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APUNTES DE MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO VOLUMEN 2
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APUNTES DE
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
VOLUMEN 2
2
ÍNDICE
Capítulo Tema Página
Cuerpo de Hooke 4 Cuerpo de Newton 4 Cuerpo de Kelvin-Voigt 4 Cuerpo de Maxwell 5 Cuerpo de Burgers 5 Comentario 6 Referencia 6
Modelos para representar el comportamiento de los materiales
Comportamiento elástico lineal 9 Relación entre E, G y ν 12 Deformación unitaria volumétrica 15 Obtención de los esfuerzos en función de las deformaciones unitarias
16
Rango de variación de la relación de Poisson 18 Energía de deformación 19 Incrementos de esfuerzo en la masa de suelo 23 Fórmulas elásticas 24
Elasticidad lineal
Referencias 30
3
Capítulo Tema Página
Compresión confinada 31 Deformación tridimensional 37 Método no lineal 40
Relaciones esfuerzo-deformación en los suelos Referencias 46
Capítulo Tema Página
Plasticidad 47 Criterios de fluencia 49 Teoría de las líneas de deslizamiento 57 Estado crítico en mecánica de suelos 64 Referencias 70
Teorías de falla y ruptura
Anexo 1. Rotación de un sistema coordenado en el plano
71
Capítulo Tema Página
El fenómeno de consolidación en arcillas sensitivas
72
Consolidación secundaria 73 Curva de consolidación tipo I 76 Curva de consolidación tipo II 80 Suelos con cavidades 86 Correlaciones estadísticas 91
Viscosidad
Referencias 91
4
5
6
7
8
9
APUNTES DE MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO ELASTICIDAD LINEAL
Agustín Deméneghi Colina*
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO LINEAL Consideremos un cuerpo que se deforma al ser sometido a un cierto sistema de fuerzas. Si removemos las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, y éste recupera totalmente su forma inicial, se dice que el cuerpo es perfectamente elástico. Sea un cuerpo que cumple esta condición; se afirma que éste tiene un comportamiento elástico lineal cuando en una prueba de tensión o de compresión simple, su deformación unitaria longitudinal es linealmente proporcional al esfuerzo normal. Consideremos un cuerpo sometido a un esfuerzo horizontal de tensión simple x (figura 1). La deformación unitaria x es proporcional al esfuerzo: x x
σx σx
y
x
CUERPO SOMETIDO A UN ESFUERZO NORMAL HORIZONTAL FIGURA 1
Introduciendo una constante de proporcionalidad, arribamos a la expresión conocida como ley de Hooke: x = (1/E) x A E se le conoce como módulo de elasticidad del material, o módulo de Young. Cabe aclarar que E mide la rigidez del material: un incremento en el valor de E significa que aumenta la rigidez del material. En la figura 1 apreciamos que el cuerpo se alarga en dirección x pero se acorta en direcciones y y z (a este fenómeno se denomina efecto Poisson). Experimentalmente se observa que las deformaciones unitarias y y z son una fracción de x, es decir y = - x = (-/E) x z = (-/E) x A se le conoce como relación de Poisson. Si ahora suponemos al cuerpo sometido únicamente a un esfuerzo normal y obtenemos
* Profesor del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM
10
y = (1/E) y x = (-/E) y z = (-/E) y En forma análoga, si el cuerpo está sujeto solamente a un esfuerzo normal z z = (1/E) z x = (-/E) z y = (-/E) z Consideremos ahora que actúan en forma simultánea los esfuerzos x, y y z; por el principio de superposición llegamos a las siguientes expresiones x = (1/E) x - (y + z) (1) y = (1/E) y - (x + z) (2) z = (1/E) z - (x + y) (3) Cabe aclarar que el principio de superposición es válido cuando las deformaciones son pequeñas y los correspondientes pequeños desplazamientos no afectan sustancialmente la acción de las fuerzas externas. En tales casos se desprecian los pequeños cambios en las dimensiones de los cuerpos deformados y también los pequeños desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas externas, y los cálculos se realizan tomando las dimensiones iniciales y la configuración inicial del cuerpo; los desplazamientos resultantes se obtienen por superposición en la forma de funciones lineales de fuerzas externas, como se hizo para llegar a las ecuaciones 1 a 3. Sin embargo, se pueden presentar casos excepcionales en los que no es posible despreciar pequeñas deformaciones (Timoshenko y Goodier, 1970).
Y Y'
τyx
εyx τxy
X'P
X
εyx
τxy
τyx
ELEMENTO SOMETIDO A UN ESTADODE ESFUERZO CORTANTE PURO
FIGURA 2 Supongamos al cuerpo sometido a un esfuerzo cortante puro xy = yx (figura 2), el cual ocasiona deformaciones angulares unitarias xy y yx; el eje X pasa al eje X’ y el eje Y pasa al eje Y’. Hagamos coincidir el eje X’ con un nuevo eje x (figura 3). En el nuevo sistema coordenado ortogonal, el eje de las abscisas es x y el eje de las ordenadas es y (figura 3). En consecuencia, observamos que si hacemos coincidir el eje x con el eje X’, el esfuerzo cortante xy ocasiona una deformación angular del eje y que vale xy (figura 4).
11
Y y Y'
γyx
εxy εyx
xX'
P
εxy X
(Mmcelastf)
CAMBIO DE SISTEMA COORDENADOFIGURA 3
y Y'
τyx
τxyγyx
X', x
τxy
τyx
DEFORMACIÓN ANGULAR OCASIONADAPOR EL ESFUERZO CORTANTE
FIGURA 4 Por lo anterior, considerando nuevamente un comportamiento elástico lineal, la deformación angular xy está dada por xy = (1/G) xy donde G es el módulo de rigidez al esfuerzo cortante del material. En forma análoga, para los esfuerzos xz y yz obtenemos xz = (1/G) xz yz = (1/G) yz Es decir xy = (1/G) xy (4) xz = (1/G) xz (5) yz = (1/G) yz (6)
12
Las ecuaciones 1 a 6 se conocen como expresiones correspondientes a la ley de Hooke generalizada. RELACIÓN ENTRE E, G Y Consideremos un estado de esfuerzo plano como el indicado en la figura 5 (Timoshenko y Goodier, 1970). Calculemos el estado de esfuerzo en la dirección x’: = x cos2 + y sen2 + 2 xy sen cos = (x - y) sen cos + xy (sen2 - cos2) = 45: = 0, = - P
y
x'
y' σp
45°
σp σp x
σp
ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZOSDE TENSIÓN Y COMPRESIÓN
FIGURA 5 La deformación unitaria angular en dirección x’ la podemos hallar usando la ley de Hooke (ecuación 4): xy’ = (1/G) xy’ = (1/G) (-P) x’ = (1/2) xy’ = (1/2G) (-P) (7) La deformación xy’ se puede obtener también en función de x y y, es decir: x = (-P/E) (1+) y = (P/E) (1+) El estado de deformación en la dirección x’ está dado por l = x cos2 + y sen2 + xy sen cos = (x-y) sen cos + (1/2)xy (sen2 - cos2)
13
= 45: lx’ = 0, x’ = (-P/E) (1+) (8) Comparando las expresiones 7 y 8:
E G = (9) 2 (1+) Ejemplo Dado el estado de esfuerzo plano mostrado en la figura E-1, calcular las deformaciones unitarias lineal y angular en la dirección PA. Considerar un material elástico lineal con las siguientes propiedades: E = 2x106 kg/cm2, = 0.3. Solución Las deformaciones unitarias están dadas por las ecuaciones 1 a 3 x = -10 kg/cm2, y = 14 kg/cm2, z = 0 Sustituyendo valores x = -7.1x10-6, y = 8.5x10-6, z = -0.6x10-6 El módulo de rigidez al cortante G se obtiene con la ecuación 9 G = 2x106/[2(1+0.3)] = 769 230 kg/cm2 La deformación angular está dada por la ecuación 4 xy = (1/769230)(-8) = -10.4x10-6
(1/2)xy = 5.2x10-6
y
14 kg/cm2
8 kg/cm2
236.31°10 kg/cm2
Px
10 kg/cm2A
8 kg/cm2
14 kg/cm2
EJEMPLO FIGURA E-1
El tensor deformación unitaria queda -7.1 -5.2 0 E = -5.2 8.5 0 0 0 -0.6 En la dirección PA el vector e vale
14
cos e = sen 0 siendo = 236.31º. Cabe aclarar que no se trata de un estado de deformación plana, pues z 0, pero, por ser nulo el tercer elemento del vector e, se pueden emplear las fórmulas para deformación plana: l = x cos2 + y sen2 + xy sen cos = (x - y)sen cos + (1/2)xy(sen2-cos2) Sustituyendo valores l = -1.10x10-6, = -9.2x10-6 Ejemplo Un cilindro de goma está comprimido dentro de una recipiente de acero –que se supone indeformable- por una fuerza P uniformemente distribuida (figura E-2). Determine el esfuerzo normal entre la goma y el acero, despreciando la fricción que se genera entre ambos. Datos: P = 500 kg, d = 5 cm, = 0.45 Solución z = -500/(/4)(5)2 = -25.46 kg/cm2 x = (1/E)[ x - (y + z)] = 0 x = y 0 = x (1-) - z x = z/(1-)
P
Acero
Gomaν = 0.45
d
EJEMPLO FIGURA E-2
Sustituyendo valores x = -20.83 kg/cm2 (esfuerzo normal de compresión)
15
DEFORMACIÓN UNITARIA VOLUMÉTRICA Consideremos un prisma rectangular que experimenta las deformaciones indicadas en la figura 5-1. Las deformaciones unitarias son
xu
xu
xx
0
lim
yv
yv
yy
0
lim
zw
zw
zz
0
lim
Los volúmenes inicial y final valen, respectivamente
z
Δw
Δz
Py
Δv Δx
Δu
Δy
x
DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICA DE UN ELEMENTO FIGURA 5-1
zyxV
zyxzyx zyxzzyyxxV 111'
16
zyxzyzxyxzyxzyxV 1'
zyxzyzxyxzyxzyxV 1'
Despreciando los productos de orden superior
zyxzyxV 1'
Se define la deformación unitaria volumétrica de la siguiente forma: v = (V’ - V) / V = x + y + z (10) Vemos que la deformación unitaria volumétrica es igual a la suma de las deformaciones unitarias lineales. Definamos ahora la presión media m de la siguiente forma m = (x + y + z) / 3 (11) Sustituyendo las ecuaciones 1 a 3 y la ecuación 10 en la ecuación 11 3 (1 - 2) v = m (12) E es decir v = (1/K) m siendo K = E / [3 (1-2)] A K se denomina módulo de rigidez volumétrica (bulk modulus). OBTENCIÓN DE LOS ESFUERZOS EN FUNCIÓN DE LAS DEFORMACIONES UNITARIAS En la obtención de la ley de Hooke generalizada hallamos las deformaciones unitarias en función de los esfuerzos (ecuaciones 1 a 6). Determinemos a continuación éstos a partir de las deformaciones. Reordenando las ecuaciones 1 a 3 (1/E) x - (/E) y - (/E) z = x (-/E) x + (1/E) y - (/E) z = y (-/E) x - (/E) y + (1/E) z = z Despejemos x aplicando la regla de Cramer x -/E -/E y 1/E -/E z -/E 1/E x = 1/E -/E -/E -/E 1/E -/E -/E -/E 1/E
17
x(1+)+y(1+)+z(1+)+x-
2x-x-2x =E (1+) (1+) (1-2) E (x+ y+ z) E x (1- - 22) = + (1+) (1 - 2) (1+) (1+) (1 - 2) E (x+ y+ z) E x x = + (13) (1+) (1 - 2) (1+) Sea E = (14) (1+) (1 - 2) De la ecuación 9 G = E / [2(1+)] De la ecuación 10 v = x + y + z Sustituyendo en la ecuación 13 x = v + 2 G x En forma análoga se obtienen y y z. Los esfuerzos cortantes se despejan directamente de las ecuaciones 4 a 6. Así, las fórmulas que proporcionan los esfuerzos en función de las deformaciones son x = v + 2 G x (15) y = v + 2 G y (16) z = v + 2 G z (17) xy = G xy (18) xz = G xz (19) yz = G yz (20) A se le conoce como constante de Lamé. Ejemplo Los resultados de mediciones de una roseta de deformación a 60° son los siguientes: a = 0.0002, b = 0.0001, c = 0.00015 El material ensayado tiene las siguientes propiedades E = 180 000 kg/cm2, = 0.28 Determinar la magnitud y dirección de los esfuerzos principales.
