloto implica una mala utilizacion del ancho de

15


banda disponible, se plantea la solucion de transmitir el mensaje mas la portadora sin realizarninguna modificacion sobre ella. Ası, esta modulacion que es conocida como Double-SidebandLarge Carrier, DSB-LC o simplemente AM, esta descrita por la ecuacion:

sm(t) := Ac cosωct+m(t) cosωct = [Ac +m(t)] cosωct , (2.4)

en donde la forma de onda del mensaje, m(t), es elegida de tal forma que cumpla la condicionque max[m(t)] ≤ Ac. Mientras dicha condicion sea satisfecha, la amplitud Ac +m(t) sera siem-pre positiva, que es la condicion que se desea para el correcto funcionamiento del proceso dedeteccion como se comentara mas adelante. En caso contrario, se habla de sobremodulacion.

Como es de esperarse, la senal en el tiempo difiere de la obtenida mediante la modulacionDSB-SC, ya que con o sin presencia de la senal de mensaje, se tendra una senal a la salida: laportadora. La Fig. 2.3 muestra el resultado de aplicar la modulacion sobre el mismo mensajedescrito en la seccion anterior. Notese que la senal modulada es diferente y no se produce elcruce por cero al tener una senal bipolar. Para este ejemplo, se utilizo una amplitud de Ac = 3para la portadora agregada.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−4

−2

0

2

4

Men

saje

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1

−0.5

0

0.5

1

Car

rier

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−10

−5

0

5

10

Tiempo [s]

Sen

al M

odul

ada


Desde el punto de vista de diferencias espectrales, se puede observar que el problema desobremodulacion se logra eliminar si se mantiene bajo control la relacion que existe entre lasbandas laterales y la portadora. Para ello, se define el ındice de modulacion como la razonentre el maximo valor que adquiere la senal del mensaje, sobre la amplitud de la portadora. Ensımbolos,

a =max[m(t)]

Ac

. (2.5)

Resulta de interes mencionar que el problema de la sobremodulacion se presentara cuando elındice de modulacion sea mayor a la unidad. Ademas, de tener un ındice nulo no habra modu-lacion, por lo que la restriccion se reduce a limitar el ındice al rango 0 < a ≤ 1.

16


Al introducir el ındice de modulacion en la ecuacion que define la modulacion DSB-LC, setiene

sm(t) = [Ac +m(t)] cosωct

= Ac

[

1 +m(t)

Ac

]

cosωct

= Ac [1 + a mn(t)] cosωct ,

en donde se ha introducido la senal normalizada del mensaje mn(t), que asume el valor mınimode -1. Esto puede obtenerse, por ejemplo, mediante

mn(t) =m(t)

max[m(t)].

Es interesante considerar un tono de prueba,m(t) = cosωmt, para esta modulacion y estudiarque sucede cuando se tiene un ındice de modulacion a. Reemplazando, se tiene

sm(t) = Ac [1 + a cosωmt] cosωct

= Ac cosωct+ aAc cosωmt cosωct

= Ac cosωct+ aAc

2cos(ωc − ωm)t+ a

Ac

2cos(ωc + ωm)t ,

de donde se puede deducir que, en terminos espectrales, el incluir la portadora ha agregadotambien su espectro a la senal DSB-SC. Entonces, utilizando la propiedad de la suma de latransformada de fourier, el espectro de la senal DSB-LC corresponde a la suma de los espectrosindividuales de la senal DSB-SC y el espectro de la portadora. Esto se puede corroborar alobservar la Fig. 2.4, en donde aparece el espectro de la portadora amplificado en Ac unidades.

−400 −300 −200 −100 0 100 200 300 4000

0.5

1

Men

saje

−5000 −4000 −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 4000 50000

0.2

0.4

Car

rier

−5000 −4000 −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 4000 50000

0.5

1

1.5

Sen

al M

odul

ada


17


Es conveniente definir el porcentaje de modulacion para una senal DSB-LC, mediante

[% mod] =Amax − Amın

Amax + Amın100%

=(Ac +max[m(t)])− (Ac −max[m(t)])

(Ac +max[m(t)]) + (Ac −max[m(t)])100%

= a 100% (2.6)

en donde Amın y Amax corresponden al mınimo y maximo valores de amplitud que alcanza lasenal modulada, respectivamente.

2.3.1. Demodulacion de DSB-LC

Se puede demostrar que al igual que la demodulacion con portadora suprimida, la demodu-lacion con gran portadora se puede realizar mediante un proceso sinconico y coherente en fase.En efecto, al multiplicar por la portadora se obtiene

sm(t) cosωct = [Ac +m(t)] cos2 ωct

= [Ac +m(t)]

[

1

2+

1

2cos 2ωct

]

LPF→

1

2Ac +

1

2m(t) ,

en donde la constante 12Ac puede ser eliminada mediante algun mecanismo de filtrado basico.

Sin embargo, la mayor ventaja de esta modulacion es que la informacion se encuentra dispo-nible en la envolvente de la moduladora mientras se cumpla la condicion de no estar sobremo-dulando la senal transmitida. Ası, resulta facil visualizar que la informacion esta incluıda tantoen la envolvente positiva como negativa, por lo que se utiliza un rectificador para elegir unade ambas. Posteriormente, la senal se hace pasar por un filtro pasabanda (Bandpass Filter,BPF) para eliminar las altas frecuencias que no son de interes. Cabe recordar que otra condicionimplıcita para la modulacion AM, es que la frecuencia de la portadora sea mucho mayor que ladel mensaje, lo que justifica la utilizacion del filtro para eliminar la portadora. La combinacionrectificador-filtro se llama detector de envolvente, y resulta facil demostrar que el ancho debanda del filtro debe ser concordante con el ancho de banda de la senal del mensaje.

Idealmente, la salida de un detector de envolvente es de la forma

d(t) = k1 + k2m(t) ,

en donde k1 representa la componente DC y k2 es un factor de ganancia debido al demoduladorde senal. La componente DC puede ser eliminada pasando d(t) a traves de un transformador,en donde la salida sera entonces k2m(t).

