Apuntes Resist en CIA de Materiales III

8/6/2019 Apuntes Resist en CIA de Materiales III

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TEMA 6: ESTTICA DE VIGAS

Las vigas son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a

sus ejes. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de

un vehculo es tambin una viga. El objetivo principal de este captulo es determinar el sistema de

fuerzas internas necesarias para el equilibrio de cualquier segmento de viga.

Para una viga con todas las fuerzas en el mismo plano (viga plana) puede desarrollarse un sistema

de tres componentes de fuerzas internas en una seccin, stas son:

1. Las fuerzas axiales2. Las fuerzas cortantes3. El momento flector

La determinacin de sus magnitudes es el objetivo de este captulo.

Calculo de reacciones

Convenciones de simbologa para apoyos y cargas

Al estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbologas tanto para apoyos como para

cargas, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una gran variedad de cargas. El respetar

tales convenciones evita confusin y reduce al mnimo las posibilidades de cometer errores.

Existen tres tipos bsicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los

grados de libertad de movimiento que le permiten a la viga frente a fuerzas actuantes:

Apoyo mvil o de rodillo: ste permite el desplazamiento a lo largo del eje longitudinal dela viga y el giro de sta; el desplazamiento transversal es impedido mediante una reaccin

en ese sentido.

VA

A


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Apoyo fijo o pasador: Este tipo de apoyo permite el giro de la viga, pero impide eldesplazamiento en cualquier direccin mediante una reaccin que se puede dividir en una

componente a lo largo del eje longitudinal de la viga y otra a lo largo del eje transversal.

Para determinar estas dos componentes es necesario hacer uso de dos ecuaciones de la

esttica

Empotramiento: este tipo de apoyo impide el desplazamiento a lo largo de los ejes y elgiro de la viga mediante una reaccin que se puede dividir en una componente

longitudinal, otra transversal y una reaccin de momento.

Las cargas aplicadas consideradas en este captulo, consisten en cargas puntuales, vale decir,

fuerzas concentradas mostradas en los esquemas como vectores, y las cagas distribuidas se

muestran como una secuencia de vectores.

Clculos de reacciones de vigas

VAA

HA

MA

VA

A

HA


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En este captulo, todo el trabajo subsecuente con vigas comenzar con la detrminacin de las

reacciones. Cuando todas las fuerzas se aplican en un plano, se dispone de tres ecuaciones de

equilibrio esttico para el anlisis. Estas son:

= 0

= 0 = 0La aplicacin de estas ecuaciones a varios problemas de vigas se ilustra en los siguientes ejemplos,

los cuales sirven como repaso de este importante procedimiento.

Ejemplo 1

Encuentre las reacciones de los apoyos de la viga que se muestra en la figura:

Solucin

De acuerdo a los apoyos que se pueden observar en el esquema se generan las reacciones que se

observan en la figura siguiente:

A B

200N*m 100N 160N

VA

HA

VB

A B

0,1m 0,1m 0,1m 0,1m

200N*m 100N 160N


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Ahora, aplicando las ecuaciones de la esttica se tiene:

= 0 = 0

= 0

+

100

160 = 0

+ = 260 = 0 200 100 0,2 160 0,3 + 0,4 = 0

= 670Ahora, como: + = 260 = 260 670 = 410El signo negativo en VA indica que tiene el sentido contrario al indicado en la figura.

Ejemplo 2

Encuentre las reacciones en la viga con carga uniformemente variable de la figura. Desprecie el

peso de la viga

A

B

10kN/m

VA

HA

VB

3 2


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Solucin:

Dados los tipos de apoyo que existen en la viga, se genera una componente horizontal y otra

vertical en el apoyo fijo o pasador A y una reaccin vertical en el apoyo mvil o rodillo B. Ahora

aplicando las ecuaciones de la esttica:

= 0 = 0 = 0 + + 10 1000 3

2= 0

+ = 15.000 = 0 5 + 15.000 2

3 3 = 0

=

6.000

Luego, = 9.000Ejemplo 3

Determine las reacciones en A y B para la viga de la figura

A

5N

HA

VB

B

VA

45

53

3 9


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Solucin:

Usando las ecuaciones de la esttica se tiene:

= 0

5

cos 53

cos45 = 0

= 0 + 45 5 5 3=0 = 5 53 45

= 0 5 53 3 + 45 12 = 0

=15 5312

45= 1,41

Luego:

