Apuntes Flujo campo eléctrico

7/26/2019 Apuntes Flujo campo elctrico

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Captulo 3: Flujo del campo elctrico: Ley de Gauss 45

Captulo 3 Flujo del campo elctrico: Ley de Gauss

3.1 Concepto de flujo y flujo del campo elctricoDefinicin del flujo del campo elctricoFlujo del campo elctrico en una superficie cerradaFlujo del campo elctrico en una superficie abierta

3.2 Ley de GaussFlujo del campo elctrico creado por un carga puntual en una esfera concntricaEnunciado y demostracin de la ley de Gauss

3.3 Obtencin del campo elctrico mediante la ley de GaussResolucin de casos: concha esfrica delgada, esfera no conductora, cilindro delgado infinito y planoinfinito cargados uniformemente.

3.1 Concepto de flujo y flujo del campo elctricoEl concepto de flujo utilizado enteora de campos es una generalizacin del mas intuitivoutilizado en Mecnica de fluidos. El flujo de un fluido se define como el volumen o masa defluido que atraviesa una superficie dada por unidad de tiempo y depende de las orientacionesrelativas de la superficie y del campo densidad de corriente J -ver ecuacin (1.10)-.El flujo de un campo vectorial a travs de una superficie es una de sus caractersticas demayor inters terico no solo para su representacin mediantelneas de campo, ya que suintensidad es proporcional al mismo, sino porque el flujo a travs en una superficie cerradarelaciona directamente los campos vectoriales con las fuentes que lo generan existentes en suinterior. Por esta ltima razn, uno de los parmetros ms relevantes para caracterizarcualquier campo vectorial es su flujo.

Definicin de flujo del campo elctrico

El nmero de lneas del campo elctrico E que atraviesan una determinada superficie recibe elnombre de flujo del campo elctrico (o flujo elctrico ) y se designa por! E . Por lo tanto, elcampo elctrico puede concebirse como el nmero de lneas de flujo por unidad de superficie.

Figura 3.1 Lneas del campo elctrico atravesando una superficie plana de rea A perpendicular al campoE ( derecha ) y cuando formaun ngulo! con el campoE ( izquierda ).

Considerando una superficie planaS , como muestra la Figura 3.1 , el vector de rea, A , estdefinido por su magnitud, A, y un vector unitario perpendicular a la superficie,u N, que fijarasu direccin en el espacio y un sentido de referencia siendo A= A!u N. Si esta superficieS est

en el seno de un campo elctrico uniforme E que se dirige en la misma direccin,u N, i.e.; es perpendicular a su superficie, el flujo del campo elctrico a travs de ella ser(3.1) U E = E $ A = A E $u N ^ h= EA


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Si el campo elctrico uniforme E forma un ngulo! con u N, el flujo elctrico pasa a ser(3.2)

donde E N = E "u N es la componente del campo perpendicular a la superficie. Este flujo ser positivo si las lneas del campo salen de la superficie, es decir si E tiene el mismo sentido queel vectoru N y negativo en caso contrario.

En un caso general, las superficiesS sern alabeadas y tanto el campo E como las direcciones perpendiculares,u N sern distintas en cada punto y el ngulo que forman ambas,! , cambiarampliamente. Entre las posibilidades que aparecen en el clculo del flujo, es muy tildistinguir aquellas en que las superficiesS son cerradas y que, por lo tanto, contienen unvolumen por ser una situacin de particular inters para lateora de campos .

Figura 3.2 El elemento infinitesimal de superficie! Ai es perpendicular ala superficie cerrada S a la que pertenece y hacia fuera formando unngulo! con el campo elctricoE i que acta en ese elemento.