18


2.3.2. Potencia de una senal DSB-LC

Considerando la potencia media para una senal con gran portadora se tiene

Plc = E

s2m(t)

= E

[Ac +m(t)]2 cos2 ωct

= E[

A2c + 2Acm(t) +m2(t)

]

cos2 ωct

=1

2E

A2c +m2(t)

=1

2A2

c +1

2E

m2(t)

=1

2A2

c +1

2Pm , (2.7)

en donde se considero que la senal del mensaje tiene media nula. Esta consideracion es validapara muchas senales, incluyendo senales de audio por lo que se utilizara a menudo en el desarrollodel capıtulo.

Entonces, la potencia de una modulacion AM con gran portadora corresponde a la sumaponderada de la potencia del mensaje y la potencia necesaria para transmitir la portadora.Resultara facil reconocer que la portadora no esta enviando ningun tipo de informacion util,por lo que es potencia que se “gasta” sin ningun beneficio en la transferencia de informacion.Para evaluar esto, considerese la fraccion de potencia total que se utiliza en enviar las bandaslaterales, que si contienen informacion:

η =Pinfo

Ptotal

=E m2(t)

A2c + E m2(t)

.

Considerando el caso mas simple en que el mensaje a transmitir es un tono, entoncesE m2(t) = E A2

m cos2 ωmt = 12a2A2

c , en donde a representa el ındice de modulacion. En-tonces,

η =12a2A2

c

A2c +

12a2A2

c

=a2

2 + a2;

Ası, al recordar que 0 < a ≤ 1, la eficiencia de transmision alcanzara a lo mas un 33.3%. Enlas mejores condiciones, es decir a = 1, un 66.6% de la potencia total se consume en transmitirla portadora y representa la potencia desperdiciada por lo que concierne a la transferencia deinformacion. Por el contrario, la eficiencia de transmision en un sistema DSB-SC es de 100% ypara un sistema DSB-SC con portadora piloto, es ligeramente menor a 100%.

Ejemplo 2.2 - Potencia en AM.

Considere una estacion de radio AM (DSB-LC) que transmite una potencia portadora promediototal de salida de 40kW y usa un ındice de modulacion de 0.707 para modulacion de senalsenoidal. Calcule la potencia promedio total de salida, la eficiencia de transmision y la amplitudpico de la portadora si la antena esta representada por una carga resistiva de 50Ω.Sol. La potencia total de la senal AM estara determinada por 1

2A2

c+12E m2(t) y como se obtuvo

anteriormente, para un tono E m2(t) = 12a2A2

c , entonces P = 12A2

c

[

1 + a2

2

]

= Pc

[

1 + a2

2

]

, en

donde Pc representa la potencia promedio de la portadora. Ası para a = 0,707, la potencia totalsera P = 50kW . La eficiencia de transmision estara determinada por η = 0,5

2+0,5= 20%. Ahora

bien, al considerar la carga resistiva, Pc = A2

2R, lo que significa que A = 2000, y la maxima

amplitud estara determinada por Amax = (1 + a)A = 3414[V ].

19


La simplicidad del demodulador ha hecho de la modulacion DSB-LC una practica eleccionpara radiodifusion AM. Dado que existen billones de receptores, utilizar alguna alternativaeconomica es algo extremadamente importante. La ineficiencia de potencia de esta modulacionse justifica al pensar el hecho de que existen solo algunos transmisores frente a los billones dereceptores antes mencionados; consecuentemente, construir transmisores poderosos y sacrificareficiencia es efectivo en terminos de costos ya que los receptores resultan ser muy sencillos.

2.4. Modulacion de Banda Lateral Unica

Se sabe que la transmision de senales de doble banda lateral requiere –como su nombre loindica– el doble del ancho de banda del mensaje, W , al momento de transmitirse; sin embargo,estas dos bandas laterales son reduntantes. Entonces, ¿Se podra transmitir una sola bandadado que esta contiene toda la informacion del mensaje? La respuesta a esta interrogante sepuede encontrar demostrando que cualquiera de las dos bandas que se trasmitan es suficientepara reconstruir la senal del mensaje m(t) en el receptor. Esta transmision recibe el nombre desingle-sideband (SSB) AM.

2.4.1. Expresion Matematica senales SSB

Considere que m(t) es la senal de informacion y que tiene una transformada de Fourierdeterminada por M(f). La generacion de la senal SSB se hara tomando la banda superior(inferior) mediante algun filtro pasa alto (pasa bajo) de la salida de un modulador DSB-SC.Dicha salida estara determinada por

sdsb−sc(t) = Acm(t) cosωct ,

que espectralmente estara determinada por

Sdsb−sc(t) = AcM(f − fc) + AcM(f + fc) .

Asumiendo que se utilizara la banda superior, a la salida del modulador DSB-SC se tieneun filtro pasa alto (HPF) con respuesta

HPF =

1 , | f |< fc0 , i.o.c.

,

lo que se puede escribir mediante

HPF = u(f − fc) + u(−f − fc) ,

en donde u(f) es la funcion escalon unitaria. A la salida del filtro el espectro de la senal moduladaestara determinada por

SM(f) = AcM(f − fc)u(f − fc) + ACM(f + fc)u(−f − fc) .

20


Tomando la transformada inversa de Fourier en ambos lados de la ecuacion, se tiene

sm(t) = Acm(t) ∗ F−1 [u(f − fc)] + Acm(t) ∗ F−1 [u(−f − fc)]

= Acm(t) ∗ F−1 [u(f)] ejωct + Acm(t) ∗ F−1 [u(−f)] e−jωct ,

en donde ∗ representa la convolucion en el tiempo. Utilizando el hecho de que

F

[

1

2δ(t)±

j

2πt

]

= u(±f) ,

la transformada inversa queda finalmente expresada mediante

sm(t) = Acm(t) ∗

[

1

2δ(t) +

j

2πt

]

ejωct + Acm(t) ∗

[

1

2δ(t)−

j

2πt

]

e−jωct .