18
Solución El tensor deformación está dado por a (b - c)/3 E =
(b - c)/3 [2(b + c) - a] / 3 Sustituyendo valores
2 -0.28868 E = x 10-4
-0.28868 1 Aplicando la ecuación 14 = 89488.636 kg/cm2 Aplicando la ecuación 9 G = 70312.5 kg/cm2 De la ecuación 17 0 = 89488.636(x + y + z) + 2(70312.5) z z = -0.000116667 v = x + y + z = 0.000183333 Usando las ecuaciones 15 y 16: x = 44.531 kg/cm2, y = 30.469 kg/cm2 De la ecuación 18: xy = -4.059 kg/cm2 La magnitud y dirección de los esfuerzos principales se obtienen con las siguientes expresiones 1 = (x+y)/2 + [(x-y)/2]2 + xy
2
1 = ang tan [(1-x)/ xy] 2 = (x+y)/2 - [(x-y)/2]2 + xy
2
2 = ang tan [-xy/(y-2)] 1 = 45.619 kg/cm2, 1 = -15º 2 = 29.381 kg/cm2, 2 = 75º RANGO DE VARIACIÓN DE LA RELACIÓN DE POISSON Consideremos el cuerpo de la figura 1 sometido a un esfuerzo de tensión x; la deformación unitaria transversal y vale y = (-/E) x Suponiendo que la relación de Poisson fuera negativa, entonces y sería positiva, lo que significa que al aplicar un esfuerzo de tensión horizontal x ocurre una extensión en dirección vertical, lo que es contradictorio con el fenómeno físico que se presenta en los materiales con que trabaja el ingeniero civil. Por lo tanto, para fines prácticos la relación de Poisson no puede ser negativa. Consideremos ahora un cuerpo sometido a esfuerzos x, y y z, tal que x + y + z 0, y supongamos que se deforma pero que no cambia de volumen. En este caso la deformación unitaria volumétrica v = 0; reemplazando en la ecuación 12, y dado que m 0 = 0.5. Por lo tanto, en los materiales que se deforman pero que no cambian de volumen (los cuales se denominan materiales incompresibles), la relación de Poisson vale 0.5. Ejemplos de materiales incompresibles son el hule, el caucho, el agua.
19
Supongamos que 0.5 y que x 0, y 0 y z 0; entonces m 0 y, de acuerdo con la ecuación 12, v 0 , lo que conduce a la contradicción de que aplicando únicamente esfuerzos normales de tensión se produce un decremento de volumen del cuerpo, lo cual no ocurre con los materiales usuales con que trabaja el ingeniero civil. En consecuencia, para fines prácticos la relación de Poisson no puede ser mayor que 0.5. De lo expuesto en los párrafos anteriores se concluye que la relación de Poisson varía entre los siguientes límites 0 0.5. En la tabla 1 se exhiben valores de la relación de Poisson para diferentes materiales. TABLA 1 VALORES DE LA RELACIÓN DE POISSON Material Rango Promedio Hule 0.5 0.5 Concreto 0.12-0.20 0.18 Acero 0.25-0.33 0.3 Arena 0.2-0.3 0.25 Arcilla saturada 0.38-0.48 0.45 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Consideremos una barra prismática, a la que se aplica una carga P gradualmente, sufriendo la barra una deformación (figura 6). Aceptando que se cumple la ley de Hooke, la deformación es proporcional a la fuerza (figura 7). El trabajo desarrollado debido a un incremento de deformación vale (Castillo, 1985) dU = P d
Pero, por la ley de Hooke = (L/AE) P (21) d = (L/AE) dP P
U = (L/AE) o P dP = (L/AE) P2/2 (22)
Reemplazando la ecuación 21 en la ecuación 22 U = P/2 (23)
20
L δ
P A
BARRA SUJETA A UNA FUERZA AXIAL PFIGURA 6
P
dδ
δ
TRABAJO DE DEFORMACIÓNFIGURA 7
Vemos que el trabajo o energía de deformación, cuando la carga se aplica gradualmente, es igual a la mitad del producto de la fuerza por la deformación de la barra. La energía de deformación se puede poner en función de los esfuerzos (Castillo, 1985) P = A; = L Sustituyendo en la ecuación 23 U = ( A L)/2 Pero Vol = A L U = [( )/2] (Vol) (24) El trabajo de deformación por unidad de volumen es U’ = U/Vol = [( )/2] (25) Si ahora sometemos a un elemento a esfuerzos normales x, y y z, aplicando la ecuación 25 y por el principio de superposición de causas y efectos, obtenemos el trabajo de deformación por unidad de volumen U’ = (xx + yy + zz) / 2 (26)
21
Hallemos a continuación el trabajo de deformación producido por esfuerzo cortante (figura 8). El trabajo de la fuerza xydxdz vale (Castillo, 1985) U = (1/2) xydxdz xydy = xyxy dxdydz/2
y y'
δ
τyx
τxyγxy
dy Px
τxy
τyx
dx(Mmcelastf)
TRABAJO DE DEFORMACIÓN POR ESFUERZO CORTANTEFIGURA 8
Y el trabajo por unidad de volumen U’ = xyxy/2 Tomando simultáneamente los esfuerzos cortantes xy, xz y yz U’ = (xyxy + xzxz +yzyz)/2 (27) Por lo anterior, el trabajo o energía de deformación por unidad de volumen, cuando las cargas se aplican gradualmente, para un estado general de esfuerzo, está dado por la suma de las ecuaciones 26 y 27, es decir (Castillo, 1985) U’ = (xx+yy+zz+xyxy+xzxz+yzyz)/2 (28) Sustituyendo las expresiones de la ley de Hooke generalizada (ecuaciones 1 a 6) x = (1/E) [x - (y + z)] y = (1/E) [y - (x + y)] z = (1/E) [z - (x + y)] xy = (1/G)xy
xz = (1/G)xz
yz = (1/G)yz
en la ecuación 28 U’ = (1/2E) (x
2+y2+z
2) -(/E)(xy+xz+yz)+(1/2G)(xy
2+xz2+yz
2) (29)
22
La teoría de fluencia de Von Mises establece que la fluencia de un metal ocurre cuando la energía de deformación por distorsión en un estado general de esfuerzo iguala a la energía de deformación por distorsión en una prueba de tensión simple (Mendelson, 1983). El trabajo de deformación está dado por U’ = Um’ + Ud’ donde Um’ = trabajo de deformación producido por el tensor isotrópico Ud’ = trabajo de deformación producido por el tensor desviador Ud’ = U’ – Um’ (30) Consideremos un estado de esfuerzo en que únicamente se aplican esfuerzos normales x 0, y 0, z 0, xy = xz = yz = 0 (figura 9). De acuerdo con la ecuación 29, la energía de deformación vale (Popov, 1968) U’=(1/2E)(x
2+y2+z
2)-(/E)(xy+xz+yz) (31)
z
σz
σx
σy
σy y
σx
σz
x
ESFUERZOS NORMALES SOBRE UN ELEMENTO FIGURA 9
El trabajo de deformación producido por el tensor isotrópico está dado por Um’ = [(1-2)/6E] (x+y+z)
2 (32) Reemplazando las ecuaciones 31 y 32 en la ecuación 30
23
Ud’ = [(1+)/3E] [(x2+y
2+z2) - (xy+xz+yz)]
Pero G = E/2(1+), por lo tanto Ud’= (1/6G) [(x
2+y2+z
2)-(xy+xz+yz)] (33) Es decir Ud’ = (1/12G) [(x-y)
2+ (x-z)2 + (y-z)
2] (34) INCREMENTOS DE ESFUERZO EN LA MASA DE SUELO Los incrementos de esfuerzo normal ocasionados por un cimiento cargado se pueden valuar con las siguientes expresiones, válidas para un medio homogéneo, isótropo y linealmente elástico (con una relación de Poisson ν), con carga repartida q aplicada sobre la superficie de un medio seminfinito (Deméneghi y Puebla, 2012) Círculo cargado Los incrementos de esfuerzo bajo el centro de un círculo cargado, de radio a, a la profundidad z, están dados por Incremento de esfuerzo normal vertical
2/322
3
1za
zqz (35)
Incremento de esfuerzo radial horizontal (Yoder, 1959)
2/322
3
2/122
1221
2 zaz
zazq
r (36)
Rectángulo cargado Los incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un rectángulo cargado están dados por (figura 10) Incremento de esfuerzo normal vertical (Damy, 1985)
zBxy
Bxyz
zyzxq
z1
2222 tan11
2 (37)
24
Incrementos de esfuerzo normal horizontal (Dashkó y Kagán, 1980)
yzxB
yx
xyzB
Bzyxyzq
x111
22tantan21tan
22
(38)
xzyB
xy
xyzB
Bzxxyzq
y111
22tantan21tan
22
(39)
2/1222 zyxB (40)
q y
x
z
σz
σy
σx
INCREMENTOS DE ESFUERZO BAJO LA ESQUINA DE(Csincresff) UN RECTÁNGULO CARGADO
FIGURA 10 FÓRMULAS ELÁSTICAS Presentamos a continuación algunas fórmulas obtenidas de la teoría de la elasticidad, que se pueden usar, en forma aproximada, para calcular deformaciones verticales en los suelos. Ley de Hooke z = (1/E) [z - (x + y)] (41) O bien
25
yxzo
z Ez
(42)
Fórmula de Schleicher Asentamiento bajo la esquina de un rectángulo de ancho x y largo y (figura 11a), fórmula de Schleicher (Terzaghi, 1943)
xyxyx
yyxxy
Eq
z
22222
lnln1
(43)
q x
y
δz
a) Rectángulo cargado
y
q
Medio deformable E, ν h
Medio indeformable
b) Medio deformable de espesor h
DEFORMACIÓN BAJO LA ESQUINA DE UNRECTÁNGULO CARGADO
FIGURA 11 Fórmula de Steinbrenner Cuando el medio elástico tiene un espesor h (figura 9b), el asentamiento bajo la esquina de un rectángulo sometido a carga uniforme q, está dado por la fórmula de Steinbrenner (Terzaghi, 1943)
26
Ayxhxyxyx
Axyhyyxxy
Eq
z
222222222
lnln1
hAxyh
Eq 1
2
tan2
21
(44)
2/1222 hyxA (45)
En la práctica se usan las ecuaciones 42, 43 ó 44, haciendo E = Es, siendo Es el módulo de deformación del suelo. El módulo Es se puede obtener a partir de los resultados de una prueba de compresión triaxial (figura 12). Como Es se puede usar el módulo tangente inicial Esi o el módulo E50 (figura 12), que corresponde al 50% del esfuerzo desviador de falla.
