Apuntes Del Curso Física I, Ingeniería .

Apuntes del Curso Física I, Ingeniería . Capítulo 1. Definiciones Básicas _______________________________________________________________________________________________________

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Prof. Edmundo Lazo, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá

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CAPÍTULO 1. Definiciones Básicas

La Física

La Física es una ciencia experimental, y como tal debe verificar sus proposiciones a través de

experimentos que puedan ser reproducidos en igualdad de condiciones por cualquier

experimentador.

Magnitud Física

Para definir una magnitud física, debe existir un proceso de medición que permita determinar de

manera unívoca el valor de dicha magnitud. El proceso de medición entrega simultáneamente la

definición de la magnitud física, el valor numérico de dicha magnitud y su unidad de medida.

Sistema de Referencia

Cuerpo o punto del espacio respecto al cual referiremos todas nuestras mediciones. Los sistemas de

referencia de pueden clasificar como inerciales (se cumple el Principio de Inercia) y como no-

inerciales (no se cumple el Principio de Inercia).

Sistema de Coordenadas

Sistema formado por tres ejes perpendiculares entre sí (no necesariamente) que están graduados en

las unidades de medida que corresponden a la magnitud física a estudiar para facilitar el proceso de

medición. Estos ejes son independientes entre sí.

Modelos

La física hace uso extensivo del concepto de modelo. Un modelo es una idealización de una

situación física que permite una enorme simplificación del verdadero problema físico. Esta

simplificación de la realidad permite construir relaciones matemáticas entre las magnitudes físicas.

Estas relaciones matemáticas se denominan leyes. A partir de las leyes encontradas para los

modelos, podemos hacer predicciones sobre situaciones que incluso no estaban contempladas

inicialmente en el modelo. Si las predicciones del modelo no son coincidentes con los resultados

experimentales, entonces el modelo construido es inadecuado y debe ser modificado. El modelo

modificado debe ser contrastado con nuevos resultados experimentales. Así se van enriqueciendo o

modificando constantemente los modelos hasta que sus predicciones coinciden, dentro de cierto

rango de tolerancia, con los resultados experimentales. Es importante recalcar que los modelos se


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pueden modificar o incluso desechar definitivamente (ejemplo: el modelo denominado “eter”

inventado en la segunda mitad del siglo XIX para describir la teoría electromagnética, fue

definitivamente desechado de la física en 1905 cuando A. Einstein publicó la Teoría de la

Relatividad Especial). Actualmente, muchos modelos de la física que normalmente consideramos

exitosos, están siendo revisados y puestos a prueba frente a nuevas evidencias experimentales.

Partícula

Una partícula es un modelo (una idealización física) que permite considerar un cuerpo de cierto

tamaño como un punto geométrico, es decir, que no ocupa extensión en el espacio, pero sin

embargo contiene toda la masa m del cuerpo. Dicho modelo funciona bien si el error cometido en

la medición de la distancia desde el origen del sistema de referencia, hasta al cuerpo, es del orden

del tamaño del objeto. Así, a veces es posible considerar como partícula a una persona, a la tierra, al

sol, etc. Un buen ejemplo de modelo de partícula lo constituyen las estrellas que brillan en el

firmamento. Vemos a las estrellas como pequeñísimos puntos (por la enorme distancia que nos

separa), cuando en realidad la mayoría de ellas son mucho más grandes que nuestro sol. En

conclusión, el modelo de partícula es un concepto relativo. En lo que sigue en estos apuntes

usaremos el concepto de partícula hasta que no se diga lo contrario.

Escalares y vectores

Las magnitudes físicas pueden tener carácter escalar, carácter vectorial o, más generalmente,

carácter tensorial. Los escalares requieren de una sola información: magnitud (con su

correspondiente unidad de medida), para quedar completamente determinados. Los vectores, en

cambio, requieren de dos informaciones para quedar completamente determinados: magnitud (con

su correspondiente unidad de medida) y dirección respecto a un sistema de referencia. Los tensores

son una generalización de las ideas anteriores.

Campos escalares y vectoriales

Si a cada punto del espacio asociado a una situación física le asignamos una magnitud escalar, se

dice que tenemos un espacio escalar. Si a cada punto del espacio asociado a una situación física le

hacemos corresponder un vector, se dice que tenemos un espacio vectorial.


