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2. ANISOTROPÍA Y PROPIEDADES FÍSICAS La mayoría de los materiales cristalinos son anisotrópicos, eso significa que la magnitud de varias propiedades físicas dependerá de la dirección en que se midan con respecto de la del cristal.

Algunas propiedades de los minerales son claramente no direccionales. Por ejemplo, la densidad o la capacidad calórica pueden medirse sin tomar una dirección referencial. Estas propiedades son denominadas propiedades escalares o tensores de rango cero. Otras propiedades, tales como la energía superficial y por lo tanto la reactividad química, dependen de la orientación cristalográfica de la superficie; pero no son en sí mismas cantidades que dependan de la dirección en que se midan. Estas propiedades se denominan propiedades vectoriales o tensores de primer rango. Por otro lado, propiedades como la conductividad térmica, la cual relaciona dos cantidades vectoriales, son denominadas tensores de segundo rango y deben ser especificadas de una manera distinta. Con un sistema de ejes se puede especificar la propiedad por sus tres valores principales. Esta clasificación de las propiedades físicas, también involucran a tensores de tercer y cuarto rango, pero estas escapan al objetivo de este escrito. Propiedades elásticas, pertenecen a los tensores de cuarto rango, por lo que su descripción es claramente más compleja.

El propósito de este análisis es ilustrar el fenómeno de la anisotropía y por otro lado,

proveer una base de entendimiento de las propiedades ópticas de los minerales. Las propiedades elásticas sólo se mencionarán brevemente.

2.1. Anisotropía - una analogía mecánica

Previo a analizar las propiedades físicas de los minerales, una simple analogía mecánica bi-dimensional ayudará a describir generalmente los conceptos de anisotropía, y como especificar una propiedad cuando varía con la dirección.

Se considera un sistema mecánico donde un

anillo central es sostenido por medio de dos pares de resortes ortogonales, a un marco (Figura 2.1). Los resortes a los lados opuestos del anillo son idénticos, pero tienen diferentes constantes de elasticidad al par ortogonal. Se aplica una fuerza general F al anillo; vector causa, y se obtiene un desplazamiento; vector efecto. La relación entre la causa y el efecto, define la rigidez de los resortes.

Cuando se aplica una fuerza general F al

sistema, la intuición lleva a pensar que el desplazamiento del anillo dependerá de la rigidez relativa de ambos pares de resortes, relación causa-efecto. i.e. el desplazamiento dependerá de la orientación de la fuerza. De todas maneras, el vector desplazamiento no se torna paralelo al vector fuerza debido a la diferencia en las constantes de elasticidad de los resortes, i.e. debido a la anisotropía.

Figura 2.1. En este sistema, una anillo central, es sostenido por dos pares de resortes, los cuales están fijos a un marco.

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La componente de la fuerza F aplicada en las direcciones x e y son Fcosθ y Fsinθ respectivamente (Figura 2.2.a). Si la rigidez (definida como el desplazamiento por fuerza unitaria aplicada) de los resortes a largo del eje x es k1, y a lo largo de y K2, entonces los desplazamientos serán x = k1 Fcosθ e y = K2 Fsinθ. El desplazamiento resultante es mostrado en la Figura 2.2.b, y el ángulo (φ) resultante entre este desplazamiento y el eje x está dado por

tan φ = k2/k1 (tan θ)

Entonces en general, la dirección del desplazamiento no será la misma que la de la aplicación de la fuerza. Sólo cuando θ es igual a 0° ó 90°, el desplazamiento (vector efecto) será paralelo a la fuerza aplicada (vector causa). Basándose en la reciente analogía, se deben realizar una serie de observaciones acerca de la anisotropía:

i. En un sistema anisotrópico, el vector efecto en general no es paralelo al vector causa aplicado.

ii. En el ejemplo bi-dimensional mencionado, existen dos direcciones ortogonales en

las cuales el efecto se vuelve paralelo a la causa. Para las tres dimensiones, se puede demostrar que estas direcciones son tres y ortogonales entre sí.

iii. Un sistema anisotrópico puede ser analizado en términos de las componentes a lo

largo de estas direcciones ortogonales, llamadas ejes principales. Sobre estos ejes principales, los valores de la propiedad física son denominados valores principales. En el caso descrito esta era la rigidez de ambos pares de resortes (k1 y k2). Para las tres direcciones, esto se extiende a k1, k2 y k3

Para las tres dimensiones, una dirección general puede ser representada mediante sus cosenos direccionales, los cuales se ilustran en la Figura 2.3.a. Considere un sistema

Figura 2.2. Análisis del sistema anisotrópico de la Figura 2.1. (a): Componentes de la fuerza F aplicada en los ejes principales. (b): Componentes del desplazamiento en los ejes principales.