Considerando que m(t)∗δ(t) = m(t) y que m(t)∗ 1πt

= m(t) corresponde a la transformada

de Hilbert de m(t), entonces se obtiene que

sm(t) =Ac

2[m(t) + jm(t)]ejωct +

Ac

2[m(t)− jm(t)]e−jωct ,

en donde, al utilizar la igualdad de Euler, e±jα = cosα± j sinα, se obtiene la expresion

susb(t) = Acm(t) cosωct− Acm(t) sinωct . (2.8)

Para obtener la expresion para la banda inferior, se debe tener en cuenta que slsb+susb = sdsb,y como sdsb = 2Acm(t) cosωct, entonces

slsb(t) = Acm(t) cosωct+ Acm(t) sinωct . (2.9)

En resumen, la senal SSB se expresa de la forma

sssb(t) = Acm(t) cosωct∓Acm(t) sinωct , (2.10)

en donde m(t) corresponde a la transformada de Hilbert del mensaje, y el signo determina cualbanda se esta utilizando. El signo positivo indica la banda lateral inferior, y el signo negativoindica la banda lateral superior.

Es interesante considerar que la transformada de Hilbert puede ser visto como un filtro linealcon respuesta a entrada impulso dada por h(t) = 1

πty respuesta en frecuencia dada por

H(f) =

−j , f > 0j , f < 00 , f = 0

,

por lo que la implementacion no resulta ser complicada.

21


2.4.2. Demodulacion Senales SSB

Para recuperar la senal de mensaje, se requiere un demodulador sincronico o coherente enfase al igual que para el caso de la modulacion DSB-SC.

Al considerar una deteccion con un pequeno error de fase φ, entonces se tiene

r(t) cos(ωct + φ) = [m(t) cosωct + m(t) sinωct] cos(ωct + φ)

=1

2m(t) cosφ+

1

2m(t) sinφ+ (terminos de frecuencia doble)

LPF→

1

2m(t) cosφ+

1

2m(t) sinφ (2.11)

Se debe notar que de no existir diferencias de fase, la salida serıa 12m(t). La diferencia

existente no solo reduce la amplitud de la senal deseada en cos φ, sino que ademas agrega unabanda lateral indeseable dada por la presencia de m(t).

Para solucionar el problema, al igual que con DSB-SC, se transmite un tono piloto a lafrecuencia portadora, para ası tener una referencia de senal coherente en fase y efectuar unademodulacion sincronica en el receptor. ¿Que pasa con la demodulacion al tener un error ∆ω?

2.5. Modulacion de Banda Lateral Residual

Los altos requerimientos en frecuencia que se imponen en el filtro de las bandas lateralespueden relajarse levemente dejando que tambien pase un residuo, que serıa una porcion de unabanda lateral no deseada. Ası, el diseno del filtro se simplifica al costo de un leve incrementoen el ancho de banda requerido del canal con respecto a SSB pero que resulta ser menor queel ocupado en una modulacion DSB. Se se transmite ademas una portadora, la senal puederecobrarse con un detector de envolvente, teniendo lo mejor de DSB-LC y SSB en una mismamodulacion.

Esta modulacion es apropiada para senales que tienen una componente de baja frecuenciamuy importante como por ejemplo senales de video, lo que explica porque este tipo de modu-lacion se utiliza en difusion de TV.

2.6. Ruido en AM

Las senales transmitidas mediante las modulaciones vistas anteriormente, siempre se veranafectadas por la presencia de ruido que se agregara durante el “viaje” que estas realizan a travesdel canal de comunicacion. En la mayorıa de los casos es el ruido electronico el que pertubalas senales durante la transmision, por lo que la senal recibida correspondera a la suma de lasenal de interes, sm(t), y ruido electronico que se modela mediante ruido blanco aditivo, n(t).En sımbolos, la senal recibida en el demodulador, r(t), esta determinada por

r(t) = sm(t) + n(t) ,

siendo n(t) un proceso de ruido blanco aditivo Gaussiano, Additive White Gaussian Noise(AWGN). En terminos practicos es el canal el que agrega este AWGN por lo que el presen-

22


te estudio suele recibir el nombre de Transmision de senales a traves de un canal AWGN osimplemente Deteccion de Senales en la presencia de AWGN.

Dada la presencia de este ruido, el concepto de la razon senal-ruido visto en la Seccion 1.6.2toma vital importancia, puesto que los niveles de ruido o de senal por si solos no representan nadasi no se comparan entre ellos. Por otra parte, esta comparacion permite introducir el conceptode senal mınima detectable, que corresponde a la mınima senal que el sistema podra detectaren la presencia de ruido blanco.

2.6.1. Senales Pasabajo y Pasabanda

Una senal pasabajo es una senal cuyo espectro esta contenido en torno a la frecuencia cero.Por otro lado, una senal pasabanda es una senal cuyo espectro esta centrado en torno a otrafrecuencia, ω0, distinta de cero y mayor al ancho de banda de la senal.

El caso extremo de senales pasabanda, es aquella que tiene solo una componente en frecuenciay es igual a ω0. Generalmente, puede ser escrita mediante

x(t) = A cos(ω0t+ φ) ,

que corresponde a una senal sinusoidal. La senal x(t) se puede expandir mediante

x(t) = A cos(ω0t+ φ)

= A cosφ cosω0t− A sinφ sinω0t

= xc cosω0t− xs sinω0t ,

en donde se puede ver que una senal de frecuencia unica, tiene dos componentes. La primera,xc = A cosφ que esta en la direccion de cosω0t es llamada componente en fase y la segunda, xs =A sinφ, que esta en la direccion de − sinω0t es llamada componente de cuadratura. Asumiendoahora de que tanto la amplitud como la fase de la senal pueden sufrir variaciones muy lentascon respecto a ω0, la senal expandida quedarıa

x(t) = A(t) cos[ω0t + φ(t)]

= A(t) cos[φ(t)] cosω0t− A(t) sin[φ(t)] sinω0t

= xc(t) cosω0t− xs(t) sinω0t . (2.12)

Esta senal contiene un rango de frecuencias, por lo que su ancho de banda no es cero, perocomo las variaciones de la envolvente y de la fase con lentas, dicho ancho de banda resulta sermenor que el valor de ω0. Ademas, esto lleva a concluir que tanto la componente en fase comoen cuadratura son senales pasabajo.

El resultado obtenido en la Ecuacion (2.12), dice basicamente que cualquier senal pasabandapuede ser representada mediante dos senales pasabajo, conocidas como componentes en fase yen cuadratura.

2.6.2. Ruido Pasabanda

En muchos casos, el ruido blanco generado en una etapa de un sistema, es filtrado por lasiguiente etapa, por lo que en la siguiente etapa se encuentra un ruido filtrado que es un proceso

23


pasabanda, es decir, su densidad espectral de potencia esta ubicada fuera de la frecuencia ceroy centrada mayormente alrededor de cierta frecuencia ωc que es distinta de cero y es mayor queel ancho de banda del proceso.