Flujo del campo elctrico en una superficie cerrada

Para calcular el flujo del campo elctrico a travs de una superficie cerrada y arbitraria,S , se procede a dividirla en un gran nmero de elementos infinitesimales de rea" A i = ! Ai!u N,cuya normal, por convenio, est dirigida de dentro hacia fuera. Calculando el campo E i, encada uno de estos elementos, como muestra la Figura 3.2 , el campo elctrico que fluye porun rea elemental" A i es el producto escalar

El flujo del campo elctrico,! E, puede obtenerse sumando los flujos infinitesimales" ! E,i encada uno los elementos de rea" A i que forman la superficie cerradaS . Tomando el lmitecuando la superficie de estos elementos tiende a cero," Ai8 0, el nmero de elementosnecesarios para cubrir la superficieS se hace infinito;" A i8 d A , " ! E,i= E i"" A i 8 d ! E =

E "d A y se obtendra la integral de superficie(3.3)

Por convenio, el crculo sobre la integral sirve para denotar que el flujo se extiende a unasuperficie cerrada. El producto escalar del integrando tambin puede escribirse en funcin dela componente del campo en la direccin normal a la superficie E N como

Flujo del campo del campo elctrico en una superficie abierta

El mismo procedimiento del paso al lmite de una suma de elementos infinitesimales de flujo puede utilizarse para definir el flujo de unaS abierta continua y, por lo tanto, limitada por uncontorno C .

(3.4)Sin embargo, en este caso para definir el sentido del vector perpendicular a la superficie, u N,se utiliza el sentido de la circulacin del contornoC . Elegido ste, la direccin perpendicular

U E = E $ A = EA cos i = E N A

DU E , i = E i $ D A i = E i A i cos i

U E = E N dAS

#

U E = lmite D A i " 0

E i $D A i/ = E $ d AS

#

U E = E $ d AS

# = E $u N Q V

S

# dA


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se determina, por ejemplo, aplicando laregla de la mano derecha : ! !" $%! &'&%! &' $( )(*%&'+',-( (./*0(* '* $( &"+',,"1* &'$ +',%++"&%2 '$ ./$3(+ "*&",( '$ !'*0"&% &' $( &"+',,"1* .'+.'*&",/$(+ ! 4 "#

Para calcular las integrales que aparecen en el flujo de un campo tales como las de lasecuaciones (3.3) o (3.4) es necesario; especificar la superficie cerradaS y evaluar el campo E en cada uno de sus puntos y su proyeccin en la direccin perpendicular a cada elementoinfinitesimal de la misma. Finalmente, resolver una integral doble que recorra toda lasuperficie.

3.2 Ley de Gauss

Para calcular el flujo del campo elctrico creado por una carga positivaQ situada en un puntosobre una esfera imaginaria de radior centrada en el mismo (ver Figura 3.3 ), quegenricamente se denotar por superficie de Gauss o superficie gaussiana , primero hay queobtener el campo elctrico creado por la carga en cualquier punto de la misma que sera

(3.5)

y apuntara en la direccin radial. Un elemento infinitesimal de esta superficie, encoordenadas esfricas, como puede verse en la Figura 3.3-derecha est dado por el productode los arcos infinitesimalesrd ! y r sen ! d "

El flujo neto en este elemento de superficie es el producto escalar por el campo (3.5) dando

Figura 3.3 Izquierda: Superficie de Gauss esfrica, S, con una carga Q situada en su centro.Derecha: Elemento infinitesimal desuperficie d A en coordenadas esfricas.

El flujo total se obtiene por integracin a toda la superficie del den cada uno de sus elementos (3.6)

Aunque se haya escogido una superficie esfrica centrada en la carga, esta relacin entre elflujo del campo elctrico, es de destacar que esta relacin entre! E y Q sigue siendo vlida para superficies cerradas; S 1, S 2, S 3 aunque tengan distintas forma (ver Figura 3.4 ) siempre

y cuando stas rodeen por completo la cargaQ.

U E = ES

# $d A = 4 rf 0Q

sen i d i d { = f 0Q

0

2 r # 0

r #

d A = r 2 sen i d i d { u r

d U E = E $ d A = 4 rf 01

r 2Qc m r 2 sen i d i d {^ h = 4 rf 0Q sen i d i d {

Superficie deGauss

E r ^ h=4 rf 0

1

r 3

Q r


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Figura 3.4. Diferentes superficies cerradas (de Gauss): S1, S2, S3alrededor de la carga Q que tienen el mismo flujo del campo elctrico.