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en el cual se aplica una fuerza F en una dirección general, resultando en un desplazamiento D desfasado de esta fuerza en ϕ (Figura 2.3.b). La componente de este desplazamiento en la dirección de F se relaciona a la fuerza aplicada F por una constante K (la cual en la analogía mecánica depende de la rigidez de los tres resortes). Dado que la componente de D en la dirección de F es DF = D cosϕ K = D cosϕ / F = DF / F Es posible calcular el valor de K en términos de k1, k2, y k3. Las componentes de F en los ejes principales son: Fx = Fl Fy = Fm Fz = Fn Las componentes del desplazamiento en los ejes principales son entonces: Dx = k1Fl Dy = k2Fm Dz = k3Fn La magnitud D resultante del desplazamiento en la dirección de F (DF) puede ser escrita en términos de sus componentes como: DF = Dxl + Dym + Dzn Resultando; DF = k1Fl2 + k2Fm2 + k3Fn2 Luego; K = DF / F Entonces K = k1l2 + k2m2 + k3n2 (Ec. 2.1) Esta última ecuación, define el valor de la propiedad K en cualquier dirección, en términos de los tres valores principales k1, k2, k3 y sus cosenos direccionales l, m, n. 2.2. Propiedades de un tensor de segundo orden y sus variaciones con la dirección

En un sistema de tres ejes ortogonales, es posible visualizar la variación de una propiedad K con la dirección, al representar la magnitud de K como la distancia medida desde un origen. El resultado será una superficie tridimensional cuya forma expresa fácilmente la anisotropía de la propiedad. Entonces, en un material isótropo la propiedad en análisis será igual en todas las direcciones, por lo tanto la superficie que la representa es una esfera.

Figura 2.3.a. Los cosenos direccionales l, m, n de la dirección de la fuerza F, están dados por los cosenos de los ángulos entre F y los ejes x, y, z respectivamente.

Figura 2.3.b. La componente de D en la dirección de F está definida como DF = D cosϕ

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Para obtener la forma de esa superficie de representación, se considera un punto con

coordenadas x,y,z a una distancia r del origen en la dirección de F (Figura 2.4). Los cosenos direccionales l,m,n pueden ser escritos en términos de x,y,z como

l = x/r, m = y/r, n = z/r Substituyendo estos valores en Ec. 2.1, se obtiene que

r2K = 1 Es decir, r = 1/√K, entonces

k1x2 + k2y2 + k3z2 = 1 (Ec. 2.2) Si los tres valores principales, k1, k2, k3 son positivos, entonces la Ec. 2.2 describe una elipsoide. La ecuación característica para una elipsoide es

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 Donde a, b y c son los semiejes (Figura 2.5). los semiejes para la superficie que representa la propiedad anisótropa son

1/√ k1, 1/√ k2, 1/√ k3 En cualquier dirección general, el radio es igual al valor de 1/√K en esa dirección. 2.3. Control de la simetría sobre las propiedades físicas

Se denominará X, Y, Z a los ejes principales de la elipsoide, siempre ortogonales. Y para describir el control de la simetría sobre las propiedades físicas, se debe analizar como están relacionados estos ejes a los ejes cristalográficos del mineral.

Principio de Neumann: Los elementos de simetría de cualquier propiedad física de un cristal deben incluir los elementos de simetría del grupo puntual del cristal. Entonces, a partir de la analogía mecánica, y el conocimiento de la descripción de propiedades a partir de una elipsoide, se tiene para los distintos sistemas cristalográficos.

i. Para un cristal triclínico, dado que no hay restricciones de simetría, la elipsoide puede tener cualquier orientación respecto de los ejes cristalográficos.

Figura 2.4. Esquema utilizado para la derivación de las superficies representativas que describen la variación de una propiedad perteneciente a un tensor de segundo rango.

Figura 2.5. Elipsoide con semiejes a, b y c.

