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Apuntes de Curso

Sucesiones RealesJuan Mayorga-Zambrano, Ph.D.Universidad Tecnologica Israel

[email protected]

Octubre 2012

Resumen

Se presenta una introduccion a las sucesiones reales. Se abordan los conceptos deconvergencia, divergencia y se introducen las funciones exponencial y logarıtmica.

Topicos

1. Introduccion 2

2. Acotamiento y entornos 4

3. Convergencia 5

4. Divergencia 9

5. Monotonıa 10

6. Las funciones exponencial y logarıtmica 13

7. Propiedades importantes 16

8. Equivalencia de sucesiones 19

9. Propiedades importantes (II) 20

10. Subsucesiones 23

11. Propiedades importantes (III) 25

12. Completitud de R 27

13. Criterio del cociente 29

14. Otros criterios para convergencia y divergencia 30

15. Relaciones recurrentes 32

16. Problemas 32

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1. Introduccion

Cuando se quiere resolver un problema de Ingenierıa con ayuda de un computador,se recurre habitualmente a aproximaciones discretas del modelo matematico seleccio-nado; por ello, el concepto de sucesion es fundamental en Matematica Aplicada. No esnuestra intension entrar en demasiados detalles sobre el excitante tema de las sucesio-nes, pero creemos que es una herramienta importante que debe manejar un Ingenieropues, finalmente, todas las tareas que realiza un computador son procesos contables (enun numero finito de pasos el computador presenta al usuario una solucion aproximada)es decir, truncaciones de sucesiones.

Una excelente introduccion al Analisis Matematico, en particular al estudio de sucesiones reales, es [1].El estudiante deberıa repasar la clase sobre el cuerpo de los numeros reales.

Definicion 1.1. [Sucesion]Dado A un conjunto no-vacıo, llamamos sucesion en A a toda funcion cuyo dominio esN oN∗ y cuyo codominio es A.

A una sucesion cuyo codominio es R se le denomina sucesion real.

Es claro que el rango de una sucesion1 es un conjunto discreto; por ello, a las sucesionesen un conjunto A se las suele denotar

(xn)n∈N ⊆ A, (yn)n∈N ⊆ A, (zn)n∈N ⊆ A, etc. (1.1)

o, alternativamente,

(xn)n∈N ∈ A∞, (yn)n∈N ∈ A∞, (zn)n∈N ∈ A∞, etc. (1.2)

La notacion (xn)n∈N ∈A∞ permite interpretar a una sucesion como una generalizacion de los conjuntosordenados

(x1,x2) ∈ A2, (x1,x2,x3) ∈ A3, (x1,x2,x3,x4) ∈ A4, ..., (x1,x2,x3,x4, ...,xn) ∈ An, ...

Ejemplo 1.1. A los enteros pares positivos se los puede expresar de forma ordenada mediante lasucesion

(2,4,6,8, ...) = (2n)n∈N ⊆R.

Tip de Maxima No. 1.La orden fib(n) calcula el n-esimo elemento de la serie de Fibonacci.

Tip de Maxima No. 2.La orden map(f, expr1, expr2,...,exprn) devuelve una expresion cuyo operador

principal es el mismo que aparece en las expresiones expr1, ..., exprnpero cuyas subpartes son los resultados de aplicar f a cada una de las

subpartes de las expresiones.

1En terminos mas generales, el dominio puede ser cualquier conjunto con cardinalidad ℵ0, e.g. Z.

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Ejemplo 1.2. Supongamos, que se quiere empezar un negocio de crıa de conejos. Una funcionque modela matematicamente tal fenomeno o proceso es la sucesion de Fibonacci. En la naturaleza,hay muchos elementos relacionados con la sucesion de Fibonacci: la cantidad de petalos de unaflor y la cantidad de espirales en una pina, etc. El negocio tiene perspectivas de ser rentable puesla poblacion de conejos crece a buen ritmo. En efecto, la sucesion de Fibonacci

(Fn)n∈N∗ ⊆R,

esta definida por

Fn =

0, si n = 0,1, si n = 1,Fn−1+Fn−2, si n ≥ 2.

La formula anterior nos dice que a partir de n = 2 se obtiene F(n) al sumar los dos elementosanteriores de la sucesion. Los primeros elementos de la sucesion de Fibonacci son:

(%i1) map( fib, [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]);

(%o1) [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55]

Los computadores no trabajan con R, el conjunto de los numeros reales, y, de hecho,ni siquiera lo hacen con Q, el conjunto de numeros racionales. A pesar de que con cadadia que pasa la capacidad de almacenamiento de memoria que tienen los computadoresse incrementa y el tamano fısico de los dispositivos se reduce, un computador no essiquiera capaz de manejar un unico numero como

π ≈ 3.14159...

Esto equivale a decir que un computador no es capaz de manejar el rango de la sucesion(xn)n∈N∗ donde

x0 = 3,x1 = 1,x2 = 4,x3 = 1,x4 = 5,x5 = 9,...

...

Los computadores trabajan con numeros de tipo flotante, que constituyen subconjuntofinito de Q. El numero π tiene infinitas cifras decimales en tanto que la capacidad dememoria de cualquier computador es finita - ¡puede ser muy grande pero no deja de serfinita!2 Por tanto, cuando se alcanza el tope de la capacidad de memoria del computador,al ir introduciendo mas y mas cifras decimales del numero π, se recibe el mensaje deerror por underflow.

2Si no se puede introducir una cosa infinita (como el numero π) en algo finito (como la memoria de uncomputador), ¿serıa concecible que el Infinito (o sea Dios) pueda introducirse en un cuerpo finito (como el deun ser humano)?

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Si un computador no puede manejar un numero real como π, ¿como puede manejaruna funcion real de variable real? La respuesta es que no lo hace: se vale de truncacionesy procesos de aproximacion. Estas dos herramientas tienen que ver directamente con elconcepto matematico de sucesion.

Ejemplo 1.3. Consideremos un numero fijo x ∈ R. Si bien en una calculadora se puede ver elsımbolo ex, en realidad no se calcula ex. En su lugar, dado un cierto tamano de error aceptableε > 0, se escoge un n ∈N de manera que

|sn− ex| < ε,

donde la sucesion (sn)n∈N ⊆R esta definida mediante

sn =

n∑k=0

1k!

xk.

2. Acotamiento y entornos

Para el estudio de lımites y continuidad de funciones reales ası como para establecerla convergencia de sucesiones reales es indispensable el concepto de entorno.

Definicion 2.1. [ε-entorno de un punto]Sea ε > 0. Se denomina ε-entorno de x0 ∈R al conjunto de puntos que menos que ε de x0,esto es al conjunto

B(x0, ε) = (x0−ε, x0+ε)= {x ∈R/ |x−x0| < ε} . (2.3)

Al punto x0 y al numero ε en (2.3) se les refiere como el centro y el radio.

Cuando se generaliza (2.3) al cuerpo C, se refiere a B(x0, ε) como el ε-disco centrado en x0 ∈ C = R2.

Cuando se generaliza (2.3) a dimensiones n ≥ 3 se refiere a B(x0, ε) como la ε-bola centrada en x0 ∈Rn.

Se dice que una sucesion real esta acotada inferiormente (o superiormente) si surango es un conjunto acotado inferiormente (o superiormente); esto es,

i) (xn)n∈N ⊆R esta acotada inferiormente si

∃c ∈R, ∀n ∈N : xn ≥ c. (2.4)

ii) (xn)n∈N ⊆R esta acotada superiormente si

∃C ∈R, ∀n ∈N : xn ≤ C. (2.5)

Se dice que una sucesion esta acotada si esta, a la vez, acotada superior e inferiormente.

Proposicion 2.1. La sucesion (xn)n∈N ⊆R esta acotada ssi existen x∗ ∈R y r > 0 tales que

xn ∈ B(x∗,r), ∀n ∈N. (2.6)

Por tanto, una sucesion esta acotada cuando sus elementos estan contenidos en algunentorno.