Enunciado y demostracin de la Ley de Gauss

Ley de Gauss : 5$ 6$/7% 0%0($ &'$ ,().% '$8,0+",% # 5 ( 0+(98! &' /*( !/.'+6","' ,'++(&(2 :2 '! .+%.%+,"%*($ $( ,(+3( *'0( ;/' ,%*0"'*'2 < %#

(3.7)

Una forma cualitativa de explicar este enunciado de laley de Gauss es considerar que elnmero de lneas del campo elctrico que salen de la carga es independiente de la superficiecerrada imaginaria en la que est contenida.Para demostrar laley de Gauss se utilizar el concepto dengulo slido que en tresdimensiones es anlogo a los ngulos ordinarios (ngulos planos ) en dos dimensiones.

ngulo Plano: El valor de un ngulo plano," " , se puede considerar como el cociente entre lalongitud del arco" s que subtienden sus lados en una circunferencia de radior centrada en suvrtice dividido por su radior (ver Figura 3.5 );

Figura 3.5 Definicin del ngulo plano a partir de la longitud del arco ! s que subtiende en una circunferencia de radio r un ngulo! " .

Las unidades SI de un ngulo plano sonradianes . Como la longitud total del arco decircunferencia es2$ r fcil deducir que el ngulo subtendido mximo es de 2$ radianes.

Figura 3.6 Elementos de rea! A1 y! A2 de dos superficies esfricasde radios r 1 y r 2 concntricas utilizadas para definir el ngulo slido! %

ngulo slido: Es el ngulo espacial que abarca un punto objeto visto desde un punto dado y secorresponde con la zona del espacio limitada por una superficie cnica. Si" A1 es un elemento

de superficie de una esferaS 1 de radior 1 como muestra la Figura 3.6 . Elngulo slido !

% subtendido por" A1 y el centro de la esfera se define como;

(3.8)

U E = ES

# $ d A = f 0Q T

D X =r 1

2

D A 1

D { =r

D s

{ =r

2 r r = 2 r


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Lo que hace que elngulo slido sea una magnitud adimensional cuyas unidades SI son losestereorradianes . Como la superficie de la esferaS 1 es 4# r 12, el ngulo slido total subtendido por la esfera es

Se ha tomado un elemento de superficie en la direccin radial," A 1= ! A1u N pero cuando se

trata de otro" A 2, que forma un ngulo! con la direccin radial, el ngulo slido es(3.9)

donde " A2n= " A2 cos ! es la proyeccin del rea" A2 sobre una esferaS 2 de radio r 2 concntrica a laS 1. El ngulo slido subtendido por" A1 y " A2n es el mismo

En una superficie de forma arbitrariaS cerrada alrededor de una carga puntualQ, el flujo delcampo elctricod ! E de un elemento infinitesimal de superficied A sera

dondedAr es la proyeccin ded A en la direccin radial. Integrando a una superficie cerradaS se obtendra

(3.10)

y quedara demostrado que el flujo total encerrado, independientemente de la forma de lasuperficie, valeQ/& 0.Finalmente, si la superficieS contiene N cargas, utilizando las propiedades de superposicinde los campos creados por cada una de ellas y la distributiva de la integracin se deduce que

(3.11)La ley de Gauss puede considerarse como la ecuacin fundamental de la Electrosttica ya querene la informacin contenida en laley de Coulomb y en el principio de superposicin.

3.3 Obtencin del campo elctrico mediante la ley de Gauss

La aplicacin de laley de Gauss permite obtener el campo elctrico creado por distribucionessencillas de carga y con alta simetra (esfrica, cilndrica o especular) y en esos pocos casos esla opcin ms sencilla. Pasos tiles para su aplicacin son:

(1) Identificar los elementos de simetra asociados con la distribucin de carga que origina elcampo tales como:ejes de revolucin y planos de semejanza . Los giros de cualquier nguloalrededor de uneje de revolucin deben dejar invariante al sistema. Lareflexin especular enun plano de semejanza igualmente deja el sistema sin variacin.(2) Determinar la direccin del campo elctrico E en cada punto del espacio basndose enargumentos de simetra. Para el campo elctrico se cumple que:i) Cuando los puntos estnsituados en un eje de revolucin del sistema el campo es paralelo al eje.ii) Si los puntos estnen un plano de semejanza del sistema, por ser un campo polar, E es paralelo al plano.(3) Encontrar una superficie imaginaria cerrada ( superficie gaussiana ) que pase por el puntoen que se desea calcular el campo elctrico y cuyo flujo sea fcil de determinar (por serconstante o nulo en todas o en alguna de sus regiones).(4) Calcular el flujo del campo elctrico! E en la superficie cerrada elegida y la cargaencerrada por esta,QT, y despejar el campo de la ecuacin! E = QT/& 0.