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Vectores libres y deslizantes

En términos físicos, los vectores libres son aquellos que no cambian sus propiedades físicas si se

trasladan paralelamente a sí mismos en el espacio (ver Figura (1.1)).

En cambio los vectores deslizantes son aquellos que mantienen sus propiedades físicas sólo cuando

se mueven a lo largo de la recta que los contiene originalmente. No se pueden trasladar

paralelamente a sí mismos (ver Figura (1.2))

Vector Posición r�

Para localizar una partícula en el espacio se requiere de dos informaciones: magnitud y dirección

respecto de algún sistema de referencia, por lo tanto se requiere de un vector para localizar a la

partícula. La magnitud y dirección se pueden lograr conociendo las tres coordenadas espaciales o

conociendo dos ángulos directores y la magnitud o módulo.

Sea r�

el vector posición que localiza a la partícula en el espacio (ver Figura (1.3)). El vector

posición es un vector libre y puede ser escrito en función de sus componentes en coordenadas

cartesianas:

kzjyixr ˆˆˆ ++=� (1.1)

donde kji ˆ,ˆ,ˆ son los vectores unitarios a lo largo de los ejes , ,X Y Z que son perpendiculares

entre sí y que además son absolutamente independientes entre sí.

B�

A�

Vectores libres A B→ =� �

Figura (1.1)

Vectores deslizantes A B=� �

A�

B�

Figura (1.2)


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El vector posición r�

también se puede escribir en función de su magnitud o módulo r r=�

2 2 2r x y z= + + (1.2)

y de su dirección a través del vector unitario ˆre , en la forma:

ˆrr r e=

�

(1.3)

El vector unitario ˆre se define como: ˆr

re

r

≡

�

y su dirección queda especificada conociendo dos

de sus ángulos directores, como veremos más adelante. En función de las componentes vectoriales,

el vector unitario ˆre se expresa como:

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆˆr

xi yj zk x y ze i j k

r r r r

+ += = + + (1.4)

Ahora podemos definir los cosenos directores del vector, en la forma

cos , cos , cosx y z

r r rα β γ= = = (1.5)

donde , y α β γ son los ángulos directores que se forman entre el vector r�

y cada uno de los ejes

coordenados. Por lo tanto, el vector unitario ˆre siempre se puede escribir en la forma:

ˆˆ ˆˆ cos cos cosre i j kα β γ= + + (1.6)

Dado que el módulo del vector unitario ˆre vale obviamente 1, se cumple que

2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = (1.7)

es decir, sólo dos de los tres ángulos directores son independientes.

r�

Y x

z

Figura 1.3

y

X

Z


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Movimiento

Decimos que una partícula está en movimiento, si al pasar el tiempo cambia su vector posición r�

respecto a algún sistema de referencia. Esto significa que una partícula puede estar en movimiento

respecto de un observador, pero al mismo tiempo puede estar en reposo respecto de otro

observador. Por eso decimos que el movimiento es relativo. En general, el vector posición es

función del tiempo: ( )r r t=� �

. En componentes, escribimos

ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ++=�

(1.8)

Itinerario

Se denomina itinerario de la partícula, al conjunto de las tres ecuaciones paramétricas que expresan

las componentes del vector posición, es decir, sus coordenadas, en función del tiempo:

)();();( tzztyytxx === (1.9)

Trayectoria

El conjunto de puntos que genera la punta del vector posición al pasar el tiempo, define la curva

trayectoria de la partícula (ver Figura (1.4)). Analíticamente, si se elimina el tiempo de las

ecuaciones del itinerario, se obtiene una ecuación que relaciona sólo las variables espaciales entre

sí. Esta ecuación se denomina: ecuación de trayectoria de la partícula.

Desplazamiento r�∆

Consideremos la posición de la partícula en dos tiempos: t y ( )t t+ ∆ , donde t∆ es pequeño.

Definimos el desplazamiento r�∆ de la partícula como:

)()( trttrr�� −∆+≡∆ (1.10)

1r�

x y

z

2r�

3r�

4r�

trayectoria

Figura 1.4


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Este vector r�∆ va de la punta del vector posición )(tr

�

a la punta del vector posición )( ttr ∆+�

(ver Figura (1.5). Para valores grandes de t∆ , el vector r�∆ no tiene ninguna relación con la curva

trayectoria. Sin embargo, a medida que t∆ se hace cada vez más pequeño, el vector desplazamiento

r�∆ se va acercando cada vez más a la curva trayectoria. En el límite, cuando t∆ tiende a cero, el

vector desplazamiento r�∆ llega a ser tangente a la curva trayectoria.