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Ejercicio 2.1. Pruebe la Proposicion 2.1.

Ejemplo 2.1. Consideramos la sucesion (xn)n∈N ⊆R definida mediante

xn = 2n.

Puesto quexn ≥ 0, ∀n ∈N,

se tiene que (xn)n∈N ⊆R esta acotada inferiormente.


xn =1n.

Puesto que−1 ≤ xn ≤ 2, ∀n ∈N,

se tiene que (xn)n∈N ⊆R esta acotada.

3. Convergencia

Establezcamos los conceptos de convergencia y lımite de una sucesion.

Definicion 3.1. [Convergencia y Lımite de una sucesion]Se dice que la sucesion (xn)n∈N ⊆R es convergente ssi existe un numero x ∈R tal que

∀ε > 0, ∃N ∈N : n ≥N ⇒ |xn−x| < ε. (3.7)

En este caso se lice que x es el lımite de (xn)n∈N ⊆R y se denota

lımn→∞

xn = x (3.8)

o, alternativamente,xn

n−→ xn. (3.9)

Tenga presente que (3.7) puede escribirse

∀ε > 0, ∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn ∈ B(x, ε),

de manera que cualquiera que sea el grado de cercanıa ε > 0, el entorno B(x, ε) atrapatodos los elementos de la sucesion (xn)n∈N ⊆R, salvo un numero finito de ellos.

En en marco de la Definicion 3.1 se dice que (xn)n∈N ⊆ R converge a x ∈ R por la izquierda o pordebajo si se cumple que

xn ≤ x, ∀n ∈N. (3.10)

Asimismo, se dice que (xn)n∈N ⊆R converge a x ∈R por la derecha o por encima si se cumple que

xn ≥ x, ∀n ∈N. (3.11)

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xn = 1+1n. (3.12)

Estudio intuitivo. Como se puede ver en la tabla, a medida que n se hace cada vez mas grande,es decir cuando n tiende a +∞, xn tiende a 1.

n 1 2 4 10 100 1000 1’000000 1×1020· · ·

xn 2 1.5 1.25 1.1 1.01 1.001 1.000001 1+1×10−20· · ·

|xn−1| 1 0.5 0.25 0.1 0.01 0.001 0.000001 1×10−20· · ·

En otras palabras, a medida que el argumento n se hace mas y mas grande, el valor xn se aproximamas y mas a 1. Intuimos entonces que

lımn−→∞

xn = 1. (3.13)

Adicionalmente, por lo expuesto en la tabla anterior parecerıa que dada cualquier distancia ε > 0- por mas que sea muy pequena - siempre se puede hallar un N = N(ε) ∈N de manera que ladistancia entre xn y 1 sea menor que ε a partir de N, es decir,

∀ε > 0, ∃N =N(ε) ∈N : n ≥N ⇒ |xn−1| < ε. (3.14)

Por ejemplo, observese que para ε1 = 0.5, se puede tomar N(ε1) = 2. Para ε2 = 0.001, funcionaN(ε2) = 1000.Estudio analıtico. Ahora probemos que (3.13) - o equivalentemente (3.14) - se cumple. Seaε > 0, cualquiera. Por la Propiedad Arquimediana de los nuemros reales, existe un N ∈Z tal que

Nε > 1,

es decirε <

1N. (3.15)

En virtud de (3.15), si n ∈N es tal que n ≥N, se cumple que

|xn−1| =∣∣∣∣∣1+ 1

n−1

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣1n∣∣∣∣∣

=1n

≤1N

≤ ε.

Puesto que ε fue elegido arbitrariamente, se ha probado (3.14).

Observacion 3.1. Por lo visto en el Ejemplo 3.1 se tiene que

lımn→∞

1n= 0. (3.16)

De manera que si en un cociente se mantiene fijo el numerador y se hace tender el denominadora∞ (o a −∞), entonces el cociente tiende a cero.

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Ejercicio 3.1. Sea β ∈ (−1,1). Pruebe que

lımn→∞|β|n = 0. (3.17)

Sugerencia. Considere los casos ε ∈ (0,1) y ε ∈ [1,∞)

Teorema 3.1. [Unicidad del lımite]Si una sucesion real es convergente, su lımite es unico.

Demostracion. Sea (xn)n∈N ⊆R convergente y supongamos que

lımn→∞

xn = L1, (3.18)

lımn→∞

xn = L2, (3.19)

conL1 , L2.

Tomamosε1, ε2 ∈

(0,|L2−L1|

2

). (3.20)

Por (3.18), existe un N1 ∈N tal que

n ≥N1 ⇒ |xn−L1| < ε1. (3.21)

Por (3.19), existe un N2 ∈N tal que

n ≥N2 ⇒ |xn−L2| < ε2. (3.22)

Entonces, por (3.20), (3.21) y (3.22) se sigue, para n ≥max{N1,N2}, que

|L2−L1| = |L2−L1+xn−xn|

≤ |L2−xn|+ |L1−xn|

< ε1+ε2

<|L2−L1|

2+|L2−L1|

2= |L2−L1|

que es una contradiccion. Por tanto, L1 = L2. �

El siguiente Teorema es muy importante por sus aplicaciones.

Teorema 3.2. [Teorema Fundamental]Sea c ∈R y sea (xn)n∈N ⊆R tal que lım

n→∞xn = L. Se tiene que:

i) si L > c, entonces∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn > c.

ii) si L < c, entonces∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn < c.

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Demostracion. Puesto que lımn→∞

xn = L se tiene que

∀ε > 0, ∃N =N(ε) ∈N : n ≥N ⇒ L−ε < xn < L+ε. (3.23)

i) Tomamos ε = L− c y N =N(L− c) de manera que por (3.23) se tiene que

n ≥N ⇒ xn > L−ε = L− (L− c) = c.

ii) Tomamos ε = c−L y N =N(c−L) de manera que por (3.23) se tiene que

n ≥N ⇒ xn < L+ε = L+ (c−L) = c.

�

La siguiente Proposicion establece que

1) el lımite de una suma es igual a la suma de los lımites; y,2) el lımite de una sucesion multiplicada por una constante es igual a la constante

multiplicada por el lımite de la sucesion.

Proposicion 3.1. [Linealidad del lımite]Sea c ∈R. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R tales que lım

n→∞xn = α y lım

n→∞yn = β. Entonces se

tiene que

lımn→∞

(cxn+ yn) = cα+β. (3.24)

La Proposicion 3.1 establece que la suma de sucesiones convergentes es una sucesion convergente.


Proposicion 3.2. Toda sucesion (xn)n∈N ⊆R convergente es acotada.

Demostracion. Puesto que (xn)n∈N ⊆R es convergente, para algun L ∈R se tiene que

∀ε > 0,∃N =N(ε) ∈N : n >N ⇒ |xn−L| < ε.

Tomamos ε = 1. Entonces si n >N se tiene que

|xn| = |xn+L−L| ≤ |xn−L|+ |L| < 1+ |L|.

Por tanto,|xn| < R, ∀n ∈N,

dondeR =max{1+ |L|, |x1|, |x2|, ..., |xn|}.

�

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4. Divergencia

Si una sucesion no es convergente se dice que es divergente.

Definicion 4.1. [Divergencia al infinito]Se dice que la sucesion (xn)n∈N ⊆R diverge a +∞ si se cumple que

∀K > 0, ∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn > K. (4.25)

En este caso denotamoslımn→∞

xn = +∞, o xnn−→∞. (4.26)

Se dice que la sucesion (xn)n∈N ⊆R diverge a −∞ si se cumple que

∀K > 0, ∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn < −K. (4.27)

En este caso denotamoslımn→∞

xn = −∞, o xnn−→−∞. (4.28)

Observacion 4.1. Tenga presente que una sucesion tiene lımite ssi es convergente. Las notaciones(4.26) y (4.28) no indican que existe un lımite sino que expresan un tipo de divergencia.

Ejemplo 4.1. Consideramos la sucesion

(Sn)n∈N = (√

n)n∈N ⊆R.

