CÁLCULO INTEGRAL

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CÁLCULO INTEGRAL

LLaa AAnnttiiddeerriivvaaddaa

Una vez derivada una función se puede obtener nuevamente la función

original o primitiva mediante su antiderivada. Es decir una derivada

proviene de una función llamada primitiva y para encontrar esta se hace

referencia a la antiderivada o integral.

Ejemplo 1

Determine tres funciones primitivas cuya derivada sea 3x2.

Estas tres funciones pueden ser:

F1 (x) = x3, F2 (x) = x3 −2, F3 (x) = x3 + 2√5

El resultado de la antiderivada 3x2 es cualquiera de estas tres funciones ya

que la derivada de cualquiera de ellas nos dan 3x2 y la derivada de

cualquier constante se elimina por tener un valor de 0.

Definición Uno. (Antiderivada particular) una función F (x) es una

antiderivada particular de f (x)

Si se obtiene el valor de la constante de la función bajo un contexto

particular.

Ejemplo 2 Algunas antiderivadas particulares de f (x) = cosx son:

F1 (x) = senx+ 1, F2 (x) = senx− √2, F3 (x) = senx+e

Ejemplo 3 Determine la familia de funciones cuya derivada es 2x.

Para que la derivada de una función sea 2x, este debe de tener por

expresión x2 más una constante, por lo tanto la familia de funciones cuya

derivada es 2x será F(x)= x2 + c y algunos ejemplos de estas funciones:

f (x) = x2, g (x) = x2 + √2, h(x) = x2 +π

Definición Dos. (Antiderivada) dada una función f(x) se define su

antiderivada (o antiderivada general) como la familia de funciones cuya

derivada es f (x).

Definición Tres. (Integral Indefinida) Integral indefinida es el conjunto de

las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx

es un conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número.

CÁLCULO INTEGRAL

La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x

se llama la variable de integración.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico

real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con

derivar

Si determinamos que cada cuadro es un pequeño diferencial (dx), si se

juntan (integran) se podría vislumbrar la función primitiva de donde

proviene dicho diferencial.

Sabemos que una derivada es una tangente de una función en un punto

dado. Si unimos los todos los puntos tangentes de esa función, es decir

sus diferenciales se puede obtener la función primitiva.