Esta idea se muestra esquemáticamente en la Figura (1.6), para dos valores distintos del tiempo

final: ( )tt ∆+ en la Figura (1.6a), y en un tiempo más pequeño:

∆+10

tt en la Figura (1.6b).

Velocidad Media ( )v t�

Se define la velocidad media vectorial ( )v t�

como la razón entre el desplazamiento r�∆ y el tiempo

t∆ :

( )r

v tt

∆≡∆

�

�

(1.11)

)(tr�

x y

z

)( ttr ∆+�

r�∆

(a) Figura (1.6)

)(tr�

x y

z

)10( ttr ∆+�

r�∆

(b)

r�

x y

z

)( ttr ∆+�

r�∆

Figura 1.5

( )r t�


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Esta velocidad media vectorial no tiene una relación muy directa con la curva trayectoria, como se

puede ver mirando el desplazamiento r�∆ en la Figura (1.6a).

Velocidad instantánea ( )v t�

Se define la velocidad instantánea ( )v t�

como la razón de cambio del desplazamiento r�∆ en

función del tiempo, en el límite cuando 0t∆ → :

0

( )( ) lim

T

r dr tv t

t dt∆ →

∆ ≡ = ∆

� �

�

(1.12)

Es muy importante destacar que, experimentalmente, este límite siempre existe.

Finalmente, la velocidad instantánea se define como la derivada temporal del vector posición ( )r t�

( )

( )dr t

v tdt

=�

�

(1.13)

De acuerdo con el teorema que afirma que toda función derivable es continua, la existencia de la

derivada del vector posición ( )r t�

en la definición de la velocidad instantánea indica que el vector

posición es una función continua, es decir, el movimiento es continuo. Esta condición de

continuidad implica que cuando una partícula viaja de un punto a otro del espacio, ella debe pasar,

necesariamente, por todos los puntos intermedios, o dicho de otro modo, no puede desaparecer en

un punto y aparecer en otro distinto.

Dado que en el límite cuando t∆ tiende a cero, el vector desplazamiento r�∆ llega a ser tangente a

la curva trayectoria, entonces, por la misma razón, el vector velocidad instantánea ( )v t�

siempre es

un vector tangente a la curva trayectoria que apunta en el sentido de movimiento de la partícula.

Derivando el vector posición obtenemos la velocidad instantánea:

ˆˆ ˆ( )dx dy dz

v t i j kdt dt dt

= + +�

(1.14)

Las componentes de la velocidad vienen dadas por:

( ) , ( ) , ( )x y z

dx dy dzv t v t v t

dt dt dt= = = (1.15)

Rapidez media ( )mv t

Se define la rapidez media ( )mv t como la razón entre el camino recorrido s∆ y el tiempo t∆

empleado en recorrerlo:


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( )m

sv t

t

∆≡∆

(1.16)

El camino recorrido s∆ mide la distancia total recorrida sobre la curva trayectoria en el intervalo de

tiempo t∆

Rapidez

La rapidez ( )v t del movimiento se define como el módulo del vector velocidad:

0

( )( ) ( ) lim

T

r dr tv t v t

t dt∆ →

∆ ≡ = = ∆

� �

�

(1.17)

También podemos definir la rapidez en función de la distancia total s∆ recorrida sobre la curva

trayectoria en la siguiente forma, pasando al límite cuando 0t∆ → a la relación (1.16), que define a

la rapidez media, se tiene:

0

( )( ) lim

T

s ds tv t

t dt∆ →

∆ ≡ = ∆ (1.18)

Las relaciones (1.17) y (1.18) representan a la misma magnitud física, ya que en el límite, cuando

0t∆ → , la longitud del arco s∆ asociado a la curva trayectoria y el módulo del vector

desplazamiento r∆�

son iguales, es decir,

0

lim 1t

s

r∆ →

∆= ∆

� (1.19)

Por lo tanto, podemos decir que la rapidez ( )v t viene definida indistintamente como

( ) ( )

( )dr t ds t

v tdt dt

= =�

(1.20)