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ii. En el sistema monoclínico, ya que existe un eje binario a lo largo de uno de los

ejes cristalográficos, uno de los ejes de la elipsoide debe ser paralelo a este eje.

iii. En el sistema ortorrómbico, los tres ejes de la elipsoide deben ser paralelos a los ejes cristalográficos.

iv. Cuando se consideran los sistemas tetragonal, hexagonal y trigonal se hace

evidente que la elipsoide es de menor simetría, sin embargo si la elipsoide general tiene k1 = k2, tendrá entonces una sección circular en el plano XY. (elipsoide de revolución). Este plano es entonces, perpendicular al eje de mayor simetría del cristal, ejes de 4, 6 y 3 repeticiones.

v. En el sistema cúbico la propiedad de tensor de segundo orden es isótropo.

Un par de ejemplos del control que ejerce la simetría sobre las propiedades físicas de los minerales se muestran a continuación. La Figura 2.6 indica como se propaga un flujo calórico sobre un cristal, y la Figura 2.7 muestra la difusión anisotrópica del Ni en el Olivino.

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Figura 2.6. (a) Un punto origen de calor P sobre la cara (100) de un cristal tetragonal. La conductividad en este plano resulta en una isoterma de superficie elíptica. El flujo calórico siempre será radial a partir de P, mientras que el gradiente termal es normal a la superficie isoterma. (b) Definiciones de conductividad y resistividad en un sistema anisotrópico. (c) Para la obtención de la superficie de conductividad, el flujo calórico se resuelve en dirección normal al gradiente termal, mientras que para la resistividad, el gradiente termal es resuelto en la dirección del flujo calórico. Notar que en ambos casos la dirección del flujo calórico y el gradiente termal son los mismos. En un material isotrópico, la resistividad y la conductividad son siempre recíprocos, pero en un material anisotrópico, este es el único caso sobre los ejes principales.

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2.4. Propiedades ópticas de los minerales 2.4.1. Variación del índice de refracción en un cristal - indicatriz óptica Las propiedades ópticas, deben ser expresadas en términos que permitan relacionar el vector causa con el vector efecto. El índice de refracción (n) de un medio isotrópico, se define como la razón entre la velocidad de la luz en el vacío (c), y la velocidad de la luz del medio (v). i.e., n = c/v. En un mineral, este índice de refracción se representa como cualquier tensor de segundo rango, con todas las propiedades, restricciones y alcances mencionados anteriormente. La forma más general corresponde a una elipsoide denominada indicatriz óptica. 2.4.2. Control de la simetría en la variación del índice de refracción en un cristal La variación del índice de refracción en un cristal se analiza de forma análoga a la realizada en la sección 2.2 de este escrito.

i. En el sistema cúbico, no existe variación con la dirección del índice de refracción y entonces la elipsoide se transforma en una esfera que tiene como eje único el valor de “n”.

ii. Para cristales que pertenecen al sistema tetragonal, hexagonal y trigonal, la

indicatriz óptica se transforma en una elipsoide de revolución, con sección circular normal a los ejes 3 ó 4 ó 6. Se deben indicar dos valores principales para los ejes, e y o (de extraordinario y ordinario respectivamente). Figura 2.8.a.

iii. Para cristales de menor simetría se deben indicar tres valores principales para los

índices de refracción. Estos son α < β < γ. Figura 2.8.b.

Figura 2.7. Las dos secciones principales de la superficie de representación que describe la variación del coeficiente de difusión en el mineral ortorrómbico olivino. En esta ocasión a : b ; c toman los valores de 0.48 : 0.55 : 0.09 respectivamente.

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Frecuentemente resulta útil imaginar la indicatriz óptica, como una superficie inmersa dentro del cristal. Gracias a lo anterior, se ha conseguido identificar con claridad la relación existente entre los ejes cristalográficos y la indicatriz óptica. La Figura 2.9 muestra dos claros ejemplos de visualización. En el cuarzo (quartz), la indicatriz es más extendida en la dirección paralela al eje c, debido a que e > o. Para tales casos, se refiere a cristales ópticos positivos. Para la calcita (calcite), la cual representa el caso contrario, se denomina cristal óptico negativo.

Figura 2.8. La variación con la dirección del índice de refracción en un cristal, es descrita por una elipsoide denominada indicatriz óptica.

Figura 2.9. Relación entre la orientación óptica de una indicatriz uniaxial y la orientación cristalográfica.