En terminos practicos, se podrıa considerar que el ruido pasabanda corresponde a la porcionde ruido blanco que logra pasar a traves de los filtros de entrada en un receptor AM. Dado quela entrada de un receptor esta sintonizado en torno a la frecuencia de la portadora, existira dichaporcion de ruido blanco que logra “entrar” al receptor, perturbando la senal modulada. Conesta descripcion intuitiva, resulta mas sencillo visualizar que el AWGN pasa a ser un ruidopasabanda dentro del proceso de demodulacion.

Como se discutio en la Seccion 2.6.1, este proceso pasabanda se podra descomponer en suscomponentes en fase y de cuadratura, por lo que se podra describir mediante

n(t) = nc(t) cosωct− ns(t) sinωct , (2.13)

en donde nc(t) y ns(t) son las componentes en fase y de cuadratura respectivamente. La potenciamedia de este ruido estara determinada por

N = E

n2(t)

= E

n2c(t) cos

2 ωct+ n2s(t) sin

2 ωct

=1

2E

n2c(t)

+1

2E

n2s(t)

. (2.14)

Mediante analisis de las PSD de cada una de las componentes, se puede demostrar que

N = E

n2(t)

= E

n2c(t)

= E

n2s(t)

. (2.15)

2.6.3. Ruido en Sistemas DSB-SC

La senal modulada para sistemas DSB-SC esta determinada por sm(t) = m(t) cosωct yel ruido pasabanda presente en el demodulador estara descrito mediante un ruido pasabandan(t) = nc(t) cosωct− ns(t) sinωct. Ası, la entrada el receptor estara determinada por

r(t) = sm(t) + n(t) = m(t) cosωct+ nc(t) cosωct− ns(t) sinωct .

Ahora bien, la potencia de la senal estara dada por

Si = E

s2m(t)

= E

m2(t) cos2 ωct

=1

2E

m2(t)

,

y la potencia del ruido a la entrada sera Ni = E n2c(t), conforme a la Ecuacion (2.15). Ası la

potencia de la senal recibida estara dada por 12E m2(t)+ E n2

c(t).Entonces, al pasar por el demodulador sincronico y coherente en fase, la senal demodulada

quedara determinada por

r(t) cosωct = [m(t) cosωct+ nc(t) cosωct− ns(t) sinωct] cosωct

= m(t) cos2 ωct+ nc(t) cos2 ωct− ns(t) sinωct cosωct

=1

2m(t) +

1

2m(t) cos 2ωct +

1

2nc(t) +

1

2nc(t) cos 2ωct−

1

2ns(t) sin 2ωct

LPF→

1

2m(t) +

1

2nc(t) = so(t) + no(t) ,

24


en donde se han utilizado las identidades trigonometricas dadas por 2 cos2 α = 1 + cos 2α y2 sinα cosα = sin 2α. Notese que a la salida del demodulador sincronico, se tiene la presencia dela senal demodulada –como se vio anteriormente– y el ruido que fue capaz de pasar. La potenciade la senal de salida estara determinada por

So = E

s2o(t)

= E

[

1

2m(t)

]2

=1

4E

m2(t)

=1

2Si ,

y la potencia del ruido a la salida sera

No = E

n2o(t)

= E

[

1

2nc(t)

]2

=1

4E

n2c(t)

=1

4Ni .

Entonces, la razon senal ruido del receptor sincronico para una senal DSB-SC estara deter-minada por

SNRo =So

No=

12Si

14Ni

= 2Si

Ni(2.16)

Se puede notar, que el receptor mejora la SNR en un factor de 2, lo que se logra ya queel detector coherente rechaza todas las componentes fuera de fase de la entrada, es decir, encuadratura. Esto a su vez reduce la potencia media del ruido a la mitad de su valor a la entrada.

2.6.4. Ruido en Sistemas DSB-LC

Para DSB-LC, al utilizar un detector sincronico, se tiene que m(t) es reemplazado porAc +m(t), luego

Si = E

[Ac +m(t)]2 cos2 ωct

=1

2Ac +

1

2E

m2(t)

,

pues se asume que E m(t) = 0. La salida del demodulador seguira siendo So = 14E m2(t),

luego

So =12E m2(t)

A2c + E m2(t)

Si ,

y la razon senal ruido a la salida del demodulador estara determinada por

SNRo =So

No=

1

2Em2(t)

A2c+Em2(t)

Si

14Ni

=2E m2(t)

A2c + E m2(t)

Si

Ni. (2.17)

Como existe la restriccion | m(t) |< A, la SNR es un poco mas pobre que para la modulacionDSB-SC.

25


Ruido en Sistemas DSB-LC con Detector de Envolvente

Al igual que para el caso de detector sincronico, la senal y ruido de entrada se mantieneniguales. Entonces

Si =1

2Ac +

1

2E

m2(t)

y, Ni = E

n2c(t)

.

Lamentablemente, el detector de envolvente es un sistema no lineal y solo se puede estableceralgunos lımites de su comportamiento. Usando una representacion del ruido pasabanda, la senalrecibida estara determinada por

r(t) = si(t) + ni(t) = [Ac +m(t)] cosωct+ nc(t) cosωct− ns(t) sinωct ,

cuya envolvente estara determinada por

e(t) =√

[Ac +m(t) + nc(t)]2 + n2s(t) ,

pues corresponde a la resultante de la suma fasorial de las componentes en fase y cuadratura.Se puede demostrar, que para una razon senal-ruido alta, la envolvente se puede aproximar pormedio de una expansion binomial para obtener

e(t) ≈ Ac +m(t) + nc(t) .

Aca, la senal util es so(t) = m(t), por lo que So = E m2(t), mientras que el ruido esno(t) = nc(t), por lo que No = E n2

c(t) = Ni. Entonces

SNRo =So

No

=2E m2(t)

A2c + E m2(t)

Si

Ni

, (2.18)

para DSB-LC con detector de envolvente y SNR alta. Notese que la relacion es identica a laobtenida mediante modulacion sincronica, por lo que ambas tienen el mismo comportamientofrente al ruido.