Sigma1 - Sigma3
Esi(Sigma1 - Sigma3)f
E50(Sigma1 - Sigma3)f
2
Épsilonz
MÓDULO E50 Y MÓDULO TANGENTE INICIAL Esi FIGURA 12
La rigidez de un suelo es función de la presión de confinamiento. En la figura 13 se muestra la variación de E50 ó Esi con el confinamiento 3.
27
E50 ó Esi
Sigma3
VARIACIÓN DEL MÓDULO E50 Ó DEL MÓDULO TANGENTE INICIAL Esi CON LA PRESIÓN DE CONFINAMIENTO
FIGURA 13 Ejemplo Calcular el asentamiento de la zapata rectangular de concreto reforzado de la figura E-1. Columna de 25 por 30 cm. Zapata de 1.7 por 2 m; espesor losa zapata = 30 cm. Profundidad de desplante = 60 cm Q’ = 630 kN Utilizar los siguientes procedimientos: a) Ley de Hooke b) Fórmula de Schleicher c) Fórmula de Steinbrenner Para el cómputo del módulo de deformación Es del suelo usar la fórmula de Denver
NCEs
donde N = número de golpes de la prueba de penetración estándar, y C = 7 MPa
Solución
28
y
170
25
20030
x
Distancias en centímetros630 kN Croquis sin escala
30
30
Arena limpia N = 25 golpes γ = 16 kN/m3 30Φ = 37°
Arena limosa N = 32 golpes γ = 18 kN/m3 40Φ = 39°
Limo arenoso N = 28 golpes γ = 17 kN/m3 50Φ = 38°
Roca
EJEMPLOFIGURA E-1 (Cs Deformaciones de Suelos Figuras)
La determinación de los incrementos de esfuerzo se lleva a cabo usando la presión de contacto entre suelo y cimiento, que en este caso vale q = 197.35 kPa. En la tabla E-1 se exhibe el cómputo de las deformaciones de los tres estratos de suelo. Los incrementos de esfuerzo se obtienen a la mitad de cada estrato. Se usaron las siguientes expresiones El coeficiente Ko se calcula con la siguiente expresión (Mayne y Kulhawy, 1982) Ko = (1 – sen φ)(OCR)sen φ donde φ es el ángulo de fricción interna y OCR es la relación de preconsolidación del suelo en el campo. La relación de Poisson se obtiene = Ko / (1 + Ko)
29
(a) Ley de Hooke En la tabla E-1 se muestra el cálculo de las deformaciones de los tres estratos. Se usó la ecuación 42, y para encontrar Es la fórmula de Denver. Se encontró un asentamiento z = 4.37 mm. TABLA E-1 LEY DE HOOKE
Estrato Δzo Ko ν Es σz σx σy Δz m kPa kPa kPa kPa mm
1’ 0.3 0.398 0.285 35000 196.71 117.05 119.40 1.11 2 0.4 0.371 0.270 39598 180.11 53.09 47.82 1.54 3 0.5 0.384 0.278 37040 134.84 15.81 11.33 1.72
Suma 4.37 (b) Fórmula de Schleicher El módulo Es se obtiene como un promedio ponderado de los tres valores de la tabla E-2, Esm = 37 383 kPa. La relación de Poisson se determina con un promedio ponderado de las magnitudes de la tabla E-1, es decir νm = 0.277. Como la ecuación de Schleicher arroja el asentamiento bajo una esquina, el área se divide entre 4, y el hundimiento calculado se multiplica por 4. Sustituyendo valores en la ecuación 43, con x = 1.7/2 = 0.85 m, y = 2/2 = 1 m
mz 00252.0
85.0
185.01ln85.0
1
185.085.0ln1
37383
277.0135.197'
22222
z’ = 2.52 mm, z = 4(2.52) = 10.08 mm (c) Fórmula de Steinbrenner El módulo Es se obtiene como un promedio ponderado de los tres valores de la tabla E-2, Esm = 37 383 kPa. La relación de Poisson se determina con un promedio ponderado de las magnitudes de la tabla E-1, es decir νm = 0.277. Como la ecuación de Steinbrenner arroja el asentamiento bajo una esquina, el área se divide entre 4, y el hundimiento calculado se multiplica por 4. Sustituyendo valores en las ecuaciones 44 y 45, con x = 1.7/2 = 0.85 m, y = 2/2 = 1 m, h = 1.2 m
mA 7783.12.1185.02/1222
7783.1185.0
2.185.0185.01ln85.0
7783.185.01
2.11185.085.0ln1
37383
277.0135.197 222222222
z
m00109.07783.12.1
185.0tan2.1
373832
277.02277.0135.197 12
z’ = 1.09 mm, z = 4(1.09) = 4.36 mm.
30
En la tabla E-2 se exhiben los resultados obtenidos con los diferentes métodos. TABLA E-2 RESULTADOS DEL EJEMPLO
Método z mm
Ley de Hooke 4.37 Schleicher 10.08 Steinbrenner 4.36 (Defsf151)
---------------------------------------- Ciudad Universitaria, D F, diciembre de 2012 REFERENCIAS Castillo, H, Análisis y Diseño Estructural, Representaciones y Servicios de Ingeniería, 1985 Denver, H, “Settlement calculation for footings on sand”, XI Int Conf Soil Mech Found Eng, vol 4: 2183-2190, San Francisco, 1985 Mayne, P W y Kulhawy, F H, Ko-OCR relationships in soil, Jour Geot Eng Div, ASCE, Vol 108, N° GT6: 851-872, junio 1982 Mendelson, A, Plasticity: Theory and Application, Krieger, 1983 Popov, E P, Introducción a la Mecánica de Sólidos, Limusa, 1968 Terzaghi, K, Theoretical Soil Mechanics, Wiley, 1943 Timoshenko, S P y Goodier, J N, Theory of Elasticity, 3ra ed, McGraw-Hill, 1970 (Mc elasticidad lineal 121201)
31
RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN EN LOS SUELOS
Agustín Deméneghi Colina* Compresión confinada En una arcilla no sensitiva, totalmente saturada, en compresión unidimensional la deformación vertical depende de la presión vertical efectiva: al aumentar ésta se acrecienta la rigidez del suelo.
Z, W
pvo'
ΔZo
x, u
DEFORMACIÓN DE UN ELEMENTO DE SUELODE ESPESOR INICIAL ΔZo
PRESIÓN INICIAL pvo' FIGURA 1
Consideremos un elemento de arcilla de espesor Δzo sometido a una presión vertical efectiva inicial pvo’ (figura 1). Apliquemos un incremento de esfuerzo σz, lo que produce una deformación vertical Δw, como se indica en la figura 2. Demos ahora un incremento diferencial de esfuerzo dσz, el cual produce un incremento diferencial de deformación d(Δw), como se ve en la figura 3.
* Profesor del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM
32
Z, W σz
pvo'
ΔW ΔW < 0
ΔZ
ΔZo
x, u
DEFORMACIÓN DE UN ELEMENTO DE SUELODE ESPESOR INICIAL ΔZo
INCREMENTO DE ESFUERZO σz FIGURA 2
d(σz)
Z, W
σz
pvo'
ΔW ΔW < 0 Δδp > 0ΔWf
d(ΔW)
ΔZoΔZ
ΔZf
x, u
DEFORMACIÓN DE UN ELEMENTO DE SUELODE ESPESOR INICIAL ΔZo
INCREMENTO DE ESFUERZO d(σz) FIGURA 3 Definimos la deformación unitaria lineal vertical de la siguiente forma (figura 3)
zwdd z
Pero (figura 3)
wzz o
33
wdzdzd o
wdzd
zzdd z
(1)
Con estos prolegómenos, podemos plantear la siguiente ecuación diferencial para el cálculo de la deformación unitaria (Juárez Badillo, 1970)
zvo
zz p
dA
d
'
1 (2)
Sustituyendo la ecuación 1 en la 2, e integrando
zf
o zvo
zz
z pd
Azzd
0 '
1
zf
o zvozz p
Az 0'ln
1ln
A
vo
zvo
o
f
pp
zz
1
'
'
Por otra parte, de la figura 3
fof wzz
o
f
o
f
zw
zz
1
oo
ff z
zz
w
1
o
A
vo
zvof z
ppw
1'
'1
(3)
De acuerdo con la convención de signos de la figura 3, el valor de Δwf dado por la ecuación 3 da siempre negativo. Para tener una magnitud positiva de la deformación del elemento, hagamos ΔδP = - Δwf
34
donde ΔδP es la deformación al término de la consolidación primaria del elemento de suelo. La expresión 3 queda
o
A
vo
zvoP z
pp
1
'
'1
(4)
El módulo de deformación A se puede obtener a partir de resultados de un ensaye de consolidación unidimensional; de la ecuación 4
o
PA
vo
zvo
zpp
1
'
'1
o
P
vo
zvo
zpp
A
1log'
'log
1
o
P
vo
zvo
z
pp
A
1log
'
'log
(5)
Tomemos dos puntos de la curva de compresibilidad, en alguno de sus tramos rectos (figura 4) pv1’ = pvo’, pv2’ = pvo’ + σz
e
e1 1
e2 2
σz
pv1' pv2' ln pv'
CURVA DE COMPRESIBILIDADDETERMINACIÓN DEL MÓDULO A
FIGURA 4
35
Entonces
o
P
v
v
z
pp
A
1log
'
'log
1
2
(6)
O bien
oo
P zee
1
e1 = eo, e2 = ef
oP zeee
1
21
1
Reemplazando en la ecuación 6
1
2
1
2
1
1log
'
'log
ee
pp
A v
v
(7)
Para fines preliminares de análisis se pueden usar las siguientes magnitudes obtenidas a partir de datos estadísticos Rama de recompresión
31027
469.3400885.116.2512.12
5.2491'
2
IPtIP
As
(8)
Rama virgen
54414
099.3500637.143.2379.28
3.757'
2
IPtIP
A
(9)
36
donde IP es el índice plástico, en porciento, y tα es una variable t de Student, cuyos valores en función del nivel de confianza α aparecen en la tabla 1. Para fines preliminares se puede usar 15% ≤ α ≤ 30%. Tabla 1. Magnitudes de la variable aleatoria tα
Nivel de confianza
α
Módulo As’ Módulo A’
% Variable aleatoria tα
2.5 1.982 1.975 5 1.659 1.654
10 1.289 1.287 15 1.041 1.040 20 0.845 0.844 25 0.677 0.676 30 0.526 0.526 40 0.254 0.254 50 0 0
Ejemplo Calcular el asentamiento al término de la consolidación primaria, bajo el centro de la losa de cimentación de la estructura, del estrato de arcilla normalmente consolidada de la figura E-1. La losa tiene 8 por 16 m en planta, y transmite al terreno un incremento de presión media de 80 kPa. El módulo de rigidez en el tramo virgen vale A’ = 9.6
NAF
Arena compacta0.6 m
Gamma = 18 kN/m3
Arcilla normalmente consolidada0.6 m
Gamma = 16 kN/m3
Roca
DEFORMACIÓN DE UNA ARCILLA NORMALMENTE CONSOLIDADA FIGURA E-1