Dado que la velocidad instantánea ( )v t�

siempre es un vector tangente a la curva trayectoria, la

podemos escribir en función de su rapidez ( )v t , y en función de un vector unitario tangente ˆ ( )Te t ,

( ˆ ( ) 1Te t t= ∀ ) cuya dirección varía continuamente, ya que siempre se mantiene tangente a la curva

trayectoria en cada punto, tal como se muestra en la Figura (1.7). Por lo tanto, el vector velocidad

instantánea puede ser escrito como:

ˆ( ) ( ) ( )Tv t v t e t=�

(1.21)

donde la dependencia temporal indica que ambos pueden variar en el tiempo.


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Aceleración media ( )a t�

Se define la aceleración media ( )a t�

, como la razón de cambio de la variación de la velocidad

instantánea v�∆ en función del tiempo:

( )v

a tt

∆≡∆

�

�

(1.22)

Aceleración instantánea ( )a t�

Se define la aceleración instantánea ( )a t�

como la razón de cambio de la variación de la velocidad

instantánea v�∆ en función del tiempo, en el límite cuando 0t∆ → :

0

( )( ) lim

T

v dv ta t

t dt∆ →

∆ ≡ = ∆

� �

�

(1.23)

Es muy importante destacar que, experimentalmente, este límite siempre existe.

De acuerdo con el teorema que afirma que toda función derivable es continua, podemos afirmar que

la velocidad ( )v t�

es una función continua porque es derivable. Esta condición de continuidad

implica que, cuando una partícula cambia su velocidad instantánea de un valor a otro, en cierto

intervalo de tiempo, la velocidad debe pasar por todos los valores intermedios entre las dos

velocidades extremas.

Dado que sabemos que el vector velocidad es tangente a la curva trayectoria en cada instante de

tiempo (Tv v e=

�

), podemos preguntarnos: ¿para dónde apunta el vector aceleración instantánea

( )a t�

? La respuesta es la siguiente: el vector aceleración instantánea ( )a t�

apunta siempre en el

sentido de concavidad de la curva trayectoria. Aclaremos esta respuesta con un dibujo (ver Figura

(1.8)). Consideremos la posición r�

y la velocidad instantánea v�

de la partícula en dos tiempos

Figura (1.7)

x y

z

Te

Te

Te

Te

Vector unitario=


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distintos: it t= y ( )ft t t= + ∆ , donde t∆ es pequeño. Por simplicidad de notación escribamos:

( ) , ( )i fr t r r t t r= + ∆ =� � � �

y ( ) , ( )i fv t v v t t v= + ∆ =� � � �

Definimos la variación de la velocidad instantánea v�∆ de la partícula como:

)()( tvttvv�� −∆+≡∆ (1.24)

en función de los vectores recién definidos, se escribe:

if vvv�� −≡∆ (1.25)

Para realizar la resta de los vectores velocidad mostrados en la Figura (1.8), trasladamos

paralelamente el vector velocidad final fv�

hasta que su origen coincide con el origen del vector

velocidad inicial iv�

y luego dibujamos el vector v�∆ (ver Figura (1.9a)). Cuando hacemos este

traslado paralelo de vectores, no cambian las propiedades físicas, ya que estos vectores se

comportan como vectores libres, es decir, mantienen sus propiedades físicas ante una traslación

paralela en el espacio.

Más adelante, cuando lleguemos a estudiar el torque de la fuerza, entonces consideraremos que los

vectores fuerza pueden comportarse de dos formas diferentes: como vectores libres y como vectores

x y

z

Figura (1.8)

ir�

fr�

iv�

fv�

Figura (1.9)

x y

z

iv�

fv�

v�∆

(a) (b)

iv�

fv�

v�∆

v�∆


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deslizantes deslizantes. Para visualizar mejor el efecto de la traslación paralela, hemos agrandado

los vectores y, adicionalmente, también hemos trasladado paralelamente el vector v�∆ al origen del

vector velocidad inicial (ver Figura (1.9b)). Claramente se ve que el vector v�∆ apunta en el sentido

de concavidad de la curva trayectoria, independientemente de si el vector fv�

es mayor o menor que

el vector iv�

. Cuando 0→∆t , el vector v�∆ apunta hacia la concavidad de la curva trayectoria.