D X =r 2

2

D A 2 $ u r =r 2

2

D A 2 cos i =r 2

2

D A 2 n

D X =r 1

2

D A 1 =r 2

2

D A 2 cos i

d U

E = E $

d A =

4 rf 0Q

r 2u r

c m$d

A =4 rf 0

Qr 2

dA r =4 rf 0

Qd

X

U E = 4 rf 0Q

d XS

# = f 0Q

, , d XS

# = 4 r

U E = ES # $ d A = E i $ d Ai = 1

N

/S # = E i $ d AS # c mi = 1 N

/ = f 0q i =i = 1 N

/ f 0Q T

X =r 1

2

4 r r 12 = 4 r


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Incluso cuando no hay simetra, la aplicacin de laley de Gauss sigue siendo de gran utilidad para explorar sistemas, determinar donde se sita la carga o verificar resultados obtenidos porotros procedimientos.

Resolucin de casos

CASO 1: Concha esfrica cargada uniformemente Clculo del campo elctrico creado en cualquier punto del espacio por una concha esfricadelgada de radioa y carga+Q distribuida de forma uniforme en su superficie.

Figura 3.7 Superficies de Gauss (esferas concntricas) utilizadas para la determinacin del campoE creado por una concha esfrica deradio a uniformemente cargada;izquierda para r< a yderech a para r >a.

(1) La distribucin de carga tiene simetra esfrica por lo que en su superficie existir unadensidad superficial de carga uniforme de valor,' = Q/4# a2.(2) Como todas las lneas rectas que pasan por el centro de la esfera son ejes de simetra derevolucin del sistema y fsicamente equivalentes, el campo elctrico slo puede llevardireccin radial, dirigida hacia fuera y siQ>0 y tomar valores idnticos para puntos quedisten lo mismo del origen, esto es, nicamente E r (r ) es distinta de cero.(3) Para aplicar laley de Gauss se considerarn separadamente las regiones interiores en lasque r < a , y las exteriores,r >a , y en ambos casos la superficie de Gauss,S , ms convenienteson esferas concntricas.Para puntos interiores tomando una esfera de radior $ a (ver Figura 3.7 ), como toda la cargase sita en la superficie de la concha, la carga total abrazada ser nula,QT= 0 y porconsiguiente el flujo tambin lo ser! E = QT/& 0 = 0.(4) El flujo de E en esa superficieS es

y como! E = 0 implicar que

(3.12)Para puntos exteriores , tomando una esfera de radior > a (ver Figura 3.7 ), sta abrazara todala carga contenida en la concha esfrica por lo queQT = Q.El flujo del campo elctrico tendr la misma expresin que en la situacin anterior ya que suforma slo depende de la simetra. Despejando el campo E r se deduce que

(3.13)

Hay que hacer notar que en el lmitea# 0, el campo es idntico al creado por un carga puntual y esta expresin valdra para todo el espacio,i.e. ; se obtiene el valor del campocorrespondiente a laley de Coulomb y queda demostrado que la Electrosttica puedededucirse a partir de laley de Gauss .

U E = ES

# $d A = E r dAS

# = E r dAS

# = 4 r r 2 E r

E r (r ) = k e r 2Q =

4 rf 01

r 2Q

r > a

E r = 0 , r # a

Superficie deGauss

Superficie deGauss


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Figura 3.8 Componente radial del campo elctricoE creado en el vaco por una concha esfrica de radio a y carga uniformemente distribuida Q.

En la Figura 3.8 se ha representado la variacin de la componente radial del campo elctrico E con la distancia para esta distribucin de carga. Como se ve en la grfica, justo en lasuperficie de la concha (r = a) el campo presenta una discontinuidad en su valor

CASO 2: Esfera no conductora con una distribucin uniforme de una carga Q.