Solución Los esfuerzos los obtenemos a la mitad del estrato de arcilla pvo = 18(0.6)+16(0.3) = 15.6 kPa uw = 9.81(0.6+0.3) = 8.829 kPa pvo’ = pvo – uw = 15.6 – 8.829 = 6.771 kPa O bien pvo’ =(18-9.81)(0.6)+(16-9.81)(0.3)= 6.771 kPa A la mitad del estrato, el incremento de esfuerzo normal vale σz = 79.61 kPa
37
Utilizamos la ecuación 4
cmmP 1414.06.0771.6
61.79771.61
6.9
1
(Memoria de cálculo 121201)
--------------------------------------------------- Deformación tridimensional Consideremos el elemento de suelo mostrado en la figura 5
Δδz
Estrato j Suelo friccionante ΔZo
(Cs Deformaciones de Suelos Figuras 120901)
DEFORMACIÓN DE UN ESTRATO DE SUELO FRICCIONANTE
FIGURA 5 El estado de esfuerzo sobre dicho elemento, debido a la obra de ingeniería, se muestra en la figura 6
38
z
dσz
σz
dσxpvo
σx
pho
dσy σy pho pho σy dσy
y
pho
σx
dσxpvo
σz
x dσz
ESTADO DE ESFUERZO EN UN ELEMENTO DE SUELO FIGURA 6
La presión promedio de confinamiento inicial vale
voohovo
co pKppp3
21
3
2
(10)
Debido a los incrementos de carga por la obra de ingeniería, el incremento de presión de confinamiento es
3yxz
cp
(11)
La presión de confinamiento final vale
ccocf ppp
Y la presión de confinamiento media
2c
cocmppp
(12)
39
La deformación del estrato j se calcula con la ley de Hooke
yxzs
zo
z
Ez
1
(13)
O bien
yxzs
oz E
z
(14)
El módulo de deformación del suelo Es es función de la presión de confinamiento pc, como se muestra en la figura 7. Es se puede calcular con la fórmula de Janbu
n
a
cmo p
pKEEs
(15)
donde 5.0n
Es
Es
pco pcm pcf pc
VARIACIÓN DEL MÓDULO ES CON LA PRESIÓN DE CONFINAMIENTO FIGURA 7
Las deformaciones que sufre el elemento de suelo se muestran en la figura 8
40
z
ΔWd(Δw) ΔWf
y
ΔZo ΔZo ΔZfΔZ
x
DEFORMACIÓN DE UN ELEMENTO DE SUELO FIGURA 8
wzz o
wdzdzd o
wdzd
Definimos la deformación unitaria de la siguiente forma (figura 8)
zzd
zwdd z
(16)
Método no lineal La deformación unitaria del suelo es función directa de los incremento de esfuerzo y función inversa de la presión de confinamiento, por lo que se puede usar la siguiente ecuación constitutiva (Deméneghi, 2010)
41
ntoConfinamie
HookedeLey
p
p
pddd
Ad s
a
yxzco
a
yxz
z
3
1
(17)
zzz
y
z
xzyxz fdaad
dd
dddddd
2111 (18)
ctedda
z
x
z
x
1 (19)
ctedd
az
y
z
y
2 (20)
213
1
3
11
3
1
3aappp zzco
z
y
z
xzco
yxzco
zcozcozzcoyxz
co cpaabbpaabbpp
212121213 (21)
La ecuación 17 queda
szco
zs
az cp
fdAp
d
1
1
Pero (ecuación 16)
zzd
zwdd z
szco
zs
a cpfd
Apzzd
1
1
zf
os
zco
zs
a
z
z cpfd
Apzzd
01
1
42
z
f
o scp
cApfz
szco
sa
zz
0
1
1 1ln
z
sa
sco
szco
o
f
cAppcpf
zz
0
1
11
exp
(22)
Pero, de acuerdo con la figura 8
fof wzz
o
f
o
f
zw
zz
1
oo
ff z
zz
w
1 (23)
Reemplazando la ecuación 22 en la 23
os
a
sco
szco
f zcAps
pcpfw
11
exp1
11 (24)
De acuerdo con la convención de signos de la figura 8, el valor de Δwf dado por la ecuación 24 da siempre negativo. Para tener una magnitud positiva de la deformación del elemento, hagamos ΔδP = - Δwf La expresión 24 queda
os
a
sco
szco
z zcAps
pcpf
1
11
1exp1
(25)
La ecuación 25 proporciona la deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo, sometido a incrementos de esfuerzo σz, σx y σy, ocasionados por una obra de ingeniería. En la práctica:
5.0s A = Am C (26) Am = 26.25 N1.125 (27)
43
2976.2ln0152.000758.1784.0exp NtC (28)
tα es una variable t de Student, cuyos valores en función de α se muestran en la tabla 2. Cabe aclarar que existe una probabilidad α de que el módulo A del suelo sea menor que el valor dado por la ecuación 26. Tabla 2. Variable aleatoria t de student
Nivel de Confianza
t
% 2.5 1.978 5 1.657
10 1.288 15 1.041 20 0.844 25 0.676 30 0.526 40 0.254 50 0
Ejemplo Calcular el asentamiento de la zapata rectangular de concreto reforzado de la figura E-2. Columna de 25 por 30 cm. Zapata de 1.7 por 2 m; espesor losa zapata = 30 cm. Profundidad de desplante = 60 cm Q’ = 630 kN Utilizar los siguientes procedimientos: a) Método no lineal, con r =0 y s = 0.5; con = 20% y = 50% b) Ley de Hooke Para el cómputo del módulo de deformación Es del suelo usar la fórmula de Denver (1985)
NCEs
donde N = número de golpes de la prueba de penetración estándar, y C = 7 MPa Considerar: (i) que el nivel de agua freática (NAF) se encuentra muy profundo, y (ii) que el NAF se encuentra al nivel de la superficie del terreno. Solución (i) NAF muy profundo (a) Método no lineal = 20%
44
y
170
25
20030
x
Distancias en centímetros630 kN Croquis sin escala
30
30
Arena limpia N = 25 golpes γ = 16 kN/m3 30Φ = 37°
Arena limosa N = 32 golpes γ = 18 kN/m3 40Φ = 39°
Limo arenoso N = 28 golpes γ = 17 kN/m3 50Φ = 38°
Roca
EJEMPLO (Cs Deformaciones de Suelos Figuras) FIGURA E-2
La determinación de los incrementos de esfuerzo se lleva a cabo usando la presión de contacto entre suelo y cimiento, que en este caso vale q = 197.35 kPa. En la tabla E-1 se exhibe el cómputo de las deformaciones de los tres estratos de suelo. Las presiones por peso propio y los incrementos de esfuerzo se obtienen a la mitad de cada estrato. Se usaron las siguientes expresiones El coeficiente Ko se calcula con la siguiente expresión (Mayne y Kulhawy, 1982) Ko = (1 – sen φ)(OCR)sen φ donde φ es el ángulo de fricción interna y OCR es la relación de preconsolidación del suelo en el campo. La relación de Poisson se obtiene = Ko / (1 + Ko)
45
Para = 20%, de la tabla 1: tα = 0.844; con este valor se calculan los módulos de rigidez A del suelo. Para el estrato 1 (ecuación 25 A 28) Am = 26.25 (25)1.125 = 981.32
5145.0976.225ln0152.000758.1844.0784.0exp 2 C
A = AmC = 981.32(0.5145) = 504.92
mz 00102.03.03.10192.504734.05.01
185.771.196734.0185.7658.0exp1
5.01
5.015.01
Se halló un asentamiento total z = 4.18 mm. Para = 50% (hundimiento promedio) se usa un procedimiento similar y se halla z = 2.15 mm. TABLA E-1. NAF MUY PROFUNDO α = 20% Estrato A pvo Ko ν pbeo σz σx σy C f Δz
kPa kPa kPa kPa kPa mm 1’ 504.92 12 0.398 0.285 7.185 196.71 117.05 119.40 0.734 0.658 1.02 2 665.95 18 0.371 0.270 10.448 180.11 53.09 47.82 0.520 0.848 1.36 3 573.39 25.85 0.384 0.278 15.240 134.84 15.81 11.33 0.400 0.944 1.80
Suma 4.18 (b) Ley de Hooke En la tabla E-2 se muestra el cálculo de las deformaciones de los tres estratos. Se usó la ecuación 14, y para encontrar Es la fórmula de Denver. Se encontró un asentamiento z = 4.37 mm. TABLA E-2 LEY DE HOOKE
Estrato ho Es σz σx σy Δz m kPa kPa kPa kPa mm
1’ 0.3 35000 196.71 117.05 119.40 1.11 2 0.4 39598 180.11 53.09 47.82 1.54 3 0.5 37040 134.84 15.81 11.33 1.72
Suma 4.37 (ii) NAF en la superficie del terreno Únicamente el método no lineal permite utilizar la presión efectiva para el cómputo de las deformaciones; en la tabla E-3 se muestran los cálculos para = 20%; se obtiene un z = 4.76 mm y para = 50% (asentamiento promedio) z = 2.46 mm. En los demás procedimientos el asentamiento sin NAF se multiplica por 1.35. TABLA E-3. NAF EN LA SUPERFICIE DEL TERRENO α = 20% Es-trato
A pvo’ Ko ν pbeo σz σx σy C f Δz
kPa kPa kPa kPa kPa mm 1’ 504.92 4.642 0.398 0.285 2.780 196.71 117.05 119.40 0.734 0.658 1.10 2 665.95 7.209 0.371 0.270 4.184 180.11 53.09 47.82 0.520 0.848 1.52 3 573.39 10.644 0.384 0.278 6.276 134.84 15.81 11.33 0.400 0.944 2.14
Suma 4.76
46
En la tabla E-4 se exhiben los resultados obtenidos con los diferentes métodos. TABLA E-4 RESULTADOS DEL EJEMPLO
NAF muy profundo
NAF en la superficie del terreno
Método z z mm mm
No lineal α = 50% 2.15 2.46 α = 20% 4.18 4.76 Ley de Hooke 4.37 5.90 (Defsf151)
----------------------------------------
REFERENCIAS Deméneghi, A, “Cálculo de asentamientos en arenas”, Revista de la Soc Mex Mec Suelos, 2003 Denver, H, “Settlement calculation for footings on sand”, XI Int Conf Soil Mech Found Eng, vol 4: 2183-2190, San Francisco, 1985 Juárez Badillo, E y Rico, A, Mecánica de Suelos, tomo I, Limusa, 1976 Mayne, P W y Kulhawy, F H, “Ko-OCR relationships in soil”, Jour Geot Eng Div, ASCE, Vol 108, N° GT6: 851-872, junio 1982 (Relaciones esfuerzo-deformación en los suelos)
47
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO TEORÍAS DE FALLA Y RUPTURA
Agustín Deméneghi Colina* PLASTICIDAD En los metales la plasticidad se manifiesta como se indica en la figura 1. El punto P es el límite de proporcionalidad, donde termina la línea recta, mientras que el límite elástico EL es el máximo esfuerzo antes del cual la deformación es recuperable. En la teoría se supone que los límites de proporcionalidad y elástico coinciden.