Calculamos los primeros elementos de la sucesion:

n√

n n√

n1 1.000000... 7 2,645751...2 1.414213... 8 2.828427...3 1.732050... 9 3.000000...4 2.000000... 10 3.162277...5 2.236067... 11 3.316624...

6 2.449489......

...

Se puede observar que, a medida que n crece, Sn tambien crece.Probemos que

lımn→∞

Sn =∞. (4.29)

Sea K > 0, cualquiera. Por la Propiedad Arquimediana de los numeros reales, existe N ∈N talque

N ·1 > K2.

Por tanto, si n ∈N es tal que n ≥N, se tiene que

n ≥N > K2,

es decir,Sn =

√n > K.

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Puesto que K fue elegido arbitrariamente, se ha probado que

∀K > 0,∃N ∈N : n ≥N ⇒ Sn > K,

es decir que se tiene (4.29).

Ejemplo 4.2. La sucesion (xn)n∈N ⊆R definida mediante

xn = (−1)nπ, n ∈N,

es divergente. Esta divergencia no es hacia +∞ ni hacia −∞.

Proposicion 4.1. Sea (xn)n∈N ⊆R tal que lımn→∞

xn = +∞. Entonces se tiene que

α > 0 ⇒ lımn→∞

(αxn) = +∞; (4.30)

α < 0 ⇒ lımn→∞

(αxn) = −∞. (4.31)


Proposicion 4.2. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R. Se tiene que

lımn→∞

xn = +∞ ∧ lımn→∞

yn = +∞ ⇒ lımn→∞

(xn+ yn) = +∞; (4.32)

lımn→∞

xn = −∞ ∧ lımn→∞

yn = −∞ ⇒ lımn→∞

(xn+ yn) = −∞. (4.33)


Tenga presente que la Proposicion anterior considera la suma de sucesiones que convergen ambashacia +∞ o ambas hacia −∞. Con respecto a la resta no se puede afirmar nada a priori y esto lo evidenciamosen los Ejemplos 8.1 y 4.3.

Ejercicio 4.3. Consideramos la sucesion (xn)n∈N ⊆R definida por la formula

xn = n2−n

Observe quelımn→∞

n2 = +∞, lımn→∞

(−n) = +∞.

Pruebe quelımn→∞

xn = +∞.

5. Monotonıa

Se dice que una sucesion (xn)n∈N ⊆R es

i) creciente sixn ≤ xn+1, ∀n ∈N; (5.34)

ii) estictamente creciente sixn < xn+1, ∀n ∈N; (5.35)

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iii) decreciente sixn ≥ xn+1, ∀n ∈N; (5.36)

iv) estictamente decreciente si

xn > xn+1, ∀n ∈N. (5.37)

Se dice que una sucesion (xn)n∈N ⊆R es monotona si es creciente o decreciente.

Tenga presente que las sucesiones constantes son, a la vez, crecientes y decrecientes.

Teorema 5.1. [Convergencia y monotonıa]Sea (xn)n∈N ⊆R monotona. Entonces (xn)n∈N ⊆R es convergente ssi es acotada.

Demostracion. En virtud de la Proposicion 3.2 basta probar que el acotamiento de(xn)n∈N ⊆R implica su convergencia.

i) Supongamos que (xn)n∈N ⊆R es creciente. Puesto que (xn)n∈N ⊆R esta acotada, existeun R > 0 tal que

−R < xn < R, ∀n ∈N,

de manera que el conjuntoU = {xn /n ∈N}

esta acotado superiormente. Entonces, por el Axioma del Supremo,

sup(U) = L ∈R. (5.38)

Entonces, por la caracterizacion del supremo, se tiene que

∀ε > 0, ∃N ∈N : L−ε < aN. (5.39)

Ahora, puesto que (xn)n∈N ⊆R es creciente y puesto que (5.38) implica que

an ≤ L, ∀n ∈N,

se sigue por (5.39) que

∀ε > 0, ∃N ∈N : n >N ⇒ L−ε < aN ≤ an ≤ L < L+ε.

Por tanto∀ε > 0, ∃N ∈N : n >N ⇒ |an−L| < ε, (5.40)

ası que (xn)n∈N ⊆R es convergente.

ii) El caso en que (xn)n∈N ⊆R es decreciente queda como ejercicio para el lector.�

Ejercicio 5.1. Sea β > 0. Pruebe que

lımn→∞

1nβ= 0. (5.41)

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Recuerde que dados n,k ∈N∗ con k ≤ n se escribe(nk

)=

n!k! · (n− k)!

. (5.42)

Observacion 5.1. [Sımbolo producto]Recuerde el sımbolo producto

n∏k=1

ak = a1 · a2 · ... · an. (5.43)

Ejercicio 5.2. Pruebe que2n−1

≤ n!, ∀n ∈N. (5.44)

Proposicion 5.1. [El numero e]La sucesion (xn)n∈N ⊆R definida mediante

xn =(1+

1n

)n, (5.45)

es convergente y a su lımite se le denota

e = 2.718281828459045... (5.46)

Esquema de la Demostracion. Aplicamos el Teorema 5.1.i) Por el Teorema del Binomio de Newton se tiene para n ∈N:

xn =(1+

1n

)n

=

n∑k=0

(nk

)1nk

= 1+n!

(n−1)!1n+

n!(n−2)!2!

1n2 +

n!(n−3)!3!

1n3 + ...+

n!0!n!

1nn

= 2+12!

(1−

1n

)+

13!

(1−

1n

)(1−

2n

)+ ...+

1n!

(1−

1n

)(1−

2n

)· ... ·

(1−

n−1n

)= 2+

n∑k=2

1k!

k−1∏j=1

(1−

jn

). (5.47)

Aplicando (5.47) se tiene que

xn+1 = 2+n+1∑k=2

1k!

k−1∏j=1

(1−

jn+1

)

= 2+n∑

k=2

1k!

k−1∏j=1

(1−

jn+1

)+

1(n+1)n+1

. (5.48)

Puesto que

1−jn≤ 1−

jn+1

, ∀n, j ∈N,

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se sigue por (5.47) y (5.48) que

xn ≤ xn+1, ∀n ∈N,

es decir que (xn)n∈N ⊆R es creciente.

ii) Por (5.44) y (5.47) se tiene, para n ∈N, que

xn = 2+n∑

k=2

1k!

k−1∏j=1

(1−

jn

)

≤ 2+n∑

k=2

1k!

≤ 2+n−1∑k=1

12k

= 2+(1/2)n

−1(1/2)−1

−1

= 3−2 ·(1

2

)n

< 3,

ası que (xn)n∈N ⊆R esta acotada.�

Ejercicio 5.3. Calcule

L = lımn→∞

(1−

1n

)1/n

Idea. Tenga presente que (n−1n

)n=

1(1+ 1

n−1

)n−1 (1+ 1

n−1

) .6. Las funciones exponencial y logarıtmica

Se define la funcion exponencial, exp :R→R, mediante

exp(x) = lımn→∞

(1+

xn

)n, (6.49)

y se denotaexp(x) = ex, x ∈R. (6.50)

Ejercicio 6.1. Pruebe que el lımite en (6.49) existe.Idea. Para x , 0, considere el cambio de variable m = n/x.

Observe que la funcion exponencial es estrictamente creciente (y por tanto inyectiva)y que

Rg(exp) = (0,∞). (6.51)

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J.Figura 1: La funcion exponencial.

Adicionalmente se tiene que

lımn→∞

exp(n) = lımn→∞

en =∞. (6.52)

Se tiene queexp(x+ y) = exp(x) ·exp(y), ∀x, y ∈R. (6.53)

Se define la funcion logarıtmica, ln : (0,∞)→R, como la funcion inversa de la funcionR 3 x 7→ exp(x) ∈ (0,∞). Por tanto, se tiene que

ln(exp(x)) = x, ∀x ∈R; (6.54)exp(ln(x)) = x, ∀x ∈ (0,∞). (6.55)

En virtud de (6.53) se tiene que

ln(x · y) = ln(x)+ ln(y), ∀x, y ∈ (0,∞). (6.56)

Ejercicio 6.2. Pruebe (6.56).