Dado que la aceleración instantánea se define a partir del vector v�∆ cuando 0→∆t , entonces la

aceleración instantánea ( )a t�

apunta siempre hacia la parte cóncava de la curva trayectoria.

El vector aceleración instantánea ( )a t�

tiene la forma genérica:

kajaiaa zyxˆˆˆ ++=� (1.26)

Derivando el vector velocidad, podemos escribir la aceleración instantánea en la forma:

ˆˆ ˆ( )yx z

dvdv dva t i j k

dt dt dt= + +

�

(1.27)

En consecuencia, las componentes de la aceleración instantánea vienen dadas por:

( ) , ( ) , ( )yx z

x y z

dvdv dva t a t a t

dt dt dt= = = (1.28)

Si usamos las componentes de la velocidad instantánea en función de las coordenadas, podemos

escribir la aceleración instantánea en función de las coordenadas:

2 2 2

2 2 2( ) , ( ) , ( )x y z

d x d y d za t a t a t

dt dt dt= = = (1.29)

Aceleración tangencial Ta�

y aceleración centrípeta Ca�

El vector aceleración instantánea que vimos anteriormente, se puede escribir en función de dos

vectores unitarios que van variando su dirección en el espacio: el vector unitario tangente ˆ ( )Te t que

apunta siempre en la dirección de la velocidad instantánea, y el vector unitario normal ˆ ( )Ne t que es

perpendicular a ˆ ( )Te t en todo instante y que apunta siempre hacia la concavidad de la curva

trayectoria.

Usando la expresión de la velocidad instantánea en función del vector unitario tangente dado por la

ecuación (1.21)

)(ˆ)()( tetvtv T=�

(1.30)


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la aceleración instantánea viene dada por:

( )

+

===dt

edve

dt

dv

dt

evd

dt

vda T

TT

ˆˆ

ˆ�

�

(1.31)

Consideremos las siguientes definiciones.

Aceleración tangencial Ta�

:

TT edt

dva ˆ

≡�

(1.32)

Esta aceleración aparece si y sólo si cambia la rapidez v al pasar el tiempo.

Aceleración normal o centrípeta Ca�

:

≡

dt

edva T

C

ˆ�

(1.33)

Esta aceleración aparece si y sólo si cambia la dirección del vector velocidad al pasar el tiempo.

Para obtener la expresión final de la aceleración centrípeta Ca�

, debemos calcular la derivada

temporal del vector unitario tangente Tde

dt. Por simplicidad, consideremos que la partícula sólo se

mueve en el plano ( ),x y describiendo alguna trayectoria curva. En particular, consideremos el

movimiento entre los tiempos it t= y ( )ft t dt= + . En la Figura (1.10) hemos dibujado los

vectores unitarios tangente Te y normal ˆNe en estos dos tiempos marcados con los puntos P Q ,

respectivamente. Las prolongaciones de los vectores unitarios normales se cortan en el punto C . La

distancia CP CQ= , desde el punto C a la curva trayectoria define el llamado radio de curvatura

CP CQρ = = . En la Figura (1.10), ( )tφ es el ángulo que hace el vector unitario tangente con el

eje x en el tiempo inicial it (ver punto P ). Con respecto a los ejes x e y , el vector unitario Te

viene dado por la siguiente expresión (ver alrededor del punto P en la Figura (1.10)):

ˆ ˆˆ cos ( ) sin ( )Te t i t jφ φ= + (1.34)

Cuando la partícula se mueve describiendo la curva trayectoria, el ángulo ( )tφ cambia en el

tiempo, pero los vectores unitarios i y j no cambian en el tiempo. Entonces, usando (1.34), la

derivada temporal Tde

dt viene dada por


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( ) ( )ˆ ( )ˆ ˆ ˆ ˆcos ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( )Tde d d tt i t j t i t j

dt dt dt

φφ φ φ φ= + = − + (1.35)

Mirando alrededor del punto P , el vector unitario normal ˆNe viene dado por

ˆ ˆˆ sin ( ) cos ( )Ne t i t jφ φ= − + (1.36)

Por lo tanto, la relación (1.35) queda:

ˆ ( )

ˆTN

de d te

dt dt

φ= (1.37)

Ahora sólo resta saber cuánto vale la derivada ( )d t

dt

φ. En primer lugar, usemos la regla de la

cadena para escribir esta derivada en la forma:

( ) ( )d t d t ds

dt ds dt

φ φ =

(1.38)

donde ds PQ= es el arco diferencial a lo largo del cual se mueve la partícula en el tiempo dt .