El esfuerzo de fluencia o se define como se indica en la figura 1 (punto O): a partir del punto M usualmente o = 0.002, (0.2%) se traza una recta paralela a la recta del tramo elástico; el punto donde esta paralela corta a la curva esfuerzo-deformación unitaria será el punto O y el esfuerzo correspondiente a este punto se denomina o (esfuerzo de fluencia). Debido a que las trayectorias de carga y descarga no siguen necesariamente la trayectoria inicial AOB, cuando ocurre una deformación plástica el esfuerzo es una función que depende de la historia de la deformación. Por ejemplo, los puntos R y R’ de la figura 1 tienen la misma deformación pero diferentes esfuerzos (Malvern, 1969).
* Profesor del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM
48
En la figura 2 se muestran curvas esfuerzo-deformación unitarias para distintos metales, mientras que en la figura 3 se exhiben curvas idealizadas que se emplean en diversas teorías (Malvern, 1969).
49
Efecto Bauschinger. La figura 4 muestra resultados de pruebas de tensión y de compresión axial en un metal. Si a partir del esfuerzo Y1 se reduce el esfuerzo, el esfuerzo de fluencia en compresión - YR no es igual a -Y1, ni siquiera Yo, sino un valor bastante menor, como se indica en la figura 4. A este fenómeno se le conoce como efecto Bauschinger.
CRITERIOS DE FLUENCIA En el inciso anterior vimos el comportamiento de los metales bajo en estado de esfuerzo uniaxial. Sin embargo, con frecuencia se presentan en los metales esfuerzos combinados, por ejemplo, se puede presentar un estado de esfuerzo biaxial x 0, y 0, o bien un estado de esfuerzo triaxial x 0, y 0, z 0. En estas condiciones, se requiere conocer el estado de fluencia del material para estos esfuerzos combinados. Dos de los criterios cuyas estimaciones se acercan razonablemente a los datos experimentales, son el de Tresca y el de Von Mises, los cuales se verán a continuación. Teoría del máximo esfuerzo cortante (criterio de Tresca) La teoría del esfuerzo cortante máximo parte de la observación de que en un material dúctil aparecen deslizamientos durante la fluencia a lo largo de planos definidamente orientados. Por esta razón, se supone que la fluencia del material depende únicamente del máximo esfuerzo cortante que se presenta en un elemento. Por lo tanto, siempre que se alcanza cierto valor cr se inicia la fluencia de un elemento (Popov, 1980). Para un material dado, por lo común este valor es igual al esfuerzo cortante de fluencia en tensión o compresión simple. Si x = 1 0 y y = xy = 0, entonces max =cr = 1/2 = o/2 (1) donde o es el esfuerzo de fluencia del material en una prueba de tensión o compresión simple.
50
Para aplicar el criterio del esfuerzo cortante máximo a un estado de esfuerzo biaxial, se determina dicho esfuerzo cortante y se iguala al max dado por la ecuación 1 (Popov, 1980). Sea el estado de esfuerzo plano indicado en la figura 5; consideremos además que xy = 0.
σy
σx σx
τxy = 0
σy
ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZOS NORMALES FIGURA 5
51
Distinguimos los siguientes casos: a) Si x > y > 0 (figura 6a), max = (x - z)/2 = x/2 Pero max = o/2, x = o
τ
τmax
O σy σx σ
a) σx > σy > 0
τ
τmax
σy σx O σ
b) σy < σx < 0
CÍRCULOS DE MOHR FIGURA 6
b) Si y > x > 0, max = (y - z)/2 = y/2 Pero max = o/2, y = o c) Si y < x < 0 (figura 6b), max = -(y - z)/2 = -y/2 Pero max = o/2, y = -o d) Si x < y < 0 , max = -(x - z)/2 = -x/2 Pero max = o/2, x = -o
52
e) Si x > 0, y < 0 (figura 7), max = (x - y)/2 x = y + 2max = y + o
τ
τmax
σy O σx σ
CÍRCULO DE MOHR FIGURA 7
f) Si y > 0, x < 0, max = (y - x)/2 y = x + 2max = x + o Si ahora graficamos los 6 casos anteriores como se indica en la figura 8, obtenemos el hexágono mostrado en dicha figura. Por lo tanto, si aplicamos un estado de esfuerzo plano como el de la figura 5 (con xy = 0), y dicho estado cae dentro del hexágono, no se presenta fluencia del material. Por el contrario, si se alcanza el perímetro del hexágono, ocurrirá la fluencia del material.
σy
(b)
Línea de σofluencia
(a)(f)
Zona
-σo σoσx
elástica
(d) (e)
-σo
(c)
PERÍMETRO DE FLUENCIA(Mcplast4f) FIGURA 8
53
Teoría de la energía de distorsión (criterio de Von Mises) a) Energía de deformación Consideremos una barra prismática, a la que se aplica una carga P gradualmente, sufriendo la barra una deformación (figura 9). Aceptando que se cumple la ley de Hooke, la deformación es proporcional a la fuerza (figura 10). El trabajo desarrollado debido a un incremento de deformación vale dU = P d
L δ
P A
BARRA SUJETA A UNA FUERZA AXIAL PFIGURA 9
P
dδ
δ
TRABAJO DE DEFORMACIÓNFIGURA 10
Pero, por la ley de Hooke = (L/AE) P (2)
P
U = (L/AE) o P dP = (L/AE) P2/2 (3) Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 3 U = P/2 (4) Vemos que el trabajo o energía de deformación, cuando la carga se aplica gradualmente, es igual a la mitad del producto de la fuerza por la deformación de la barra.
54
La energía de deformación se puede poner en función de los esfuerzos (Castillo, 1985) P = A; = L Sustituyendo en la ecuación 4 U = ( A L)/2 Pero Vol = A L U = [( )/2] (Vol) (5) El trabajo de deformación por unidad de volumen es U’ = U/Vol = [( )/2] (6) Si ahora sometemos a un elemento a esfuerzos normales x, y y z, aplicando la ecuación 6 y por el principio de superposición de causas y efectos, obtenemos el trabajo de deformación por unidad de volumen U’ = (xx + yy + zz) / 2 (7) Hallemos a continuación el trabajo de deformación producido por esfuerzo cortante (figura 11). El trabajo de la fuerza xydxdz vale U = xydxdz xydy / 2 = xyxy dxdydz/2
y y'
δ
τyx
τxyγxy
dy Px
τxy
τyx
dx(Mmcelastf)
TRABAJO DE DEFORMACIÓN POR ESFUERZO CORTANTEFIGURA 11
Y el trabajo por unidad de volumen U’ = xyxy/2
55
Tomando simultáneamente los esfuerzos cortantes xy, xz y yz U’ = (xyxy + xzxz +yzyz)/2 (8) Por lo anterior, el trabajo o energía de deformación por unidad de volumen, cuando las cargas se aplican gradualmente, para un estado general de esfuerzo, está dado por la suma de las ecuaciones 7 y 8, es decir (Castillo, 1985) U’ = (xx+yy+zz+xyxy+xzxz+yzyz)/2 (9) Sustituyendo las expresiones de la ley de Hooke generalizada x = (1/E) [x - (y + z)] y = (1/E) [y - (x + y)] z = (1/E) [z - (x + y)] xy = (1/G)xy
xz = (1/G)xz
yz = (1/G)yz
en la ecuación 9 U’ = (1/2E)(x
2+y2+z
2) -(/E)(xy+xz+yz)+(1/2G)(xy
2+xz2+yz
2) (10) La teoría de fluencia de Von Mises establece que la fluencia de un metal ocurre cuando la energía de deformación por distorsión en un estado general de esfuerzo iguala a la energía de deformación por distorsión en una prueba de tensión simple (Mendelson, 1983). El trabajo de deformación está dado por U’ = Um’ + Ud’ donde Um’ = trabajo de deformación producido por el tensor isotrópico Ud’ = trabajo de deformación producido por el tensor desviador Ud’ = U’ – Um’ (11) Consideremos un estado de esfuerzo en que únicamente se aplican esfuerzos normales x 0, y 0, z 0, xy = xz = yz = 0. De acuerdo con la ecuación 10, la energía de deformación vale (Popov, 1968) U’ = (1/2E) (x
2+y2+z
2) – (/E) (xy+xz+yz) (12) El trabajo de deformación producido por el tensor isotrópico está dado por Um’ = [(1-2)/6E] (x+y+z)
2 (13) Reemplazando las ecuaciones 12 y 13 en la ecuación 11 Ud’ = [(1+)/3E] [(x
2+y2+z
2) - (xy+xz+yz)] Pero G = E/2(1+), por lo tanto Ud’ = (1/6G) [(x
2+y2+z
2) - (xy+xz+yz)] (14)
56
Es decir Ud’ = (1/12G) [(x-y)
2+ (x-z)2 + (y-z)
2] (15) b) Criterio de Von Mises Como mencionamos antes, la teoría de fluencia de Von Mises establece que la fluencia de un metal ocurre cuando la energía de deformación por distorsión en un estado general de esfuerzo iguala a la energía de deformación por distorsión en una prueba de tensión simple. En un ensaye de tensión simple y = z = xy = xz = yz = 0 x = o donde o = esfuerzo de fluencia en tensión simple Sustituyendo en la ecuación 15 Ud’ = (1/12G) (2o
2) = (1/6G) o2 (16)
El estado de fluencia se alcanza cuando se igualan las ecuaciones 15 y 16 [(x-y)
2+ (x-z)2 + (y-z)
2] = 2o2 (17)
Una combinación de esfuerzos x, y y z tal que se satisfaga la ecuación 17, conduce a la fluencia del metal sometido a dichos esfuerzos. En un estado de esfuerzo plano z = 0. Reemplazando en la ecuación 17 x
2 - xy + y2 = o
2 (18) la cual es la ecuación de una elipse (figura 12; Mendelson, 1983).
57
En la figura 13 se muestran resultados de ensayes para diferentes materiales, y se comparan con los criterios de Tresca y Von Mises (Popov, 1980).
