Probabilidad Simple EJERCICIOS

Problemas resueltos:Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. Qu fruta es ms probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen slo 10 manzanas. As, aplicando la frmula obtenemos que:

P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es ms probable que saque una pera, pues hay ms peras que manzanas en la canasta.

2.- la probabilidad de que al lanzar un dado, salga el numero 2 es de

1/6

porque el dos es solo uno de 6 numeros que hay en total.

3.-En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. Cul es la probabilidad de que lapersona escogida sea hombre? Solucin:Por definicin, la probabilidad de que un suceso ocurra viene dada por: P=casos favorables/casos totales o posibles (P).En particular, hay 12 hombres, por lo tanto son 12 los casos favorables a dicha seleccin. Pero ella se har de un total de 20 + 12 = 32 personas sumamos la cantidad de mujeres y hombres que forman parte de la seleccin y por tanto, los casos posibles o totales.As, la probabilidad pedida es P= 12/32

4.- En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres.Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. Cul es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre? Solucin: La informacin sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relacin con ello. Por definicin, la probabilidad pedida viene dada por:P= casos favorables a la seleccin 28/casos totales de la muestra 60P= 28/60

5.-En un curso de 30 alumnos 18 son mujeres. Cul es la probabilidad de que al escoger una persona est no sea mujer? Solucin: Claramente nos piden la probabilidad de que al escoger una persona, esta sea hombre. Pues bien, si de los 30 alumnos, 18 son mujeres, entonces hay 12 hombres. Luego, la probabilidad pedida es: P=casos favorables a la seleccin 12/casos totales de la muestra 30P=12/60

6.-Cul es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 nmeros en total, si se compran los 3 centsimos de tal cantidad? Solucin: 3 Centsimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal porcentaje es 3/100. P= 3/100

7.-La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe ingls (52 cartas), ella sea un as es: Solucin: Los casos favorables a obtener un as son 4. Los casos totales o posibles de extraer son 52 (puede salir cualquier carta). Por lo tanto, la probabilidad pedida es: P=4/52 P=1/13

8.-En un jardn infantil hay 8 morenos y 12 morenas as como 7 rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, la probabilidad de que sea rubio o rubia es: Solucin: Hay un total de 32 nios. Los rubios o rubias suman 12. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:P=casos favorables (rubios o rubias)/ total de nios P=(7 + 5)/(8 +12 +7 + 5) P=12/32 8P=3/8

9.-Al lanzar al aire tres veces una moneda, la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello es: Solucin: No importa lo que ocurra en los dos ltimos lanzamientos. Es slo considerar la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello. Por lo tanto, la probabilidad pedida es: P=cantidad de resultado(s) favorable(s) / cantidad resultados posibles P=1/2

10.-Se lanz un dado honesto no cargado- dos veces, obtenindose 4 en ambas oportunidades. Cul es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se obtenga nuevamente 4? Solucin: Los dos lanzamientos previos ya no son de inters, dado que se tiene certeza de sus resultados. Solo nos interesa a partir de ello la probabilidad de que en un lanzamiento se obtenga 4. Como hay seis resultados posibles y uno solo favorable, la probabilidad pedida es: P= cantidad de resultado(s) favorable(s) /cantidad resultados posibles P=1/6

11.-Una persona tira tres veces una moneda y las tresveces obtiene cara. Cul es la probabilidad de que la cuarta vez obtenga sello? Solucin: Los tres primeros lanzamientos ya no son deinters, dado que se tiene certeza de sus resultados. Solo nos interesa a partir de ello la probabilidad de que en un solo lanzamiento se obtenga sello. Como hay dos resultados posibles y uno solo favorable, la probabilidad pedida es: 1/2

12.-Se lanzan al aire consecutivamente dos monedas, la probabilidad de que la segunda sea cara es: Solucin: No se solicita nada de la primera moneda. Por lo que solo hay que remitirse a la segunda moneda. El segundo lanzamiento como cualquier otro, tiene dos resultados posibles, cara o sello. De los cules uno de ellos es favorable a lo pedido. Por lo tanto, la probabilidad pedida es P=1/2

13.-Se lanzan al aire uno tras otro tres dados de seis caras numeradas del 1 al 6. La probabilidad de que el nmero de tres cifras que se forme, empiece con 4 es: Solucin: Dan lo mismo los resultados del segundo y tercerlanzamiento. Slo interesa obtener 4 en el primero. Al lanzar el primer dado tenemos un caso favorable a obtener 4 y seis casos posibles, por lo tanto, la probabilidad pedida es: P=casos favorables/casos totales P= 1/6

14.-La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un nmero menor que 5 es: Solucin: Los casos favorables a obtener un nmero menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es P= 42/63

15.-Carolina lanza un dado no cargado. Cul es la probabilidad de que ella obtenga un nmero menor que 3? Solucin: Los casos favorables a obtener un nmero menor que 3 son {1, 2} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es P= 21/63

16.-Se lanza una vez un dado comn, cul es la probabilidad de obtener un nmero par, menor que 5? Solucin: Sea A Obtener un nmero par menor que 5 = {2, 4} #A = 2. La probabilidad pedida es P(A)=casos favorables/ casos totales P(A) = 2/6

17.-Se lanza un dado y se obtiene 2. Cul es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un nmero que, sumado con 2, sea inferior a 6? Solucin: Al lanzar el segundo dado tenemos seis resultados posibles, pero los que favorecen una suma con 2, inferior a 6 son: 1, 2, 3. Es decir, tenemos 3 casos favorables. La probabilidad pedida es=casos favorables / casos totales P= 3/1P=6/ 2. 18.-Se lanza un dado y se obtiene 3. Cul es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un nmero que sumado con 3 se obtenga un nmero inferior a 5? Solucin: Al lanzar el segundo dado tenemos seis resultados posibles, pero el resultado que sumado con 3, resulta ser inferior a 5 es nicamente el uno. Es decir, hay 1 caso favorable de 6 resultados en total tras el segundo lanzamiento. Por lo tanto, la probabilidad pedida es P=casos favorable /casos totales .P=1/6

19.- De 25 televisores que se fabrican, 1 sale defectuoso. Cul es la probabilidad de escoger uno defectuoso en 100 televisores? Solucin: Si de 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso, entonces, la probabilidad de escoger uno defectuoso es P= 1/25.

20.-Se hace girar la flecha de la ruleta una vez, si la probabilidad de seleccionar alguna lnea divisoria es despreciable, la probabilidad de obtenerun nmero mayor que 4 es: Solucin: Hay 4 nmeros favorables: 5, 6, 7, 8; de un total de 8 nmeros posibles. La probabilidad pedida es P=41/82

21.-Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe espaol (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso sacar una carta que no sea oro es: Solucin: Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:P= casos favorables a no ser oro/ total de cartas posibles a extraer P=30/40

22.-Una tmbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, la probabilidad de que el nmero grabado en ella sea divisor de 5 es: Solucin: Un nmero entero es divisible por otro si el resultado de dividir al nmero por el otro es igual a cero. De los nmeros indicados solo si mismo Entonces, la probabilidad pedida es :P= casos favorables/ casos posibles P=2/5

23.-La probabilidad de que al hacer rodar un dado, salga un nmero primo es: Solucin: Los casos o resultados posibles al lanzar el dado son {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esto es, seis casos totales. Los casos favorables a obtener un nmero primo (divisible solo por 1 y por s mismo) son: 2, 3, 5. Esto es, tres casos. Por lo tanto, 3 1P(primo) = casos favorables/ casos totalesP=3/6P=1/2

24.-Hacemos rodar un dado de seis caras; entonces la probabilidad del suceso obtener 2 sabiendo que ha salido un nmero par es: Solucin: Es un hecho que los casos posibles o espacio muestral es E = {2, 4, 6} #E = 3. Pues se sabe que ha salido par. El caso favorable es un solo nmero. AsP(2) = 1/3.25. Si se lanzan 3 dados no cargados. Cul es la probabilidad de obtener 5 en los tres lanzamientos? Solucin: Al lanzar un dado obtenemos la base del espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} #E = 6 resultados posibles. Y la probabilidad de obtener un cincoEs: P=1/6. Al lanzar tres dados, las combinaciones de resultados posibles que conforman el espacio muestral sigue un principio multiplicativo sobre la base de un dado, esto es: #E = (#E)3= 63= 6 6 6 =216. Mientras que la probabilidad de obtener un cinco en cada uno de los tres lanzamientos es, segn el principio multiplicativo para eventos independientes: P= (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)P=1/216