= 5 53 1,41 45 = 3 = 5 cos53+ 3 cos 45 = 5,13Algunas veces se insertan articulaciones o juntas con pasadores en las vigas o marcos. Una

articulacin es capaz de transmitir slo fuerzas horizontales y verticales. Ningn momento puedeser transmitido por una articulacin. Por tanto, el punto donde se localiza una articulacin es

particularmente conveniente para separar una estructura en partes con el fin de calcu lar las

reacciones. Cada parte de la viga as separada se trata en forma independiente. Cada articulacin

proporciona un eje adicional respecto al cual pueden analizarse los momentos para determinar las

reacciones. La introduccin de una articulacin o articulaciones convierte al sistema en muchos

casos, en estticamente detrminado. La introduccin de una articulacin en una viga

estticamente determinada convierte a esta en inestable. El proceso para calcular este tipo de

vigas es:


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Aplicacin del mtodo de las secciones

El objetivo de este captulo es establecer procedimientos para establecer las fuerzas que existen

en una seccin de una viga o de un marco. Para obtener esas fuerzas se aplicar el mtodo de las

secciones.

El anlisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas internas comienza con lapreparacin de un diagrama de cuerpo libre que muestre tanto las fuerzas aplicadas como las

reacciones. En los pasos subsecuentes del anlisis, ninguna distincin tiene que hacerse entre las

fuerzas aplicadas y las reacciones. El mtodo de las secciones puede entonces aplicarse a cualquier

seccin de una estructura.

L/2

L a

P

P

P/2P/2

P/2P/2

2


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Considere una viga como la de la figura, con ciertas cargas puntuales y distribuidas actuando sobre

ellas. Se supone que se conocen las reacciones. Las fuerzas aplicadas externamente y las

reacciones mantienen todo el cuerpo en equilibrio. La seccin imaginaria pasa por la carga

uniformemente distribuida y tambin la separa. Cada uno de estos segmentos de viga es un

cuerpo libre que debe estar en equilibrio. Esas condiciones de equilibrio requieren de la existencia

de un sistema de fuerzas internas en la seccin de corte de la viga.

Fuerza cortante en vigas

Para mantener en equilibrio un segmento de una viga, debe haber una fuerza vertical interna Vx en

el corte que satisfaga la ecuacin

= 0. Esta fuerza interna Vx , actuando en ngulo recto

respecto al eje longitudinal de la viga, se llama fuerza cortante. La fuerza cortante es

numricamente igual a la suma algebraica de todas las componentes verticales de las fuerzas

externas que actan sobre el segmento aislado, pero es opuesta en direccin. Esta fuerza cortante

puede calcularse considerando el segmento izquierdo de la viga, como se muestra en la figura de

la pgina anterior o considerando el lado derecho.

A

VA

HA

VB

B

Hx

Vx

Mx

x

P1

P2

q1

q2


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Momento flector en vigas

Las fuerzas internas axial y cortante en una seccin de una viga, satisfacen slo dos ecuaciones de

equilibrio: = 0 y = 0. La condicin restante de equilibrio esttico para un problemaplano es

= 0. sta, en general, puede slo satisfacerse si se desarrolla un par o un momento

interno resistente dentro del rea de la seccin transversal de contrarrestar el momento causadopor las fuerzas externas. El momento resistente interno debe actuar en sentido opuesto al

momento externo para satisfacer la ecuacin gobernante = 0. Esos momentos tieneden aflexionar una viga en el plano de las cargas y se denominan momentos flectores.

Para determinar un momento flector interno que mantiene en equilibrio un segmento de la viga,

se puede usar la parte izquierda o derecha del cuerpo libre de la viga. La magnitud del momento

flector se encuentra sumando los momentos causados por todas las fuerzas multiplicadas por sus

respectivos brazos. Las fuerzas internas Vx y Px as como los momentos aplicados deben incluirse

en la suma. Para excluir los momentos causados por stas ltimas fuerzas conviene seleccionar el

punto de interseccin de esas dos fuerzas internas como el punto respecto al cual se suman los

momentos. Este punto se encuentra sobre el eje centroidal de la seccin transversal de la viga. El

momento flector interno puede ser interpretado fsicamente como compresin sobre las fibras

superiores de la viga y traccin sobre las inferiores (esta es la definicin de un momento positivo).

La convencin de signos que se adopta para los momentos flectores es la siguiente:

De la figura se puede observar que un momento positivo genera compresin en las fibras

superiores y traccin en las fibras inferiores, se genera una curva cncava; por otro lado un

momento negativo genera traccin en las fibras superiores y compresin en las fibras inferiores, se

genera una curva convexa.