En el caso particular de modular un tono, la SNR se vera traducida en

SNRo =2a2

2 + a2Si

Ni

,

por lo que el maximo aumento en la SNR para una modulacion completa sera de 23.

2.6.5. Ruido en Sistemas SSB

Considerando la representacion de una senal SSB dada por

sm(t) = m(t) cosωct∓ m(t) sinωct ,

que sera la senal de entrada al receptor y un ruido pasabanda, se tiene:

Si = E

s2m(t)

= E

[m(t) cosωct∓ m(t) sinωct]2

= E

m2(t) cos2 ωct∓ 2m(t)m(t) cosωct sinωct+ m2(t) sin2 ωct

=1

2E

m2(t)

+1

2E

m2(t)

.

26


Se puede utilizar el Teorema de Parseval para demostrar que E m2(t) = E m2(t), por lo que

Si = E

m2(t)

.

Ademas, conforme a lo estudiado anteriormente el ruido de entrada tendra una potencia mediade Ni = E n2

c(t).Ahora bien, la salida del detector sincronico y coherente en fase para la modulacion SSB

esta determinada por la Ecuacion (2.11) al considerar una fase nula, es decir φ = 0. Enla presencia de ruido pasabanda, resultara sencillo demostrar que la senal de salida totalsera 1

2m(t) + 1

2nc(t). La senal util es 1

2m(t) por lo que

So =1

4E

m2(t)

=1

2Si .

Para el caso del ruido de salida, la potencia sera

No =1

4E

n2c(t)

=1

4Ni .

Ası, la razon senal-ruido estara determinada por

SNRo =So

No=

12Si

14Ni

=Si

Ni.

Como DSB requiere el doble de ancho de banda que SSB y se ha considerado que el ruido pre-sente es modelado por ruido pasabanda, entonces se puede concluir que ambas demodulacionespresentan el mismo desempeno frente al ruido.

27

Capıtulo 3

Modulacion Angular

COMENTAR ALGO...

3.1. Introduccion

En el presente capıtulo se estudiaran los metodos de modulacion en frecuencia (FrequencyModulation, FM) y de modulacion en fase (Phase Modulation, PM). En FM, la frecuencia delcarrier fc es modificada conforme las variaciones en la senal del mensaje y en PM es la fase dela senal portadora la que es modificada en base al mismo patron.

Ambas modulaciones en conjunto son llamadas Modulaciones Angulares, son no-lineales,mucho mas complejas de implementar y mucho mas dificiles de analizar, por lo que muchasveces se recurre a analisis aproximados. A pesar de estas potenciales desventajas y ademas denecesitar un ancho de banda mayor, dada su alta inmunidad al ruido son altamente utilizadosen sistemas Hi-Fi.

3.2. Representacion Matematica

El angulo de una senal senoidal, se describe en terminos de una frecuencia y un angulo defase:

sc(t) = A cos [ωct+ φ(t)] = A cos [θ(t)] .

Basandose en una representacion fasorial, con velocidad angular constante, la relacion entreesta representacion y el angulo de la funcion senoidal, θ(t), es:

θ(t) =

∫ t

0

ωi(τ) dτ + θ0 ,

en donde ωi(t) es la frecuencia angular instantanea y θ0 es una constante real arbitraria. Deri-vando , se puede obtener que

ωi(t) =d θ(t)

dt= ωc +

d φ(t)

dt(3.1)

28

CAPITULO 3. MODULACION ANGULAR

Considerando que el angulo de fase es proporcional a cierta senal de entrada (mensaje) m(t),vale decir φ(t) = kpm(t) se tiene que

θ(t) = ωct+ kpm(t) ,

con ωc y kp constantes. Como es la fase la que esta relacionada en forma lineal con el mensaje,esta modulacion recibe el nombre de Modulacion en Fase.

Por otra parte, si ahora se supone que la frecuencia de la portadora se modifica en factoresde ∆ω = kfm(t), entonces la frecuencia instantanea estara dada por

ωi(t) = ωc + kfm(t) , (3.2)

en donde ωc y kf son constantes. Este caso, se conoce como Modulacion en Frecuencia.Es importante tener en cuenta, que las constantes kp y kf reciben el nombre de constantes dedesviacion de fase y de frecuencia respectivamente.

Notese que la relacion que existe entre ambas modulaciones se puede obtener usando el hechode que

ωi(t)− ωc = kfm(t) =d φ(t)

dt,

entonces, por la Ecuacion (3.1), se tiene

φ(t) =

kpm(t) , PM

2πkf∫ t

−∞m(τ) dτ , FM

(3.3)

Para un mensaje de informacion m(t), entonces las desviaciones maximas que se puedenproducir en fase y frecuencia estan dadas por

∆φmax = kpmax| m(t) | , para PM; y (3.4)

∆fmax = kf max| m(t) | , para FM. (3.5)

Ejemplo 3.1 - Modulacion Tono de Prueba.

Encontrar la senal modulada por un tono de prueba m(t) = A cosωmt.Sol. Para la modulacion PM, φ(t) = kpm(t) = Akp cosωmt y para FM, φ(t) = kf

∫ t

−∞m(τ) dτ =

Akffm

sinωmt, con fm = ωm/2π. Ası, la senal modulada, sm(t), estara dada por

sm(t) =

Ac cos [ωct+ Akp cosωmt] , PM

Ac cos[

ωct+Akffm

sinωmt]

, FM.

Se definen los ındices de modulacion angular mediante

βp = kpmax| m(t) | = ∆φmax , (3.6)

βf =kf max| m(t) |

W=

∆fmax

W, (3.7)

en donde W representa el ancho de banda del mensaje m(t). Para el caso particular del Ejem-plo 3.1, se tiene que βp = Akp y βf = Akf/fm.

29


3.3. FM de Banda Angosta

Considere la modulacion en frecuencia para un tono de prueba, como se hizo en el Ejem-plo 3.1. El angulo de la portadora, estara determinado por

θ(t) = ωct+ βf sinωmt ,

por lo que la senal modulada estara determinada por Ac cos [ωct+ βf sinωmt].Utilizando trigonometrıa, se obtiene la relacion

sm(t) = A cosωct cos [β sinωmt]− A sinωct sin [β sinωmt] .