26.- Se hacer rodar 2 veces un dado comn y se considera la suma de los puntos obtenidos en ambos lanzamientos. La primera vez sale un nmero par. La probabilidad que la suma sea mayor que 7 es: Solucin: El espacio muestral al lanzar los dos dados es el que muestra la figura. Constando de 36 casos posibles. Para hallar los casos favorables, hay que buscar entre los casos posibles aquellos que comiencen con un nmero par y cuya suma con el otro resultado sea mayor que 7: {(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6),(4,4), (4,5), (4,6), (2,6)}. Totalizando 9 casos favorables. Entonces, la probabilidad pedida es P=9/36

P=

Materia: PROBABILIDAD Y ESTADSTICAUNIDAD I. TCNICAS DE CONTEO1. CONCEPTO.Suponga que se encuentra al final de una lnea de ensamble final de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el nmero de productos que lo constituyen, de inmediato usted empezar a contar un producto tras otro y al final informar al supervisor que son, 48, 54 u otro nmero cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta cuntas muestras o grupos ser posible formar con los productos del lote, si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas?.En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezar a tener dificultad para hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las tcnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestin (el nmero de muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, qu son las tcnicas de conteo?Las tcnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difciles de cuantificar.Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las tcnicas de conteo seran:-Cuntas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?-Cuntas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniera Qumica?, b) se desea que el presidente sea un qumico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean qumicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.-Cuntas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?Se les denomina tcnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de rbol, las que a continuacin se explicarn y hay que destacar que stas nos proporcionan la informacin de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.Las bases para entender el uso de las tcnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuacin se definen y se hace uso de ellos.B) PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-simo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formasEl principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.Ejemplos:1. Una persona desea construir su casa, para lo cul considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobn o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lmina galvanizada y por ltimo los acabados los puede realizar de una sola manera cuntas maneras tiene esta persona de construir su casa?Solucin:Considerando que r = 4 pasosN1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casaEl principio multiplicativo, el aditivo y las tcnicas de conteo que posteriormente se tratarn nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.1. Cuntas placas para automvil pueden ser diseadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro nmeros, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los nmeros de entre los dgitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y nmeros, b. No es posible repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las placas diseadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.Solucin:1. Considerando 26 letras del abecedario y los dgitos del 0 al 9 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automvil que es posible disear1. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automvil1. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automvil1. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automvil1. Cuntos nmeros telefnicos es posible disear, los que deben constar de seis dgitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los nmeros y es posible repetir dgitos, b. El cero no debe ir en la primera posicin y no es posible repetir dgitos, c. Cuntos de los nmeros telefnicos del inciso b empiezan por el nmero siete?, d. Cuntos de los nmeros telefnicos del inciso b forman un nmero impar?.Solucin:2. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 nmeros telefnicos 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 nmeros telefnicos2. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 nmeros telefnicos2. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 nmeros telefnicosC) PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cul tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la ltima de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N + .........+ W maneras o formas

Ejemplos:1. Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cul ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomtica. Cuntas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solucin:

M = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las prximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas l tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia l tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) Cuntas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) Cuntas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?.

Solucin:

a) V = maneras de ir a las Vegas D = maneras de ir a Disneylandia

V = 3 x 2 = 6 maneras

D = 3 x 4 = 12 maneras

V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia

b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas D = maneras de ir y regresar a Disneylandia

V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras

D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras

V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo

Cmo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?

Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.D) PERMUTACIONES.Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinacin y lo que es una permutacin para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinacin y cuando utilizar una permutacin al momento de querer cuantificar los elementos de algn evento.COMBINACIN Y PERMUTACION.COMBINACIN:Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.PERMUTACIN:Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacin y una permutacin, plantearemos cierta situacin.Suponga que un saln de clase est constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando as sea necesario.b) El maestro desea que se nombre a los representantes del saln (Presidente, Secretario y Tesorero).Solucin:1. Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo nico que nos interesara es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, quines estn en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinacin, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo nico que nos interesa es el contenido de los mismos.1. Suponga que se han nombrado como representantes del saln a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuacin:CAMBIOSPRESIDENTE: DanielArturoRafaelDaniel