MM

MM


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Ejemplo 1

Determine el sistema de fuerzas internos que afecta la figura siguiente:

A

B

10kN/m

9.000N

6.000N

3 2


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Solucin:

La viga se separa en secciones considerando sus discontinuidades:

i. Tramo AD 0 < < 3

9.000 +10.0003

2 = 9.000 + 5.000 23=

9.000 + 5.000 39=

A

9.000N

C

x

Vx

Mx


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ii. Tramo DB 3 < < 5

9.000+ 10.000 32=

9.000 + 15.000=

9.000

+10.000

3

2 2

3 3

=

9.000 + 15.000 2 = El mismo procedimiento puede seguirse para marcos que consisten de varios elementos

rgidamente unidos entre s, as como para barras curvas. En todos esos casos, las secciones

deben ser perpendiculares al eje de un elemento.

A

10kN/m

9.000N

3

C D

x

Vx

Mx


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Diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector

Las ecuaciones derivadas del mtodo de las secciones se pueden representar en grficos, en los

cuales pueden trazarse ordenadas iguales a las cantidades calculadas, desde una lnea base que

representa la longitud de la viga. Estos diagramas se llaman de acuerdo a las cantidades que

representan diagrama de fuerza axial, diagrama de fuerza cortante y diagrama de momentoflector. Con ayuda de dichos diagramas, la magnitud y localizacin de diversas cantidades resultan

inmediatamente obvias.

Ejemplo 1

Dibuje los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector de la viga de la figura:

Solucin:

Se calculan en primer lugar las reacciones:

= 0 5 cos53 = 0 5 cos53 = 0 = 3

A

5N

HA

VB

B

VA

53

5 5


14/55

= 0 + 5 sen53 = 0 + = 4

= 0

5

sen 53

5 +

10 = 0

= 2 = 2

3N

DIAGRAMA DEFUERZA NORMAL

2N

2N

DIAGRAMA DEFUERZA CORTANTE

DIAGRAMA DEMOMENTO FLECTOR

10N*m


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Ejemplo 2

Dibuje los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para la viga en voladizo

cargada con una fuerza inclinada en su extremo libre de la figura siguiente:

Solucin:

Haciendo equilibrio esttico:

= 0 + = 0 =

= 0 = 0 =

= 0 = 0 = Luego los diagramas son los siguientes:

A

HA

VA

45

2Pcos 45

MA

L


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Ejemplo 3

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para una viga simple con carga

uniformemente distribuida (vase figura)

P

P

P*L

DIAGRAMA DE FUERZANORMAL

DIAGRAMA DE FUERZACORTANTE

DIAGRAMA DE MOMENTOFLECTOR

A B

VA

qN/m

HA

VB

L


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Solucin:

De las ecuaciones de la esttica:

= 0

= 0

= 0 + = 0 + = = 0

2+ = 0

= 2

= 2

q*l/2

q*l/2

(q*l^2)/8

DIAGRAMA DE FUERZA NORMAL

DIAGRAMA DE FUERZACORTANTE



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Ejemplo 4

Para la viga de la figura, exprese la fuerza cortante Vx y el momento flector Mx en funcin de x.

Solucin:

Esta es una viga estticamente indeterminada de primer grado, pues se tienen cuatro incgnitas y

tres ecuaciones de la esttica para determinarlas, el procedimiento que se sigue es dejar las

incgnitas en funcin de un parmetro.

Calculamos las reacciones en primer lugar:

= 0 = 0 = 0 + = 0

=

= 0 2 + = 0 = 2

2

Ahora, se calculan las fuerzas internas que afectan al sistema utilizando el mtodo de las

secciones.

A B

VA

qN/m

HA

VB

L

MA


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= Luego, reemplazando: =

+ 22=

Reemplazando:

2

2 + + ( ) 2

2 = Ejemplo 5Considere una viga curva cuyo eje centroidal tiene la forma de una semicrculo de 0,2 m de radio,

como se muestra en la figura. Si este elemento estructural es traccionado por las fuerzas de

1.000N mostradas, encuentre la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector en la seccin

A-A definida por = 45. El eje centroidal y las fuerzas aplicadas se encuentran en el mismoplano.