Sea a > 0. Se define la funcion exponencial en base a, expa :R→R, mediante

expa(x) = ex ln(a) (6.57)

y se denotaexpa(x) = ax. (6.58)

Sea a > 0, a , 1. Se define la funcion exponencial en base a, loga : (0,∞)→R, mediante

loga(x) =ln(x)ln(a)

. (6.59)

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J.Figura 2: La funcion logarıtmica.

Proposicion 6.1. [Propiedades de la funcion exponencial]Sea a > 0. Se tiene que

ax+y = ax· ay, ∀x, y ∈R; (6.60)

expa(x) = 1 ⇔ x = 0. (6.61)


Observacion 6.1. Tenga presente que para a > 1, la funcion expa es estrictamente creciente; entanto que para 0 < a < 1, expa es estrictamente decreciente.

Proposicion 6.2. [Propiedades de la funcion logarıtmica (I)]Sea a ∈ (0,∞)\ {1}. Se tiene que

loga(x · y) = loga(x)+ loga(y), ∀x, y ∈ (0,∞); (6.62)loga(xy) = y · loga(x), ∀x > 0,∀y ∈R; (6.63)

loga(x) = 0 ⇔ x = 1. (6.64)


El siguiente resultado permite resolver inecuaciones que involucran a la funcionlogarıtmica.

15

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Proposicion 6.3. [Propiedades de la funcion logarıtmica (II)]Si a > 1, se tiene que

loga(x) > 0 ⇔ x ∈ (1,∞); (6.65)loga(x) < 0 ⇔ x ∈ (0,1). (6.66)

Si 0 < a < 1, se tiene que

loga(x) > 0 ⇔ x ∈ (0,1); (6.67)loga(x) < 0 ⇔ x ∈ (1,∞). (6.68)

7. Propiedades importantes

El siguiente resultado establece el comportamiento de una sucesion compuesta porun termino que converge y uno que diverge.

Proposicion 7.1. Sean (xn)n∈N ⊆R acotada y (yn)n∈N ⊆R divergente. Se tiene que

i) (xn+ yn)n∈N ⊆R es divergente;ii) si lım

n→∞yn = +∞, entonces lım

n→∞(xn+ yn) = +∞;

iii) si lımn→∞

yn = −∞, entonces lımn→∞

(xn+ yn) = −∞.


En la siguiente Proposicion se establece como calcular el lımite de una sucesion cuyoselementos son los inversos multiplicativos de otra sucesion.

Proposicion 7.2. [Inversion de un lımite]Sea (xn)n∈N ⊆R tal que

lımn→∞

xn = L , 0.

Entonces,

lımn→∞

1xn=

1L. (7.69)

Esquema de la demostracion. i) Se prueba que

∃N∗ ∈N : n >N∗ ⇒ |xn| >|L|2. (7.70)

ii) Se tiene que∀ε1 > 0,∃N1 ∈N : n >N1 ⇒ |xn−L| < ε1.

iii) Sea ε > 0, cualquiera. Tomamos

ε1 =ε|L|2

2,

16

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

y N =max{N∗,N1} de manera que∣∣∣∣∣ 1xn−

1L

∣∣∣∣∣ = |xn−L||L| · |xn|

<2ε1

|L|2= ε.

Puesto que ε fue elegido arbitrariamente, se ha probado (7.69).�

El siguiente resultado complementa la Proposicion 3.1; establece, a grosso modo, queel lımite de un producto se puede calcular como el producto de los lımites (cuando estosexisten).

Proposicion 7.3. [Lımites de productos y cocientes]Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R tales que

lımn→∞

xn = α; lımn→∞

yn = β. (7.71)

Entonces se tiene que

lımn→∞

xn · yn = α ·β; (7.72)

lımn→∞

xn

yn=

αβ, si β , 0. (7.73)

Demostracion. Basta probar (7.72).i) Puesto que (xn)n∈N ⊆R es convergente, es acotada, es decir, existe un M > 0 tal que

|xn| ≤M, ∀n ∈N. (7.74)

ii) Por (7.71) se tiene que

∀ε1 > 0, ∃N1 ∈N : n >N1 ⇒ |xn−α| < ε1;∀ε1 > 0, ∃N2 ∈N : n >N2 ⇒ |yn−β| < ε1;

Por tanto,

∀ε1 > 0, ∃N =max{N1,N2} ∈N : n >N ⇒ |xn−α| < ε1 ∧ |yn−β| < ε1. (7.75)

iii) Sea ε > 0, cualquiera. Tomamos

ε1 =ε

M+ |β|.

Entonces por (7.74) y (7.75) se tiene, para n >N, que

|xnyn−αβ| = |xnyn−xnβ+xnβ−αβ|

= |xn(yn−β)+β(xn−α)|≤ |xn| · |yn−β|+ |β| · |xn−α|

< Mε1+ |β|ε1

= ε.

17

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Puesto que ε fue elegido arbitrariamente, se ha probado (7.72).�

El siguiente resultado continua avanza las propiedades establecidas en las Proposi-ciones 3.1 y 7.3

Teorema 7.1. [Lımite de una potencia]Sea β ∈ (0,∞)\ {1}. Si lım

n→∞xn = α, entonces

lımn→∞

βxn = βα. (7.76)

Demostracion. Puesto que (xn)n∈N ⊆R converge a α, se tiene que

∀ε1 > 0,∃N1 ∈N : n >N ⇒ α−ε1 < xn < α+ε1, (7.77)

Caso β > 1. La funcion expβ es estrictamente creciente de manera que (7.77) implica que

∀ε1 > 0,∃N1 ∈N : n >N ⇒ βα−ε1 < βxn < βα+ε1 . (7.78)

Sea ε > 0, cualquiera. Tomamos ε1 > 0 de manera que

βε1 = 1+εβα.

Se tiene que

βα−ε1 =βα

1+ εβα=

β2α

βα+ε>β2α−ε2

βα+ε= βα−ε. (7.79)

Asimismo se tiene que

βα+ε1 = βα(1+

εβα

)= βα+ε. (7.80)

Entonces por (7.78), (7.79)y (7.80) y por la arbitrariedad de ε, se tiene que

∀ε > 0, ∃N1 ∈N : n >N1 ⇒ |βxn −βα| < ε,

es decir que (7.76) se cumple.Caso 0 < β < 1. La funcion expβ es estrictamente decreciente de manera que (7.77) im-

plica que∀ε1 > 0,∃N1 ∈N : n >N ⇒ βα−ε1 > βxn > βα+ε1 . (7.81)

Sea ε > 0, cualquiera. Tomamos ε1 > 0 de manera que

βε1 =βα

βα+ε.

Se tiene que

βα−ε1 =βα

βα

βα+ε

= βα+ε. (7.82)

18

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Asimismo se tiene que

βα+ε1 = βα(βα

βα+ε

)>β2α−ε2

βα+ε= βα−ε. (7.83)

Entonces por (7.81), (7.82)y (7.83) y por la arbitrariedad de ε, se tiene que

∀ε > 0, ∃N1 ∈N : n >N1 ⇒ |βxn −βα| < ε,

es decir que (7.76) se cumple.

�

8. Equivalencia de sucesiones

Por Analisis del Comportamiento al Infinito de una sucesion entendemos que sebusca establecer si dicha sucesion es convergente (en cuyo caso en lo posible debecalcularse su lımite) o divergente (en cuyo caso deberıa establecerse si existe divergenciahacia +∞ o −∞).