Clculo del campo elctrico creado en el vaco por una esfera no conductora de radioa que

posee una cargaQ >0 distribuida de forma uniforme en su volumen.(1) La distribucin uniforme de carga tendra simetra esfrica con una densidad volumtrica

dondeV es el volumen de la esfera.(2) Como la simetra al igual que en el caso anterior es esfrica, el campo elctrico es radial,depende slo de la distancia al origen de la esfera y est dirigido hacia el exterior.(3) Para determinar el campo elctrico, de nuevo, es conveniente analizar separadamente elinterior y el exterior de la esfera. En ambas regiones, el flujo del campo a travs de superficiesde Gauss,S , esfricas y concntricas de radior (ver Figura 3.9 ) es

Figura 3.9 Superficies esfricas concntricas utilizadas para obtener el campoE creado una esfera no conductora de radio a cargada deforma uniforme aplicando La ley de Gauss.Izquierda para ra.(4) Para puntos interiores,r < a , la carga total encerrada por la superficieS ser

despejando el campo E r de la ecuacin! E = QT /& 0 se obtiene que(3.14)

Para puntos exteriores,r > a , a carga total encerrada ser la carga total distribuidaQ ydespejando E r se obtiene que

(3.15)

D E = E (r " a + ) - E (r " a - ) = 4 rf 01

a 2Q

- 0 =f 0

v

t = V Q =

4/3^ hr a 3Q

E r = 3 e 0 t r

=4 re 0 a 3

Q r , r < a

QT = t dV =v

# t V = t 34 r r 3 = Q a 3r 3c m

E r = 4 re 0 r 2Q

= k e r 2Q

, r > a

Superficie deGauss

Superficie deGauss

U E = E $ d AS

# = E r dAS

# = E r dAS

# = 4 r r 2 E r


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Figura 3.10 Componente radial del campo elctricoE creado en elvaco por una esfera de radio a y carga Q uniformemente distribuida ensu volumen.

Notar que para puntos exteriores el campo elctrico creado por una esfera uniformemente (ver Figura 3.10 ) es igual al que existira si la carga totalQ estuviera concentrada en el origen,mientras que en el interior crece linealmente con el radio. En la superficier=a el campo E r escontinuo pero no lo es su derivada de forma que tiene una discontinuidad de primer orden .

CASO 3: Cilindro delgado infinito cargado uniformemente

Campo elctrico creado en cualquier punto del vaco por un cilindro infinito de seccintransversal despreciable que tiene una densidad lineal uniforme de carga( .

(1) Esta distribucin de carga tiene simetra cilndrica,i.e.; cualquier giro alrededor del ejedel cilindro deja invariante el sistema. Adems, al ser infinito, el sistema es invariante portranslaciones paralelas al eje y cualquier plano perpendicular o que pase por el eje es un planode semejanza.(2) Por lo tanto es conveniente utilizar coordenadas cilndricas tomando como eje- z - el desimetra. En estas coordenadas el campo elctrico en un punto arbitrario P slo solo tienecomponente radial E r , y depende de la distancia del punto al eje,r .(3) La eleccin de la superficie de GaussS ms conveniente para obtener el campo elctricoconduce a un cilindro de longitud l y radio r coaxial como muestra la Figura 3.11.

Figura 3.11 Superficie de Gauss cilndrica utilizada para calcular elcampoE creado en el vaco por un cilindro infinito delgado cargado conuna densidad lineal uniforme.

(4) La carga atrapada por esta superficie serQT= $ l . El flujo! E puede descomponerse en

tres contribuciones; el correspondiente a las basesS 1 y S 2 y a la superficie lateralS 3.

Donde se ha hecho uso de que en ambas bases del cilindroS 1 y S 2 el flujo es cero porque elcampo es perpendicular a los elementos infinitesimales de superficie mientras que en lasuperficie lateral el campo no vara y es paralelo a los elementos de superficie.

Figura 3.12 Componente radial del campo elctricoE creado en elvaco por un cilindro infinito cargadocon una densidad lineal uniforme en funcin de la distancia a su eje.