TEORÍA DE LAS LÍNEAS DE DESLIZAMIENTO Consideremos que sobre un elemento se aplican los esfuerzos indicados en la figura 14, donde x = -y = c, xy = 0, z = 0. (Se presenta un estado de esfuerzo cortante puro en planos inclinados a 45º con respecto a la horizontal). El máximo esfuerzo cortante vale (figura 15) max = c = (x - y)/2
58
σy
σx σx
σy
ELEMENTO SOMETIDO A ESFUERZOS NORMALES FIGURA 14
σy
τmax = c
σy O σx σx
CÍRCULO DE MOHR(Mcplast4f) FIGURA 15
La energía de distorsión la hallamos reemplazando el estado de esfuerzo de la figura 14 en la ecuación 15 Ud’ = (1/12G) [(2c)2 + 2c2] = c2/2G (19) Para un estado de esfuerzo x 0, y 0, z 0, xy = xz = yz = 0, la fluencia del material, según el criterio de Von Mises, se alcanza cuando se igualan las ecuaciones 15 y 19, es decir (1/6)[(x-y)
2 + (x-z)2 + (y-z)
2] = c2 (20) La ecuación 20 se puede poner en función de los esfuerzos principales de la siguiente forma (1/6)(1-2)
2 + (1-3)2 + (2-3)
2 = c2 (21) donde ahora las direcciones principales no coinciden necesariamente con las direcciones de los ejes x, y y z.
59
La ecuación 21 representa el criterio de fluencia de Von Mises para cortante puro, en función de los esfuerzos principales. Para el desarrollo de la teoría de las líneas de deslizamiento vamos a considerar: (1) un estado de deformación plana, (2) un material incompresible (es decir, = 0.5), y (3) que éste exhibe un comportamiento rígido-plástico. A partir de estas condiciones obtenemos: z = 0 y z = (1/2) (x + y). Por lo anterior, los esfuerzos principales están dados por 1 = (x + y)/2 + (x - y)/2
2 + xy2
2 = z = (1/2) (x + y) (22) 3 = (x + y)/2 - (x - y)/2
2 + xy2
Sustituyendo en la ecuación 21 (x - y)/2
2 + xy2 = c2 (23)
Por otro lado, se deben satisfacer las siguientes ecuaciones de equilibrio x/x + xy/y = 0 (24) y/y + xy/x = 0 (25) Pongamos los esfuerzos principales en función de m y de c (Mendelson, 1983). De las ecuaciones 22 1 = m + c 2 = m 3 = m - c Siendo m = (x + y)/2 c = (x - y)/2
2 + xy2
Designemos por el ángulo que forma la dirección principal con el eje x; entonces* tan 2 = 2xy/(x - y) * El esfuerzo normal en la dirección del ángulo está dado por = (x + y) + (x - y) cos 2 / 2 + xy sen 2 Para hallar la dirección del máximo esfuerzo derivamos con respecto a e igualamos a cero: d/d = (x - y) (- sen 2) 2 / 2 + xy (cos 2) 2 = 0 Por lo tanto tan 2 = 2 xy / (x -y) Los esfuerzos cortantes máximo y mínimo valen max = (1/2) (1 - 3)
60
Designaremos con y a las direcciones de los esfuerzos cortantes máximo y mínimo. Si trazamos curvas en el plano xy de tal forma que en cada punto de una curva la tangente coincida con una de las direcciones de máximo cortante, entonces se obtienen dos familias de curvas denominadas líneas de cortante o líneas de deslizamiento. Estas dos familias son ortogonales entre sí. Expresemos los esfuerzos x, y y xy en términos de m y de (figura 16) x = m - c sen 2 y = m + c sen 2 (26) xy = c cos 2
Reemplazando las ecuaciones 26 en las ecuaciones 24 y 25, y recordando que df/dx = (f/)(/x) m/x - 2c cos 2 (/x) + sen 2 (/y) = 0 m/y + 2c cos 2 (/y) - sen 2 (/x) = 0 Sea = m/2c Entonces /x - cos 2 (/x) - sen 2 (/y) = 0 (27) /y - sen 2 (/x) + cos 2 (/y) = 0 La elección de los ejes x y y es arbitraria. Si escogemos los ejes x y y en un punto dado de tal forma que coincidan con las direcciones y del punto, entonces = 0, y las ecuaciones 27 quedan
61
/ - / = 0 (/) ( - ) = 0 / + / = 0 (/) ( + ) = 0 Integrando - = C1 (a lo largo de una curva ) (28) + = C2 (a lo largo de una curva ) donde C1 y C2 son constantes. A las ecuaciones 28 se les conoce como ecuaciones de Hencky. Propiedades de las líneas de deslizamiento A partir de la figura 17 podemos hallar algunas propiedades de las líneas de deslizamiento. A lo largo de la línea AD (línea ): A - A = D - D
A lo largo de la línea CD (línea ): D + D = C + C , C + C = D + D C - A = 2D - C - A (29) A lo largo de la línea AB: A + A = B + B A lo largo de la línea BC: C - C = B - B C - A = C - 2B + A (30) Comparando las ecuaciones 29 y 30
62
D - A = C - B (31) De la ecuación 31 se deriva la siguiente propiedad: a) Si una línea de deslizamiento es una recta entre dos líneas , entonces todas las líneas son rectas entre estas dos líneas . Además, estos segmentos de recta tienen la misma longitud. De las ecuaciones de Hencky (ecuaciones 28) se obtiene otra propiedad importante: b) Si el estado de esfuerzo es constante a lo largo de una curva, entonces o bien la curva está embebida en un campo de esfuerzo contante o bien la curva es una línea recta de deslizamiento. Consideremos dos familias de líneas de deslizamiento como las indicadas en la figura 18. De la primera ecuación de Hencky, dado que es constante a lo largo de una línea , debe ser también constante a lo largo de dicha línea, y, de la segunda ecuación, dado que varía linealmente con el ángulo a lo largo de una línea , debe variar linealmente con el ángulo a lo largo de dicha línea. Así, el esfuerzo medio es constante en la dirección radial y varía linealmente con el ángulo (medido a partir del eje x).
Capacidad de carga de un material cohesivo Este problema fue resuelto inicialmente por Prandtl. Consideremos una carga uniforme q que se aplica sobre un medio semiinfinito (figura 19); supongamos que el contacto entre la carga y el medio es perfectamente liso, es decir, no se presentan esfuerzos cortantes en dicho contacto.
63
Consideraremos sólo la condición de flujo plástico incipiente. Por condición de frontera en el segmento de recta AG: y = xy = 0 Por la condición de fluencia (x - y)/2
2 + xy2 = c2
se sigue que x = 2c Intuitivamente se siente que x debe ser de compresión y por lo tanto suponemos que x = -2c (en AG) Dado que el esfuerzo cortante es nulo, AG es una dirección principal y las líneas de deslizamiento deben quedar a 45 con AG. Las líneas forman 45 y las líneas 135 con AG (figura 19). Consideremos la región triangular AGF limitada por la recta AG y por las líneas de deslizamiento AF y GF. Por la propiedad (b) ésta es una región de esfuerzo constante. El esfuerzo medio es constante y debe satisfacer las ecuaciones de Hencky en esta área; así = m / 2c = x / 4c = - ½ Por lo tanto = - ½ y = /4 en la región AGF. Observemos ahora la frontera AB: y = - q y xy = 0 a lo largo de AB. Por lo tanto (x - y)/2
2 = c2 y x = y 2c = - q + 2c De la condición de frontera, en el área AEB = (x + y)/4c = - q + 2c + (- q) / 4c = (c-q)/2c
64
= (3/4) AF y AE son líneas rectas de deslizamiento y se sigue de la propiedad (a) que todas las líneas de fluencia entre estas dos son líneas rectas. Los esfuerzos son entonces constantes a lo largo de cada línea radial de A hacia el arco FE, y varían linealmente a lo largo de cada arco -como el IJ- de los valores = - ½ a lo largo de AF a = (c - q)/2c a lo largo de AE Ahora estamos en condiciones de obtener la capacidad de carga q. La línea AF es una línea y la línea HIJK es una línea . De acuerdo con la segunda ecuación de Hencky + = cte A lo largo de HI = - ½ y = /4 A lo largo de JK = (c - q)/2c y = (3/4) Por lo tanto - ½ + /4 = (c - q)/2c + (3/4) y q = (2 + ) c (32) La ecuación 32 da la capacidad de carga última de un material puramente cohesivo. ESTADO CRÍTICO EN MECÁNICA DE SUELOS Diagrama p-q Sea una prueba de compresión triaxial como la mostrada en la figura 20. Definamos la presión de confinamiento p de la siguiente forma 1 + 2 + 3 p = (33) 3
65
σ1
σ3
σ2 σ2
σ3
σ1
ESFUERZOS EN UNA PRUEBA DE COMPRESIÓN TRIAXIAL FIGURA 20
El esfuerzo desviador q se define como q = 1 - 3 (34) Si, como es común en una prueba triaxial convencional, que 2 = 3, entonces la presión de confinamiento es 1 + 2 3 p = (35) 3 1 + 2 3 1 - 3 + 3 3 p = =
3 3 p = q/3 + 3 (36) Es decir q = 3 p - 3 3 (37) Observamos que el esfuerzo desviador q está dado en función de p por una recta de pendiente 3 y de ordenada al origen - 3 3. Consideremos una prueba de compresión triaxial como la indicada en la figura 21. [En dirección perpendicular al plano de la figura actúa en la primera etapa (etapa a) un esfuerzo normal 2 = 3.] En la primera etapa, usando las ecuaciones 34 y 35 q = 0
66
3 + 2 3 p = = 3 3
Sigma3 Sigma1-Sigma3 Sigma1
Sigma3 Sigma3 + = Sigma3 Sigma3
Sigma3 Sigma1-Sigma3 Sigma1
Primera etapa Segunda etapaEtapa (a) Etapa (b)
ETAPAS EN UNA PRUEBA DE COMPRESIÓN TRIAXIAL FIGURA 21
El estado de esfuerzo en la primera etapa queda representado por el punto A en el diagrama p-q de la figura 21. Al aplicar al espécimen el esfuerzo desviador durante la segunda etapa se llega al punto B, que representa la falla del suelo. Como señalamos antes, la trayectoria de esfuerzo durante la prueba triaxial está dada por una recta de pendiente 3 (ecuación 37; figura 22). Se define el volumen específico de la siguiente forma Vm v = (38) Vs
Vv + Vs v = = 1 + e (39) Vs El volumen específico v mide la variación del volumen de la probeta en la prueba triaxial.
67
q
B (falla)
3
1
A p
- 3 Sigma3
TRAYECTORIA DE ESFUERZOSDIAGRAMA p-q
FIGURA 22 Consideremos un elemento de arcilla normalmente consolidada. Sometamos a este elemento a una presión isótropa p; la arcilla se consolida a lo largo de la rama virgen NCL (normal consolidation line; figura 23b). Continuemos consolidando el suelo hasta alcanzar la presión pC y luego reduzcamos ésta hasta la presión pB. Definimos la relación de preconsolidación Ro de la siguiente forma
B
Co p
pR (40)
Sea Ro menor que 2 (figura 23). Apliquemos ahora un esfuerzo desviador q (figura 23c), hasta alcanzar la línea de cedencia en el punto D (figura 23a). En el tramo de B a D el suelo queda dentro de la zona elástica. Esfuerzos desviadores mayores que el del punto D ocasionan en el suelo deformaciones elastoplásticas, hasta que se llega al estado crítico (punto E de la línea CSL, critical state line; figura 23a).