A

VA

qN/m

x

MA

Vx

Mx


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Solucin:

Usando el mtodo de las secciones se obtiene los siguiente:

45

A

A

0,4

1.000N1.000N

45

A

A

0,14

1.000N

V45

H45

M45

O


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Ahora, utilizando las ecuaciones de la esttica:

45 = 0

1.000

cos 45 +

45 = 0

45 = 707,11135 = 0 1.000 45 45 = 045 = 707,11

0 = 0 45 + 45 0,2 = 0

45 =

707,11

0,2 =

141,42


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TEMA 7: FLEXIN

Considere una viga horizontal prismtica cuya seccin transversal tenga un eje de simetra. Una

lnea horizontal que pase por los centroides de las secciones transversales ser considerada como

eje de la viga. A continuacin considere un elemento tpico de la viga entre dos planos

perpendiculares al eje. En una vista lateral, tal elemento es identificado en la figura por abcd.Cuando la viga es sometida a momentos iguales Mz actuando alrededor del eje z, esta viga se

flexiona en el eje de simetra y los planos inicialmente perpendiculares al eje de la viga se inclinan

ligeramente. Sin embargo, las lneas ad y bc al convertirse en ad y bc, permanecen rectas. Esta

observacin forma la base de la hiptesis fundamental de la teora de flexin. Puede enunciarse

de la siguiente manera: Las secciones planas normales al eje de una viga permanecen planas

despus de que sta es sometida a flexin.

En la flexin pura de una viga prismtica, el eje de la viga se deforma segn un crculo de radio,

mientras que la longitud de ef est dado por:

=

x

y

z

y

a

c

b

d

O A

a b

c d

e

g

f

h

Mz Mzd

yO A


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= Luego:

=1

=

Donde k es la curvatura.

La longitud de la fibra gh est dada por:

= Y, por tanto la diferencia entre las longitudes de las fibras estar dada por:

= = = Dividiendo por ds:

= = Como las deflexiones y la rotacin del eje de la viga son muy pequeos, los cosenos de los ngulos

implicados al formar las proyecciones de y sobre el eje horizontal son casi igual a la unidad,luego, es posible reemplazar la deformacin axial de la viga por du y reemplazar ds por dx, con lo

que queda:

= Usando la Ley de Hooke:

= = Por otro lado, se requiere que la suma de todas las fuerzas en una seccin en la direccin x sea 0,

lo que implica:

= 0 = 0 = 0

k es constante en flexin pura, luego:

= 0Para satisfacer esta condicin el eje z debe pasar por el centroide de rea de la seccin transversal

y como este eje z representa el origen del sistema implica que a lo largo de este eje tanto las

deformaciones como los esfuerzos normales son nulos. Este eje se llama fibra neutra.


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Para completar la frmula de flexin elstica, debemos considerar que la sumatoria de los

momentos externos debe ser igual a la suma de los momentos internos de la viga, vale decir:

0 = 0

=

= 2 =

= Cabe destacar que el momento de inercia se calcula respecto de la fibra neutra de la figura, luego

es necesario primero establecer el centroide de rea de la figura.

Debe notarse que en el caso de la flexin pura, el nico esfuerzo que acta es , luego el tensorde esfuerzos estar dado por:

= 0 00 0 00 0 0

Y, como vimos en el captulo este tensor de esfuerzos se puede hacer rotar y obtener el estado de

esfuerzos en cualquier sistema de eje coordenado.

Ejemplo 1

Una viga en voladizo de madera que pesa 0,75 N/m soporta una carga puntual hacia arriba de 20

kN en su extremo. Determine los esfuerzos mximos de flexin en una seccin a 2 m desde el

extremo libre.

x z

y

a

c

b

d

O A

Mz

x=-Eky

y


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Utilizando las ecuaciones de la esttica:

= 0 = 0

A HB

VB

B20kN

B

0,75kN/m

L

400

300

Seccin transversal viga(medidas en milmetros)


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= 0 0,75 +2 0= 0 = 20 + 0,75

= 0

20

+ 0,75

2

2 = 0

= 20 0,75 22

Ahora determinamos el sistema de fuerzas internas que afectan a la viga a 2 metros del extremo

(vese figura):

20 2 0.75 2 1 = 2 38,5 = 2

El esfuerzo est dado por:

= Derivando el esfuerzo normal respecto a y e igualando a cero se encuentra el esfuerzo normal

mximo en la seccin:

= 0

A

V2m

20kN

M2m

0,75kN/m

2


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Esto implica que no se tienen mximo ni mnimos relativos, por tanto se debe evaluar en los

bordes superiores e inferiores para encontrar el esfuerzo normal mximo.

Por otro lado la seccin transversal de la viga simtrica, lo que implica que el centroide se

encuentra en la interseccin de los ejes de simetra y por tanto la fibra neutra se ubica a la mitad

de la altura de la viga:

Calcularemos ahora el momento de inercia:

= 112

0,3 0,43 = 0,00164Luego el esfuerzo normal en el borde superior es:

= 38,5 0,20,016

= 4.812,52 = 4.812.500 2 = 4.812.500 =

4,81

(

)

Mientras que en el borde inferior:

= 38,5 0,20,016

= 4.812,52 = 4.812.500 2 = 4.812.500 = 4,81 ()

400

300

Fibra neutra

200

200


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TEMA 8: ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS

Este captulo est dedicado a determinar los esfuerzos cortantes en vigas causadas por fuerzas

cortantes transversales.