Entonces, ds

dt

es la rapidez v de la partícula, tal como vimos en (1.20), es decir,

ds

vdt

= (1.39)

Figura (1.10)

x

C

dφ

ρ

ρ Te

ˆNe

y

φ

φ Te ˆ

Ne

x

y

dφ φ+

P

Q

ds


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Por otra parte, sabemos que la longitud del arco ds de una curva está relacionada con el radio ρ

de la curva (radio de curvatura) y con el ángulo dφ subtendido por el arco en la forma (ver sector

formado por CPQ en Figura (1.10)):

ds dρ φ= (1.40)

Por lo tanto,

1d

ds

φρ

= (1.41)

Reemplazando las relaciones (1.39) y (1.41) en la relación (1.38), obtenemos

( )d t v

dt

φρ

= (1.42)

Ahora que conocemos ( )d t

dt

φ, podemos calcular la derivada Tde

dt. Insertando (1.42) en (1.37), se

tiene:

ˆ

ˆTN

de ve

dt ρ= (1.43)

Con este resultado podemos conocer finalmente la aceleración centrípeta o normal, dada por la

relación (1.33):

ˆ

ˆTC N

de va v v e

dt ρ ≡ =

�

(1.44)

Es decir, la aceleración centrípeta o normal viene dada por:

2

ˆC N

va e

ρ=

�

(1.45)

Por lo tanto, en función de la aceleración tangencial (1.32) y de la aceleración normal o centrípeta

(1.45), la aceleración instantánea (1.31) se escribe:

2

ˆ ˆT N

dv va e e

dt ρ = +

�

(1.46)

Es decir,

CT aaa�� += (1.47)

En cada instante, el vector normal ˆNe apunta hacia el centro de curvatura C desde donde habría

que dibujar el arco de la curva trayectoria instantánea, tal como se mostró en la Figura (1.10). En

consecuencia, el vector aceleración instantánea a�

apunta en el sentido de concavidad de la curva


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trayectoria, tal como se muestra en la Figura (1.11) con la flecha punteada, y tal como se mostró

antes en la definición del vector aceleración instantánea.

En este punto podríamos intentar definir una nueva magnitud física, dada por la derivada de la

aceleración con respecto al tiempo:

0

( )limt

da t a

dt t∆ →

∆≡

∆

� �

(1.48)

El problema con una definición como esta, es que experimentalmente, este límite no siempre existe.

Otra manera de indicar los problemas que existen con esta definición, es decir que si existiera la

derivada de la aceleración, entonces la aceleración debería ser una función continua del tiempo.

Veamos un par de ejemplos donde se muestra que la aceleración no siempre es una función

continua.

Ejemplo 1. Una partícula cuelga de una cuerda en reposo. Dado que está en reposo, su

aceleración es 0a =�

�

. Si en 0t = se corta la cuerda, la partícula adquiere instantáneamente la

aceleración de gravedad verticalmente hacia abajo: ˆa gj= −�

. Es decir, la aceleración, en módulo,

Figura (1.11)

Ta�

Na�

a�

Ta�

Na�

a�

C

C

ρ

ρ


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no cambió continuamente desde 0a = hasta 2

9,8m

a gs

= = como debería ser si la aceleración

fuera una función continua, sino que saltó, discontinuamente, de un valor al otro. En consecuencia,

el límite en 0t = no es único y no existe la derivada de la aceleración.

Ejemplo 2. Una partícula viaja en una trayectoria recta con rapidez v constante ( v v=�

), en

consecuencia, su aceleración es cero. En 0x = , la trayectoria recta empalma con una vía en

forma de semicircunferencia de radio R (ver Figura (1.12)).

Si la partícula sigue viajando con la misma rapidez constante v sobre la semicircunferencia,

entonces, sobre la curva, la partícula tiene aceleración centrípeta constante:

2

c

va

R= . De nuevo

vemos que la aceleración cambia discontinuamente desde 0a = hasta

2va

R= en 0x = . Por lo

tanto, el límite no es único y no existe la derivada de la aceleración.