Si se quiere utilizar un ancho de banda pequeno para realizar la modulacion, esto se traduceen mantener pequeno el valor de ∆ω. Como βf = ∆ω

Wy W > 0, esto significa que βf sera muy

pequeno. A su vez, sinωmt ≥ 1 por lo que para un βf muy pequeno se pueden realizar lasaproximaciones

cos [β sinωmt] ≈ 1 , y (3.8)

sin [β sinωmt] ≈ β sinωmt . (3.9)

Ası, FM de banda angosta (Narrow Band FM, NBFM ) se escribe como

snbfm(t) = A cosωct− Aβ sinωmt sinωct . (3.10)

Si se considera un caso mas general, entonces la fase φ(t) que depende de las constantesde desviacion y del mensaje, debera ser siempre φ(t) << 1, para todo t. Ası, la ecuacion paraNBFM queda determinada por

snbfm(t) = A cos [ωct + φ(t)] , φ(t) << 1

= A cosωct cosφ(t)− A sinωct sinφ(t), φ(t) << 1

≈ A cosωct−Aφ(t) sinωct , (3.11)

en donde, al igual que para el tono de prueba, se han utilizado las aproximaciones cosφ(t) ≈ 1y sinφ(t) ≈ φ(t), conforme a que φ(t) << 1. Esta ecuacion tiene una similitud increıble con lasenal modulada en amplitud DSB-LC, sin embargo aca la modulacion se realiza mediante unafuncion seno, que no esta en fase con la funcion coseno. Esto ultimo implica que la amplitud dela senal resultante estara determinada por la hipotenusa del triangulo rectangulo formado porlos fasores de la portadora y del mensaje modulado.

FALTA cota de BETA

3.4. FM de Banda Ancha

Dada la no-linealidad inherente a los sistemas de modulacion angular, en analisis exactoresulta ser muy complejo en terminos matematicos, por lo que usualmente se requieren apro-ximaciones para realizar dicho estudio. Para este curso, se estudiara el caso particular de lamodulacion de banda ancha con un tono de prueba.

30


Considerese entonces el caso en donde se modula un tono sinusoidal de prueba1. La senalmodulada estara dada por

sm(t) = A cos [ωct+ β sinωmt] ,

en donde β es el ındice de modulacion que puede ser βp o βf si sinωmt se reemplaza por cosωmt.Considerando la relacion de Euler, la senal modulada se puede escribir como

sm(t) = Re

Aejωctejβ sinωmt

.

Dado que la funcion sinωmt es periodica con periodo Tm = 1fm

= 2πωm

, tambien lo sera la ex-

ponencial compleja ejβ sinωmt, por lo que se puede expander en series de Fourier. Los coeficientesde dicha serie se obtienen de la integral

cn =1

Tm

∫ Tm

0

ejβ sinωmt e−jnωmt dt

=1

Tm

∫ Tm

0

ejβ sinωmt−nωmt dt

u=ωmt=

1

2π

∫ 2π

0

ejβ sinu−nu dt . (3.12)

Esta ultima expresion es una integral muy conocida que recibe el nombre de Funcion deBessel de Primera Clase, de orden n y argumento β y que se denota como Jn(β). Entonces laexpansion en series de Fourier buscada queda expresada como

ejβ sinωmt =

+∞∑

n=−∞

Jn(β) ejnωmt ,

por lo que la senal modulada quedara expresada mediante

sm(t) = Re

Aejωct+∞∑

n=−∞

Jn(β) ejnωmt

= Re

A+∞∑

n=−∞

Jn(β) ejnωmt ejωct

= A

+∞∑

n=−∞

Jn(β) cos(ωc + nωm)t (3.13)

A modo de ejemplificacion, la Tabla 3.1 muestra algunos valores de la funcion de Bessel paradistintos ındices de modulacion. Resulta de interes considerar las siguientes propiedades de lafuncion de Bessel

1. Jn(β) es de valor real

2. Jn(β) = J−n(β) para n par

1Esto quiere decir un seno en PM y un coseno en FM.

31


3. Jn(β) = −J−n(β) para n impar

4.∑+∞

n=−∞ Jn(β)2 = 1

Expandiendo la Ecuacion (3.13) se tiene

sm(t) = A

[

J0(β) cosωct + J1(β) cos(ωc + ωm)t + J2(β) cos(ωc + 2ωm)t + · · ·+ J−1(β) cos(ωc − ωm)t + J−2(β) cos(ωc − 2ωm)t + · · ·

]

,

pero si se utilizan las propiedades 2 y 3 de la funcion de Bessel, entonces la expansion quedadeterminada por

sm(t) = A

J0(β) cosωct + J1(β)[cos(ωc + ωm)t − cos(ωc − ωm)t]+ J2(β)[cos(ωc + 2ωm)t + cos(ωc − 2ωm)t]

+ J3(β)[cos(ωc + 3ωm)t − cos(ωc − 3ωm)t] + · · ·

.

En el ultimo desarrollo se puede notar que la modulacion angula tiene frecuencias de laforma ωct + nωm para n = 0,±1,±2,±3, . . . por lo que su ancho de banda real de la senalmodulada es infinito. Sin embargo, dado que al aumentar n la amplitud de las sinusoidales sehacen cada vez mas pequenas como se puede observar en la Tabla 3.1, entonces se habla de unAncho de Banda Efectivo de una senal modulada en frecuencia que resulta finito.

Nace entonces la pregunta ¿Que valor de la funcion de Bessel se considerara como parte delancho de banda y que valor se dejara fuera? La mejor forma de responder esto, es medianteconsideraciones de potencia. En general el ancho de banda efectivo para una modulacion angularse define como la frecuencia en la que se incluye al menos un 98% de la potencia total2. En lapractica, se utiliza como referencia la portadora no modulada y se considera como significativauna componente con magnitud igual o mayor al 1% de dicha senal, luego

| Jn(β) |≥ 0,01 , (3.14)

sera la cota que determina el ancho de banda efectivo. Sin embargo, esto no quiere decir quepara algun valor de n anterior no se logre ya incluir dicho 98%.