Probaremos en primer lugar que la fuerza cortante est inseparablemente unida a un cambio en elmomento flector de una seccin de la viga.

Haciendo momento en A queda:

= 0 + = 0 = = Esta ecuacin significa que si la fuerza cortante est actuando en una seccin, habr un cambio en

el momento flector de una seccin adyacente. La diferencia entre los momentos flectores de

secciones adyacentes es

. Si ninguna fuerza cortante est presente no se producir ningn

cambio en el momento flector. Alternativamente, razn de cambio del momento flector a lo largode la viga es igual a la fuerza cortante.

Considere una viga longitudinal de varios tablones longitudinales continuos, cuyas seccin

transversal se muestran en la figura, en que se destaca que el tabln superior est a una distancia

y1 de la fibra neutra de la viga.

M+dMM

V V+dV

dx

A


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Por simplicidad, la viga tiene una seccin transversal rectangular, pero tal limitacin no es

necesaria. Un elemento de esta viga, aislado por dos secciones paralelas, ambas perpendiculares

al eje de la viga y de longitud dx, se muestran en la figura:

FIBRA NEUTRA

CENTROIDE

y1


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Se destaca tambin, en rojo, el tabln superior de la viga.

El elemento est sometido a un momento flector MA en el extremo A y a un momento flector MB

en el extremo B, lo que generan esfuerzos normales a las secciones (son representadas por las

flechas de color rojo de la figura anterior). Estos esfuerzos de flexin varan linealmente desde su

respectivas fibras neutras.

La misma viga, en sentido longitudinal se muestra en la figura siguiente:

A una distancia y de la fibra neutra el esfuerzo en los extremos A y B est dado, respectivamente,

por:

=

=

La fuerza que acta en un diferencial de rea dA est dado por:

= =


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La fuerza que acta sobre el rea del tabln de la seccin transversal est dada por:

=

= = Si , el tabln superior tiende a deslizar respecto del tabln inferior, por tanto para queexista equilibrio de fuerzas se requiere que existe una fuerza horizontal resistente.

=

= Si dx es una cantidad diferencial, el momento cambia tambin una cantidad diferencial, luego =

En vez de trabajar con una fuerza dF que se desarrolla a lo largo de una longitud dx, es ms

conveniente trabajar con una fuerza por unidad de longitud, esto se consigue dividiendo dF por dx,

con lo que se obtiene:

= = 1 = Donde q se llama flujo cortante.

Ahora, el esfuerzo de corte que se desarrolla en el plano longitudinal es:

= Donde t es el espesor de la seccin transversal del plano considerado.

Ejemplo 1

Dos tablones largos de madera forman una seccin T para una viga, como se muestra, en mm, en

la figura siguiente. Si esta viga transmite una fuerza cortante vertical constante de 3.000N,

encuentre la separacin necesaria de los clavos entre los dos tablones para que la viga trabaje

como una unidad. Suponga que la fuerza cortante permisible por clavo es de 700N


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La distancia desde la base del perfil hasta la fibra neutra es:

= 200 50 225 + 200 50 100200 50 + 200 50 = 162,5

El momento de inercia del perfil es:

= 50 200312+ 50 200 62,52 + 200 503

12+ 200 50 225 162,52 = 113.541.6674

El momento esttico est dado por:

= 200 87,537,5

=200 87,522

200 37,522= 100 2502 2002 = 625.0003

200

50

250

50


33/55

Luego el flujo cortante est dado por:

= 3.000 625.000113.541.667

= 16,51/Finalmente la separacin entre clavos es:

= 70016,51 = 42,4Ejemplo 2

Una viga de luz 6 m soporta una carga de 3 kN/m, incluido su peso propio. La seccin transversal

de la viga estar hecha de varias piezas de madera, como se muestra en las figuras de ms abajo.