Como podemos ver, la derivada de la aceleración, no necesariamente existe. Afortunadamente, para

describir el movimiento de una partícula no es necesario definir ninguna otra magnitud cinemática

distinta de las ya descritas, y por lo tanto, no necesitamos de la derivada de la aceleración.

Resumen

Las definiciones vectoriales que permiten describir el movimiento son:

Posición:

ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ++=�

(1.49)

v cte= v cte=

R

R

0a =

2va

R=

Figura (1.12)


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Velocidad:

( )

( )dr t

v tdt

=�

�

(1.50)

Aceleración:

2( )ˆ ˆ( ) T N

dv t dv va t e e

dt dt ρ = = +

�

�

(1.51)

En consecuencia, si conocemos la función aceleración ( )a t�

, la posición inicial 0r�

y la velocidad

inicial 0v�

, integrando primero la ecuación (1.51) y luego la ecuación (1.50), podemos obtener el

vector velocidad ( )v t�

y el vector posición ( )r t�

como función del tiempo.

Movimiento Relativo:

Consideremos el movimiento de una partícula vista desde dos sistemas de referencia: Κ y ′Κ ,

cada uno de los cuales se mueve siempre con velocidad constante. A esta clase de sistemas que se

mueven siempre con velocidad constante, se les denomina: “sistemas inerciales”

Sea V�

la velocidad constante con que se mueve del sistema ′Κ respecto del sistema Κ .

Consideremos, por simplicidad, que ambos orígenes coinciden al tiempo 0=t y que el sistema

′Κ se mueve a lo largo de los ejes ', xx , manteniéndose paralelos los ejes ', yy y ', zz , tal como se

muestra en la Figura (1.13). Entonces, la distancia que separa los orígenes de ambos sistemas de

referencia en función del tiempo, a lo largo del eje x común, viene dada por d V t= .

La Figura (1.13) muestra también el vector posición r�

de la partícula respecto al sistema Κ y el

vector posición r ′� respecto al sistema ′Κ . Estos vectores están conectados por el vector tV�

que

r�

r ′�

tV�

', xx

y 'y

z 'z

′Κ Κ

Figura (1.13)


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relaciona los orígenes de ambos sistemas en función del tiempo. Claramente se cumple la siguiente

suma vectorial:

tVrr�

�� +′= (1.52)

Despejando r′�

y escribiendo esta relación en componentes, se tiene

'

x x Vt

y y

z z

t t

′ = −

′ =

′ =

=

(1.53)

Estas relaciones de transformación de un sistema de referencia inercial a otro, son también llamadas

Transformaciones de Galileo. Hemos agregado la relación t t′ = porque está implícitamente

comprendida en la derivación anterior, que los tiempos medidos por todos los observadores

inerciales del universo son iguales entre sí.

Consideremos ahora la derivada temporal de la relación (1.52):

( )tVdt

d

dt

rd

dt

rd �

��

+′

= (1.54)

dado que la velocidad relativa entre los sistemas inerciales es constante, cteV =�

, esta relación

queda,

Vvv�

��

+′= (1.55)

donde dr

vdt

=�

�

es la velocidad de la partícula respecto del sistema Κ , y donde dr

vdt

′′ =�

�

es la

velocidad de la partícula respecto del sistema ′Κ . Esta relación se denomina: Teorema Clásico de

Adición de Velocidades.

Consideremos ahora la derivada temporal de la relación (1.55):

dt

Vd

dt

vd

dt

vd�

��

+′

= (1.56)

ya que cteV =�

, se tiene que: 0�

�

=dt

Vd, luego,

dv dv

dt dt

′=� �

(1.57)


________________________________________________________________________________________


19

pero dv

adt

=�

�

es la aceleración de la partícula respecto del sistema Κ , y dv

adt

′′ =�

�

es la aceleración

de la partícula respecto del sistema ′Κ ; por lo tanto se cumple que la aceleraciones son iguales:

aa ′=��

(1.58)

Esta relación establece que la aceleración es la misma, vista por todos los observadores del universo

que viajan en sistemas de referencia inerciales. Lo anterior implica que las ecuaciones de

movimiento, serán las mismas vistas por todos los observadores inerciales. También se podría decir:

todas las leyes de la cinemática son las mismas para todos los observadores inerciales que se

mueven unos con respecto a otros con velocidad relativa constante.