Definicion 8.1. [Equivalencia de sucesiones]Se dice que dos sucesiones (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R son equivalentes si se cumple que

lımn→∞

xn

yn= 1, (8.84)

o, equivalentemente,lımn→∞

(xn− yn

)= 0. (8.85)

Criterio de equivalencia de sucesiones.Para el analisis del comportamiento al infinito de una sucesion (rn)n∈N ⊆ R en cuyaformula aparece xn, se puede reemplazar xn por cualquier formula yn tal que (xn)n∈N ⊆

R y (yn)n∈N ⊆R sean equivalentes.

Ejemplo 8.1. Sea α > 0. Consideramos la sucesion (rn)n∈N ⊆R definida por la formula

rn =√

n+α−√

n, n ∈N.

Se tiene quelımn→∞

√

n+1 = +∞, lımn→∞

(−√

n) = −∞.

Probemos que las sucesiones definidas por las formulas

xn =√

n+α, yn =√

n

son equivalentes. Para ello, probemos que

lımn→∞

(√n+α−

√n)= 0. (8.86)

19

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Sea ε > 0. Por la Propiedad Arquimediana de los numeros reales, existe un N ∈N tal que

4ε2 N > 1.

Por tanto, si n >N, se tienen que4ε2 n > 4ε2 N > 1. (8.87)

Por (8.87) se tiene que∣∣∣√n+α−√

n∣∣∣ = √

n+α−√

n

=

(√n+α−

√n)(√

n+α+√

n)

√n+α+

√n

=α

√n+α+

√n

<α

2√

n< ε.

Puesto que ε fue elegido arbitrariamente, se sigue que

∀ε > 0,∃N ∈N : n >N ⇒ |√

n+α−√

n| < ε,

de manera que se tiene (8.86) y, por tanto,

lımn→∞

√n+α√

n= 1.

Proposicion 8.1. Sean α > 0 y β1, ...,βk ∈ (−∞,α). Se tiene que

lımn→∞

nα

nα+nβ1 + ...+nβk= 1. (8.88)

9. Propiedades importantes (II)

Recuerde que la funcion real mas importante es la funcion valor absoluto. El siguienteresultado establece, a grosso modo, que el lımite de un valor absoluto es igual al valorabsoluto del lımite.

Proposicion 9.1. [Convergencia absoluta]Si la sucesion (xn)n∈N ⊆ R es convergente, entonces (|xn|)n∈N tambien es convergente y secumple que

lımn→∞|xn| =

∣∣∣∣ lımn→∞

xn

∣∣∣∣ . (9.89)


Ejemplo 9.1. El recıproco de la Proposicion 9.1 no es verdadero. considere e.g. la sucesiondefinida por la formula

xn = (−1)nπ, n ∈N.

20

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Los siguientes dos resultados son importantes para estudiar el comportamiento deuna sucesion al infinito.

Teorema 9.1. Sea (xn)n∈N ⊆R una sucesion convergente. Entonces,

(∀n ∈N : xn ≥ 0) ⇒ L = lımn→∞

xn ≥ 0. (9.90)

Demostracion. Supongamos que L < 0. Se tiene que

∀ε, ∃N ∈N : n >N ⇒ −ε < xn−L < ε. (9.91)

Ahora, tomando ε = −L en (9.91) se sigue, para n >N, que

xn−L < −L,

de manera quexn < 0, n >N.

En particular,∃n ∈N : xn < 0.

�

Corolario 9.1. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R convergentes. Entonces,

(∀n ∈N : xn ≤ yn) ⇒ lımn→∞

xn ≤ lımn→∞

yn. (9.92)

Ejercicio 9.2. Pruebe el Corolario 9.1.

Teorema 9.2. [Teorema del Sanduche]Sean (xn)n∈N ⊆R, (yn)n∈N ⊆R y (wn)n∈N ⊆R tales que

xn ≤ wn ≤ yn, ∀n ∈N. (9.93)


xn = lımn→∞

yn = L ⇒ lımn→∞

wn = L.

Ejercicio 9.3. Pruebe el Teorema 9.2.

Corolario 9.2. Sea (xn)n∈N ⊆R. Se tiene que

lımn→∞|xn| = 0 ⇒ lım

n→∞xn = 0. (9.94)

Ejercicio 9.4. Pruebe el Corolario 9.2.

Ejercicio 9.5. Sea θ ∈R. Pruebe que

lımn→∞

sen(nθ)n

= 0.

El siguiente resultado establece, a grosso modo, que el lımite de un logaritmo es ellogaritmo del lımite de una sucesion.

21

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Teorema 9.3. [Lımite de la funcion logarıtmica]Sea (xn)n∈N ⊆R tal que

xn > 0, ∀n ∈N; (9.95)lımn→∞

xn > 0. (9.96)

Entonces,lımn→∞

ln(xn) = ln(

lımn→∞

xn

). (9.97)

Para probar el Teorema 9.3 necesitamos el Teorema Fundamental.

Teorema 9.4. [Teorema Fundamental]Sea c ∈R y sea (xn)n∈N ⊆R tal que lım

n→∞xn = L. Se tiene que:

i) si L > c, entonces∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn > c.

ii) si L < c, entonces∃N ∈N : n ≥N ⇒ xn < c.

Demostracion del Teorema 9.3. Sea ε > 0, cualquiera. Denotemos β = lımn→∞

xn. Tenemos que

lımn→∞

xn

β= 1. (9.98)

Puesto que0 < e−ε < 1 ∧ eε > 1

se sigue, por (9.98) y el Teorema Fundamental, que existe un N ∈N tal que

n >N ⇒ e−ε <xn

β< eε

y, puesto que la funcion ln es estrictamente creciente,

−ε < ln(

xn

β

)< ε,

o, equivalentemente,| ln(xn)− ln(β)| < ε.

�

Corolario 9.3. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R sucesiones convergentes tales que

lımn→∞

xn = α > 0, lımn→∞

yn = β ∈R. (9.99)


xynn = α

β. (9.100)

22

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Ejercicio 9.6. Justifique los pasos siguientes que demuestran el Corolario 9.3:

lımn→∞

xynn = lım

n→∞eyn·ln(xn)

= elım(yn·ln(xn))

= elım yn·lımln(xn)

= eβ·ln(α)

= αβ.

Ejercicio 9.7. [Un lımite fundamental]Sea a ∈R \ {0}. Pruebe que

lımn→∞

n · sen(1

n

)= 1. (9.101)

Idea. Puede usar el hecho que

lımn→∞

cos(1

n

)= 1. (9.102)

Ejercicio 9.8. [Un lımite fundamental]Pruebe que

lımn→∞

[n · ln

(1+

1n

)]= 1. (9.103)

Ejercicio 9.9. Sea α > 0. Pruebe que

lımn→∞

αn

n!= 0. (9.104)

Idea 1. Pruebe que la sucesion definida por xn =αn

n!decreciente y acotada inferiormente.

Idea 2. Descomponga, para n >N, xn = xN · g(n,N) y aplique el Teorema del Sanduche.

Proposicion 9.2. Sea (xn)n∈N ⊆R. Se tiene que

0 < lımn→∞

xn < 1 ⇒ lımn→∞

(xn)n = 0. (9.105)


10. Subsucesiones

Consideramos una sucesion (xn)n∈N ⊆R. Se denomina subsucesion de (xn)n∈N ⊆R atoda sucesion de la forma

(xnm )m∈N ⊆R, (10.106)

donde la indexacion(nm)m∈N ⊆N,

es estrictamente creciente.

Observacion 10.1. Tenga presente que

nm ≤m, ∀m ∈N. (10.107)

23

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Toda sucesion es subsucesion de sı misma.

Ejemplo 10.1. Consideramos la sucesion real

(xn)n∈N =(1

n

)n∈N= (x1,x2,x3,x4, ...) =

(1,

12,13,14, ...

).

La indexacion definida por la formulanm = 2m

define la siguiente subsucesion de (xn)n∈N ⊆R:

(xnm )m∈R =( 1

2m

)m∈R= (x2,x4,x6, ...) =

(12,14,16, ...

).

La indexacion definida por la formulank = k2

define la siguiente subsucesion de (xn)n∈N ⊆R:

(xnk )k∈R =( 1

k2

)k∈R= (x1,x4,x9,x16, ...) =

(1,

14,19,

116, ...