SECRETARIO: ArturoDanielDanielRafael

TESORERO: RafaelRafaelArturoArturo

Ahora tenemos cuatro arreglos, se trata de la misma representacin?Creo que la respuesta sera no, ya que el cambio de funcin que se hace a los integrantes de la representacin original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sera s, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones s importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.A continuacin obtendremos las frmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que est involucrado en las frmulas que se obtendrn y usarn para la resolucin de problemas.n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x nEjem.10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800 8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320 6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.Obtencin de frmula de permutaciones.Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.Cuntas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?Solucin:Haciendo uso del principio multiplicativo, 14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concursoEsta solucin se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendramos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por ltimo tendramos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el nmero de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresin anterior, entonces.14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n r + 1)si la expresin anterior es multiplicada por (n r)! / (n r)!, entonces= n x (n 1 ) x (n 2) x ......... x (n r + 1) (n r)! / (n r)!= n!/ (n r)!Por tanto, la frmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es: Esta frmula nos permitir obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, adems hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.Entonces, qu frmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?Si en la frmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces. nPn= n!/ (n n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!Como 0! = 1 de acuerdo a demostracin matemtica, entonces nPn= n!Ejemplos:1. Cuantas representaciones diferentes sern posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, s esta representacin puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequea empresa.Solucin:Por principio multiplicativo:25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representacin de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc.Por Frmula:n = 25, r = 525P5 = 25!/ (25 5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)= = 6,375,600 maneras de formar la representacin2) a. Cuntas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de frmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. Cuntas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de frmula uno?Solucin: a. Por principio multiplicativo:8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carreraPor Frmula:n = 8, r = 88P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc.b. Por principio multiplicativo:8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera Por frmula:n =8, r = 38P3 = 8! / (8 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera1. Cuntos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), ser posible generar con los dgitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dgitos, b. Es posible repetir dgitos.Solucin:a. Por frmulan = 6, r = 3 6P3 = 6! / (6 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posiblesNota: este inciso tambin puede ser resuelto por el principio multiplicativob. Por el principio multiplicativo6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles Cul es la razn por la cul no se utiliza en este caso la frmula?. No es utilizada debido a que la frmula de permutaciones slo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.1. a. Cuntas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de bsquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. Cuntas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel Jos Esparza?, c. Cuntas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel Jos Esparza y en otra Omar Luna?Solucin:a. Por frmula:n = 12, r = 5 12P5 = 12! / (12 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juegoa. Por principio multiplicativo:1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego Por frmula:1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel Jos en una determinada posicin a. Por principio multiplicativo1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego Por frmula:1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel Jos y Omar Luna en posiciones previamente definidas1. Cuntas claves de acceso a una computadora ser posible disear, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dgitos, las letras sern tomadas del abecedario y los nmeros de entre los dgitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y nmeros, b. Considere que no se pueden repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el nmero 6?, d. Cuntas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un nmero impar?Solucin:a. Por principio multiplicativo:26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso Por frmula:26P2 x 10P5 = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000 claves de acceso 2. Por frmula: 1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el nmero 62. Por frmula:1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un nmero impar.E) PERMUTACIONES CON REPETICION.En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para hacer los arreglos son diferentes. A continuacin se obtendr una frmula que nos permite obtener las permutaciones de n objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales.Ejemplo:Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con las letras de la palabra OSO.Solucin:Para obtener la frmula, es necesario primero suponer que todas las letras de la palabra OSO son diferentes y para diferenciarlas pondremos subndices a las letras O, por lo que quedara, O1SO2, y las permutaciones a obtener seran: 3P3 = 3! = 6 definiendo las permutaciones tenemos que estas seran, O1SO2, O2SO1, SO1O2, SO2O1, O1O2S, O2O1SPero realmente podemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego entonces cuntos arreglos reales se tienen?Como:Arreglos realesO1SO2 = O2SO1 OSOSO1O2 = SO2O1 SOOO1O2S= O2O1S OOSEntonces se observa que en realidad slo es posible obtener tres permutaciones con las letras de la palabra OSO debido a que las letras O son idnticas, pero qu es lo que nos hizo pensar en seis arreglos en lugar de tres?, el cambio que hicimos entre las letras O cuando las consideramos diferentes, cuando en realidad son iguales.Para obtener los arreglos reales es necesario partir de la siguiente expresin:El nmero de arreglos reales = No. de permutaciones considerando a todos los objetos como diferentesLos cambios entre objetos igualesEl nmero de arreglos reales = 3! / 2! = 3 x 2! / 2! = 3 Por tanto la frmula a utilizar sera; Donde:nPx1,x2,......, xk = Nmero total de permutaciones que es posible obtener con n objetos, entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos del tipo k.n = x1 + x2 + ...... + xkEjemplos:1. Obtenga todas las seales posibles que se pueden disear con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.Solucin:n = 6 banderinesx1 = 2 banderines rojosx2 = 3 banderines verdesx3 = 1 bandern morado6P2,3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 seales diferentes1. a.Cuntas claves de acceso a una computadora ser posible disear con los nmeros 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.cuntas de las claves anteriores empiezan por un nmero uno seguido de un dos?, c. cuntas de las claves del inciso a empiezan por el nmero dos y terminan por el nmero tres?Solucin:a. n = 8 nmeros x1 = 3 nmeros uno x2 = 1 nmero dos x3 = 4 nmeros cuatro8P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de accesob. n = 6 (se excluye un nmero uno y un dos) x1 = 2 nmeros uno x2 = 4 nmeros tres1 x 1 x 6P2,4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de accesoEl primer nmero uno nos indica el nmero de maneras como es posible colocar en la primera posicin de la clave de acceso un nmero uno, debido a que todos los nmeros uno son iguales, entonces tenemos una sola manera de seleccionar un nmero uno para la primera posicin, el siguiente nmero uno nos indica el nmero de maneras como se colocara en la segunda posicin el nmero dos y la expresin siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible disear con los nmeros restantes.c. n = 6 (se excluye un nmero dos y un tres) x1 = 3 nmeros uno x2 = 3 nmeros tres1 x 6P3,3 x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de accesoEl nmero uno inicial nos indica que existe una sola manera de seleccionar el nmero dos que va en la primera posicin del arreglo, mientras que el nmero uno final nos indica que hay una sola manera de seleccionar el nmero tres que va al final del arreglo an y cuando haya cuatro nmeros tres, como estos son iguales al disear una permutacin es indistinto cul nmero tres se ponga, ya que siempre se tendr el mismo arreglo y la expresin intermedia nos indica todos los arreglos posibles a realizar con los nmeros restantes. 1. De cuntas maneras es posible plantar en una lnea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos? Solucin:n = 9 rbolesx1 = 2 nogalesx2 = 4 manzanosx3 = 3 ciruelos 9P2,4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los rboles1. Si un equipo de ftbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, cuntas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?Solucin:n = 12 juegosx1 = 7 victoriasx2 = 3 empatesx3 = 2 juegos perdidos12P7,3,2 = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que en la temporada este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos perdidos.F) PRUEBAS ORDENADAS.Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada puede ser llevada a efecto de dos maneras:1. Con sustitucin (con reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto de entre los n que hay, se observa de qu tipo es y se procede a regresarlo a la urna, luego se selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite hasta que se han extrado los r objetos de la prueba, por tanto el nmero de pruebas ordenadas de con sustitucin se obtiene: Nmero total de pruebas ordenadas con sustitucin = n x n x n x .........x n = nrHay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna el primer objeto, tambin se tendrn n objetos y as sucesivamente.1. Sin sustitucin (sin reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto, el cual no es regresado a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que el nmero total de pruebas ordenadas sin sustitucin se obtiene: Nmero total de pruebas ordenadas sin sustitucin = n(n-1)(n-2).........(n-r +1) = nPrHay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, hay n 1 maneras, dado que el primer objeto no se regresa a la urna, luego cuando se extrae el r-simo objeto, hay (n r +1) de que sea seleccionado. Ejemplos:1. Cuntas maneras hay de que se asignen tres premios de un sorteo en donde el primer premio es una departamento, el segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de cmputo, si los participantes en este sorteo son 120 personas, a.s la asignacin se puede hacer con sustitucin, b.s la asignacin se puede hacer sin sustitucin.Solucin:a. Por principio multiplicativo:120 x 120 x 120 = 1,728,000 maneras de asignar los premios Por frmula: n =120, r = 120 nr = 1203 = 1,728,000 maneras de asignar los tres premiosHay que considerar que en este caso, al regresar cada boleto que es extrado de la urna, las personas que participan en el sorteo tienen la posibilidad de no ganar uno solo de los premios, de ganar un premio, dos de los premios o los tres premios. Cosa que generalmente no ocurre.b. Por principio multiplicativo: 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premiosPor frmula:n = 120, r = 3120P3 = 120! / (120 3)! = 120! / 117! = 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premiosHay que hacer notar que en este caso, como los boletos que son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron extrados, los participantes solo pueden recibir un premio en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que generalmente se efecta un sorteo.1. Cuntas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera de autos de frmula K, si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignacin es totalmente al azar.Solucin:Esta asignacin debe ser sin sustitucin, esto es, se trata de una prueba ordenada sin sustitucin, por lo que la solucin es la que se muestra.n = 26, r = 526P5 = 26! / (26 5)! = 26! / 21! = 26 x 25 x 24 x 23 x 22 = 7,893,600 maneras de asignar las cinco primeras posiciones de salida 1. Cuntas formas hay de asignar el orden de participacin de las primeras 5 concursantes de 11 finalistas de un concurso de Miss Mundo?Solucin:Esta asignacin debe realizarse sin sustitucin, por lo que se trata de una prueba ordenada sin sustitucin.n = 11, r = 5 11P5 = 11! / (11 5)! = 11! / 6! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 55,440 maneras de asignar la participacinG) COMBINACIONES.Como ya se mencion anteriormente, una combinacin, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinacin nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.La frmula para determinar el nmero de combinaciones es:

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetosDonde se observa que,La expresin anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformndolas en combinaciones, de otra forma, tambin si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.nPr = nCr r!Y si deseamos r = n entonces;nCn = n! / (n n)!n! = n! / 0!n! = 1Qu nos indica lo anterior? Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.Ejemplos:1. a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaa pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrn formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuantos de los grupos de limpieza tendrn a 3 mujeres?, c.cuntos de los grupos de limpieza contarn con 4 hombres por lo menos?Solucin:a. n = 14, r = 5 14C5 = 14! / (14 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5! = 2002 gruposEntre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres 8C3*6C2 = (8! / (8 3)!3!)*(6! / (6 2)!2!) = (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!) = 8 x7 x 6 x 5 /2! = 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personasc. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o ms Los grupos de inters son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres = 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6 = 1261. Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a.Cuntas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.Cuntas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c.Cuntas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d.Cuntas maneras tiene si debe contestar como mximo una de las 3 primeras preguntas?Solucin:a. n = 12, r = 912C9 = 12! / (12 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen1. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que estn las dos primeras preguntas1. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que est una de las tres primeras preguntas1. En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas 3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar1. Una seora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. Cuntas maneras tiene de invitarlos?, b. cuntas maneras tiene si entre ellos est una pareja de recin casados y no asisten el uno sin el otro, c. Cuntas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?Solucin:a. n = 11, r = 511C5 = 11! / (11 5 )!5! = 11! / 6!5! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5! = 462 maneras de invitarlosEs decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar. b. Esta seora tiene dos alternativas para hacer la invitacin, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja.2C0*9C5 + 2C2*9C3 = (1 x 126) + (1 x 84) = 210 maneras de invitarlos En este caso separamos a la pareja de los dems invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena. c.La seora tiene dos alternativas para hacer la invitacin, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos. 2C0*9C5 + 2C1*9C4 = (1 x 126) + (2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitacin1. En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma lnea no hay ms de dos puntos, a. Cuntas lneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b. Cuntas de las lneas no pasan por los puntos A o B?, c. Cuntos tringulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. Cuntos de los tringulos contienen el punto A?, e. Cuntos de los tringulos tienen el lado AB?.Solucin:3. En la redaccin del problema se aclara que en una misma lnea no hay ms de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podra dar contestacin a las preguntas que se hacen. Una lnea puede ser trazada a partir de cmo mnimo dos puntos por lo tanto, 10C2 = 10! / (10 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 lneas que se pueden trazar3. En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrn las lneas. 2C0*8C2 = 1 x 28 = 28 lneas que no pasan por los puntos A o B3. Un tringulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego;10C3 = 10! / (10 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 tringulos posibles de trazar3. En este caso se separa el punto A de los dems, se selecciona y posteriormente tambin se seleccionan dos puntos ms.1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 tringulos que contienen el punto A3. Los puntos A y B forman parte de los tringulos a trazar por lo que;2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 tringulos que contienen el lado ABH) PARTICIONES ORDENADAS.Se le llama particin ordenada al hecho de repartir n objetos en clulas de una cantidad de x1 objetos, x2 objetos,......y xk objetos. Para deducir la frmula de particiones ordenadas partiremos de un ejemplo.Cuntas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?Ejemplos de esta particin seran las siguientes si se numeran los libros del 1 al 10;