Tabla 3.1. Tabla de valores de la funcion de Bessel para diferentes ındices de modulacion

β J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10

0.1 0.998 0.050 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0000.5 0.938 0.242 0.031 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0001.0 0.765 0.440 0.115 0.020 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0002.0 0.224 0.557 0.353 0.129 0.034 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000 0.0003.0 -0.260 0.339 0.486 0.309 0.132 0.043 0.011 0.003 0.000 0.000 0.0004.0 -0.397 -0.066 0.364 0.430 0.281 0.132 0.049 0.015 0.004 0.001 0.0005.0 -0.178 -0.328 0.047 0.365 0.391 0.261 0.131 0.053 0.018 0.006 0.00110.0 -0.246 0.043 0.255 0.058 -0.220 -0.234 -0.014 0.217 0.318 0.292 0.207

2Esto quiere decir que se desprecia un 1% por cada una de las bandas, inferior y superior.

32


3.5. Ancho de Banda en FM

Utilizando las componentes que cumplen la condicion impuesta en la Ecuacion (3.14), resultafacil notar que el ancho de banda de una senal modulada en frecuencia se calculara mediante

B = 2nW , (3.15)

en donde W es el ancho de banda del mensaje y que para el caso del tono de prueba correspondea fm.

Si se considera que los Jn(β) disminuyen con rapidez para n > β, entonces el ancho de bandacon un ındice de modulacion muy grande puede aproximarse tomando la ultima banda lateralen que n = β, luego

B = 2nfm ≈ 2βfm = 2∆f

fmfm = 2∆f , para β muy grande.

Por otra parte, para valores pequenos de β, las unicas funciones de Bessel con magnitudsignificativa son J0 y J1, conforme a lo estudiado para NBFM. Luego se puede realizar laproximacion

B ≈ 2fm, para β muy pequeno.

Estas aproximaciones se pueden generalizar mediante la Regla de Carson que determinael ancho de banda de una senal FM mediante

Bc ≈ 2(∆f + fm) = 2(1 + β)fm . (3.16)

En general, la aproximacion de Carson es menor al ancho de banda exacto determinado por laEcuacion (3.15).

La Tabla 3.2 muestra un resumen con las principales aproximaciones utilizadas en el calculodel ancho de banda.

Tabla 3.2. Aproximaciones para el calculo del ancho de banda de FM

Valor Clasificacion Aproximacion

β < 0,316 Banda Angosta B ≈ 2fmβ > 0,316 Banda Ancha ∄β > 30 Banda Ancha B ≈ 2∆fβ > 50 Banda Ancha n = β

3.6. Potencia en FM

La potencia total de una senal modulada en frecuencia sera

PFM = E

s2m(t)

= A2E

[

+∞∑

n=−∞

Jn(β) cos(ωc + nωm)t

]2

,

33


entonces, considerando que el valor medio de la funcion coseno es cero y que el valor medio desu version cuadratica es un medio, se puede obtener que

PFM = A2E

+∞∑

n=−∞

J2n(β) cos

2(ωc + nωm)t

=1

2A2

+∞∑

n=−∞

J2n(β) .

En base a la propiedad 4 de la funcion de Bessel, se obtiene que la potencia de una senalmodulada en frecuencia (o fase) es

PFM =1

2A2 , (3.17)

que corresponde a la potencia de la senal portadora y, evidentemente, es constante para cualquierındice de modulacion.

Cualquier banda lateral, incluyendo la portadora, se puede hacer tan pequena como sedesee eligiendo un valor de β apropiado. Esto quiere decir que para algunos valores del ındicede modulacion como β = 2,405 o β = 5,52, se lograra cancelar el termino portador J0(β),concentrando toda la potencia promedio en las bandas laterales. Estos puntos son faciles deidentificar en un analizador de espectro y sirven como puntos de calibracion para β y ∆f .

3.7. Demodulacion de Senales FM

Existen dos metodologıas que se estudiaran en el curso: forma directa e indirecta de laobtencion de la senal de mensaje, m(t).

3.7.1. Metodo Directo

Si se toma la primera derivada de la senal modulada en angulo con respecto al tiempo, seobtiene

d

dtsm(t) =

d

dtA cos

[

ωct+ kf

∫ t

0

m(τ) dτ

]

= −A[ωc + kfm(t)] sin

[

ωct+ kf

∫ t

0

m(τ) dτ

]

,

en donde se distingue una envolvente dada por −A[ωc+kfm(t)] y una senal sinusoudal dada por

sin[

ωct + kf∫ t

0m(τ) dτ

]

. En la envolvente se encuentra la senal de informacion m(t) sumado

a un valor continuo que puede ser facilmente eliminada por filtrado. Ası, resulta claro que laforma de realizar una demodulaccion es utilizando un detector de envolvente a continuacionde un derivador. La senal de salida sera entonces m(t) al pasarla por un filtro que elimine lacomponente continua, como por ejemplo un transformador 1:1 sintonizado en el ancho de bandadel mensaje, W .

34


Fig. 3.1. Diagrama de Bloques de phase-locked loop (PLL)

3.7.2. Metodo Indirecto

Otra forma de realizar la deteccion es utilizando un lazo de fase cerrada, o phase-locked loop(PLL) que tambien recibe en nombre de “Lazo de seguimiento de Fase”.

En la Fig. 3.1 se muestra el diagrama de bloques de un PLL. Ambas entradas al comparadorde fase se suponen periodicas y con la misma frecuencia fundamental. El comparador de fasedetecta la diferencia en el tiempo entre las dos senales y produce una tencion de salida propor-cional a dicha diferencia. Para entradas sinusoidales, esta diferencia en tiempo puede expresarsetambien como diferencia de fase.

