CÁLCULO INTEGRAL

CCuuaaddeerrnnoo ddee AAppuunntteess

AApprreennddeemm@@ss

SSoobbrree::

FFóórrmmuullaass FFuunnddaammeennttaalleess ddee

IInntteeggrraacciióónn

IInngg.. MMiigguueell AAnnggeell CCaarrrriilllloo VVaalleennzzuueellaa

CÁLCULO INTEGRAL

FFóórrmmuullaass FFuunnddaammeennttaalleess ddee IInntteeggrraacciióónn

EEjjeemmppllooss ddee llaa uuttiilliizzaacciióónn ddee llaass úúllttiimmaass ffóórrmmuullaass ddee iinntteeggrraalleess

xx++22 ddxx == ((xx22 ++22xx ––33))

--11// 22 ((xx++22)) ddxx

xxxx ++ 22xx ––33

nn== --11//22

vv== xx22++22xx--33

ddvv== 22xx++22

SSoobbrraa

((xx++22)) ddxx

CCoommpplleettaannddoo eell ddiiffeerreenncciiaall

SSoobbrraa ddvv

((xx++22)) ddxx ((22xx ++ 22)) ddxx

SSóólloo ssee vvaann hhaacciieennddoo mmoovviimmiieennttooss eenn ssoobbrraa yy aall mmiissmmoo ttiieemmppoo eenn llaa

iinntteeggrraall..

SSoobbrraa

SSee mmuullttiipplliiccaa ppoorr 22

22xx++44

SSee rreessttaa yy ssuummaa 22

22xx ++ 44 –– 22 ++ 22

22xx ++ 22 ++ 22

Ya se puede observar el dv, en este momento se separan en dos integrales.

½ (( xx22++22xx--33 ))

--11//22 ((22xx++22)) ddxx ++ ½½ ((22)) ((xx

22++22xx--33))

--11// 22 ddxx

SSiieemmpprree llaa pprriimmeerraa iinntteeggrraall ssee rreessuueellvvee ccoonn llaa ffóórrmmuullaa ddiirreeccttaa qquuee ssee iinntteennttóó

aall pprriinncciippiioo,, eenn eessttee ccaassoo vvnn ddvv

nn== --11//22

vv== xx22++22xx--33

ddvv== 22xx++22

SSoobbrraa == ((22xx++22)) ddxx

½½ ((xx22

++ 22xx 11 –– 33))11//22

½½

½½ ((22)) ddxx ..

xx22++22xx--33

xx22 ++ 22xx ––33

xx22++22xx++11--33--11

22//22 == 1122 ==11 ((xx++11))

22 44

Intentamos con una fórmula directa, como el denominador tiene exponente diferente a 1, es ½, colocamos el denominador como numerador con

signo negativo. La fórmula inicial será vvnn ddvv..

CCoommoo ddvv eess ddiiffeerreennttee aa ssoobbrraa yy llaa ddiiffeerreenncciiaa ssoonn

ppuurraass ccoonnssttaanntteess,, eennttoonncceess ssee ccoommpplleettaa eell

ddiiffeerreenncciiaall ssoobbrraa,, aquí se deben de sumar y/o restar constantes, así como multiplicar y colocar el inverso.

Integral Se le pone ½ fuera de la integral

½ (( xx22++22xx--33 ))

--11//22 ((22xx ++ 44)) ddxx

½ (( xx22++22xx--33 ))

--11//22 ((22xx ++ 22 ++ 22)) ddxx

La segunda integral se resuelve con una de las últimas fórmulas de integración, pero antes hay que completar el trinomio cuadrado perfecto para que queden dos términos al cuadrado.

ddvv == llnn ((aa++vv22--aa

22 )

vv22 –– aa

22

½½ ((22)) ddxx .. vv22== ((xx++11))

22 aa== 22 SSoobbrraa

((xx ++ 11))22 –– 44 vv == xx ++ 11 ddvv == ddxx ddxx

½½(( ((xx22

++ 22xx –– 33))11//22

)) ++ llnn ((22++((xx++11))22 –– 44)) ++ cc

½½

** 33--22xx--xx22 ddxx

CÁLCULO INTEGRAL

((22xx--33)) ddxx NNoottaa.. EEnn eessttee ttiippoo ddee pprroobblleemmaass pprriimmeerroo ssee iinntteennttaa

xx22++66xx++1133 ccoonn uunnaa ddee llaass ddooss ffóórrmmuullaass ssiigguuiieenntteess::

vv== xx22++66xx++1133 vv

nn ddvv oo ddvv

ddvv== ((22xx++66)) ddxx vv

SSoobbrraa== ((22xx--33))ddxx

SSee ccoommpplleettaa ssoobbrraa ppaarraa qquuee ssee ppaarreezzccaa aa llaa ddeerriivvaaddaa..

SSoobbrraa== ((22xx--33))ddxx

22xx ––33 ++ 99 –– 99

((22xx++66)) –– 99 SSee ccoollooccaarráánn ddooss iinntteeggrraalleess uunnaa ccoommpplleettaa yy oottrraa

ccoonn eell nnúúmmeerroo qquuee ssee ssuummóó oo rreessttóó..

22xx++66 ddxx –– 99 ddxx ..

xx22++66xx++1133 xx

22++66xx++1133 SSee ccoommpplleettaa eell ttrriinnoommiioo xx

22++66xx++1133

((xx++33))22++44 xx

22++66xx ++ 99 ++ 1133 –– 99

66//22 == 3322 == 99 ((xx++33))

22++44

vv== xx22++66xx++1133 vv

22 == ((xx++33))

22 aa

22== 44

ssoobbrraa == ((22xx++66)) ddxx vv== xx++33 aa == 22

ddvv== ((22xx++66)) ddxx ddvv == ddxx SSoobbrraa == ddxx

llnn ((xx22++66xx++1133)) –– 99((11//44 LLnn(( ((xx++33)) –– 22 )))) ++ cc

((xx++33)) ++ 22

((xx++11)) ddxx

33xx22--44xx++33

vv== 33xx22--44xx++33

ddvv== ((66xx--44)) ddxx SSoobbrraa== ((xx--11))ddxx

CCoommpplleettaannddoo ssoobbrraa ((ddiiffeerreenncciiaall)) NNuueevvaass iinntteeggrraalleess

66((xx--11)) 11//66--((66xx--44)) ddxx == 11//66 ((22)) ddxx

66xx –– 66 ++ 22 –– 22 33xx22--44xx++33 33xx

22--44xx++33

((66xx--44)) –– 22 FFóórrmmuullaa ddiirreeccttaa CCoommpplleettaarr TTrriinnoommiioo

33xx22 –– 44xx ++ 33

44//22 == (( 22//33 )) == 44//33

33xx22 –– 44xx ++ 44//33 ++ 33 –– 44//33

((33xx ––22// 33))22++11..666666

11//66 ((LLnn((33xx22--44xx++33)) –– 11//33 ((11//22..558811)) llnn (( 33xx --22//33 )) –– 11..229900 ++ cc

((33xx ++22//33)) ++ 11..229900