2458136791012345789 10

Solucin:Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 libros de los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es;10C2 = 10! / (10 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 maneras de seleccionar los librosLuego se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para el segundo alumno; 8C3 = 8! / (8 3)!3! = 8! / 5!3! = 56 manerasY por ltimo se proceder a seleccionar cinco libros de los cinco que quedan para el tercer alumno, lo que se muestra a continuacin; 5C5 = 5! / (5 5)!5! = 5! / 0!5! = 1 maneraPor tanto el nmero total de particiones ordenadas en clulas de 2, 3 y 5 elementos se determina: 10C2*8C3*5C5 = (10! / (10 2)!2!)*(8! / (8 3)!3!)*(5! / (5 5)!5!) = 10! /2!3!5! La expresin anterior nos recuerda a la frmula utilizada para encontrar las permutaciones de n objetos, entre los cuales hay algunos objetos que son iguales, por lo que usaremos la misma frmula para encontrar las particiones ordenadas.Por tanto la frmula para las particiones ordenadas sera:

Esta frmula slo puede ser utilizada cuando se reparten todos los objetos, no parte de ellos, en ese caso se usarn combinaciones.Donde:nPx1,x2,.....,xk = Total de particiones ordenadas o reparticiones que es posible hacer cuando los n objetos son repartidos en grupos de x1 objetos, x2 objetos ...... y xk objetos. n = x1 + x2 + ......+ xkEjemplos:2. Cuntas maneras hay de repartir 9 juguetes entre tres nios, si se desea que al primer nio le toquen 4 juguetes, al segundo 2 y al tercero 3 juguetes?Solucin: Por combinaciones,9C4*5C2*3C3 = 126*10*1= 1260 maneras de repartir los juguetesPor frmula,n = 9x1 = 4x2 = 2x3 =39P4,2,3 = 9! / 4!2!3! = 1,260 maneras de repartir los juguetes2. Cuntas maneras hay de repartir los mismos 9 juguetes entre tres nios, si se desea darle 3 al primer nio, 2 al segundo nio y 2 al tercer nio?Solucin:En este caso nicamente se puede dar solucin por combinaciones, ya que no es posible usar la frmula debido a que se reparten solo parte de los juguetes.9C3*6C2*4C2 = 84*15*6 = 7,560 maneras de repartir los juguetes (solo se reparten 7 y quedan dos juguetes)2. a. Cuntas maneras hay de que se repartan 14 libros diferentes entre 3 alumnos, si se pretende que al primer alumno y al segundo les toquen 5 libros a cada uno y al tercero le toque el resto?, b. Cuntas maneras hay de que se repartan los libros si se desea dar 5 libros al primer alumno, 3 al segundo y 2 libros al tercer alumno?Solucin:1. Por frmula:n = 14 x1 = 5x2 = 5x3 = 414P5,5,4 = 14! / 5!5!4! = 21,021 maneras de repartir los libros en grupos de 5, 5 y 4 libros1. Por combinaciones:14C5*9C3*6C2 = 2,002*84*15 = 2,522,520 maneras de repartir 10 de los 14 libros en grupos de 5, 3 y 2 libros2. a.Cuntas maneras hay de repartir a 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas cada uno de ellos para que realicen prcticas de laboratorio diferentes?, b. Cuantas maneras hay de que se repartan los 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas si se va a realizar una misma prctica?Solucin:1. En este caso al ser prcticas de laboratorio diferentes, es posible resolver el problema por combinaciones o por la frmula, dado que se reparten todos los alumnos Por frmula:n = 12x1 = 3 prctica 1x2 = 3 prctica 2x3 = 3 prctica 3x4 = 3 prctica 412P3,3,3,3 = 12! / 3!3!3!3! = 369,600 maneras de repartir a los estudiantes en cuatro equipos de 3 personas para realizar prcticas diferentes1. En este caso lo ms probable es que se crea que la solucin es igual que la que se ha dado al inciso a, pero esto no puede ser debido a que si se desea repartir a los alumnos para realizar una misma prctica, el orden en el que se hace la reparticin no tiene importancia, ya que al equipo de tres personas les da lo mismo quedar en el primer equipo a quedar en el segundo o tercero, ya que la prctica a realizar es la misma, entonces la solucin es;12P3,3,3,3 * 1 /4! = 12! / 3!3!3!3! * 1 / 4! = 369,600 / 4! = 15,400 maneras de repartir a los alumnos en equipos de 3 personas para realizar una misma prcticaAl multiplicar la solucin que se da al inciso a, por 1/4! se est quitando el orden de los grupos, que en este caso no nos interesa.I. DIAGRAMA DE ARBOL.Un diagrama de rbol es una representacin grfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo.Ejemplos:1.Un mdico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presin sangunea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de rbol diga en cuantas clasificaciones puedenestar los pacientes de este mdico?NSolucin:AABNBABMABNAOB ANFBABABBOABSi contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el nmero de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.1. Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados ser el que gane el torneo. Mediante un diagrama de rbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,Solucin:A = gana el equipo AB = gana el equipo BAAAABABBB

AAAABBBBB

En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de rbol, las que es posible enumerar;AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc, etc.1. Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como mximo, l empieza a jugar con un dlar, apuesta cada vez un dlar y puede ganar o perder en cada juego un dlar, l se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dlares (esto es si completa un total de cuatro dlares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de rbol, diga cuntas maneras hay de que se efectu el juego de este hombre.Solucin:

$4G $4G$3$3GGP $2PG$3$2P$1P $0$3G $4 $2G$1G$2GP $2G $2PP$1P$1P$0P $0$0

Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11 maneras de que este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este diagrama se han representado los cinco juegos o apuestas que este hombre tiene tiempo de jugar.J) PROBLEMAS PROPUESTOS1. Si una prueba se compone de 12 preguntas de verdadero-falso, a. de cuantas maneras diferentes un estudiante puede dar una respuesta para cada pregunta?, b. S de antemano el maestro le dice que la primera pregunta es verdadera, cuntas maneras tiene de contestar esta prueba?. a. r=4,096 maneras b. r=2,048 maneras2. Un fabricante tiene dificultades para obtener registros consistentes de resistencias a la tensin entre tres mquinas localizadas en la planta de produccin, el laboratorio de investigacin y el laboratorio de control de calidad , respectivamente, al mismo tiempo hay cuatro posibles tcnicos Toms, Enrique, Rafael y Javier- quienes operan al menos una de las mquinas a prueba regularmente, a. cuntos pares operador-mquina deben incluirse en un experimento planeado en el que cada operador maneje todas las mquinas?, b. Si se requiere que cada par operador-mquina pruebe ocho especimenes, cuntos especimenes de prueba se necesitan para el procedimiento ntegro? Nota: un espcimen se destruye cuando se mide su resistencia a la tensin.1. r=12 pares b. r=96 especimenes3. Un inspector de construcciones tiene que revisar el cableado de un nuevo de departamentos, ya sea el lunes, el martes, mircoles o jueves, a las 8 A. M., a las 10 A. M. o a las 2 P. M. , a. cuntas maneras tiene este inspector de hacer las revisiones del cableado?, b. Obtenga las maneras en que el inspector puede realizar las revisiones del cableado, haciendo uso ahora de un diagrama de rbol. a y b. r=12 maneras4. Si los cinco finalistas de un torneo internacional de golf son Espaa, Estados Unidos, Portugal, Uruguay y Japn, a. Diga de cuantas maneras es posible que se otorgue un primero, segundo lugar y tercer lugar, b. Considerando que el primer lugar lo gana Portugal y el segundo lo gana Estados Unidos, cuantas maneras hay de que se otorguen los lugares antes mencionados?. a. r=60 maneras, b. r=3 maneras5. Una computadora de propsito especial contiene tres conmutadores, cada uno de los cules puede instalarse de tres maneras diferentes. De cuantas maneras diferentes puede instalarse el banco de conmutadores de la computadora? r= 27 maneras6. De cuantas maneras ordenadas puede programar un director de televisin seis comerciales en los seis intermedios para comerciales durante la transmisin televisiva del primer tiempo de un partido de hockey?, si, a. los comerciales son todos diferentes, b. dos de los comerciales son iguales, c. Si hay cuatro comerciales diferentes, uno de los cuales debe aparecer tres veces, mientras que cada uno de los otros debe aparecer una sola vez. a. r=720 maneras b. r=360 maneras c. r=120 maneras7. Determine el nmero de maneras en las que un fabricante puede seleccionar dos de las quince ubicaciones para un almacn. r=105 maneras8. Una caja de 12 bateras recargables, contiene una defectuosa, de cuantas maneras un inspector puede seleccionar tres de las bateras y, a. obtener la defectuosa, b. no obtener la defectuosa. a. r=55 maneras, b. r=165 maneras9. El departamento de suministros tiene ocho diferentes motores elctricos y cinco diferentes interruptores de arranque. De cuantas maneras pueden seleccionarse dos motores y dos conmutadores para un experimento de una antena de rastreo?, r=280 maneras10. A los participantes de una convencin se les ofrecen 6 recorridos por da para visitar lugares de inters durante los tres das de duracin del evento. En cuantas formas puede una persona acomodarse para hacer alguno de ellos? r=18 formas11. Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y en 4 colores distintos para cada uno. Si la zapatera desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos los estilos y colores, cuntos pares distintos debern colocar en el aparador? r=20

12. Un estudiante de primer ao debe tomar un de ciencia, uno de humanidades y otro de matemticas. Si puede escoger entre cualquiera de 6 cursos de ciencias, 4 de humanidades y 4 de matemticas, cuntas maneras tiene de seleccionar las materias? r=96 maneras13. Un urbanista de una nueva subdivisin ofrece a los clientes prospectos para la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar cualquiera de 4 diseos diferentes, tres sistemas de calefaccin, cochera con puertas o sin ellas, y patio o prtico, cuntos planes distintos estn disponibles para el comprador? r= 48 planes14. Si una prueba de seleccin mltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales solo una es correcta, a. en cuantas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta?, b. en cuantas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas? a. r= 1024 b. r=24315. Un testigo de un accidente de trnsito en el que el causante huy, le indica al polica que el nmero de matrcula del automvil tena las letras DUH seguidas por tres dgitos, el primero de los cuales era un cinco. S el testigo no puede recordar los otros dos dgitos, pero est seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el nmero mximo de registros de automvil que debe verificar la polica. r=72 registros16. a) De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir a un autobs?, b.si tres de ellas insisten en seguirse una a la otra, en cuantas formas es esto posible?,c.Si dos personas se rehsan a seguirse una a la otra? a. r=720 b. r=144 c. r=480 maneras17. a) cuntos nmeros de tres dgitos pueden formarse con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, y 6, si cada uno solo puede usarse solo una vez?, b) cuntos de estos nmeros son nones?, c) cuntos son mayores que 330? a. r=180 b. r=75 c. r=105 nmeros18. En cuantas formas pueden sentarse en una lnea 4 nios y 5 nias, si deben colocarse alternadamente? r=2880 formas19. Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. En cuantas formas diferentes pueden sentarse a. sin restricciones?, b. si se sientan por parejas?, c. si todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres? a. r=40,320 b. r=384 c. r=57620. Cuntos mens que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco se puede ofrecer si se puede seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de emparedados, 5 postres y 4 refrescos? r=240 mens21. En cuantas formas pueden llenarse las 5 posiciones iniciales de un equipo de baloncesto con 8 jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas? r=6720 formas5928022. Se sacan tres boletos de la lotera, de un grupo de 40, para el primero, segundo y tercer premios. Encuentre el nmero de puntos muestrales en para otorgarlos si cada concursante conserva solo un boleto. r=59,280 puntos23. En cuantas formas pueden plantarse, a lo largo de la lnea divisoria de una propiedad, 3 robles, 4 pinos y 2 arces, si no se distingue entre los rboles de la misma clase? r=1,260 formas24. Nueve personas salen de viaje para esquiar en tres vehculos cuyas capacidades son de 2, 4 y 5 pasajeros, respectivamente. En cuntas formas es posible transportar a las 9 personas hasta el albergue con todos los vehculos? r=4,410 formas25. Cuntas formas hay de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recin graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? R=56,,21,,10 formas26. En un estudio que realizaron en california, el decano Lester Breslow y el doctor James Enstrom de la School of Public Health de la University of California en los Angeles, se concluy que al seguir 7 sencillas reglas de salud, la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 aos, y la de las mujeres siete. Estas 7 reglas son: no fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir siete u ocho horas, conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos. En cuantas formas puede una persona adoptar cinco de estas reglas, a. si actualmente las viola todas?, b. si nunca toma bebidas alcohlicas y siempre desayuna? a. r=21 formas b.r=10 formas27. Un dispositivo Biomecnico para emergencias mdicas puede operar 0, 1 o 2 veces por noche. Trace un diagrama de rbol para demostrar que existen 10 maneras diferentes en las que puede operar para un total de 6 veces en cuatro noches.UNIDAD II. PROBABILIDADEn ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestin, pero es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?, es muy difcil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por ms simple que este sea, ste est sujeto a una gran diversidad de factores que afectan su ocurrencia, entonces que es lo ms aconsejable para predecir su ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basndose en estadsticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar una buena decisin basados en esta informacin.A)CONCEPTO.La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad est presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplos:-Cualquier proyecto de Ingeniera o de otras reas-Competencias deportivas-Juegos de azar, etc., etc. Cmo podemos calcular probabilidades?1. Haciendo uso de las estadsticas.En este caso, se hace uso de la informacin que se ha acumulado acerca del evento que nos interesa, y despus de esto se procede a calcular las probabilidades requeridas.Ejemplo. Determine la probabilidad de que en cierta lnea de produccin se manufacture un producto defectuoso, si se toma como referencia que la produccin de la ltima semana en esta lnea fue de 1,500 productos, entre los que se encontraron 8 productos defectuosos.p(producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total de productos producidos en la semana = 18 / 1500 = 0.012Lo anterior nos indica que es muy probable que 1.2 productos de cada 100 que se manufacturen en esa lnea sern defectuosos.Porqu se utiliz para calcular las probabilidades la informacin de la semana inmediata anterior?. Debido a que esta refleja la situacin que guarda actualmente la produccin de la lnea mencionada. 2. Basndose en la experimentacin. Hay casos en los que despus de repetir un nmero muy grande de veces un experimento, es posible determinar las probabilidades de ocurrencia de algunos eventos, tales como: La probabilidad de que aparezca guila al lanzar una moneda equilibrada, la probabilidad de que aparezca el nmero 3 en un dado, etc., etc.Ejemplos:p(guila) =1/2 = 0.5p(aparezca el nmero 3)= 1 / 6 = 0.16663. Asignando probabilidades. En este caso se hace uso de las probabilidades obtenidas mediante estadsticas y la experimentacin y se asignan a los eventos previamente descritos y a partir de ellas se determinan probabilidades de otros eventos.A continuacin se definen algunas cuestiones implcitas en el clculo de probabilidades.a) Espacio muestral ().- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Es nuestro Universo.Ejemplos:1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento. = 1, 2, 3, 4, 5, 6 2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal, defina su espacio muestral. = AA, AS, SA, SSb) Evento A.- El evento A es un subconjunto del espacio muestral.Ejemplos:1. Sea A el evento de que aparezca un nmero par en el lanzamiento de un dado, entonces;A = 2,4,62. Sea B el evento de que aparezcan dos guilas en tres lanzamientos de una moneda normal, entonces;Como = AAA, AAS, SAA, ASA, ASS, SAS, SSA, SSS Luego B = AAS, SAA, ASA1. Sea un evento que carece de elementos. = Como se observa los experimentos y eventos probabilsticos se pueden expresar con la notacin de conjuntos y a continuacin se enumeran algunas operaciones que es posible realizar con los eventos. 1) AB Es el evento que ocurre si y solo s A ocurre o B ocurre o ambos ocurren.AB