).

Proposicion 10.1. [Convergencia de subsucesiones]Sea (xnm )m∈N ⊆R una subsucesion de (xn)n∈N ⊆R. Se tiene que

lımn→∞

xn = L ⇒ lımm→∞

xnm = L. (10.108)


Observacion 10.2. [Criterio para establecer la divergencia de una sucesion]La Proposicion 10.1 establece que todas las subsucesiones de una sucesion convergente sonconvergentes y tienden al mismo lımite. Por tanto, cada una de las siguientes condiciones sonsuficientes para establecer que una sucesion (xn)n∈N ⊆R es divergente.

1) Existe alguna subsucesion (xnm )m∈N ⊆R divergente.2) Existen dos subsucesiones (xnm )m∈N ⊆R y (xnk )k∈N ⊆R tales que

lımm→∞

xnm , lımk→∞

xnk .

Ejemplo 10.2. Consideramos la sucesion definida por la formula

xn =

1+ sen(π2 +nπ

)n

n

.

La subsucesion definida por la indexacion

nm = 2m, m ∈N,

verificalım

m→∞xnm = e. (10.109)

24

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

La subsucesion definida por la indexacion

nk = 2k+1, k ∈N,

verificalımk→∞

xnk = e−1. (10.110)

Por (10.109) y (10.110) se sigue que (xn)n∈N ⊆R es divergente.

Recordemos que una sucesion convergente es necesariamente acotada. Por otro lado,como ya hemos visto en ejemplos, una sucesion acotada puede ser divergente. Sinemabrgo se tiene el siguiente resultado importante.

Teorema 10.1. [Teorema de Bolzano-Weierstrass]Una sucesion acotada tiene una subsucesion convergente.

Para una demostracion del Teorema de Bolzano-Weierstrass vease e.g. [1].

11. Propiedades importantes (III)

Proposicion 11.1. Sea r > 1. Se tiene que

lımn→∞

rn = +∞. (11.111)

Demostracion. Sea K > 0, cualquiera. Por la Propiedad Arquimediana de los numerosreales, existe un N ∈N tal que

N ≥ logr(K). (11.112)

Por tanto, para n >N, se tiene por (11.112) y que

rn > rN > K,

pues la funcion expr es estrictamente creciente. Entonces, puesto que K fue elegidoarbitrariamente se tiene que

∀K > 0,∃N ∈N : n >N ⇒ rn > K,

es decir que sem tiene (11.1).�

Teorema 11.1. Sea (xn)n∈N ⊆R. Se tiene que

lımn→∞|xn| = +∞ ⇔ lım

n→∞

1xn= 0. (11.113)


Como consecuencia del Teorema 11.1 se tiene el siguiente resultado.

25

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Corolario 11.1. Sea (xn)n∈N ⊆R tal que lımn→∞

xn = 0. Se tiene que

i) si∃N ∈N, ∀n >N : xn > 0,

entonces lımn→∞

1xn= +∞;

ii) si∃N ∈N, ∀n >N : xn < 0,


1xn= −∞.

Proposicion 11.2. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R tales que

lımn→∞

xn = +∞, (11.114)

∃N ∈N, ∀n >N : yn ≥ c > 0. (11.115)


xn · yn = +∞.


Ejercicio 11.3. Sea β > 0. Pruebe que

lımn→∞

nβ = +∞. (11.116)

Teorema 11.2. [Lımite y equivalencia de un polinomio]Sea m ∈N y p ∈ Pm definido mediante

p(x) = amxm+ am−1xm−1+ ...+ a2x2+ a1x+ a0.


p(n) =∞. (11.117)

Asimismo,

lımn→∞

p(n)am nm = 1. (11.118)


Proposicion 11.3. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R. Se tiene que

i) si lımn→∞

xn =∞ y∃N ∈N, ∀n >N : xn ≤ yn,


yn = +∞;

ii) si lımn→∞

xn = −∞ y∃N ∈N, ∀n >N : yn ≤ xn,


yn = −∞.

26

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.


Ejercicio 11.6. Sea α > 0. Pruebe que

lımn→∞

(1+α)n = +∞.

Observacion 11.1. Tenga presente que una sucesion creciente que no esta acotada superiormentediverge a +∞. Analogamente, una sucesion decreciente que no esta acotada inferiormente divergea −∞.

El siguiente resultado es muy util para calcular lımites de la forma 1∞.

Teorema 11.3. [Indeterminacion 1∞]Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R tales que

lımn→∞

yn = β , 0, (11.119)

lımn→∞

xn = +∞. (11.120)

Entonceslımn→∞

(1+

yn

xn

)xn= eβ. (11.121)

Para una demostracion de este Teorema vease e.g. [2].

Ejercicio 11.7. Calcule

L = lımn→∞

(n2+1+ n√n

n2+1

)3n2+n−1

.

Ejercicio 11.8. [Un lımite fundamental]Sean a,b ∈R+ \ {1}. Pruebe que

lımn→∞

[n ·

(a1/n− b1/n

)]= ln

(ab

). (11.122)

Ejercicio 11.9. Pruebe que

0 < lımn→∞

xn < 1 ⇒ lımn→∞

(xn)n = 0.


lımn→∞

xn > 1 ⇒ lımn→∞

(xn)n = +∞.

12. Completitud de R

En esta seccion establecemos que toda sucesion que cumple el criterio de Cauchy esconvergente; esta propiedad es referida como la completitud de R. Mas adelante en susestudios el estudiante tendra la oportunidad de encontrarse con otros conjuntos que soncompletos, e.g. C,R3,Rn, etc.

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Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Definicion 12.1. [Sucesion de Cauchy]Se dice que (xn)n∈N ⊆R es de Cauchy si

∀ε > 0,∃N ∈N : n.m >N ⇒ |xn−xm| < ε. (12.123)

Observe que en la definicion anterior se compara la distancia entre elementos de lasucesion; por otro lado, en la definicion de convergencia se compara la distancia entre loselementos de la sucesion y un elemento externo, su lımite. Por esta razon, el siguienteresultado establece un mecanismo para establecer la convergencia (o divergencia) deuna sucesion sin conocer a priori un candidato a ser su lımite.

Teorema 12.1. [Criterio de Cauchy]Una sucesion (xn)n∈N ⊆R es convergente ssi es de Cauchy.

Demostracion. i) Supongamos que (xn)n∈N ⊆R es convergente. Existe entonces L ∈R talque

∀ε1 > 0,∃N ∈N : n >N ⇒ |xn−L| < ε1. (12.124)

Sea ε > 0, cualquiera. Tomamos

ε1 =ε2

en (12.124) de manera que si n,m >N se cumple que

|xn−xm| = |xn−xm+L−L|≤ |xn−L|+ |xm−L|

<ε2+ε2

= ε.

Puesto que ε fue elegido arbitrariamente se ha probado que (xn)n∈N ⊆R es de Cauchy.

ii) Supongamos ahora que (xn)n∈N ⊆R es de Cauchy. Entonces

∀ε1 > 0,∃N ∈N : m,n >N ⇒ |xn−xm| < ε1. (12.125)

Tomando ε1 = 1 y m =N+1 en (12.125) se sigue que

|xn| − |xN+1| ≤ |xn−xN+1| < 1, ∀n >N,

es decir,|xn| ≤ 1+ |xN+1|, ∀n >N. (12.126)

Ahora, tomandoR =max{1+ |xN+1|, |x1|, |x2|, ..., |xN |}

se tiene por (12.126) que|xn| ≤ R, ∀n ∈N,

es decir que (xn)n∈N ⊆R es acotada. Por el Teorema de bolzano-Weierstrass existe enton-ces una subsucesion (xnm )m∈N que converge a algun L ∈R, es decir que

∀ε2 > 0,∃N ∈N : m >N ⇒ |xnm −L| < ε2. (12.127)

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Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Sea ε > 0, cualquiera. Tomando ε1 =ε2 en (12.125) y ε2 =

ε2 en (12.127) se sigue, para

n,m >N, que

|xn−L| = |xn−L+xnm −xnm |

≤ |xn−xnm |+ |xnm −L|

<ε2+ε2

= ε.