68
FIGURA 23
La variación de volumen del suelo se muestra en la figura 23b: de C a B el suelo se mueve a lo largo de la línea URL; de B a D se desplaza también a lo largo de esta línea. Al salir de la zona elástica, de D a E, abandona la línea URL y se dirige a la línea CRL, hasta que alcanza el estado crítico en el punto E.
69
Sea ahora una arcilla fuertemente preconsolidada, con Ro > 2. La presión pC la reducimos hasta pB (figura 24b). Aplicamos ahora un esfuerzo desviador q de pB hasta alcanzar la línea de cedencia (punto D; figura 24a y c), donde se alcanza la resistencia máxima (figura 24c). A partir de D, la resistencia disminuye hasta la resistencia última o resistencia crítica (punto E).
FIGURA 24 La variación de volumen se exhibe en la figura 24b. De B a D el suelo se mueve en la línea URL, pero después de la resistencia máxima (punto D), el suelo se desplaza hacia la CSL (hacia arriba), es decir, el suelo aumenta de volumen después de la falla. Ciudad Universitaria, D F, diciembre de 2012
70
REFERENCIAS Castillo, H, Análisis y Diseño Estructural, Representaciones y Servicios de Ingeniería, 1985 Deméneghi, A, Magaña, R y Sanginés, H, Apuntes de Mecánica del Medio Continuo, Facultad de Ingeniería, UNAM, 2000 Malvern, L E, Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice-Hall, 1969 Mendelson, A, Plasticity: Theory and Application, Krieger, 1983 Popov, E P, Introducción a la Mecánica de Sólidos, Limusa, 1980 (Mc teorías de falla y ruptura)
71
ANEXO 1 ROTACIÓN DE UN SISTEMA COORDENADO EN EL PLANO
Consideremos que el sistema coordenado xy de la figura 1 gira un ángulo , dando lugar a un nuevo sistema coordenado x’y’. Obtengamos las coordenadas x y y en función de las coordenas x’ y y’. De la figura 1 x = OA = R cos ( + ) (1) y = AP = R sen ( + ) (2) x’ = OA’ = R cos y’ = A’P = R sen Sustituyendo en la ecuación 1 x = x’ cos - y’ sen (3) Sustituyendo en la ecuación 2 y = x’ sen + y’ cos (4) y' y
θ
PR
Φ x'
A' θx
O A
FIGURA 1 (Mcrotejes)
72
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO VISCOSIDAD
Agustín Deméneghi Colina* EL FENÓMENO DE CONSOLIDACIÓN EN ARCILLAS SENSITIVAS La deformación a largo plazo de un estrato de arcilla sensitiva se obtiene con la siguiente expresión
StPtt (1)
donde ΔδPt = deformación por consolidación primaria y ΔδSt = deformación por consolidación secundaria. La deformación por consolidación primaria se calcula
UPtP (2)
siendo ΔδP la deformación al término de la consolidación primaria y U el grado de consolidación (tabla 1); U a su vez es función del factor tiempo T, que vale
2e
v
ztcT
(3)
Tabla 1. Relación teórica U-T
U(%) T
0 0 10 0.008 15 0.018 20 0.031 25 0.049 30 0.071 35 0.096 40 0.126 45 0.159 50 0.197 55 0.238 60 0.287 65 0.342 70 0.405 75 0.477 80 0.565 85 0.684 90 0.848 95 1.127
100 ≈ 2.0 (Tomada de Juárez Badillo y Rico, 1976)
* Profesor del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM
73
cv = coeficiente de consolidación, Δze = espesor efectivo de drenaje del estrato y t = tiempo después de aplicada la carga al estrato En el siguiente inciso veremos la forma de valuar la compresión por consolidación secundaria. CONSOLIDACIÓN SECUNDARIA Consideremos el modelo de viscosidad intergranular de la figura 1 (unidad Z; Zeevaert, 1986), que consiste en un amortiguador N con coeficiente de fluidez ΦN y otro amortiguador 2 cuya fluidez disminuye con el tiempo. En el amortiguador N
NNN
(4)
En el amortiguador 2
22 tb
a
(5)
σz
N 2
σz Figura 1. Modelo de viscosidad intergranular. Unidad Z (Zeevaert, 1986) Por equilibrio z = N + 2 (6)
74
Como los amortiguadores están en paralelo
2
NSt (7)
Sustituyendo en la ecuación 6
21
a
tbN
Nz
StN
z atb
1
z
N
St
tbaa
(8)
Considerando z = constante, integramos la ecuación 8
t
NzSt
atba0
ln
N
NzSt ab
atba ln (9)
En el modelo de Newton, de acuerdo con las ecuaciones 4 y 8
z
N
NSt
NN
tba
a
1
Para t = 0 → N = z, de donde b = 0 Reemplazando en la ecuación 9
N
NzSt a
ata ln (10)
Por otra parte ln x = 2.31 log10 x = 2.31 log x Tomando en cuenta un gran número de modelos Z en serie
75
t
aa N
zSt 1log31.2 (11)
Pero
o
StSt z
Por lo tanto
t
aza N
ozSt 1log31.2 (12)
O bien
t
aC N
tSt 1log (13)
siendo
ozt zaC 31.2 (14)
La ecuación 13 la podemos poner de la siguiente forma
t
Cz
zC
aC
v
e
e
vNtSt
2
21log
Pero (ecuación 3)
2e
v
ztCT
T
Cz
aC
v
eNtSt
2
1log
TCtSt 1log (15)
donde
v
eN
Cz
a
2 (16)
NN = fluidez del agua de los macroporos, en todo el elemento
aa = fluidez del agua de los microporos, en todo el elemento
76
Definimos además los módulos de deformación
vP
ozP m
zE 1
(17)
mv = coeficiente de compresibilidad volumétrica en consolidación primaria
tt
ozcs mC
zE 1
(18)
mt = coeficiente de compresibilidad volumétrica en consolidación secundaria De las expresiones anteriores despejamos ΔδP y Ct
P
ozP E
z (19)
cs
ozt E
zC
(20)
En función del tipo de curva, las propiedades de deformación cv, ξ, EP y Ecs se obtienen a partir de los resultados de pruebas de consolidación unidimensional practicadas en muestras inalteradas obtenidas del estrato de arcilla sensitiva. Ya con estas propiedades, la deformación del estrato de suelo en el campo se calcular usando la ecuación 1. O bien, reemplazando las ecuaciones 2, 15, 19 y 20 en la ecuación 1
TCU tPt 1log (21)
T
EzU
Ez
cs
oz
P
ozt
1log (22)
En los siguientes incisos veremos la forma de determinar las propiedades de deformación para curvas tipo I, tipo II y para suelos con cavidades. CURVA DE CONSOLIDACIÓN TIPO I La obtención de propiedades mecánicas de curvas tipo I es como sigue. Sea una curva tipo I (figura 2); en esta clase de curvas el módulo ξ = 5 (Zeevaert, 1986). En la curva de consolidación se toman dos puntos para tiempos grandes. En la recta de consolidación secundaria, usando la ecuación 21
1
212 1
1log
TTCttt
77
1
2
1
212 loglog
ttC
TTC tttt (23)
1
2
12
logtt
C ttt
(24)
Figura 2. Curva de consolidación tipo I Por otra parte, para U = 100%, T ≈ 2 Sea ΔδB = deformación correspondiente al 100% de consolidación primaria. Reemplazando en la ecuación 21
251log tPB C
tBP C04.1 (25)
Ep se obtiene de la ecuación 17
vP
ozP m
zE 1
(26)
Para U = 50%, T = 0.197
1972.051log250
t
P C
tP C298.0
250
(27)
t (log)tB
BB
des
plaz
amie
nto
78
Para U = 50%, T = 0.197; sustituyendo en la ecuación 3
50
2197.0
tzC e
v
(28)
t50 lo medimos directamente en la curva de consolidación con Δδ50. Ejemplo Sea la curva de consolidación de la figura E-1 (Zeevaert, 1973), para la cual: pvo’ = 0.8 kg/cm2, z = 0.3 kg/cm2, zo = 1.675 cm. Determinar las propiedades Ap, Acs y cv. Figura E-1. Curva de consolidación. Ejemplo Solución En la curva de la figura E-1 medimos ΔδB = 0.0185 cm tB = 750 s Δδt1 = 0.025 cm, t1 = 17 000 s Δδt2 = 0.028 cm, t2 = 80 000 s Reemplazando en las ecuaciones 24 y 18
cmCt 00446.0
17000
80000log
025.0028.0
2/67.11200446.0
675.13.0 cmkgEcs
Reemplazamos en las ecuaciones 25 y 26 ΔδP = 0.0185 – 1.04(0.00446) = 0.01386 cm
2/26.3601386.0
675.13.0 cmkgEP
Sustituyendo en la ecuación 20 Δδ50 = 0.00693 + 0.298(0.00446) = 0.00826 cm En la curva de consolidación medimos: t50 = 130 s. Reemplazamos en la ecuación 21
1t (s)
10 100 1000 10000 100000
100
200
300
79
scmcv /001063.0130
8375.0197.0 22
Ejemplo Para el cajón de cimentación mostrado en la figura E-2, calcular los asentamientos diferidos a 6 meses y a un año, después de construido el inmueble, debidos a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva.
NAF 1 m2 m Excavación
Limo arenoso1 m Gamma sat = 19 kN/m3 20 m
q = 70 kPa
Cv = 0.00106 cm2/s Arcilla sensitiva3 m Ap = 57.3 Gamma sat = 14 kN/m3
Acs = 110.6ξ = 5 10 m
Arena compactaPLANTA DEL EDIFICIO
Figura E-2. Estratigrafía y propiedades. Ejemplo Solución El incremento neto de carga vale: qn = 70 – 19(2) = 32 kPa. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.607 kPa Usamos la ecuación 22
TE
zUE
z
cs
oz
P
ozt
1log
Tiempo igual a 6 meses t = 6 meses = 6(30)(86400) = 15 552 000 s Utilizamos la ecuación 3
7327.0150
1555200000106.02 T
U = 86.5%
mt 0194.000555.001386.07327.051log11060
3607.30865.0
5730
3607.30
Tiempo igual a un año: t = 365.25(86400) = 31 557 600 s
487.1150
31555760000106.02 T
80
U = 100% (tabla 1) Sustituimos en la ecuación 22
mt 0237.000769.001602.0487.151log11060
3607.301
5730
3607.30
CURVA DE CONSOLIDACIÓN TIPO II La obtención de propiedades mecánicas de curvas tipo II es como sigue. Sea una curva tipo II (figura 3) Figura 3. Curva de consolidación tipo II Primeramente hallamos la deformación Ct con la expresión 24
1
2
12
logtt
C ttt
(29)
La ecuación 21 se puede poner
TCU tPt 1log (21)
t
zcCUe
vtPt 21log
tB
BB
des
plaz
amie
nto
CURVA TIPO IIt (log)
81
v
etPt
cztCU
2
1log
IItPt
tCU
1log (30)
siendo
v
eII c
z
2
(31)
Sea el punto (tB, B) el punto donde termina la consolidación primaria (U =1), y (tF, F) el punto correspondiente al máximo tiempo medido. Entonces
II
B
II
F
tBF t
t
C
1
1log
BII
FIItBF t
tC
log
Despejamos τII
110
10
t
BF
t
BF
C
CBF
II
tt
(32)
Calculamos ΔδP con la ecuación 30, usando las coordenadas del punto B
II
BtPB
tC
1log
II
BtBP
tC
1log (33)
Como una primera aproximación, con ΔδP/2, (U = 50%), medimos t50 en la curva de consolidación; calculamos cv despejándolo de la ecuación 3 y ξ despejándolo de la ecuación 31
50
2
50
2 197.0
tz
tzTc ee
v
(34)
82
vII
e
cz
2 (35)
Ahora
197.01log250 tP C (36)
La ecuación 36 se aplica repetidamente para medir t50 en la curva de consolidación, calculando cv y ξ hasta que la magnitud de 50 no cambie entre dos iteraciones sucesivas. Ejemplo Obtener las propiedades de deformación de la arcilla sensitiva tipo II de la figura E-3 (Zeevaert, 1986); pvo’ = 0.5 kg/cm2, σz = 0.5 kg/cm2, zo = 2.086 cm.