ABAB

AB = ++AB =AB+

2) AB Es el evento que ocurre s y solo s A y B ocurren a un mismo tiempo.ABAB

AB =

3) Ac Es el complemento de A. Es el evento que ocurre s y solo s A no ocurre.AAc

1. Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes o exclusivos si AB = AB

Ejemplo:En un saln de clase hay 15 alumnos, 7 de los cules son de tercer semestre, 5 son de cuarto semestre y 3 son de quinto semestre de la carrera de Ingeniera Qumica, de los cuales 4, 2 y 1 respectivamente dominan el Ingls, si se selecciona un alumno al azar de este grupo, a. cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de quinto semestre?, b. cul es la probabilidad de que sea de tercero o cuarto semestre?, c. cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado sea de tercer semestre y domine el ingls?, d. cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado no domine el ingls?, e. Diga si los eventos T y Q son mutuamente excluyentes, diga si los eventos Q e I son mutuamente excluyentes?Solucin:Empezaremos por definir algunos eventos;T = evento de que un alumno sea de tercer semestreCu = evento de que un alumno sea de cuarto semestreQ = evento de que un alumno sea de quinto semestre I = evento de que un alumno domine el ingls

1. p(alumno seleccionado sea de quinto semestre) = p(Q) = 3/15 = 0.21. p(alumno seleccionado sea de tercero o cuarto semestre)= p(T Cu) == p( T) + p(Cu) = 7/15 + 5/15 = 12/15 = 0.81. p(alumno sea de tercer semestre y domine el ingls) = p(T I) = 4/15 = 0.266671. p(alumno seleccionado no domine el ingls) = p(Ic ) = 8/15 = 0.533331. Los eventos T y Q son mutuamente excluyentes dado que TQ = Los eventos Q e I no son eventos mutuamente excluyentes, ya que QI= 1Ya que hay un alumno que cumple con ambos eventos, es de quinto semestre y domina el ingls.B) AXIOMAS Y TEOREMAS.Para el clculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuacin se enumeran. 1)La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.0 p(A) 12)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser 1.p() = 1)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AB) = p(A) + p(B) Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

TEOREMAS

TEOREMA 1. Si es un evento nulo o vaco, entonces la probabilidad de que ocurra debe ser cero.

p()=0A

DEMOSTRACIN:Si sumamos a un evento A cualquiera, como y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(A)=p(A) +p()=p(A). LQQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 p(A)AAc

DEMOSTRACIN:Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego =AAc, por tanto p()=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p()=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQDTEOREMA 3. Si un evento A B, entonces la p(A) p(B).

AB\AB

DEMOSTRACIN:Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)0 entonces se cumple que p(A)p(B). LQQD

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) p(AB)A BA\BAB

DEMOSTRACIN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A=(A \ B)(AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB), entonces, p(A \ B) = p(A) p(AB). LQQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) p(AB).

ABAB

DEMOSTRACIN:Si AB = (A \ B) B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) p(AB), por tanto, p(AB) = p(A) + p(B) p(AB). LQQD

COROLARIO:Para tres eventos A, B y C, p(ABC) = p(A) + p(B) + p(C) p(AB) p(AC) (BC) + p(ABC).ABCAB

ABC

BCAC

C) ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.

Sea el espacio muestral, que contiene n elementos a1, a2, a3,.....,an, si a cada uno de los elementos de le asignamos una probabilidad pi 0, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito de probabilidad; el que debe cumplir con las siguientes caractersticas:

1. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de deben ser mayores o iguales a cero, pi0.1. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de debe de ser igual a 1.pi = 1

En caso de que no se cumpla con las caractersticas antes mencionadas, entonces no se trata de un espacio finito de probabilidad.

Ejemplos:1.Se lanza al aire un dado normal, si la probabilidad de que aparezca una de sus caras es proporcional al nmero que ostenta, a) cul es la probabilidad de que aparezca un nmero par?, b) cul es la probabilidad de que aparezca un nmero primo?

Solucin:

= 1, 2, 3, 4, 5, 6

En este caso asignaremos las probabilidades como sigue;

p(aparezca el nmero 1) = p, p(aparezca el nmero 2) = 2p, ....., p(aparezca el nmero 5) = 5p, p(aparezca el nmero 6) = 6pY por ser un espacio finito de probabilidad, entonces,

p() = p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p =1

Por tanto, 21p = 1, luego, p = 1/21

1. Luego;

A = evento de que aparezca un nmero par = 2, 4, 6

p(A)=p(2)+p(4) + p(6) = 2p + 4p + 6p = 12p = 12(1/21) = 12/21= 0.57141. B = es el evento de que aparezca un nmero primo = 1, 2, 3, 5p(B)=p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = p + 2p + 3p + 5p = 11p = 11(1/21) = 11/21 = 0.52382. En una competencia de nado sincronizado, participan los equipos de Ecuador, Mxico y Venezuela, Mxico tiene el doble de posibilidades de ganar que Ecuador, mientras que Venezuela tiene un tercio menos de posibilidades de ganar que ecuador, a. Determine la probabilidad de que gane Venezuela, b. Determine la probabilidad de que gane Ecuador o Venezuela, c. Determine la probabilidad de que no gane Mxico.Solucin: = Ecuador, Mxico VenezuelaPor ser un espacio finito de probabilidad, p() = 1, luego,P() = p(gane Ecuador) + p(gane Mxico) + p(gane Venezuela) = p + 3p + 2/3p=1Como 14/3p = 1, luego p = 3/14a. p(gane Venezuela) = 2/3 p = 2/3*3/14 = 2/14 = 1/7 = 0.14285b. p(gane Venezuela o Ecuador)=p(gane Venezuela)+p(gane Ecuador)= p(gane Venezuela o Ecuador)= 2/3p + p = 5/3 p = 5/3*3/14 =5/14 = 0.35714c. p(no gane Mxico) = p(gane Venezuela o Ecuador) = 1 p(gane Mxico) = 1 3p = = 1 3(3/14) = 1 9/14 = 5/14 = 0.35714 3. En una competencia de ciclismo participan A, B y C, A tiene el doble de posibilidades de ganar que B y B el doble que C, a. Determine la probabilidad de que gane B, b. Determine la probabilidad de que gane A o B.

Solucin:

= A, B, C, y por ser un espacio finito de probabilidad,

p() = p(gane A) + p(gane B) + p(gane C) = 4p + 2p + p = 1

Como 7p = 1, luego, p = 1/7

1. p(gane B) = 2p = 2(1/7) = 2/7 = 0.28571

1. p(gane A o B) = 4p + 2p = 6p = 6(1/7) = 6/7 = 0.85714D) ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.

Sea un espacio muestral que contiene n elementos, = a1, a2, a3,....,an, si a cada uno de los elementos de le asignamos una probabilidad igual de ocurrencia, pi = 1/n por tener n elementos , entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito equiprobable, el que debe cumplir con las siguientes condiciones:

1. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del espacio muestral deben ser mayores o iguales a cero, pi 0.

1. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento del espacio muestral debe de ser igual a 1.

pi = 1

En caso de que no se cumpla con las condiciones anteriores, entonces no se trata de un espacio finito equiprobable.Solo en el caso de espacios finitos equiprobables, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera, entonces;

p(A) = r*1/n = r/n

p(A) = maneras de ocurrir el evento A/ Nmero de elementos del espacio muestral

r = maneras de que ocurra el evento A1/n = probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestraln = nmero de elementos del espacio muestral

Ejemplos:

1. Se lanza al aire una moneda normal (una moneda perfectamente equilibrada) tres veces, determine la probabilidad de que: a. Aparezcan puros sellos, b. Aparezcan dos guilas, c. Aparezcan por lo menos dos guilas.