Determine la separacin de los tornillos de cabeza cuadrada de 10 mm necesaria para unir la

partes de esta viga entre s. Suponga que un tornillo de 10 mm, segn estudios de laboratorio, es

bueno para transmitir 2kN de carga lateral paralela al grano de la madera. Suponga

= 2,36

1094

A B

3kN/m

VA

HA

VB

6


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Calculamos las reacciones de la viga:

= 0

= 0

= 0 + 3 6 = 0 + = 18

= 0 6 3 6 62= 0

= 9= 9

Ahora determinaremos la fuerza cortante en cualquier punto de la viga utilizando el mtodo de las

secciones:

9 3 = Derivando esta ecuacin respecto a x se obtiene:

200 5050

50 1

00

500

FIBRA NEUTRA

a a


35/55

= 3 0Luego esta ecuacin no tiene mximos ni mnimos relativos, lo que implica que para obtener la

mxima fuerza cortante en la viga hay que evaluar la ecuacin en los extremos de la viga:

9 = ( = 0)9 = ( = 6)Por tanto la mxima fuerza cortante que se da en la viga corresponde a 9 kN

Para calcular la separacin entre tornillos, debe determinarse el flujo cortante en la seccin a-a,

para ello se evala el momento esttico en el rea achurada del perfil

50 200 225+2 100 50 200 = 4.250.0003 =

Luego:

= 9 4.250.0002,36 109 = 0,01620763/ = 20,01620763

= 123,4

A

3kN/m

9kN

x

Vx


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En los apoyos el espaciamiento enytre tornillos debe ser de 123 mm. Este espaciamiento se aplica

slo en una seccin donde la fuerza cortante V es de 9kN.

Dado que la fuerza cortante no es constante en todo el tramo, es conveniente diferir la separacin

entre tornillos con el fin de ahorrar material, as en las cercanas de los apoyos es necesario

colocar tornillos de 10 mm espaciados 120 mm a 1,5 m cerca de ambos apoyos y de 240 mm en laparte central de la viga (debido a que la fuerza cortante desarrollada en esta parte es menor a la

mitad de la fuerza cortante mxima).

Ejemplo 3

Obtenga una expresin para la distribucin del esfuerzo cortante en una viga de seccin

transeversal rectangular maciza que transmite una fuerza cortante V. Calcule adems el esfuerzo

cortante mximo que se desarrolla en la seccin

=

h

b

y1


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El momento de inercia est dado por:

= 312

Adems

= El momento esttico est dado por:

= /21 =

2 22 12

Luego el esfuerzo cortante est dado por:

= 2 22 12 312

=2 22 12 312

=6 3 22 12

Para encontrar el esfuerzo cortante mximo derivamos el esfuerzo cortante por y1 e igualamos

esta expresin a cero:

1

=6

3

2

1 = 0

1 = 0

Luego:

= 6 3 24 = 3 2 = 3 2 De los resultados obtenidos podemos deducir que el esfuerzo cortante en una viga de seccin

rectangular vara parablicamente y que el esfuerzo cortante mximo se obtiene cuando y1 es

igual a cero, a medida que nos vamos alejando de la fibra neutra el val,or del esfuerzo cortante va

hacindose ms bajo hasta llegar a ser nulo cuando = /2, vale decir, el esfuerzo de corte escero al llegar al borde superior e inferior de la viga.

Ejemplo 4

El sistema de cargas y la seccin transversal a que se ve afecta una viga I se muestra en las figuras

siguientes, determine los esfuerzos cortantes en los niveles indicados. Desprecie el peso de la viga.


38/55

= 0 = 0

A B

VA

HA

VB

6

100kN

3

C

150

FIBRA NEUTRA

1

0

270

10

10

1 1

2

3 3

4 4EJE DE SIMETRA


39/55

= 0 + 100 = 0

+

= 100

= 0 6 100 3 = 0 = 50 = 50 Ahora determinamos la fuerza cortante a lo largo de la viga:

i. Tramo A - C 0 < < 3

50 =

A

50kN

x

Vx


40/55

ii. Tramo C B 3 < < 6

50 100 = 50 = Ahora, calcularemos los esfuerzos cortantes en los diferentes niveles:

Nivel 1 1:El rea que involucra este nivel es nula, lo que implica que el esfuerzo cortante tambin es

cero.