Superficiede Gauss

U E = E $ d AS

# = E $ d AS 1

# + E $ d AS 2

# + E $ d AS 3

# = 0 + 0 + E 3 dA 3

S 3 # = E r (2 r r l )


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Aplicando laley de Gauss como! E= E r !(2$ r l )=( ! l /& 0 despejando E r se deduce que(3.16)

Resultado que es independiente de la longitud y depende del inverso de la distancia al eje encoincidencia con el obtenido directamente aplicando laley de Coulomb (ecuacin 2.30). En la

Figura 3.12 se ha representado la variacin del campo con la distancia.CASO 4: Plano infinito de espesor despreciable cargado uniformemente

Clculo del campo elctrico creado en cualquier punto del espacio vaco por un plano infinitode espesor despreciable y cargado con una densidad superficial uniforme' .(1) Esta distribucin de carga tiene simetra especular con respecto al plano que contiene lacarga por lo que es conveniente utilizar un sistema de coordenadas cartesianas haciendocoincidir el plano que contiene la carga con el x-y. De este modo, la distancia de un puntogenrico P a ese plano es la coordenada z .(2) Respondiendo a esta simetra, dos puntos simtricos con respecto al plano x-y tendrnidnticas componentes paralelas pero invertidas las perpendiculares. Por otro lado como el plano es infinito cualquier plano perpendicular al plano x- y que pasa por el punto P es un plano de simetra y por lo tanto el campo elctrico solo puede ser perpendicular al plano x-y (ver Figura 3.13 ), i.e.; E lleva la direccin z - y slo puede depender de esa coordenada.

Figura 3.13 Izquierda: Campo elctrico creado un plano infinito cargado uniformemente. Derecha: Superficies cilndricas de Gaussutilizadas para el clculo del campoE creado en el vaco por este plano.

(3) La superficie de Gauss que se ha escogido es un cilindro con bases de rea A paralelas al plano, con frecuencia llamada caja de pastillas ( pill box ). sta en su interior abraza unacarga totalQT= A' .

(4) Esta superficie consta de tres partes: las basesS 1 y S 2 y la superficie lateralS 3 por lo que elflujo puede descomponerse en tres sumandos:

Para establecer estas igualdades se ha hecho uso de que en las bases S 1 y S 2 sus camposrespectivos E 1 y E 2 no varan y son paralelos a los elementos infinitesimales de rea mientrasque en la superficie lateralS 3 el campo E 3 y los elementos infinitesimalesdA 3 son

perpendiculares por lo que no contribuye al flujo. Adems, por la semejanza especular de los puntos situados a la misma distancia del plano, E 1 y E 2 tienen el mismo mdulo y direccin y

E r = 2 rf 01

r m

Superficie Gaussiana

U E = E $ d AS

# = E $ d AS 1

# + E $ d AS 2

# + E $ d AS 3

# = E 1 A 1 + E 2 A 2 + 0 = E 1 + E 2^ h A = 2 EA


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sentidos opuestos (ver Figura 3.13 ). Despejando, el campo elctrico por el plano infinito puede escribirse como

(3.17)

Figura 3.14 Representacin del campo elctricoE creado en direccin perpendicular -z- por un plano infinito uniformemente cargado con unadensidad superficial' y en el vaco.

La nica componente del campo elctrico distinta de cero es perpendicular al plano, y presenta una discontinuidad cuando se cruza la superficie cargada ( z = 0) porque se invierte su

sentido. La variacin total del campo al pasar de un lado al otro es(3.18)

Estos resultados obtenidos, por aplicacin delteorema de Gauss, para un plano infinitouniformemente cargado coinciden con los que se obtuvieron directamente por superposicindel campo elctrico creado por cada elemento infinitesimal (ver los resultados para un discocargado uniformemente cuando el radio tiende hacia infinito, ecuacin 2.33).

Referencias

http://en.wikipedia.org/wiki/Electric_flux http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/gaulaw.html

http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/index.htm http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_s%C3%B3lido

M Alonso y E J Finn,Fsica, Editorial Addison -Wesley Iberoamericana, 1995 y Editorial PearsonEducacin Espaa ebook-, 2008

P A. Tipler & G Mosca,Physics for Scientists and Engineers Volume 1 (5th edition), Editorial Freeman,New York, 2004.

S Gartenhaus, Fsica Vol 1 y 2 Editorial Interamericana, 1979.R A Serway, Fsica, Editorial Interamericana, 1985.

D E = E ( z " 0 + ) - E ( z " 0 - ) =f 0

v

E = +2 f 0

v u z para z > 0 , , E =- 2 f 0v u z para z < 0

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