Puesto que ε fue elegido arbitrariamente, se ha probado que

lımn→∞

xn = L.

Ejercicio 12.1. Pruebe que la sucesion (xn)n∈N ⊆R es de Cauchy.

xn =1

n2+1;

xn = rn, si 0 < r < 1.

�

13. Criterio del cociente

Tenga presente que en el siguiente resultado no se establece nada respecto al casoL = 1.

Teorema 13.1. [Criterio de Cociente (I)]Sea (xn)n∈N ⊆R tal que

lımn→∞

∣∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣∣ = L < 1.

Entonceslımn→∞

xn = 0.

Demostracion. Se tiene que

∀ε > 0,∃N ∈N : n >N ⇒ L−ε <∣∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣∣ < L+ε. (13.128)

Ahora, puesto que 0 < L < 1, tomamos r ∈ (L,1) y ε = r−L > 0. Entonces por (13.128) setiene que ∣∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣∣ < r, ∀n >N. (13.129)

Pero entonces se tiene, para m ∈N, que

0 ≤∣∣∣∣∣xn+m

xn

∣∣∣∣∣ < rm, ∀n >N. (13.130)

Puesto que lımm→∞

rm = 0, se tiene que

lımm→∞

xn+m = 0.

�

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Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Teorema 13.2. [Criterio de Cociente (II)]Sea (xn)n∈N ⊆R tal que

lımn→∞

xn+1

xn= L > 1,

y∃N ∈N, ∀n >N : xn > 0.

Entonceslımn→∞

xn = +∞.

Ejercicio 13.1. Analice el comportamiento al infinito de la sucesion definida por la formula

xn =2n

n!.

14. Otros criterios para convergencia y divergencia

En esta seccion se presentan algunos criterios adicionales para convergencia o diver-gencia de sucesiones reales.

Proposicion 14.1. [Media aritmetica]Se tiene

lımn→∞

xn = L ⇒ lımn→∞

1n

n∑k=1

xn = L. (14.131)

Ejercicio 14.1. Usando la definicion de lımite pruebe la Proposicion 14.1.


lımn→∞

(xn+1−xn) = L ⇒ lımn→∞

xn

n= L.

Idea. Estudie la sucesion definida por yn = xn+1−xn.

Teorema 14.1. [Media geometrica]Sea (xn)n∈N ⊆R

+. Entonces,

lımn→∞

xn = L ⇒ lımn→∞

n

√√ n∏k=1

ak = L. (14.132)

Como una consecuencia del Teorema 14.1 se tiene el siguiente resultado.

Corolario 14.1. [Criterio de D’Alambert]Sea (xn)n∈N ⊆R

+. Entonces,

lımn→∞

xn+1

xn= L ⇒ lım

n→∞n√an = L. (14.133)

30

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Ejercicio 14.3. Pruebe el Corolario 14.1.Idea. Considere la sucesion definida mediante

bn =

a1, si n = 1,an

an−1, si n ≥ 2.

Proposicion 14.2. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R tales que

lımn→∞

Xn = α, lımn→∞

Yn = β, (14.134)

donde

Xn =

n∑k=1

xn, Yn =

n∑k=1

yn

Suponga que existe un K > 0 tal que

n∑k=1

|yn| < K, ∀n ∈N.

Entonces se tiene que

lımn→∞

n∑k=1

Xk · yn−k+1 = αβ. (14.135)

Teorema 14.2. Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R+ tales que

lımn→∞

xn = α, (14.136)

lımn→∞

n∑k=1

yk = +∞. (14.137)

Entonces,

lımn→∞

n∑k=1

xkyk

n∑k=1

yk

= α. (14.138)

Como consecuencia del Teorema 14.2 se tiene el siguiente resultado.

31

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

Corolario 14.2. [Criterio de Stolz]Sean (xn)n∈N ⊆R y (yn)n∈N ⊆R

+ tales que

lımn→∞

xn

yn= α, (14.139)

lımn→∞

n∑k=1

yk = +∞. (14.140)

Entonces,

lımn→∞

n∑k=1

xk

n∑k=1

yk

= α. (14.141)

15. Relaciones recurrentes

Dada una sucesion (xn)n∈N ⊆R se dice que tiene una forma recurrente de orden k ∈Nsi existe una funcion f :Rk

→R tal que

xn = f (xn−1,xn−2, ...,xn−k), n > k. (15.142)

Ejemplo 15.1. La sucesion de Fibonacci se expresa en forma recurrente de orden 2:F1 = 0,F2 = 1,Fn = Fn−1+Fn−2, n > 2.

Ejemplo 15.2. [Progresion geometrica]Sean c,r ∈R. La progresion geometrica

(xn)n∈N = (crn−1)n∈N

se puede escribir con una forma recurrente de orden 1:x1 = c,xn = rxn−1, n > 1.

16. Problemas

16.1. Usando la definicion de lımite pruebe que

lımn→∞

5n= 0, (16.143)

lımn→∞

n2+1n2 = 1, (16.144)

lımn→∞

15n2n+3

=152. (16.145)

32

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.


lımn→∞

βn·n = 0, si β ∈ (−1,1), (16.146)

lımn→∞

1−2nn+3

= −2, (16.147)

lımn→∞

(n2

n−1−

n2

n+1

)= 2. (16.148)


lımn→∞

a1/n = 1, a > 0, (16.149)

lımn→∞

ln(1+ a1/n

)= ln(2). (16.150)

Sugerencia. Puede ser util considerar primero a = e.

16.4. ¿Que problema puede presentarse si en las hipotesis del Teorema 7.1 no se asume queβ , 1?

16.5. Sea (xn)n∈N ⊆R tal que lımn→∞

xn = L. Pruebe que lımn→∞

x2n = L2.

16.6. Analice el comportamiento al infinito de la sucesion (xn)n∈N ⊆R.

xn =6n+27n−3

; (16.151)

xn =(−2)n+3n

(−2)n+1+3n+1; (16.152)

xn =

n−1∑i=1

in2 ; (16.153)

xn =

n−1∑i=1

i2

n3 . (16.154)

16.7. Sea (xn)n∈N ⊆R una sucesion convergente, entonces se cumple la propiedad telescopica:

lımn→∞

n∑i=1

(xi−xi+1) = x1− lımn→∞

xn. (16.155)

Use la propiedad telescopica para calcular los siguientes lımites

L1 = lımn→∞

n∑i=1

1(2i−1)(2i+1)

,

L2 = lımn→∞

n∑i=1

(−1)i−1(2i+1)i(i+1)

.

33

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

16.8. Verifique si los siguientes lımites son correctos.

lımn→∞

n∑i=1

12i = 1;

lımn→∞

n∑i=0

ri =1

1− r, si |r| < 1;

lımn→∞

n∑i=1

in2 =

12

;

lımn→∞

n∑i=1

i(i+1)n3 =

13.


lımn→∞

n∑i=1

(2i−1)3i

n ·3n = 3;

lımn→∞

n∑i=1

3i−2n2 =

32

;

lımn→∞

n∑i=1

1i(i+1)(i+2)

=14

;

lımn→∞

∣∣∣∣∣∣∣n∑

i=1

(−1)i· i2

n2

∣∣∣∣∣∣∣ = 12.


lımn→∞

n∑i=1

3i

3n =12

;

lımn→∞

n∑i=1

1(a+ i−1)(a+ i)

=1a, si a , 0;

lımn→∞

n2

n∏i=2

(1−

1i

)=

12

;

lımn→∞

n∏i=2

(1−

1i2

)=

12.