Nivel 2 -2El momento de inercia del perfil est dado por:

= 10 250312+ 150 10312+ 150 10 2552 2 = 208.120.8334

El momento esttico de este nivel est dado por:

= 150 135125

=150

2 1352 1252 = 195.000

El plano considerado justo coincide con dos piezas lo que implica que t puede tener el

espesor de la pieza de arriba con t=150mm, y el espesor de la pieza de abajo con t=10mm

A

50kN

100kN

3

C

x

Vx


41/55

Luego:

= 50 195.000208.120.833 150 = 0,000312318565 /2 = 312.318,565 = 0,31

=50

195.000

208.120.833 10 = 0,00468478 /2

= 4.684.780 = 4,68

Nivel 3 3:El momento de inercia del perfil est dado por:

= 10 250312+ 150 10312+ 150 10 2552 2 = 208.120.8334


= 10 125115 + 150 135125 = 102 1252 1152+ 1502 1352 1252 =207.0003

El espesor de acuerdo al plano considerado es = 150Por tanto:

=50

207.000

208.120.833

150= 0,00033154

/

2 = 331.538

= 0,33

Nivel 4 4:El momento de inercia del perfil est dado por:

= 10 250312+ 150 10312+ 150 10 2552 2 = 208.120.8334


= 10 125

0+ 150 135

125=10

2 1252 +150

2 1352 1252 =273.1253El ancho t correspondiente al plano considerado es:

= 10


42/55

Por tanto:

= 50 273.125208.120.833 10 = 0,00656169 /2 = 6.561.690 = 6,56


43/55

TEMA 8: CLCULO DE LA ELSTICA (DEFLEXIONES)

En este captulo se presenta uno de los mtodos ms importantes para calcular las deformaciones

que experimentan los sistemas estructurales frente a las acciones de cargas, posteriormente, en el

capitulos de vigas estticamente indeterminadas, se vern otrois mtodos. El clculo de estas

deformaciones permite trazar la linea deformada de las estructuras, tambin llamada elsticapor corresponder a deformaciones que se producen dentro del rango elstico de estos sistemas.

Mtodo de la doble integracin

Utilizando algunos de las cosas vistas en el captulo de flexin se tiene:

=

=1

= = = = = 1

Utilizando la ley de Hooke

=

=

Y usando la frmula de flexin para vigas:

= Se tiene:

= Luego:

1 = De acuerdo al clculo vectorial el radio de curvatura viene dado por:

= ()3()


44/55

Sea = (,) = (1,)

= (0,2

2)Luego: =

1

00

22 0= 22

Luego:

= 1 + 23/222

Si las deformaciones son muy pequeas el trmino 2 se puede despreciar, con lo que queda:

= 122

1 = 22Finalmente:

22 = Sea = , entonces:

= Esta ltima expresin indica que un valor positivo del momento flector, esto es, que estira la fibra

inferior del elemento, implica curvatura positiva de la elstica (cncava), y viceversa. Para integrar

esta ecuacin diferencial se requiere detrminar dos constantes de integracin, lo cual se consigueal imponer dos condiciones de borde, para ello se utilizan valores conocidos de la elstcia o de la

tangente para ciertos valores de x. Las relaciones siguientes tambin pueden ser tiles para

determinar la expresin analtica de la elstica.

= =


45/55

= = =

=

El uso de estas relaciones est restringido al caso de funciones ,,,, que sean continuas enel rango de integracin. Por lo tanto la relevancia prctica de este mtodo es limitada cuando setienen cargas concentradas o cargas que no se pueden representar por una funcin continua en la

longitud de la viga.

Condiciones de borde

Para la solucin de problemas de deflexiones en vigas, adems de la ecxuacin diferencial deben

ser establecidas condiciones de borde o frontera. Varios tipos de condiciones homogneas de

frontera son los siguientes:

a) Empotramiento: tanto la flecha como la pendiente deben ser nulas. Por consiguiente, enel extremo donde existe el empotramiento = 0,( = 0) = 0 = 0 = 0

b) Apoyo mvil y apoyo fijo: en el extremo considerado no debe existir ni flecha ni momentoM = = 0 = = 0

c) Extremo libre: tal extremo est libre de momento y de fuerza cortante, por tanto:

=

= 0

= = 0d) Articulacin: en este caso se permite el desplazamiento vertical pero la rotacin delextremo est impedida. Este tipo de apoyo no es capaz de resistir ninguna fuerza cortante,lo que implica: = = 0 = = 0

En algunos problemas surgen discontinuidades en las funciones matemticas de carga o rigidez del

elemento. Por ejemplo, tales discontinuidades ocurren bajo fuerzas o momentos puntuales y en

cambios bruscos de reas transversales que afectan el valor de . En tales casos, las condiciones

de brode debn complementarse con los requisitos fsicos de continuyidad de la curva elstica. Esto

significa que en cualquier unin de las dos zonas de una viga en que ocurre una discontinuidad, la

deflexin y la tangente a la curva elsticadeben ser las mismas independientemente de la

direccin con que se aproxime uno al punto comn.


46/55

Ejemplo 1

Determinar la deformacin vertical y el ngulo de la elstica con la horizontal en el extremo B de la

viga en voladizo que se indica en la figura. Los valores de son constantes para toda la viga.