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El eje normal a una sección isotrópica es denominado eje óptico. En un cristal uniaxial, el eje óptico es perpendicular al plano xy¸ ordinario. Para cristales biaxiales, existen dos secciones isotrópicas, una de ellas se muestra en Figura 2.9.a. El ángulo entre los dos ejes ópticos es denominado 2vγ (Figura 2.9.b). Si 2vγ < 90°, el cristal es óptico positivo y si 2vγ > 90°, el cristal es óptico negativo. 2.4.3. Birrefringencia El comportamiento óptico de un cristal es consecuencia de las propiedades

anisotrópicas que posee. Dicho con mayor simpleza, si un rayo de luz incidente atraviesa un cristal anisotrópico, da origen a dos rayos refractados, en vez de uno. Estos dos rayos refractados siempre se polarizan en planos perpendiculares entre si, por lo que se tienen dos índices de refracción diferentes. Si los índices de refracción son bastante distintos, y el cristal es suficientemente grueso, los dos rayos pueden ser fácilmente separados, debido a la diferencia en el ángulo de refracción. La doble refracción de la calcita (Figura 2.11) ilustra claramente esta situación. La

diferencia numérica entre los dos índices de refracción es denominada birrefringencia. La calcita, es uno de los minerales que posee mayor birrefringencia. Resulta importante interpretar la birrefringencia en términos de la relación que existe entre la orientación del rayo de luz incidente y la orientación de la indicatriz, y entonces visualizar cómo la birrefringencia depende de la orientación. Notar que el vector luz eléctrica E, el cual interactúa con el cristal, es siempre perpendicular a la dirección del rayo, debido a esto, los dos rayos refractados vibran en direcciones ortogonales entre sí. El plano en que estos dos rayos refractados vibran, es el plano normal a la dirección del rayo incidente. La Figura 2.12 ilustra la anterior situación con un rayo incidente en una indicatriz uniaxial. El plano normal al rayo incidente (e’o) define una sección elíptica dentro de la indicatriz (línea segmentada), Las

Figura 2.10. Ejes ópticos para un cristal biaxial

Figura 2.11. Doble refracción en la calcita

Figura 2.12. Rayo incidente en una indicatriz uniaxial. El vector E se encuentra inmerso en el plano e’o.

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vibraciones E de los rayos refractados se deben encontrar dentro de la sección e’o. Los dos ejes principales de esta sección definen las dos direcciones de vibración, y las dimensiones de los semiejes mayor y menor definen los dos índices de refracción. En la Figura 2.12., se puede ver, que si el rayo incide a través del eje óptico, los dos rayos refractados tendrán direcciones o y o, e índices de refracción de igual magnitud, por lo que la birrefringencia es nula. Por otro lado, si el rayo incidente entra a través de la dirección de o (cualquiera de los dos semiejes), los rayos refractados se propagarán a través de e y o (este último ortogonal a la dirección del rayo incidente), y la diferencia de los índices de refracción (birrefringencia) es la máxima que se puede tener dentro de la indicatriz. Finalmente, se debe considerar un último aspecto al respecto de la doble refracción. Hasta ahora, no se ha impuesto ninguna restricción del estado de polarización del rayo incidente. Sin embargo, Si deseamos describir las relaciones de fase entre los dos rayos refractados, el rayo incidente debe ser polarizado plano. Esto se consigue haciendo pasar luz ordinaria a través de un filtro polaroide (polarizador) antes de que entre al cristal. (Figura 2.13).

Cuando este rayo incidente polarizado entra a una sección del mineral, es dividido en dos rayos refractados, cada uno inicialmente de igual fase. A medida que los dos rayos pasan a través del mineral se va produciendo una diferencia entre ellos que deja a uno más retrasado, ya que experimentan índices de refracción diferentes y por lo tanto velocidades de propagación distintas. Estos salen del mineral vibrando en direcciones ortogonales, las que generarán componentes en un segundo filtro polaroide (analizador) cuya dirección de polarización es perpendicular al polarizador (primer filtro). Esta situación se denomina luz cruzada, y sirve para analizar las direcciones de polarización de la luz que pasan por un cristal. (Figura 2.14)

Figura 2.13. Una rayo de luz no polarizado, el vector eléctrico E oscila en todas las direcciones normales a la dirección del rayo incidente. Cuando este pasa a través de un polarizador, sólo la componente de E a lo largo del eje de transmisión del polaroide es transmitido, resultando un rayo de luz polarizado.

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Si un cristal es isótropo, el vector E incidente pasará a través de él sin cambiar su orientación por lo tanto será bloqueado por el analizador. Se dice que el cristal esta en extinción; un cristal isótropo está siempre en extinción. En un cristal anisótropo el vector incidente E será dividido en dos componentes ortogonales. Sin embargo si este es paralelo a una de esas direcciones solo uno de los componentes será transmitido, el estado de polarización permanecerá sin cambios y por tanto el analizador bloqueará al rayo. Esto es una posición de extinción. Existe otra posición de extinción al rotar 90º el cristal de tal forma que el vector incidente E es paralelo al otro componente.