Nota: Más adelante estudiaremos la masa m de una partícula clásica como una propiedad que no

cambia con la velocidad. También aprenderemos a conocer las fuerzas jF�

que actúan sobre la

partícula, y finalmente conoceremos la relación entre estas magnitudes físicas y la aceleración. En

particular, demostraremos la Segunda Ley de Newton para el caso de masa constante, la cual

afirma que la fuerza resultante 1

N

R j

j

F F=

=∑� �

es igual al producto de la masa de la partícula por la

aceleración que ésta adquiere como consecuencia de la fuerza resultante aplicada, es decir,

RF ma=�

�

.

Multiplicando la ecuación (53) por la masa de la partícula, se tiene

ma ma′=� �

(1.59)

pero, de acuerdo con el caso particular de la Segunda Ley de Newton, F ma=�

�

, la igualdad de

aceleraciones en todos los sistemas inerciales, implica la igualdad de la fuerzas en todos los

sistemas de referencia inerciales, es decir,

F F ′=� �

(1.60)

donde F ma=�

�

es la fuerza resultante que actúa sobre la partícula, medida por el observador en

el sistema Κ , y donde F ma′ ′=�

�

es la fuerza resultante que actúa sobre la partícula, medida por

el observador en el sistema ′Κ . Este resultado asegura que la fuerza sobre una partícula es la

misma vista por todos los observadores inerciales del universo.


________________________________________________________________________________________


20

Ahora podemos afirmar con más generalidad que las leyes de la dinámica (de la Mecánica) son las

mismas para todos los observadores inerciales que se mueven unos con respecto a otros con

velocidad relativa constante.

Esta invariancia de las leyes de la Mecánica frente a la transformación de coordenadas entre

sistemas de referencia inerciales, recibe el nombre de Teoría de la Relatividad Galileana, porque

está basada en las Transformaciones de Galileo.

Velocidad y aceleración relativas

Consideremos ahora un único sistema de referencia inercial que se mueve con velocidad constante

respecto a algún sistema de referencia. Dentro de este sistema de referencia inercial, consideremos

el movimiento de dos partículas de masas 1m y

2m , cada una con su propio vector posición

respecto al origen del sistema de referencia 1r�

y 2r�

, respectivamente, tal como se muestra en la

Figura (1.14)

Si ahora nos paramos en la partícula 1 para observar a la partícula 2 , el vector que mide la posición

de la partícula 2 respecto de la partícula 1, viene dado por

21 2 1r r r= −� � �

(1.61)

Derivando esta relación respecto del tiempo, se tiene

21 2 1dr dr dr

dt dt dt= −

� � �

(1.62)

es decir,

x

y

z

1r�

2r�

12 2 1r r r= −� � �

1m

2m

Figura (1.14)


________________________________________________________________________________________


21

21 2 1v v v= −� � �

(1.63)

Donde 2121

drv

dt=�

�

es la velocidad relativa de la partícula 2 respecto de la partícula 1, y donde

11

drv

dt=�

�

es la velocidad de la partícula 1 respecto del origen del sistema referencia y 22

drv

dt=�

�

es la

velocidad de la partícula 2 respecto del origen del sistema referencia.

Si derivamos la relación (1.63) respecto del tiempo, obtenemos la aceleración relativa de la

partícula 2 respecto de la partícula 1:

21 2 1dv dv dv

dt dt dt= −

� � �

(1.64)

es decir,

21 2 1a a a= −� � �

(1.65)

donde 2121

dva

dt=�

�

es la aceleración relativa de la partícula 2 respecto de la partícula 1, y donde

11

dva

dt=�

�

es la aceleración de la partícula 1 respecto del origen del sistema referencia y 22

dva

dt=�

�

es la aceleración de la partícula 2 respecto del origen del sistema referencia.

Naturalmente que podemos considerar a la partícula 2 como origen del sistema de referencia y

referir todas las medidas de posición, velocidad y aceleración relativas respecto de ella, a saber,

posición:

12 1 2 21r r r r= − = −� � � �

(1.66)

velocidad:

12 1 2 21v v v v= − = −� � � �

(1.67)

aceleración:

12 1 2 21a a a a= − = −� � � �

(1.68)

Nótese que los vectores vistos desde la partícula 1 y los vectores vistos desde la partícula 2 son

opuestos entre sí.

Apuntes Del Curso Física I, Ingeniería .

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