= 0 = 0 = 0 = 0 =

= 0 2= 0

= 22

L

AHA

VA

B

MA

q


47/55

2

2 + 2 = = 2

2+ 2

2

= 22

+ 22 36+ 1

= 22

22+ 3

6 424+ 1 + 2

Las condiciones de borde son:

0 = 00 = 0Lo que implica que:

Usando la primera condicin de borde:

x

A

q*L

q

q*L2/2

Vx

Mx


48/55

2 = 0Usando la segunda condicin de borde:

1 = 0Por tanto:

= 22

22+ 3

6 424

Ahora, en el extremo B, = , luego: = 4

4+ 46

424

= 48

Ejemplo 2

Un momento flector M1 se aplica a na viga en volado (ver figura) de longitud L y constante.

Encuentre la ecuacin de la elstica.

L

A

VA

M1

MA

HA


49/55

Solucin

Usando las ecuaciones de la esttica:

= 0

= 0

= 0 = 0 = 0 +1 = 0

= 1Las condiciones de borde son:

= 0

= 0

= 0 = 0Ahora utilizando el mtodo de las secciones:

= = 1Luego:

= 1

x

A

MA Mx

Vx


50/55

= 1 + 1Usando la segunda condicin de borde:

= 0 = 1 = 0Finalmente:

= 1 22+ 2

Usando la primera condicin de borde:

= 0 = 2 = 0Luego:

=

1

2

2

La ecuacin de la curva elstica es:

= 1 22

El signo positivo del resultado indica que la deflexin debida a M1 es hacia arriba, si derivamos esta

expresin y la igualamos a cero queda:

1 = 0

= 0Derivando nuevamente:1> 0

Lo que implica que la flecha mnima se da en x = 0 y coincide con la segunda condicin de borde,

vale decir, que y = 0, ahora para encontrar el mximo valor de la flecha evaluamos en el extremo x

= L, con el fin de encontrar un mximo absoluto:

= 1 2

2 Ejemplo 3

La viga de la figura recibe una carga uniformemente distribuida q en toda su extensin. La rigidez

es constante. Encuentre la ecuacin de la elstica por los tres siguientes mtodos:

a) Use la ecuacin diferencial de segundo orden para obtener la deflexin de la viga


51/55

b) Use la ecuacin de cuarto ordenc) Ilustre una solucin grfica del problema.

Solucin

a)

= 0 = 0 = 0 + = 0

+ = = 0 2= 0

= 2

= 2

A B

q

VA

HA

VB

L


52/55

Ahora, utilizando el mtodo de las secciones:

2

= 2

22=

Luego:

= 2 22 Las condiciones de borde son:

= 0 = 0 = = 0

Lo que implica que:

= 4 2

3

6 + 1

= 12

3 424+ 1 + 2

Ahora:

= 0 = 2 = 0

A

q

q*L/2 Vx

x

Mx


53/55

= = 412

424+ 1 = 0

324+ 1 = 0

1 = 324 Finalmente:

= 12

3 424

324

Y las desangulaciones estn dadas por:

=

4

2

3

6

3

24

b) La aplicacin de este mtodo es directa: =

= + 1 = 2

2+ 1 + 2

Pero el momento en el extremo x = 0 es nulo, luego:

= 0 = 2 = 0Pero el momento en el extremo x = L es nulo tambin, luego:

= = 22+ 1 = 0

2= 1

= 2

2 + 2 El resto del problema es igual que en la parte a)c) Los pasos para una solucin grfica se muestran en la pgina siguiente. Se pueden

observar los diagramas de fuerza cortante, momento flector y curvatura, y a partir de ellos

se calculan los diagramas de deflexin y las desangulaciones que sufre la viga.


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Como se puede observar del diagrama de momento flector y del diagrama de curvatura, la

desangulacin mxima se da en los extremos de la viga, luego:

En x = 0

= 324

En x = L

= 3

24 En x = L/2, se presenta la mayor deflexin, debido a la simetra de la viga, lo que implica que enese punto:

= 0

q*L/2

q*L/2

DIAGRAMA DE FUERZA

CORTANTE

q*L/8


q*L/(8*

DIAGRAMA DE CURVATURA


55/55

= 1 12

38 424 16 324 2

= 1 496

4384

348

= 5 4384

Luego:

-q*L/(24*

DIAGRAMA DEDESANGULACIN

-5*q*L4/(384*

DIAGRAMA DE DEFLEXIN

q*L/(24*

Apuntes Resist en CIA de Materiales III

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