10 10²
Def
orm
ació
n (
m)
Tiempo, s
10³ 10 4 10 5
0
50
100
150
200
tB=500sec
B=98
Figura E-3. Curva de consolidación tipo II (Zeevaert, 1986) Solución En la curva de la figura E-3 medimos δB = 98 μm = 0.098 mm = 0.0098 cm tB = 500 s δt1 = 0.0130 cm, t1 = 15 100 s δt2 = δF =0.0153 cm, t2 = tF = 100 000 s Sustituimos en las ecuaciones 29, 18 y 32
cmCt 0028.0
15100
100000log
0130.00153.0
tt
ozcs mC
zE 1
83
25.3720028.0
086.25.0
cmkgEcs
110
10
t
BF
t
BF
C
CBF
II
tt
sII 592
110
10500100000
0028.0
0098.00153.0
0028.0
0098.00153.0
Calculamos ΔδP con la ecuación 33
II
BtBP
tC
1log
cm
P
009056.0
592
5001log0028.00098.0
y EP con la igualdad 17
vP
ozP m
zE 1
217.115
009056.0
086.25.0
cmkgEP
Como una primera aproximación, con ΔδP/2 = 0.004528 cm, en la figura E-3 medimos: t50 = 38 s. Reemplazando en las expresiones 34 y 35
50
2
50
2 197.0
tz
tzTc ee
v
s
cmcv
22
00564.038
043.1197.0
vII
e
cz
2
3242.0
00564.0592
043.1 2
Ahora (ecuación 36)
84
cm004603.0
3242.0197.01log0028.02
009056.050
Volvemos a la curva de consolidación y medimos t50 = 40 s
s
cmcv
22
005358.040
043.1197.0
343.0
005358.0592
043.1 2
Sustituyendo en la ecuación 36
197.01log250
t
P C
cm004608.0
343.0197.01log0028.02
009056.050
cmcm 004603.0004608.050
Por lo tanto, las propiedades de deformación son: Ep = 115.17 kg/cm2, Ecs = 372.5 kg/cm2, cv = 0.005358 cm2/2, ξ = 0.343. O bien: mv = 1/EP = 8.68x10-3 cm2/kg, mt = 1/Ecs = 2.68x10-3 cm2/kg. Ejemplo Para el cajón de cimentación mostrado en la figura E-4, calcular los asentamientos diferidos a 6 meses y a un año, después de construido el inmueble, debidos a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva.
85
NAF 1 m
2 m Excavación
Limo arenoso1 m Gamma sat = 19 kN/m3
cv = 0.00108 cm2/s Arcilla sensitivaEp = 6520 kPa Gamma sat = 14 kN/m3
3 m Ecs = 9840 kPaξ = 0.35
Arena compacta
ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES
q = 70 kPa 20 m
10 m
PLANTA DEL EDIFICIO Figura E-4. Ejemplo. Cálculo de asentamiento. Curva de consolidación tipo II Solución El incremento neto de carga vale: qn = 70 – 19(2) = 32 kPa. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.607 kPa Tiempo igual a 6 meses t = 6 meses = 6(30)(86400) = 15 552 000 s Con la igualdad 3
746.0
150
1555200000108.022
e
v
ztcT
U = 86.9%
mmeses 01318.0000940.001224.0746.035.01log9840
3607.30869.0
6520
3607.306
Tiempo igual a cinco años: t =5(365.25)(86400) = 157788000 s
257.7150
15778800000108.022
e
v
ztcT
U = 100%
maños 01933.0005246.001408.057.735.01log9840
3607.301
6520
3607.305
86
SUELOS CON CAVIDADES La ecuación 13 se puede poner de la siguiente forma
t
aC N
tSt 1log (13)
tCtSt 1log (37)
donde
N
a
(38)
En suelos con cavidades, la consolidación primaria ocurre rápidamente (figura 4), por lo que la ecuación 1 queda
tCtPt 1log (39)
O bien
t
Ez
Ez
cs
oz
P
ozt 1log (40)
Figura 4. Curva de consolidación. Suelo con cavidades Ct es la deformación entre dos ciclos consecutivos del tiempo, en el tramo recto de la consolidación secundaria, dibujada ésta en escala semilogarítmica (logaritmo en base 10). Ct se puede obtener también como la pendiente del tramo recto; así, si (t1, Δδt1) y (t2, Δδt2) son dos puntos en dicho tramo, entonces, de acuerdo con la ecuación 39
1 10 100 1000 10000 100000
Def
orm
ació
n
80
100
120
140
160
t (s)
87
1
2
1
2
12 log1
1log
ttCt
t
C ttStSt
1
2
12
logtt
C ttt
(41)
En la ecuación 39 despejamos τ
110
t
Pt
C
t (42)
En este tipo de depósitos requerimos relacionar el tiempo de consolidación en el laboratorio τlab con el tiempo de consolidación en el campo τcpo, para lo cual procedemos de la siguiente forma: En la teoría de la consolidación se demuestra que
la fluidez del agua libre del suelo N
vale (Zeevaert, 1973)
22e
vvN
zcm
Por otra parte, considerando las siguientes relaciones
3.2tma
N
va
Arribamos a la siguiente expresión
v
e
cs
P
v
e
v
t
cz
EE
cz
mm 22
6.46.4
Observamos que, considerando en un suelo constantes las propiedades EP, Ecs y cv, entonces el tiempo, τ, depende del espesor de la muestra en el laboratorio o del espesor del estrato en el sitio, es decir, en el consolidómetro
v
econ
cs
Plab c
zE
E 2
6.4
y en el campo
88
v
ecpo
cs
Pcpo c
zE
E 2
6.4
Dividiendo miembro a miembro
2
2
elab
ecpo
lab
cpo
zz
Es decir
lab
elab
ecpocpo z
z 2
2
(43)
Sea
2'elab
labcs z
(44)
Entonces
2' cpoecscpo z (45)
Así, la deformación del estrato de suelo in situ la obtenemos con la ecuación 40
cpocs
oz
P
ozt
tE
zE
z
1log (46)
Ejemplo Obtener las propiedades de deformación de la arcilla sensitiva con cavidades de la figura E-5 (Zeevaert, 1973); pvo’ = 0.42 kg/cm2, σz = 0.38 kg/cm2, zo = 2.0 cm.
1 10 100 1000 10000 100000
Def
orm
aci
ón,
m
Tiempo, s
60
80
100
120
140
160
180
200
Figura E-5. Curva de consolidación. Suelos con cavidades (Zeevaert, 1973)
89
Solución En la curva de la figura 2 medimos ΔδP = 88 μm = 0.088 mm = 0.0088 cm Δδt1 = 0.0140 cm, t1 = 7000 s Δδt2 = 0.0160 cm, t2 = 30000 s Usamos las ecuaciones 17, 41 y 18
236.86
0088.0
238.0
cmkgEP
cmCt 00316.0
7000
30000log
0140.00160.0
251.240
00316.0
238.0
cmkgEcs
Para t1 = 7000 s (ecuación 42)
110
t
Pt
C
t
slab 07.162
110
7000
00316.0
0088.00140.0
Para t2 = 30000 s
slab 73.158
110
30000
00316.0
0088.00160.0
Promediamos los dos valores anteriores τlab = 160.4 s Reemplazando en la ecuación 44
2'
elab
labcs z
22 4.1601
4.160'
cms
cs
90
Ejemplo Para el cajón de cimentación mostrado en la figura E-6, calcular el asentamiento 50 años después de construido el inmueble, debido a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva.
NAF 1 m
2 m Excavación
Limo arenoso1 m Gamma sat = 19 kN/m3
Ep = 8630 kPa Arcilla sensitivaEcs = 24210 kPa Gamma sat = 14 kN/m3
3 m τcs' = 148 s/cm2
Arena compacta
ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES
q = 70 kPa 20 m
10 m
PLANTA DEL EDIFICIO Figura E-6. Ejemplo. Cálculo de asentamiento. Suelo con cavidades Solución El incremento neto de carga vale: qn = 70 – 19(2) = 32 kPa. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.607 kPa Tiempo t = 50(365.25)(86400) = 1 577 880 000 s Usamos las igualdades 45 y 46
sz cpoecscpo 3330000150148' 22
maños 02079.001015.001064.0
3330000
15778800001log
24210
3607.30
8630
3607.3050
91
CORRELACIONES ESTADÍSTICAS En la siguiente tabla se proporcionan valores estadísticos de los módulos de deformación a largo plazo de la arcilla de la ciudad de México, en función del nivel de confianza α, los cuales deben usarse únicamente para fines preliminares de análisis. Tabla 2. Valores estadísticos de módulos de deformación Arcilla de la ciudad de México
α Ep Ecs cv% kg/cm2 kg/cm2 cm2/s2.5 19.24 --- 0.007295 30.13 16.60 0.00666
10 42.70 54.38 0.0059415 51.18 79.88 0.0054520 57.91 100.14 0.0050625 63.69 117.52 0.0047330 68.88 133.13 0.0044340 78.26 161.32 0.0038950 87.02 187.67 0.00338
Ciudad Universitaria, D F, diciembre de 2012 REFERENCIAS Deméneghi, A y Puebla, M (2012). “Curvas de consolidación en arcillas sensitivas”,
XXVI Reunión Nal Mec Suelos Ing Geot, Soc Mex Ing Geot, Cancún Zeevaert, L (1973). Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van
Nostrand Reinhold, New York Zeevaert, L (1986). “Consolidation in the intergranular viscosity of highly compressible
soils”, Consolidation of Soils: Testing and Evaluation, ASTM, STP 892: 257-281. R N Yong y F C Townsend eds, Filadelfia
(Viscosidad. Curvas de consolidación)