Solucin:

Para calcular las probabilidades de este problema, hay que definir el espacio muestral en cuestin; si representamos los tres lanzamientos de la moneda mediante un diagrama de rbol, encontraremos que el espacio muestral o el conjunto de todos los resultados posibles es:

= AAA, ASS, SAS, SSA, AAS, SAA, ASA, SSS

1. A = evento de que aparezcan puros sellos = SSS

p(A) = p(aparezcan puros sellos) = p(SSS) = 1/8 = 0.125Porqu un octavo?, s el espacio muestral consta de 8 elementos como se ha observado, entonces la probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral es de 1/8, por ser un espacio finito equiprobable ya que cada uno de los elementos mostrados tiene la misma probabilidad de ocurrencia.

1. B = evento de que aparezcan dos guilas = AAS, SAA, ASA

p(B) = p(aparezcan dos guilas) = p(AAS, SAA, ASA) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

1. C = evento de que aparezcan por lo menos dos guilas = AAS, SAA, ASA, AAA

p(C) = p(AAS, SAA, ASA, AAA)=p(aparezcan dos guilas) + p(aparezcan tres guilas)

p(C) = 4/8 = 1/2 = 0.5

1. En un lote de produccin que consta de 20 computadoras personales de cierta marca, se ha detectado que 4 tienen defectos de tipo operacional. 1. Si se selecciona al azar una computadora, a. Determine la probabilidad de que la computadora seleccionada tenga defectos de tipo operacional, b. cul es la probabilidad de que no tenga defectos de tipo operacional?. 2. Si se seleccionan al azar 4 computadoras de este lote, determine la probabilidad de que: a. Solo tres tengan defectos de tipo operacional, b. Por lo menos dos tengan defectos de tipo operacional, c. Como mximo una tenga defectos de tipo operacional.

Solucin:

Para el punto 2.1, cuando se selecciona de un lote un solo elemento, entonces el espacio muestral est compuesto de entes unitarios, que son cada una de las computadoras,

= 20 computadoras

1. A = evento de que una computadora tenga defectos de tipo operacional

p(A) = 5/20 = 0.25

1. B = evento de que una computadora no tenga defectos de tipo operacional

p(B) = 1 - p(A) = 1 0.25 = 0.75

1. Al seleccionar del lote ms de una computadora, el espacio muestral ya no estar compuesto por entes unitarios, estar formado por todos los grupos que se puedan formar de 4 computadoras seleccionadas de entre 20 que se tienen,

20C4 = 4,845 maneras de seleccionar las cuatro computadoras al azar

Dicho de otra forma seran 4,845 muestras de cuatro computadoras, entre estas muestras hay algunas que contienen puras computadoras defectuosas o puras sin defectos y otras muestras que tienen una mezcla de computadoras con defectos y sin defectos.

1. C = evento de que tres de las computadoras seleccionadas tengan defectos de tipo operacional

C = 4C3*16C1 = 4*16 = 64 muestras de cuatro computadoras que contienen tres defectuosas

p(C) = 64/ = 64/4,845 = 0.013209

1. D = evento de que dos o ms computadoras tengan defectos de tipo operacional

D = 2 con defectos, 3 con defectos o 4 con defectos

D = 4C2*16C2 + 4C3*16C1 + 4C4*16C0 = 6*120 + 4*16 + 1 = 720 + 64 + 1 = 785

El evento D consta de 785 muestras, en las que por lo menos dos de las cuatro computadoras seleccionadas tienen defectos.

p(D) = nmero de elementos del evento D/ nmero de elementos del espacio muestral

p(D) = 785/ = 785/4,845 = 0.162022

1. E = evento de que como mximo una de las computadoras seleccionadas tenga defectos de tipo operacional

E = 0 con defectos o 1 con defectos

E = 4C0*16C4 + 4C1*16C3 = 1*1,820 + 4*560 = 1820 + 2240 = 4,060 muestras

El evento E contiene 4,060 muestras que contienen una o ninguna computadora defectuosa, por lo que;

p(E) = 4,060/ = 4,060/4,845 = 0.83797

Porqu utilizar combinaciones para obtener la probabilidad en lugar de permutaciones?, en este caso no se habla de algn orden para seleccionar las computadoras es el motivo por el cual se usaron combinaciones, pero si decimos que se toman cuatro computadoras del lote y se pregunta, cul es la probabilidad de que la primera y segunda computadora seleccionada tengan defectos de tipo operativo y que la tercera y cuarta no tengan defecto alguno?

En este caso el espacio muestral se determina haciendo uso de permutaciones ya que se trata de una prueba ordenada; como se observa a continuacin:

= 20P4 = 20!/(20 4)! = 20!/16! = 116,280 maneras de seleccionar cuatro computadoras una tras otra

F = evento de que la primera y segunda computadora tengan defectos y que la tercera y cuarta no tengan defectos

F = 4P2*16P2 = 4 x 3 x 16 x 15 = 2,880 muestras en donde la primera y segunda computadora tienen defectos y la tercera y cuarta no tienen defectos

p(F) = 2,880/116,280 = 0.024767

1. Se seleccionan dos nmeros al azar de entre los dgitos del 1 al 9, a. Determine la probabilidad de que ambos nmeros seleccionados sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos nmeros sean impares.

Solucin:

Para obtener el espacio muestral de este problema podemos hacer uso de un diagrama de rbol en donde se represente la seleccin del primer nmero y luego la del segundo nmero, encontrndose que los pares de nmeros a elegir seran 36, como se muestran a continuacin.

(1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (6,7) (7,8) (8,9) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6) (5,7) (6,8) (7,9) = (1,4) (2,5) (3,6) (4,7) (5,8) (6,9) (1,5) (2,6) (3,7) (4,8) (5,9) (1,6) (2,7) (3,8) (4,9) (1,7) (2,8) (3,9) (1,8) (2,9) (1,9)

1. Definiendo un evento A = evento de que los dos nmeros seleccionados sean pares

Luego, A = (2,4, (2,6), (2,8), (4,6), (4,8), (6,8)p(A) = 6/36 = 1/6 = 0.1667

1. B = evento de que los dos nmeros seleccionados sean impares

Luego, B = (1,3), (1,5), (1,7), (1,9), (3,5), (3,7), (3,9), (5,7), (5,9), (7,9)

p(B) = 10/36 = 5/18 = 0.2778

Otra forma de resolver este problema es haciendo uso de combinaciones, donde;

= 9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos nmeros

1. A = seleccin de dos nmeros de entre (2, 4, 6 y 8), 4C2 = 6 maneras de seleccionar dos nmeros pares

p(A) = 4C2/9C2 = 6/36 = 1/6 = 0.1667

b. B = seleccin de dos nmeros impares, se seleccionan de entra (1, 3, 5, 7 y 9), 5C2 = 10 maneras de hacer la seleccin

p(B) = 10/36 = 5/18 = 0.2778

1. Dada la siguiente tabla referente a la produccin de flechas para camin de carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuacin se presentan los resultados obtenidos en la inspeccin:

TIPO DE FLECHADEFECTOABCDTOTAL

I54234015132

II281214559

S-DEF118165246380909

TOTAL2002003004001100

Se selecciona una flecha al azar de las inspeccionadas, determine la probabilidad de que: a. La flecha seleccionada sea del tipo B, b. La flecha seleccionada no tenga defectos, c. La flecha seleccionada tenga defectos del tipo II, d. La flecha seleccionada tenga cualquier tipo de defecto.

Solucin:

1. p( flecha sea tipo B) = 200/1,100 = 0.18182

1. p(flecha no tenga defectos) = 909/1,100 = 0.82636

1. p(flecha con defectos del tipo II) = 59/1,100 = 0.05363

1. p(flecha tenga cualquier tipo de defecto) = p(def tipo I) + p(def tipo II) =

= 132/1,100 + 59/1,100 = (132 +59)/1,100 = 191/1,100 = 0.17364

1. Se disean placas para automvil que consten de tres letras seguidas de cuatro dgitos, las letras se toman del abecedario y los nmeros de los dgitos del 0 al 9, no se repiten letras y nmeros, si se selecciona una placa al azar de las que se han diseado, determine la probabilidad de que: a. La placa empiece por la letra D, b. La placa empiece por la letra D seguida de E, c. La placa termine por el nmero 4, d. La placa termine por el nmero 43, e. Si a un trnsito se le ha dado a la fuga un infractor, y recuerda que las placas empiezan por la letra E y terminan por el nmero 9cuntas placas tendr que revisar el trnsito?, l alcanz a ver que no se repetan letras y nmeros, determine tambin la probabilidad de que encuentre al infractor.