34

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

16.11. analizar el comportamiento al infinito de las sucesion (xn)n∈N ⊆R.

xn =

(n3−2n2+1

n3+8n2+n+3

)n

;

xn =

(n3−2n2+1

n3+8n2+n+3

)n2

;

xn =

(n3−2n2+1

n3−2n2+n+3

)n

;

xn =

√

2n2+5n+1−√

n2+1n

.

16.12. Halle el dominio de definicion de la formula f (x).

f (x) = ln(2+x

2−x

);

f (x) = ln(x4+5x3

−13x2−53x+60

);

f (x) = ln(x2−1

).

16.13. Considere la funcion definida por la formula

f (x) =(1+x

1−x

).

1) Halle el dominio de definicion de f (x).2) Resuelva la ecuacion

f (x) = 0, x ∈R.

3) Halle el conjunto

I ={

(x, y)R2 : f (x)+ f (y) = f(

x+ y1+xy

)}.

16.14. Las funciones seno hiperbolico, denotada sinh, y coseno hiperbolico, denotada cosh,se definen mediante

sinh(x) =12

(ex− e−x), (16.156)

cosh(x) =12

(ex+ e−x). (16.157)

1) Halle Dom(sinh) y Dom(cosh).2) Resuelva la ecuacion

sinh(x) = 0, x ∈R.

3) Resuelva la ecuacioncosh(x) = 0, x ∈R.

4) Pruebe quecosh2(x)− senh2(x) = 1, ∀x ∈R. (16.158)

35

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

5) Pruebe que

senh(x) · cosh(x) =12

senh(2x), ∀x ∈R. (16.159)

16.15. Considere la funcion definida por la formula f (x) = ln(ln(x)).

1) Halle Dom( f ).2) Resuelva la ecuacion

f (x) = 0, x ∈R.

3) Resuelva la inecuacionf (x− a) > 0,

donde a ∈R.Solucion: CS =]a+ e,∞[.

16.16. Considere la funcion definida por la formula f (x) = ln(5x−3) · ln(2x+3).

1) Halle Dom( f ).2) Resuelva la ecuacion

f (x) = 0, x ∈R.

3) Resuelva la inecuacionf (x) > 0.

Solucion: CS =]4/5,∞[.

16.17. Sea β ∈ (0,∞)\ {1}. Pruebe que

lımn→∞

xn > 0 ⇒ lımn→∞

(logβ(xn)

)= logβ

(lımn→∞

xn

).

Idea. Considere los casos 0 < β < 1 y β > 1.

16.18. Sea α > 0. Pruebe quelımn→∞

n√α = 1. (16.160)

Idea. Considere los casos α ∈ (0,1), α = 1 y α ∈ (1,∞).

16.19. Pruebe los siguientes lımites

lımn→∞

n1/n = 1; (16.161)

lımn→∞

ln(n)n= 0. (16.162)

Idea. a) Para probar (16.162), use (16.161). b) Para probar (16.161) aplique el Teorema delBinomio de Newton a (1+xn)n, donde xn = n1/n

−1. Luego aplique el Teorema del Sanduche paraprobar que lım

n→∞bn = 0.

36

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

16.20. Calcule el lımite de la sucesion (xn)n∈N ⊆R:

xn =(2n+1

3n+5

)n;

xn =

√

1−n1−2n

3n+54−5n

;

xn =(50n+1

n2+1

)n;

xn =(2n+1)3

− (2n−1)3

3n2+1;

xn =−n3+

(n+√

2n)3

n2−2n5/2.

16.21. Verifique si el lımite es correcto.

lımn→∞

ln(1+ ean)ln(1+ ebn)

=ab, a,b > 0;

lımn→∞

log2

(n−√

n2−n)= −1;

lımn→∞

n+ cos(nπ/3)2n+3

=12

;

lımn→∞

(√n2−3n−

√

n2−1)= −

32

;

lımn→∞

[(n2−2n)1/2

−n]= −1;

lımn→∞

( 3√

n+1− 3√n)= 0;

lımn→∞

[(n3−2n2)1/3

−n]= −

23

;

lımn→∞

(−4)n− (−3)n

(−4)n+1+3n+1= −

14.

16.22. Pruebe que la sucesion definida por

xn =nn

en n!, n ∈N,

es convergente.Idea. Pruebe que (xn)n∈N ⊆R es decreciente y acotada inferiormente.

37

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

16.23. Calcule el lımite de la sucesion (xn)n∈N ⊆R:

xn =

(n2+1

n2

)n

;

xn =(4n−1

4n

) 3n2+54−5n

;

xn =(1+

1n−

2n2

)n;

xn =(n+5)n

− (n+3)n

(n+4)n− (n+2)n ;

xn =(n3−2n2

−n+2)n

n3n .

16.24. Sea 0 < r < 1. Pruebe que la sucesion definida por la formula

xn =(r+ sen

(π2+nπ

))n

es divergente.

16.25. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesion (xn)n∈N ⊆ R. Si (xn)n∈N ⊆ R esdivergente pero acotada, extraiga una subsucesion convergente.

xn = (−1)nπ;

xn =(−1)n

n;

xn =(3−2n

2n

)n.


xn = 1+n

n+1cos

(nπ2

);

xn =(1−n

n

)n;

xn =(−n2+4n−3)n

n2n .


xn =1−n

n+

nn−3

cos(nπ

2

);

xn =2−5n

n−

5n+7n2+1

sen(nπ

2

);

xn =

(5−n2

n2

)n2+n+1

.

38

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.


xn =n

en · (n2+1);

xn = n · rn, |r| < 1;

xn =

(αn

αn+1+βn+1+

βn

αn+1+βn+1

), |α| < |β|.


xn =(n!)2

(2n)!;

xn =3n

5+3n ;

xn =nn

an ·n!, a ∈R \ {0}, |a| , e;

xn =

n∏k=1

(2k−1)

n! ·2n .


xn =n√n;

xn =n√

n!.

16.31. Encuentre la forma recurrente de la sucesion dada por la formula

xn = n2, n ∈N.

16.32. Verifique si lımn→∞ xn = L.xn+1 =xn+xn−1

2 , n > 1,x1,x2 ∈R,

L =2x2+x1

3;xn =

√6+xn−1, n > 1,

x1 =√

6 ∈R,L = 3;xn =

√2+xn−1, n > 1,

x1 > 0 ∈R,L = 2;

39

Mayor

ga-Z

ambr

ano,

J.

16.33. Pruebe que (xn)n∈N ⊆R es convergente y trate de calcular su lımite.xn =√

1+√

xn−1, n > 1,

x1 = 1 ∈R.xn =3(1+xn−1)

3+xn−1, n > 1,

x1 = 3 ∈R.xn = 1−√

1−xn−1, n > 1,0 < x1 < 1.xn =√

c+xn−1, n > 1, c ≥ 0,x1 =

√c.

(16.163)

16.34. Sean α > 0 y x1 >√α. Pruebe que lım

n→∞xn =

√α donde

xn =12

(xn−1+

αxn−1

), n > 1.

16.35. Calcule el lımite de la sucesion (xn)n∈N ⊆R tal que

x1 =√

2, x2 =

√2√

2, x3 =

√2√

2√

2, x4 =

√2

√2√

2√

2, ...

16.36. Calcule los siguientes lımites

lımn→∞

(12+

14+

18+ ...+

12n

); (16.164)

lımn→∞

(1−

13+

19−

127+ ...+

(−1)n−1

3n−1

); (16.165)

lımn→∞

nsen(n!)n2+1

. (16.166)

16.37. Consideramos la sucesion (xn)n∈N ⊆R, definida mediantex1 = x2 = 1,xn = 3(xn−1+xn−2)+1, n ≥ 3.

Pruebe que para cada n ∈N,

1) x3n+2−1 es divisible por 2;2) 3x3n+1+5 es divisible por 8;3) x3n+x3n+1 es divisible por 32.

Referencias

[1] E. Gaughan, Introduccion al analisis, Editorial Alhambra, Madrid, 1972.

[2] J. Toro, Sucesiones, Escuela Politecnica Nacional, Ecuador, 1992.

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