2.4.4. Colores de interferencia

La mayoría de los minerales muestran una birrefringencia menor que la calcita, por

tanto esta propiedad no es notable sin utilizar un microscopio petrográfico. Un rayo de luz polarizada plana que atraviesa un mineral anisótropo se parte en dos rayos de distinto índice de refracción, distinta velocidad de transmisión. Entonces si recorren la misma distancia (espesor del corte de roca, 30 μm), emergerán en una posición diferente en la onda, desfasados. La extensión del desfase depende de la diferencia de índices de refracción. Los dos rayos que vibran ortogonales, vectores E ortogonales, con diferencia de fase entre ellos, se recombinan en el analizador formando una sola onda que es el resultado de la interferencia entre las dos que emergen del cristal. En el caso de una iluminación blanca la interferencia resulta de la destrucción de ciertas longitudes de onda, dando como resultado un color de interferencia característico. Si los minerales son examinados en una sección transparente estándar, los colores de interferencia se relacionan directamente con la birrefringencia.

Figura 2.14. Esquema de polarización de luz similar al Microscopio.

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2.5. Una nota en las propiedades elásticas de los minerales

Aún cuando al inicio de este capítulo se mencionó que las propiedades elásticas se encuentran en una categoría distinta a las propiedades de segundo rango, se hará una breve referencia a ellas.

En el análisis del comportamiento de los minerales ante las solicitaciones de esfuerzo

diferencial se usa la relación existente entre el tensor de esfuerzos σ y el tensor de deformaciones λ (elipsoides). En el ámbito de la deformación elástica estos tensores están linealmente relacionados por las constantes elásticas del cristal. El caso más general, el triclínico, necesita de 21 de ellas, las que se reducen a 3 en los minerales cúbicos. Para agregados sólidos isótropos, vidrios y rocas policristalinas, hay dos constantes elásticas, el Módulo de Young (σ/ε) y el de Poisson (-ε'/ε, donde ε corresponde a la deformación en la dirección del esfuerzo y ε' la deformación en las direcciones ortogonales).

2.6. Relación entre anisotropía y estructura cristalina La relación entre estas es evidente. En algunos minerales que presentan una extrema

anisotropía como el grafito, este tiene una estructura conformada por capas de carbono fuertemente enlazados a una distancia de 1.42Ǻ, (Figura 2.15.a) mientras las capas se enlazan débilmente a una distancia de 3.35Ǻ. Estas capas son fácilmente separadas, lo que le confiere la suavidad característica. Esta fuerte anisotropía explica que la resistividad eléctrica perpendicular a las capas sea de 5 * 10-3 Ωm y la paralela a las capas sea de 5 * 10-6 Ωm, es decir, el grafito es semiconductor perpendicular a las capas y es conductor metálico paralelo a estas. Similar a la conductividad térmica que es 28.3*10-6K-1 perpendicular a las capas y virtualmente cero paralelo a las capas.

Para la calcita es evidente con los índices de refracción, dado que si el vector E vibra

paralelo a los planos CO3 el índice de refracción es de 1,658 y si E vibra perpendicular a estos, entonces el índice es de 1.486, debido a la perturbación del campo eléctrico provocado por los oxígenos vecinos en las capas. (Figura 2.15.b).

Figura 2.15. (a) Estructura del grafito. Capas de átomos de carbono dispuestos en las esquinas de una malla hexagonal. (b) Estructura de la Calcita.

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2.7. Anisotropía y la forma externa de los minerales La interpretación científica de la morfología de los minerales comienza con Bravais

alrededor de 1850, quien postuló que las caras de un cristal deberían ser aquellas que mostraban una mayor densidad de puntos de red. A principios del siglo XX, se introdujeron sofisticaciones a estos postulados; pero sin tomar en cuenta los arreglos atómicos ni los tipos de enlaces que participan, por tanto no son aplicables al tratar de predecir la estructura de superficie.

Hartman y Perdok en 1955 relacionan la morfología a direcciones estructurales importantes, esto es, direcciones que contienen una cadena de elementos fuertemente enlazados, llamadas cadenas de enlace periódico. Asbestos fibrosos, micas en capas son ejemplos de esto. En estructuras más complejas la relación no es tan evidente lo que es expresado por la introducción de impurezas en el ambiente de crecimiento.