Solucin:

1. El espacio muestral ser:

= 26P3*10P4 = 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78, 624,000 placas

El espacio muestral est formado por todas las placas que es posible disear,

A = evento de que una placa empiece por la letra D

A = 1*25P2*10P4 = 1 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 3,024,000 placas

p(A) = 3,024,000/78,624,000 = 0.03846

1. B = evento de que la placa empiece por la letra D seguida de la E

B = 1 x 1 x 24 x 10P4 = 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas

p(B) = 120,960/78,624,000 = 0.0015385

1. C = evento de que la placa termine por el nmero cuatroC = 26P3*9P3*1 = 26 x 25 x 24 x 9 x 8 x 7 x 1= 7,862,400 placas

p(C) = 7,862,400/78,624,000 = 0.10

1. D = evento de que la placa termine por el nmero 43

D = 26P3*8P2 x 1 x 1 = 26 x 25 x 24 x 8 x 7 x 1 x 1 = 873,600 placas

p(D) = 873,600/78,624,000 = 0.01111

1. Se lanza al aire un dado normal dos veces, a. cul es la probabilidad de que la suma de los nmeros que aparecen sea de por lo menos siete?, b. cul es la probabilidad de que la suma de los nmeros que aparecen sea mayor de siete?, c. cul es la probabilidad de que la suma de los nmeros que aparecen sea de cmo mximo cinco?, d. cul es la probabilidad de que en el primer lanzamiento aparezca el nmero tres?

Solucin:

1. Lo primero que hay que hacer es definir el espacio muestral correspondiente, si hacemos uso de un diagrama de rbol en donde representemos el primer lanzamiento del dado y luego su segundo lanzamiento y obtendremos lo siguiente:

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) =(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Como se observa, = 36 elementos cada uno de los cuales tiene la misma probabilidad de ocurrir, por lo que;

1. A = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de por lo menos siete

A = 21 elementos que son los que suman siete o ms

(6,1) (5,2) (6,2)A = (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

p(A) = 21/36 = 0.58333

b. B = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea mayor de siete

B = 15 elementos, que son los que suman ms de siete, 8 o ms

(6,2)(5,3) (6,3)B = (4,4) (5,4) (6,4)(3,5) (4,5) (5,5) (6,5)(2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

p(B) = 15/36 = 0.41667

c. C = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de cmo mximo cinco

C = 10 elementos, los que suman 5 o menos

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) C = (1,2) (2,2) (3,2) (1,3) (2,3) (1,4)

p(C) = 10/36 = 5/18 = 0.27778

d. D = evento de que en el primer lanzamiento aparezca el nmero tres

D = (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

p(D) = 6/36 = 1/6 = 0.16667E) PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que tambin es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurri, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;

EAAE

Donde:

p(AE) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrip(AE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempop(E) = probabilidad de que ocurra E

Luego;

Por tanto:

Donde:

AE= nmero de elementos comunes a los eventos A y EE= nmero de elementos del evento ELuego entonces podemos usar cualquiera de las dos frmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurri.

Ejemplos:1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los nmeros que aparecen es de por lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el nmero cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos nmeros sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero dos.

Solucin:El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuacin;

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

1. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos,

A = evento de que en el segundo dado aparezca el nmero cuatro, E = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es el evento que est condicionando)

E = 21 elementos, los que suman siete o ms

(6,1) (5,2) (6,2)E = (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = 6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro A = (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

Luego,

AE = (3,4) (4,4) (5,4) (6,4), AE= 4 elementos

Por tanto;

p(AE) = AE/ E= 4/21 = 0.19048

1. E = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de por lo menos siete

(6,1) (5,2) (6,2)E = (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que ambos nmeros sean pares

(2,2) (4,2) (6,2) A = (2,4) (4,4) (6,4) (2,6) (4,6) (6,6)

(6,2) AE = (4,4) (6,4)AE= 6 elementos (2,6) (4,6) (6,6)

p(AE) = AE/ E = 6/ 21 = 0.28571

1. E = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de por lo menos siete

(6,1) (5,2) (6,2)E = (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que en el primer dado aparezca el nmero dos

(2,1) (2,2) A = (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) AE = (2,5), AE= 1 elemento

P(AE) = AE/E = 1/21 = 0.04762

2.Se seleccionan al azar dos nmeros de entre los nmeros del 1 al 9, si la suma de los nmeros que aparecen es par, a. Determine la probabilidad de que ambos nmeros sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos nmeros sean impares.

Solucin:

= 9C2 = 36 maneras de seleccionar dos nmeros de entre nueve que se tienen

(1,2) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4) (3,4) = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)

1. E = evento de que la suma de los nmeros que se seleccionan sea par

(1,3) (2,4) E = (1,5) (3,5) (2,6) (4,6) (1,3) (3,7) (5,7) (2,8) (4,8) (6,8) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

E = 16 elementos

A = evento de que ambos nmeros sean pares

(2,4) A = (2,6) (4,6) (2,8) (4,8) (6,8)

A = 6 elementos

(2,4) AE = (2,6) (4,6) (2,8) (4,8) (6,8)

AE = 6 elementos , p(AE) = AE/ E= 6/16 = 0.375

1. E = evento de que la suma de los nmeros seleccionados es par (1,3) (2,4) E = (1,5) (3,5) (2,6) (4,6) (1,3) (3,7) (5,7) (2,8) (4,8) (6,8) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = evento de que ambos nmeros sean impares (1,3)

A = (1,5) (3,5) (1,7) (3,7) (5,7) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = 10 elementos,

(1,3)

AE = (1,5) (3,5) (1,7) (3,7) (5,7) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

AE= 10 elementos; p(AE)= AE/ E= 10/16 = 0.625

Este ejercicio tambin puede ser resuelto haciendo uso de las combinaciones; el espacio muestral puede ser definido;

= 9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos nmeros

1. E = evento de que la suma de los nmeros seleccionados sea par

Para que la suma de dos nmeros sea par, forzosamente ambos deben ser pares o impares, por tanto,

E = seleccin de dos nmeros pares o de dos impares = 4C2 + 5C2

A = evento de que ambos nmeros sean pares

A = 4C2

AE = 4C2 = 6 maneras de seleccionar dos nmeros pares

AE= 6 elementos

p(AE) = AE/E= 6/16 = 0.375

1. E = evento de que la suma de los nmeros seleccionados sea par

E = 4C2 + 5C2 = 16 maneras de seleccionar dos nmeros de entre nueve

A = evento de que ambos nmeros sean impares

A = 5C2 = 10 maneras de seleccionar dos nmeros impares

AE= 5C2 = 10

p(AE= AE/E= 10/16 = 0.625

3. Dada la siguiente tabla referente a la produccin de flechas para camin de carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuacin se presentan los resultados obtenidos en la inspeccin;

TIPO FLECHADEFECTOABCDTOTAL

I54234015132

II281214559

S - DEF118165246380909

TOTAL2002003004001100

1. Si se selecciona una flecha al azar y resulta que es una flecha del tipo B, cul es la probabilidad de que no tenga defectos, b. Si la flecha seleccionada es del tipo C, cul es la probabilidad de que tenga defectos del tipo II?, c. Si la flecha seleccionada tiene defectos del tipo I, cul es la probabilidad de que sea del tipo A, d. cul es la probabilidad de que una flecha no tenga defectos?, e. cul es la probabilidad de que una flecha tenga defectos?

Solucin:

a. Definiremos los eventos;

E = evento de que la flecha seleccionada sea del tipo B = 200 elementos o flechas

A = evento de que la flecha seleccionada no tenga defectos = 909 flechas o elementos

AE = 165 elementos del tipo B y que no tienen defectos

p(AE) = AE/E= 165/200 = 0.825

1. E = evento de que la flecha sea del tipo C =300 flechas A = evento de que la flecha tenga defectos del tipo II =59 flechas

AE = 14 flechas del tipo C y que tienen defectos del II

p(AE) =AE/E= 14/300 = 0.04667

1. E = evento de que la flecha tenga defectos del tipo I = 132 flechasA = evento de que la flecha sea del tipo A = 200 flechas

AE = 54 flechas con defectos