En general, la salida del comparador de fase es proporcional al valor promedio del productode las dos entradas, en funcion de sus desplazamientos relativos en el tiempo. Si las entradasson x(t) e y(t), esto puede expresarse como

1

T

∫ T

0

x(t)y(t+ τ) dt = Rxy(τ) ,

en donde T es el periodo de la senal de entrada. Entonces, la salida del comparador es propor-cional a la correlacion cruzada entre las senales de entrada. Si ambas entradas son senoidales,entonces la salida sera proporcional a la correlacion de dos funciones cosenoidales. En sımbolos

Rxy(τ) =1

2AxAy cosωcτ ,

en donde Ax y Ay son las amplitudes maximas de x(t) e y(t) respectivamente.Si se grafica la funcion de correlacion cruzada, se observa que la salida es cero en los multi-

plos impares de ±T/4. Estos puntos se llaman nulos y corresponde a los puntos de operaciondeseados, por lo que el resto del PLL se disena para ello. Nombrando como φi(t) y φf(t) alas fases de entrada y de realimentacion respectivamente, entonces la salida del comparadoralrededor del punto de operacion es

vc(t) = kc[φi(t)− φf(t)] = kc∆φ . (3.18)

35


La finalidad del filtro de lazo, es lograr controlar la respuesta dinamica del PLL. Supongaque dicho filtro tiene respuesta a entrada impulso denotada por h(t), entonces la salida del lazosera

vo(t) = vc(t) ∗ h(t) , (3.19)

por lo que h(t) se disena para modificar el comportamiento del lazo de salida.La salida del Oscilador Controlado por Tension, Voltage Controlled Oscilator (VCO) genera

una senal periodica de amplitud constante cuya fundamental es proporcional a la senal deentrada. Si ωf es la frecuancia instantanea con respecto a la fundamental, se tiene que ωf =kfvo(t), en donde la constante kf tiene dimensiones de radianes por segundo por volt. Entonces,la fase del VCO es, dentro de una constante arbitraria,

φf(t) = kf

∫ t

0

vo(t) dt (3.20)

Las Ecuaciones (3.18), (3.19) y (3.20) describen la respuesta dinamica del PLL y los parame-tros controladores son los factores de ganancia de lazo kc, kf y los parametros del filtro.

Derivando la Ecuacion (3.20) con respecto al tiempo, se obtiene que

vo(t) =1

kf

dφf(t)

dt. (3.21)

Si la ganancia del lazo es alta entonces ∆φ sera muy pequeno, por lo que φi(t) ≈ φf(t).Ademas, por la Ecuacion (3.21) se obtiene que la salida es proporcional a la frecuencia ins-tantanea de la entrada referida a la portadora. Por lo tanto, el PLL efectua la demodulaciondeseada de la senal FM de entrada.

Se ha supuesto que la diferencia de frecuencias es muy pequena. Si dicha diferencia es menorque el ancho de banda del PLL, entonces el lazo se cerrara con rapidez lo que es usual enla deteccion FM. De ser mayor, se debera hacer un barrido de frecuencias en el VCO hastaencontrar este punto optimo.

3.8. Preenfasis y Deenfasis

Realizando un analisis del SNR en transmision PM y FM, se puede demostrar que la potenciaespectral del ruido a la salida de un detector esta determinada por

Sn =

N0

A2 , PMN0

A2 f2 , FM

(3.22)

en donde se ha considerado la presencia de WGN a la entrada para | f |< W , y N0 es la potenciamedia del ruido de entrada.

Se puede notar que para modulacion PM se logra una respuesta plana y para FM unarespuesta parabolica que intersecta el eje de las ordenadas en cero. Esto quiere decir que parabajas frecuencias la inmunidad al ruido de FM es superior, ya que esta mu cercana a cero peroa medida que la frecuancia va en aumento, entonces responde mejor la modulacion PM pues lafuncion parabolica tiene una alta tasa de aumento.

36


Entonces, el concepto de preenfasis y deenfasis busca apovechar las cualidades de cada unade estas modulaciones: Que el sistema trabaje como FM a bajas frecuencias y como PM en altasfrecuencias.

Para lograr esto, se debe tener en mente que un modulador PM es la conexion en cascada deun derivador y un modulador FM. Entonces, si se hace que dicho derivador funcione como tal enaltas frecuencias, y que tenga una respuesta unitaria en bajas frecuencias se lograrıa aprovecharambas modulaciones.

Una buena forma de aproximar el comportamiento deseado es mediante un Filtro PasaAlto (HPF). Esto quiere decir que para recuperar el comportamiento original de la senal, sedebera utilizar un Filtro Pasa Bajos (LPF). Las funciones de transferencia de preenfasis ydeenfasis estan determinadas por

| Hp(f) |=

√

1 +f 2

f 20

y, | Hd(f) |=1

√

1 + f2

f2

0

respectivamente. Una forma de justificar esta aproximacion, es considerando que para evitaruna disminucion de la SNR en altas frecuencias, la senal es amplificada en este intervalo3 parahacerla mas inmune al ruido, luego se utilizara un HPF. Para “normalizar” la caracterıstica sedebera utilizar un LPF que contrarreste dicho efecto.

Se puede demostrar que al utilizar este esquema, la SNR se ve incrementada en un factor de

SNRPD

SNR0=

1

3

(

Wf0

)3

(

Wf0

)

− tan−1(

Wf0

) (3.23)

en donde W es el ancho de banda del mensaje y f0 es la frecuencia de corte del filtro, es decirsu ancho de banda de 3dB.

En la practica, para transmision FM de musica y voz, se utiliza una constante de tiempo deRC de 75µm, luego el ancho de banda de 3dB sera

f0 =1

2πRC≈ 2,1kHz .

Ahora si se considera que el maximo valor de audio es cercano a los 15kHz, entonces(

Wf0

)

=152,1

= 7,1428. Ası el incremento real del SNR es

SNRPD = 21,27 SNR0 ,

que expresado en dB es

SNRPD[dB] = 13,27[dB] + SNR0[dB] ,

lo que es algo realmente significativo para solo utilizar un filtro RC.

3En rigor, atenuada en frecuencias mas bajas.

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Libros de Referencia.

La informacion contenida en el presente texto, ha sido extraıda de variados textos escritosque posee en DIE, el Laboratorio de Transmision y simplemente los autores de este compiladode informacion.

Toda la informacion aca expresada tiene caracter netamente educacional y no pretende seren ninguna forma un atentado contra los derechos de copia ni de autor de cada uno de los librosque aca se citan. El contenido grueso de esta obra es de autorıa de:

“Fundamentals of Communication Systems”, John Proakis, Masoud Salehi. c© 2005,Pearson Education, Inc.

“Introduccion a los Sistemas de Comunicaciones”, F. G. Stremler. c© 1993, Addison-Wesley Iberoamericana, S.A.

“Digital Communications - Fundamentals and Applications”, Bernard Sklar. c© 1998,Pretince-Hall Inc.

“Elementary Statistics”, Paul Hoel. c© 1976, John Wiley & Sons, Inc.

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